Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Medianeira Gerência de Ensino e Pesquisa Coordenações de Cursos
CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO.
DISCIPLINA: PESQUISA OPRACIONAL 1.
PROFESSOR: LEVI LOPES TEIXEIRA.
ROTEIRO DE ESTUDOS.
Medianeira - Agosto/2011.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO............................................................................................................................................................ PROGRAMAÇÃO LINEAR...................................................................................................... ................................ CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR.................................................................. SOLUÇÀO GRÁFICA DE UM PPL.................................................................................................... ..................... SOLUÇÀO BÁSICA DE UM SISTEMA DE EQUAÇÃOES LINEARES....................................................... MÉTODO SIMPLEX............................................................................................................... ................................... MÉTODO DO M GRANDE....................................................................................................................... ............... MÉTODO DAS DUAS FASES........................................................................................................................ ......... VARIÁVEL LIVRE E TIPOS DE SOLUÇÕES DE UM PPL......................................................................... PPL............................................................................. RESOLUÇÃO DE UM PPL USANDO O SOLVER DO EXCEL..................................................................... RESOLUÇÃO DE UM PPL USANDO O APLICATIVO LINDO................................................................... RESOLUÇÃO DE UM PPL USANDO O APLICATIVO LINGO................................................................... ANÁLISE DE SENSIBILIDADE..................................................................................................... ........................ ANÁLISE DE SENSIBILIDADE USANDO O SOLVER, LINDO E LINGO................................................ DUALIDADE................................................................................................................................................................ ANÁLISE ECONÔMICA............................................................................................................ ............................... ALGORITMO DUAL SIMPLEX...................................................................................................................... ....... ANÁLISE DE PÓS-OTIMIZAÇÃO.............................................................................. PÓS-OTIMIZAÇÃO........................................................................................................................ .......................................... MÉTODO SIMPLEX REVISADO...................................................................................................... .................... PROBLEMAS DE TRANSPORTES....................................................................................................................... PROGRAMANDO NO LINGO................................................................................................. LINGO................................................................................................................................. ................................ PROBLEMAS DE TRANSBORDO................................................................................................................... ..... PROBLEMAS DE DESIGNAÇÃO................................................................................................................... ....... OTIMIZAÇÃO EM REDES............................................................................................. REDES....................................................................................................................................... .......................................... MODELO DETERMINÍSTICO DE ESTOQUE............................................................................................. ESTOQUE................................................................................................. ....
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Pesquisa Operacional 1
2 2 3 8 11 12 14 14 15 19 21 22 24 28 34 37 40 41 47 49 56 59 63 67 78
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO............................................................................................................................................................ PROGRAMAÇÃO LINEAR...................................................................................................... ................................ CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR.................................................................. SOLUÇÀO GRÁFICA DE UM PPL.................................................................................................... ..................... SOLUÇÀO BÁSICA DE UM SISTEMA DE EQUAÇÃOES LINEARES....................................................... MÉTODO SIMPLEX............................................................................................................... ................................... MÉTODO DO M GRANDE....................................................................................................................... ............... MÉTODO DAS DUAS FASES........................................................................................................................ ......... VARIÁVEL LIVRE E TIPOS DE SOLUÇÕES DE UM PPL......................................................................... PPL............................................................................. RESOLUÇÃO DE UM PPL USANDO O SOLVER DO EXCEL..................................................................... RESOLUÇÃO DE UM PPL USANDO O APLICATIVO LINDO................................................................... RESOLUÇÃO DE UM PPL USANDO O APLICATIVO LINGO................................................................... ANÁLISE DE SENSIBILIDADE..................................................................................................... ........................ ANÁLISE DE SENSIBILIDADE USANDO O SOLVER, LINDO E LINGO................................................ DUALIDADE................................................................................................................................................................ ANÁLISE ECONÔMICA............................................................................................................ ............................... ALGORITMO DUAL SIMPLEX...................................................................................................................... ....... ANÁLISE DE PÓS-OTIMIZAÇÃO.............................................................................. PÓS-OTIMIZAÇÃO........................................................................................................................ .......................................... MÉTODO SIMPLEX REVISADO...................................................................................................... .................... PROBLEMAS DE TRANSPORTES....................................................................................................................... PROGRAMANDO NO LINGO................................................................................................. LINGO................................................................................................................................. ................................ PROBLEMAS DE TRANSBORDO................................................................................................................... ..... PROBLEMAS DE DESIGNAÇÃO................................................................................................................... ....... OTIMIZAÇÃO EM REDES............................................................................................. REDES....................................................................................................................................... .......................................... MODELO DETERMINÍSTICO DE ESTOQUE............................................................................................. ESTOQUE................................................................................................. ....
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INTRODUÇÃO A tem as suas origens nas operações militares no período da segunda guerra. Os recursos escassos levaram os comandos militares aliados a convocarem cientistas para desenvolverem procedimentos que otimizassem a alocação de recursos. Em 1947, George Dantzig desenvolveu o , um algoritmo usado na resolução de problemas de programação linear (PPL). Um modelo de PPL é formado basicamente por uma função objetivo (que deverá ser maximizada ou minimizada) e restrições representadas por expressões lineares. São várias as áreas onde se aplicam a P.O.: 1) Problemas de misturas (adubos, ração, tintas, ligas metálicas, combustíveis, minérios, etc); 2) Problemas de corte (barras, bobinas, chapas, etc.); 3)Problemas de distribuição e localização (roteamento, localização de postos de saúde, escolas, etc); 4) Horários de trabalho (motoristas de ônibus, tripulação de avião, atendentes de telefone, etc.); 5) Planejamento de produção e estocagem (refinaria, indústria de móveis, etc.); 6) Finanças (crédito, bolsa de valores, etc.). PROGRAMAÇÃO LINEAR De maneira geral um modelo de P.O. pode ser representado da seguinte forma: Maximizar ou minimizar a . Sujeito a
CONCEITOS IMPORTANTES IMPORTANTES a)
: São variáveis usadas no modelo que podem ser controladas pelo tomador de decisão. A solução do problema é encontrada testando-se diversos valores das variáveis de decisão. Exemplo: O número de caminhões que a engarrafadora deve despachar num determinado dia. b) : São variáveis usadas no modelo que não podem ser controladas pelo tomador de decisão. decisão. A solução do problema problema é encontrada encontrada admitindo como como fixos os valores dos parâmetros. Exemplo: A capacidade de cada caminhão que vai transportar refrigerante. Os caminhões têm uma capacidade especificada pelo fabricante e uma carga total transportada que é limitada pela legislação rodoviária. c) : É uma função matemática que representa o principal objetivo do tomador de de decisão. Ela é de dois tipos (minimização e maximização). Exemplo: Exemplo: Minimizar os custos de transportes relativos à distribuição de refrigerantes. d) : São regras que dizem que podemos (ou não) fazer e/ou quais são as limitações dos recursos ou das atividades que estão associadas ao modelo. PROPRIEDADES DA PROGRAMAÇÃO LINEAR Em modelos de PL, a função objetivo e as restrições são expressões lineares. Linearidade implica que a PL deve satisfazer 3 propriedades básicas: 1-
: Essa propriedade requer que a contribuição de cada variável de decisão, tanto na função objetivo quanto nas restrições, seja diretamente proporcional ao valor da variável. Por exemplo, na função objetivo maximizar receita = 4x1 + 3x2, as constantes de proporcionalidade proporcionalidade são 4 e 3 para os produtos 1 e 2, respectivamente. 2: Essa propriedade requer que a contribuição total de todas as variáveis da função objetivo e das restrições seja a soma direta das contribuições individuais de cada variável. Em outras palavras a operação entre as variáveis deve ser adição ou subtração.
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3-
: Todos os coeficientes da função objetivo e das restrições do modelo de PL são determinísticos, o que significa que são constantes conhecidas.
CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR EXEMPLOS: 1- Uma pequena indústria produz artigos A1 e A2 qua são vendidos a $ 200 / un. E $ 300 / un. , respectivamente. Na sua produção são utilizados 3 tipos de matérias-primas, P1, P2 e P3, que são gastas da seguinte forma: 2 unidades de P1 para fabricar 1 unidade de A1, 4 unidades de P2 para fabricar 1 unidade de A1, 1 unidade de P1 para fabricar 1 unidade de A2, 1 unidade de P3 para fabricar 1 unidade de A2. Por razões econômicas, as matérias-primas P1, P2 e P3 estão disponíveis no máximo em 20, 32 e 10 unidades, respectivamente. O dono da empresa deseja saber as quantidades dos produtos A1 e A2 que devem ser produzidas para que a receita seja a maior possível. Construa o modelo do problema como um PPL. 2- Um jovem pretende prestar um concurso público cujo exame envolve duas disciplinas, D1 e D2. Ele sabe que, para cada hora de estudo, pode obter 2 pontos na nota da disciplina D1 e 3 pontos na de D2 e que o rendimento é proporcional ao seu esforço. Ele dispõe de no máximo 50 horas para os estudos até o dia do exame. Para ser aprovado deverá obter na disciplina D1 no mínimo 20 pontos, na D2, no mínimo 30, e o total de pontos deverá ser pelo menos 70. Como, além da aprovação, ele gostaria de alcançar a melhor classificação possível, qual a melhor forma de distribuir as horas disponíveis para o seu estudo? Formular o Problema como um PPL. 3- Uma pessoa em dieta necessita ingerir pelo menos 20 unidades de vitamina A, 10 unidades de vitamina B e 2 unidades de vitamina C. Ela deve conseguir essas vitaminas a partir de dois tipos diferentes de alimentos: A1 e A2. A quantidade de vitaminas que esses produtos contêm por unidade e o preço unitário de cada um deles está expresso na seguinte tabela: Vitamina A Vitamina B Vitamina C Preço unitário Alimento A1 4 1 1 30 u.m. Alimento A2 1 2 20 u.m. Qual a programação de compras dos alimentos A1 e A2 que essa pessoa deve fazer para cumprir sua dieta, ao menor custo possível? Construa o modelo linear para este problema. EXERCÍCIOS 1- Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 150 u.n. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. 2- Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de
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tangerina a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema. 3- Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultado o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2, $ 150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso dos recursos. Produtos Recurso R1/un. Recurso R2/un. Recurso R3/un. P1 2 3 5 P2 4 2 3 Disponibilidade de 100 90 120 recursos por mês Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro a empresa? Construa o modelo do sistema. 4- Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades: (A) (arrendamento)- destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de canade-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00 por alqueire por ano. (P) (pecuária)- Usar outra parte para criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100kg/alq.) e irrigação (100.000 l de água/alq.) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire por ano. (S) (plantio de soja)- Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 l de água/alq. Para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 500,00/ alqueire no ano. Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 l de água. 14.000 kg de adubo. 100 alqueires de terra. Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão. 5- Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados: Material recuperado 1 MR1- composição: Ferro 60% - custo por kg = $0,20 Carvão 20% Silício 20% Material recuperado 2 MR2 composição: Ferro 70% - custo por kg = 0,25 Carvão 20% Silício 5% Níquel- 5% A liga deve ter a seguinte composição final: Matéria prima % Mínima % Máxima Ferro 60 65 Carvão 15 20 Silício 15 20 Níquel 5 8
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O custo dos materiais puros são (por kg): ferro: $0,30; carvão: $ 0,20; silício: $ 0,28; Níquel: $ 0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis, com menor custo por kg? 6- Uma certa agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma certa linha de produto não lucrativo. Isso criou um considerável excedente na capacidade de produção. A gerência está considerando dedicar essa capacidade excedente a um ou mais produtos, identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível das máquinas que poderia limitar a produção está resumida na tabela a seguir: Tipo de máquina
Tempo disponível (horas de máquina)
A
500
B
350
C
150
O número de horas de máquina requerido por unidade dos respectivos produtos, conforme representado a seguir: Tipo de máquina
Produto 1
Produto 2
Produto 3
A
9
3
5
B
5
4
0
C
3
0
2
O lucro unitário é de $ 30, $ 12 e $ 15, respectivamente, para os produtos 1,2 e 3. Construa um modelo matemático como PPL para determinar a quantidade de cada produto que a empresa deve produzir para maximizar o lucro. 7- Uma certa corporação tem 3 fábricas filiais com capacidade de produção excedente. As 3 unidades têm capacidade para fabricar um certo produto, tendo a gerência decidido utilizar parte dessa capacidade de produção excedente para fazê-lo. Ele pode ser feito em 3 tamanhos grande, médio e pequeno os quais geram um lucro unitário líquido de $ 140, $ 120 e $ 100, respectivamente. As fábricas 1,2 e 3 têm capacidade excedente de mão-de-obra e de equipamento para produzirem 750, 900 e 450 unidades do produto por dia, respectivamente, independentemente do tamanho ou combinação de tamanhos envolvidos. Entretanto, a quantidade de espaço disponível para estoque em processo também impõe um limite às taxas de produção. As fábricas 1,2 e 3 têm 1.170, 1.080 e 450 metros quadrados de espaço disponível para estoque de produtos em processo, em dia de produção, sendo que cada unidade dos tamanhos grande, médio e pequeno, produzida por dia, requer, 1,8, 1,35 e 1,08 metros quadrados, respectivamente. As previsões indicam que podem ser vendidas, por dia, 900, 1.200, e 750 unidades dos tamanhos grande, médio e pequeno, respectivamente. Para manter uma carga de trabalho uniforme entre as fábricas,e para reter algum tipo de flexibilidade, a gerência decidiu que a produção adicional designada a cada fábrica deve utilizar a mesma porcentagem da capacidade excedente de mão-de-obra e de equipamento. A gerência deseja saber a quantidade de produto, por tamanho, que
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deveria ser produzida em cada uma das fábricas, para maximizar o lucro. Monte o modelo linear. 8- Uma determinada empresa quer utilizar do melhor modo possível os recursos de madeira de uma de suas regiões florestais. Dentro dessa região, há uma serraria e uma fábrica de compensados, o que possibilita que as toras possam ser convertidas em madeira beneficiada ou compensada. Produzir uma mistura comercializável de 1 metro cúbico de produtos beneficiados requer 1 metro cúbico de pinho e 4 metros cúbicos de canela. Produzir 100 metros quadrados de madeira compensada requer 2 metros cúbicos de pinho e 4 metros cúbicos de canela. A região em questão dispõe de 32 metros cúbicos de pinho e 72 metros cúbicos de canela. Compromissos de vendas exigem que sejam produzidos, durante o período de planejamento, pelo menos 5 metros cúbicos de madeira beneficiada e 1.200 metros quadrados de madeira compensada. As contribuições ao lucro são de $ 45 por 1 metro cúbico de produtos beneficiados e $ 60 por 100 metros quadrados de madeira compensada. Determine as quantidades (em metros cúbicos) de madeira beneficiada e de madeira compensada (em 100 metros quadrados) a serem produzidos. Monte o modelo linear. 9- Uma companhia de aviação agrícola, que opera a partir de um determinado terminal, tem 8 aviões do tipo 1, 15 aviões do tipo 2 e 11 aviões do tipo 3, disponíveis para vôos. As capacidades de pesticidas para pulverização, em toneladas, são 4,5 para o tipo 1, 7 para o tipo 2 e 5 para o tipo 3. A companhia deve expedir aviões para as propriedades A e B. As necessidades de tonelagem são 20 na propriedade A e 28 na propriedade B. Sabe-se também que o excesso de pulverização em uma propriedade deve ser evitado; e que o avião pode voar somente uma vez durante o dia. O custo de enviar do terminal a cada propriedade, em $, é dado pela seguinte tabela: Propriedade
Avião – tipo 1
Avião – tipo 2
Avião – tipo 3
A
23
15
1,4
B
58
20
3,8
Denotando por x1, x2 e x3 os números de aviões de cada tipo enviado à propriedade A, e do mesmo modo, y1, y2 e y3 os aviões enviados à propriedade B. Formule o modelo de programação linear pertinente ao problema.
RESPOSTAS 1- x1 = quantidade a produzir de P1; x2 = quantidades a produzir de P2. Max Lucro = 100x1 + 150x2 s.a. 2x1 + 3x2 <=120 x1<=40 x2<=30 x1, x2 >=0
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2- x1 = quantidade de caixas de pêssegos; x2 = quantidades de caixas de tangerinas. Max Lucro = 10x1 + 30x2 +4.000 s.a. x1 + x2 <=600 x1 >= 100 x2 <= 200 x1, x2 >=0 3- x1 = quantidade a produzir de P1; quantidade a produzir de P2. Max Lucro = 120 x1 + 150 x2 s.a 2x1 + 4x2 <=100 3x1 + 2x2 <=90 5x1 + 3x2 <=120 x1, x2 >=0 4- x1 = alqueires para arrendamento; x2 = alqueires para pecuária; x3 = alqueires para soja. Max Lucro = 300x1 + 400x2 + 500x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 100 100x2 + 200x3 <= 14.000 100.000x2 + 200.000x3 <= 12.750.000 x1, x2, x3 >=0 5- x1 = quantidade de MR1 na mistura; x2 = quantidade de MR2 na mistura; x3 = quantidade de ferro puro na mistura; x4 = quantidade de carvão na mistura; x5 = quantidade de silício na mistura; x6 = quantidade de níquel na mistura. Min Custo = 0,2x1 + 0,25x2 + 0,3x3 + 0,2 x4 + 0,28x5 + 0,5x6 s.a. 0,6x1 + 0,7x2 + x3 >=0,6 O,6x1 + 0,7x2 + x3 <=0,65 0,2x1 + 0,2x2 + x4 <= 0,2 0,2x1 + 0,2x2 + x4 >=0,15 0,2x1 + 0,05x2 + x5 <=0,2 0,2x1 + 0,05x2 + x5 >=0,05 0,05x2 + x6 >= 0,05 0,05X2 + x6 <=0,08 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 =1 x1,x2,x3,x4,x5,x6 >=0 6- x1 = quantidade a ser produzida do produto 1; x2 = quantidade a ser produzida do produto 2; x3 = quantidade a ser produzida do produto 3. Max z = 30x1 + 12x2 + 15x3 s.a. 9x1 + 3x2 + 5x3 <= 500 5x1 + 4x2 <= 350 3x1 + 2x3 <=150 x1, x2, x3 >=0
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7- x11, x21, x31 : produção na fábrica 1 dos 3 tamanhos (grande(1), médio (2) e pequeno (3); x12, x22, x32 : prod. Na fábr. 2 dos 3 tamanhos (grande(1), médio (2) e pequeno (3); o mesmo para x13, x23 e x33. Max z = 140 x11 + 140 x12 + 140x13 + 120x21 + 120x22 + 120x23 + 100x31 + 100x32 + 100x33 s.a. x11 + x21 + x31 <=750 x12 + x22 + x32 <=900 x13 + x23 + x33 <=450 1,8x11 + 1,35x21 + 1,08x31 <=1170 1,8x12 + 1,35x22 + 1,08x32 <=1080 1,8x13 +1,35x23 + 1,08x33 <=450 x11 + x12 + x13 <= 900 x21 + x22 + x23 <=1200 x31 + x32 + x33 <=750 900(x11 + x21 + x31) 750(x12 + x22 + x32) = 0 450(x12 + x22 + x32) 900(x13 + x23 + x33) = 0 xij >=0, i=1,2,3 e j = 1,2,3 8- x1 = madeira beneficiada; x2 = madeira compensada. Max z = 45x1 + 60x2 s.a. x1 + 2x2 <= 32 4x1 + 4x2 <= 72 x1 >= 5 x2 >=12 x1, x2 >=0 9- x1 = número de aviões do tipo 1 usado na propriedade A; x2 = número de aviões do tipo 2 usado na propriedade A; x3 = número de aviões do tipo 3 usado na propriedade A; y1 = número de aviões do tipo 1 usado na propriedade B; y2 = número de aviões do tipo 2 usado na propriedade B; y3 = número de aviões do tipo 3 usado na propriedade B. Min z = 23x1 + 15x2 + 1,4x3 + 58y1 + 20y2 + 3,8y3 s.a. x1 + y1 <=8 x2 + y2 <= 15 x3 + y3 <= 11 4,5x1 + 7x2 + 5x3 <= 20 4,5x1 + 7y2 + 5y3 <=28 x1, x2, x3, y1, y2, y3 <=0
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SOLUÇÃO GRÁFICA DE UM PPL Problemas de programação linear que envolvam 2 variáveis de decisão podem ser facilmente resolvidos a partir do método gráfico. : Representar graficamente as restrições. A intersecção dos gráficos (semi-planos) forma a região de soluções viáveis. A solução ótima deve ser encontrada entre os vértices dessa região.
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EXEMPLOS: Resolver pelo método gráfico os seguintes problemas de programação linear. 1- Max z = 200x1 + 300x2 s.a. 2x1 + x2 <=20 4x1 <= 32 x2 <= 10 x1>=0, x2>=0 2- Max z = 2x1 + 3x2 s.a. x1 + x2 <= 50 2x1 + 3x2 >= 70 2x1 >= 20 3x2 >= 30 x1>=0, x2>=0 3- Min z = 30x1 + 20x2 s.a. 4x1 + x2 >= 20 x1 + 2x2 >= 10 x1 >= 2 x1>=0, x2 >= 0 4- Max z = x1 + 2x2 s.a. 4x1 + x2 >= 20 x1 + 2x2 >= 10 x1 >=2 x1>=0, x2>=0 5- Min z = x1 + x2 s.a. -2x1 + x2 >=2 x1 2x2 >=2 x1>=0, x2>= 0 6- Max z = x1 + x2 s.a. -2x1 + x2 <= 2 x1 2x2 <= 2 x1 + x2 <= 4 x1>=0, x2>=0
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EXERCÍCIOS Resolver graficamente os seguintes problemas de programação linear. 4- Maximizar Lucro = 2x1 + 3x2 s.a. -x1 + 2x2 <= 4 x1+ 2x2 <=6 x1 + 3x2 <=9
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x1, x2 >=0 5- Maximizar Receita = 0,3x1 + 0,5x2 s.a. 2x1 + x2 <=2 x1 + 3x2 <=3 x1, x2 >=0 6- Maximizar Lucro = 2x1 + 3x2 s.a. x1 + 3x2 <=9 -x1 + 2x2 <=4 x1 + x2 <= 6 x1, x2 >=0 7- Minimizar Custo = 10x1 + 12x2 s.a. x1 + x2 <=20 x1 + x2 >=10 5x1 + 6x2 >=54 x1, x2 >=0 8- Minimizar z = 7x1 + 9x2 s.a. -x1 + x2<=2 x1<=5 x2<=6 3x1 + 5x2 >=15 5x1 + 4x2 >=20 x1, x2 >=0 9- Uma fábrica tem 3 tipos de máquinas, M1, M2 e M3, a serem utilizadas na fabricação dos produtos P1 e P2. O quadro abaixo descreve como a fábrica opera, diariamente: Máquinas\Produtos P1 P2 Disponibilidade/dia M1 3 2 20 h M2 4 0 12 h M3 2 5 18 h Formule o problema como um problema de programação linear para planejar a produção diária a fim de que o lucro seja o máximo possível, sabendo que o produto P1 dá lucro de 200 u.m. e P2, 50 unidades. Resolver o problema pelo método gráfico. 10- Uma companhia fabrica um produto a partir de dois ingredientes, A e B. Cada quilo de A contém 5 unidades do produto P1, 4 unidades do produto P2, 2 unidades doproduto P3 e custa 100 u.m. Cada quilo de B contém 3 unidades do produto P1, 5 unidades do produto P2, 10 unidades do produto P3 e custa 150 u.m. A mistura deve conter pelo menos 20 unidades de P1, 18 unidades de P2 e 30 unidades de P3. Formule este problema como um problema de programação linear para que o custo do produto seja o menor possível. Resolver o problema pelo método gráfico. 11- Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerina a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão
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para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema. Resolva o problema pelo método gráfico. 12- Uma pequena indústria produz artigos A1 e A2 qua são vendidos a $ 200 / un. E $ 300 / un. , respectivamente. Na sua produção são utilizados 3 tipos de matérias-primas, P1, P2 e P3, que são gastas da seguinte forma: 2 unidades de P1 para fabricar 1 unidade de A1, 4 unidades de P2 para fabricar 1 unidade de A1, 1 unidade de P1 para fabricar 1 unidade de A2, 1 unidade de P3 para fabricar 1 unidade de A2. Por razões econômicas, as matérias-primas P1, P2 e P3 estão disponíveis no máximo em 20, 32 e 10 unidades, respectivamente. O dono da empresa deseja saber as quantidades dos produtos A1 e A2 que devem ser produzidas para que a receita seja a maior possível. 13- O Governo Federal colocou 20 há de terras desmatadas à disposição de produtores locais. Estima-se que tal área seja utilizada para o plantio de soja e algodão. Calcula-se que há 1200 homens-horas disponíveis durante o período de semeadura; e que são necessários 20 homens-horas por hectare de soja e 120 homens-horas por hectare de algodão. Oferece-se ainda uma linha máxima de crédito de $ 6000,00, dividida da seguinte forma: $ 600,00 por hectere de soja e $ 200,00 por hectare de algodão. Como organizar essa área de plantio para maximizar o lucro se é sabido que as margens de lucro esperadas são $ 50 por hectare de soja e $ 25 por hectare de algodão?
SOLUÇÃO BÁSICA DE UM SISTEMA DE EQUAÇÒES LINEARES EXEMPLO: Seja o sistema de equações lineares:
− −
− −
1 + 3 2+43 4 = 1 0 ou 1 1 + 3 2 + 4 3 + 1 4 = 10 . A base é formada 2 1+ 2 3+2 4=5 2 1 1 2 5 por dois vetores linearmente independentes. Fazendo x3 = x4 = 0, obtém-se: 1 1 + 3 2 = 2 1 10 . Assim, a solução dita básica é x1 = 1, x2 = 3, x3 = 0 e x4 = 0. A C =6 fornece o total de 4,2 5 soluções básicas que podem ser encontradas. PROBLEMA FUNDAMENTAL DE PL EXEMPLO: Max z = 2x1 + 3x2 s.a. x1 + 5x2 <=20 2x1 + x2 <= 10 x1>=0 e x2 >= 0 a) Construir a região de soluções viáveis.
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b) Transformar o sistema de inequações, com a introdução de variáveis de folga, num sistema de equações com variáveis não negativas. c) Mostrar que as soluções básicas do sistema obtido são vértices da região de soluções viáveis. MÉTODO SIMPLEX (Para modelos de maximização e restrições do tipo <=)
⋯ ⋯⋯ ………………… … ≥⋯ … − − −⋯−− − −⋯− ⋯ ⋯⋯ ……………………………………………… …≥ … ≥ ⋯ – … … . .
= 1 1+ 2 2+ + (F.O.) 11 1 + 12 2 + + 1 <= 1 21 1 + 22 2 + + 2 <= 2 1 1+ 2 2+ + 1, 2, , 0
Introduzindo as variáveis de folga 1, 2, , . .:
<=
, o problema acima é transformado em:
1 1
2 2 0 1 11 1 + 12 2 + + 1 21 1 + 22 2 + + 2 çõ : 1 1+ 2 2+ + 1, 2, 0 1, 2, ,
0 2 0 + 1= 1 + 2 = .2. + = 0
Onde x1, x2, ..., xn são as variáveis de decisão e a solução básica inicial 1= 2= =0 1= 1 é: e z = 0. 2= 2 =
1) Para um problema de maximização com função objetivo (F.O.) Max z = 5x1 + 4x2 (por exemplo), sendo x1 e x2 variáveis não básicas, entra na base a variável com coeficiente mais positivo no caso x1 (condição de otimalidade). 2) Para determinar a variável que sai da base, calcula-se as razões não negativas entre os termos independentes (b) e os coeficientes (a) da variável que entra na base (no caso x1). Sai a variável da linha que apresentar a menor razão não negativa entre os coeficientes a e b. Para o caso onde x1 entra na base, tem-se: 1 2 Min 11 , 21 , , 1 , , 1 . Se 1 é a menor razão não negativa, 1 é chamado de pivô. 3) Zerar, usando operações elementares, os elementos da coluna do pivô, exceto o pivô que deve ser transformado em 1.
EXEMPLOS: 1-
Resolver Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24 x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0
2- Resolver graficamente e pelo método simplex o PPL.
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Max s.a.
z = 3x1 + 5x2
2x1 + 4x2 <=10 6x1 + x2 <=20 x1 x2 <=30 x1 >= 0 e x2 >= 0 3- Resolva o PPL Min z = 3x1 - 4x2 + x3 s.a. x1 + x2 + x3 <=10 2x1 + x2 x3 <= 20
–
–
–
x1, x2 e x3 >=0 (Obs.: multiplicar a F.O. por (-1). Desta forma, o problema de minimização é transformado em um problema de maximização: Max (-z) = -3x1 + 4x2 x3). EXERCÍCIOS Resolver os modelos em programação linear, usando o método simplex. 1- Max z = 10x1 + 12x2 s.a. x1 + x2 <=100 2x1 + 3x2 <= 270 x1, x2 >= 0 2- Max z = 2x1 + 3x2 + 4x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 100 2x1 + x2 <=210 x1 <= 80 x1, x2, x3 >=0 3- Max z = 0,2x1 + 2x2 + 4x3 s.a. x1 + 2x2 <= 20 3x1 + x3 <= 50 x1 + x2 x3 <= 15 x1, x2, x3 >=0 4- Max z = 5x1 - 3x2 + 4x3 x4 s.a. x1 + x2 + x3 + x4 <= 600 2x1 + x3 <=280 x2 + 3x4 <=150 x1, x2, x3, x2 >=0 5- Max z = 2x1 + 4x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 <= 8.000 2x1 <= 6.000 x2 + x3 <=620 x1, x2, x3 >=0 6- Max z = 2x1 + 4x2 + 6x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 100 2x1 x2 + 5x3 <= 50 3x1 + x3 <= 200
–
–
–
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x1, x2, x3 >=0 RESPOSTAS: 123456-
x1 = 30, x2 = 70, x3 = 0, x4 = 0 e z = 1.140. x1 = 0, x2 = 0, x3 = 100, x4 = 0, x5 = 210, x6 = 80 e z = 400. x1 = 0, x2 = 10, x3 = 50, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 55 e z = 220. x1 = 0, x2 = 0, x3 = 280, x4 = 0, x5 = 320, x6 = 0, x7 = 150 e z = 1.120 x1 = 3.000, x2 = 0, x3 = 620, x4 = 4.380, x5 = 0, x6 = 0 e z = 8.480 x1 = 0, x2 = 75, x3 = 25, x4 = 17,5, x5 = 0, x6 = 0 e z = 450.
PROBLEMAS COM RESTRIÇÕES DO TIPO “ >= ” OU “ = ”.
Problemas deste tipo apresentam uma solução básica inicial inviável. Para resolver esta questão devem-se acrescentar variáveis artificiais ao problema, encontrando assim uma solução básica inicial viável. Serão apresentados dois métodos para resolver este tipo de problema: M grande e 2 fases. MÉTODO DO M GRANDE Acrescentam-se ao problema as variáveis artificiais, de modo que a solução básica inicial seja viável. Na F.O. os coeficientes das variáveis artificiais devem ser números grandes em relação aos coeficientes das variáveis de decisão. Já nas primeiras iterações procura-se tirar da base as variáveis artificiais. EXEMPLOS: 1- Resolver Max z = x1 + x2 + x3 s.a. 2x1 + x2 x3 <= 10 x1 + x2 + 2x3 >= 20 2x1 + x2 + 3x3 = 60 x1, x2, x3 >=0 2- Min z = 4x1 + x2 s.a. 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 >= 6 x1 + 2x2 <=4 x1 e x2 >=0
–
MÉTODO DAS 2 FASES OU F.O. ARTIFICIAL (W) Acrescentam-se ao problema as variáveis artificiais e constrói-se uma F.O. artificial (W), esta função deverá ser minimizada. Após a minimização, se W = 0, abandona-se as variáveis artificiais. Caso contrário, a solução é inviável. EXEMPLOS: 1- Resolver Max z = x1 + x2 + x3 UTFPR - Medianeira
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s.a.
2x1 + x2 x3 <= 10 x1 + x2 + 2x3 >= 20 2x1 + x2 + 3x3 = 60 x1, x2, x3 >=0 2- Min z = 4x1 + x2 s.a. 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 >= 6 x1 + 2x2 <=4 x1 e x2 >=0
VARIÁVEL LIVRE Quando um PPL apresenta uma variável livre ou irrestrita de sinal, deve-se substituir essa variável pela diferença de duas variáveis não negativas. EXEMPLO Dado o problema: Max z = 5x1 + 3x2 s.a. 2x1 + x2 <=8 x1 2x2 <= 3 x1>=0 e x2 livre.
–
Substitui-se
x2 por x2’ –x2’’, sendo x2’>= 0 e x2’’ >=0.
SOLUÇÃO DEGENERADA
Para determinar a variável que sai da base, determina-se a menor razão positiva entre os termos independentes e os coeficientes da variável que entra na base. Se ocorrer mais de um resultado nestas condições, uma ou mais variáveis básicas serão nulas, nesta situação a solução é dita degenerada. SOLUÇÕES MÚLTIPLAS Se na solução ótima o coeficiente de uma variável não básica é zero, ela poderá entrar na base sem alterar o valor da função objetivo, gerando outra solução ótima, neste caso qualquer combinação linear dessa duas soluções também será ótima. EXEMPLOS 1- Solução degenerada Max s.a.
z = 3x1 + 9x2 x1 + 4x2 <=8 x1 + 2x2 <= 4
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Iteração 0 Entra x2 Sai x3
Base Z x3 x4
x1 -3 1 1
x2 -9 4 2
x3 0 1 0
x4 0 0 1
Solução 0 8 4
Min {8/4, 4/2}= 2 Iteração 1 Entra x1 Sai x4
Base Z x2 x4
x1 -3/4 ¼ ½
x2 0 1 0
x3 9/4 ¼ -1/2
x4 0 0 1
Solução 18 2
Iteração 2 Ótima
Base Z x2 x1
x1 0 0 1
x2 0 1 0
x3 3/2 ½ -1
x4 3/2 -1/2 2
Solução 18 2
2- Soluções Múltiplas Max s.a.
z = 2x1 + 4x2 x1 + 2x2 <= 5 x1 + x2 <=4 x1, x2 >=0
Iteração 0 Entra x2 Sai x3
Base Z x3 x4
x1 -2 1 1
x2 -4 2 1
x3 0 1 0
x4 0 0 1
Solução 0 5 4
Iteração 1(ótima) Entra x1 Sai x4
Base Z x2 x4
x1 ½ ½
x2 0 1 0
x3 2 ½ -1/2
x4 0 0 1
Solução 10 5/2 3/2
Iteração 2(ótima alternativa) Entra x2 Sai x3
Base Z x2 x1
x1 0 0 1
x2 0 1 0
x3 2 1 -1
x4
Solução 10 1 3
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3- Solução ilimitada Max s.a.
z = 2x1 + x2
–
x1 x2 <= 10 2x1 <= 40 x1, x2 >=0 Base Z x3 x4
x1 -2 1 2
x3 0 1 0
x4 0 0 1
Solução 0 10 40
EXERCÍCIOS 1- Resolva pelo simplex, usando o método do M grande para obter a solução básica i nicial. Max z = 2x1 + 3x2 s.a. x1 + x2 >= 10 2x1 + x2 <= 16 x1, x2 >=0 2- Resolva pelo método simplex, usando o método das 2 fases para obter a solução básica inicial. Min z = 3x1 + 2x2 s.a. 2x1 + x2 >= 10 x1 + 5x2 >= 15 x1, x2 >=0 3- Resolva usando o simplex Max z = x1 + x2 + 2x3 s.a. x1 + 2x2 <=10 3x1 + 4x2 + x3 <=20 x1>=0, x3>=0, x2 livre de sinal. 4- Mostre que o problema tem várias soluções. Min z = 2x1 + 4x2 + 10x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 120 x1 + 2x2 + 5x3 >= 30 x1, x2, x3 >=0 5- Resolva usando o simplex Min z = 2x1 + 4x2 + 5x3 s.a. x1 + 2x2 + 10x3 <= 600 x1 x2 + x3 >=50 2x1 x3 <= 100
––
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6-
7-
8-
9-
X1, x2, x3 >=0 Verifique se a solução do modelo abaixo é limitada. Qual a melhor solução básica antes que a solução fique limitada? Max z = x1 + 2x2 + x3 s.a. 2x1 + 3x2 + x3 >= 10 4x1 + x2 + 2x3 >=20 x1, x2, x3 >=0 Min z = 3x1 + 2x2 + x3 s.a. 3x1 + x2 + 3x3 >= 6 3x1 + 2x2 = 6 x1 x2 <= 1 x1, x2, x3 >=0 Um distribuidor de produtos para festas infantis compra dos produtores chapéus de papel, línguas-de-sogra e bexigas, e prepara caixas com esses 3 produtos na forma de kits para festas. Observações anteriores mostram que: (a) A quantidade de chapéus e línguas-de-sogra deve ser pelo menos 50% do total. (b) O pacote deve ter pelo menos 20 bexigas. (c) Cada item deve concorrer com pelo menos 25% do total da caixa. O custo dos componentes (em milhares de unidades) é: chapéu de papel: 50.000; língua-desogra: 20.000; bexigas: 5.000. Qual a composição da caixa que tem o menor custo? Uma empresa dispõe de recursos produtivos suficientes para produzir 3 diferentes produtos P1, P2 e P3. A capacidade de armazenagem, se fosse fabricado apenas um produto, seria de: 1.000 unidades para P1; 900 unidades para P2 e 1.200 unidades para P3. Espera-se ter que armazenar no máximo a produção de 5 dias. A capacidade de produção por hora para cada produto individualmente é de: 10 unidades para P1; 6 unidades para P2 e 15 unidades para P3. A disponibilidade é de 8h/dia. A disponibilidade diária de matéria-prima, usada nos 3 produtos, é de 240 kg. O uso por unidade de produto é de 1,5kg para P1; 2,4 kg para P2 e 2 kg para P3. Se os lucros unitário são de 500 u.m. para P1, 800 u.m. para P2 e 400 u.m. para P3, qual a produção diária ótima?
–
RESPOSTAS 1234-
x1 = 0, x2 = 16 e z = 48 x1 = 3,89, x2 = 2,22 e z = 16,11 x1 = 0, x2 = 0, x3 = 20, x4 = 0, x5 = 0 e z = 40 (x2 = x5 x4) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 6, x4 = 114 e z = 60 . A variável não básica x2 tem coeficiente zero. 5- x1 = 50, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 550, x5 = 0, x6 = 0 e z = 100. 6- Solução ilimitada. x1 = 0, x2 = 20, x3 = 0, x4 = 50 e z = 40.
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RESOLUÇÃO DE PPL USANDO O SOLVER DO EXCEL EXEMPLO: Resolver, usando o SOLVER do EXCEL, o seguinte PPL: Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24 x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0 SOLUÇÃO: No EXCEL, digite os dados do problema como mostra a figura 1. Os valores numéricos nas células da coluna D e linha 8 não são digitados, pois estes são os resultados obtidos com a execução do SOLVER.
–
FIGURA 1 PLANILHA DO EXCEL COM DADOS DO PPL. Além dos dados do problema, a figura 1 apresenta o procedimento para a resolução do PPL. No EXCEL (Office 2007) um PPL pode ser resolvido clicando na aba e em seguida em . Aberta a caixa de diálogo Parâmetros do solver, esta deverá ser preenchida com os dados do problema, como mostra a figura 2.
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–
FIGURA 2 CAIXA DE DIÁLOGO DO SOLVER O campo
será preenchido a partir da caixa de diálogo , caixa esta que pode ser aberta clicando no botão . A figura 3 mostra o preenchimento dos campos da caixa de diálogo .
FIGURA 3- CAIXA DE DIÁLOGO PARA A INCLUSÃO DE RESTRIÇÕES
De volta à caixa de diálogo assinale os itens
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e
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, clique no botão e , conforme a figura 4.
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FIGURA 4- OPÇÕES DO SOLVER Finalmente em clique no botão registrada na figura 1 (x1 = 3, x2 = 1,5 e z = 21).
. A solução ótima está
RESOLUÇÃO DE PPL USANDO O APLICATIVO LINDO Para problemas com um número reduzido de variáveis, a resolução de um PPL no LINDO é muito simples, basta digitar o problema na janela de comandos do LINDO como mostra a figura 5
–
FIGURA 5 RESOLUÇÃO DE UM PPL NO LINDO Na figura 5 aparece o PPL Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24 UTFPR - Medianeira
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x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0 As diferenças na escrita são mínimas, basicamente os comandos e . Digitado o problema, ele pode ser resolvido clicando-se em na barra de ferramentas. A solução fornecida pelo LINDO aparece no formato mostrado na figura 6
–
FIGURA 6 FORMATO DA SOLUÇÀO DE UM PPL NO LINDO Além da solução ótimo (x1 = 3, x2 = 1,5 e z = 21), a figura 6 mostra também os preços duais e custos reduzidos. Os conceitos de preço dual e custo reduzido serão estudados no tópico.
RESOLUÇÃO DE PPL USANDO O APLICATIVO LINGO Da mesma forma que no LINDO, problemas com um número reduzido de variáveis podem ser resolvidos facilmente no LINGO. Basta digitar o problema na janela de comandos do LINGO como mostra a figura 7.
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FIGURA 7- RESOLUÇÃO DE UM PPL NO LINGO Digitado o problema, ele pode ser resolvido clicando-se em na barra de ferramentas. A solução fornecida pelo LINGO aparece no formato mostrado na figura 8.
FIGURA 8 - FORMATO DA SOLUÇÀO DE UM PPL NO LINGO.
EXERCÍCIOS.
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ANÁLISE DE SENSIBILIDADE EXEMPLO A Machine e Cia produz 2 produtos em 2 máquinas. Uma unidade do produto 1 requer 2 horas da máquina 1 e 1 hora da máquina 2. Para o produto 2, uma unidade requer 1 hora da máquina 1 e 3 horas da máquina 2. As receitas por unidade dos produtos 1 e 2 são $ 30 e $ 20, respectivamente. O tempo de processamento diário disponível é 8 horas. Pretende-se maximizar a receita. Resolver o problema graficamente. SENSIBILIDADE DA SOLUÇÃO ÓTIMA ÀS VARIAÇÕES NA DISBONIBILIDADE DE RECURSOS (LADO DIREITO DAS RESTRIÇÕES).
Considere o problema da Machine e Cia. Calcular ∆z (variação da receita) para uma oportunidade) é dado pela razão ∆z/∆R , onde ∆R Restrição 1: 2x1 + x2 <=7 ⇒ ⟹Δ − ⟹Δ <= 7 ⇒ ⟹Δ − ⟹Δ
variação unitária na disponibilidade do recurso 1 (máquina 1), ou seja: mudar a restrição 1 para 2x1 + x2 <=9 ou 2x1 + x2 <=7. Em seguida, faça o mesmo para a restrição 2. (Esta operação determinará o preço dual. Definição: Preço dual (preço sombra ou preço de i i = variação do recurso i. SOLUÇÃO:
Restrição 2: x1 + 3x2
1 = 2,6 2 = 1,8 = 114
= 128
114
= 14.
1 = 3,4 2 = 1,2 = 126
= 128
126
= 2.
Assim, o preço dual relativo ao recurso 1 é $14 e $2 para o recurso 2. Então, o preço dual indica a variação da receita total. Por exemplo: aumentando (ou diminuindo) o recurso 1 em uma unidade, a receita aumentará (ou diminuirá) em $ 14. DETERMINAÇÃO ALGÉBRICA DAS FAIXAS DE VIABILIDADE Considere o problema da Machine e Cia. Sejam D1 e D2 as variações (positivas ou negativas) nos recursos 1 e 2, respectivamente. De forma que: Max z = 30x1 + 20x2 s.a. 2x1 + x2 <= 8 + D1 x1 + 3x2 <= 8 + D2 x1, x2 >=0 Encontre os intervalos de variação para os recursos 1 e 2, para os quais o preço dual não sofre variação. QUADRO INICIAL Base x1 x2 x3 x4 Solução D1 D2 Z -30 -20 0 0 0 0 0 x3 2 1 1 0 8 1 0 x4 1 3 0 1 8 0 1
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QUADRO ÓTIMO Base x1 Z 0 x1 1 x2 0
x2 0 0 1
x3 14 3/5 -1/5
x4 2 -1/5 2/5
Solução 128 3,2 1,6
D1 14 3/5 -1,5
D2 2 -1/5 2/5
– – ≥ − ≥ ⟹ ≥−≤ ⟹ ≤ ≤ ⟹ − ≤ ≤ ⟹ ≤ ≤ − ≥≥ ⟹ ≥−≤ ⟹ − ≤ ≤ ⟹ ≤ ≤
Assim: z = 128 + 14D1 + 2D2, x1 = 3,2 + 3D1/5 D2/5 e x2 = 1,6 D1/5 + 2D2/5. 3 1 3,2+ 5 0 Condição de viabilidade: x1 >= 0 e x2 >= 0, fazendo D2 = 0 tem-se: 1 1,6 5 0 1 5,33 5,33 1 8 8 5,33 1 8 + 8 2,67 1 16 (faixa 1 8 de viabilidade para o recurso 1, isto significa que para variações do recurso 1 neste intervalo o 2 3,2 5 0 2 16 preço dual permanecerá igual a $14). Fazendo D1 = 0, vem: 2 2 2 4 1,6 + 0 5
4
2
16
4
2
24 (faixa de viabilidade para o recurso 2)
SENSIBILIDADE DA SOLUÇÃO ÓTIMA ÀS VARIAÇÕES NA RECEITA UNITÁRIA OU CUSTO UNITÁRIO (COEFICIENTES DA F.O.) No problema da Machine e Cia, alterar a F.O. de z = 30x1 + 20x2 para z = 35x1 + 25x2 e calcular a solução ótima. SOLUÇÃO: A solução ótima continua sendo o ponto (3,2;1,6), agora com z = 152. Ainda considerando o problema da Machine e Cia, alterar a F.O. de z = 30x1 + 20x2 para z = 5x1 + 20x2 e calcular a solução ótima. SOLUÇÃO: -Para o ponto extremo da região viável A(0;2,67) encontra-se z = 53,4. - Para o ponto extremo da região viável B(4;0) encontra-se z = 20. - Para o ponto extremo da região viável C(3,2;1,6) encontra-se z = 48 Assim, a solução ótima é o ponto A. OBS.: para uma determinada variação nos coeficientes da F.O., dita faixa de otimalidade, a solução ótima (valores das variáveis de decisão) permanece sem alteração. DETERMINAÇÃO ALGÉBRICA DA FAIXA DE OTIMALIDADE. Considere o problema da Machine e Cia. Sejam d1 e d2 as variações (positivas ou negativas) nas receitas (ou custos) dos produtos 1 e 2, respectivamente. Assim, tem-se: Max z = (30 + d1)x1 + (20 + d2)x2 Encontre as faixas de otimalidade.
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QUADRO INICIAL Base Z x3 x4
x1 -30-d1 2 1
x2 -20-d2 1 3
x3 0 1 0
x4 0 0 1
Solução 0 8 8
Para se obter a nova linha da F.O., pode-se usar o quadro ótimo do problema original, 1 ( 1 2 ) acrescentando a linha I: 0 0 0 e a coluna I: 1 . Em seguida faz-se a operação: 2 multiplica a coluna I pelos coeficientes da variável xj, somar os produtos e subtrair o coeficiente da linha I correspondente a xj.
QUADRO ÓTIMO Base x1 Z 0 x1 1 x2 0
x2 0 0 1
x3 14 3/5 -1/5
x4 2 -1/5 2/5
Solução 128 3,2 1,6
Acrescentando col. I e lin I e fazendo a operação mencionada, obtém-se:
Base
x1
x2
Z
0
0
14-d2/5 + 3d1/5
x3
x4
x1 x2
1 0
0 1
3/5 -1/5
2-d1/5+2d2/5
Solução 128+3,2d1+1,6d2
-1/5 2/5
3,2 1,6
Obs.: dj = 0 para as variáveis de folga.
Coeficiente de x3 >=0 ⇒ 14 – Coeficientes de x4 >=0 ⇒ 2 – ≥ Fazendo d2 = 0 ⇒ − ≥ ⟹ ≥−≤ ⇒− ≤ ≤ ⟹ − ≤ ≤ ⟹ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Condição de otimalidade:
d2/5 + 6d1/10 >= 0.
d1/5 + 2d2/5 >= 0
14 + 2
6 1 10 1 5
0
0
1
1
70/3 10
70 3
1
10
70
30 3 1 30+10 6,67 . 1 40 (esta é a faixa de otimalidade para o coeficiente de x1 em F.O.- mantendo-se constante o coeficiente de x2). A solução ótima do problema continuará sendo x1 = 3,2 e x2 = 1,6 enquanto a receita do produto 1 permanecer no intervalo 6,67 . 1 40. 15
Fazendo d1 = 0, encontra-se a faixa de otimalidade para a receita do produto 2: 2 90.
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CUSTO REDUZIDO Definição: custo reduzido/unidade = (custo dos recursos/unidade) recursos/unidade) - (receita/unidade). (receita/unidade). No quadro ótimo os coeficientes da linha da F.O. representam os custos reduzidos, sendo o preço dual representado pelos coeficientes da variáveis de folga/excesso da F.O.. Quando a -se somar o coeficiente coeficiente da variável artificial correspondente correspondente com o coeficiente de aj na F.O. original. EXEMPLO: Max z = x1 + x2 + x3 s.a. 2x1 + x2 x3 <= 10 x1 + x2 + 2x3 >=20 2x1 + x2 + 3x3 = 60 x1, x2 e x3 >=0
restrição tem o sinal “=”, deve –
– –
Preparando o problema para ser resolvido pelo método do M grande, tem-se a F.O. : Max z = x1 + x2 + x3 + 0x4 + 0x5 m2a2 m3a3, onde a2 e a3 são variáveis artificiais. O coeficiente de a3 na linha z do quadrado ótimo é ½ + m3. Assim, o preço dual para a restrição 3 é ½ + m3 +(-m3) =1/2. No exemplo Machine e Cia o quadro ótimo mostra que o custo reduzido para os produtos 1 e 2 é zero (coeficiente de x1 e x2 na F.O.) e preço dual: $14 e $ 2, coeficientes de x3 e x4, respectivamente. Entendendo o preço dual como a valorização interna do recurso, tem-se: Custo reduzido para o produto 1 (coef. de x1) = (qtde. recurso 1 p/ prod. 1).(preço dual p/ recurso 1) + (qtde do recurso 2 para o prod. 1). (preço dual p/ recurso 2) (receita) = 2.14 + 1.2 30 = 0. Custo reduzido p/ o produto 2 = 1.14 + 3.2 20 = 0 Seja xj uma variável de decisão. Se o custo reduzido de xj = k > 0, a produção de uma unidade de xj, acarreta um decréscimo na receita igual a k.
–
–
–
–
–
EXEMPLO. A Star e Cia monta 3 tipos de brinquedos trens, caminhões e carros usando 3 operações. Os limites diários dos dos tempos disponíveis para as 3 operações operações são 430, 460 e 420 minutos, respectivamente, e as receitas por unidade de trem, caminhão e carro de brinquedo são $ 3, $ 2 e $ 5, respectivamente. Os tempos de montagem por trem nas 3 operações são 1, 3 e 1 minutos, respectivamente. Os tempos correspondentes por caminhão e por carro são (2, 0, 4) e (1, 2, 0) minutos ( o tempo zero significa que a operação não foi utilizada). Pretende-se maximizar a receita. (a) Use o simplex para resolver o problema como um PPL. (b) Determine a faixa de viabilidade para o recuso 2(operação 2: 460 minutos) e interprete o resultado. (c) Determine a faixa de otimalidade para a receita unitária do produto 2 (caminhões) e interprete o resultado. (d) O que acontecerá com a receita total se o recurso 1 aumentar de 430 para 435? Use o preço dual para justifique a sua resposta. (e) O que acontecerá com a receita total se o recurso 3 aumentar de 420 para 430? Use o preço dual para justifique a resposta. (f) O que acontecerá com a receita se a Star e Cia tiver que produzir 3 unidades do produto 1 (trem). Use o custo reduzido para justificar a sua resposta.
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ANALISE DE SENSIBILIDADE USANDO OS APLICATIVOS LINDO, LINGO E O SOLVER EXEMPLO: Use o Solver e o Lindo para obter as faixas de viabilidade e otimalidade do seguinte PPL: Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24 x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0 No processo de resolução de um PPL no , mostrada na figura 9.
a última caixa de diálogo é
FIGURA 9- CAIXA DE DIÁLOGO RESULTADOS DO SOLVER Nesta caixa de diálogo (figura 7), selecione o item obtém-se o relatório de sensibilidade, mostrado na figura 10.
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e clique
Desta forma
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–
FIGURA 10 RELATÓRIO DE SENSIBILIDADE
As duas últimas colunas da primeira tabela do relatório de sensibilidade (figura 8) mostram o acréscimo e decréscimo que pode ser praticado no coeficiente de x1 de modo que a solução ótima permanece sem alteração. alteração. Assim, a faixa de otimalidade para o coeficiente de x1 é: 5 tem-se: 4
–3 <=–0,coef6666667 iciente<=de x1coef<=icie5nt+e1de⇒x22 <=<=coef4 +i6ci⇒ent0,e3de3333<= x1 <=coef6. Pariciaeontcoefe deicx2ient<=10.e de x2,
Nas duas últimas colunas da segunda tabela do relatório de sensibilidade (figura 8) estão registradas as possíveis variações na disponibilidade do recurso 1 de modo que o preço dual (preço sombra) permaneça sem alteração. Desta forma, a faixa de viabilidade para o recurso 1 é: 24 recurso 2 tem-se: 6 8. Para o recurso 3 tem-se: 1 2,5 <=recurso 3 <= 1 + infinito -1,5 <= recurso 3 <= infinito.
–
–6,6–66667 <= r e cur s o 1 <= 24 + 12 ⇒ 17, 3 333 <= r e cur s o 1 <= 36. Par a o 2 <= recurso 2 <=⇒ 6 + 2 ⇒ 4 <=recurso 2 <=
Análise de Sensibilidade no LINDO. No LINDO, como explicado anteriormente, para resolver o problema clica-se em . Após essa ação surge a pergunta DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?, como mostra a figura 11.
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–
FIGUARA 11 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE: SIM OU NÃO?
Clicando em o Lindo resolve o problema e faz a análise de sensibilidade. O relatório emitido pelo Lindo aparece na figura 12. Em OBJ COFFICIENT RANGES pode-se obter as faixas de otimalidade e em RIGHTHAND SIDE RANGES obtém-se as faixas de viabilidade.
–
FIGURA 12 RELATÓRIO DE SENSIBILIDADE EMITIDO PELO LINDO
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Análise de Sensibilidade no LINGO. Antes de resolver o problema, clique no menu obtém-se a janela mostrada na figura 13.
e em seguida em
Assim,
–
FIGURA 13 JANELA DO LINGO ONDE ATIVA-SE A ANALISE DE SENSIBILIDADE. Na janela mostrada na figura 13, selecione a aba e no campo escolha a opção e clique em . Após a resolução do problema, ilustrado na figura 7, ative a janela de comandos do LINGO (figura 7) e clique no menu e em seguida na opção como mostra a figura 14.
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–
FIGURA 14 PROCEDIMENTO P/ DE ANÁLISE DE SENSIBILIDADE APÓS A OTIMIZAÇÃO DO PROBLEMA.
Clicando em
–
, o LINGO fornece a análise de sensibilidade figura 15.
–
FIGURA 15 RELATÓRIO DE ANÁLISE DE SENSIBILIDADE EMITIDO PELO LINGO.
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EXERCÍCIOS
1- No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., escolheu 3 produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na produção.
Produto
Contribuição (lucro
Horas de trabalho
por unidade)
Horas de uso
de
Demanda máxima
máquinas
P1
2100
6
12
800
P2
1200
4
6
600
P3
600
6
2
600
Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 4800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar 3 máquinas que podem prover 7200 horas de trabalho. MODELO LINEAR: Max lucro = 2100x 1 + 1200x 2 + 600x3 s.a .
≤ 4800 (horas de trabalho) ≤ 7200 (ho ≤ 800 (demanda P1) ≤ 600 (demanda P2) ≤ 600 ≥ 0, x ≥ 0 , x ≥ 0
6x1 + 4x2 + 6x3
12x1 + 6x2 + 2x3
ras de máquina)
1x1
1x2
1x3
x1 Pede-se:
2
(demanda P3)
3
a) Quais são os recursos abundantes? b) O que acontecerá com o lucro se o recurso horas de trabalho for aumentado em uma unidade? c) Além das horas de máquina já disponíveis, é interessante contratar uma hora a mais por $ 200,00? Justifique a sua resposta? d) Dê a faixa de variação do coeficiente x1 na função objetivo para que a solução ótima permaneça sem alteração. e) Dê a faixa de variação do recurso horas de máquina para que o preço dual correspondente permaneça sem sofrer alteração.
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–
–
2- A Star e Cia monta 3 tipos de brinquedos trens, caminhões e carros usando 3 operações. Os limites diários dos tempos disponíveis para as 3 operações são 430, 460 e 420 minutos, respectivamente, e as receitas por unidade de trem, caminhão e carro de brinquedo são $ 3, $ 2 e $ 5, respectivamente. Os tempos de montagem por trem nas 3 operações são 1, 3 e 1 minutos, respectivamente. Os tempos correspondentes por caminhão e por carro são (2, 0, 4) e (1, 2, 0) minutos ( o tempo zero significa que a operação não foi utilizada). Pede-se: a) O lucro máximo; b) A solução do ppl sugere a fabricação de quantos trens? A produção de unidade a mais de trem aumentará ou diminuirá o lucro? Em quanto? c) Diminuindo a disponibilidade da restrição 2 (operação 2) em 10 minutos, o lucro aumentará ou diminuirá? Em quanto? Essa mudança na restrição 2 (diminuição em 10 minutos) alterará o preço dual correspondente? d) Qual a faixa possível de variação do recurso 1 para que o preço dual permaneça igual a 1? e) A solução ótima sugere a fabricação de quantos caminhões? E carros? f) Aumentando a receita unitária obtida com a venda de caminhões de $ 2 para $ 9, o número de de caminhões e carros fabricados deverá aumentar ou diminuir? 3- O Sr. Jaime Santana, proprietário da Cia Santana, formulou corretamente o seu problema de maximizar o lucro da seguinte maneira: Max z = 32x1 + 40 x2 + 48x3 s.a .
x1 + x2 + x3 <=180 horas (máquina 1) 4x1 + 2x2 + 5x3 < = 280 horas (máquina 2) 2x1 + 5x2 + 5x3 <= 380 x1, x2, x3 >=0
a) No momento o produto 3 não está sendo fabricado, em quanto ficaria o lucro se fossem fabricados 10 unidades do produto 3? b) Atualmente o lucro ótimo é 3680. Reduzindo a disponibilidade da máquina 3 para 350 horas, o lucro sofrerá alteração? Justifique. c) Dê a faixa de variação do coeficiente x1 na função objetivo para que a solução ótima (x1=40 e x2= 60) permaneça sem alteração. d) Você pagaria um preço de $ 5,50 por uma hora a mais de máquina 2? Justifique 4- Escolha 5 PPL e resolva-os a partir do LINDO e SOLVER. Imprima o resultado completo (incluindo a analise de sensibilidade).
DUALIDADE Em problemas de PL, o problema DUAL é obtido a partir de um problema PRIMAL (original). De forma que a solução ótima do dual é igual a solução ótima do primal. Se o primal é um problema de maximização, o dual correspondente é de minimização e vice-versa. REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO DUAL
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=<= <=0
⇔⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔
Restrições > = Variáveis >=0 Irrestrita
<=0>=0 livre de sinal >=<= = Variáveis
Restrições
EXEMPLOS 1- Dado o primal: Max z = 2x1 + 3x2 + x3 s.a. 3x1 + 4x2 + 2x3 <= 10 2x1 + 6x2 + x3 <= 20 x1 x2 x3 <= 30 x1, x2, x3 >= 0
––
Obter o dual correspondente 2- Dado o primal: Max z = 2x1 + 3x2 + x3 s.a x1 + x2 <= 10 2x1 + 4x2 x3 = 20 x1, x2, x3 >=0 Obter o dual.
–
3- Primal: Min z = 15x1 + 12x2 s.a. x1 + 2x2 >= 3 2x1 4x2 <= 5 x1, x2 >=0 Obter o dual.
–
RELAÇÕES ENTRE AS SOLUÇÕES PRIMAL E DUAL
problema de maximização (primal) com restrições do tipo “<=”, variáveis CoefCoefiicciieentntee dada varvariiáávelvel dede fdeciolgasão ⇔⇔ Valor da variá Considere um não negativas e o problema dual correspondente. No quadro ótimo do primal os coeficientes da F.O. correspondem aos valores das variáveis do dual, da seguinte forma: Valor da variável de decisão vel de folga
EXEMPLO: Primal: Max z = x1 + 2x2 + 3x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 10 2x1 + x2 + 4x3 <=12
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–
x1 + 3x2 x3 <= 9 x1 >= 0, x2 >=0 e x3 >= 0 Dual: Min D = 10y1 + 12y2 + 9y3 s.a. y1 + 2y2 + y3 >= 1 y1 + y2 + 3y3 >= 2 y1 + 4y2 y3 >= 3 y1, y2, y3 >=0
–
QUADRO ÓTIMO DO PRIMAL Base x1 x2 Z 1,077 0 s1 0,154 0 x3 0,125 0 x2 0,461 1
x3 0 0 1 0
s1 0 1 0 0
s2 0,846 -0,308 0,231 0,077
Analisando o quadro acima, determina-se: 1=0 2 = 0,846 á ã ç 3 = 0,385
1 = 1,077 2=0 3=0
á
s3 0,385 -0,231 -0.077 0,308
Solução 13,615 4,231 2,077 3,692
t3 2,077
Solução -13,615 1,077 0,846 0,385
.
.
Solução do primal:
( ) ( )
1=0 2 = 3,692 3 = 2,077
á
1 = 4,231 2=0 3=0
á
1, 2
ã
1, 2
3
3
.
ALGUNS VALORES DO QUADRO ÓTIMO DUAL Base -D
y1 4,231
y2 0 0 1 0
y3 0 0 0 1
t1 0 1 0 0
t2 3,692
No quadro inicial do primal, a matriz formada pelos coeficientes de s1, s2 e s3 (variáveis de folga) nas restrições é uma matriz identidade. No quadro ótimo esta matriz é transformada em inversa e pode ser usada para o cálculo dos preços duais y1, y2 e y3. Preço dual = [vetor linha dos coeficientes da F.O. original das variáveis básicas (na ordem apresentada no quadro ótimo primal)] vezes [matriz inversa da solução primal ótima]. No exemplo anterior, tem-se: (y1 y2 y3) = (coef. De s1, x3 e x2 na F.O. original)x(matriz 1=0 1 0,308 0,231 2 = 0,846 0,077 = (0 3 2). 0 0,231 0 0,077 0,308 3 = 0,385
inversa) ⇒ (y1 y2 y3) UTFPR - Medianeira
− − − ⇒ Pesquisa Operacional 1
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Para obter o custo reduzido no modelo primal, usa-se as restrições do modelo dual.
– ––
Custo reduzido do produto 1 = y1 + 2y2 + y3 -1 = 0 + 2.0,846 + 0,385 = 1,077 Custo reduzido do produto 2 = y1 + y2 + 3y3 2 = 0 Custo reduzido do produto 3 = y1 + 4y2 y3 3 = 0 CÁLCULO DA COLUNA DAS RESTRIÇÕES
Para obter a coluna j das restrições (lado direito ou lado esquerdo), deve-se multiplicar a matriz inversa pela coluna j das restrições originais. No exemplo anterior, tem-se:
− − − 4,231 2,077 3,692
=
çõ ó
1 0 0
0,308 0,231 0,077
0,231 10 0,077 . 12 0,308 9 çõ
ó
Obs.: pequenas diferenças são conseqüências dos arredondamentos. ANÁLISE ECONÔMICA Considere um problema de maximização do lucro. Exemplo: seja o programa de produção de 2 itens P1 e P2, a partir dos recursos R1 e R2. O quadro abaixo resume os dados. Produtos P1 P2 Disponibilidade de recursos
Recurso R1 - uso/un. 2 3 300
Recurso 2 - uso/un. 10 5 1000
Lucro/unidade 50 90
O modelo linear é: Max z = 50x1 + 90x2 s.a. 2x1 + 3x2 <=300 : restrição 1 (recurso 1) : y1(variável dual) 10x1 + 5x2 <= 1000 : restrição 2 (recurso 2): y2(variável dual) x1, x2 >=0, onde x1 = quantidade de P1 e x2 = quantidade de P2. QUADRO ÓTIMO Z x2 s2
x1 10 0,67 6,65
x2 0 1 0
s1 30 0,33 -1,65
s2 0 0 1
Solução 9000 100 500
Onde s1 = variável de folga da restrição 1 e s2 = variável de folga da restrição 2. Pede-se:
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a) O modelo dual correspondente. b) A linha da F.O. e os termos independentes (lado direito das restrições) no quadro ótimo dual. c) Quais são os recursos abundantes? E os escassos? d) Se tivéssemos que fabricar 1 unidade de P1, o que iria ocorrer com o valor do lucro? e) O que acontecerá com a solução do problema se o recurso 1 for reduzido em 1 unidade? f) É interessante, em termos do lucro, vender 1 unidade do recurso 1 por $ 50? g) Qual o significado das variáveis duais y1 e y2? h) O que determina a F.O. do problema dual? i) Na restrição dual 2y1 + 10y2 >= 50, qual o significado do lado esquerdo? E do lado direito? j) Em termos de valor interno e externo, como justificar a produção de P2? k) Em termos econômicos, é compensador aumentar em 1 unidade o recurso 2?
EXERCÍCIOS 1- Suponha que um problema de produção tenha como modelo: Max L = x1 + 0,3x2 + 3x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 10 2x1 + x2 + 4x3 <= 12 x1 + 3x2 x3 <= 9 x1, x2, x3 >=0 e que o quadro final de solução pelo simplex seja: Base x1 x2 x3 s2 s2 s3 Solução L 0,5 0,45 0 0 0,75 0 9 s1 0,5 0,75 0 1 -0,25 0 7 x3 0,5 0,25 1 0 0,25 0 3 s3 1,5 3,25 0 0 0,25 1 12 Onde xi são as decisões de fabricação dos produtos Pi e si as sobras dos recursos Ri no programa. O objetivo é maximizar o lucro devido a produção e comercialização dos produtos. Responder às perguntas: (a) Qual a solução mostrada no quadro? (b) Quais são os recursos escassos? (c) O que ocorreria com o objetivo se por um motivo de força maior tivéssemos que fabricar uma unidade de P1? (d) Se alguém quisesse adquirir uma unidade do recurso R2, você estaria disposto a vender? Qual o preço que compensa a venda? (e) Construa o modelo dual do problema. (f) Construa o quadro final de solução do modelo dual, com os coeficientes que realmente interessam. Qual a solução do dual? (g) O que significa a variável dual y1? (h) O que mede a função objetivo dual? (i) O que mede o lado esquerdo da segunda restrição dual? E o lado direito? (j) Em termos de valores interno e externo, como podemos justificar a não produção de P2? (k) Em termos de valores interno e externo, como podemos justificar a não produção de P3? (l) Quanto você pagaria por uma unidade adicional do recurso R2? Por quê? Quanto você pagaria por uma unidade adicional do recurso R2? Por quê?
–
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2- Um pecuarista prepara ração a partir de 3 ingredientes, que contêm 3 nutrientes indispensáveis na alimentação dos animais. O quadro abaixo mostra a composição, exigências e custos dos elementos na mistura. Custo ingredienIngredientes Nutrientes (% por kg de ingredientes) tes em u.m./kg Nutriente 1 Nutriente 2 Nutriente 3 1 50 20 10 200 2 20 30 30 150 3 10 20 50 240 Exigência mínima 6 5 8 em kg/saco de 40kg
O objetivo e atender às exigências com menor custo. Pede-se: (a) Construir o modelo linear do problema, ende x i são as quantidades dos ingredientes usados por kg de ração. (b) Construir o modelo dual correspondente. (c) Resolver o Problema pelo método simplex (sugestão: resolva o modelo dual, que exige menos cálculos). Construa o quadro finalprimal e dual. (d) O que representam, no caso, as variáveis yi (variáveis duais)? (e) O que representam, no problema, as variáveis t i (variáveis de folga no dual)? (f) O que mede o lado esquerdo da primeira restrição primal? E o lado direito? (g) O que significa para o plano ótimo aumentar a exigência de seis para sete kg na participação do nutriente 1 no saco de ração? 3- Um distribuidor dispõe de um armazém com 100.000 m 3 para estocar produtos para venda futura. Ele dispõe de 30.000.000,00 u.m. para a compra, e pretende adquirir 3 produtos cujos dados estão na tabela seguinte: Produtos Custo/unidade Preço de venda/un. Espaço p/ estocagem em m 3 P1 240 300 10 P2 90 120 1 P3 300 420 5 Pede-se: (a) Construa o modelo linear do programa, em que, xi representam as decisões de compra dos produtos Pi, s1 folga do capital e s2 folga de espaço para estocagem. (b) Construa o modelo dual correspondente. (c) Resolva pelo simplex o modelo primal. Construa o quadro da solução ótima do modelo dual. (d) Qual a composição de compra que melhor serve ao distribuidor? (e) O que significa a função objetivo dual? (f) O que significam as variáveis de decisão dual? (g) O que significa as variáveis de folga duais? (h) Considere a primeira restrição primal: o que mede seu lado esquerdo? E o direito? (i) Considere a segunda restrição dual: o que mede seu lado esquerdo? E o lado direito? (j) Qual a conseqüência para o plano ótimo se tivéssemos mais 1m 3 de espaço de estocagem, a um custo de 20 u.m. ? Por quê? RESPOSTAS: 2-(b) Modelo dual: Max D = 600y1 + 500y2 + 800y3 s.a. 50y1 + 20y2 + 10y3 <=20 20y1 + 30y2 + 30y3 <=150 10y1 + 20y2 + 50y3 <= 240 y1, y2, y3 >=0 2-(c) Solução dual:
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Base D y1 y3 t3
y1 0 1 0 0
y2 315,38 -24,62 0,23 0,85
y3 0 0 1 0
t1 1,54 0,54 0,02 -0,02
t2 26,15 -1,85 -0,01 0,04
t3 0 0 0 1
Solução 4.320,77 3,46 2,69 70,77
3-(a) Max L = 60x1 + 30x2 + 120x3 s.a. 10x1 + x2 + 5x3 <= 100.000 240x1 + 90x2 + 300x3 <= 30.000.000 x1, x2, x3 >= 0
3-(b) Base L x2 s2
x1 240 10 -660
x2 0 1 0
x3 30 5 -150
s1 30 1 -90
s2 0 0 1
Solução 3.000.000 100.000 21.000.000
ALGORITMO DUAL SIMPLEX
O problema inicia com uma solução ótima e inviável. As condições de viabilidade e otimalidade são: 1) Condição de viabilidade dual: a variável que sai da base é a que tem valor mais negativo. Se todas as variáveis básicas forem não negativas, o algoritmo termina. 2) Condição de otimalidade dual: min , < 0 , onde:
= coeficiente da variável não básica na linha z. = coeficiente da restrição na linha de ( é a variável que sai da base).
Para iniciar o algoritmo deve-se cumprir 2 requisitos: 1) A F.O. deve satisfazer a condição de otimalidade do método simplex primal. 2) Todas as restrições devem ser do tipo (<=)
Obse “>.=”: uma. restrição do tipo “=” pode ser transformada em duas restrições do tipo “<=” ≤≥ − − ≤≤−
EXEMPLOS:
1- A restrição x1 + x2 = 1 é equivalente a
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1+ 2 1+ 2
1 1
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2- Resolver aplicando o algoritmo dual simplex Min z = 3x1 + 2x2 + x3 s.a. 3x1 + x2 + x3 >= 3 -3x1 + 3x2 + x3 >= 6 x1 + x2 + x3 <= 3 x1, x2, x3 >=0 3- Use o dual simplex em Min z = 2x1 + x2 s.a. 4x1 + 3x2 >=6 x1 + 2x2 <=3 x1 >=0 e x2 >=0
ANÁLISE DE PÓS-OTIMIZAÇÃO
1) Alterações que afetam a viabilidade: 1.1) Alterações no lado direito das restrições. EXEMPLO: considere o problema da Star e Cia, cujo modelo é: Max Receita (R) = 3x1 + 2x2 + 5x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 <= 430 (operação 1) 3x1 + 2x3 <= 460 (operação 2) x1 + 4x2 <= 420 (operação 3) x1, x2, x3 >=0, onde: x1 = quantidade de caminhões de brinquedo. x2 = quantidade de trens de brinquedo. x3 = quantidade de carros de brinquedo. QUADRO ÓTIMO : Base x1 R 4 x2 -1/4 x3 3/2 x6 2
x2 0 1 0 0
x3 0 0 1 0
x4 1 1/2 0 -2
x5 2 -1/4 1/2 1
x6 0 0 0 1
Solução 1350 100 230 20
Onde: x4, x5 e x6 são as variáveis de folga das restrições 1, 2 e 3 respectivamente. Suponha que a fábrica queira aumentar a capacidade diária das operações1, 2 e 3 em 40%. Esta alteração afetará a receita? SOLUÇÃO:
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42
430 602 Aumentando-se em 40% as disponibilidades iniciais 460 em 40% obtém-se: 644 . Como 420 588 visto anteriormente, pode-se calcular o lado direito das restrições usando a matriz inversa obtida no quadro ótimo. Assim: 1/2 1/4 0 2 602 140 3 = 0 1/2 0 . 644 = 322 , solução viável com R = 3.0 + 2.140 + 5.322 6 588 28 2 1 1 =1890
− −
Agora, suponha que 20 minutos da operação 3 sejam transferidos para a operação 1, de 450 forma que as disponibilidades passam a ser: 460 . Ache a solução ótima. 400 SOLUÇÃO:
− − −
1/2 1/4 0 2 110 450 = . = 3 230 , a solução é inviável (x6 < 0). No quadro ótimo do 460 0 1/2 0 6 40 400 2 1 1 problema inicial, alterar R e a coluna das disponibilidades dos recursos. Em seguida usar o dual simplex. R = 3.0 + 2.110 + 5.230 = 1370. Base R x2 x3 x6
x1 4 -1/4 3/2 2
x2 0 1 0 0
x3 0 0 1 0
x4 1 1/2 0 -2
x5 2 -1/4 1/2 1
x6 0 0 0 1
Solução 1370 110 230 -40
x6 ½ ¼ 0 -1/2
Solução 1350 100 230 20
Aplicando o algoritmo do dual simplex, obtém-se o seguinte quadro ótimo: Base R x2 x3 x4
x1 5 1/4 3/2 -1
x2 0 1 0 0
x3 0 0 1 0
x4 0 0 0 1
x5 5/2 0 1/2 -1/2
Permanecendo a solução ótima do modelo original. 1.2)
Adição de novas restrições.
EXEMPLO: considerar o problema da Star e Cia. Suponha a introdução de uma quarta operação com capacidade diária de 500 minutos. A restrição para a quarta operação é 3x1 + x2 + x3 <= 500. Esta nova restrição alterará a solução ótima? SOLUÇÃO: Substituindo a solução x1 = 0, x2 = 100 e x3 = 230 na quarta restrição, vem: 3.0 + 100 + 230 = 330 <= 500 (restrição satisfeita). Conclui-se que a restrição é redundante, permanecendo inalterada a solução ótima atual.
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43
Agora, suponha para a operação 4 a seguinte restrição: 3x1 + 3x2 + x3 <= 500. Obtenha a nova solução ótima. SOLUÇÃO: A restrição não é redundante, pois 3x1 + 3x2 + x3 <= 500 não é satisfeita para x1 = 0, x2 = 100 e x3 = 230. Seja x7 a variável de folga da quarta restrição, assim tem-se: 3x1 + 3x2 + x3 + x7 = 500. Inserindo a restrição no quadro ótimo do problema original, obtém-se: Base R x2 x3 x6 x7
x1 4 -1/4 3/2 2 3
x2 0 1 0 0 3
x3 0 0 1 0 1
x4 1 1/2 0 -2 0
x5 2 -1/4 1/2 1 0
x6 0 0 0 1 0
x7 0 0 0 0 1
Solução 1350 100 230 20 500
se no quadro que as colunas das variáveis x2 e x3 devem ser “ar umadas”, –
Observade forma que na linha de x7 apareçam zeros nas colunas de x2 e x3. Para tanto, deve-se efetuar a seguinte operação: nova linha de x7 = linha de x7 atual [3.(linha de x2) + linha de x3]. Assim, obtém-se o quadro:
Base R x2 x3 x6 x7
x1 4 -1/4 3/2 2 9/4
x2 0 1 0 0 0
x3 0 0 1 0 0
x4 1 1/2 0 -2 -3/2
x5 2 -1/4 1/2 1 1/4
x6 0 0 0 1 0
x7 0 0 0 0 1
Solução 1350 100 230 20 -30
Para a solução deste novo problema deve-se aplicar o algoritmo dual simplex. Feito isso, encontra-se a solução ótima x1 = 0, x2 = 90, x3 = 230 e R = 1330. 2) Alterações que afetam a otimalidade. 2.1) Alterações nos coeficientes originais da F.O. EXEMPLO: considere o problema da Star e Cia.. Alterando as receitas unitárias de caminhões, trens e carros para $ 2, $ 3 e $ 4, respectivamente, obtém-se a F.O.: Max R = 2x1 + 3x2 + 4x3. Determine os coeficientes da nova linha da F.O. (ótima). SOLUÇÃO:
− −
Cálculo dos preços duais: (y1 y2 y3)
=
1/2 (3 4 0). 0 2
á á ( 2, 3 6) . .
(y1 y2 y3) = (3/2 5/4 0).
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1/4 0 1/2 0 1 1 ó
.
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≥≥ ≥ –
1+3 2+ 3 2 Cálculo do custo reduzido: a partir das restrições duais: 2 1 + 4 3 3 , o custo 1+2 2 4 reduzido pode ser obtido fazendo a diferença entre o lado esquerdo e direito das restrições duais. Custo reduzido para x1 = y1+3y2+y3 2 = 3/2+3.5/4+0 2 = 13/4. Custo reduzido para x4 = y1 0 = 3/2 - 0 = 3/2 Custo reduzido para x5 = y2 0 = 5/4 0 = 5/4 Os coeficientes das variáveis básicas (x2, x3 e x6), na F.O., são iguais a zero. A solução ótima (x1 = 0, x2 = 100 e x3 = 230) permanece, pois as alterações nas receitas estão dentro da faixa de otimalidade, assim R = 2.0 + 3.100 + 4. 230 = 1220 e a nova linha da F.O. é :
– –– –
Base R
x1 13/4
x2 0
x3 0
x4 3/2
x5 5/4
x6 0
Solução 1220
x5 2 -1/4 ½ 1
x6 0 0 0 1
Solução 1350 100 230 20
Lembrando como se determina a faixa de otimalidade:
Base R x2 x3 x6
x1 4 -1/4 3/2 2
x2 0 1 0 0
4 Condições de otimalidade:
–
x3 0 0 1 0
x4 1 1/2 0 -2
− ≥− ≥ − ≥ 2 3 3 + 2 4 2 1+ 2 2 3 2 4 + 2
1
0
0 e R = 1350 + 100d2 + 230d3.
0
Sendo dj = (nova receita receita original), com j=1,2 e 3, assim:
−− − − −
1=2 3= 1 2=3 2=1 3=4 5= 1
Agora, suponha que a F.O. seja alterada para Max R = 6x1 + 3x2 + 4x3. Ache a nova solução ótima.
––
–
–
–
SOLUÇÃO: d1 = 6 3 = 3; d2 = 3 2 = 1; d3 = 4 5 = -1, então a condição de otimalidade 4 d2/4 + 3d3/2 d1 >=0 não é satisfeita. Logo, deve-se obter uma nova solução ótima. Calculando R = 1350 + 100d2 + 230 d3 = 1350 + 100.1 + 230.(-1) = 1220 e os custos reduzidos, obtém-se o quadro não ótimo abaixo: Base R x2 x3 x6
x1 -3/4 -1/4 3/2 2
x2 0 1 0 0
x3 0 0 1 0
x4 3/2 1/2 0 -2
x5 5/4 -1/4 ½ 1
x6 0 0 0 1
Solução 1220 100 230 20
Aplicando o método simplex consegue-se a solução ótima: x1 = 10, x2 = 102,5, x3 =215 e R = 1227,5.
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2.2) Adição de uma nova atividade. EXEMPLO: considere o problema da Star e Cia. Suponha que um quarto brinquedo será produzido. Prevendo-se para este produto uma receita de $ 4 e a necessidade de 1 minuto da operação 1, 1 minuto da operação 2 e 2 minutos da operação 3 para fabricá-lo. Calcule a nova solução ótima. SOLUÇÃO:
–
– − − *
x7 = quantidade do brinquedo 4. Cálculo do custo reduzido de x7: Custo reduzido de x7 = 1.y1 + 1.y2 + 2.y3 4 = 1.1 + 1.2 + 2.0 4 = -1, isto significa que a solução pode ser melhorada. Cálculo da coluna da restrição x7: 1/2 1/4 0 1/4 1 çã 7 = 0 1/2 0 . 1 = 1/2 2 2 1 1 1 .
7
Introduzindo x7 no quadro ótimo, obtém-se:
Base R x2 x3 x6
x1 4 -1/4 3/2 2
x2 0 1 0 0
x3 0 0 1 0
x7 -1 1/4 1/2 1
x4 1 1/2 0 -2
x5 2 -1/4 1/2 1
x6 0 0 0 1
Solução 1350 100 230 20
Resolvendo, obtém-se a solução ótima: x1 = 0, x2 =0, x3 = 125, x7 = 210 e R = 1465.
EXERCÍCIOS 1- Use o dual simplex para resolver os problemas a) Min z = 5x1 + 6x2 s.a . x1 + x2 >= 2 4x1 + x2 > = 4 .x1, x2 >= 0 b) Min z = 4x1 + 2x2 s.a . x1 + x2 = 1 3x1 x2 > = 2 .x1, x2 >= 0
–
c) Min z = 2x1 + 3x2 s.a. 2x1 + x2 >= 3 x1 + x2 = 2 .x1, x2 >= 0
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d) Min z = 6x1 + 8x2 s.a . 2x1 + 3x2 <= 20 x1 + 3x2 >= 10 .x1, x2 >= 0 2- A Moda & Cia fabrica carteiras, estojos de barbear e mochilas. A produção dessas peças utiliza couro e materiais sintéticos, sendo o couro a matéria-prima que limita a produção. O processo de produção usa dois tipos de mão-de-obra especializada: costura e acabamento. A tabela A dá a disponibilidade dos recursos, sua utilização pelos 3 produtos e os preços por unidade.
Formule a questão como um problema de PL e ache a solução ótima. Em seguida, indique se as seguintes variações nos recursos manterão a solução atual viável. Determine a nova solução ótima (valores as variáveis e da função objetivo) a) Disponibilidade de couro é aumentada para 45 pés 2 b) Horas de costura disponíveis são alteradas para 38 horas. c) Horas de acabamento disponíveis são reduzidas para 15 horas. 3- A Motores & Cia produz 4 tipos de motores elétricos, cada um em uma linha de montagem separada. As capacidades respectivas das linhas são 500, 500, 800 e 750 motores por dia. O motor do tipo 1 usa 8 unidades de um certo componente eletrônico, o motor do tipo 2 usa 5 unidades, o motor do tipo 3 usa 4 unidades e o motor do tipo 4 usa 6 unidades. O fabricante do componente pode fornecer 8000 peças por dia. Os preços dos componentes são $ 60, $ 40, $ 25 e $ 30. a) Determine o mix ótimo de produção diário. b) A atual programação atende às necessidades da Motores & Cia. Contudo, devido à concorrência, pode ser que a empresa precise reduzir o preço do motor do tipo 2. Qual é a maior redução que pode ser efetuada sem alterar a programação de produção atual? c) A Motores & Cia decidiu reduzir em 25% o preço de todos os tipos de motores. Determine se a atual solução ótima permanecerá inalterada. 4- A Star & Cia monta 3 tipos de brinquedos trens, caminhões e carros usando 3 operações. Os limites diários dos tempos disponíveis para as 3 operações são 430, 460 e 420 minutos, respectivamente, e as receitas por unidade de trem, caminhão e carro de brinquedo são $ 3, $ 2 e $ 5, respectivamente. Os tempos de montagem por trem nas 3 operações são 1, 3 e 1 minutos, respectivamente. Os tempos correspondentes por caminhão e por carro são (2, 0, 4) e (1, 2, 0) minutos. Elabore o problema de PL que maximize a receita. 4.1-Suponha que a Star & Cia queira alterar as capacidades das 3 operações de acordo com os casos seguintes:
–
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–
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47
460 a) 500 400
300 c) 800 200
500 b) 400 600
450 d) 700 350
Determine a solução ótima em cada caso. 4.2-Investigue a otimalidade da solução da Star & Cia para cada uma das seguintes funções objetivo. Se a solução mudar, determine uma nova solução ótima. a) z = 2x1 + x2 + 4x3
b) z = 3x1 + 6x2 + x3
c) z = 8x1 + 3x2 + 9x3
MÉTODO SIMPLEX REVISADO As etapas iterativas do método simplex revisado são exatamente as mesmas da tabela do método simplex. A principal diferença é que os cálculos no método revisado são baseados em manipulações matriciais em vez de operações sobre linhas. A utilização da álgebra matricial reduz os erros de arredondamento comuns nas operações sobre linhas.
∊ ℝ ∊ ℝ ∊ ℝ ≠∊ ℝ0 é uma∊ ℝmatr∊izℝbase.
Definição: Dado um sistema linear m x n, m <= n, uma submatriz , m x n, com det
( ) ∊ℝ
O sistema linear = (1),
= ,
mxn,
n,
= ,
mxn,
n,
m pode ser escrito na
m, dizemos que
forma
onde: é a matriz base e a matriz não base, ambas obtidas de . Os vetores B e N são formados pelas variáveis básicas e não básicas, respectivamente. De (1) tira -se a equação: +
= , isolando
B, obtém-se:
− −− =
1
1
(2).
∊ℝ ∊ℝ ∊ℝ −
mxn, n, m , Definição. Dado um sistema de equações lineares, m x n, m <=n, = , n , tal que * = é uma solução básica se os valores das variáveis não básicas diz-se que * forem zero (isto é, se N = ).
Desta forma, pode-se chegar a uma solução básica do sistema = a partir de (2), 1 fazendo N = e obtendo B = -1 . Assim, uma solução básica * será dada por * = , se * >=
, esta solução é uma solução básica viável. Seja o PPL: Max z = s.a.
T
,
T
= , >= 0
∊ℝ
n
∊ℝ ∊ℝ ∊ℝ mxn,
n,
m
Onde: T = vetor linha.
= vetor coluna. = vetor coluna. Considerando a F.O. como mais uma restrição do problema, tem-se o sistema linear:
− =
= 0 , >= . Escrevendo na forma matricial, vem:
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− − −− −− −− −− − − − − − − − − ⇒ − − −− − −− − − − − − − − − − − − = 0 (3)
1 0
Seja B uma matriz base do sistema = , com >= e B o vetor correspondente de variáveis básicas com como seu vetor de coeficientes da F.O. Assim, pode-se escrever 1 1 1 0 ou 1 = 0 . Isolando , vem: = 1 . 0 = 1 0 0 0 1
=
1
, com isso obtém-se o lado direito do quadro simplex. A obtenção de todos os
coeficientes da tabela simplex é feita da seguinte maneira. Multiplica-se à esquerda a equação (3) por 1 0 1
1 0
1
1
= 1 0
1 0
1 0
0
1
1
1
. Assim, tem-se:
1
1
1
=
1
Sendo j o j-ésimo vetor de . A coluna da tabela simplex associada com a variável j pode ser representado como Base Z
xj
1
1
B
1
Condição de otimalidade: Se
Solução 1
1
>= , a solução é ótima.
Onde:
= matriz formada pelas colunas (P j) das variáveis não básicas.
= vetor linha formado pelos coeficientes das variáveis não básicas na F.O.
(
Entra na base a variável ( j) correspondente à componente mais negativa do vetor ).
1
1 , onde P é a coluna da variável que Condição de viabilidade: Sejam os vetores ( 1 ) e j entra na base. Sai da base a variável correspondente a menor razão entre ( 1 ) e ( 1 ), ou
seja: o í
1
1
,
1
> 0 determina a variável que sai da base.
EXEMPLO
Resolva, usando o método simplex revisado, o seguinte PPL. Max z = x1 + 2x2 s.a x1 <= 2 x2 <= 2 x1 + x2 <= 4 x1, x2 >=0 EXERCÍCIOS Use o método simplex revisado para resolver os seguintes PPL.
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a) Maximizar z = 0,3x1 + 0,5x2 s.a. 2x1 + x2 <=2 x1 + 3x2 <=3 x1, x2 >=0 b) Max z = 2x1 + 3x2 s.a. x1 + 5x2 <=20 2x1 + x2 <= 10 x1>=0 e x2 >= 0 c) Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24 x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0 d) Max
z = 3x1 + 5x2
s.a. 2x1 + 4x2 <=10 6x1 + x2 <=20 x1 x2 <=30 x1 >= 0 e x2 >= 0
–
PROBLEMAS DE TRANSPORTES Situação: pretende-se transportar produtos de 3 origens para 2 destinos com menor custo possível. As quantidades estão indicadas no gráfico abaixo.
ORIGENS(disponibilidades) 50
1
DESTINOS(necessidades) C11 = 10
C12 = 12
1
C21 = 20 100
100
C 31 = 6
2 C22 = 8
2
170
C32=15 120
3
Onde: Cij = custo para transportar o produto da origem i até o destino j. UTFPR - Medianeira
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50
xij = quantidade de produto transportada da origem i para o destino j.
Com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 2.
Construir o modelo linear que minimiza o custo do transporte.
MODELO LINEAR Min C = 10x11 + 12x12 + 20 x21 + 8x22 + 6x31 + 15x32 s.a . (u1)
x11 + x12 = 50
(disponibilidade: origem 1)
(u2)
x21 + x22 = 100
(disponibilidade: origem 2)
(u3)
x31 + x32 = 120
(disponibilidade: origem 3)
(v1)
x11 + x21 + x31 = 100
(necessidade: destino 1)
(v2)
x12 + x22 + x32 = 170
(necessidade: destino 2)
xij >= 0 para i = 1,2,3 e j = 1,2 Sendo u1, u2 e u3 as variáveis duais para as fontes e v1 e v2 para os destinos.
DUAL Max D = 50u1 + 100u2 + 120u3 + 100v1 + 170v2 s.a . u1 + v1 <= 10 u1 + v2 <= 12 u2 + v1 <= 20 u2 + v2 <= 8 u3 + v1 <= 6 u3 + v2 <= 15 ui e vj são irrestritas, i = 1,..,3 e vj = 1,..,2 Obs.: 1)
Caso oferta ≠ demanda, acrescenta
-se uma origem ou destino fictício, conforme a
necessidade. 2) Se m é o número de origens e n o número de destinos, então (m + n -1) é o número de variáveis básicas.
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3) O problema de transporte pode ser representado e resolvido esquematicamente por meio do quadro. 1 2 Ofertas 1 50 2 100 3 120 Demandas 100 170 270 DETERMINAÇÃO DE UMA SOLUÇÃO BÁSICA INICIAL 1) REGRA DO CANTO NOROESTE. a) Começa-se a alocação na célula (1,1). Alocam-se nesta célula x11 unidades possíveis, sem violar as restrições. b) Continua-se a alocação das unidades, deslocando-se para a célula imediatamente à direita. Se não for possível, desloca-se para a célula imediatamente abaixo. c) Nenhuma alocação pode ser negativa. A alocação pode ser zero solução degenerada.
–
EXEMPLO: 1- Uma companhia faz esquis em 3 fábricas através do mundo. As fábricas suprem 4 depósitos que distribuem os esquis diretamente às lojas. O problema é determinar quantos pares de esquis devem ser transportados de cada fábrica para os vários depósitos para minimizar o custo total. Use a regra do canto noroeste para encontrar a solução básica inicial. Quadro com os custos: Frankfurt Rio Seoul Telaviv Demanda
New York
150
100
Phoenix
200
Yokohama
150
Fonte 100 300 200 600
2- Ache, usando a regra do canto noroeste, a solução básica inicial para o seguinte problema de transporte. Destino 1 Origem 1 Origem 2 Origem 3 Necessidades
Destino 2
100
170
Disponibilidades 50 100 120 270
2) MÉTODO DE VOGEL.
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I) Para cada linha e cada coluna possuindo alguma sobra de oferta ou demanda, calcula-se o respectivo resíduo (diferença não negativa entre os dois menores custos C ij associados às células ainda sem alocação nesta linha ou coluna) II) Considera-se a linha (ou coluna) possuidora do maior resíduo. III) Nesta linha (ou coluna) identifica-se a célula com o menor custo unitário de transporte ainda sem alocação e alocam-se ali tantas unidades quantas sejam possíveis. IV) Recalculam-se os resíduos e repete-se o procedimento até que todas as demandas sejam satisfeitas. 3) MÉTODO DO CUSTO MÍNIMO I) Alocam-se tantas unidades quantas sejam possíveis, sem violar as restrições, à célula de mínimo custo (observando todo o quadro). II) Repetir o passo I até que (m + n -1) variáveis básicas tenham sido determinadas. TESTE DA CONDIÇÃO DE ÓTIMO
–– – – . Se todas essas quantidades forem ≥ 0, a solução presente é ótima, caso
Para cada variável básica X ij monta-se a equação C ij ui vj = 0. Atribui-se o valor zero a um dos elementos u i ou vj e calculam-se os valores restantes para u i e vj de maneira que para cada variável básica tenha-se Cij = ui + vj. Em seguida, calcula-se para cada variável não básica a quantidade Cij ui vj contrário, a solução atual deve ser aperfeiçoada.
APERFEIÇOAMENTO DA SOLUÇÃO
–– s e θ uni d ades . Pa θ, monta e a quant i d ade θ ( p r i m ei r o X – θ em seguida X + θ e assim por diante até fechar o circuito na célula (k,l) . O valor de θ é o Considera-se a variável não básica correspondente ao valor mais negativo da grandeza (Cij ui vj), calculada anteriormente. Esta é a variável a ser introduzida na base. Seja X kl a variável que irá entrar na base, na célula (k,l) alocamra determinar o valor de -se um circuito formado por retas horizontais e verticais. O circuito inicia-se na célula (k,l) e passa pelas variáveis básicas (não é necessário que passe por todas) e em cada canto do circuito ( que pode ser um polígono convexo ou não convexo) subtrai-se e soma-se, alternadamente e nesta ordem, os valores da variável básica Xij ij ij
máximo que se pode obter sem ferir as restrições de não negatividade e quantidades ofertadas e demandas. EXEMPLOS:
1- Uma companhia locadora de automóveis se defronta com um problema de alocação resultante dos contratos de locação que permitem que os automóveis sejam devo lvidos em localidades outras que aquelas onde foram originalmente alugados. Atualmente há duas agências de locação com 15 e 13 carros excedentes e 4 outras agências necessitando de 9, 6, 7 e 9 carros. Os custos unitários de transporte entre locadoras são os seguintes.
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Destino 1 Origem 1 Origem 2 Demandas
Destino 2
9
Destino 3
6
Destino 4
7
Ofertas 15 13
9
Ache a solução básica inicial do problema pelo método de Vogel. 2- Ache a solução básica inicial para o problema do exemplo anterior (problema da locadora) através do método do custo mínimo. 3- Calcular o plano de transporte de menor custo para o seguinte problema. Destino 1
Ofertas Origem 1 10 Origem 2 20 Origem 3 12 Origem 4 13 Demanda 8 32 15 55 4- Uma companhia despacha caminhões de grãos provenientes de 3 silos para 4 moinhos. Veja a tabela com os custos. Moinho 1 Silo 1 Silo 2 Silo 3 Demanda
Destino 2
Moinho 2
5
15
Destino 3
Moinho 3
15
Moinho 4
15
Fornecimento 15 25 10 50
Ache a solução inicial pelo método do canto noroeste. Determine o plano ótimo que minimize o custo do transporte. EXERCÍCIOS 1- Determine um plano de transporte ótimo que minimize o custo de transporte para o problema da locadora. 2- Idem para o problema da fábrica de esquis. 3- Um fabricante de artigos de plástico possui um estoque de 1.200 caixas de invólucros transparentes em uma de suas fábricas e outras 1.000 caixas em uma segunda fábrica. O fabricante recebeu pedidos deste produto provenientes de 3 diferentes varejistas nas quantidades de 1.000, 700 e 500 caixas, respectivamente. Os custos unitários de expedição (em $ por caixa) desde as fábricas até os varejistas são os seguintes: Varejista 1
Varejista 2
Varejista 3
Fábrica 1 Fábrica 2 Determine o programa de expedição que atenda as demandas a partir do estoque disponível, a um custo mínimo. 4- O Expresso Flash é um empresa de transportes com 4 grandes terminais localizados em Curitiba, Londrina, Maringá e Foz do Iguaçu. Os pneus utilizados pela frota dessa
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54
empresa são padronizados. A empresa fez uma tomada de preços em 3 grandes revendedoras de pneus e obteve as seguintes cotações: Local Curitiba Londrina Maringá Foz do Iguaçu Pneus disponíveis
Revendedor A
Revendedor B
12.000
Revendedor C
6.000
Pneus necessários 4.000 8.000 3.000 5.000
4.000
Se o objetivo da empresa Expresso Flash é minimizar o custo total de aquisição dos pneus, quanto ela deverá comprar de cada revendedor? 5- Uma companhia aérea regional pode comprar seu combustível para jato a partir de qualquer dentre 3 fornecedores. As necessidades da companhia aérea para o mês entrante em cada um dos 3 aeroportos em que ela opera são: 100.000 galões no aeroporto 1; 180.000 galões no aeroporto 2 e 300.000 no aeroporto 3. Cada fornecedor pode abastecer cada um dos aeroportos de acordo com os preços (em $ por galão) dados no seguinte quadro: Aeroporto 1
Aeroporto 2
Aeroporto 3
Fornecedor 1 Fornecedor 2 Fornecedor 3 Cada fornecedor, contudo, está limitado pelo número total de galões que ele pode abastecer por mês. Estas capacidades são 320.000 galões para o fornecedor 1, 270.000 galões para o fornecedor 2 e 150.000 galões para o fornecedor 3. Determine a política de aquisição que suprirá as necessidades da companhia em cada aeroporto a um custo total mínimo. RESOLUÇÃO DE UM PT A PARTIR DO SOLVER Existem várias formas de se estruturar uma planilha para a aplicação do Solver. O formato apresentado na Figura 1 (pág. 19) não é viável para problemas com um grande número de variáveis. Sendo assim, será usado outro formato para a resolução do PT: Calcular o plano de transporte de menor custo para o seguinte problema. Destino 1 Origem 1 Origem 2 Origem 3 Origem 4 Demanda
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8
Destino 2
Destino 3
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15
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SOLUÇÃO: Na figura 16 pode-se observar a estruturação da planilha para resolver o problema proposto. Inserir na célula F17 a fórmula: =F4*F10, que deve ser colada nas demais células do quadro F17:H20. Em seguida, introduzir na célula D1 a fórmula: =SOMA(F17:H20). Inserir na célula I24 a fórmula: =SOMARPRODUTO(F4:H4;F24:H24) e colar nas outras células da coluna I24:I27. Por fim, colocar na célula F28 a fórmula: =SOMARPRODUTO(F4:F7;F24:F27), colando-a nas células da linha F28:H28. Abrir o Solver e seguir os passos já explicados para o exemplo apresentado na figura 1.
FIGURA 16- MODELO DE PLANILHA PARA RESOLVER O PT A PARTIR DO SOLVER. A planilha com os valores ótimos pode ser vista na figura 17
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–
FIGURA 17 PLANILHA COM A SOLUÇÃO ÓTIMA DO PT.
PROGRAMAÇÃO NO LINGO Outra opção para a resolução de PPL com um grande número de variáveis é a programação no LINGO. Nesta modalidade as restrições de um mesmo tipo podem ser representadas por apenas uma linha de comandos. EXEMPLOS 1-Seja o problema da Star e Cia, cujo modelo é: Max Receita (R) = 3x1 + 2x2 + 5x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 <= 430 (operação 1) 3x1 + 2x3 <= 460 (operação 2) x1 + 4x2 <= 420 (operação 3) x1, x2, x3 >=0, onde: x1 = quantidade de caminhões de brinquedo. x2 = quantidade de trens de brinquedo. UTFPR - Medianeira
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x3 = quantidade de carros de brinquedo. Este problema pode ser resolvido no LINGO escrevendo-se algumas linhas de comandos, como mostra a figura 18.
–
FIGURA 18 PROGRAMA NO LINGO PARA RESOLVER O PROBLEMA DA STAR E CIA. Na secção estão definidos dois grupos de objetos relacionados ( e ), sendo derivado de . O grupo tem 3 elementos (posições), as constantes e e a variável possuem as mesmas características do grupo . Já a constante possui as características do grupo derivado . Assim, é uma matriz 3x3. Na secção problema.
são apresentados os dados ( ,
e ) necessários para a resolução do
O comando grupo .
(função objetivo) soma o produto c(i)*x(i) para todos os membros do
O comando
gera 3 restrições (i=1,2 e 3) do tipo (soma do produto a(i,j)*x(j) <=
b(i)) Para a execução do programa, basta clicar em
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.
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2- Calcular o plano de transporte de menor custo para o seguinte problema. Destino 1 Origem 1 Origem 2 Origem 3 Origem 4 Demanda
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Destino 2
Destino 3
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Neste exemplo vamos registrar os dados de entrada e saída em uma planilha do Excel. A ligação entre LINGO e EXCEL será feita pelo comando @OLE (Object Linking and Embedding). A programação desenvolvida para a resolução do exemplo 2 pode ser observada na figura 19.
FIGURA 19 - PROGRAMA NO LINGO PARA RESOLVER O PT DO EXEMPLO 2. Na seção foram definidos os grupos dois primeiros). Os atributos dos grupos respectivamente. Enquanto tem os atributos grupos e estão definidos na secção
, e
e
(grupo derivado dos são e , e . Observar que os membros dos
.
O programa apresenta duas secções , a primeira para os dados de entrada e a segunda para os dados de saída (x e fo). Os dados estão registrados em uma planilha do Excel de nome PT_EX1.xls (gravados na versão 97-2003), neste exemplo tanto o modelo do LINGO PT_EX1 como a planilha do Excel PT_EX1.xls estão gravadas na mesma pasta (LINGO9). Caso sejam usadas pastas diferentes para os dois arquivos, deve-se usar na função @OLE o caminho
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completo (por ex.: C:\LINGO9\EXEMPLOS). Na linha de comandos origens,destinos,oferta,demanda,custo= @OLE('PT_EX1.xls','origens','destinos ','oferta','demanda','custo');
O lado esquerdo da igualdade apresenta variáveis que são usadas no modelo do LINGO, já os nomes sob a abrangência da função @OLE (com exceção de PT_EX1.xls) são usadados na nominação das células da planilha PT_EX1.xls onde são encontrados os respectivos dados. No Excel a nominação das células pode ser feita clicando-se em Na segunda secção
, a li nha de comandos
OLE('PT_EX1.xls','x','fo')=x, fo;
Indica que os resultados e (lado esquerdo da i gualdade) produzidos pelo LINGO serão registrados nas células e (lado direito da igualdade) da planilha PT_EX1.xls, que pode ser observada na figura 20.
–
FIGURA 20 PLANILHA COM OS DADOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EXEMPLO 2. Ainda no modelo da figura 19, os dois primeiros @FOR são usados para gerar as restrições e o terceiro ( @FOR(rotas(i,j): @GIN(x(i,j)));) Foi usado para definir a variável x(i,j) com inteira, é o comando que define x como inteira.
PROBLEMAS DE TRANSBORDO É um problema mais geral de transportes, no qual alguns nós em uma rede de transportes atuam como pontos de demanda e fornecimento.
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ILUSTRAÇÃO P1
T1
D1
P2
D2 T2 D3
Na rede de transportes acima, P1 e P2 são nós de fornecimento puro, T1 e T2 são nós de transbordo e D1, D2 e D3 são nós de demanda puro. O fornecimento em um nó de transbordo = fornecimento original + quantidade tampão e demanda em nó de transbordo = demanda original + quantidade tampão. Observando que quantidade tampão = fornecimento total (ou demanda total). EXEMPLOS (
)
1- Duas fábricas de automóveis P1 e P2 estão ligadas a três revendedoras D1, D2 e D3 por meio de duas centrais de trânsito T1 e T2. Veja a rede abaixo.
8 1000
P1
3
T1
D1
6
800
5
2 4
6 7
D2
900
4 3 1200
P2
5
T2
9 D3 D3
500
Minimizar o custo de transporte nesta rede.
2- A Biele Alimentos serve 4 consumidores a partir de 2 fábricas, conforme quadro abaixo. Consumidor 1
Fábrica 1 Fábrica 2 Demanda
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Consumidor 2
Consumidor 3
Consumidor 4
Ofertas
500 1.000 300
250
450
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250
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Cuja solução ótima indica custo = 20.600. Dois depósitos W1 e W2 foram incorporados à rede de distribuição da Biele. A Biele quer saber se a utilização de tais depósitos trará economias. Os custos de transporte ($ por tonelada) são os seguintes: P1-W1 = 2; P1-W2 = 13; P2-W1 = 7; P2-W2 = 9; W1-C1 = 3; W1-C2 = 4; W1-C3 = 5; W1-C4 = 12; W2-C1 = 6; W2-C2 = 1; W2-C3 = 11; W2-C4 = 10. Onde Pi = fábrica e Cj = consumidor, com i=1,2 e j=1,2,3,4. O depósito W1 tem uma capacidade (e conseqüente demanda) de 400 toneladas e a capacidade de W2 é de 500 toneladas. Os depósitos podem transportar de um para outro a um custo de $ 8 por tonelada. Minimize o custo e determine se é recomendável a implantação dos depósitos.
EXERCÍCIOS (
)
–
1-Uma grande indústria de bebidas possui 3 fábricas e 3 centros de distribuição venda direta, na região sul. As fontes são as fábricas de Curitiba, Porto Alegre e Lajes com as respectivas capacidades mensais de produção de caixas de cerveja inteira (600 ml): 40.000, 55.000 e 35.000. Os destinos são os centros de distribuição de Curitiba, Florianópolis e Porto Alegre com as respectivas demandas do mesmo produto: 30.000, 40.000 e 60.000. Com base na tabela de preços de transportes a seguir, determine qual é a melhor forma de distribuir esta produção a fim de que se atenda totalmente as demandas e que proporcione o menor custo para a empresa. Curitiba Porto Alegre Lajes Demanda
Curitiba 0 12 9 30.000
Florianópolis 9,5 7 5 40.000
Porto Alegre 15 0 10 60.000
Ofertas 40.000 55.000 35.000 130.000
Está sendo estudada a possibilidade de se construir um depósito para auxiliar o transporte entre as fábricas e os centros de distribuição (ponto de transbordo) para diminuir os custos de transporte. Os custos de transportes para este caso são: Curitiba Porto Alegre Lajes Transbordo Demanda
Curitiba 0 12 9 5 30.000
Florianópolis 9,5 7 5 2,5 40.000
Porto Alegre Transbordo 15 5 0 6,5 10 2,5 6,5 0 60.000 100.000
Oferta 40.000 55.000 35.000 100.000 230.000
Faça a análise dos resultados para verificar as vantagens ou não da colocação deste ponto de transbordo.
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2-A rede:
100
1
1
3
4
1
6 3
5
5
150
6
150
1
3 200
2
2
4
8
Dá as rotas de expedição dos nós 1 e 2 para os nós 5 e 6, passando pelos nós 3 e 4. Os custos unitários de expedição são mostrados nos respectivos arcos. a)Desenvolva o problema de transbordo correspondente. b)Resolva o problema e mostre como os embarques são roteados desde as origens até os destinos. 3-No problema 2, suponha que o nó de origem 1 possa ser ligado ao nó de origem 2 com um custo unitário de expedição de $ 1. O custo unitário de expedição do nó 1 ao nó 3 sofre um aumento de $ 5. Formule a questão como um problema de transbordo e ache a programação de expedição ótima. 4-A rede
6 900
1
1
0,2
0,3
3 0,8
4 2
1.400
1.100
4,5
0,5
1.000
2
7 4,3
2,1
6
5 4,6 1.000
1,9
3
1.200 8
mostra as rotas de expedição de carros de 3 fábricas (nós 1,2 e 3) para as 3 revendedoras (nós 6 a 8), passando por duas centrais de distribuição (nós 4 e 5). Os custos de expedição por carro (em $ 100) são mostrados nos arcos. (a) resolva a questão como um problema de transbordo. (b) Ache a nova
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63 solução ótima considerando que a central de distribuição 4 possa vender 240 carros diretamente a clientes.
PROBLEMAS DE DESIGNAÇÃO Os problemas de designação envolvem uma alocação biunívoca de, por exemplo, operários e tarefas. O número de operários se presume igual ao número de tarefas, condição que pode ser assegurada pela criação de operários ou tarefas fictícias e o tempo cij para o iésimo operário completar a j-ésima tarefa são conhecidos. O objetivo é designar cada um dos operários para cada uma das tarefas, de modo que estas sejam concluídas num tempo mínimo. Os problemas de transportes podem ser convertidos em problemas de designação. EXEMPLO Deseja-se designar os operários A, B, C e D às tarefas 1, 2, 3 e 4. Veja o quadro com os tempos para execução das tarefas. OP. \ TAREFAS 1 9 4 8
4 7 5 7
6 10 11 8
3 9 7 5
Construir um modelo linear que minimize o tempo total para a execução das 4 tarefas. MÉTODO HÚNGARO Método alternativo usado em problemas de designação. Passo 1. Coloque os custos por unidade de recurso na forma de matriz. Passo2. Subtraia ou adicione uma constante a cada linha e/ou coluna, tal que exista no mínimo um zero em cada linha e em cada coluna; e nenhum valor negativo. Passo 3. Marque o máximo número de designações às células zero, como segue: Passo 3.1 Em cada linha com somente um zero, designe o zero e elimine todos os zeros daquela coluna. Passo 3.2 Em cada coluna com somente um zero, designe o zero e elimine todos os zeros daquela linha. Passo 3.3 Repita 3.1 e 3.2 até que todos os zeros tenham sido marcados (designados ou eliminados). Passo 4. Se existe um zero designado em cada linha e coluna, estas são as designações ótimas. Marque as correspondentes células originais e obtenha o custo total. Esta é a designação de custos mínimos. UTFPR - Medianeira
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Passo 5. Se não existe um zero designado em cada linha e em cada coluna, obtenha mais zeros como segue: Passo 5.1 Marque todas as linhas que não tenham designação. Passo 5.2 Marque todas as colunas com zeros eliminados nas linhas marcadas. Passo 5.3 Marque todas as linhas com zeros designados nas colunas marcadas. Passo 5.4 Repita 5.2 e 5.3 até a exaustão. Passo 6. Passe uma linha através de todas as linhas não marcadas e colunas marcadas. Passo 7. Marque a matriz reduzida como segue: Passo 7.1 Ache o mínimo valor não alinhado. Passo 7.2 Subtraia este valor de todas as linhas marcadas. Passo 7.3 Adicione este valor a todas as colunas marcadas. Passo 8. Faça o máximo número de designações, como no passo 3 e repita 5, 6 e 7 até que exista um zero designado em cada linha e em cada coluna, como no passo 4. Obs.: No passo 3, se todas as linhas e colunas com um único zero acabaram e somente linhas e colunas com 2 zeros permanecem, significa que existe mais de uma designação mínima apara estas linhas e colunas. Qualquer um desses zeros pode ser designado para produzir o mesmo custo mínimo total. EXEMPLOS: 1- Resolva, usando o método húngaro, o seguinte problema de designação: 1 12 7 9 7 9
A B C D E
2 8 9 6 6 6
3 7 17 12 14 12
4 15 14 6 6 10
5 4 10 7 10 6
2- Deseja-se designar os operários A, B, C e D às tarefas 1, 2, 3 e 4. Veja o quadro com os tempos para execução das tarefas. OP. \ TAREFAS 1 9 4 8
4 7 5 7
6 10 11 8
3 9 7 5
Use o método húngaro para minimizar o tempo total para a execução das 4 tarefas. 3- Resolva o PD. UTFPR - Medianeira
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3 8 6 8 9
8 7 4 4 10
2 2 2 2 6
10 9 7 3 9
3 7 5 5 10
4- Uma empresa vende produtos em 4 regiões e possui 4 vendedores para serem destacados, um para cada região. As regiões não são igualmente ricas e apresentam o seguinte potencial de vendas: região I: $ 60.000,00; região II: $ 50.000,00; região III: $ 40.000,00; região IV: $ 30.000,00. Os vendedores, por outro lado, não são igualmente hábeis e as suas eficiências, que refletem a capacidade de atingir o mercado potencial da região, são dadas pelo quadro que segue: Vend.\Região A B C D
I 0,7 0,8 0,5 1,0
II 0,7 0,8 0,5 0,4
III 0,7 0,8 0,5 1,0
IV 1,0 1,0 1,0 0,4
Pede-se determinar, empregando o método da designação, como destacar os vendedores para que o volume de vendas seja o maior possível.
EXERCÍCIOS. 1- Uma cooperativa de agricultores deseja construir quatro silos na região oeste do Paraná. No passado a cooperativa utilizou os serviços de seis empresas construtoras e, tendo ficado satisfeita com todas, convidou cada uma delas a cotar cada um dos serviços. As propostas finais (em milhares de dólares) estão indicadas no quadro a seguir. Companhias construtoras Silo 1 Silo 2 Silo 3 Silo 4
1 85,3 78,9 82,0 84,3
2 88,0 77,4 81,3 84,6
3 87,5 77,4 82,4 86,2
4 82,4 76,5 80,6 83,3
5 89,1 79,3 83,5 84,4
6 86,7 78,3 81,7 85,5
Uma vez que a cooperativa deseja dispor dos novos silos prontos o mais rápido possível designará no máximo uma obra a cada uma das companhias construtoras. Que alocação resulta em custo total mínimo a cooperativa?
2- A Metalúrgica Araucária S/A, dentro de 60 dias, deverá começar a funcionar em sua nova sede na Cidade Industrial de Curitiba. O presidente da Metalúrgica deseja que a distribuição de salas, dessa nova instalação, seja feita de modo a atender, na medida do possível, as preferências já manifestadas. Em uma pesquisa realizada, os diretores manifestaram as suas preferências. UTFPR - Medianeira
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Diretor 1 Diretor 2 Diretor 3 Diretor 4 Diretor 5
Sala 1 2 1 5 1 3
Sala 2 4 5 3 3 2
Sala 3 3 4 4 2 5
Sala 4 1 6 2 4 6
Sala 5 5 3 1 6 1
Sala 6 6 2 6 5 3
Se você fosse convidado a opinar sobre a distribuição das salas qual seria a sua recomendação? 3- A Companhia Aérea Fênix oferece uma excursão a preços reduzidos que permite a uma pessoa utilizar todos os itinerários de vôo. O bilhete, válido por duas semanas a contar da data de aquisição, possui a seguinte restrição: nenhuma cidade do itinerário pode ser revisitada exceto a de origem, que será a última parada da excursão. Uma turista estrangeira, que está na cidade 1 (a capital), deseja conhecer as cidades provinciais 2, 3 e 4 antes de retornar à capital. Ela decide viajar pela companhia Fênix. Os tempos de vôo (em minutos) entre as cidades de interesse são dados no quadro a seguir. Determine um itinerário aceitável que minimize o tempo total de vôo da turista.
Cidades ..... 65 53 37
65 ..... 95 ......
53 95 ...... 81
..... ..... 81 ......
4- Uma empresa construtora tem 5 tratores em locais diferentes e um trator é necessário para cada uma das 3 obras situadas em locais diferentes. Se os custos de transporte dos tratores forem os do quadro a seguir, determine o esquema de designação de custo mínimo. Tratores\Obras 2 7 3 4 4
3 6 5 6 6
4 4 8 5 3
5- Resolva o seguinte problema de designação até atingir a solução ótima.
9 7 11 19 12
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15 5 14 22 8
6 10 13 15 10
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14 4 10 26 9
18 13 14 24 13
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6- Seis trabalhadores devem ser designados para seis diferentes trabalhos, cada qual devendo ser executado em um tipo diferente de máquina. Registros passados fornecem as performances individuais para os seis trabalhadores, em minutos, conforme o quadro apresentado a seguir. O objetivo é designar os indivíduos aos trabalhos de tal maneira que o tempo seja minimizado.
João José Luís Mário Pedro Paulo
Tarefa 1 13 18 20 14 21 17
Tarefa 2 22 17 22 19 14 23
Tarefa 3 19 24 23 13 17 18
Tarefa 4 21 18 24 30 25 20
Tarefa 5 16 22 17 23 15 16
Tarefa 6 20 27 31 22 23 24
OTIMIZAÇÃO EM REDES NOÇÕES BÁSICAS DE GRÁFICOS/REDES. O par G=(N,A) é chamado de grafo, onde N é um conjunto de nós (vértices) e A um conjunto de arcos (arestas). EXEMPLO: 3
1
4
2 G=(N,A): N={1,2,3,4} e A = {(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)}. OBS.: uma REDE é um grafo cujos nós e/ou arestas tem valores associados.
GRAFO/REDE ORIENTADA. Um arco é orientado se ele permite fluxo positivo em um sentido e fluxo zero no sentido oposto. Uma rede orientada é aquela na qual todos os arcos são orientados.
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EXEMPLO#: 3 C43=1 C23=8
4
C14=5
1 C12=3
2
C24=3
CAMINHO Um caminho de um nó i 0 a um nó i k é uma sequência de arcos C ={(i 0,i1),(i1,i2),...,(ik-1,ik)}, na qual o nó inicial de cada arco é o nó final do arco imediatamente anterior na sequência. No EXEMPLO# a sequência de arcos C = {(1,2),(2,4),(4,3)} é um caminho. CADEIA É uma sequência de arcos de modo que cada arco tem exatamente um nó em comum com o arco imediatamente anterior da sequência. No EXEMPLO# os arcos do conjunto C={(1,2),(2,3),(4,3)} formam um cadeia. CIRCUITO É um caminho fechado. Sendo que o nó inicial coincide com o nó final. Acrescentando o arco (3,1) na rede do EXEMPLO# pode-se formar, por exemplo, o circuito {(1,2),(2,4),(4,3),(3,1)}. CICLO É uma cadeia fechada. No EXEMPLO# os arcos do conjunto {(2,4),(4,3),(2,3)} formam um ciclo. GRAFO/REDE CONECTADA Uma rede (ou grafo) é dita conectada se existe pelo menos uma cadeia entre quaisquer dois dos seus nós. O EXEMPLO# é uma rede conectada. ÁRVORE É uma rede (ou grafo) conectada sem ciclos.
ÁRVORE GERADORA DE UMA REDE (OU GRAFO). É uma árvore que liga todos os nós da rede.
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EXEMPLO: Seja o grafo 3
5
1
2
4
Exemplo de árvore do grafo.
Exemplo de árvore geradora do grafo. 3
5
3 1
1
2
2
6
PROBLEMA DE CAMINHO MÍNIMO Consiste na determinação do caminho mais curto entre uma origem e um destino numa rede de trannporte. ALGORITMO DE DIJKSTRA. Seja ui a distância mais curta do nó de origem 1 ao nó i, e defina-se d ij (>=0) como o comprimento do arco (i,j). Então, o algoritmo define o rótulo para um nó imediatamente posterior, j, como: [u j, i]=[ui+dij, i], dij >=0. Etapa 0. Rotule o nó de origem (nó 1) como rótulo permanente [0, -]. Faça i = 1. Etapa i. (a) Calcule os rótulos temporários [u i+dij, i] para cada nó j que pode ser alcançado partindo do nó i, contanto que j não seja permanentemente rotulado. Se o nó j já estiver rotulado com [uj,k] passando por um outro nó k, e se u i+dij < uj, substitua [uj, k] por [u i+dij, i]. (b) Se todos os nós tiverem rótulos permanentes, pare Caso contrário, selecione o rótulo [ur, s], cuja distância (=ur) é a mais cufrta entre todos os rótulos temporários (empates são resolvidos arbitrariamente). Determine i = r e repita a etapa i.
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OBS.: a mínima distancia do início ao final é o valor da distância no rótulo do nó final. Para determinar a rota da minimização, traça-se o percurso backward do término ao início. EXEMPLO: Considere o problema de um despachante de longas distâncias, que é responsável pela rota de caminhões sobre a rede abaixo. Os arcos são não direcionados, ou seja, o movimento nos dois sentidos é possível entre todos os centros de distribuição. Os números sobre os arcos indicam as distâncias em centenas de km. O despachante quer determinar a rota mínima, representada por uma sequência de arcos, de A até O.
4 B 2 A
D
8
7 4
3 6
4
1
6
M
3 F
E 6
G
5 5
3
J
3
2
5
7
C
3
O K
3
4
H 8
3 I
3
1 4
N
ALGORITMO DE FLOYD Fornece os caminhos de mínimo custo para todos os pares de vértices de uma rede. Etapa 0. Defina a matriz de distâncias inicial D 0 e a matriz de sequência de nós S 0 como dado a seguir. Os elementos da diagonal são marcados com (-) para indicar que estão broqueados. Determine k = 1 Matriz das distâncias inicial D0 Nós 1 2 3 ... N
1 d21 d31 ... dn1
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2 d12 d32 ... dn2
3 d13 d23 ... dn3
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... ... ... ... ... ...
n d1n d2n d3n ... -
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Matriz de sequência de nós S 0 Nós 1 2 3 ... J
1 1 1 ... 1
2 2 2 ... 2
3 3 3 ... 3
... ... ... ... ... ...
n n n n ... -
(i≠k, j≠k e i≠j) para cada elemento d
Etapa geral k. Defina a linha k e a coluna k como linha e coluna pivô. Verifique se d ik+dkj
Após n etapas, pode-se determinar o caminho mais curto entre os nós i e j com base nas Matrizes Dn e Sn, usando as regras:
que dá como resultado a rota i →k→j.
(1) A partir de D n, dij dá a menor distância entre os nós i e j. (2) A partir de S n, determine o nó intermediário k = s ij Se sik = k e s kj = j, pare; todos os nós intermediários da rota foram encontrados. Caso contrário, repita o procedimento entre os nós i e k e entre os nós k e j. EXEMPLO: Dada a rede abaixo, encontre os caminhos mais curtos entre todos os conjuntos de dois nós. Determine a distância e a rota mínima entre os nós i e j, sendo: (a) i = 1 e j = 3; (b) i= 1 e j = 5; (c) i = 5 e j = 1.
5
4
2 3
4
1 10
6 3
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5 15
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MODELO LINEAR PARA O PROBLEMA DA ROTA MÍNIMA A rede contém nós de 0 a n. As variáveis x ij representam a quantidade de fluxo ao longo do arco não-direcionado (i,j). Cada arco (i,j) tem um comprimento ou distância c ij entre os nós i e j. Modelo:
∈ (0,1)
Min C = s.a.
=0
=0
=0
=
=0 0
= 1 (exigência de percurso)
=0
= 1 (exigência de percurso)
=0
, para nós intermediários, k=1,2,...,n-1 (conservação do fluxo)
xij
EXEMPLO:
Dada a rede 15
2 100
20
4 10
50
1 30
3
Monte o modelo linear, considerando que
60
1
5
é o nó inicial e
2
o nó final.
ÁRVORE GERADORA MÍNIMA. Problema onde os nós de uma rede são conectados, direta ou indiretamente, usando o comprimento total mais curto de ramos conectores. ALGORITMO DE PRIM Os seguintes passos são aplicados para a determinação de uma arborescência mínima: (1) Considere qualquer nó como nó inicial. Este nó passa a ser conectado e avaliado. (2) Identifique todos os arcos ligando um nó conectado (avaliado) com um nó não conectado. (3) Selecione o arco do passo 2 que tem o mínimo comprimento. Ligue este arco à árvore, reforçando seu arco, e inclua este nó não conectado no conjunto dos conectados, tornando-o avaliado. (4) Pare quando todos os nós estiverem avaliados. Os arcos reforçados formam a arborescência mínima. Caso contrário, volte a (2).
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EXEMPLO: Considere o caso de uma companhia de alarmes que precisa instalar um sistema de detecção em um edifício. O plano precisa de 10 sensores localizados como os nós da rede abaixo. A companhia quer achar o plano que minimize a distância total do cabo. H 80
D
90
50
B 60
60 75
70
60
A
E 55
95
70
I
85 90
75
G
45 120
C
J 65
F
80
ALGORITMO DE KRUSKAL Os seguintes passos são aplicados para a determinação de uma arborescência mínia em um grafo com n nós: (1) Selecione o arco de menor comprimento e o reforce indicando que ele foi selecionado. (2) Repita o passo 1 anterior até que (n-1) arcos tenham sido selecionados. Os arcos reforçados formam a arborescência mínima. Observar que os arcos reforçados não formem ciclos. EXEMPLO: Resolver o exemplo anterior aplicando o algoritmo de Kruskal.
PROBLEMA DO MÁXIMO FLUXO. Ao invés de simplesmente identificar um conjunto de arcos (a rota mais curta ou a arborescência mínima), este problema procura achar um valor de fluxo para cada arco da rede. MODELO MATEMÁTICO PARA O PROBLEMA DE MÁXIMO FLUXO.
A rede contém nós: 0,1,2,. ,n. O nó “0” é a fonte e o nó “n” é o destino ou sumidouro. As
variáveis de fluxo xij representam a quantidade de fluxo ao longo do arco direcionado (i,j). Não existe variável para os pares de nós não conectados por um arco. Cada arco (i,j) tem uma capacidade Cij. Modelo:
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− − 1 =0 0
Max F = s.a.
=
=0
fluxo).
1 =0
=
–
(para os nós intermediários k = 1,2,...,n-1 conservação do
=0
–
xij <= Cij (para todos os arcos capacidade). xij >= 0. EXEMPLO 1: Considere a rede de tubulações de transporte de petróleo.
0
4 20 0
5 10
1
5
0
30
0
20
10
30 0
2
0
40
3 20
0
Sendo o nó 1 a origem e o nó 5 o destino (sumidouro). Cada segmento de tubulação tem uma taxa de descarga máxima finita (ou capacidade) de fluxo de petróleo. Considere a seguinte notação: C ij a capacidade de i para j e C ji a capacidade de j para i. Por exemplo, entre os nós 3 e 4 tem-se C 34 = 10 e C 43 = 5. Determinar a capacidade máxima da rede entre o nó de origem e o nó destino. EXEMPLO 2. Determinar o fluxo máximo na rede abaixo, sendo os nós 1 e 2 as origens e os nós 7,8 e 9 os destinos.
1
80
4
100
70
60 3
7
50
50
110
6
100
120
40
8
80
90 2
110
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5
60
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9
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EXERCÍCIOS. 1-A rede 3
4
6
1 2
1
3
2
5
2
7
1
6
5
8
3 1
2 2
6 5
4
8
7
Dá as distâncias em km entre pares de cidades 1,2,...,8. Use o algoritmo de Dijkstra para achar o caminho mais curto entre as seguintes cidades. (a) Cidades 1 e 8; (b) Cidades 2 e 6; (c) Resolva o item (a) usando o Solver do Excel. 2-Use o algoritmo de Dijkstra para achar o caminho mais curto entre o nó 1 e o nó 7 na rede abaixo. 6 2 5
2
7
6
7
1
1
4
5
4
1
6
3
7
2
6 3
7
7 9
5
3-Use o Solver do Excel para resolver a questão 2. 4-Use na rede abaixo o algoritmo de Floyd para determinar os caminhos mais curtos entre cada um dos seguintes pares de nós: (a) Do nó 5 ao nó 1; (b) Do nó 3 ao nó 5; (c) Do nó 5 ao nó 3; (d) Do nó 5 ao nó 2.
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5
4
2 3
4
1 10
6
5
3
15
5-Dada a rede
2 5
2
1
5 5
1
3
6
4
1
4
1 3
7
3
3
12
7
Use o algoritmo de Floyd para determinar o caminho mais curto entre os seguintes pares de nós: (a) Do nó 1 ao nó 7; (b) Do nó 7 ao nó 1; (c) Do nó 6 ao nó 7. 6-Uma TV a cabo está em vias de fornecer serviços por cabo a cinco novas áreas onde estão em desenvolvimento projetos residenciais. A rede abaixo mostra as possíveis conexões de TV entre as cinco áreas. As conexões (em km) dos cabos são mostradas em cada arco. Determine a rede mais econômica.
2
1
3
4
6
1
9
5 7
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8
3 5
4
5
10
6
3
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7-Em transporte intermodal, caminhões-reboque carregados são despachados entre terminais ferroviários sobre vagões-plataformas especiais. A rede abaixo mostra a localização dos principais termianais ferroviários nos Estados Unidos e as ferrovias existentes. O objetivo é decidir quais ferrovias devem ser revitalizadas para enfrentar o tráfego intermodal. Em particular, o terminal de Los Angeles (LA) deve ser conectado diretamente ao de chigago (CH) para dar conta do esperado tráfego pesado. Fora estes, todos os terminais restantes podem ser conectados direta ou indiretamente de modo que o comprimento total (em km) das ferrovias selecionadas seja minimizado. Determine os trechos das ferrovias que devem ser incluídos no programa de revitalização.
SE
2000 1300
1100
800 1000
NY
CH
200
DE
DC 2600
2000 LA
780
900
1300
1400 DA 8-Um produtor de gás natural tem duto em rede conforme a figura abaixo. As capacidades dos dutos estão indicados nos arcos em centenas de milhões de metros cúbicos por dia. O objetivo é transportar tanto gás natural quanto possível de S a T. Use o Solver do Excel para resolver o problema. A 3
5
S
1 6
T 3
B
9-Seja uma rede de telecomunicações conectando vários terminais de retransmissores para atender chamadas telefônicas. A configuração física do sistema para determinar quantas chamadas podem ser feitas entre quaisquer 2 transmissores deve ser calculada, ou seja, devemos quantificar o número máximo de chamadas que o sistema pode acomodar. Cada chamada entre 2 retransmissores pode ser tratada como unidade de fluxo. O flu xo total, ou seja, o número de chamadas através da rede deve ser maximizada. A figura abaixo mostra a rede de UTFPR - Medianeira
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retransmissores para a companhia de telefone. Use o Solver do Excel para maximizar o fluxo de chamadas, considerando que o nó A é a origem e o nó L o destino.
4
D
6
H
2
J
7
B 5
A
L 4
5
3
C
6
3
4
3
F
5
6
9
K
5
I
3 E
3
10
4 2
G
MODELO DETERMINÍSTICO DE ESTOQUE O tipo de um modelo de estoque está relacionado com a demanda, assim:
−
1) Se a demanda mensal média for aproximadamente constante para todos os meses e o ã coeficiente de variação CV = . 100 for pequeno (< 20%), a demanda pode é ser considerada , sendo seu valor igual à média de todas as demandas mensais. 2) Se a demanda mensal média apresentar uma variação considerável entre os diferentes meses, mas CV permanecer razoavelmente pequeno, a demanda é considerada . 3) Se no caso 1, CV for alto (> 20%), mas aproximadamente constante, a demanda é . 4) O Único caso restante é o da demanda probabilística e não estacionária que ocorre quando as médias e os coeficientes de variação sofrem uma variação considerável ao longo do tempo. Um modelo de estoque, de maneira geral, procura responder às perguntas: 1) Quanto pedir? 2) Quando pedir? As respostas as essas perguntas podem ser obtidas a partir da minimização da função custo:
=
+
çã
+
+
1) Custo de compra: Origina-se no preço unitário de um item que será comprado ou produzido. 2) Custo de preparação: Valor constante que inclui o custo administrativo ou de produção.
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3) Custo de estocagem: Representa o custo de manter a mercadoria em estoque. Inclui os juros sobre o capital e o custo de armazenagem, manutenção e manuseio. 4) Custo de escassez: É a multa incorrida quando ficamos sem estoque. Inclui a potencial perda de receita e o custo mais subjetivo de perda da confiança do cliente.
MODELO EOQ (ECONOMIC-ORDER-QUANTITY) CLÁSSICO
O modelo econômico de quantidade de pedidos (EOQ), também chamado de lote econômico, é o mais simples dos modelos de estoque. O EOQ envolve demanda constante com reabastecimento instantâneo e nenhuma falta.
ILUSTRAÇÃO Nível de estoque
Q Q-Dt Tamanho do lote (Q)
Q/D
2Q/D
Tempo (t)
3Q/D
t Onde: Q = tamanho do lote. D = taxa de demanda constante.
= (
: tempo entre reabastecimentos de estoques consecutivos).
O custo de produção ou encomenda por ciclo = K + cQ, onde K é o custo de preparação e c o preço unitário do item. O nível de estoque médio durante um ciclo é (Q + 0)/2 = Q/2 unidades e o custo correspondente é hQ/2, onde h = custo de estocagem ($/unidades de estoque/ unidades de tempo). O custo de manutenção do estoque por ciclo = O custo total por ciclo =
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+
+
2
2
, logo
2
. =
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2
2
, assim:
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O custo total por unidade de tempo é
=
+
+ /
2 /(2
)
=
+
+
O valor de Q, denotado Q *, que minimiza T é obtido fazendo
′ − ∗ ∗ ∗ =
=
+ 2 = 0, isolando Q obtém-se o valor ótimo
2
2
e
=
=
2
= 0.
2
TEMPO DE ESPERA (L) Um pedido não precisa ser emitido e recebido instantaneamente, em vez disso pode ocorrer um tempo de espera entre a emissão e o recebimento do pedido. A emissão do pedido ocorre quando o nível de estoque cai a LD unidades. ILUSTRAÇÃO Nível de estoque Pontos de reabastecimento Q
LD
L
Tempo (t)
L
∗ − ∗
Define-se o tempo de espera efetivo ( ) por = 0 , onde n é o maior inteiro que não ultrapassa L*/t 0. Após n ciclos de 0 cada, a situação de estoque age como se o intervalo entre emitir um pedido e receber outro fosse . Assim, o ponto de reabastecimento ocorre em unidades.
EXEMPLO As lâmpadas de néon do campus de uma universidade são substituídas à taxa de 100 unidades por dia. O departamento de manutenção emite pedidos periódicos para essas lâmpadas, e o custo para iniciar um pedido de compra é $ 100. Estima-se que o custo de armazenagem de uma lâmpada de néon é aproximadamente $ 0,02 por dia. O tempo de espera ente emitir o pedido e receber o material é 12 dias. Determine a política ótima de estoque para os pedidos de compra de lâmpadas de néon.
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EXERCÍCIOS 1- Uma empresa fabricante de televisores produz seus próprios alto-falantes, que são usados na produção de seus aparelhos de TV. Os televisores são montados em uma linha de produção contínua a uma taxa de 8.000 unidades mensais, sendo necessário um altofalante por aparelho. Os alto-falantes são produzidos em lotes, porque eles não garantem a configuração de uma linha de produção contínua e quantidades relativamente grandes podem ser produzidas em curto espaço de tempo. Portanto, os alto-falantes são colocados em estoque até que sejam necessários para a montagem nos televisores na linha de produção. A empresa está interessada em determinar quando produzir um lote de alto-falantes e quantos alto-falantes produzir em cada lote. Considere os custos: a) Cada vez que um lote é produzido, incorre-se em um de $ 12.000. Esse custo inclui o custo de ferramental, custos administrativos, manutenção de registros e assim por diante. Note que a existência desse custo pede a produção de alto-falantes em grandes lotes. b) O de um único alto-falante (excluindo os custos de implantação) é de $ 10, independentemente do tamanho do lote produzido. c) A produção de alto-falantes em grandes lotes leva a um grande estoque. O estimado de manter um alto-falante em estoque é de $ 0,30 por mês. Esse custo inclui o capital imobilizado em estoques. Já que o dinheiro investido em estoques não pode ser usado em outras formas produtivas, esse custo de capital consiste no retorno perdido (conhecido como custo de oportunidade), pois se deve renunciar a empregos alternativos do dinheiro. Os componentes do custo de manutenção de estoque incluem o custo de aluguem do espaço para armazenagem, o custo de seguro contra perda de estoques causada por incêdio, furto/roubo ou vandalismo, impostos sobre o valor dos estoques e o custo de pessoal que supervisiona e protege os estoques. 2- Em cada um dos seguintes casos não é permitida a falta, e o tempo de espera entre emitir o pedido e receber o material é 30 dias. Determine a política ótima de estoque e o custo associado por dia. a) K = $ 100; h = $ 0,05; D = 30 unidades por dia. b) K = $ 50; h = $ 0,05; D = 30 unidades por dia. c) K = $ 100; h = $ 0,01; D = 40 unidades por dia. d) K = $ 100; h = $ 0,04; D = 20 unidades por dia. + . / 3- A Burger & Cia pede carne moída no início de cada semana para atender à demanda semanal de 300 kg. O custo fixo por pedido é de $ 20. Refrigerar e armazenar a carne custa cerca de $ 0,03 por kg por dia. Determine a política de estoque que a Burger & Cia deve usar, considerando o tempo de espera zero entre a emissão e o recebimento de um pedido. 4- Uma empresa estoca um item que é consumido à taxa de 50 unidades por dia. Custa à empresa $ 20 cada vez que um pedido é emitido. Uma unidade mantida em estoque durante uma semana custará $ 0,35. Determine a política ótima de estoque considerando um tempo de espera de uma semana.
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