Áreas de regiones rectangulares, planas y polares 1. AREA DE FIGURAS EN COORDENADAS RECTANGULARES
1.1. Área bajo una curva Considerando solo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana.
El área del elemento diferencial será:
∫ ∫[ ]
Por lo tanto, el área de la región plana es:
Entonces el área de la región plana está dada por:
1.2. Área entre curvas Si la región plana tuviera la siguiente forma:
El área del elemento diferencial será:
[ ]
CONCLUSIÓN Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos: 1) Dibuje las curvas dadas. 2) Identifique la región plana, aquí se definen los limites de integración. 3) Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo. 4) Defina la integral o las integrales para el área. 5) Evalué la integral definida.
{
EJEMPLO 1
Calcular el valor del área de la región limitada por
SOLUCIÓN Graficamos en un mismo plano Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intersecciones de las curvas Definimos el elemento diferencial
0 0
La integral definida para el área sería:
[ ] [ ] [[ ] ] ( ) (( )
Evaluando la integral definida, tenemos:
EJEMPLO 2
{0
Calcular el valor del área de la región limitada por
SOLUCIÓN Dibujamos Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x. Definimos el elemento diferencial
0 0
0 0
La integral definida para el área sería:
[ 0] [ 0 ] [ 0] [ 0 ] [ ] [ ]
Evaluando la integral definida, tenemos
*0 +* 0+ 1.3.Áreas de regiones simple-(y) Si la región plana tuviese la siguiente forma:
Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal El área del elemento diferencial será
∫
Entonces el área de la región plana es:
Y para el caso de regiones simple-y más general, tenemos:
El área del elemento diferencial será: ∂A=h∂y=*f(y)-g(y)] ∂y Entonces el área de la región plana está dada por:
∫[] √ 0 √
A= Ejemplo 3
Calcular el área de la región limitada por
Solución:
Paso 1: se dibuja en un mismo plano y=
y
.
Paso 2: identificamos la región plana, sombreada y hallamos las intercepciones de la curva. Paso 3, 4 y 5: en este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas.
√ X=X2-12X+36 X2-13X+36=0 (x-9)(x-4)=0 X=9 v X=4 El area esta dada por:
∫ √ ∫
A=
=2/3(x)3/2l + (-x2/2 + 6x) =16/3-18+36+8-24 A=22/3
Escogiendo el elemento diferencial horizontal: El área está dada por:
∫[] –
A=
=(6y-y2/2 y3/3)
=(6(2)-22/2-23/3)-(0) =12-2-8/3 A=22/3 Ejemplo 4
Calcular el área de la región limitada por: Solución:
{
PASO, paso 2 y paso 3:el diferencial sería mejor horizontal en este caso: Y+1=3-y2 y2+y-2=0 (y+2)(y-1)=0 Y=-2 v y=1 Paso 4 y 5: el área de la región seria:
∫ [] –
A=
=(y3/3 y2/2+2y)
A=9/2
1.4.Propiedades de la función Área Se cumplen las siguientes propiedades (1)
0
(2) Si una región T se compone de dos regiones R y S, entonces
Donde C es la región común a R y S
1.5.Problemas Resueltos Problema 1: Hallar el área de la región limitada por la parábola Solución: Calculamos los límites de integración ,
0 0 + 0 Tenemos
y el eje X.
PROBLEMA 2 Encuentra el área de la región acotada por las curvas Y
0 0 SOLUCION Resolviendo la ecuación integración, tenemos
para hallar los límites de
De donde x=0, 3, 4
0 0 0 | | | | * + 0 * + Tenemos En
y en Luego
2. Áreas de regiones planas (coordenadas cartesianas): En las aplicaciones de la integral definida que veremos en adelante, nos apoyaremos en 2 hechos básicos ya estudiados. El primero de ellos es que para cualquier función continúa f sobre un intervalo cerrado [a, b], el límite de la suma de RIEMANN (es decir, la integral
definida) de f existe. Lo expresamos así. (1)
(∑ )
Donde P es una partición genérica [a, b]; P= (a=x0
El número xi es cualquier número del subintervalo [x i-1, xi], esimo subintervalo determinado por la partición P.
y (xi-1, xi) es la longitud del i-
El segundo hecho básico es que si F(x) es una antiderivada de una función continúa f(x) sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces cálculo:
Además, ya hemos visto que cuando f(x)≥ 0 sobre [a, b]; entonces se pueden utilizar los resultados (1 y (2) para calcular el área A de una región S limitada superiormente por la gráfica de y= f(x)desde a hasta b, y limitada inferiormente por el eje X. si atravesamos a la región S por una recta perpendicular al eje X, esta intercepta a la región S determinando un segmento al cual se le denomina sección transversal de la región S, perpendicular al eje X, tal como se muestra en la figura que sigue.
Sección transversal perpendicular al EJE X, dela región plana S Y
f
S
b
a
X
La longitud de esta Sección transversal es igual a f(x). Y= f(x).
f(x).
S
x
a
b
X
Ejemplo. Hallar el área A de la región limitada por la parábola y= 4-x 2 y el eje X. Solución: hallamos los puntos de intersección de la parábola con el eje X el cual tiene ecuación y=0 y= 4-x2=0
x2=4 x= ±2
como f(x) = 4-x2 ≥ 0 Sobre [-2, 2], entonces el valor exacto del área A esta dado por la formula (1). Es decir:
∫
A=
= 32/3
3. Áreas en coordenadas polares: En esta sección se desarrolla la fórmula para el área de una región cuyo límite esta dado por una ecuación. Se necesita usar la fórmula para el área de un sector de un círculo.
Donde, como en la figura 1, r es el radio y es la medida en radianes del ángulo central. La fórmula 1 se deduce del hecho de que el área de un sector es proporcional a su ángulo central:
=
. Sea R la región, ilustrada en la figura 2, acotada por la
curva polar r = f y por los rayos = a y = b, donde f es una función continua positiva y donde 0
Δ
= [ f
]2Δ
Y de este modo, una aproximación al área total A de R es
función g( ) = [ f
Se ve de la figura 3 que la aproximación en (2) mejora cuando n ->∞. Pero las sumas en (2) son sumas de Riemann para la
]2d , por eso,
Parece plausible (y de hecho se puede demostrar) que la fórmula para el área A de la región polar R es:
La fórmula 3 con frecuencia se
expresa como:
Con el conocimiento de que r = f ( ). Note la similitud entre las formulas 1 y 4.
Cuando se aplica la formula 3 o 4, es útil considerar que el área es barrida por un rayo rotatorio a través de O que empieza con ángulo a y termina con ángulo b.
Calculo de área de regiones limitadas por dos ecuaciones polares DEFINICIÓN. El área de la región limitada por las curvas de ecuaciones polares y los rayos de ecuaciones se define como la integral
1.- Calcular el área encerrada por la circunferencia de ecuación polar que se encuentra fuera del cardiode de ecuación polar . En primer lugar dibujamos la región para determinar los límites de integración.
Se observa que la curva exterior es La variable recorre el intervalo.
mientras que la curva interior es
∫ ∫ ∫ ∫ ] =
=[
=
]=
(
= 2 -
.
EJERCICIOS DE AREAS EN COORDENADAS POLARES 1.- Determine el área encerrada por un bucle de la rosa de cuatro hojas
La región encerrada por el bucle derecho es barrida por un rayo que gira de por lo tanto la fórmula para determinar el área de la región es:
∫ ∫ ∫ ] ∫ =
=
=
= [
2.- Hallar el área de la región encerrada por la lemniscata
=
a
La curva es simétrica respecto a los ejes X e Y, y cuando varía entre 0 y recorre el arco de curva PQO. Luego el área buscada es igual a :
∫ ∫ =18
3.- Encontrar el área de la región encerrada por el cardiode
, el radio vector
= 9
La curva es simétrica respecto al eje polar X, del gráfico a = 2. Luego
∫ ∫ ∫ =
=
=
4.- Encontrar el área de la región rayada limitada por el eje polar y las dos primeras vueltas de la espiral de Arquímedes.
A = Área de la región encerrada por la segunda vuelta – Área de la región encerrada por la primera vuelta. =
∫ ∫ -
=8
5.- Encontrar el área entre curvas de:
Para que podamos visualizar mejor el área que tenemos que encontrar es necesario que grafiquemos, la grafica nos quedaría de la siguiente manera:
Rojo:
Negro:
Como vemos en la grafica el área que ellos comparten es, en
de
Π≤
≤ 2π
y de
de 0 ≤
≤π
Empezaremos con el área de
Ahora calculamos el área de
El área total seria la suma de las dos áreas: Concluimos que el área en polares seria:
4. Calculo de área en forma paramétrica:
Sabemos que en rectangulares el área bajo la curva lo podemos encontrar utilizando un Integral definida. De la misma manera lo podemos hacer en paramétricas de la siguiente forma: Si sabemos que la curva está dada por ecuaciones paramétricas , y , en tal caso se puede adaptar la formula anterior por medio de la regla de la sustitución para integrales definidas como sigue:
pero ahora tenemos que x es una función que depende de t es decir también será una función de t, es decir
para el área a la forma siguiente paramétricas.
, por lo cual y
de esta forma podemos pasar la ecuación
y de esta forma podemos calcular áreas en
Ejemplo 1 Calcule el área bajo la curva de la cicloide
y
Sabemos que un arco de la cicloide está en el intervalo 0≤t≤2π. Utilizando la ecuación
encontrada anteriormente sustituimos y encontramos el área.
Ejemplo 2 Use ecuaciones paramétricas para encontrar el área encerrada por 1 elipse centrada en (0,0).
Áreas entre curvas
Sabemos que en rectangulares utilizamos la siguiente ecuación para encontrar el área entre curvas
Conociendo nosotros el cambio para paramétricas para encontrar el área bajo una curva, veremos que el área entre curvas es de igual manera la diferencia entre el área de cada curva en el intervalo [a,b].
Ejemplo 3 Calcule el área limitada por la curva
,
y la recta y=2.5
La grafica de las dos ecuaciones anteriores es la siguiente:
así podemos tener una mejor idea del Área que se está encontrando.
Problemas propuestos: Áreas de regiones planas (coordenadas cartesianas): 1. Calcular el área de la figura limitada por la parábola y=4x – x2,y el eje de las abscisas. 2. Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola xy=m 2, las rectas verticales x=a, x=3a(a>0)y eje x. Encontrar el área acotada por las curvas cuyas ecuaciones son: y=ex, y=e-x, y la recta x =1. 3. Hallar el área limitada por las curvas x 2- y2=3, xy=±2, y=±4. 4. Calcular el área de la figura limitada por las líneas cuyas ecuaciones son y 2 =x+1, x-y1=0. 5. Calcular el área limitada por las curvas y= sen (x), x=0, x=∏/2, y=0. 6. Calcular el área de la región S limitada por la gráfica de y=
, el eje X y las rectas
x=-2 y x=1. 7. Hallar el área de la región de la región F limitada por las gráficas de y=x 2, y=x3, x=-1, x=2. 8. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de: y=arcsen x, y=arccos(x), y=0. 9. Hallar el área de la región R, limitada por las graficas de: y=4-x 2,y=ln(2x-3), y=1. Problemas de aplicación: 1. A un ingeniero se civil se le encarga construir en un terreno que tiene la siguiente región en el plano, el cual está limitado y=3-x 2 e y=-x+1, medido en decámetros ¿Cuál será el área techada en el primer piso si se quiere dejar un tercio del total del terreno para jardines? 2. La forma de una piscina es como la región del plano dado por las curvas x=y 2, x =y3¿Qué área ocupa la piscina? (Es dado en decámetros)
AREA DE REGIONES POLARES: 1. Hallar el área A de la región que se encuentra fuera de la cardiode r=2(1+cosθ) y dentro de la circunferencia r=6cosθ.
2. Hallar el área común de las dos circunferencias: r=2senθ y r=2cosθ. 3. Dadas las curvas: (1) r=2cos3θ, (2) r=1 a. Hallar el área que se encuentra interior a (1) y exterior a (2). b. Hallar el área que se encuentra exterior a (1) y interior a (2). c. Hallar el área interior a ambas (1) y (2). 4. Hallar el área A de la región que se encuentra entre los lazos de la limacón r=(1+2senθ).
5. Dada la curva r=1/cos3(θ/3), calcular el área del bucle (lazo) de su gráfica. AREAS DE REGIONES POR COODERNADAS POLARES 1. Calcular el área del sector F, limitado por la curva r=2+cosθy las rectas (ejes); θ=0 y
θ= .
2. Calcular el área de la región limitada por la lemniscata r2=a2cos2θ.
3. Calcular el área de la región limitada por las curvas: r (1-cosθ)=4; r(1+cosθ)=4 4. Calcular el área de la región que es interior a la curva r=2acos3θ y exterior al círculo r=a,a>0. 5. Calcular el área interior a las curvas:
√
r=3 y r2=-9cos2θ 6. Hallar el área de la región que es interior a la curva r=3acos2θy exterior a la curva r=a(1+cos2θ), a>0. 7. Hallar el área de la región limitada por las curvas que se indican y bosquejar el grafico de la región. a. r=a(1-cosθ) b. r=a sen2θ c. La región es interior a las curvas r=3+cos4θ y r=2-cos4θ.
√
d. La región es interior a r=3 y exterior a r2=-9cos2θ. e. La región está comprendida entre la parte externa e interna de r=acos3 (θ/3).
AREAS DE REGIONES PORECUACIONES PARAMETRICAS. 1. Hallar el área contenida en el interior de la astroide x=acos3t. y=bsen3t. 2. Hallar el área de la región bajo una arco de la x=at, y=a(1-cost). 3. Hallar el área de un cicloide dada por: x(t)=a(t-sent), y(t)=a(1-cost). Y por el eje X entre dos puntos sucesivos de intersección con el eje X. 4. Hallar el área de la región limitada por el cardioide x=a(2cost-cos2t) Y=a(2sent-sen2t)
5. Hallar el área de la figura limitada por el lazo de folium de descartes x=
y=
3,
t≠1.
3,
6. Hallar el área de la región limitada por el astroide x=acos3t, y=asen3t. 7. Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la cicloide, x=a(t-sent), y=a(1-cost). 8. Hallar el área de la figura limitada por una rama de la trocoide, x=at-bsent, y=abcost, (0
9. Hallar el área de la región encerrada por las curvas: x=
2,
y y=
eje Y. 10. Hallar el área de la región limitada por la curva x=acos 5t, y=bsen5t.
, t[0, ∞>, y el
2
