Aula 2: Elaboração e Interpretação de Gráficos Antony Marco Mota Polito, Prof.
1. Gráficos Lineares i.
Objetivo: representação da relação de causa e efeito entre duas grandezas.
ii. Regras: 1) Construção da tabela:
variável independen te (fixada) x variável dependente (medida)
2) Construção dos eixos:
variável independen te (eixo x : abscissa) x variável dependente (eixo y : ordenada)
iii. Exemplo de Tabela e Gráfico: t(s)
1,0±0,2
2,0±0,2
3,0±0,2
4,0±0,2
5,0±0,2
s(cm)
8,7±0,9
11,5±0,9 17,1±0,9 20,5±0,9 25,0±0,9
iv. Ajuste Linear: a) Construa visualmente uma reta entre os pontos.
b) Encontre as coordenadas de dois pontos da reta e o ponto de corte do eixo y:
P1 (0,5 ; 6,2) P1 (4,5 ; 22,3)
c) Parâmetro Linear: ponto de corte (eixo y - ordenadas)
Ponto de corte (0,0 ; 4,2)
A 4,2 cm
d) Parâmetro Angular : inclinação da reta
B
s2 s1 t 2 t1
22,3 6,2 4,5 0,5
4,0 cm/s
OBS: A determinação do número de algarismos significativos de A e B depende da estimativa de seus erros.
e) Estimativa dos erros de A e B: traça-se retas de inclinação máxima e mínima.
f) Estimativa dos erros de A e B:
27,3 25,4
5,0 3,2 5,3 5,4
g) Estimativa dos erros de A e B: calcula-se Amax , Amin , Bmax e Bmin :
Pontos de corte
Bmax
27,3 3,2 5,4 0,0
(0,0 ; 3,2)
A min
3,2 cm
(0,0 ; 5,0)
A max
5,0 cm
4,5 cm/s
Bmin
25,4 5,0 5,3 0,0
3,8 cm/s
h) Estimativa dos erros de A e B (note: 1 algarismo significativo): B
Bmax
A
Amax
Bmin
4,5 3,8 2
0,4 cm/s
Amin
5,0 3,2 2
0,9 cm
2
2
i) Apresentação e Interpretação dos valores dos parâmetros :
B Velocidade (4,0 0,4) cm/s A Posição Inicial (4,2 0,9) cm
j) Equação da reta = Equação horária:
s
A Bt
4,2 4,0t
2. Linearização de Gráficos i.
Objetivo: representar curvas não-lineares por meio de uma reta, através de uma transformação de variáveis.
ii. Função Polinomial:
Y
CX n.
a) Linearização: logaritmos de ambos os lados: log( Y )
log( CX n )
Y
log Y
log C n log X
log C nX
b) Gráficos Linearizados: 1. Papel milimetrado (bi-linear): log Y x log X. 2. Papel Log-Log: diretamente Y x X.
c) Papel Log-Log: ambas as escalas são proporcionais aos logaritmos do números representados.
log (90) 1,95 log (20) 1,30
log (9) 0,95 log (4) 0,60
log (1) 0 log (3) 0,48 log (10) 1 log (2) 0,30
d) Exemplo: a forma do gráfico bi-linear sugere um movimento com aceleração constante do tipo H Ct n (aqui, queda livre).
e) Linearização: plotagem dos pontos no papel Log – Log.
(1,2 ; 705,6) (1,0 ; 490,0) (0,8 ; 313,6) (0,6 ; 176,4) (0,4 ; 78,4)
f) Linearização: cálculo do valor de C.
C
H (1) 490,0
(1,0 ; 490,0)
log H log C n log t t 1 log( t ) 0 log H log C C H (1) 490 ,0
g) Linearização: cálculo do valor de n.
log H
n
log C n log t
log( H 2 ) log( H1 ) log( t 2 ) log( t1 )
6,2 3,1
2,0
n inclinação geométrica da reta (ambos os eixos na mesma escala)
h) Resultado da linearização: estimativa dos parâmetros da função :
H
Ct n
H
490t 2
i) Previsão teórica: aceleração da gravidade:
H
1 2 at 2
a
980 cm/s 2
9,80 m/s 2
iii.
Função Exponencial:
Y
CenX .
a) Linearização: logaritmos de ambos os lados: log( Y )
log( Ce nX )
log Y
log C nX log e
Y log C n log eX onde n log e parâmetro angular da reta e log C parâmetro linear da reta. b) Gráficos Linearizados: 1. Papel milimetrado (bi-linear): log Y x X. 2. Papel mono-log: diretamente Y x X.
c) Papel Mono-Log: apenas a escala vertical é proporcional aos logaritmos dos números representados.
d) Exemplo: a forma do gráfico bi-linear sugere um movimento desacelerado, do tipo V Ce nX (aqui, frenagem em um fluido).
e) Linearização: plotagem dos pontos no papel Mono – Log.
(0,00 ; 6,00) (20,00 ; 4,80) (40,00 ; 3,85)
(60,00 ; 3,08) (80,00 ; 2,47)
f) Linearização: cálculo do valor de C.
(0,0 ; 6,00)
log V log C (n log e) X X 0 log V log C C V (0) 6,00 m/s.
g) Linearização: cálculo do valor de n.
5,00
3,00
17,50
64,50
g) Linearização: cálculo do valor de n. log V
log C (n log e) X
n log e
log( V2 ) log( V1 ) X 2 X1
n
1 log( 3,00 ) log( 5,00 ) log e 64,50 17 ,50
0,00472 log e
0,00472 log( 2,7183 )
0,00472 0,43429
0,0109 m -1
h) Resultado da linearização: estimativa dos parâmetros da função :
V
Ce nX
V
6,00e
0 , 0109X
