Bab 3 Persamaan Tak Linier

Bab 3 Persamaan Tak Linier


Persamaan Linier

y = m x

y

+ c

y=x

LINIER

x

Gambar 3.1 Kurva linier Persamaan Tak Linier Contoh:

y

y = exp( x)

NON-LINIER Gambar 3.2 Kurva tak linier

x

Halaman 48 dari 101


Berikut ini beberapa contoh Persamaan Tak Linier Tabel 3.1 Contoh Persamaan Tak linier Jenis Pers.

Contoh

Tak Linier Persamaan Kuadrat

x2 − x+ 4=3 0

Persamaan Polinomial

3 2 x4 + x+ 6− x− 7 = x6 8 0

Persamaan Transenden

sin x2− exp(−= x ) 0

Persamaan Logaritmik

2

2 ln(1 + )− x22ex − p(=) x0

Dalam aplikasinya di bidang teknik kimia, persamaan tak linier memiliki peranan yang sangat penting. Tabel 3.2 Aplikasi Persamaan Tak Linier dalam bidang teknik kimia Aplikasi Pers. Tak Linier

Neraca Massa dan Energi,

Termodinamika

Contoh

Tout

Tin

To

To

ε∆H 0o+ N out ∫ C out, − dT N in∫=C in, P i Pi P=

RT a − V −b V 2

0

(1

Persamaan gas nyata/kubik, Kesetimbangan reaksi kimia,

Operasi Teknik Kimia, dll.

ln K +

o ∆G0− ∆ H 0o∆ H 0o + + RT 0 RT

 n α j zjFF   ∑ φ  j =1 α j −

− F (1 − q= ) 0

o T T ∆ C po 1 ∆C p −∫dT =∫ 0 T RT0 RT0 T

dT

(2

Persamaan kubik tersebut diusulkan oleh Johannes Diderik van der Waals (1873), Fisikawan Belanda, peraih nobel Fisika pada tahun 1910. 2) Persamaan Underwood untuk distilasi multikomponen. Klasifikasi persamaan tak Linier 1)

Berdasarkan jumlah banyaknya persamaan tak linier dibagi menjadi dua

Halaman 49 dari 101


1. Persamaan Tunggal Persamaan tak linier hanya satu buah. Contoh: x 2 + 2 x − 3 = 0

f ( x) = 0

2. Persamaan Serentak/Sistem Persamaan Persamaan tak linier terdiri atas minimal dua buah.

f 1 ( x1 , x 2 ,..., x N ) = 0

f 2 ( x1 , x 2 ,..., x N ) = 0 ... f N ( x1 , x 2 ,..., x N ) = 0

Contoh :

2 x − sin { ( x + y ) / 2} = 0 2 x − cos{ ( x − y ) / 2} = 0

Solusi Persamaan Tak Linier Tunggal Mencari akar-akar x yang membuat harga y atau f(x) menjadi nol. f ( x) = 0 → x = .... ?

Ada berbagai metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persaman tak linier tunggal, diantaranya:  Metode Penyetengahan Interval  Metode Substitusi Berurut  Metode Wegstein  Metode Interpolasi Linear 

Metode Newton-Raphson,dll.

Dalam diktat ini hanya akan diterangkan metode penyetengahan interval dan metode Newton-Raphson..

Metode penyetengahan interval Tabel 3.3 Karakteristik metode penyetengahan interval No

Keunggulan

Kelemahan

Halaman 50 dari 101


1. 2.

Sederhana

Tebakan awal terdiri atas dua buah [a,b]

Pasti konvergen

dan harus memenuhi f(a)*f(b)<0 Laju konvergensi relatif lebih lambat daripada metode Newton-Raphson

Algoritma metode penyetengahan interval 1. Mulai 2.

Definisikan persamaan tak linier yang akan dicari akarnya dan tetapkan toleransinya. Misalkan: f(x) = log(x) . Tol = 1e-5

3.

Tetapkan dua buah tebakan awal a dan b. Misalkan: a = 0.1 dan b = 10.

4.

Hitung harga f(a) dan f(b) Hitung: f(0.1) = log(0.1) = -1 f(10) = log(10) = 1

5.

Periksa apakah syarat f(a) * f(b) < 0 terpenuhi. Jika syarat terpenuhi proses dilanjutkan ke langkah berikutnya. Jika tidak kembali ke langkah 2. Periksa: f(0.1) * f(10) = -1*1 = -1 < 0. Syarat terpenuhi proses berlanjut ke langkah berikutnya.

6.

Hitung harga m = (a + b) / 2 Hitung: m = (0.1 + 10)/2 = 5.05

7.

Hitung harga f(m) Hitung: f(5.05) = log(5.05) = 0.7033

8. Periksa apakah f(a) * f(m) > 0 terpenuhi. Jika terpenuhi, harga a diganti dengan m. Jika tidak terpenuhi harga b yang diganti dengan m. Periksa: f(0.1) * f(5.05) = -1*0.7033 = -0.7033 < 0. Syarat tidak terpenuhi harga b diganti dengan m, sehingga b yang baru = 5.05. 9.

Periksa kriteria iterasi, |(a - b)/a| > Tol. Jika kriteria iterasi terpenuhi proses kembali ke langkah 5. Jika tidak dilanjutkan ke langkah berikutnya.. Periksa: |(0.1 – 5.05)/0.1| = 49.5 > 1e-5. Kriteria iterasi terpenuhi, maka kembali ke langkah 5.

10.

Hitung harga akar pembuat nol, x = (a + b) / 2

Halaman 51 dari 101


11. Selesai Algoritma yang telah disusun dimuka, dapat juga dituliskan dalam bentuk diagram Alir (flow chart) sebagai berikut: 1

mulai

m=(a+b)/2

Definisikan f(x) dan toleransi

Hitung harga: f(m)

Tetapkan harga a dan b

f(a)*f( m)>0

y a Hitung harga: f(a), f(b)

tid ak

a=m f(a)=f(m)

b=m f(b)=f(m)

ya |(a-b)/a|>tol

tidak

f(a)*f(b) <0

ya

tidak x*=(a+b)/2

1 Selesai

Gambar 3.3 Algoritma metode penyengahan interval Pemrograman metode penyetengahan interval dengan menggunakan bahasa MATLAB.

Halaman 52 dari 101

Bab 3 Persamaan Tak Linier biseksi.m fbiseksi. ni,memempunyai,dua.,tujuanutmaa tidak memakai nama-nama yang telah didefinisikan oleh MATLAB. dalam m-file.is perintahunction x = biseksi(fungsi,a,b,tol) % a = tebakan awal pertama, b = tebakan awal kedua % tol = toleransi while abs((a - b)/a) > tol fa = feval(fungsi,a); fb = feval(fungsi,b); if fa*fb > 0 error('masukan tebakan a dan b yang berbeda') end m = (a + b)/2; fm = feval(fungsi,m); if fm*fa > 0; a = m; else b = m; end end x=(a+b)/2;

Contoh: Carilah akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 4 x + 3 = 0 dengan menggunakan metode penyetengahan interval!. %kuadrat.m function y = kuadrat(x) y = x^2+4*x+3;

Perintah pada command window sbb: >>biseksi(‘kuadrat’,-2,1,1e-6) ans = -1.0000 >> biseksi('kuadrat',-2,-4,1e-6) ans = -3.0000

Dari perhitungan menggunakan metode bisection diperoleh akar-akar dari persamaan kuadrat adalah [-1,-3]. Metode Newton-Raphson Tabel 4.3 Karakteristik metode penyetengahan interval

Halaman 53 dari 101


No 1.

Keunggulan Hanya butuh satu tebakan

2.

awal. Laju konvergensi cepat

Kelemahan Kekonvergenan adakalanya gagal dicapai.

y f ( xn ) 0

xn

xn +1

x

Gambar 3.4 Metode newton-Raphson

f '( xn ) = gradien = xn +1 = xn −

f ( xn +1 ) − f ( xn ) 0 − f ( xn ) = xn +1 − xn xn +1 − xn

f ( xn ) f '( xn )

Metode Newton-Raphson.

xn +1 = xn −

f ( xn ) f '( xn )

Algoritma Metode Newton-Raphson 1. Mulai 2.

Definisikan persamaan tak linier dan turunannya. Misalkan: f(x) = log(x). f ' ( x) =1 /( x ln 10 )

3.

Tetapkan harga tebakan awal ( x 0 ) dan besar toleransinya Misalkan: x 0 = 0.1 . Tol = 1e-5

4.

Nyatakan x = x 0 dan x0 = x +1 . x = 0.1 x0=0.1+1=1.1

Halaman 54 dari 101

Bab 3 Persamaan Tak Linier 5.

Periksa kriteria iterasi |(x – x0)/x| > Tol. Jika kriteria iterasi terpenuhi proses dilanjutkan. Jika kriteria iterasi tidak terpenuhi proses dihentikan. Akar pembuat nol diperoleh.

6.

Nyatakan x0 = x. x0 = 0.1

7.

Hitung harga f(x0) dan f’(x0). f(0.1) = -1 f’(0.1) = 1/(0.1*ln10) = 4.343

8.

Hitung harga x = x0 − x = 0.1 −

f ( x0 ) f ' ( x0 )

(−1) = 0.3303 4.343

9. Kembali ke langkah 5 10. Selesai.

Halaman 55 dari 101


Mulai

Definisikan f(x) dan f’(x), x0, tol Nyatakan: x = x0 x0 = x + 1

|(x-x0)/x|>tol

tidak

ya Nyatakan: x0 = x

Tampilkan x* = x

Hitung harga: f(x0) dan f’(x0)

Selesai

Hitung harga: x=x0-f(x0)/f’(x0) Gambar 3.5 Algoritma metode Newton-Raphson

Halaman 56 dari 101


%NewRap.m function [x iter] = NewRap(fungsi,dfungsi,x0,tol) % fungsi = fungsi yang akan dicari akar-akarnya % dfungsi = turunan pertama fungsi % x0 = tebakan awal % tol = toleransi itermax = 100; iter = 0; x = x0; x0 = x + 1; % loop iterasi while abs((x - x0)/x) > tol & iter <= itermax iter = iter + 1; x0 = x; fx= feval(fungsi,x); df= feval(dfungsi,x); % Rumus Newton-Raphson x = x0 - fx/df; end

%kuadrat.m function y = kuadrat(x) y = x^2+4*x+3;

%dkuadrat.m function dy = dkuadrat(x) dy = 2*x+4;

Kita gunakan contoh kasus yang sama dengan contoh pada metode bisection. y = x2 + 4x + 3 = 0 dy = 2x + 4 dx >> [x iter]=NewRap('kuadrat','dkuadrat',2,1e-6) x = -1.0000

Halaman 57 dari 101


iter = 6 >> [x iter]=NewRap('kuadrat','dkuadrat',-4,1e-6) x = -3.0000 iter = 5

Dari perhitungan menggunakan metode Newton Raphson diperoleh akar-akar dari persamaan kuadrat adalah [-1,-3]. Subrutin dalam MATLAB untuk persamaan tak linier tunggal MATLAB telah menyediakan program untuk menyelesaikan persamaan linier tunggal yang telah menyatu dengan program MATLAB itu sendiri. Ada dua subrutin yang umum digunakan, yaitu roots dan fzero. Tabel 4.4 Perbandingan subrutin roots terhadap fzero Rutin

Keunggulan

roots.m

1. Seluruh akar dapat diketahui

Kelemahan 1. Hanya untuk pers. kuadrat

dengan hanya sekali

dan polinomial.

menjalankan rutin. 2. Tidak membutuhkan tebakan fzero.m

mula. 1. Solusi bagi segala jenis pers tak

1. Hanya satu buah akar

linier.

yang dapat diketahui sekali menjalankan rutin. 2. Membutuhkan tebakan mula.

Penggunaan roots: Penulisan perintah roots di Command window MATLAB C(1)*X^N + ... + C(N)*X + C(N+1)

Halaman 58 dari 101


C = [C(1) C(2)........C(N) C(N+1) roots(C) Contoh persamaan kuadrat x 2 + 4 x − 5 = 0 maka C(1)=1, C(2)=4, C(3)= -5. Carilah akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini. x2 + 4x − 5 = 0 MATLAB Command window >> C=[1 4 -5] C = 1

4

-5

>> roots(C) ans = -5 1

Penggunaan fzero: Penulisan fzero di MATLAB Command window

x =fzero(‘fungsi’,x0) Contoh penggunaan fzero: x2 + 4x + 3 = 0 Penulisan contoh di MATLAB Command window >> fzero('x^2+4*x+3',0) ans = -1

Halaman 59 dari 101


Untuk keteraturan dan kemudahan pemanggilan akan lebih baik mendefinisikan fungsi pada m-file. %kuadrat.m function y = kuadrat(x) y = x^2+4*x+3

Baru kemudian kita panggil fungsi dari MATLAB Command window >> x = fzero('kuadrat',0) x = -1

Untuk mencari akar lainnya, ubah tebakan awalnya. >> x = fzero('kuadrat',-4) x = -3.0000

Kasus 3 Aplikasi subrutin roots Kasus 3 Tekanan uap n-butana pada temperatur 350 K adalah 9.4573 bar. Hitunglah volume molar uap jenuh dan cair jenuh n-butana pada Kondisi tersebut dengan menggunakan persamaan gas Van der Waals. (R=8.314j/mol.K ;Tc=425.1 K; Pc=37.96 bar)

Jawaban: Persamaan Van der Waals P=

RT a − V −b V 2

a=

27 R 2T c2 64 Pc

dan =b

1 RT c 8 Pc

Transformasi ke dalam bentuk umum pers.polinomial

Halaman 60 dari 101


P (V − b)(V 2 ) = RTV 2 − a (V − b) P (V 3 − bV 2 ) = RTV 2 − aV + ab PV 3 − ( Pb + RT )V 2 + aV − ab = 0 % kasus3.m clear clc % Masukan kondisi operasi P = input('masukan tekanan, Pa = '); T = input('masukan temperatur, K = '); R = 8314 ; %J/(kmol.K) Pc = 37.96e5; %Pa Tc = 425.1; %K % Hitung konstanta a & b a = (27/64)*R^2*Tc^2/Pc; b = (1/8)*R*Tc/Pc; % Definisikan koefisien polinomial VdW=[P, -(P*b + R*T), a, -a*b]; vol = roots(VdW) %liter/mol

Eksekusi program kasus3.m. Masukan dan hasil di Command Window >>kasus3 masukan tekanan, Pa = 9.4573e5 masukan temperatur, K = 350 vol = 2.6669 0.3354 0.1910

Kasus 4 Aplikasi subrutin fzero Diketahui sebuah persamaan kapasitas panas sbb.

Cp = 0.716 − 4.257 E −6T +

15.04 T

 kJ   kg .K   

Tentukan temperatur pada saat Cp = 1 kJ/kg.K !

Halaman 61 dari 101


Langkah 1 Membuat program fungsi yang akan dinolkan. %KapPns.m function f = KapPns(T,cp) %Persamaan tak linier yang akan dinolkan f = cp - 0.716 + 4257e-6*T - 15.04/T^0.5;

Langkah 2 Membuat program pengeksekusi % kasus4.m clear clc cp = input('masukan kapasitas panas,kJ/kg.K = '); T = fzero(@(T) KapPns(T,cp),100)

Langkah 3 Eksekusi program kasus4.m Masukan dan hasil di Command Window >> kasus4 masukan harga kapasitas panas,kJ/kg.K = 1 T= 189.7597

Tugas 4 Menyelesaikan persamaan tak linier tunggal dengan menggunakan subrutin MATLAB Tekanan uap n-butana pada temperatur 350 K adalah 9.4573 bar. Volume molar uap jenuh dan cair jenuh n-butana pada kondisi tersebut dapat dihitung dengan menggunakan persamaan kubik Redlich-Kwong-Soave sebagai berikut: P=

RT aα − V − b V (V + b)

Dalam bentuk persamaan polinomial menjadi sebagai berikut::

Halaman 62 dari 101


Z 3 − Z 2 + ( A − B − B2 ) Z − AB = 0 Dengan: B=

bP α aP PV A= 2 2 Z = RT RT RT 2

 0.0867 RTC  0.4278R 2TC2 T  a= α = 1 + S  1 − ;b =  ; PC PC TC     S = 0.48508 + 1.55171ω− 0.15613ω 2

(R=8.314j/mol.K ;Tc=425.1 K; Pc=37.96 bar; ω = 0.1931). Hitunglah volume molar uap jenuh dan cair jenuh n-butana pada kondisi itu !!.

Sistem Persamaan Tak Linier Sistem persamaan tak linier merupkan persamaan tak linier yang terdiri atas lebih dari satu buah persamaan tak linier. Solusi Sistem Persamaan Tak Linier Metode Newton f ( x1 , x2 ) = 0 f ( x1 , x2 ) = 0

 ∂f1 (1)  ∂x | x  1  ∂f 2 (1)  ∂x | x  1

∂f1 (1)  | x  (1) ∂x2 δ   f (1)    1  = − 1  ∂f2 (1)   ∂ (1) f2(1)  2   |x  ∂x2 

Jδ = − f

x ( n +1) = x( n ) + ρδ

Halaman 63 dari 101

Bab 3 Persamaan Tak Linier function [xnew , iter] = Newton(fnctn,x0,rho,tol,varargin) %(c) by N. Mostoufi & A. Constantinides,January 1, 1999 %Initialization if nargin < 4 | isempty(tol) tol = 1e-6; end if nargin < 3 | isempty(rho) rho = 1; end x0 = (x0(:).')'; % Make sure it's a column vector nx = length(x0); x = x0*1.1; xnew = x0; iter = 0; maxiter = 100; while max(abs(x-xnew)) > tol & iter < maxiter iter = iter + 1; x = xnew; fnk = feval(fnctn,x,varargin{:}); % Set dx for derivation for k = 1:nx if x(k) ~= 0 dx(k) = x(k) / 100; else dx(k) = 1/100; end end % Calculation of the Jacobian matrix a = x; b = x; for k = 1 : nx a(k) = a(k) - dx(k); fa = feval(fnctn,a,varargin{:}); b(k) = b(k) + dx(k); fb = feval(fnctn,b,varargin{:}); jacob(:,k) = (fb - fa) / (b(k) - a(k)); a(k) = a(k) + dx(k); b(k) = b(k) - dx(k); end % Next approximation of the roots if det(jacob) == 0 xnew = x + max([abs(dx), 1.1*tol]); else xnew = x - rho * inv(jacob) * fnk; end end if iter >= maxiter disp('Warning : Maximum iterations reached.') end

Halaman 64 dari 101


Contoh sistem persamaan tak linier. f1 ( x, y ) = x 3 − 3 xy 2 − 1/ 2 = 0 f 2 ( x, y ) = 3 x 2 y − y 3 − 3 / 2 = 0 Langkah 1 Buat terlebih dahulu fungsi sistem persamaan taklinier dalam m-file. %sistem.m function f = sistem(x) f=[x(1)^3-3*x(1)*x(2)^2-0.5 3*x(1)^2*x(2)-x(2)^3-sqrt(3)/2]

Langkah 2 Buat program pengeksekusi menggunakan Newton.m pada m-file yang berbeda atau dapat juga langsung di command window. %run_sistem.m [x iter] = Newton('sistem',[1 2])

Langkah 3 Jalankan program pengeksekusi. Klik debug/run Langkah 2 dapat di loncat dengan menuliskan langsung perintah eksekusi pada Command window >> [x iter] = Newton('sistem',[1 2]) x = 2.5198 1.5874 iter = 7

Subrutin dalam MATLAB untuk sistem persamaan taklinier Solusi sistem persamaan taklinier dapat menggunakan fsolve pada MATLAB. Contoh: x 3 − 3 xy 2 = 1/ 2 3x 2 y − y3 = 3 / 2 Langkah 1 Buat terlebih dahulu fungsi sistem persamaan taklinier dalam m-file.

Halaman 65 dari 101


Langkah 2 Buat program pengeksekusi menggunakan fsolve pada m-file yang berbeda atau dapat juga langsung di command window.

Langkah 3 Jalankan program pengeksekusi. function f = sistem(x) f=[x(1)^3-3*x(1)*x(2)^2-0.5 3*x(1)^2*x(2)-x(2)^3-sqrt(3)/2]

>>[X,FVAL] = fsolve('sistem',[1 2]) Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun. X= 2.5198

1.5874

FVAL = 1.0e-010 * 0.1930 0.0966

Kasus 5 Reaksi reformasi kukus berlangsung menurut rangkaian reaksi kesetimbangan berikut: CH 4( g ) + H 2 O( g ) CO( g ) + 3H2( g )

R-1

CO( g ) + H 2O( g ) CO2( g ) + H2

R-2

Pada suhu 2000 K harga konstanta kesetimbangan untuk masing-masing reaksi adalah 1,930x10-4 dan 5,528. Tentukan komposisi kesetimbangan komponenkomponen apabila Gas umpan berkomposisi 20% CH4(g) dan 80% H2O(g) berada pada kondisi suhu 2000 K dan tekanan 1 atm.

Halaman 66 dari 101


Jawaban Misal ditetapkan basis perhitungan 10 mol gas umpan e1 = derajat reaksi dari reaksi pertama e2 = derajat reaksi dari reaksi kedua Fraksi mol kesetimbangan setiap komponen dapat dinyatakan sebagai berikut: YCO =

e1 − e2 10 + 2e1

YH 2 =

e2 10 + 2e1

YCH 4 =

YCO2 =

3e1 + e2 10 + 2e1

YH 2O =

8 − e1 − e2 10 + 2e1

2 − e1 10 + 2e1

Persamaan konstanta kesetimbangan dinyatakan sebagai berikut: K1 =

YCOYH32 P 2 YCH 4 YH 2O

K2 =

YCO2 YH 2 YCO YH 2O

( e1 − e2 ) ( 3e1 − e2 ) 2 ( 2 − e1 ) ( 8 − e1 − e2 ) ( 10 + 2e1 ) 3

e2 ( 3e1 + e2 )

( e1 − e2 ) ( 8 − e1 − e2 )

= K1

= K2

Berikut ini pemrograman MATLAB-nya. function y = KsT(e,K1,K2) %Sistem Pers.tak linier yang akan dinolkan y = [(e(1)-e(2))*(3*e(1)-e(2))^3 /((2-e(1))*(8-e(1)… - e(2))*(10+2*e(1))^2) - K1 e(2)*(3*e(1)+e(2)) / ((e(1)-e(2))*(8-e(1)-e(2))) - K2];

clear clc K1 = input(‘Masukan konstanta kst. reaksi 1 = '); K2 = input(‘Masukan konstanta kst. reaksi 2 = '); %Pencari nol fungsi KsT.m e = fsolve(@(e) KsT(e,K1,K2),[1 0.5])

Halaman 67 dari 101


Eksekusi di MATLAB command window >>kasus5 Masukan harga konstanta kst. reaksi 1 = 1.93e-4 Masukan harga konstanta kst. reaksi 2 = 5.528 Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun. e= 0.7480

0.6920

Tugas 5 Menyelesaikan sistem persamaan tak linier dengan menggunakan subrutin MATLAB Suatu reaksi elementer A →

B + C berlangsung dalam sebuah reaktor tangki

berpengaduk kontinu. Laju umpan murni A, 12 mol/s pada temperatur 25 oC. Reaksi bersifat eksotermik, untuk itu digunakan air pendingin bertemperatur 50 oC untuk menyerap kalor yang dibebaskan reaksi. Asumsi konstanta kapasitas panas sama baik di sisi reaktan maupun produk, neraca energi untuk sistem ini dirumuskan sebagai berikut: − FAo X ∆H R = FAoC P , A (T − T 0 )+ UA (T − T a )

FA0 = laju molar umpan, mol/s. X

= konversi

∆HR = Kalor reaksi, J/(mol.K) CP,A = kapasitas panas A, J/(mol.K) T

= temperatur reaktor, oC

T0

= temperatur referensi, 25 oC

Ta = temperatur air pendingin, oC

Halaman 68 dari 101


U

= koefisien pindah panas total, W/(m2.K)

A

= luas pindah panas, m2

Untuk reaksi orde pertama konversi dirumuskan sebagai berikut: X=

τk 1+τ k

Dengan τadalah waktu tinggal dalam sekon, dan k adalah laju reaksi spesifik dalam s-1 dihitung dengan menggunakan persamaan Arrhenius: k = 650 exp[− 3800 /(T + 273)]

Hitunglah harga temperatur reaktor dan konversinya!. (∆HR=-1500 kJ/mol; τ=10 s; CP,A = 4500 J/(mol.K); UA/FA0 =700 W.s/ (mol.K).

Halaman 69 dari 101


_______________________________o0o________________________________

Halaman 70 dari 101

Bab 3 Persamaan Tak Linier

Recommend Documents