Universidade Federal de Minas Gerais Faculdade de Ciências Econômicas Departamento de Ciências Administrativas
Profa. Ana Lúcia Miranda Lopes, Dra. Eng.
2014
1. Introdução à Pesquisa Operacional
4
SUMÁRIO 1.1. Surgimento da Pesquisa Operacional......................... ............................................. ................................................................ ................... 5 1. 2. Aplicaçes A plicaçes da Pesquisa Operacional ................................................. ........................................ !
2 Programaç"o #inear$ modelagem ............................................................... ......................................................................................... .......................... % 2.1. Introduç"o........................................... ........................................................................................ ..................................................................................... ........................................ % 2.2. &onstruç"o de um Modelo de Programaç"o #inear ........................................... ......................... % 2.2.1. Fase 1: Definição das variáveis de decisão ............................................................................... 8 2.2.2. Fase 2: Identificação dos dados do problema; ....................................................................... 10 2.2.4. Fase 4: Identificação e modelaem das restriç!es. ................................................................ 11 "tividade de Fi#ação ....................................................................................................................... 24 $%&'D(% D$ )"%( .......................................................................................................................... *+
A'()O *$ &omo utili+ar o Sol,er-(cel para resol,er pro/lemas de programaç"o linear 0P# . *! *. . Resoluç"o de um Modelo de Programaç"o #inear$ #i near$ Soluç"o r34ica .................................. * *.1 Introduç"o............................................ ......................................................................................... ................................................................................... ...................................... * *.2. Resol,endo um Modelo #inear atra,6s do M6todo r34ico .............................................. ........ 5 *.2.1. )onstr,indo o ráfico representativo das restriç!es ....................... ........................ ............... 4+ *.2.2. (btendo a %ol,ção -tima ...................................................................................................... 4 *.*. Programas #ineares In,i3,eis .............................. ............................................. .................................................................... ....................... 52 *. Programas #ineares Ilimitados .................... ................................................ ............................................................................. ............................. 5* "tividade de Fi#ação ....................................................................................................................... ++
. Programaç"o #inear$ Interpretando os Resultados ............................................................ ............................................................ 5! .1. 7orma Padr"o .................................................................... ............................................. ..................................................... ........ 5! 4.1.1. )onvertendo ,ma desi,aldade em ,ma i,aldade............................................................... +8 4.1.1. )onvertendo ,ma f,nção ob/etivo para ma#imiação............................................................ 0 .2. Interpretando os resultados ............................................... ............................................................................................ ..................................................... ........ 89 4.2.1. elat3rio de esposta............................................................................................................ 1 4.2.2. elat3rio de sensibilidade I .................................................................................................... * "tividade de Fi#ação .......................................................................................................................
5. Programaç"o #inear Inteira e :in3ria ........................................................ ................................................................................ ........................ !! 5.1. Programaç"o #inear Inteira e :in3ria ........................................... ....................................................................................... ............................................ !! 5.2. Programaç"o #inear Inteira Mista 0P#IM ........................................... ................................................................................. ...................................... %1 "tividade de Fi#ação ....................................................................................................................... 82
1. Introdução à Pesquisa Operacional
4
SUMÁRIO 1.1. Surgimento da Pesquisa Operacional......................... ............................................. ................................................................ ................... 5 1. 2. Aplicaçes A plicaçes da Pesquisa Operacional ................................................. ........................................ !
2 Programaç"o #inear$ modelagem ............................................................... ......................................................................................... .......................... % 2.1. Introduç"o........................................... ........................................................................................ ..................................................................................... ........................................ % 2.2. &onstruç"o de um Modelo de Programaç"o #inear ........................................... ......................... % 2.2.1. Fase 1: Definição das variáveis de decisão ............................................................................... 8 2.2.2. Fase 2: Identificação dos dados do problema; ....................................................................... 10 2.2.4. Fase 4: Identificação e modelaem das restriç!es. ................................................................ 11 "tividade de Fi#ação ....................................................................................................................... 24 $%&'D(% D$ )"%( .......................................................................................................................... *+
A'()O *$ &omo utili+ar o Sol,er-(cel para resol,er pro/lemas de programaç"o linear 0P# . *! *. . Resoluç"o de um Modelo de Programaç"o #inear$ #i near$ Soluç"o r34ica .................................. * *.1 Introduç"o............................................ ......................................................................................... ................................................................................... ...................................... * *.2. Resol,endo um Modelo #inear atra,6s do M6todo r34ico .............................................. ........ 5 *.2.1. )onstr,indo o ráfico representativo das restriç!es ....................... ........................ ............... 4+ *.2.2. (btendo a %ol,ção -tima ...................................................................................................... 4 *.*. Programas #ineares In,i3,eis .............................. ............................................. .................................................................... ....................... 52 *. Programas #ineares Ilimitados .................... ................................................ ............................................................................. ............................. 5* "tividade de Fi#ação ....................................................................................................................... ++
. Programaç"o #inear$ Interpretando os Resultados ............................................................ ............................................................ 5! .1. 7orma Padr"o .................................................................... ............................................. ..................................................... ........ 5! 4.1.1. )onvertendo ,ma desi,aldade em ,ma i,aldade............................................................... +8 4.1.1. )onvertendo ,ma f,nção ob/etivo para ma#imiação............................................................ 0 .2. Interpretando os resultados ............................................... ............................................................................................ ..................................................... ........ 89 4.2.1. elat3rio de esposta............................................................................................................ 1 4.2.2. elat3rio de sensibilidade I .................................................................................................... * "tividade de Fi#ação .......................................................................................................................
5. Programaç"o #inear Inteira e :in3ria ........................................................ ................................................................................ ........................ !! 5.1. Programaç"o #inear Inteira e :in3ria ........................................... ....................................................................................... ............................................ !! 5.2. Programaç"o #inear Inteira Mista 0P#IM ........................................... ................................................................................. ...................................... %1 "tividade de Fi#ação ....................................................................................................................... 82
1. Introdução à Pesquisa Operacional
5
1. INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO Devo investir meu excedente de caixa em fundos cambiais, poupança, ações, ou outros? Como devo balançar meu investimento para obter o maior retorno possível a um risco aceitável? Quanto devo produzir dos produtos A, B e C para obter um lucro máximo, satisfazendo as restrições de horas-homem, matéria prima e capacidade das máquinas? Dada a produção de determinado produto em várias fábricas. Quanto de produto devo mandar de cada fábrica para cada ponto de varejo de modo a minimizar meu custo de transporte? Dada uma série de possibilidades de localização para determinada fábrica e um conjunto de restrições, qual local devo escolher? Se você estivesse diante de um dos problemas listados acima. Como resolveria? Estes são problemas do dia a dia das organizações e que, muitas vezes, são resolvidos com base na intuição e experiência de seus administradores. Nesta disciplina veremos como a ciência denominada Pesquisa Operacional pode contribuir para ajudar as empresas em tomadas de decisão como estas.
1.1. Surgimento da Pesquisa Operacional A pesquisa operacional (Operations Research ou ou Management Science ) teve seu surgimento durante a 2a. guerra mundial. Guerras, na maior parte das vezes, traz junto consigo a necessidade de conviver-se com toda sorte de carência de recursos. Foi por esta razão que os militares ingleses (British Air Force ) formaram o primeiro grupo para o estudo das melhores condições de aproveitamento dos recursos disponíveis. Este grupo estudou a aplicação de métodos quantitativos com o objetivo de melhorar a eficiência das forças de guerra da armada inglesa. Foi então denominado de grupo de Operations Research (pesquisa (pesquisa operacional) e vem daí, então, o nome da ciência tão amplamente utilizada hoje em dia. Naquele momento o grupo de PO iniciou a trabalhar em problemas relacionados ao abastecimento das tropas, táticas de defesa e ataque aéreo e marítimo. A principal aplicação daquela época que se tem notícia foi na área de detecção de aviões inimigos através de radar. Dizem, hoje, que esta foi a grande arma dos britânicos que levou-os a vencer a batalha aérea na Grã-Bretanha. Logo após a criação do grupo de PO inglês, e como não poderia deixar de ser, os americanos formaram um grupo semelhante. Depois da 2a. guerra mundial os cientistas e administradores de empresas vislumbraram a possibilidade de aplicação das técnicas de PO utilizadas na guerra para a resolução de problemas dentro das empresas. Modelos foram pesquisados e desenvolvidos para p ara a resolução de problemas nas áreas de planejamento da produção, planejamento agrícola, transporte de mercadorias, “scheduling” de de refinarias de petróleo, entre outros. O que é Pesquisa Operacional? Operacional? A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões, aplica conceitos e métodos de outras áreas científicas para concepção, planejamento ou operação de sistemas para atingir seus objetivos. Através de desenvolvimentos de base quantitativa, a Pesquisa Operacional visa também introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada de decisão sem descuidar, no entanto, dos elementos subjetivos e de enquadramento organizacional que caracterizam os problemas. (http://www.sobrapo.org.br).
1. Introdução à Pesquisa Operacional
6
É, portanto, uma ciência aplicada formada por um conjunto de técnicas quantitativas que tem como objetivo a determinação da melhor maneira de aproveitamento de recursos, por vezes, escassos. É particularmente pertinente em problemas complexos cujo alcance dos objetivos enfrentam restrições tais como: técnicas, econômica, temporal, de mão de obra, de demanda, etc. Aliado ao uso dos métodos quantitativos tem-se o uso de softwares eficientes eficientes para a resolução dos problemas decisórios (LINDO, What´s Best, Solver do Excel, etc...). Com a disseminação dos computadores observada nas últimas décadas tem-se podido trabalhar com grandes volumes de dados sobre as atividades das empresas tornando a representação do problema decisório cada vez mais próxima da realidade e fazendo com se observe o uso da PO em um grande número de empresas. Com a globalização a utilização eficiente dos recursos disponíveis é vital para as empresas. Utilizarse tudo o que se tem disponível, através da ciência, experiência, etc.. para a melhoria da eficiência da empresa é de extrema relevância para a sobrevivência das mesmas em um mercado cada vez mais competitivo e pode significar a manutenção desta no mercado ou não. A utilização de métodos quantitativos para resolução de problemas decisórios envolve, normalmente, muitas pessoas dentro da organização. Todos os aspectos relevantes do problema precisam ser identificados e mapeados. O processo da aplicação das técnicas de pesquisa operacional envolve uma seqüência de passos que podem ser ilustrados na figura que segue: Figura 01 – Seqüência de Desenvolvimento de um Modelo de PO Definição do
Problema
Desenvolvimento do Modelo Matemático
Formulação
Levantamento dos dados necessários
Desenvolvimento da Solução do Modelo
Solução Testando a solução
Análise dos Resultados e análise de sensibilidade
Interpretação Implementação dos Resultados
1. Introdução à Pesquisa Operacional
7
1. 2. Aplicações da Pesquisa Operacional As técnicas de PO são aplicadas a uma ampla variedade de problemas decisórios que vão desde a determinação de tempo em filas de um banco até filas de aviões em aeroportos. Problemas de estoques, planejamento da produção, mistura de componentes, formulação de ração a custo mínimo, redes de transporte, alocação de pessoas, problemas de redes de comunicação, programação de tarefas são também exemplos de aplicações de PO. Organizações como: IBM, HP, Microsoft, Gessy Lever, Nestlé, etc.. são exemplos de multinacionais que vem utilizando técnicas de PO em seus gerenciamentos. A nível nacional tem-se informação da aplicação de técnicas de pesquisa operacional em empresas tais como: Petrobrás, Sadia, AçoMinas, Unibanco, Bradesco, Brahma, Cosipa. Eletrobrás, entre outras. 1.1. Divisões da PO A pesquisa operacional compreende um conjunto relativamente grande de técnicas que podem ser utilizadas para resolução de problemas decisórios. As principais são: Algoritmos Genéticos Análise Muticritério de Apoio à Decisão Cadeias de Markov Data Envelopment Analysis Grafos Modelos de Estoques Modelos de Previsão Programação Dinâmica Programação Linear Programação Não-Linear Redes Neurais Simulação Teoria da Decisão Teoria das Filas Teria dos Jogos Na área de Negócios os casos de utilização da Pesquisa Operacional têm se concentrado nas técnicas de programação linear e simulação. Pelo menos 70% das aplicações envolvem estas duas áreas.
8
2 Programação Linear: modelagem 2.1. Introdução Programação linear é uma técnica de otimização utilizada para resolução de problemas decisórios que podem ser representados por meio de equações lineares. A otimização ajuda a encontrar a resposta que produz o melhor resultado para a empresa, ou seja, aquela que conduz ao maior lucro, menor custo, por exemplo. Estes modelos lineares são representados por meio de uma função objetivo e um conjunto de restrições, como segue: Modelo Geral: Otimizar Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + c nxn sujeito a a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a 1nxn <, =, ou > b 1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a 2nxn <, =, ou > b 2 .........................................................................................
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + a mnxn <, =, ou > b m x1, x2, x3, ... Xn >=0 Onde: Z = Função Objetivo cj = coeficientes da função objetivo xj = variáveis de decisão aj = coeficientes técnicos bi = constantes do lado direito da equação (RHS)
2.2. Construção de um Modelo de Programação Linear A construção de um modelo de programação linear pode ser dividida em 4 fases, são elas: Fase 1: Definição das variáveis de decisão; Fase 2: Identificação dos dados do problema; Fase 3: Identificação e modelagem da função objetivo; Fase 4: Identificação e modelagem das restrições.
2.2.1. Fase 1: Definição das variáveis de decisão Para melhor mostrar como deve ser realizada esta e as demais fases vamos trabalhar sob um exemplo de planejamento da produção.
9
Exemplo 2.1. Só Bicicletas (SB) é uma empresa nacional que atua no ramo de produção de bicicletas. A empresa acaba de lançar 2 novos modelos de bicicletas infantis ( 1 para menino e 1 para menina) que está fazendo o maior sucesso entre a garotada. O sucesso dos novos modelos é tanto que tudo que for produzido será vendido e o departamento de marketing recomenda que ao menos 250 bicicletas de cada modelo sejam produzidos. O lucro unitário na produção e venda da bicicleta feminina é de $50 e da bicicleta masculina é de $30. A empresa conta para a produção destes dois novos modelos com 200 trabalhadores no departamento de fabricação e 100 trabalhadores no departamento de montagem. A empresa trabalha em três turnos e cada funcionário trabalha 8 horas por dia. O modelo feminino necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e de 2 horas no departamento de montagem. O modelo masculino necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e de 1 hora no departamento de montagem. Formule um modelo que informe à SB o plano de produção diário que maximiza seu lucro. Para que as variáveis de decisão possam ser determinadas pode-se iniciar perguntando:
Quais itens afetam o custo ou lucro do problema? Quais itens estão livres para escolher e/ou tem algum controle sobre? Quais decisões você tem que tomar? Quais valores, uma vez determinados constituem a solução do problema?
Uma vez respondidas estas perguntas ter-se-á definido as variáveis de decisão do problema. Estas devem ser representadas através de um nome simbólico que pode ser uma letra ou um conjunto de letras(nunca um número) e que auxilia no entendimento do significado da variável.
então:
Dê um nome simbólico para a variável
No exemplo 2.1 o que se quer determinar? O que se tem algum controle sobre? Se quer determinar o número de bicicletas femininas e masculinas produzir por dia pela empresa,
Qf = o número de bicicletas femininas produzir diariamente Qm = o número de bicicletas masculinas produzir diariamente
.
Variável de Decisão: Representação através de um símbolo ou letra daquilo que se quer determinar e que se tem algum controle.
10
2.2.2. Fase 2: Identificação dos dados do problema; Uma vez identificadas as variáveis que representam aquilo que se deseja conhecer em um modelo decisório pode se passar para a fase de identificação dos dados do problema. Estes dados são aqueles necessários para a modelagem completa do problema. Todos os dados devem ser levantados e, quando estes podem ser obtidos com certeza estamos diante de um problema chamado de determinístico enquanto que problemas estocásticos envolvem dados incertos. No problema de planejamento de produção do exemplo 2.1 tem-se que cada bicicleta no modelo feminino necessita de 4 horas de mão de obra para sua fabricação e de 2 horas de mão de obra para sua montagem. Estes dados assim como os dados relativos ao modelo masculino devem estar representados no modelo. A disponibilidade de mão de obra em cada departamento de fabricação e montagem também farão parte do modelo. Em um problema de planejamento da produção sabe-se que o ponto crítico é não poder gastar mais recurso do que a empresa dispõe. Tem-se então que chegar aos valores de disponibilidade de cada recurso. Para chegar-se à mão de obra disponível deve-se calcular: Mão de obra disponível no departamento de fabricação: MOF= 200 trabalhadores x 3 três turnos x 8 horas diárias de trabalho = 200 x 3 x 8 = 4800 horas. Mão de obra disponível no departamento de montagem: MOM= 100 trabalhadores x 3 três turnos x 8 horas diárias de trabalho = 100 x 3 x 8 = 2400 horas. Para auxiliar no processo de modelagem do problema pode se construir uma tabela que resume todos os dados disponíveis no problema como segue: Quadro 2.1 – Tabela de Dados Exemplo 2.1 Variáveis
Unidade
Número de bicicletas No. produzir Lucro Unitário $/unid. Mão de Obra no Depto. de horas/ Fabricação unid. Mão de Obra no Depto. de horas/ Montagem Unid. Lucro Unitário $ Lucro Total $
Dados Iniciais B.Fem. B.Masc. Qf Qm
Dados Solicitados Qf>=2 50
Qm>=250
50 4
30 4
<=4800 horas
2
1
<=2400 horas
50
30 Maximizar
11
2.2.3. Fase 3: Identificação e modelagem da função objetivo Depois de determinadas as variáveis de decisão e os dados do problema pode-se passar à fase de construção do modelo: Este modelo matemático representa a situação da empresa que tem um objetivo e que para alcançá-lo terá de enfrentar algumas restrições. Este modelo será formado, então, por uma função objetivo e algumas restrições. A função objetivo pode ser entendida como a representação formal do objetivo da organização expresso na forma matemática em termos de dados e variáveis de decisão. Função objetivo: é o objetivo do problema descrito em termos de variáveis de decisão e dados.
Mas, qual é o objetivo da empresa (exemplo 2.1)? Pode-se concluir que o objetivo da empresa SB é obter o maior lucro possível. Para obtê-lo ela deve encontrar os valores de Qf e Qm que a conduzam a este lucro. Estes valores além de levar ao melhor lucro possível devem respeitar as restrições que a empresa enfrenta quanto à mão de obra disponível e demanda por bicicletas, oque será posteriormente representado pelas restrições. Para a construção da função objetivo tem-se, pela tabela 01, que o lucro unitário obtido na produção e venda dos modelos femininos é de $30 e dos modelos masculinos é de $50 e que a empresa deseja maximizar o lucro total. Isto pode ser representado da seguinte f orma: LT = 30Qf + 50Qm Onde: LT é o lucro total obtido na produção dos dois modelos; Qf e Qm são as variáveis de decisão e, portanto, incógnitas do problema. Utilizando a função de lucro total acima tem-se como função objetivo: Max LT) 30Qf + 50Qm Temos então o objetivo da SB representado matematicamente (modelado).
2.2.4. Fase 4: Identificação e modelagem das restrições. A última fase do processo de modelagem de um processo decisório é a identificação das restrições. Normalmente o alcance do objetivo de uma organização está sujeito à algumas limitações. Estas limitações podem ser: limitações físicas: capacidade máxima de produção das máquinas ou fábrica, quantidade de matéria prima existente ou possível de se obter, mão de obra disponíveis, etc; limitações externas: demanda dos produtos produzidos, imposições do mercado; Imposições do administrador, do governo, das associações envolvidas: o administrador pode ter se comprometido a fornecer uma certa quantia de determinado produto para um cliente antigo; a sociedade de proteção ao ambiente impõe que somente uma determinada quantia de um produto seja produzida devido aos danos que sua produção causa ao ambiente, etc; Relações entre as variáveis: um determinado produto deve ser produzido duas vezes mais do que outro, por exemplo; Restrições lógicas nas variáveis: limites nas variáveis.
12
A declaração no modelo de todas as limitações ou imposições necessárias para o alcance do objetivo é de vital importância para a obtenção de um resultado que realmente represente o problema real da empresa.
Restrição: É a representação matemática de restrições e/ou limitações da empresa ou limitações nos valores das variáveis.
No exemplo 2.1, lembremos que a empresa deseja saber quanto produzir de cada modelo para maximizar seu lucro. Quais são suas limitações? A principal é a mão de obra existente nos departamentos de fabricação e montagem que não é ilimitada. Lembremos que a mão de obra consumida em cada departamento deve ser menor ou igual à mão de obra disponível. Mas como representar? CONSUMO <= DISPONÍVEL Consumo de M.O. no departamento de fabricação <= M.O. disponível no departamento de fabricação Consumo de M.O. no departamento de montagen <= M.O. disponível no departamento de fabricação Para representar as relações acima primeiramente temos que construir a equação que representa o consumo de cada departamento, como segue: Consumo de Mão de obra no departamento de fabricação: 1) Consumo de M.O (bic. fem.) =mão de obra necessária para a produção de 1 bicicleta fem. * quantidade de bicicletas femininas produzidas (Qf) 2) Consumo de M.O. (bic.masc.) = mão de obra necessária para a produção de 1 bicicleta masc. * quantidade de bicicletas masculinas produzidas (Qm) E o consumo total de mão de obra no departamento de fabricação será: Consumo Total de M.O. no departamento de fabricação = Consumo na produção de bic. femininas + consumo na produção de bicicletas masculinas (1+2) Agora se temos: Disponibilidade no depto. de fabricação = 4800 horas E se consumo tem que ser menor ou igual à disponibilidade (consumo <=disponibilidade) tem-se a 1a. restrição:
13
Restrição 1) 4Qf + 4Qm <=4800 O mesmo pode ser feito para a restrição que irá representar o consumo e disponibilidade de horas de mão de obra no departamento de montagem, como segue: Consumo < = disponibilidade De onde tem-se:
Restrição 2) 2Qf + Qm <=2400
Prontas as restrições físicas pergunta-se: existe alguma outra limitação ou imposição? Sim, o departamento de marketing aconselha que ao menos 250 bicicletas de cada modelo sejam produzidas. Agora, então, temos que forçar que as variáveis de decisão assumam valores iguais ou maiores que 250. Como representar?
Restrição 3) Qf >= 250 Restrição 4) Qm > = 250 O resultado será: Max LT = 30Qf + 50Qm s.a. Restrição 1) 4Qf + 4Qm <=4800 Restrição 2) 2Qf + Qm <=2400 Restrição 3) Qf >= 250 Restrição 4) Qm > = 250 Desta maneira o modelo está pronto. Precisamos ainda resolve-lo para chegar às quantidades de bicicletas femininas e masculinas que conduzem a empresa ao lucro máximo. Isto aprenderemos nos próximos 2 capítulos. Exemplo 2.2: Uma escola pública procura uma dieta especial que forneça as quantidades mínimas diárias das vitaminas A, B e C (45 miligramas de vitamina A, 64 miligramas de vitamina B e 45 miligramas de vitamina C) a seus alunos ao menor custo possível. Conclui que poderia alcançar seu objetivo incluindo no lanche das crianças laranjas e maçãs. Em uma pesquisa nos atacadistas consegue um custo de $0.45 por kg de laranja. Este fornece 3 miligramas de vitamina A, 8 miligramas de vitamina B e 15 miligramas de vitamina C segundo a nutricionista da escola. Cada quilo de maçã custa $0.55 e fornece 15 miligramas de vitamina A, 8 miligramas de vitamina B e 9 mili gramas de vitamina C. A meta da escola é determinar quantos Kg de cada fruta devem ser utilizadas diariamente de modo a minimizar o custo total. Formule o problema.
14
Fase 1) definição das variáveis de decisão Para a definição das variáveis de decisão devemos nos perguntar o que a empresa, neste caso uma escola pública, deseja obter como resposta? O que ela precisa saber? Para o problema acima a resposta à estas perguntas está bem clara: a escola deseja saber quantos quilos de laranjas e quantos quilos de maçãs devem ser utilizadas diariamente no lanche das crianças. Como representar estas variáveis? Ql = quantidade (kg) de laranjas utilizar diariamente no lanche da esc ola Qm = Quantidade (Kg) de maçãs utilizar diariamente no lanche da escola Lendo o problema entende-se que esta dieta deve ser tal que forneça uma quantidade mínima de vitaminas A, B,C às crianças. Estas são então as imposições que irão, mais tarde ser transformadas em restrições do problema de programação linear. Com base nos dados informados pode-se montar a tabela abaixo que irá auxiliar na construção do modelo. A tabela resume todas as informações necessárias.
Variáveis
Quadro 2.2 – Tabelas de Dados 2.2 Unidade Dados Iniciais Dados solicitados Laranjas Maçãs
Quantidades Kg de fruta no lanche Custo $/kg Quantidade Miligramas de vitamina A Quantidade Miligramas de vitamina B Quantidade Miligramas de vitamina C
Ql
Qm
Ql>=0 Qm>=0
0,45 3
0,55 15
Minimizar >= 45mg
8
8
>= 64 mg
15
9
>= 45 mg
Com base nos dados da tabela constrói-se a função objetivo que buscará os valores para Ql e Qm que minimizam o custo total. As restrições irão impor alguns limites nos valores destas variáveis. Limites estes que devem ser a representação matemática de: 1) a dieta deve fornecer pelo menos 45 miligramas de vitamina A 2) a dieta deve fornecer pelo menos 64 miligramas de vitamina B 3) a dieta deve fornecer pelo menos 45 miligramas de vitamina C O modelo então será: Minimizar Custo total) 0,45Ql + 0,55Qm s.a. Vitamina A) 3Ql + 15Qm > = 45 Vitamina B) 8Ql + 8Qm > = 64 Vitamina C) 15Ql + 9Qm > = 45 Restrição lógica 1) Ql >=0 Restrição lógica 2) Qm > = 0
15
Uma outra importante aplicação de programação linear é na área de transportes. Na maioria dos casos de utilização de P.Linear nesta área trabalha-se com o objetivo de minimizar o custo total de transporte através da escolha do melhor caminho a seguir ou através da definição das quantidades de mercadoria que deverão ser transportadas de cada ponto de produção/distribuição até cada ponto de recebimento. Um problema clássico de transportes tem as seguintes características: Certo material deve ser transportado do ponto de produção/distribuição (origem) para o ponto de recebimento (destino); A quantidade total disponível nas origens é igual ou menor que as necessidades dos destinos; Existe uma demanda ou capacidade máxima de armazenagem associada a cada ponto de destino; Existe um custo associado à distribuição/transporte da mercadoria de cada origem para cada destino; O custo total de distribuição/transporte deve ser minimizado. Este tipo de problema pode ser representado matematicamente (modelado) e resolvido como um problema de Programação Linear. Um exemplo deste tipo de modelagem é mostrado abaixo: Exemplo 2.3 A empresa Natural tem 3 engarrafadoras de água mineral que abastecem diretamente 4 supermercados. No mês passado entregou 5400 caixas de água para estes supermercados. O transporte é feito por um terceirizado e o seu custo no mês passado foi de R$24.600,00. Isto representa quase 55% do faturamento da Natural. Devido à participação muito elevada do custo de transporte no custo total da empresa sua equipe de consultores foi chamada. A Natural quer saber se existe uma maneira de gastar menos com transporte aumentando, então, o lucro da empresa. Observe que a hipótese de baixar os preços cobrados pela terceirizada já foi tentada pelo administrador sem resultado e que esta empresa transportadora é ainda a de menor custo para a Natural. Sua equipe, então, concluiu que a única maneira de baixar o custo total com transporte é repensando o plano de transporte observando, é claro, as demandas de cada supermercado e capacidades das unidades engarrafadoras (Quadro 4.3). Os dados relativos aos custos de transporte são os descritos abaixo. Com base nestes dados formule um novo plano de transporte para o próximo mês que leve ao custo mínimo possível. Depósito/ Engarrafadora EA EB EC Demanda mês passado
Quadro 2.3 – Custos de Transporte (R$/caixa) S1 S2 S3 S4 R$ 5,00 R$ 4,00 R$6,00 1700
R$ 3,00 R$ 7,00 R$ 5,00 1000
R$ 2,00 R$ 8,00 R$ 3,00 1500
R$ 6,00 R$ 10,00 R$8,00 1200
Capac em cx/mês 1700 2000 1700 -
Para a construção de um modelo de transportes a elaboração de um grafo que resume todos os dados do problema é de grande importância, como pode ser observado abaixo:
16
Representação Gráfica do Exemplo 2.3
Disponibilidades (Caixas/mês)
Demandas (Caixas/mês) 5
1700
3
EA
1700 2
S1 6
4
2000 EB
8 6
1000
7
S2
10
1500
5 3
1700
S3 8
EC Total:
5400 caixas
1200 S4
5400 caixas
Dado o grafo acima pode-se iniciar a construção do modelo matemático que melhor representa o problema. No modelo mais simples de transportes, como o descrito acima, deve-se modelar a situação de maneira a obter quanto deverá ser transportado de produto ou insumo de cada região produtora para cada região consumidora resultando, portanto, nas seguintes variáveis de decisão: Definindo as Variáveis de Decisão: XA1 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 1; XA2 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 2; XA3 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 3; XA4 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora A para o supermercado 4; XB1 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 1; XB2 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 2; XB3 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 3; XB4 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora B para o supermercado 4; XC1 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 1; XC2 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 2; XC3 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 3; XC4 = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora C para o supermercado 4. Ou, de maneira mais geral: Xij = número de caixas de água mineral transportar da engarrafadora i( i=A,B,C) para o supermercado j (j=1,2,3,4).
17
O segundo passo será criar a função objetivo que representará matematicamente o custo total de transporte da empresa. Isto envolverá a obtenção do custo unitário do transporte do produto ou insumo de cada região produtora para cada região consumidora (Quadro 4.3). Esta função objetivo será a soma dos custos de transportar cada caixa de cada engarrafadora até cada supermercado. Modelando a Função Objetivo Minimizar Custo Total de Transporte = Custo de transportar caixas da engarrafadora A para os supermercados 1,2,3,4 + custo de transportar caixas da engarrafadora B para os supermercados 1,2,3,4 + custo de transportar caixas da engarrafadora C para os supermercados 1,2,3,4 Ou seja: Min Custo = 5XA1 + 3XA2 + 2XA3 + 6XA4 + 4XB1 + 7XB2 + 8XB3 + 10XB4 + 6XC1 + 5XC2 + 3XC3 + 8XC4 Com a função objetivo pronta o próximo passo seria modelar matematicamente as restrições do problema de transportes. Mas, quais as restrições que esta empresa enfrenta no seu dia a dia? Duas coisas devem estar claras neste tipo de modelo: 1o) Não pode sair mais produto ou mercadoria de cada unidade produtora (origem) do que a mesma tem disponível ou pode produzir (restrições de produção): SAÍDAS <= ou = DISPONIBILIDADE NA ORIGEM 2o) Não se deve receber menos no ponto de destino do que foi solicitado (restrições de demanda): ENTRADAS >.= ou = DEMANDAS NO PONTO DE DESTINO Modelando as Restrições: Restrições de Produção: ProdEA) XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1700 ProdEB) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 2000 ProdEC) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1700 Restrições de Demanda: DemS1) XA1 + XB1 + XC1 = 1700 DemS2) XA2 + XB2 + XC2 = 1000 DemS3) XA3 + XB3 + XC3 = 1500 DemS4) XA4 + XB4 + XC4 = 1200 Restrições Lógicas: XA1 , XA2 , XA3 , XA4 , XB1 , XB2 , XB3 , XB4 , XC1 , XC2 , XC3 , XC4 > = 0
18
Modelo Final: Min Custo ) 5XA1 + 3XA2 + 2XA3 + 6XA4 + 4XB1 + 7XB2 + 8XB3 + 10XB4 + 6XC1 + 5XC2 + 3XC3 + 8XC4 s.a. ProdEA) XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1700 ProdEB) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 2000 ProdEC) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1700 DemS1) XA1 + XB1 + XC1 = 1700 DemS2) XA2 + XB2 + XC2 = 1000 DemS3) XA3 + XB3 + XC3 = 1500 DemS4) XA4 + XB4 + XC4 = 1200 XA1 , XA2 , XA3 , XA4 , XB1 , XB2 , XB3 , XB4 , XC1 , XC2 , XC3 , XC4 > = 0 Importante: As igualdades definidas nas restrições de produção e nas restrições de demanda somente foram possíveis porque a soma do que se tinha disponível nas engarrafadoras (5400 caixas) é exatamente igual à soma das demandas dos supermercados (5400 caixas). Em casos que não se tem a produção = demanda ou capacidade do depósito não se pode trabalhar com igualdades e sim com < = ou > =.
Exemplo 2.4 A empresa SOGRÃOS (SG) compra grãos (arroz, feijão, etc.) em 3 regiões produtoras localizadas no interior de Santa Catarina e os deposita em três centros de distribuição (CD1,CD2,CD3) para posterior comercialização. Esta compra e entrega aos centros de distribuição tem um custo elevado para a SG e é realizada por uma empresa terceirizada. O Quadro abaixo mostra os custos de transporte praticados por esta terceirizada (R$/ton transportada). A empresa precisa definir para a terceirizada a cada semana quantas toneladas de grãos esta deve transportar de cada região produtora para cada CD cujas capacidades de armazenagem são CD1 = 150 ton. , CD2 = 380 ton. e CD3 = 420 toneladas de grãos. É bastante claro que esta definição deve ser a que proporciona à empresa o menor custo total de transporte. Formule o modelo sabendo que as região produtoras A, B e C entregam à empresa no máximo 310, 500 e 200 toneladas de grãos a cada semana, respectivamente. Quadro 2.4. Custo de Transporte em R$/toneladas transportadas Regiões de Produção/ CD1 CD2 CD3 CDs A 7 12 14 B 8 11 13 C 6 10 9 Para a construção de um modelo de transportes pode-se iniciar pelo grafo que representa este problema, como segue:
19
Representação Gráfica do Exemplo 2.4 Disponibilidades (ton/semana)
Capacidades dos CDs (ton/semana) 7
310
150
12
RPA
CD1 14 8
500
380
11 13
RPB 6
CD2
10 9
200 RPC Total: 1010 ton.
420 CD3 950 ton.
Definindo as variáveis de decisão: QA1=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 1 QA2=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 2 QA3=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora A para o centro de distribuição 3 QB1=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 1 QB2=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 2 QB3=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora B para o centro de distribuição 3 QC1=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 1 QC2=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 2 QC3=Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora C para o centro de distribuição 3 Ou: Qij =Quantidade, em toneladas, a ser transportada da região produtora i (i=A,B,C) para o centro de distribuição j (1,2,3)
Modelando a Função Objetivo: O objetivo da empresa SG é o de obter o menor custo possível com o transporte de grãos das três regiões produtoras para os três CDs. Tem-se, então: Min Custo) 7QA1 + 12QA2 + 14QA3 + 8QB1 + 11QB2 +13QB3 + 6QC1 + 10QC2 + 9QC3 Modelando as restrições: regras:
As restrições que representam o problema do exemplo acima devem obedecer as seguintes
1o) Não pode sair mais produto (toneladas de grãos) das regiões produtoras do que elas tem disponível; 2o) Os centros de distribuição devem receber (toneladas de grãos) tudo que lhes é possível armazenar.
20
Então: Restrições de produção: CapRPA) QA1 + QA2 + QA3 <= 310 CapRPB) QB1 + QB2 + QB3 < = 500 CapRPC) QC1 + QC2 + QC3 < = 200 Restrições de capacidade de armazenagem: CapCD1) QA1 + QB1 + QC1 = 150 CapCD2) QA2 + QB2 + QC2 = 380 CapCD3) QA3 + QB3 + QC3 = 420 Restrições Lógicas: QA1 , QA2 , QA3 , QB1 , QB2 , QB3 , QC1 , QC2 , QC3 > = 0 Modelo Final: Min Custo) 7QA1 + 12QA2 + 14QA3 + 8QB1 + 11QB2 +13QB3 + 6QC1 + 10QC2 + 9QC3 s.a. CapRPA) QA1 + QA2 + QA3 <= 310 CapRPB) QB1 + QB2 + QB3 < = 500 CapRPC) QC1 + QC2 + QC3 < = 200 CapCD1) QA1 + QB1 + QC1 = 150 CapCD2) QA2 + QB2 + QC2 = 380 CapCD3) QA3 + QB3 + QC3 = 420 QA1 , QA2 , QA3 , QB1 , QB2 , QB3 , QC1 , QC2 , QC3 > = 0 Baseado nos exemplos acima é possível construir um modelo genérico que pode ser aplicado a qualquer problema de transporte de mercadorias de seus pontos de origem até seus pontos de destino. Este modelo será:
Min
m n Σ Σ cij xij i=1 j=1
s.a. n Σ xij j=1
= si
m Σ xij = d j
para i = 1, ...,m para j = 1,...,n
i=1
xij >= 0 onde: cij = custo de distribuição ou transporte de produto entre a origem i e o destino j; xij = total a ser distribuído de i para j
21
si = total produzido ou disponível; d j = total a ser armazenado ou demanda de cada local. Exemplo 2.5. (adaptado de Mathur e Sollow, 1997) A agência do Banco Bradesco situada na Trindade requer de 8 a 15 funcionários para atendimento ao público, dependendo do horário do dia. Esta agência trabalha com funcionários de tempo integral em turno de 8 horas consecutivas e recebendo $15 por hora trabalhada. Estes funcionários iniciam às 8 horas da manhã. Tem também alguns estagiários com turno de 4 horas por dia podendo iniciar às 8 horas, 10 horas ou 12horas. Estes recebem $8 por hora. O Sindicato dos Bancários estabelece que ao menos 60% dos caixas sejam funcionários em tempo integral. Como gerente de recursos humanos faça uma recomendação do número de funcionários em tempo integral e número de estagiários em tempo parcial o banco necessita para minimizar o custo total diário e que atenda aos requerimentos mínimos de funcionários em cada horário estabelecidos na tabela abaixo: Quadro 2.5 – Número Mínimo de Funcionários em cada período Período Número Mínimo de Funcionários 8 - 10 horas 8 10 – 12 horas 10 12 – 14 horas 15 14 – 16 horas 12 Solução: Obviamente estamos diante de um modelo de Programação inteira pois não se pode ter 0,8 ou 4,3 funcionários. Variáveis de Decisão: Como deseja-se conhecer o número de funcionários em tempo integral e parcial que o banco deve dispor nesta agência teremos como variáveis de decisão as seguintes: I = número de funcionários em tempo integral P = número de estagiários em tempo parcial Porém, devemos lembrar que os estagiários por trabalharem somente 4 horas por dia tem diferentes horários de entrada e, por conseguinte, diferentes turnos de trabalho. Para que o modelo retorne quantos estagiários devem trabalhar em cada turno a variável de decisão P deve ser dividida em três, uma para cada turno de trabalho. Temos então: Variáveis de Decisão: I = número de funcionários em tempo integral P8 = número de estagiários em tempo parcial que iniciam às 8 horas; P10 = número de estagiários em tempo parcial que iniciam às 10 horas; P12 = número de estagiários em tempo parcial que iniciam às 12 horas; Função Objetivo: A função objetivo deve minimizar o custo total da Agência bancária, ou s eja: Custo Total Diário = custo com funcionários em tempo integral + custo com estagiários que iniciam às 8 horas + custo com estagiários que iniciam às 10 horas + custo com estagiários iniciam às 12 horas
22
A função objetivo será, portanto: Min Custo) 120F + 32P8 + 32P10 + 32P12 Aonde: 120 vem de $15 por hora vezes o número de horas trabalhadas por dia (8) e 32 vem de 4 horas vezes $8. Restrições: O último passo requerimentos:
será o de modelar as restrições que deverão obedecer os seguintes
a) número mínimos de funcionários/estagiários em cada turno (tabela 1) b) imposição do sindicato de que ao menos 60% dos trabalhadores do banco sejam funcionários em tempo integral.
Para o item a) graficamente tem-se:
Tempo integral (I) Tempo parcial com Início às 8 horas (P8) Tempo parcial com Início às 10 horas (P10) Tempo parcial com Início às 12 horas (P12)
8h
10 h
12 h
14 h
16 h
Através do diagrama acima pode-se observar os intervalos para os quais teremos que construir restrições para que a solução obedeça as necessidades do banco em termos de número mínimo de funcionários em cada período. Por exemplo: segundo a tabela acima no período de 8 às 10 o banco necessita de no mínimo 8 funcionários. Olhando o diagrama tem-se que neste período somente os funcionários de tempo integral (I) e os estagiários de tempo parcial que iniciam seu turno às 8 horas estão presentes. Escreve-se, então: I + P8 >= 8 No segundo turno (10-12h) o banco necessita de 10 funcionários. Observando-se o diagrama acima tem-se que estão presentes os funcionários de tempo integral (I), os estagiários que iniciam às 8 horas (P8) e os estagiários que iniciam às 10 horas (P10). Tem-se então: I + P8 + P10 > = 10
23
Das 12 às 14 horas o banco necessita de pelo menos 15 funcionários. Neste horário podem estar presentes, segundo o diagrama, os funcionários de tempo integral (I), os estagiários que iniciam às 10 horas (P10) e os estagiários que iniciam às 12 horas (P12). A restrição será: I + P10 + P12 > = 15 Das 14 às 16 horas o banco necessita de pelo menos 12 funcionários. Neste horário podem estar presentes, segundo o diagrama somente os funcionários de tempo integral (I),e os estagiários que iniciam às 12 horas (P12). A restrição será: I + P12 > = 12
Prontas as restrições que representam o número mínimo de funcionários/estagiários em cada período tem-se ainda que construir as restrições relativas à imposição do sindicato. Lembrem que o sindicato exige que ao menos 60% do total dos bancários sejam funcionários em tempo integral (I). Isto vale para qualquer horário em que o banco estiver em funcionamento. Tem-se, então, que obedecer esta imposição durante os quatro períodos. Usando as variáveis de decisão anteriormente definidas tem-se: I > = 0.6(I+P8) ou I > = 0.6 (I + P8 + P10) ou I > = 0.6 (I + P10 + P12) I > = 0.6 (I + P12)
0.4I – 0.6P8 > =0 0.4I – 0.6P8 – 0.6P10 > = 0 ou 0.4I – 0.6P10 – 0.6P12 > = 0 ou 0.4I – 0.6P12 > = 0
Adicionando-se as restrições lógicas que impõem que as variáveis somente assumem valores positivos e inteiros tem-se: Modelo Final: Min Custo) 120I + 32P8 + 32P10 + 32P12 s.a. Min8-10) I + P8 >= 8 Min 10-12) I + P8 + P10 > = 10 Min 12-14) I + P10 + P12 > = 15 Min 12-14) I + P12 > = 12 Prop8-10) 0.4I – 0.6P8 > =0 Prop10-12) 0.4I – 0.6P8 – 0.6P10 >=0 Prop 12-14) 0.4I – 0.6P10 – 0.6P12 >=0 Prop 14-16) 0.4I – 0.6P12 >=0 I, P8, P10, P12 >= 0 e inteiros
24
Atividade de Fixação Unidade 04
1. Suponha que uma empresa tenha selecionado cinco propostas de investimentos cujas características essenciais são:
'()E*N')IV'+,
'
Valor do Investimento Necessário 500.000
B
&
%
E
300.000
400.000
200.000 100.000
360.000
460.000
220.000 105.000
Valor Presente dos Benefícios Econmicos Es!erados
650.000
Se as propostas forem independentes e os recursos limitados em R$ 1.000,00 em quais projetos a empresa deveria investir de maneira a maximizar o valor presente líquido total?
2. A microempresa SOLID COMPUTER (SC) monta 4 tipos de microcomputadores (A,B,C,D). O computador A dá à empresa um lucro de R$ 150,00 enquanto os computadores B,C e D tem lucros de R$ 190,00, R$ 180,00 e R$ 200,00, respectivamente. O micro A necessita de 0,9h/unidade de mão de obra enquanto que B, C e D necessitam 1,2h/unid., 1,0h/unid. e 1,3h/unid. de mão-de-obra. A empresa precisa de um espaço de estocagem para cada tipo de microcomputador assim estimado: 0,7 m3/unid, 1,0 m3/unid, 1,2 m3/unid. e 0,9 m3/unid. para os microcomputadores do tipos A,B,C e D, respectivamente. O consumo em R$ com matéria prima varia com o tipo de microcomputador. O tipo A consome, por semana, R$ 1.200,00/unid., o tipo B consome R$ 1.000,00/unid. o tipo C consome R$ 900,00/unid e o tipo D R$ 1.300,00/unid. As disponibilidades destes recursos são: 300 h de trabalho por semana, 260 m3 de galpão para estocagem e R$ 400.000,00 para aquisição de matéria prima por semana. A SC deseja saber quantos microcomputadores de cada tipo deve montar por semana de maneira a maximizar seu lucro. Monte o modelo. 3. MTV Companhia produz três tipos de tubos: A,B e C, que vende, respectivamente por $ 10,00, $12,00 e $9,00 por metro. Para produzir cada metro do tubo do tipo A são requeridos 0,5 minutos de tempo de processamento em um tipo particular de máquina. Cada metro do tubo tipo B precisa 0,45 minutos e cada metro do tubo do tipo C precisa de 0,6 minutos. Após a produção cada metro de tubo, independente do tipo, requer 1 kg de material de moldagem. O custo total é estimado em $3,00, $4,00, e $4,00 por metro dos tubos dos tipos A,B e C, respectivamente. Para a próxima semana, a empresa recebeu um pedido grande de 2000 metros do tubo do tipo A, 4000 metros do tubo do tipo B, e 5000 metros do tubo do tipo C. Como somente 40 horas de tempo de máquina estão disponíveis esta semana e 5500 kg de material de moldagem estão em inventário, o departamento de produção não estará apto a satisfazer estas demandas, as quais requerem um total de 97 horas de tempo de máquina e 11.000 kg de material de moldagem. Este alto nível de demanda não é esperado continuar. Antes do que expandir a capacidade de produção, o administrador da MTV está considerando comprar alguns destes tubos de fornecedores no Japão a um custo de $6 por metro do tubo tipo A, $6 por metro do tubo tipo B e $7 por metro do tubo do tipo C. Estes vários dados estão resumidos na tabela que segue. Como administrador do departamento de produção, você foi solicitado a fazer recomendações de quanto comprar de cada tipo de tubo do Japão e quanto produzir de modo a satisfazer as demandas e maximizar o lucro da empresa. Formule o modelo. Tubos Preço de Demanda Tempo de Material de Custo de Custo de venda ($/m) (m) Máquina Moldagem Produção Compra
25
Tipo A Tipo B Tipo C
10 12 9
2000 4000 5000
(min/m) 0.50 0.45 0.60
(kg/m) 1 1 1
($/m) 3 4 4
($/m) 6 6 7
3. O departamento de Nutrição do Hospital Celso Ramos prepara 30 menus de jantares, um para cada dia do mês. Uma refeição consiste de espagheti, frango, batatas assadas, espinafre e torta de maçã. Como diretor do departamento de nutrição você determinou que esta refeição deve fornecer 63000 miligramas (mg) de proteina, 10 mg de ferro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina e 50 mg de vitamina C. Cada 100 gramas destes alimentos fornece a quantia de cada nutriente e gordura indicados na tabela que segue.
Espagheti Frango Batatas assadas Espinafre Torta de Maçã
Proteina 5000 29300 5300 3000 4000
Nutrientes (mg/100 g) Ferro Niacina Tiamina 1.1 1.4 0.18 1.8 5.4 0.06 0.5 0.9 0.06 2.2 0.5 0.07 1.2 0.6 0.15
Vitamina C 0.0 0.0 10.0 28.0 3.0
Gordura 5000 5000 7900 300 14300
Para evitar muito alimento de um tipo, não mais do que 300 gramas de espagheti, 300 gramas de frango, 200 gramas de batatas assadas, 100 gramas de espinafre e 100 gramas de torta de maçã devem ser incluídas na refeição. Como diretor do departamento de nutrição você deve determinar a composição da refeição que satisfaça os requerimentos nutricionais e fornece uma refeição com a mínima quantidade de gordura. Formule o modelo. 4. Uma pessoa deseja investir R$ 100.000,00 em ações de empresas brasileiras. Em uma primeira análise, baseada em indicadores fundamentalistas do tipo preço/lucro da ação, preço/valor patrimonial, rentabilidade do patrimônio líquido, rentabilidade do ativo e liquidez geral, selecionou as cinco ações constantes da tabela abaixo. A coluna que informa o Beta da ação significa o quanto a mesma variou em um determinado período (1 mês) em comparação ao índice Bovespa, ou seja, um Beta de 1 significa que a ação acompanhou a variação do Ibovespa. Os valores de CAPM abaixo indicam o retorno esperado de cada ação para o período de 1 mês. Dadas estas informações o investidor deseja que você formule um modelo que indique a ele o quanto (R$) investir em cada empresa de maneira a maximizar o retorno esperado enquanto obtém um beta ponderado de 120000 (beta da ação * quantia investida em cada empresa). O investidor não deseja colocar mais do que R$ 50.000,00 na ação da empresa Klabin e deseja também investir pelo menos R$ 20.000,00 na empresa Sid Tubarão, devido ao alto risco do negócio. Monte o modelo. . Ação Telemig Celular Part PN Sid Tubarão PN Souza Cruz ON Bradespar PN Klabin PN
Código TMCP4
Beta -0,13
CAPM (%) -0,1
CSTB4 CRUZ3 BRAP4 KLBN4
3,83 0,67 1,00 - 0,47
12,76 2,57 3,62 -1,11
5. Um agricultor pode produzir bois para abate e ovelhas para lã. A produção de um boi por ano requer a existência de um rebanho bovino que ocupa 11 ha de pastagens e que exige 1 hora de trabalho por dia. A produção de uma tonelada de lã por ano requer a existência de um rebanho ovino que ocupa sessenta hectares de pastagens e que exige duas horas de trabalho por dia. O produtor prevê lucros de oito mil reais por boi e de vinte e um mil reais por tonelada de lã produzidos. Seus recursos
26
produtivos são limitados a quinhentos hectares de pastagens e, dado que seus dois filhos o auxiliam no trabalho, dispõe de vinte e quatro horas de trabalho diárias. O produtor desejaria seguir um plano que maximizasse seus lucros totais. Formule o modelo. 6. (adaptado de Ramalhete, 1994) Uma empresa obteve de um comprador o seguinte pedido para os próximos meses: 210 motores elétricos em Janeiro, 140 em fevereiro, 180 em Março e 160 em abril. A capacidade normal de produção é de 190 motores por mês e os custos de produção são $20, $22, $25 e $27 por motor em janeiro, fevereiro, março e abril, respectivamente. Sabe-se que a capaci dade de armazenagem da empresa apenas é suficiente para 120 motores, que já existem 50 motores em estoque e que o custo médio de armazenagem é de $0.5 por motor. Determine o programa de produção que minimiza o custo total de produção e armazenagem. 7. (adaptado de Ramalhete, 1994) Uma empresa obteve de um comprador o seguinte pedido para os próximos meses: 210 motores elétricos em Janeiro, 140 em fevereiro, 180 em Março e 160 em abril. A capacidade normal de produção é de 190 motores por mês e os custos de produção são $20, $22, $25 e $27 por motor em janeiro, fevereiro, março e abril, respectivamente. Utilizando horas extras a empresa consegue produzir um adicional de 30 motores por mês ao custo unitário de $25 em janeiro, $27 em fevereiro, $30 em março e $32 em abril. Finalmente a empresa pode subcontratar a produção em qualquer quantidade de motores ao custo unitário de $30 em janeiro e fevereiro e $35 em março e abril. Sabe-se também que a capacidade de armazenagem da empresa apenas é suficiente para 120 motores, que já existem 50 motores em estoque e que o custo médio de armazenagem é de $0.5 por motor. Determine o programa de produção que minimiza o custo total de produção e armazenagem. 8. Uma microempresa situada em Joinville produz diariamente três modelos de abrigos de moleton: luxo, padrão e infantil. Para produzir um abrigo tipo luxo é preciso utilizar 0,22 h de corte, 0,35h de costura e 2,1m2 de tecido. O lucro do abrigo luxo é de R$ 18,00. Para produzir um abrigo do tipo padrão é preciso utilizar 0,16h de corte, 0,32h de costura e 2,3 m2 de tecido. O lucro por abrigo é de R$ 14,00. Para produzir o abrigo infantil é preciso de 0,22h de corte, 0,30h de costura e 1,5m2 de tecido. O lucro por abrigo infantil é de R$ 13,00. Sabe-se que a microempresa dispõe, atualmente, de 12 funcionários no setor de corte e 15 funcionários no setor de costura, todos trabalhando 8 horas por dia. Dispõe também de 300 m2 de tecido. Formule um modelo que indique ao dono da microempresa quantas unidades de cada abrigo devem ser produzidas para maximizar o lucro total. 9. Uma serralheria produz três tipos de telas metálicas: A,B e C. Para produzir 1 m2 de tela tipo A são necessários 20m de arame, 1 hora de solda e 1,2 horas de montagem. O lucro é de R$ 13,00/m2 de tela A. Para produzir um m2 de tela tipo B são necessários 26 m de arame, 1,2 horas de solda e 1,7 horas de montagem. O lucro é de R$ 15,00/m2 de tela B. Para produzir 1 m2 de tela tipo C são necessários 15 m de arame, 0,9 horas de solda e 1,0 horas de montagem. O lucro é de R$ 10,00/m2 de tela C. A empresa dispõe de 200 m de arame, 80h de solda e 96 h de montagem para cada dia de trabalho. Formule o problema decisório de estabelecer um plano de produção diário que maximize o lucro da empresa. 10. Uma metalúrgica compra ferro velho de três fornecedores diferentes: A,B e C. Cada carga do fornecedor A contém 2,0 ton de ferro, 2,0 ton. de alumínio e 1,3 ton. de cobre. O custo da carga é de R$ 400,00. Cada carga do fornecedor B contém 1,3 ton de ferro, 2,4 ton. de alumínio e 1,9 ton. de cobre. O custo da carga é de R$ 580,00. Cada carga do fornecedor C contém 0,6 ton de ferro, 3,5 ton. de alumínio e 0,9 ton. de cobre. O custo da carga é de R$ 390,00. A metalurgia precisa adquirir, para a próxima semana, pelo menos 25 toneladas de cada um dos metais citados (ferro, alumínio e cobre). Quantas cargas devem ser adquiridas de cada fornecedor para minimizar o custo de aquisição dos metais? 11. A Petrobrás pode comprar dois tipos de óleo cru: óleo leve a um custo de $25 por barril e um óleo pesado a um custo de $ 22 por barril. Cada barril de óleo cru, quando refinado, produz três tipos de
27
produtos: gasolina, óleo diesel e querosene. A seguinte tabela indica as quantidades em barris de gasolina, óleo diesel e querosene produzidas por cada barril de cada tipo de óleo cru. Gasolina Óleo Diesel Querosene Óleo Leve
0.45
0.18
0.30
Óleo Pesado
0.35
0.36
0.20
A refinaria tem contratado a entrega de 1.260.000 barris de gasolina, 900.000 barris de óleo diesel e 300.000 barris de querosene. Como administrador de produção, formule um modelo para determinar a quantia de cada tipo de óleo cru comprar que minimize o custo total ao mesmo tempo que satisfaz a demanda. 12. Uma microempresa do setor de alimentos tem uma sobra de caixa de R$ 500.000,00 em determinado mês e decide investir esta quantia em fundos de investimento da corretora Hedging & Griffo. Escolheu o Fundo Verde e o Fundo Ouro para realizar este investimento. Consultando o site da corretora anotou que o fundo verde rendeu cerca de 50% no último ano e que o fundo ouro rendeu cerca de 39%. Sabe que o fundo verde tem boa parte de seus ativos aplicados em câmbio e, portanto, o risco de qualquer quantia investida neste fundo é grande. Já o fundo ouro investe em ativos bastante diversificados resultando em um risco menor para o aplicador. A empresa quer aplic ar nos dois fundos e decide que o investimento no fundo verde não deve ultrapassar 65% do total investido. Devido ao risco elevado do fundo verde a empresa decide, também, que o total investido no fundo ouro deve ser de pelo menos 2 vezes o total investido no fundo verde. Formule o modelo que indique à microempresa quanto investir em cada fundo para maximizar o retorno esperado. 13. (adaptado de Ramalhete, 2000) Uma agroindústria pretende determinar as quantidades de cada tipo de ração que devem ser dadas diariamente a cada animal de maneira a conseguir formar uma ração balanceada em termos de carbohidratos, vitaminas e proteínas a um custo mínimo. Os dados relativos ao custo de cada tipo de ração, as quantidades mínimas diárias de ingredientes nutritivos básicos a fornecer a cada animal, bem como as quantidades destes existentes em cada tipo de ração (g/kg) constam no quadro abaixo.: Ingredientes nutritivos Carbohidratos(g/kg) Vitaminas(g/kg) Proteínas(g/kg) Custo ($/kg)
Ração A
Ração B
20 50 30 10
50 10 30 5
Quantidade Mínima Requerida(gramas) 200 150 210
Formule o modelo de programação linear. 14. A empresa “Produtos da Fazenda” tem duas máquinas diferentes para processar leite bruto em leite light, manteiga e queijo. A quantia de tempo requerida em cada máquina para produzir cada unidade do produto resultante e os lucros líquidos são apresentados na seguinte tabela: Leite Light Manteiga Queijo (litros) (kg) (kg) Máquina 1 0.2 min/litro 0.5 min/kg 1.5 min/kg Máquina 2 0.3 min/litro 0.7 min/kg 1.2 min/kg Lucro líquido $ 0.22/litro $ 0.38/kg $ 0.72/kg Assumindo que 8 horas por dia são disponíveis em cada máquina, como administrador do departamento de produção, formule um modelo para determinar o plano de produção diário que maximize o lucro líquido da empresa e produza um mínimo de 300 litros de leite light, 200 kg de manteiga e 100 kg de queijo.
28
15. A empresa “Carrega Óleo”, situada perto do Rio de Janeiro, fornece gasolina para seus distribuidores por caminhão. Tendo fechado recentemente um contrato para começar a fornecer 800.000 litros de gasolina por mês para distribuidores em São Paulo necessita criar um frota para atender esta demanda. A companhia tem $500.000 disponível para criar esta frota consistindo de três tipos diferentes de caminhões. A capacidade, custo de operação e número máximo de viagens para cada tipo de caminhão são dados na tabela abaixo: Tipo de Capacidade Custo Custo por No. máximo de Caminhão (litros) Compra($) viagem ($) viagens por mês 1 6.000 50.000 800 20 2 3.000 40.000 650 25 3 2.000 25.000 500 30 O gerente desta empresa não quer comprar mais do que 10 caminhões para sua frota assim como gostaria de assegurar que ao menos 3 caminhões do tipo 3 sejam comprados (eles são necessários para rotas de viagens curtas e demanda baixa). Finalmente, o empresário não quer mais do que metade da sua frota formada de caminhões do tipo 1. Como administrador de operações formule um modelo para determinar a composição da frota que minimiza o custo mensal de operação enquanto satisfaz a demanda, ficando dentro do orçamento e satisfazendo os outros requerimentos da companhia. 16. A empresa “Produtos da Fazenda” tem 50 hectares de terra para plantar qualquer quantia de milho, soja, alface, algodão e brócolis. A seguinte tabela apresenta as informações relevantes com relação à produção, custo de plantio, preço de venda e os requerimentos de água por cada colheita: Colheita Produção Custo Preço de Requerimentos de (kg/ha) ($/kg) Venda ($/kg) Água (litros/Kg) Milho 640 1.00 1.70 8.75 Soja 500 0.50 1.30 5.00 Alface 400 0.40 1.00 2.25 Algodão 300 0.25 1.00 4.25 Brócolis 350 0.60 1.30 3.50 Para a próxima estação existem 100.000 litros de água disponível e a companhia tem contratado vender ao menos 5120 kg de milho. Formule o programa linear para determinar o planejamento ótimo de plantio para a empresa. Use o número de hectares de cada plantio como variável de decisão e monte um modelo cujo objetivo é de maximizar o lucro da empresa. 17. Reformule o modelo linear do exercício anterior utilizando como variáveis de decisão o número de quilogramas de cada plantio. 18. Uma companhia exportadora de café dispõe de estoques em quatro portos brasileiros, conforme mostra a tabela 1 abaixo. Em virtude dos contratos de fornecimento já assinados, a companhia precisa transferir, dentro de um mês, para seus quatro armazéns no exterior, determinadas quantidades, conforme mostra a tabela 2. Os custos de transporte são os definidos na tabela 3. Construa um modelo que minimize o custo de transporte do exportador. Tabela 1. Estoques de Café em cada Porto Porto Quantidade (t) Paranaguá 120 Santos 100 Rio de Janeiro 100 Vitória 100
29
Tabela 2. Quantidade de Café Necessária em cada Armazém no Exterior Porto Quantidade(t) Nova York 100 Hamburgo 80 Le Havre 90 Bordeux 150 Tabela 3. Custos de Transporte ($) Porto de Destino Nova York Hamburgo LE Havre Porto de Origem Paranaguá 70 30 20 Santos 50 40 10 Rio de Janeiro 30 20 40 Vitória 55 20 40
Bordeux 25 25 80 80
19. Um intermediário abastece três feirantes que operam em cidades diferentes (A, B e C) com ovos que adquire em quatro granjeiros localizados em cidades diferentes (I,II,III e IV). Os preços pagos pelo intermediário para os granjeiros não tem diferença entre si, do mesmo modo quanto aos preços que os feirantes lhe pagam. O intermediário só consegue algum lucro fazendo com que o seu custo de transporte seja o menor possível. O quadro abaixo dá o custo de transporte entre os granjeiros e os feirantes, em R$/dúzia de ovos. O quadro também mostra as quantidades de ovos que cada granjeiro pode fornecer na próxima semana e as encomendas de ovos dos feirantes: Granja \ Feirante I II III IV Encomendas (dz)
A 0,35 0,37 0,41 0,36 1250
B 0,27 0,25 0,32 0,22 1550
C 0,33 0,38 0,38 0,39 2300
Oferta (dz) 1700 1100 2000 2000 ****
Formule o problema de atender as encomendas a partir das ofertas de modo a minimizar o custo. Não esqueça de explicar o significado das suas variáveis ! 20. Uma empresa tem três fábricas que distribuem sua produção para quatro depósitos. • A capacidade da fábrica 1 é de 2.2 mil unidades de produto por semana, produção esta que é obtida a um custo médio de $53 mil por mil unidades. • A capacidade da fábrica 2 é de 3,4 mil unidades de produto por semana, produção esta que é obtida a um custo médio de $68 mil por mil unidades. • A capacidade da fábrica 3 é de 1,8 mil unidades de produto por semana, a um custo médio de $84 mil por mil unidades de produto. A gerência central tem os seguintes pedidos de entrega de produto nos diversos depósitos para a próxima semana: (a) o depósito 1 solicitou um total de 0,85 mil unidades; (b) o depósito 2 solicitou um total de 0,75 mil unidades; (c) o depósito 3 solicitou um total de 1,34 mil unidades; (d) o depósito 4 solicitou um total de 1,60 mil unidades. Os custos de transporte entre as diversas fábricas e depósitos é como segue (em $ mil/mil unidades de produto): Depósitos - > 1 2 3 4 Fábricas ! 1 26 30 54 43 2 45 35 30 52
30
3 53 32 41 20 O problema da gerência é estabelecer a produção e a distribuição da próxima semana de modo a minimizar o custo total de atender às solicitações dos depósitos. (obs.: supõe-se que a produção da semana pode ser toda entregue aos depósitos na mesma semana) Variável de decisão sugerida:xij = quantidade produzida na fábrica i que é destinada ao depósito j (em 1000 unidades) 21. Um fabricante de artigos de plástico possui em estoque 1200 caixas de envóluc ros transparentes em uma de suas fábricas e 1000 caixas em uma segunda fábrica. O fabricante recebeu pedidos deste produto proveniente de três diferentes varejistas nas quantidades de 1000, 700 e 500 caixas, respectivamente. Os custos unitários de expedição (em centavos por caixa) desde as fábricas até os varejistas são os seguintes: Varejista 1 Varejista 2 Varejista 3 Fábrica 1 14 13 11 Fábrica 2 13 13 12 Determine o programa de expedição que atenda todas as demandas a partir do estoque disponível, a um custo mínimo. 22. MTI é uma empresa que fabrica e exporta equipamentos de raio X de alta resolução utilizados em hospitais. Esta empresa conta, atualmente, com três fábricas no Brasil que exportam para quatro centros consumidores situados na Japão, Coréia do Sul, Nova Zelândia e Austrália. As fábricas brasileiras situadas no Ceará, São Paulo e Rio Grande do Sul tem capacidade de produzir até 100, 200 e 150 máquinas por ano, respectivamente. Para o próximo ano os consumidores no Japão emitiram um pedido de 120 máquinas enquanto que os consumidores da Coréia do Sul necessitam de 80. Aqueles situados na Nova Zelândia precisam receber 70 máquinas enquanto os consumidores situados na Austrália emitiram um pedido de 110 máquinas. O sistema de transporte da empresa conta com centros de distribuição (CDs) intermediários cuja utilização reduz o custo total com o transporte destas máquinas até os centros consumidores. Desta forma, as máquinas produzidas no Ceará e São Paulo podem ser enviadas a centros de distribuição (CDs) situados na Hungria e África. Aquelas máquinas produzidas no Rio Grande do Sul podem ser enviadas somente para o centro de distribuição situado na África. Estes centros de distribuição não entregam diretamente a mercadoria aos consumidores pois repassam tudo que receberam para outros CDs situados em pontos mais estratégicos (Filipinas e Fiji). Os CDs não armazenam máquinas em estoque e devem, então, transportar exatamente o número de máquinas que receberam. Consumidores na Coréia do Sul e Nova Zelândia podem receber máquinas vindas tanto das Filipinas quanto de Fiji. Entretanto, devido a tratados internacionais os consumidores no Japão só podem receber máquinas vindas das Filipinas enquanto que os consumidores Australianos só podem receber máquinas vindas de Fiji. Os custos de transporte das máquinas de cada fábrica até os CDs e de cada CD até os centros consumidores estão relacionados nas tabelas abaixo. Como administrador de distribuição da empresa você foi incumbido de montar um plano de transporte que forneça à MTI o menor custo de transporte. Modele o problema. Tabela 1 – Custos com transporte ($/máquina) das fábricas até os Centros de Distribuição (CDs) Centros de Distribuição Hungria frica Ceará 200 400 São Paulo 300 400 Rio grande do Sul 500 Tabela 2 – Custos de Transporte ($/máquina) entre os Centros de Distribuição (CDs) Filipinas Fiji Hungria 800 600 África 700 400
31
Tabela 3 – Custos de Transporte dos CDs até os Centros Consumidores Centros Consumidores CDs Japão Coréia do Sul Nova Zelândia Austrália Filipinas 700 600 800 Fiji 700 500 600 23. Uma empresa dispõe de três fábricas, localizadas nas regiões A,B e C. As fábricas A e B produzem circuitos impressos para calculadoras, enquanto que a fábrica C produz visores de cristal líquido para o mesmo fim. A montagem das calculadoras pode ser feita nas fábricas B e C. Uma calculadora requer 2 circuitos e 1 visor. A fábrica A pode produzir no máximo 200 circuitos por dia. A fábrica B pode produzir até 150 circuitos por dia. Entretanto cada calculadora montada nesta fábrica reduz sua capacidade de produção de circuitos de 1,3 unidades/dia. A fábrica C pode produzir até 180 visores/dia. Todavia, cada calculadora que for montada nesta fábrica reduz aquela capacidade em 0,8 unidades/dia. O objetivo da empresa é maximizar a produção diária de calculadoras. 24. Uma fábrica de derivados de petróleo pode utilizar diversos processos. Uma unidade do processo 1 é definida pela utilização de 2 m 3 de matéria-prima A e 0,3 toneladas de matéria-prima B, gerando como produto 0,13t de produto P. O lucro por unidade do processo 1 é de $300,00. Uma unidade do processo 2 é definida pela utilização de 1 m3 de matéria-prima A, 0,6 ton. de matéria-prima B e 0,2 ton. de matéria-prima C, gerando como produto 0,1 ton. de produto P e 0,7 ton. de produto Z. O lucro por unidade do processo 2 é de $400,00. Uma unidade do processo 3 é definida pela utilização de 3 m3 de matéria-prima A, 0,5 ton. de matéria-prima C, gerando como produto 0,4 ton. de produto P, 0,15 ton. de produto Y e 0,05 ton. de produto Z. O lucro por unidade do processo 3 é de $250,00. Para o mês seguinte a fábrica dispõe de 1700 m3 de matéria-prima A, 450 ton. de matéria-prima B e 380 ton. de matéria-prima C. Por outro lado, devido a contratos já realizados, a fábrica deverá produzir pelo menos 150 ton. de cada produto (P,Y e Z). Toda quantidade produzida em excesso dos contratos pode ser comercializada sem dificuldades pela fábrica. O objetivo da gerência é maximizar lucros. (variáveis de decisão sugeridas: Xj: unidades do processo j a realizar no mês seguinte). 25. Uma firma que produz televisores tem duas fábricas (localizadas nas cidades A e B) nas quais são produzidos tubos de imagem e duas outras fábricas (localizadas nas cidades C e D) nas quais são produzidos chassis e realizadas as montagens dos televisores. Cada televisor é composto de um tubo e um chassi. A fábrica A pode produzir no máximo 900 tubos por mês a um custo médio de $ 2 mil por tubo. A fábrica B pode produzir um máximo de 1200 tubos por mês a um custo médio de $ 1,8 mil. A fábrica C dispõe de 2500 horas por mês de mão-de-obra. Nesta fábrica a produção de um chassi requer 1,2 horas de trabalho e a montagem de um aparelho requer 0,6 horas de trabalho. O custo de produção de um chassi na fábrica C é de 5,6 mil e o custo da montagem de um aparelho é de 0,9 mil. A fábrica D dispõe de 1800 horas/mês de mão-de-obra. Nesta fábrica a produção de um chassi requer 1,0 h de trabalho e a montagem de um aparelho requer 0,7 horas de trabalho. O custo de produção de um chassi na fábrica é $5,9 mil e o custo da montagem de um aparelho é de 0,8 mil. Os custo de transporte de tubos de imagem, em $ mil/tubo são como segue: De/Para A B
C 0,34 0,26
D 0,41 0,37
O custo de transporte de um chassi de C para D (ou vice-versa) é $0,23. Após a montagem os aparelhos são levados para venda nos locais E e F. A cada um destes locais devem ser destinados 800 unidades no próximo mês. Os custos de transporte dos locais de montagem aos locais de venda, em $ mil/aparelho, são como segue:
32
De/para C D
E 0,60 0,90
F 0,50 0,70
O problema consiste em cumprir os compromissos de venda ao menor custo de produção e transporte possível. Variáveis de decisão são sugeridas abaixo. QTij = quantidade de tubos produzidos em i e transportados para j(i=A,B;j=C,D) QCij = quantidade de chassis produzidos em i e transportados para j(i=C,D;j=C,D) QMik= quantidade de aparelhos montados em i e transportados para k(i=C,D;k=E,F) 26. (Lanzer, 1988) (problema de transporte com transbordo) Uma firma distribuidora de motores elétricos tem depósitos localizados em diversas cidades de um certo estado. Numa certa semana a gerência verifica que em alguns depósitos existe excesso de estoque de motores, enquanto que em outros depósitos existe falta de produto para as entregas previstas. A situação é como segue: Depósito
Excesso de Estoques (unidades) 42 56 -
1 2 3 4 5
Falta de Estoques (unidades) 25 33 29
O diagrama a seguir retrata os custos de transporte, em $ por motor, entre as diversas cidades de interesse:
6 39
2
4 21 14
8
1 14
5
5
3
Observe, por exemplo, que é possível realizar transporte da cidade 2 para a cidade 5 diretamente ou passando pela cidade 4 ou pelas cidades 1 e 3 (entre outras alternativas). O problema é suprir os depósitos 1,3 e 5 com as quantidades requeridas a partir dos estoques em excesso existentes nos depósitos 2 e 4 ao menor custo de transporte possível. Variáveis de decisão sugeridas para formulação: Xij = número de motores transportados da cidade i para a cidade j(em unidades) 27. (Lanzer, 1988) Uma central telefônica tem os seguintes requerimentos mínimos de telefonistas em dias normais de trabalho para manter um padrão razoável de atendimento aos usuários: Período 1 2 3 4
Hora do Dia 0:00 – 4:00 4:00 – 8:00 8:00 – 12:00 12:00 – 16:00
No. Mínimo de telefonistas 28 35 129 151
33
5 6
16:00 – 20:00 20:00 – 00:00
116 73
Cada telefonista tem um turno de 8 horas de trabalho consecutivas. O salário varia de acordo com a hora de início do turno de trabalho: Hora de início do turno Salário ($/mês) 0:00 890,00 4:00 780,00 8:00 510,00 12:00 510,00 16:00 680,00 20:00 810,00 A central telefônica deseja saber quantas telefonistas contratar de modo a manter o padrão desejado de atendimento ao menor custo possível. Variáveis de decisão sugeridas para formulação: Xt: no. de telefonistas que iniciem o turno no período t. 28. (Lanzer, 1988 apud Robicheck et alli, 1965) A gerência financeira de uma loja de departamentos deve planejar suas decisões para os próximos meses. As previsões do Departamento de Contabilidade quanto às variáveis de interesse para o problema são as seguintes (em $ mil): Variáveis/Meses Set. Realizável a Curto 10 Prazo* Pagamento de 12 Fornecedores** Déficit de Capital de 5 Giro Superávit de Capital de Giro * balanço no início do mês ** supondo pagamentos em dia
Out. 9
Nov. 12
Dez.. 48
Jan 23
Fev. 20
18
20
17
13
10
-
6
9
-
-
3
-
-
10
11
O problema da gerência é financiar os déficits previstos de capital de giro ao menor volume de juros possível. Três alternativas de financiamento podem ser utilizadas (em conjunto ou separadamente): a) atrasar o pagamento dos fornecedores: ao atrasar o pagamento devido aos seus fornecedores no mês t, a loja sua necessidade de capital de giro no mesmo mês; todavia o pagamento deve ser realizado no mês seguinte com um acréscimo de 3%; além disto é política da loja limitar o uso desta alternativa a, no máximo, 15% do total devido a cada mês; b) tomar empréstimos bancários mensais com base no realizável a curto prazo: no início de qualquer mês t o banco se dispõe a emprestar até 30% do realizável a curto prazo do m~es; o empréstimo deve ser pago no mês t + 1, com juro de 4%; e c) empréstimo de 180 dias: no início de setembro a loja pode tomar um empréstimo de até $10 mil para ser integralmente pago com um juro de 32%. Por outro lado, no inicio de qualquer mês a loja pode investir eventuais excessos de capital de giro previstos para o mês em operações financeiras de 30 dias, recebendo então um juro de 2%. Variáveis de decisão sugeridas para formulação: At: volume de pagamentos de fornecedores devido no mês t (em $ mil) que é colocado em atrado (em $ mil); Bt: empréstimo de curto prazo tomado no início do mês t (em $ mil); C: empréstimo tomado no inicio de setembro para pagamento em fevereiro (em $ mil); It: investimento financeiro realizado pela loja no início do mês t ( em $ mil).
34
Obs.: supõe-se que no mês de fevereiro a loja pretenda não atrasar qualquer pagamento, nem fazer empréstimo ou investir no mercado financeiro. 29. (Corrar e Theófilo, 2004, modificado) Na qualidade de assessor de investimentos da Fundabanc, uma fundação de empregados de determinado banco, você foi chamado para estudar a melhor forma de aplicar os recursos disponíveis. A necessidade de limitar os riscos da empresa conduz a três tipos de aplicações: ações preferenciais, ações de companhias de utilidade pública e títulos da dívida pública. Na composição da carteira devem ser levadas em conta, as restrições impostas pela legislação e normas vigentes descritas abaixo. Dado que a empresa tem disponível R$ 100.000,00 formule um modelo que indique à Fundabanc quanto deve ser aplicado em cada investimento de maneira a maximizar o retorno esperado ao mesmo tempo que obedece as restrições impostas abaixo. As taxas de retorno esperadas, em %, estão descritas na tabela abaixo. Investimento Ações da Comgas Ações da Cesp Ações da Eletropaulo Ações da Nestlé Títulos públicos federais Títulos públicos municipais
Símbolo COMG CESP ELP NES TPF TPM
Taxa de retorno esperada (%) 4,3 3,7 1,8 2,8 1,5 2,4
Imposições: • os títulos públicos (federais e municipais) não podem representar, juntos, menos do que R$ 30.000 dos investimentos; • as ações preferenciais da Nestlé estão limitadas a R$ 25.000,00 dos investimentos; • as ações de companhias de utilidade pública devem contabilizar pelo menos R$ 30.000 dos investimentos. 30. (Corrar e Theófilo, 2004) A transportes ótimos é responsável pela distribuição de produtos de uma indústria de refrigerantes que possui duas fábricas e três depósitos. A administração da distribuidora está empenhada em reduzir ao mínimo possível os custos de transporte dos produtos das fábricas para os depósitos. Visando à modelagem deste problema como um problema de programação linear o controller da fábrica reuniu os dados constantes das tabelas abaixo e que correspondem aos custos de transporte de cada fábrica até cada depósito. Formule o modelo que indique à administração da distribuidora quanto transportar de cada fábrica para cada depósito de maneira a minimizar o custo de transporte.
Fábricas Demandas (cx)
1 2 -
1 $450 $630 950
Depósitos 2 $580 $720 1550
Ofertas (cx) 3 $380 $410 2000
2500 1200
31. (Lachtermacher) A LCL Investimentos S.A. gerencia recursos de terceiros através da escolha de carteiras de investimento para diversos clientes, baseados em títulos diversos. Um de seus clientes exige que: • • •
não mais do que 25% do total aplicado deve ser investido em um único investimento; um valor superior a 50% do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidade maiores que dez anos; o total aplicado em títulos de alto risco deve ser, no máximo, de 50% do total investido.
35
A tabela abaixo mostra os dados dos títulos selecionados. Determine qual percentual do total deve ser aplicado em cada tipo de título de maneira a maximizar o retorno anual. Retorno anual Título 1 Título 2 Título 3 Título 4 Título 5 Título 6
8,7% 9,5% 12% 9% 13% 20%
Anos para vencimento 15 12 8 7 11 5
Risco 1 – Muito Baixo 3 – Regular 4 – Alto 2 – Baixo 4 – Alto 5 – Muito Alto
ESTUDOS DE CASO CASO 1: O Problema de Entrega da Companhia de Petróleo PetroMundi Você, Sra. Tina Lopez, gerente de produção da Companhia de Petróleo PetroMundi recebeu um chamado do Sr. Pedro Fonseca, Vice-Presidente de Produção, o qual precisa mandar ao menos 1,5 milhões de barris de óleo para a refinaria de Lubnor, situada em Mucuripe/Fortaleza(refinaria 1), 1,6 milhões de barris de óleo para a refinaria de Rlam situada em Salvador(refinaria 2) e 1,4 milhões de barris de óleo para a refinaria de Reduc situada no Rio de Janeiro(refinaria 3) para o próximo trimestre. Você disse a ele que iria desenvolver um, plano de custo mínimo para transportar o óleo por naviostanques do porto do Terminal de Rio Grande e via oleoduto da empresa situada em Tramandaí/RS. Fazendo algumas ligações a estes dois locais você ficou sabendo que existe uma disponibilidade de até 3,5 milhões de barris de óleo no porto de Rio Grande e até 1,2 milhões de barris em Tramandaí. Para transportar o óleo do Rio Grande até as refinarias você pode alugar três tipos de navios-tanques A,B,C, cada um com uma capacidade de 1,6 milhões de barris. Em discussão com o Sr. Yudo Conti do departamento de contabilidade da empresa você ficou sabendo que o custo de transportar óleo através de navios-tanques consistia de um custo com seguro contra derramamento e um custo fixo de aluguel. O custo do seguro é de $0,25/barris/1000 km viajado (taxa básica) mais uma sobretaxa que depende da idade do navio. O Sr. Yuki Conti montou então para você a seguinte tabela: Tabela 1 – Custos Fixos e Variáveis do Aluguel de Navios Tanque Navio-Tanque Taxa Básica Sobretaxa ($/barris/1000km) ($/barris/1000km) A 0,25 0,00 B 0,25 0,1250 C 0,25 0,0625
Custo Fixo ($) 200000 100000 150000
Ele também forneceu as distâncias aproximadas do porto no Rio Grande para cada uma das refinarias e o custo total de bombear um barril de óleo de Tramandaí até as refinarias. Tabela 2 – Distâncias entre Refinarias e Porto e Custos de Transporte Distância do porto de Rio Custo para Transportar por Grande (Km) oleoduto de Tramandaí ($/barris) Refinaria 1 2500 1,40 Refinaria 2 2000 1,25 Refinaria 3 1800 1,20 Como Gerente do Departamento de Produção, formule um modelo para determinar um plano de custo mínimo que atenda todas as necessidades de óleo das refinarias. Mantenha em mente que você pode
36
determinar qual, se algum, navio-tanque usar e a quais refinarias mandá-los, mas um navio-tanque não pode ir a mais de uma refinaria.
CASO 2 – O Problema de Produção da Companhia Produtora de Aço ASA ASA é uma grande empresa que produz cinco tipos diferentes de placas de ferro em suas oito fábricas. Em um recente encontro de planejamento estratégico, o CEO da empresa decidiu alocar os orçamentos para cada uma das oito fábricas de acordo com a tabela 3 abaixo. Estes orçamentos foram baseados em parte pelas demandas fixas mostradas na tabela 4 fornecida pelo departamento de vendas para os cinco tipos diferentes de placas de ferro. Como Vice-Presidente de Produção, você Sr(a) ...... tem sido solicitado a determinar um plano de produção para cada uma das oito fábricas. Preparando tal plano você solicitou a seu colaborador, Sr. Dietz, que obtenha os custos de produção de cada um das cinco placas de ferro nas oito fábricas existentes. Tabela 3 – Orçamento Designado a Cada Fábrica ($1.000) Fábrica 1 2 3 4 5 Orçamento 900 1050 950 1050 1000 Tabela 4 – Demanda por cada Tipo de Placa de Ferro (ton) Tipo de Placa 1 2 3 Demanda 450 800 500
6 1600 4 650
7 950
8 1050 5 180
Na sua próxima reunião com o Sr. Dietz ele trouxe os dados de custo mostrados na Tabela 5 abaixo. Ele também mostrou que a ASA tem a possibilidade de comprar estas placas de três fornecedores externos nas quantidades e preços mostrados na Tabela 6. Sr. Dietz lembrou que obrigações contratuais requerem que se um fornecedor em particular é escolhido a ASA deverá comprar toda sua disponibilidade dos cinco tipos de placas de ferro aos preços indicados. Você pode, é claro, decidir comprar de nenhum, um, dois ou dos três fornecedores. Quando você passou esta informação ao CEO da empresa Sr. Carlos Marques, o mesmo aprovou esta transação com fornecedores externos desde que esta compra baixasse os custos totais e informou a você que os custos de comprar destes fornecedores não deveriam afetar o orçamento previamente designado a cada fábrica. Como Administrador de Produção, formule um modelo para determinar um plano de produção para cada uma das oito fábricas e de quais fornecedores, se algum, comprar placas de ferro para minimizar o custo total enquanto satisfaz as demandas e não ultrapassa o orçamento destinado a cada fábrica. Tabela 5 – Custos de Produzir 1 tonelada de cada tipo de Placa de Ferro i na Fábrica j ($1.000) Fábrica Tipo de 1 2 3 4 5 6 7 8 Placa 1 5 3 4 3 3 4 6 4 2 3 4 6 2 5 3 5 4 3 7 6 5 8 4 3 4 5 4 6 6 6 5 3 5 5 4 5 8 9 8 7 10 9 8 6 Tabela 6 – Custo por Tonelada e Quantia de Cada Placa Disponível em Cada Fornecedor Fornecedor 1 Fornecedor 2 Fornecedor 3 Tipo de Placa Custo* Quantia** Custo* Quantia** Custo* Quantia** 1 5 40 4 10 5 20 2 5 20 8 80 6 40 3 5 30 6 50 6 10 4 3 40 4 20 5 10 5 5 20 3 10 4 50 * Custo ($1.000) de comprar 1 tonelada de cada placa i do fornecedor; ** Se um fornecedor for utilizado, tudo de suas quantias disponíveis do cinco tipos de p lacas de ferro devem ser compradas ao custo indicado.
37
ANEXO 3: Como utilizar o Solver/Excel para resolver problemas de programação linear (PL) Recordando o exercício abaixo: Fashion Bikes Inc. (FBI) acaba de lançar 2 tipos de bicicletas infantis (1 para menino e 1 para menina) que está fazendo o maior sucesso entre a garotada. O sucesso é tanto que tudo que ela conseguir produzir será vendido gerando um lucro para empresa de $30 nas bicicletas para meninos e $50 nas bicicletas para meninas. O departamento de marketing recomenda que ao menos 250 bicicletas de cada tipo sejam produzidas por dia. Uma bicicleta de menino requer 4 horas no departamento de fabricação e 1 hora no departamento de montagem. Uma bicicleta de menina requer 4 horas no departamento de fabricação e 2 horas no departamento de montagem. Atualmente FBI emprega 200 trabalhadores no departamento de fabricação e 100 trabalhadores no departamento de montagem. A empresa trabalha com 3 turnos de 8 horas (hora extra não é permitida). De acordo com os dados acima indique ao dono da FBI quantas bicicletas para meninos e quantas bicicletas para meninas devem ser produzidas por dia para obter o máximo lucro possível assim como o lucro total diário desta produção. Modelando este problema como um problema de programação linear teremos: Max Lucro) 50xf + 30xm s.t. Restr. de fabric) 4xf + 4xm < = 4800 Restr. de mont) 2xf + xm < = 2400 Impos. Marketing bici fem) xf >= 250 Impos. Marketing bici masc) xm >= 250
Constante=4
Variável = xm
Para resolvermos este modelo no excel, primeiro deveremos colocá-lo, no software, em forma de planilha conforme a figura 1 abaixo, aonde: nas coluna A e B teremos os cabeçalhos, ou seja, o nome das restrições. nas colunas de C até G teremos as informações do modelo. Devemos informar em C e D quais são as constantes que, no modelo, estão multiplicando as variáveis xf e xm. Na coluna E deveremos colocar, para cada restrição a fórmula, ou seja, a função, que a representa. Por exemplo: Na célula E7 teremos a função que representa o consumo de mão de obra no departamento de fabricação, ou seja: 4xf + 4xm. Como no excel uma função é informada através do endereço das células teremos a constante 4 substituída pelo endereço em que ela se encontra C7, a variável xf substituída
38
pelo endereço C5, a outra constante 4 pelo endereço D7 e a variável xm por D5. Teremos, então =C7*C5 + D7 * D5 Para a restrição de montagem, que está uma linha abaixo teremos: = C8*C5 + D8 * D5 A mesma coisa deve ser feita para as demais restrições, assim como para a função objetivo. A célula E6 deverá conter a representação da função objetivo (50xf + 30xm). Recorrendo novamente ao artifício do endereço das células e teremos: =C6*C5 + D6*D5 Note que tanto as restrições quanto a função objetivo estarão sempre se referindo aos endereços C5 e D5 as quais deverão conter as quantidades de xf e xm. Depois de construídas todas as funções na coluna “totais” deveremos informar, para cada restrição, se a mesma é <=, =, ou >= na coluna F. Na coluna G teremos ainda os valores dos lados direitos de cada restrição (RHS). Com o modelo pronto, é só chamar o Solver através de Ferramentas/Solver, conforme figura 2.
Figura 2 – Ativando o solver
39
Figura 3 – Definindo célula de destino Após o solver ser ativado a janela da figura 3, acima, se abrirá. Nesta estaremos informando o modelo que queremos resolver. . Passos a serem seguidos: 1o) Definir célula de destino: a célula de destino será sempre a que contém a função que representa a minha função objetivo, ou seja, E6; 2o) Informar se o modelo é de maximização ou minimização clicando no lugar correspondente; 3o) Informar as células variáveis, conforme figura 4 abaixo.: estas serão aquelas que estamos buscando, ou seja, os valores de xf e xm(células C5 a D5), 4o) adicionar as restrições do modelo clicando no botão Adicionar que abrirá a janela da figura 5; 5o) na janela da figura 5 tem-se: referência de célula (valores em verde nas colunas) = ou >= ou <= restrição (valores em rosa na coluna). Nesta janela iremos informar cada restrição, por exemplo: Para a restrição de mão de obra no departamento de fabricação iremos informar que a solução encontrada deve respeitar a seguinte imposição: o valor que está em E7 (consumo de mão de obra neste departamento. ) deve ser <= ao valor que está em G7 (máximo de horas de mão de obra disponível). 6o) depois que introduzirmos todas as restrições voltamos à janela inicial e clicamos em Opções. Desta maneira a janela da figura 6 se abrirá e clicaremos em: presumir modelo linear e presumir não negativos . 7o) Depois de todos estes passos executados poderemos resolver o modelo.
40
Figura 4 – Informando as células variáveis
Figura 5 – Adicionando as restrições
41
Figura 6 – Escolha de opções do Solver
42
Figura 7 – Modelo pronto para execução do Solver
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
3. . Resolução de um Modelo de Programação Linear: Solução Gráfica
3.1 Introdução Na unidade anterior foi abordado o método de construção de um modelo linear. Vários modelos foram construídos e resolvidos com a utilização do software EXCEL. Nesta unidade, entretanto, iremos abordar a resolução de modelos de programação linear através do método gráfico. Salienta-se que, através do método gráfico, somente modelos lineares de duas variáveis podem ser representados. Mas porque devemos aprender o método gráfico se existem softwares que chegam à solução do problema com eficiência? Bem, o método gráfico é importante para melhorar o entendimento do modelo linear. Através dele pode-se enxergar o que está acontecendo quando uma restrição está sendo adicionada ao modelo e como se chega à definição dos valores das variáveis. Vamos lá? Iniciando através de um exemplo tem-se: Exemplo 3.1 A empresa SEMPRE PERFUMADA (SP) é uma microempresa do ramo de perfumaria com sede em Palhoça/SC. Trabalha na mistura de componentes importados para produção de vários tipos de perfumes. Dois perfumes masculinos são os carros chefe da empresa. Um é bastante suave e o outro mais forte e duradouro. A produção dos perfumes se dá em dois setores: o de mistura e o de embalagem. No setor de mistura 5 funcionários trabalham em tempo integral (40h/semana) e 2 em tempo parcial (15h/sem.) misturando os componentes importados de acordo com as dosagens prédeterminadas. No setor de embalagens 6 funcionários de tempo integral (40h/semana) e um funcionário parcialmente licenciado (10 h/semana) trabalham na colocação dos perfumes já prontos em seus respectivos frascos e nas respectivas caixas que serão transportadas para o depósito para posterior entrega nos pontos de varejo. O dono da empresa pensa que pode trabalhar com mais eficiência e, com isto, alcançar um lucro semanal maior se alterar as quantidades produzidas de seus dois produtos. Para resolver este problema levantou os dados constantes na tabela abaixo que estabelecem o número de horas que cada litro de produto necessita nos setores de mistura e de embalagem. Tabela 3.1. Requerimentos (horas/litro) nos respectivos setores de produção Perfume 1 Perfume 2 Setor de Mistura 2 1 Setor de Embalagens 1 2 A empresa tem trabalhado com estoques altos de matéria prima sendo, portanto, o único recurso limitante a mão de obra disponível. Porém, sabe que não deve produzir mais do que 120 litros do perfume 2 pois, sendo este um perfume mais forte, a procura é baixa. A margem de lucro calculada para o produto 1 é de $3 por litro e do produto 2 é de $5 por litro. Como administrador da empresa você necessita determinar quanto de cada tipo de perfume deve ser produzido por semana para maximizar o lucro da SP.
43
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
44
Utilizando o processo de formulação desenvolvido na unidade anterior tem-se: Passo 1: Definição das Variáveis de Decisão X1 = número de litros do perfume 1 produzir por semana X2 = número de litros do perfume 2 produzir por semana Passo 2: Identificação dos dados do problema Variáveis
Símbolos Unida Dados Iniciais Perfume Perfume de Perfume Perfume 1 2 1 2 de X1 X2 litros -
Número de litros perfume Consumo de M.Obra no setor de mistura Consumo de M.Obra no setor de embalagem Lucro Unitário Solicitado Lucro Total
-
-
Horas
2
1
<= 230 horas
-
-
horas
1
2
<= 250 horas
>=0
>=0 <= 120
$ -
3 -
5 -
-
LT
$
Passo 3. Identificação e Modelagem da Função Objetivo Max LT) 3x1 + 5x2 Passo 4. Identificação e Modelagem das Restrições MOMist) 2x1 + x2 < = 230 MOEmb) x1 + 2x2 < = 250 DemX2) x2 < = 120 Modelo Final: Max LT) 3x1 + 5x2 s.a. R1) 2x1 + x2 R2) x1 + 2x2 R3) x2 R4) x1 R5) x2
< = 230 < = 250 < = 120 >=0 >= 0
Solicitado
Maximizar
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
45
3.2. Resolvendo um Modelo Linear através do Método Gráfico A resolução de um modelo linear através do método gráfico inicia-se com o traçado dos dois eixos representativos de um gráfico bi-dimensional. Para o exemplo 3.1 anterior estes eixos estarão representando as quantias (em litros) dos perfumes 1 e 2 (x1 e x2). X2
4o Quadrante
1o Quadrante
X1
3o Quadrante
2o Quadrante
Figura 1 Sistema de eixos para o exemplo 3.1
3.2.1. Construindo o gráfico representativo das restrições Normalmente se inicia a construção do gráfico representativo de um modelo linear traçando as restrições do problema. A representar estas restrições estaremos trabalhando na busca de valores viáveis para cada restrição. Estes serão todos os valores que satisfazem aquela restrição em particular. Aqueles valores que não satisfazem a restrição são chamados de valores inviáveis.
Valores Viáveis: São os valores para as variáveis de decisão que satisfazem a restrição.
Para o exemplo 3.1 pode-se representar primeiramente as restrições 4 e 5. Estas fazem com que as variáveis de decisão x1 e x2 assumam somente valores positivos conforme pode ser observado na figura 02 abaixo.
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
46
X2
R5 X1
Figura 02. Área viável segundo as restrições 4 e 5 do Exemplo 3.1 Os valores viáveis, portanto, serão aqueles situados no primeiro quadrante do sistema de eixos. Excluem-se os quadrantes 2, 3 e 4 pois estes conduzem à valores negativos para as variáveis de decisão. Neste momento, todos os valores situados no 1 o. quadrante do sistema de eixos são considerados viáveis. Porém faltam ainda duas restrições a ser representadas. Vamos, portanto, à representação gráfica da restrição 1. R1) 2x1 + x2 < = 230 Para podermos encontrar a região viável, ou seja, a região que contenha valores para as variáveis que obedecem às restrições 4, 5 e 1 primeiramente devemos transformar a desigualdade da restrição 1 em uma igualdade. O resultado será a reta 2x1 + x2 = 230 que deverá ser representada conforme figura 03 abaixo. X2
300
R4 C
200
100
R1 R5 A
B 100
X1
200
Figura 03 – Região viável baseada nas restrições 1, 4 e 5
300
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
Note que, ao traçar a reta representativa da restrição 1 estaremos restringindo ainda mais nosso espaço de soluções viáveis. Como a restrição 1 é uma desigualdade e não uma igualdade todos os valores situados sobre e abaixo da reta representativa da restrição serão valores viáveis. Quando temos uma restrição de igualdade somente os valores situado sobre a reta serão valores viáveis.
Região Viável: É aquela região que reúne um conjunto de valores viáveis para as variáveis de decisão que satisfazem todas as restrições do modelo de Programação Linear.
A região viável, neste momento, está restrita ao conjunto de valores situados no triângulo de vértice ABC acima. Porém falta ainda representar as restrições 2 e 3 do modelo. Para representar as duas restrições deve se proceder da mesma maneira que para a restrição 1 acima. Primeiro transforma-se a desigualdade em igualdade. Traça-se a reta e busca-se o conjunto de valores viáveis para aquela restrição. Observe que: Em uma restrição tipo <= os valores viáveis estarão sempre sobre e abaixo da reta que representa a restrição. Em uma restrição tipo >= os valores viáveis estarão sempre sobre e acima da reta que representa a restrição. As figuras 04 e 05 são as representações gráficas do modelo do Exemplo 5.1 quando a restrição 02 é adicionada (Figura 04) e quando a restrição 03 é adicionada (Figura 05).
R2) x1 + 2x2 < = 250 R3) x2 < = 120
Note que ao acrescentar a restrição 2 (Figura 04) o espaço que contém as soluções viáveis para o modelo de P.L. deixa de ser o triângulo acima e transforma-se em um polígono de vértices ABCD. A região situada dentro e sobre o polígono é chamada de região viável e esta contém valores para as variáveis x1 e x2 que obedecem as restrições 1,2,4 e 5. Todos os pontos (x1 e x2) situados dentro deste polígono são soluções viáveis para o modelo. A Figura 5 mostra como fica a região viável para o modelo do exemplo 5.1 quando a restrição 3 é acrescida ao gráfico. A região viável agora é formada pelo polígono de vértices ABCDE. Observe que o espaço que contém a região viável vai ficando cada vez menor à medida que mais uma restrição é acrescentada. Isto é bastante evidente pois a busca de valores para x1 e x2 que satisfaçam as restrições vai ficando cada vez mais difícil ao adicionarmos mais uma restrição.
47
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
X2
48
R4
300
200
R1
D
C
100
R2 R5
A
B
X1
100
200
300
Figura 04 – Região Viável segundo as restrições 1,2,4 e 5
X2
R4
300
200
R1 E
100
D
C
R3
R2
R5 B
A 100
X1
200
300
Figura 05 – Região Viável do Exemplo 3.1 para todo o conjunto de restrições A figura 05 acima estabelece, então, a região viável do modelo de programação linear. Dentro da área formada pelo polígono de vértices ABCDE que representa as restrições 1,2,3,4 e 5 tem-se o
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
49
conjunto de soluções viáveis do problema. As soluções viáveis serão todas aquelas que satisfazem, ao mesmo tempo, todas as restrições do problema. Solução Viável: Uma solução na qual as variáveis de decisão assumem valores viáveis.
3.2.2. Obtendo a Solução Ótima Através da Figura 05 acima pode se observar que existe um conjunto grande de soluções possíveis (viáveis) formado por todos os pontos dentro e sobre o polígono de vértices ABCDE. Porém a solução ótima de um modelo de Programação Linear é aquela que ao mesmo que satisfaz todas as restrições conduz ao melhor valor da função objetivo.
Solução tima: É aquela solução na qual as variáveis de decisão são valores viáveis e que conduz ao melhor valor melhor valor da Função Objetivo.
Existem duas maneiras de chegar-se à solução ótima de um P.L. através da abordagem gráfica A primeira e, na maior parte das vezes, a mais fácil é a que está baseada no seguinte teorema: Teorema 1. Se um Programa Linear é viável e o conjunto de todas as suas restrições resultam em um polígono convexo então a solução ótima se dará em um dos vértices deste polígono. Observando a Figura 05 acima vê-se que o conjunto de restrições está representado por um polígono convexo e, portanto, pode-se fazer uso do teorema 1 para encontrar a solução ótima. O primeiro passo será o de relacionar todas as coordenadas dos pontos que definem os vértices do polígono ABCDE, conforme tabela abaixo. O passo seguinte será o de calcular o valor da função objetivo em cada ponto, e ver qual ponto nos fornece o melhor valor para a função objetivo.
Se o objetivo da empresa é o que segue: s egue: Função Objetivo: Max LT) 3x1 + 5x2 Então pode-se chegar à tabela:
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
50
Tabela 3.2. Coordenadas dos Vértices do P.L. do Exemplo 5.1 e Valores na Função Objetivo Ponto X1 X2 Valor da F.Objetivo (F.O. = 3x1 +5x2) A 0 0 0 B 115 0 345 C 70 90 660 D 10 120 630 E 0 120 600
A solução que produz o maior valor da função objetivo será a solução constante do ponto C (Lucro Total = $660). Mas, como encontrar as coordenadas dos pontos? Através dos métodos de resolução de sistemas de equações lineares. Para exemplificar vamos pegar o ponto B. Ele está localizado entre a intersecção da reta da restrição 1 e a reta da restrição 5. Se as equações das retas são: 2x1 + x2 = 230 x2 = 0 Se x2 = 0 então substituindo este valor na 1 a. equação tem-se: 2x1 = 230
→
x1 = 115 e x2 = 0
Para encontrar o ponto C procede-se da mesma maneira. Este ponto será a intersecção das retas das restrições 1 e 2. 2x1 + x2 = 230 x1 + 2x2 = 250 O ponto D será a intersecção entre as retas das restrições 2 e 3: x1 + 2x2 = 250 x2 = 120 O ponto E será a intersecção entre as retas das restrições 3 e 4 o que já resulta diretamente nos valores de x1 = 0 e x2 = 120. Uma outra maneira de obter-se graficamente o resultado de um modelo de P.L. é através do traçado da reta que representa a função objetivo. Como a função objetivo é uma função aberta e no caso do exemplo 3. 1 uma função aberta na direção da maximização ela não será uma reta fixa no sistema de eixos como é o caso das restrições. Será uma reta que se moverá na direção da maximização. Mas, como traçar a F.Objetivo? Bem, primeiro deve-se tomar um ponto dentro da região viável (x1,x2) Por exemplo: x1 = 50 50 e x2 = 60 (50,60) Ao estabelecer-se o valor deve-se substituir os mesmo na função objetivo e calcular o resultado: F.O. = 3x1 + 5x2 Se x1 = 50 e x2 = 60 temos: 3* 50 + 5* 60 = 450
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
51
Logo após retorna-se à função objetivo original (3x1 + 5x2) e traça-se a reta que representa a F.O. naquele ponto: 3x1 + 5x2 = 450 Para traçarmos esta reta toma-se dois pontos (x1 = 0 e x2 = 90) e (x2=0 e x1 = 150) O resultado será o mostrado na Figura 06 que segue. X2
R4
300
200
R1 E
100
D
C
R3
R2
R5 A B
100
X1 200
300 3x1 + 5x2 = 450
Figura 06 – Representação Gráfica do Exemplo 3.1: Busca da Solução Ótima (Passo 1)
Após traçar a reta que representa a função objetivo naquele ponto procede-se a busca da melhoria do valor da função objetivo movendo-se a reta da F.Objetivo para a direita até que ela esteja praticamente saindo do polígono. O último ponto que esta reta toca antes de sair do polígono será a solução ótima. Observe na Figura 07 abaixo que o último ponto que a reta toca será o ponto C confirmando então este ponto como solução ótima do modelo de Programação Linear do exemplo 03.
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
52
X2 R4
300
200
R1 E
D
100
R3
C
R2 A B
100
200
300
3x1 + 5x2 = 660 3x1 + 5x2 = 450
Figura 07 – Representação Gráfica do Exemplo 3.1: Busca da Solução Ótima (Passo 2)
3.3. Programas Lineares Inviáveis Na seção anterior trabalhou-se sobre um programa linear para o qual pôde-se obter uma solução ótima única. Porém, apesar de ser o caso mais comum, muitas vezes depara-se com outros tipos de programas lineares como é o caso de um programa linear inviável. Um programa linear é inviável quando não existem valores para as variáveis de decisão que satisfaçam todas as restrições simultaneamente. Programa Linear Inviável:
É um programa linear no qual não existem valores para as variáveis de decisão que satisfaçam todas as restrições.
Normalmente um programa linear vem a ser inviável por erros no momento da modelagem ou por imposições do administrador impossíveis de serem obedecidas no modelo. Para exemplificar tomamos novamente o Exemplo 3.1 mas pensemos em uma situação em que o administrador da empresa solicitasse a você que modificasse o modelo pois a demanda do perfume 2 teve um salto grande e ele precisa para a próxima produzi mais do que 150 litros deste produto por semana. O modelo modificado ficaria: Max LT) 3x1 + 5x2 s.a. R1) 2x1 + x2 R2) x1 + 2x2 R3) x2 R4) x1
< = 230 < = 250 250 > = 150 >=0
A representação gráfica deste novo modelo seria a da Figura 08:
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
X2
53
R4
300
200
R1
R3
100
R2
X1 100
200
300
Figura 08 – Programa Linear Inviável Note, através da Figura acima que não existem valores possíveis para x1 e x2 que satisfaçam todas as restrições. Para satisfazer a restrição 1 somente valores sobre e abaixo da reta que representa a restrição são aceitos. Para a restrição 2 vale o mesmo. Porém quando olharmos a região de valores viáveis para a restrição 3 pode se observar que os valores acima da reta da R3 são viáveis para esta restrição porém não obedecem a restrição 2. Não existe portanto um único valor que possa satisfazer todas as 4 restrições do modelo. Se olharmos mais atentamente para o modelo poderemos ver que o programa é inviável porque não existe recurso no setor de embalagem para produzir a quantia de 150 litros do perfume 2.
3.4 Programas Lineares Ilimitados Um outro caso é o de programas lineares ilimitados. Neste tipo de programa não existe uma solução única pois o conjunto de restrições não forma um polígono fechado estando aberto na direção da maximização ou minimização. Para observarmos o que ocorre neste caso suponhamos que o modelo do exemplo anterior tenha sido erroneamente construído com as desigualdades das restrições 1 e 2 trocadas de < para >. O modelo ficaria como abaixo e a Figura 9 estaria representando graficamente este modelo: Max LT) 3x1 + 5x2 s.a. R1) 2x1 + x2 R2) x1 + 2x2 R3) x2 R4) x1 R5) x2
> = 230 > = 250 < = 120 >=0 >= 0
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
54
X2 300
200
R1 C
R3
100 B
R2 A
100
200
300
Figura 09 – Programa Linear Ilimitado Na figura acima a região formada, neste novo modelo, será a definida pelos vértices ABC. A região está portanto aberta não formando mais um polígono fechado. Com o objetivo é de maximização a reta da F.Objetivo será levada para a direita infinintamente não encontrando então uma solução.
Programa Linear Ilimitado:
É um programa linear no qual a função objetivo pode ser melhorada infinitamente.
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
55
Atividade de Fixação 1. Uma marcenaria situada em Florianópolis produz mesas e cadeiras de baixo custo. O processo de produção das mesas e cadeiras é similar e requer um certo número de horas de trabalho no setor de carpintaria e um certo número de horas de trabalho no setor de pintura. Cada mesa necessita de 4 horas de trabalho no setor de carpintaria para ficar pronta para pintura e 2 horas de trabalho de pintura. Cada cadeira requer 3 horas na carpintaria e 1 hora na pintura. Durante o atual período de produção estão disponíveis 240 horas de trabalho no setor de carpintaria e 100 horas de trabalho no setor de pintura. O departamento de marketing está confiante de que pode vender todas as mesas que puderem ser fabricadas. Entretanto, devido a um estoque existente de cadeiras, o departamento não recomenda que sejam fabricadas mais do que 60 novas cadeiras. Cada mesa vendida tem uma margem de contribuição para o lucro de $7, e cada nova cadeira vendida resulta em uma margem de $5. Modele o problema que indique à empresa quantas cadeiras e quantas mesas produzir por semana de modo a maximizar o lucro. Resolva graficamente. 2. Uma importadora situada em Santa Catarina está planejando expandir seu negócio até o Rio Grande do Sul. Para fazer isto a empresa necessita saber quantos depósitos de cada tamanho deverá construir para armazenar suas mercadorias. Seu objetivo e restrições são como segue: Maximizar lucro mensal) s.a. orçamento de marketing disponível) No. de m2 requerido) Máximo de depósitos pequenos)
50X + 20Y 20X + 40Y < = 400 100X + 50Y < = 800 X < = 60 X >=0 Y >=0
Onde: X = número de depósitos pequenos a construir e Y = no. de depósitos grandes a construir. Resolva graficamente este problema. 3. Encontre as soluções dos programas lineares abaixo: a) Maximizar lucro) x + y s.a. 2x + y <=100 x + 2Y <=100 x, y > = 0 b) Maximizar lucro) 3x + 2y s.a. 2x + y <=150 2x + 3Y <=300 x, y > = 0 c) Maximizar lucro) 4x + 6y s.a. x + 2y <= 8 6x + 4y <=24 x, y > = 0
3. Resolução de um Modelo de Programação Linear: solução gráfica
d) Maximizar –x1 + 2X2 s.a. 6x1 –2X2 <=3 -2x1 + 3x2 <=6 x1 + x2 <= 3 x1, x2 >=0 e) Maximizar -4x1 + 8x2 s.a. 6x1 – 2x2 <=3 -2x1 + 3x2 <=6 2x1 + 3x2 <=24 x1,x2 >=0 f) Minimizar x1 + x2 s.a. 3x1 – 5x2 >=30 3x1 + 2x2 <=9 x1, x2 >=0 g) Minimizar custo) x + 2y s.a. x + 3y >=90 8x + 2Y >=160 3x + 2y > = 120 y < = 70 x, y > = 0 h) Minimizar 12x1 -2x2 s.a. 5x1 – 4x2 <=14 (a) x1 - 4x2 <=-2 (b) 2x1 + x2 >= 5 (c) 6x1 – x2 >= 3 (d) x1, x2 >=0 (e) e (f)
Respostas: 1) X = 8; Y=0; F.O. = $400 3a) X = 33,33; Y = 33,33; F.O. = 66,67 3b) X = 37,5; Y = 75; F.O. = 262,5 3c) X = 2; Y = 3; F.O. = 26 3d) X = 0,6; Y = 2,4; F.O. = 2,4 3e) X = 1,5; Y = 3; F.O. = 1,8 3f) Inviável 3g) X = 25,71; Y = 21,43; F.O. = 68,57 3h) inviável.
56
4. Programação Linear: interpretando os resultados
57
4. Programação Linear: Interpretando os Resultados Até a unidade anterior você aprendeu como construir modelos de programação linear que representassem um problema decisório de uma determinada empresa. Em especial problemas de planejamento da produção e problemas de transporte foram abordados. Você também aprendeu a resolver problemas de programação linear através da abordagem gráfica. Porém, esta abordagem só pode ser utilizada quando temos um modelo de duas variáveis e um número não muito grande de restrições. Para problemas maiores, com mais de duas variáveis e um número grande de restrições nada mais fácil do que utilizar o computador através dos softwares hoje existentes tais como: Solver do Excel e LINDO. Mas, como estes softwares resolvem os problemas de programação linear? Através de um eficiente algoritmo chamado SIMPLEX . SIMPLEX é um método algébrico para resolver qualquer problema de programação linear em um número finito de passos.
Aqui nesta unidade você não irá aprender todos os passos que o SIMPLEX executa para alcançar a solução ótima. O foco está na interpretação dos resultados que o computador nos dá. E na análise a fundo de todas as informações contidas no relatório do EXCEL. A interpretação dos resultados que os softwares fornecem é de grande importância para o administrador. De nada adianta saber modelar perfeitamente um problema decisório de uma empresa se não souber extrair do relatório todas as informações nele disponíveis. Nesta unidade estaremos trabalhando especificamente com o relatório do EXCEL, porém, as interpretações aqui estudadas são também aplicadas a qualquer outro software de programação linear Iniciaremos esta unidade com o estudo da transformação de um modelo qualquer de programação linear na sua forma padrão. Este processo é utilizado pelos algoritmos de resolução de modelos de P.L. e seu entendimento conduz a uma melhor compreensão das informações existentes nos relatórios dos pacotes computacionais.
4.1. Forma Padrão Como vimos até aqui os modelos de programação linear podem ser de vários tipos. A função objetivo pode ser de maximização ou minimização, as restrições podem ser de igualdade (=) ou desigualdade (<= ou >=), as variáveis podem assumir valores negativos ou positivos (até aqui nossas variáveis só assumiam valores positivos mas existem casos, como problemas de localização, por exemplo, em que as variáveis assumem valores negativos). A forma padrão é uma forma particular de modelo de programação linear na qual a função objetivo é de maximização, todas as restrições são igualdades, o lado direito (RHS) é positivo e todas as variáveis são não-negativas (positivas).
Na forma padrão as seguintes condições devem ser satisfeitas: 1) A função objetivo é de maximização; 2) Todos os RHS das restrições devem ser não-negativos; 3) Todas as restrições são igualdades; 4) Todas as variáveis são não-negativas.
4. Programação Linear: interpretando os resultados
58
Se um modelo não estiver nesta forma deve-se transformá-lo. Para ilustrar o procedimento envolvido voltemos ao exemplo modelado na 2a. unidade. Exemplo 4.1. Só Bicicletas (SB) é uma empresa nacional que atua no ramo de produção de bicicletas. A empresa acaba de lançar 2 novos modelos de bicicletas infantis ( 1 para menino e 1 para menina) que está fazendo o maior sucesso entre a garotada. O sucesso dos novos modelos é tanto que tudo que for produzido será vendido e o departamento de marketing recomenda que ao menos 250 bicicletas de cada modelo sejam produzidos. O lucro unitário na produção e venda da bicicleta feminina é de $50 e da bicicleta masculina é de $30. A empresa conta para a produção destes dois novos modelos com 200 trabalhadores no departamento de fabricação e 100 trabalhadores no departamento de montagem. A empresa trabalha em três turnos e cada funcionário trabalha 8 horas por dia. O modelo feminino necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e de 2 horas no departamento de montagem. O modelo masculino necessita de 4 horas de mão de obra no departamento de fabricação e de 2 horas no departamento de montagem. Formule um modelo que informe à SB o plano de produção diário que maximiza seu lucro. Lembre-se que as variáveis de decisão definidas foram: Xf = o número de bicicletas femininas produzir diariamente Xm = o número de bicicletas masculinas produzir diariamente
Max LT ) 50Xf + 30Xm s.a. MOFabric) 4Xf + 4Xm <=4800 MOMont ) 2Xf + Xm <=2400 DemFem) Xf >= 250 Dem Masc) Xm > = 250
RHS: Lado direito da desigualdade
Observando o modelo acima conclui-se que sua função objetivo é de maximização, as variáveis são positivas, os valores dos RHS são positivos porém as restrições são todas de desigualdades. Estas deveremos transformar em igualdades para chegarmos à forma padrão.
4.1.1. Convertendo uma desigualdade em uma igualdade MOFabric) 4Xf + 4Xm <=4800 A restrição acima é utilizada para indicar que não mais do que 4800 horas podem ser utilizadas pelo departamento de fabricação na produção de bicicletas femininas e masculinas. Mas, como transformar este restrição em um igualdade? Através da inclusão, no modelo, de uma variável de folga (s) da seguinte maneira: MOFabric) 4Xf + 4Xm +s1 = 4800
4. Programação Linear: interpretando os resultados
59
A variável s1 no modelo acima significa a quantidade do recurso (mão de obra no departamento de fabricação) não utilizado no plano ótimo. Quando esta variável assumir o valor zero este valor significará que todo o recurso está sendo utilizado. Por exemplo: se s1 = 0 o consumo de m.obra no departamento de fabricação será de 4800h na solução ótima. Se s1=1200, o consumo de m. obra no departamento de fabricação será de 4800-1200 = 3600 horas na solução ótima. O mesmo procedimento deve ser aplicado à 2a. restrição. MOMont ) 2Xf + Xm <=2400 Ou seja: MOMont ) 2Xf + Xm + s2 = 2400 Sendo que s2 significa o número de horas não utilizadas, no plano ótimo,. no departamento de montagem. A 3 a. e 4a. restrição ficará um pouco diferente pois, por serem restrições tipo >=, as variáveis de folga não serão subtraídas e sim somadas ao RHS. DemFem) Xf >= 250 Dem Masc) Xm >= 250 Forma Padrão: DemFem) Xf - s3 = 250 Dem Masc) Xm -s4 = 250 A variável de folga s3 significa o excedente de bicicletas femininas que deverá ser produzido, na solução ótima, além do mínimo solicitado (250). A variável de folga s4 tem o mesmo significado e será, então, o excedente de bicicletas masculinas que deverá ser produzido, na solução ótima, além do mínimo solicitado (250). Com as restrições transformadas em igualdades, a função objetivo sendo uma função de maximização, as variáveis sendo não negativas e os valores do RHS positivos o modelo na forma padrão está pronto e será: Max LT ) 50Xf + 30Xm s.a. MOFabric) 4Xf + 4Xm = 4800 – s1 MOMont ) 2Xf + Xm = 2400 – s2 DemFem) Xf = 250 + s3 Dem Masc) Xm = 250 + s4 Mas, em que, a forma padrão irá auxiliar-nos na interpretação dos relatórios dos pacotes computacionais?
4. Programação Linear: interpretando os resultados
60
Variável de Folga É uma variável não negativa que é somada ao lado esquerdo de uma restrição tipo <= para obter-se uma restrição de igualdade. Significa o quanto faltou, na solução ótima, para que o limite máximo imposto pelo <= seja alcançado. Variável Excedente É uma variável não negativa que é subtraída ao lado esquerdo de uma restrição tipo >= para obter-se uma restrição de igualdade. Significa o quanto o limite mínimo imposto pelo >= foi ultrapassado.
4.1.1. Convertendo uma função objetivo para maximização Quando temos uma função objetivo do tipo: Minimizar x + 2y Sabemos que, pela 1ª. regra descrita anteriormente a mesma deve ser transformada em F. O . de maximização. Como faremos? Simples, devemos multiplicar a equação que representa a função objetivo por (-1) e assim estaremos transformando-a de maneira a obedecer a 1 a. regra. A resposta fica a seguinte: Mazimizar –x –2y
4.2. Interpretando os resultados Para que possamos entender o relatório que os pacotes computacionais, mais especificamente o Excel, nos fornecem vamos continuar trabalhando com o Exemplo 6.1 acima. Colocando o modelo, em sua forma original( sem as variáveis de folga) , no Excel e resolvendo teremos um relatório de resultados, um relatório de sensibilidade e um relatório de limites. Importante: estes relatórios só serão criados quando clicarmos nas opções: Relatório/resposta e sensibilidade, no momento em que ativamos o solver, conforme mostrado abaixo.
4. Programação Linear: interpretando os resultados
61
4.2.1. Relatório de Resposta Os dados relativos aos valores das variáveis de decisão e função objetivo na solução ótima e as folgas ou excedentes de cada restrição são mostrados no relatório de resposta do EXCEL, como segue:
4. Programação Linear: interpretando os resultados
62
VALOR DA FUNÇÃO OBJETIVO
VALOR DAS VARIÁVEIS
VALOR DAS VARIÁVEIS DE FOLGA
Para o Exemplo 4.1 tem-se, então, que para a empresa obter um lucro diário de $55.000,00 (valor da função objetivo) ela deve produzir diariamente 950 bicicletas femininas e 250 bicicletas masculinas (valor da variável na solução ótima). Também no relatório de resposta tem-se a informação a respeito das variáveis de folga de cada restrição, denominado pelo excel de transigência, já discutido no item 6.1 desta unidade Quando tem-se uma restrição tipo <= chama-se o valor da transigência de folga e este valor significará o quanto do recurso deixou de ser utilizado na solução ótima. Quando tem-se uma restrição tipo >= chama-se o valor da transigência de excedente e este valor significará o quanto, na solução ótima o limite mínimo imposto pelo >= foi ultrapassado. são:
Observe, pelo relatório do EXCEL, que as transigências (folgas ou excedentes) do exemplo 6.1
Restr. de fabricação =s1 = 0 Restr. de montagem =s2 = 250 Impos. Marketing bici fem = s3 = 700 Impos. Marketing bici masc = s4 = 0 Explicando melhor as folgas ou excedentes: Se para a restrição relativa ao consumo de mão de obra no departamento de fabricação tem-se: Restr de Fabric) 4Xf + 4Xm + s1 = 4800 e obtendo-se, na solução ótima, o valor de s1 = 0 para a folga, saberemos que todo este recurso foi utilizado. Ou seja, na solução ótima foram gastas as 4800 horas de mão obra disponíveis neste departamento.
4. Programação Linear: interpretando os resultados
63
Para a restrição relativa ao consumo de mão de obra no departamento de montagem tem-se: Restr. de Mont ) 2Xf + Xm + s2 = 2400 Um valor de folga s2= 250 significa que 250 horas deste recurso não foram consumidas na solução ótima, ou seja, sobraram. Se a empresa tinha disponível 2400 horas neste departamento foram realmente consumidas 2400 – 250 = 2150 horas. Para a 3a. restrição que impunha um limite mínimo na produção de bicicletas femininas de 250 unidades tem-se: Impos. Marketing bici fem)
Xf - s3 = 250
Um valor de 700 para a variável s3 significa que o limite de 250 foi ultrapassado (excedente) em 700 unidades, ou seja, na solução ótima devem ser produzidas 250 + 700 bicicletas femininas. Para a 4a. restrição que impunha um limite mínimo na produção de bicicletas masculinas de 250 unidades tem-se: Impos. Marketing bici masc)
Xm - s4 = 250
Um valor de zero para s4 significa que o limite mínimo de produção de 250 bicicletas masculinas foi mantido na solução ótima.
4.2.2. Relatório de sensibilidade I No relatório de sensibilidade do exemplo 4.1, reproduzido abaixo, tem-se informação sobre o valor final de cada variável, cada restrição bem como os custos reduzidos e o preço sombra de cada restrição.
CUSTO REDUZIDO CUSTO REDUZIDO
PREÇO DUAL OU PRE O SOMBRA
4. Programação Linear: interpretando os resultados
64
Como pode ser observado acima cada variável apresenta um custo reduzido de zero. Este valor indica que o resultado para o valor da função objetivo não cairá em nada (zero) se for acrescentada uma unidade no valor da variável, ou seja: se Xf for de 951 e não 950 o valor da F.O. não cairá dos $55.000,00 atuais. O mesmo acontece com Xm pois esta variável também apresenta um custo reduzido igual a zero, ou seja: se Xm for igual a 251 ao invés de 250 o valor da FO permanece inalterado.
Custo Reduzido É um número associado a cada variável na solução ótima que significa o quanto piora o valor da função objetivo para cada unidade que o administrador impor a mais no valor da variável. IMP: a solução ótima é dada pelo algoritmo e qualquer alteração nesta solução ótima implicará em perdas no valor da função objetivo.
Ainda com relação ao relatório de sensibilidade I tem-se um preço sombra associado à cada restrição. Esta parte do relatório é de grande relevância para o administrador da empresa pois fornece informações econômicas importantes, a respeito dos recursos da empresa, que podem ser utilizados no processo de tomada de decisão. Em um modelo de programação linear (P.L.) existe sempre uma variável associada a cada restrição que nos informa a taxa de mudança no valor da função objetivo por unidade de acréscimo no valor do lado direito de cada restrição (RHS). Isto é, mudanças nos valores do RHS conduzem a um maior ou menor valor da função objetivo e na maior parte das vezes alteram a solução ótima. Esta variável é chamada de preço sombra. Preço Sombra ou Preço Dual Está associado à folga ou excedente de cada restrição e significa o quanto melhora o valor da função objetivo por unidade de acréscimo no valor do RHS. ***o valor deste preço sombra só é válido dentro do intervalo de sensibilidade*** Mas, com relação ao Exemplo 6.1 o que significam aqueles preços sombra informados? Para a 1a. restrição relativa ao consumo de mão de obra no departamento de fabricação o preço sombra é de $12,5. Esta restrição fixava o consumo de mão de obra neste departamento em 4800 horas no máximo. Lembre-se que este recurso foi todo consumido na solução ótima pois apresentou folga zero (s1 = 0). Um ML de $12,5 para este recurso significa que para cada hora a mais de mão obra que a empresa puder obter para este departamento o valor da função objetivo ($55000) será acrescido em
4. Programação Linear: interpretando os resultados
65
$12,5. Isto é, se a empresa puder dispor de mais 100 horas de mão de obra neste departamento o valor de seu lucro passará de $55.000,00 para $55.000 + 100* 12,5 = $56.250,00. Para a 2a . restrição um preço sombra informado de zero. Por quê? Lembre que a folga deste recurso é de 250 horas. Fica claro que se já existem 250 horas sobrando deste recurso em nada irá acrescentar o valor da minha F.Objetivo se o administrador puder contratar 1 hora a mais neste departamento. Para a 3a. restrição tem-se um preço sombra de zero. Lembre que esta não é mais uma restrição de recurso e sim de demanda (xf >=250). Este preço significa que 1 unidade de acréscimo no valor do RHS desta restrição não irá aumentar e nem diminuir o valor da função objetivo. Observe no relatório acima que para 4 a. restrição tem-se um preço sombra de $-20. Voltando à definição de preço sombra ou preço dual tem-se que 1 unidade de acréscimo na 4 a. restrição (xm>=250) irá ocasionar um aumento de $-20 no valor do lucro da empresa, isto é, irá diminuir o lucro. Por exemplo, se o empresário exigir que o mínimo de bicicletas masculinas produzidas pela empresa seja aumentado para 300 unidades O que irá acontecer? O lucro irá passar de $55.000,00 para $55.000 + (-20*100) = $53.000,00. Resumindo para você: P/ variações no RHS dentro do intervalo de estabilidade do preço dual pode-se calcular o novo valor da função objetivo da seguinte maneira:
4. Programação Linear: interpretando os resultados
66
Modelos de Maximização: Novo valor da F.O. = Valor original da F.O. + (preço sombra * variação do RHS) Onde: Variação do RHS = Novo valor do RHS – RHS original Modelos de Minimização: Novo valor da F.O. = Valor original da F.O. - (preço sombra * variação do RHS)
Porém, é importante observar que o valor dos preços sombra só serão válid os dentro de um certo intervalo de estabilidade explicitado ao lado do mesmo no relatório de sensibilidade. Este intervalo será formado da seguinte maneira: Intervalo de variação do RHS = [RHS atual – permissível decréscimo); (RHS atual + permissível acréscimo)]
Por exemplo, o valor de $12,5 para o preço sombra da restrição Restr. De Fabric) só é válido dentro do intervalo especificado ao seu lado. Ou seja, para a 1 a. restrição o valor de $12,5 é válido dentro do intervalo: [4800 – 2800; 4800 + 500] = [2000; 5300]. Este intervalo diz que, para qualquer alteração no valor do RHS em que este não baixe de 2000 e não seja maior do que 5300 o valor de $12,5 pode ser utilizado para estimar o valor da função objetivo. E para o preço sombra da 2a. restrição, qual será o intervalo de estabilidade? Intervalo de variação do RHS para a 2 a. restrição = [(2400 – 250); (2400 + infinito)] Intervalo de variação do RHS para a 2 a. restrição = [2150; infinito) Este intervalo mostra que um preço sombra=0 para a 2 a. restrição vale se modificações no valor do RHS desta restrição não conduzirem a um valor abaixo de 2150 horas e que este recurso pode ser aumentado até o infinito que nada acrescentará no lucro da empresa. Intervalo de variação do RHS para a 3 a. restrição = [(250 – infinito); (250 + 700)]
4. Programação Linear: interpretando os resultados
67
Intervalo de variação do RHS para a 3 a. restrição = (- infinito; 950)] Intervalo de variação do RHS para a 4 a. restrição = [(250 – 250); (250 + 700)] Intervalo de variação do RHS para a 4 a. restrição = [0; 950] Salienta-se que
IMPORTANTE: Qualquer alteração nos valores dos RHS de qualquer uma das restrições pode ocasionar mudanças na solução ótima. A única coisa que se pode saber é como ficará o valor da função objetivo se esta alteração estiver dentro do intervalo de estabilidade.
Imagine agora que o dono da Só Bicicletas (SB) recebe um relatório indicando que o lucro do modelo de bicicletas femininas caiu para $42,00 pois a mesma utiliza algumas peças importadas que tiveram seu preço elevado com a subida do dólar ocasionando assim um acréscimo no custo unitário da bicicleta. Este empresário pergunta a você o que fazer? Será que o plano de produção diário estabelecido pelo modelo de P.L. continuará o mesmo? Teremos que rodar o modelo novamente fazendo assim a alteração no coeficiente de Xm da função objetivo? Talvez não precise rodar o modelo novamente pois o EXCEL traz esta informação também em seu relatório de sensibilidade. Este é um dado importante para o administrador e talvez o mais importante depois da solução ótima. A parte do relatório que mostra esta informação é:
Para a construção dos intervalos em que os coeficientes da função objetivo podem variar sem alterar a solução ótima procede-se da mesma maneira que fizemos anteriormente para variações do RHS, ou seja: Intervalo de variação do coeficiente da F.O. = [(coef. objetivo – permissível decréscimo; coef. objetivo + permissível acréscimo)]
4. Programação Linear: interpretando os resultados
68
Para o Exemplo 4.1 tem-se que somente alterações no coeficiente de Xm dentro do intervalo abaixo não conduzem à uma nova solução ótima ou novo plano de produção para a Só Bicicletas. Intervalo de variação do coef. de Xf = [(50-20; 50+ infinito)] = [30; + infinito] Este intervalo mostra, portanto, que se o lucro unitário do modelo de bicicletas femininas cair até $30 nenhuma alteração no plano de produção ótimo (produzir 950 bicicletas modelo feminino e 250 do modelo masculino) irá ocorrer. Tem-se também que acréscimos neste lucro até o infinito mantém, também, o plano de produção original. Para o modelo masculino o intervalo será: Intervalo de variação do coef. de Xm = [(30- infinito); (30+20)] = (-infinito;50] Tem-se então que o lucro unitário pode cair quanto quiser que esta mudança não ocasionará um novo plano de produção ótimo. Observa-se também que se o lucro unitário deste modelo subir para além de $50 um novo plano de produção será estabelecido. Objetivamente falando esta parte do relatório indicará ao administrador a sensibilidade da solução ótima a mudanças ocasionadas nos valores dos coeficientes da função ob jetivo.
4. Programação Linear: interpretando os resultados
69
Atividade de Fixação
1. Converta o modelo linear do exercício 1, atividade de fixação 1 para a forma padrão. Explique o significado dos coeficientes. 2. A microempresa SOLID COMPUTER (SC) monta 4 tipos de microcomputadores (A,B,C,D). O computador A dá à empresa um lucro de R$ 150,00 enquanto os computadores B,C e D tem lucros de R$ 190,00, R$ 180,00 e R$ 200,00, respectivamente. O micro A necessita de 0,9h/unidade de mão de obra enquanto que B, C e D necessitam 1,2h/unid., 1,0h/unid. e 1,3h/unid. de mão-de-obra. A empresa precisa de um espaço de estocagem para cada tipo de microcomputador assim estimado: 0,7 m3/unid, 1,0 m3/unid, 1,2 m3/unid. e 0,9 m3/unid. para os microcomputadores do tipos A,B,C e D, respectivamente. O consumo em R$ com matéria prima varia com o tipo de microcomputador. O tipo A consome, por semana, R$ 1.200,00/unid., o tipo B consome R$ 1.000,00/unid. o tipo C consome R$ 900,00/unid e o tipo D R$ 1.300,00/unid. As disponibilidades destes recursos são: 300 h de trabalho por semana, 260 m3 de galpão para estocagem e R$ 400.000,00 para aquisição de matéria prima por semana. A SC deseja saber quantos microcomputadores de cada tipo deve montar por semana de maneira a maximizar seu lucro. Pede-se: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)
Construa o modelo linear e converta-o para a forma padrão. Explique o significado das variáveis de folga do modelo na forma padrão. Qual o plano de produção que maximiza o lucro da Solid Computer ? Qual é o lucro máximo que a Solid Computer pode conseguir? A capacidade de estocagem da empresa é um recurso limitante no plano de produção ótimo? A empresa dispõe de R$ 400.000,00 para compra de matéria prima. Quanto ela precisa utilizar no plano ótimo? Se você, como administrador, tivesse duas alternativas excludentes: contratar mais mão de obra ou alugar um espaço maior para a estocagem. Por qual das duas você decidiria? Por quê? Se um comprador antigo faz uma encomenda de 10 microcomputadores do tipo B, encomenda esta irrecusável pois a Solid Computer correria o risco de perder o comprador, quanto deverá ser o lucro da empresa? Qual deve ser o lucro de B para compensar as perdas? A empresa do lado mais ou menos sentiu que a SC está precisando de capacidade de estocagem. A vizinha oferece um de seus galpões (30 m3) para alugar a um preço de R$ 1.500,00. Como administrador da Solid Computer qual seria a sua decisão? Alugar ou não? Se houver uma diminuição de 10% no lucro do microcomputador tipo A o que acontecerá com o a solução ótima? E com o lucro? Se for preciso rode o programa de novo. E se a diminuição do lucro do micro A for de só 4%? Se houver um aumento de 10% no lucro do microcomputador tipo B o que acontecerá com a solução ótima? Se for preciso rode o programa de novo. O que acontecerá se a empresa conseguir contratar 10h a mais de mão de obra? E se um galpão da empresa for ocupado com outro tipo de material e diminuir em 30 m3 a capacidade de estocagem da empresa?
3. A empresa SEMPRE PERFUMADA (SP) é uma microempresa do ramo de perfumaria com sede em Palhoça/SC. Trabalha na mistura de componentes importados para produção de vários tipos de perfumes. Dois perfumes masculinos são os carros chefe da empresa. Um é bastante suave e o outro mais forte e duradouro. A produção dos perfumes se dá em dois setores: o de mistura e o de embalagem. No setor de mistura 5 funcionários trabalham em tempo integral (40h/semana) e 2 em tempo parcial (15h/sem.) misturando os componentes importados de acordo com as dosagens pré-determinadas. No setor de embalagens 6 funcionários de tempo integral (40h/semana) e um funcionário parcialmente licenciado (10 h/semana) trabalham na colocação dos perfumes já prontos em seus respectivos frascos e nas respectivas caixas que serão transportadas para o depósito para posterior entrega nos pontos de varejo. O dono da empresa pensa que pode trabalhar com mais eficiência e, com isto, alcançar um lucro semanal maior se
4. Programação Linear: interpretando os resultados
70
alterar as quantidades produzidas de seus dois produtos. Para resolver este problema levantou os dados constantes na tabela abaixo que estabelecem o número de horas que cada litro de produto necessita nos setores de mistura e de embalagem.
Tabela 1. Requerimentos (horas/litro) nos respectivos setores de produção Perfume 1 Perfume 2 Setor de Mistura 2 1 Setor de Embalagens 1 2 A empresa tem trabalhado com estoques altos de matéria prima sendo, portanto, o único recurso limitante a mão de obra disponível. Porém, sabe que não deve produzir mais do que 120 litros do perfume 2 pois, sendo este um perfume mais forte, a procura é baixa. A margem de lucro calculada para o produto 1 é de $3 por litro e do produto 2 é de $5 por litro. Como administrador da empresa você necessita determinar quanto de cada tipo de perfume deve ser produzido por semana para maximizar o lucro da SP. Pergunta-se também: a) Construa o modelo linear e converta-o para a forma padrão. b) Explique o significado das variáveis de folga do modelo na forma padrão. c) Qual é o plano de produção semanal ótimo para a empresa? d) Qual será o lucro da empresa se este plano de produção for implementado? e) Devido à recente competição entre a SP e outras empresas o administrador decidiu diminuir o preço de venda do perfume 1 levando então a uma margem de lucro de R$ 2,75 por litro. Qual será o impacto desta decisão no plano de produção anteriormente estimado? f) Qual será o impacto no lucro da empresa? g) O que acontece à margem de lucro da empresa se os dois empregados em tempo parcial do departamento de mistura resolverem trabalhar 10 horas por semana ao invés de 15h? h) O que acontece ao lucro da empresa se um dos empregados de tempo parcial(15h) do departamento de mistura se torna tempo integral (40h) e o outro é demitido? i) O que acontece para o lucro semanal quando um trabalhador em tempo integral é contratado no departamento de embalagens? 4) MTV Companhia produz três tipos de tubos: A,B e C, que vende, respectivamente por $ 10,00, $12,00 e $9,00 por metro. Para produzir cada metro do tubo do tipo A são requeridos 0,5 minutos de tempo de processamento em um tipo particular de máquina. Cada metro do tubo tipo B precisa 0,45 minutos e cada metro do tubo do tipo C precisa de 0,6 minutos. Após a produção cada metro de tubo, independente do tipo requer 1 kg de material de moldagem. O custo total é estimado em $3,00, $4,00, e $4,00 por metro dos tubos dos tipos A,B e C, respectivamente. Para a próxima semana, a empresa recebeu um pedido grande de 2000 metros do tubo do tipo A, 4000 metros do tubo do tipo B, e 5000 metros do tubo do tipo C. Como somente 40 horas de tempo de máquina estão disponíveis esta semana e 5500 kg de material de moldagem estão em inventário, o departamento de produção não estará apto a satisfazer estas demandas, as quais requerem um total de 97 horas de tempo de máquina e 11.000 kg de material de moldagem. Este alto nível de demanda não é esperado continuar. Antes do que expandir a capacidade de produção, o administrador da MTV está considerando comprar alguns destes tubos de fornecedores no Japão a um custo de $6 por metro do tubo tipo A, $6 por metro do tubo tipo B e $7 por metro do tubo do tipo C. Estes vários dados estão resumidos na tabela que segue. Como administrador do departamento de produção, você foi solicitado a fazer recomendações de quanto comprar de cada tipo de tubo do Japão e quanto produzir de modo a satisfazer as demandas e maximizar o lucro da empresa. Formule o modelo e faça a recomendação.
4. Programação Linear: interpretando os resultados
Tubos
Preço de venda ($/m)
Demanda (m)
Tipo A Tipo B Tipo C
10 12 9
2000 4000 5000
71
Tempo de Máquina (min/m) 0.50 0.45 0.60
Material de Moldagem (kg/m) 1 1 1
Custo de Produção ($/m) 3 4 4
Custo de Compra ($/m) 6 6 7
5) Utilize o relatório do exercício anterior para responder as seguintes questões: a) Construa o modelo linear e converta-o para a forma padrão. b) Explique o significado das variáveis de folga do modelo na forma padrão. c) Qual é o plano ótimo de produção/compra do japão? d) Qual das duas restrições de recursos é limitante? e) Se você pudesse obter mais material de moldagem ou mais horas de tempo de máquina (não os dois) qual dos dois você escolheria? f) A companhia japonesa recentemente aumentou o preço que cobra do tubo tipo C de $7,00 para $8,00 por metro. Como o plano de produção atual pode mudar? Explique. Se for necessário rode o programa de novo com o modelo modificado. g) A companhia quer aumentar seus lucros para $57.500,00. Quantas horas de tempo de máquina são necessários para executar este objetivo? Explique. Se for necessário rode o programa de novo com o modelo modificado. h) A companhia poderia vender seu material de moldagem com um lucro de $32 por kg. Quanto ela deveria vender? Explique. 6. O departamento de Nutrição do Hospital Celso Ramos prepara 30 menus de jantares, um para cada dia do mês. Uma refeição consiste de espagheti, frango, batatas assadas, espinafre e torta de maçã. Como diretor do departamento de nutrição você determinou que esta refeição deve fornecer 63000 miligramas (mg) de proteina, 10 mg de ferro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina e 50 mg de vitamina C. Cada 100 gramas destes alimentos fornece a quantia de cada nutriente e gordura indicados na tabela que segue.
Espagheti Frango Batatas assadas Espinafre Torta de Maçã
Proteina 5000 29300 5300 3000 4000
Nutrientes (g/100 mg) Ferro Niacina Tiamina 1.1 1.4 0.18 1.8 5.4 0.06 0.5 0.9 0.06 2.2 0.5 0.07 1.2 0.6 0.15
Vitamina C 0.0 0.0 10.0 28.0 3.0
Gordura 5000 5000 7900 300 14300
Para evitar muito alimento de um tipo, não mais do que 300 gramas de espagheti, 300 gramas de frango, 200 gramas de batatas assadas, 100 gramas de espinafre e 100 gramas de torta de maçã devem ser incluídas na refeição. Como diretor do departamento de nutrição você deve determinar a composição da refeição que satisfaça os requerimentos nutricionais e fornece uma refeição com a mínima quantidade de gordura. Formule o modelo. 7. Utilize o relatório do exercício anterior para responder as seguintes questões: a) Construa o modelo linear e converta-o para a forma padrão. b) Explique o significado das variáveis de folga do modelo na forma padrão. c) Qual é a refeição ótima? Qual é quantidade de gordura contida nesta refeição? d) A refeição ótima excede os requerimentos mínimos para qual dos seguintes nutrientes: proteína, ferro, niacina, tiamina e vitamina C? Explique. e) Encontre o peso total da refeição ótima. f) Foi recentemente descoberto que cada 100 g de torta de maçã contém somente 13300 mg de gordura. Como poderia ser a refeição ótima modificada? Explique. g) Quanta gordura adicional teria a refeição ótima se 51 mg de vitamina C são requeridas ao invés de 50. Explique.
4. Programação Linear: interpretando os resultados
72
h) Por quanto os requerimentos de proteína podem ser aumentados de maneira que a quantidade de gordura da refeição ótima permaneça em 54800 mg. Explique. Exercício 02– Modelo e Relatórios do Solver QA
QB
QC
QD
263,1579
0
63,15789
0
LUCRO)
150
190
180
200
M.OBRA)
0,9
1,2
1
1,3
300 <
300
ESTOCAGEM)
0,7
1
1,2
0,9
260 <
260
1200
1000
900
1300
MPRIMA)
50842,11
372631,6 <
400000
Microsoft Excel 10.0 Relatório de resposta Célula de destino (Máx) Célula $F$3
Nome
Valor original
LUCRO)
Valor final 0
50842,10526
Células ajustáveis Célula $B$2 $C$2 $D$2 $E$2
Nome
Valor original
QA QB QC QD
Valor final 0 0 0 0
263,1578947 0 63,15789474 0
Restrições Célula
Nome
$F$4 $F$5
M.OBRA) ESTOCAGEM)
$F$6
MPRIMA)
Valor da célula
Fórmula
300 $F$4<=$H$4 260 $F$5<=$H$5 372631,5789 $F$6<=$H$6
Status
Transigência
Agrupar Agrupar
0 0
Sem agrupar
27368,42105
Microsoft Excel 10.0 Relatório de sensibilidade Planilha: [Pasta1]Plan1 Relatório criado: 24/9/2003 18:18:20 Células ajustáveis Célula $B$2 QA $C$2 QB $D$2 QC $E$2
Nome
Final Valor 263,1578947 0 63,15789474
QD
Reduzido Custo 0 -12,10526316 0
Objetivo Coeficiente 150 190 180
Permissível Acréscimo 12 12,10526316 50
Permissível Decréscimo 7,575757576 1E+30 13,33333333
0
-13,15789474
200
13,15789474
1E+30
300 260
Sombra Preço 142,1052632 31,57894737
Restrição Lateral R.H. 300 260
Permissível Acréscimo 12,83950617 100
Permissível Decréscimo 83,33333333 26,66666667
Restrições Célula Nome $F$4 M.OBRA) $F$5 ESTOCAGEM)
Final Valor
4. Programação Linear: interpretando os resultados
$F$6
MPRIMA)
73
372631,5789
0
400000
1E+30
Exercício 03 – Relatórios do Solver x1 70 3 2 1 0
V.Dec.) F.O) MOMist) MOEmb) Demx2)
x2 90 5 1 2 1
660 230 250 90
< < <
230 250 120
Microsoft Excel 9.0 Relatório de resposta Célula de destino (Máx) Célula $D$3
Nome
Valor original
F.O)
Valor final 0
660
Células ajustáveis Célula Nome $B$2 V.Dec.) x1 $C$2
Valor original
V.Dec.) x2
Valor final 0
70
0
90
Restrições Célula Nome $D$4 MOMist) $D$5 MOEmb) $D$6 Demx2)
Valor da célula Fórmula 230$D$4<=$F$4 250$D$5<=$F$5 90$D$6<=$F$6
Status Agrupar Agrupar Sem agrupar
Transigência 0 0 30
Microsoft Excel 9.0 Relatório de sensibilidade Planilha: [Pasta1]Plan1 Relatório criado: 17/09/03 18:40:02
Células ajustáveis Célula Nome $B$2 V.Dec.) x1 $C$2 V.Dec.) x2
Final Valor 70 90
Reduzido Custo
Objetivo Coeficiente 0 0
Permissível Acréscimo 3 5
Permissível Decréscimo 7 0,5 1 3,5
Restrições Célula Nome $D$4 MOMist) $D$5 MOEmb) $D$6 Demx2)
Final Valor 230 250 90
Sombra Preço 0,333333333 2,333333333 0
Restrição Permissível Permissível Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo 230 270 90 250 45 135 120 1E+30 30
27368,42105
4. Programação Linear: interpretando os resultados
74
Exercício 04 – Relatórios do Solver QAP 2000 7 0,5 1 1 0 0
LUCRO) Tempo Máquina) Material Moldagem) Demanda A) Demanda B) Demanda C)
QBP 0 8 0,45 1 0 1 0
QCP 2333,333 5 0,6 1 0 0 1
QAJ 0 4 0 0 1 0 0
QBJ 4000 6 0 0 0 1 0
QCJ 2666,667 2 0 0 0 0 1
55000 2400 4333,333 2000 4000 5000
Relatório de Resposta
Célula de destino (Máx) Célula
Nome
$H$4
Valor original
Tempo Máquina)
Valor final 0
2400
Células ajustáveis Célula $B$2 $C$2 $D$2 $E$2 $F$2
Nome
Valor original
QAP QBP QCP QAJ QBJ
0 0 0 0 0
Valor final 2000 0 2333,333333 0 4000
$G$2
QCJ
0
2666,666667
Restrições Célula $H$4 $H$5 $H$6 $H$7 $H$8
Nome
Valor da célula
Tempo Máquina) Material Moldagem) Demanda A) Demanda B) Demanda C)
2400 4333,333333 2000 4000 5000
Fórmula $H$4<=$J$4 $H$5<=$J$5 $H$6=$J$6 $H$7=$J$7 $H$8=$J$8
Status
Transigência
Agrupar Sem agrupar Sem agrupar Sem agrupar Sem agrupar
0 1166,666667 0 0 0
Relatório de Sensibilidade
Célula $B$2 $C$2 $D$2 $E$2 $F$2 $G$2
Nome QAP QBP QCP QAJ QBJ QCJ
Célula $H$4 $H$5 $H$6 $H$7 $H$8
Nome Tempo Máquina) Material Moldagem) Demanda A) Demanda B) Demanda C)
Final Valor 2000 0 2333,333333 0 4000 2666,666667 Final Valor 2400 4333,333333 2000 4000 5000
Reduzido Custo 0 0 0 0 0 0 Sombra Preço 1 0 0 0 0
Objetivo Coeficiente 0,5 0,45 0,6 0 0 0 Restrição Lateral R.H. 2400 5500 2000 4000 5000
Permissível Acréscimo 1E+30 0 0 0 1E+30 0 Permissível Acréscimo 700 1E+30 2800 1E+30 1E+30
Permissível Decréscimo 0 1E+30 0 1E+30 0 0 Permissível Decréscimo 1400 1166,666667 2000 4000 2666,666667
< < = = =
2400 5500 2000 4000 5000
4. Programação Linear: interpretando os resultados
75
Exercício 06 – Relatórios do Solver SPAG 3,00 5000 5000 1,1 1,4 0,18 0 1 0 0 0 0
MIN Gordura) Proteina) Ferro) Niacina) Tiamina) Vitamina C) Lim Espagueti) Lim Frango) Lim Batata) Limite Espinafre) Limite Torta)
FRAN 2,83 5000 29300 1,8 5,4 0,06 0 0 1 0 0 0
BAT 2,00 7900 5300 0,5 0,9 0,06 10 0 0 1 0 0
SPIN 1,00 300 3000 2,2 0,5 0,07 28 0 0 0 1 0
TM 0,67 14300 4000 1,2 0,6 0,15 3 0 0 0 0 1
54800 114283,3 12,4 22,2 1 50 3 2,833333 2 1 0,666667
> > > > > < < < < <
Relatório de Resposta
Célula de destino (Mín) Célula $G$3
Nome MIN Gordura)
Valor original 60400
Valor final 54800
Células ajustáveis Célula $B$2 $C$2 $D$2 $E$2 $F$2
Nome SPAG FRAN BAT SPIN TM
Valor original 3,00 3,00 2,00 1,00 1,00
Valor final 3,00 2,83 2,00 1,00 0,67
Restrições Célula $G$4 $G$5 $G$6 $G$7 $G$8 $G$9 $G$10 $G$11 $G$12 $G$13
Nome Proteina) Ferro) Niacina) Tiamina) Vitamina C) Lim Espagueti) Lim Frango) Lim Batata) Limite Espinafre) Limite Torta)
Valor da célula 114283,3333 12,4 22,2 1 50 3 2,833333333 2 1 0,666666667
Fórmula $G$4>=$I$4 $G$5>=$I$5 $G$6>=$I$6 $G$7>=$I$7 $G$8>=$I$8 $G$9<=$I$9 $G$10<=$I$10 $G$11<=$I$11 $G$12<=$I$12 $G$13<=$I$13
Status Sem agrupar Sem agrupar Sem agrupar Agrupar Agrupar Agrupar Sem agrupar Agrupar Agrupar Sem agrupar
Transigência 51283,33333 2,4 7,2 0 0 0 0,166666667 0 0 0,333333333
63000 10 15 1 50 3 3 2 1 1
4. Programação Linear: interpretando os resultados
76
Relatório de Sensibilidade
Células ajustáveis Célula $B$2 $C$2 $D$2 $E$2
SPAG FRAN BAT SPIN
3,00 2,83 2,00 1,00
Reduzido Custo 0,00 0,00 0,00 0,00
$F$2
TM
0,67
0,00
Nome
Final Valor
Objetivo Coeficiente 5000 5000 7900 300
Permissível Acréscimo 10000 422,7272727 3100 22333,33333
Permissível Decréscimo 1E+30 3333,333333 1E+30 1E+30
14300
1E+30
930
Restrição Lateral R.H. 63000 10 15 1 50 3 3 2 1 1
Permissível Acréscimo 51283,33333 2,4 7,2 0,01 1 0,486486486 1E+30 0,022727273 0,007518797 1E+30
Permissível Decréscimo 1E+30 1E+30 1E+30 0,08 0,2 0,055555556 0,166666667 0,1 0,035714286 0,333333333
Restrições Célula $G$4 $G$5 $G$6 $G$7 $G$8 $G$9 $G$10 $G$11 $G$12 $G$13
Nome Proteina) Ferro) Niacina) Tiamina) Vitamina C) Lim Espagueti) Lim Frango) Lim Batata) Limite Espinafre) Limite Torta)
Final Valor 114283,3333 12,4 22,2 1 50 3 2,833333333 2 1 0,666666667
Sombra Preço 0 0 0 83333,33333 600 -10000 0 -3100 -22333,33333 0
77
5. Programação Linear Inteira e Binária Até aqui estivemos trabalhando com problemas de programação matemática que resultavam em modelos lineares. Estes modelos lineares produziam, na maior parte das vezes, valores contínuos para as variáveis, isto é, resultados quebrados tais como: produzir 2,5 litros do solvente 1 e 4,2 litros do solvente 2. Em alguns casos estes resultados são válidos e podem ser implementados, em outros não. Por exemplo: a solução de produzir 60,5 carros do modelo 1 e produzir 43,8 carros do modelo 2 não pode ser implementada diretamente pois não se tem como produzir 60,5 carros e sim 60 ou 61. A primeira idéia que surge é a de arredondar os valores. Mas aí vem a questão: arredondar para cima ou para baixo? Bem, quanto existe a necessidade de que a resposta do nosso modelo (solução ótima) assuma somente valores inteiros o melhor é trabalhar com um modelo de Programação Linear Inteira ou Programação Linear Inteira Mista. No modelo de Programação Linear Inteira impõe-se, através de restrições nos valores das variáveis, que as mesmas só assumam valores inteiros. Já no modelo de Programação Linear Inteira Mista podemos ter algumas variáveis inteiras e outras contínuas. Então, resumindo para você: ♦
♦
Programação Linear Inteira (PLI) são modelos do tipo: Função objetivo linear; Todas as restrições são lineares; As variáveis são positivas; Todas as variáveis são inteiras. Programação Linear Inteira Mista (PLIM) são modelos do tipo: Função objetivo linear; Todas as restrições são lineares; As variáveis são positivas; Algumas variáveis são inteiras e outras contínuas.
5.1. Programação Linear Inteira e Binária O caso mais interessante que se pode encontrar sobre Programação Linear Inteira é uma situação especial aonde as variáveis devem assumir somente valores inteiros sendo que estes valores ainda estão restritos a zero (0) ou um(1). Este é um modelo de Programação Linear Inteira Binária. Este é o caso típico de modelos que procuram responder a perguntas do tipo SIM/NÃO. Modelos do tipo: COMPRA/NÃO COMPRA INVESTE NO PROJETO i/ NÃO INVESTE NO PROJETO i COMPRA OU ALUGA O IMÓVEL i/ NÃO COMPRA OU NÃO ALUGA O IMÓVEL i ESCOLHE A LOCALIZAÇÃO i/ NÃO ESCOLHE A LOCALIZAÇÃO i Estes serão sempre modelos de programação inteira e binária. Binária (BIN) são modelos do tipo: objetivo linear; Todas as restrições são lineares; As variáveis são positivas; Todas ou algumas variáveis são inteiras e binárias (só assumem valores 0 ou 1)
♦Programação Linear Inteira Função
78
Estes modelos de programação binária tem aplicações na área financeira com problemas de seleção de alternativas de investimento, seleção de projetos, etc. Pode-se, também, modelar com variáveis binárias problemas de localização em que se deseja saber qual (is) a(s) melhor (es) localização (ões) para uma determinada fábrica, posto de saúde, hospital, zonas eleitorais, por exemplo. Problemas de escolha do melhor caminho a ser utilizado também devem ser modelados com variáveis binárias. Neste caso a descrição das variáveis binárias que serão utilizadas no modelo segue a seguinte estrutura:
0, se o projeto, localização, caminho, etc i não deve ser selecionado, aceito, seguido, etc Yi = 1, se o projeto, localização, caminho, etc i deve ser selecionado, aceito, seguido, etc
Modelos cuja resposta deve ser
SIM/NÃO
são modelos de
Programação Linear inteira Binária
Exemplo 5.1 No início do mês de julho, o gerente de investimento do Banco Finanças tem os seguintes pedidos de financiamento para projetos industriais. Pedidos de Financiamento do Banco Finanças no mês de Julho/2002 Projeto A B C D E R$ lucro previsto 5500 7800 4000 6500 8700 RS necessidade de 400 1800 200 550 900 capital ano 1 RS necessidade de 1000 200 1000 650 1200 capital ano 2 RS necessidade de 400 900 700 1750 1100 capital ano 3 Grau de Risco 1 4 2 5 6
F 3300 750 900 200 3
Para investir nestes projetos o Banco dispõe de R$ 3200,00 no ano 1, R$ 2800,00 no ano 2 e R$ 2850,00 no ano 3. Há uma regra de não investir em mais do que dois projetos com grau de risco 4 ou acima. Os projetos A e F são mutuamente exclusivos, isto é, se um for escolhido o outro não pode sê-lo (entretanto ambos podem ser recusados). Por outro lado, o projeto C só pode ser escolhido se o projeto E também o for (entretanto, o projeto E pode ser escolhido para financiamento ao mesmo tempo que o projeto C é recusado). Dentro destas condições, quais os projetos deverão ser escolhidos para financiamento com o objetivo de maximizar o lucro previsto nos investimentos? Solução:
79
Inicialmente devemos nos fazer as seguintes perguntas: Qual é o objetivo do Banco Finanças? ---------FUNÇÃO OBJETIVO Maximizar o lucro previsto com os investimentos. Oque ele precisa decidir? Quais são os itens que estão sobre o seu controle? ------- VARIÁVEIS DE DECISÃO O banco precisa decidir em quais projetos irá investir. Quais são as restrições existentes? ----------RESTRIÇÕES a) restrições de disponibilidade em caixa para investimento: Disponibilidade do Ano 1= $3.200,00 Disponibilidade do Ano 2= $2.800,00 Disponibilidade do Ano 3= $2.850,00 b) não investir em mais de dois projetos com grau de risco 4 ou superior c) os bancos A e F são mutuamente exclusivos d) o projeto C só pode ser escolhido se o projeto E também for. Após realizado este conjunto de perguntas que conduzem a um resumo do problema podemos decidir quais serão as variáveis de decisão do problema. Em b) respondemos que o banco precisa decidir em quais projetos ele irá investir. A resposta a esta pergunta será: Investir no projeto A, SIM OU NÃO? Investir no projeto B, SIM OU NÃO? Investir no Projeto C, SIM OU NÃO? e assim por diante. Baseados nestas respostas concluimos que estamos diante de um caso de Programação Binária aonde a variável de decisão irá assumir o valor de 1 se a resposta for SIM e o valor de 0 se a resposta for NÃO. Variáveis de Decisão: Pi = 0, se o projeto i (i=A,B,C,D,E, F) não deve ser aceito = 1, se o projeto i (i=A,B,C,D,E, F) deve ser aceito Função Objetivo: Foi expicitado anteriormente que o objetivo da empresa é o de maximizar o lucro previsto nesta transação. A F.O. será então a soma dos lucros obtidos com os diversos projetos, ou melhor, com aqueles que forem selecionados para investimento. Max Lucro) lucro com o projeto A + lucro com o projeto B + lucro com o projeto C + lucro com o projeto D + lucro com o projeto E + lucro com o projeto F Temos como dado do problema que os lucros previstos são de $5500, $7800, $4000, $6500, $8700, $3300 para os projetos A,B,C,D,E e F, respectivamente. Teremos então como Função Objetivo deste banco: Max Lucro) 5500PA + 7800PB + 4000PC + 6500PD + 8700PE + 3300PF
80
Restrições: A primeira limitação ou restrição definida acima foi: a) restrições de disponibilidade em caixa para investimento: Disponibilidade do Ano 1= $3.200,00 Disponibilidade do Ano 2= $2.800,00 Disponibilidade do Ano 3= $2.850,00 Sabemos então que o banco não pode gastar mais do que tem em caixa em c ada ano, ou seja: Teremos então:
GASTOS < = INVESTIMENTOS
ANO 1) 400PA + 1800PB + 200PC + 550PD + 900PE + 750PF < = 3200 ANO 2) 1000PA + 200PB + 1000PC + 650PD +1200PE + 900PF < = 2800 ANO 3) 400PA + 900PB + 700PC + 1750PD + 1100PE + 200PF < = 2850 A próxima restrição que é, na realidade, uma imposição do administrador será: b) não investir em mais de dois projetos com grau de risco 4 ou superior então:
Sabemos que somente os projetos B, D e E tem grau de risco igual ou acima de 4, teremos
Risco) PB + PD + PF < = 2 como os valores das variáveis são binários, com esta restrição força-se que pelo menos uma variável assuma o valor de 0 (se todos os projetos fossem escolhidos teríamos PB=1, PD=1 e PF =1, cuja soma seria 3 o que não obedeçe a restrição. Ainda temos a imposição: c) os bancos A e F são mutuamente exclusivos O banco impõe, então, que se o projeto A for aceito o projeto E deve ser rejeitado e vice versa. Teremos então: IMPAF) PA + PF =1 Com esta restrição força-se uma das variáveis a assumir o valor de zero (0). Temos também: d) o projeto C só pode ser escolhido se o projeto E também for, ou seja: PE > = PC PE – PC > = 0
81
O modelo final será: Max Lucro) 5500PA + 7800PB + 4000PC + 6500PD + 8700PE + 3300PF s.a. ANO 1) 400PA + 1800PB + 200PC + 550PD + 900PE + 750PF <=3200 ANO 2) 1000PA + 200PB + 1000PC + 650PD +1200PE + 900PF <= 2800 ANO 3) 400PA + 900PB + 700PC + 1750PD + 1100PE + 200PF <= 2850 Risco) PB + PD + PF <= 2 IMPAF) PA + PF = 1 IMPEC) – PC + PE >=0 PA <=1 PB <=1 PC <=1 PD < =1 PE <=1 PF < = 1 PA, PB, PC, PD, PE, PF > = 0 e inteiro
5.2. Programação Linear Inteira Mista (PLIM) Já no modelo de Programação Linear Inteira Mista podemos ter algumas variáveis contínuas, outras inteiras e até mesmo algumas variáveis binárias são modelos do tipo: objetivo linear; Todas as restrições são lineares; As variáveis são positivas; Algumas variáveis são inteiras (binárias ou não) e outras contínuas.
♦Programação Linear Inteira Mista (PLIM) Função
82
Atividade de Fixação 1. (traduzido e adaptado de Mathur e Sollow, 1997) A empresa Cosmic Computer (CCC) acaba de terminar pesquisas no sentido de produzir um novo tipo de computador mais potente e ergonômico que os atuais. Acreditando na CCC e querendo antecipar-se à corrida por estes novos modelos alguns compradores já anteciparam suas encomendas. Estas encomendas são de 1700 computadores para um comprador situado em São Paulo, 1000 computadores para um comprador situado no Rio de Janeiro, 1500 para Porto Alegre e 1200 para Brasília. Para atender a estas demandas a CCC está considerando construir fábricas em São Bernardo, Cachoeirinha, Rio das Urnas e Santo Inácio. As capacidades de produção e custos fixos projetados para estas fábricas são dados na tabela 2. O custo de transportar cada computador de cada fábrica para cada comprador estão descritos na Tabela 2. Como administrador da CCC você foi chamado para fazer uma recomendação sobre quais fábricas devem ser abertas para minimizar o custo total com transporte e com os custos fixos. Localização São Bernardo Cachoeirinha Rio das Urnas Santo Inácio
Tabela 1 – Capacidades das Fábricas e Custos Fixos Capacidade Mensal Custos Fixos Mensais ($) 1700 70000 2000 70000 1700 65000 2000 70000
Tabela 2 – Custo de Transportes ($/computador) das Fábricas para os Compradores Fábricas/ Compradores São Bernardo Cachoeirinha Rio das Urnas Santo Inácio
São Paulo
Rio de Janeiro
Porto Alegre
Brasília
5 4 6 9
3 7 5 8
2 8 3 6
6 10 8 5
2. Uma empresa do mercado de produtos de higiene e saúde está querendo fazer uma grande campanha publicitária utilizando diferentes mídias (TV, rádio. Internet, etc...) para o lançamento de determinado produto. Para tanto chamou 6 empresas que trabalham com propaganda e marketing e encomendou orçamentos para uma campanha publicitária que atingisse os consumidores das classes A, B e C. As empresas chamadas deveriam apresentar um projeto de campanha indicando os custos de sua realização e o número de consumidores por dia alcançados pela campanha. Estes projetos estão resumidos no quadro abaixo. A empresa contratante impõe como limite de gastos com a campanha o valor de $ 700.000,00 por mês, sendo que mais de uma empresa pode ser contratada, dentro deste limite de orçamento. A empresa contratante deseja trabalhar com no máximo 3 empresas e quer que ao menos 20.000 consumidores da classe A, 35.000 da classe B e 40.000 consumidores da classe C sejam atingidos com a campanha. Modele o problema indicando à empresa quais projetos devem ser escolhidos para que a campanha tenha um custo mínimo possível. Tabela 3 - Projetos Apresentados para a Campanha Publicitária Projeto/Cons./dia Projeto 1 Projeto 2 Projeto 3 Projeto 4 Projeto 5 A(Cons./Dia) 23000 33000 14000 25000 18000 B(Cons./Dia) 52000 27000 38000 47000 32000 C(Cons./Dia) 35000 18000 75000 66000 41000 Custo($/mês) 570.000 380.000 275.000 634.000 510.000
Projeto 6 17000 36000 29000 415.000
83
3. Analisando melhor os projetos a empresa contratante (do problema anterior) resolveu que não contrataria simultaneamente os projetos 1 e 4 pois os mesmos utilizam as mesmas mídias. Ao contrário dos projetos 1 e 4 os projetos 2 e 6 utilizam diferentes mídias que são complementares. A empresa impõe, então, que estes dois projetos devem ser aceitos ou recusados juntos, isto é, se um for aceito o outro também deve ser e se um for recusado o outro também deve ser. Modele o problema. 4.(Seleção de Alternativas de Investimento) Determinado banco de investimentos tem que decidir em que projetos investirá a partir do próximo trimestre. Seis projetos são apresentados cujos fluxos de caixa de investimentos/recebimentos são os apresentados na tabela abaixo. Os valores presentes dos fluxos de caixa são os seguintes: Projeto A: $290.000,00; Projeto B: $175.000,00; Projeto C: $350.000,00; Projeto D: $95.000,00; Projeto E: $60.000,00; Projeto F: $155.000,00. O banco tem disponível para investimento os seguintes valores por trimestre: 1 o. trimestre: $ 430.000,00; 2 o. trimestre: $ 350.000,00; 3o. trimestre: $200.000,00; 4 o. trimestre: 200.000,00; 5 o. trimestre: 200.000,00; 6o. trimestre: 200.000,00. Além destes valores o banco ainda tem a possibilidade de tomar um empréstimo externo de $ 150.000,00 no 1 o. trimestre, pelo qual deverá desembolsar $ 350.000,00 no início do 5 o. trimestre, resultando em um valor presente de $ (130.000,00). Formule um modelo que indique quais os projetos o banco deverá financiar obedecendo a regra do Banco Central de que não apresente resultados negativos ao longo do trimestre. Seu objetivo é o de maximizar o valor presente total.
Trimestres/ Clientes 1 2 3 4 5 6
Tabela 4 - Fluxo de Caixa dos Projetos ($1.000,00) A B C D E F (200) (250) (300) 50 130 180
(110) (30) (50) 70 90 130
(150) (150) (70) (250) 190 280
(80) (35) (15) (10) (40) 100
(35) (35) (8) 12 25 35
(30) (180) 20 150 50 30
5.(Localização Geográfica) Uma empresa que produz determinado produto deseja implantar lojas de serviço autorizado que atendam a todas as regiões consumidores de uma cidade X com 2 milhões de habitantes. Um estudo mostrou que a cidade poderia ser dividida em 11 regiões. A empresa estipula que o padrão de qualidade requerido é aquele em que o ponto não esteja localizado a mais de 20 min de ônibus para mais de 80% das pessoas que moram naquela região consumidora. Um corretor, chamado pela empresa, apresenta, então, 8 propostas de imóveis disponíveis para alugar com seus respectivos valores de aluguel (tabela abaixo). A empresa faz um estudo e traça o perfil de cada imóvel com relação ao padrão de qualidade estabelecido. Na tabela abaixo o X indica que aquele ponto atende à condição de qualidade imposta pela empresa para aquela região consumidora. Esta empresa deseja saber quais imóveis deverá alugar de maneira a minimizar o valor total gasto em aluguel e prover um nível de serviço adequado a todas as regiões consumidoras (RC).
84
Tabela 5 - Quadro Demonstrativo dos Imóveis/Condições de Qualidade Disponíveis para Aluguel em cada região Consumidora P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 ↓RC\ Pontos→ A X X X B X X X C X X D X X E X X X F X X X G X X X H X X I X X X J X X X L X X X Aluguel 1100 1050 950 850 900 650 750 (US$)
P8
X X X X 980
6.Reformule o modelo anterior para o seguinte objetivo: a empresa deseja implantar o menor número possível de lojas autorizadas. 7. (Designação ou Atribuição) Uma empresa que trabalha com vendas de produtos de valor bastante elevado tem, no momento, o problema de designar o vendedor mais adequado para tentar realizar uma venda para 4 clientes. Para isto dispõe de 4 vendedores. Dado um estudo do perfil de cada cliente e de cada vendedor tem-se a tabela abaixo que mostra as probabilidades de sucesso na venda de cada vendedor para cada cliente. Como Chefe do Setor de Vendas encontre a designação mais adequada da sua força de vendedores para maximizar a soma total das probabilidades de sucesso nas vendas (cada vendedor deverá visitar somente 1 cliente e cada cliente deverá receber a visita de somente um vendedor).
Vendedores/Clientes A B C D
Tabela 6 - Probabilidades de Sucesso na Venda 1 2 3 90 90 90 90 30 70 70 30 70 70 90 90
4 30 70 30 90
8.A empresa High-Tech de investimentos está considerando investir até $1.000.000,00 em uma ou mais propostas que ela recebeu de vários empreendedores. Cada proposta foi analisada chegando-se a seis propostas de mais interesse da empresa devido ao retorno esperado compensar o risco do empreendimento. O investimento necessário, o fator de risco e a taxa de retorno esperado de cada projeto constam da tabela abaixo. Os diretores da empresa acordaram que o risco total, adicionando os fatores de risco dos projetos escolhidos, não deveria ser superior a 3.0. Decidiram também que até dois projetos podem ter um fator de risco superior a 0.6. Como gerente de investimentos você foi questionado sobre quais projetos a empresa deveria financiar. A meta da empresa é alcançar o maior retorno esperado sobre o capital investido.
85
Tabela 7 – Dados relativos aos Possíveis Projetos de Investimento da Empresa High-Tech Projetos P1 P2 P3 P4 P5 P6
Capital Necessário($) 100.000,00 200.000,00 170.000,00 250.000,00 400.000,00 250.000,00
Risco 0.50 0.40 0.70 0.65 0.45 0.75
Retorno 0.20 0.15 0.30 0.25 0.17 0.40
