Uma fábrica produz um determinado produto e o distribui através de 3 fornecedores para 4 consumidores. A disponibilidade deste produto no fornecedor 1 é de 30, no 2 é de 50 e no 3 é de 40 unidades. A necessidade de cada consumidor é de, respectivamente, 40, 30, 20 e 30 unidades. O custo unitário para transportar este produto de um fornecedor para um consumidor é dado pela seguinte tabela (numa certa unidade monetária). Consumidores Fornecedores
1
2
3
1
10
12
5
4 8
2
25
7
14
30
3
15
20
6
40
Modele matematicamente o problema de modo que a quantidade a ser transportada de um fornecedor para um consumidor tenha um custo de transporte o mínimo possível. A Min Z Min Z = 10x11 + 12x12 + 5x13 + 8x14 + 25x21 + 7x22 +14x23 + 30x24 + +15x31 + 20x32 + 6x33+ 40x34 S.a. x11 + x21 + x31 =30 x12 + x22 + x32 = 50 x13 + x23 + x33 = 40 x14 + x24 + x34 = 40 x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 30 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 20 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 30 xij ≥ 0, i = 1, 2 e 3 e j = 1, 2, 3 e 4. B Max Z Max Z = 10x11 + 12x12 + 5x13 + 18x14 + 25x21 + 7x22 +4x23 + 30x24 + +15x31 + 20x32 + 6x33+ 40x34 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 30 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40 x11 + x21 + x31 =40
x12 + x22 + x32 = 30 x13 + x23 + x33 = 30 x14 + x24 + x34 = 20 xij ≥ 0, i = 1, 2 e 3 e j = 1, 2, 3 e 4. C Min Z Min Z = 10x11 + 12x12 + 5x13 + 18x14 + 25x21 + 7x22 +4x23 + 30x24 + +15x31 + 20x32 + 6x33+ 40x34 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 = 30 x21 + x22 + x23 + x24 = 20 x31 + x32 + x33 + x34 = 40 x11 + x21 + x31 =40 x12 + x22 + x32 = 30 x13 + x23 + x33 = 30 x14 + x24 + x34 = 20 xij ≥ 0, i = 1, 2, 3 e 4 e j = 1, 2, 3 e 4. D Min Z Min Z = 10x11 + 12x12 + 5x13 + 8x14 + 25x21 + 7x22 +14x23 + 30x24 + +15x31 + 20x32 + 6x33+ 40x34 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 30 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40 x11 + x21 + x31 =40 x12 + x22 + x32 = 30 x13 + x23 + x33 = 20 x14 + x24 + x34 = 30 xij ≥ 0, i = 1, 2 e 3 e j = 1, 2, 3 e 4.
E Max Z = 10x11 + 12x12 + 5x13 + 18x14 + 25x21 + 7x22 +4x23 + 30x24 + +15x31 + 20x32 + 6x33+ 40x34 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 = 30 x21 + x22 + x23 + x24 = 50 x31 + x32 + x33 + x34 = 40 x11 + x21 + x31 =40 x12 + x22 + x32 = 30 x13 + x23 + x33 = 30 x14 + x24 + x34 = 20 xij ≥ 0, i = 1, 2, e 3 e j = 1, 2, 3 e 4.
Exercício 2
A LCL bicicletas Ltda. é uma empresa fabricante de bicicletas que possui três fábricas localizadas no Rio, em São Paulo e em Belo Horizonte. A produção da empresa deve ser entregue em Recife, Fortaleza e Manaus. Considerando os custos de transporte unitários, a capacidade de produção das fábricas e a demanda dos centros consumidores ilustradas na tabela a seguir. Modele matematicamente o problema de forma a minimizar os custos de transportes na produção e entrega por fábricas em cada centro consumidor.
Fornecedores
Consumidores Recife (1) Rio (1) 25
Fortaleza (2) 20
Manaus (3) 30
Capacidade 2000
São Paulo (2)
30
25
25
3000
B. Horizonte (3)
20
15
23
1500
Demanda
2000
2000
1000
A Min Z = 25x11 + 20x12 + 30x13 + 30x21 + 25x22 + 25x23 + 20x31 + 15x32 +23x33 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 2000 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 3000 x31 + x32 + x33+ x34 ≤ 1000 x11 + x21 + x31 = 2000 x12 + x22 + x32 = 2000 x13 + x23 + x33 = 1000 xij ≥ 0, i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4. B Min Z = 25x11 + 30x12 + 20x13 + 20x21 + 25x22 + 15x23 + 30x31 + 25x32 +23x33 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 2000 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 2000 x31 + x32 + x33+ x34 ≤ 1000 x11 + x21 + x31 = 2000 x12 + x22 + x32 = 3000 x13 + x23 + x33 = 1000 x14 + x24 + x34 = 1500 x11 , x12 , x13 , x21 ,x22 , x23 , x31 , x32 , x33 ≥ 0 C Min Z = 25x11 + 2x12 + 3x13 + 30x21 + 25x22 + 25x23 + 2x31 + 15x32 +23x33 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 2000 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 3000
x12 x13
x31 + x32 + x33+ x34 ≤ 1000 x11 + x21 + x31 = 2000 + x22 + x32 = 2000 + x23 + x33 = 1000 x11 , x12 , x13 , x21 ,x22 , x23 , x31 , x32 , x33 ≥ 0
D Min Z = 25x11 + 20x12 + 30x13 + 30x21 + 25x22 + 25x23 + 20x31 + 15x32 +23x33 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 2000 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 3000 x31 + x32 + x33+ x34 ≤ 1500 x11 + x21 + x31 = 2000 x12 + x22 + x32 = 2000 x13 + x23 + x33 = 1000 x14 + x24 + x34 = 1500 xij ≥ 0, i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4. E Min Z = 25x11 + 20x12 + 30x13 + 30x21 + 25x22 + 25x23 + 20x31 + 15x32 +23x33 S.a. x11 + x12 + x13 ≥ 2000 x21 + x22 + x23 ≥ 3000 x31 + x32 + x33 ≥ 1500 x11 + x21 + x31 = 2000 x12 + x22 + x32 = 2000 x13 + x23 + x33 = 1000 x14 + x24 + x34 = 1500 xij ≥ 0, i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4.
Exercício 3 Seja a seguinte tabela de dados de um problema de transporte: Consumidores 1 2 Oferta Fornecedores
1 2
6 2
3 8
50 30
3
4
10
40
40
60
Demanda
Formule o problema de modo que o custo de transporte seja o mínimo possível. A Min Z = 6x11 + 3x12 + 0x13 + 2x21 + 8x22 + 0x23 + 4x31 + 10x32 +0x33 S.a. x11 + x12 + x13 ≤ 50 x21 + x22 + x23 ≤ 30 x31 + x32 + x33 ≤ 40 x11 + x21 + x31 = 40 x12 + x22 + x32 = 60 x13 + x23 + x33 = 20 x11 , x12 , x13 , x21 ,x22 , x23 , x31 , x32 , x33 ≥ 0 B Min Z = 6x11 + 3x12 + 2x21 + 8x22 + 4x31 + 10x32 S.a. x11 + x12 + x13 ≤ 50 x21 + x22 + x23 ≤ 30 x31 + x32 + x33 ≤ 40 x11 + x21 + x31 = 40 x12 + x22 + x32 = 60
x11 , x12 , x13 , x21 ,x22 , x23 ≥ 0 C Min Z = 6x11 + 3x12 + 0x13 + 2x21 + 8x22 + 0x23 + 4x31 + 10x32 +0x33 S.a. x11 + x12 + x13 ≤ 50 x21 + x22 + x23 ≤ 30 x31 + x32 + x33 ≤ 40 x11 + x21 + x31 ≥ 40 x12 + x22 + x32 ≥ 60 x13 + x23 + x33 ≥ 10 xij ≥ 0, i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3 D Max Z = 6x11 + 3x12 + 2x21 + 8x22 + 4x31 + 10x32 S.a. x11 + x12 + x13 ≤ 50 x21 + x22 + x23 ≤ 30 x31 + x32 + x33 ≤ 40 x11 + x21 + x31 ≥ 40 x12 + x22 + x32 ≥ 60 x13 + x23 + x33 ≥ 10 xij ≥ 0, i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3. E Max Z = 6x11 + 3x12 + 0x13 + 2x21 + 8x22 + 0x23 + 4x31 + 10x32 +0x33 S.a. x11 + x12 + x13 ≤ 50 x21 + x22 + x23 ≤ 30 x31 + x32 + x33 = 40 x11 + x21 + x31 = 40 x12 + x22 + x32 = 60 xij ≥ 0, i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3.
Exercício 4
Considere 3 fábricas produzindo o mesmo produto e 4 depósitos onde estes produtos são estocados para posterior venda. As produções nas fábricas são: a1 = 40, a2 = 80, a3 = 110. Nos depósitos devem ser atendidas as seguintes demandas: b1 = 20, b2 = 30, b3 = 100, b4 = 80. Os custos unitários de transporte do produto são dados por: D1 D2 D3 D4 O1 10 5 12 4 O2 2 0 1 9 O3 13 11 14 6 Achar um modelo matemático para determinar o programa de entregas do produto com mínimo custo de transporte. A Min Z = 10x11 + 5x12 + 12x13 + 4x14 + 2x21 + 0x22 + 1x23 + 9x24 + 13x31 + + 11x32 + 41x33 + 6x34 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 40 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 80 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 110 x11 + x21 + x31 = 20 x12 + x22 + x32 = 30 x13 + x23 + x33 = 100 x14 + x24 + x34 = 80 xij ≥ 0, i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4.
B Min Z = 10x11 + 5x12 + 12x13 + 4x14 + 2x21 + 0x22 + 1x23 + 9x24 + 13x31 + + 11x32 + 41x33 + 6x34 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 20 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 30 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 100 x11 + x21 + x31 = 40 x12 + x22 + x32 = 80 x13 + x23 + x33 = 110 xij ≥ 0, i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4. C Min Z = 10x11 + 2x12 + 13x13 + 5x14 + 11x22 + 12x23 + 1x24 + 14x31 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 = 40 x21 + x22 + x23 + x24 = 80 x31 + x32 + x33 + x34 = 110 x11 + x21 + x31 = 20 x12 + x22 + x32 = 30 x13 + x23 + x33 = 100 x14 + x24 + x34 = 80 xij ≥ 0, i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4. D Min Z = 10x11 + 5x12 + 12x13 + 4x14 + 2x21 + 0x22 + 1x23 + 9x24 + 13x31 + + 11x32 + 41x33 + 6x34 S.a. x11 + x12 + x13 = 40 x22 + x23 + x24 = 80 x31 + x32 + x33 = 110
x11 + x21 + x31 = 10 x12 + x22 + x32 = 30 x13 + x23 + x33 = 100 x14 + x24 + x34 = 80 x11 , x12 , x13 , x14 , x21 ,x22 , x23 , x24 , x31 , x32 , x33 , x34 ≥ 0 E Min Z = 10x11 + 5x12 + 12x13 + 4x14 + 2x21 + 0x22 + 1x23 + 9x24 + 13x31 + + 11x32 + 41x33 + 9x34 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 40 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 80 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 110 x11 + x21 + x31 = 20 x12 + x22 + x32 = 30 x14 + x24 + x34 = 80 x11 , x12 , x13 , x14 , x21 ,x22 , x23 , x24 , x31 , x32 , x33 , x34 ≥ 0
Exercício 5
Dado o seguinte quadro de custos de um problema de transporte, formule-o matematicamente. Consumidores (1) (2) (3) Fornecedores
(4)
Oferta
(1) (2)
2 10
2 8
2 5
1 4
3 7
(3)
7
6
6
8
5
Demanda
4
3
4
1
A Max Z = 2x11 + 2x12 + 2x13 + x14 + 0x15 + 10x21 + 8x22 + 5x23 + 4x24 + 0x25+ 7x31 +6x32 + 6x33 + 8x34 + 0x35 S.a. x11 + x22 + x13 + x14 + x15 ≤ 3 x21 + x22 + x23 + x24 + x25 ≤ 7 x31 + x22 + x33 + x34 + x35 ≤ 5 x11 + x22 + x31 = 4 x12 + x22 + x32 = 3 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 1 xij ≥ 0, i = 1, ..., 3 e j = 1, ..., 5. B Min Z = 2x11 + 2x12 + 2x13 + x14 + 10x21 + 8x22 + 5x23 + 4x24 + 7x31 +6x32 + 6x33 + 8x34 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 = 3 x21 + x22 + x23 + x24 = 7 x31 + x32 + x33 + x34 = 5 x11 + x21 + x33 = 4 x12 + x22 + x32 = 3 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 1 x15 + x25 + x35 = 3 x11 , x12 , x13 , x14 , x15, x21 ,x22 , x23 , x24 , x25, x31 , x32 , x33 , x34, x35 ≥ 0 C Min Z = 2x11 + 2x12 + 2x13 + x14 + 0x15 + 10x21 + 8x22 + 5x23 + 4x24 + 0x25+
7x31 +6x32 + 6x33 + 8x34 + 0x35 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 + x15 ≤ 3 x21 + x22 + x23 + x24 + x25 ≤ 7 x31 + x32 + x33 + x34 + x35 ≤ 5 x11 + x21 + x31 = 4 x12 + x22 + x32 = 3 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 1 x15 + x25 + x35 = 3 x11 , x12 , x13 , x14 , x15, x21 ,x22 , x23 , x24 , x25, x31 , x32 , x33 , x34, x35 ≥ 0 D Min Z = 2x11 + 2x12 + 2x13 + x14 + 0x15 + 10x21 + 8x22 + 5x23 + 4x24 + 0x25+ 7x31 +6x32 + 6x33 + 8x34 + 0x35 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 3 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 7 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 5 x11 + x21 + x31 = 4 x12 + x22 + x32 = 3 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 1 x15 + x25 + x35 = 0 xij ≥ 0, i = 1, ..., 3 e j = 1, ..., 5. E Max Z = 2x11 + 2x12 + 2x13 + x14 + 0x15 + 10x21 + 8x22 + 5x23 + 4x24 + 0x25+ 7x31 +6x32 + 6x33 + 8x34 + 0x35 S.a. x11 + x12 + x13 + x14 + x15 ≥ 3 x21 + x22 + x23 + x24 + x25 ≥ 7 x31 + x32 + x33 + x34 + x35 ≥ 5
x11 + x21 + x31 = 4 x12 + x22 + x32 = 3 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 1 x15 + x25 + x35 = 3 xij ≥ 0, i = 1, ..., 3 e j = 1, ..., 5
MÓDULO 4 ALGORITMO E TRANSPORTE
EXERCÍCIO 1 O problema de transportes consiste em determinar as quantidades de um determinado produto que deverão ser transportados de m origens para n destinos, dadas as restrições de oferta máxima associadas a cada origem e as restrições de demanda associadas a cada destino. De acordo com a tabela a seguir, determine o custo mínimo p ara o transporte de D1 D2 D3 Oferta produtos, utilizando Método de Vogel.
01 5,00 6,00 02 4,00 7,00 03 6,00 8,00 Demanda 90 110
8,00 9,00 7,00 70
120 80 90
A
1350,00
B
1680,00
C
1600,00
D
1520,00
E
1670,00
Justifique:
Exercício 2 Uma companhia locadora de automóveis se defronta com um problema de alocação resultante dos contratos de locação que permitem sejam os automóveis devolvidos em localidades outras que aquelas onde foram originalmente alugados. No presente momento há duas agências de locação com, respectivamente, 15 e 13 carros excedentes e quatro outras agências necessitando d e 9, 6, 7 e 9 carros, respectivamente. Os custos unitários de transportes, em dólares, entre as locadoras são os seguintes:
Destino 1 Origem 1 45 Origem 2 14
Destino 2 Destino 3 Destino 4 17 21 30 18 19 31
Utilize o método de Vogel para obter a alocação de carros a um custo total mínimo. A
$544
B
$304
C
$462
D
$580
E
$547
Justifique:
Exercício 3 Obtenha o custo total mínimo do seguinte problema através do método de Vogel:
1 2 3 Demanda
A 8 15 3 150
B 5 10 9 70
C Oferta 6 120 12 80 10 80 60
A
2930 u.m
B
2050 u.m
C
1560 u.m
D
1920 u.m
E
2560 u.m
Justifique:
Exercício 4 Use o método de Vogel para resolver o problema a seguir de forma que o custo total seja mínimo.
A B C D Demanda
1 2 2 2 1 25
2 3 5 1 4 15
3 1 1 1 4 10
4 2 1 3 3 10
5 3 4 2 1 40
Disponibilidade 20 30 40 10
A
390 u.m
B
223 u.m
C
280 u.m
D
270 u.m
E
185 u.m
Exercício 5 Determine o menor custo possível do seguinte problema utilizando o método de Vogel.
1 5 1 4 2 Demanda 80
2 3 Origem 3 2 100 2 1 50 30 40
A
630 u.m
B
520 u.m
C
540 u.m
D
820 u.m
E
640 u.m
Justifique:
Exercício 6 Determine pelo método Vogel, a solução ótima para o problema de transporte do quadro:
D1 D2 D3 D4 D5 Disponibilidade O1 16 14 12 12 16 170 O2 12 4 14 8 8 60 O3 8 6 4 14 10 90 Demanda 15 69 36 18 42
A
1446
B
780
C
124
D
241
E
1900
Justifique:
Método de vogel Exercício 1 Uma empresa com 3 centros de produção, A, B e C estão situados em diferentes localidades, com capaci dades de produção, respectivamente, de 100, 120 e 120 unidades de um determinado produto e abastece 5 centros de distribuição, D, E, F, G e H também situados em diferentes locais, que movimentam, respectivamente, 40, 50, 70, 90 e 90 unidades. Determine a solução básica inicial do problema pela regra do canto noroeste para encontrar o plano mais econômico entre os centros d e produção e distribuidores. Os custos unitários são apresentados na tabela a seguir:
A B C
D 4 6 5
E F G H 1 2 6 9 4 3 5 7 2 6 4 8
A
1550 u.m
B
1590 u.m
C
1280 u.m
D
1650 u.m
E
1380 u.m
Exercício 2 Maximizar o problema de transporte a seguir utilizando o método do canto noroeste:
1 2 3 Demanda
A 80 50 70 5
B 70 70 50 4
C D Disponibilidade 60 60 8 80 70 10 80 60 5 6 4
A
1950 u.m
B
1430 u.m
C
1440 u.m
D
1025 u.m
E
1030 u.m
Justifique:
Exercício 3
Determine as quantidades de um determinado produto que deverão ser transportadas de m origens para n destinos por um custo mí nimo utilizando o método do Canto Noroeste. Os custos unitários, as ofertas e as demandas são dadas na tabela a seguir.
D1 D2 D3 Oferta 01 5,00 6,00 8,00 120 02 4,00 7,00 9,00 80 03 6,00 8,00 7,00 90 Demanda 90 110 70 A
1530,00
B
1400,00
C
1680,00
D
1320,00
E
1650,00
Justifique:
Exercício 4 Use o método do canto noroeste para minimizar o problema de transporte a seguir:
Origem 1 2 Demanda
A 45 14 9
Destinos B C 17 21 18 19 6 7
A
685 u.m
B
680 u.m
C
785 u.m
D
455 u.m
E
547 u.m
Justifique:
Exercício 5
D 30 31 9
Capacidade 15 13
Uma empresa distribuidora tem três depósitos que estocam respectivamente 160, 200 e 100 unidades de um produto, e deve abastecer quatro clientes cujos pedidos são de 100,80 120 e 80 unidades, respectivamente. Os custos unitários de transporte dos depósitos para os clientes estão na tabela:
C1 C2 C3 C4 D1 2,1 1,8 1,8 1,8 D2 1,5 2,4 1,8 2,1 D3 2,4 1,5 2,4 1,8 A solução ótima para o problema é:
A
630
B
124
C
100
D
970
E
560
Justifique:
PROBLEMA DE DESIGNAÇÃO
EXERCÍCIO 1 Uma companhia de transportes possui 5 caminhões disponíveis localizados nas cidades A, B, C, D e E. Necessita-se de um caminhão nas cidades 1, 2, 3,4 5 e 6. Qual a designação dos caminhões que minimize a quilometragem percorrida por todos os caminhões, dado a quilometragem entre as cidades abaixo? Origem Destinos 1 2 3 4 5 6 20 15 26 40 32 12 A 15 32 46 26 28 20 B 18 15 2 12 6 14 C 8 24 12 22 22 20 D 12 20 18 10 22 15 E A
55 km
B
85 km
C
50 km
D
90,3 km
E
80,5 km
Justifique:
Exercício 2
1 2 3 4
Resolva o problema de designação a seguir de forma a minimizar o custo total: A B C D 10 23 8 9 4 5 6 7 12 10 10 8 6 4 9 7
A
12,9
B
24
C
15,5
D
20
E
27
Justifique:
Exercício 3
1 2 3 4
Resolva o problema de designação, onde o símbolo X indica a impossibilidade da designação da origem para o destino correspondente: 1 2 3 6 X 8 4 9 3 5 6 4 8 10 12
A
14
B
8
C
16
D
12
E
15
Justifique: Exercício 4
de todas as tarefas seja o menor possível. Resolva o problema sabendo que o tempo que cada operário gasta para desempenhar cada uma das 4 tarefas é dado na tabela a seguir:
A B C D
I 5 10 28 10
II 24 25 9 17
III 13 3 8 15
IV 7 23 5 3
A
18
B
27
C
20
D
48
E
35
Justifique:
Exercício 5 Considerando os dados de custos da tabela a seguir, faça a alocação dos caminhões às rotas de entrega, de modo que o custo total seja o menor possível. Qual o valor do custo total? Rota Caminhões A B C D E 4 5 9 8 7 1 6 4 8 3 5 2 7 3 10 4 6 3 5 2 5 5 8 4 6 5 3 4 9 5
A
18
B
14,5
C
12,5
D
24
E
33
Justifique:
Exercício 6 A tabela a seguir contém informações sobre o custo da execução de três tarefas em quatro máquinas disponíveis. Uma alocação de tarefas que minimize os custos é: M áquinas Tarefas A B C D 12 16 14 10 1 9 8 13 7 2 15 12 9 11 3
A
20,6
B
32
C
14,5
D
27
E
12,6
Justifique:
