Aritmética 2do 4bim 2005

CEP Santa María de la Providencia

C.E.P. Santa María de la Providencia

Cuarto Periodo

1

2do. de Secundaria


Cuarto Periodo

2

2do. de Secundaria


Ca í t ul o1

Cuarto Periodo

3

2do. de Secundaria


Cuarto Periodo

4

2do. de Secundaria


REGLA DE TRES Es una aplicación de las magnitudes proporcionales que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, comparando dos o más magnitudes proporcionales Hay dos clases de regla de tres

1. Regla de Tres Si!le !na regla de tres simple es cuando intervienen solamente dos magnitudes Puede ser

1.1 D"RECTA "a regla de tres simple es directa cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales Sean # y $ dos magnitudes directamente proporcionales, con sus respectivos valores correspondientes

D.P A a1 a2

Coo A D.P #$ se c%!le a1

# &1 '

b1

=

a2 x

E%emplo

Cuarto Periodo

(

2do. de Secundaria


!na cuadrilla de &2 o'reros cavan (&) metros de *an%a en cierto tiempo. +Cuántos metros de *an%a arán -) o'reros en el mismo tiempo

Resol%ci)n* D.P

Se c%!le 42

+&reros 42 /

,an-a 14 '

60

140

=

x

' 0 2 1.2 "ERSA "a regla de tres simple es inversa cuando las magnitudes que invierten son inversamente proporcionales Sean # y $ dos magnitudes inversamente proporcionales, con sus respectivos valores correspondientes ".P A a1 a2

Coo A ".P #$ se c%!le # &1 '

a1b1

=

a2 x1

E%emplo !na cuadrilla de /0 o'reros pueden acer una o'ra en (1 días. +En cuántos días 2( o'reros arán la misma o'ra

Resol%ci)n* ".P

Se c%!le

35.18 2. x +&reros Días 3( 1 21 ' ' 0 3 días 2. Regla de Tres Co!%esta =

Cuarto Periodo

/

2do. de Secundaria


!na regla de tres es compuesta cuando intervienen más de dos magnitudes En general 3'reros4 5.P 6endimiento4 3'reros4 5.P 7ías4 3'reros4 5.P 8d4 3'reros4 7.P 3'ra4 3'reros4 7.P 7i9icultad4 En consecuencia (obreros )(ren dim iento )(días )(h / d ) =

(obra )( Dificultad )

k k : Cte

E%emplo :reinta o'reros en 2) días tra'a%ando 1 oras diarias pueden acer -)) m de *an%a. +En cuántos días 2& o'reros tra'a%ando () oras diarias arán &0) m de *an%a

Resol%ci)n* 3'reros 7ías /) 2) 2& ; Se cumple que

8d 1 ()

3'ra -)) &0)

(obreros )(días )(h / d ) =

(obra )

k

6eempla*ando 30 .20 .8 600

=

24 . x..10

PR+#LEMAS

450

< = (0 días

∴

#L+5E "

Cuarto Periodo

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2do. de Secundaria


)(.> !n grupo de 0 %ardineros i'an apodar un %ardín en - oras. Sólo 9ueron / %ardineros. +?u@ tiempo emplearán en podar el %ardín a4 (2

'4 A

e4 ()

d4 1

e4 (&

)2.> El precio de 2 B docenas de naran%as es S8. 2&. +Cuál será el precio d@ (1 naran%as a4 S8. (2,2) d4 S8. (&,&)

'4 S8. (0,/) e4 S8. (),0)

c4 S8. (-,2)

)/.> !n terreno se vende por partes, los 280 se vendieron en /))). +En cuánto se vendería (8/ del terreno a4 21)) d4  2 D0)

'4  ( -)) e4  2 0))

c4  2 2))

)&.> Se vendió los 08A de un terreno en  2 0)). +En cuánto se venderá la otra parte a4  2 ))) d4  ( 0))

'4  ( 1)) e4  2 20)

c4  ( D0)

)0.> !n automóvil consume /  galones de gasolina cada (2)Fm. +Cuántos galones consumirá para recorrer una distancia de (1) Fm a4 - /81 gl d4 0 &80 gl

'4 / &80 g e4 - B gl

c4 0 081 gl

)-.> !na secretaria escri'e a máquina, a ra*ón de (1) pala'ras por minuto. +# qu@ ora terminará con un dictado de 0&)) pala'ras, si comen*ó a las A02 a.m. a4 ()&2 a.m. '4 ()(1 a.m. c4 ()21 a.m. d4 ()22 a.m. e4 ()2& a. m. )D.> !n grupo de amigos disponía de S8. /-) para gastar vacacionando durante & días. +Para cuántos días les alcan*arían S8. -/)

Cuarto Periodo



2do. de Secundaria


a4 D

'4 -

c4 1

d4 - B

e4 1 B

)1.> !n grupo de gallinas, tiene maí* para (1 díasG despu@s de / días, se sacri9ica a la tercera parte. +Cuántos días durará el maí* para las restantes a4 2&

'4 2-

c4 2) (8/

d4 22 (82

e4 2( (82

)A.> En el Hogar de los Peti*os, ay desayuno para 2& nios durante 2) días. 7espu@s de 0 días, se retiraron A nios. +Calcular el nImero de días que a'rá desayuno para los restantes a4 2l

'4 2&

c4 22

d4 20

e4 2/

().> El an9itrión de una 9iesta calculó que para sus &) invitados tendría licor durante & oras. Pero resultó que despu@s de ( ora que comen*ó la 9iesta, llegaron a un mismo tiempo 2) amigos de su promoción. +?u@ tiempo más durará el licor a4 /

'4 / J 

c4 2 J 

d4 2 B

e4 2 

((.> !n pintor emplea &0 minutos en pintar una pared cuadrada de / metros de lado. +?u@ tiempo empleará en pintar otra pared de & metros de lado a4 D0 min

'4 1( min

c4 1) min

d4 D2 min

e4 D- min

(2.> !n agricultor demoró 1 oras en sem'rar un terreno de 9orma cuadrada, de (2) m de lado. +?u@ parte de otro terreno de (-) in de lado podrá sem'rar en (2 oras a4 08-

'4 208&1

c4 2D8/2

d4 A8(-

e4 (08/-

(/.> !n ciclista recorre D0 m cada / segundosG +cuántos Filómetros recorrerá en (8& ora a4 /D,0 Fm '4 &/,0 Fm c4 (D,2 Fm

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2do. de Secundaria


d4 22,0 Fm e4 2&,0 Fm (&.> Si (1 o'reros pueden terminar una o'ra en -0 días, +cuántos o'reros se requieren para terminarla en 2- días a4 &0

'4 &2

c4 /-

d4 &1

e4 &)

(0.> !n grupo de A peones puede cavar una *an%a en & días. +Cuántos peones más se de'erían contratar, para cavar la *an%a en sólo / días a4 (2

'4 /

c4 -

d4 A

e4 (0

(-.> En (2 días, 1 o'reros icieron 28/ de una o'ra. +En cuántos días más arán el resto de la o'ra a4 (2 días

'4 / días

c4 A días

d4 1 días

e4 - días

(D.> Por pintar todas las caras de un cu'o, se co'ró S8. (0. +Cuánto se co'rará por pintar sólo 2 de sus caras a4 S8.2,0)

'4 S8. 0

c4 S8. D,0) d4 S8. &,0) e4 S8. -

(1.> :res de cada 0D- encendedores que s@ 9a'rican resultan de9ectuososG +cuántos encendedores, sin de9ecto, a'rán en un lote de 2 11) encendedores a4 21DD

'4 2 1D0

c4 2 1-1

d4 2 1-0

e4 2 100

(A.> !n grupo de A secretarias se comprometió en acer un tra'a%o de mecanogra9ía en - oras. 7espu@s de 2 oras de tra'a%o, se retiran / secretarias. +En cuántas oras más, del tiempo acordado, terminarán el tra'a%o las secretarias que quedan a4 /  '4 (,0  c4 2  d4 /,0  e4 2,0  2).> !n 'urro atado a una soga de & m demora - oras en comer el pasto que está a su alcance. +?u@ tiempo u'iera empleado en comer el pasto a su alcance, si la soga 9uera de - m

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1

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a4 () B 

'4 D (8/ 

c4 (/ B 

d4 (0 B 

e4 (& (8/ 

#L+5E "" )(.> Cinco cocineras pueden preparar un 'anquete para /personas, en & oras. +Cuánto tiempo emplearán 1 cocineras, en preparar otro 'anquete para &0 personas a4 0 (8/ 

'4 D (8/ 

c4 (/ B 

d4 (0 B

e4 (& B 

)2.> En cierta po'lación de 20)) a'itantes, se consumen (0))Fg de arina en / días. +Cuántos a'itantes consumirán &0)Fg en 2 días a4 ( (0)

'4 ( (20

c4 ( )D0

d4 ( (D0

e4 ( )20

)/.> !n la'rador puede sem'rar un campo en - días, empleando - 'ueyes durante & oras diarias. +Cuántas oras diarias de'e acer tra'a%ar a A 'ueyes, para sem'rar otro campo similar, en 1 días a4 ( B

'4 / B

c4 /

d4 2

e4 2 B

)&.> 7oce o'reros demoraron 0 días en acer los /80 de una o'raG +en qu@ tiempo terminarán la o'ra 1 o'reros a4 - días

'4 () días

c4 0 días

d4 D días

e4 A días

)0.> En un estudio conta'le tra'a%an - contadores que llevan la conta'ilidad de & empresas. Si demoran 1 días en dar el 'alance de dicas empresas, +cuántos contadores más se de'en contratar sise necesita el 'alance de / empresas en & días a4 / '4 ( c4 & d4 0 e4 )-.> Cinco nios se comieron 0 cocolates en 0 segundos. +En qu@ tiempo se comió un cocolate, un nio a4 ( s

'4 () s

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c4 0 s

11

d4 - s

e4 1 s

2do. de Secundaria


)D.> :res %ardineros, tra'a%ando 0 oras diarias, podaron un %ardín en & días. +?u@ tiempo emplearán 1 %ardineros en podar otro %ardín similar, pero tra'a%ando sólo / oras diarias a4 2 (8/ días d4 2 B días

'4 / B días e4 2 28/ días

c4 & B días

)1.> !n grupo de 1 peones reali*an un tra'a%o, empleando para ello & días, de - oras diarias de tra'a%o. +Cuántos peones como mínimo se de'erían contratar, para que tra'a%ando 1 oras diarias, se pueda reali*ar el tra'a%o en 2 días a4 (2

'4 &

c4 -

d4 2

e4 0

)A.> !na 9lota de (-) camiones tiene gasolina para () días, a ra*ón de / galones diarios por cada camión. Si aumenta la 9lota en &) camiones, +para cuántos días durará la gasolina, a ra*ón de 2 galones diarios por camión a4 ()

'4 A

c4 (2

d4 (0

e4 1

().> !na 9amilia de & personas, gasta S8. (0)) en / meses. +Cuánto gastará la 9amilia en 0 meses, si uno de sus miem'ros se va a4 S8. ( -2) d4 S8. ( 120

'4 S8. ( 2D0 e4 S8. ( 1D0

c4 S8. ( 10)

((.> !n grupo de /) o'reros, se comprometió en acer una o'ra en (0 días. 7espu@s de A días, sólo an eco /8(( de la o'ra. +Cuántos o'reros se de'erán contratar para terminar la o'ra en el tiempo acordado a4 -) '4 1) e4 (2) d4 A) e4 (0) (2.> ?uince latas de lece son necesarias para D nios, por 2 días. +Cuántas latas de lece necesitan & nios, para D días a4 20

'4 &0

Cuarto Periodo

c4 (1

d4 2)

12

e4 /)

2do. de Secundaria


(/.> Seis alumnos demoran &1 minutos en resolver / separatas de (2 pro'lemas cada una. +?u@ tiempo emplearán A alumnos en resolver - separatas de (1 pro'lemas cada una a4 ()0 min '4 A2 min

c4 A) min

d4 A- min

e4 A& min

(&.> && o'reros, tra'a%ando () oras diarias, an empleado (2 días en cavar una *an%a de &&) m de largo. +?u@ largo tendrá la *an%a cavada por 2& o'reros, tra'a%ando 1 oras diarias, durante (0 días a4 20) m

'4 2&) m

c4 2-) m

d4 21) m

e4 2D) m

(0.> :res pintores demoraron & oras en pintar & paredes de 1m 2 cada una. +Cuántas oras de'erán emplear 1 pintores en pintar 2 paredes de (- m 2 cada una a4 ( (8/ 

'4 2 B 

c4 /8& 

d4 /80 

e4 ( (82 

(-.> 7oce vacas producen (0) litros de lece, en 2 días. +Cuántos litros de lece producirán 1 vacas en - días a4 &0)

'4 /))

c4 21)

d4 /2)

e4 /-)

(D.> 7oce ratones comen 2B Fg de queso en / orasG (1 ratones, +qu@ tiempo demoran en comer& Fg de queso a4 / (8/ 

'4 2  

c4 & B 

d4 / (80

e4 &  

(1.> Cinco tu'erías a'iertas durante &0 minutos, llenaron un depósito de 20) litros de capacidad. +?u@ tiempo de'erían estar a'iertas / de las tu'erías, para llenar otro depósito de 280 de la capacidad del primero a4 20 min '4 /- min c4 -) min d4 /) min e4 2D min (A.> 7ie* en9ermeras, aplican () inyecciones a () pacientes, en () min. Entonces ( en9ermera aplicará ( inyección a ( paciente en

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2do. de Secundaria


a4 ( min

'4 0 min

c4 () min

d4 ()) min e4 ((min

2).> 7e'ido a las inundaciones, ( 20) 9amilias tuvieron que ser ayudadas por el go'ierno. Se calculó que dando - panes a cada 9amilia, se tendría arina para (0) días. Como el nImero de damni9icados aumentó en 20), +para cuántos días durará la arina, dando la misma cantidad de panes a cada 9amilia a4 (20

'4 (D0

c4 (-) d4 (2)

e4 (/)

#L+5E """ )(.> /) pintores tardan &) días en pintar una casa. Si duplicamos el nImero de pintores, +cuántos días tardarán en pintar otra casa de iguales dimensiones a la primera a4 ()

'4 (0

c4 2)

d4 20

e4 /)

)2.> !na e
'4 2&

c4 21

d4 2-

e4 /2

)/.> El costo de (D cuadernos es de S8. A(. +Cuánto costarán 10 cuadernos a4 S8.&00

'4 -/D

c4 2D/

d4 (12

e4 /-&

)&.> 7e cada (2) alumnos se sa'e que /0 viven en *ona residencial. Cuántos no viven en *ona residencial de un total de ()1) alumnos. a4 120 '4 1() c4 D2A d4 D-0 e4 100 )0.> !na cuadrilla de campesinos tarda (1 oras en cosecar un terreno de 9orma cuadrada de (2m de lado. Cuántas oras tardarán en cosecar otro terreno de 9orma cuadrada, pero de (m de lado.

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2do. de Secundaria


a4 2&

'4 2-

e4 /)

d4 /2

e4 /-

)-.> !na vaca atada a un poste, con una cuerda de 2 m, tarda (oras en comer todo el pasto que está a su alcance. Si la cuerda 9uese de 0 m, +cuántas oras tardaría la vaca, en comer todo el pasto que está a su alcanceK a4 &) 

'4 &0 

c4 -) 

d4 D) 

e4 ()) 

)D.> !n cu'o de ielo de &) cm de arista, cuesta S8. -&. Cuánto costará otro cu'o de Hielo, de 0) cm de arista. a4 1)

'4 A)

c4 ()0

d4 (20

e4 (0)

)1.> En un 'alón es9@rico de 2) cm de diámetro ca'en (,- Fg de maí*. En otro 'alón de 0) cm de diámetro, +qu@ peso de maí* podrá ca'er a4 & Fg

'4 () Fg

c4 (0 Fg

d4 20 Fg

e4 /) Fg

)A.> A) litros de agua de mar contienen / li'ras de sal. +Cuánto de agua dulce a'rá que agregarle para que en cada (2 litros de la nueva me*cla aya (8/ de li'ra de sal a4 (0

'4 (1

c4 2)

d4 2(

e4 2&

().> Se me*clan 1) litros de agua con 2 Fg de a*Icar. +?u@ cantidad de agua se de'e agregar para que en cada () litros de la me*cla, aya (8- de Fg de a*Icar a4 &)

'4 /0

c4 /)

d4 20

e4 2)

((.> El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. !n diamante cuesta S8. (- ))) y pesa el do'le de otro diamante, del cual no se conoce su precio. CalcIlelo.

Cuarto Periodo

1(

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a4 S8. ( ))) '4 S8. 2 ))) c4 S8. / ))) d4 S8. & ))) e4 S8. 0 ))) (2.> 7os corredores parten al mismo tiempo en una pista circular de longitud media de2&)m. Si las velocidades de los corredores son respectivamente /0 m8min y /) m8min, +al ca'o de cuántos minutos volverán a estar %untos a4 &2 min

'4 &1 min

e4 0) min

d4 00 min

e4 -) min

(/.> !na e
'4 /0

c4 /-

d4 /D

e4 /1

(&.> /0 o'reros inician un tra'a%o, que lo entregarán en 2& días. #l ca'o del se
'4 2

c4 /

d4 &

e4 0

(0.> Se contratan /) o'reros de igual rendimiento para acer un tra'a%o en 2) días, #ntes de iniciarlos tra'a%os, el capata* decide rempla*ar a () de estos por otros () o'reros, pero do'lemente á'iles. +Con cuántos días de anticipación entregarán la o'ra a4 (

'4 2

c4 /

d4 &

e4 0

(-.> &) o'reros de igual rendimiento pueden reali*ar una o'ra en /- días. Si antes de empe*ar se reempla*a a () de estos o'reros, por otros tantos cuya e9iciencia es el triple, +con cuántos días de anticipación entregarán la o'ra a4 () '4 (( c4 (2 d4 (/ e4 (& (D.> 7os engrana%es de 2&) dientes y -) dientes se acoplan. Si el engrana%e de mayor tamao da D vueltas, +cuántas vueltas dará el otro a4 2&

'4 2-

Cuarto Periodo

c4 20

d4 21

1/

e4 /)

2do. de Secundaria


(1.> 7os engrana%es acoplados tiene respectivamente D0 y &) dientes. Si la de menor tamao da (0 vueltas, +cuántas vueltas dará la de mayor tamao a4 ()

'4 1

c4 -

d4 &

e4 2

(A.> !n o'rero tra'a%ó (- días, en lugar de (2, por tra'a%ar 2 oras menos cada día. +Cuántas oras diarias tra'a%ó a4 &

'4 -

c4 D

d4 0

e4 /

2).> Con cierto nImero de máquinas de igual potencia se puede reali*ar un tra'a%o en (0 días. Si aumentamos en - el nImero de máquinas, el tra'a%o se entregaría con 0 días de anticipación. +Cuántas máquinas ay a4 ()

'4 ((

c4 (2

d4 (/

e4(&

#L+5E " )(.> !na o'ra puede ser aca por 1 om'res en (- días tra'a%ando () 8d. Si antes de empe*ar la o'ra, & de ellos aumentan su rendimiento en 0), +Cuántos días de 1 8d de tra'a%o demoran en reali*ar la o'ra a4 /

'4 D

c4 1

d4 2

e4 (-

)2.> !n grupo de 2( om'res an eco en (2 días e 1 8d NaO metros de una carretera. 3tro grupo de &) o'reros (80 más e9icientes que los anteriores an eco N'O metros de la misma carretera en D días, tra'a%ando () 8d. Hallar la relación a8' a4 28D '4 (80 c4 /80 d4 280 e4 /8D )/.> Si 1 o'reros levantan una pared de 0) m de largo por 2 m de altura en 1 días, +Cuántos días necesitarán (2 o'reros para levantar una pared de 2) m de largo por () m de altura siendo la e9iciencia del primer grupo a la del segundo grupo como / es a 2 a4 2A

'4 2D

Cuarto Periodo

c4 20

16

d4 2)

e4 (-

2do. de Secundaria


)&.> (0 o'reros se comprometen a reali*ar una o'ra en 20 días tra'a%ando 1 8d. al ca'o del quinto día se les e
'4 -

c4 0

d4 1

e4 ()

)0.> !na cuadrilla de o'reros pueden termina una o'ra en &) días. Si despu@s de a'er tra'a%ado (0 días se retiró la tercera parte de la cuadrilla y los que quedan continIan el tra'a%o asta terminar la o'ra, pero con un 20 menos de rendimiento. +En qu@ tiempo se termino toda la o'ra a4 0) días

'4 &0 días

c4 02 días

d4 -0 días

e4 20 días

)-.> !n grupo de o'reros puede acer una o'ra con (0 días tra'a%ando - oras por días. "os primeros A días sólo tra'a%ó la tercera parte de los o'reros. Si lo que 9alta puede ser terminada por 2D o'reros en (D días de 1 ora diarias de tra'a%o, +Cuántos o'reros componen el primer grupo a4 /-

'4 &0

c4 0(

d4 01

e4 -)

)D.> ?uince personas pueden acer (0)) cerámicas en - días tra'a%ando - 8d. si luego de acer 0)) cerámicas, - personas se retiran y los restantes deciden tra'a%ar dos oras más por día, +Cuántos días en total emplearon para acer toda la o'ra a4 ()

'4 0

c4 D

d4 A

e4 ((

)1.> !na secretaria piensa que si escri'e al día 2 páginas más de lo esta'lecido normalmente completará el tra'a%o a reali*ar / días antes de lo previsto, mientras que si escri'e & páginas demás al día, aca'ará 0 días antes de lo previsto. +Cuántas páginas tiene que escri'ir a4 (2 '4 /c4 D2 d4 A) e4 (2)

Cuarto Periodo

1

2do. de Secundaria


)A.> En la costa, ()) o'reros pueden acer (0) Fm de carretera en &) días tra'a%ando A 8d, en una *ona cuya di9icultad se puede representar por E. +Cuántos días demorarán 2)) o'reros con una e9iciencia ),0 mayor que los anteriores en acer /0) Fm de carretera en la selva, cuya di9icultad se puede representar por /, tra'a%ando 1 8d a4 D0 '4 ()0 c4 A) d4 (2) e4 (/0 ().> Se emplearon () om'res durante 0 días tra'a%ando & oras diarias para cavar una *an%a de ()m de largo, -m de anco y & de pro9undidad. +Cuantos días necesitarán - om'res tra'a%ando / oras diarias para cavar otra *an%a de (0 m de largo, / de anco y 1 de pro9undidad en un terreno de do'le de di9icultad que el primero a4 A(8/ '4 ())8/ c4 (()8/ d4 128/ e4 # ((.> 3co om'res construyen () casas () aos tra'a%ando con cierto es9uer*o. +Cuántos om'res con la misma a'ilidad pero que tra'a%an con el do'le de es9uer*o se necesitaran para construir el do'le de casas en la mitad del tiempo anterior a4 ('4 &) c4 20 d4 /) e4 (21 (2.> Cuarenta o'reros se comprometieron a entregar una o'ra en /) días, tra'a%ando a ra*ón de 1 oras diarias. Se o'servó que en () días a'ían reali*ado solamente 28A de la o'ra, así que con la 9inalidad de entregar la o'ra en el pla*o estipulado se tuvo que contratar más o'reros y aumentar en 2 las oras de tra'a%o diario. +Cuantos o'reros se tuvo que contratar a4 ('4 20 c4 (& d4 (1 e4 (A

Cuarto Periodo

17

2do. de Secundaria


De!artaento de P%&licaciones

Ca í t ul o2 Cuarto Periodo

2

2do. de Secundaria


Cuarto Periodo

21

2do. de Secundaria


Cuarto Periodo

22

2do. de Secundaria


EL TAT+ P+R C5AT+ Para empe*ar, veamos un e%emplo !n comerciante de uevos acostum'ra agrupar sus productos de 0 en 0, de modo que en cada grupo de 0 aya2 uevos rosados y / uevos 'lancos. Como se muestra e el siguiente grá9ico

Esto signi9ica que • •

2 de cada 0 uevos son rosados El 2 por 0 del total de uevos son rosados y vistos como 9racción, signi9ica que 2 0

del total de uevos son rosados

"uego se deduce el 2 por 0 Q R

2 0

Nota:

El 2 por 0 de una cantidad equivale a 280 de dica cantidadG es decir, dividimos la cantidad en 0 partes iguales y tomamos 2 de esas partes.  •

el 2 por 0 de C =

2 0

C4

#ora consideremos una regla dividida en 1 partes iguales, de la cual se va a tomar / de aquellas partes

Cuarto Periodo

23

2do. de Secundaria


 "as

/ 1

/ partes tomadas equivalen al / por 1 del total es decir los

del total. El / por 1 Q R

/ 1

E%emplos Calcule a4 el D por A de &0 '4 el (,0 por 2) de 1) c4 el 2 por / de (0 d4 el / por () del (D por 2) de 2))

EL TAT+ P+R C"ET+ 89:

Cuarto Periodo

24

2do. de Secundaria


En particular, si dividimos a una cantidad en ()) partes iguales y tomamos cierto nImero NmO de esas partes, nos estamos re9iriendo entonces al tanto por cientoG luego

 "as

NmO partes tomadas equivalen al NmO por ()) del total o al m NmO por ciento del total, es decir, los del total. ()) m  El NmO por ciento es igual a ()) el

m =

m ())

E%emplos (4 24

20 ()) &) ())

<>

< > ...

/4 /2  Q R  &4 2)) Q R . Equivalencias importantes ( Q R ),)( 0 Q R ),)0

Cuarto Periodo

2(

2do. de Secundaria


() Q R ),( 20 Q R ),20 0) Q R ),0 D0 Q R ),D0

;+RM5LA ;5DAMETAL DE P+RCETA
CAS+ " P conocido  conocido 6 incógnita E%m. Hallar el D) de 1))) 

P =6



D) 1))) = 6



D) 

( 4 1))) = 6 ())

 6

= 0-))

CAS+ "" P conocido

Cuarto Periodo

2/

2do. de Secundaria


 incognita 6 conocido E%m +20 de qu@ nImero es -) 

P=6



20  = -)



20 

( 4  = -) ())



 = 2&)

CAS+ """ P  incognita   conocido 6  conocido E%emplo

+?u@  de (2) es &1



P=6



P  (2) = &1 P.(2)8()) = &1



P = &)

6pta es el &)

+PERAC"+ES C+ TAT+ P+R C"ET+

Cuarto Periodo

26

2do. de Secundaria


En determinadas situaciones se nos puede presentar la necesidad de sumar o restar dos o más tantos por ciento re9eridos a una misma cantidad. En tales casos a veces es conveniente reducir toda la e &)$ > ()$ = 2)$ /4 C T (/)C = 2/)C &4 7 > &)7 = -)7 04 /)D)#4 T 0)D)#4 = 1)D)#4

+#ESERAC"= Sa'emos que toda cantidad representa el ()) de sí misma, entonces si a una cantidad le quitamos o le restamos por e%emplo el 2), nos quedará el 1) de la cantidad. 3 por otro lado, si a una cantidad le agregamos o le sumamos el /) de sí misma, entonces aora tendremos el /) de sí misma, entonces aora tendremos el (/) de la cantidad.

Cuarto Periodo

Si pierdo o gasto 2) /0 2,0 m

?ueda 1) -0 AD,0 ())>m4

Si gano o agrego

6esulta

2

2do. de Secundaria


22 &0 2,/ m

(22 (&0 ()2,/ ())Tm4

DESC5ET+S > A5MET+S S5CES"+S Cuando tengamos que acer descuentos sucesivos, recordemos que el primer descuento se aplica a la cantidad inicial, y a partir del segundo descuento, @stos se aplican a la cantidad que an quedado del descuento anterior. 7e manera análoga tam'i@n se ace cuando se trata de aumentos sucesivos. El primer tanto por ciento de aumento se aplica a la cantidad inicialG el segundo aumento se aplica a lo que a resultado luego del primer aumentoG el tercer aumento se aplica a lo que a resultado luego del segundo aumentoG y así sucesivamente. E%emplo +# que descuento Inico equivalen dos descuentos sucesivos del 2) y /) Solución

 

 7% =

1) 4  D) 4 1) D)= 0- ())

()) U 0- = &&

Cuarto Periodo

27

2do. de Secundaria


E%emplo +# que aumento Inico equivalen tres aumentos sucesivos del (), 2) y 0) Solución



 #% =

(() (2) (0) = (A1 ()) ())

(A1 > ()) = A1

3$SE6V#C5W Si se tuviera que acer dos descuentos sucesivos del a y del '  se podría calcular el descuento Inico, rápidamente con esta 9órmula 7!

a '

a'  ())

En el caso de tener dos aumentos sucesivos del a y del ', el aumento Inico equivalente se puede calcular con esta 9ormula

#!

Cuarto Periodo

a '

a'  ())

3

2do. de Secundaria


AR"AC"= P+RCET5AL Si el valor de una magnitud cam'ia, este cam'io nos indica una variación que puede ser de aumento o de disminución, entonces a'rá un valor inicial y un valor 9inal para la magnitud. "a variación porcentual se e
#umento o diminución = Valor inicial

El aumento o la disminución, segIn sea el caso que se presente, se o'tiene mediante la di9erencia entre el valor 9inal y el valor inicial. E%emplo El lado de un cuadrado aumenta en 2). +En que tanto por ciento aumentará su área Solución Sa'emos que el área de un cuadrado se calcula así # = " 2, donde N"O es la medida del lado. Como el lado va a aumentar en 2), entonces el lado va a aumentar en (80 de su valor. "uego, nos conviene que el lado, al inicio sea un valor num@rico que tenga 0 partes, es decir que tenga quintaG por eso le asignamos 0F donde F es constante. "inicio  0F



Cuarto Periodo

# = 0F4 2 = 20F2

31

2do. de Secundaria


"?inal  -F Veamos



# = -F4 2 = /-F2

3'servamos que el área aumenta de 20F 2 a /-F2 en ((F2 Pero e
3'servamos que el área disminuye de 20F 2 a 2&F 2 en (F2. Pero, e
())M =

&

Por lo tanto, el área disminuye en &

Cuarto Periodo

32

2do. de Secundaria


APL"CAC"= C+MERC"AL El tanto por ciento es muy utili*ado en las operaciones comerciales, por e%emplo en el 'anco, en las tasas de inter@s activo y pasivo, cuando el 'anco otorga pr@stamos o cuando el 'anco reci'e dinero en depósito. :am'i@n cuando se reali*a compra y venta de artículos, se utili*a el tanto por ciento, por e%emplo para indicar el descuento, la ganancia o la p@rdida. N"o que aquí vamos a ver es la aplicación del tanto por ciento para los casos de compra y ventaO Empe*aremos con un e%emplo. Supongamos que un comerciante se dedica a la compra y venta de artículos electrodom@sticos. Primero va a la 9á'rica y compra un arte9acto en 0)) soles, este precio representa el precio de compra o precio de costo para el comerciante. "uego, el comerciante, ya en su tienda, va a 9i%ar un precio para o9recerlo a sus clientes y le aplica un aumento al precio de costo, digamos que este aumento es de ()) soles, es decir que está 9i%ando un precio para la venta que es de -)) soles, este precio se conoce como precio 9i%ado o precio de lista. Entonces, cuando un cliente vaya a la tienda y le pregunte por el precio del arte9acto, el comerciante le dirá que el precio es de -)) soles o sea le dará el precio 9i%ado. Puede ocurrir que el cliente pague dico precio o que pida una re'a%a. Veamos el caso en que pide re'a%a, entonces el comerciante puede otorgarle una re'a%a, digamos que le re'a%a 2) soles y se reali*a la venta del arte9acto. En otras pala'ras, el comerciante vende el arte9acto en 01) soles, @ste es el precio de venta, ganando 9inalmente 1) soles.

Cuarto Periodo

33

2do. de Secundaria


Si gra9icamos todo esto tendremos

Se puede o'servar que PETA = PC+ST+ T PGAAC"A Si ay ganancia, es porque el precio de venta es mayor que el precio de costo. "a ganancia de 1) soles es tam'i@n conocida corno ganancia 'ruta, porque, como es lógico, el comerciante, para reali*ar la compra>venta a tenido que incurrir en gastos, digamos que estos gastos sean de /) soles. Entonces, de la ganancia 'ruta 1) soles4, que gasta /) soles, sólo le quedaría una ganancia neta de 0) soles. Xrá9icamente

En otras pala'ras

Cuarto Periodo

34

2do. de Secundaria


ganancia ganancia = T gastos 'ruta neta Pero no siempre se va a ganar en una compra>venta, tam'i@n puede a'er p@rdida. Esto ocurre cuando el arte9acto para el e%emplo que estamos viendo4 se vende a un precio menor del que a costado. 7igamos que se vende en &-) soles, y como sa'emos que costó 0)) soles, se pierde &) soles. Xrá9icamente

Se o'serva que PETA = PC+ST+ > p@rdida 3:#  Si

en una venta no ay descuento, entonces el precio de lista o precio 9i%ado es igual al precio de venta.  En una venta, si ay descuento, entonces el precio de lista es mayor que el precio de venta.  Xeneralmente el descuento o re'a%a se e
Cuarto Periodo

3(

2do. de Secundaria


PR+#LEMAS #L+5E " )(.> 7e 0-, el 20  es a4 (1

'4 (&

e4 (2

d4 D

e4 A

c4 1) 

d4 D0

e4 -/

e4 /-)

d4 /()

e4 /))

d4 /2 

e4 22 

d4 &0)

e4 0-)

d4 &)

e4 -)

)2.> +?u@  de (A2 es (&& a4 --

'4 D2 

)/.> 2&) es el 1)  de a4 21)

'4 /2)

)&.> -&, de /2), +qu@  es a4 20

'4 2) 

e4 /) 

)0.> El 20  más de /-) es a4 &1)

'4 &2)

c4 0))

)-.> +?u@  menos es 2&) de /)) a4 1)

'4 2)

e4 ()

)D.> Si 6osa Elvira gana'a S8. 02) y aora gana S8. -0), +en qu@  aumentó su sueldo a4 2)

'4 20 

c4 D0 

d4 2( 

e4 22

)1.> En una po'lación de 2& -)) a'itantes, el -/  son menores de (1 aos. +Cuántos menores de (1 aos ay en dica po'lación

Cuarto Periodo

3/

2do. de Secundaria


a4 (0 &A1 '4 (0 A&1 c4 (- 2&1 d4 (0 1&& e4 (& A&0 )A.> En una tienda, se venden camisas a S8. (0 cada una, pero si se desea una docena, descuentan el 2) . +Cuánto se pagará por / docenas de camisas a4 S8. &2/

'4 S8. 0(2

c4 S8. &-)

d4 S8. &0)

e4 S8. &/2

().> !na empresa encuestadora, mani9iesta que en el orario que pasan El Cavo del 1, / de cada 0 televisores encendidos sintoni*an dico programa. +?u@  representa dica sintonía a4 &0

'4 /D,0 

c4 &) 

d4 //,/ 

e4 -) 

((.> !na casa está valori*ada en  -& ))). Para comprarla se pide el (0  de cuota inicial y el resto en 1) letras mensuales iguales. +Cuál es el pago mensual de cada letra a4  02)

'4  1-)

c4  01)

d4  -1)

e4  -2)

(2.> !n anciano padre dispone en su testamento la repartición de su 9ortuna entre sus / i%os. El primero reci'irá el /- , el segundo reci'irá el 2& , el tercero reci'irá el resto. Si la 9ortuna asciende a  D0 ))), +cuánto reci'irá el tercer i%o a4  2D))) '4  20 ))) c4  /) ))) d4  /2 ))) e4  /- ))) (/.> !n vendedor reci'e una comisión de 2)  so're la venta de cierta mercadería. Si sus ventas 9ueron de S8. -&), +cuánto reci'irá de comisión a4 S8. (2)

'4 S8. (21

c4 S8. (-2

d4 S8. A-

e4 S8. ()1

(&.> # inicios del mes, una 9amilia gasta'a (2). Si la in9lación durante dico mes 9ue de &,0 , +cuánto gastará dica 9amilia a 9ines de mes a4  (2&,0) '4  (20,&) c4  (22,0) d4  (&0,2) e4  (/2

Cuarto Periodo

36

2do. de Secundaria


$"3?!E 55 )(.> El (0  del 2)  de 1 0)) es a4 200)

'4 10)

c4 200

d4 2)0

e4 2-0

)2.> El a del ' del c de NO es () a4 a'c

())) '4 a'c

a'c c4 ()))

a'c d4 ()))))))

e4 #

)/.> !n orno microondas cuesta  &2). El vendedor descuenta el (), pero por una pequea YyayaY, re'a%a el 0 al nuevo precio. +Cuánto se pagó, 9inalmente por el orno a4/D1

'4  /&0,0) c4  /A0,2) d4  /0A,() e4  /-A,()

)&.> En lugar de descontar sucesivamente el () y luego el 2) a un artículo cuyo valor es S8. /-), se puede acer un Inico descuento de a4 /1

'4 /)

c4 21

d4 2-,- 

e4 /2 

)0.> En un gran almac@n de ropa, se o9recen descuentos sucesivos del 2) y /) en el departamento de lencería. +Cuál sería el descuento Inico a4 &&

'4 0) 

c4 -& 

d4 0& 

e4 /- 

)-.> !n empleado gana S8. 0))G si se le aumenta el 2) y luego se le descuenta el 2) de su nuevo sueldo, entonces el empleado reci'irá a4 S8.&2)

'4 S8. 02)

Cuarto Periodo

c4 S8. &-)

3

d4 S8. &1)

e8 S8. 0-)

2do. de Secundaria


)D.> 7os descuentos sucesivos del 21 y D0 equivalen a un Inico descuento de a4 -1

'4 A/

c4 12

d4 &-

e4 1-

)1.> #umentos sucesivos de (), 2) y /) equivalen a un Inico aumento de a4 -)

'4 --,-

c4 D2 

d4 D(,-

e4 D/,/

)A.> Se vendió un escritorio en S8. 2&), ganando el 2) del costo. +Cuál es el precio del escritorio a4 S8. (1)

'4 S8. (A-

c4 S8. 2))

d4 S8. 2(-

e4 S8. 22)

().> Se vendió un escritorio en S8. 2&), ganando el 2) del precio de venta. +Cuánto costó el escritorio a4 S8. (A2

'4 S8. (1)

c4 S8. (A-

d4 S8. 2))

e4 S8. 2)0

((.> En cierto negocio, se vendió en S8. -)) lo que a'ía costado S8. 0-)G +qu@  del costo se ganó apro
'4 D,( 

c4 -,0 

d4 D,1 

e4 -,D 

(2.> El costo de 9a'ricación de un producto es S8. 2-)G si se vendió en S8. &1), +qu@  del costo de 9a'ricación se ganó apro
'4 1&,- 

c4 12,( 

d4 1-,& 

e4 10,/ 

(/.> El dueo de una tienda compra mercadería por S8. &2)G si vendió dica mercadería en S8. -)), +qu@  de la venta ganó a4 2D

'4 //

e4 /)

d4 2-,- 

e4 /2 

(&.> Se adquirió un lote de camisas por S8. (2)G se quiere vender ganando el ()  del costo. +Cuál será dico precio de venta

Cuarto Periodo

37

2do. de Secundaria


a4 S8. (/2 '4 S8. (&& c4 S8. (&2 d4 S8. (&1 e4 S8. (-) (0.> !na persona compró un relo% en S8. -A. Como tenía necesidad urgente de dinero, tuvo que vender el relo% perdiendo el (0  de la venta. +Cuál 9ue el precio de venta a4 S8. -2

'4 S8. &1

c4 S8. 01

d4 S8. 02

e4 S8. -)

(-.> Si el lado de un cuadrado se incrementa en (), +en qu@  se incrementa su área a4 ()

'4 2)

c4 ())

d4 2(

e4 &2

(D.> El largo de un rectángulo aumenta en 2) y su anco disminuye en (). +?u@ variación porcentual tiene su área a4 #umenta en (- c4 7isminuye en (2

'4 #umenta en 1 d4 #umenta en (0 e4 7isminuye en A

(1.> "a 'ase de un triángulo aumenta en 20. +En qu@  de'e disminuir su altura, para que el área no varíe a4 20

'4 22,0 

c4 (D 

d4 (A 

e4 2) 

(A.> Se me*clan (2g de una sustancia Y#Y y (1g de una sustancia Y$Y. +Cuántos g de Y#Y se de'en aadir a la me*cla, para que el  sea de 0)  a4 (2g

'4 Ag

e4 1g

d4 -g

e4 &g

2).> Se tienen (0 " de alcool al 2) . +Cuántos litros de agua se de'en agregar para re'a%ar el alcool al ()  a4 (2 "

'4 (0 "

Cuarto Periodo

c4 () "

d4 A "

4

e4(1 "

2do. de Secundaria


#L+5E """ )(.> Hallar el 2) de 20) a4 ()

'4 2)

c4 /)

d4 &)

e4 0)

d4 D2

e4 A)

)2.> Hallar el 2) del /) de -)) a4 (1

'4 /-

c4 0&

)/.> Hallar el () del 2) de los 28/ de A)) a4()

'4 (2

e4 (&

d4 (-

e4 (1

)&.> Hallar el () de la cuarta parte del &) de los /8D de 0 -)). a4 2)

'4 2(

c4 22

d4 2/

e4 2&

)0.> Sumar el 2) del (0 de /)) y el &) del () de (0) a4 (0

'4 (-

c4 (D

d4 (1

e4 (A

d4 /0

e4 &)

)-.> +?u@ porcenta%e de /2 es 1 a4 2)

'4 20

c4 /)

)D.> +?u@ porcenta%e de ),))( es ),)))/ a4 ()

'4 2)

c4 /)

d4 &)

e4 -)

d4 /0)

e4 -))

)1.> 7e qu@ nImero es (0 el 0 a4 2))

'4 20)

c4 /))

)A.> 7e qu@ nImero es (-) el 2) menos. a4 (1)

'4 (A)

Cuarto Periodo

c4 2))

41

d4 22)

e4 20)

2do. de Secundaria


().> 7e qu@ nImero es //) el () más. a4 /))

'4 /0)

c4 &))

d4 &0)

e4 0))

((.> Zuan tenía (2) lápices. 6egala a su ermano el 2), a su prima el () y a su vecina el /). +Con cuántos lápices se queda Zuan a4 &)

'4 &1

c4 -)

d4 D2

e4 1)

(2.> Pedro reparte su erencia de la siguiente manera El 2) a su esposa, el /0 a su i%o mayor, el 20 a su i%a, y los S8. 2)) ))) restantes para el %ardinero. +# cuánto ascendía la erencia de Pedro a4 ( 2)) ))) d4 A ))) )))

'4 ( 0)) ))) e4 ( ))) )))

c4 ( -)) )))

(/.> 7os descuentos sucesivos del () y del /), equivalen a un descuento Inico de a4 /A

'4 /D

c4 /0

d4 //

e4 /(

(&.> María compra una cartera y le acen dos descuentos sucesivos del 2) y el /). Si pagó S8. ((,2), +cuánto costa'a la cartera a4 S8. (1

'4 S8. 2)

c4 S8. 2&

d4 S8. 21

e4 S8. /)

(0.> 7os aumentos sucesivos del () y el 2), equivalen a un aumento Inico de a4 /)

'4 /(

Cuarto Periodo

c4 /2

d4 //

42

e4 /&

2do. de Secundaria


#L+5E " )(.> 7e qu@ nImero es /(0 el 0 más. a4 /&0 '4 /2) c4 /() d4 /))

e4 2A)

)2.> 7e qu@ nImero es 0D0 el (0 más. a4 0))

'4 02)

c4 0&)

d4 0-)

e4 &1)

)/.> 7e qu@ nImero es D2) el () menos, a4 A()

'4 11)

c4 1))

d4 D1)

e4 D0)

)&.> 7e qu@ nImero es /0D el (0 menos. a4 &))

'4 &2)

c4 &&)

d4 &-)

e4 &1)

)0.> Hallar el 2) del /) del () de A ))) a4 &0

'4 D2

c4 -/

d4 0&

e4 /-

)-.> ?u@ porcenta%e de 2 &)), es igual al 2) del /) de & 1)). a4 ()

'4 (2

c4 (0

d4 (1

e4 2).

)D.> ?u@ porcenta%e de A2) es igual a la suma del () del 2) de / 2)) y el 2) del (0 de &))). a4 ()

'4 (0

c4 2)

d4 20

e4 /)

)1.> 7e -) empleados que ay en una empresa, el &) son mu%eres. Cierto día 9altó a tra'a%ar el 0) de las mu%eres y el 20 de los varones. +Cuántos asistieron a tra'a%ar a4 /0

'4 /A

Cuarto Periodo

c4 &2

43

d4 &1

e4 02

2do. de Secundaria


)A.> En una o9icina tra'a%an 2& empleados, de los cuales el 20 son mu%eres. +Cuántas más se de'en contratar para que las mu%eres representen el &) del total de empleados a4 &

'4 -

c4 1

d4 ()

e4 (2

().> !na em'arcación tenía (2) tripulantesG al nau9ragar perece el /). 7e los so'revivientes el 20 son casados. +Cuántos de los so'revivientes son solteros a4 0-

'4 -/

c4 &A

d4 /0

e4 1&

((.> # cómo de'o vender lo que me costó S8. (0) para ganar el /). a4 S8. (1) '4 S8. (A) c4 S8. (A0 d4 S8. 2)) e4 S8. 2() (2.> # cómo de'o vender lo que me costó S8. 2D) para ganar el () del precio de venta. a4 S8./))

'4 S8. /()

c4 S8. 2A2

d4 S8. 2AD

e4 S8. /0)

(/.> # cómo de'o vender lo que me costó S8. (-) para ganar el () del precio de costo, más el 2) del precio de venta. a4 S8.2))

'4 S8. 22)

c4 S8. 2&)

d4 S8. 2-)

e4 S8. 21)

(&.> # cómo de'o vender lo que me costó S8. 2D) para ganar el 2) del precio de costoG más el () del precio de venta, más S8.(1. a4 S8./0)

'4 S8. /-)

c4 S8. /1)

d4 S8. &))

e4 S8. &2)

(0.> Si el radio de un círculo se incrementa en un /), +en qu@ porcenta%e se incrementa el área a4 /)

'4 -)

Cuarto Periodo

c4 -A

d4 D2

44

e4 A-

2do. de Secundaria


(-.> Si el área de un triángulo se incrementa en un /2, a'iendo aumentado la 'ase en un 2), +en qu@ porcenta%e aumentó la altura a4 ()

'4 (0

c4 (2

d4 22

e4 20

(D.> El área de un rectángulo no varía, a'iendo aumentado su 'ase en un 20. +En qu@ porcenta%e a disminuido la altura a4 ()

'4 (0

c4 (1

d4 2)

e4 20

(1.> Si el radio de un círculo se duplica, +en qu@ porcenta%e se incrementa el área de un círculo a4 &))

'4 2))

c4 20)

d4 /))

e4 /0)

(A.> En una 9iesta a'ía inicialmente tal cantidad de personas que, el nImero de mu%eres era 20 mayor que el nImero de om'res. #demás, al retirarse die* mu%eres y cuatro om'res, ninguno se quedó sin pare%a. El nImero inicial de personas 9ue a4 -)

'4 0&

c4 0-

d4 -&

e4 02

2).> En la 9igura, las longitudes de #$ y #C se incrementan en un 0). "uego de que esto ocurra, +cuánto medirá el ángulo

a4 2)[

'4 /)L

Cuarto Periodo

c4 &)L

4(

d4 20L

e4 D)L

2do. de Secundaria


#L+5E  )(.> En la 9igura

$7 = 7E = E\ = \C 7X = XH = H# #4 ?ue  de la *ona som'reada es la *ona no som'reada. $4 ?ue  representa la *ona acurada del sector triangular #$C. C4 ?ue  de la *ona no acurada es la *ona som'reada a4 '4 c4 d4 e4

(() G 1,/ G A,( 2)) G D,& G /,& 1)) G 1,& G D,2 D20 G (2,/ G -,- ())) G D,0 G A,(

)2.> 7e la 9igura

+?u@ porcenta%e de los cu'os son los cu'os con asteriscos a4 /0

'4 &0

c4 20

d4 /2

e4 /(,20

)/.> 7e la 9igura

+?u@ porcenta%e de los cuadrados sin asterisco que se puedan 9ormar, son los que se pueden 9ormar con al menos ( asterisco a4 -2,0

'4 2)

Cuarto Periodo

c4 /)

d4 20

4/

e4 D0

2do. de Secundaria


)&.> En la 9igura mostrada +?u@ porcenta%e del área total son las áreas de las regiones acuradas a4 '4 c4 d4 e4

&) // 0) 1 // 3  D0

)0.> En la 9igura mostrada #$C7 es un cuadradoG NPO , N?O , N6O y NSO son puntos medios. +?u@ porcenta%e del área del cuadrado #$C7 son las áreas de las regiones som'readas a4 '4 c4 d4 e4

/1 &) /D,0 0) /0,D

)-.> En la 9igura mostrada. +?ue porcenta%e del área total representa las partes NacuradasO

$C

a4 '4 c4 d4 e4

/ #$ G C7 2

( #7 2

0) -) -2 /1 9altan datos

Cuarto Periodo

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2do. de Secundaria

Aritmética 2do 4bim 2005

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