MÓDULO I ANALISIS ESTRUCTURAL ult

Análisis Estructural Estructural I ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ANALISIS ESTRUCTURAL I 1.

Definición de Estructura: Una estructura es una serie de partes conectadas con el fin de soportar una carga. El Análisis Estructural, es una ciencia que se encarga de la elaboración de métodos de cálculo, para determinar la resistencia, rigidez, estabilidad, durabilidad y seguridad de las estructuras, obteniéndose los valores necesarios para un diseño económico y seguro. Al crear una estructura para que cumpla una función específica es necesario seguir un proceso: considerarse la selección de una forma que sea segura, estética y Planeación: Primero debe considerarse

económica.

Una vez tomada la decisión, se especifican las cargas, materiales, disposición de los miembros y sus dimensiones de conjunto. Análisis: Deben hacerse ciertas idealizaciones sobre cómo están soportados y conectados

los miembros entre si. Una vez determinado, las fuerzas en los miembros y sus desplazamientos pueden hallarse utilizando la mecánica estructural.

Diseño: Una vez obtenidas las cargas internas de un miembro se determina el tamaño de

este satisfaciendo criterios de resistencia, estabilidad y deflexión.

f ase se requiere ordenar los diversos componentes de la estructura y Construcción : En esta fase planear las actividades que implica el montaje real de esta. Se debe garantizar que guarde concordancia con los planos de diseño especificados.

2.

Cargas Las cargas suelen modelarse de acuerdo al espacio que ocupan como cargas puntuales concentradas, como la acción de la rueda de un camión sobre la cubierta de un puente, cargas distribuídas lineales, expresada como fuerza por unidad de longitud, como el peso de una pared divisoria que actúa sobre una viga de apoyo y cargas carg as distribuídas superficiales que se dan como fuerza por unidad de área de por ejemplo un sistema de piso para un salón de clases, de una biblioteca o de una bodega. Una vez elegida la estructura, se determinan las cargas que le serán aplicadas mientras ella este sirviendo a la finalidad para la cual fue diseñada durante su vida útil. Existen para ello códigos y normas con la distribución mínima de cargas, sin embargo son el juicio y la experiencia del ingeniero los que darán la magnitud final, pues es el responsable de la seguridad de la estructura. Las cargas se suelen agrupar según su naturaleza, en tres clases:

a) Cargas Muertas debidas al peso propio del sistema estructural y de los elementos sujetos a él de manera permanente. En el caso de un puente de carretera, la carga muerta la constituyen las vigas, los pórticos principales, las vigas de piso y largueros del sistema de tablero, las losas de calzada, los sardineles, las aceras, barandillas y postes de iluminación y otro equipamiento;

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FUENTE: http://amarengo.org/breves/pesos-unitarios-anexo-1-cargas.html

b) Cargas Vivas, que pueden ser movibles, aquellas que se pueden cambiar de posición y las móviles, las que se mueven por su propia energía como los vehículos. En el Perú empleamos la Norma de Estructuras E.020 CARGAS del Reglamento Nacional de Edificaciones para determinar las cargas mínimas según el tipo de ambiente.

Fuente: Reglamento Nacional de Edificaciones. Norma E.020 Cargas.

c) Las Cargas Ambientales, las causadas por efectos del ambiente, como el viento, la nieve, los cambios de temperatura y los temblores de tierra.

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3.

Fuerzas aplicadas en una estructura a. Fuerza La noción de fuerza es fundamentalmente intuitiva: podemos ejercer una fuerza sobre un cuerpo por medio de un esfuerzo muscular; una locomotora ejerce fuerza sobre los vagones que arrastra; un resorte estirado ejerce fuerza sobre las piezas que fijan sus extremos etc. En todos los casos son fuerzas por contacto. Hay también fuerzas de acción a distancia, es decir, sin contacto, debidas a la existencia de campos gravitatorios, eléctricos, magnéticos, etc.

De todas maneras la noción intuitiva sugiere que la fuerza es una cantidad VECTORIAL, es decir, con dirección, magnitud o intensidad y sentido

b. Momento de una fuerza En general, una fuerza aplicada sobre un cuerpo produce una traslación, si está en reposo y no impedido su movimiento. En el caso de la figura, hay un punto O impedido de trasladarse, entonces el cuerpo girará alrededor del punto O por acción de la fuerza P. La rotación se mide por el MOMENTO que es el producto de la intensidad de la fuerza P por la mínima distancia que va desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza: M = P * d (la mínima distancia desde un punto hasta una recta se mide sobre la perpendicular a dicha recta)

c. Fuerzas concurrentes coplanares: Resultante Supongamos un muro de mampostería el cual está solicitado por las fuerzas P1, P2, P3, y P4, las que están contenidas en su plano. Sea S el punto de concurrencia de sus rectas de acción. El efecto de estas fuerzas es equivalente al de una fuerza resultante única R, cuya recta de acción debe pasar, naturalmente, por S. Para encontrar la magnitud, dirección y sentido de la resultante se procede de la siguiente manera: Partir de un polo M, se lleva a escala de fuerzas, una a continuación de la otra, las fuerzas P1, P2, P3, P4. La recta que une el origen de la primera con el extremo de la última define la resultante del sistema (suma de vectores gráficamente). Se comprende que el muro, con las fuerzas actuantes, no está en equilibrio, sino que tiende a desplazarse en la dirección de la resultante, y podemos establecer que: “Para que un sistema de fuerzas concurrentes esté en equilibrio, es decir, para que su ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ing. Civil 4


resultante sea nula, es necesario que el polígono de fuerzas construido a partir de un origen M cualquiera, sea cerrado.” En el ejemplo planteado, para lograr el equilibrio, el terreno deberá reaccionar con una fuerza igual y de sentido contrario a R, y aplicada en su misma recta de acción.

d. Equilibrio de fuerzas: solución gráfica Estudiaremos el tema planteándonos la resolución del sistema que ilustra la figura MI-6. Un peso de 1000 kg. está soportado por dos cables, CA y CB. Se pide encontrar los esfuerzos en los cables, y la magnitud, dirección y sentido de cada reacción de apoyo. Para que el punto C esté en equilibrio, los cables CA y CB tendrán que realizar esfuerzos tales que la suma vectorial sea igual a cero, es decir, un polígono cerrado. Se dibuja la carga conocida (a escala de fuerzas) y por sus extremos trazamos rectas paralelas a la dirección de los cables.

Así nos quedan definidos inmediatamente dos segmentos que nos dan la magnitud, en la misma escala, del esfuerzo de cada cable Sa y Sb. El sentido se lo colocamos de manera que la suma (P + Sa + Sb) sea igual a cero (polígono cerrado). Sa y Sb son los esfuerzos que los cables realizan sobre el punto C para mantenerlo en equilibrio. Ahora aislemos uno de los cables, por ejemplo el CB y veamos qué fuerzas exteriores a él actúan En el extremo C está el esfuerzo Sa del otro cable y la carga de 1000 kg, que sumados vectorialmente, es decir, uniendo el origen del primero con el extremo del último, da la resultante Rm, en dirección, magnitud y sentido, que actúan en el extremo C. Para que el cable CB esté en equilibrio, en el extremo B deberá aparecer una fuerza igual y de sentido contrario a Rm, que será precisamente, la reacción en el apoyo B (RB).

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Observando el cable CB en la figura MI-8 vemos que está en equilibrio, y como las fuerzas exteriores lo están tratando de alargar, decimos que está traccionado. Idéntico razonamiento se puede hacer con el cable CA, en donde vemos que en el extremo C actúan P y Sa (figura MI-9). Sumados vectorialmente P y Sa, da la fuerza resultante Rn. El equilibrio del cable CA se logra por la fuerza reactiva RA del apoyo A.

e. Equilibrio de fuerzas: solución analítica Veamos cómo se determinarían analíticamente las incógnitas RA y RB en el caso del problema que ilustró la figura MI-6 y que se repite en la figura MI-10, anotando los ángulos que forman las fuerzas concurrentes (RA, RB y P). Las ecuaciones que posibilitan la solución analítica del problema surgen de la misma exigencia de polígono cerrado. Si el polígono formado por cargas y reacciones (fuerzas concurrentes) está cerrado, la suma de las proyecciones de estas fuerzas sobre cualquier sistema de ejes ortogonales x e y, contenidas en su plano de acción, vale cero.

Así se llega a las conocidas ecuaciones de equilibrio: Fxi = 0 Fyi = 0 Donde Fxi y Fyi designan, las proyecciones de una cualquiera de las fuerzas exteriores sobre los ejes x e y, respectivamente, y la sumatoria se debe extender a todas las fuerzas del sistema. Proyectando las fuerzas de la figura MI-10 sobre un par de ejes ortogonales x e y, y fijando a priori el sentido de las reacciones, resultan las siguientes ecuaciones de proyección, que ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ing. Civil 6


hacemos igual a cero por tratarse de un sistema de fuerzas en equilibrio: Fx = 0 -RA + RB . cos 45° = 0 Fy = 0 - P + RB . sen 45° = 0

f. Desplazamiento de una fuerza a una dirección paralela a sí misma En el gráfico central de la figura MI-11 podemos observar que si mantenemos la fuerza P en su ubicación original y agregamos en otro punto cualquiera dos fuerzas P opuestas entre sí (en este ejemplo ubicadas en el centro del plano), el sistema resultante es equivalente al primero. El nuevo sistema está constituido por la fuerza P dirigida hacia abajo en el punto central, y por una cupla o par de fuerzas (formada por las otras dos), de Momento igual a M = P x a y este nuevo sistema es equivalente al original. No se altera el efecto cinemático de una fuerza P desplazándola paralelamente a su línea de acción, a la distancia a, siempre que se agregue una cupla de momento P x a.

g. Fuerzas coplanares no concurrentes Para determinar la intensidad, dirección y sentido de la resultante aplicamos el método gráfico o analítico visto anteriormente. En cuanto a la posición de la línea de acción de la resultante, se determina calculando su brazo de palanca r desde un punto cualquiera del plano, considerado centro de momento, mediante el Teorema de Momentos de Varignon: “El momento de la resultante de cualquier

sistema de fuerzas respecto a un punto es igual a la suma algebraica de los momentos de las componentes”.

P1 . d1 + P2 . d2 + P3 . d3 + P4 . d4 + P5 . d5 = R . r Sumatoria de las componentes = Sumatoria de la resultante Como ya conocemos el valor de la resultante, será suficiente despejar de la ecuación anterior el valor del brazo de palanca r desde el punto T elegido como centro de momentos, y por donde pasará la resultante:

h. Condiciones de equilibrio

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Para un cuerpo, sometido a la acción de fuerzas exteriores, estar en equilibrio significa que dichas fuerzas no provocan traslación alguna ni rotación del cuerpo. Consideremos nuevamente la figura MI-12 (a) y agreguemos una sexta fuerza P6 de valor igual y de sentido contrario a la resultante, pero que no coincida con la posición de la misma, tal como indica la figura MI-13. Es evidente que si se construyera un polígono con las fuerzas dadas, éste resultaría cerrado, es decir, resultante nula. Sin embargo, el cuerpo no está en equilibrio.

El cuerpo está sometido a una cupla resultante que tiende a hacerlo girar en sentido horario. Vamos a establecer qué condición analítica debe cumplirse para asegurar que no rote, es decir, que no exista cupla resultante. Si en la figura tomamos momentos de todas las fuerzas respecto al punto T, llegaríamos a la conclusión que: Sumatoria MT = R . r Es decir, con el agregado de la fuerza P6 = 9,1t hemos logrado resultante nula (notraslación), pero no el equilibrio a la rotación.

d) APOYOS a. Grados de libertad – Estabilidad Hemos visto que las fuerzas en un plano pueden producir traslaciones y rotaciones. La traslación puede expresarse por sus dos componentes, según ejes ortogonales, y la rotación alrededor de un eje perpendicular al plano que contiene a las fuerzas. Diremos que una estructura plana posee tres grados de libertad (dos de traslación y una de rotación). ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ing. Civil 8


Es evidente que estos grados de libertad deben ser restringidos para evitar toda tendencia al movimiento de la estructura y lograr su equilibrio. Esta restricción está dada por los apoyos, los que deben impedir las diversas posibilidades de movimiento; aparecen las reacciones en estos apoyos formando este conjunto (de cargas y reacciones) un sistema de fuerzas en equilibrio. La función de estos apoyos es restringir los grados de libertad de la estructura, apareciendo reacciones en la dirección de los movimientos impedidos. - Apoyo de primer género: impide desplazamiento en la dirección perpendicular al plano de

apoyo.

- Apoyo de segundo género o articulación: impide traslaciones en cualquier dirección,

permitiendo sólo rotaciones.

La dirección de la reacción puede ser cualquiera pero siempre podrá ser representada por sus dos componentes V y H. No es obligación descomponer la reacción de apoyo en ejes ortogonales, se puede descomponer en dos direcciones cualesquiera. - Apoyo de tercer género o empotramiento: este tipo de apoyo impide todo tipo de

movimiento de la estructura (dos traslaciones y una rotación).

b. Estaticidad, equilibrio y estabilidad Hemos visto que la función de los apoyos es limitar los grados de libertad de una estructura. Pueden ocurrir tres casos: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ing. Civil 9


• Los apoyos son los estrictamente necesarios para impedir todos los movimientos posibles

de la estructura. En éste caso el número de reacciones de apoyo es igual al número de ecuaciones de equilibrio disponibles (número de incógnitas = número de ecuaciones). Diremos así que se trata de una estructura ISOSTÁTICA, ocurriendo una situación de equilibrio estable; ante cualquier deformación impuesta a la estructura, ésta tiende a volver a su situación inicial.

• Los apoyos son en cantidad inferior a la necesaria para impedir todos los movimientos

posibles de la estructura. En este caso tenemos más ecuaciones que incógnitas. Se trata de una estructura HIPOSTÁTICA. Puede ocurrir una situación de carga para la cual se consigue equilibrio, pero se trataría de equilibrio inestable, pues cualquier deformación impuesta a la estructura tenderá a seguir hasta su ruina. Las estructuras hipostáticas son inadmisibles para las construcciones.

• En el tercer caso los apoyos son en cantidad superior a la necesaria para impedir todos los

movimientos posibles de la estructura. En este caso el número de ecuaciones es inferior al número de incógnitas, produciendo un sistema indeterminado. Las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar las reacciones de apoyo, siendo necesarias ecuaciones adicionales de compatibilidad de las deformaciones, que se verán en otros cursos. Estas estructuras son HIPERESTÁTICAS, siendo el equilibrio estable. Podríamos decir un poco impropiamente, que el equilibrio es más que estable.

Observación Existe también otro tipo de equilibrio inadmisible para las construcciones y es el equilibrio indiferente. Es cuando, al actuar una pequeña fuerza, la estructura se traslada, y si deja de actuar la fuerza, se restablece el equilibrio, pero en otro lugar.

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TRACCIÓN Y COMPRENSIÓN Definiciones Tracción: es el esfuerzo que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden a estirarlo. Compresión: Reducción del volumen de una cosa sometiéndola a una presión.

En la figura 1.1 se muestra un caso sencillo de tracción y en la figura 1.2 el caso de compresión. En tracción y compresión, las fuerzas internas son elásticas y surgen en las secciones transversales de las barras. Las fuerzas internas son conocidas como fuerzas axiales o normales y se los denota por o . x N N

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La fuerza axial N x se determina por medio del método de las secciones, por la cual numéricamente es igual a la suma algebraica de las proyecciones sobre el eje longitudinal (OX) de las fuerzas externas, ubicadas a un lado del corte (figura 1.3). Se considera que las fuerzas axiales son positivas en tracción y negativas en compresión.

En las secciones transversales de las barras cargadas en tracción o compresión, solo surgen esfuerzos normales , los cuales se determinan por:

  

(1.1)

Donde: A = Área de la sección transversal de la barra A Los signos para los esfuerzos normales son los mismos que para N x y las unidades de medida son, kgf/cm 2. lb/plg2 o N/m2. Al alargamiento relativo en tracción (o acortamiento relativo en compresión) de la barra, se le conoce como deformación longitudinal y se determina por:

  

(1.2)

Donde: -  = Alargamiento o acortamiento absoluto de la barra) -L = Longitud inicial de la barra - L1 = Longitud final de la barra A la deformación relativa de las dimensiones transversales de la barra, se le conoce como deformación transversal y se determina por: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ing. Civil 12


Donde: -a = ancho inicial de la barra - a1 = Ancho final de la barra En tracción se considera que opuesto.

  

(1.3)

   , en consecuencia   

y en compresión sucede lo

A las magnitudes  y  también se les conoce como deformaciones lineales . Coeficiente de Poisson

Se define como coeficiente o módulo de Poisson a la relación entre las deformaciones longitudinal y transversal unitarias Su valor es adimensional, calculándose por:

  ||

(1.4)

El coeficiente de Poisson para materiales isótropos varía entre 0 y 0.5. El coeficiente de Poisson vale de 0.25 a 0.35 en los materiales metálicos, de 0.1 a 0,25 para el concreto y para los elastómeros y materiales plásticos hasta 0.5. Ley de Hooke

Entre el esfuerzo normal y la deformación, existe una dependencia lineal, llamada Ley de Hooke y se lo determina por:



(1.5)

Donde: E = módulo de elasticidad longitudinal o módulo de elasticidad de primer género La unidad de medida de E es la misma que para el esfuerzo normal. El alargamiento o acortamiento absoluto, cuando A= const y Nx= const, se determina por:

  

(1.6)

Cuando Nx y A varían por la longitud de la barra o una de estas magnitudes, entonces el alargamiento o acortamiento absoluto se determinará por:

  ∫

 

(1.7)

Par el caso de barras escalonadas o cuando la fuerza axial es constante en cada tramo analizado, se recomienda utilizar:

   ∑  

(1.8)

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ESFUERZO Y DEFORMACIÓN 1. ESFUERZO Esfuerzo es la resistencia que ofrece un área unitaria (A) del material del que está hecho un miembro para una carga aplicada externa. Dependiendo de la forma cómo actúen las fuerzas externas, los esfuerzos y deformaciones producidos pueden ser axiales, biaxiales, triaxiales, por flexión, por torsión, o combinados.

Esfuerzo y deformación uniaxial.

Esfuerzo y deformación biaxial.

Esfuerzo y deformación triaxial.

Esfuerzo y deformación por torsión.

Esfuerzo y deformación por flexión.

Esfuerzo y deformación combinado

Dependiendo de que la fuerza interna actúe perpendicularmente o paralelamente al área del elemento considerado los esfuerzos pueden ser normales (fuerza perpendicular al área), cortantes (tangenciales o de cizalladura, debido a una fuerza paralela al área).

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2. FACTOR DE SEGURIDAD Si se tiene que evitar una falla estructural, las cargas que una estructura es capaz de soportar deben ser mayores que las cargas a las que se va a someter cuando este en servicio. Por lo tanto, la resistencia real de una estructura debe ser mayor que la resistencia requerida. La relación de la resistencia real entre al resistencia requerida se llama factor de seguridad n :

        Naturalmente, el factor de seguridad debe ser mayor que 1.0 para evitar falla. Dependiendo de las circunstancias, los factores de seguridad varían desde un poco mas que 1.0 hasta 10.

3. TIPOS DE ESFUERZOS Dependiendo del tipo de esfuerzo que utiliza, se pueden clasificar en: 2.1 Esfuerzo de trabajo



Muchas estructuras es importante que el material permanezca dentro del intervalo linealmente elástico, para evitar deformaciones permanentes cuando se quiten las cargas. En estas condiciones se establece el factor de seguridad con respecto al esfuerzo de fluencia (o la resistencia de fluencia) se obtienen un esfuerzo admisible (o esfuerzo de trabajo) que no se debe rebasar en lugar alguno de la estructura. De este modo el esfuerzo de trabajo es igual a el esfuerzo de fluencia entre el factor de seguridad. 2.2 Esfuerzo de diseño



Esfuerzo de diseño es el que utiliza el proyectista tomando en cuenta criterios de diseño, las características del material y su experiencia profesional.



2.3 Esfuerzo de fluencia o rotura

Es el esfuerzo con el que el elemento al traspasa su límite plástico y tiende a fallar. Un aumento en el esfuerzo más del límite elástico provocará un colapso de material y causara que se deforme permanentemente. Dependiendo de la dirección de la fuerza aplicada, las más comunes son:

a. Esfuerzo normal o uniaxial: La intensidad o fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando normalmente a A. Puede ser esfuerzo de tensión o compresión. Se denota con la letra griega sigma (σ) y es un parámetro que permite comparar la resistencia de dos materiales, ya que establece una base común de referencia.

Cabe destacar que la fuerza empleada en la ecuación debe ser perpendicular al área analizada y aplicada en el centroide del área para así tener un valor de σ constante que se ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ing. Civil 15


distribuye uniformemente en el área aplicada. La ecuación no es válida para los otros tipos de fuerzas internas como la fuerza cortante, momento flector y momento torsor; existe otro tipo de ecuación que determine el esfuerzo para las otras fuerzas, ya que los esfuerzos se distribuyen de otra forma.

b. Esfuerzo cortante. La intensidad de fuerza o fuerza por área unitaria, actuando tangente a A.

4. DEFORMACIÓN La resistencia del material no es el único parámetro que debe utilizarse al diseñar o analizar una estructura; controlar las deformaciones para que la estructura cumpla con el propósito para el cual se diseñó tiene la misma o mayor importancia. El análisis de las deformaciones se relaciona con los cambios en la forma de la estructura que generan las cargas aplicadas. Una barra sometida a una fuerza axial de tracción aumentara su longitud inicial; se puede observar que bajo la misma carga pero con una longitud mayor este aumento o alargamiento se incrementará también. Por ello definir la deformación ( ε) como el cociente entre el alargamiento δ y la longitud inicial L, indica que sobre la barra la deformación es la misma porque si aumenta L también aumentaría δ. Matemáticamente la deformación sería :

   5. ELEMENTOS DE DIAGRAMA ESFUERZO – DEFORMACIÓN En un diagrama se observa un tramo recta inicial hasta un punto denominado límite de proporcionalidad. Este límite tiene gran importancia para la teoría de los sólidos elásticos, ya que esta se basa en el citado límite. Este límite es el superior para un esfuerzo admisible.

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Los puntos importantes del diagrama de esfuerzo deformación son:

i.

Comportamiento Elástico Es una línea recta a través de toda esta región. El esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria. El material es linealmente elástico.

ii.

Limite proporcional Es el límite superior del esfuerzo en esta relación lineal. La Ley de Hooke es válida cuando el esfuerzo unitario en el material es menor que el esfuerzo en el límite de proporcionalidad. Si el esfuerzo excede un poco el límite proporcional, el material puede responder elásticamente. La curva tiende a aplanarse causando un incremento mayor de la deformación unitaria con el correspondiente incremento del esfuerzo. Esto continúa hasta que el esfuerzo llega al límite elástico.

iii.

Fluencia Un aumento en el esfuerzo más del límite elástico provocara un colapso de material y causara que se deforme permanentemente. Este comportamiento se llama fluencia. El esfuerzo que origina la fluencia se llama esfuerzo de fluencia o punto de fluencia, y la deformación que ocurre se llama deformación plástica. En los aceros con bajo contenido de carbono, se distinguen dos valores para el punto de fluencia. El punto superior de fluencia ocurre primero, seguido por una disminución súbita en la capacidad de soportar carga hasta un punto inferior de fluencia. Una vez se ha alcanzado el punto inferior de fluencia, la muestra continuara alargándose sin ningún incremento de carga. Las deformaciones unitarias inducidas debido a la fluencia serian de 10 a 40 veces más grandes que las producidas en el límite de elasticidad. Cuando el material esta en este estado-perfectamente plástico.

iv.

Endurecimiento por deformación Cuando la fluencia ha terminado, puede aplicarse más carga a la probeta, resultando una curva que se eleva continuamente pero se va aplanando hasta llegar a este punto se llama el esfuerzo ultimo, Que es el esfuerzo máximo que el material es capaz de soportar. La elevación en la curva de esta manera se llama endurecimiento por deformación.

v.

Formación del cuello o estricción En el esfuerzo último, el área de la sección transversal comienza a disminuir en una zona localizada de la probeta, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este fenómeno es causado por planos de deslizamiento que se forman dentro del material y las deformaciones producidas son causadas por esfuerzos cortantes.

vi.

Formación del cuello o estricción Como resultado, tiende a desarrollarse una estricción o cuello en esta zona a medida que el espécimen se alarga cada vez más. Puesto que el área de la sección transversal en esta zona está decreciendo continuamente, el área mas pequeña puede soportar solo una carga siempre decreciente. De aquí que el diagrama esfuerzo –deformación tienda a curvarse hacia abajo hasta que la probeta se rompe en el punto del esfuerzo de fractura.

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6. DEPENDENCIAS PRINCIPALES Si los tres esfuerzos principales son diferentes de cero, entonces el estado de esfuerzos se llama espacial, volumétrico o triaxial (figura a). Si solo dos esfuerzos principales no son iguales a cero, el estado de esfuerzos se llama plano o biaxial (figura b). Si solo un esfuerzo es diferente de cero, el estado de esfuerzos es lineal o uniaxial (figura c).

Los esfuerzos en los planos, pertenecientes a la serie de planos, paralelos a un esfuerzo principal, no dependen de este. Por ejemplo, los esfuerzos normal y tangencial en el plano paralelo a y ubicado de tal manera que su normal forma un ángulo con la dirección de (figura 2.2), se determinan por las fórmulas:

Los esfuerzos tangenciales máximos para los estados de esfuerzo lineal, plano y espacial se determinan respectivamente por las fórmulas 2.3, 2.4 y 2.5.

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Los esfuerzos también se pueden determinar en forma gráfica, por medio del círculo de Mohr.

6.1 Circulo de Mohr para Esfuerzos El círculo de Mohr es un conjunto de puntos geométricos, cuyas abcisas y ordenadas son correspondientemente iguales a los esfuerzos normal y tangencial, que surgen en los planos.

El círculo de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior. Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la

tensión normal

y el eje

vertical representa la tensión cortante o tangencial para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera: Centro del círculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ing. Civil 19


Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los en este caso viene dado por:

valores propios del tensor tensión que

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TORSIÓN Un par de torsión es un momento que tiende a hacer girar a un miembro con respecto a su eje longitudinal. Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes o flecha de impulsión usada en vehículos.

En cualquier parte de la sección transversal de la barra, el momento torsor es igual a la suma algebraica de los momentos torsores externos, actuantes a un lado de la sección analizada. Para graficar el diagrama de momento torsor, hay que tener en cuenta, que no existe una convención internacional de signos, es por ello, la importancia de conservar la orientación del momento torsor hasta el final del problema y lo que nos indica la orientación de su resultante, es el giro que se produce en la sección transversal de la parte analizada de la estructura. De ello, se desprende, que en los diagramas de momento torsor, no se colocan signo positivo, ni signo negativo, debido a la inexistencia de una convención internacional de signos. La condición de resistencia de barras de sección circular o tubular, tiene la siguiente forma:

Donde:



= Esfuerzo tangencial máximo, que surge en la sección transversal más peligrosa de la

barra. T = Momento torsor en la sección más peligrosa de la barra T ⌈⌉ = esfuerzo tangencial permisible en torsión. Wp = Momento de resistencia polar de la sección. Asimismo, el momento de resistencia polar para secciones circulares y tubulares es: SECCION CIRCULAR:

Donde: d = diámetro de la sección circular. SECCION TUBULAR:

Siendo: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ing. Civil 21


Donde:

D = Diámetro exterior del tubo Do = Diámetro interior del tubo El ángulo de giro de una sección respecto a otra, se denomina ángulo de torsión del tramo de la barra entre ambas secciones. El ángulo de giro en torsión de la barra o de un tramo específico de la misma, se determina por la fórmula 3.4 y su unidad es radian.

Donde: GIp = Rigidez de la sección en torsión G = Módulo de corte o cizallamiento Ip = Momento de inercia polar El momento de inercia polar para secciones circulares y tubulares es: SECCION CIRCULAR:

SECCION TUBULAR:

Cuando el momento torsor T y el momento de inercia polar I p son constantes, el ángulo de torsión se determina por la fórmula 3.7

La condición de rigidez en torsión tiene la forma:

Donde:   = Ángulo de torsión relativo máximo o ángulo de torsión máximo por metro lineal (rad/m). [] = Ángulo de torsión permisible por metro lineal (rad/m) Las unidades de medida de la fórmula 3.8, para el momento torsor T es N.m, para el módulo de corte G en Pa y para el momento de inercia polar I p en m4. Si el momento torsor T está dado en kgf.cm, el módulo de corte G en kgf/cm2 y el momento de inercia I p en cm4, entonces el ángulo de torsión máximo por metro lineal estará dado en grad/m y se determinará por la fórmula 3.9.

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FLEXIÓN Falta definición

En las secciones transversales de vigas sometidas a flexión pura , surgen esfuerzos normales, los cuales dependen de su momento flector en la sección correspondiente. En flexión transversal , también surgen esfuerzos tangenciales, los cuales están relacionados con las fuerzas cortantes. Los esfuerzos normales en cualquier punto de la sección transversal, se determinan por la fórmula 4.1 Donde: - momento flector en la sección determinada M - momento de inercia de la sección, respecto al eje central (neutro) z I - distancia desde el eje central, hasta el punto donde se determina el esfuerzo y

Los esfuerzos normales máximos surgen en los puntos más alejados al eje central (figura 4.1), esto es:

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También, puede ser expresado a través del módulo de resistencia, obteniéndose: máx z z yI

De esta manera, pueden existir dos casos: a) Sección simétrica respecto al eje central (figura 4.2). En este caso las distancias de los extremos de las zonas de tracción y compresión hasta el eje central son iguales y los esfuerzos normales se determinarán por la fórmula 4.3

b) Sección no simétrica respecto al eje central. En este caso los esfuerzos normales para los puntos más alejados en las zonas de tracción y compresión (figura 4.3), serán diferentes y se determinarán por las fórmulas 4.4 y 4.5

Siendo: - distancia desde el eje central hasta el punto más alejado en la zona de tracción tr máx y - distancia desde el eje central hasta el punto más alejado en la zona de compresión comp máx y En el caso que el material de la viga tenga diferentes resistencias en tracción y compresión, se recomienda elegir una sección no simétrica respecto al eje central. Por ejemplo, para el caso del hierro fundido se podría elegir una sección tipo T (figura 4.3), debiendo ubicarse la mayor cantidad de material en la zona de tracción, debido a que el hierro fundido se comporta mejor en compresión, que en tracción. Esto quiere decir, para vigas de material frágil, el área mayor de la sección transversal corresponderá a la zona de tracción y el área menor a la zona de compresión. Si el diagrama de momento flector para tal tipo de vigas, tiene tramos de diferentes signos, entonces lo indicado anteriormente acerca de la posición racional de la sección de la viga, se analizará en la sección donde el momento flector es máximo en valor absoluto. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ing. Civil 24


Como se sabe, si el momento es positivo, la zona de tracción está ubicada en la parte inferior y la zona de compresión en la parte superior y para el caso de momento negativo, sucede lo opuesto. De esta manera, las zonas de tracción y compresión deben de concordar, tanto por momento flector, como por áreas. En caso contrario, se recomendará invertir la sección, de tal manera que se cumpla con ambas exigencias. En forma adicional, se recomienda efectuar la comprobación de la condición de resistencia para la sección, donde el momento flector es de signo opuesto. Otra de las formas como determinar la zona más peligrosa es a través de la fórmula 4.6, en la cual, si se cumple dicha condición, entonces la zona más peligrosa es la de tracción. Otra de las formas como determinar la zona más peligrosa es a través de la fórmula 4.6, en la cual, si se cumple dicha condición, entonces la zona más peligrosa es la de tracción. La condición de resistencia en flexión pura, se analizará por la fórmula 4.7 Donde: - momento flector máximo en la viga máx M Para el caso de secciones simétricas respecto al eje central, la comprobación de resistencia se realizará respecto al esfuerzo permisible en tracción o compresión, analizando el caso cuyo valor es menor. Para secciones no simétricas respecto al eje central, cuando el material tiene diferentes resistencias en tracción y compresión (material frágil), hace falta efectuar la comprobación para las zonas de tracción y compresión, utilizando, para ello, las fórmulas 4.8 y 4.9 Siendo: - esfuerzo permisible en tracción Para secciones no simétricas respecto al eje central, cuando el material tiene igual resistencia en tracción y compresión, por ejemplo el acero, la condición de resistencia se aplicará para el caso donde el esfuerzo normal es máximo en valor absoluto. Para elegir la sección transversal, se aplicará la fórmula 4.10 En el caso que la sección sea un perfil metálico, se elegirá el que tenga el menor valor , pero que cumpla con la condición de la fórmula 4.10 z W Para el caso de secciones circulares, tubulares y rectangulares se elegirán las dimensiones de las secciones, utilizando las fórmulas 4.11 – 4.13 SECCION CIRCULAR:

Donde: - diámetro de la sección circular d

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SECCION TUBULAR:

Siendo: - diámetro exterior del tubo D - diámetro interior del tubo 0 d SECCION RECTANGULAR: Donde: - base de la sección rectangular b - altura de la sección rectangular h

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Análisis Estructural I -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

En el caso, que se desee determinar las dimensiones de la sección transversal de una viga no simétrica, se tendrá que efectuar a través de las fórmulas 4.8 y 4.9 despejando, para ello, los valores requeridos.

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MÓDULO I ANALISIS ESTRUCTURAL ult

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