CAPITULO III MÉTODO DE SIMPLIFICACIÓN
3.1 LEYES DE DE MORGAN Se trata simplemente de una combinación de compuertas, de tal modo de encontrar una equivalencia equivalencia entre ellas, esto viene a consecuencia consecuencia de que en algunos casos no dispones del integrado que necesitas, pero si de otros que podrían producir los mismos resultados resultados que estas buscando. Para interpretar mejor lo que viene, considera a las señales de entrada como variables y al resultado como una función entre ellas. El símbolo de negación (operador NOT) lo representa por "~" por "~".. .: 1º Ley: El producto lógico negado de varias variables lógicas es igual a la suma lógica de cada una de dichas variables negadas. Si tomamos un ejemplo para 3 variables tendríamos: ~ (a.b.c) = ~a + ~b + ~c El primer miembro de esta ecuación equivale a una compuerta NAND de 3 entradas, representada en el siguiente gráfico y con su respectiva tabla de verdad.
El segundo miembro de la ecuación se lo puede obtener de dos formas:
Fíjate que la tabla de verdad es la misma, ya que los resultados obtenidos son iguales. Acabamos de verificar la primera ley. .: 2º Ley: La suma lógica negada de varias variables lógicas es igual al producto de cada una de dichas variables negadas... ~ (a + b + c) = ~a . ~b . ~c El primer miembro de esta ecuación equivale a una compuerta NOR de 3 entradas y la representamos representamos con su tabla de verdad:
El segundo miembro de la ecuación se lo puede obtener de diferentes forma, aquí cité solo dos...
Nuevamente... Observa que la tabla de verdad es la misma que para el primer miembro en el gráfi gráfico co anteri anterior. or. Acaba Acabamos mos así de verifi verifica carr la segun segunda da ley ley de De Morgan Morgan.. Para concluir con estas dos leyes puedes llegar a una gran variedad de conclusiones. Por ejemplo: Para obtener una compuerta AND: Puedes utilizar una compuerta NOR con sus entradas negadas, o sea: a. b = ~ (~a + ~b) Para Para obten obtener er una compue compuerta rta OR:
entradas negadas, es decir...
Puedes utilizar una compuerta NAND con sus
a + b =~ (~a. ( ~a. ~b) Para obtener una compuerta NAND :
Utiliza una compuerta OR con sus dos entradas negadas, como indica la primera ley de De Morgan: ~ (a.b) = ~a + ~b
Utiliza una compuerta AND con sus entradas negadas, eso dice dice la 2º ley de De Morgan, así que, que, habrá que obedecer:
Para obtener obtener una compuert compuerta a NOR:
~(a + b) = ~a. ~b Tiene la particularidad de entregar un nivel alto cuando una y sólo una de sus entradas se encuentra en nivel alto. Si bien su función se puede representar como sigue:
La compuerta OR-EX:
s = a. ~b + ~a. b Te puedes dar cuenta que esta ecuación te indica las compuertas a utilizar, y terminarás en esto:
Para Para obten obtener er una compu compuert erta a NORNOR EX : agregas una compuerta NOT a la salida de la compuerta OR-EX vista anteriormente
y ya la tendrás. Recuerda que su función es...
Puedes hacer uso de compuertas NOR o compuertas NAND, simplemente uniendo sus entradas. Para obtener Inversores (NOT):
3.2 EL MAPA DE KARNAUGH El mapa de Karnaugh es un método gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica para convertir una tabla de verdad a su circuito lógico correspondiente en un proceso simple y ordenado. Aunque un mapa de Karnaugh (que de aquí en adelante se abreviará como mapa mapa K) se puede utilizar para resolver problemas con cualquier
número de variables de entrada, su utilidad práctica se limita a seis variables. El siguiente análisis análisis se limitara a problemas de hasta cuatro entradas, ya que los problemas con cinco y seis entradas son demasiado complicados y se resuelven mejor con un programa de computadora. Formato del mapa de Kamaugh El mapa K, al igual que una tabla de verdad, es un medio para demostrar la relaci6n entre las entradas l6gicas y la salida que se busca. La figura +-11 da tres ejemplos de mapas K para dos, tres y cuatro variables, junto con las tablas de verdad correspondientes. Estos ejemplos ilustran varios puntos importantes: 1. La tabla de verdad da el valor de la salida X para cada combinaci6n de valores de entrada. El mapa K proporciona la misma informaci6n en un formato diferente. Cada caso en la tabla de verdad corresponde a un cuadrado en el mapa. Por ejemplo, en la figura 4-11 (a),
Figura 4-11 Mapas de Karnaugh y tablas de verdad para (a) dos, (b) tres y (c) cuatro variables. variables.
La condición A = 0, B = 0 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado A' B' en el mapa K. Ya que la tabla de verdad muestra X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el cuadrado A'B' en el mapa K. En forma similar, la condición A = 1, B = 1 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado AB del mapa K, ya que X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el cuadrado AS. Los demás cuadrados se llenan con ceros. Esta misma idea se utiliza en los mapas de tres y cuatro variables que se muestran en la figura. 2. Los cuadrados del mapa K se marcan de modo que los cuadrados horizontalmente adyacentes so1o difieran en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior de la izquierda del mapa de cuatro variables es A'B'C'D' en tanto que el cuadrado que se
encuentra a la derecha es A'B'C'D (solo la variable D es diferente). De la misma manera, los cuadrados verticalmente adyacentes difieren so1o en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior izquierdo es A'B'C'D' en tanto que el que se encuentra a la derecha es A'BC'D' (solo la variable B es diferente). Note que cada cuadrado del renglón superior se considera adyacente al correspondiente cuadrado del renglón inferior .Por ejemplo, el cuadrado A'B'CD del renglón superior es adyacente al cuadrado AB'CD del rengl6n inferior porque so1o difieren en la variable A. Haga de cuenta que la parte superior del mapa se dobla hasta tocar la parte inferior. Asimismo, los cuadrados del extremo izquierdo de la columna son adyacentes a los del extremo derecho de la columna. 3. A fin de que los cuadrados que son adyacentes tanto vertical como horizontalmente difieran en una sola variable, el marcado de arriba hacia abajo debe hacerse en el orden indicado, -A'B', A' B, AB, AB'. Lo anterior también es válido para el marcado de izquierda a derecha: 4. Una vez que el mapa K se ha llenado con ceros y unos, la expresi6n de suma de productos para la salida X se puede obtener operando con OR aquellos que contienen un 1. En el mapa con tres variables de la figura 4-11(b), los cuadrados A'B'C', A'BC', A BC' y ABC contienen un 1, de modo que X = A'B'C' + A'B'C + A'BC' + ABC'. Agrupamiento :
La expr expres esió iónn de sali salida da X se puede puede simpli simplifi ficar car adecua adecuadam dament entee combinando los cuadros en el mapa K que contengan 1. El proceso para combinar estos unos se denomina agrupamiento.
:La figura 4-12(a) es el mapa K de una tabla de verdad con tres variables. Este mapa contiene un par de unos que son verticalmente adyacentes entre si; el primero representa A'BC' y, el segundo ABC'. Note que en estos dos términos sólo la variable A aparece en forma normal y complementada (B y C' permanecen sin cambio). Estos dos términos se pueden agrupar (combinar) para dar un result resultant antee que elimi elimine ne la variab variable le A, ya que que ésta ésta apar aparec ecee en form formaa norm normal al y complementada. Esto se demuestra fácilmente como sigue:
Agrupamiento Agrupamiento de grupos de dos (pares)
Este mismo principio es válido para cualquier par de unos vertical u horizontalmente adyace adyacente ntes. s. La figur figuraa 4-12(b 4-12(b)) muestr muestraa un ejemp ejemplo lo de dos unos unos horiz horizont ontalm alment entee adyacentes. Estos se pueden agrupar y luego eliminar la variable C, ya que aparecen en forma no complementada y complementada para dar una resultante de X = A' B. Otro ejemplo se da en la figura 4-12{c). En un mapa K los cuadrados de los renglones superior e inferior se consideran adyacentes. Así, los dos unos en este mapa se pueden repetir para dar una resultante de A'B'C' + AB'C' + B'C'.
La figura 4-12(d) muestra un mapa K que tiene dos pares de unos que se pueden agrupar. Los dos unos en el renglón superior son horizontalmente adyacentes. Los dos unos en el renglón inferior son, asimismo, adyacentes puesto que en un mapa K los cuad cuadra rado doss de las las colu column mnas as de los los extr extrem emos os izqu izquie ierd rdoo y dere derech choo se cons consid ider eran an adyacentes. Cuando se agrupa el par superior de unos, la variable D se elimina (ya que aparece como D y D' ) ) para dar el término A'B'C. El agrupamiento del par inferior elimina la variable C para dar el término AB'C'. Estos dos términos se operan con OR a fin de obtener el resultado final para X . Para resumir lo anterior: El agrupamiento de un par de unos adyacentes en un mapa K elimina la variable que aparece en forma complementada y no complementada.
El agrupamiento cuádruple de unos elimina las dos variables que aparecen en la forma complementada y no complementada.
Agrupamiento de grupos de cuatro (cuádruples) Un mapa K puede contener Un grupo de cuatro unos que sean adyacentes entre sí. Este grupo se denomina cuádruple. La figura 4-13 muestra varios ejemplos de cuádruples. En la parte (a) los cuatro unos son verticalmente adyacentes adyacentes y en la parte (b) son horizontalmente horizontalmente adyacentes. El mapa K de la figura 4 - 13(c) contiene cuatro unos en un cuadrado y se consideran adyacentes adyacentes entre sí. Los cuatro unos en la figura 4-13(d) también son adyacentes adyacentes igual que los de la figura 4 - 13(e) ya que, como mencionamos anteriormente. Los renglones superior e inferior y las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes entre sí. Cuando se repite un cuádruple, el término resultante contiene sólo las variables que no cambian de forma para todos los cuadrados del cuádruple. Por ejemplo, en la figura 4 13(a) los cuatro cuadrados que contienen un uno son A'B'C, A'BC, ABC y AB'C. El análisis de estos términos revela que solamente la variable C permanece sin alterarse (A y B apare aparece cenn en forma forma comple complemen menta tada da y no comple complemen menta tada) da).. De este este modo, modo, la expresión resultante para X es simplemente X = C. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:
Para poner otro ejemplo, consideramos las figura 4 - 13(d), donde los cuatro cuadrados que contienen unos son ABC'D', ABC'D', A'B'C'D', A'B'C'D', ABCD', y AB'CD'. AB'CD'. El análisis de estos
términos indica que sólo las variables A y D' permanecen sin cambios, así que la expresión simplificada para X es X = AD
Esto se puede probar de la misma manera anteriormente anteriormente utilizada. El lector debe verificar cada uno de los otros casos de la figura 4 -13 para comprobar que sean las expresiones indicadas para X. Para resumir: Agrupamiento de grupos en ocho (octetos ) Un grupo de ocho unos que son adyacentes entre sí se denomina octeto. En la figura 4-14 se dan varios ejemplos de octetos. Cuando
Porque solo una de ellas permanece inalterada. Por ejemplo, el análisis de los ocho cuadrados agrupados en la figura 14 -14(a) muestra que so1o la variable B está en la mism mi smaa form formaa para para los los ocho ocho cuad cuadra rado dos; s; las las otra otrass vari variab able less apar aparec ecen en en form formaa complementada y no complementada. Así, para este mapa, X = B. El lector puede verificar los resultados de los otros ejemplos en la figura 4 - 14. Para resumir : El agrupamiento de un octeto de unos elimina las tres variables que aparecen en forma complementada y no complementada.
3.3 MÉTODO DE QUINE-MC CLUSKEY MÉTODO DE QUINE MCCLUSKEY También llamado método tabular, se utiliza para reducir ecuaciones booleanas. El método método se div divide ide en dos dos partes partes:: encont encontrar rar los los im impli plican cantes tes primos primos y obt obtene enerr las ecuaciones a partir de la tabla de implicantes primos. ENCONTRAR IMPLICANTES PRIMOS 1. Se toman los mintérminos de la tabla de verdad, y se convierten a su equivalente en binario. Σm(0,1,2,4,5,7,8,9,10,12,13, Σm(0,1,2,4,5,7,8,9,10,12,13, 15)
2. Se colocan en la Columna I, los mintérminos ordenados de menor a mayor número de unos.
3. Se comparan los mintérminos que sólo tienen una diferencia en sus bits, formando la siguiente columna. columna. En esta columna se escriben los mintérminos comparados y el nuevo término, donde se marcará con un guión ( _ ) esa diferencia. diferencia. Cada término que pase a la siguiente columna columna deberá marcarse ( √)
4. El paso 3 se repetirá hasta que ya no sea posible formar nuevas columnas:
5. Si en alguna de las columnas se repiten elementos, se toma solamente uno para formar la siguiente columna.
TABLA DE IMPLICANTES PRIMOS 1. Se dibuja una tabla, en las columnas se acomodan los mintérminos. 2. Acomodar en los renglones los términos de la última columna y de las columnas anteriores que no fueron marcados. 3. Se coloca una X en donde cruzan los términos con los mintérminos.
4. Se agrupan verticalmente las X 5. Las X que quedan solas son las que marcan cuál término pasará a ser parte de la ecuación final. Esta X eliminará a las que se encuentran en su mismo renglón y se deben marcar los mintérminos mintérminos involucrados. involucrados.
6. Si al final quedan mintérminos sin marcar, se tomará un término que los involucre, tomando el mismo criterio que en mapas de Karnaugh: agrupar el mayor número de mintérminos mintérminos en el menor número de grupos posibles. 7. Los guiones representan a las variables que se eliminan, eliminan, los 1 a las variables y los 0 a las variables negadas, formando cada una de las partes de la ecuación final.
