1
CAPÍTULO 7 - INTERVALO DE CONFIANÇA Estatística Indutiva - Fornece procedimentos formais para tirar conclusões sobre uma população, a partir de uma amostra. Parâmetros - Alguma medida descritiva (média, variância, proporção etc..) dos valores x 1, x2, x3,.....,xn associados à população. Estatística - Alguma medida descritiva (média, variância, proporção etc..) dos valores x 1, x2,.....,xn associados à amostra. Considere uma amostragem aleatória simples, qualquer medida associada à amostra (estatística) é uma variável aleatória, devido à aleatoriedade introduzida na amostragem.
1 - Distribuição amostral da média Seja uma amostra aleatória simples {x 1, x2,.....,xn} e a estatística x . A distribuição da média amostral apresenta as seguintes propriedades: propriedades:
a) O valor esperado da média amostral é igual à média da população: E ( x ) = µ . b) A variância da média amostral é inferior à variância populacional ( σ 2 ) e a relação é dada por: V( x ) = σ 2 /n; se a amostragem amostragem for com reposição, reposição, ou N grande e até infinito. V( x ) =
σ2 n
(
N−n N −1
) ; se a amostragem for sem reposição e N pequeno ou N < 20n.
c) Teorema do limite central. Quando amostra for grande, a distribuição da média segue a distribuição normal. 2 - Distribuição amostral da da proporção O estudo da proporção dos elementos que tem certo atributo A, segue as seguintes propriedades:
a) O valor esperado da proporção amostral é igual à proporção da população: E ( P ) = p. ^
b) A variância da proporção amostral é dada por: p (1 − p ) ; se a amostragem for com reposição, ou N grande e até infinito. V( P ) = ^
n
^
V( P ) =
p (1 − p) N − n ( ) ; se a amostragem for sem reposição e N pequeno, N<20n. n N −1
2
ATIVIDADE 7 A - Distribuição amostral das médias e proporções 1) pg171 - Em um estudo sobre emissões de CO2, definiu-se uma população composta de 4 ônibus de uma companhia de transporte urbano. Dos 4 ônibus, 1 apresentava alto índice de emissão de CO2, e os outros dentro de padrão. Assim a população é descrita por {1, 0, 0, 0}. O parâmetro de interesse é a proporção de veículos fora do padrão. Determine: a) a proporção populacional. b) se for retirada uma A.S.A., com reposição de tamanho n=2, qual a proporção P, de veículos fora dos padrões na amostra? P – Distribuição amostral da proporção. c) Refaça com amostras sem reposição 2) pg173 - Seja a população dos 4 ônibus e a variável X = número de vezes que o ônibus teve um defeito grave. Se um ônibus teve 2 defeitos graves, o outro 3, o outro 4, e o último 5 defeitos graves. A variável X = {2, 3, 4, 5}. Construir a distribuição amostral da média amostral, considerando uma Amostragem aleatória simples, com n=2 elementos, extraída com reposição. Determine: a) valor esperado e a variância da distribuição de X. b) valor esperado e a variância da média amostral (Propriedades). 3) pg174 – Num estudo sobre consumo de combustível definiu-se uma população composta por 4 ônibus de uma pequena companhia de transporte urbano. Os consumos dos ônibus (Km/l), em condições padrões de teste, eram [3,8; 3,9; 4,0; 4,1]. Uma amostra de dois elementos será sorteada, com reposição. Verifique todas as amostras possíveis e, em seguida, construa a distribuição amostral para o consumo médio da amostra. a) Calcule o valor esperado e a variância. b) Verifique as 3 propriedades. c) Refaça retirando as amostras sem reposição
Intervalo de Confiança (I.C.) Estimação dos parâmetros Uma estatística T é uma função dos elementos da amostra, isto é T = f (x 1, x 2,....,,xn}. Quando ela é usada para avaliar certo parâmetro θ , é também chamada de estimador de θ . Propriedades de um estimador – T é um estimador não viesado (não tendencioso) de um parâmetro θ se e só se E(T) = θ .
Introdução - Trata-se de uma técnica para fazer inferência estatística, ou seja, a partir de um intervalo de confiança, construído com os elementos amostrais, pode-se inferir sobre um parâmetro populacional. A construção de intervalos de confiança fundamenta-se nas distribuições amostrais. Se a partir de uma amostra procura-se obter um Intervalo de Confiança θ ˆ1 ≤ θ ≤ θ ˆ2 = 1 - α com probabilidade de conter o verdadeiro parâmetro populacional. Quando se diz que o Intervalo de Confiança contém o verdadeiro parâmetro populacional θ com uma probabilidade 1 - α (nível de confiança), α será o nível de significância, ou seja, o erro que está se cometendo ao afirmar-se que o parâmetro estimado θ ˆ1 ≤ θ ≤ θ ˆ2 = 1 − α . Esta técnica diferencia-se da estimação “por ponto” onde se calcula um único valor (estimativa) para o parâmetro populacional.
3
1. Intervalo de Confiança para Proporção ou Probabilidade P ^
p− P
Quando n > 30. Vimos que P ~ N (p; pq/n), logo Z =
^
. O denominador da
^
p(1 − p) n fórmula é o desvio padrão da distribuição amostral de P, ou seja, é o erro padrão da proporção. Portanto, o intervalo para um nível α será:
α /2
α/2
1-α
Então: P − Z α ≤ Z ≤ Z α = 1 − α ⇒ P − Z α ≤ 2 2 2
^ p− P ≤ Zα = 1− α ^ ^ 2 p(1 − p) n
Para obter o intervalo acima é necessário o valor de “p” que é desconhecido. Como estamos admitindo n > 30 pode-se substituir e encontrar:
^ P p− Z α 2
^
^
p (1 − p ) n
^ ^
≤ P ≤ p+ Z α 2
^ ^
IC (P, 1-α) = [ p ± z α
p (1 − p ) n
=1− α
portanto
^
p(1 − p) n
2
^
]
2. Intervalo de Confiança para média populacional (Conhece variância populacional ) Neste caso, não precisa calcular a estimativa da variância a partir da amostra. Trabalha-se então com a distribuição “z”, isto é: P [ − z ≤
x − µ σ
≤ + z ] = 1- α
α /2
n
P[ x − z α . 2
σ
n
≤ µ ≤ x + zα. 2
σ
n
] = 1− α ;
1-α
IC ( µ , 1-α) = [ x ± z α 2
σ
n
]
4
3. Intervalo de Confiança para a Média Populacional (Não conhece variância populacional) Neste caso, precisa-se calcular a estimativa da variância a partir da amostra. Trabalha-se então com a distribuição “t” de Student, com (n – 1) graus de liberdade, isto é: t=
x−µ , s
(- ∞ < t< + ∞)
com
n O gráfico da função densidade da variável “t” de Student é simétrico e tem a forma da normal. Logo, o intervalo de confiança para um nível de significância ou erro ∝ é:
α /2
−
α/2
1-α
t α 2
-
Portanto: P[ x − t α . 2
s n
≤ µ ≤ x + tα. 2
+
s n
] = 1− α
Valor do teste t tabelado: t α 2
( n − 1;
α 2
)
Resumindo IC ( µ , 1 − α )
= [ x ± t α . 2
s ] n
ATIVIDADE 7B - Intervalo de confiança 1) Demonstrar o desenvolvimento das fórmulas do Intervalo de Confiança para a proporção. 2) pg185- Ache os valores críticos para z (Normal padrão) nos intervalos de confiança que
corresponde ao nível de confiança 80%, 90%; 95% ; 98%; 99% , 99,5%; 99,8%.
3) pg 186 – Na avaliação de dois sistemas computacionais, A e B, foram selecionadas 400 cargas de trabalho – supostamente uma amostra aleatória da infinidade de cargas de trabalho que poderiam ser submetidas a esses sistemas. O sistema A foi melhor que o B em 60% dos casos. Construir o IC para proporção (proporção que o sistema A foi melhor que o B) usando nível de significância de 95% e 99%. Discuta o que ocorre com I.C. quando aumenta o alfa. Por que? 4) pg191 – Uma empresa fabricante de pastilhas de freios efetua um teste para controle de qualidade de seus produtos. Selecionou-se uma amostra de 600 pastilhas, das quais 18 apresentaram níveis de desgaste acima do tolerado. Construir o IC para proporção de pastilhas com desgaste acima do tolerado, do atual processo industrial, com nível de significância de 5%. Refazer os cálculos para nível de confiança de 90%.
5
5) Numa empresa que enche cartuchos, observaram que numa amostra de 85 cartuchos, 10 apresentaram quantidade menor de tinta/ml (fora do padrão de qualidade). Construir o Intervalo de Confiança para verdadeira proporção de cartuchos fora do padrão, com nível de significância de 5%. Refaça para proporção de chips não adequados. 6) Demonstrar o desenvolvimento das fórmulas do Intervalo de Confiança para: a) média (quando conhece a variância); b) média ( quando desconhece a variância). 7) Triola 274 -Um estudo sobre o tempo que os alunos gastam para concluírem o curso de Ciência da Computação, 80 alunos foram selecionados aleatoriamente, e verificou-se que tinham média 4,8 anos até a conclusão do curso. Supondo conhecer o desvio padrão populacional (2,2 anos), construa o Intervalo de Confiança para a média populacional. Use alfa 5% 8) pg188 - Em uma indústria de cerveja, a quantidade de cerveja inserida em latas tem se comportado como uma variável aleatória com média de 350 ml e desvio padrão 3 ml . Detectado problemas na linha de produção, suspeita-se que houve alteração na média. Retirou-se uma amostra de 20 latas e obteve média 346 ml. Construa um I.C. para o novo valor da quantidade média µ de cerveja inserida em latas, com nível de confiança de 95%, supondo não alteração no desvio padrão do processo. 9) Ache na tabela t de Student, o valor crítico utilizado no intervalo de confiança. 99%; n=20 98%; n= 19 95 %; n= 25 90 %; n= 18 99%; n=42 98%; n= 39 95% ; n= 40 90 %; n= 46 10) pg 196 - Um analista de sistemas está avaliando o desempenho de um novo programa de análise numérica. Forneceu como entrada do programa 14 operações similares e obteve os seguintes tempos de processamento ( em milissegundos): [ 12; 13,5; 16; 15,7; 15,8; 16,5; 15; 13,1; 15,2; 18,1; 18,5; 12,3; 17,5; 17 ]. a- calcule média e o desvio padrão da amostra do tempo de processamento, b- construir o I.C. para o tempo médio de processamento, com alfa 5% e discutir o que ocorre quando alfa for 10%.. 11) pg195 - Sob condições normais, realizaram-se dez observações sobre o tempo de resposta de uma consulta a certo banco de dados. Os resultados foram os seguintes: 28, 35, 43, 23, 62, 38, 34, 27, 32, 37. Construir IC para o tempo médio de uma consulta sob condições normais. Use alfa 1%.
CAPÍTULO 8 - TESTES DE HIPÓTESES E DECISÃO ESTATÍSTICA Decisões Estatísticas Na prática somos chamados com muita freqüência a tomar decisões acerca de populações, baseados nas informações das amostras. Essas decisões são denominadas decisões estatísticas. Pode-se desejar decidir, com base em dados amostrais, se um novo soro é realmente eficaz na cura de uma doença, se um processo educacional é melhor do que outro, se certa moeda é viciada e outras. Hipótese Estatística - A Hipótese Estatística é uma suposição ou afirmação relativa a uma ou mais populações, que pode ser verdadeira ou falsa. Testes de Hipótese - Consiste em decidir se a hipótese é verdadeira ou falsa. Assim, através de uma amostra testaremos à hipótese formulada e concluiremos se ela deve ser rejeitada ou aceita.
6
As Hipóteses A hipótese lançada para ser rejeitada ou aceita é chamada de hipótese nula, denotada por Ho. A rejeição de Ho leva a aceitação de uma hipótese alternativa, representada por H 1. Erros do Tipo I e II - Se uma hipótese for rejeitada quando deveriam ser aceita, diz-se que foi cometido um erro do Tipo I. Se, por outro lado, for aceita uma hipótese que deveria ser rejeitada, diz-se que foi cometido um erro Tipo II . Em ambos os casos ocorreram uma decisão errada ou um erro de julgamento. Nível de Significância - Ao testar uma hipótese estabelecida, a probabilidade máxima com a qual estaremos dispostos a correr o risco de um erro Tipo I é denominada nível de significância do teste. Essa probabilidade, representada freqüentemente por α, é geralmente especificada antes da extração de quaisquer amostras, de modo que os resultados obtidos não influenciem a escolha. Se, por exemplo, é escolhido um nível de significância 5%, no planejamento de um teste de hipótese, há então cerca de 5 chances em 100, de a hipótese ser rejeitada, quando deveria ser aceita, isto é, há uma confiança de cerca de 95% de que se tome uma decisão acertada. Tipos de Testes de Hipóteses 8A) Teste para a proporção 1a) Formulação das hipóteses Ho: p = p0
p ≠ p0 (a)
vs
H1:
p > p0 (b) p < p0 (c)
a
2 ) Nível de significância α Normalmente adota-se um valor de ( entre 1% a 10%). a
3 ) Estabelecer os valores críticos
α /2
α/2
α
1-α
-Zα /2
4a)
Z cal =
y'−np 0
α
1-α
1-α
y = num. elementos c/ atributos Zα -Zα
Zα /2
y’= (b)y+0,5 se y < np0
a
n.p 0 .(1 − p 0 )
e
y’=y-0,5 se y > np0 (
po = valor de Ho n = tamanho da amostra
5a) Conclusão: Abordagem clássica a) Se − Z α < Z cal < Z α 2
⇒
Aceita-se Ho
2
Z cal > Z α ⇒ Rejeita-se Ho c) Se Z cal < − Z α ⇒ Rejeita-se Ho. b) Se
Abordagem do p valor :
Se p > α ; Se p ≤ α ;
Aceita-se Ho Rejeita-se Ho
c)
7
8B) Teste para a Média ( conhece σ 2 ) µ ≠µ0
(a)
>
(b)
a
1 ) Formulação das hipóteses Ho: µ = µ 0 vs
H1:
0
<
c
0
a
2 ) Nível de significância α - Normalmente adota-se um valor de α entre 1% a 10%. 3a) Estabelecer os valores críticos – Normal padrão
a
4 ) Cálculo da variável teste
Z=
(x −µ
0 ). σ
n
5a) Conclusão: Idem do teste de Proporção 8C) Teste para a Média (Não conhece σ 2 ) ≠
0
(a)
>
0
(b)
a
1 ) Formulação das hipóteses Ho: µ = µ 0 vs
H 1:
<
a
c
0
2 ) Nível de significância α - Normalmente adota-se um valor de α entre 1% a 10%. 3a) Estabelecer os valores críticos α /2
α/2
α
1-α
α
1-α
1-α
- tα
a
(b)
Variável “t” tabelada Teste bilateral: t α (n – 1; 2
α
2
)
Teste Unilateral: ± tα(n – 1; α)
e
4a) Cálculo da variável teste = média amostral
t cal =
x − µ0 n
= valor
s
da hipótese nula
s = desvio-padrão amostral n = tamanho da amostra
5a) Conclusão: a) Se − t α < t cal < t α 2
⇒
Aceita-se Ho
2
t cal > t α ⇒ Rejeita-se Ho c) Se t cal < −t α ⇒ Rejeita-se Ho. b) Se
(c)
8
8D) Teste para Variância - Quando há interesse em verificar possíveis alterações na variabilidade. a 2 2 1 ) Ho: σ = σ o vs H1: σ 2 ≠ σ 02 a
2 ) Nível de significância a 3 ) Valores críticos: tabela qui-quadrado 2 2 Bilateral: χ sup (n – 1; α /2); χ inf (n – 1; 1 - α /2) a
2
4 )q =
( n − 1) s
e
2
Unilateral : χ sup (n
2 − 1; α) ; χ inf ( n − 1;1 − α)
2
σ 0 a 5 ) Conclusão: Aceitação ou rejeição de Ho.
ATIVIDADE 8 - Testes de hipóteses Tabela Normal Padrão 1) pg 215 - Para um teste bilateral, encontre o valor crítico da normal padrão: Considere alfa = 0,20; 0,10; 0,05; 0,02; 0,01; 0,005 Para um teste unilateral, encontre o valor crítico da normal padrão: Considere alfa = 0,10; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,0025 2) Escreva as hipóteses abaixo em termos de parâmetros populacionais a) a média dos tempos de resposta do equipamento com o processador A é diferente da média dos tempos de resposta do equipamento com o processador B; b) a média dos valores da resistência do concreto com a dosagem d2 de cimento é maior que a ) a média dos valores da resistência do concreto com a dosagem d1. c) a média das vendas depois da campanha publicitária é maior que as ) a média das vendas antes da campanha publicitária; d) a proporção de reclamações após a realização do programa de melhoria de qualidade é menor do que antes da realização do programa; e) Suspeita-se da moeda não honesta quanto ao número de caras em n lançamentos. f) No Brasil, a média de salários dos Analistas de Sistemas é superior a 1800 dólares. 3) pg215 - Uma empresa retira periodicamente amostras aleatórias de 500 peças da linha de produção para análise de qualidade para verificar se tem ou não defeito. O processo produtivo não aceita evidência de mais de 1,5% de peças defeituosas. Na última amostra apareceram 9 peças com defeitos. a- Testar a hipótese dos defeitos serem superiores a 1,5% . Use alfa 1% e refaça com5% . b- Testar a hipótese dos defeitos serem diferentes de 1.5%. Use alfa 1% e refaça com5% . c- Realize a abordagem do p valor para os itens a e b 4) pg217 - Um fabricante garante que 90% de seus itens estão dentro das especificações. Um comprador examinou uma amostra de 50 itens e verificou que apenas 84% estavam dentro das especificações. Há evidência que o nível de qualidade é menor do que o alegado pelo fabricante? Adote alfa 1%. 5) Encontre o p-valor para o teste de hipótese: a- Unicaudal à esquerda com estatística de teste z = -2,23. b- Unicaudal à esquerda com estatística de teste z = -1,62. c- Bicaudal com estatística de teste z = 2,14. d- Bicaudal com estatística de teste z = 2,31. e- Unicaudal à direita com estatística de teste z = 2,16. f- Unicaudal à direita com estatística de teste z = 1,48. 6) Os sistemas de escapamentos de uma aeronave funcionam devido a um propolente sólido. A taxa de queima desse propolente é uma carcterística importante do produto. As especificações requerem que a taxa média de queima seja de 50 cm/s. Sabe-se que o desvio padrão da taxa de queima é de 2cm/s. Adote
9
nível de significância de 5%, teste a hipótese bilateral sabendo que uma amostra de 25 obteve-se média de 51,3 cm/s. Realize o teste unilateral a direita. Construir o Intervalo de Confiança para a taxa média de queima.
7) pg221 - Em certo banco de dados, o tempo para a realização de buscas é aproximadamente normal com média 53s e desvio padrão de 14s. Depois de modificações no sistema, em 30 consultas, o tempo médio caiu para 45s. Há evidência de melhora? Use nível de confiança de 99%.
8) Calcule o valor crítico da tabela t de Student para um teste: Bilateral n=2 e alfa= 10%; 5%; 1%. Unilateral n=18 e alfa = 10%; 5%; 1% 9) Encontre o p-valor para o teste de hipótese: a- Unicaudal à esquerda com estatística de teste t = -2,63 e n=10. b- Unicaudal à esquerda com estatística de teste t = -1,72 e n=12. c- Bicaudal com estatística de teste t = 3,14 e n=20. d- Bicaudal com estatística de teste t = 1.18 e n= 30. e- Unicaudal à direita com estatística de teste t = 2,62 e n= 60. f- Unicaudal à direita com estatística de teste t = 1,48 e n= 150. 10) pg220 - O tempo para transmitir 10 MB em determinada rede de computadores varia segundo um modelo normal, com média de 7,4s. Depois de algumas mudanças na rede, acredita-se numa redução no tempo de transmissão de dados, além da alteração na variabilidade. Foram realizados 10 ensaios independentes com um arquivo de 10 MB e foram anotados os tempos de transmissão, em segundo { 6,8 7,1 5,9 7,5 6,3 6,9 7,2 7,6 6,6 6,3 }. Há evidência de que o tempo médio de transmissão foi reduzido? Nível de significância de 5%. 11) pg221 - Certo tipo de pneu, dura em média, 50.000 km. O fabricante investiu em uma nova composição de borracha para pneus. Vinte pneus com a nova composição, duraram em média, 55.000 km, com desvio padrão de 4.000 km. Supondo que a durabilidade segue a distribuição normal, verificar se os dados provam que os pneus novos são mais duráveis, com nível de confiança de 95%.
12) Calcule os valores críticos do teste qui-quadrado: a- Teste unicaudal á direita, alfa =5% , n = 27 b- Teste unicaudal á direita, alfa =10% , n = 10 c- Teste unicaudal á esquerda, alfa =1% , n = 7 d- Teste unicaudal á esquerda, alfa =5% , n = 24 e- Teste bicaudal, alfa =10% , n = 16 f- Teste bicaudal, alfa =1% , n = 29. 13) pg223- Usuários de uma rede de transmissão de energia elétrica tem reclamado da alta variação na tensão (desvio padrão de 12 V). A empresa encarregada da transmissão de energia elétrica na região instalou novos transformadores. O desvio padrão calculado sob 30 observações independentes foi de 8 V e a distribuição de frequências dos valores da amostra sugere uma distribuição normal. Há evidência da redução na variação da tensão? Use alfa 5%. 14) pg223 (Continuação do exercício 7) - Suponha que, nas 30 observações, o desvio padrão do tempo para a realização das buscas no banco de dados foi de 12 s. Há evidência de alteração na variância ? Alfa 1%.
10
CAPÍTULO 9 - COMPARAÇÃO ENTRE TRATAMENTOS I) Comparação de 2 médias – Caso com 2 amostras .
Ia) Teste t para duas amostras pareadas O teste t é apropriado para comparar 2 conjuntos de dados quantitativos, em termos de seus valores médios. a 1 ) Hipóteses : H0: µ 1 = µ 2
vs
H1: µ 1 ≠ µ 2 ; H1: µ 1 f µ 2 ou H1: µ 1 p µ 2
µ 1 - valor esperado da resposta do tratamento 1 µ 2 - valor esperado da resposta do tratamento 2 2 ) Nível de significância a
a
3 ) Valores críticos: bilateral t(n-1; 4a) Variável teste t =
α 2
) e unilateral t(n-1; α )
d n onde n: tamanho da amostra; d : média das diferenças s d
observadas (d = x2 – x1 ) e sd:desvio padrão das diferenças.
5a) Conclusão: regra habitual da distribuição t de Student. Ib) Teste t para duas amostras independentes A formação de pares de elementos similares nem sempre é viável. Uma alternativa é considerar duas amostras independentes.
Grupos com número de elementos iguais n 1= n2 Suposição básica: As observações são independentes Os dois grupos provêm de distribuições normais Os dois grupos possuem a mesma variância.
1a) Hipóteses : H0: µ 1 = µ 2
vs
H1: µ 1 ≠ µ 2 ; H1: µ 1 f µ 2 ou H1: µ 1 p µ 2
a 2 ) Nível de significância
3a) valores críticos: bilateral t(n1+n2-2; a
4 ) Variável teste t = ( x 1 − x 2 )
n 2 S a2
α 2
) e unilateral t (n1+n2-2 ; α )
onde a variância agregada:
n: tamanho da amostra;
x1 : média do grupo1; x 2 : média do grupo 2; 2
Sa : variância comum (agregada) dos dois grupos. a 5 ) Conclusão: regra habitual da distribuição t de Student.
2 Sa
=
S12 +S 22 2
11
Grupos com número de elementos diferentes n1 ≠ n2 Idem procedimento acima, altera o item 4; x1 − x 2
a
4 ) Variável teste t =
Sa
1 n1
+
2 a
onde a variância comum S =
1
( n 1 − 1)S12 + (n 2 − 1)S 22 n1 + n 2 − 2
n2
II - Comparação de 2 variâncias - Teste F para duas variâncias Suponha que queremos comparar duas populações, supostamente com distribuições normais, têm a mesma variância. Formulam-se as hipóteses: i) Ho: σ 12 = σ 22
vs H1: σ 12 ≠ σ 22 (teste bilateral) ou σ12 > σ 22 ; σ12 < σ 22 (teste unilateral)
σ 12 : var iância da população1
onde
σ 22 : var iância da população 2 . ii) Nível de significância iii) Região crítica: Bilateral: α α Fsup ( gl1= n1 -1; gl2= n2 -1; ) e Finf ( gl1= n1 -1; gl2 = n2 -1; 1- ) = 2 2 Finf = 1
F α ( gl 2 ; gl 1 ) (
2
)
Unilateral: F inf [(1- α ) (gl1; gl2)] ou Fsup [ α
iv) Estatística teste: f =
s12 2 2
(gl1; gl2)]
2
onde si são as variâncias das amostras 1 e 2.
s Condição da amostra 1 ser maior que amostra 2, ou seja a maior variância deve ser posicionada no numerador. v) Conclusão: Rejeita-se Ho: Para teste unilateral, fcalc < F (1- α ) (gl1 gl2) ou fcalc > F α (gl1; gl2) Para teste bilateral, fcalc < F(1- α ) (gl1; gl2) e fcalc > F α 2
Obs: F(1-alfa/2) (gl1; gl2) =
2
(gl1; gl2)
1
F ( alfa / 2 ) ( gl 2; gl1)
ATIVIDADE 9 A - Teste t para amostras pareadas ou independentes 1) pg235 - Seja o problema de verificar se um novo algoritmo de busca em um banco de dados é mais rápido que o algoritmo atualmente usado. Para fazer a comparação dos dois algoritmos, planeja-se realizar uma amostra aleatória de dez buscas experimentais (ensaios). Em cada ensaio, uma dada busca é realizada pelos dois algoritmos e o tempo de resposta de cada algoritmo anotado. Testar se o tempo do algoritmo novo superou do algoritmo antigo? a) Adote alfa 1%. b) Faça a discussão com alfa 5%. c) Abordagem do p-valor.
12
Ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Novo X1 22 21 28 30 33 33 26 24 31 22
Tempo de respostas (segundos) Antigo X2 Diferença X2 – X1 25 3 28 7 26 -2 36 6 32 -1 39 6 28 2 33 9 30 -1 27 5
2) pg245 - Num planejamento tipo antes e depois, observou a venda mensal de determinado produto em 12 lojas sem oferecer brinde. Depois, passou-se a oferecer um brinde e voltou-se avaliar a venda mensal deste produto nas 12 lojas. O valor da diferença D i foram: { 7, 10, 5, -2, 9, 0, 3, -4, 8, 9, 1, 3}. Os dados mostram evidência suficiente para se afirmar que a oferta do brinde aumenta as vendas? Use nível de significância de 5%. Abordagem p-valor. 3) pg245 - Para avaliar o efeito de um brinde nas vendas de determinado produto, planeja-se comparar as vendas em lojas que vendem o produto com brinde, com lojas que vendem sem brinde. As lojas foram agrupadas em pares, de tal forma que os pares são o mais similares possíveis. Em cada par de lojas, uma passou a oferecer brinde e a outra não. Os dados da tabela, mostram evidência suficiente para se afirmar que a oferta do brinde aumenta as vendas? Alfa 5%. Par de loja 1 2 3 4 5 6
Vendas sem brinde 33 43 26 19 37 27
Vendas com brinde 43 39 33 32 43 46
4) pg244 - Uma empresa de cerveja estuda a possibilidade de alterar o rótulo de sua marca com cores mais vivas. Enlatou a cerveja com rótulo novo e tradicional. A pesquisa foi feita em 8 estabelecimentos comerciais. Por sorteio em 4 adotou-se o rótulo tradicional e nos outros 4 o rótulo novo. Avaliou-se a quantidade vendida em milhares de unidades. R trad: {6,5,2,2 } e R novo: { 4,9,5,6}. Verifique se a média de vendas é maior com rótulo novo; use alfa 5%. 5) pg246 - Para comparar dois algoritmos de otimização, foi realizado um experimento com seis ensaios. Em cada ensaio, foram usados separadamente os dois algoritmos em estudo, mas sob as mesmas condições (dados pareados). Os tempos de resposta ao usuário foram: Ensaio 1 2 3 4 5 Algor I 8,1 8,9 9,3 9,6 8,1 Algor II 9,2 9,8 9,9 10,3 8,9 Os tempos de resposta dos dois algoritmos são, em média, diferentes? Alfa 5%.
6 11,2 13,1
13
6) Dois fornecedores fabricam uma engrenagem de plástico usada em uma impressora a laser. A resistência de impacto (ft-lbf) dessas engrenagens é uma característica importante. Uma amostra aleatória de 10 engrenagens do fornecedor 1, resulta em média f1 igual a 321 e desvio padrão de 22, enquanto numa amostra de 16 engrenagens a média do f2 igual a 290 e desvio padrão 12. Há evidência confirmando a afirmação que o fornecedor 1 fornece engrenagens com maiores resistências médias de impacto? Adote alfa 5%. 7) pg238 - Testar a hipótese se nos dez ensaios com cada catalizador verificou que os catalizadores A e B têm efeitos diferentes no rendimento de certa reação química. Confirme com alfa 5%, faça a abordagem do p-valor. Rendimento ( % ) de uma reação química em função do catalizador utilizado. Cat A 45 51 50 62 43 42 53 50 Cat B 45 35 43 59 48 45 41 43
48 49
55 39
8) pg246 - Na comparação de duas topologias de rede de computadores, C1 e C2, avaliou-se o tempo de transmissão de pacotes de dados entre duas máquinas. Foram realizados 32 ensaios em C1 e 24 ensaios em C2, como mostra os dados abaixo: Topologia Tempo (em décimos de segundo) Média Variância C1 9, 12, 10, 12, 11, 9, 8, 12, 13, 9, 13, 8, 17, 9, 9, 8, 9, 8, 14, 8, 10,625 6,371 8, 8, 8, 13, 10, 10, 15, 13, 13, 12, 14, 8 C2 14, 15, 8, 13, 16, 12, 14, 17, 14, 10, 13, 12, 13, 14, 10, 15, 12, 13,458 4,781 17, 16, 12, 15, 13, 14, 14 Existe diferença significativa entre o tempo médio de transmissão nas 2 topologias? 9) pg248 - Verificamos que não há evidências de que os catalisadores A e B tenham efeitos médios diferentes no rendimento de certa reação química. Vamos verificar, agora, se eles produzem efeitos diferentes nas variâncias. Use alfa 10%. Delimitar a região crítica para os 2 casos do teste unilateral. 10) Conforme descrito no exercício 6, Verifique se as engrenagem do fornecedor 1 é realmente maior que do fornecedor 2, com nível de significância de 5%.
II - Comparação de várias médias Geralmente este delineamento é usado quando é classificado segundo um único critério, chamado tratamento. Este delineamento é utilizado quando as unidades experimentais (parcelas) são similares. Os tratamentos são diferentes???? Assim usa-se um processo aritmético para decompor as variações, que é chamado de Análise de Variância (ANOVA). Todo delineamento experimental possui um modelo matemático necessário para podermos efetuar a análise de variância do experimento. E, para a validade da análise de variância deve-se considerar o seu modelo matemático além de algumas pré-suposições básicas para se fazer a análise dos dados. Para o delineamento inteiramente casualizado o modelo matemático é: yij = m + t i + eij com i = 1,2,............ g; j = 1,2,................. n; onde:
14
yij = valor observado na parcela que recebeu o tratamento i na repetição j;
t i
= efeito do tratamento aplicado na parcela; = média geral do experimento;
m
eij = efeito dos fatores não controlados, ou seja, o efeito do erro experimental; Algumas suposições básicas que se deve admitir para a validade da análise de variância: i) deve-se considerar independência entre tratamentos e entre parcelas do mesmo tratamento; ii) As j observações por tratamento são normais de média m i e mesma variância σ 2, ou seja, 2 X i j ~ N ( mi , σ ). iii) As variâncias populacionais devem ser iguais nos g grupos.
4- Quadro de Dados Replicação 1 2 ... n Total Trat. Médias
Tratamentos T2 Y21 Y22 ... Y2J T2
T1 Y11 Y12 ... Y1J T1 y
Tg Yg1 Yg2 ... Ygn Tg
y2
1
yg
Análise de variância – ANOVA i) Para testar as hipóteses H0: As médias dos tratamentos são iguais H1: Pelo menos uma das médias difere das demais. ii) Nível de significância iii) Estatística do teste: F de Snedecor Construiremos o seguinte quadro de análise de variância: Fonte de Variação
Graus de Liberdade
Somas de Quadrados
Quadrados Médios
Fcal
Ftab
Tratamento
g–1
SQT
QMT
QMT/QMR
[(g – 1), (N-g)]
Resíduo (R)
N–g
SQR
QMR
Total (To)
N–1
SQTo
Soma de Quadrados g
∑ yi
2
SQTo =
∑y
2 ij
−
y ..
gn
N
2
;
i =1
SQT =
−
n
y 2 .. N
;
SQR = SQTo – SQT
Quadrados Médios QMT =
SQT g −1
Estatística F -
;
F calc =
QMR =
SQR ( N − g)
QMT ; QMR
iv) Valor tabelado - Ftab [(gl trat; gl res)] v) Conclusão: Assim se Fcal > Ftab populações diferem entre si.
⇒
1-α
Rejeita-se Ho, isto é, pelo menos umas das médias das
15
As médias aritméticas de cada grupo servem como uma estimativa pontual da resposta esperada de cada tratamento. Para detectar qual média difere das demais, existem diversos testes ( Tukey, Schefée, Duncan..), mas uma opção rápida é construir o intervalo de confiança para verificar se realmente há
QMerro n
diferença entre as médias. IC ( µ i ,1 − α ) = y i ± t
onde o valor tabela: t (N-g; 2
)
AMOSTRAS EM BLOCOS Considere que as unidades experimentais são agrupadas em blocos, de tal forma que todos os g tratamentos sejam realizados em cada bloco. Cada observação Yij é influenciada pelo efeito do tratamento, efeito do bloco e o efeito aleatório. Assim: Yij = m + t i + B j + eij Os cálculos de uma ANOVA num projeto em blocos, considerando em cada bloco uma observação de cada tratamento (blocos completos não replicados), donde o número total de observações é dado por N = gh.
Análise de variância - ANOVA a) Para testar as hipóteses H0: As médias dos tratamentos são iguais Ho: As médias dos blocos são iguais. b) Estatística do teste: F de Snedecor Construiremos o seguinte quadro de análise de variância: Fonte de Variação
Graus de Liberdade
Somas de Quadrados
Quadrados Médios
Fcal
Ftab
Tratamento
g–1
SQT
SQT/g-1
QMT/QME
[(gl trat; glE)]
Bloco
h–1
SQB
SQB / h-1
QMB/QME
[(gl trat; glE)]
Resíduo (Erro)
(g-1)(h-1)
SQE
SQE / (g-1)(h-1)
Total (To)
N–1
SQTo
SQtot =
∑∑ y
2 ij
−
y 2 .. N
g
;
SQtrat =
∑ i =1
y i2 h
−
y 2 .. N
;
SQblocos =
h
y. j2
j=1
g
∑
−
y 2 .. N
ATIVIDADE 9B - Teste para k médias 1) pg252 - Considere o problema de comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2, C3, em termos do tempo médio de transmissão de pacotes de dados entre duas máquinas. Realizou-se um experimento com oito replicações com cada tipo de rede, aleatorizando a ordem de 24 ensaios e mantendo fixo fatores controláveis. a- Testar a hipótese do tempo médio de transmissão ser iguais para os três tipos de redes. Alfa 5%. b- Apresentar graficamente os intervalos de confiança.
replicações
REDE C1
Tipo de rede REDE C2
REDE C3
16
1 2 3 4 5 6 7 8 Soma Média
7,2 9,3 8,7 8,9 7,6 7,2 8,8 8,0 65,7 8,21
7,8 8,2 7,1 8,6 8,7 8,2 7,1 7,8 63,5 7,94
6,3 6,0 5,3 5,1 6,2 5,2 7,2 6,8 48,1 6,01
2) pg265 - Com o objetivo de comparar 3 tipos de cimento em termos da resistência à compressão do concreto, foi realizado um experimento completamente aleatorizado, com 5 corpos de prova de cada tipo de cimento. Os resultados foram os seguintes: Tipo de cimento replicações C1 C2 C3 1 9 20 10 2 12 21 9 3 10 23 12 4 8 17 20 5 15 30 11 a- Testar a hipótese da resistência media ser iguais para os três tipos de cimento. Alfa 5%. b- Apresentar graficamente os intervalos de confiança. 3) pg257 - Seja o problema comparar 3 algoritmos de busca em um banco de dados. No experimento com 6 buscas experimentais, sendo que em cada uma é sorteado um n. aleatório que indica o registro do banco de dados a ser localizado. Em cada um dos seis processos de busca, são usados 3 algoritmos em estudo, mas sob mesmas condições. São anotados os tempos de resposta ao usuário. a- Testar se os 3 algoritmos são igualmente rápidos. Adote alfa 5%.b- Construir os interv. de confiança.
Blocos 1 2 3 4 5 6 Soma Média
A1 8,3 9,4 9,1 9,9 8,2 10,9 55,8 9,43
Algoritmo de busca A2 8,1 8,9 9,3 9,6 8,1 11,2 55,2 9,2
A3 9,2 9,8 9,9 10,3 8,9 13,1 61,2 10,2
4) pg267 - Para comparar a absorção de água de 4 tipos de massa cerâmica, analisaram-se corpos de prova de 3 fornadas. Em cada fornada (bloco) era analisado um corpo de prova de cada tipo de massa cerâmica. Os resultados (porcentagem de absorção de água) foram: Fornada Massa Cerâmica C1 C2 C3 C4 1,2 1,5 1,1 2,1 1 2,1 2,1 1,3 2,7 2 1,5 1,9 1,3 2,4 3 Os dados mostram evidência suficiente para garantir diferença na porcentagem esperada de absorção de água nos 4 tipos de massa cerâmica? Use nível de confiança de 95%.
