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SUMARIO Presentación Sumario Capítulo I: Conozcamos las Ecuaciones 1.1. Definición Definición de de Ecuación Ecuación.. 1.2.
Propiedades de las Ecuaciones. 1.2.1. 1.2.1. Propie Propiedad dad de de la Suma Suma 1.2.2. 1.2.2. Propiedad Propiedad de la Multipl Multiplicaci icación ón
1.3. Dominio Dominio de las Variabl Variables es 1.4.
Pasos para resolver problemas de Ecuaciones.
Capítulo II: Sistema de Ecuaciones: 2.1. Definición Definición de Sistema Sistema de Ecuació Ecuación n 2.2. Tipos Tipos de Sistem Sistema. a. 2.2.1. 2.2.1. Sistem Sistemas as Homogé Homogéneo neos. s. 2.2.2.
Sistemas Equivalentes.
2.3. Métodos para para desarrollar Sistemas de Ecuaciones. Ecuaciones. 2.3.1. 2.3.1. Método Método de de Elimina Eliminació ción n 2.3.2. 2.3.2. Método Método de de Igualac Igualación ión 2.3.3. 2.3.3. Método Método de Susti Sustituc tución ión..
Conclusiones Bibliografía Anexos
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CONOZCAMOS A LAS ECUACIONES ECU ACIONES 1.1. 1.1.
Defi Defini nici ción ón de Ecua Ecuaci ción ón Line Lineal al:: El término ecuación en el mundo matemático ha ocasionado múltiples defi defini nici cion ones es;; una una de las las que que más más dest destac aca a es la que que afir afirma ma Sole Solerr, F. (2003:165). “Es una ecuación polinámica de primer grado, es decir ecuación en la cual la incógnita aparece en grado 1”, pero este concepto fue más profun profundiz dizado ado por Zegarr Zegarra a (2001: (2001: 65). 65). “Es un enunci enunciado ado matemá matemátic tico o que relaciona dos expresiones algebraicas que involucra al menos una variable”.
En una una ecua ecuaci ción ón las las expr expres esio ione nes s de cada cada miem miembr bro o que que está están n separados por los signos (+) ó (-) se llaman términos.
En síntesis se puede decir que una ecuación es una igualdad literal que es cierta sólo por algún valor de la variable.
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Observemo Observemos s algunos algunos ejemplos ejemplos de ecuacione ecuaciones s lineales lineales con diferente diferente número de incognitas: Con dos incógnitas es de la forma ax + by = c Con tres incógnitas, es de la forma ax + by + cz = d
Al agruparse dos o más de estas ecuaciones se formará un sistema de ecuaciones. Veamos el siguiente ejemplo:
ax + by = c …… (I) ax + dy = f …… (II)
1.2. 1.2.
Prop Propie ieda dade dess de de las las Ecu Ecuac acio ione nes: s: Para Para Sole Solerr, F (200 (2003) 3),, las las prop propie ieda dade des s de las las ecua ecuaci cion ones es son son las las siguientes: Si a = b a + c = b + c Propiedad de la Suma. Si a = b a - c = b - c Propiedad de la Resta. Si a = b ca = cb; c + 0
Si a = b a/c = b/c; c + 0
Propiedad de la Multiplicación.
Propiedad de la División.
1.2.1. 1.2.1. Propie Propiedad dad de de la Suma: Suma: Si a, b, c son números reales y si a = b, entonces a+c=b+c
En consecuencia, en general si estamos sumando un término en un lado de la Ecuación: a + b = c
Ento Entonc nces es al suma sumarr su opue opuest sto o en ambo ambos s lado lados s de la ecua ecuaci ción ón y simplificar: Si a + b = c a + b + b = c – b a=c–b
El término “pasa” restando al otro lado de la Ecuación.
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Por lo tanto: Si a + b = c a = c – b
Así mismo, si estamos restando un término en un lado de la ecuación: a – b = c; al suma sumarr su opues opuesto to en ambo ambos s lado lados s de la ecua ecuaci ción ón obtenemos: a–b=c a–b+b=c+b a=c+b
El término “pasa” sumando al otro lado de la ecuación. Por la tanto: Si a – b = c a = c + b
Estas propiedades propiedades permiten permiten al estudiant estudiante e sacar sacar dudas; dudas; que porque cuando se está sumando se pasa al otro término a restar o cuando se está restando pasa a sumar.
1.2.2. 1.2.2. Propiedad Propiedad de de la Multiplic Multiplicación ación:: Si a, b y c, son números reales y si a = b; entonces ac = bc
Dividir entre su número distinto de cero es lo mismo que multiplicar por su recíproco o inverso multiplicativo, por tanto: Si a = b y c = 0 a (1/c) = b (1/c); es decir: a/c = b/c
En cons consec ecue uenc ncia ia,, en gene genera rall si un térm términ ino o dist distin into to de cero cero está está multiplicando en un lado de la ecuación ab = c, entonces al multiplicar por su recíproco en ambos lados de la ecuación y simplificar. ab = c
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ab (1/b) = c (1/b) a = c/b
El término “pasa” al otro lado de la ecuación dividiendo. Por lo tanto: Si ab = c a = c/b
1.3. 1.3.
Domi Domini nio o de la Var Varia iabl blee en la ecu ecuac ación ión:: Para Rojas, L (2003). “El conjunto de reemplazo o dominio de una variable se define como el conjunto de números que permiten reemplazar la variable”. Veamos este ejemplo: 1 = X
2 X–3
Es el conjunto todos los números reales excepto el 0 y el 3, estos valores se excluyen ya que el miembro izquierdo no está definido para x = 0 y el miembro derecho no está definido para x = 3, los miembros de la derecha e izquierda presentan números reales para todos los otros reemplazados de x por números reales.
Pero Pero surg surgen en unas unas mani manife fest stac acio ione nes s nega negati tiva vas s o en cont contra ra que que se pueden resumir con las palabras afirmadas por Soler, F (2003). “A menos que se establezca lo contrario, se supone que el dominio de una variable que es el conjunto de aquellos números reales; para el cual las expresiones algebraicas que implican la variable son reales”. r eales”.
1.4. 1.4.
Reso Resolu luci ción ón de de Prob Proble lema mass con con ecua ecuaci cion ones es:: Según Hernández Carrillo (2000): “Para poder resolver problemas es necesario que te familiarices con el problema, o de lo contrario relaciónalo con tu vida cotidiana”. Para Para resolv resolver er proble problemas mas con ecuaci ecuacione ones s lineal lineales es es necesa necesario rio que sigas un proceso, los cuales te ayudarán a su resolución. Estos son: •
Leer el problema e identificar la incógnita que debemos encontrar.
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•
Encontrar las relaciones entre la incógnita y los otros datos del problema.
•
Plantear ecuaciones que representen las relaciones anteriores.
•
Resolver las ecuaciones y encontrar el valor de la incógnita.
SISTEMA DE ECUACIONES 2.1.
Definición: Según Zegarra, L (2001: 88). “Es un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones se pretenden hablar”.
Un sistema como se ha dicho es una agrupación, para que se de esto el sistema debe estar dentro de una llave, sus ecuaciones deben tener dos o más incógnitas, que permitan encontrar diferentes métodos.
Se le llama solución del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que la forman. Ante este comentario, es preciso señalar lo que
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afirma. Sanz, F (1998). “Resolver una ecuación o sistema es hallar todas sus conclusiones o concluir que no tiene solución”.
Observemos algunos ejemplos de sistemas de ecuaciones:
3x – 2y = 24 4x + 8y = 2
Desde mi punto de vista, creo que para que se forme un sistema es necesario que se ajunten dos ecuaciones lineales; pero que tengan dos o más vari variab able les; s; así así como como se pued puede e most mostra rarr en el ejem ejempl plo o y que que esta estas s dos dos ecuaciones estén dentro de una llave que los una.
2.2. 2.2.
Tipos ipos de de Sist Sistem emaa de Ecua Ecuaci cion ones es:: Existen diversos tipos de sistema de ecuaciones, pero para Rojas, L (2003) los que mas predominio tienen son los equivalentes y homogéneos.
2.2.1. 2.2.1. Sistemas Sistemas Homogéneo Homogéneos: s: El siste istem ma se dice ice que es homog omogé éneo neo si tod todos sus sus térm términ ino os indepe independi ndient entes es son homogé homogéneo neos; s; es decir decir,, termin terminen en en un mismo mismo valor; en este caso “cero”. (Rojas L. 2003). Veamos un ejemplo: 2x + 3x – 4x = 0
Términos
5x + x - x = 0
independientes
2.2.2. 2.2.2. Sistemas Sistemas Equivalen Equivalentes: tes: El sistema es equivalente cuando la solución de un sistema es igual con la de otro sistema. Veamos un ejemplo: 3x + 4y = 2
6x + 8y = 4
4x + 5y = 26
8x + 10y = 52
x = 94
x = 94
10
y = 70
2.3. 2.3.
y = 70
Método Métodoss d dee d desa esarr rrollo ollo para para Siste Sistema ma de Ecua Ecuacio ciones nes:: Existen varios métodos de solución de sistemas, pero Molina, F (2003) advierte que existen tres métodos sencillos de resolver. Estos son:
2.3.1. 2.3.1. Método Método de Eliminación Eliminación:: Según Molina, F (2003), afirma que el más fácil de aplicar.
Veamos los pasos y un ejemplo que permitirá explicar este método en la solución de un sistema. 3x + 4y = 18
……….
( I)
4x + 3y = 17
……….
(II)
a. Lo primero primero que se hace hace es colocarle colocarle número números s romanos romanos para diferenc diferenciar iar las ecuaciones una de otra. 3x + 4y = 18 … (3)
9x + 12y = 54
4x + 3y = 17 … (4)
16x + 12y = 68
b. Si queremo queremos s anular anular “y” multipl multiplica icamos mos el inverso inverso de cada cada ecuaci ecuación ón con respecto a la variable “y”. 9x + 12y = 54 ... (-1) 16x + 12y = 68
c.
Multiplicamos a la ecuación (I) por negativo para poder anular “y” y así encontrar “x”. -9x – 12y = -54
y
3x + 4y = 18
16x + 12y = 68
3(2) + 4y = 18
7x = 14
6 + 4y = 18
x=2
4y = 12 y=3
d. Por último último reempla reemplazo zo “x” en en una ecuac ecuación ión y hallo hallo “y”. “y”.
2.3.2. 2.3.2. Método Método de de Igualación Igualación::
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Para resolver un sistema utilizando este tipo de método, Molina, F (2003). Señala que se siguen los siguientes pasos:
3x + 4y = 18 4x + 3y = 17 a.
Si se quiere hallar “y”, se despeja “x”; en ambas ecuaciones ecuaciones 3x = 18 – 4y
4x = 17 – 3y
x = 18 – 4y
x = 17 – 3y
3
4
b. Igua Iguala lamo mos s amb ambos os x = x 18 – 4y
=
17 – 3y
3
c.
4
72 – 16y
=
51 – 9y
21
=
7y
3
=
y
Por último reemplazamos “y” y hallamos “x” x = 17 – 3y 4 x = 17 – 3(3) 4 x = 17 – 9 4 x=8 4 x=2
2.3.3. 2.3.3. Método Método de de Sustitución Sustitución:: Para Molina, F (2003), este método es un poco complejo y hay que tener habilidad para desarrollar un sistema con este método. 3x + 4y 4y = 18 18 ..... ........ ..... .. (I) (I) 4x + 3y = 17 ..... ........ ..... .. (II) (II)
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a.
En la ecuación I despejamos “y” 4y = 18 – 3x y = 18 – 3x 4
b.
Reemplazamos Reemplazamos “y” en II y obtenemos “x” 4x + 3y = 17 4x + 3 18 – 3x = 17 4 4 (4x) + 54 – 9x = 4 (17) 16x + 54 – 9x = 4 (17) 7x = 14 x=2
c. Por último último reempla reemplazamo zamos s “x” en una ecuac ecuación ión y hallamo hallamos s “y” 4x + 3y = 17 4 (2) + 3y = 17 8 + 3y = 17 3y = 9 y=3
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CONCLUSIONES Una ecuación es una igualdad literal, en la cual se tiene que hacer una transposición de términos y de signos para así poder hallar la incógnita.
Para Para que que se form forme e un sist sistem ema a es nece necesa saria ria que que exis exista ta un conj conjun unto to de ecuaciones encerradas en una llave, estas ecuaciones deben tener en tu interior dos o más incógnitas a hallar.
Existen tres métodos sencillos y fáciles de aplicar para desarrollar sistemas de ecuaciones: el de igualación, eliminación y de sustitución.
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Desarrolla los siguientes Sistemas de Ecuaciones
3x + y = 11
3x + y = 11
x +y=7
2
2
2
x+y=7
3x + 2y = 22
2x + y = 14
x = 22 – 2y
x = 14 – y
2
3x + 2y = 22
3
2
2x + y = 14 ... (-2) 22 – 2y 3x + 2y = 22
=
3
2
-4x – 2y = -28 -x = -6
44 – 4y
=
42 – 3y
x=6
2 = y
y=2
x=6
3x + 2y = 22 2x + y = 14
y = 22 – 3x 2
2x +
22 – 3x = 14 2
4x + 22 – 3x = 28
14 – y
15
x=6
y=2
5x – y = 9
5x – 12y = 108
12
x = 108 + 12y
x – 3y = 15
x = 60 + 3y
5
4
4 108 + 12y = 60 + 3y 5x – 12y = 108 (3)
5
4
4x – 3y = 60 (12) 432 + 48y = 300 + 15y -5x + 12y = -108 16x – 12y = 240
132 = -33y
11x = 132 x = 12
-4 = y
y = -4
x = 12
5x – 12y = 108
5x – 108 = 12y
5x – 108 = y 12
4x – 3y = 60
4x – 3 5x – 108 = 60 12
16
48x – 15x + 324 = 720
33x = 346 x = 12
y = -4
BOBLIOGRAFÌA Segarra. Fajardo. F, F, Molina. Pacazzia, Fy Rojas Cortes L. (2003). Algebra lineal y Prograaciòn Lineal. Bogotà: Ecoe ediciones.
Segarra, L (2000). Algebra lineal. Mirico: Internacional Thomson Editores.
Zapata. Lillo, J (1981). Fundamento del Algebra Algebra Lineal. Bogotà: Limasa.
