Bab 3. Kurva Parametrik Bidang Dan Koordinat Polar

Integral di RN

3

Kurva Parametrik Bidang dan Koordinat Polar

BAB 3 3.1 3.2 3.3 3.4

Kurva Parametrik Bidang Garis Singgung Pada Kurva Parametrik Sistem Koordinat Polar Luas Daerah dalam Koordinat Polar

Integral di RN

Tujuan Instruksional sional Khusus Mahasiswa mampu: 1. membentuk embentuk representasi parametrik kurva di bidang. 2. mencari persamaan garis singgung dan mengmeng hitung panjang kurva parametrik. 3. menggunakan koordinat polar dan mengubah koordinat kartesius ke koordinat polar dan sese baliknya. 4. mengidentifikasi persamaan polar untuk garis, lingkaran, dan konik. 5. menghitung luas daerah yang batasnya didefinisikan oleh persamaan dalam koordinat polar. 6. memvisualisasi grafik fungsi-fungsi fungsi dalam koordinat parametrik dan polar dengan bantuan TIK

Pendahuluan Dalam matematika, persamaan parametrik adalah salah satu metode mendefinisikan suatu kurva. Salah satu contoh kurva yang didefinisikan dengan persamaan parametrik adalah kurva kupu-kupu. kupu. Contoh sederhana penggunaan persamaan parametrik adalah dalam kinematika, yaitu saat menggunakan parameter waktu untuk menentukan posisi, kecepatan dan informasi-informasi informasi lain tentang pergerakan benda. Selain menggunakan persamaan parametrik, beberapa bentuk geometri tertentu lebih mudah dinyatakan dalam persamaan polar. Contohnya elips, irisan kerucut dan lain-lain. lain Pada bab ini dibahas mengenai persamaan parametrik dan koordinat polar. Subbab 3.1 membahas persamaan parametrik parametrik dan turunannya. Pada Subbab 3.2 dibahas mengenai garis singgung kurva parametrik dan panjang kurva parametrik. Berikutnya Subbab 3.3 mambahas tentang sistem koordinat polar, hubungan antara koordinat polar dan koordinat Cartesius dengan koordinat polar p dan persamaan polar dari bentuk-bentuk bentuk geometri. Pada akhir Bab 3, Subbab 3.4, dipelajari bagaimana mencari luas daerah dalam koordinat polar.

Modul Matematika Dasar A2

Universitas Indonesia | 52

Integral di RN

3.1

Kurva Parametrik Bidang

Kurva Parametrik, Eliminasi Parameter, Turunan Fungsi Parametrik

Kurva Parametrik Pada umumnya suatu grafik didapat dari suatu persamaan. Tetapi kurva pada bidang, misalkan spiral, sangat tidak mudah untuk mengukur dan membuat persamaannya. Tetapi grafik dengan persamaan (1) Gambar 1

y = sin x, 0 ≤ x ≤ π ,

dapat digambar seperti pada Gambar 1. Contoh lainnya misalkan grafik dari persamaan (2)

x = y2, − 2 ≤ y ≤ 2

seperti pada Gambar 2. Suatu lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 = a dapat ditulis dengan persamaan Gambar 2

y = f ( x) = a 2 − x 2

(3) atau

y = f ( x) = − a 2 − x 2 .

(4)

Persamaan (3) dan (4) dapat pula ditulis dengan cara lain, yaitu (5)

x = a cos t ,

y = a sin t , 0 ≤ t ≤ 2π .

Gambar 3 dengan t adalah variabel waktu, sedangkan kan x, y menyatakan posisi partikel pada waktu t. (Lihat Gambar 3) Variabel t disebut parameter, sehingga x dan y dinyatakan dengan terminologi parameter. Akibatnya, persamaan (5) disebut persamaan parametrik dari lingkaran x 2 + y 2 = a . Contoh 1

x = a cos t ,

y = b sin t , 0 ≤ t ≤ 2π

Grafik persamaan ini merupakan elips.



Integral di RN

Contoh 2 Parabola pada persamaan (2) dapat dinyatakan kembali sebagai :

x = t 2 ; y = t , - 2 ≤ t ≤ 2. Jadi suatu kurva bidang dapat ditentukan oleh dua persamaan parametrik yang didefinisikan pada I seperti pada persamaan berikut:

x = f (t ),

(6)

y = g (t ) , t ∈ I

dengan f dan g merupakan fungsi-fungsi kontinu pada interval yang ditentukan. Jika t bergerak dari a ke b maka titik ( x, y ) mengikuti kurva pada bidang-xy. Jika

terletak pada interval tutup [a,b], maka titik P x ( a ) , y ( a ) dan Q x ( b ) , y ( b ) merupakan titik awal dan

(

t

)

(

)

titik akhir. Jika untuk setiap nilai t yang berbeda diperoleh titiktitik di bidang yang juga berbeda, maka kurva disebut kurva sederhana. Hubungan antara x = f ( t ) , y = g ( t ) , dan interval I disebut kurva yang diparametrik atau representasi parametrik kurva. Tabel 1 t -2 -1 0 1 2 3

x 0 -1 0 3 8 15

Eliminasi Parameter y -5 -4 -3 -2 -1 0

Untuk mengetahui suatu kurva yang dinyatakan dengan persamaan parameterik, dapat lebih mudah dikenal dengan mengeliminasi parameter. Dengan begitu, terlihat persamaan kurva dalam satu persamaan yang mungkin dapat dikenali dengan lebih mudah. Contoh 3 Pandang persamaan

x = t 2 + 2t , y = t − 3, − 2 ≤ t ≤ 3 y x

Tuliskan kembali t dalam y. Kemudian substitusikan t ke dalam x sehingga diperoleh (lihat tabel 1)

x = ( y + 3)2 + 2( y − 3) = y 2 + 8 y + 15

-3 -1

atau

-4

x + 1 = ( y + 4) 2 .

-5

Gambar 4

Kurva ini merupakan parabola, Gambar 3, dengan puncak (-1,4) dalam interval −2 ≤ y + 3 ≤ 3 atau −5 ≤ y ≤ 6.

Contoh 4 Selidiki kurva x = t + 1; y = 2t − 5 , t riil.



Integral di RN

y x

Penyelesaian Tulisakan kembali t dalam x,, kemudian substitusikan ke nilai y. Maka y = 2 x − 7 . Persamaan ini ni adalah fungsi suatu garis pada bidang (Gambar 4). with(plots):plot([t+1,2*t-5,t=-9..9]); 9..9]);

Contoh 5 2 Selidiki kurva x = 2t ; y = t , t riil.

Gambar 5

Penyelesaian Lakukan hal serupa dengan Contoh 3, maka didapat

y

x 1 y = ( )2 = x 2 . 2 4

x

Persamaan ini adalah fungsi parabola yang dipartisi (Gambar 5).

Gambar 6

with(plots):plot([2*t,t^2,t=-1..1]); 1..1]);

y

(0,1),

x

Contoh 6 Selidiki kurva yang diparameterisasi oleh fungsi

x = sin 2 t , y = cos t , t ∈ [ 0, π ] . Penyelesaian Dengan menggunkan kesamaan trigonometri diperoleh,

x = sin 2 t = 1 − cos 2 t = 1 − y 2 ; x = 1 − y 2

(0,-1), t=π

atau Gambar 7

y 2 = 1 − x, − 1 ≤ y ≤ 1 dari titik (0,1) sampai (0,-1) (Gambar 6). Contoh 7 Persamaan kurva mulus lingkaran dapat ditulis sebagai

x = 1 − t 2   − 1 ≤ t ≤ 1 atau y=t  1− t2  x= 1 + t 2  − 1 ≤ t ≤ 1 atau  2t  y= 1 + t 2 

x = cos t  π π − ≤ t ≤ y = sin t  2 2

Coba buktikan sendiri Contoh 7. Coba kalian selidiki bentuk kurva parametrik berikut. 1. x = t 2 + 3, y = 6t 2 + 3 2. 3.

x = et , y = 4e 2t x = 5cos t , y = 3sin t



Integral di RN Suatu kurva yang disebut sikloid adalah grafik yang menggambarkan lintasan yang dilalui titik P yang terletak pada roda berjalan. P adalah titik yang mula-mula terletak di roda yang jari-jarinya a (Gambar 8).

y

O T(at,0 π

Jadi persamaan parameter sikloid adalah

Gambar 8

t a= cos t

P

Q a= sin t

x = a (t − sin t ),

(7) (Gambar 9)

E a

at − x = a sin t , x = a(t − sin t ) a − y = a cos t , y = a(1 − cos t )

2 x

y = a (1 − cos t ).

Turunan Fungsi Parametrik Kita dapat mencari kemiringan garis singgung dari kurva parametrik tanpa terlebih dahulu mengeliminasi parameternya. Hal ini dijabarkan dalam Teorema 3.1 berikut.

Gambar 9

TEOREMA 3.1 Misal f dan g adalah fungsi kontinu terturunkan dengan f '(t ) ≠ 0 pada α < t < β . Maka persamaan parametrik

x = f (t ) dan y = g (t ) mendefinisikan y sebagai fungsi yang terturunkan terhadap x dan

dy dy dt = dx dx dt Contoh 8 Cari

dy dari fungsi x = 5 cos t , y = 4 sin t. dx

Penyelesaian

dy dy dt 4 cos t 4 = = = − cot t . dx dx −5 sin t 5 dt Terkadang integral tentu melibatkan dua variabel x dan y. Tetapi pada persamaan parametrik semua integral maupun diferensial dinyatakan dalam terminologi t dan dt. Contoh 9 3

Selesaikan

∫ y dx dengan x = 2t − 3 dan

y = t 2 + 1.

1



Integral di RN Penyelesaian x = 2t − 3 maka dx = 2dt . Akibatnya, batas integrasi, yaitu x = 1 berubah menjadi t = 1 dan x = 3 menjadi t = 2 . Sehingga, 3

2

2

t3 26 y dx = ( t + 2)2 dt = 2( + 2t ) = . ∫1 ∫1 3 3 1 2

dy Carilah nilai dan dx

1

∫ y dx jika diberikan

2

x = t 2 dan y = et .

0

Contoh 10 Carilah luas A dari sikloid satu busur dan sumbu x . Penyelesaian Persamaan sikloid adalah

x = a(t − sin t )   0 ≤ t ≤ 2π y = a(t − cos t )  dx = a (1 − cos t ) dt. Maka, 2π a

A=

∫

2π a

y dx = a 2

0

1

∫ (1 − cos t )(1 − cos t ) dt 2 0

2π

=a 2

∫ (1 − 2 cos t + cos

2

t ) dt

0 2π

=a 2

1

1

∫ (1 − 2 cos t + 2 + 2 cos 2t ) dt 0

2π

3 1 =a ( t − 2sin t + sin 2t ) = 3π a 2 2 4 0 2

Carilah luas A dari hiposikloid berikut

x = a cos3 t   0 ≤ t ≤ 2π . y = a sin 3 t 



Integral di RN

3.2

Garis Singgung pada Kurva Parametrik

Garis Singgung pada Kurva Parametrik, Panjang Kurva Parametrik

Garis Singgung pada Kurva Parametrik Suatu kurva parametrik dikatakan mulus apabila turunan f ′ ( t ) dan g ′ ( t ) kontinu dan tidak pernah bersama-sama bersama bernilai nol. Kurva parametrik dapat dinyatakan dengan salah satu, atau keduanya, dari bentuk y = F ( x ) atau x = G ( y ) . Lebih lanjut, kita dapat menggunakan aturan rantai untuk menghitung itung kemiringan garis singgung pada suatu titik di y = F ( x) kurva parametrik. Turunkan terhadap t menghasilkan

dy dy dx = ⋅ . dt dx dt Sehingga,

dy dy dt g ′ ( t ) y ′ = = = . dx dx dt f ′ ( t ) x′

(1)

di setiap titik x′ = f ′ ( t ) ≠ 0 . Contoh 1 2

3

Carilah persamaan persamaan garis singgung pada kurva x = t , y = t di t = 2.

y

Penyelesaian Gradien garis singgung pada t=2 adalah, t=2

dy 2t 2 2 1 = 2 = = = . dx 2t 3t 3 ⋅ 2 3

x

Titik

( x, y )

pada t = 2 adalah x = t 2 = (2) 2 = 4, y = (2)3 = 8 .

Jadi garis singgung pada titik (4,8) dengan gradien Gambar 1

1 adalah 3

1 ( x − 4) ⇒ 2 y − x − 16 + 4 = 0 atau 2 y − x − 12 = 0. 2 (Lihat Gambar 1) y −8 =



Integral di RN Contoh 2 Carilah persamaan garis singgung kurva x = 2 sec t , y = 2 tan t pada t = −

π 6

.

Penyelesaian

dy dy dt 2sec2 t sec t 1 cos t 1 = = = = . = dx dx dt 2sec t.tan t tan t cos t sin t sin t Pada

t=−

π 6

dy 1 = = −2 . dx sin(− π ) 6 Titik ( x, y ) adalah

1 2 2 4 −2 = = = , y = 2 tan − 30 = 1 cos − 30 cos 30 3 3 3 2 4 2 Jadi, garis singgung pada titik ( , − ) dengan gradien -2 3 3 2 4 ) = −2( x − ). adalah ( y + 3 3 x=2

Coba kalian tentukan persamaan garis singgung kurva

y = 9 sin (16t ) dan x = 16 cos ( 9t ) pada t =

π 3

.

Panjang Kurva Parametrik Pada Matematika Dasar A1 telah dipelajari cara menghitung beberapa nilai geometri berkaitan dengan grafik y = f ( x ) . Salah satu yang akan dipelajari disini adalah panjang kurva. Ingat kembali rumus panjang kurva adalah s

(2)

b

s = ∫ ds = ∫ 1 + ( dy dx ) dx . 2

0

a

Sekarang kita akan mencari panjang kurva parametrik yang mulus (3)

x = f (t ) ,

dari kurva

y = g (t ) , α ≤ t ≤ β .

Kita dapat menghitung panjang kurva parametrik dengan substitusi



Integral di RN

x = f (t ) dx = f ′ ( t ) dt

(4)

y = g (t ) dy = g ′ ( t ) dt 2

2

ds =  f ′ ( t )  +  g ′ ( t )  dt Lakukan integrasi dari t = α ke t = β tanpa memperhatikan arah pergerakan sepanjang kurva. Asumsikan bahwa f ′ ( t ) > 0 jika f (α ) = a dan f ( β ) = b , dan f ′ ( t ) < 0 jika

f (α ) = b dan f ( β ) = a , maka β

s=∫ α

 g ′ (t )  1+    f ′ ( t ) 

2

f ′ ( t ) dt.

Sehingga, β

s=∫

(5)

α

β

2

2

2 2  dx   dy   f ′ ( t )  +  g ′ ( t )  dt = ∫   +   dt.  dt  α  dt 

Contoh 3 Carilah panjang kurva dari sikloid berikut

x = 9(t − sin t )   0 ≤ t ≤ 2π . y = 9(t − cos t )  Penyelesaian Untuk menghitung panjang busur, mula-mula mula kita hitung dulu dx dt dan dy dt .

dy dx = 9 (1 − cos t ) dan = 9 (1 + sin t ) . dt dt Kemudian kita gunakan persamaan (12) untuk menghitung panjang busurnya seperti berikut. β

s=∫ ( α

dx 2 dy 2 ) + ( ) dt = dt dt

2π

2π

∫ 0

2π

= 9 ∫ 2(1 − cos t ) dt = 9 ∫ 0

9 2 (1 − cos t ) 2 + 92 (sin 2 t ) dt

0

2π

t t 4sin dt = 18 ∫ sin dt 2 2 0 2

2π

t = ( −36 cos ) = 72. 2 0 Cari Carilah panjang kurva dari hiposikloid berikut

x = 6cos3 t   0 ≤ t ≤ 2π . y = 6sin 3 t 



Integral di RN

Sistem Koordinat Polar

3.3

Sistem Koordinat Polar, Persamaan Polar, Hubungan antara Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius, Persamaan Polar untuk Garis, Lingkaran, dan Irisan Kerucut (Konik), Grafik Persamaan Polar

y P (x,y)

Koordinat Polar O

Koordinat Cartesian

x

Gambar 1 P (r,Ө) Ө Sumbu Polar

Koordinat yang telah lebih dahulu dikenal adalah ada koordinat Cartesius atau sistem sistem koordinat tegak lurus yang yan ditemukan oleh Rene Descartes. Setiap Setiap titik P pada bidang memiliki koordinat yang terdiri pasangan bilangan (x,y)) yang diartikan jarak dar dua buah sumbu yang saling tegak lurus. (Gambar 1). dari Kemudian munculah sistem koordinat polar yang dilengkapi dengan setengah garis tetap yang disebut sumbu polar dan titik tertentu O , yang disebut kutub/titik awal. Oleh karena itu, sistem ini disebut juga sistem koordinat kutub. Sedangkan θ adalah besar sudut dalam radian, yang diukur berlawanan arah jarum jam (jika θ >0) dari sumbu-x sebagai sisi awal. awal (Gambar 2).

Gambar 2

Jika r > 0 , maka P terletak pada sisi kedua dari sudut dan berjarak r dari titik awal. Jika r < 0 maka P terletak pada garis berlawanan dengan sisi kedua pada jarak r = −r > 0 dari titik kutub (Gambar 3).

Ө |r|

Jika r positif, titik P terletak pada kuadran yang sama dengan θ , tetapi jika r negatif,, maka P terletak pada sisi yang berber lawanan kuadran. kuadran Jika r=0, θ tidak berarti apa-apa. apa

Gambar 3

Contoh 1 Koordinat polar

r<0

(3,π/2)

(2,π/3 (2 1/2,π/3)

Keistimewaan setiap titik pada sistem koordinat mempunyai tak terhingga koordinat polar. Karena kenyataan sudut θ + 2π n , n=0,±1, ±2. ….. mempunyai titik sudut yang keduanya sama. n=0,±1, Contohnya, koordinat ( 4, π 2 ) juga mempunyai koordinat

( 4,5π 2 ) , ( 4, −3π 2 ) , ( 4, 9 π 2 ) (-1,π/4)

dan seterusnya.

Jadi titik ( 4, −3π 2 ) mempunyai koordinat ( 4, π 2 ) . Titik awal mempunyai koordinat

( 0,θ )

(Gambar 4).

Gambar 4



Integral di RN

Persamaan Polar Berikut ini adalah beberapa beberap contoh persamaan polar dan gambarnya. Contoh 2 P Persamaan polar r = 4sin θ (Gambar 5). θ

0 π/6 π/3 π/2 2/3π 5/6 π π 7/6 π 4/3 π

r 0 2 3.47 4 3.47 2 0 -2 -3.47

(4,π/2) π/2) (3.47,π/3 (2,π/6)

Gambar 5

with(plots):polarplot(4*sin(theta),theta=0..2*Pi);

Contoh 3 Gambar dari persamaan polar r =

θ 0 π/4 π/2 3/4 π π 5/4 π 3/2 π 7/4 π 2π

2 (Gambar 6). 1 − cos θ

r 6.8 2 1.2 1 1.2 2 6.8 Gambar 6

with(plots):polarplot(2/(1-cos(theta)), with(plots):polarplot(2/(1 cos(theta)), theta=0..2*Pi);

Contoh 4 Co Gambar r = θ ; θ ≥ 0 θ = [0, 2π ] (Gambar 7).


disebut

spiral

Archimedes

dari


Integral di RN

θ π/4 π/2 3/4 π π 5/4 π 3/2 π 7/4 π 2π

(1/2 π , 1/2 π) (1/4 π , 1/4 π )

r π/4 π/2 3/4 π π 5/4 π 3/2 π 7/4 π 2π

Gambar 7 with(plots):polarplot(theta,theta=0..2*Pi);

Coba kalian gambarkan persamaan dalam koordinat polar berikut

1. r = 2 − 2sin θ 2. r = 3cos ( 4θ ) 3. r = 9eθ .

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius y

Jika sumbu polar dianggap sebagai sumbu-x, sumbu maka titik P dapat dinyatakan (r , θ ) dalam koordinat polar dan dinyatakan

P

sebagai ( x, y ) dalam koordinat Cartesius (Gambar 8). r

θ O

y x

x

Perubahan dari koordinat polar ke koordinat Cartesius dan dari koordinat Cartesius ke koordinat polar dinyatakan dalam Persamaan (13) berikut,

Gambar 8

x = r cos θ y = r sin θ

(1)

r 2 = x2 + y2 tan θ =

y x

Contoh 5 Ubahlah koordinat polar ( 4, π 6 ) menjadi koordinat Cartesius. Penyelesaian Diketahui

π

(r , θ ) = (4, ) , maka dengan menggunakan 6

Persamaan (13) diperoleh

 3 = 2 3  6 2  ( x, y ) = (2 3, 2) 1 π  y = r sin θ = 4sin = 4. = 2  6 2

x = r cos θ = 4 cos


π

= 4.


Integral di RN Carilah bentuk koordinat Cartesius jika diberikan koordinat polar seperti berikut

( r ,θ ) =  5, 

3π  . 4 

Contoh 6 Ubahlah koordinat Cartesius (−3, 3) menjadi koordinat polar. Penyelesaian Diketahui ( x, y ) = (−3, 3) persamaan (13) diperoleh

maka

dengan

menggunakan

r 2 = x 2 + y 2 = 9 + 3 = 12 tan θ =

3 1 π (Kuadran II). =− 3 →θ = 5 −3 3 6

Sehingga diperoleh koordinat polar berikut

π

(r ,θ ) = (2 3,5 ). 6 Coba kalian tentukan bentuk koordinat polar jika diberikan koordinat Cartesius Cartesi seperti berikut

( x, y ) = ( −4

)

2, −2 6 .

Persamaan Polar untuk Garis, Lingkaran & Irisan Kerucut (Konik) P (r,

θ

)

Garis r

θ - θ0 d θ0 Q

O

gr L

Garis L pada Gambar 9 melalui P (r , θ ) dengan jarak d dari titik kutub. Lihat ∆OPQ

cos θ − θ 0 = Gambar 9

Jadi , (2) r =

P (r,

r

θ

OQ d = OP r

d cos θ − θ 0

,

Persamaan (14) merupakan persamaan polar untuk garis.

)

Lingkaran

θ - θ0

(a,

θ

a M

O Gambar 10

)

Perhatikan lingkaran jari-jari a dengan titik pusat ( a, θ 0 ) pada Gambar 10. Misalkan P (r , θ ) pada lingkaran, maka lihat ∆OPM dalam kosinus pada segitiga,

a 2 = r 2 + a 2 − 2ar cos(θ − θ0 ) 2ar cos(θ − θ 0 ) = r 2



Integral di RN

Sehingga, 2

L P (r,

θ

)

(3) r = 2ar cos(θ − θ0 ) . Persamaan (15) adalah persamaan polar untuk lingkaran. Irisan Kerucut (Konik)

θ - θ0 d

Perhatikan irisan yang dibentuk oleh satu titik fokus (focus) F dan satu garis direktriks (directrix) L pada Gambar 11. Jika P ( r ,θ ) titik pada irisan kerucut, maka rasio antara jarak P dari

θ0

F Konik

fokus PF dengan jarak P dari garis direktriks L PL adalah suatu konstanta positif e yang (eccentricity) yang memenuhi

disebut

eksentrisitas

| PF |= e | PL | .

Gambar 11

Untuk kasus dimana irisan kerucut diposisikan sedemikian rupa sehingga fokusnya terletak di titik kutub O = ( 0, 0 ) dan

Ingat ! Jika 01 disebut hiperbola

direktriksnya

adalah

sejauh

d

satuan

maka

bentuk

| PF |= e | PL | akan menjadi r = e(d − r cos(θ − θ0 ))

r = ed − er cos(θ − θ 0 ). Maka, (4)

r=

ed 1 + e cos(θ − θ 0 )

adalah persamaan polar untuk irisan kerucut. Rangkuman Garis

d d

θ0

O

d

O

r=

d cos(θ − θ 0 )


r=

d cos θ

r=

d sin θ


Integral di RN Lingkaran

a

a

θ0

a

O

O O

r = 2a cos(θ − θ 0 )

r = 2a cos θ

r = 2a sin θ

Irisan Kerucut (Konik)

d

d d

θ0

O

O O

r=

ed 1 + e cos(θ − θ 0 )

r=

ed 1 + cos θ

r=

ed 1 + e sin θ

Contoh 7 Carilah persamaan elips yang mempunyai eksentrisitas e =

1 2

dengan fokus pada titik kutub O ( 0, 0 ) , dan direktriks vertikal 10 satuan disebelah kanan titik kutub. Penyelesaian Persamaan : r =

1 .10 10 2 = 1 + 1 cos θ 2 + cos θ 2

Jika dinyatakan dalam koordinat Cartesius, maka

r (2 + cos θ ) = 10 2r + r cos θ = 10 2r + x = 10 → r =

10 − x 2

10 − x 2 100 + x 2 − 20 x ) → x2 + y 2 = r2 = ( 2 2 2 2 2 2 x − x + 2 y = 100 − 20 x x 2 + 20 x + 2 y 2 = 100 → ( x + 10) 2 + 2 y 2 = 200 → Modul Matematika Dasar A2

( x + 10) 2 y 2 + =1 200 10


Integral di RN Coba kalian tentukan persamaan elips (dalam koordinat Cartesius)

yang memiliki

eksentrisitas

3 dengan fokus 4

O ( 0, 0 ) , dan direktriks vertikal 20 satuan disebelah kanan titik kutub. Coba kalian selidiki bentuk irisan kerucut yang dinyatakan dalam koordinat polar berikut dan tentukan bentuk koordinat Cartesiusnya. (r, )

r=

θ

θ −θ

Grafik Persamaan Polar Persamaan polar, seperti garis, lingkaran dan irisan kerucut sudah diperkenalkan beserta grafiknya pada subbab sebelumnya. Suatu kurva kadang lebih sederhana dinyatakan diny dalam koordinat polar dibandingkan di kan bila dinyatakan dalam koordinat Cartesius. Cartesius Tetapi kadang kala terjadi hal sebaliknya. Oleh karena itu akan lebih baik jika jika mengetahui lebih dari satu sistem koordinat. Beberapa kurva mempunyai persamaan sistem persama yang se sederhana di suatu sistem ,namun juga sederhana pada sistem lainnya lainnya. Kesimetrian dapat memper- mudah dalam menggambar suatu grafik.

(r, - θ ) (-π, π - θ )

Gambar 12 (r, π - θ ) (-r, - θ )

1. Grafik dari persamaan polar adalah simetrik terhadap sumbu-x (sumbu polar) jika perubahan ( r ,θ ) menjadi

θ

θ

6 1 + cos θ

( r , −θ )

atau

( −r , π − θ )

akan menghasilkan persamaan

yang sama (Gambar 12). Gambar 13

2. Grafik persamaan polar adalah simetrik terhadap sumbu-y (garis θ = π 2 ) jika perubahan ( r ,θ ) menjadi ( −r , −θ ) (r,

θ

)

atau ( r , π − θ ) akan menghasilkan ghasilkan persamaan yang sama (Gambar 13).

θ (-r,

θ

)

3. Grafik persamaan polar adalah simetrik terhadap titik awal (pole) jika perubahan ( r ,θ ) menjadi ( −r , −θ ) atau

( r,π + θ )

(r,π + θ )

akan menghasilkan ghasilkan persamaan yang sama

(Gambar 14). Gambar 14 Contoh 8 Gambarkanlah grafik persamaan r 2 = 8 cos 2θ . Penyelesaian Karena cos(−2θ ) = cos 2θ dan



Integral di RN

θ 0 π/12 π/6 π/4

cos 2 (π − θ ) = cos(2π − 2θ ) = cos(−2θ ) = cos(2θ )

r ± 2.8 ± 2.6 ±2 0

Maka dari grafik tersebut simetrik terhadap dua buah sumbu, Gambar 15.

r = 8cos 2θ with(plots): implicitplot(r^2=8*cos(2*theta), implicitplot(r^2=8*cos(2*theta), r=0..3,theta=0..2*Pi,coords=polar);

Contoh 9 Gambarkanlah grafik persamaan kurva r = 1 − 2 cos θ . Penyelesaian

Gambar 15

1 0 ≤θ ≤ π 3

0 ≤θ ≤ π

(--1,0) Sb. Polar

(3,π)

5 0 ≤θ ≤ π 3

Sb. Polar

0 ≤ θ ≤ 2π

Sb. Polar

Sb. Polar

with(plots):polarplot(1with(plots):polarplot(1 2*cos(theta),theta=0..2*Pi);

Coba kalian gambarkan grafik grafik dari persamaan polar r = 3sin ( 3θ )

Luas Daerah dalam Koordinat Polar

3.4

Luas Daerah dalam Koordinat Polar, Luas antara Dua Koordinat Polar

θ

=β

r = f (θ )

Luas Daerah dalam Koordinat Polar

R

θ =α Gambar 1

Misalkan r = f (θ ) menyatakan suatu kurva pada bidang dengan f suatu fungsi kontinu untuk α ≤ θ ≤ β dan β − α ≤ 2π



Integral di RN Kurva r = f (θ ) , θ = α , θ = β dibatasi mempunyai luas A(R), lihat Gambar 1.

θn

oleh

R,

yang

Rn R1

θ1 θ0

Partisi interval [α , β ] menjadi n subinterval α = θ 0 〈θ1.....〈θ n = β sehingga R terbagi menjadi R1 , R2 ,..Rn (Gambar 2). Jadi

A( R ) = A( R1 ) + A( R2 ) + ..... + A( Rn ) .

Gambar 2

Perhatikan A(R1)

△θi = θi − θi −1 1 1 [ f (ui )]2 △θi ≤ A( Ri ) ≤ [ f (vi )]2 △θi 2 2

θi

dan n

Ui

∆θi

n n 1 1 2 [ f ( u )] △ θ ≤ A ( R ) ≤ [ f (vi )]2 △θi ∑ ∑ ∑ i i i =1 2 i =1 i =1 2 i

Vi

Ri θ i −1

Gambar 3

r = 1 − cos θ

Jika partisi diambil kecil sehingga mendekati 0, didapat β

(5)

1 A = ∫ [ f (θ )]2 dθ 2α

Contoh 1 Hitunglah luas cardioids r = 1 − cos θ seperti pada Gambar 4. Penyelesaian 2π

A=

∫ 0

1 1 (1 − cos θ )2 dθ = 2 2

2π

1 = 2 Gambar 4

∫ (1 − 2 cos θ + cos

2

θ ) dθ

0

2π

3

∫ ( 2 − 2 cos θ + cos 2θ ) dθ 0

2π

∫ cosθ dθ = sin θ

2π 0

=0

0 2π

2π

1 ∫0 cos 2θ dθ = 2 sin 2θ

r = 4sin 2θ

=0 0

Jadi, luas cardiods

1 A= 2

Gambar 5

2π

∫ 0

3 3 dθ = 2 4

2π

3

∫ dθ = 2 π . 0

with(plots):polarplot(1 cos(theta),theta=0..2*Pi); with(plots):polarplot(1-cos(theta),theta=0..2*Pi);

Contoh 2 Hitunglah luas dari satu daun rose r = 4sin 2θ seperti pada Gambar 5.



Integral di RN Penyelesaian

r = 3cos 4θ

1 A= 2

π /2

∫ 0

π /2

=8 ∫ 0

= 4θ

1 (4sin 2θ ) dθ = 2

π /2

∫ 16sin

2

π /2 0

∫

2θ dθ

0

π /2

1 − cos 4θ dθ = 4 2

2

π /2

dθ −

0

∫ cos 4θ

dθ

0

π /2

− (sin 4θ ) 0

Gambar 6 with(plots):polarplot(4*sin(2*theta),theta=0..Pi/2) ;

Coba kalian tentukan luas dari delapan daun rose r = 3cos 4θ seperti pada Gambar 6.

with(plots):polarplot(3*sin(4*theta),theta=0..2*Pi; with(plots):polarplot(3*sin(4*theta),theta=0..2*Pi

Luas antara Dua Kurva Polar

r = f (θ )

Pandang dua kurva r = f (θ ) dan r = g (θ ) dengan f (θ ) ≥ g (θ ) ≥ 0 untuk α ≤ θ ≤ β seperti Gambar 7, maka luas antara dua kurva tersebut adalah β

r = g (θ )

β

1 1 A = ∫ [ f (θ )]2 dθ − ∫ [ g (θ )]2 dθ α 2 α 2

(18)

β

Gambar 7

1 ([ f (θ )]2 − [ g (θ )]2 ) dθ 2 α∫

=

Contoh 3 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh r = 1 + 2cos θ dan bagian lingkaran r = 2 . (Gambar 5) θ=

π

π

Penyelesaian :

1 A= 2

3

3

∫π [(1 − 2 cos θ )

−

2

− 2 2 ] dθ

3

π 3

Sb. Polar

= ∫ [(4 cos θ + 4cos 2θ − 3] dθ 0

π 3

= ∫ [(4 cos θ + 2cos 2θ − 1] dθ 0

Gambar 8

π

= [4sin θ + sin 2θ − θ ] 03 =


15 3 − 2π 6


Integral di RN

Coba kalian tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva r = 3 + 2 cos θ dan lingkaran dengan r = 4 seperti pada Gambar 9. with(plots): polarplot({3+2*cos(theta),4},theta=0..2*Pi);

r = 3 + 2 cos θ

r=4

Gambar 9



Bab 3. Kurva Parametrik Bidang Dan Koordinat Polar

Recommend Documents