Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub
Persamaan Parametrik
Kurva-kurva yang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan p ersamaan ini, setiap titik-titik pada kurva k urva x dan y merupakan fungsi dari d ari t. Variabel t dinamakan parameter. Secara singkat ditulis: x = x (t) y = y (t) Membuat Sketsa Kurva Kurva Persamaan Persamaan parametrik 2
1. Gambarlah kurva persamaan parametrik: x = t, y = t
untuk -4 -4 ≤ t ≤ 4
Jawab a. Pertama-tama kita buat tabel yang terdiri terdiri dari kolom t, x dan y. Kemudian plot nilai-nilai x terhadap y, untuk mempermudah dapat menggunakan perangkat lunak. Tabel t, x dan y
Kurva antara x dan y
t
x=t
y=t
-4
-4
16
-3
-3
9
-2
-2
4
-1
-1
1
0
0
0
1
1
1
2
2
4
3
3
9
4
4
16
Kurva yang dihasilkan berupa parabola.
2. Gambarlah kurva persamaan parametrik : x = 2cos t dan y = 2 sin t untuk 0 ≤ t ≤ 2 Pertama-tama kita buat tabel yang terdiri dari kolom t, x dan y. Hasilnya ditunjukkkan pada tabel dibawah ini
1
Tabel nilai t, x dan y t
x
y
t
x
y
0.00
3.0000
0.0000
3.36
-2.9287
-0.6500
0.12
2.9784
0.3591
3.48
-2.8299
-0.9960
0.24
2.9140
0.7131
3.60
-2.6903
-1.3276
0.36
2.8077
1.0568
3.72
-2.5120
-1.6401
0.48
2.6610
1.3853
3.84
-2.2976
-1.9290
0.60
2.4760
1.6939
3.96
-2.0502
-2.1902
0.72
2.2554
1.9782
4.08
-1.7732
-2.4199
0.84
2.0024
2.2339
4.20
-1.4708
-2.6147
0.96
1.7206
2.4576
4.32
-1.1472
-2.7720
1.08
1.4140
2.6459
4.44
-0.8071
-2.8894
1.20
1.0871
2.7961
4.56
-0.4554
-2.9652
1.32
0.7445
2.9061
4.68
-0.0971
-2.9984
1.44
0.3913
2.9744
4.80
0.2625
-2.9885
1.56
0.0324
2.9998
4.92
0.6184
-2.9356
1.68
-0.3270
2.9821
5.04
0.9653
-2.8404
1.80
-0.6816
2.9215
5.16
1.2984
-2.7045
1.92
-1.0264
2.8189
5.28
1.6129
-2.5296
2.04
-1.3565
2.6758
5.40
1.9041
-2.3183
2.16
-1.6671
2.4942
5.52
2.1679
-2.0737
2.28
-1.9537
2.2766
5.64
2.4006
-1.7992
2.40
-2.2122
2.0264
5.76
2.5987
-1.4989
2.52
-2.4389
1.7470
5.88
2.7594
-1.1771
2.64
-2.6305
1.4425
6.00
2.8805
-0.8382
2.76
-2.7842
1.1172
6.12
2.9601
-0.4874
2.88
-2.8979
0.7759
6.24
2.9972
-0.1295
3.00
-2.9700
0.4234
6.28
3.0000
-0.0096
3.12
-2.9993
0.0648
6.28
3.0000
0.0024
3.24
-2.9855
-0.2947
2
Dalam menyajikan data-data nilai t, buatlah selisih antara nilai t cukup kecil supaya diperoleh kurva yang smooth. Makin kecil, kurva makin smooth.
Kurva yang dihasilkan
Kurva yang dihasilkan berbentuk lingkaran. 3. Gambarlah kurva persamaan parametrik : x = cos t dan y = 2 sin 2t 2t untuk 0 ≤ t ≤ 2 t
x
y
t
x
y
0.00
0.000000
0.000000
3.60
-0.44252
0.793668
0.20
0.198669
0.389418
3.80
-0.61186
0.96792
0.40
0.389418
0.717356
4.00
-0.7568
0.989358
0.60
0.564642
0.932039
4.20
-0.87158
0.854599
0.80
0.717356
0.999574
4.40
-0.9516
0.584917
1.00
0.841471
0.909297
4.60
-0.99369
0.22289
1.20
0.932039
0.675463
4.80
-0.99616
-0.17433
1.40
0.98545
0.334988
5.00
-0.95892
-0.54402
1.60
0.999574
-0.05837
5.20
-0.88345
-0.82783
1.80
0.973848
-0.44252
5.40
-0.77276
-0.98094
2.00
0.909297
-0.7568
5.60
-0.63127
-0.97918
2.20
0.808496
-0.9516
5.80
-0.4646
-0.82283
2.40
0.675463
-0.99616
6.00
-0.27942
-0.53657
2.60
0.515501
-0.88345
6.20
-0.08309
-0.1656
2.80
0.334988
-0.63127
6.40
0.116549
0.23151
3.00
0.14112
-0.27942
3.20
-0.05837
0.116549
3.40
-0.25554
0.494113 3
Kurva yang dihasilkan:
y 1.5 1.0 0.5
X
0.0 -1.5
- 1 .0
- 0 .5
-0.5
0.0
0 .5
1.0
1 .5
-1.0 -1.5
Mengubah Persamaan Parametrik Menjadi Persamaan Kartesian
1. Ubahlah persamaan parametrik ke dalam bentuk kartesian 2
a. x = t - 1, y = t
b. x = 2cos t dan y = 2 sin t Jawab 1. a. persamaan parametrik : x = t – t – 1 1 2
y=t
t=x+1
y = (x + 1) = x + 2x + 1
2
2
2
persamaan kartesian :
y = x + 2x + 1
Ini adalah persamaan kuadrat, kurvanya berupa parabola b. persamaan parametrik : x = 2cos t dan y = 2 sin t
cos t
x
sin t
2
y
2
2 2
persamaan identitas: sin t + cos t = 1 2
2
y x 1 2 2 x
2
y
2
4
Ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 2
4
Mengubah Persamaan Kartesian Menjadi Persamaan Parametrik
1. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian xy = 9 Jawab Misal x 3t
xy 9 3ty 9 y
3 t
Jadi persamaan parametrik: x 3t , y
3 t
Catatan: bisa saja satu bentuk persamaan kartesian k artesian memiliki bentuk parametrik lebih dari satu. Coba pikirkan, kenapa?
2. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian y 6 x 1 x
2
Jawab Misal x = sin 2
y 6 si sin 1 si sin
y 6sin 6sin cos y 3sin2 Jadi persamaan parametrik: x = sin, y = 3sin2 Atau Misal x = cos 2
y 6 co cos 1 co c os
y 6cos 6cos sin y 3sin2 Jadi persamaan parametrik: x = cos, y = 3sin2 3. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian 9 x 5
2
16 y 2
144!
Jawab:
9 x 2 16 y 2 x
2
16 x
y
2
9
1 Bandingkan dengan cos2 + sin2 = 1
2
cos2
x 4cos
sin 2
16 y
2
9
144
y 3sin
Jadi persamaan parametrik: x = 4cos, y = 3sin Latihan
1. Gambarkan sketsa grafik persamaan parametrik berikut ini a. x = 2t, y = t + 4, -2 ≤ t ≤ 3 2
b. x = 3t – 3t – 1, 1, y = 3t + 2, -4 -4 ≤ t ≤ 4 2
c. x = 3t, y = t -3 untuk-3 ≤ t ≤ 3 2
3
d. x = 3t , y = t untuk-3 ≤ t ≤ 3 e. x t 4 , y 2
f. x t
3
1
3 2 t
, untuk-3 ≤ t ≤ 3
2t 4 , y t 1 , untuk-2 ≤ t ≤ 2
1 2 g. x t , y , untuk-3 ≤ t ≤ 3 t h. x 4sin , y 4cos , untuk 0 ≤ ≤ 2 i. x 5cos , y 3sin , untuk 0 ≤ ≤ 2 j. x sec , y tan , untuk-3 ≤ ≤ 3 2
k. x = cost - 2cos t,
y = sint - 2cost sint, untuk -0 ≤ t ≤ 2
l. Persamaan Lemniscate Bernoulli
6
Untuk 0 Untuk 0 ≤ t ≤ 2 m. x = 31cost - 7cos 31/7t, y = 17sin t – t – 7sin31/7t, 7sin31/7t, untuk 0 ≤ t ≤ 14 n. x = 17cost + 7cos17/7t, y = 17sin t – t – 7sin17/7t, 7sin17/7t, untuk 0 ≤ t ≤ 14 o. x = cost + 1/2cos7t 1 /2cos7t + 1/3sin17t, y = sin t + 1/2 sin 7t + 1/3cos17t, untuk 0 ≤ t ≤ 2
2. Tentukanlah bentuk kartesian dari persamaan parametrik parametrik berikut ini a. x = t + 4, y = 1-2t 2
b. x = t + 1, y = t - 2
3
c. x
t ,
y 4t
2
d. x = t , y = t
3
2
3
e. x = t -1, y = t + 2 2 f. x = t , y
g. x
2 t
1 t
1 t y , t t
h. x = 3cos, y = 4sin i. x = sin, y = cos2 j. x = 3cos, y = 5cos2 k. x = 3sec, y = 3tan l. x
1 t
2 t y 1 t , 1 t
3. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian berikut ini a. y x 4 x
2
, misal x= 2cos 7
b. y
c. y
x 1 x
2
2
3 1 x2 x
, gunakan 1 + tan2 = sec
, gunakan x = sin atau x = 1/t
4., Sederhanakan x
2
y
2
6x 4 y 12 0 kedalam bentuk ( x )2 ( y )2
1 kemudian
ubah kedalam bentuk persamaan parametrik 5. Sederhanakan 9 x
2
4y
2
18x 16 y 43 0 kedalam bentuk
( x ) 2 a2
( y ) 2 b2
1
kemudian ubah kedalam bentuk persamaan parametrik 6. Dengan mensubtitusi y = tx, tunjukkan bahwa persamaan kartesian x dikonversi menjadi persamaan parametrik x
3t 1 t ,
y
3
y
3
3 xy dapat
3t 2 1 t 3
7. Ambil contoh kasus gerak parabola seperti di ilustrasikan, gerak ini dapat diuraikan menjadi dua komponen yaitu dalam arah x/horizontal dan dalam arah y/vertikal. y vo x
Berdasarkan konsep-konsep fisika, tentukan persamaan parametrik untuk menentukankedudukan x dan y.
8
SISTIM KOORDINAT KUTUB
Dalam bagian ini, kita akan mempelajari koordinat kutub dan hubungannya dengan koordinat kartesian. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif suatu titik terhadap sumbu polar dan titik kutub O (0,0). Titik pada koordinat kutub dinyatakan jari-jari dan sudut.
Koordinat kutub :
P (r, )
P (r, ) r r : jarak dari O ke P (arah dari dari O menuju P)
O
x
: sudut antara sumbu x dan garis OP
Dalam sistim koordinat polar titik asal O dinamakan kutub (pole) dan sumbu x dinamakan sumbu kutub (polar axis).
Setiap titik pada koordinat kartesius diperoleh dari perpotongan antara x dan y, sedangkan titik pada koordinat polar merupakan titik potong antara jari-jari lingkaran yang berpusat pada titik kutub dan garis arah sudut.
Sistim Koordinat Kartesian
Sistim Koordinat Kutub
9
Koordinat Kutub
Sekarang kita belajar menyatakan posisi suatu titik dalam koordinat polar. Perhatikanlah beberapa contoh titik-titik dibawah ini y
3 B 3/4 C
D
/4
2
A
1 -3
x
-2
-1
2
1
3
-1
E
-2 5/4
F 7/4
-3 Dalam gambar diatas ada dua lingkaran yang kecil berjari-jari 2 dan yang besar berjari-jari 3. Dan juga terdapat dua garis lurus yang menunjukkan sudut diukur dari sumbu polar. Titik A terdapat pada lingkaran kecil (r=2) dengan sudut /4 sehingga dapat dinyatakan A (2, /4) Titik B terdapat pada lingkaran besar (r=3) dengan sudut /2 sehingga dapat dinyatakan B (3, /2). Coba lanjutkan untuk titik C, D, E dan F sebagai latihan.
Konversi koordinat kutub ke koordinat kartesius
y Kartesius ke Kutub P (r, )
y
2
r
O x
2
2
r = x + y
x
10
-1
= tan (y/x)
Kutub ke Kartesius x = r cos y = r sin
Contoh: 1. Ubahlah titik-titik dibawah ini ke bentuk kutub a. (-3,-4) b. (5,- 7) 2. Ubahlah titik-titik dibawah ini ke bentuk kartesius a. (2, 1/3) b. (-3, 4/3) Jawab a. Dari titik (-3, -4) diperoleh x = -3 dan y = -4 2
2
2
r = x + y 2
2
= (-3) + (-4) = 25 r=5
-1
o
= tan (4/3) = 233
o
Kartesius: (-3, -4), kutub: (5, 233 )
b. Dari titik (5, -7) diperoleh x = -3 dan y = -4 2
2
2
r = x + y 2
= (5) + (-7)
2
= 25+ 49 = 71 r =
71 -1
Kartesius:
2.
o
= tan (-7/5) = 305,54
o
(5, -7), kutub: ( 71 , 305,54 )
a. Dari titik (2, 1/3) diperoleh r = 2 dan = 1/3 x = r cos = 2 cos1/3 = 2 1/2 =1 11
y = r sin = 2 sin1/3 = 2 1/2 =
3
3
Kutub
3)
(2, 1/3), kartesius: (1,
b. Dari titik (-3, 4/3) diperoleh r = -2 dan
= 4/3
x = r cos = -3 cos 4/3 = -3 (-1/2) = 3/2 y = r sin = 2 sin 4/3 = -3 (-1/2 3 ) = 3/2 3 Kutub
(-3, 4/3), kartesius: (3/2, 3/2 3 )
Dalam sistim koordinat kartesius, setiap titik dinyatakan oleh x dan y secara spesifik artinya titik berbeda, maka x dan y nya pun berbeda. Lain halnya dalam sistim koordinat kutub karena r punya arah dan nilai
punya acuan arah putar dan bersifat periodik sebesar 2 maka untuk titik
yang sama dapat dinyatkan oleh r dan
yang berbeda-beda dengan jumlah representasi tak
berhingga. y
Perhatikanlah contoh berikut
A
2 1 -3
-2
-1
1 -1 -2
12
/4
2
x 3
Dalam sistim kartesius: A (2, 2) Dalam sistim kutub: A (2 2 , /4), A (2 2 , /4 + 2), A (2 2 , /4 + 4),… A (2 2 , /4 + 2n) Boleh juga A (2 2 , -7/4), A (2 2 , -7/4+2), A (2 2 , -7/4+4), …A (2 2 , -7/4+ 2n) Boleh juga A (-2 2 , 5/4), A (-2 2 , 5/4+2), A (-2 2 , 5/4+4), … A (-2 (-2 2 , 5/4+ n2) Dengan n = 1, 2, 3,…
Mengkonversi persamaan kartesian ke kutub
1. Ubahlah persamaan berikut ke kutub y = 3x- 8 jawab ingat: x = r cos dan y = r sin y = 3x- 8 r sin = 3r cos - 8 r sin - 3r cos = - 8 r (sin - 3 cos) = - 8 r
8 3 co cos sin
2. Ubahlah persamaan berikut ke kutub 2
2
x + (y - 3) = 9 jawab 2
2
x + (y - 3) = 9 2
2
2
2
x + y - 6y + 9 = 9 x + y - 6y = 0 2
r – 6 – 6 r sin = 0
13
r(r - 6 sin ) = 0 r - 6 sin = 0 r = 6 sin
Mengkonversi persamaan kutub ke kartesian
3. Ubahlah persamaan berikut ke kartesian r cos = -4 jawab r cos = -4 x = -4
4. Ubahlah persamaan berikut ke kartesian 2
r = 4r cos Jawab 2
r = 4r cos 2
2
x + y = 4x 2
2
x -4x + y = 0 2
2
x -4x + 4 + y = 4 2
2
(x - 2) + y = 4
14
Membuat grafik pada sistim koordinat kutub
Buatlah grafik himpunan titik-titik koordinat polar dengan s yarat-syarat berikut: a. r = 2 b. -2 ≤ r ≤ 3 c. r ≤ 0, = 1/4 d. 1/4 ≤
≤ 1/6
Jawab Solusinya ditunjukkan pada gambar dibawah ini y
y
a.
b.
-3
-2
-3
2
2
1
1 x
-1
1
2
-3
3
-2
x -1
1
-1
-1
-2
-2
2
3
-3 y
y c.
d. 2
/4
2
/4
/6
1
1 -3
-2
x -1
1
2
-3
3
-2
x -1
1
-1
-1
-2
-2
2
Latihan 1. Manakah titik-titik koordinat polar berikut ini yang menunjukkan titik yang sama 15
3
a. (3, 0) b. (-3, 0) c. (2, 2/3) d. (2, 7/3) e. (-3,) f. (2, /3) g. (-3, 2) h. (-2, -/3)
2. Plot titik-titik koordinat polar berikut ini a. (1, /6) b. (-1, /6) c. (2, /6) d. (3, /6) e. (2, /4) f. (2, -/4) g. (3, 5/6) h. (-3, 10/4)
3. Konversi koordinat kartesius dibawah ini menjadi koordinat polar a. (3, 4) b. (-2,
3)
c. (1, -2) d. (10, - 2 ) e. (-5, 7) f. (-6, -4 3 ) g. (-8, 6) h. (12, -5) 4. Konversi koordinat polar dibawah ini menjadi koo rdinat kartesius a. ( 2 , /4) 16
b. (0, /2) c. (-3, 2/3) d. (- 7 , 5/6) e. ( 2 3 , -/4) f. ( 2 , /4) g. (0, /2) h. (-3, 2/3)
5. Buatlah grafik dari himpunan titik-titik koordinat polar yang memenuhi s yarat berikut ini a. r = 4 b. = 2/3, r ≤ -2 c. = /3, -1 -1 ≤ r ≤ 3 d. r = 2, 0 ≤
≤
e. 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ f. -3 -3 ≤ r ≤ 2, g. r ≤ 0,
≤ /2
= /4
= /4
h. 2/3 ≤ r ≤ 5/6
6. Konversi persamaan polar berikut ini menjadi persamaan kartesius a. r cos = 4 b. r sin = -5 c. r cos + r sin = 1 d. r = cot csc e. r = 2cos + 2 sin 2
2
f. r + r cos sin = 1 2
g. r sin 2 = 2 h. r = 2cos - sin
7. Konversi persamaan kartesius berikut ini menjadi persamaan polar
17
a. x = 7 b. x - y = 3 c. y = 5 d. x y= 2 2
2
e. x + y = 5 2
2
f. x - y = 1 2
2
g. x + xy + y = 1
18
