Apunte i Operaciones2

Apuntes INVESTIGACION DE OPERACIONES

José CHIAPAS A ENERO 2015 ITTG

Apuntes I.O.

2015

Realizado por José Vázquez Hernández

Apuntes

Materia. Investigación de Operaciones

Objetivo de la materia Adquirir los conceptos de los modelos matemáticos que definen el comportamiento de un sistema para desarrollar soluciones, aplicando técnicas y algoritmos que permitan obtener resultados óptimos, apoyando así al proceso de la toma de decisiones

Que debe saber el alumno Integrar los conceptos construidos en su periodo de formación matemática y vincularlos con los contenidos de las asignaturas de la ingeniería en estudio (álgebra lineal y cálculo diferencial e integral). Conocer y manejar la estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. Conceptos de programación

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-------------------------------- ---------- 4 I n t r o d u c c i ó n a l a i n v e s t i g a c i ón ó n d e o p e r a c i o n e s ------------------------------- ---------------------------- -------------------------------- ----- 5 U n i d a d 1 . - P r o g r a m a c i ó n L i n e a l -----------------------------------------------------------1.1. Definición, desarrollo y tipos tipo s de modelos de investigación de operaciones ----- 5 1 .2 .2 F o r m u l a c i ón ón d e m o d e l o s ----------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------ 8 1. 3 M é t o d o g r áf i c o ------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------- 11

------------------------------------------ ---------- 13 1.4 Fund amen tos del m é tod o s im plex --------------------------------------------------- --------------------------------- -------------- -------------------- 18 1 .5 .5 A p l i c a c i o n e s d i v e r s a s d e p r o g r a m a c i ó n l i n e a l --------------------------------------------------------------------------------------- 22 Un id ad 2.- An ális is d e Redes ----------------------------------------------- ---- -------------------------------- -------------------------------- ----- 22 2.1 Con cep tos Básic os ----------------------------------- ---------------------------------------------- --------------- -------------------------------- -------------------- 22 2 .2 . 2 Pr P r o b l e m a d e t r an an s p o r t e --- -------------------------------- ------------------------------- 24 2 .3 . 3 P r o b l e m a d e a s i g n a c i ó n ----------------------------------2.4 Prob lem a de la r uta m ás c ort a. --------------------------------------------------------- 33 2 .5 . 5 P r o g r a m a c i ó n d e p r o y e c t o s ( PE P E R T - C P M ). ). ----------------------------------------- 38

---------------------------------------- -------------------- 44 U n i d a d 3 . - P r o g r a m a c i ó n n o l i n e a l -----------------------------------------------------------3 .1 . 1 C o n c e p t o s b ás i c o s d e p r o b l e m a s d e p r o g r a m a c i ó n n o l i n e a l . ----------- 44

3.2 Ilustración grafica de d e problemas de programación pr ogramación no lineal. ----------------------- 45 3 .3 .3 T i p o s d e p r o b l e m a s d e p r o g r a m a c i ón ón n o l i n e a l . -------------------------------- 46 3.4 Opt im izaci ón c lási ca --------------------------------- -- -------------------------------- -------------------------------- ----- 47 3 .4 . 4 .1 .1 P u n t o s d e i n f l e x i ón ó n -------------------------------------------------- --------------------------------------------------- -------------------- 48 3.4.2 M áx im o s y m ín im o s ----------------------------- -------------------------------- --------- 48

-------------------------------- ------------------------------- 49 Un id ad 4.- Teoría de in ven tari os -------------------------------4 .1 .1 S i s t em e m a s d e a d m i n i s t r a c i ón ó n y c o n t r o l ----------------------------------------------- 49 4.2 Mod elos determ inístic os ------------------------------ -------------------------------- ---- 49 4.2.1 Lo tes ec on ómi co s s in d é fic it --------------------------------------------------------- 50 4.2.2 Lo tes ec on ómi co s c on dé fic it -------------------------------------------------------- 51

------------------------------------ -------------------- 52 4 .3 .3 L o t e e c o n ó m i c o d e p r o d u c c i ó n ------------------------------------------------------- ------------------------------------------- -------------------------- 54 --------------------------------------------------------------------Un id ad 5.- L íneas de Es per a 5.1 Definic ion es, característic as y su po sic ion es -------------------------------- ---- 54

------------------- -------------------------------- --------------- 56 5.2 Term in ol og ía y n ot aci ón --------------------------------------------------5 .3 .3 P r o c e s o d e n a c i m i e n t o o m u e r t e ---------------------------- ----------------------------- ------------------------- 59 5 .4 . 4 M o d e l o s P o i s s o n -------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------- -------------------- 59 5 .4 . 4 .1 .1 U n s e r v i d o r ------------------------------ ------------------------------- -------------------------------- -------------------- 59

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5.4.2 Múltiples servidores -------------------------------------------------------------------------- 60 5.5 An ális is d e co sto s --------------------------------------------------------------------------- 60

Fuente de Información --------------------------------------------------------------------------------- 63

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El término IO se utiliza por primera vez en el año 1939 durante la segunda Guerra Mundial, específicamente cuando surge la necesidad de investigar las operaciones tácticas y estratégicas de la defensa aérea, ante la incorporación de un nuevo radar, en oportunidad de los ataques alemanes a Gran Bretaña. El avance acelerado de la tecnología militar hace que los ejecutivos y administradores militares británicos deban recurrir a los científicos, en pos de apoyo y orientación en la planificación de su defensa. El éxito de un pequeño grupo de científicos que trabajaron en conjunto con el ejecutivo militar a cargo de las operaciones en la “línea”, derivó en una mayor

demanda de sus servicios y la extensión del uso de la metodología a USA, Canadá y Francia entre otros. Sin embargo, el origen de la Investigación Operativa puede considerarse como anterior a la Revolución Industrial, aunque fue durante este período que comienzan a originarse los problemas tipo que la Investigación Operativa trata de resolver. A partir de la Revolución Industrial y a través de los años se origina una segmentación funcional y geográfica de la administración, lo que da origen a la función ejecutiva o de integración de la administración para servir a los intereses del sistema como un todo. La Investigación Operativa tarda en desarrollarse en el campo de la administración industrial. El uso de la metodología científica en la industria se incorpora al principiar los años 50, a partir de la 2da Revolución Industrial, propiciada por los avances de las Comunicaciones, y la Computación, que sientan las bases para la automatización, y por sobre todo por el florecimiento y bienestar económico de ese período. Los primeros desarrollos de esta disciplina (IO) se refirieron a problemas de ordenamiento de tareas, reparto de cargas de trabajo, planificación y asignación de recursos en el ámbito militar en sus inicios, diversificándose luego, y extendiéndose finalmente a organizaciones industriales, académicas y gubernamentales.

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1.1. Definición, desarrollo y tipos de modelos de investigación de operaciones

Definiciones1 Según Churchman, Ackoff y Arnoff : “La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización” Para Hans G. / George John A. / McNickle DonaldC., 1987. La Investigación de Operaciones trata de un enfoque científico al análisis de muchos tipos de problemas complejos de toma de decisión (económicos, de ingeniería o de medio ambiente) en la forma en que los enfrentan individuos y organizaciones de todos los tipos, ya sean comerciales o benéficas, privadas o gubernamentales. A menudo el problema estudiado implica el diseño y/o la operación de sistemas o partes de sistemas. Se pretende evaluar las consecuencias probables de las elecciones de decisión, por lo general, bajo condiciones que requieren de la asignación de escasos recursos: fondos, humanos, tiempo o materias primas. “El objetivo es mejorar la efectividad del sistemas como un todo”. "La Investigación de Operaciones decisiones".Kaufmann A., Tomo 1 1965

es

la

ciencia

de

la

preparación

de

"La Investigación de Operaciones proporciona a los gerentes bases cuantitativas para la toma de decisiones. La Investigación de Operaciones eleva la habilidad de un gerente para hacer planes a largo plazo y para resolver los problemas diarios de llevar un negocio, una unidad gubernamental o una institución privada, Levin Richard I. / Kirkpatrick Charles

A., 1983. "La Investigación Operativa o Investigación Operacional se puede definir como: la aplicación del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización”. Martín, Martín Quintín, 2003. "Los administradores utilizan las matemáticas y las computadoras para tomar decisiones racionales en la resolución de modelos, para llegar a la solución óptima de problemas que involucran un gran número de alternativas. El estudio de estos diversos métodos y la forma

1 Tomadas

del libro optimización, Guillermo Jiménez Lozano

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en que los administradores los usan en el proceso de decisión es la esencia de la Investigación de Operaciones. Mathur Kamlesh / Solow Daniel, 1996. "Cuando aplicamos la Investigación de Operaciones describimos algún sistema o conjunto de elementos por medio de un modelo, que será sometido a una serie de operaciones para determinar su comportamiento; de esta manera el modelo nos permitirá observar su funcionamiento bajo diversos estados, con el propósito de seleccionar aquel tipo de comportamiento que a nuestro juicio sea el óptimo o al menos el mejor de entre todos los obtenidos. Esto es, nos permitirá seleccionar la mejor forma de operación del sistema en estudio, teniendo en cuenta la aplicación del método científico ".Mora José Luis, 1986. "La Investigación de Operaciones es la aplicación de la metodología científica a través de modelos, primero para representar el problema real que se quiere resolver en un sistema y segundo para resolverlo. Los modelos que utiliza la Investigación de Operaciones son matemáticos y toman la forma de ecuaciones. Estos modelos son diferentes a otros modelos, por ejemplo, los modelos de experimentación que se utilizan en las ciencias médico-biológicas, o los modelos de representación que se utilizan, por ejemplo, en la Astronomía".Prawda Witenberg Juan, Tomo 1 2005. "Aunque dar una definición buena es siempre difícil, se reproduce con ligeras modificaciones la que da el profesor Johnson de la Operations Research Office de la John Hopkins University: La Investigación Operativa es la predicción y comparación de valores, efectividad y costos de un conjunto de cursos de acción propuestos, en que intervienen sistemas de hombres y máquinas y está basada sobre un modelo descrito mediante una metodología lógica o matemática que permita determinar los valores de los parámetros de los cursos de acción, mediante análisis de observaciones anteriores o de operaciones experimentales convenientemente diseñadas”. Ríos Insua Sixto, 1996. "La Investigación Operacional comienza describiendo algún sistema mediante un modelo que luego se manipula para determinar la mejor forma de operación de un sistema. El enfoque se explica mejor de acuerdo a la aplicación del método científico, para la toma de decisiones".Shamblin James E. / Stevens G. T. Jr., 1975. "La Investigación de Operaciones es una herramienta dominante e indispensable para tomar decisiones Un elemento principal de la Investigación de Operaciones es el modelado matemático. Aunque la solución del modelo matemático establece una base para tomar una decisión, se deben tener en cuenta factores intangibles o no cuantificables, por ejemplo, el comportamiento humano, para poder llegar a una decisión final”. Taha Hamdy A., 2004

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Desarrollo Actualmente la administración está funcionando en un ambiente de negocios que está sometido a muchos más cambios, los ciclos de vida de los productos se hacen más cortos, además de la nueva tecnología y la internacionalización creciente. Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de esta disciplina se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. Una de las principales razones de la existencia de grupos de investigación de operaciones es que la mayor parte de los problemas de negocios tienen múltiples aspectos es perfectamente razonable que las fases individuales de un problema se comprendan y analicen mejor por los que tienen el adiestramiento necesario en los campos apropiados.

Modelos ¿Qué es un modelo? Es una representación simplificada de la realidad que se construye para estudiar esa realidad. El modelo puede ser manipulado, modificado, sujeto a la experimentación bajo diferentes condiciones o escenarios.

Modelo Matemático: Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión. Modelo de Simulación: Los modelos de simulación difieren de los matemáticos en que las relaciones entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. En cambio, un modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o elementales que después se enlazan entre si vía relaciones lógicas bien definidas. Por lo tanto, las operaciones de cálculos pasaran de un módulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida.

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Los modelos de simulación cuando se comparan con modelos matemáticos ; ofrecen mayor flexibilidad al representar sistemas complejos, pero esta flexibilidad no está libre de inconvenientes. La elaboración de este modelo suele ser costoso en tiempo y recursos. Por otra parte, los modelos matemáticos óptimos suelen poder manejarse en términos de cálculos.

La formulación y análisis de un modelo de programación lineal proporciona información para ayudar a los gerentes a tomar decisiones. Esto significa que el modelo refleja c on precisión la perspectiva administrativa de los problemas. Metodología para la formulación de modelos en I.O.

Figura 1. Metodología de I.O La programación lineal es una técnica determinista de análisis para elegir la mejor entre muchas alternativas. Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye 8

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satisfacer varios criterios al mismo tiempo. Se puede ir un paso más adelante y dividir estos criterios en dos categorías; restricciones y el objetivo. Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo consideración. Si más de una alternativa satisface todas las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar entre todas las alternativas factibles. Existen muchos problemas en la empresa que se ajustan a este molde de tratar de minimizar o maximizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. En la siguiente tabla se presentan algunos ejemplos de lo que persigue la investigación de operaciones

Función Objetivo Producción Comercialización Finanzas Personal

Función Objetivo Maximizar la cantidad de bienes (servicios) producidos y minimizar el costo unitario de la producción Maximizar la cantidad vendida y minimizar el costo unitario de las ventas. Minimizar el capital requerido para mantener cierto nivel del negocio Mantener la moral y la alta productividad entre los empleados

Ejemplos Un corredor de inversiones, por ejemplo, trata de maximizar el rendimiento sobre los fondos invertidos pero las posibles inversiones están restringidas por las leyes y las políticas bancarias. Un hospital debe planear que las comidas para los pacientes satisfagan ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que se trata de minimizar el costo. Un fabricante, al planear la producción futura, busca un costo mínimo al mismo tiempo cómo cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de producción, los inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. Para las aplicaciones más reales es necesaria una computadora para resolver el modelo. A pesar de sus limitaciones, la programación lineal, (PL) e s una de las técnicas más poderosas y útil para la solución de los problemas en las organizaciones. El modelo de PL es una representación simbólica (abstracción) de la realidad que se estudia, se forma con expresiones lógicas matemáticas conteniendo términos que significan contribuciones: a la utilidad (con máximo), al costo (con mínimo), al consumo 9

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de recurso (disponible con desigualdad <=), al recurso requ erido (con desigualdad >=), recurso especificado (con igual =). Contiene las siguientes cuatro partes:

Primera parte Definición con el significado cuantitativo de las variables de decisión (controlables).

Segunda parte Función económica u objetivo a optimizar (máximo o bien mínimo):

   =  + +..+ 

Tercera parte Sujeta a restricciones:

 ++ +⋯+  , ≤ ≥    +⋯+  , ≤ ≥    ,. =,  , .  .  + +⋯+,≤≥ 

Cuarta parte Condición de no negativo a variables:

Ejemplo En la siguiente tabla se tiene la información de costo en renta y también las capacidades, de dos tipos de camión transportista refrigerado para la distribución de alimentos, una parte de los cuales pueden descomponerse durante el viaje. En particular se requiere un total de 900 y 1200 metros cúbicos (m3) de espacio refrigerado y no refrigerado, respectivamente. Formule un modelo de PL para decidir 10

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y resolver el problema de cuántos camiones de cada tipo rentar para que el costo sea el menor posible. Tipo de camión

M3 de espacio refrigerado

M3 de espacio refrigerado por camión

Miles de $ de costo de renta por camión

20 30

40 30

3 4

A B

  =       (=, )  =3 +4 = $ () =$    20 +30 ≥900  =  () 40 +30 ≥1200 

Variables de decisión

Función objetivo

Restricción de espacio refrigerado Restricción de espacio refrigerado

El método Gráfico o método Geométrico permite la resolución de problemas sencillos de programación lineal de manera intuitiva y visual. Este método se encuentra limitado a problemas de dos o tres variables de decisión ya que no es posible ilustrar gráficamente más de 3 dimensiones. El método gráfico es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima). Las fases del procedimiento de resolución de problemas mediante el método Gráfico son las siguientes: 1. Dibujar un sistema de coordenadas cartesianas en e l que cada variable de decisión esté representada por un eje. 2. Establecer una escala de medida para cada uno de los e jes adecuada a su variable asociada. 11

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3. Dibujar en el sistema de coordenadas las restricciones del problema, incluyendo las de no negatividad (que serán los propios ejes). Notar que una inecuación define una región que será el semiplano limitado por la línea recta que se tiene al considerar la restricción como una igualdad, mientras que si una ecuación define una región que es la propia línea recta. 4. La intersección de todas las regiones determina la región factible o espacio de soluciones (que es un conjunto convexo). Si esta región es no vacía, se continuará con el paso siguiente. En caso contrario, no existe ningún punto que satisfaga simultáneamente todas las restricciones, por lo que el problema no tendrá solución, denominándose no factible. 5. Determinar los puntos extremos o vértices del polígono o poliedro que forma la región factible. Estos puntos serán los candidatos para la solución óptima. 6. Evaluar la función objetivo en todos los vértices y aqué l (o aquellos) que maximicen (o minimicen) el valor resultante determinaran la solución óptima del problema.

 = 3 +2   . 2 2+3 + ≤42 ≤18 3+,≥0≤24 (,)

Ejemplo1: Solución grafica Coordenadas Punto extremo O C G H F

(0,0) (0,14) (3,12) (6,6) (8,0)

Valor objetivo (Z) 0 28 33 30 24

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Figura 1 Grafica de ecuaciones

Figura 2 Región factible

Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de restricciones y variables.





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El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.

Metodología del método simplex A modo general, el método Simplex consta de los pasos siguientes: 1. Determinar una solución básica factible inicial. 2. Definir una variable de entrada empleando la condición de factibilidad. El algoritmo se detiene cuando ya no hay una variable de entrada. 3. Seleccionar una variable de salida empleando la condición de factibilidad. 4. Determinar las nuevas soluciones básicas factibles aplicando los cálculos apropiados a través de la metodología Gauss-Jordan. Otras variantes del método Simplex son el método de la M grande y el método de las dos fases. Ambos se aplican cuando se incorporan restricciones del tipo (<=) que implica agregar una variable ficticia para completar la matriz de identidad de las variables básicas requeridas por el algoritmo Simplex para iniciar las iteraciones. En el método de la M grande se incorpora las variables ficticias una penalidad que denota por "M" cuyo valor es bastante grande (dígase >1000) en la función objetivo, luego se obliga que su valor sea cero en la solución final. A modo resumen podemos dejar esta tabla, según la desigualdad que aparezca, y con el valor que deben estar las nuevas variables. Tipo de desigualdad

Tipo de variable que aparece

≥

- exceso + artificial

=

+ artificial

≤

+ holgura

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Ejemplo Resolver el siguiente modelo de programación lineal utilizando el Método Simplex



 = 3 +2   . 2 2+3 + ≤42 ≤18 3+,≥0≤24   3 2 =0   . 2 2+3 + + + =42 =18 3 +, +≥0 =24    -2 1 3 1

0 1 0 0

0 0 1 0

















Pasar el problema a la forma estándar

 

Zo

-3 2 2 3

Selección de vector de entrada y vector de salida

 

Zo

-3 2 2 3

-2 1 3 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 1

0 18 42 24

0 18 42 24

Iteración 1 X1

X2

S1

S2

S3

Xb

Zo

0

-1

0

0

1

24

S1

0

0.333333333

1

0

-0.666666667

2

S2

0

2.333

0

1

-0.666666667

26

X1

1.00

0.33

0.00

0.00

0.33

8.00

Selección de vector de entrada y vector de salida X1

X2

S1

S2

S3

Xb

Zo

0

-1

0

0

1

24

S1

0

0.333333333

1

0

-0.666666667

2

S2

0

2.333

0

1

-0.666666667

26

X1

1.00

0.33

0.00

0.00

0.33

8.00

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Iteración Solución no optima X1

X2

S1

S2

S3

Xb

Zo

0

0

3

0

-1

30

X2

0

1

3

0

-2

6

S2

0

0

-7

1

4

12

X1

1

0

-1

0

1

6

La ultima tabla presenta la función objetivo positivos en las FO Zo X2 S3 X1

X1 0 0 0 1

X2 0 1 0 0

S1 1.25 -0.5 -1.75 0.75

S2 0.25 0.5 0.25 -0.25

 

S3 0 0 1 0

y la solución es Xb

33 12 3 3



Z = 33 =3 = 12

Solución utilizando la hoja de cálculo Excel

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1.- Se vacían los datos del problema FO

3

2

R1

2

1

<=

18

R2

2

3

<=

42

R3

3

1

<=

24

2.-Se realiza la suma productos de la función objetivo y las restricciones FO

0

=+D4*E12+E4*E13

Variables X1 X2

Restricciones R1

0

<=

18

R2

0

<=

42

R3

0

<=

24

3.- Se abre la función de Excel Datos y posterior Solver

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4.- Hacer clic en resolver y la solución es la siguiente FO SA

Zo

3 2 2 3 FO Variables X1 X2 Restricciones R1 R2 R3

2 1 3 1 33

<= <= <=

18 42 24

3 12 18 42 21

18 42 24

Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad.

Algunas de las posibles aplicaciones de la programación lineal pueden ser 1. Programación de trabajos en empresas de producción 2. Selección de medios en publicidad 3. Acortamiento de proyectos pert/cpm 4. Selección de puesta en marcha de equipos 5. Selección de proyectos de inversión 6. Selección de alternativas de inversión 7. Selección de portfolios de inversión 8. Análisis de problemas de inventarios 9. Comparación de costos entre producir y tercerizar 10. Optimizar costos de procesos productivos 11. Maximizar beneficios y rentabilidades 12. Uso y optimización de recursos intercambiables 13. Valuación de empresas e inventarios 14. Diseño de planes de vuelo en aerolíneas 15. Selección de alimentos en restaurantes 18

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16. Selección de requerimientos nutricionales en dietas 17. Optimización de fórmulas de medicamentos 18. Planes de producción, optimizar el planeamiento 19. Carga de máquinas de trabajo 20. Optimización en turnos de trabajo continuo y/o rotativo 21. Puesta en marcha de equipos de generación 22. Balances de flujo en redes de distribución 23. Distribución de dársenas en marinas de yates y veleros 24. Frecuencias de recorridos en empresas de transportes 25. Ubicación y localización de centros de servicios o producción 26. Planes de vuelos de aerolíneas, costos de combustibles 27. Mezcla de productos en industria cosmetológica y farmacéutica 28. Programación de la vigilancia de edificios y centros comerciales 29. Optimización de planificaciones y presupuestos financieros. 30. Optimización de puntos de equilibrios financieros. 31. Planeamiento de dietas reducidas en calorías 32. Presupuestación de capital para proyectos de inversión 33. Administración agrícola, análisis de rentabilidades 34. Análisis de acopio y ventas de cereales, capacidades de silos 35. Programación de personal en cadenas de restaurantes y hoteles. 36. Producción de recursos forestales y explotación optima 37. Presupuestos de capital decidir sobre ampliar o expandir 38. Predicción de ventas, control de inventarios, producción y Distribución 39. Desarrollo de redes de servicios, selección y despliegue de flotas de aviones, camiones, autos, barcos, trenes, etc. Los modelos típicos de programación lineal se pueden clasificar en cuatro categorías: 1. Modelos de asignación de recursos. 2. Modelos de trueque de costo-beneficio. 3. Modelos de redes de distribución. 4. Modelos mixtos

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Problemas propu estos

1.-Un ave de rapiña necesita para subsistir al día 30 unidades de proteínas, 20 de grasas y 8 de vitaminas. Sus presas son dos tipos de animales: ratones que le proporcionan 3 unidades de proteínas, 4 de grasas y 1 de vitaminas y palomas que le proporcionan 6 unidades de proteínas, 2 de grasas y 1 de vitaminas. Si cazar y comer un ratón le cuesta 7 unidades de energía y una paloma le cuesta 12 unidades de energía, ¿cuántas presas de cada clase deben cazar para satisfacer sus necesidades con el menor gasto de energía? 2.-Con 80 kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de montaña y de paseo que se venderán a 200 euros y 150 euros respectivamente. Para la de montaña son necesarios 1 kg de acero y 3 de aluminio y para la de paseo 2 kg de cada uno de los metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y cuántas de montaña se deben fabricar para obtener el máximo beneficio? 3.- Para abonar una parcela de huerta se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo. Se dispone de un producto M cuyo precio es de 3 euros por kilogramo y que contiene un 10 % de nitrógeno y un 30 % de fósforo y otro producto N que contiene un 20 % de nitrógeno y un 20 % de fósforo, y cuyo precio es de 4 euros por kilogramo. ¿Qué cantidades se deben tomar de M y N para abonar la parcela con el menor gasto posible? 4.-Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F1 y F2. Los del tipo F1 cuestan 300 euros y los del tipo F2, 500 euros. Solo dispone de sitio para 20 frigoríficos y de 7000 euros para hacer las compras. ¿Cuántos frigoríficos han de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos en la venta posterior, sabiendo que en cada frigorífico gana el 30 % del precio de compra? 5.-Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Además el triple de la producción de vinagre más cuatro veces la producción de vino es siempre menor o igual que 18 unidades. Hallar el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 8 euros y cada unidad de vinagre 2 euros. 6.-En la fabricación de piensos se utilizan tres ingredientes, P, Q, y R. Se dispone de 90 toneladas de P, 90 de Q y 70 de R, y se desea fabricar dos tipos de pienso M1 y M2. Una tonelada de pienso M1 requiere 2 toneladas de P, 1 de Q y 1 de R y se vende a 12 euros. Una tonelada de M2 requiere 1 tonelada de P, 2 de Q y 1 de R y se vende 20

Apuntes I.O.

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a 10 euros. ¿Cuántas toneladas de cada pienso deben facturarse para obtener el mayor beneficio? 7.-Una empresa elabora dos productos, cada uno de ellos en una cantidad que es múltiplo de 1000. La demanda de ambos productos conjuntamente es mayor de 3000 unidades y menor de 6000 unidades. Se sabe que la cantidad demandada de un producto es mayor que la mitad y menor que el doble del otro. Para obtener los máximos beneficios vendiendo toda la producción, ¿cuál debe ser la producción de cada uno de ellos si uno lo vende a un precio que es el triple que el del otro?

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Cuando se habla de una red, se entiende como un grupo de individuos que, en forma agrupada o individual, se relacionan con otros con un fin específico, caracterizado por la existencia de flujo de información. Las redes pueden tener muchos o pocos actores y una o más clases de relaciones entre pares de actores. Conjunto de infraestructuras y vehículos usados para transportar personas y bienes entre diferentes áreas geográficas.

El problema del transporte o distribución es un problema de redes especial en programación lineal que se funda en la necesidad de llevar unidades de un punto específico llamado Fuente u Origen hacia otro punto específico llamado Destino. Los principales objetivos de un modelo de transporte son la satisfacción de todos los requerimientos establecidos por los destinos y claro está la minimización de los costos relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas. El contexto en el que se aplica el modelo de transporte es amplio y puede generar soluciones atinentes al área de operaciones, inventario y asignación de elementos. El procedimiento de resolución de un modelo de transporte se puede llevar a cabo mediante programación lineal común, sin embargo su estructura permite la creación de múltiples alternativas de solución tales como la estructura de asignación o los métodos heurísticos más populares como Vogel, Esquina Noroeste o Mínimos Costos

Figura 2.1. Red de transportes

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Apuntes I.O.

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Método de Vogel El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método.

PASO 1 Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas. PASO 2 Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta realizada en el "Paso 1" se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal). PASO 3 De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0). PASO 4: DE CICLO Y EXCEPCIONES Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda, detenerse. Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva, determine las variables básicas en la fila o columna con el método de costos mínimos, detenerse. Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda, determine las variables básicas cero por el método del costo mínimo, detenerse. Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las ofertas y las demandas se hayan agotado. El método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo producen mejores resultados iniciales que los mismos.

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Apuntes I.O.

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Ejemplo Una empresa Chiapaneca dispone de cuatro plantas de producción para satisfacer la demanda anual de artículos computacionales en 4 ciudades, Tuxtla, Tapachula, S las Casas y Comitán. Las plantas 1, 2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de artículos anualmente respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Tuxtla, Tapachula, S las Casas y Comitán son de 70, 40, 70 y 35 millones de artículos anuales respectivamente Tuxtla Tapachula S C las casa Comitán Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta4

5 3 6 4

2 6 1 3

7 6 2 6

3 1 4 6

(, )

El problema de asignación es una variación del problema original de transporte, variación en la cual las variables de decisión solo pueden tomar valores binarios, es decir ser cero (0) o uno (1) en la solución óptima, lo que supone que la oferta y la demanda están perfectamente alineadas, de hecho ambas son iguales a uno (1). Múltiples son los casos en los que como ingenieros industriales podemos hacer uso del problema de asignación para resolver diversas situaciones, entre los que cabe mencionar se encuentran la asignación de personal a máquinas, herramientas a puestos de trabajos, horarios a maestros, candidatos a vacantes, huéspedes a habitaciones, comensales a mesas, vendedores a zonas territoriales etc. La compañía de manufactura "Jiménez y Asociados" desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla.

E de manto. 1 E de manto. 2 E de manto. 3

Maquina 1 10 9 6

Maquina 2 9 8 4

Maquina 3 5 3 7 24

Apuntes I.O.

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PASO 1 Encontramos el menor elemento de cada fila

PASO 2 Construimos una nueva matriz con las diferencias entre los valores de la matriz original y el elemento menor de la fila a la cual corresponde.

PASO 3 En la matriz construida en el paso anterior se procede a efectuar el paso 1 esta vez en relación a las columnas, por ende escogemos el elemento menor de cada columna. Igualmente construimos una nueva matriz con la diferencia entre los valores de la matriz 2 y el elemento menor de la columna a la cual corresponde cada valor.

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Apuntes I.O.

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PASO 4 En este paso trazaremos la menor cantidad de combinaciones de líneas horizontales y verticales con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos.

Como se puede observar el menor número de líneas horizontales y/o verticales necesarias para cubrir los ceros de la matriz de costos reducidos es igual a 2, por ende al ser menor que el número de filas o columnas es necesario recurrir al paso 5.

PASO 5 En este paso seleccionamos el menor elemento de los elementos no subrayados.

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Apuntes I.O.

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Luego se procede a restarse de los elementos no subrayados y a adicionarse a los elementos ubicados en las intersecciones de las líneas, en este caso existe una única intersección (3).

Ahora ya efectuado este paso pasamos al paso 4.

Ahora observamos cómo se hace necesario trazar tres líneas (la misma cantidad de filas o columnas de la matriz) por ende se ha llegado al tabulado final, en el que por simple observación se determina las asignaciones óptimas.

Por ende la asignación que representa el menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo 1 realice el mantenimiento de la Máquina 1, el Equipo 2 realice el mantenimiento de la Máquina 3 y el Equipo 3 realice 27

Apuntes I.O.

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el mantenimiento de la Máquina 2, jornada que tendrá un costo total de 17 unidades monetarias.

El problema Una organización de recolección de café cuenta con tres equipos de siembra y cosecha del mismo (equipos 1, 2, 3). Estos equipos de trabajo se encuentran entrenados para trabajar en condiciones particulares del proceso, condiciones como lo son el tipo de suelo, las condiciones del clima y el tipo de grano. La organización cuenta con cuatro terrenos disponibles para efectuar el proceso de siembr a y cosecha (terrenos A, B, C, D), estos terrenos tienen condiciones particulares de suelo, clima y tipo de grano. Cada equipo cuenta con la capacidad de efectuar el proceso en solo uno de los terrenos disponibles, salvo el equipo 2, que cuenta con una serie de herramientas tecnológicas que le permiten realizar la siembra y cosecha del grano en dos de los terrenos disponibles. Se ha contratado a un Ingeniero Industrial con el objetivo de realizar las asignaciones precisas que maximicen la cantidad de sacos de café cosechados en total. El siguiente tabulado muestra la capacidad (en cientos de sacos) de cosecha de café de cada uno de los equipos dependiendo de cada uno de los terrenos.

Resolución En este problema debemos recordar un concepto fundamental para la aplicación del método húngaro, este concepto nos dice que el número de filas debe ser exactamente igual al número de columnas. Por ende, la acción a realizar debería ser crear un equipo ficticio, el cual nos deje el tabulado balanceado y a este a signarle un número de sacos cosechados equivalente a cero en cada uno de los terrenos. Sin embargo el problema nos indica que uno de los equipos se encuentra en capacidad de que se le asignen dos terrenos, en este caso crearemos un equipo 2 alternativo (Equipo 2B) el cual nos balanceará el tabulado y nos hará prescindir del equipo ficticio pensado inicialmente. 28

Apuntes I.O.

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A este equipo 2B que crearemos le corresponderá la misma capacidad de cosecha del equipo 2 (en adelante equipo 2A) según el terreno, lógicamente.

Una vez balanceado el tabulado debemos de cuestionarnos acerca del criterio de optimización, pues recordemos que el método húngaro se encuentra diseñado para ejercicios de minimización. En este caso nuestro objetivo es maximizar, por lo que tendremos que aplicar un paso adicional. Lo primero que debemos hacer es ubicar el mayor valor del tabulado inicial.

En este caso este valor es 15, por lo cual procederemos a realizar la siguiente operación con cada uno de los valores: Restaremos a 15, el valor de cada una de las celdas y este valor quedará en cada una de las celdas correspondientes.

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Apuntes I.O.

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Ahora nuestro tabulado inicial quedará de la siguiente manera:

A partir de este tabulado ya podemos aplicar el algoritmo del método húngaro como se aplicaría en un caso e minimización (normalmente). Ahora encontramos el menor elemento de cada fila.

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Apuntes I.O.

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Y se lo restamos a todas las celdas de la fila.

Ahora efectuamos este mismo paso, pero esta vez con las columnas. Elegimos el menor de los valores de cada columna y se lo restamos a cada una de las celdas de la columna correspondiente.

Ahora procedemos a cubrir la mayor cantidad de ceros, con la menor cantidad de líneas, si el número de líneas que empleemos es igual al grado de la matriz (en este caso matriz grado 4, 4x4) habremos llegado al final del ejercicio.

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Apuntes I.O.

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Dado que el número de líneas es igual al grado de la matriz, hemos concluido el algoritmo. Lo único que quedará será asignar a cada equipo el terreno en el que el intercepto es igual a 0 (cero).

Las asignaciones, como es lógico deberán iniciarse por el equipo al cual solo corresponda un terreno, en este caso al Equipo 3 le corresponde el Terreno A. De esta manera al Equipo 1 le corresponde el Terreno D. Mientras tanto el Equipo 2 se encargará de la cosecha en los terrenos B y C. Según el tabulado del problema (recordemos que es de maximización), la cantidad de sacos (expresada en cientos de sacos) será así:

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Apuntes I.O.

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Solución utilizando Excel Introducir los datos en la hoja de Excel, y luego se configura la función solver, introduciendo la función objetivo, las variables y las restricciones de oferta y demanda. No

E

F

G

H

Maquina 1

Maquina 2

Maquina 3

6

E de manto. 1

10

9

5

7 8

E de manto. 2 E de manto. 3

9 6

8 4

3 7

E

F

G

H

E de manto. 1 E de manto. 2 E de manto. 3

Maquina 1 1 0 0

Maquina 2 0 0 1

Maquina 3 0 1 0

Asignación No 12 13 14

Función objetivo FO=+F12*F6+G12*G6+H12*H6+F13*F7+G13*G7+H13*H7+F14*F8+G14*G8+H14*H8 FO

17

Horas

Restricción de oferta 1=+SUMA (F12:H12); 2=+SUMA (F13:H13); 3=+SUMA (F14:H14) Restricciones

Oferta E de manto. 1 E de manto. 2 E de manto. 3

1 1 1

= = =

1 1 1

Restricción de demanda 1=+SUMA (F12:F14); 2=+SUMA (G12:G14); 3=+SUMA (H12:H14) Demanda Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3

1 1 1

= = =

1 1 1

El problema de la ruta más corta incluye un juego de nodos conectados donde sólo un nodo es considerado como el origen y sólo un nodo es considerado como el nodo

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Apuntes I.O.

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destino. El objetivo es determinar un camino de conexiones que minimizan la distancia total del origen al destino. El problema se resuelve por el “algoritmo de etiquetado”.

Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo, a entre el punto de partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal.

Definición del problema



Se tienen nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en el nodo final n. Arcos bidireccionales conectan los nodos

 

con distancias mayores que cero,



Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el nodo 1 con el nodo n. Por medio de la aplicación del algoritmo de este problema podemos conocer la menor distancia entre un nodo origen y un nodo destino.

Pasos a seguir: Primer paso: Elaborar un cuadro con todos los nodos y los ramales que salen de él. Segundo paso: Partiendo del origen, debemos encontrar el nodo más cercano a él. Tercer paso: Anular todos los ramales que entren al nodo más cercano elegido. Cuarto paso: Comenzando en el origen se debe encontrar el nodo más cercano a él, por intermedio del(los) nodo(s) ya elegido(s) y volver al tercer paso hasta llegar al destino. Problema de la ruta más corta

Figura 2.4.1 Red de Tráfico 34

Apuntes I.O.

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Pasos a seguir: Total AD = 11

BF = 5

CE = 3

DC = 5

EC = 3

AB = 13

BC = 7

CF = 4

DF = 10

EH = 6

AC = 17

BE = 9

CD = 5

DG = 11

EF = 6

CB = 7

DE = 14

EB = 9 ED = 14

Total FC = 4

GF = 7

HE = 6

IJ = 7

FB = 5

GD = 11

HF = 6

IF = 9

FE = 6

GI = 13

HJ = 7

IG = 13

FH = 6 FG = 7 FI= 9 FD = 10 FJ = 12

Programación del modelo Este tipo de resultados a un problema de estas características: Variables de Decisión:

 =0 Si1noSi el nodo j es visitado inmediatamenta despues del nodo i =4 +3 +8 +12 +4 +17 +20 +2 +15 +22 +9

Función Objetivo: Minimizar la distancia total en [km] dada por la siguiente expresión: Restricciones:

(1)(2)  + =0=1 ((4)3)    =0=0 (5)(6)   +  =0=0 ((8)7)  ++ + =0=1  ≥0

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Apuntes I.O.

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Figura 2. Problema de redes

Explicación La primera restricción (1) garantiza que sólo un nodo (entre el 2 y el 3) pueda ser el que se visita a continuación de comenzar en el nodo 1. La restricción (2) determina que si se visitó el nodo 2 después del nodo 1, entonces necesariamente el nodo 5 será visitado después del nodo 2. La restricción (3) permite verificar que si el nodo 3 fue visitado luego del nodo 1, entonces a continuación se visita el nodo 4 o el nodo 6 (sólo uno de ellos). La restricción (4) establece que si el nodo 5 fue visitado luego del nodo 2, entonces el nodo 7 debe ser visitado luego del nodo 5. La restricción (5) garantiza que si el nodo 4 fue visitado luego del nodo 3, entonces a continuación se visita uno de los siguientes nodos: 7, 8 o 6. La restricción (6) indica que si el nodo 6 fue visitado inmediatamente luego de estar en el nodo 3 o 4, a continuación se visita el nodo 8. La restricción (7) determina que si el nodo 7 fue visitado inmediatamente luego de estar en el nodo 4 o 5, a continuación se visita el nodo 8. Finalmente la restricción (8) asegura que ya sea el nodo 7, 4 o 6 sea el último en visitar previo a terminar la ruta en el nodo 8.

Problema Un minero ha quedado atrapado en una mina, la entrada a la mina se encuentra ubicada en el nodo 1, se conoce de antemano que el minero permanece atrapado en el nodo 9, para llegar a dicho nodo hay que atravesar una red de túneles que van conectados entre sí. El tiempo de vida que le queda al minero sin recibir auxilio es cada vez menor y se hace indispensable hallar la ruta de acceso al nodo 9 más corta. Las distancias entre nodos de la mina se encuentran en la siguiente gráfica dadas en 36

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cientos de metros. Formule un modelo de transbordo y resuelva mediante cualquier paquete de herramientas de investigación operativa que pe rmita establecer la ruta más corta para poder así auxiliar al minero.

Variables de decisión El nombre de las variables en este caso poco importa, dado que de ser escogida para la solución básica eso significa simplemente que será empleada como ruta para ir a rescatar al minero, sin embargo nada tiene de malo el que se le pueda asociar con el envío de unidades desde la entrada de la mina hacia el minero, por ende puede sugerirse este como nombre de las variables. "Cantidad de unidades enviadas desde el nodo i hacia el nodo j".

1213 ==              1,ℎ    2              1,ℎ    3 2324 ==              2,ℎ    3              2,ℎ    4 3234 ==              3,ℎ    2              3,ℎ    4 3546 ==              3,ℎ    5              4,ℎ    6 4754 ==              4,ℎ    7              5,ℎ    4 5657 ==              5,ℎ    6              5,ℎ    7 5867 ==              5,ℎ    8        6,ℎ   7

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6976 ==              6,ℎ    9              7,ℎ    6 7879 ==              7,ℎ    8              7,ℎ    9 8789 ==              8,ℎ    7        8,ℎ   9 X12 + X13 = 1 X69 + X79 + X89 = 1

Restricciones de Balance

 12 + 32  23  24 = 0 1324 ++ 2334 + 3254  3446  3547 == 00 4635 + 5654 + 5756 – 5767–– 5869 == 00 67 + 47 + 5778 ++5887––8976=– 780 – 79 = 0 En palabras sencillas: "Todo lo que entra a cada nodo es igual a lo que sale de él"

FUNCIÓN OBJETIVO

 = 412 ++ 213 + 223 + 724 + 432 + 934 + 635 + 146 + 547 + 254 456 + 357 + 258 + 167 + 569 + 476 + 378 + 579 + 287 + 789

Dos son los orígenes de este método: el método PERT (Program Evaluation and Review Technique. Técnica de evaluación y revisión de proyectos) desarrollo por la Armada de los Estados Unidos de América, en 1957, para controlar los tiempos de ejecución de las diversas actividades integrantes de los proyectos espaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa espacial. El método CPM (Crítical Path Method. Método de ruta crítica), el segundo origen del método actual, fue desarrollado también en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand, buscando el control y la optimización de los costos 38

Apuntes I.O.

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de operación mediante la planeación adecuada de las actividades componentes del proyecto. Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar el método del camino crítico actual, utilizando el control de los tiempos de ejecución y los costos de operación, para buscar que el proyecto total sea ejecutado en el menor tiempo y al menor costo posible.

CPM. Método utilizado para administrar proyectos en que los tiempos requeridos para terminar las tareas individuales se conocen con relativa certeza. PERT. Método utilizado para administrar proyectos en que los tiempos requeridos para completar las tareas individuales son inciertos. El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone la “ruta crítica” de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duración del

proyecto.

Definición del proyecto En toda actividad a realizar se requieren conocimientos precisos y claros de lo que se va a ejecutar, de su finalidad, viabilidad, elementos disponibles, capacidad financiera, etc. Esta etapa aunque esencial para la ejecución del proyecto no forma parte del método. La principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se realizan los estimados de tiempo. El PERT supone que el tiempo para realizar cada una de las actividades es una variable aleatoria descrita por una distribución de probabilidad. El CPM por otra parte, infiere que los tiempos de las actividades se conocen en forma determinísticas y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.

La programación de proyectos por PERT-CPM consiste en tres fases básicas: La fase de planeación se inicia descomponiendo el proyecto en actividades. Las estimaciones de tiempo para estas actividades se determinan luego y se construye un diagrama de red (o de flechas) donde cada uno de sus arcos (flechas) representa una actividad. El diagrama de flechas completo da una representación gráfica de las interdependencias entre las actividades del proyecto. LA construcción del diagrama de flechas como una fase de planeación, tiene la ventaja de estudiar los diferentes trabajos en detalle, sugiriendo quizá mejoras antes del que el proyecto realmente se ejecute. Será más importante su uso en el desarrollo de un programa para el proyecto. 39

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La fase de programación es construir un diagrama de tiempo que muestre los tiempos de iniciación y terminación para cada actividad, así como su relación con otras actividades del proyecto. Además, el programa debe señalar las actividades críticas (en función del tiempo) que requieren atención especial si el proyecto se debe terminar oportunamente. Para las actividades no críticas el programa debe mostrar los tiempos de holgura que pueden utilizarse cuando tales actividades se demoran o cuando se deben usar eficientemente recursos limitados. La fase final en la administración de proyectos es la de control . Esto incluye el uso del diagrama de flechas y la gráfica de tiempo para hacer reportes periódicos del progreso. La red puede, por consiguiente, actualizarse y analizarse y si es necesario, determinar un nuevo programa para la porción restante del proyecto. Pasos para el desarrollo de una red de proyectos Para determinar el tiempo de conclusión usando técnicas de administración de proyecto siguiendo estos cuatro pasos:   



Identifique las tareas individuales que compone el proyecto. Obtenga una estimación de tiempo de conclusión de cada tarea. Identifique las relaciones de tiempo entre las tareas. ¿Qué tareas deben concluirse antes de que otras puedan iniciarse? Dibuje un diagrama de red de proyecto para reflejar la información de los pasos 1 y 3.

1.-Identificación las tareas individuales. Un proyecto terminado consiste en diversas tareas individuales. - Cada tarea debe tener un comienzo y un final claros en un contexto d el proyecto. Por ejemplo, la preparación del manuscrito, tiene un comienzo específico con la firma del contrato y final específico con la entrega del manuscrito. En contraste, la venta del texto terminado, no tiene un fin claro. - La terminación de cada tarea debe ser necesaria para la conclusión del proyecto y debe presentar un hito en el progreso del proyecto. Por ejemplo, el desarrollo de materiales promocionales es necesario para la comercialización exitosa del libro y representa un logro mayor en término del proyecto global. - El tamaño de una tarea debe estar en proporción con el control que usted pueda ejercer. Por ejemplo, como vicepresidente, su principal preocupación es cuándo estará 40

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terminado todo el manuscrito, no cuando estarán terminado los capítulos individuales. En contraste, si usted fuera el editor entonces debe preocuparse por el progreso de los capítulos individuales. - Debe haber algunas personas responsables de la conclusión de cada tarea individual. Por ejemplo, el departamento legal sería responsable de obtener todos los acuerdos de derechos y de los otros contratos legales antes de que se publique el libro. Etiqueta A B C D E F G H

Lista de tareas para el proyecto editorial Descripción Preparación del manuscrito por parte del autor Diseño de materiales promocionales Producción de materiales promocionales Corrección de manuscrito Corrección de galeras y revisión Producción del libro final Obtención de todos los permisos legales Conducción de una reunión de capacitación en ventas

Aunque el orden de las tareas es indiferente, es importante incluir todas la tares relevantes desde el principio. Si surgen tareas en el curso del proyecto, pueden ocurrir retrasos. Supongamos que olvida incluir la tarea G (obtención de todos los permisos legales), tal vez tenga que retirar el libro del mercado y enfrentar problemas legales

2. Obtención una estimación de tiempo para cada tarea. Debe estar claro que el tiempo total que lleva completar todo el proyecto depende, de alguna manera, en cuánto tiempo lleva realizar cada tarea individual por lo tanto, se hace necesario obtener algunas estimaciones de la cantidad de tiempo reque rida para completar cada tarea.

Puede hacer una estimación haciendo lo siguiente. - Confiando en experiencias pasadas en proyectos similares. - Consultando con las personas a cargo de cada tarea individual. Etiqueta A B C

Lista de tareas para el proyecto editorial Descripción Preparación del manuscrito por parte del autor Diseño de materiales promocionales Producción de materiales promocionales

Tiempos 30 6 4

41

Apuntes I.O.

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D

Corrección de manuscrito

5

E F

Corrección de galeras y revisión Producción del libro final

10

G H

Obtención de todos los permisos legales Conducción de una reunión de capacitación en ventas

14

8 2

3. Creación de la tabla de precedencia para el proyecto La cantidad de tiempo que toma terminar un proyecto completo se basa en los tiempos de conclusión de las tareas individuales. Sin embargo, el tiempo de conclusión total no es igual a la suma de los tiempos de las tareas individuales, porque algunas tareas pueden realizarse simultáneamente. Otras tareas, sin embargo, no pueden comenzar hasta que ciertas tareas anteriores no hayan sido concluidas. Etiqueta A B C

Lista de tareas para el proyecto editorial Descripción Preparación del manuscrito por parte del autor Diseño de materiales promocionales Producción de materiales promocionales

Tiempos 30 6 4

D E

Corrección de manuscrito Corrección de galeras y revisión

F G

Producción del libro final Obtención de todos los permisos legales

14

H

Conducción de una reunión de capacitación en ventas

2

5 10 8

Actividades Predecesora

Ninguna A B, G A D E, G A C, F

4. Trazo de la red del proyecto. No olvide cual es el objetivo principal en la administración de proyecto: determinar la cantidad mínima de tiempo requerido para terminar todo el proyecto; lo que ha hecho hasta ahora simplemente es el primer paso para ello. Para entender mejor la información que tenemos actualmente es mejor construir una red de proyecto s. La cual consiste en una colección finita de nodos y arcos. Un arco es una flecha que conecta un nodo con otro y representa una actividad y los nodos representan el inicio y el fin de esa actividad.

Administración de proyectos usando tiempos determinísticos. Método de la ruta Crítica (CPM Crítical Path Method) Retomemos el ejemplo de Santillana y respondamos las preguntas iniciales: 1. ¿Qué tan pronto puede completarse todo el proyecto? 42

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2. Para satisfacer este tiempo de conclusión ¿qué tareas son críticas, en el sentido de que un retraso en cualquieras de esas tareas produciría en la conclusión de todo el proyecto? Para responder estas preguntas hay que: primero construir la red del proyecto; segundo calcular los tiempos de inicios inmediatos y últimos.

Para su construcción se tuvo en cuenta que A es la única actividad que no tiene predecesora inmediata. De la tarea A dependen las actividades B, D y G. De la tarea D depende la actividad E La actividad C depende de B y G, como estas dos no pueden unirse en un nodo simple, por lo tanto se traza una actividad figurada entre los nodos 2 y 4. La actividad F depende de E y G, como estas dos no pueden unirse en un no do simple, por lo tanto se traza una actividad figurada entre los nodos 4 y 5. La actividad H depende de C y F, los nodos terminales de etas dos tareas pueden unirse en un nodo simple.

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Programación no lineal En matemáticas, Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con un función objetivo a maximizar (o minimizar), cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales. Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo 2, el problema es de Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programación lineal. Si la función objetivo es cóncava (problema de maximización), o convexa (problema de minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se pue de utilizar el método general de Optimización convexa Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programación lineal. Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un límite inferior del costo total en cada subdivisión. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendrá una solución cuyo costo es igual o inferior que el mejor límite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea única. El algoritmo puede ser parado antes, con la garantía de que la mejor solución será mejor que la solución encontrada en un porcen taje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y cuando el problema cuenta con costos inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado. Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias para que una solución sea óptima. Las funciones o relaciones matemáticas que intervienen en muchos problemas empresariales y económicos no son totalmente lineales. De hecho, tal vez podemos decir que los problemas del mundo real que encajan en el estricto molde de la linealidad son la excepción y no la regla. Pongamos un ejemplo sencillo.

2 En

Matemáticas, un politopo regular es una figura geométrica con un alto grado de simetría

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 

En un modelo lineal, suele suponerse que el precio es una constante dada, digamos p, y las ventas es la cantidad por venderse es una variable supuestamente independiente del precio. Por consiguiente, el ingreso se expresa como , y decimos que es proporcional al precio. Sin embargo, el precio puede ser en realidad una variable, y la cantidad vendida (la demanda) puede ser dependiente del precio. Esta dependencia se expresa como , donde f es una función específica (no constante) de p. Así, el ingreso estaría representado por:

= () =  ×× × ()

Que es no lineal en la variable . En este caso, un modelo para encontrar el nivel de precios que maximice los ingresos sería un modelo no lineal. Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, con frecuencia no es así. De hecho muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal, lo cual vamos a analizar enseguida.

Definición Se puede expresar un problema de programación no lineal (PNL) de la siguiente manera: Encuentre los valores de las variables que Sujeto a

=(, ,……..) (( ++ +⋯+  ,) ≤≥    +⋯+  ,) ≤≥    ,. . ( + +⋯+,)≤≥ 

3.2 Ilustración grafica de problemas de programación no lineal.

Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programación lineal. Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un límite inferior del costo total en cada subdivisión. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendrá una solución cuyo costo es igual o inferior que el mejor límite inferior obtenido 45

Apuntes I.O.

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por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea única. El algoritmo puede ser parado antes, con la garantía de que la mejor solución será mejor que la solución encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y cuando el problema cuenta con costos inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado.

Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo, el problema es de Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programación lineal. Si la función objetivo es cóncava (problema de maximización), o convexa (problema de minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se pue de utilizar el método general de Optimización convexa.

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Los tipos de problemas de programación no lineal son: 1. Optimización no restringida. 2. Optimización linealmente restringida. 3. Programación cuadrática 4. Programación convexa. 5. Programación separable. 6. Programación no convexa. 7. Programación geométrica. 8. Programación fraccional. 9. Problema de complementariedad

Representación de máximos y mínimos en una función con una sola variable, técnicas de optimización clásica, Método de derivadas restringidas (Jacobiano), Método de Newton, explicación del método simplex, programación no lineal, métodos de gradiente.

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Optimización clásica Si la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menor o igual número de variables que la función objetivo entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una función.

Un punto de inflexión es un punto donde cambia la curvatura de la función. Si

= () =3

es un punto de inflexión

En el problema nos dan 2 datos:

→ ”()=0 (3)=1 ”(3)=0

Pasa por el punto (3,1), es decir

Es un punto de inflexión, es decir,

Con esta información, obtenemos b y d

“Puntos minimax.”

El punto minimax de la función lagrangiana es otro concepto relacionado con la solución de un problema de optimización. Si bien su d efinición no le hace útil a la hora de la resolución directa del problema, sí constituye un paso intermedio muy importante en la obtención del problema dual, que estudiaremos más adelante. En esta sección definimos dicho punto y estudiamos su relación con otro concepto, el punto de silla de la lagrangiana.

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La administración de un inventario es un punto determinante en el manejo estratégico de toda organización, tanto de prestación de servicios como de producción de bienes.

Definición El inventario es una relación detallada, ordenada y valorada de todos los elementos que componen el patrimonio de una empresa o persona en un momento determinado. Los objetivos fundamentales de la gestión de inventarios son: Reducir al mínimo "posible" los niveles de existencias y Asegurar la disponibilidad de existencias (producto terminado, producto en curso, materia prima, insumo, etc.) en el momento justo.

Los inventarios se pueden catalogar según su grado de terminación en: 1. Inventarios de Materias Primas 2. Inventarios de Insumos y Materiales (Materias primas de segundo orden) 3. Inventarios de Productos en proceso 4. Inventarios de Productos terminados 5. Inventarios de Productos en Embalaje

El proceso de determinar lo que se está llevando a cabo, a fin de establecer las medidas correctivas necesarias y así evitar desviaciones en la ejecución de los planes. Puesto que el control implica la existencia de metas y planes, ningún administrador puede controlar sin ellos. Él no puede medir si sus subordinados están operando en la forma deseada a menos que tenga un plan, ya sea, a corto, a mediano o a largo plazo. Un sistema de control de inventarios es importante para las empresas para garantizar que los productos sean entregados a los clientes. Este tipo de sistema cuenta con varias funciones, incluyendo ventas, producción en proceso, almacenamiento, órdenes y recepción de mercancía. La coordinación entre estas funciones puede ser diferente entre empresas.

Una empresa o una industria suele tener un inventario razonable de bienes para asegurar su funcionamiento continuo. En forma tradicional se considera a los inventarios como un mal necesario; si son muy pocos, causan co stosas interrupciones; si son demasiados equivalen a hacer un capital ocioso. El problema del inventario determina la cantidad que equilibra los dos casos extremos. Un factor importante en la formulación y la solución de un modelo de inventarios es que la demanda de un artículo 49

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(por unidad de tiempo) sea determinística (que conozca con certidumbre) o probabilística (que se pueda describir con una distribución de probabilidad).

Las suposiciones de este modelo son las siguientes. La demanda se efectúa a tasa constante. El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita). Todos los coeficientes de costos son constantes. La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda. Este modelo es muy similar al modelo de compra sin déficit. En este modelo cambia el costo de ordenar una compra por el costo de iniciar una tanda de producción (C2). Para determinar la cantidad optima a pedir, se sigue el procedimiento del modelo de compra sin déficit. En el siguiente esquema se representa este modelo

Donde:         

Q = Cantidad optima a producir R = Tasa de manufacturación Im = Inventario Máximo t = Periodo entre tandas de producción T = Periodo de Planeación t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario disponible t2 = Tiempo en donde no se cuenta con inventario El costo de organizar una tanda por periodo estará determinado por El tiempo entre tandas de producción estará definido por 50

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En donde el valor de Q se puede obtener mediante la siguiente ecuación:

Ejemplo La organización SALAZAR LTDA presenta una demanda anual de 150,000 unidades de sus envases de plástico presentación "AA". En un reciente proceso de costoo el departamento de ingeniería ha determinado mediante el método agregado que el costo de emitir cada orden es de $ 13,800, además se ha estimado que la tasa de mantenimiento equivale al 12% anual. Teniendo en cuenta que el precio de venta de cada envase "AA" es de $ 1,733 y que este presenta un margen de contribución unitario del 25%, además que el Lead Time del proveedor equivale a 5 días y que la organización labora de manera ininterrumpida durante los 365 días al año. Determine la Cantidad optima de pedido, su punto de reposición ROP, El número de ordenes colocadas al año, el tiempo entre cada orden y realice una presentación que muestre los costos asumidos teniendo en cuenta la cantidad optima establecida.

( )   =1, 7 33∗ 11. 2 5 =$1, 3 00 =1, 3 00∗12=156 = √ 2∗150,015600∗13,800 =5,152  = 150,365000 ∗5=2. 0 05 = 150,5,152000 =30  = 36530 =12 

Los supuestos para este modelo son las siguientes:   

La demanda se efectúa a tasa constante. El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita). Todos los coeficientes de costos son constantes. 51

Apuntes I.O.



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La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda.

En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo.

Q = Cantidad optima a pedir S = Cantidad de unidades agotadas Im = Inventario Máximo t = Periodo entre tandas de producción T = Periodo de Planeación t1 t4= Tiempo de manufacturación t2 t3= Tiempo de consumo de las unidades producidas.

El lote económico es la cantidad de inventario que debe de producirse, para satisfacer una demanda futura, de tal manera que el costo total en que se incurre por: fabricar, mantener el inventario y por pedidos pendientes sea el mínimo posible.

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Apuntes I.O.

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Donde:           

Cu= Costo unitario D= Demanda Cmi= Costo de mantener inventario Co= Corrida de producción Q= Demanda del periodo N= número de pedidos en el año R= Rata de producción T1= tiempo de producción T2= tiempo del agotamiento del inventario Imáx= Inventario máximo d= tasa de demanda diaria

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Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, máquinas, semáforos, grúas, etcétera, mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etcétera. Tanto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son fenómenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variación que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas.

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor", el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera. Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. “Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos

matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de esper a promedio para un sistema dado”

Características Los objetivos de la teoría de colas consisten en: Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo. Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo. 54

Apuntes I.O.

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Establecer un balance equilibrado ("óptimo") entre las consideraciones cuantitativas de costos y las cualitativas de servicio. El primero en llegar primero en ser servido es una regla común, pero podría servir con prioridades o siguiendo alguna otra regla.

Suposiciones     



 

     

La línea de espera tiene 2 o más canales ca nales (instalaciones de servicio). El patrón de llegada es de distribución de Poisson. El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución exponencial. La tasa promedio de servicio es es la misma para todos los canales. Las unidades que llegan aguardan en una sola línea de espera y después pasan al primer canal libre para obtener servicio. La disciplina del servicio es FIFO.

µ,

El tiempo ocupado se siente menor que el tiempo desocupado. Las esperas antes de los procesos se sienten sienten más largas que durante el proceso. La ansiedad hace que la espera parezca más larga. Las esperas indefinidas se sienten más largas que las esperas conocidas. Las esperas inexplicables son más largas que las esperas explicables. Las esperas injustas son más largas que las esperas equitativas. equitativas. Mientras más valioso sea el servicio, más tiempo estoy dispuesto a esperar. Las esperas individuales se sienten más largas que las las esperas grupales

1. Fuentes de Entrada 2. Cola 3. Disciplina en la Cola 4. El Mecanismo de Servicio 5. Manejo de Líneas de Espera 6. Régimen Estable 7. Proceso Elemental de Colas 8. Estructura de los Modelos de Líneas de Espera 9. Costos de los Sistemas De Colas Colas 10. Tasas de Llegada y de Servicio

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Esta notación sirve para etiquetar o nombrar a los diferentes modelos de líneas de espera que se pueden tener. La notación consta de 6 números de la forma siguiente:

///// = = = = =  = = =  = =

Donde los símbolos representan lo siguiente: La distribución de tiempo entre llegadas.

La distribución de tiempo de servicio.

El número de servidores en paralelo. Tipo de disciplina en el servicio (FCFS, LCFS, SIRO, PRIORIDAD). Número máximo admitido en el sistema (línea de espera + en servicio).

Tamaño de la población de donde se extrae los clientes.

Para reemplazar a los símbolos a y b se usan las siguientes iniciales: Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución exponencial entrada o salida de Poisson (o Markoviana). Cuando el tiempo de llegada o servicio es determinista

Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución de Erlangs con parámetro K. Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución general (cualquier distribución arbitraria).

Estructura de los sistemas Hay estructuras básicas de línea de espera que definen las condiciones generales en la instalación de servicio. La estructura más sencilla se ilustra en las siguientes figuras y son los módulos básicos.

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Figura 1 Proceso Básico de Colas (Frederick S. Hillier y Gerald J. Liberman)

Notación

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Modelo M/M/1

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Estudiaremos a continuación una clase de sistemas cuyo estado está completamente determinado por el número de individuos presentes en el sistema en cada instante de tiempo. Supongamos que siempre que haya n individuos en el sistema: 1. Los nuevos arribos al sistema se realizan a una tasa exponencial

λ  

2. Los individuos abandonan el sistema a una tasa exponencial .Es decir que siempre que haya n individuos en el sistema, el tiempo hasta la llegada de un nuevo individuo es una variable aleatoria exponencial de esperanza , el tiempo hasta la partida de un individuo presente en el sistema es una variable aleatoria exponencial de esperanza y ambas v.a. son independientes.

1/

1/

El modelo general asume que tanto las tasas de entrada como de salida dependen de l estado; lo que significa que dependen de la cantidad de clientes en la instalación de servicio. Por ejemplo, en una caseta de cobro en una car retera, los encargados tienden a acelerar el cobro de las cuotas durante las horas pico. Otro ejemplo ocurre en un taller donde la tasa de descomposturas de las máquinas disminuye a medida que aumenta el número de máquinas descompuestas (porque sólo las máquinas que están funcionando son capaces de generar nuevas descomposturas).

Donde n =Cantidad de clientes en el sistema (haciendo cola, además de los que están siendo atendidos)

λ   

=Tasa de llegadas, si n clientes están en el sistema =Tasa de salidas, si n clientes están en el sistema =Probabilidad de estado estable de que n clientes estén en el sistema

A esta se le llama el caso de un solo canal y de una sola fase. En la práctica, existen muchas ilustraciones de este módulo simple: el cajero de un restaurante, cualquiera de las operaciones sencillas de “ventanilla” de las oficinas de correos y los bancos o

la peluquería de un solo hombre.

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Figura 2.- Sistema de Una cola, un servicio

5.4.2 Múltiples servidores

Figura 3.- Sistema de una cola, tres servidores

Figura 3.- Sistema de Tres Colas, tres servidores

Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia, la cola y el mecanismo de servicio. Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben considerarse. 60

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Costo de Espera Esperar es inútil. Es desperdicio. Significa que algún recurso está inactivo cuando podría usarse en una forma más productiva (o agradable) en otra parte. De hecho, representa un costo de oportunidad. La productividad disminuye y es dinero que no puede recuperarse. Cuando los clientes esperan en línea, el costo de espera es indirecto. Es cierto que no hace ningún pago cuando un cliente disgustado se va porque la cola es demasiado larga. Los clientes se quejan quitando tiempo a los empleados o aún peor dejan de venir, dejando toda la mercancía para devolución y causando que se pierdan oportunidades de ganancias. Si el problema continúa la empresa podría salir muy bajo en los inventarios. Este costo intangible es tan real como cualquier dinero que se saca del bolsillo. Servir con prontitud puede proporcionar una forma de competencia en los negocios. La sociedad de hoy está muy consciente del tiempo, esto hace que la evaluación apropiada del tiempo de espera sea más importante.

Costo de Servicio Determinar el costo de servicio es más sencillo, en concepto, que determinar el costo de espera. En la mayoría de las aplicaciones se tratará de comparar varias instalaciones de servicio: dos cajeros de la empresa contra tres, etc. En estos casos solamente se necesitan los costos comparativos o diferenciales. Casi siempre los datos necesarios son evidentes para una situación dada.

Sistema de Costo Mínimo Desde un punto de vista global se quiere el sistema que comparado con los demás, tiene el costo total más pequeño, incluyendo el costo de servicio y el costo de espera. Para tasas bajas de servicio, se experimentan largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio, hay un ahorro sustancial en el costo de espera, aunque los costos de servicio aumenten, ya que el costo total del sistema disminuye. Sin embargo, finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Más allá del punto de costo mínimo, el aumento en el servicio cuesta más que los ahorros consecuentes en el costo de espera. Entonces el objetivo es encontrar el sistema de costo mínimo.

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Ejercicio 1. En un servidor de la universidad se mandan programas de ordenador para ser ejecutados. Los programas llegan al servidor con una tasa de 10 por minuto. El tiempo medio de ejecución de cada programa es de 5 segundos y tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de ejecución se distribuyen exponencialmente. a) ¿Que proporción de tiempo está el servidor desocupado? b) ¿Cuál es el tiempo esperado total de salida de un programa? c) ¿Cuál es el número medio de programas esperando en la cola del sistema?

// =10   =12    (1 )= = (−) = (− ) =          = (−) =[−]=4,16 

El sistema Datos

1

a) Tiempo de servidor desocupado=

0.17 esto que el servidor está

desocupado 10 segundos de cada minuto y 50 segundos ocupado. b) c)

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Fuente de Información 1. BAZARAA MS y JJ. Jarvis. Programación lineal y flujo de redes. Limusa. 2. DAVIS K Roscoey MC KEOWN Patrick. Modelos cuantitativos para administración. Grupo editorial Iberoamérica. 2 Ed. 1986. 3. DIAZ S. Fco. Javier, RENDON C: Hernán D., Introducción a la Investigación de Operaciones Universidad Nacional 2002. 4. Ed. Mc Graw Hill 2002 7ma Edición. 5. GASS S.I. Programación lineal. Compañía Editorial Continental. 1981

6. Gallagher, Charles A. y Watson, Hugh J. (1992) Métodos Cuantitativos para la toma de decisiones en Administración; cuarta edición; México: Mc. Graw-Hill. 7. Hillier, Frederick S. y Lieberman, Gerald J. (1997) Introducción a la Investigación de Operaciones; sexta edición; México: Mc. Graw-Hill. 8. Moskowitz, Herbert y Wright, Gordon P. (1991) Investigación de Operaciones; México: Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A. 9. Sasieni, Maurice; Yaspan, Arthur y Friedman, Lawrence (1992) Investigación de Operaciones (Métodos y Problemas); México: Limusa. 10. Schrage, Linus (1991); LINDO (An Optimization Modeling System) cuarta edición; Danver : Boyd & Fraser Publishing Company. 11. Shamblin, James E. y Stevens, G. T, Jr. (1993); Investigación de Operaciones (Un enfoque fundamental) México: Mc. Graw-Hill. 12. Taha, Hamdy (1995); Investigación de Operaciones quinta edición; México: Alfaomega. 13. Thierauf, George y Grosse, Richard (1982); Toma de Decisiones por medio de Investigación de Operaciones; México: Limusa Wiley. 14. Winston, Wayne L. (1991); Introduction to Mathematical Programming (Applications and Algorithms); Duxbury Press, Belmont.

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Unidad.-1 Cuestionario de la programación lineal Explique cada uno de los siguientes temas a que se refieren el estudio de cada uno de ellos a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

Conjuntos convexos, semi-espacios Fundamentos de la Programación Lineal Transformación de problemas de Programación Lineal Soluciones de un problema de Programación Lineal Resolución gráfica de un problema de Programación Lineal Regla de entrada-salida en el Método Simplex Aplicación del Método Simplex Precios sombra Método Simplex dual Dualidad Análisis de Sensibilidad Problemas de transporte y asignación

Pruebe que el siguiente cuestionario es correcto 1. ¿A qué se debe el nombre de IO? Se debe principalmente a que se investigaban operaciones militares, en la segunda guerra mundial, primero comenzó con la unión inglesa y después con estados unidos al mejorarla. 2. ¿Cuáles son los factores que intervienen para el progreso de la IO? Algunos factores son, la necesidad de mejorar la industria y el gobierno pero estados unidos también fue un factor para el progreso ya que ahí fue donde agarro un gran impulso al desarrollar el método simplex de programación lineal, de George. Dantzig, otro gran factor de desarrollo fue el de la computadora digital. 3. ¿Qué menciona la definición de Churchman, Acoff y Arnoff? Es la aplicación, pro grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objeticos de la organización. 4. ¿Qué es la investigación de operaciones? Es la aplicación por grupos interdisciplinarios del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización

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Apuntes I.O.

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5. Define que es el enfoque de la IO El enfoque de la IO es el enfoque modelístico y el método científico, comienza por la observación después formular el problema y construir un modelo matemático después se propone una hipótesis después se hacen pruebas adecuadas, también es una administración práctica de la organización, esto es conocer bien un problema sea cual sea, y por medio del método científico que te lleve a la toma de decisiones logrando resolver problemas. 6. ¿Cuáles son las variables relevantes en IO?

Unidad.-2 Análisis de redes

Unidad 3. Cuestionario 1. Es una definición de simulación: a) Es la herramienta matemática que trata de representar un proceso a través de otro más simple, para analizar las variables que intervienen en él y tomar una decisión b) Escribe el comportamiento de un sistema y da respuesta a un problema real. c) Es un modelo matemático que representa una situación real y busca la toma de decisiones. d) Es un modelo determinístico de solución de problemas. 2. ¿A que se denomina simulación discreta? a) Representa una situación en donde las variables no cambian. b) Representa un sistema en donde las variables cambian en periodos separados. c) Representa un sistema en donde las variables cambian de manera constante a lo largo del tiempo. d) Se refiere a la actuación del investigador. 3. ¿A que se denomina simulación continua? a) Representa un sistema en donde las variables cambian de manera constante a lo largo del tiempo. b) Representa una situación en donde las variables no cambian. c) Representa un sistema en donde las variables cambian en periodos separados. d) Es un proceso repetitivo. 4. ¿Qué es una simulación determinística? 65

Apuntes I.O.

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a) Es un tipo de simulación donde las variables no varían al azar, tomando valores exactos.

Unidad 4.- Cuestionario control interno inventarios 1. ¿Existe un sistema de control para las entradas y salidas de inventarios? 2. ¿Existe algún método de valuación de inventarios? Solamente con el café. 3. ¿La entidad tiene designada alguna persona responsable de las órden es de compra de inventarios? 4. ¿Se cuenta con alguna medida de seguridad para los registros de inventarios? 5. ¿Son consistentes y uniformes durante todo el período contable el sistema de registro contable del método de valuación de inventarios? 6. ¿La entidad utiliza algún sistema de control para llevar a l día los registros tanto delos ingresos como los ya existentes en bodega? 7. ¿Cuenta la entidad con una bodega en buen estado y que esté bien resguardada físicamente para su seguridad? 8. ¿Existe alguna persona encargada de bodega? 9¿Los registros contables de inventario los lleva una persona ajena al encargado de bodega? 10¿Realiza inventarios físicos periódicamente de las existencias, la persona designada para llevar los registros contables? 11. ¿La entidad recibe inventario en consignación 12 ¿Se comprueba en la recepción de la mercadería que la misma sea entregada en su totalidad?

Unidad 5.- Cuestionario de Teoría de cola 1. En un sistema de colas el término clientes se usa para definir a: a) b) c) d)

Líneas telefónicas. La forma de las llegadas. Gente esperando líneas telefónicas desocupadas Ninguna de las anteriores es correcta

2. El término instalaciones de servicio se utiliza en sistemas decolas para referirse a: El B es un ejemplo de instalación de servicio, ya que el A serían los clientes a) Máquinas que esperan ser reparadas. 66

Apunte i Operaciones2

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