Apostila PO Daniel 2011

APOSTILA DE PLANEJAMENTO OPERACIONAL

Professor Daniel Carmo

2º semestre de 2011

5º e 6º período

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SUMÁRIO .................................................................. ........................... .... 3 CAPÍTULO 1 – MODELO MATEMÁTICO ........................................... ..................................................................... .............................................. .............................................. ........................... .... 3 1. Definição .............................................. .................................................................. .............................................. ............................... ........ 4 1.1. Modelo Matemático ........................................... .................................................................... ................................... ........... 5 1.2. Tipos de Modelo Matemático ............................................ .................................................................. .............................................. ....................... 6 1.2.1. Modelo de Atividades ........................................... ................................................................. ................... 7 1.2.2. Exercícios – Modelo de Atividades .............................................. .................................................................. ............................................... ................................... ........... 8 1.2.3 Modelo de Dieta ........................................... .................................................................... ............................... ........ 9 1.2.3. Exercícios - Modelo de Dieta ............................................. .................................................................. ............................................ ..................... 11 1.2.4. Modelo de Transporte ........................................... ............................................................... ................. 13 1.2.5. Exercícios - Modelo de Transporte .............................................. ..................................................................... ........................................ ................. 14 1.2.6. Exercícios de Revisão .............................................. .................................................................... .............................................. .................................... ............. 22 2. Método Simplex ............................................. ................................................................... ........................................ ................. 22 2.1. Tipos de Método Simplex ............................................ ..................................................................... .................................... ............. 22 2.2. Método Simplex Algébrico .............................................. ................................................................... ................................. ......... 22 2.2.1. Solução Básica Compatível ........................................... ......................................................... ............. 26 2.2.2. Exemplo – Método Simples Algébrico ............................................ ...................................................... ......... 33 2.2.3. Exercícios – Método Simples Algébrico ............................................. .................................................................... ........................................ ................. 35 TEXTOS COMPLEMENTARES .............................................

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SUMÁRIO .................................................................. ........................... .... 3 CAPÍTULO 1 – MODELO MATEMÁTICO ........................................... ..................................................................... .............................................. .............................................. ........................... .... 3 1. Definição .............................................. .................................................................. .............................................. ............................... ........ 4 1.1. Modelo Matemático ........................................... .................................................................... ................................... ........... 5 1.2. Tipos de Modelo Matemático ............................................ .................................................................. .............................................. ....................... 6 1.2.1. Modelo de Atividades ........................................... ................................................................. ................... 7 1.2.2. Exercícios – Modelo de Atividades .............................................. .................................................................. ............................................... ................................... ........... 8 1.2.3 Modelo de Dieta ........................................... .................................................................... ............................... ........ 9 1.2.3. Exercícios - Modelo de Dieta ............................................. .................................................................. ............................................ ..................... 11 1.2.4. Modelo de Transporte ........................................... ............................................................... ................. 13 1.2.5. Exercícios - Modelo de Transporte .............................................. ..................................................................... ........................................ ................. 14 1.2.6. Exercícios de Revisão .............................................. .................................................................... .............................................. .................................... ............. 22 2. Método Simplex ............................................. ................................................................... ........................................ ................. 22 2.1. Tipos de Método Simplex ............................................ ..................................................................... .................................... ............. 22 2.2. Método Simplex Algébrico .............................................. ................................................................... ................................. ......... 22 2.2.1. Solução Básica Compatível ........................................... ......................................................... ............. 26 2.2.2. Exemplo – Método Simples Algébrico ............................................ ...................................................... ......... 33 2.2.3. Exercícios – Método Simples Algébrico ............................................. .................................................................... ........................................ ................. 35 TEXTOS COMPLEMENTARES .............................................


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CAPÍTULO 1 – MODELO MATEMÁTICO PESQUISA OPERACIONAL 1. Definição Conhecida também como Management Science, o termo Pesquisa Operacional (em inglês: Operations Research ) foi empregado pela primeira vez em 1939 como uma tentativa de englobar, sob uma única denominação, todas as técnicas existentes ou que viriam a ser desenvolvidas e que tinham o mesmo objetivo citado. Num cenário de negócios cada vez mais competitivo, a compreensão de processos e a busca pela eficiência nas empresas deixaram de ser um mero detalhe. Em ambientes de produção em média e larga escala, este trabalho às vezes se revela grande demais para ser resolvido de forma útil sem uma análise mais rigorosa. De modo geral, desafios complexos podem ser reinterpretados pela PO para auxiliar na gestão de recursos. Os problemas são redefinidos matematicamente e as soluções traduzidas para o mundo real. A PO tem como base a utilização de métodos analíticos quantitativos formais visando minimizar custos ou maximizar rendimentos para ajudar na solução de problemas e tomada de decisões, resulta principalmente da formulação de modelos matemáticos para estes problemas e da obtenção de soluções ótimas para eles. Estes problemas podem ter origens em áreas diversas, como Engenharia, Economia, Estatística, Transportes, Administração, etc.. É constituída por um conjunto de disciplinas isoladas, tais como Programação Linear, Teoria das Filas, Simulação, Programação Dinâmica, Teoria dos Jogos, etc.

CONDIÇÕES PARA APLICAR A PESQUISA OPERACIONAL 1 – Toda empresa ou atividade deverá apresentar com clareza o seu objetivo; 2 – Todas as informações terão que ser representadas através de equações ou inequações; 3 – Os O s produtos terão que apresentar pelo menos 1 grau de interdependência; 4 – Pelo menos 1 dos fatores f atores da empresa terá que ser limitado.


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PROGRAMAÇÃO LINEAR A Programação Linear (PL) é uma técnica de planejamento que vem se constituindo como uma das mais poderosas em quase todo ramo da atividade humana. Seus benefícios são exatamente aqueles procurados por qualquer empresa: diminuição dos custos e aumento dos lucros. Em algumas empresas ela está, inclusive, embutida em suas rotinas informatizadas de planejamento diário dos processos de operação. Esta técnica foi criada em 1946 e tem sido aplicada nas áreas mais diversas. Algumas aplicações se tornaram clássicas, tais como: •

Formulação de alimentos, rações e adubos;

•

Blendagem de ligas metálicas e petróleo;

•

Transporte;

•

Localização industrial;

•

Carteira de ações (Investimentos);

•

Alocação de recursos em fábricas, fazendas, escritórios, etc;

•

Designação de pessoas e tarefas (Composição de tabelas de horários);

•

Corte de barras e chapas.

Vantagens O objetivo da PL é encontrar o lucro máximo ou o custo mínimo em situações reais.

1.1.

Modelo Matemático

Consiste em representar toda a empresa através de equações e inequações de modo que seja identificado a produção ideal.

1 – DEFINIÇÃO DA VARIÁVEL Leva em consideração o período e a unidade a ser utilizada. Ex.: Uma empresa fabrica por mês 10 unidades de cadeiras e 5 unidades de mesa. X1 – número de cadeiras a ser fabricado em unidades por mês. X2 – número de mesas a ser fabricado em unidades por mês. _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional – Professor Daniel Carmo 4

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2 – FUNÇÃO OBJETIVA É o objetivo da empresa Zmáx = LUCRO Zmín = CUSTO Ex.: A cadeira tem lucro de R$5,00 e a mesa um lucro de R$10,00 Cadeira – 5,00 . X1 Mesa – 10,00 . X2 Zmáx = 5,00X1 + 10,00X2 

Zmáx = Lucro1.X1 + Lucro2.X2

3 – RESTRIÇÕES: Fatores limitantes da empresa (mão-de-obra, matéria-prima, demanda, equipamentos, etc). Ex.: Estará disponível 50 m 2 de fórmica por mês para aplicar na produção. O equipamento é alugado e terá que funcionar no mínimo 200hs por mês. Uma cadeira gasta 0,5 m 2 de fórmica e 1 hora de equipamento e a mesa gasta 1,0m 2 de fórmica e 2 horas de equipamento. Fórmica – 50 m 2 /mês 2 Cadeira – 0,5 m /mês . X1 Mesa – 1,0 m 2 /mês . X2

Equipamento – 200 h/mês Cadeira – 1 h/mês . X1 Mesa – 2h/mês . X2

0,5X1 + 1,0X2 < 50

Não Negatividade 1.2.

1X1 + 2X2 > 200

X1 > 0 e X2 > 0

Tipos de Modelo Matemático

•

MODELO DE ATIVIDADES

•

MODELO DE DIETA

•

MODELO DE TRANSPORTE

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1.2.1. Modelo de Atividades Uma empresa fabrica um produto em dois modelos, modelo A e modelo B. Par fabricar 1 unidade do modelo A, a empresa possui um custo de R$ 3,00 e para fabricar 1 unidade do modelo B, a empresa possui um custo de R$ 4,00. A demanda do produto não é superior a 5000 unidades por mês, e a demanda do modelo A, não é inferior a 1000 unidades por mês. A empresa possui um capital de R$ 6.000,00 para aplicar na linha de produção. O preço de venda do modelo A é de R$6,00 por unidade e o preço de venda do modelo B é de R$ 5,00 por unidade. Par fabricar o produto, a empresa utiliza um equipamento que se apresenta com uma disponibilidade de 3000 hora/mês e que para fabricar 1 unidade do modelo A é necessário 5 horas deste equipamento e que para fabricar 1 unidade do modelo B é necessário 6 horas do equipamento. Sabe-se ainda, que a proporção entre o modelo A e o modelo B, não é superior a 2. Formule o modelo matemático que representa a empresa. Rascunho: Custo MA

R$ 3,00

MB

R$ 4,00

Demanda

Demanda ≥

≤

500

Capital

Preço Venda

Equipamento

R$ 6,00

5h

R$ 5,00

6h

100

≤

6000

≤

Proporção

X1/ X2 ≤ 2

3000 h/Mês

1 – Descrição das variáveis X1 – é a quantidade em unidades a ser fabricado do modelo A por mês. X2 – é a quantidade em unidades a ser fabricado do modelo B por mês.

2 – Função Objetiva MA

PV = 6,00 MA C = 3,00 Lucro = 3,00

MB

PV = 5,00 C = 4,00 Lucro = 1,00

Zmáx = 3,00X1 + 1,00X2

3 – Restrições Demanda – X1 + X2 ≤ 5000 X1≥1000 _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional – Professor Daniel Carmo 6

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Capital – 3,00X1 + 4,00X2

≤

6000

Equipamento – 5X1 + 6X2

≤

3000

Proporção – X1 / X2 ≤ 2 X1 – X2 ≤ 0

4 - Não negatividade X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

1.2.2. Exercícios – Modelo de Atividades 1 – Certa empresa fabrica dois tipos de produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de 1000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1800 unidades monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual é o planos de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? 2 - Suponhamos que uma fábrica de automóveis produz 03 modelos de carros. Modelo simples, modelo luxo e modelo super-luxo. Cada modelo simples, gasta no setor de montagem 49 horas, no setor de pintura 11 horas, e no setor de acabamentos 43 horas, cada modelo luxo, gasta no setor de montagem 52 horas, no setor de pintura 15 horas, e no setor de acabamentos 35 horas, e cada modelo super-luxo, gasta no setor de montagem 61 horas, no setor de pintura 16 horas, e no setor de acabamentos 49 horas. Sabe-se que o setor de montagem pode funcionar 200 horas por mês, o setor de pintura 150 horas e o setor de acabamento até 190 horas por mês. Em uma pesquisa de mercado verificou-se que a demanda do modelo simples não seria maior do que 300 unidades, a do modelo luxo, não seria maior do que 190 unidades e a do modelo superluxo, não seria maior do que 60 unidades por mês. Tendo sido feito uma verificação no custo, encontrou-se que cada modelo simples proporciona um lucro de 40 u. m., cada modelo luxo um lucro de 60 u. m., e cada modelo super-luxo de 59 u. m. 3 – Uma fábrica de artefato de concreto produz 2 tipos de blocos: 10x20x40 e 15x20x40. A demanda diária da produção da fábrica não é superior à 48.000 blocos por dia. A empresa possui matéria-prima capaz de produzir até 24.000 blocos do tipo 15x20x40. O bloco 10x20x40 consome 2/3 do material correspondente ao bloco 15x20x40. A demanda do bloco 10x20x40 é de no máximo 15.000 unidades diárias e, a demanda do bloco 15x20x40 não é superior a 9.000 unidades diárias. Para fabricar os blocos, a empresa utiliza uma máquina que é alugada e produz os 2 tipos de blocos. Se a máquina fabricar só o bloco 10x20x40. Ela terá que produzir no máximo 40.000 unidades diárias por motivos contratuais. Sabendo-se ainda que para ao fabricar 1 bloco 15x20x40 é gasto o dobro do tempo para fabricar o bloco 10x20x40. O lucro unitário para produzir os produtos levando-se em consideração que o produto será vendido em milheiro é de (lucro): _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional – Professor Daniel Carmo 7

_____________________________________________________________________________________________________________________________________ • •

Bloco 10x20x40: R$ 100 – o milheiro Bloco 10x20x40: R$ 110 – o milheiro

1.2.3 Modelo de Dieta Uma empresa é forçada pelo médico a fazer um dieta alimentar. Esta dieta deverá apresentar as seguintes quantidades de vitaminas em miligramas por dia, quantidades estas mínimas aceitáveis. Vitamina A – 200ml, Vitamina B – 100ml, VitaminaC – 150ml e Vitamina d – 200ml. A dieta será constituída por 3 produtos, carne, leite e arroz. O custo de cada produto é o seguinte: carne – 4,50Kg, leite – 1,0lt e arroz – 0,90Kg. O teor de vitamina em ml por unidade de medida é apresentado no quadro abaixo: Carne Arroz Leite

VA 20 25 30

VB 40 20 30

VC 40 30 15

VD 10 20 25

1 – Definição de Variáveis X1 – quantidade de carne em Kg a ser consumida por dia X2 – quantidade de leite em litros a ser consumida por dia X3 – quantidade de arroz em Kg a ser consumida por dia

2 – Função objetiva Zmín = 4,50X1 + 1,00X2 + 0,90X3

3 – Restrições 20X1 + 23X2 + 30 X3 ≥ 200 40X1 + 20X2 + 30X3 ≥ 100 40X1 + 30X2 + 15X3 ≥ 150 10X1 + 20X2 + 25X3 ≥ 200

4 – Não negatividade X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 X3 ≥ 0


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1.2.3. Exercícios - Modelo de Dieta 1 – Uma determinada empresa está interessada em maximizar o lucro mensal proveniente de quatro de seus produtos, designados por I, II, III, IV. Para fabricar esses quatro produtos, ela utiliza dois tipos de máquinas (M1 e M2) e dois tipos de mão-de-obra (MO1 e MO2) que têm as seguintes disponibilidades:

Máquinas M1 M2

Tempo disponível (máquina-hora / mês) 80 20

Mão-de-obra MO1 MO2

Tempo disponível (homem-hora / mês) 120 160

O setor técnico da empresa fornece os seguintes quadros de produtividades: a) Número de máquina-hora para produzir uma unidade de cada produto:

Máquinas

Produtos I

II

III

IV

M1

5

4

8

9

M2

2

6

-

8

Então para se produzir uma unidade do produto I consome-se 5 máquinas-hora da máquina M1 e 2 máquinas-hora da máquina M2. O produto III não necessita da máquina M2 e consome 8 horas da máquina M1 para cada uma de suas unidades produzidas.

b) Número de homem-hora para produzir uma unidade de cada produto:

Mão-de-obra

Produtos I

II

III

IV

MO1

2

4

2

8

MO2

7

3

-

7

Precisa-se então de 2 homens-hora da mão-de-obra MO1 e de 7 homens-hora de mão-de-obra MO2 para fabricar uma unidade do produto I. _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional – Professor Daniel Carmo 9

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O setor comercial da empresa fornece as seguintes informações:

Produtos

Potencial de Vendas (unidades/mês)

Lucro unitário ($/unidade)

I

70

10.00

II

60

8.00

III

40

9.00

IV

20

7.00

Deseja-se saber a produção mensal dos produtos I, II, III, IV para que o lucro mensal da empresa, proveniente desses quatro produtos, seja máximo. Formule o modelo de programações lineares que expresse o objetivo e as restrições dessa empresa.

2 – Uma determinada pessoa é forçada pelo seu médico a fazer uma dieta alimentar que forneça, diariamente, pelo menos as seguintes quantidades de vitaminas A, B, C, D.

Vitaminas

Quantidade mínima diária (mg)

A

80

B

70

C

100

D

60

A dieta deverá incluir leite, arroz, feijão e carne, que contém os seguintes miligramas de vitaminas em cada uma das suas unidades de medida:

Vitaminas

Alimentos Leite (l)

Arroz (Kg) Feijão (Kg)

Carne (Kg)

A

10

5

9

10

B

8

7

6

6

C

15

3

4

7

D

20

2

3

9

Assim, um litro de leite contém 10 mg de vitamina A, 8 mg de vitamina B, 15 mg de vitamina C e 20 mg de vitamina D. Os custos unitários desses alimentos são os seguintes: _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional – Professor Daniel Carmo 10

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Leite – R$ 1.00/l Arroz – R$ 0.80/Kg Feijão – R$ 1.20/Kg Carne – R$ 3.50/Kg Deseja-se saber o consumo diário de cada um desses alimentos de tal maneira que a dieta satisfaça as prescrições médicas e seja a de menor custo possível.

3 – Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carnes e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada unidade de ovo custa 2,5 unidades monetárias. 4 – Um jovem estava saindo com duas namoradas. Tiêta e Gabriela. Por experiência, que: a) Tieta, elegante, gosta de freqüentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma saída de três horas custará R$240,00. b) Gabriela, mais simples, prefere um divertimento mais popular de modo que, uma saída de três horas, custará R$160,00. c) Seu orçamento permite dispor de R$1.040,00 mensais para a diversão. d) Seus afazeres escolares lhe dão liberdade de, no máximo, 18 horas e 35.000 calorias de sua energia para atividades sociais. e) Cada saída com Tieta, consome 5.000 calorias, mas com Gabriela, mais alegre e extrovertida, gasta o dobro. f) Ele gosta das duas com a mesma intensidade. Como deve planejar sua vida social para obter o número máximo de saídas? g) Para evitarmos comentários maliciosos é necessário sair pelo menos uma vez com cada namorada.

1.2.4. Modelo de Transporte Uma empresa deseja distribuir um produto que se encontra armazenado em 3 locais distintos com a seguinte disponibilidade – Armazém 1 – 20 unidades, Armazém 2 – 30 unidades e Armazém 3 – 50


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unidades. O produto será distribuído a 4 lojas que possuem as seguintes capacidades – Loja 1 – 20 unidades, Loja 2 – 30 unidades, Loja 3 – 40 unidades, Loja 4 – 10 unidades. O custo unitário de transporte é apresentado no quadro abaixo: A1 A2 A3

L1 6,00 5,00 9,00

L2 1,00 4,00 8,00

L3 7,00 2,00 7,00

L4 3,00 6,00 5,00

OBS: Nos modelos de transportes antes de definir as variáveis, devemos verificar a condição de equilíbrio entre oferta e demanda.

A1 A2 A3 DE

L1 6,00 5,00 9,00 20

L2 1,00 4,00 8,00 30

L3 7,00 2,00 7,00 40

L4 3,00 6,00 5,00 10

OF 20 30 50 100 / 100

1 – Definir as variáveis

Xij – quantidade que sai da origem “i” e vai para o destino “j”

I = 1;2;3 J = 1;2;3;4

2 – Função Objetiva Zmín = 6,00X11 + 1,00X12 + 7,00X13 + 3,00X14 + 5,00X21 + 4,00X22 + 2,00X23 + 6,00X24 + 9,00X31 + 8,00X32 + 7,00X33 + 5,00X34

3 – Restrição Oferta = 100

A1 = 20 X11 + X12 + X13 + X14 = 20 A2 = 30 X21 + X22 + X23 + X24 = 30 A3 = 50


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X31 + X32 + X33 + X34 = 50

Demanda = 100

L1 = 20 X11 + X21 +X31 = 20 L2 = 30 X12 + X22 + X32 = 30 L3 = 40 X13 + X23 + X33 = 40 L4 = 10 X14 + X24 + X34 = 10

4 - Não negatividade Xij > 0

1.2.5. Exercícios - Modelo de Transporte 1 – Dado o quadro de custo abaixo, formule o modelo matemático:

A1 A2 A3 DE

L1 2.00 6.00 7.00 200

L2 3.00 1.00 8.00 300

L3 4.00 5.00 9.00 200

OF 200 300 400

L1 5.00 1.00 2.00 17

L2 3.00 7.00 2.00 5

L3 4.00 2.00 6.00 13

OF 18 7 10

L1 9.00 6.00 7.00 21

L2 4.00 2.00 1.00 20

L3 3.00 7.00 3.00 19

OF 25 15 15

2 – Formule o modelo matemático. A1 A2 A3 DE 3 – Formule o modelo matemático. A1 A2 A3 DE


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4 – Formule o modelo matemático. A1 A2 A3 DE

L1 9.00 6.00 7.00 21

L2 4.00 2.00 1.00 20

L3 3.00 7.00 3.00 19

OF 25 15 15

L1 6.00 2.00 5.00 17

L2 1.00 4.00 4.00 3

L3 3.00 3.00 5.00 15

OF 3 17 20

L1 9.00 6.00 7.00 21

L2 4.00 2.00 1.00 20

L3 3.00 7.00 3.00 19

OF 25 15 15

L1 2.00 4.00 10.00 24

L2 3.00 5.00 13.00 18

L3 6.00 8.00 11.00 19

OF 23 22 16



7 – Formule o modelo matemático. P1 P2 P3 DE

1.2.6. Exercícios de Revisão 1 - Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, octana e aditivo que são disponíveis nas quantidades de 9.600.000, 4.800.000 e 2.200.000 litros por semana, respectivamente. As especificações de cada tipo são: Um litro de gasolina verde requer 0.22 litros de gasolina pura, 0.50 litros de octana e 0.28 litros de aditivo; Um litro de gasolina azul requer 0.52 litros de gasolina pura, 0.34 litros de octana e 0.14 litros de aditivo; Um litro de gasolina comum requer 0.74 litros de gasolina pura, 0.20 litros de octana e 0.06 litros de aditivo, Como regra de produção, baseada em demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde e que a •

• •


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quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a 600.000 litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contribuição para o lucro de R$0.30, R$0.25 e R$0.20 respectivamente, e seu objetivo é determinar o programa de produção que maximiza a margem total de contribuição para o lucro.

2 - Uma empresa vende dois tipos de produtos, A e B. O produto A e vendido a R$ 10,00. A produção de A consome uma hora de trabalho e dois kg de mateira prima. A produção de B consome duas horas de trabalho e três kg de matéria prima. A empresa pode funcionar ate 10 horas por dia, e possui um estoque diário de 18 kg de matéria prima. Sabe-se ainda que por restrições de demanda não deve produzir mais que quatro produtos B por dia, e que respeitada esta restrição tudo o que for produzido será vendido. A empresa deseja fabricar os produtos de tal forma a receber o maior valor possível com as vendas.

3 – Uma certa agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma certa linha de produto não lucrativo. Isso criou um considerável excedente na capacidade de produção. A gerência está considerando dedicar essa capacidade excedente a três produtos, identificados como produtos 1, 2, e 3. A capacidade disponível das máquinas que poderia limitar a produção está resumida na tabela a seguir: Tipo de máquina Tempo disponível (hora de máquina) A 500 B 350 C 150 O número de horas da máquina requerido por unidade dos respectivos produtos são:

Tipo de Máquina A B C

Produto 1 9 5 3

Produto 2 3 4 0

Produto3 5 0 2

O lucro unitário estimado é de $30, $12, e $15, respectivamente para os produtos 1, 2 e 3. Determine o modelo matemático para maximizar o lucro. 4 – Faça o modelo matemático. Uma determinada empresa quer utilizar do melhor modo possível os recursos de madeira de uma de suas regiões florestais. Dentro dessa região, há uma serraria e uma fábrica de compensados, o que possibilita que as toras possam ser convertidas em madeira beneficiada ou compensada. Produzir uma mistura comercializável de 1 metro cúbico de produtos beneficiados requer 1 metro cúbico de pinho e 4 metros cúbicos de canela. Produzir 100 metros quadrados de madeira compensada requer 2 metros cúbicos de pinho e 4 metros cúbicos de canela. A região em questão dispões de 32 metros cúbicos de pinho e 72 metros cúbicos de canela. Compromissos de vendas exigem que sejam produzidos, durante o período em planejamentos, pelo menos 5 metros cúbicos de madeira beneficiadas e 12 metros cúbicos de madeira compensada. Determine as


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quantidades (em metros cúbicos) de madeira beneficiada e de madeira compensada (em 100 metros quadrados) a serem produzidos. Lucro de X1 = 45 e Lucro de X2 = 60

5 – Elabore o modelo matemático. Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente, a oficina faz apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Par efeito de simplificação, vamos considerar que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas as disponibilidades diárias são respectivamente: 12m e 8h. O processo de produção é tal que, para fazer 1 mesa gasta 2m de madeira e 2 h de mão-de-obra. Para fazer um armário, a fábrica gasta 3 m de madeira e 1h de mão-de-obra. Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá um margem de contribuição para o lucro de $4, e cada armário, de $1. Qual o programa de produção para maximizar o lucro? 6 - Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de $5,00 e o do cinto é de $2,00, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora. 7 - Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de $100,00 e o lucro unitário de P2 é de $150,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. 8 - Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a $20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a $10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a $30,00 de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo ? Construa o modelo do problema. 9 - Uma rede de telvisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa "A" com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa "B", com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocionador insiste no uso de no mínimo 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores ? Construa o modelo do sistema. 10 - Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700


_____________________________________________________________________________________________________________________________________

para M2. Os lucros unitários são de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa ? Construa, o modelo do sistema descrito. 11 - Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2, R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.

Produto

Recursos R1 por unidade



P1

2

3

5

P2

4

2

3

Disponibilidade de recursos por mês

100

90

120

Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa ? Construa o modelo do sistema. 12 - Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: A (Arrendamento) - Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $300,00 por alqueire por ano. P (Pecuária) - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100Kg/Alq.) e irrigação (100.000 litros de água/Alq.) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $400,00 por alqueire por ano. S (Plantio de Soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200Kg por alqueire de adubos 200.000 litros de água/Alq. para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $500,00/alqueire no ano. Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 litros de água 14.000 Kg de adubo 100 alqueires de terra. Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno ? Construa o modelo de decisão. 13 - O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2. As alternativas são: a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento mínimo de $3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $1.000,00 investidos. b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada $1.000,00 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%. _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional – Professor Daniel Carmo 17

_____________________________________________________________________________________________________________________________________

A empresa dispõe de $10.000,00 para esse empreendimento. Quanto deverá destinar a cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito. 14 - Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados:

Material Recuperado 1 - MR1 - Composição

ferro - 60% carvão - 20% silício - 20% Custo por Kg: $0,20 Material Recuperado 2 - MR2 - Composição

ferro - 70% carvão - 20% silício - 5% níquel - 5% Custo por Kg: $0,25 A liga deve ter a seguinte composição final:

Matéria-Prima

% Mínima % Máxima

ferro

60

65

carvão

15

20

silício

15

20

níquel

5

8

O custo dos materiais puros são (por Kg): ferro: $0,30; carvão: $0,20; silício: $0,28; níquel:$0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis, com menor custo por Kg ? Construa o modelo de decisão. 15 - Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50 m 3 (L1), 80 m3 (L2), 40 m 3(L3), 100 m 3(L4) de areia grossa. Essa areia pode ser encarregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distâncias às lojas estão no quadro (em km):

P1

L1

L2

L3

L4

30

20

24

18


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P2

12

36

30

24

P3

8

15

25

20

O caminhão pode transportar 10 m 3 por viagem. Os portos tem areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distância total percorrida entre os portos e as lojas e supra as necessidades das lojas. Construa o modelo linear do problema. 16 - Um joalheiro produz colares (x1) e braceletes (x2). As margens de lucro são R$ 320,00 para os colares e R$ 240,00 para os braceletes. Os colares requerem 2 horas para o corte das pedras, 7 horas para a montagem e6 horas para o polimento. Os braceletes requerem 5 horas para o corte das pedras, 7 horas para a montagem e3 horas para o polimento. O joalheiro trabalha sozinho e dispõe mensalmente de 40 horas para o corte das pedras, 70 horas para a montagem e 48 horas para o polimento. Calcule o número de jóias de cada tipo que maximize o lucro do joalheiro. 17 - Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 26 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de carne custa R$3,00 e cada unidade de ovo custa R$ 2,50. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? 18 - Uma empresa fabrica 2 artigos de camping: sacos de dormir e barracas. Cada saco de dormir requer 2 horas para cortar os tecidos, 5 horas para costurar e 1 hora para impermeabilizar. Cada barraca requer 1 hora para cortar os tecidos, 5 horas para as costuras e 3 horas de impermeabilização. Dados os recursos limitados da empresa, ela dispõe de 14 horas para o corte, 40 horas para a costura e 18 horas para a impermeabilização, por dia. A margem de lucro é de R$ 50,00 por saco de dormir e de R$ 30,00 por barraca. Maximize a função lucro em termos da quantidade de barracas e sacos de dormir a serem produzidos por dia.

19 – Um O fabricante deseja maximizar a receita bruta. A tabela abaixo ilustra as composições das ligas, seus preços e as limitações na disponibilidade de matéria-prima.

Preço unitário de venda ITENS \ ATIVIDADES Cobre Zinco Chumbo

R$ 30,00 Liga Tipo A 2 1 1

R$ 50,00 Liga Tipo B 1 2 3

Matéria Prima Disponível 16 11 15


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Resposta: Lmax = 16 20 - Um fazendeiro tem que decidir o quanto vai plantar de milho e de alfafa. Os lucros são de R$ 2.000,00 por alqueire de milho e de R$ 1.000,00 por alqueire de alfafa. Suponha que suas limitações sejam: terra disponível 8 alqueires e água disponível para irrigação de 80.000 litros sendo que deseja-se plantar no máximo 4 alqueires de milho. Cada alqueire de milho requererá 10.000 litros de água para irrigação e cada alqueire de alfafa requererá 20.000 litros de água. Formule o problema como a utilização dos recursos de programação linear apresentando a solução gráfica no papel sugerido. Resp.: xA=2 e xM=4 21 - Uma fábrica de computadores produz 2 modelos de computador: A e B. O modelo A fornece um lucro de R$ 180,00 e B de R$ 300,00. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo B requer 1 gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se: qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro ? 22 - Uma microempresa produz dois tipos de jogos para adultos e sua capacidade de trabalho é de 50 horas semanais. O jogo A requer 3 horas para ser produzido e propicia um lucro de R$ 30,00, enquanto que o jogo B precisa de 5 horas para ser produzido e acarreta um lucro de R$ 40,00. Quantas unidades de cada jogo devem produzidas semanalmente a fim de maximizar o lucro? 23 - Um empreendedor decidiu comerciar barcos. Depois de empregar alguns trabalhadores e de descobrir os preços aos quais venderia os modelos, chegou as seguintes observações: cada modelo comum rende um lucro de R$ 520,00, e cada modelo rápido rende um lucro de R$ 450,00. Um modelo comum requer 40 horas para ser construído e 24 horas para o acabamento. Cada modelo rápido requer 25 horas para a construção e 30 horas para o acabamento. Este empreendedor dispõe de 400 horas de trabalho por mês para a construção e 360 horas para o acabamento. Quanto deve produzir de cada um dos modelos? 24 - Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentação diária, de um mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de carboidratos. Supondo que, para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos produtos A e B. Um kg do produto A contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades de carboidratos e custa R$ 2,00. Um kg do produto B contém 6 unidades de proteínas, 5 unidades de carboidratos e custa R$ 3,00. Que quantidade deve-se comprar de cada produto de modo que as exigências da alimentação sejam satisfeitas a um custo mínimo ? 25 - Uma transportadora utiliza burros e jumentos para transportar cargas entre 2 cidades. A capacidade de carga de um burro é de 100kg, enquanto a do jumento é de 50kg. Durante a viagem, um burro consome 3 montes de capim e 100 litros de água. A empresa possui várias estações de alimentação intermediárias entre as 2 cidades. Estas estações dispõem, no momento, de 900 litros de água e 35 montes de capim. Os burros e jumentos utilizados são alugados e o preço do aluguel é R$ 9,00 por burro e R$ 6,00 por jumento. Existe, no momento, uma necessidade de transporte (no mínimo) de 1000kg. Quantos burros e jumentos devem ser utilizados de modo a minimizar o custo do aluguel? 26 - Uma microempresa produz dois tipos de jogos para adultos e sua capacidade de trabalho é de 50 horas semanais. O jogo A requer 3 horas para ser produzido e propicia um lucro de R$ 30,00, enquanto que o jogo _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional – Professor Daniel Carmo 20

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B precisa de 5 horas para ser produzido e acarreta um lucro de R$ 40,00. Quantas unidades de cada jogo devem produzidas semanalmente a fim de maximizar o lucro? 27 - Uma empresa pode fabricar dois produtos (1 e 2). Na fabricação do produto 1 a empresa gasta nove horas-homem e três horas-máquina (a tecnologia utilizada é intensiva em mão-de-obra). Na fabricação do produto 2 a empresa gasta uma hora-homem e uma hora-máquina (a tecnologia é intensiva em capital). A empresa dispõe de 18 horas-homem e 12 horas-máquina para um período de produção. Sabe-se que os lucros líquidos dos produtos são $4 e $1 respectivamente. Quanto a empresa deve fabricar de cada produto para ter o maior lucro? Caso se obtenha algum recurso financeiro externo, para investimento em expansão, em quais dos recursos a empresa deveria aplicá-lo ? Qual seria o impacto no lucro se alguns trabalhadores faltassem ao trabalho limitando as horas homens disponíveis em 15 horas? Sabendo-se que 4 máquinas são responsáveis pela produção no período em análise até quanto se deveria pagar pelo aluguel de uma máquina se eventualmente uma das quatro máquinas quebrassem? Qual deveria ser o lucro líquido fornecido para viabilizar a fabricação um novo produto que utiliza 5 horas de cada recurso? 28 - Duas fábricas produzem três tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas de papel médio e 28 toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de papel . O custo de produção na 1ª fábrica é de R$1.000,00 e o da 2ª é de R$2.000,00, por dia. A primeira fábrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a segunda produz 2 toneladas de papel fino, 1tonelada de papel médio e 7 toneladas de papel grosso. Quantos dias cada fábrica deve operar para suprir os pedidos com o menor custo? 29 - Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: O tipo A tem 2m 3 de espaço refrigerado e 3m3 de espaço não refrigerado; o tipo B tem 2m 3 de espaço refrigerado e 1m 3 de não refrigerado. O cliente quer transportar produtos que necessitarão de 16m 3 de espaço refrigerado e 12m 3 de área não refrigerada. A companhia calcula que são necessários em 1.100 litros de combustível para uma viagem com o caminhão A e 750 litros para o caminhão B. Quantas viagens deverão ser feitas de cada tipo de caminhão para que se tenha o menor custo de combustível? 30 - Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 300m de tábuas, 600m de pranchas e 500m de painéis de aglomerado. Oferece normalmente 4 modelos de móveis: Escrivaninha, Mesa, Armário e Prateleira. Os modelos são vendidos respectivamente por $100,00; $80,00; $120,00; $30,00. E consomem: •

Escrivaninha: 1m tábua, 3m de painéis.

•

Mesa: 1m tábua, 1m prancha, 2m painéis.

•

Armário: 1m tábua, 1m prancha, 4 painéis.

•

Prateleira: 4m tábua, 2 de prancha.


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2. Método Simplex Consiste em determinar a produção ideal da empresa considerando seu objetivo e suas limitações. O método permite identificar e quantificar todas as sobras de recursos existentes. O método utiliza o cálculo dos valores através de processos algébricos ou matriciais.

2.1. Tipos de Método Simplex 1 – Solução usando quadro – matriz 2 – Solução algébrica

2.2.

Método Simplex Algébrico

Representação de um Intervalo em foram de Equação ≤

em = X2 ≤ 50 X2 + X3 (variável de folga) = 50

≥

em = X1 ≥ 30 X1 – X2 (variável de excesso) = 30

2.2.1. Solução Básica Compatível 3X1 + 2X2 ≥ 600 X2 ≥ 200 7X1 + 8X2 ≤ 5600 8X1 + 7X2 ≤ 5600 X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0 _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional – Professor Daniel Carmo 22

_____________________________________________________________________________________________________________________________________

3X1 + 2X2 – X3 = 600 X2 –X4 = 200 7X1 + 8X2 + X5 = 5600 8X1 + 7X2 + X6 = 5600

6 variáveis – 4 equações = 2 variáveis não básicas

número variáveis – número equações = número variáveis não básicas

VNB

VB

X1 = 0

X3 = - 600

X2 = 0

X4 = -200 X5 = 5600 X6 = 5600

Solução Básica não Compatível

3X1 + 2X2 – X3 = 600

7X1 + 8X2 =X5 = 5600

0 + 0 – X3 = 600

0 + 0 + X5 = 5600

X3 = - 600

X5 = 5600

X2 – X4 = 200

8X1 + 7X2 + X6 = 5600

0 – X4 = 200

0 + 0 + X6 = 5600

X4 = -200

X6 = 5600

  

A escolha das variáveis não básicas é aleatório (mais é comum começar com X1 e X2) As soluções básicas não podem ser negativas Para ser compatível, basta não ter número negativo nas soluções básicas


_____________________________________________________________________________________________________________________________________

VNB

VB

X1 = 0

X2 = 300

X3 = 0

X4 = 100 X5 = 3200 X6 = 3500

Solução Básica Compatível

3X1 + 2X2 – X3 = 600

7X1 + 8X2 + X5 = 5600

0 + 2X2 – 0 = 600

0 + 8.300 + X5 = 5600

X2 = 300

X5 = 5600 – 2400 X5 = 3200

X2 – X4 = 200 300 – X4 = 200

8X1 + 7X2 + X6 = 5600

- X4 = 200 – 300

0 + 7.300 + X6 = 5600

X4 = 100

X6 = 5600 – 2100 X6 = 3500

Exemplo:

4X1 + 5X2 ≤ 200 X2 ≤ 30 6X1 + 7X2 ≤ 420 X1 ≤ 50 X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

4X1 + 5X2 + X3 = 200 X2 + X4 = 30 6X1 + 7X2 + X5 = 420 _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional – Professor Daniel Carmo 24

_____________________________________________________________________________________________________________________________________

X1 + X6 = 50

VNB

VB

VNB

VB

X1 = 0

X3 = 200

X1 = 0

X2 = 40

X2 = 0

X4 = 30

X3 = 0

X4 = -10

X5 = 420

X5 = 140

X6 = 50

X6 = 50

Solução Básica Compatível (0 ; 0)

Solução Básica não Compatível (0 ; 40)

VNB

VB

VNB

VB

X1 = 0

X3 = 30

X1 = 0

X2 = 60

X4 = 0

X3 = 50

X5 = 0

X3 = -100

X5 = 210

X4 = -30

X6 = 50

X6 = 50


Solução Básica não Compatível (0 ; 60)

VNB

VB

X2 = 0

X1 = 50

X3 = 0

X4 = 30 X5 = 120 X6 = 0



_____________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2.2. Exemplo – Método Simples Algébrico Zmáx = 5X1 + 4X2 9X1+2X2 ≤ 180 8X1 + 3X2 ≤ 240 X2 ≤ 70 X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0 9X1 + 2X2 + X3 = 180 8X1 + 3X2 + X4 = 240 X2 + X5 = 70

VNB

VB

X1 = 0

X3 = 180

X2 = 0

X4 = 240 X5 = 70

Solução Básica Compatível Inicial

VB em função da VNB X3 = 180 – 9X1 – 2X2 X4 = 240 – 8X1 – 3X2 X5 = 70 – X2

Zmáx = 5X1 + 4X2 Zmáx –5X1 – 4X2 = 0 ZMÁX = 0 + 5x1 + 4x2 Solução não ótima

Zmáx = 0

Significa que a empresa está parada


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OBS: A solução será considerada ótima, quando a função objetiva NÃO apresentar coeficiente POSITIVO. (não pode haver zero positivo. Ex:. Zmáx = 30 – 5X3 + 0 X4)

Entrará na base a variável que tiver coeficiente de maior valor (Se empatar a escolha é aleatória).

Entrará “X1” Rascunho: X2 = 0 X3 = 180 – 9X1

----

X3 = 0

----

0 = 180 – 9X1

----

X1 = 20

X4 = 240 – 8X1

----

X4 = 0

----

0 = 240 – 8X1

----

X1 = 30

X5 = 70

----

Sairá “X3”

Sairá da base a variável que tiver coeficiente positivo de MENOR valor.

VNB

VB

X3 = 0

X1 = 20

X2 = 0

X4 = 80 X5 = 70

X3 = 180 – 9X1 – 2X2 9X1 = 180 – 2X2 – X3 X1 – 180 – 2X2 – 1X3 9

9

9

X4 = 240 – 8 (20 – 2X2 – 1X3) – 3X2 9

9

X4 = 240 – 160 + 16X2 + 8X3 – 3X2 9 X4 = 80 – 11X2 + 8X3

9


_____________________________________________________________________________________________________________________________________

9

9

X5 = 70 – X2

X1 = 20 – 2X2 – 1X3 9 9 X4 = 80 – 11X2 + 8X3 9 X5 = 70 – X2

9

Zmáx = 0 + 5X1 + 4X2 Zmáx = 0 + 5 (20 – 2X2 – 1X3) + 4X2 9 9 Zmáx = 0 + 100 – 10X2 – 5X3 + 4X2 9 9 Zmáx = 100 + 26X2 – 5X3 9 9 Solução não ótima


----

X1 = 0

----

X2 = 90

X4 = 80 – 11X2 ----

X4 = 0

----

X2 = 65,45

X5 = 0

----

X2 = 70

9

9 X5 = 70 – X2

----

Sairá “X4”


_____________________________________________________________________________________________________________________________________

VNB

VB

X3 = 0

X1 = 60

X4 = 0

9 X2 = 720 9 X5 = 50 9

X4 = 80 – 11X2 + 8X3 9 9 11X2 = 80 – 8X3 – X4 9 9 11X2 = 720 + 8X3 - 9X4

X2 = 720 + 8X3 – 9X4 11 11

11

X1 = 20 – 2X2 – 1X3 9

9

X1 = 20 – 2 (720 + 8X3 – 9X4) - 1X3 9

11 11

11

9

X1 = 20 – 160 – 16X3 + 2X4 – 1X3 11

9x11 11

9

X1 = 60 – 3X3 + 2X4 11 11

11

X5 = 70 – (720 + 8X3 – 9X4) _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional – Professor Daniel Carmo 29

_____________________________________________________________________________________________________________________________________

11

11

11

X5 = 50 – 8X3 + 9X4 11 11

11

X2 = 720 + 8X3 – 9X4 11 11

11

X1 = 60 – 3X3 + 2X4 11 11

11

X5 = 50 – 8X3 + 9X4 11 11

11

Zmáx = 100 + 26X2 – 5X3 9 9 Zmáx = 100 + 26 (720 + 8X3 – 9X4) – 5X3 9 11

11

11

9

Zmáx = 100 + 2080 + 208X3 – 26X4 – 5X3 11

9x11

11

9

Zmáx = 3180 + 17x3 – 26X4 11

11

11

Solução não ótima


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----

X1 = 0

----

X3 = 20

X2 = 720 + 8X3 ----

X2 = 0

----

X3 = - 90

---- X5 = 0

----

X3 = 6,25

11 11

11 11 X5 = 50 – 8X3 11 11 Sairá “X5”

VNB

VB

X4 = 0

X1 = 30

X5 = 0

8 X2 = 70 X3 = 50 8

X5 = 50 – 8X3 + 9X4 11 11

11

8X3 = 50 + 9X4 – X5 11

11 11

8X3 = 50 + 9X4 – 11X5

X3 = 50 + 9X4 – 11X5 8

8

8


_____________________________________________________________________________________________________________________________________

X1 = 60 – 3 (50 + 9X4 – 11X5) + 2X4 11 11 8

8

8

11

X1 = 60 – 150 – 27X4 + 3X5 + 2X4 11 11x8 11x8

8

11

X1 = 30 – 1X4 + 3X5 8

8

8

X2 = 720 + 8 (50 + 9X4 – 11X5) – 9X4 11 11 8

8

8

11

X2 = 720 + 50 + 9X4 – X5 – 9X4 11

11 11

11

X2 = 70-X5

X1 = 30 – 1X4 + 3X5 8

8

8

X2 = 70-X5 X3 = 50 + 9X4 – 11X5 8

8

8

Zmáx = 3180 + 17 (50 + 9X4 – 11X5) –26X4 11

11 8

8

8

11

Zmáx = 3180 + 850 + 153X4 – 17X5 – 26X4 11

11x8 11x8

8

11


_____________________________________________________________________________________________________________________________________

Zmáx = 2390 – 5X4 – 17X5 8

8

8

Solução ótima

2.2.3. Exercícios – Método Simples Algébrico 1 – Zmáx = X1 + X2

2 – Zmáx = 5X1 + 6X2

6X1 + 8X2 ≤ 480

7X1 + 8X2 ≤ 560

9X1 + 9X2 ≤ 810

X2 ≤ 60

8X1 + 6X2 ≤ 480

8X1 + 7X2 ≤ 560

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

3 – Zmáx = 3X1 + 3X2

4 – Zmáx = 5X1 = 4X2

7X1 + 5X2 ≤ 350

3X1 + 8X2 ≤ 240

5X1 + 7X2 ≤ 350

4x1 + 9X2 ≤ 360

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

9X1 + 4X2 ≤ 360 x1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

5 – Zmáx = 5X1 + 10X2

6 – Zmáx = 5X1 + 6X2

X1 + 2X2 ≤ 2000

9X1 + 4X2 ≤ 360

6X1 + 2X2 ≤ 12000

9X1 + 5X2 ≤ 450

X1 ≤ 1500

X1 ≤ 80

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

7 – Zmáx = 15X1 + 6X2

8 – Zmáx = 5X1 + 5X2

8X1 + 4X2 ≤ 320

7X1 + 5X2 ≤ 350

7X1 + 15X2 ≤ 350

7X1 + 6X2 ≤ 420

X1 ≤ 60

5X1 + 7X2 ≤ 350

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0


_____________________________________________________________________________________________________________________________________

9 – Zmáx = 3X1 + 2X2

10– Zmáx = 9X1 + 8X2

7X1 + 3X2 ≤ 210

6X1 + 7X2 ≤ 420

6X1 + 2X2 ≤ 120

X1 ≤ 70

X1 ≤ 40

7X1 + 6X2 ≤ 420

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

11– Zmáx = 5X1 + 3X2

12 – Zmáx = 4X1 + 5X2

3X1 + 7X2 ≤ 210

3X1 + 9X2 ≤ 270

7X1 + 3X2 ≤ 210

4X1 + 8X2 ≤ 320

X1 ≤ 40

X2 ≤ 70

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

13 – Zmáx = 5X1 + 5X2

14 – Zmáx = 2X1 + 4X2

7X1 + 6X2 ≤ 420

6X1 + 8X2 ≤ 480

8X1 + 8X2 ≤ 720

4X1 + 8X2 ≤ 320

6X1 + 7X2 ≤ 420

X2 ≤60

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

15 – Zmáx = 5X2 + 5X2

16 – Zmáx = 9X1 + 9X2

8X1 + 9X2 ≤ 720

7X1 + 9X2 ≤ 630

9X1 + 8X2 ≤ 720

9X1 + 7X2 ≤ 630

X1 ≤ 100

7X1 + 7X2 ≤ 490

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0

X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0


_____________________________________________________________________________________________________________________________________

TEXTOS COMPLEMENTARES TEXTO I – PESQUISA OPERACIONAL: NA TOMADA DE DECISÕES ADMINISTRATIVA A pesquisa operacional surgiu durante a guerra e por muito tempo foi utilizada em operações militares, logo após estendeu-se para diversas outras áreas, em especial nas administrativas onde muito tem contribuído, através de seu teor científico e os métodos matemáticos aplicados, onde busca auxilia na tomada de decisão e na solução de problemas. No entanto muitas empresas não utilizam dos métodos da pesquisa operacional, sendo administradas de forma empírica. Desde forma o presente trabalho buscou mostrar como a pesquisa operacional pode contribuir para a busca da otimização das operações que ocorrem dentro de uma empresa. O termo Pesquisa Operacional (PO) surgiu durante a segunda guerra mundial por volta de 1939 onde se buscava resolver problemas de operações militares. Os métodos da PO foram por muitos anos aplicados somente em organizações militares, com a sua credibilidade nos meios militares desenvolveu sendo usada nas empresas, chegando a ser considerada como um ramo da ciência administrativa. Com o final da guerra, a pesquisa operacional evolui na Inglaterra e nos Estados Unidos. Já no Brasil a pesquisa operacional surgiu por volta da década 1960 e em 1969 foi fundada a Sociedade Brasileira de Pesquisa operacional (SOBRAPO). Em 1947 o matemático George Dantzig desenvolveu o Método Simplex, muito usado na pesquisa operacional, tendo como propósito resolver problemas de programação linear (otimização linear). A PO tem como objetivo a aplicação de métodos científicos e matemáticos, estatísticos para resolução de problemas reais, auxiliando no processo de tomada de decisão, como projetar, planejar situações e operações e na solução de problemas. Nos Estados Unidos onde a PO é usada há mais tempo, onde varias organizações possuem um departamento responsável pela aplicação de PO, já o Brasil vem se avançando, onde o crescimento da sua utilização se deve ao fato do desenvolvimento de softwares e computadores velozes com grande capacidade de armazenamento e recuperação de informações, no entanto e necessários que os gestores tenham um domínio da teoria em que se baseia os métodos. De acordo com Andrade (2002), a pesquisa operacional com um enfoque mais clássico, é definida como a arte de aplicar técnicas de modelagem a problemas de decisão, por meio de métodos matemáticos e estatísticos buscando encontrar a solução ótima de maneira sistêmica, já dentro de um enfoque atual a PO leva considerações a interações com o ambiente interno e externo para a formulação da modelagem de um problema. • • •

A modelagem de um problema envolve três aspectos: ·A definição das decisões a serem tomadas; ·Restrições que limitam as escolhas das decisões;

O objetivo que determinam preferências na escolha de decisões. Vários são os fatores que podem afetar na escolha da melhor decisão, como tempo, a importância, o ambiente que está relacionado com a decisão. _________________________________________________________________________________________________ Apostila de Planejamento Operacional – Professor Daniel Carmo 35

Apostila PO Daniel 2011

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