Apostila PESQUISA OPERACIONAL - Alunos

PESQUISA PESQUISA OPERACIONAL OPERACIONAL Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Curso Administração Industrial

Profa. Elizabeth Freitas

CRONOGRAMA DAS AULAS

MÉTODO DE AVALIAÇÃO

P1 = Nota da Prova 1 P2 = Nota da prova 2 + Participação nas aulas Conclusão das listas de exercícios P3 = Segunda chamada EF = Exame Final

Pesquisa Operacional – Curso de Administração Industrial – Profa. Elizabeth Freitas

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BIBLIOGRAFIA BÁSICA

LACHTMARCHER, Gerson - PESQUISA OPERACIONAL NA TOMADA DE DECISÃO – 2ª Edição – Campus Elsevier – 2005.

MACEDO, Ermes - PESQUISA OPERACIONAL PARA CURSOS DE ADMINISTRAÇÃO CONTABILIDADE E ECONOMIA – 1ª Edição – Atlas – 2004


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OBJETIVOS GERAIS Habilitar o aluno quanto ao conhecimento básico sobre os fundamentos da Pesquisa Operacional: os Modelos de Programação Linear; Transportes e Introdução a Teoria dos Jogos. METODOLOGIA Aulas expositivas e práticas CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO Provas / Exercícios práticos. PROGRAMA DA DISCIPLINA • • • • • •

Investigação Operacional: Metodologia Otimização linear Conceitos fundamentais Dualidade de programação linear Análise de sensibilidade da programação linear (transportes, trans expedição). Introdução à teoria dos jogos

INTRODUÇÃO A PESQUISA OPERACIONAL 1) Conceito Pesquisa Operacional é um método científico de tomada de decisões. Em linhas gerais, consiste na descrição de um modelo que através de experimentação leva à descoberta da melhor maneira de operar um sistema. 2) Fases de um estudo de P.O. Um estudo de Pesquisa Operacional costuma envolver cinco fases: • • • • •

Definição do problema; Construção do modelo do sistema; Cálculo da solução através do modelo; Validação modelo; Implementação do modelo.


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Apesar da seqüência acima não ser rígida, ela indica as principais etapas a serem vencidas. A seguir é apresentado um resumo de cada uma das fases: Definição do problema A definição do problema baseia-se em três aspectos fundamentais:  Descrição exata dos objetivos do estudo  Identificação das alternativas de decisão existentes  Reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema. A descrição dos objetivos é uma das tarefas mais importantes em todo o processo do estudo, pois é a partir dela que o modelo é concebido. Da mesma forma é essencial que as alternativas de decisão e as limitações existentes sejam todas explicitadas, para que as soluções obtidas ao final do processo sejam válidas e aceitáveis. Construção do modelo A escolha apropriada do sistema é fundamental para a qualidade da solução fornecida. Se o modelo elaborado tem a forma de um modelo conhecido, a solução pode ser obtida através de métodos matemáticos convencionais. Por outro lado, se as relações matemáticas são muito complexas, talvez se faça necessário combinações de metodologias. Solução do modelo O objetivo desta fase é encontrar solução para o modelo proposto. Ao contrário das outras fases, que não possuem regras fixas, a solução do modelo é baseada geralmente em técnicas matemáticas existentes. No caso de um modelo matemático, a solução é obtida, pelo algoritmo mais adequado, em termos de rapidez de processamento e precisão da resposta. Isto exige um conhecimento profundo das técnicas existentes. A solução obtida, neste caso, é dita “ótima”. Validação do modelo Nessa altura do processo de solução do problema, é necessário verificar a validade do modelo. Um modelo é válido se, levando-se em conta sua inexatidão em representar o sistema, ele for capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema. Um método comum para testar a validade do sistema é analisar seu desempenho com dados passados do sistema e verificar se ele consegue reproduzir o comportamento que o sistema apresentou. É importante observar que este processo de validação não se aplica a processos inexistentes, ou seja, um projeto. Nesse caso, a validade é feita pela verificação da correspondência entre os resultados obtidos e algum comportamento esperado do novo sistema. Implementação da solução


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Avaliadas as vantagens e a validação da solução obtida, esta deve ser convertida em regras operacionais. A implementação, por ser uma atividade que altera uma situação existente, é uma das etapas críticas do estudo. É conveniente que seja controlada pela equipe responsável, pois, eventualmente, os valores da nova solução, quando levados à prática, podem demonstrar a necessidade de correções nas relações funcionais do modelo conjuntos dos possíveis cursos de ação, exigindo a reformulação do modelo em algumas de suas partes. O PROCESSO DE MODELAGEM Quando os executivos se vêem diante de uma situação na qual uma decisão de ser tomada entre uma série de alternativas conflitantes e concorrentes, duas opções básicas se apresentam: 1) usar a sua intuição gerencial e, 2) realizar um processo de modelagem da situação e realizar exaustivamente simulações dos mais diversos cenários de maneira a estudar mais profundamente o problema. Até recentemente, a primeira opção se constituía na única alternativa viável, visto que não existiam nem dados e/ou informações sobre os problemas, ou mesmo poder computacional para resolvê-los. Com o advento dos microcomputadores e com o aprimoramento da tecnologia de bancos de dados, esta deixou de ser a única opção para os tomadores de decisão. Um número cada vez maior de empresas e tomadores de decisão começou a optar pela segunda forma de tomada de decisão, isto é, através da elaboração de modelos para auxiliar este processo. Na realidade, nos dias de hoje está ocorrendo o inverso de 20 anos atrás. Possivelmente, a grande maioria dos tomadores de decisão está adotando a segunda opção de agir. Devemos ressaltar dois fatos relevantes: a) A quantidade de informações cresceu exponencialmente nos últimos anos com o advento da internet, o que nos levou ao problema inverso de 20 anos atrás; a quantidade de dados é tão grande que se torna impossível montar modelos com todas estas informações. Devemos, portanto, separar as informações relevantes das irrelevantes, de maneira a modelar a situação para que possamos analisá-la. b) Muitos gerentes deixaram de utilizar sua intuição completamente o que é bastante prejudicial ao processo de tomada de decisão, pois uma base de conhecimento pode estar sendo desperdiçada. Portanto, as duas opções devem ser utilizadas conjuntamente, para melhorar ainda mais o processo de tomada de decisão; a intuição do tomador de decisão deve ajudá-lo na seleção das informações relevantes, nos possíveis cenários a serem estudados, na validação do modelo e na análise dos seus resultados dos mesmos. A TOMADA DE DECISÃO


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Podemos entender a tomada de decisão como o processo de identificar os problemas ou uma oportunidade e selecionar uma linha e ação para resolvê-lo. Um problema ocorre quando o estado atual de uma situação é diferente do estado desejado. Uma oportunidade ocorre quando as circunstâncias oferecem a chance do indivíduo/organização ultrapassar seus objetivos e/ou metas. Vários fatores afetam a tomada de decisão e entre eles podemos destacar: • • • • • •

Tempo disponível para a tomada de decisão A importância da decisão O ambiente Certeza / incerteza e risco Agentes decisores Conflito de interesses.

Diversas vantagens podem ser citadas quando o decisor utiliza um processo de modelagem para a tomada de decisão:     

Os modelos forçam os decisores a tornarem explícitos seus objetivos Os modelos forçam a identificação e o armazenamento das diferentes decisões que influenciam os objetivos. Os modelos forçam a identificação das variáveis a serem incluídas e em que termos elas serão quantificáveis. Os modelos forçam o reconhecimento de limitações. Os modelos permitem a comunicação de suas idéias e seu entendimento para facilitar trabalho de grupo.

Dadas estas características, os modelos podem ser utilizados como ferramentas consistentes para a avaliação e divulgação de diferentes políticas empresariais.

PROGRAMAÇÃO LINEAR O problema geral da programação linear é utilizado para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função linear de variáveis, chamada de função objetivo, sujeita a uma série de equações ou inequações lineares, chamadas restrições. A formulação do problema a ser resolvido em programação linear, segue alguns passos básicos:  Deve ser definido o objetivo básico do problema, ou seja, a otimização a ser alcançada. Por exemplo, maximização de lucro ou desempenhos, ou de bem-estar social; minimização de custos, de perdas, de tempo. Tal objetivo será representado por uma função objetivo a ser maximizada ou minimizada.  Para que esta função matemática seja devidamente especificada, devem ser definidas as variáveis de decisão envolvidas. Por exemplo: número de máquinas, a área a ser explorada, a classe de investimento à disposição,


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etc. Normalmente assume-se que estas variáveis possam assumir valores positivos.  Estas variáveis normalmente estão sujeitas a uma série de restrições, normalmente representadas por inequações. Por exemplo, quantidade de equipamentos disponível, tamanho da área a ser explorada, capacidade de um reservatório, exigências nutricionais para determinada dieta, etc. Todas essas expressões, entretanto, devem estar de acordo com a hipótese principal da programação linear, ou seja, todas as relações entre as variáveis devem ser lineares. Isto implica proporcionalidade das quantidades envolvidas. Esta característica de linearidade pode ser interessante no tocante à simplificação da estrutura matemática envolvida A PL é uma técnica de planejamento que se originou no final da década de quarenta e, com o surgimento do computador na década de cinqüenta, encontrou o seu aliado natural, tendo então um desenvolvimento acelerado e sendo também muito difundida. Costuma-se dizer, também, que a PL é um tópico da ciência Pesquisa Operacional, a qual contêm outros tópicos tais como Teoria das Filas, Simulação, Teoria dos Jogos, Programação Dinâmica, PERT/CPM, etc. Estudos estatísticos têm mostrado que a PL é hoje uma das técnicas mais utilizadas da Pesquisa Operacional. É comum vermos aplicações de PL fazerem parte de rotinas diárias de planejamento das mais variadas empresas, tanto nas que possuem uma sofisticada equipe de planejamento como nas que simplesmente adquiriram um software para alguma função de planejamento. Podemos conceituar a PL como a seguir: É importante também, desde já, esclarecer que a palavra programação tem aqui o significado de planejamento. Fazemos isto para evitar a confusão com o termo programação de computadores, termo bastante utilizado atualmente na Ciência da Computação. Portanto, a PL é uma técnica de planejamento baseada em matemática. Certamente a PL utiliza computadores para resolver seus problemas, mas é importante entender que a palavra programação tem significados diferentes nas duas ciências. A PL é uma técnica de otimização. A PL é uma ferramenta utilizada para encontrar o lucro máximo ou o custo mínimo em situações nas quais temos diversas alternativas de escolha sujeitas a algum tipo de restrição ou regulamentação. 2 - APLICAÇÕES DA PL Na prática a PL tem sido aplicada em áreas tão diversas como mostram os exemplos seguintes:

 Alimentação: Que alimentos as pessoas (ou animais) devem utilizar, de modo que o custo seja mínimo e os mesmos possuam os nutrientes nas quantidades adequadas, e que também atendam a outros requisitos, tais como variedade entre as refeições, aspecto, gosto, etc?  Rotas de transporte: Qual deve ser o roteiro de transporte de veículos de carga de modo que entregue toda a carga no menor tempo e no menor custo total?

 Manufatura: Qual deve ser a composição de produtos a serem fabricados por uma empresa de modo que se atinja o lucro máximo, sendo


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respeitadas as limitações ou exigências do mercado comprador e a capacidade de produção da fábrica?

 Siderurgia: Quais minérios devem ser carregados no alto-forno de modo a se produzir, ao menor custo, uma liga de aço dentro de determinadas especificações de elementos químicos?

 Petróleo: Qual deve ser a mistura de petróleo a ser enviada para uma torre de craqueamento para produzir seus derivados (gasolina, óleo, etc) a um custo mínimo? Os petróleos são de diversas procedências e possuem composições diferentes.

 Agricultura: Que alimentos devem ser plantados de modo que o lucro seja máximo e sejam respeitadas as características do solo, do mercado comprador e dos equipamentos disponíveis?

 Carteira de investimentos: Quais ações devem compor uma carteira de investimentos de modo que o lucro seja máximo e sejam respeitadas as previsões de lucratividade e as restrições governamentais?

 Mineração: Em que seqüência deve-se lavrar blocos de minério abaixo do solo, dados sua composição, posicionamento e custos de extração? 

 Localização industrial: Onde devem ser localizados as fábricas e os depósitos de um novo empreendimento industrial, de modo que os custos de entrega do produto aos varejistas sejam minimizados?

Então vamos colocar mãos à obra: Vamos seguir o exemplo de um problema a ser equacionado. É um problema corriqueiro que já deve ter acontecido com a maioria de vocês:


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O SEU PLANEJAMENTO “SOCIAL” Considere que você está saindo com duas namoradas ao mesmo tempo: Kelly Key e Juliana Paes


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É claro que não deixaria as meninas sem exemplo: Meninas, personalizei o problema também para vocês. Imaginem-se saindo com o Brad Pitt e o Gianecchini:


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Qual é a decisão?

→ Se você pudesse, estou certa, planejaria sair com as duas ao mesmo

tempo, e a todo tempo, acertei? → Mas, sair com as duas ao mesmo tempo não dá. Elas não aceitariam sair com você juntas. São ciumentas!!! → E, sair todo dia também não dá. Você não tem dinheiro (entre outras coisas), para sair todo dia. → Para garantir a sua felicidade, considerando estes problemas desagradáveis, você precisa decidir quantas vezes na semana sair com cada uma.

A Decisão: Chamemos assim: X1 = Quantidade de vezes que você sairá com a Kelly, por semana. X2 = Quantidade de vezes que você sairá com a Juliana, por semana. Variáveis de decisão: O que nós criamos, X1 e X2 , são as chamadas variáveis de decisão; as variáveis de decisão são aqueles valores que representam o cerne do problema, e que podemos decidir (escolher) livremente.

Veja que, a princípio, você pode sair quantas vezes quiser com Kelly Key e com Juliana Paes. Entretanto, existe um pequeno problema:

•

Juliana é chique e gosta de lugares caros. Uma noite com ela custa R$ 180,00.

•

Kelly é mais simples, gosta de passeios baratos. Uma noite com ela custa só R$ 100,00.

•

Mas a sua semanada é de apenas R$ 800,00. Como fazer para garantir que você não vai se endividar?

Garantindo a semanada: Se você sai com a Juliana X1 vezes na semana, e cada vez gasta R$ 180,00, então você gasta 180 X1 por semana. Fazendo o mesmo raciocínio para a Kelly, obtemos o seguinte:

180 X1 + 100 X2 ≤ 800


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garantia


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Agora o seu problema é com o relógio, pois a diferença com as duas não é somente com relação aos gastos:

• •

Kelly é muito agitada e cada saída com ela você gasta 4 horas do seu precioso tempo. Quando sai com Jliana que é mais sossegada, você gasta apenas 2 horas.

Garantindo os estudos: Considere que os seus afazeres com PO só lhe permitem 20 horas de lazer por semana. Usando a notação anterior, como fazer para garantir que não vai extrapolar este tempo?

2 X1 + 4 X2 ≤ 20 garantia Agora vamos pensar em tudo junto: Restrições Você já pode se planejar. Decida quantas vezes vai sair com Juliana (X1) e quantas vai sair com Kelly (X2). Vamos ver quantas horas e quanto de dinheiro nós consumimos e depois quanto sobra. Quanto consumo:

180 X1 + 100 X2 ≤ 800 (horas por semana) 2 X1 + 4 X2 ≤ 20 (R$ por semana) Por exemplo: Sair com a Juliana 3 vezes e com a Kelly 2 vezes: X1 = 3 X2 = 2 (2 x 3) + (4 x 2) = 14 horas CONSUMO (180 x 3) + (100 x 2) = 740 reais Quanto sobra? Saindo 3 vezes com Juliana e 2 com Kelly, sobram 6 horas e 60 reais.


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Agora vamos tentar a situação em você sai 3 vezes com Juliana e 4 vezes com a Kelly. O resultado é negativo, pois: (2 x 3) + (4 x 4) = 22 horas (180 x 3) + (100 x 4) = 940 reais O que sobra, ou melhor o que falta são: (-) 2 horas e (-) 140 reais Esta é uma situação impossível dentro das possibilidades (restrições) que lhes foram propostas. Mas falta um objetivo !!!!! É preciso pensar no objetivo final. O que eu quero para obter a maior felicidade? Algumas opções: → Sair a maior quantidade de vezes possível por semana, ou seja: MAX. X1 + X2 Total de saídas, independente de com quem. Outro objetivo possível:

→ Suponha que você goste de Kelly duas vezes mais do que de Juliana. A representação da sua preferência ficaria assim:

MAX. X1 + 2 X2 Kelly terá o dobro.

max x1 + x2

funções objetivo

s.r. 2 x1 + 4 x2 ≤ 20

x1 , x2 ≥ 0 modelo com o primeiro objetivo

s e õçi rt s er

s.r. 2 x1 + 4 x2 ≤ 20 180 x1 + 100 x2 ≤ 800

max x1 + 2 x2

180 x1 + 100 x2 ≤ 800 x1 , x2 ≥ 0

modelo com o condições de não-negatividade segundo objetivo


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Vamos então começar a exercitar nossos conhecimentos: LISTA DE EXERCÍCIO # 1 Monte o modelo de programação linear dos problemas listados abaixo 1) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato 1 unidade couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.

2) Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões. O tipo “A” tem 2 m 3 de espaço refrigerado e 3 m3 de espaço não refrigerado; o tipo “B” tem 2 m3 de espaço refrigerado e 1 m3 de não refrigerado. O cliente quer transportar um produto que necessitará de 16 m3 de área refrigerada e 12 m3 de não refrigerada. A companhia calcula em 1.100 litros o combustível para uma viagem com o caminhão “A” e 750 l para o caminhão “B”. Quantos caminhões de cada tipo deverão ser usados no transporte do produto, com o menor consumo de combustível? 3) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema. 4) Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa “B”, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de 1 semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema. 5) Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de $4,00 para M1 e #3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa o modelo do sistema descrito. 6) Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2, $150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos: Produto

Recurso R1/ unidade

Recurso R2/unidade

Recurso R3/unidade


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P1 2 3 5 P2 4 2 3 Disponibilidade de recurso / 100 90 120 mês Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema. 7) Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: A (Arrendamento) – Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00 por alqueire por ano. P (Pecuária) – Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100 kg/alq.) e irrigação (100.000 l de água / alq.) por ano. O lucro estimado nesta atividade é de $ 400,00 por alqueire por ano. S (Plantio de soja) – usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 l de água/alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessas atividades é de $ 500,00/alqueire no ano. Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 l de água 14.000 kg de adubo 100 alqueires de terra Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão. 8) Duas fábricas produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas de papel médio e 28 toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de espessura. O custo de produção na primeira fábrica é de $ 1.000 e o da segunda fábrica é de $ 2.000 por dia. A primeira fábrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a segunda fábrica produz 2 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 7 toneladas de papel grosso. Quantos dias cada fábrica deverá operar para suprir os pedidos mais economicamente? 9) Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de dois tipos de materiais recuperados: Material Recuperado 1 – MR1 – Composição: Ferro – 60% custo por kg: $0,20 Carvão – 20% Silício – 20% Material Recuperado 2 – MR2 – Composição: Ferro – 70% custo por kg: $0,25 Carvão – 20% Silício – 5% Níquel – 5% A liga deve ter a seguinte composição final:


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Matéria-prima Ferro Carvão Silício Níquel

% mínima 60 15 15 5

% máxima 65 20 20 8

O custo dos materiais puros são (por kg): ferro: $0,30 ; carvão $0,20; silício $0,28; níquel $0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis, com menor custo por kg? Construa o modelo da decisão. 10) A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e para cada asa-delta vendida é de R$ 40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A.


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INTRODUÇÃO AOS CONCEITOS DE MODELO GRÁFICO A técnica para solução de modelos de programação linear com duas variáveis chama-se MÉTODO GRÁFICO Essa técnica consiste em representar num sistema de eixos ortogonais o conjunto das possíveis soluções do problema, isto é,o conjunto de pontos (x1 e x2) que obedece o grupo de restrições impostas pelo modelo em estudo. O desempenho do modelo é avaliado através da representação gráfica da função objetivo. As soluções são classificadas de acordo com sua posição no gráfico. Exemplo: Represente graficamente a solução do sistema: X1 + 3x2 ≤ 12 2 x1 + x2 ≥ 16 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 Vamos representar cada uma das retas correspondentes:

1) X1 + 3x2 ≤ 12 → se X1 = 0 x2 = 4 Se x2 = 0 X1= 12

2) 2 x1 + x2 ≥ 16 → se X1 = 0 x2= 16 se x2 = 0 X1 = 8

X2 Essa é a área de possíveis soluções, que respeita as restrições impostas pelo modelo.

X1


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Avaliando a função-objetivo: Imaginemos a seguinte função objetivo: Max. L = 2 x1 + 5 x2 Vamos atribuir valores a L, aleatoriamente. Comecemos com o valor 10

1. Se L for igual a 10, então x1 = 5 e x2 = 2 , tracemos então esta reta no gráfico abaixo.

2. Se L for igual a 15, então x1 = 7,5 e x2 = 3 À medida que formos aumentando o valor de L, obtemos retas paralelas. Podemos então perceber que, dentro da área de possíveis soluções, o ponto P e a reta paralela de maior valor. Portanto, este ponto é a solução do problema que maximiza o valor de L na região de restrições dadas.

Ponto P L= 30 → x1=0; x2=6

Área de possíveis soluções

L = 15

L=10


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Voltemos então a exercitar os conhecimentos apreendidos: LISTA DE EXERCÍCIO # 2 Resolva graficamente os modelos abaixo

1.

Maximizar LUCRO = 2 x1 + 3 x2 Sujeito a: - x1 + 2 x2 ≤ 4 x1 + 2 x2 ≤ 6 x1 + 3 x2 ≤ 9 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

2.

Maximizar RECEITA = 0,3 x1 + 0,5 x2 Sujeito a: 2 x1 + x2 ≤ 2 x1 + 3 x2 ≤ 3 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

3.

Max. LUCRO = 2 x1 + 3 x2 Sujeito a: x1 +3 x2 ≤ 9 - x1 + 2 X2 ≤ 4 x1 + x2 ≤ 6 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

4.

Minimizar CUSTO = 10 x1 + 12 x2 Sujeito a: x1 + x2 ≤ 20 x1 + x2 ≥ 10 5 x1 + 6 x2 ≥ 54 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

5.

Minimizar Z = 7 x1 + 9 x2 Sujeito a: - x1 + x2 ≤ 2 x1 ≤ 5 x2 ≤ 6 3 x1 + 5 x2 ≥ 15 5 x1 + 4 x2 ≥ 20 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

6.

Minimizar Custo = 1000 x1+ 2000 x2 Sujeito a: 8x1 + 2x2 ≥16 x1 + x2 ≥ 6 2 x1 + 7 x2 ≥ 28 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0


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7.

Maximizar Saídas = x1 + x2 Sujeito a: 240 x1 +160 x2 ≤ 960 5000 x1 + 10000 x2 ≤ 40000 3 x1 + 3 x2 ≤ 18 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

8.

Maximzar LUCRO= 10 x1 + 30 x2 + 4000 Sujeito a: x1 + x2 ≤ 600 x1 ≥ 100 x2 ≥ 200 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

9.

Maximizar LUCRO = 4 x1 + 3 x2 Sujeito a: 2 x1 + x2 ≤ 1000 x1 ≤ 400 x2 ≤ 700 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0


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LISTA DE EXERCÍCIOS # 3 Resolva graficamente os exercícios listados abaixo:

1) Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por hora, se fizer somente calzones. Ele gasta 40 gramas de queijo para preparar uma pizza e 60 gramas de queijo para fazer um calzone. Sabendo-se que o total disponível de queijo é de 5 quilogramas por dia, e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$ 22,00, pergunta-se : quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria com três pizzaiolos deve vender diariamente para maximizar a sua receita? 2) A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e para cada asa-delta vendida é de R$ 40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. 3) A indústria de móveis fabrica dois tipos de produtos: cadeiras e mesas. As cadeiras apresentam uma margem de contribuição de $ 10,00 por unidade e as mesas de $ 8,00 por unidade. Os produtos são processados por dois departamentos: montagem e acabamento. Ao passar por estes departamentos, cada unidade de cadeira e mesa consome respectivamente 3 horas para acabamento e 6 horas para montagem e 3 horas para acabamento e 3 horas para montagem. Os departamentos, contudo, apresentam limitações em suas capacidades produtivas e, sendo assim, o departamento de acabamento possui 48 horas de capacidade máxima e o de montagem 30 horas. Calcule qual a melhor combinação possível de cadeiras e mesas a serem produzidas, de forma a obter a maior margem de contribuição total. 4) Um fabricante da linha de xampus está planejando um turno de produção de produtos A (para cabelos secos) e B (para cabelos oleosos). Dispõe-se de ingredientes suficientes para 60.000 vidros de cada xampu, mas existem somente 60.000 vidros para ambos os xampus. Gasta-se 4 horas para preparar uma quantidade de xampu suficiente para encher 1.000 vidros do xampu A e 3 horas para preparar uma quantidade de xampu suficiente para encher 1.000 vidros do xampu B; dispõe-se de 200 horas para a preparação. O lucro é de 9 centavos por vidro para o xampu A e de 7 centavos por vidro do xampu B. Como se deve programar a produção para maximizar o lucro? 5) Resolva o problema 6 da lista de exercício 1

6) Resolva o problema 1 da lista de exercício 1.


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MÉTODO SIMPLEX Esse método é formado por um grupo de critérios para escolha de soluções básicas que melhorem o desempenho do modelo, e também de um teste de otimalidade. Para isso, o problema deve apresentar uma solução básica inicial. As soluções básicas subseqüentes são calculadas com a troca de variáveis básicas para não básicas, gerando novas soluções. Os critérios para escolha de vetores e conseqüentemente das variáveis que entram e saem para a formação da nova base constituem o centro do simplex. Vejamos o modelo a seguir: Max Z = 3x1+ 5x2 s.a.: 2x1+4x2 ≤ 10 6x1+x2 ≤ 20 x1 – x2 ≤ 30 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 Se acrescentarmos as variáveis de folga nas restrições, teremos: 2x1+4x2 + xF1 = 10 6x1+ x2 + xF2 = 20 x1 – x2 + xF3 = 30 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0; xF1 ≥ 0 ; xF2 ≥ 0; xF3 ≥0 Observemos a função objetivo: Z = 3x1+ 5x2 Se x1= 0 e x2 = 0, o valor de Z será 0 Se o valor de x1= 1, o valor de Z aumenta em 3 unidades. O mesmo para x2 Se x1= 1 → Z = 3 Se x2= 1 → Z = 5 Re-escrevendo a função objetivo: Z -3x1 - 5x2 = 0 Os coeficientes positivos à direita (3 e 5) são negativos à esquerda, portanto indicam que o valor de Z pode ser aumentado com a entrada da variável na base, e na proporção de seu coeficiente. Escrito dessa forma, a solução testada só será ótima quando as variáveis não básicas não apresentam coeficientes negativos.

a) Variável que entra na base: entra na base a variável com coeficiente negativo de maior valor absoluto. A idéia é melhorar rapidamente o valor de Z


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Z -3x1 - 5x2 = 0


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b) Variável que sai: sai a variável que primeiro se anula com a entrada da

variável escolhida no item anterior, no caso X2, que entra com maior valor possível.

2 x1 6x1 x1

+4x2 + xF1 = 10 ⇒ 10/4 = 2,5 + x2 + xF2 = 20 ⇒ 20/1 = 20 - x2 + xF3 = 30 ⇒ 30/(-1) =-30

c) Elemento pivô:

A coluna da variável que entra e a linha da variável que sai identificam um elemento comum chamado ELEMENTO PIVÔ.

Z 1 0 0 0

X1 -3 2 6 1

X2 -5 4 1 1

xF1 0 1 0 0

xF2 0 0 1 0

xF3 0 0 0 1

Total 0 10 20 30

1º passo: Dividir a linha pivô pelo elemento pivô. 2º passo: Re-escrever as outras linhas da seguinte maneira: a) Multiplicar os elementos da nova linha pivô pelo coeficiente da variável que entra da outra linha, com sinal trocado. b) Somar termo a termo com os elementos da outra linha. Z 1 0 0 0

X1 -0,5 0,5 5,5 1,5

X2 0 1 0 0

xF1 1,25 0,25 -0,25 0,25

xF2 0 0 1 0

xF3 0 0 0 1

Total 12,5 2,5 17,5 32,5

xF2 0,09 -0,09 0,18 -0,27

xF3 0 0 0 1

Total 14,09 0,91 3,18 27,73

Depois o processo inteiro repete-se. Z 1 0 0 0

X1 0 0 1 0

X2 0 1 0 0

xF1 1,227 0,272 -0,045 0,317

Resposta: Z = 14,09 ; x1 = 3,18 ; x2 = 0,91 ; xF1 = 0; xF2 = 0 ; xF3 = 27,73 Aplique estes valores ao modelo e verifique se o mesmo está correto!!


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LISTA DE EXERCÍCIO # 4 Resolva os exercícios de programação linear listados abaixo através do método simplex:

1) Maximizar 2x1 + 3x2 + 4 x3 Sujeito a:

x1 + x2 + x3≤ 100 2x1 +x2 ≤ 210 x1 ≤ 80 x1 , x2, x3 ≥ 0

2) Maximizar 0,2 x1 + 2x2 +4x3 Sujeito a:

x1 +2x2 ≤ 20 3x1 + x3 ≤ 50 x1 + x2 - x3≤ 15 x1 , x2, x3 ≥ 0

3) Maximizar 5 x1 - 3x2 + 4 x3 – x4 Sujeito a:

x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 600 2 x1 + x3 ≤ 280 x2 + 3x4 ≤ 150 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0

4) Maximizar 2x1 + 4x2 + 6x3 Sujeito a:

x1 + x2 + x3 ≤ 100 2x1 - x2 + 5x3 ≤ 50 3x1 + x3 ≤ 200 x1 , x2, , x3 ≥ 0

RESOLVER OS EXERCÍCIOS DE MAXIMIZAÇÃO DAS LISTAS ANTERIORES


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O MODELO DE TRANSPORTE DE VOGEL O problema de transporte é um dos tipos de aplicação de programação lineal muito especial e comum. O Método do Transporte foi inicialmente utilizado para determinar o menor custo de transporte entre diversos pontos. Este método resolve esta classe de problemas de programação linear de uma maneira mais eficiente que o simplex tradicional. O problema de transporte básico é aquele em que queremos determinar, dentre as diversas maneiras de distribuição de um produto, a que resultará no menor custo de transporte entre as fábrica e os centros de distribuição. Matematicamente o que queremos é a minimização do custo total do transporte que é dada por: m

Min Z =

Σ

n

Σ

cij xij

i=1 j=1

onde: xij = a quantidade de itens transportados da fábrica i para o destino j (variáveis de decisão) cij = o custo mínimo de transporte da fábrica i para o destino j (constantes) m = número de fábricas. N = número de destinos (centros consumidores) Vogel trabalhava com o sistema de penalidades. Penalidade em uma linha ou coluna é a diferença positiva entre os dois custos de menor valor na linha ou coluna. A idéia desse método é fazer o transporte com prioridade na linha oi coluna que apresenta a maior penalidade. Como o transporte é feito na célula de menor custo, tenta-se evitar com isso um aumento de custo. Descrição do método: 1) Calcular a penalidade para linha ou coluna. Escolher a linha ou coluna com a maior penalidade para iniciar o transporte. Caso haja empate, escolha arbitrariamente uma delas.

2) Transportar o máximo possível na linha ou coluna escolhida, elegendo a célula de menor custo unitário de transporte. Esse procedimento zera a oferta ou demanda da célula correspondente. A linha ou coluna que tenha sua disponibilidade zerada deve ser eliminada. 3) Retornar ao item 1 até que todos os transportes tenham sido efetuados.

Praticando iremos entender melhor o modelo de Vogel. Vejamos os exercícios da lista abaixo:


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LISTA DE EXERCÍCIO # 5

1. A Miss Daisy Ltda é um laboratório de manipulação que presta serviços de entrega para idosos. A empresa possui duas filiais e fornece o serviço a seis bairros diferentes. As capacidades das filiais, as demandas dos bairros e os custos unitários de entrega estão evidenciados na tabela a seguir. Com estas informações, responda: a) Quais clientes atender, a partir de cada filial, de maneira a minimizar o seu custo de entrega. Ipanema Filial Centro Filial Barra Demanda

Centro

Barra

Leblon

Tijuca

7,00

Copacaban a 9,00

1,00

12,00

7,00

4,00

Capacidad e 2500

4,00 1400

5,00 1560

12,00 300

1,00 150

3,00 570

8,00 520

2000 4500

2. Três armazéns abastecem cinco pontos de venda. O quadro abaixo mostra os custos de distribuição, a capacidade dos armazéns e as necessidades nos pontos de venda. A companhia responsável pelos. Calcule uma solução pelo Método de Vogel. P1 Armazém 1 Armazém 2 Armazém 3 Necessida de

P2

16 12 8 23

P3

14 4 6 69

12 14 4 76

P4 12 8 14 70

P5 16 8 10 82

Disponibilida de 170 60 90

3. Uma empresa deve programar o roteiro de embarques de seus produtos, os quais são enviados a partir de três fábricas para quatro armazéns localizados em pontos estratégicos do mercado. Levando em conta o tipo de transporte que pode ser utilizado em cada caso, bem como das distâncias entre as fábricas e os armazéns, os custos são diferenciados ara cada combinação fábrica/armazém, como mostrado na matriz abaixo:

1 2 3 DEMANDA

A

B

C

D

8 24 16 160

14 6 20 180

14 16 32 240

2 16 10 320

CAPACIDAD E 200 400 300 900

Determinar a quantia que deve ser enviada de cada fábrica para cada armazém de modo a minimizar o custo do transporte.


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Apostila PESQUISA OPERACIONAL - Alunos

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