UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Apostila1 de Introdução à Pesquisa Operacional
Prof. Dr. Gilberto S. Matos (http://sites.google.com/site/gilbertosmatos1 http://sites.google.com/site/gilbertosmatos1))
Campina Grande - PB - Novembro / 2012 1
Esta apostila vem sendo desenvolvida desenvolvida desde de 2008.1 quando o Prof. Gilberto S. Matos iniciou sua experiência em ministrar esta disciplina, desde então o mesmo está sempre em busca da melhoria deste material material didático. didático.
2
Sumário
1 Aprese Apresent ntaç ação ão
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1.1 1.1 Emen Ementa ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 1.2 Objeti Objetivvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3 Conteú Conteúdo do Progra Programát mático ico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4 1.4 Métod Métodoo de Ensi Ensino no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5 Avaliações e Horários Horários de de Atendi Atendimen mento to . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5.1 1.5.1 Data Data das das Pro Provvas e Conteú Conteúdo do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5.2 1.5.2 Horári Horários os de Atend Atendime iment ntoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6 1.6 Bibl Biblio iogr grafia afia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 Introducao Introducao à P Pesqui esquisa sa Operacio Operacional nal 2.1 Objetiv Objetivos os do Capítul Capítuloo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 9
2.2 Pesqu Pesquisa isa Operac Operacion ional: al: o que é, quando quando e como como surgiu surgiu?? . . . . . . . . .
9
2.2.1 2.2.1 O que que é Pesq Pesquis uisaa Operac Operaciona ional? l? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.2 2.2.2 Quando Quando e como como surgiu surgiu a Pesq Pesquis uisaa Operacio Operacional nal?? . . . . . . . . .
10
2.2.3 2.2.3 Cient Cientist istas. as..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3 Um pouco pouco da Teoria eoria das das Decis Decisões ões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3. 2.3.11 Defin Definiç ição ão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3.2 Caracterí Característica sticass do Processo Processo de Decisão Decisão . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3.3 2.3.3 Classi Classifica ficação ção das Decisõe Decisõess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3.4 Algumas Algumas técnica técnicass segundo segundo o grau de de estrutu estruturação ração da decisão decisão . .
12
2.3.5 2.3.5 Sobre Sobre Decisã Decisãoo Raciona Racionall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4 A Nature Natureza za da Pesq Pesquis uisaa Operaci Operacional onal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.5 Fases de de um Estudo Estudo de Pesquisa Pesquisa Operacional Operacional . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.6 1a. Lista Lista de Exercí Exercício cioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
4
SUMÁRIO
3 Progra Programaç mação ão Linear Linear
19
3.1 3.1 Intr Introdu oduçã çãoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2 Problemas Problemas de Programação Programação Linear Linear (PPL) (PPL) e Modelagem Modelagem Matemáti Matemática ca . .
19
3.2.1 Formulação ormulação Matemátic Matemáticaa do PPL . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.2.2 3.2.2 Exercí Exercício cioss de Fixaçã Fixaçãoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.3 Solução Solução Gráfica Gráfica de um Problema Problema de Programação Programação Linear Linear (PPL (PPL)) . . . .
24
3.3. 3.3.11 Intr Introduç odução ão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.3. 3.3.22 Ex Exem empl ploo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.3.3 3.3.3 Exercí Exercício cioss de Fixaçã Fixaçãoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.3.4 3.3.4 Tipos Tipos de Solução Solução de um PPL PPL Ilust Ilustrad rados os por Resolu Resolução ção Gráfic Gráficaa .
29
3.4 Difere Diferent ntes es Form Formas as de um um PPL PPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.4. 3.4.11 Intr Introduç odução ão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.4.2 Transformação ransformação de PPL’s PPL’s para para a Forma Padrão Padrão . . . . . . . . . .
33
3.4.3 3.4.3 Exercí Exercício cioss de Fixaçã Fixaçãoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.5 Soluçõe Soluçõess Básicas Básicas de um Sistem Sistemaa de Equações Equações Lineare Linearess m × n, m ≤ n e a Resolução de um PPL Utilizando Soluções Básicas . . . . . . . . . . .
35
3.5. 3.5.11 Intr Introduç odução ão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.5.2 3.5.2 Soluçã Soluçãoo Geral Geral e Solução Solução Básica Básica de um Sistema Sistema de Equaç Equações ões Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.5.3 3.5.3 Aplica Aplicação ção dos dos Result Resultados ados:: Um método método de Solu Solução ção de PPL PPL . . .
37
3.6 3.6 O Métod Métodoo Simpl Simplex ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.6.1 3.6.1 Princ Princípi ípios os Básico Básicoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.6.2 3.6.2 Idéia Idéia Resu Resumid midaa sobre sobre o Método Método Simpl Simplex ex . . . . . . . . . . . . .
42
3.6.3 Método Simplex Simplex em Tabelas (T (Tabular abular)) . . . . . . . . . . . . . .
42
3.6. 3.6.44 Ex Exer ercí cíci cioo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.6.5 3.6.5 Soluçã Soluçãoo Inicia Iniciall Artific Artificial ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.6.6 3.6.6 Casos Casos Espec Especiai iaiss do Método Método Simp Simplex lex . . . . . . . . . . . . . . . .
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Capítulo 1 Apresentação Nesta apostila/disciplina não temos a pretensão de apresentar tudo sobre Pesquisa Operacional (P.O.) mas sim de introduzir algumas das principais técnicas de P.O. bem como algumas idéias sobre outras não menos importantes para resolver problemas práticos que podem surgir na vida profissional.
1.1
Ementa
Introdução à P.O.: a tomada de decisão, definição de P.O., fases de um estudo de P.O.. Problemas de Programação Linear (P.P.L.): modelagem e resoluções - Gráfica, pela Solução Básica (algébrica) e Método Simplex. Uso de programas computacionais para a resolução de P.P.L.s: ferramenta Solver do Excel, software TORA, etc. Análise de Sensibilidade: preço dual e custo reduzido. Dualidade e Análise de Pós-otimização. Problemas de Transporte e Designação e noções sobre outras técnicas de P.O.
1.2
Objetivos
• Apresentar a Pesquisa Operacional como uma ciência que tem por objetivo au-
xiliar gerentes e administradores na tomada de decisões; • Estudar Programação Linear (P.L.) por ser uma das técnicas mais utilizadas na
prática; • Apresentar algumas tecnologias computacionais tais como a ferramenta Solver do
Excel, software TORA, etc., para a resolução de P.P.L.s; • Estudar algoritmos para a resolução de Problemas de Transporte e Designação; • Apresentar noções sobre outras técnicas de P.O.
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6
CAPÍTULO 1. APRESENTAÇÃO
1.3
Conteúdo Programático
• Unidade I
Introdução à P.O.: conceitos e definições sobre tomada de decisão, modelagem e P.O.. Fases de um Estudo de P.O.. Modelagem de Problemas de P.L., resolução de PPL gráfica e por solução básica(algébrica). O uso do software TORA. • Unidade II
Resolução de P.P.L.s pelo Método Simplex: Princípios, Simplex Tabular e Método das duas fases. Análise de Sensibilidade: preço dual e custo reduzido. Dualidade e Análise de Pós-otimização. O uso da ferramenta Solver do Excel e do software TORA. • Unidade III
Problemas de Transporte e Designação e, possivelmente, de outra(s) técnica(s) de P.O..
1.4
Método de Ensino
• Exposição de problemas acompanhados de explicações intuitivas e teóricas de
alguma técnica de P.O. com o objetivo de resolver tais problemas; • Proposição de problemas para serem resolvidos pelos próprios alunos objetivando
a entrega de tais soluções no formato de relatório técnico e/ou seminário.
1.5
Avaliações e Horários de Atendimento
• Três (3) provas com direito a uma (1) reposição. Exame final. • Trabalhos no formato de relatórios técnicos e/ou seminários desenvolvidos no
decorrer da disciplina também poderão, mas não necessariamente, serem considerados na composição das notas de cada prova.
1.6. BIBLIOGRAFIA
1.5.1
7
Data das Provas e Conteúdo Tabela 1.1: Data das provas e conteúdos. Data Conteúdo Data Conteúdo 19 Dezembro Unidade I 29 Abril Reposição 13 Março Unidade II 06 Maio Exame Final 22 Abril Unidade III
1.5.2
Horários de Atendimento
Acessar: http://sites.google.com/site/gilbertosmatos1
1.6
Bibliografia
Básica
• Hamdy A. Taha. Pesquisa operacional . 8a. ed.. Pearson Book. • Andrade, Eduardo Leopoldino. 4a. ed. Introdução à Pesquisa Operacional:
métodos e modelos para análise de decisões . gen / LTC. • Lachtermarcher, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões . 4a. ed.
São Paulo: Pearson - Prentice Hall. • Render, Barry M.; Stair, Ralph M.; Hanna, Michael E.. Análise Quantitativa
para Administração com Excel e POM-QM para Windows . 10a. ed.. Bookman. Complementar
• Arenales, Marcos; Armentano, Vinícius Amaral; Morabito, Reinaldo; Yanasse,
Horacio Hideki (2006). Pesquisa Operacional - Modelagem e Algoritmos . • Ermes Medeiros da Silva et. all (1998). Pesquisa Operacional: Programação
linear. Simulação. 3a. ed.. Ed. Atlas. • Yoshida, Luzia Kazuko (1987). Programação Linear . São Paulo: Atual.
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CAPÍTULO 1. APRESENTAÇÃO
Capítulo 2 Introducao à Pesquisa Operacional 2.1
Objetivos do Capítulo
• Definir PO; • Discutir e definir o conceito de decisão; • Discutir sobre o processo de decisão e suas classificações; • Discutir sobre decisão racional; • Discutir a Natureza da PO; • Conhecer as Fases de um Estudo de PO.
2.2 2.2.1
Pesquisa Operacional: o que é, quando e como surgiu? O que é Pesquisa Operacional?
Como o próprio nome sugere, Pesquisa quer dizer Estudo e Operacional quer dizer das Operações/Atividades . Neste contexto, podemos dizer que:
Pesquisa Operacional - é uma ciência que se utiliza de um conjunto de técnicas quantitativas que tem por objetivo estudar as atividades ou operações de uma organização com o intuito de auxiliar os gerentes e administradores na tomada de decisões.
9
10
CAPÍTULO 2. INTRODUCAO À PESQUISA OPERACIONAL
2.2.2
Quando e como surgiu a Pesquisa Operacional?
• A PO apareceu pela a primeira vez durante a Segunda Guerra Mundial, quando
equipes de pesquisadores procuraram desenvolver métodos para resolver determinados problemas de operãções militares. • O sucesso das aplicações dos métodos desenvolvidos levou o mundo acadêmico e
empresarial a procurar utilizar as técnicas em problemas de administração.
2.2.3
Cientistas...
• Em 1947, George Dantzig e outros cientistas do Departamento da Força Aérea
Americana apresentaram um método denominado Simplex para a resolução dos Problemas de Programação Linear (PPL); • Outros cientistas que dedicaram os seus estudos à PO (à Pesquisa do Ótimo)
foram:
– Na antiguidade: ∗ Euclides, Newton, Lagrange, dentre outros; – No século XX: ∗ Leontief, Von Neumann, Kantarovich, dentre outros.
2.3 2.3.1
Um pouco da Teoria das Decisões Definição
Dentre outras definições, uma delas diz: Definição 2.3.1. “Uma decisão é um curso de ação escolhido pela pessoa, como o meio mais efetivo a sua disposição, para obter os objetivos procurados, ou seja, para resolver o problema que a incomoda.”
2.3.2
Características do Processo de Decisão
O Processo de Decisão: 1. É Seqüencial • É consequência de uma série de fatos anteriores que criaram as bases para
se chegar a decisão. • Uma decisão significativa é uma compilação de muitas decisões. Frequentemente requer um longo período de tempo.
2.3. UM POUCO DA TEORIA DAS DECISÕES
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2. É Complexo • Consiste de um inter-relacionamento entre pessoas, responsabilidades pelo
serviço, comunicação e sistemas de informações, códigos de ética e moral e, às vezes, interesses e objetivos diferentes dos participantes. 3. Envolve valores subjetivos • Muitas vezes é desejável que a maior parte de um processo de decisão seja
identificável e claro, podendo ser repetido por outras pessoas ou em outras ocasiões; • No entanto, é impossível que inúmeros fatores intuitivos, provenientes de
experiência pessoal e personalidade não interfiram no processo decisório. 4. Em ambiente institucional • O inter-relacionamento entre pessoas, a forma como se processa o fluxo de
informações, as características da organização e o sistema hierárquico são fatores que afetam fundamentalmente o processo de tomada de decisão.
2.3.3
Classificação das Decisões
Uma classificação geral onde as decisões são vistas à luz do nível em que ocorrem dentro de uma empresa e do grau de complexidade envolvido é dada e exemplificada abaixo: 1. Nível Estratégico • Diz respeito a sua importância e abrangência com relação à organização. • Quanto mais as atividades de uma organização forem afetadas pela decisão,
mais estratégica será. 2. Grau de Estruturação (complexidade) • Uma decisão é tão mais estruturada quanto mais intimamente o processo
puder ser acompanhado ou mesmo repetido por outras pessoas, em outras ocasiões.
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CAPÍTULO 2. INTRODUCAO À PESQUISA OPERACIONAL
Grau de Estruturação alto médio baixo
Administração de estoques Financiamento do capital de giro Escolha de manchete de jornal
Programação da produção Programação orçamentária Contratação de um diretor de planejamento
Localização de uma nova fábrica Diversificação pela aquisição de outra empresa Aprovação de um programa de pesquisa e desenvolvimento
operacional
gerencial
corporativo
Nível Estratégico
2.3.4
Algumas técnicas segundo o grau de estruturação da decisão
Para problemas com: • Alto grau de estruturação
– Programação Linear (PL) ∗ Problemas de distribuição de recursos ∗ Problemas de transporte ∗ Problemas de planejamento da produção ∗ Problemas de corte de materias, etc. – Programação Não Linear (PNL) – Programação Inteira – Teoria das filas ∗ Organização do tráfego aéreo ∗ Construção de barragens, etc. – Teoria dos estoques – Programação dinâmica, etc. • Grau de estruturação médio
– Análise estatística – Simulação – Análise de risco – teoria dos jogos Observação: em todas as situações essas técnicas dependem de uma ferramenta extremamente útil que é: O Computador
2.3. UM POUCO DA TEORIA DAS DECISÕES
2.3.5
13
Sobre Decisão Racional
Definição 2.3.2 (Decisão racional). é aquela que, de forma efetiva e eficiente, garante a realização dos objetivos preestabelecidos, para os quais os meios e recursos foram reservados. Obstáculos a uma decisão racional • Limitações de caráter pessoal - força do hábito, falta de memória e distração,
prejulgamentos e valores pessoais. • Limitações de caráter político - necessidade de compromisso entre diferentes
posições e órgãos da empresa. • O fator tempo - às vezes a urgência de uma solução leva a uma decisão com
conhecimento incompleto dos dados do problema.
Duas dificuldades inerentes ao problema 1. Escolha do problema certo para resolver - o primeiro passo para uma tomada de decisão racional é saber qual problema que requer solução e isto nem sempre é fácil. • É necessário observar sintomas tais como: reclamações, atrasos, prejuízos,
etc. • Deve-se identificar claramente qual é o problema que causa aqueles
efeitos pertubadores. 2. Conhecimento insuficiente • O ideal seria ter o conhecimento completo de todas as alternativas e
consequências possíveis das decisões. • Na prática as decisões são tomadas com base em informações incomple-
tas ou parciais. • Informação tem custo - quanto mais informações forem exigidas mais
tempo e dinheiro serão necessários. • Informação demais pode prejudicar - a análise de muitas informações
exige tempo e habilidades extras. • No caso de pouca ou falta de informações - a experiência pessoal
pode ser fundamental para a tomada de decisão racional.
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CAPÍTULO 2. INTRODUCAO À PESQUISA OPERACIONAL
2.4
A Natureza da Pesquisa Operacional
• Um estudo de Pesquisa Operacional consiste, basicamente, em construir um
modelo de um sistema real como meio de analisar e compreender o comportamento do mesmo. – O sistema pode atualmente existir e neste caso o objetivo é analisá-lo e escolher uma ação para aprimorá-lo. – O sistema pode ainda estar em concepção e neste caso o objetivo é identificar a melhor estrutura do sistema futuro. • A influência de um número muito grande de variáveis sobre o sistema real bem
como a relação entre elas contribuem para a complexidade do sistema.
– Ainda que um sistema real seja complexo, o sistema muitas vezes pode ter o comportamento fundamentalmente influenciado por uma quantidade reduzida de variáveis principais. ∗ A simplificação do sistema real em termos de um modelo passa primeiramente pela identificação dessas variáveis principais.
2.5
Fases de um Estudo de Pesquisa Operacional
Nesta seção procuramos descrever resumidamente sobre as principais fases/etapas necessárias para o desenvolvimento de um estudo ou projeto de Pesquisa Operacional. De modo geral, podemos dizer que as principais fases são: 1. Formulação/Definição do Problema “É muito difícil procurar uma solução “certa” para um problema mal formulado!!!”
A frase acima resume muito bem a grande importância de se definir bem um problema em um estudo de PO. Nesta fase, três (3) aspectos principais devem ser discutidos: • Descrição exata dos objetivos do estudo; • Identificação das alternativas de decisão existentes; • Reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema(realidade).
2. Construção do Modelo Um modelo é uma representação simplificada de uma situação da vida real e reflete a essência do problema formulado. Um modelo matemático nesta fase pode muitas vezes formalizar esta representação simplificada em termos de símbolos e expressões matemáticas. Alguns aspectos fundamentais para a construção do modelo são:
2.5. FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL
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• Simplificar sem perder a essência do problema
A formulação matemática de um problema deve iniciar por um modelo mais simples possível mas de tal forma que as soluções possam ser aplicadas na vida real. • Processo em Espiral A modelagem desenvolve-se em forma de espiral, começando por uma representação simplificada do problema até se chegar, após vários ciclos, a uma representação mais próxima da realidade. • Escolha do modelo certo Por vezes o problema pode ser representado por modelos já desenvolvidos pela Pesquisa Operacional, como, por exemplo: modelos de Programação Linear, modelos de Programação Não-Linear, Programação dinâmica, Problema de transporte, etc. 3. Solução do Modelo Nesta etapa o analista de PO deve conhecer as principais técnicas de solução e algoritmos mais adequados em termos de rapidez de processamento computacional e precisão da resposta. O uso de softwares adequados é de grande importância nesta etapa. 4. Validação do Modelo Nesta fase é necessário avaliar se o modelo; apesar de sua inexatidão em representar o sistema real; ainda é capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema. Um método utilizado para validar um modelo consiste em analisar o seu desempenho com o uso de dados passados do sistema, verificando se o modelo reproduz bem o comportamento que o sistema manifestou. Dependendo das conclusões desta avaliação, os seguintes passos são adotados: • Avaliação satisfatória - procede-se à tomada de decisão e busca-se a im-
plementação da solução no sistema real. • Avaliação não-satisfatória - procede-se à reformulação, remodelação e resolução do novo modelo. É importante destacar que a validação de um modelo aplicado a sistemas inexistentes pode ser feita pela verificação da correspondência entre os resultados obtidos e algum comportamento esperado do novo sistema. 5. Implementação da Solução Uma vez validado o modelo e as soluções obtidas é necessário implementá-las no sistema real e como esta é uma atividade que altera uma situação existente é preciso envolver ativamente a administração e todas as componentes que atuam no sistema em estudo.
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CAPÍTULO 2. INTRODUCAO À PESQUISA OPERACIONAL Nesta fase é necessário a existência de uma equipe que controle, supervisione e esteja apta a reformular algumas partes do modelo mediante às novas situaçõesproblemas do sistema real. Se necessário, modelos mais complexos devem ser considerados. 6. Avaliação Final A avaliação dos resultados obtidos em qualquer etapa do processo é de fundamental importância, pois isto garantirá melhor adequação das decisões às necessidades do sistema e aceitação mais fácil dessas decisões por todos os setores envolvidos.
2.6. 1A. LISTA DE EXERCÍCIOS
2.6
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1a. Lista de Exercícios
1) (Passagens aéreas) Imagine que você tenha um compromisso de trabalho de cinco (5) semanas entre João Pessoa (JP) e Recife (Rec). Você pega um avião em João Pessoa na segunda-feira e volta na quarta-feira. Uma passagem aérea normal de ida e volta custa R$ 400,00, mas há um desconto de 20% se as datas do bilhete abrangerem um final de semana. Uma passagem só de ida em qualquer direção custa 75% do preço normal. Como seria mais conveniente você comprar as passagens para o período de cinco semanas? Obs.: Considere três ou quatro opções/alternativas viáveis e decida pela mais conveniente. 2) Considere a montagem de um retângulo de área máxima com um pedaço de fio de comprimento L centímetros. Qual deveria ser a largura(l) e a altura(a) do retângulo? a) Identifique duas soluções viáveis e determine qual delas é a melhor. b) Determine a solução ótima para este problema. ( Sugestão : use a restrição para expressar a função objetivo em termos de uma só variável e a partir daí utilize o cálculo diferencial.) 3) Certa vez, três amigos inseparáveis, em uma de suas viagens, tiveram que atravessar um rio usando um barco mas o barco só suportava no máximo 150 Kg e dois destes amigos pesavam 75 Kg, já o terceiro pesava 150 Kg . É claro que o barco não podia nem ir e nem voltar sem ninguém dentro e assim o problema é: como os três amigos, nestas condições, podem atravessar o rio de um lado para o outro? 4) Amy, Jim, John, e Kelly estão em pé na margem leste de um rio e querem atravessar para a margem oeste usando uma canoa. A canoa pode levar no máximo duas pessoas por vez. Amy, que tem a constituição mais atlética, pode atravessar o rio a remo em 1 minuto. Jim, John e Kelly levariam 2, 5 e 10 minutos, respectivamente. Se houver duas pessoas na canoa, a mais lenta determinará o tempo da travessia. O objetivo é que os quatro estejam do outro lado do rio no menor tempo possível. a) Identifique no mínimo dois planos viáveis para atravessar o rio (lembre-se de que a canoa é o único meio de transporte, e não pode ir nem voltar vazia). b) Defina o critério para avaliar as alternativas. c) Qual é o menor tempo para transportar os quatro para o outro lado do rio? (Obs.: a solução deste problema é dada no Apêndice C do livro de P.O. do Taha)
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CAPÍTULO 2. INTRODUCAO À PESQUISA OPERACIONAL
Capítulo 3 Programação Linear 3.1
Introdução
A programação linear pertence a uma classe de problemas chamada de otimização que visa maximizar ou minimizar (otimizar) uma função de várias variáveis sujeita a certas restrições. A principal característica da programação linear consiste do fato de que tanto a função (função objetivo) a ser maximizada (ou minimizada) como também as restrições podem ser representadas por expressões lineares e devido a esta linearidade, métodos numéricos simples e eficientes podem ser utilizados para resolver tais problemas. Veremos, agora, um exemplo simples de problema que pode ser formulado/modelado como de programação linear.
3.2
Problemas de Programação Linear (PPL) e Modelagem Matemática
Exemplo 3.2.1 (Fábrica 1). Uma pequena indústria produz artigos A1 e A2 que são vendidos a 200 u.m. (unidades monetárias) e 300 u.m., respectivamente. Na sua produção são utilizados 3 tipos de matérias-primas, P 1 , P 2 e P 3 , que são gastas da seguinte forma: 2 unidades de P 1 para fabricar 1 unidade de A1 , 4 unidades de P 2 para fabricar 1 unidade de A1 , 1 unidade de P 1 para fabricar 1 unidade de A2 , 1 unidade de P 3 para fabricar 1 unidade de A2 , Por razões econômicas, as matérias-primas P 1 , P 2 e P 3 estão disponíveis no máximo em 20, 32 e 10 unidades, respectivamente.
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20
CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR
O dono da empresa deseja saber as quantidades dos produtos A1 e A2 que devem ser produzidas para que a receita bruta seja a maior possível.
3.2.1
Formulação Matemática do PPL
Para resolver o problema da Fábrica 1 vamos formular o problema como um problema de programação linear. Para isto, é necessário realizarmos algumas suposições, definirmos algumas variáveis ditas de decisão e representar as informações do problema em termos de expressões matemáticas. Vejamos: Suposições para a modelagem matemática :
(a) Supor que a quantidade do produto a ser vendida é igual a quantidade do produto a ser fabricada, isto é, não há estoque; (b) Supor que a receita bruta é proporcional Ãă quantidade vendida; (c) Supor que as matérias-primas gastas são proporcionais às quantidades produzidas, ou seja, não há desperdício de matéria-prima; (d) Admitir que quantidades negativas dos produtos A1 e A2 não terão significado algum. Definição de variáveis de decisão :
Agora, observe que podemos considerar as seguintes variáveis ditas de decisão: x1 : quantidade a ser produzida dos produtos A1 , e x2 : quantidade a ser produzida dos produtos A2 Definição da Função Objetivo (F.O.):
Após interpretar as hipóteses (a) e (b), verificamos que podemos exprimir a receita bruta como função das variáveis x1 e x2, da seguinte forma: f (x1, x2 ) = 200x1 + 300x2 ,
Esta função é denominada Função Objetivo (F.O.) e deverá ser maximizada com relação às variáveis x1 e x2 de modo que a receita bruta será a maior possível, conforme o dono da fábrica deseja. Definir e escrever as restrições do problema em termos de inequações lineares :
Observe que existe limite na disponibilidade das matérias-primas e isto requer que restrições sejam consideradas no problema que estamos modelando. Portanto, admitindo a hipótese (c), para cada matéria-prima temos uma restrição que pode ser expressa da seguinte forma:
3.2. PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR (PPL) E MODELAGEM MATEMÁTICA21 - para a matéria-prima P 1 : - para a matéria-prima P 2 : - para a matéria-prima P 3 :
2x1 + x2 ≤ 20 4x1 ≤ 32 x2 ≤ 10.
Resumindo o Problema formulado :
Assim, é possível escrever, de forma sucinta, o problema do seguinte modo: "Encontre, se existir, o par (x1 , x2 ), tal que a função f (x1 , x2 ) = 200x1 + 300x2 , sujeita às restrições ∗
2x1 4x1
∗
+
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
x2 ≤ 20 ≤ 32 x2 ≤ 10
(hipótese d),
assuma o maior valor possível." O Problema de Programação Linear (PPL) na Forma Matemática Geral :
Finalmente, o problema formulado pode ser escrito da seguinte forma matemática geral: Maximizar 200x1 + 300x2 , Sujeito aă 2x1 + x2 ≤ 20 4x1 x2 x1 ≥ 0,
3.2.2
≤ 32 ≤ 10
x2 ≥ 0.
Exercícios de Fixação
Desenvolva e apresente os modelos de programação linear correspondentes aos seguintes problemas: 1. (Marcenaria) Este exemplo nos ajudará a compreender os princípios básicos do Método Simplex e foi extraído do livro: Andrade, Eduardo Leopoldino, 1990.
Formulação do problema: O gerente de uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Nesta marcenaria apenas dois produtos são fabricados: mesa e armário, ambos de um só modelo. Por simplicidade consideramos que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na seguinte tabela:
22
CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR Tabela 3.1: Disponibilidades diária de recursos. Recurso Disponibilidade Madeira 12 m2 Mão-de-obra (horas/Unid.) 8 H.h. (Horas homem) O processo de produção é tal que: • Para fazer 1 mesa, gasta-se:
– 2 m2 de madeira – 2 H.h. de mão-de-obra • Para fazer 1 armário, gasta-se:
– 3 m2 de madeira – 1 H.h. de mão-de-obra Sabe-se, ainda, que: • O lucro de cada mesa é de 4 u.m. (unidades monetárias) • O lucro de cada armário é de 1 u.m. (unidade monetária)
O problema do fabricante é: encontrar o programa de produção que maximiza o lucro total. Este problema é extremamente simples e por isso é possível resolvêlo usando apenas algumas considerações qualitativas, o que possibilita compreender os fundamentos do método Simplex que veremos posteriormente.
2. (Agricultura 1) Um agricultor precisa adubar a sua plantação e dispõe de dois tipos de adubo. O primeiro tipo contém 3 g de fósforo, 1 g de nitrogênio e 8 g de potássio, e custa 10 u.m. (unidades monetárias) por quilograma. O segundo contém 2 g de fósforo, 3 g de nitrogênio e 2 g de potássio, e custa 8 u.m. por quilograma. O agricultor sabe que um quilograma de adubo dá para 10 m2 de terra, e que o solo em que estão suas plantações necessita de pelo menos 3 g de fósforo, 1,5 g de nitrogênio e 4 g de potássio a cada 10 m2 . Nestas condições, quanto o agricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10 m2 , de modo a conseguir ter o mínimo custo?
3.2. PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR (PPL) E MODELAGEM MATEMÁTICA23 3. (Marketing 1) O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P 1 e P 2. As alternativas são: a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento mínimo de R$ 3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada R$ 1.000,00 investidos. b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada R$ 1.000,00 investidos em P 1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P 2 o retorno é de 10%. A empresa dispõe de R$ 10.000,00 para esse empreendimento. Quanto deverá destinar a cada atividade?
24
CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR
3.3
Solução Gráfica de um Problema de Programação Linear (PPL)
Observação: Trazer régua, lápis e borracha para as aulas de solução gráfica, e, se possível, notebook para o uso do software TORA disponibilizado no site do livro de PO do autor Taha.
3.3.1
Introdução
Até o momento, apenas formulamos alguns problemas como sendo de programação linear. Na verdade, o que fizemos foi transpor uma realidade existente em determinado ambiente (e.g. indústria e terras agrículas) para um modelo matemático que procura representá-lo da melhor forma possível. Este procedimento pode ser considerado como o primeiro passo para a resolução de problemas de otimização. O próximo passo consiste em buscar a melhor solução para o problema em questão. Nesta seção, veremos como obter soluções, caso existam, através de gráficos. Em particular, veremos como obter soluções gráficas para problemas de P.L. que envolvem apenas 2 variáveis; pois, a solução gráfica para problemas que envolvem 3 variáveis, em geral, não é fácil e para 4 ou mais variáveis, a resolução de um P.P.L só é possível algebricamente. Para ilustrar o método gráfico de solução de um P.P.L. continuaremos com a resolução dos problemas de programação linear já formulados na seção anterior.
3.3.2
Exemplo
Exemplo 3.3.1 ( Cont. Fábrica 1). Para o problema da Fábrica 1, o seguinte P.P.L foi considerado: Maximizar 200x1 + 300x2 , Sujeito àă 2x1 + x2 ≤ 20 4x1 x2 x1 ≥ 0,
≤ 32 ≤ 10
x2 ≥ 0.
Então, a solução gráfica consiste em desenvolver os seguintes passos: ) Determinar o conjunto de pontos (x1 , x2 ) ∈ 2 que satisfazem as restrições do problema de programação linear. Para isso, deve-se determinar os pontos do plano que satisfazem cada uma das inequações das restrições, tais como: 0 1
(a) pontos que satisfazem a primeira inequação: (Esboçar a região do plano que satisfaz a primeira inequação)
.
3.3. SOLUÇÃO GRÁFICA DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR (PPL)25 (b) pontos que satisfazem a segunda inequação:
.
(Esboçar a região do plano que satisfaz a segunda inequação)
(c) pontos que satisfazem a terceira inequação:
.
(Esboçar a região do plano que satisfaz a terceira inequação)
(d) pontos que satisfazem a condição de não-negatividade:
.
(Esboçar a região do plano que satisfaz a condição de não-negatividade)
Antes de prosseguirmos à busca gráfica de uma solução ótima para o PPL, o conhecimento da seguinte definição é de fundamental importância.
Definição 3.3.1 (Região Viável). É o conjunto de pontos que satisfaz todas as restrições. Esta região também é conhecida por conjunto de soluções (ou pontos) viáveis.
Portanto, a região viável, ou seja, os pontos que satisfazem todas as restrições estarão na intersecção das regiões encontradas em (a), (b), (c) e (d). (Esboçar a região do plano que satisfaz todas as restrições)
26
CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR
Vejamos, agora, o próximo passo para a obtenção da solução ótima do P.P.L. através do método gráfico. ) Após identitificar no plano (gráfico) o conjunto de soluções viáveis, o problema se torna o seguinte: 0 2
“Determinar, se existir, um ponto (x1 , x2 ) pertencente ao conjunto de pontos viáveis, de tal forma que a função f (x1, x2) = 200x1 +300x2 assuma o maior valor possível.” ∗
∗
Uma das maneiras de obter a solução ótima, isto é, o ponto (x1 , x2 ) da região viável que maximiza a função f (x1 , x2 ) = 200x1 + 300x2 , consiste em atribuir alguns valores para a função, obtendo, assim, o que se chama de Curvas de Nível. Para este problema, em particular, alguns exemplos de curvas de nível são: ∗
∗
200x1 + 300x2 = 1200 200x1 + 300x2 = 2400 200x1 + 300x2 = 3600
E as curvas de nível representadas no sistema de eixo cartesiano serão da forma: (Esboçar as curvas de nível no sistema de eixo cartesiano)
Observe que: • As curvas de nível são todas retas paralelas e • A função objetivo assume valor cada vez maior num determinado sentido.
É possível provar que as curvas de nível são perpendiculares ao vetor gradiente da função; ou seja; as curvas de nível da função f (x1 , x2 ) = 200x1 +300x2 são
3.3. SOLUÇÃO GRÁFICA DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR (PPL)27 perpendiculares ao vetor
∂f (x1 , x2 ) ∂f (x1 , x2 ) , = (200, 300). ∂x 1 ∂x 2
Além disso, o vetor gradiente nos fornece o sentido de crescimento da função. (Esboçar, no gráfico anterior, o vetor gradiente perpendicular às curvas de nível, indicando o sentido de crescimento da função objetivo f (x1, x2) = 200x1 + 300x2 )
Finalmente, diante destas informações, poderemos determinar uma solução ótima para o problema, se existir. Para isto, observe o seguinte gráfico: (Esboçar a região viável juntamente com o vetor gradiente e várias curvas de nível no sentido de crescimento (máximo) da função objetivo cujo(s) ponto(s) ainda pertença(m) à região viável)
A partir deste gráfico, pode-se observar que a curva de nível de maior valor dentro da região viável é a reta que passa pelo ponto de coordenadas (x1 , x2 ) = (5, 10). Portanto, o ponto (x1 , x2 ) = (5, 10) é a solução do problema e o maior valor que a função pode assumir é f (x1 , x2 ) = 200x1 + 300x2 = 200.5 + 300.10 = 4000. ∗
∗
∗
∗
∗
∗
Dizemos que (x1 , x2 ) = (5, 10) é uma solução ótima, e o valor da função f (x1 , x2 ) = 4000 o valor ótimo do problema. ∗
∗
∗
∗
Para finalizar, devemos descrever a solução do problema da seguinte forma: Sendo x1 e x2 a quantidade do produto A1 e A2 a ser produzida, respectivamente; o dono da empresa deve produzir 5 unidades do produto A1 e 10 unidades do produto A2 e a receita bruta máxima é de 4000 u.m.
28
3.3.3
CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR
Exercícios de Fixação
Resolva; se possível; pelo método da solução gráfica os PPLs modelados na Seção anterior. Resolva-os manualmente e usando o software TORA.
3.3. SOLUÇÃO GRÁFICA DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR (PPL)29
3.3.4
Tipos de Solução de um PPL Ilustrados por Resolução Gráfica
Na seção anterior, foi ilustrado alguns problemas de PPL cujas soluções ótimas puderam ser obtidas a partir de análises gráficas. Nestes exemplos, foi possível verificar a existência de uma única solução ótima. Acontece que nem sempre isso ocorre, ou seja, existem problemas em que existem infinitas soluções ótimas ou até mesmo problemas em que a solução ótima seja impossível ou inviável de ser obtida. Existem, ainda, problemas cujo valor da função pode crescer (ou decrescer) indefinidamente dentro da região viável, e, nestes casos, dizemos que os problemas são ilimitados. Para uma melhor compreensão deste assunto, obtenha a solução dos seguintes problemas de programação linear através do método gráfico e classifique os problemas segundo o tipo de solução obtido.
1 - Desenvolva, apresente e interprete a solução gráfica para os seguintes problemas de programação linear: a) max sujeito a
2h1 h1 2h1 2h1
+ + +
3h2 h2 ≤ 50 3h2 ≥ 70 ≥ 20 3h2 ≥ 30
h1 ≥ 0, h2 ≥ 0.
b) min sujeito a
30x1 + 20x2 4x1 + x2 ≥ 20 x1 + 2x2 ≥ 10 ≥ 2 x1 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
max sujeito a
x1 + 2x2 4x1 + x2 ≥ 20 x1 + 2x2 ≥ 10 x1 ≥ 2 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
min sujeito a
x1 + x2 −2x1 + x2 ≥ 2 x1 2x2 ≥ 2 − x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
c)
d)
30
CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR e) max sujeito a
x1 + x2 + x2 ≤ 2 −2x1 − x1 2x2 ≤ 2 x1 + x2 ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
max sujeito a
x2 x2 ≤ 1 x2 ≤ 2
f) −x1
+
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
3.4. DIFERENTES FORMAS DE UM PPL
3.4
31
Diferentes Formas de um PPL
3.4.1
Introdução
Qualquer problema de programação linear pode ser escrito na forma que chamaremos geral, mas, por conveniência, qualquer PPL também pode ser escrito sob outras formas e representações. A principal forma de um PPL que estudaremos é a padrão e as possíveis representações de um PPL são: cartesiana, matricial e vetorial . Vejamos, agora, algumas definições e observações sobre este assunto.
Definição 3.4.1 (Forma Padrão). Dizemos que um problema de programação linear está na forma padrão quando encontra-se na seguinte forma:
Observações : a. As restrições de um PPL na forma padrão são todas escritas na forma de igualdades lineares (equações lineares). b. Qualquer PPL pode ser escrito na forma padrão. c. O PPL na forma padrão acima encontra-se representado por uma notação cartesiana. Agora, de forma equivalente, o PPL pode ser representado por uma notação matricial, dada por: Notação matricial de um PPL na forma
padrão
Em que:
32
CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR cT =
x=
A =
d. Um PPL na forma padrão também pode ser representado por uma notação vetorial, dada por:
Em que a j =
Exemplo: Dado o seguinte PPL na forma padrão e representação cartesiana, represente-o na forma matricial e vetorial: Maximizar 5x1 Sujeito Ãă x1 2x1 3x1 x1 ≥ 0,
− + + +
3x2 2x2 x2 3x2 x2 ≥ 0,
− − + +
4x3 , x3 = 10 3x3 = 15 2x3 = 12 x3 ≥ 0.
Definição 3.4.2 (Solução Viável e Região Viável). Uma solução x = (x1 , . . . , xn )T é dita viável se satisfaz todas as restrições (2) e as condições de não-negatividade (3) do PPL na forma padrão. O conjunto de todas as soluções viáveis é chamado região viável .
Definição 3.4.3 (Solução Ótima). Uma solução viável que fornece o maior valor à função objetivo f é chamada solução ótima, denotada por x = (x1 , . . . , xn )T . ∗
∗
∗
3.4. DIFERENTES FORMAS DE UM PPL
33
Observação 1. Uma solução é ótima se: f (x1, . . . , xn) ≥ f (x1 , . . . , xn), para qualquer solução viável x = (x1 , . . . , xn)T . ∗
∗
3.4.2
Transformação de PPL’s para a Forma Padrão
Foi dito anteriormente que qualquer PPL pode ser transformado para a forma padrão. Para isto é importante saber que: 1. Minimizar f (x) = f (x1 , . . . , xn ) é equivalente à maximizar −f (x) = −f (x1 , . . . , xn ) (Prove!).
2. A i−ésima restrição da forma: pode ser transformada na seguinte igualdade: em que xF = é conhecida por variável de folga. i
3. A i−ésima restrição da forma: pode ser transformada na seguinte igualdade: em que xF ≥ 0. Neste caso xF também é denominada variável de folga ou de forma mais adequada variável de excesso. i
i
4. Variáveis negativas Se na modelagem de um problema a variável x i deve assumir um valor negativo, esta variável pode ser substituída por uma não-negativa da seguinte forma: Substituir no modelo matemático a variável xi ≤ 0
pela variável
xi = −xi ≥ 0
5. Variáveis livres de sinal Se xi é irrestrita de sinal, ou seja, pode ser positiva, negativa ou nula, a variável é dita livre e a mesma pode ser substituída por duas outras não-negativas. Para isto note que qualquer número xi pode ser escrito como:
34
3.4.3
CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR
Exercícios de Fixação
1 - Obtenha a forma padrão dos seguintes problemas de programação linear: a)
max sujeito a
5x1 + 3x2 2x1 + x2 ≤ 8 x1 2x2 ≥ 3 − x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
max sujeito a
5x1 + 3x2 2x1 + x2 = 8 x1 2x2 ≥ 3 − x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
max sujeito a
5x1 + 3x2 2x1 + x2 ≤ 8 − x1 2x2 ≤ 3 x1 ≥ 0, x2 ≤ 0.
b)
c)
d)
max sujeito a
5x1 + 3x2 2x1 + x2 ≤ 8 x1 2x2 ≤ 3 − x1 ≥ 0, x2 livre de sinal
e) min sujeito a
5x1 + 3x2 2x1 + x2 2x2 − x1 − 3x1 x2 x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3 livre de sinal.
− x3 + 3x3 ≤ 15 + x3 ≥ 10 + 2x3 = 8
3.5. SOLUÇÕES BÁSICAS DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES M ×N, M ≤ N E A RES
3.5
Soluções Básicas de um Sistema de Equações Lineares m × n, m ≤ n e a Resolução de um PPL Utilizando Soluções Básicas
3.5.1
Introdução
Já vimos que as restrições de um PPL na forma padrão formam um sistema de equações lineares. Veremos, agora, um método para determinar algumas soluções de um sistema linear retangular (cujo número de equações é menor ou igual ao número de incógnitas, m × n, m ≤ n). Para iniciar, vejamos algumas definições importantes.
Definição 3.5.1 (Matriz Base ou Básica). Dado um sistema de equações lineares m × n, m ≤ n, Ax = b, A ∈ m n, x ∈ n , b ∈ m , dizemos que uma submatriz B m × m da matriz A , com det(B) = 0 (determinante não-nulo e, portanto, B invertível) é uma matriz base ou básica . ×
Definição 3.5.2 (Partição Básica). A partição básica é uma reorganização (partição) nas colunas da matriz de coeficientes A de um sistema de equações lineares Ax = b descrita da seguinte forma: A = [ B
| N ].
Onde:
• B - é uma matriz m × m básica ( m colunas de A invertível). • N - é a matriz não-básica m × (n − m) formada pelas n − m colunas de A que não estão na matriz básica B .
Observação 2. Para cada partição básica tem-se associada uma partição no vetor x, dada por:
x=
em que:
xB xN
,
• xB - é o vetor de variáveis (básicas) diretamente associadas às colunas da matriz básica B .
• xN - é o vetor de variáveis (não-básicas) diretamente associadas às colunas da matriz não-básica N .
Exemplo 3.5.1. A partir do sistema de equações lineares abaixo, obtenha todas as partições básicas possíveis, identificando as variáveis básicas e não básicas:
Solução :
x1 + x2 + x3 = 4 x2 + + x4 = 2
36
CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR
3.5.2
Solução Geral e Solução Básica de um Sistema de Equações Lineares
Quando uma partição básica A = [ B | N ] é considerada, o sistema Ax = b pode ser reescrito de forma equivalente como:
Bx B + N xN = b ,
pois Ax = b
⇐⇒
A = [ B
xB = b xN
| N ]
⇐⇒ Bx B + N xN = b .
Segue, portanto, que a solução dada por: xB = B
1
−
b − B 1 N xN
−
(3.1)
é denominada solução geral de um sistema de equações lineares.
Observação 3. Para obter uma solução geral basta atribuir valores quaisquer às n − m variáveis não-básicas pertencentes ao vetor xN , obtendo-se assim, de forma única, os m valores das variáveis básicas pertencente ao vetor xB .
Definição 3.5.3 (Solução Básica). Uma solução x =
xB xN
é chamada solução
básica quando as n − m variáveis não-básicas do vetor xN da solução geral são todas iguais a zero. Desta forma, a solução básica assume a forma: xB = xN
x=
B 1b 0 −
.
Definição 3.5.4 (Solução Básica Viável). Dizemos que uma solução básica é viável quando xB ≥ 0. Neste caso, temos que:
x=
xB = xN
B 1b 0 −
≥ 0.
Propriedade 1 (2.1, pág. 73 de Arenales et al, 2006). Considere uma região viável descrita como S = {x ∈ tal que Ax = b, x ≥ 0}. Um ponto x ∈ S é um vértice de S se e somente se x for uma solução básica viável . Consequência: Uma região viável S tem um número finito de vértices pois há um número finito de partições básicas, limitado por: n m
=
n! , m!(n − m)!
em que n é o número de variáveis e m é a quantidade de equações.
3.5. SOLUÇÕES BÁSICAS DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES M ×N, M ≤ N E A RES
Propriedade 2 (ver Arenales et al, 2006) . Se um problema de programação linear tem solução ótima , então existe um vértice ótimo. Observação 4. Provas das propriedades 1 e 2 podem ser encontradas, por exemplo, em Bregalda et al. (1988).
3.5.3
Aplicação dos Resultados: Um método de Solução de PPL
A partir dos resultados das sub-seções anteriores tornou-se possível obter um método de solução de PPLs que não necessariamente possuem apenas duas (2) variáveis de decisão mas sim duas (2) ou mais, como está descrito a seguir:
Consequência ( Um método de Solução de PPL): Se existe uma solução ótima para um PPL, basta que se procure o ótimo entre todas as soluções básicas viáveis (vértices da região viável). Exemplo 3.5.2. Dado o seguinte PPL: max sujeito a
x1 x1
+ +
2x2 x2 ≤ 4 x2 ≤ 2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
a) Obtenha a forma padrão deste PPL. b) Determine quantas soluções básicas existem e obtenha-as. c) Dentre as soluções básicas, obtenha as básicas viáveis e a solução ótima. d) Desenvolva a solução gráfica do PPL e identifique graficamentes as soluções básicas, básicas viáveis e ótima obtidas no item anterior. e) Qualquer solução básica é um vértice da região viável? Explique. Resp.: Solução ótima: (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2, 2, 0, 0). Valor ótimo = 6. ( x3 , x4 são variáveis de folga).
Solução :
38
CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR
3.6
O Método Simplex
3.6.1
Princípios Básicos
O método Simplex é uma ferramenta utilizada normalmente para a resolução de problemas de alocação de recursos e pertence a um capítulo da Pesquisa Operacional chamado de Programação Linear. A partir deste momento, apresentamos a conceituação básica do método Simplex através de um exemplo. Para isto devemos lembrar que o problema da marcenaria pode ser modelado segundo um problema de programação linear expresso da seguinte forma: Maximizar Lucro ≡ L = 4x1 + x2 , Sujeito àă 2x1 + 3x2 ≤ 12 2x1 x1 ≥ 0,
+ x2 ≥ 0.
x2 ≤ 8
Neste momento, resolveremos o PPL acima através de um raciocínio lógico que se baseia nos princípios básicos do método simplex. Para isto resolveremos o PPL respondendo à algumas questões, vejamos. Solução do modelo : Questão 1 : Observando o conjunto de restrições do PPL da marcenaria (e a região viável, caso exista), quantas combinações de valores de x1 e x2 satisfazem tais
restrições? Resposta :
Exemplos de soluções que satisfazem as restrições:
Note que muitas outras combinações podem ser testadas e muitas destas também satisfazem as restrições do PPL. Questão 2 : Qual das combinações x 1 e x 2 que além de satisfazer as restrições do
PPL, levam a um maior lucro? Resposta : para responder a esta questão desenvolveremos os seguintes passos:
Passo: Admita como solução inicial a mais pessimista, ou seja, não produzir móvel algum na marcenaria. Neste caso, temos que: 0
1
3.6. O MÉTODO SIMPLEX 0
2
39
Passo: (1 Critério) 0
• Analisando a função objetivo L = 4x1 + x 2 qual sua sugestão com relação a
um primeiro produto a ser produzido? Você começaria a produzir uma certa quantidade x1 de mesas ou uma certa quantidade x2 de armários? Por que?
• Note que visando um maior lucro possível é razoável produzir uma quantidade de
mesas maior possível mas para isto é necessário observar que há uma quantidade limitada de recursos (madeira e mão-de-obra). Deste modo, se não produzimos armários, os seja, se x2 = 0, temos que as restrições dos rescursos disponíveis ficam dadas por:
Deste modo:
– Se considerarmos só o recurso madeira, devemos produzir: – Se considerarmos só o recurso mão-de-obra, devemos produzir: – Mas para produzir as mesas percebemos que é necessário considerar os dois recurso simultaneamente de modo que só podemos produzir: Segue assim que nossa segunda solução para o problema é dada por:
Note que esta solução é viável pois de acordo com a solução desenvolvida todas as restrições do problema são respeitadas. Veja:
Recapitulando :
1. Partimos de uma solução viável: para outra que resultou em um lucro maior: Mas para isto os seguintes critérios foram utilizados:
40
CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR (a) Escolheu-se uma variável de decisão para tornar-se positiva tomando como base aquela que possuía o maior coeficiente na função objetivo Lucro = L . (b) Uma vez escolhida a variável de decisão (produto), a produção foi estabelecida no maior valor possível, ou seja, à variável de decisão escolhida deu-se o maior valor positivo sem que a restrições de recursos disponíveis fossem violadas. Neste momento é natural formularmos as seguintes questões: • A solução encontrada é a melhor de todas? • Que critérios lógicos podemos utilizar para responder a esta questão? Resposta : para responder se a solução encontrada é a melhor de todas pode-
mos nos utilizar de critérios lógicos análogos ao alterações.
0
1
Critério, porém com pequenas
Passo: De acordo com a solução atual devemos produzir x 1 = 4 mesas e nenhum armário x2 = 0. 0
3
Questões :
1. Existe alguma vantagem em também produzir armários para que o lucro seja ainda maior? Por exemplo, há vantagem em se produzir uma unidade de armário (passar x1 = 0 para x1 = 1)? 2. Ainda existe recursos disponíveis para se produzir armários? Quais? Precisamos perceber que havendo vantagem em se produzir armários, será necessário reduzir a produção de mesas pois mesmo havendo madeira disponível para a produção dos móveis, o recurso mão-de-obra é excasso; segundo a programação (solução) de produção atual (x1 = 4 mesas e nenhum armário x2 = 0). Consequências ao Produzir Armários
Como consequência para produzir armários, duas alterações devem ser feitas no programa de produção: 1. O número inicialmente encontrado para a produção de mesas deve diminuir e isso diminui o lucro total.
3.6. O MÉTODO SIMPLEX
41
2. A produção de armários, inicialmente nula, pode então tornar-se positiva, provocando assim um aumento do lucro total. o1
0
Com base nestas duas alterações simultâneas no lucro; uma redução e um aumento; Critério pode ser adaptado como:
• A variável x 2 (produção de armários) deverá se tornar positiva se o resultado no
lucro for positivo. Ou seja, se:
O Aumento no lucro L provocado pelo aumento de x2 denotado por Ax2 for maior que A Redução no lucro L provocado pela diminuição de x1 denotada por Rx1
De modo equivalente, devemos dizer que a variável x2 (produção de armários) deverá se tornar positiva se a contribuição líquida para o lucro dada por x2 for positiva, ou seja, se: Contribuição líquida dada por x2 = Ax 2 − Rx1 > 0. 0
2
Critério (Adaptação do 10 )
• Ao invés de se fazer positiva a variável que tem o maior coeficiente positivo na
função objetivo, faz-se positiva se sua contribuição líquida for positiva. Após calcular a contribuição líquida para o lucro total dada pela variável x2 quando a mesma passa de x2 = 0 para x2 = 1 (e consequêntemente x1 = 4 para x1 = 3.5) é possível verificar que a mesma é negativa em uma unidade, ou seja, que: Contribuição líquida dada por x2 = 4.(redução em x 1 quando x2 = 1) + 1.(variação em x2 ) = 4.(−0.5) + 1.(1) = −1.
Sendo assim, podemos concluir que não há vantagem em se produzir armários e a solução ótima para o problema da marcenaria recomenda que sejam produzidas:
o que resulta num lucro máximo L = f (x1 , x2 ) = 4x1 + x2 = ∗
∗
∗
∗
.
42
CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR
3.6.2
Idéia Resumida sobre o Método Simplex
O método simplex consiste de um procedimento matemático e computacional sistemático e eficiente para a resolução de problemas de programação linear (PPL). O processo de solução de um PPL por este método basea-se na resolução de sistemas de equações lineares considerando as seguintes idéias/questões: 1) Qual o sistema que deve ser resolvido? 2) Qual o próximo sistema a ser resolvido fornecerá uma solução melhor que a anterior? 3) Como identificar uma solução ótima, uma vez que a tenhamos encontrado?
3.6.3
Método Simplex em Tabelas (Tabular)
As operações do método simplex podem ser organizadas em tabelas chamadas tabelas simplex . Embora o método simplex tabular não seja a forma ideal de se implementar em um computador, essa organização é interessante para manipular problemas pequenos e rapidamente compreender como o método funciona. De modo geral, o método simplex pode ser resumido através dos seguintes passos: Passo 1 : Para cada desigualdade, introduzir as variáveis de folga (obter a forma padrão
do PPL). Passo 2 : Montar um quadro para os cálculos:
– Colocar na 1a. linha os valores simétricos dos coeficientes da função objetivo, e – Colocar os coeficientes das variáveis (com os respectivos sinais) associados às restrições do problema. Passo 3 : Estabelecer uma solução básica inicial:
– Usualmente atribui-se valor zero às variáveis originais e acha-se valores positivos para as variáveis de folga. Passo 4 : Escolher a próxima variável a entrar na base:
– Escolhe-se a variável não-básica que fornece a maior contribuição líquida para o aumento da função-objetivo (a que tem maior valor negativo na 1a. linha da tabela).
3.6. O MÉTODO SIMPLEX
43
Condição de otimalidade - se todas as variáveis que estão fora da base tiverem coeficientes da função-objetivo nulos ou positivos, a solução atual é ótima. Se alguma dessas variáveis tiver coeficiente nulo, significa que ela pode ser introduzida sem aumentar o valor da função-objetivo. Isso quer dizer que temos outra solução ótima, com o mesmo valor da função objetivo. Passo 5 : (Condição de viabilidade) Escolher a variável que deve deixar a base, reali-
zando o seguinte procedimento:
– Divide-se os elementos da última coluna pelos correspondentes elementos positivos da coluna da variável que vai entrar na base. Obs: Caso não haja elemento algum positivo nessa coluna, o processo deve parar, já que a solução seria ilimitada. – O menor quociente indica a equação cuja respectiva variável básica deverá ser anulada, tornando-se variável não-básica. Passo 6 : Usando operações elementares válidas com as linhas da matriz, transformar a
matrix representada na tabela simplex de modo a encontrar a nova solução básica do problema. Para isto:
– A coluna da variável básica deverá se tornar um vetor identidade onde o elemento 1 aparece na linha correspondente à variável que está sendo anulada (que está passando de básica para não-básica). Passo 7 : Retornar ao Passo 4 para iniciar outra iteração.
Exemplo 3.6.1. Resolva o Problema da Marcenaria (que produz mesa e armário) pelo método simplex (tabular). Exemplo 3.6.2. Resolva o seguinte PPL pelo método simplex (tabular) e gráfico, observando que o método simplex é eficiente no sentido de buscar a solução ótima através de um número mínimo de iterações (percorrendo um número mínimo de vértices). Maximizar Z = sujeito a
3x1 x1
+
3x1 + x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
5x2 x2 2x2
≤ 4 ≤ 6 ≤ 18
Resposta: (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (2, 6, 2, 0, 0). Valor ótimo Z = 36. ∗
3.6.4
∗
∗
∗
∗
Exercício
Resolva alguns dos PPLs até aqui apresentados através do método Simplex utilizando o software TORA e a função SOLVER do Excel.
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3.6.5
CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR
Solução Inicial Artificial
Como já é possível observar, problemas de PL nos quais todas as restrições são ( ≤) com lados direitos não negativos oferecem uma solução básica inicial viável conveniente na qual todas as variáveis são de folga mas isso não acontece com modelos que envolvem restrições ( =) e/ou (≥). O procedimento para iniciar a resolução de problemas de PL ‘mal comportados‘ com restrições ( =) e/ou (≥) é usar variáveis artificiais que desempenham o papel de folgas na primeira iteração e então descartá-las legitimamente em iterações posteriores. Dois métodos fortemente relacionados são apresentados aqui: o método do M-grande e o método das duas fases.
Método do M-grande O método do M-grande começa com um problema de PL na forma de equações. Se a equação i não tiver uma folga (ou uma variável que possa desempenhar o papel de uma folga), uma variável artificial, Ri, é adicionada para formar uma solução inicial semelhante à solução básica na qual todas as variáveis são de folga. Contudo, como as variáveis artificiais não são parte do modelo original, recebem punições muito altas na função objetivo, o que (a certa altura) as força a ter o valor igual a zero na solução ótima. Isso sempre ocorrerá se o problema tiver uma solução viável. A regra a seguir mostra como a punição é designada nos casos de maximização e minimização.
Regra de penalização das variáveis artificiais : Dado M , um valor positivo suficientemente alto (em termos matemáticos, M → ∞), o coeficiente na função objetivo de uma variável artificial representa uma punição adequada se: Coeficiente na função objetivo da variável artificial =
−M, M,
em problemas de maximização em problemas de minimização
Veja agora como funciona o método do M-grande através do modelo de PL abaixo que não apresenta uma solução básica inicial conveniente:
Exemplo 3.6.3.
min z = 4x1 sujeito a 3x1
+ x2 + x2 = 3 4x1 + 3x2 ≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Resp.: (x1 , x2 ) = (2/5, 9/5). Valor ótimo: z = 17/5. ∗
∗
Comentário : A utilização da punição M tem por objetivo forçar que os valores das variáveis artificiais na solução ótima sejam nulos, no entanto, se ao menos uma das
3.6. O MÉTODO SIMPLEX
45
variáveis artificiais não for nula na solução ótima tem-se que a solução é inviável (isto é, o PPL tem restrições inconsistentes).
Resolução do PPL do exemplo 3.6.3
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CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR
Método das duas fases No método do M-grande, a utilização da punição M , que, por definição, deve ser grande em relação aos coeficientes da função objetivo, pode resultar em erros de arredondamento que podem comprometer a precisão dos cálculos simplex. O método das duas fases ameniza essa dificuldade eliminando totalmente a constante M . Como o nome sugere, o método resolve o problema de PL em duas fases: a Fase I tenta achar uma solução básica viável inicial e, se ela for encontrada, a Fase II é invocada para resolver o problema original.
Resumo do método das duas fases • Fase I
Expresse o problema na forma de equações e adicione as variáveis artificiais necessárias às restrições (exatamente como no método do M-grande ) para garantir uma solução básica viável inicial. Em seguida, ache uma solução básica com as equações resultantes que, independentemente do problema de PL ser de maximização ou minimização, sempre minimizará a soma das variáveis artificiais. Se o valor mínimo da soma for positivo, o problema de PL não tem nenhuma solução viável, o que encerra o processo (lembre-se de que uma variável artificial positiva significa que uma restrição original não foi satisfeita). Caso contrário, passe para a Fase II. • Fase II
Use a solução viável da Fase I como uma solução básica viável inicial para o problema original.
Exemplo 3.6.4. Resolva o PPL do exemplo 3.6.3 pelo método das duas fases.
3.6. O MÉTODO SIMPLEX
3.6.6
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Casos Especiais do Método Simplex
Nesta sub-seção pretendemos descrever de forma sucinta sobre as possíveis soluções que podem surgir ao resolvermos um PPL pelo Método Simplex, assim como foi verificado os casos possíveis de solução através do Método da Solução Gráfica . Com este intuito consideraremos quatro casos especiais: 1. Degeneração 2. Soluções ótimas alternativas (ou múltiplas soluções ótimas) 3. Soluções ilimitadas 4. Soluções não existentes (ou inviáveis) O interesse em estudar estes casos especiais tem duas intenções: 1) Apresentar uma explanação teórica dessas situações e; 2) Dar uma interpretação prática do que esses resultados poderiam significar em um problema na vida real.
Degeneração Na aplicação da condição de viabilidade (condição que mantem a viabilidade simultânea das restrições) do método simplex pode ocorrer um empate na razão mínima que pode ser resolvido arbitrariamente. Quando isso acontece, no mínimo uma variável básica será zero na iteração seguinte, e diz-se que a nova solução é degenerada. Não há nada de alarmante com uma solução degenerada, exceto uma pequena inconveniência teórica denominada ciclagem ou retorno cíclico. A ciclagem pode ocorrer pelo fato da possibilidade do método simplex entrar em uma sequência de iterações sem nunca melhorar o valor da função objetivo e nunca satisfazer a condição de otimalidade. Soluções existem para evitar a ciclagem mas são raramente implementados nos softwares por reduzir drasticamente a velocidade dos cálculos e contando com o fato de sua ocorrência ser rara na prática. Um segundo ponto teórico surge do fato da possibilidade de surgir em diferentes iterações valores idênticos para o valor da função objetivo, apesar de diferenças entre a categorização das váriáveis básicas e não-básicas. Sendo assim poderíamos perguntar se poderíamos parar na primeira iteração em que a degeneração aparece ainda que não seja ótima e a resposta é não porque a solução pode ser temporariamente degenerada. E agora, qual a implicação prática da degeneração? O que acontece é que alguns recursos (restrições) são supérfluos e esta informação pode ser valiosa durante a implementação da solução. A informação também pode levar à descoberta de irregularidades na construção do modelo mas infelizmente não há nenhuma técnica de cálculo eficiente para identificar restrições redundantes diretamente da tabela.
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CAPÍTULO 3. PROGRAMAÇÃO LINEAR
Observemos todos estes comentários usando o software Tora para resolver (pelo simplex tabular e gráfico) o seguinte PPL: max z = 3x1 sujeito a x1
+ 9x2 + 4x2 ≤ 8 x1 + 2x2 ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Soluções ótimas alternativas (ou múltiplas soluções ótimas) Quando a função objetivo tem direção paralela a uma restrição vinculadora não redundante (isto é, uma restrição que é satisfeita como uma equação na solução ótima), a função objetivo pode assumir o mesmo valor ótimo em mais de um ponto de solução, o que dá origem a soluções ótimas alternativas (ou múltiplas soluções ótimas). Na solução gráfica do seguinte modelo de PPL max z = 2x1 x1 sujeito a
+ 4x2 + 2x2 ≤ 5 , x1 + x2 ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
é possível observar isto e, na solução Simplex tabular, é possível observar que em uma certa iteração o valor do coeficiente de uma determinada variável não básica na linha de z é zero, o que significa que esta determinada variável não básica pode entrar na solução básica sem alterar o valor de z , mas apenas causando mudança nos valores das variáveis. O método Simplex apresenta apenas dois pontos extremos de todas as possíveis soluções e, na prática, soluções ótimas alternativas permitem, por exemplo, escolhas convenientes de acordo com o interesse atual do mercado. Por exemplo, na solução ótima do PPL acima, uma das soluções aponta que apenas um dos produtos podem ser produzidos e uma outra solução permite que dois produtos possam ser produzidos sem alterar o valor ótimo. Neste último caso, numa situação de mix de produtos, pode haver vantagem em produzir dois produtos em vez de um para poder enfrentar a concorrência de mercado.
Solução ilimitada Na resolução do seguinte PPL max z = 2x1 sujeito a x1
+ −
2x1 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
x2 x2 ≤ 10 ≤ 40
é possível observar a possibilidade do valor de uma variável poder ser aumentado indefinidamente sem violar nenhuma restrição, o que significa que a região de soluções é
