fungsi alih

Mata kuliah SISTEM LINIER 

BAB 4 TOPOLOGI SISTEM 4.1. .1. Fung Fungssi Ali Alih h

Sistem dapat direpresentasikan dalam berbagai representasi. Representasi sistem kontinyu adalah sebagai berikut: 1) Pers Persam amaa aan n dIfer dIferen ensia sial. l. any(n)(t) + an-1y(n-1) (t) + ….. + a1y’(t)+ a0y(t) = b0x(t) + b1x’(t) + ….. + an-1x(n-1)(t)+ anxn(t) 2) Tanggapan impuls h(t). h(t) = y(t) | x(t)=δ x(t)=δ (t) 3) Fungsi alih sistem H(s). 1)

Persamaan keadaan. Untuk sistem diskrit:

1)

Persamaan beda. any(n)(t) + an-1y(n-1) (t) + ….. + a1y’(t)+ a0y(t) = b0x(t) + b1x’(t) + ….. + an-1x(n-1)(t)+ anxn(t)

2)

Tanggapan cuplik satuan h(n). h(n) = y(n) | x(n)=δ x(n)=δ (n)

3)

Fungsi alih sistem H(z). 4) Persamaan keadaan. Fungsi alih menghubungkan antara masukan dan keluaran sistem. Fungsi alih untuk  fungsi kontinyu biasa dinyatakan dalam s (transformasi laplace) sedangkan untuk  fungsi diskrit dalam z (transformasi z). Fungsi alih sistem = Keluaran Sistem Masukan sistem  H  ( s ) =

Y  ( s )

 H  ( z ) =

 X  ( s )

X (s)

Y  ( z )  X  ( z )

H (s)

Y (s)

Gambar 4.1 Fungsi alih sistem

4.2. Aljabar Diagram Blok 

Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta

34

Mata kuliah SISTEM LINIER 

Representasi dalam fungsi alih sistem dapat diuraikan lagi menjadi hubungan antara elemen-elemen dasar penyusunan. Hubungan tersebut disebut diagram blok. Pada  bagian ini akan dijelaskan konsep-konsep aljabar diagram blok yang berlaku dalam s maupun z.

r 

+-

e

f 

 A

y

B

c

C

x D Gambar 4.2 Fungsi alih sistem dengan masukan r keluaran c

e = r –x f = A.e = A ( r-x) y = B.f = A.B (r-x) c = C.y = A.B.C (r-x) dengan x = D.c maka, maka, c = A.B.C. (r-D.c) = A.B.C.r – A.B.C.D.c (1+ABCD)c = ABCr  c

 jadi:

=

 ABC 

r  1 +  ABCD

Untuk sistem dengan beberapa masukan (masukan dan 2 gangguan) fungsi alihnya dapat dicari sebagai berikut:

z2

z1

r 

+

e -

 A

f 

+

-

g

B

y

+ +

t

c

C

x D Gambar 4.3 Fungsi alih sistem dengan masukan m asukan dan gangguan

Dari gambar didapatkan

Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta

35

Mata kuliah SISTEM LINIER 

e=r–x f = Ae = A( r-x) g = f + z1 = A (r-x) + z1 y = Bg = AB (r – x) + B z1 t = y + z2 = AB (r-x) + Bz1 + z2 c = Ct = ABC (r-x) + BC z1 + Cz2 dengan x = Dc maka, c = ABC (r-Dc) + BCz1 = ABCr – ABCDc + BC z1 + Cz2 (1+ ABCD) c = ABCr + BC z1 + Cz2 c

 jadi:

r  c

⇒

 z 1 c

⇒

 z 2

c

(z1 = 0, z2 =0)

 z 1 c

( r =0, z1 = 0)

 ABC 

r  1 +  ABCD c

(r =0, z2 = 0)

=

 z 2

=

=

 BC  1 +  ABCD C  1 +  ABCD

Untuk mempermudah modifiikasi diagram blok sistem yang berguna untuk mencari konfigurasi yang lebih baik disajikan aturan aljabar diagram blok sebagai berikut: Digram Blok Awal

1.

 A

+

A-B B

+ +

 A-B+C  A-B+C

Diagram Blok ekuivalen  A

A+C

+ +

C

 A

+ + -

 A-B+C  A-B+C -

C

C 2.

+

B

C A-B+C A-B+C

B

Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta

 A

+

 A-B -

 A-B+C +  A-B+C +

B

36

Mata kuliah SISTEM LINIER 

3.

4.

5.

 A

 A

AG1

G1

G1

 A

AG1

G1

G2

6.

 A

AG

G

AG1G2 AG1G2

G2

G2

AG1G2 AG1G2

AG1

 AG1+AG2  AG1+AG2

+ +

 A

AG2

G2

G1

AG1G2 AG1G2

 A

AG1G2 G1G2 AG1G2

 A

AG1+AG2 G1+G2 AG1+AG2

 AG2

+

AG-B

 A

-

+

A-B/G

AG-B

G

-

B 1/G

7.

 A

+

A-B

-

G

8.

G

 A

B

B

 A

AG-BG

 AG

 A

G

AG

B

AG-BG +

-

BG

G

G

 AG

G

 AG

 AG

Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta

37

Mata kuliah SISTEM LINIER 

 A

9.

AG

G

 A

AG

G

 A

 A-B  A

10.

+

 A

1/G

 A-B

+

-

B -

 A-B

 A

+

 A-B -

B B

11.

 A

G1

AG1

+ +

 AG1+AG2  AG1+AG2

 A

AG1

G1

G2  AG2

12.

 A +

-

G1 G2

G1

B

 A

1 G2

+

-

+ +

 AG1+AG2  AG1+AG2

 AG2

G2

B

G3

G2

 A 13.

+

-

G1

B

G1 1+G1G2

 A

B

G2

Contoh soal 4.1: Sederhanakan diagram blok berikut: H2

1.

R

+-

++

G1

+

-

G2

G3

C

H1

Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta

38

Mata kuliah SISTEM LINIER 

Penyelesaian:

Diagram blok 1 tersebut dengan mengakses titik umpan balik bagian atas ke depan maka didapatkan diagram blok 2 berikut ini:

H2 G1 2.

R

+

+

-

-

+ +

G1

G2

G3

C

H1

H2 G1 4.

R

+

+

-

R 5.

6.

G1G2 1-G1G2H1

G3

G1G2G3 1-G1G2H1+G2G3H2

+-

R

-

G1G2G3 1-G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3

C

C

C

4.3. Penerapan Aljabar Diagram Dalam Pemodelan Pemodelan Sistem

Dalam aplikasi sering suatu sistem fisis dimodelkan dalam bentuk matematis untuk  dapat dapat dianal dianalisa isa dan diranc dirancang ang dengan dengan lebih lebih mudah mudah.. Beirik Beirikut ut akan akan dibaha dibahass sistem sistem  permukaan zat cair 

Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta

39

Mata kuliah SISTEM LINIER 

Katup pengontrol Q + qi Katup beban H+h Kapasitas C Q qi

Q + qo

Resistansi R

3 = laju aliran zat cair  m / sec

3 = penyimpangan kecil laju aliran masuk  m / sec

3 q0 = penyimpangan kecil laju aliran keluar  keluar  m / sec

H = Tinggi permukaan zat cair

m

h = perubahan permukaan zat cair

m

a) Resistansi Perubahan Perbedaan Permukaan Perubahan laju Aliran

R=

(m)

 b) Kapasitansi C=

Perubahan Cairan Yang Disimpan Perubahan Potensial

m

Untuk aliran Laminar, Q=KH 3 Dengan, K = koefisien , m / sec

Resistansi untuk aliran Laminar,  R =

dh  H  = dq Q

Untuk aliran Turbulens, Q = K   H  Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta

40

Mata kuliah SISTEM LINIER 

Resistansi: dH 

 R t =

dQ  K 

dQ = dH  dQ

2  H 

=

dH 

2  H   K  2  H   H 

=

Q

=

2 H  Q

 jadi, 2 H 

 R t =

Q

Mencari Fungsi alih Sistem C

dh

= qi – qo

dt 

(1)

dan,

qo =

h

(2)

 R

substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), RC

dh dt 

+ h = R qi

Dengan laplace transform dihasilkan: CR (s +1 ) H(s) = R Qi (s) Jika qi dianggap sebagai masukan dan h sebagai keluaran maka:  N ( s )

=

 R

Qi ( s )  RC  s + 1 apabila qo adalah keluaran dan Q0 ( s )

=

qi adalah masukan, maka:

1

Qi ( s )  RC  s + 1 Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta

41

Mata kuliah SISTEM LINIER 

Untuk Untuk memaham memahamii pentin pentingny gnyaa pemaham pemahaman an tentan tentang g diagra diagram m blok blok sistem, sistem, maka maka disajikan sebuah contoh untuk mendapat model sistem permukaan cairan dengan interaksi:

Q+q Tangki 1

Tangki 2

R1

H1 + h1

C1

H2 + h2

Q + q1

R2 Q + q2

C2

dari gambar diatas di dapatkan: h1

h2

−

 Rs C 1

dh1

h2  R2

C 2

=

dt 

=

=

 R1

 H 2 ( s )

q1 − q2

 H 2

−

Q1

=

 sC 1  H 1 ( s ) = Q ( s ) − Q1 ( s )

⇒

⇒

dt 

 H 1

⇒



q − q1

q2 

d h2



q1

=

 R2  ⇒

Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta

=

Q2 ( s )

 s C 2  H 2 ( s ) = Q1 ( s) − Q2 ( s )

(1)

(2)

(3)

(4)

42

Mata kuliah SISTEM LINIER 

H1(s) +

Q1(s)

1 R1

H2(s)

Q(s)

H1(s)

1 C1S

+Q1(s) H2(s)

Q1(s)

Q2(s)

1 R2

+

1 C2S

-

H2(s)

Q2(s)

 jika q adalah masukan dan

q2

adalah keluaran, keluaran, maka didapatkan didapatkan bagan sebagai

 berikut:

H2(s) Q(s)

+

1 H1(s) + C1S

Q1(s)

1 R1

Q1(s) +

1 C2S H2(s)

-

1 R2

Q2(s)

Q2(s)

dengan penyederhanaan R2C1S

Q1(s)

+

-

+

-

1 C1S

Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta

1 R1

Q1(s)

+

-

1 C2S

1 R2

Q2(s)

43

Mata kuliah SISTEM LINIER 

Q(s )

+

1 R1C 1s+1

-

1 R 2C2s+1

Q 2 (s)

R 2C 1s

Q(s)

1 R 1C1R 2C2s + ( R 1C 1 + R 2C 2 + R 2C 1) s+1 2

Q2 (s)

 jadi, Q2 ( s ) Q ( s )

=

1

 R1C 1 R2 C 2 s 2 +( R1C 1 + R2 C 2 + R2 C 1 ) s +1

Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta

44