TUGAS RUTIN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Dosen Pengampu: Drs.Jongga Manullang , M.Pd. Mata Kuliah : Aljabar Linear
Disusun oleh :
Lamro Tamba (5173131013) Irdarmansyah Irdarmansyah (5173131011) Anderson A Silalahi (517213008)
PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNya sehingga Tugas Rutin ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terima kasih atas bantuan dalam menyusun Makalah ini. Makalah ini di buat untuk memenuhi salah satu mata kuliah saya yaitu Aljabar Linear. Kelompok kami berharap semoga makalah ini dapat membantu menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, sehingga kami dapat memperbaiki bentuk maupun isi makalah ini sehingga kedepannya dapat lebih baik. Kami sadar bahwa makalah ini masih banyak kekurangan dan jauh dari kata sempurna.Untuk itu, kepada para pembaca saya mohon masukan-masukannya yang bersifat membangun guna memperbaiki makalah ini agar bisa jauh lebih baik .
Medan, Februari 2018
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ………………………………………………..……...…….2 DAFTAR ISI…………………………….………………………………….….......3 A. Latar Belakang…………………………………………….…………………....4 B.Tujuan....…............……………………………………………………………....4 C.Manfaat..………………………………………………………...……………….4 D. Ringkasan materi.................................................................................................. A. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear...........................................6 B. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel...........................................8 C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.................................................8 D. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel............................8 E. Pengertian Persamaan Linear Tiga Variabel.........................................11 F. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel...............................................11 G. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel.........................12
E. Kesimpulan…………………………….………………………………………..20 F. Kritik dan Saran…….………………….……………………….………………20
LATAR BELAKANG
Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena itu kami membuat makalah ini dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agar mereka tidak menilai Matematika adalah sesuatu yang buruk. TUJUAN
Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear, yang diberikan oleh dosen kami bapak Jongga Manullang, M. Pd. Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang kami harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini. MANFAAT
1. Makalah ini akan menambah sedikit pengetahuan tentang aljabar ilu matetika. 2. Makalah ini juga akan membantu seseorang lebih mendalami materi tentang aljabar linear.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
DEFINISI ATAU PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi variabel. Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam perancangan linear, umumnya diperoleh jawaban yang tak hingga banyaknya. Namun dalam teknik listrik sering ditemukan variabel lebih sedikit dari persamaan. Karena beberapa dari persamaan mempunyai sifat ketergantungan maka jawaban masih mungkin untuk diperoleh. Pengertian Sistem Persamaan Linear
Secara umum sebuah persamaan linear dalam n variable x1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk : a1 x1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b, dengan a 1, a 2, …, a n dan b adalah konstanta real Contoh : Persamaan berikut merupakan persamaan linear : a. x + 3 y = 7 b. y = 5 x + 3 z + 1 Persamaan berikut bukan persamaan linear : c. x2 + 3 y = 5 d. y – sin x = 0 Himpunan berhingga dari persamaan linear- persamaan linear dalam n variable x1, x2, …, xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear. Bentuk umum sistem persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variable x1, x2, …, xn dapat ditulis sebagai :
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm, dengan aij dan bi (1 § i § m, 1 § j § n) adalah konstanta-konstanta real. Suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n variable x1, x2, …, xn dengan Am x n = (aij ), X n x 1 = ( ) x j , dan Bm x 1 = ( ) bi . Jika matriks B pada SPL di atas diganti dengan matriks nol O, maka sistem persamaan linear tersebut dikatakan homogen, jika tidak disebut SPL non homogen. Contoh : a. SPL non homogen berikut x1 – x2 + x3 = 2 2 x1 – x2 – x3 = 4 b. SPL homogen berikut x1 + x2 = 0 x1 – x2 = 0 A. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Sebuah penyelesaian persamaan linear a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi jika kita mensubstitusikan x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua penyelesaian tersebut dinamakan himpunan penyelesaiannya. Penyelesaian SPL adalah sebuah tupel n terurut bilangan-bilangan x1, x2, …, xn yang memenuhi semua persamaan dalam SPL. Contoh : Pasangan terurut (1,2) adalah penyelesaian dari sistem x1 + 2 x 2 = 5 2 x1 + 3 x 2 = 8 karena : 1(1) + 2(2) = 5 dan 2(1) + 3(2) = 8. Tetapi, pasangan terurut (3,1) bukan penyelesaian dari SPL tersebut karena tidak memenuhi persamaan kedua, yakni 2(3) + 3(1) ≠ 8. Tripel terurut (2,0,0) adalah penyelesaian dari SPL x1 – x2 + x3 = 2
2 x1 – x2 – x3 = 4 karena 1(2) – 1(0) + 1(0) = 2 2(2) + 1(0) – 1(0) = 4 Periksalah bahwa tripel terurut (2,1,1), (2,2,2), (2,3,3), …. juga merupakan penyelesaian SPL tersebut. Jadi SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian. Jika α adalah sebarang bilangan real, maka terlihat bahwa tripel terurut (2, α,α) adalah penyelesaian SPL tersebut. Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian, hal ini dapat ditunjukkan pada sistem x1 + x2 = 2 x1 – x2 = 1 x1 = 4 Pada persamaan ketiga x1= 4, sehingga jika disubstitusikan ke persamaan pertama dan kedua, maka x2 harus memenuhi : 4 + x2 = 2 4 – x2 = 1 Karena tidak ada bilangan real yang memenuhi kedua persamaan ini, maka SPL ini tidak mempunyai penyelesaian. Sebuah SPL yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak konsisten (inconsistent). Sebuah SPL yang mempunyai paling sedikit satu penyelesaian disebut konsisten (consistent). Dari contoh di atas, banyaknya penyelesaian suatu SPL dibedakan 3 yaitu : 1. SPL mempunyai satu penyelesaian (penyelesaian tunggal) 2. SPL mempunyai banyak penyelesaian (tak terhingga penyelesaian) 3. SPL tidak mempunyai penyelesaian SPL homogen AX = 0 selalu mempunyai penyelesaian (konsisten) yaitu X = 0, yang dinamakan dengan penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain, (yang tidak nol) maka penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian tak trivial. Contoh : 2 x1 + x 2 – 3 x 3 = 0 x 1 + 2 x 2 = 0
x 2 + x 3 = 0 SPL homogen di atas mempunyai penyelesaian tak trivial yaitu : x 1 = 2 x 3 x 2 = – x 3 Jika x3=t , dengan t bilangan real, maka x1 = 2t , x2 = – t sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {(t ,2t ,-t )} = {t (1,2,-1)}. Ini menunjukkan SPL di atas mempunyai tak terhingga banyak penyelesaian, sebanyak bilangan real t. B. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah: ax + by = c dimana = x dan y adalah variabel C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah ax + by = c px + qy = d dimana: x dan y disebut variabel a, b, p dan q disebut koefisien c dan r disebut konstanta D. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
1. Cara Grafik Langkah-langkahnya sebagai berikut : 1. Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat. 2. Tentukan titik potong kedua garis tersebut. Koordinat titik potong tersebut merupakan pasangan penyelesaian dari system persamaan yang dimaksud. 1. Metode Eliminasi
Pada metode eliminasi, untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya adalah dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya. Perhatikan bahwa jika koefisien dari salah satu variabel sama maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk selanjutnya menentukan variabel yang lain. Contoh: Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 Penyelesaian: 2x
+
3y
=
6
dan
x
–
y
=
3
Langkah
I
(eliminasi
variabel
y)
Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 3. 2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6 x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9 5x = 15 x = 15/5 x=3 Langkah II (eliminasi variabel x) Seperti langkah I, untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan x – y = 3 dikalikan 2. 2x + 3y = 6 ×1 2x + 3y = 6 x – y = 3 ×2 2x – 2y = 6 5y = 0 y = 0/5 y=0 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)}. 1. Metode Substitusi
Metode Substitusi Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, terlebih dahulu kita n yatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lainnya. Contoh: Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x +3y = 6 dan x – y = 3 ! Penyelesaian: Persamaan x – y = 3 ekuivalen dengan x = y + 3. Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 diperoleh sebagai berikut: 2x + 3y = 6 <=> 2 (y + 3) + 3y = 6 <=> <=>
5y + 6 – 6 = 6 – 6 <=>
2y + 6 + 3y = 6 <=>
5y = 0 <=>
5y + 6 = 6
y = 0 Selanjutnya untuk
memperoleh nilai x, substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 3, sehingga diperoleh: x = y +3 <=> x = 0 + 3 <=> x = 3 Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(3,0)} 1. Metode Gabungan Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode gabungan, kita menggabungkan metode eliminasi dan substitusi. Contoh: Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 ! Penyelesaian: Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh. 2x – 5y = 2 ×1 2x – 5y = 2x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12 -15y = -10 y = (-10)/(-15) y = 2/3 Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperole h.
x + 5y = 6 <=> x + 5 (2/3) = 6 <=> <=>
x + 10/15 = 6 <=>
x = 6 – 10/15
x = 22/3
Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(2 2/3,2/3)} 1. Cara Determinan Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi). Untuk menyelesaikan dengan cara determinan dari bentuk persamaan : ax + by = c px + qy = r diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, D x, Dy. Dengan :
D = = aq – bp
Dx = = cq – br Dy = = ar – cp Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan : x = dan y = Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : dengan cara determinan ! Jawab: D = = 2.1 – 3.3 = 2 – 9 = -7 Dx = = 1.1 – 3.5 = 1 – 15 = -14 Dy = = 2.5 – 1.3 = 10 – 3 = 7 x= = =2 y = = = -1 Jadi HP = {(2, -1)}
E. Pengertian Persamaan Linear Tiga Variabel
Persamaan linear tiga variabel adalah persamaan yang mengandung tiga variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear tiga variabel adalah: ax+by+cz=p dimana = x, y dan z adalah variabel F. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah tiga persamaan linear tiga variabel yang mempunyai hubungan diantara ketiganya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah: ax+by+cz=u px+qy+rz=t dimana:x,ydan
z
disebut
variabela,
b,c,
p,
q,
dan
r
disebut
koefisien
u dan t disebut konstanta G. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan dimana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel. Contoh SPLTV dengan variabel
dimana
dan :
dan adalah bilangan-bilangan real.
Pada SPLTV terdapat 2 cara penyelesaian, yaitu: 1. Metode Subtitusi Langkah yang dilakukan pada metode ini yaitu: 1. Ubah salah satu persamaan yang ada pada sistem dan nyatakan dan , atau sebagai fungsi dari
sebagai fungsi dari
dan , atau sebagai fungsi dari
dan ..
2. Subtitusikan fungsi atau atau dari langkah pertama pada dua persamaan yang lain, sehingga diperoleh SPLDV. 3. Selesaikan SPLDV yang diperoleh dengan metode yang dibahas pada penyelesaian SPLDV di atas. Contoh Soal: Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
Jawab: Langkah pertama, nyatakan persamaan (I) menjadi fungsi dari
, yaitu:
. Kemudian subtitusikan pada persamaan (II) dan (III), menjadi Persamaan (II): Selesaikan, didapat: Persamaan (III): Selesaikan, didapat:
atau
.
Persamaan (IV) dan (V) membentuk SPLDV Dari persamaan (V), (IV), menjadi:
, kemudian disubtitusikan pada persamaan
Kemudian subtitusikan
pada persamaan
Subtitusikan
pada persamaan
diperoleh
dan
diperoleh , menjadi
atau
. ,
.
Sehingga himpunan penyelesaian adalah 2. Metode Eliminasi Langkah penyelesaian pada metode eliminasi yaitu: 1. Eliminasi salah satu variabel sehingga diperoleh SPLDV 2. Selesaikan SPLDV yang diperoleh dengan langkah seperti pada penyelesaian SPLDV yang telah dibahas 3. Subtitusikan variabel yang telah diperoleh pada persamaan yang ada.
PENUTUP KESIMPULAN Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung
konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK) adalah kumpulan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi yang sama. Untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus menguasai tentang nilai "Diskriminan". Nilai Diskriminan suatu fungsi kuadrat atau persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus D=b2−4ac. Persamaan Linier Dua Variabel adalah suatu persamaan yang mempunyai dua variabel dan masingmasing variabel berpangkat satu, dan dapat dinyatakan dalam bentuk : ax + by = c dengan a, b, c R, a, b 0 dan x, y suatu variabel.
SARAN Alangkah baiknya kita mengenal Matematika dulu sebelum kita menganggap Matematika itu sulit, karena bila kita telah mengenal Matematika dengan baik dan menikmati bagaimana Matematika itu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu tidaklah seburuk apa yang kita pikirkan.
DAFTAR PUSTAKA http://www.makalah.co.id/2016/10/makalah-persamaan-linear-lengkap.html https://www.studiobelajar.com/sistem-persamaan-linear/ https://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_persamaan_linear
