1 Turunan Fungsi Eksponen Dan Logaritma

TURUNAN FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

Sebelum membahas turunan fungsi eksponen dan logaritma, akan dikenalkan dulu bilangan e yang kemuan disebut sebagai bilangan Euler , yakni sebuah bilangan yang

 merupakan pendekatan dari bentuk 1  

1

n

untuk n menuju tak hingga yang ditemukan

n 

pada tahun 1683 oleh Jacob Bernoulli Pada tahun 1748, Euler memberikan memberikan ide mengenai bilangan bilangan e, yaitu :

 1 1  n 

e =

n

= 1+

1 1!

+

1 2!

+

1 3!

1

+

4!

+ ...

..... ........ ..... ..... ..... ..... ..... (1) (1)

Bentuk ini dapat juga diubah menjadi

1  1/n

e =

n

............................................................................... (2)

Dari formulasi tersebut Euler memperoleh pendekatan untuk nilai e sampai 18 digit, yaitu e = 2,718281828459045235 Suatu logaritma dengan basis e dinamakan l o g a r i t m a n a t u r a l   dan ditulis dengan ln. Sehi Sehing nga a ln x =

e

log x

Selanjutnya akan diuraikan tentang turunan dasar fungsi eksponen, yaitu turunan fungsi f(x) = e x Rumus 1 Jika Jika f(x) f(x) = e x maka maka f ’(x) ’(x) = e x Bukti Jika f(x) = e

x

e x h  e x

maka maka f’(x) f’(x) =

h exeh  ex

f’(x) =

h

1  x 1/x

Menurut bentuk (2) didapat Sehingga

ln [

1  x 1/x ] 1/x

ln 1  x  ln(1  x) x

Disusun oleh : Yudarwi

=

x

e .

(e h  1) h

........................ (3)

= e

= ln e = 1 = 1 ................. ......................... ................ ............... ................ .................. ................ .......... ... (4)

Misalkan ln(1 + x) = n maka 1 + x = e n

maka x = e n – 1

Jika x  0 maka n  0 n

Dari (4) diperoleh :

= 1 atau

en  1

x

Dari (3) diperoleh f ’(x) =

(e n  1)

e .

(e h  1) h

n

= 1

= ex . 1 = ex

Jadi Jika f(x) = e x maka f ’(x) = e x

Kemudian akan diuraikan pula turunan dasar fungsi logaritma, yaitu Rumus 2 Jika f(x) = ln x maka f’(x) =

1 x

Bukti : ln(x  h)  ln x

Jika f(x) = ln x maka f’(x) =

h xh

ln

x h

f’(x) = ln

f’(x) =

xh x h x

 ln 1  x  1

f’(x) =

Jadi jika f(x) = ln x maka f’(x) =

.x h x 

x/h

=

1 x

.

1

=

1 x

1 x

Pengembangan dari rumus diatas adalah : jika f(x) = ln g(x) maka f’(x) =

g' (x) g(x)

Dari uraian di atas, dapat diturunkan aturan turunan fungsi eksponen, yaitu : Jika y = e f(x)

maka ln y = ln e f(x) ln y = f(x) ln e

Sehingga

y' y

= f ’(x)

atau

y ’ = y . f ’(x) y ’ = f ’(x) e f(x) Disusun oleh : Yudarwi

Dengan cara yang sama didapat jika y = a f(x)

maka y ’ = a f(x) f ’(x) ln a

Jadi Rumus 3 1. Jika y = e f(x)

maka y ’ = f ’(x) e f(x)

2. jika y = a f(x)

maka y ’ = f ’(x). a f(x) ln a

Contoh Soal 2

01. Tentukanlah turunan dari f(x) = e x  4 02. Tentukanlah turunan dari f(x) = ln (x2  – 7x + 10) 03. Tentukanlah turunan dari f(x) = e 2x  5  

Disusun oleh : Yudarwi

3