Apunte Resistencia de Materiales Parte I Corr

Apuntes del Curso

RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

Índice ÍN D IC E ................................................................................................................................................................. 1 PRINCIPIOS FUNDAM ENTALES DE RESISTENCIA DE LOS M A TE R IA L E S....................3 1.1. INTRO DUC CIÓ N......................................................................................................................................3 1.1.2 H ip ó t e s is f u n d a m e n t a l e s ................................................................................................................................. 4 1.1.3 M é t o d o .........................................................................................................................................................................5

2. RELACIÓN ESFUERZO D E FO RM A CIÓ N....................................................................................... 8 3. PROPIEDADES DE LOS M A TER IA LES......................................................................................... 13 3 .1 . Elasticidad y P lasticidad....................................................................................................................13 3 .2 . Ley de Hooke............................................................................................................................................13 3 .3 . Diagrama Esfuerzo - deformación (e - e ) del acero común....................................................14 3.4. D ia g ram a esfuerzo - d efo r m a c ió n pa ra otro s m a t e r ia l e s ........................................ 17 3.5. D ia g ram a s id e a l e s ............................................................................................................................... 18 3.6 CONSTANTES E L Á ST IC A S ............................................................................................................... 19 3.6.1 M ó d u l o d e e l a s t ic id a d l o n g it u d in a l ( E ) ...........................................................................................19 3 . 6 .2 MÓDULO DE ELASTICIDAD TRANSVERSAL (G ).....................................................................................................20

3.7 C o eficiente de P o is so n ......................................................................................................................21 3.8 CONCEPTOS DE COEFICIENTES DE SEGURIDAD, DE TENSIÓN ADM ISIBLE Y DE CARGA A D M ISIB L E ....................................................................................................................................23 4.- DEFINICION DE LOS ESTADOS TRIPLES, DOBLES Y SIMPLES DE TENSIONES . 25 4.1 EQUILIBRIO DE UN PRISM A ELEM ENTAL..............................................................................26 4.2 DEFORM ACIONES EN EL ESTADO TR IPL E .............................................................................29 4.2.1 R e l a c ió n

entre

E

y

G .........................................................................................................................................30

4.3 ESTADO D O B L E ......................................................................................................................................30 V a r ia c ió n d e l a s t e n s io n e s e n e l p u n t o s e g ú n l a o r ie n t a c ió n d e l p l a n o ...............................30 4.3.1 V a l o r e s m á x im o s y m ín i m o s , c ír c u l o d e M o h r ............................................................................... 33 4.4 T r a z a d o d e l c ír c u l o d e M o h r e n e l e s t a d o t r ip l e .......................................................................... 39

TORSIÓN .......................................................................................................................................................... 41 I N T R O D U C C IO N ............................................................................................................................................................. 41 S E C C IO N C IR C U L A R .................................................................................................................................................... 41 S e c c ió n A n u l a r .............................................................................................................................................................. 44 S E C C IÓ N T U B U L A R C E R R A D A D E P E Q U E Ñ O E S P E S O R ..................................................................... 45 S E C C IÓ N R E C T A N G U L A R ....................................................................................................................................... 46 S E C C IO N E S A B IE R T A S D E P A R E D D E L G A D A ............................................................................................48

D iagram as

de corte y m o m e n t o .......................................................................................................... 51

Resistencia de los Materiales

D e f i n i c i o n e s ....................................................................................................................................................................... 51

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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

1.1. INTRODUCCIÓN Los cuerpos absolutamente rígidos, indeformables, no existen en la realidad. Las deformaciones de los cuerpos, debida a la acción de cargas, en realidad son pequeñas y en general pueden ser detectadas solamente con instrumentos especiales. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes del equilibrio y del movimiento del sólido, por lo que la Mecánica Teórica prescinde de ellas. Sin embargo, sin el estudio de estas deformaciones seria imposible resolver un problema de gran importancia practica como es el de determinar las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de una pieza, o aquellas en las que la misma puede servir sin tal peligro. Las construcciones que el ingeniero encuentre en su práctica tienen, en la mayoría de los casos configuraciones bastante complejas. Los diversos elementos de estas se reducen a los siguientes tipos simples, tales como barras, vigas, cáscaras, placas, etc. Entenderemos por falla de una estructura o de determinadas partes de la misma: a la rotura, o sin llegar a ello, a la existencia de un estado inadecuado. Esto último puede ocurrir por varios motivos: deformaciones demasiado grandes, falta de estabilidad de los materiales, fisuraciones, pérdida del equilibrio estático por pandeo, vuelco, etc. En este curso limitaremos el estudio a la falla por rotura, deformaciones excesivas. La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y las deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores. La diferencia entre la Mecánica Teórica y la Resistencia de Materiales radica en que para ésta lo esencial son las propiedades de los cuerpos deformables, mientras que en general, no tienen importancia para la primera. La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simples de cálculo, aceptables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicos más frecuentes de las estructuras, empleando para ello diversos procedimientos aproximados. La necesidad de obtener resultados concretos al resolver los problemas prácticos nos obliga a recurrir a hipótesis simplificativas, que pueden ser justificadas comparando los resultados de cálculo con los ensayos. Los problemas a resolver haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos: a) Dimensionamiento b) Verificación

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En el primer caso se trata de encontrar el material, las formas y dimensiones mas adecuadas de una pieza, de manera tal que ésta pueda cumplir su cometido: Con seguridad En perfecto estado Con gastos adecuados El segundo caso se presenta cuando las dimensiones ya han sido prefijadas y es necesario conocer si son las adecuadas para resistir el estado de solicitaciones actuantes.

1.1.2 Hipótesis fundamentales a) El material se considera macizo (continuo): El comportamiento real de los materiales cumple con esta hipótesis aún cuando pueda detectarse la presencia de poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la materia, compuesta por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red ordenada. Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del campo de las funciones continuas b) El material de la pieza es homogéneo (idénticas propiedades en todos los puntos): El acero es un material altamente homogéneo; en cambio, la madera, el hormigón y la piedra son bastante heterogéneos. Sin embargo, los experimentos demuestran que los cálculos basados en esta hipótesis son satisfactorios. c) El material de la pieza es isótropo: Esto significa que admitimos que el material mantiene idénticas propiedades en todas las direcciones. d) Las fuerzas interiores, originales, que preceden a las cargas, son nulas: Las fuerzas interiores entre las partículas del material, cuyas distancias varían, se oponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas. Al hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas moleculares que existen en sólido no sometido a cargas. Esta hipótesis no se cumple prácticamente en ninguno de los materiales. En piezas de acero se originan estas fuerzas debido al enfriamiento, en la madera por el secamiento y en el hormigón durante el fraguado. Si estos efectos son importantes debe hacerse un estudio especial. e) Es válido el principio de superposición de efectos: Ya se ha hecho uso de este principio, para el caso de sólidos indeformables. Al tratarse de sólidos deformables este principio es válido cuando: Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños en comparación con las dimensiones del sólido.

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Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas. Estos sólidos se denominan “ sólidos linealmente deformables” .

f) Es aplicable el principio de Saint - Venant: Este principio establece que el valor de las fuerzas interiores en los puntos de un sólido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco del modo concreto de aplicación de las mismas. Merced a este principio en muchos casos podremos sustituir un sistema de fuerzas por otro estáticamente equivalente, lo que puede conducir a la simplificación del cálculo. g) Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas: Las cargas se dicen que son estáticas cuando demoran un tiempo infinito en aplicarse, mientras que se denominan cuasi-estáticas cuando el tiempo de aplicación es suficientemente prolongado. Las cargas que se aplican en un tiempo muy reducido se denominan dinámicas, y las solicitaciones internas que producen son sensiblemente mayores que si fuesen estáticas o cuasi-estáticas.

1.1.3 Método Al realizarse el estudio de un objeto o sistema real se debe comenzar por la elección de un esquema de cálculo. Para realizar el cálculo de una estructura se debe, ante todo, separar lo importante de lo que carece de importancia, es decir, se debe esquematizar la estructura prescindiendo de todos aquellos factores que no influyen significativamente sobre el comportamiento del sistema como tal. Este tipo de simplificación es en todos los casos absolutamente necesario, puesto que la solución del problema que considere todas las propiedades de la estructura es imposible debido a que, en general éstas son inagotables. Supongamos, por ejemplo, que deseamos calcular la resistencia del cable de un ascensor. Debemos considerar ante todo el peso de la cabina, su aceleración y, en el caso de que se eleve a gran altura, el peso del cable. Simultáneamente, podremos dejar de lado algunos factores de poca importancia como la resistencia aerodinámica que ofrece al ascensor, la presión barométrica a distintas alturas, la variación de la temperatura con la altura, etc. Un mismo cuerpo puede tener esquemas de cálculo diferentes, según la exactitud pretendida y según el aspecto del fenómeno que interesa analizar. Por otro lado, un hecho muy importante a tener en cuenta es que a un mismo esquema de cálculo pueden corresponderle muchos objetos reales. Esto reviste gran importancia, pues al estudiar teóricamente cierto esquema de cálculo se puede obtener la solución de toda una serie de problemas reales comunes al esquema dado.

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£

P

Al escogerse el esquema de cálculo se introducen ciertas simplificaciones a) La geometría del objeto. Así un sólido muy alargado se puede idealizar con una barra. b) Los vínculos. Usualmente se consideran ideales. c) Los sistemas de fuerzas aplicadas: es conocido por ejemplo, que las cargas concentradas prácticamente no existen en la realidad, sino que son las resultantes de fuertes presiones localizadas en zonas pequeñas. d) Las propiedades de los materiales. En el ítem anterior hemos hecho consideraciones al respecto. El paso siguiente a la elaboración del esquema de cálculo corresponde a la resolución numérica del problema, para lo cual, las bases fundamentales de la Resistencia de Materiales se apoyan en la Estática, la que resulta sumamente importante en la determinación de las solicitaciones internas y de las deformaciones. Aún cuando a partir del encauzamiento del estudio por la vía de las operaciones matemáticas pareciera que el trabajo ha concluido, debemos dejar bien en claro que el cálculo no consiste solamente en el empleo de fórmulas. En efecto, debemos tener muy presente que lo que se ha resuelto no es el sistema real sino un modelo matemático. Esto significa que los resultados deben ser adecuadamente interpretados, y eventualmente corregidos para acercarse lo más próximo posible a la solución real. Finalmente, y a título de resumen, podemos decir que el método de la Resistencia de Materiales, que no es sino el de la Mecánica Aplicada puede enunciarse de la siguiente manera:

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1) Elección de un esquema de cálculo (elaboración de un modelo matemático). 2) Resolución matemática del problema. 3) Interpretación de los resultados en función del sistema físico real.

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2. RELACIÓN ESFUERZO DEFORMACIÓN Como introducción al tema observemos la máquina de la figura 2.1 la función de esta prensa es la de ensayar muestras de materiales sometidos a esfuerzos de compresión. Para ello se coloca la muestra sobre el piso de la base y se aprieta el extremo del tornillo contra ella haciendo girar el volante del extremo superior. Esta acción somete así a la porción inferior del tornillo a compresión axial y a las barras laterales a tracción axial. Se observa también que la cruceta de cabeza está sometida a flexión y corte, y la parte superior del tornillo a torsión. Si consideramos los componentes de prensa, vemos que los mismos están sometidos a diferentes tipos de solicitaciones, generan esfuerzos internos. Por ejemplo, podríamos trazar los diagramas característicos correspondientes a momentos flectores y corte en la cruceta de cabeza. Si tomamos ahora una de las barras laterales y le realizamos un corte como el a-a indicado, veremos que para que la parte superior se encuentre en equilibrio (ver figura 2.2), en esta sección debe aparecer una fuerza F que en realidad representa la acción de la otra parte eliminada. Ahora bien ¿debemos suponer que en la sección indicada aparece en realidad una fuerza concentrada F? La intuición nos dice que eso no parece lógico, lo razonable es que aparezcan solicitaciones en cada punto de la sección considerada, que no son otra cosa que los esfuerzos que actúan en cada partícula manteniendo la continuidad del cuerpo. La ley matemática que podría corresponderle a estas solicitaciones podía ser la que se indica en la figura 2.2, aunque no lo podemos afirmar rigurosamente si no hacemos un buen estudio del problema.

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in cu

i

1 I

T Fig. 2.1

Fig. 2.2

Fig. 2.3

Observemos a continuación el tornillo 2, vemos que en la sección indicada aparece un momento torsor. Nuevamente, es de suponer que este esfuerzo es en realidad el resultante de un conjunto de solicitaciones que actúan punto a punto, y con una ley semejante a la indicada en la figura 2.3. también podemos observar que en este caso las solicitaciones no son similares a las anteriores, ya que antes teníamos fuerzas distribuidas uniformemente y perpendiculares a la sección, mientras que ahora las fuerzas son adyacentes en la sección, con intensidades y sentido cambiantes. A partir de todas las consideraciones anteriores podemos formular una hipótesis: “ Los esfuerzos internos en una sección cualquiera de un cuerpo se desarrollan punto a punto” . Esta hipótesis será de gran importancia y, como se ve en otros cursos, pueden demostrarse experimentalmente. Si consideramos un cuerpo sometido a cargas exteriores en equilibrio, y lo dividimos en dos partes mediante la intersección con un plano cualquiera, sabemos que en la sección originada aparecerán fuerzas que mantienen el equilibrio de la porción. Si en la sección tomamos un punto P y un entorno de área AQ, sobre dicha área existirá una fuerza elemental AF. Haciendo el cociente de AF/AQ, con AQ tendiendo a cero, definiremos como “vector tensión total o tensión resultante en el punto P, al siguiente límite:

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(2.1)

p = lim

AQ— »0 y\Q

La tensión es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediante tres parámetros: intensidad, dirección y sentido. Por otro lado, la dimensión que tiene es la de una fuerza por unidad de área, y puede medírsela, por ejemplo, en Kg/cm2 (KN/cm2).

Sistema Internacional de L nídados Fuer/a Newton Momento New ton x metro Presión Pase^il

I N u G J kyt N.m Pa = N/m 2

m

y

e

o

Fig. 2.5 El vector tensión total puede descomponerse según dos direcciones, una normal al plano de la sección y otra contenida en el mismo, obteniéndose así dos componentes de tensión denominadas tensión normal (a) y tensión tangencial ( t ) . Ver figura 2.5. Volviendo nuevamente al caso de la barra lateral de la prensa, cuando más gira el volante superior mayor es la fuerza que debe absorber la barra. Se observa así mismo que la barra se estira ligeramente de modo que para cada valor de F se produce un pequeño alargamiento 5.

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Como el esfuerzo F es constante en toda la barra, todas las fibras longitudinales están estiradas uniformemente. Podemos entonces establecer el cociente entre el desplazamiento 5 y la longitud L de la barra cuando está descargada, a este cociente lo denominamos “ deformación unitaria o especifica”

s=

(2.2)

L Observamos que ésta no tiene unidades, es decir, es una magnitud adimensional. Ahora bien, si todas las fibras se han alargado igual, cada punto del cuerpo está caracterizado por tener la misma deformación especifica, aunque en otros casos esto podría no ser así, con lo que cada punto tendría un valor distinto de £.

Jf

Fig. 2.6

De las consideraciones anteriores podemos deducir que cada punto de la barra tiene una tensión y una deformación. Cabe entonces una pregunta: ¿las tensiones y las deformaciones están relacionadas entre sí? Resolveremos este interrogante en el próximo ítem. Supongamos ahora que quisiéramos graficar la variación Carga Desplazamiento (F - 5):

I

Fig. 2.7 Para nuestro análisis, consideremos la posibilidad de combinar las variables sección y longitud; manteniendo las características del material constante.

I

Q,

Cln

Fig. 2.8

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Dónde: Q 2 > Q1

L1 > 12 Aún cuando se trata del mismo material, la representación Carga Desplazamiento va a variar si tomamos en cuenta la sección o la longitud de la barra.

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3. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES 3.1. Elasticidad y Plasticidad Si retomamos nuevamente el ejemplo de la barra traccionada, podemos ver que si la fuerza F cesa, el alargamiento 5 desaparece completa o parcialmente, es decir, la barra tiende a recuperar su longitud original L. Esta propiedad que posee un material de volver parcial o completamente a su forma inicial una vez que desaparece la carga es lo que se llama “ elasticidad” . Si la barra recupera completamente su longitud inicial, se dice que el material es “ perfectamente elástico” ; de lo contrario se dice que es “ parcialmente elástico” . La “ plasticidad” es una propiedad opuesta, un material es “ perfectamente plástico” cuando al dejar de actuar la carga que lo deforma mantiene su configuración deformada. En la realidad ningún material resulta perfectamente elástico o perfectamente plástico. Algunos materiales como el acero, aluminio, goma e incluso la madera y el hormigón pueden ser considerados como perfectamente elásticos dentro de ciertos límites, es decir, si no están excesivamente cargados. Otros materiales como la arcilla y la masilla pueden considerarse como perfectamente plásticos.

3.2. Ley de Hooke La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de Materiales y es válida dentro de lo que se denomina régimen lineal elástico. Esta ley establece que si la tensión normal a se mantiene por debajo de un cierto valor op, llamado tensión de proporcionalidad, las deformaciones específicas y las tensiones son directamente proporcionales. (3.1) s = a •E E: Recibe el nombre de Módulo de Elasticidad Longitudinal, o módulo de Young. El valor de E es una característica de cada material.

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3.3. Diagrama Esfuerzo - deformación (a - z) del acero común Al resolver los problemas de la Resistencia de Materiales nos encontramos con la necesidad de tener ciertos datos experimentales previos sobre los cuales se pueda basar la teoría. Por ejemplo, para poder establecer la ley de Hooke se hace necesario conocer el módulo E, el cual debe determinarse experimentalmente. Para obtener los datos antes mencionados se pueden realizar distintos tipos de ensayo, de los cuales uno muy difundido es el de tracción. Para este ensayo usualmente se emplean probetas especiales, que consisten en barras de sección circular, las cuales son estiradas en una máquina especialmente diseñada para el ensayo. Cuando una barra esta sometido a un esfuerzo axial P, aparecen internamente tensiones normales a calculables a través de la siguiente expresión: (3.2)

I

Fig. 3.2 Dónde Q es el área de la sección transversal de la barra. Sabemos también que se originan desplazamientos 5. Si entonces se miden los valores (P ; 5) para cada escalón de carga, se pueden graficar los valores (a ; £), que se evalúan mediante las expresiones ya conocidas. Para el caso del acero común, también llamado acero dulce, que es de bajo contenido de carbono, el diagrama tenso-deformación resulta como el de la figura siguiente:

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Fig. 3.3 Diagrama Tensión-Deformación para el Acero Dulce En este diagrama pueden distinguirse ciertas zonas con determinadas características: a) Período elástico: Este período queda delimitado por la tensión ae (límite de elasticidad). El límite de elasticidad se caracteriza porque, hasta llegar al mismo, el material se comporta elásticamente, es decir que producida la descarga, la probeta recupera su longitud inicial. En la práctica, este límite se considera como tal cuando en la descarga queda una deformación especifica remanente igual al 0.001 %. Este período comprende dos zonas: la primera, hasta el ap (límite de proporcionalidad), dónde el material verifica la ley de Hooke. La segunda entre a p y ae, si bien es elástica, no manifiesta proporcionalidad entre tensiones y deformaciones. (3.3)

En la primera zona: — =— =E ds s

(3.4)

En la segunda zona: — =— =f ( s ) ; Módulo de elasticidad ds s

reducido En general, los límites de proporcionalidad y de elasticidad difieren muy poco entre sí. b) Período elasto-plástico: Para valores de tensión superiores al límite elástico, la pieza si fuera descargada no recobraría su dimensión original, apreciándose una deformación remanente acorde con la carga aplicada. A medida que aumenta la solicitación, la gráfica representativa es la de una función para la cual disminuye el valor de su Tangente, tendiendo a anularse en

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el tramo final del período, al cual se llega con un valor de tensión que se indica como Of (tensión de fluencia). c) Período plástico (fluencia): Una vez arribado al valor de tensión Of (límite de fluencia), el material fluye, es decir, aumentan las deformaciones sin que existe aumento de tensión. En realidad este fenómeno no es tan simple, ya que puede verse que la tensión oscila entre dos valores límites y cercanos entre sí, denominados límites de fluencia superior e inferior, respectivamente. La tensión de proporcionalidad resulta ser aproximadamente el 80% de la tensión de fluencia. (3 . 5 )

c p = 0 .8 (j F

d) Período de endurecimiento y de estricción: Como consecuencia de un reacomodamiento cristalográfico, luego de la fluencia el material sufre un re endurecimiento, que le confiere la capacidad de incrementar la resistencia, es decir, puede admitir un incremento de carga. Sin embargo en este período las deformaciones son muy pronunciadas. La tensión aumenta hasta alcanzar un valor máximo a R, denominado “ tensión de rotura” , a partir del cual la tensión disminuye hasta que alcanza una determinada deformación de rotura, produciéndose la tensión a R no es en realidad la máxima tensión que se origina en la probeta sometida a carga. En efecto, alcanzado el valor de la deformación especifica correspondiente a Or, comienza a manifestarse en la probeta un fenómeno denominado “ estricción” . Este consiste en la reducción de una sección central de la pieza. Esta reducción, progresiva con el aumento de la carga, hace que las tensiones aumenten y que, en realidad, el diagrama efectivo en lugar de presentar su concavidad hacia abajo muestra un punto de inflexión en las vecindades de a R y cambia su curvatura presentando una rama creciente hasta alcanzar la deformación de rotura £R. Debido a lo que hemos mencionado recientemente el diagrama que acabamos de ver suele denominarse “ diagrama convencional a - £” , ya que los cálculos de las tensiones se realizan siempre sobre la base de suponer la sección transversal constante, con área igual a la inicial.

Fig. 3.4: Fenómeno de estricción

Una valoración cuantitativa del fenómeno de estricción esta dada por el “ coeficiente de estricción lateral” , el cual se define según la siguiente expresión:

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Donde: A¡: Area Inicial Af: Area Final En aceros comunes a p.

Fig. 3.5: Endurecimiento mecánico del acero dulce

3.4. Diagrama esfuerzo - deformación para otros materiales Hay algunos materiales para los cuales se observa que el diagrama a - £ es una curva continua sin tramos rectos, es decir, que prácticamente en ningún momento verifican la ley Hooke. Un ejemplo clásico es el hormigón, para el cual en general interesa su curva a - £ en compresión. En estos casos no puede hablarse de un módulo de elasticidad único. Caben distinguir tres valores del módulo de elasticidad:

a) Módulo al origen (3.7)

E = tg a

b) Módulo instantáneo o tangente. Su valor lo da la pendiente a la curva a - £ en cada punto:

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da <3-7) E =^ s =tga° c) Módulo secante, el que viene dado por la tangente trigonométrica del ángulo a1.

Fig. 3.6 Módulos Tangentes y secantes

Para estos materiales, Bach, sobre la base de numerosos ensayos, propuso como relación entre a y £ una ley de tipo exponencial que lleva su nombre: (3.8) donde el coeficiente k depende del material (valor medio, ya que depende de muchas variables):

Material I Jormigón Cobre Jalón Cuero

cy

Codicíente k k= 1.15 k= 1.10 k = 1.085 k = 0*70

En el caso particular en que se toma k = 1, 0 se obtiene la ley de Hooke. Ciertos materiales presentan además la particularidad de tener un comportamiento diferente en compresión que a tracción, tal es el caso del hormigón.

3.5. Diagramas ideales Los diagramas que hemos visto suelen no ser prácticos para trabajar con ellos, por lo que en determinadas circunstancias se los reemplaza por diagramas idealizados debidos a Prandtl, que resumen las características fundamentales de los tres tipos básicos de materiales. El diagrama ideal correspondiente a un material dúctil se compone de dos tramos rectos: uno inclinado, correspondiente al período elástico; el otro horizontal, materializando el período de fluencia. El período de endurecimiento no interesa porque la deformación al final de la fluencia es tan significativa que el material está en falla antes de llegar a la rotura.

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o A

ideal para un material dúctil

Fig. 3.8.2: Diagrama ideal de una material frágil

CT] - CTr

Fig.3.8.3: Diagrama ideal para un material plástico

En los materiales frágiles el límite de proporcionalidad es muy próximo a la tensión de rotura, prescindiéndose entonces del tramo curvo. Para los materiales plásticos el diagrama es una recta horizontal, lo que significa que sometidos a una carga, se deforman indefinidamente sin incremento de tensión.

3.6 CONSTANTES ELÁST ICAS El comportamiento lineal elástico de los sólidos, permite determinar valores característicos o constantes elásticas, para cada material, agrupando entre ellos a los llamados módulos de elasticidad.

3.6.1 Módulo de elasticidad longitudinal (E) Consideremos una barra de longitud inicial L sometida a la acción de fuerzas axiales. Esta pieza por acción de la fuerza sufre un alargamiento AL. Q I.

Fig. 3.9 La relación AL/L, deformación especifica unitaria, la identificamos con £. Admitiendo para el £ material el cumplimiento de la ley de Hooke, la tensión P o =— , sera proporcional a la deformación £.

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ta«a = — = E £ a =Ke

La constante E, llamada módulo de elasticidad longitudinal, es también conocida como módulo de Young. Es la más importante de las cuatro constantes elásticas.

3.6.2 Módulo de elasticidad transversal (G) Sea un paralelepípedo fijo en su parte inferior y de baja altura lo sometemos a una fuerza P en su cara superior. a

777777777777777777. Fig. 3.11 La deformación que se produce, muy pequeña, es una distorsión (deformación angular); al ángulo lo llamamos y- La tensión (coincidente con el plano de la sección) la designamos como t , siendo:

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(3.9)

T =

P

: Tensión tangencial o

t

Q

de corte De la misma forma que se grafica la relación o-z, puede hacerse con la de t - y- Para el caso del acero común la gráfica representativa, es similar a la ya vista para las tensiones normales. Dentro del campo lineal elástico, la constante que vincula la tensión tangencial con la deformación angular, es llamada módulo de elasticidad transversal (3.10)

tgP = - = G

y r =G y

Distorsión angular Para el acero común:

tf ¡

_ 0 .5 7 (jFl

3.7 Coeficiente de Poisson Al someter a una barra a un esfuerzo axial, además de experimentar deformación según la dirección de la fuerza, el cuerpo también deforma en las direcciones normales a ella. I.

I.

i-AL

f— lí

«ri

A ll

r

P

Fig. 3.13 AL Aa L a Llamando con £L a la deformación específica en dirección de la fuerza y £t la deformación específica transversal, se define como coeficiente de Poisson (o módulo de Poisson) a la relación entre: S L

~

T

1

S t

~

1

f.i = — - ; o bien, m =— = — sL M £t El valor de |j es función del material, aunque su variación es pequeña. En general para materiales isótropos, |j varía entre 0,25 y 0,33. En cualquier caso |j < 0,50. (3.11)

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Valores de í'iiiKim il^ J UlisI íuils solllili l'I material Material Acoro Cobre 13roneo 1J ierro fluid ¡do Aluminio Madera fparale!a a la fibra) 1Jormigón Manipostería de ladrillo Caucho Corcho

H (l/cm") 2.000 a 2.100 1.160 a 1.300 1.100

75ü a 1600 760 80 a 120 150 a 350 < 120 0.01 -

LL

0.22 a 0.33 0.3 1 a 0.34 0.32 a (1.35 0.23 a (1.27 (1.32 a 0.36 -

0.10 a (1.20 -

0.47 * 0.00

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3.8 CONCEPTOS D E COEFICIENTES D E SEGURIDAD, D E TENSIÓN A D M ISIB LE Y D E CARGA A D M ISIB LE En el primer ítem de este capítulo hemos enunciado algunas de las causas que pueden provocar la falla de una pieza. Al realizar el dimensionamiento debemos crear seguridad contra todas las clases de falla posible, la cual puede producirse por coincidir varias circunstancias desfavorables, por ejemplo, un crecimiento no previsto de las cargas que gravitan en las secciones, cuya resistencia se ha debilitado por la existencia de vicios ocultos. La teoría de probabilidades nos enseña que no se puede lograr una seguridad absoluta, lo único que puede hacerse es mantener reducidas las probabilidades de falla. “ La seguridad de una construcción siempre estará amenazada por incertidumbres, será satisfactoria cuando las probabilidades de falla queden por debajo del valor considerado como admisible” . Existen numerosas causas de incertidumbres: • Las hipótesis de cargas • Las hipótesis de cálculo • Los errores de cálculos • Defectos del material • Errores de las dimensiones • Errores de ejecución • Etc.

El método de cálculo fundamental y más difundido de los Coeficientes de Seguridad es el basado en las tensiones. Según este método, el cálculo de la resistencia se realiza controlando el valor de la tensión máxima que se produce en cierto punto de una estructura. La tensión máxima de trabajo no debe superar cierto valor. (3.12) V /

<7max . —

V

a L: cierto valor límite de la tensión para el material dado. v : un número mayor que la unidad denominado “ coeficiente de seguridad” Para el caso de materiales dúctiles el valor límite a L es el límite de fluencia, en el caso de materiales frágiles aL es el límite de resistencia o tensión de rotura. La relación a L / v recibe el nombre de “ tensión admisible” . (3.13) V

La elección del coeficiente de seguridad depende del mayor o menor grado de incertidumbre que exista en un problema, y se realiza basándose en toda una

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serie de criterios, en general probabílisticos, que escapan a los alcances de este curso. Existen reglamentos que establecen los criterios de Dimensionamiento del coeficiente de seguridad, por ejemplo, AISC. Para los casos más frecuentes ya existen valores establecidos de los coeficientes de seguridad. Podemos hacer referencia a disposiciones reglamentarias que tratan sobre construcciones de acero; indican valores que varían entre 1.25 y 1.60 según los recaudos constructivos, el destino de los edificios y los estados de carga considerados. Para estructuras de hormigón armado, los coeficientes de seguridad varían entre 1,75 y 2,10. Para el caso de la madera, material que presenta muchas incertidumbres en cuanto a su comportamiento, los coeficientes de seguridad suelen ser bastantes más grandes. Una expresión que es usada con frecuencia para dar un concepto del coeficiente de seguridad, es que éste representa el incremento que debería tener el estado de cargas para producir el colapso de la pieza. Debemos señalar que si bien esto puede ser cierto, solamente lo será si los demás parámetros que intervienen en el problema están totalmente controlados, y no existe ninguna incertidumbre respecto de ellos. En los materiales que tienen un período lineal elástico, la tensión admisible se encuentra en dicha zona, por lo tanto puede considerarse como valida la ley de Hooke, ya que la tensión de trabajo resulta menor o igual que la admisible. Para los materiales donde no existe un período elástico bien definido, también puede considerarse valida la ley de Hooke ya que para valores bajos de las tensiones, el diagrama a - £ se aproxima bastante a una recta.

C7

U.2

Fig. 3.14: Tensiones admisibles en los distintos tipos de materiales Al criterio utilizado para determinar el valor del coeficiente de seguridad basado en relación de tensiones lo llamaremos criterio elástico. Además de este existe otro al cual lo llamaremos plástico. La denominación utilizada para identificar a cada criterio, está relacionada al método de cálculo empleado para establecer valores de solicitaciones en la estructura: es decir que un método de cálculo elástico, y método de cálculo plástico.

24


4.- DEFINICION DE LOS ESTADOS TRIPLES, DOBLES Y SIMPLES DE TENSIONES Consideremos el caso de un sólido en equilibrio bajo la acción de cargas exteriores y aislemos del interior del cuerpo un cubo elemental de aristas dx, dy y dz, de manera que las cargas pueden orientarse según el sistema de referencia. Sobre cada una de las caras existirá un vector tensión total de manera tal que el cubo elemental se encuentre en equilibrio. Estos vectores pueden proyectarse según los ejes de referencia de manera que en cada una de las seis caras tendremos en general una tensión normal y dos tensiones tangenciales perpendiculares entre sí. Un estado de tensiones de estas características se dice que es un “ estado triple o espacial” . En determinadas circunstancias las cargas actuantes sobre el cuerpo hacen que las tensiones sobre el cubo elemental queden ubicadas dentro de un plano. Este estado se denomina “ doble o plano” . Cuando los vectores tensión son paralelos a un eje el estado se denomina “ simple o lineal” . En realidad, la definición de un estado como simple, doble o triple no solo depende de estado de cargas actuante sino de la orientación del cubo elemental. Como veremos más adelante, el estado simple puede pasar a ser un estado doble si el elemento diferencial tiene una rotación, inclusive puede convertirse en un estado triple. El proceso al revés no siempre es factible. Es decir, si tenemos un estado doble, por ejemplo, es probable que no encontremos, por rotación del elemento, una posición para el cual el estado sea lineal.

25


Fig. 4.2 Para poder entendernos con claridad el referirnos a las tensiones, vamos a establecer ciertas convenciones: a¡: el subíndice i indicará al eje respecto del cual las tensiones normales son paralelas ( ox, oy, az ). Serán positivas cuando produzcan tracción. Tjj: el subíndice i indicará el vector normal al plano donde actúan las tensiones tangenciales, y el subíndice j indicará el eje al que resultan paralelas (Txy» Txz, Tyz, Tyx, Tzx, Tzy ). Tanto las tensiones normales como las tangenciales varían punto a punto en el interior de un cuerpo, por lo tanto, debemos tener presente que las tensiones quedan expresadas como funciones: o = o(x,y,z); t = T(x,y,z)

4.1 EQUILIBRIO D E UN PRISM A ELEMENTAL Consideremos, como en la figura 4.3, un punto A correspondiente a un sólido sujeto a tensiones, punto que hacemos coincidir con el origen de coordenadas; y tres planos perpendiculares que pasan por el punto, coincidentes con los planos coordenados. Supongamos además un segundo punto B del mismo sólido, de coordenadas dx, dy y dz. Admitiremos que las funciones que definen las tensiones en los puntos del sólido son continuas y derivables. Las tensiones que actúan en los planos que pasan por B pueden definirse como las que actúan en los planos paralelos pasantes por A mas el correspondiente incremento. Así tendremos, por ejemplo, 0o y a h---- -<]*

& tomando como incremento el primer termino del desarrollo en serie de Taylor. El prisma elemental estará sometido a fuerzas actuantes en sus caras como consecuencia de las tensiones, además existirá una fuerza de masa que supondremos aplicada en el baricentro. Llamaremos X, Y, Z a las componentes de dicha fuerza por unidad de volumen.

26


Si planteamos el equilibrio del prisma elemental tendremos:

Tyx +¿)Tyx dy

I

CTx +c)CTx dx Ò *

Fig. 4.3

v di —

+1 v + - ^ - dJ (V '

d \ tlz - T

ítj

dz

3\

Ó l

d v d z + ^ T = + ^ ' L [|/. |[|\ d i — T 11 ilx d> +

d.v dz + \ d.v dv [|y. = (I

3*sll

Ì

£j-

J

— - + — — + —:— + \

d i d ) ilz = 0

Planteando además IFy=0 y IFz=0 se llega a:

27


fe.

&l-&y

t?v

(4 .1 )

^

L 4

d*

&y

„ á*

^

^

di.

+ V = 0 ECUACIONES DIFEREN CIALES DEL EQ U ILIBRIO

&j-

Continuando con las ecuaciones de momento, donde suponemos trasladada la terna de ejes al baricentro del elemento, tendremos:

£ \ i* =o

C*. ilv Tf, +-¿rd> d \ d z — +T ^ y

ih

rl\ iir. — —

(4.2) dt„

¿i

dz I

Despreciando diferenciales de orden superior nos queda: d i d y dz — t j;i il\ i K d i = = 0 U

T ,. = T ,

I d é n licaiHiCnif

(4.3)

= o -> ^ M ít= 0 - j.

tu

= t^

t,

Estas últimas ecuaciones reciben el nombre de “ LEY DE CAUCHY o LEY DE RECIPROCIDAD DE LAS TENSIONES TANGENCIALES” , cuyo enunciado es: “ En dos planos normales cualesquiera, cuya intersección define una arista, las componentes normales a ésta de las tensiones tangenciales que actúan en dichos planos, son de igual intensidad y concurren o se alejan de la arista” . Las ecuaciones diferenciales del equilibrio tienen nueve incógnitas, las que considerando la ley de Cauchy se reducen a seis. Ahora bien, siendo que sólo disponemos de tres ecuaciones, el numero de incógnitas excede el número de ecuaciones, con lo que concluimos que este problema resulta ESTATICAMENTE INDETERMINADO. Las ecuaciones que faltan pueden obtenerse sólo si se estudian las CONDICIONES DE DEFORMACION y se tienen en cuenta las propiedades físicas del cuerpo dado (por ejemplo la ley de Hooke). La determinación del estado tensional de un cuerpo siempre resulta indeterminada por condición interna e implica la consideración de ecuaciones de compatibilidad, las cuales establecen relaciones entre las deformaciones, en forma similar como las ecuaciones diferenciales del equilibrio relacionan a las tensiones entre sí.

28


4.2 DEFORM ACIONES EN EL ESTADO TRIPLE La experiencia demuestra que cuando se produce el estiramiento de una barra, el alargamiento longitudinal va acompañado de acortamientos transversales que son proporcionales al longitudinal. Si en un cubo diferencial actúa solamente ax tendremos:

Si además actúa ay tendremos un valor adicional:

Y lo mismo si actúa az. En consecuencia podemos establecer las siguientes leyes:

(4.6)

E

tz - u t , +° . l

Puede demostrarse que las tensiones tangenciales no provocan alargamiento ni acortamientos, sólo cambios de forma, de modo tal que puede establecerse:

Fig. 4.4 (4.7)

29


4.2.1 Relación entre E y G Si en un cuerpo sometido a tensiones consideramos un elemento diferencial en una determinada posición, la energía de deformación por unidad de volumen correspondiente al mismo deberá mantenerse se la suponemos rotado. Si tenemos un prisma elemental sometido a corte puro, sabemos que a 45° de esa posición nos encontraremos en el elemento sometido a tensiones de tracción y compresión, las que en valor absoluto serán iguales entre sí e iguales e la tensión tangencial. Si evaluamos la energía de deformación por unidad de volumen en ambos casos obtendremos: i i1

U = ------

2 G

u=

(4.8)

+ CT! - í | » O i O i ] = ^ [ 2 t I + l í « a]

1+ U ; I u —------ i = -----x E

2C

i

->

I + LL 1 ----- = ----E

2C

G =

2(] + ^i)

Fig. 4.5

4.3 ESTADO D O B LE Variación de las tensiones en el punto según la orientación del plano. Un elemento definido por tres planos normales entre sí, esta sometido a un estado plano, cuando las tensiones en dos de sus caras son nulas. Analicemos el elemento de la figura:

30


dx = ds. son a á\ = d s . c o s c í

2 \

Fig. 4.6

Adoptamos las siguientes convenciones de signos: Tensiones normales: serán positivas cuando produzcan tracción. Tensiones tangenciales: serán positivas cuando produzcan un giro de momento con sentido horario con respecto a un punto interior del prisma. Angulo a: El ángulo se mide a partir del plano vertical y se considera positivo cuando es antihorario. El plano definido mediante el ángulo a es paralelo al eje z. Los tres planos determinados por los ejes x, y, y el ángulo a pasan por el mismo punto; de allí que no tenemos en cuenta fuerzas de masa sobre dicho elemento. Recordamos por Cauchy: |Txyl=

I Tyx I

Planteando proyecciones de fuerzas sobre la dirección 1, por razones de equilibrio tenemos:

31


^Ks/dircc I =11 i l \ s e n a I - o , < l \ s r n a I + t j% t l \ c o s a 1 = 0

I -o ,(lj cosa I +

o , = o

cosa

I

+ o .'c n a

1

— 2t . . s c « u c o s a = o

V

*c o sa

1

+ o .sc n a

I

.

+-

al l f L . T ^ n2a =f i ± f i +E n c a s a 1- l)+ — (2'cnaJ - 1)2 2 2 v ’ 2 ' '

- t %)vcn2a = —

Cj - f

(«os! a - scii!a ) + ^j-je o s’ a - je n ’a ) —t^ scn Z a

(4 -9 )

CT

■

-

> 2

*

y

cov2ct

si'n2a

2

Similar a lo anterior, proyectamos fuerzas sobre la dirección 2: K s / d ir< ( 2 = 0

^

T 0 c l s I - a , < |\ s e n a I —

tly c o s a I + a ?
t „ = ( c t , - o , ) i o s a s e n a + t v ( c o s : a - N c n Ja

io )

< l\ s e n a I = 0

)

^ t =---- —sen2 a+

’

, eos2a

Las tensiones vinculadas a dos planos perpendiculares se denominan tensiones complementarias. Para calcularlas podemos reemplazar en las ecuaciones anteriores, que son válidas para cualquier ángulo a, por ( a+90°). (cr, + o , J a'

o , -cr, )

= — ------ ----------------- — t o s 2cl — i

=

sen2a'

+ CTl 2 ° " ( ~ c o s 2 a ) ~ T--' ( ~ sci| 2 a )

Si analizamos la siguiente suma: (4.11)

a< *+ G “ ~ ° 'í +
32


Podemos ver que la suma de las tensiones normales correspondientes a dos planos ortogonales se mantiene constantes, por lo que a esta suma se la denomina invariante de tensiones.

4.3.1 Valores máximos y mínimos, círculo de Mohr En el ítem anterior hemos visto la manera de poder calcular el valor de las tensiones cuando el prisma elemental tiene una rotación, ahora vamos a tratar de determinar la rotación que debería tener para que las tensiones alcancen valores extremos. — — = -(cr - Cf ),eii2a - 2x tía v 1 ' r

'■

eos2 a = 0

(4.12) Observando esta última ecuación, podemos ver que la misma queda satisfecha por dos valores de a, los cuales difieren entre sí 90°. Reemplazando entonces en la ecuación 3.8 por estos valores llegamos a obtener las expresiones correspondientes a las tensiones normales máxima y mínimas. Para ello nos apoyamos en la construcción gráfica de la figura, de donde resulta muy simple obtener los valores de eos 2ao y sen 2ao.

-2Txy Fig. 4.7

O

«■+«r± k -

* C>±

+

33


(4.12) Si calculamos el valor de

t q

para aCT

T

(4.13) Podemos ver que las tensiones máximas y mínimas, no sólo se producen simultáneamente en planos ortogonales, sino que al mismo tiempo en dichos planos las tensiones tangenciales son nulas. Las tensiones máximas y mínimas se denominan “ tensiones principales” y los ejes perpendiculares a los planos donde actúan, “ ejes principales” . A continuación vamos a tratar de determinar las tensiones tangenciales máximas y mínimas. — 1 = (o, -o ,)co % 2 a -2 T „ se n 2 a = 0

> 2a. difiere90" dt 2a, (4.14) Los planos donde se producen las tensiones principales difieren 45° de aquellos donde las tensiones tangenciales son máximas y mínimas. a . “ a/)

(a » _ a >)

A

xv

(+ 2 t » J

(4.15) Calculemos el valor de

o aT

para

t qt

34


a „ ,

=

° v +(Tv --------- ;------ -—

(20

h-

2

+ 4 t ->3

(4.16) a

J Í ^ . - ^ v )2 + 4tJ

° “r o\ +c

\

--------------

-

a ,i + a ,>

*

2

2

>•

---------- - e o s 2 a - t á s e n l a .

c . -a

---------^scn2a + T„ cos2a.'

í cj - a«. V o,. -

X

V

+ Tr

Esta última expresión resulta ser la ecuación de una circunferencia con centro sobre un eje asociado a las tensiones normales a, y de abscisa (ax + ay)/2. El radio de la circunferencia es: er. -o. (4.17) La propiedad fundamental de esta circunferencia es que cada punto de ella está asociado a un par de valores ( a , t ) correspondiente a un plano. Desde el punto de vista práctico el trazado de la circunferencia es muy simple: - Ubicamos los puntos A y B de coordenadas: A (O x , Txy) B (O y , Tyx) - La circunferencia con centro en C, pasante por A y B define el llamado “ Circulo de Mohr” , cuyo radio coincide con el indicado en la ecuación anterior

35


(4.18)

(4.19)

(4.20)

— a, + a v O C = — ----- -

RC = r= RC: +RA'

=.

+ T,

Si por los puntos A y B trazamos dos rectas paralelas a los planos de actuación de las tensiones que definen los puntos, dichas rectas se cortan en el punto P, el cual presenta propiedades muy importantes. Este punto P se denomina “ punto principal de Mohr” . Si por el punto principal de Mohr trazamos una recta paralela al plano respecto del cual deseamos evaluar las tensiones actuantes, la misma corta a la circunferencia en el punto M.

36


At

A continuación vamos a demostrar que las coordenadas de ese punto (OT;MT) se corresponden con los valores de oa y tq. P=2a+0 O T = O C + C T = O C + r c n s p = O C + r e
O T = O C + r ( e « s 2 a c« s0 -S L 'n 2 a si’nB)

y

*

x

i

>

jcy

----- - + r eo s 2 a ----------—- r SL'n2a —2

2 i*

i*

O T = — ------ - + — ------- c o s 2 a - T

2

2

l>

scn 2 a = a \

T.M = rs c o p = r s c n ( 2 a + 0 )

= r s o n 2 a eos 0 + r e o s 2 a scn 0

-----

a

-n

T.M = ------ - son 2a + 1

2

!

cos2a = x

El círculo de Mohr no sólo resulta práctico para determinar las tensiones presentes en un plano cualquiera, sino que a partir del mismo pueden obtenerse las tensiones principales y sus planos principales, o las tensiones tangenciales máxima y mínima. En el círculo de la figura hemos representado las tensiones recientemente mencionadas y sus correspondientes planos de actuación. En el

37


mismo también puede verse que en correspondencia con las tensiones principales existen tangenciales nulas.

A través del círculo de Mohr podemos analizar algunos casos particulares que nos interesan, a) Corte puro

Fig. 4.11 En este estado vemos que existe un elemento girado a 45° con respecto al solicitado por corte puro, tal que sus caras están sometidas a tensiones normales de tracción y compresión, iguales en valor absoluto y numéricamente iguales a la tensión tangencial.

38


b) Tracción simple

(T

4.4 Trazado del círculo de Mohr en el estado triple Así como es posible determinar las tensiones principales en un estado doble, éstas también pueden calcularse en un estado triple. Si suponemos que estas tensiones son conocidas, es posible demostrar que el par de tensiones ( a , t ) correspondiente a un plano inclinado cualquiera se corresponde con las coordenadas de cierto punto ubicado dentro del área rayada indicada en la figura, encerrada por los círculos, definidos, en este caso por las tres tensiones principales.

AT

Fig. 4.13

39


Un hecho importante a destacar es el que se observa en el circulo, tenemos un estado triple donde a3=0, y puede verse que la tensión tangencial máxima resulta mayor que la que correspondería al estado plano correlacionado con las tensiones principales a1 y a2 exclusivamente. ÀT

40


5 TORSIÓN

5.1 INTRODUCCION Podemos decir que un cuerpo está sujeto en una sección a torsión simple, cuando la reducción de las fuerzas actuantes sobre éste, a un lado de la sección, da como resultado una cupla que queda contenida en el plano de la misma. El problema de torsión simple se presenta muy pocas veces, ya que en general aparece la torsión combinada con flexión y corte. Sin embargo, lo que estudiaremos es totalmente general, dado que aplicando el principio de superposición de efectos, a partir del problema de torsión simple puede llegarse a otros casos de torsión compuesta.

5.2 SECCIO N CIRCULAR Para esta sección es valida la hipótesis de Coulomb, la cual se verifica experimentalmente tanto en el caso de secciones circulares macizas como huecas. La hipótesis referida establece que las secciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí misma luego de la deformación por torsión. Además, luego de la deformación, las secciones mantienen su forma (estamos dentro del período elástico). Como consecuencia de lo enunciado resulta que las secciones tienen rotaciones relativas, de modo que las rectas trazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida. Por otro lado, las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices. A partir de las consideraciones anteriores, que están relacionadas con la compatibilidad de las deformaciones, deseamos saber qué tipo de tensiones genera la torsión simple y cual es su distribución. Supongamos en primera instancia que aparecen tensiones normales a. Su distribución no podría ser uniforme ya que de ser así existiría una resultante normal a la sección. Al distribuirse entonces en forma variable, según la Ley de Hooke, las deformaciones especificas £ variaran también punto a punto, y la sección no continuaría siendo normal al eje, no siendo válida la hipótesis de Coulomb, que indica que la sección se mantiene plana. En virtud de lo anterior sólo resta considerar que en el problema de torsión aparecen únicamente tensiones tangenciales. A su vez, para que las tensiones constituyan un sistema estáticamente equivalente al momento torsor Mt debe ocurrir que:

41


| rzv¿ID. = 0 Q | T ZYd Q . = 0

Q | {jy yy + TZy X^c/Q = Mt

(6.1)

o Resulta evidente que si tomamos un elemento diferencial en coincidencia con el borde de la sección, la tensión tangencial t deberá ser tangente a la circunferencia, ya que de no ser así existirá una componente de t radial, la que, por Cauchy, originaría una tensión tangencial aplicada sobre una generatriz del cilindro.

Fig. 5.1

Esto que ocurre en el borde puede admitirse que también acontece en el interior, con lo que las tensiones tangenciales beberían ser normales al radio. De lo visto podemos obtener algunas conclusiones Sólo existen tensiones tangenciales. Su distribución a lo largo de un diámetro es altimétrica. Su dirección es normal al radio. A continuación trataremos de establecer la ley de distribución de las tensiones. Para ello consideramos que aislamos de una barra torsionada una tajada de longitud unitaria. El ángulo que giran ambas secciones será 0, y como la separación entre las secciones es la unidad, a este ángulo la denominaremos “ ángulo específico de torsión” .

42


ÁÁ'= r 0 = y I -> 0 = -*-

BIV= R 0 = y. m I -> 0 = ^R-

1 = 1*, Y r (6 .2 ) El ángulo y resulta ser el “ ángulo de distorsión” de la sección. Debemos tener presente que si el ángulo 0 es pequeño entonces los arcos se confunden con las tangentes, lo que permite establecer y = tg y. De acuerdo a la ley de Hooke: T = y G = — G r =0 G r R

(6.3)

t = 0

G r

Fig. 5.2

Se puede apreciar que las tensiones tangenciales varían linealmente con el radio, alcanzando su valor máximo en el borde de la sección: ' ma\ - G 0 R Mt = [ i r dQ = ÍCj 0 r2 dQ a n Mt = G 0 r2 dQ = G Ü I |)

J

0=

Vil L

(6.4) Mi

T= — r

(6.5)

El ángulo de torsión específico 0 resulta directamente proporcional al momento torsor e inversamente proporcional al producto G. Ip que recibe el nombre de “ Rigidez a la torsión” y que mide la resistencia a dejarse retorcer. Para el dimensionamiento debemos tener acotado el valor de la tensión tangencial máxima.

43


5.3 Sección Anular Si analizamos un elemento diferencial del interior de una barra circular torsionada encontraremos un estado de corte puro. Como ya hemos visto, para este caso las tensiones principales resultan iguales en valor absoluto y de signo contrario e iguales al valor de las tensiones tangenciales. Además actúan a 45° con respecto a los planos de las secciones, formando superficies helicoidales. T

16 M t

(6 .6 ) Vamos a comparar la eficiencia de una sección anular para absorber torsión con relación a una sección maciza de igual resistencia.

/N

Fig. 5.4

T

T

^

[) = \-)Aji~OL

d2 (6.7) D: diámetro de la sección maciza igualmente resistente a la hueca.

44


(6 .8 )

4

4

Puede verse que, 1 > ip , lo que significa que la sección hueca es más conveniente que la sección llena ya que siempre se requiere menor área para resistir el mismo esfuerzo. No debemos confundir área con diámetro, ya que para igual resistencia el diámetro de la sección maciza será menor que el exterior de la hueca. Lo que importa es que aún con menor diámetro, la sección maciza es siempre más pesada y por ende más cara. Lo que concluimos recientemente se debe a que las tensiones desarrolladas en la parte central de la sección maciza son muy pequeñas y no tienen un aporte muy significativo, por lo que para resistir a la torsión las secciones más convenientes son las huecas. En efecto, si consideró una sección anular tal que D2 = 2 Di, o sea a= 0.50, obtendremos ip= 1.28. Vemos entonces que la sección maciza igualmente resistente es un 28% más pesada que la anular.

5.4 SECCIÓ N TUBULAR CERRADA D E PEQUEÑO E SP E SO R Consideremos una sección tubular de forma arbitraria pero de paredes muy delgadas con relación a la menor dimensión de la misma, sometida a torsión. Admitamos también que el espesor e del tubo varía en forma continua. Debido al pequeño espesor del tubo es posible suponer que las tensiones tangenciales son constantes en intensidad y dirección a lo largo del espesor, y que la dirección coincide con la tangente al contorno medio de la sección en el punto considerado. Si en una sección s-s tomamos un elemento diferencial de ancho e y longitud ds, sobre el mismo actuará una fuerza elemental dT.

7

Fig. 5.5

45


(6.9) clT = icds Si elegimos un punto cualquiera del plano de la sección y llamamos r a la distancia al mismo de la fuerza dT tendremos: ... Mt = frd/'= frcií/s (6.10) i l Si separamos del tubo una tajada de longitud unitaria y luego aislamos una porción seccionando al eje del tubo, tendremos que según la ley de Cauchy aparecen tensiones verticales que dan dos resultantes Ti y T2, las cuales deberán ser de igual intensidad por razones de equilibrio.

i,

Tl e i =

Tj i;.

Dado que las secciones 1 y 2 son arbitrarias, de lo anterior podemos establecer: r-e = cte M t = JV c i í /v = t e jV ds

(6.11)

T_

Mt

Fórmula de Bredt

2 c fi

Q: área que encierra la línea media de la sección Puede verse que en este tipo de sección la tensión tangencial es inversamente proporcional al espesor de la misma, lo que significa que la tensión tangencial máxima ocurre en el lugar donde el espesor es mínimo. Si deseamos conocer el ángulo especifico de torsión, podemos calcularlo a través de consideraciones energéticas. Text = U

Si tomamos una porción del tubo de longitud unitaria, el giro relativo entre las dos secciones extremas será igual al ángulo específico de torsión. 2

J 2G

L dimu± f U i

■ *44 ?‘í}* 2G

Mt 0 (6 12)

2

8 n 2Ci

V

M t2 rds —

„

—> 0 — ■

M ii

4ÍÍ

ras

-'G 1 e

5.5 SECCIÓ N RECTANGULAR En barras de sección no circular, durante la torsión las secciones no permanecen planas, sino que se curvan (alabean). Si el alabeo no es restringido, entonces en las secciones transversales no aparecen tensiones normales. Esta torsión se denomina torsión pura o libre.

46


Exponemos a continuación los resultados fundamentales para barras de sección rectangular cuando a > b. Si la teoría desarrollada por Coulomb para la torsión circular fuera válida para la rectangular, en un punto como el A de la figura 5.10 debería existir una tensión tangencial ta perpendicular al radio vector rA, lo que daría componentes t z x y Txy no nulas, apareciendo tensiones t x z y Tyz exteriores que contradicen la hipótesis de torsión simple. La hipótesis de Coulomb no es entonces aplicable a la sección rectangular ni a otros tipos de secciones que difieren al circular.

T z

~y z

Fig. 5.6 La solución exacta del problema, atribuida a Saint Venant, como mencionamos antes, pertenece al dominio de la Teoría de la Elasticidad. En la figura siguiente se indica la ley de variación de las tensiones tangenciales, pudiendo apreciarse que la tensión tangencial máxima tiene lugar en el centro del lado mayor.

47


Fig. 5.7 Las tensiones tangenciales máximas y el ángulo específico de torsión pueden calcularse mediante las fórmulas siguientes. Los coeficientes a, (3 y n, que son funciones de la relación de lados a/b, pueden obtenerse de la tabla detallada a continuación.

OO 1.75 2 2.5 3 4 6 8 10 1.5 a/b 1 a 0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333

3

0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333

y

1.00

0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742 Mi

(6.13) (6.14) (6 .1 5 )

- 'w

a a b2

T--íirjax = V

itiax

3 3 á b ‘
5.6 SE C C IO N E S ABIERT AS D E PARED DELGADA Para encontrar la solución a este problema se aplica un método denominado de la Analogía de la Membrana, el cual no lo desarrollaremos en este curso. Para este tipo de secciones se puede suponer una distribución lineal de tensiones a través del espesor. Además, la teoría mencionada muestra que las tensiones varían muy poco si suponen enderezados los perfiles de modo de transformarse en rectángulos muy alargados.

48


Fig. 5.8 Para rectángulos muy alargados resulta: Mi J

m ax

- a

(6.16)

3

0 =■

Mt

1 i3 — ah G

.í (6.17) Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto de rectángulos que absorben, cada uno de ellos, una parte del momento torsor Mt. Como estos rectángulos forman parte de una única pieza, todos tendrán el mismo giro específico de torsión.

Si llamamos: Entonces: Donde Mt, corresponde al momento torsor que absorbe un rectángulo i cualquiera que constituye la sección. Mt

V. M . = Mi

Mi

L

X-1,

(6.18) 0 =-

Mi. - U í

S

Mi

j.

49


En el caso de perfiles laminados, el momento de inercia torsional resulta mayor que el calculado mediante la expresión anterior. Esto se debe a que los contornos redondeados incrementan la rigidez de la sección. Los perfiles abiertos no tienen una buena capacidad para resistir torsión. Vamos a tratar de evidenciar esto comparando las rigideces de dos secciones huecas, una cortada y otra entera.

De este ejemplo puede verse que una sección hueca es mucho más rígida que una sección abierta. Por esto se debe evitar que las barras de sección abierta trabajen a torsión.

50

Apunte Resistencia de Materiales Parte I Corr

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