PERSAMAAN DAN FUNGSI LOGARITMA A. Persam Persamaan aan Logarit Logaritma. ma. Persamaan logaritma adalah persamaan yang peubahnya terdapat dalam bilangan pokok atau numerusnya. (x-1) Contoh : (i) log (3x – 1) = log (x – 15) , (ii) log 16 = 2, dll Macam-macam bentuk persamaan logaritma : a a f(x) g(x) 1. log f(x) = log p 5. log a = log a a a f(x) f(x) 2. log f(x) = log g(x) 6. log g(x) = log h(x) a
7. A. a log x
2
b
3. log f(x) = log f(x) 4.
f(x)
log g(x) = p
B
a
log x
C
0
untuk A 0
Bentuk persamaan logaritma logaritma pada umumnya belum sederhana. Untuk menyederhanakan persamaan logaritma perlu memperhatikan sifat-sifat logaritma berikut : a n a a a a. Bila log x = n , maka x = a g. log x.y = log x + log y x a a a a b. log 1 = 0 h. log = log x – log y y a a n a c. log a = 1 i. log x = n. log x b log x 1 a n a d. log a = n j. log x = b x log a log a a
log x
am
n
e. a =x k. a x a a f. (i) log b = log c , maka b = c a c (ii) log b = log b , maka a = c Dalam menyelesaikan persamaan logaritma, bilangan pokok logaritma perlu disamakan dahulu. Nilai penyelesaian yang diperoleh perlu diuji dengan mensubstitusikan ke persamaan semula. Nilai penyelesaian yang menjadi anggota himpunan himpunan penyelesaia penyelesaian n (HP) adalah yang yang mengakibatka mengakibatkan n: 1. numerus numerus pada persamaan persamaan semula semula bernila bernilaii positi positif. f. 2. bilangan bilangan pokok logarit logaritma ma pada persama persamaan an semula semula bernilai bernilai positif positif dan tidak tidak sama dengan 1 (satu). n
log x
m
Contoh soal dan penyelesaian.: a
a
Bentuk log f(x) = log p. Syarat f(x) > 0
Penyelesaiannya adalah f(x) = p
2
1. Tentuk Tentukan an himpu himpunan nan peny penyele elesai saian an dari dari log (2x+1) = 3 ! Penyelesaian : 2
2
2
3
2
2
log (2x+1) (2x+1) = 3 => log (2x+1) log 2 => log (2x+1) = log 8
=> 2x + 1 = 8
=> 2x = 7 => x =
7
=3½ 2 Syarat : f(x) > 0 => x = 3 ½ => f(3 ½ ) = 2.3 ½ + 1 = 7 + 1 = 8 > 0 (memenuhi) Jadi himpunan penyelesaiannya penyelesaiannya adalah { 3 ½ } 3
2. Tent Tentuk ukan an HP dari dari log (2x-5) = 4 Penyelesaian : 3
3
3
4
3
3
log (2x-5) (2x-5) = 4 => log (2x-5) = log 3 => log (2x-5) = log 81 => 2x – 5 = 81 => 2x = 86 => x = 43 Syarat Syarat : f(x) > 0 => x = 43 => f(43) = 2.43 2.43 - 5 = 86 – 5 = 81 > 0 (memenuhi) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 43 } a
a
Bentuk log f(x) = log g(x). Syarat f(x) dan g(x) > 0.
Penyelesai Penyelesaiannya annya f(x) f(x) = g(x)
3
3
1. Tent Tentuk ukan an HP dari dari log (2x-3) = log (x+1) ! Penyelesaian : 3
3
log (2x-3) = log (x+1) => 2x – 3 = x + 1 => x = 4 Syarat : f(x) dan g(x) > 0 x = 4 => f(4) f(4) = 2.4 – 3 = 8 - 3 = 5 > 0 (memenuhi (memenuhi)) => g(4) = 4 + 1 = 5 > 0 (memnuhi) Jadi HP : { 4 } 2
2
2
2. Tent Tentuk ukan an HP dari dari log ( 2x-3) = log (x -3x+1) !. Penyelesaian : 2
2
2
2
log (2x-3) = log (x -3x+1) => 2x -3 = x – 3x + 1 2 => x – 5x + 4 = 0 => (x - 1)(x 1)(x - 4) = 0 => x = 1 atau x = 4 Syarat : f(x) dan g(x) > 0 x = 1 => f(1) = 2.1 -3 = 2 – 3 = -1 < 0 (tidak (tidak memenuh memenuhi) i) x = 4 => f(4) = 2.4 – 3 = 5 > 0 (memenuhi) (memenuhi) 2 => g(4) = 4 – 3.4 + 1 = 16 – 12 + 1 = 5 > 0 (meme (memenuhi nuhi). ). Jadi HP : { 4 } a
Bentuk log f(x) = log f(x).
Penyelesaiannya f(x) = 1 3
2
2
2
1. Tentuk Tentukan an himpu himpunan nan peny penyele elesai saian an dari dari log (x -2x-7) = log (x -2x-7) ! Penyelesaian : 3
2
2
2
log (x -2x-7) = log (x -2x-7) 2 => x -2x-7 = 1
2
=> x -2x -2x – 8 = 0 => (x-4)(x+2) = 0 => x = 4 atau x = -2 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {4,-2} 3
2
5
2
2. Tentuk Tentukan an himpu himpunan nan peny penyele elesai saian an dari dari log (x -3) = log (x -3) ! Penyelesaian : 3
2
5
2
log (x -3) = log (x -3) 2 => x -3 = 1 2 => x – 4 = 0 => (x-2)(x+2) = 0 => x = 2 atau x = -2 jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 2} f(x)
p
Bentuk
log g(x) = p. Penyelesaiannya f(x) = g(x). Syarat ; f(x) dan g(x) > 0 dan f(x) 1. x
1. Tentuk Tentukan an himpu himpunan nan peny penyele elesai saian an dari dari log (x+2) = 2 ! Penyelesaian :
Syarat : f(x) dan g(x) > 0 dan f(x) 1
x
log (x+2) = 2 2 => x = (x+2) 2 => x – x – 2 = 0 => (x (x-2)x+1) = 0 => x = 2 atau x = -1
x = 2 => f(2) = 2 > 0 dan f(2) ≠ 1 (memenuhi) => g(2) = 2+2 = 4 > 0 (memenuhi). x = -1 => f(-1) = 1 < 0 (tidak memenuhi). Jadi hi himpunan pe penyelesaiannya ad adalah { 2 }
2. tentuk tentukan an himpu himpunan nan peny penyele elesai saian an dari dari Penyelesaian :
log (5x+6) = 2 !.
Syarat ; f(x) dan g(x) > 0 dan f(x) ≠ 1
(x+2)
log (5x+6) = 2 2 => (x+2) = (5x+6) 2 => x + 4x + 4 = 5x + 6 2 => x – x – 2 = 0 => (x-2)(x+1) = 0 => x = 2 atau atau x = -1 f(x)
(x+2)
x = 2 => f(2) = 2+2 = 4 > 0 dan f(2) ≠ 1 (meme(memenuhi) => g(2) = 5.2+6 = 16 > 0 (memenuhi) x = -1 => f(-1) = -1 + 2 = 1 > 0 tetapi f(-1) = 1 (tidak memenuhi) Jadi Jadi him himpuna punan n pen penye yellesai esaian anny nyaa ada adallag { 2 }
g(x)
Bentuk log a = log a. Penyelesaiannya f(x) = g(x). Syarat : f(x) dan g(x) > 0 serta f(x) dan g(x) ≠ 1
1. Tentuk Tentukan an himpu himpunan nan peny penyele elesai saian an dari dari Penyelesaian : (x-5)
(-2x+1)
log 5 = log 5 => x-5 = -2x+1 => 3x = 6 => x = 2
(x-5)
log 5 =
(-2x+1)
log 5 !.
Syarat : f(x) dan g(x) > 0 serta f(x) dan g(x) g (x) ≠ 1
x = 2 => f(2) = 2-5 = -3 < 0 (tidak dak memenuhi uhi). Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { }
2. Tentukan Tentukan himpunan himpunan penyelesaian penyelesaian dari ( x
2
3 x 7 )
log 3 ( 2 x 3) log 3 !.
Penyelesaian : ( x 2 3 x 7 )
log 3 ( 2 x 3) log 3 2 => x – 3x + 7 = 2x + 3 2 => x – 5x + 4 = 0 => (x – 1)(x 1)(x – 4) = 0 => x = 1 atau x = 4 Syarat : f(x) dan g(x) > 0 serta f(x) dan g(x) ≠ 1 2 x = 1 => f(1) = 1 – 3.1 + 7 = 5 > 0 dan f(1) f(1) ≠ 1 (memenuhi) => g(1) = 2.1 + 3 = 5 > 0 dan g(1) ≠ 1 (memenuhi). 2 x = 4 => f(4) = 4 – 3.4 3.4 + 7 = 11 11 > 0 dan dan f(4) f(4) ≠ 1 (memenuhi) => g(4) = 2.4 + 3 = 11 > 0 dan g(4) ≠ 1 (memenuhi) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1 , 4} x
x
log h(x). Penyelesaiannya g(x) = h(x). Bentuk log g(x) = Syarat : f(x), g(x) dan h(x) > 0, serta f(x) ≠ 1 x
x
2
1. Tentuk Tentukan an himpuna himpunan n penyel penyelesa esaian ian dari dari log (2x+3) = log (x -2x+6) !. Penyelesaian : x
x
2
log (2x+3) = log (x -2x+6) 2 => 2x + 3 = x - 2x + 6 2 => x - 4x + 3 = 0 => (x – 1)(x 1)(x – 3) = 0 => x = 1 atau atau x = 3 Syarat ; f(x), g(x) dan h(x) > 0, serta f(x) ≠ 1 x = 1 => f(1) = 1 (tidak memenuhi) x = 3 => f(3) = 3 > 0 dan f(x) ≠ 1 (memenuhi) => g(3) = 2.3 + 3 = 9 > 0 (memenuhi) 2 => h(3) = 3 – 2.3 + 6 = 9 > 0 (memenuhi) (memenuhi) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3 } x
x
2. Tentuk Tentukan an himpu himpunan nan peny penyele elesai saian an dari dari log (2x-1) = log (x + 3) !. Penyelesaian : x
x
log (2x-1) = log (x + 3) => 2x – 1 = x + 3 => x = 4 Syarat ; f(x), g(x) dan h(x) > 0, serta f(x) ≠ 1 x = 4 => f(4) = 4 > 0 dan f(4) ≠ 1 (memenuhi). => g(4) = 2.4 2.4 – 1 = 7 > 0 (memenuhi) (memenuhi) => h(4) = 4 + 3 = 7 > 0 (memenuhi) Jadi himpunan penyelesaiannya adalh { 4 }
2
a
a
Bentuk A.( log x ) B.( log x) C 0 2
a
y
Penyelesaiannya Ay + By + C = 0 dengan y = log x => x = a 5
2
5
1. Tentuk Tentukan an himpu himpunan nan peny penyele elesai saian an dari dari log x + 3. log x – 4 = 0 !. Penyelesaian: 5
2
5
log x + 3. log log x – 4 = 0 5 2 5 5 => ( log x) + 3( log x) – 4 = 0, misal misal y = log x, x, maka diperoleh: diperoleh: 2 => y + 3y 3y – 4 = 0 => (y + 4)(y – 1) = 0 => y = -4 atau y = 1 1 1 5 -4 untuk y = -4 -4 => log x = -4 => x = 5 = 4 625 5 5 1 untuk y = 1 => log x = 1 => x = 5 = 5. 1 Jadi himpunan penyelesainnya adalah { ,5} 625 2
2
2. Tentuk Tentukan an himpu himpunan nan peny penyele elesai saian an dari dari log log x + log x – 3 = 0 !. !. Penyelesaian : 2
2
log x + log x – 3 = 0 2 => (log x) + 2(log x) – 3 = 0, misal y = log x, maka diperoleh diperoleh : 2 => y + 2y 2y – 3 = 0 => ( y + 3)(y 3)(y - 1) = 0 => y = -3 atau y = 1 1 1 -3 Untuk y = -3 => log x = -3 => x = 10 = 10 3 1000 Untuk y = 1 => log x = 1 => x = 10. 1 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { , 10 } 1000
SOAL-SOAL LATIHAN.
1
Tent Tentuka ukan n himp himpun unan an peny penyel eles esai aian an dari : 2 a.. log (2x+1) = 4 3 2 b. log (x – 3x -7) -7) = 1 2 c. log (x + 7x + 11) = 0 2 2 d. log (3x–5) – log (x+2) = 1 2 2 e. log x + log (x+2) = 3 f. log (x-2) + log (x-1) = 3
2
Tentu Tentuka kan n himp himpuna unan n penye penyele lesa saia ian n dari : 2 2 2 a.. log (3x+2) = log (x -3x+7) 2 2 b. log (x-4) + log (x-6) = 2 3 2 3 c. log (x +x) = log (2x+2) d. log (2x-30 + log 4 = log (2x+6) 4 4 e. log (3x-3) = log (x+2) 3 2 3 f. log (x -x+6) = log (4x+2)
3
Tent Tentuka ukan n himp himpun unan an peny penyel eles esai aian an dari : a..4log (x2+7x+13) = 5log (x2+7x+13) 2 2 4 2 b. log (x -2x-7) = log (x -2x-7) 3 2 5 2 c. log (x -x+1) = log (x -x+1) 6 2 5 2 d. log (x -x-1) = log (x -x-1) 4 Tent Tentuka ukan n himp himpun unan an peny penyel eles esai aian an dari : x x a.. log (2x-3) + log 2 = 1 x x b. log (x+3) (x+3) – 2 = log 4 x x c. log (x+10) – log (2x-10 = 2 x d. log (4x-2) = 1 5 Tent Tentuka ukan n him himpu punan nan peny penyel eles esai aian an : dari : (2x-4) (-x+2) a.. log 5 = log 5 b. ( x c. d.
2
3 x 7 )
( x 2 10 )
log 3 ( 2 x 3) log 3
6
Tentu Tentuka kan n himp himpuna unan n penye penyele lesa saia ian n dari : (2x-5) (2x-5) a.. log (x+4) = log (2x+1) (2x+1) 2 (2x+1) b. log(x -3x+7) = log(3x+2) (x+6) 2 (x+6) c. log x = log (6x+7) (2x-1) 2 (2x-1) d. log(x -5) = log 4x x= x+ e. log (5x-6) = log x 7 Tentukan himpunan penyelesaian dari : 2 2 2 a.. log x – 2. log log x – 3 = 0 2 2 2 3 b. log x – log x + 2 = 0 5 2 5 4 5 c. log x – log x + log 125 = 0 d. log x + 2. log log x – 3 = 0 2 e. 2.log x – 3.log 3.log x = -1 2 2 2 2 f. log x + 4. log x = log 32 4 2 4 g. 2. log x – 10. log x + 8 = 0
log 6 ( 7 x 8) log 6
( 2 x 2 10 x 2 )
log 4 ( x
2
2 x 10 )
log 4
B. Fungs Fungsii Log Logar arit itma ma Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi invers (balikan) dari fungsi ekspone n. Bila x fungsi eksponen dinyatakan dengan f(x) = a , a > 0, a ≠ 1, maka invers dari f(x0 -1 a a ditulis dengan f (x) = log x atau f(x) = log x, a > 0, a ≠ 1. x a Secara umum bila y = a , maka x = log y. a Bila f(x) = log x, dengan a > 1, x > 0 , x R, maka f(x) dikatakan fungsi turun. a Bila f(x) = log x, dengan dengan 0 < a < 1, x > 0 , x R, maka f(x) dikatakan fungsi naik. Grafik fungsi logaritma selalu melalui titik (1,0) dan selalu berada di sebelah kanan sumbu Y. Perhatikan gambar di bawah ini. Y a
y = log x, a > 1
X 0
(1,0) a
y = log x, 0
Contoh Soal : 2 1. Gambar Gambarkan kan grafik grafik fungsi fungsi f(x) f(x) = log x , x R ! Penyelesaian :
2
Fungsi y = f(x) = log x 1 1 X 8 4 2
y = log x
-3
-2
1
1
2
4
8
2 -1
0
1
2
3
Grafiknya.
1
2. Gambar Gambarkan kan grafik grafik fungsi fungsi f(x) f(x) = 2 log x , x R ! Penyelesaian :
1 2
Fungsi y = f(x) = log x 1 1 x 8 4 3 2 2 y = log x Grafiknya.
1
1
2
4
8
2 1
0
-1
-2
-3
C. Pertid Pertidaks aksama amaan an logar logaritm itma. a. Dari grafik fungsi logaritma di atas tampak bahwa : 1. Untuk a > 1 a a - Bil Bila log f(x) log g(x), maka f(x) g(x), dengan syarat f(x) dan g(x) > 0. a a - Bil Bila log f(x) log g(x), maka f(x) g(x), dengan syarat f(x) dan g(x) > 0. Contoh soal : 2 2 Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan log (2x-3) > log 5 ! Penyelesaian : 2 2 log (2x-3) > log 5 , karena a = 2 dan a > 1, maka 2x – 3 > 5 2x > 8 x > 4 ........(1) Syarat : f(x) > 0 2x – 3 > 0 2x > 3 x > 1½ ..... (2) (1) 4 (2) 1½ 4 Kesimpulan : Nilai x yang menjadi penyelesaian pertidaksamaan harus memenuhi (1) dan (2) Jadi nilai nilai x yang memenuhi adalah x > 4 2. Untuk 0 < a < 1 a a - Bila log f(x) log g(x) , maka f(x) g(x) dengan syarat f(x) dan g(x) > 0 a a - Bila log f(x) log g(x) , maka f(x) g(x) dengan syarat f(x) dan g(x) > 0. Contoh : ½ 2 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan log (x – X) < -1 -1 ! Penyelesaian : ½ 2 log (x – x) < -1 -1 ½ 2 ½ log (x – x) < log 2 , karena a = ½ dan 0 < a < 1 , maka 2 2 x – x > 2 x – x – 2 > 0 (x – 2)(x 2)(x + 1) 1) > 0 x > 2 atau x < -1 ................(1) 2 Syarat : f(x) > 0 x – x > 0 x(x x(x – 1) > 0 x < 0 atau x > 1 .........(2) (1) -1 2 (2) 0 1 -1 2 Kesimpulan ; Himpunan penyelesaiannya adalah { x < -1 atau x > 2}
SOAL-SOAL LATIHAN 1. Gambar Gambarkan kan grafi grafik k fungsi fungsi logar logaritm itmaa di bawah bawah ini : a. y = log x, c. y
5
1
1
4
16
log x,
1
x 16
b. y
4
log x,
1
25
d. y = 5 log x,
x 25
1
16
1 25
x 16
x 25
2. Tentukan Tentukan himpunan himpunan penyelesaian penyelesaian dari pertidaksam pertidaksamaan aan : 6 2 a. log (x – x) > 1 2 2 2 b. log (x – x) > log 6 2 2 2 c. log (3x + 2) < log (x – 3x + 2) 2) 3 3 2 d. log (2x – 3) < log (x + 2x – 5) 2 2 e. log (3x – 5) + log (x – 2) > 1 3. Tentukan Tentukan himpunan himpunan penyelesaian penyelesaian dari pertidaksam pertidaksamaan aan : 1
a. 3 log( x 3) 1 1
b. 3 log( x 2
2 x ) 1
1 3
1
c. log( x
2
x
2) 3 log( x 6)
1
1
5
d. log(2 x
2
1
e.
2
x 1)
5
log(3 x 2
log(2 x 2
2 x 1)
2 x 1)
1
log(2 x
2
x 1) 2
1
f. 3 log(12 x
1 2
x 1)
3
log(6 x 2
x 1)
