1
Kajian Teori Regresi Parametrik Normal dan Regresi Non Parametrik Parametrik
(Theory Presentation of Normal Parametric Regression and Nonparametric Regression)
Yulia, S1, IM Tirta2 dan Rita Ratih T 2 1
Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember
2
Staf Pengajar Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember
ABSTRACT
Key Words : Parametric Regression, Nonparametric Regression, Method of Least Squares, Method of Theil.
ABSTRAK
In this paper, observation of the analysis normal parametric regression by least square method and non parametric regression by Theil method.
Tulisan ini mempelajari atau mengkaji analisis regresi parametrik dengan menggunakan metode kuadarat terkecil dan Regresi Non parametrik dengan menggunakan metode Theil. Hasil kajian teoritis diilustrasikan dengan menggunakan data simulasi. Hasil analisis menunjukkan bahwa untuk data yang diketahui bentuk distribusinya, uji parametrik dengan menggunakan metode kudarta terkecil memberikan hasil yang sedikit lebih baik daripada uji non parametrik dengan metode theil.
Kata Kunci : Regresi Parametrik, Regresi Non Parametrik, Metode Kuadrat Terkecil, Metode Theil. PENDAHULUAN
Analisa regresi merupakan salah satu teknik statistik yang digunakan secara luas dalam ilmu pengetahuan terapan. Regresi di samping digunakan untuk
14
2
mengetahui bentuk hubungan antar peubah regresi, juga dapat dipergunakan untuk maksud-maksud peramalan. Dengan menggunakan n pengamatan pengamat an untuk suatu model linier sederhana: Y i
= β 0 + β 1 X i + ε i
(1)
dengan Y i adalah peubah tidak bebas X i adalah peubah bebas dengan i
= 1,2,..., n
β 0 dan β 1 adalah parameter-parameter yang tidak diketahui diberlakukan asumsi-asumsi model ideal tertentu terhadap galat ε yaitu bahwa 2
galat menyebar NID (0 ,σ ). Dengan pemenuhan terhadap asumsi kenormalan dapat digunakan regresi parametrik untuk mengetahui bentuk hubungan antar peubah regresi regres i pada data contoh yang diamati. diamat i. Dalam praktek, penyimpangan terhadap asumsi-asumsi itu sering terjadi dan terkadang peubah acak yang diamati tidak dapat dianggap menyebar normal. Dari segi statistika persoalan tersebut harus dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik statistika. Dalam statistika parametrik, teknik-teknik yang digunakan berhubungan dengan pendugaan parameter serta pengujian hipotesis yang
berhubungan
dengan
parameter-parameternya.
Asumsi-asumsi
yang
digunakan pada umumnya menspesifikasikan bentuk sebarannya. Salah satu analisis alternatif lain yang dapat digunakan adalah dengan regresi nonparametrik karena dalam regresi nonparametrik tidak diperlukan pemenuhan asumsi kenormalan. Tujuan dari artikel ini adalah untuk mengkaji mengkaji regresi parametrik dan mengkaji regresi non parametrik serta memeriksa memeriksa ketepatan model regresi parametrik parametrik dan regresi non parametrik dilihat dari kedekatan nilai estimasi parameter dengan nilai parameter yang ditentukan dan dilihat dari nilai galatnya.
14
3
TINJAUAN PUSTAKA Regresi Parametrik Metode Kuadrat Terkecil
Persamaan (1) merupakan model linier sederhana dengan satu peubah bebas
dan
satu
peubah
respon
dan
untuk
memperkirakan
parameter-
parameter β 0 dan β 1 dapat digunakan Metode Kuadrat Terkecil sedemikian rupa sehingga jumlah kuadrat kesalahan memiliki nilai terkecil. Hines dan Montgomery (1990) menjelaskan bahwa jumlah kuadrat kesalahan pada pengamatan-pengamatan pengamatan-pe ngamatan garis regresi regr esi sebenarnya adalah : n
n
= ∑ ε = ∑ (Y i − β 0 − β 1 X i ) 2 2 i
S
i =1
(2)
i =1
sehingga fungsi kuadrat terkecilny t erkecilnyaa adalah: n
2 S = ∑ [Y i − β 0 '− β 1 ( X i − X ) ]
(3)
i =1
ˆ dan β harus memenuhi : Estimator β 0 dan β 1 yang dinotasikan dengan β 0 1 n ∂S = −2∑ [Y i − β ˆ 0 '− β ˆ1 ( X i − X ) ] = 0 ∂β 0 ' i =1 n ∂S = −2∑ [Y i − β ˆ 0 '− β ˆ1 ( X i − X ) ]( X i − X ) = 0 ∂β 1 i =1
Penyelesaian untuk persamaan normal tersebut adalah : ˆ '= β 0
1 n
n
∑ Y = Y
(4)
i
i =1
n
∑ Y ( X − X ) i
ˆ β
1
=
i
i =1 n
∑ ( X − X )
(5) 2
i
i =1
ˆ' β 0
dan
β ˆ1 adalah estimator untuk intercept (titik potong) dan slope
(kemiringan). Estimator model regresi linier sederhana adalah : ˆ '+ β ˆ ( X − X ) ˆ = β Y 0 1
(6)
14
4
untuk menyajikan hasil-hasil dalam susunan intercept yang asli β 0 maka ˆ = β ˆ '− β ˆ X sehingga perkiraaan yang cocok untuk model regresi adalah : β 0 0 1 ˆ ˆ = β Y 0
+ β ˆ1 X
(7)
Secara notasi persamaan (5) dapat ditulis dalam bentuk lain dengan memberi simbol khusus untuk pembilang dan penyebutnya yaitu : n
i =1
n
= ∑ ( X i − X ) 2 = ∑ X i2 −
S XX
S XY
n
( ∑ X i ) 2 i =1
( 8)
n
n
i =1
i =1
n
n
( ∑ X i )(∑ Y i )
i =1
i =1
n
= ∑ Y i ( X i − X ) = ∑ X i Y i −
(9)
dengan S XX adalah koreksi atau perbaikan jumlah kuadrat X dan S XY perbaikan jumlah silang produk X X dan Y , sehingga estimator slope adalah : S XY
ˆ = β 1
(10)
S XX
Selain estimator β 0 dan β 1 , menurut Montgomery dan Peck (1991) estimasi σ 2 juga dibutuhkan dalam uji hipotesis dan pembentukan estimasi interval yang berhubungan dengan model regresi. Estimasi σ 2 dapat diperoleh dari residual atau jumlah kuadrat galat yaitu : n
SS E
n
= ∑ ε i = ∑ (Y i − Y ˆi ) 2 2
i =1
Bentuk ˆ Y i
(11)
i =1
tetap
untuk
SS E didapatkan
dengan
mensubstitusikan
= β ˆ 0 ' + β ˆ1 ( X i − X ) kedalam persamaan (11) dan dengan penyederhanaan akan
menghasilkan : SS E =
n
∑ Y
2
i
− nY 2 − β ˆ1 S XY
(12)
i =1
n
namun
∑ Y
2
i
i =1
n
− nY = ∑ (Y i − Y ) 2 ≡ S YY 2
i =1
S YY adalah koreksi atau perbaikan jumlah kuadrat dari pengamatan, sehingga :
ˆS SS E = S YY − β 1 XY
(13)
14
5
Jumlah kuadrat residual mempunyai derajat kebebasan n-2 karena dua ˆ dan β ˆ yang terlibat dalam derajat kebebasan adalah gabungan dari estimasi β 0 1 pembentukan
ˆ. Y i
Nilai
ekspektasi
jadi estimator tak bias dari σ 2 ˆ2 = σ
SS E n−2
SS E adalah
dari
E (SS E ) = ( n − 2)σ 2 ,
untuk regresi parametrik
adalah :
= MS E
(14)
Metode Maksimum Likelihood
Berdasarkan data ( X i , Y i ) , i
= 1,2,..., n diasumsikan bahwa galat ε dalam
model regresi berdistribusi NID(0, σ 2 ) dan pengamatan-pengamatan Y i dalam percobaan berdistribusi normal dan independen dengan mean β 0
+ β 1 X i dan
varians σ 2 . Fungsi likelihood dibentuk dari gabungan distribusi pengamatan. Untuk model regresi linier sederhana dengan galat normal fungsi likelihoodnya adalah : L( X i , Y i , β 0 , β 1 , σ ) = 2
n
∏ (2πσ ) 2
− 12
i =1
= (2πσ ) 2
−n 2
1 ( − β − β )2 Y i 0 1 X i 2 σ 2
exp−
1 n 2 β β − − Y X exp − ( ) i i ∑ 0 1 2 2σ i =1
(15)
Estimator maksimum likelihood untuk parameter-parameter β 0 , β 1 dan ˆ , β ˆ dan σ ˆ 2 diperoleh dengan memaksimumkan L σ 2 dinotasikan dengan β 0 1 sehingga: ln L( X i , Y i , β 0 , β 1 , σ ) = −(2n )ln 2π − (2n )ln σ 2
2
− (2σ 1
ˆ , β ˆ dan σ ˆ 2 harus memenuhi : dan estimator β 0 1
∂ ln L 1 n = 2 ∑ (Y i − β ˆ 0 − β ˆ1 X i ) = 0 ∂β 0 σ ˆ i =1 ∂ ln L 1 = 2 ∂β 1 σ ˆ
n
∑ (Y − β ˆ i
0
− β ˆ1 X i ) X i = 0
i =1
14
n
2
)∑ (Y − β i
i =1
0
− β 1 X i ) 2
(16)
6
1 ∂ ln L n =− 2 + 4 2 ˆ ˆ 2σ 2σ ∂σ
n
∑ (Y − β ˆ i
0
− β ˆ1 X i ) 2 = 0
i =1
penyelesaian penyelesaian dari persamaan tersebut adalah : ˆ = Y − β ˆ X β 0 1
(17)
n
∑ Y ( X − X ) i
ˆ β
1
=
i
i =1 n
∑ ( X − X )
(18) 2
i
i =1 n
∑ (Y − β ˆ i
ˆ2 = σ
0
− β ˆ1 X i ) 2
i =1
(19)
n
ˆ , β ˆ dan σ ˆ 2 merupakan estimator maksimum likelihood untuk parameterβ 0 1 parameter β 0 , β 1 dan σ 2 (Montgomery dan Peck, 1991).
Pengujian Hipotesis dalam Regresi Linier Sederhana
Pengujian hipotesis dalam regresi linier sederhana adalah pengujian hipotesis terhadap intercept ( β 0 ) dan kemiringan ( β 1 ). Yitnosumarto (1985) menjelaskan bahwa pengujian hipotesis secara statistik hanya dapat dilakukan apabila asumsi-asumsi yang diperlukan terpenuhi. Asumsi-asumsi yang d imaksud berdasarkan persamaan (1) adalah : 1. ε i merupakan peubah acak dengan mean nol dan varian σ 2 atau E (ε i ) = 0 dan 2 V (ε i ) = σ ;
2. ε i dan ε j dengan i
≠ j tidak berkorelasi sehingga Cov(ε i , ε j ) = 0,
i
≠ j ;
3. ε i tersebar secara normal atau ε i ∼NID(0, σ 2 ). Jika pada percobaan akan dilakukan pengujian terhadap β 1 yang sama dengan sebuah konstanta misalkan β 1( 0 ) maka pada umumnya hipotesis tersebut dirumuskan sebagai berikut : H 0 : β 1
= β 1( 0) H 1 : β 1 ≠ β 1( 0)
Statistik uji yang digunakan pada pengujian hipotesis ini adalah :
14
7
t 0
=
ˆ − β β 1 1( 0 ) MS E
(20)
S XX
Kaidah pengambilan keputusan untuk pengujian hipotesis ini adalah sebagai berikut: H o ditolak jika t 0 dengan menggunakan nilai
> t
α
2,
n −2
.Nilai t α α 2 ,n − 2 dapat diperoleh dari tabel t
α dan derajat kebebasan ( n-2) (Hines dan
Montgomery, 1990). Dengan cara yang sama dapat digunakan untuk menguji intercept β 0 , dan hipotesisnya adalah sebagai sebagai berikut : H 0 : β 0
= β 00
H 1 : β 0
≠ β 00
Statistik ujinya adalah : t 0
ˆ − β β 0 00
=
(21)
1 X + n S xx 2
MS E
dan kaidah pengambilan keputusannya sama dengan pengujian hipotesis pada β 1 .
Interval Kepercayaan dalam Regresi Linier Sederhana
Interval kepercayaan dapat digunakan sebagai taksiran suatu parameter dan dapat pula dipandang sebagai pengujian hipotesis yaitu apakah suatu parameter yang dalam hal ini adalah β 1 dan β 0 sama dengan suatu nilai tertentu. Asumsi-asumsi yang digunakan dalam interval kepercayaan masih sama dengan asumsi yang digunakan pada pengujian hipotesis yaitu jika ε i berdistribusi normal dan bebas maka
ˆ ( β 1
− β 1( 0) )
MS E / S XX
ˆ ( β 0
dan
− β 00 )
[
1 E n
MS
+
X 2 S XX
]
keduanya berdistribusi t
dengan derajat kebebasan ( n-2). Interval kepercayaan (1- α ) 100% untuk parameter β 1 adalah: ˆ − t α β 1 , n− 2 2
MS E S XX
≤ β 1 ≤ β ˆ1 + t
α
n 2, − 2
MS E S XX
Sedangkan interval kepercayaan (1- α ) 100% untuk parameter parameter β 0 adalah :
14
(22)
8
ˆ − t α MS E [1n + xs β 0 , n− 2
] ≤ β
2
0
xx
2
≤ β ˆ 0 + t
α
2,
n− 2
MS E
[
1 n
+ xs
2
xx
]
(23)
(Hines dan Montgomery,1990). Montgomery,1990). Menurut Montgomery dan Peck (1991) standar error dari slope β 1 dirumuskan dengan : ˆ ) = MS E se( β 1 S XX ˆ adalah : dan standar error untuk intercept β 0 ˆ ) = MS se( β E 0
(
1 n
+ X S
2
XX
)
sedangkan standar standar error estimasi estimasi dapat dihitung dihitung dari dar i persamaan : 2
n
∑ (ε )
n
i
se =
i =1
n−2
=
∑(
2
ˆ Y − β i
0
− β ˆ X 1
i
)
i =1
(24)
n−2
Regresi Non Parametrik
Menurut Daniel (1989) dalam banyak hal, pengamatan-pengamatan yang akan dikaji tidak selalu memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari uji-uji parametrik sehingga kerap kali dibutuhkan teknik-teknik inferensial dengan validitas yang tidak bergantung pada asumsi-asumsi yang kaku. Dalam hal ini, teknik-teknik dalam regresi nonparametrik nonparametrik memenuhi kebutuhan kebutuhan ini karena karena tetap valid walaupun tidak diperlukan pemenuhan asumsi kenormalan galat dan hanya berlandaskan asumsi-asumsi yang sangat umum. Conover (1980) menjelaskan bahwa penggunaan regresi nonparametrik dilandasi pada asumsi : a. contoh yang diambil bersifat acak dan kontinu ; |X ) bersifat linier; b. regresi (Y X
c. semua nilai X i saling bebas.
14
9
Metode Theil Untuk Regresi Linier Sederhana Nonparametrik
Misalkan
ada
n
pasangan
pengamatan,
katakan
( X 1 , Y 1 ), ( X 2 , Y 2 ),..., ( X n , Y n ) , persamaan regresi linier sederhana adalah : Y i
= β 0 + β 1 X i + ε i
(25)
dengan β 0 adalah intercept (titik potong)
β 1 adalah slope (kemiringan) dari garis t ersebut ersebut X i adalah peubah bebas Y i adalah nilai teramati dari peubah Y (Hines dan Montgomery, 1990).
Theil (1950) dalam Sprent (1991) mengusulkan koefisien kemiringan (slope) garis regresi sebagai median kemiringan dari seluruh pasangan garis dari titik-titik dengan nilai X yang berbeda, selanjutnya disebut dengan metode Theil. Untuk satu pasangan ( X i , Y i ) dan ( X j , Y j ) koefisien kemiringannya adalah : bij
=
− Y i X j − X i Y j
untuk i < j dan X i
(26)
≠ X j .
ˆ dinyatakan Penduga bagi β 1 kita notasikan dengan β dinyatakan sebagai median dari dar i 1 nilai-nilai bij sehingga : ˆ = median (b ) β ij 1
(27)
ˆ sedangkan penduga bagi β 0 adalah β 0 ˆ = med (Y ) − β ˆ med ( X ) β i i 0 1
(28)
med(X i) adalah median dari seluruh pengamatan dan med(Y i) adalah pasangan
nilai pengamatan untuk med(X i) (Sprent,1991).
Metode Theil untuk Pengujian Koefisien Kemiringan
Daniel (1989) menjelaskan bahwa pengujian koefisien kemiringan dengan menggunakan metode Theil disusun berdasarkan statistik τ Kendall dan digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan peubah-peubah regresi.
14
10
Asumsi-asumsi yang melandasi pengujian pada koefisien kemiringan adalah : a. persamaan regresinya adalah : Y i
= β 0 + β 1 X i + ε i , i=1,…,n dengan X i
peubah bebas, β 0 dan β 1 adalah parameter-parameter yang tidak diketahui; b. untuk masing-masing nilai X i terdapat nilai Y i ; c. Y i adalah nilai yang teramati dari Y yang acak dan kontinu untuk nilai X i ; d. semua nilai X i saling bebas dan kita menetapkan X 1
< X 2 < ... < X n . ;
e. nilai-nilai ε i saling bebas dan berasal dari populasi yang sama.
Hipotesis-hipotesis yang melandasi pengujian ini adalah : a. dua arah : H 0 : β 1
= β 1( 0) H 1 : β 1 ≠ β 1( 0) ;
b. satu arah : H 0 : β 1
≤ β 1( 0)
H 1 : β 1
> β 1( 0) ;
c. satu arah : H 0 : β 1
≥ β 1( 0)
H 1 : β 1
< β 1(0 ) .
Seperti yang telah dijelaskan, prosedur yang diuraikan
disusun
berlandaskan statistik τ Kendall, sehingga statistik ujinya adalah :
τ ˆ =
P−Q
(29)
n ( n −1) 2
dengan τ ˆ = statistik uji τ Kendall P = banyaknya pasangan berurutan wajar Q = banyaknya pasangan berurutan terbalik n = banyaknya pasangan yang diamati
Kaidah pengambilan keputusan untuk ketiga pasangan hipotesis diatas adalah sebagai berikut :
> τ * (n, α 2 ), tolak H 0 a. dua arah : τ ˆ ≤ τ * (n, α 2 ), terima H 0 > τ * (n, α ), tolak H 0 b. satu arah : τ ˆ * ≤ τ (n,α ), terima H 0 < τ * (n,α ), tolak H 0 c. satu arah : τ ˆ * ≥ τ (n, α ), terima H 0
14
11
τ * adalah harga-harga kritis dalam tabel statistik uji τ Kendall. Pengujian koefisien kemiringan ini dengan membuat membuat statistik tataan dan memperbandingkan memperbandingkan semua hasil pengamatan menurut nilai-nilai X (Daniel, 1989).
Interval Kepercayaan untuk Koefisien Kemiringan
Metode pembentukan interval kepercayaan terhadap koefisien kemiringan ini dilandaskan pada prosedur pengujian hipotesis Theil untuk β 1 , sedangkan asumsi-asumsi yang mendasari prosedur pengujian hipotesis ini juga berlaku pada pembentukan interval kepercayaan (1- α ) bagi β 1 . Lebih lanjut Daniel(1989) menjelaskan bahwa konstanta untuk interval kepercayaan adalah : k =
n
C 2
− S(n,
α
2)
−2
(30)
2
dengan k = konstanta untuk interval kepercayaan kepercayaan n
C 2 = banyaknya nilai bij yang mungkin dari n pasangan pengamatan
S ( n ,α ) = titik kritis τ Kendall untuk n pasangan pengamatan pada taraf α . 2
ˆ sebagai batas Berdasarkan nilai konstanta tersebut akan diperoleh β L ˆ bawah interval kepercayaan untuk β 1 dan β U sebagai batas atas interval ˆ adalah nilai b ke-k yang dihitung dari nilai yang kepercayaan untuk β 1 . β ij L ˆ adalah nilai b ke-k yang paling kecil dalam statistik tataan bagi nilai bij . β ij U dihitung mundur dari nilai yang paling besar dalam statistik tataan tersebut. Interval kepercayaan untuk β 1 dengan suatu koefisien kepercayaan (1- α ) adalah: ˆ C ( β L
< β 1 < β ˆU ) = 1 − α
(31)
dengan C adalah kependekan dari confidence (kepercayaan) dan menunjukkan bahwa ekspresi ini lebih merupakan suatu pernyataan kepercayaan daripada suatu pernyataan probabilitas probabilitas (Daniel, 1989).
14
12
Perbedaan Regresi Parametrik dan Regresi Non Parametrik
Ada beberapa perbedaan khusus dalam penggunaan prosedur parametrik dan prosedur nonparametrik antara lain dijelaskan berikut ini. 1. Penggunaan prosedur parametrik didasarkan pada asumsi-asumsi tertentu, misalnya mengasumsikan bahwa sampel-sampel yang diambil dari populasipopulasi yang berdistribusi normal. Prosedur non parametrik tidak didasarkan pada asumsi-asumsi yang mengikuti suatu distribusi tertentu dan dapat digunakan apabila asumsi yang diperlukan pada penggunaan prosedur parametrik menjadi tidak valid. 2. Dalam kasus parametrik untuk mengetahui bentuk hubungan antar peubah respon pada data contoh yang diamati dapat digunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Maksimum Likelihood. Dalam regresi nonparametrik untuk memperkirakan parameter-parameter β 0 dan β 1 digunakan metode Theil dengan koefisien kemiringan garis regresi sebagai median kemiringan dari seluruh pasangan garis dari titik-titik dengan nilai-nilai X yang berbeda atau independen. 3. Pengujian hipotesis untuk model parametrik menggunakan statistik uji t yang merupakan sebuah hasil asumsi secara normal yang didasarkan dari metode kuadrat terkecil. Pengujian hipotesis pada regresi non parametrik menggunakan metode Theil yang disusun berdasarkan statistik τ Kendall. 4. Interval kepercayaan pada regresi parametrik adalah pembentukan interval kepercayaan kepercayaan untuk u ntuk parameter-parameter parameter-parameter β 0 , β 1 dan σ 2 yang didasarkan pada metode kuadrat terkecil dan asumsi yang digunakan masih sama dengan asumsi yang digunakan pada pengujian hipotesis. Interval kepercayaan pada regresi non parametrik adalah pembentukan interval kepercayaan kepercayaan hanya untuk koefisien kemiringan atau β 1 yang dilandaskan pada prosedur pengujian hipotesis Theil untuk parameter β 1 dan asumsi-asumsi yang mendasari prosedur pengujian hipotesis juga berlaku pada pembentukan interval kepercayaan untuk parameter β 1 .
14
13
METODOLOGI PENELITIAN
Data yang digunakan untuk analisis adalah data simulasi. Data simulasi ini terdiri dari dua variabel atau peubah yaitu peubah bebas ( X ) dan peubah tak bebas ( Y ). ). Data simulasi yang akan dianalisis memiliki jumlah sampel dan nilai parameter yaitu koefisien kemiringan ( β 1 ) dan titik potong ( β 0 ) yang ditentukan sendiri sebagai parameter asli untuk membandingkan nilai estimator yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil dan metode Theil. Langkah-langkah Langkah-langkah yang dilakukan d ilakukan pada semua jenis data simulasi baik untuk regresi parametrik maupun regresi non parametrik antara lain: 1. menghitung menghitung estimator est imator β 0 dan β 1 dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dan metode Theil, kemudian untuk setiap satu distribusi dihitung rata-rata dari masing-masing
estimator
dari
kelima
hasil
analisis
tersebut
untuk
dibandingkan dengan nilai parameter yang asli; 2. melakukan pengujian hipotesis, kemudian mengambil hasil keputusan terbanyak sebagai rata-rata keputusan hipotesis; 3. mencatat nilai galat (standard error of estimate ) dari masing-masing metode dan kemudian dihitung rata-ratany rat a-ratanya; a; 4. menghitung pendugaan interval kepercayaan baik untuk regresi parametrik maupun untuk regresi non parametrik.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada penelitian ini, dikatakan regresi yang lebih baik jika memenuhi beberapa kriteria sebagai berikut : 1.
nilai estimator rata-ratanya lebih mendekati nilai parameter yang telah ditentukan;
2.
nilai standar error rata-ratanya adalah yang lebih kecil;
3.
interval kepercayaannya kepercayaannya lebih pendek dan memuat nilai parameter yang yang telah ditentukan.
Dari prosedur diatas diperoleh hasil yang rangkumannya rangku mannya dibuat pada Tabel 1.
14
k i r t e m a r a P n o N
1
β
4 1
r e t e m a r a P n a a y a c r e p e K l a v r e t n I
k i r t e m a r a P n o N i s e r g e R n a d l a m r o N k i r t e m a r a P i s e r g e R s i s i l a n A l i s a H n a g n i d n a b r e P . 1 l e b a T
r o r r E d r a d n a t S
2 7 4 . 1 1 <
1
1
1 2 . 0 3 <
2 4 6 . 3 3 <
6 8 9 2 . 2 <
< 4 8 6 . 9
< 7 0 . 7 3 -
< β β 1 < < 3 6 4 8 . 5 . 8 0 2 2 . 2 - 2 - 2 -
9 3 1 8 . 2
4 2 0 2 . 0
7 1 0 . 6 2
3 0 6 . 3 1
6 8 2 . 4 1
8 3 3 3 . 1
6 4 4 5 . 2
7 7 3 1 . 0
4 0 2 . 8 1
6 6 0 . 1 1
5 8 1 . 2 1
6 3 9 9 . 0
1
β
1
β β
1
β
1
< 5 5 0 . 3 -
1
0
β
s i s e t o p i H n a i j u g n e P
n a r o a N P
H H H H H H a k k k k k m a l a l a l a l a i l r o o o o o e T T T T T T 0
k i r t e M
0
0
0
0
0
H H H H H H a k k k k k m a l a l a l a l a i l r o o o o o e T T T T T T 0
a r a P
1 ˆ β
a t a r a t a R r o t a m i t s E
0
0
0
0
n a r o a N P
k 2 i 8 r 9 t . e 4 m
9
6 2 0 0 . 0 1
4 1 4 7 . 4
6 1 1 8 . 4
1 9 6 4 . 5
2 0 1 2 0 . 0
k i r t e m
8 4 4 0 . 5
8 1 0 0 . 0 1
9 0 9 . 4
4 7 8 6 . 4
8 3 4 5 . 5
4 3 7 0 0 . 0
n a r o a N P
7 k i 1 r 8 t e 0 . m 3
5 3 2 1 . 3
7 2 5 2 . 8
8 5 7 . 0 1
5 8 3 8 . 7 -
9 7 2 6 . 0
4 4 7 9 . 0
8 3 3 2 . 3
2 0 3 2 . 4
9 3 6 . 2 1
0 1 6 . 0 1 -
6 0 9 2 . 0
5
5
5
5
5
5
2
2
2
2
2
2
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
k i r t e m
a r a P
0 ˆ β
a r a P a r a P
7 8 8 . 6 4 <
< 3 2 8 . 0 -
a r a P
1
9 1 3 . 0 1 <
β
k i r t e m
1
β β
8 6 9 0 . 3 <
< 4 7 4 . 7 2 -
1
a r a P
1
1 4 . 8 3 <
< 7 5 5 . 6 2 -
3 1 9 . 0 1 <
n o N
1
8 1 . 1 3 <
< 5 2 . 5 5 -
1
< β 6 < 0 6 5 . 3 5 . 1 - 9
k i r t e m
7 3 7 . 4 6 <
β
β
k i r t e m a r a P
) i ε ( a t a r a t a R
3 9 6 4 . 0 1 <
r e t e m
n
i r i s t u s b i D
1
β
0
β
k i r t e M
l m a n a r m o o s m f r i m s o n a i o N U G P
l a t l i n a i e m n o o p n x i B E
4 1
15
Hasil estimasi parameter untuk data berdistribusi normal dari kedua metode diperoleh diperoleh hasil yang yang tidak terlalu terlalu jauh berbeda. berbeda. Hal ini menunjukkan menunjukkan bahwa metode Theil hampir seefisien metode kuadrat terkecil untuk data yang asumsi kenormalannya kenormalannya valid. Apabila dilihat dari nilai galat masih masih tetap tet ap lebih baik regresi parametrik daripada regresi non parametrik karena nilai galat dari regresi parametrik lebih kecil, sehingga tetap masih lebih baik regresi parametrik sesuai dengan jenis data yaitu data berdistribusi normal. Regresi linier sederhana parametrik dengan menggunakan metode kuadrat terkecil untuk data yang berdistribusi uniform maupun regresi linier sederhana non parametrik dengan menggunakan metode Theil tidak bisa mewakili suatu regresi yang baik. Hal ini ditunjukkan oleh hasil pembentukan interval kepercayaan yang tidak memuat parameter yang telah ditentukan. Hasil analisis untuk data simulasi berdistribusi gamma menunjukkan bahwa metode kuadrat terkecil untuk regresi parametrik memberikan hasil yang lebih baik daripada metode Theil untuk regresi non parametrik. Hal ini ditunjukkan oleh nilai estimator yang lebih mendekati nilai parameter yang telah ditentukan, interval kepercayaan yang lebih pendek dan memuat nilai parameter serta nilai standar error yang lebih kecil pada regresi parametrik. Metode kuadrat terkecil dan metode Theil memberikan hasil yang tidak terlalu jauh berbeda untuk data simulasi yang berdistribusi Poisson sehingga kedua metode tersebut dapat dipakai untuk menganalisis data simulasi berdistribusi Poisson. Hal ini juga terjadi pada data simulasi yang berdistribusi Binomial. Metode yang dipakai yaitu metode kuadrat terkecil pada regresi parametrik dan metode Theil pada regresi non parametrik tidak memberikan hasil yang baik untuk data simulasi yang berdistribusi eksponensial ini karena pada interval kepercayaan yang yang dibentuk d ibentuk tidak memuat nilai parameter yang ditentukan.
14
16
KESIMPULAN
Dari hasil analisis untuk semua jenis data simulasi tersebut dapat disimpulkan
bahwa
regresi
parametrik
dengan
metode
kuadrat
terkecil
memberikan hasil estimator yang lebih baik daripada regresi non parametrik dengan menggunakan metode Theil walaupun datanya berasal dari data simulasi yang tidak berdistribusi normal. normal. Hal ini disebabkan karena metode Theil Theil pada regresi non parametrik didasarkan pada median kemiringan ( slope) sehingga jika range dari kemiringan garis tersebut berubah-ubah dan median kemiringan tersebut tetap maka tidak berpengaruh terhadap persamaan garis regresi yang diperoleh namun akan berpengaruh pada pembentukan interval kepercayaannya.
DAFTAR PUSTAKA
Conover,W.J. 1980. Practical Nonparametric Statistics (2-nd edn ), John Wiley and Sons, New York. Daniel,W.W. 1989. Statistika Nonparametrik Terapan , Gramedia, Jakarta. Draper, N dan Smith, H. 1992. Analisis Regresi Terapan, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. Hines, W.W dan Montgomery, D.C. 1990. Probabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen, Universitas Indonesia, Jakarta. Montgomery, D.C dan Peck, E.A. 1991. Introduction Analysis, John Wiley & Sons, New York.
to Linear Regression
Neter, J, Wasserman, W dan Kutner, M. H. 1985. Aplied Linear Statistical Models. Regression, Analysis of Variance and Experimental Design , Irwin, Illinois. Sprent, P. 1991. Metode Statistik Nonparametrik Terapan, Universitas Universitas Indonesia, Jakarta. , Jurnal Tirta, I.M. 2000. Diagnosis dan Remidi Regresi / Model Linier Klasik Universitas Jember, Vol. I : 48-56. Ilmu Dasar FMIPA, Universitas
Yitnosumarto, S. 1985. Regresi dan Korelasi Teori dan Penggunaannya, Universitas Universitas Brawijaya , Malang.
14
