Transformaciones politrópicas El modelo de transformaciones transformaciones politrópicas sólo vale para gases ideales que evolucionan cuasiestáticamente. Vale la pena remarcar la diferencia entre una transformación cuasiestática y una reversible: Un proces proceso o es es revers reversibl ible e si tanto tanto el siste sistema ma como como el medio medio pueden pueden volve volverr a las condiciones iniciales luego de finalizar el mismo. Un proceso es cuasiestático si evoluciona de forma tal que pasa por sucesivos estados de equilibrio intermedio entre el estado inicial y el final. Un proceso reversible siempre es cuasiestático, pero no siempre vale lo contrario. Causas de irreversibilidad: irreversibilidad: -
Fricción Transfer Transferencia encias s de de calor calor con con salto salto finito finito de tempera temperatura tura Deseq Desequil uilibr ibrio ios s finito finitos s de fuerz fuerzas, as, pres presion iones es,, potenciales,…
Un proceso puede ser cuasiestático y tener fricción o desarrollarse a una temperatura distinta de la atmosférica, intercambiando calor con la misma; por lo que no sería reversible. Condiciones necesarias y sufici entes para que una transformación sea politrópic a:
C cte (Capacidad calorífica constante)
P V cte m
Cabe aclarar que ambas condiciones son absolutamente equivalente, pues una se puede deducir a partir de la otra. Son politrópicas:
Isocóricas Isobáricas Isotérmicas Adiabáticas
V cte P cte T cte Q 0
1
Ecuación general de la polit rópica:
Aclaración: se designará con la letra G a la masa, para evitar la confusión con el coeficiente de la politrópica general, al que se le asigna la m.
Q C dT , C G c dU C V dT C V G cV , W EXP P dV Primer principio:
dU Q W EXP C V dT C dT P dV Como es un gas ideal:
P
G R T V
G cV dT G c dT G R T
cV c dT
T Si llamamos:
m 1
R
cV c
dT T dV
R
V
dV V
dV V
0
R
cV c
dT T
m 1
dV V
0
Integrando:
dT
dV
T m 1 V 0 dX Como R, cV y c son constantes (*), m también lo es, y podemos sacarlo fuera de la integral:
ln T m 1 ln V Cte Por propiedades de los logaritmos:
ln T V m1 Cte
T V m1 Cte
Ecuación de la politrópica general
(*)En este punto es donde resulta necesario que la capacidad calorífica sea constante.
2
Otras formas de expresarla
En función de T y V
T 1 V 1
m 1
T 2 V 2 m
En función de T y P Como:
1
G R T
V
P
m 1
G R T 1 G R T 2 T 1 T 2 P P 1 2 m m 1 m 1 m T 1 P1 T 2 P2 T 1 P1
1 m m
T 2 P2
m 1
1 m m
En función de P y V Como:
T V 1 P1 G R
V 1m
1
V P G R V 2 P2 G R
P1 V 1 P2 V 2 m
V 2 m
1
m
Coeficiente de la politrópica general m
m 1 m
c P cV cV c cP cV
m Calor:
Como:
cV c
1
cP cV cV c cV c
cP c cV c
Q G c dT c cte :
Q G c T Para un m dado:
m
cP c cV c
m cV c c P c
m cV c P c m 1
c
m cV c P
m 1 3
Luego:
m 1 T m c c V P
Q G
Trabajo poli trópico general: (de expansión)
W EXP Q dU W EXP G c cV dT Integrando:
W EXP G c cV T 2 T 1 Luego, multiplico y divido por R , multiplico por menos uno a c cV y a T 2 T 1 y saco
T 1 factor común del paréntesis.
W EXP G
Como:
cV c R
cV c R
T R T 1 1 2 T 1
1 m 1
W EXP G
T T 1 1 2 m 1 T 1 R
Conviene escribirlo de esta forma porque, por medio de la ecuación de la politrópica general:
V 1 T 1 V 2
T 2
m 1
P 1 P2
1 m m
Por lo que se pueden deducir dos expresiones más, en función de los volúmenes y las presiones:
W EXP
V m1 G T 1 1 1 V 2 m 1
W EXP
1 m P1 m R G T 1 1 m 1 P2
R
4
Potencia mecánica politrópic a : (Trabajo de eje)
Cuando se tiene un compresor o una turbina (ya sea en régimen permanente o variable, en el segundo caso se trata de un trabajo, no de una potencia), la potencia entregada/consumida, se puede calcular según la ecuación que se deduce a continuación: SARP
W Q H W G c c P T 2 T 1 Reordenando la expresión, de manera análoga a lo que hicimos para el trabajo de expansión:
W G Pero, si notamos que:
cP c R
c P c R
T R T 1 1 2 T 1
m m 1
W G
T R T 1 1 2 m 1 T 1 m
Otras formas de expresarlo:
Por la ecuación de la politrópica general:
V 1 T 1 V 2
T 2
m 1
P 1 P2
1 m m
V m1 R T 1 1 1 W G V 2 m 1
m
1 m P1 m m R T 1 1 W G m 1 P2
m m 1
m m 1
cP c
1 c c cV c P c c cV c P 1 cV c cP c cV c cV c
cP c c P cV
cP c R
5
SARV
En un compresor o una turbina se considera que no hay materia inicialmente ni tampoco queda materia al finalizar la operación (por tratarse de un régimen transitorio tiene que tener, necesariamente, un comienzo y un final), es decir toda la masa que ingresa sale luego de ser comprimida o trasmitir energía a los álabes de la turbina. Por lo tanto, al plantear el balance:
W eje Q H U VC , pero U VC 0
W eje Q H Luego, la expresión es absolutamente análoga a la de la potencia politrópica y se llega los siguientes resultados:
W G
T R T 1 1 2 m 1 T 1 m
V m1 R T 1 1 1 W G V 2 m 1 m
1 m P1 m W G R T 1 1 m 1 P2
m
Casos particulares A – Transf ormació n Is obári ca P cte
En este caso, el calor específico es el calor específico a presión constante: c cP Por lo tanto:
m
cP c cV c
cP c P cV c P
0
Reemplazando en una de las expresiones de la politrópica general: P V m cte
P V m P V P P cte 0
Reemplazando en la ecuación del calor:
Q G c T G c P T
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Reemplazando en una de las expresiones del trabajo politrópico general, de expansión:
W EXP
V m1 G T 1 1 1 V 2 m 1 R
V 01 G T 1 1 1 V 2 0 1 R
V G R T 1 1 2 V 1 G R T 1 V 1 V 2 V 1
P V 1 V 2 W EXP P V 2 V 1 B – Transformación Isocórica V cte
En este caso, el calor específico es el calor específico a volumen constante: c cV Por lo tanto:
m
cP c cV c
c P cV cV cV
m A partir de una de las expresiones de la politrópica general: P V cte
P V m cte P V m P
1
m
1
m
P
1
m
V cte
1 V lim P V V V cte
Reemplazando en la ecuación del calor:
Q G c T G cV T Reemplazando en una de las expresiones del trabajo politrópico general, de expansión:
W EXP
V m1 G T 1 1 1 V 2 m 1 R
V 1 R lim G T 1 1 V 1
0
W EXP 0 7
C – Transform ación Isotérmica T cte
En este caso, el calor específico tiene valor infinito: c
c P 1 c lim m lim P 1 c c V V 1 A partir de una de las expresiones de la politrópica general: P V cte m
P V cte (Ley de Boyle – Marriotte) Reemplazando en la ecuación del calor:
Q G c T "G 0" La indeterminación anterior justifica que exista transferencia de energía en forma de calor sin variación de temperatura. Como es un gas ideal: U 0, U f T (Joule – Thompson) Q W Reemplazando en una de las expresiones del trabajo politrópico general, de expansión:
V m1 W EXP G T 1 1 V 2 m 1 V 1 1 1 V 2 G R T lim 1 1 R
Como se trata de una indeterminación del tipo “
”, se puede plantear L’Hospital para
resolver el límite: m1 V 1 V W EXP G R T lim 1 ln 1 1 V 2 V 2 V G R T 1 ln 1 V 2 V W EXP G R T ln 2 V 1
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D – Transform ación Adiabática Q
0
En este caso, el calor específico tiene valor nulo: c 0 c c cP 0 c P m P K ( o ) cV c cV 0 cV K: Coeficiente de expansión Adiabática o Isoentrópico. A partir de una de las expresiones de la politrópica general: P V m cte
P V K cte
Ecuación de una transformación isoentrópica o Adiabática Reversible
Reemplazando en la ecuación del calor:
Q G c T G 0 T 0 Reemplazando en las ecuaciones del trabajo politrópico general:
T T 1 1 2 K 1 T 1 1 m P1 m R G T 1 1 m 1 P2 V m1 R G T 1 1 1 V 2 m 1
W EXP G
W EXP
W EXP
R
9
