APLICAÇÕES DE TRANSFORMADAS DE CLARK E PARK EM MÁQUINAS ELÉTRICAS Diego Dias Pinheiro UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS – PATO PATO BRANCO e-mail:
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Resumo - O objetivo deste documento é instruir os acadêmicos que tem o interesse em adquirir maior conhecimento em simplificações na modelagem de máquinas elétricas. Com o intuito de facilitar a modelagem foram desenvolvidas técnicas baseadas em transformações lineares, com o objetivo de estabelecer modelos mais simples a partir do modelo original. Palavras-Chave – Máquinas Elétricas, Modelagem, Transformadas Clark – Park. Park. Abstract – The The purpose of this document is to instruct students who have interest in acquiring more knowledge simplifications in the modeling of electrical machines. Aiming to facilitate modeling techniques have been developed based on linear transformations, with the goal of establishing simpler models from the original model. Keywords - Electrical Transformed Clark – Park. Park.
Machines,
Modeling,
I. INTRODUÇÃO No estudo sobre máquina simétrica trifásica relacionase três grandezas fundamentais: elétrica, magnética e mecânica. Através do circuito equivalente e equacionando sob a forma de matrizes de estado, resulta em um modelo onde engloba as dinâmicas durante o seu funcionamento. O circuito equivalente é apresentado por (KRAUSE, WASUNCZUK, & SUDHOFF, 2002) na figura 1, sendo considerado apenas uma fase no sistema.
Figura 1- Circuito Equivalente por Fase. Para realizar o equacionamento da máquina, sem o uso das transformadas. São necessárias algumas simplificações na modelagem para diminuir a complexidade do modelo. Dentre as principais considerações, destacam-se: Os três enrolamentos estatóricos são iguais entre si;
Os três enrolamentos rotóricos são iguais entre si; Os ângulos elétricos entre os enrolamentos são iguais, tanto no estator como no rotor; O entreferro é considerado constante; O circuito magnético é considerado ideal. E a máquina não apresenta saturação.
Como conseqüência das hipóteses de estudos adotadas, pode-se estabelecer o fluxo total na máquina dado conforme a Equação (1) (BARBI, 1984).
sendo o fluxo produzido pelo enrolamento “i” do rotor e o fluxo produzido pelo enrolamento “i” do estator. Outra consideração para o equacionamento de relevância são os enrolamentos do estator e rotor, onde possuem indutâncias próprias constantes.
são constantes.
Realizando a simplificação, devido da igualdade dos enrolamentos, tem-se:
Como conseqüência da defasagem igual entre os enrolamentos tem-se:
Onde: Ms = Indutância mútua entre dois enrolamentos do estator. Mr = Indutância mútua entre dois enrolamentos do rotor. Porém, as indutâncias mútuas entre os enrolamentos do estator e rotor são funções senoidais do deslocamento angular θ.
Para realizar a modelagem sem o uso das transformadas, pode-se aplicar o uso das equações diferenciais. Entretanto, como as equações são não lineares, a resolução torna-se complexa. Desta forma, em
geral, não são empregadas no estudo do comportamento das máquinas por equações diferenciais. Em (BARBI, 1984) é demonstrado a dedução da modelagem do motor de indução através de equações diferenciais. As Equações (2-4) apresentam as tensões e o torque da máquina sem o uso de transformadas:
Por isso, foram desenvolvidas técnicas baseadas em transformações lineares, com o objetivo de estabelecer modelos simplificados do motor de indução. As transformadas de Clark e Park facilitarão a modelagem. II. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO A – Transformada de Clark (αβ0) Em termos matemáticos a transformação αβ0, consiste
em uma transformação linear que diagonaliza as matrizes circulares simétricas, que aparecem na modelagem das máquinas elétricas. Contudo, em termos físicos, a transformação αβ0 é a mudança de um sistema trifásico em um sistema bifásico, com mesma potência mecânica, torque, velocidade e número de par de pólos. É comumente conhecida como transformação trifásico-bifásica (BARBI, 1984). A Obtenção da Transformação é apresentada na figura 2:
Figura 2 - a) Sistema Trifásico b) Sistema Bifásico Equivalente. O sistema trifásico contém os enrolamentos que compõem a estrutura com n 3 espiras figura 2a, e os que compõem a estrutura bifásica possuem n 2 espiras figura 2b.
A análise da transformação de Clark inicialmente se baseará pela grandeza de força magnetomotriz, devido à relação de espiras serem levada em consideração. Uma corrente percorrida por um enrolamento produzirá uma força magnetomotriz F, conforme apresenta a Equação (5).
Portando, será estabelecida uma transformação que permita encontrar Fα e Fβ em função de F 1, F 2 e F3, sendo que a estrutura bifásica produzirá um efeito semelhante ao da estrutura trifásica. Na figura 2a é apresentado um sistema trifásico e sabendo que a transformada de Clark resulta em um sistema bifásico ortogonal com eixo imaginário β e eixo real α, com referência angular estatórica fixa ilustrado na
figura 2b. Basta realizar a decomposição de vetores, resultando nas Equações (6-7).
Através da forma de matriz equação (8):
Com o uso da Equação (5) têm-se as Equações (9-10):
Substituindo as Equações (9-10) na Equação (8), tem-se a relação de corrente da transformada de Clark:
A Equação (11) realiza a transformada de Clark. Porém, deste modo a recíproca não é verdadeira, devido não admitir matriz inversa. Para que uma matriz tenha inversa, necessariamente deve estar no formato de matriz quadrada. Então é definida uma corrente i 0 na Equação (11), contudo ela não produz torque ao sistema, se o mesmo estiver equilibrado. É definida segundo a Expressão (12).
Com o termo is0, temos:
A matriz de transformação. Portanto foi definida como sendo Equação (14):
É considerado a matriz de transformação de Clark, devido o sistema passar o modelo original trifásico para um sistema equivalente bifásico. Assim como apresentada de forma quadrada na Equação (14) a recíproca é verdadeira, sendo possível obter variáveis do sistema trifásico a partir do sistema bifásico. Os termos faltantes na Equação (14) podem ser encontrados da seguinte maneira: potência constante ou tensão constante. Neste trabalho será utilizado com potência constante. Condições para que a potência seja invariante sob uma transformação, Equação (16).
Sejam as Equações (17-18):
As Equações (17-18) representam os vetores tensão e corrente transformadas pela matriz Portanto as matrizes da Equação (15) podem ser expressas pelas Equações (19-21):
Utilizando as Equações (20-21) e substituindo na Equação (16), tem-se (22-26):
Deixando a potência constante tem-se a seguinte equação para determinar os termos faltantes da matriz , conforme a Equação (26):
.
Fazendo a multiplicação de matrizes e isolando as variáveis desejadas. Encontra-se as seguintes relações.
Portanto:
Com a determinação dos termos que faltava para matriz de transformação, a Equação (27) apresenta a matriz completa de Clark.
Realizadas essas deduções chega-se na seguinte definição sobre a transformada de Clark na qual é expressa nas Equações (28-30):
Com a aplicação da matriz de transformação as grandezas de tensão, corrente, fluxo e FMM (força magnetomotriz) do estator são simplificadas de um sistema trifásico para um sistema bifásico. Contudo, o eixo rotórico continua a girar mesmo com a aplicação da transformada de Clark. A seguinte transformada de Park levará em consideração o ângulo existente entre o estator e o rotor.
B – Transformada de Park (dq0) A transformada de Park é a mais importante entre as transformações, pois mesmo com a utilização da transformada de Clark, os enrolamentos do rotor continuam a girar com velocidade . A proposta de Park foi de tornar os enrolamentos do rotor estáticos, ou melhor, enrolamentos do estator fixos e enrolamentos do rotor pseudo-estácionários. Convém informar que as variáveis estatóricas não sofreram a transformada de Park, pois são fixas. Portanto somente as variáveis rotóricas sofreram a ação de transformação. Desta forma podem ser definidas as variáveis do estator no eixo dq em relaç ão aos eixos αβ, pela Equação (31).
em um conjunto de enrolamentos fixos, produzindo efeito semelhante. As correntes dos enrolamentos fixos terão freqüências diferentes das correntes dos enrolamentos girantes. C - Generalização da Transformação de Park A transformada de Park da máquina elétrica simétrica pode ser referenciada para sistemas genéricos. Conforme, a figura 4 ilustra, onde os enrolamentos do estator Sα e Sβ estão em repouso. Os enrolamentos do rotor, Rα e Rβ giram com velocidade . Os eixos dq giram com velocidade . Todos os enrolamentos possuem o mesmo número de espiras. Fazendo as projeções das forças magnetomoriz do rotor e do estator sobre o eixo de referência dq, obtêm-se as Expressões (35-38).
Para que a transformada seja possível é levado em consideração o ângulo existente entre os enrolamentos do rotor e os enrolamentos do estator, conforme apresenta a figura 3a e a figura 3b ilustram o resultado da transformação. Todos os enrolamentos são considerados idênticos.
Figura 4- Transformada de Park segundo um Eixo Referencial.
Figura 3- a) Sistema de eixo αβ 0, b)e a Transformação de Park. Como na transformada de Clark o mesmo conceito é aplicada na transformada de Park. Realizar a decomposição das correntes girantes segundo os eixos fixos, levando em consideração o ângulo entre o eixo αβ em relação ao eixo dq. As Equações (32-33) apresentam a decomposição:
Assim representando em forma de matriz pela Equação 34, tem-se:
Pode – se estabelecer que a transformação de Park, permite converter um conjunto de enrolamentos girantes
Assim em matrizes as Equações (39-40):
Alguns casos particulares, comumente empregados são os seguintes: 1 – Referencial no estator ( ᴪ = 0)
2 – Referencial no rotor (
IV. CONCLUSÕES
III. SIMULAÇÃO
A simulação foi realizada no software MATLAB®. Onde o código é constituído de tensões trifásicas V a,Vb,Vc. Sendo, realizada a transformada de Clark resultando em Vα e Vβ . Contudo, foram utilizados o referencial síncrono ou estatórico para obter as tensões constantes Vd e Vq. Portanto, girando na velocidade síncrona do sistema. A figura 5 apresenta as transformações conforme descrito. No apêndice A é apresentado o código da simulação das transformadas em .m.
As aplicações das transformadas de Clark e Park na área de máquinas elétricas são de grande importância, onde facilita o equacionamento e a modelagem. Com a realização da simulação das transformadas, o entendimento foi satisfatório, pois foi possível analisar o procedimento e o comportamento das transformadas. REFERÊNCIAS [1] KRAUSE, P. C., WASUNCZUK, O., & SUDHOFF, S. D. (2002). Analysis of Electric Machinery and Drive System. IEEE Press & Wiley Interscience . [2] BARBI, I. (1984). Teoria Fundamental do Motor de Indução. Florianópolis : UFSC/ELETROBRÁS.
Tensões Trifásicas
1 0.5 ) V ( o ã s n e T
Apêndice
Va Vb
0
Vc
-0.5 -1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
t(s)
Tensões Bifásicas
2 Valfa
1 ) V ( o ã s n e T
Vbeta
0 -1 -2
%% Simulação
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
t(s)
Tensões Constantes
1.5 Vd
1 ) V ( o ã s n e T
Vq
0.5 0 -0.5
%% Algoritmo para realização das Transformadas de Clarke e Park. % Autor: Diego Dias Pinheiro clear all; clc; f = 60; T = 1/f; Tt = 0.1; nps = 1000; Ts = Tt/nps; t = 0:Ts:Tt; w = 2*pi*f; % Inicializando as variáveis de Tensão Vabc = zeros(3,nps+1); Vab = zeros(3,nps+1); Vdq = zeros(2,nps+1);
0
0.02
0.04
0.06
0.08
t(s)
Figura 5 - Simulação em Matlab das Transformadas.
0.1
phi = 0; Vm = 1; % Tensão com magnitude 1. for k=1:nps % Gerando Sinal de Tensão Trifásico. Vabc(:,k) =[Vm*cos(w*t(k)+phi); Vm*cos(w*t(k)+(2*pi/3)+phi); Vm*cos(w*t(k)+(4*pi/3)+phi)]; % Transformada de Clark Kab = sqrt(2/3)*[1 -0.5 -0.5 0 sqrt(3)/2 -sqrt(3)/2 1/sqrt(2) 1/sqrt(2) 1/sqrt(2)]; Vab(:,k) = Kab*Vabc(:,k); teta = w*t; %Rerencial Síncrono % Transformada de Park Kdq = [cos(teta(k)) -sin(teta(k)) sin(teta(k)) cos(teta(k))]; Vdq(:,k) = Kdq*Vab(1:2,k); end
