BAB IV MOMEN INERSIA LUAS BENDA PENOPANG (MOMEN LUAS KEDUA) second moment moment of area area ), dan Momen Momen laus laus ada dua yaitu yaitu momen momen luas luas kedua kedua ( second momen momen luas luas tk satu. satu. Momen Momen luas luas kedua kedua adalah adalah sifat suatu suatu bentuk bentuk benda yang dapat dapat digunakan digunakan untuk memprediks memprediksii ketahanan ketahanan suatu papan terhadap lenturan lenturan dan simpangan simpangan.. Simpan Simpangan gan suatu suatu balok balok yang yang dibeba dibebani ni tidak tidak hanya hanya tergan tergantun tung g bebans bebansaja, aja, melain melainkan kan tergantung geometri dari penampang melintang. Oleh karena itu balok dengan dengan momen area dari momen inersia besar, seperti balok bentuk I, sering digunakan dalam konstruksi balok yang disusun berlawanan dengan balok yang lain dalam luas yang sama. Hal ini sama saja dengan dengan momen polar polar dari momen momen inersia yang yang mempunyai mempunyai karakter karakter kemampuan obyek tersebut untuk menahan tosi atau momen puntir (lihat Gambar .!".
Gambar .!. #onstruksi yang banyak menggunakan penopang dengan konstruksi I, karena momen luas keduanya besar. Second moment of area tidaklah sama dengan momen inersia , yang digunakan digunakan untuk menghi menghitun tung g per$ep per$epata atan n sudut. sudut. %anya %anyak k engine enginerr yang yang meruju merujuk k pada pada momen momen luas luas kedua kedua sebagai momen inersia dan menggunakan menggunakan simbol yang sama yaitu Iatau & untuk keduanya keduanya hal ini yang membingungkan. 'adahal dilihat dari unitnya berbeda momen luas kedua mempunyai unit panjang panjang pangkat empat, empat, sedangkan momen inersia mempunyai unit massa kali panjang kuadrat. erkadang erkadan g suatu strukt struktur ur penop penopang ang meneri menerima ma punt puntiran, iran, kopel punti puntirr atau mom momen en puntiran. 'untiran tersebut menimbulkan tegangan geseran yang disebut sebagai tegangan geser puntir. (lihat Gambar .!".
Gambar 4.1. Batang yang mengalami puntiran (torsion)
%esarnya tegangan yang diakibatkan oleh momen puntir)torsi pada penampang batang dituliskan dengan formula sebagai brerikut (lihat %*% II dan III". t = ! r " I# (.!" dimana + t tegangan geser torsi, besaran momen torsi, r &ari-jari batang terputir, &p Ip momen inersia polar penampang tergeser (momen inersia luas", dengan Ip d )/0 untuk lingkaran pejal, Ip )/0(d 0 - di" untuk lingkaran berlubang. 'ada persamaan .! besarnya momen inersia harus diketahui. #arena bentuknya tidak selalu dengan penampang lingkaran momen inersia harus dihitung berdasarkan rumus dasar+
(.0a"
I x momen luas kedua terhadap sumbu x, y jarak tegak lurus terhadap sumbu 1 terhadap elemen d A, d* elemen unit luas. .!. Men$%&t'n$ Momen Iners&a Momen 'as ed'a s'at' penampang adalah salah satu parameter $eometr& yang sangat penting dalam analisis struktur. 2ntuk penampang yang beraturan, seperti persegi, lingkaran dsb, telah dibuatkan tabel, namun bagaimana $ara memperolehnya yaitu berbesis dari momen inersia luar permukaan yaitu momen inersia terhadap sumbu 1 (pers .0a". #alau untuk sumbu y, tinggal menukar sumbu y menjadi 1.3ari formula dasar itulah kita bisa menurunkan formula momen inersia untuk bentuk geometri apapun.
Hal tersebut di atas dapat digunakan sendirinya manakala bentuk penampangnya simetris misal terhadap sumbu 1. *pabila sulit diperoleh maka dapat di$ari momen luas kedua dari hasil kedua sumbu x- dan y-a1is dan hasil dari perkaliannya adalah momen lusa kedua, I xy, yang dapat digunakan.
(.0b"
I y momen luas kedua terhadap sumbu y , x jarak tegak lurus dari sumbu y terhadap elemen d A, d* an elemental area. Bent' Perse$&
Salah satu bentuk balok penopang bangunan atau beban berpenampang persegi empat berukuran , b lebar, h tinggi. Sumbu 1 sebagai pusat puntiran terletak pada sumbu netral atau garis berat (tengah-tengah" . %erdasarkan formula dasar , maka kita harus meninjau sebuah elemen ke$il . 4lemen ini mempunyai ukuran dan . Sehingga bisa kita tuliskan luas elemen . &ika kita kumpulkan semua elemen yang mempunyai nilai yang sama dengan b tetap dan 5ariabelnya adalah y
maka elemen
, kini menjadi
, sehingga (pers..0"
b bernilai konstan untuk setiap nilai , kita keluarkan saja b dari kurungan $a$ing tersebut, Sekarang, tinggal menentukan batas atas dan batas bawah dari dy. %erdasarkan gambar di atas, maka batas bawahnya adalah - h)0 dan batas atas adalah h)0. Sehingga
Ba$a&mana Den$an Momen Iners&a er%ada# B'an S'm*' Netra+
Misalnya, pada gambar di atas, kita mau menentukan tapi sumbu 1-1 tidak pada garis berat, melainkan seperti pada gambar di bawah. 3engan $ara yang sama dengan menggati batas integrasi dari 6 7 h, maka diperoleh+
8oba kita geser lebih jauh lagi ke atas. 9ihat gambar di bawah.
%ila batas bawah , dan batas atas terhadap sumbu 1 6, maka, dapat / digunakan formula yang sudah diketahui yaitu bh )!0 atau bh/ )/, dengan $ara+ !. Gunakan bentuk benda dari segitiga atau segi empat yang sudah diketahui 0. jumlahkan bentuk bangunan tersebut dengan prinsip penjumlah momen luas dari persamaan momen yang terintegrasi. 3ari $ontoh di atas tidak lain adalah luas persegi, sementara yo : h)0 adalah jarak titik berat ke sumbu momen inersia;.dari luas persegi empat yang berpusat pada garis atau sumbu 1 di tengah-tengah yaitu : h)0 dengan 7 h)0.
Se$ara umum bisa dituliskan+
dimana, adalah momen inersia terhadap sumbu 1 tertentu, adalah momen inersia terhadap sumbu netral (garis berat", adalah luas bangun)penampang, adalah jarak dari titik berat ke sumbu momen inersia yang di$ari. 3alam beberapa buku penggunaan I x dan I xx sama tergantung pengguna. *da yang menggunakan dengan notasi sumbu 1-a1is digunakan I x, kadang kala diambil penggal sumbu 1-1< sehingga digunakan I xx, demikian juga I y dan I yy. ,!-! Prod' moment 'as (area)
'roduk momen luas antara sumbu 1 dan y adalah I xy didefinisikan+
d A an elemental area, x the perpendi$ular distan$e to the element d A from the a1is y, y the perpendi$ular distan$e to the element d A from the a1is x 'roduk momen area sangat signifikan untuk men$ari stress pembengkokan pada penampang melintang asymmetri$, yang dapat memberikan nilai negatif dan positif.Sistem koordinat yang menghasilkan momen area nol sebagai rujukan dan sumbu utama, dengan pendekatan ma1imum dan minimum. 'usat perlakuan lenturan dari sumbu utama dan simetris dengan satuan (mm, in dsb."
eor&ma a.&s (s'm*') se/a/ar! he parallel a1is theorem $an be used to determine the moment of an obje$t about any a1is, gi5en the moment of inertia (se$ond moment of area" of the obje$t about the parallel a1is through the obje$t
• •
• •
I x the se$ond moment of area with respe$t to the x-a1is I xCG the se$ond moment of area with respe$t to an a1is parallel to x and passing through the $entroid of the shape ($oin$ides with the neutral a1is" A area of the shape d the distan$e between the x-a1is and the $entroidal a1is
A.&s rotat&on he following formulae $an be used to $al$ulate moments of the se$tion in a $o-ordinate system rotated relati5e to the original $o-ordinate system+
•
•
•
= the angle of rotation(anti$lo$kwise sense"+ x > x$os= : ysin= y > ? xsin= : y$os= I x, I y and I xy the se$ond moments and the produ$t moment of area in the original $oordinate system I x*, I y* and I xy* the se$ond moments and the produ$t moment of area in the rotated $oordinate system.
he 5alue of the angle =, whi$h will gi5e a produ$t moment of @ero, is eAual to+
his angle is the angle between the a1es of the original $oordinate system and the prin$ipal a1es of the $ross se$tion.
Stress &n a *eam he general form of the $lassi$ bending formula for a beam in $o-ordinate system ha5ing origin lo$ated at the neutral a1is of the beam is ('ilkey 0660, p. !B"+
• • • • • • • •
C is the normal stress in the beam due to bending x the perpendi$ular distan$e to the $entroidal y-a1is y the perpendi$ular distan$e to the $entroidal x-a1is M y the bending moment about the y-a1is M x the bending moment about the x-a1is I x the se$ond moment of area about x-a1is I y the se$ond moment of area about y-a1is I xy the produ$t moment of area
If the $oordinate system is $hosen to gi5e a produ$t moment of area eAual to @ero, the formula simplifies to+
If additionally the beam is only subje$ted to bending about one a1is, the formula simplifies further+
0&rc'ar cross and 1oo2 c3&ndr&ca cross sect&on
D diameter, r radius. DO outside diameter, D I inside diameter, r O outside radius, r I inside radius his eAuation is useful in $al$ulating the reAuired strength of masts. aking the area moment of inertia $al$ulated from the pre5ious formula, and entering it into 4uler
E is DEoung
0om#os&te cross sect&on hen it is easier to $ompute the moment for an item as a $ombination of pie$es, the se$ond moment of area is $al$ulated by applying the parallel a1is theorem to ea$h pie$e and adding the terms+
y distan$e from x-a1is, x distan$e from y-a1is, A surfa$e area of part, I lo$al is the se$ond moment of area for that part of the $omposite, in the appropriate dire$tion (i.e. I x or I y respe$ti5ely".
4I5*eam4 cross sect&on
I-beam
I-beam diagram, moment by subtra$tion
b width ( x-dimension", h height ( y-dimension", t w width of $entral webbing, h1 inside distan$e between flanges (usually referred to as hw, the height of the web" he I-beam $an be analy@ed as either three pie$es added together or as a large pie$e with two pie$es remo5ed from it. 4ither of these methods will reAuire use of the formula for $omposite $ross se$tion. his se$tion only $o5ers doubly symmetric I-beams, meaning the shape has two planes of symmetry. his formula uses the method of a blo$k with two pie$es remo5ed. (hile this may not be the easiest way to do this $al$ulation, it is instru$ti5e in demonstrating how to subtra$t moments". Sin$e the I-beam is symmetri$al with respe$t to the y-a1is the I x has no $omponent for the $entroid of the blo$ks remo5ed being offset abo5e or below the 1 a1is.
hen $omputing I y it is ne$essary to allow for the fa$t that the pie$es being remo5ed are offset from the E a1is, this results in the Ax term.
A *rea $ontained within the middle of one of the <8< shapes of $reated by two flanges and the webbing on one side of the $ross se$tion
, x distan$e of the $entroid of the
area $ontained in the <8< shape from the y-a1is of the beam 3oing the same $al$ulation by $ombining three pie$es, the $enter webbing plus identi$al $ontributions for the top and bottom pie$e+
I-beam diagram, moment by addition Sin$e the $entroids of all three pie$es are on the y-a1is I y $an be $omputed just by adding the moments together.
Howe5er, this time the law for $omposition with offsets must be used for I x be$ause the $entroids of the top and bottom are offset from the $entroid of the whole I-beam.
• •
A *rea of the top or bottom pie$e y offset of the $entroid of the top or bottom pie$e from the $entroid of the whole I-beam
An3 cross sect&on def&ned as #o3$on he se$ond moments of area for any $ross se$tion defined as a simple polygon on E plane $an be $omputed in a generi$ way by summing $ontributions from ea$h segment of a polygon. Jor ea$h segment defined by two $onse$uti5e points of the polygon, $onsider a triangle with two $orners at these points and third $orner at the origin of the $oordinates. Integration by the area of that triangle and summing by the polygon segments yields+
• •
ai x y yi is twi$e the (signed" area of the elementary triangle, i i : ! ? xi : ! inde1 i passes o5er all n points in the polygon, whi$h is $onsidered $losed, i.e. point n!1 is point 1
hese formulae imply that points defining the polygon are ordered in anti$lo$kwise mannerK for $lo$kwisely defined polygons it will gi5e negati5e 5alues. See polygon area for $al$ulating area and $entroid of the se$tion using similar formulae. he following is list of area moments of inertia. he area moment of inertia or se$ond moment of area has a unit of dimension length, and should not be $onfused with the mass moment of inertia. 4a$h is with respe$t to a hori@ontal a1is through the $entroid of the gi5en shape, unless otherwise spe$ified. Descr&#t&on
6&$'re
Area moment of &nert&a
0omment
a filled $ir$ular area of radius r
Reference
D!
Jor thin tubes, this is appro1imately eAual an annulus of inner radius r ! and outer radius r 0
to+
or times the $ube of the a5erage radius times the thi$kness.
a filled $ir$ular se$tor of angle " in radians and radius r with respe$t to an a1is through the $entroid of the se$tor and the $entre of the $ir$le a filled semi$ir$le with radius r with respe$t to a hori@ontal line passing through the $entroid of the area
D0
a filled semi$ir$le as abo5e but with respe$t to an a1is $ollinear with the base
his is a $onseAuen$e of the parallel a1is theorem and the fa$t that the distan$e D0 between these two
a1es is
a filled semi$ir$le as abo5e but with respe$t to a 5erti$al a1is through the $entroid
D0
a filled Auarter $ir$le with radius r entirely in the !st Auadrant of the 8artesian $oordinate system a filled Auarter $ir$le as abo5e but with respe$t to a hori@ontal or 5erti$al a1is through the $entroid
D/
his is a $onseAuen$e of the parallel a1is theorem and the fa$t that the distan$e D/ between these two
a1es is
a filled ellipse whose radius along the x-a1is is a and whose radius along the y-a1is is b
a filled re$tangular area with a base width of b and height h
a filled re$tangular area as abo5e but with respe$t to an a1is $ollinear with the base
a filled triangular area with a base width of b and height h with respe$t to an a1is through the $entroid
D
his is a tri5ial result from the parallel a1is theorem
D
DL
a filled triangular area as abo5e but with respe$t to an a1is $ollinear with the base
his is a $onseAuen$e of the parallel a1is theorem
a filled regular he1agon with a side length of a
he result is 5alid for both a hori@ontal and a 5erti$al a1is through the $entroid.
DL
he following is a list of moments of inertia. Mass moments of inertia ha5e units of dimension mass length 0. It is the rotational analogue to mass. It should not be $onfused with the se$ond moment of area (area moment of inertia", whi$h is used in bending $al$ulations. he following moments of inertia assume $onstant density throughout the obje$t. NOE7 %e a.&s of rotat&on &s taen to *e t%ro'$% t%e center of mass8 'ness ot%er2&se s#ec&f&ed! Descr&#t&on
6&$'re
Moment(s) of &nert&a
0omment
his e1pression assumes the shell thi$kness is negligible. It is a spe$ial $ase of the ne1t obje$t for r !r #
hin $ylindri$al shell with open ends, of radius r and mass m
*lso, a point mass (m" at the end of a rod of length r has this same moment of inertia.
hi$k-walled $ylindri$al tube with open ends, of inner radius r !, outer radius r 0, length h and mass m
D!
ith a density of $ and the same geometry or when defining the normali@ed thi$kness t n t )r and letting r r 0, then
Solid $ylinder of radius r , height h and mass m
his is a spe$ial $ase of the pre5ious obje$t for r !6.
hin, solid disk of radius r and mass m
his is a spe$ial $ase of the pre5ious obje$t for h6.
hin $ir$ular hoop of radius r and mass m
his is a spe$ial $ase of a torus for b6. (See below."
Solid sphere of radius r and mass m
* sphere $an be taken to be made up of a sta$k of infinitesimal thin, solid dis$s, where the radius differs from 6 to r.
Hollow sphere of radius r and mass m
Similar to the solid sphere, only this time $onsidering a sta$k of infinitesimal thin, $ir$ular hoops.
Oblate Spheroid of major a, minor b and mass m
N
ight $ir$ular $one with radius r , height h and mass m
N
Solid $uboid of height h, width w, and depth d , and mass m
Jor a similarly oriented $ube with
sides of length s,
.
hin re$tangular plane of height h and of width w and mass m
N
hin re$tangular plane of height h and of width w and mass m (*1is of rotation at the end of the plate"
N
od of length % and mass m
his e1pression assumes that the rod is an infinitely thin (but rigid" wire. his is a spe$ial $ase of the pre5ious obje$t for w % and hd &.
od of length % and mass m (*1is of rotation at the end of the rod"
his e1pression assumes that the rod is an infinitely thin (but rigid" wire.
*bout a diameter+
orus of tube radius a, $ross-se$tional radius b and mass m.
*bout the 5erti$al a1is+
N
'lane polygon with 5erti$es
,
,
, ..., and mass m uniformly distributed on its interior, rotating about an a1is perpendi$ular to the plane and passing through the origin.
N
