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UNIVERSIDADE DE SAO PAULO ESCOLA SUPERIOR DE AGRICULTURA "LUIZ DE QUEIROZ" DEPARTAMENTO DE ECONOMIA E SOCIOLOGIA RURAL
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AO
SISTEMA AGROINDUSTRIALI
( (,
USP/ESALQ Departamento de Economla , :;oclologiaRural RIBLIOTECA
o 1)'1
(:
José Vicente Caixeta Filhd
Julho 1997 I Relatório técnico referente ao projeto de pesquisa intitulado "Pesquisa Operacional Aplicada el Agropecuária", apoiado pelo CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (Proc.: 301540/91-8-NV). 2 Professor Associado do Departamento de Economia e Sociologia Rural, da Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", da Universidade de Silo Paulo.
-
3
CONTEÚDO
1. Conceitos Básicos de Modelagem 1.1 Programa9ao Linear 1.2 Formula9ao de modelos
" :
2. Estrutura9aode ModelosLineares 2.1 MétodosAIgébricose Gráficos
12 13
" "
2.2 Regra de Cramer 2.3 Método de Gauss-Jordan . 2.4 Método Simplex 2.4.1 Interpreta9ao Gráfica 'r<Á~ (YI'A~~
04 05 06
,
15
16 18 19
2.4.2 Utiliza9ao de software especializado
23
~ 2.5 2.4.3 Formula9ao matemática Métodos de pontos interiores
" """'"''
2.5.1 Representa9ao matemática 2.6 Casos especiais 2.6.1 Variáveis sem restri9ao de positividade 2.6.2 Problema impossível 2.6.3 Problema "unbounded" (solu9ao no infinito) 2.6.4 Solu90es múltiplas . 2.7 O problema de planejamento agrícola 2.8 Dualidade 2.9 O problema de formula9ao de ra9ao de custo mínimo 2.10 Modelosde Transrorte , .." 2.10.1 Regra do Canto Noroeste 2.10.2 Método do Mínimo Custo
2.10.3Métodode Aproxima9aode Vogel
"
37 46 52 56 56 ,. 57 58 59 59 61 66 . 71 73 74 "..
2.10.4 Método "Stepping-stone" 2.10.5 "Problemas" do Problema de Transporte 2.10.6 Exercícios
76 80 80
2.11 Programa9aoInteira
"
2.11.1 Método "Branch-and-Bound" 2.11.2 Restri90es tipo "ou/ou" 2.11.3 Restri90es tipo "pelo menos K de R restri90es devem ser válidas" 2.11.4 Aplica90es " 2.11.5 Exercícios 2.12 Modelos de Decisao 2.12.1 Árvores de Decisao 2.12.2 Teorema de Bayes 2.12.3 Exercícios
oo
Exerc
ícios
oo
4. B ibliografia 5. So lU90es comentadas dos exercícios
oo.""'"
85 85 87 88 89 102 106 108 112 117
3. Estrutura9ao de modelos nao-lineares .." 3.1 Método do Multiplicador de Lagrange 3.2 Método Gráfico " " 3.3 Extensao do Método de Lagrange 3.4 Condi90es de Karush-Kuhn-Tucker ..oo.""""",",,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 3.5 Aplica9ao 3.6
75
oooo
oo
119 122 124 126 128 134 142
oo
oo"""""""""''''''''''
144 151
4
1. CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM Urna das preocupac;oesbásicas da Ciencia, ao longo dos tempos, tem dito respeito a observac;ao,reproduc;ao e aprimoramento de fenomenos de naturezas das mais distintas. A partir do momento em que se considere que tais fenomenos sao devidamente entendidos e eventualmente, controláveis, haverá condic;oesde se obter um pequeno nível de incerteza nas previsoes de ocorrencia de eventos correlatos. As técnicas concebidas para tal já utilizaram um grande número de combinac;oesentre as letras do alfabeto. Entre os mais recentes exemplos: TQM ("Total Quality Management"); CQI ("Continuous Quality Improvement"); BPR ("Business Process Reengineering"), etc. Basicamente, de comum entre eles está a preocupac;aocom o esmero do processo de MODELAGEM a ser demandado. Para se entender o processo de modelagem por si só, pode-se inicialmente resgatar-se a imagem do modelo fotográfico em um desfile de modas, por exemplo. Normalmente, silhuetas esbeltas caminham pelas passarelas vestidas com roupas da moda (ou que deverao ser moda) com o intuito de propiciar a imagem a ser visualizada pelo público assistente, caso alguém se decida pela utilizac;aode traje similar. Nao necessariamente se trata de uma técnica de modelagem de sucesso, urna vez que pode oCurrer urna nao-coincidenda de identidades entre a silhueta do modelo fotográfico e a silhueta de determinado elemento do público que tenha mostrado interesse em adquirir determinado traje para si próprio. Urna série de analogias poderiam ser feitas ao exemplo do desfile de modas, envolvendo problemas de caráter agrícola. Por exemplo, assumir-se que a partir de determinadas características de solo possa ser observado um determinado nível de produtividade para um certo cultivar de café; ou que, a partir de condic;oesmetereológicas específicas, seja obtido um determinado teor de sólidos solúveis em um pomar de citrus. Assim sendo, modelos, de uma maneira geral, sao representac;oes idealizadas para situac;oes do mundo real. Propiciam a aquisic;ao de novos conhecimentos e facilitam o planejamento e previsoes de atividades, sempre tendo como objetivo final a VERDADE. Apesar da dificuldade para a validafiio de modelos, sempre haverá urna indicac;aodo nível de sucesso do processo de modelagem, o que estará intimamente ligado a eventual reproduc;ao da verdade em investigac;ao. Por outro lado, tais verdades podem ser reproduzidas mas sem necessariamente representar um estado de entropia desejável. Processos de modelagem econométricos, por exemplo, observam vantagens comparativas quanto a reproduc;ao adequada de séries históricas de valores, que eventualmente podem representar prec;ospagos pelo consumidor onde estejam embutidas abusivas margens de lucro auferidas por varejistas.
. .
5
~ ~
Já os processos de modelagem de natureza normativa tem a capacidade de impor um
.
t t t t t t t ~
determinado padrao, tal como algum tipo de formulayao de rayao, a qual pode ser relativamente mais benéfica, por exemplo, que aquele grupo de alimentos que vinha sendo utilizado para a nutriyao de determinado grupo de animais. 1.1 PROGRAMA<;ÁO LINEAR As técnicas de programayao matemática, em particular a programayao linear (PL, ou LP - mais urna combinayao de letras!), se enquadra sob a ática de modelagem normativa. A programayao linear nada mais é que um aprimoramento de urna técnica de -
~
~
~
resoluyao de sistema de equayoes lineares via inversoes sucessivas de matrizes (vide Método de Gauss-Jordan na seyao 2.3), com a vantagem de incorporar urna equayao linear
~
adicional representativa de um dado comportamento que deva ser otimizado. ~
Sua propagayao se deve principalmente a equipe de cientistas liderada pelo americano
~
~
~
~
~
~
~
~ t , ~
,
t
George B. Dantzig, convocada pelos Aliados da 2a. Grande Guerra no início da década de 40, para oferecer subsídios técnicos para as tomadas de decisao que envolvessem a distribuiyao ótima de tropas entre as diferentes frentes de batalha. Ao resultado desse esforyo de pesqUisa, concluído em 1947 e publica.do po~teriormcnte3, deu-se o nome de Método Simplex. O Simplex (vide seyao 2.4) vem sendo entao o algoritmo mais citado e comentado na maior parte da literatura especializada, assim como o mais utilizado em software de programayao linear. Avanyos em termos de eficiencia de algoritmos correlatos puderam ser observados somente a partir do início da década de 80, através de trabalhos desenvolvidos por Nerendra K. Karmarkar\ matemático de origem indiana da AT&T's Be!! Laboratories em Nova Jersey, Estados Unidos. O algoritmo proposto se enquadra no conjunto de métodos de pontos interiores, tendo se mostrado bastante eficiente para a resoluyao de problemas de grande dimensao e de níveis específicos de esparsidade dos elementos naonulos da matriz. Seja qual for o algoritmo, a formulayao do problema a ser resolvido por programayao linear segue alguns passos básicos. A saber: -*-a) Deve ser definido o objetivo básico do problema
- que
a princípio deve ser único
-
com respeito a otimizayao a ser perseguida. Por exemplo: maximizayao de lucro, ou de eficiencia, ou de bem-estar social; minimizayao de custos, ou de tempos, ou de perdas, e
3 4
DANTZIG (1963). KARMARKAR
(1984).
L
6
assim por diante. Tal objetivo será assim representado por urna fun<;aoobjetivo, a ser maximizada ou minimizada. \(
b) Para que essa ~<;a~tiyo~
possa ser m~en.!.e
especificM!a,as
alternativas possíveis para a ocorrencia de tal otimiza<;ao- as chamadas variáveis de decisao envolvidas
-
deverao ser definidas. Por exemplo, os tipos de cultura e/ou área a serem
exploradas; os alimentos candidatos a fazer parte da formula<;aode ra<;ao,as c1asses de investimento a disposi<;aode urn tomador de decisao, etc. Normalmente, assume-se que todas essas variáveis possam assurnir somente valores positivos. ~ c) Tais variáveis podem estar sujeitas a urna série de limita<;oes - as também conhecidas como restricoes dQ.JJr~l2le~ normalmente representadas por inequa<;oes.Por exemplo, limita<;oesreferentes a área' total disponível, as exigencias nutricionais para urn determinado rebanho, a disponibilidade de capital e mao-de-obra, etc. Todas essas expressoes, entretanto, devem estar de acordo com a hipótese principal da programa<;ao linear, que diz respeito a linearidade propriamente dita, ou seja, todas as rela<;oes entre variáveis --~ ~ ~ . - devem -- ser 'lineares. Isto implica a proporcionalidade das contribui<;oes envolvidas (por exemplo, a contribui<;ao individual de cada variável é
estritamente proporcional ao seu valor), assim como a aditividade dessas contribui<;oes(por exemplo,- a contribui<;ao total de todas as variáveis é igual a soma das contribui<;&es individuais, independentemente dos valores das variáveis). Essa característica de linearidade pode ser interessante no tocante a simplifica<;ao da
estrutura matemática envolvida, mas prejudicial na representa<;aode fenómenos que nao necessariamente se comportem de forma linear (por exemplo, fun<;oesde custo tipicamente quadráticas). 1.2 FORMULA<-;ÁO DE MODELOS
Antes de entrar no mérito da resolu<;aode problemas por programa<;aolinear, aten<;ao especial deve ser dispensada ao esfor<;ode modelagem em si. Dado um determinado problema, o modelador, em fun<;aode seu nível de abstra<;aoe de experiencia vivida, terá
urna maior ou menor facilidadepara ~ representa<;ao de
através de equa<;oese inequa<;oes.Nesse sentido, sao propostos alguns problemas para que o aluno os represente sob a forma padrao de problemas de programa<;aolinear (se for o caso ...), ou seja, para n variáveis e m restri<;oes,
7
n
Min (ou Max) LC. x. j=1 J
J
sujeito a n ¿a..x. j=!
:::; (ou
=, ou ~) a. , para i = 1, ... , m;
1J J
1
x. ~O J
Nao se deve ter ainda preocupayao com a soluyao dos problemas, que poderao ser obtidas posteriormente. 1) Urna certa agroindústria do ramo alimentício tirou de produyao urna certa linha de produto nao-lucrativo. 1sto criou um considerável excedente na capacidade de produyao. A gerenc~a está considerando deúicar e:.>tacapacidade exced~nte a urn vU mais produtos, identificados como produtosL~'.iJ e & A capacidade disponível das máquinas que poderia limitar a produyao está resumida na tabela que se segue: Tipo de máquina
Tempo disponível
A
(horas de máquina) 500
B
350
e
150
o número de horas de máquina requerido por unidade dos respectivos produtos é conhecido como coeficiente de produtividade (em horas de máquina por unidade), conforme representado a seguir:
8
Tipo de máquina A
Produto 1
Produto 2
Produto 3
9)
Q)'i
15
B
5
4)
O
e
3
O)
\
/
')
\)
2
o lucro unitário estimado é de US$ 30, US$ 12 e US$ 15, respectivamente, para os ~.~-produtos 1, 2 e 3. Determinar a quantidade de cada produto que a firma deve produzir para maximizar o seu lucro (adaptado de HILLIER & LIEBERMAN, 1988). 2) Urna certa corporac;ao tem tres fábricas filiais com capacidade de produc;ao excedente. As tres fábricas tem capacidade para produzir um certo produto, tendo a gerencia decidido utilizar parte desta capacidade de produc;ao excedente para produzir tal produto. Ele pode ser feito em tres tamanhos
- grande,
médio e pequeno
- os
quais
produzem urn lucro unitário líquido de US$ 140, US$ 120 e US$ 100, respectivamente. As fábricas 1, 2 e 3 tem capacidade ~~ce~ ~e~bfaede equipamentopara
produzirem
@> @ e @
unidades do produto por dia, respectivamente, mdependentemente do tamanho ou combinac;ao de tamanhos envolvidos. Entretanto, a quantidade de espac;odisponível para estoque de produtos em processo também imp5e urn limite as taxas de produc;ao.As fábricas 1, 2 e 3 tem 1.170, 1.080 e 450 metros quadrados de espac;odisponível para estoque de produtos em processo, em um dia de produc;ao,sendo que cada unidade dos tamanhos grande, médio e pequeno, produzida por dia, requer 1,8, 1,35 e 1,08 metros quadrados, respectivamente. As previs5es indicam que podem ser vendidas, por dia, 900, 1.200 e 750 unidades dos tamanhos grande, médio e pequeno, respectivamente. Para manter urna carga de trabalho uniforme entre as fábricas, e para reter algum tipo "-
de flexibi1idade, a gerencia decidiu que a produc;aoadicional designada a cada fábrica deve utilizar a mesma porcentagem da capacidade excedente de mao-de-obra e de equipamento. A gerencia deseja saber a quantidade de produto, por tamanho, que deveria ser produzida em cada urna das fábricas, para maximizar o lucro (HILLIER & LIEBERMAN, 1988). 3) Urna determinada empresa quer utilizar do melhor modo possível os recursos de madeira de urna de suas regi5es florestais. Dentro desta regiao, há urna serraria e urna fábrica de compensados, o que possibilita que as toras possam ser convertidas em madeira beneficiada ou compensada.
9
Produzir urna mistura comercializável de 1 metro cúbico de produtos beneficiados requer 1 metro cúbic~ de pinho e 4 metros c~bicos de canela. Produzir 100 metros quadrados de madeira compensada requer 2 metros cúbicos de pinho e 4 metros cúbicos de canela. A regiffo e~ quesÜ'lodisp5e de 32 metms cúbicos de pinho e f/2 metros cúbicos de canela. Compromissos de vendas exigem que sejam produzidos, durante o período em /
planejamento,
pelo menos -5 metros cúbicos de madeira beneficiada
-
e 1.200 metros
quadradosde L- rpadeira -compensada.As contribuic;5esao lucro sao de $ 45 por 1 metro ---cúbico de produtos beneficiados e $ 60 por 100 metros quadrados de madeira compensada. Determinar as quantidades (em metros cúbicos) de madeira beneficiada e de madeira compensada (em 100 metros quadrados) a serem produzidas (adaptado de WAGNER, 1986). 4) Urna fábrica de implementos agrícolas produz os modelos A, B e C, que proporcionam lucros unit~rios da ordem de $ 16, $ 30 e $ 50, respectivamente. As exigencias de produc;aomínimas mensais sao de 20 para o modelo A, 120 para o modelo B
-
-
e 60_parao modelo C. Cada tipo de implemento requer urna certa quantidade de tempo para a fabricCtc;ao das partes componentes, para a montagem e para testes de qualidade. Especificamente, urna dúzia de unidades do modelo A requer tres horas para fabricar, quatro horas para montar e
--
urna para testar. Os números correspondentes para urna dúzia de unidades do modelo B sao 3,5 , 5 e 1,5 ; e para urna dúzia de unidades do modelo C, 5, 8 e 3. Durante o próximo mes, a fábrica tem disponíveis 120 horas de tempo de fabricac;ao, 160 horas de montagem e 48 horas de testes de qualidade. Formule o problema de programac;aode produc;aocomo urn modelo de programac;ao linear (adaptado de WAGNER, 1986). 5) Urna companhia petroquímica deseja encontrar a combinac;ao ótima de dois possíveis processos de mistura~ Para o Processo 1, urna entrada unitária de urn barril de Óleo cm A e tres barris de Óleo cm B produz urna saída de 50 galoes de gasolina X e 20 gal5es de Gasolina Y. Para o Processo 2, urna entrada unitária de quatro barris de Óleo cm A e dois barris de Óleo cm B produz urna saída de 30 gal5es de gasolina X e 80 gal5es de gasolina Y. Sejam ainda xl e x2 o número de unidades de entrada que a companhia decide usar para o Processo 1 e Processo 2, respectivamente. A quantidade máxima de Óleo cm A disponível é de 120 barris, e de Óleo cm B, 180 barris. Compromissos de vendas exigem que pelo menos 2.800 gal5es de Gasolina X e
10
2.200 gal5es de Gasolina Y sejam produzidos. Os lucros unitários do Processo 1 e do Processo 2 sao PI e P2,respectivamente. Formule o problema de mistura como urn modelo de programac;ao linear (adaptado de WAGNER, 1986). 6) Urna Companhia de Aviac;ao Agrícola, que opera a partir de urn determinado terminal, tem 8 avi5es do tipo 1, 15 avi5es do tipo 2 e 11 avi5es do tipo 3, disponíveis para voos. As capacidades de tonelagem de pesticidas para pulverizac;ao (em milhares de toneladas) sao 45 para o tipo 1, 7 para o tipo 2 e 5 para o tipo 3. A Companhia deve expedir avi5es para as propriedades A e B. As necessidades de tonelagem (em milhares de toneladas) sao 20 na propriedade A e 28 na propriedade B. Sabe-se também que o excesso de pulverizac;aoem urna propriedade deve ser evitado; e que urn aviao pode voar somente uma vez durante odia.
O custo de enviar um aviao do terminal a cada propriedadeé dado pela seguinte tabela: Propriedade A B
Aviao tipo 1 23 58
Aviao tipo 2 15 20
Aviao -.-tipo 3 1,4 3,8
Denotando por xl' X2e X3os números de avi5es de cada tipo enviados a propriedade A, e do mesmo modo, YI,Y2e Y3os avi5es enviados a propriedade B, formule o modelo de programac;aolinear pertinente ao problema (adaptado de WAGNER, 1986). 7) Urna determinada empresa produz álcool anidro e álcool hidratado, a partir de uma usina que está organizada em tres setores de prodw;ao. O processo de produc;ao pode ser resumido da seguinte forma: o álcool anidro passa pelos setores 1 e nI, sendo que cada
tonelada desse produto consome0,5 hora do setor 1 e 1/3 h do setor lTI:' diariamente.Por ,outro lado, a produc;aode urna tonelada do álcool hidratado demanda 1 hora do setor n e 2/3 h do setor In, também diariamente. Admitindo que cada setor esteja em operac;ao 8 horas por dia, e que as receitas líquidas a serem obtidas para o álcool anidro e álcool hidratado sejam $40 e $30 por tonelada, respectivamente, qual deve ser a combinac;aoótima de níveis de produc;ao a ser perseguida pela empresa?
11
8) A Divisao de Planejamento Estratégico de um determinado Conglomerado Agroindustrial está analisando a possibilidade de redirecionamento de seus negócios. As alternativas levantadas dao conta, basicamente, a novos investimentos em seringueira e nozes macadfunia - culturas já existentes no portfólio de investimentos do Conglomerado só que com vistas ao mercado externo. A estratégia diria entao respeito a um aumento do faturamento do Conglomerado, através da abertura de contratos com novos importadores de sub-produtos daquelas culturas. Para simular esse novo cenário, foi incorporada a área agrícola do Conglomerado um lote de 16 ha. Além disso, urna empresa de consultoria em mercados foi contratada, passando a informa<;aode que para cada talhao adicional de macadfunia a ser implantado, contratos com 6 novos importadores poderao ser fechados; e que 3 novos contratos poderao
ser esperadospara cada novo talhao de seringueiraa ser implantado.Na mesmapropor<;ao, contratos serao cancelados se talh6es daquelas culturas forem erradicados.
A receita esperadaa partir de cada talhao de macadamiaé de US$ 9/dia, e de US$ l8/dia para cada talhao de seringueira.Sabe-setambém que a área padrao de cada talhao é de 2 ha. Assim sendo, a estratégia a ser implementada deve contemplar o seguinte: - no mínimo 13 novos cuntratos dt::veraoser fechados;
-o
número total de talh6es do conglomerado deverá ser aumentado
devida explora<;aodo lote adquirido talh6es de macadamia.
- mesmo que isso
-a
partir da
implique a redu<;aodo número de
Pede-se que sejam obtidas as recomenda<;6es a serem feitas com rela<;ao ao detalhamento da estratégia em si, ou seja, a distribui<;aodas culturas na área adquirida, de tal forma que a receita seja maximizada (adaptado de LEE, MOORE & TAYLOR, 1985).
12
2. ESTRUTURA<;ÁO DE MODELOS LINEARES Dos modelos formulados anteriormente, pode-se perceber que a maioria deles diz respeito a sistemas de equal(oes, ou inequal(oes lineares, a partir dos quais deve ser obtida a solul(ao ótima (máximo ou mínimo) para o problema. Portanto, é de fundamental importancia que tais sistemas de equal(oes, ou inequal(oes, possam ser resolvidos pelo modelador. Tome-se como referencia a seguinte situal(ao: "Um determinado produtor rural possui duasfazendas, Morro Branco e Riacho Seco, ande deseja plantar saja e trigo. Devido as condÜ;oesde solo especificas, o lucro anual esperado para a saja é de $4/ha na Morro Branco e de $6/ha na Riacho Seco; e o lucro anual previsto para o trigo é de $8/ha na Morro Branco e de $4/ha na Riacho Seco. Sabese ainda que: a área de saja a ser plantada na Morro Branco deve ter a mesma dimensiio da área plantada de saja do Riacho Seco; a área de trigo plantado na Riacho Seco deve ter a mesma dimensiio da área plantada de trigo da Morro Branco; o lucro anual total da Morro Branco e da Riacho Seco devem ser $160 e $120, respectivamente; as fazendas tém área suficiente para atender aos anseios do produtor. " Para determinar as áreas de soja e trigo a serem cultivadas em cada urna das fazendas, tal situal(ao pode ser facilmente apresentada por urn sistema de equal(oes lineares, com as seguintes incógnitas: XI= número de hectares de soja a serem plantados em cada fazenda; x2 = número de hectares de trigo a serem plantados em cada fazenda.
o sistema propriamente dito pode ser entao representado por: I I
t t t t t . .
t D ~
4
+ 8X2
= 160
(1)
{ 6x} + 4x2
= 120
(2)
4XI
Percebe-se entao que o problema, extremamente particular, pode ser representado simplesmente por um sistema de equal(oes lineares. O conhecimento de métodos de resolul(ao para tais sistemas é bastante importante para o embasamento de métodos mais genéricos, adequados inclusive para sistemas que envolvam inequal(oes lineares.
13
Assim sendo, serao tratados a seguir alguns dos métodos que se encontram disponíveis para a resoluyao de sistemas de equayoes lineares.
2.1 MÉTODOS ALGÉBRICOS E GRÁFICOS a) algébrico por adiyao Pelo menos urna das equayoes deve ser multiplicada por um escalar real de tal forma que após a soma das duas equayoes, apenas urna das variáveis seja efetivamente a incógnita do problema. Assim, no caso em questao, a equayao (2) foi multiplicada por "-2" e o valor de xI obtido. Com o valor de x¡, obtém-se o valor de x2'
4X¡ + SX2
= 160
(-2) x { 6x¡ + 4X2
= 120
4x¡ +SX2 = 160 -12x¡ -SX2 ~
-Sx¡
= -240 = -SO
X¡=10 { X2= 15
b) algébrico por substituiyao Isola-se urna das variáveis em urna das equayoes, substituindo-se a relayao obtida na outra equayao. Assim, da equayao (1) isolou-se xI, que foi substituído na equayao (2). Obteve-se entao os valores de x2 e xI, nesta ordem.
14
- 160-8x2 - 40 - 2 X2
XI -
4
6(40-2x2)+4x2 240-12x2 +4X2 -8x 2 = -120
X2
= 120 = 120
= 15
{ XI =10
c) Gráfico Como (1) e (2), reproduzidas novamente a seguir, sao equayoes lineares, com duas incógnitas, elas podem ser representadas geometricamente por duas retas. A intersecyao entre elas dará a soluyao ao problema. 4XI
{ 6xI
= 160 + 4X2 = 120
(1)
+ 8X2
(2)
Para plotar cada urna delas, bastam dois pontos. Os mais fáceis sao aqueles sobre os eixos das abcissas e ordenadas. XI
= O, X2 = 20
Assim para a equayao (1): ' { X2 - O, X 1 = 24
e para a equayao (2):
XI
= O, X2 = 30
{ X2 = O, XI = 20
A soluyao obtida é apresentada na Figura 1.
15
Xl 40
30
20
10
o
. 10
O
20
30
X2
Figura 1 - Soluc;:aopor método gráfico de sistema de duas equac;:6eslineares.
2.2 REGRA DE CRAMER
A soluc;:aopode também ser obtida a partir da representayao matricial do sistema de equac;:6es.Assim, pela regra de Cramer:
anl
al2
... d 1
a22
d2
an2
.oo
oo.
dn
.oo
a1n
OO'
a2n
oo.
ann
j - é sima colma.J substituída pelos" valores do
lado direito" de cadaequac;:ib
16
No caso em questao:
[: :] [::] XI
x2
=
= 1120 160 481/ 46 84
120 [16l =
10
=
15
6 1601/ 120 46 481 14
2.3 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Consiste da derivayao de um sistema específico de equayoes lineares que tenha a mesma so~uyaoque o siftema original Esse "nove" sistema deverá 1er o formato de urna matriz identidade, ou seja, coeficientes unitários na diagonal principal, o que poderá ser obtido através de combinayoes lineares das equayoes originais. Assim, pretende-se que:
= 160 (1) + 4X2 = 120 (2)
4XI + 8X2
{ 6x¡
~
lXI
+ OX2
=A
{ OXI+ 1x2 = B
Os passos para tal:
1) Transformayao do coeficiente de xl em (1) para "1" (dividir (1) por "4"). XI + 2x2 = 40
(1a)
{ 6x¡ + 4x2 = 120
(2)
17
2) Transforma<;aodo coeficiente de xl em (2) para "O" (multiplicar (la) por "-6" e adicionar a (2». -6x( -12x2
= -240
6x¡ + 4X2 Ox¡ - 8X2
=
120 = -120
(2a)
3) Transforma<;aodo coeficiente de X2 em (2a) para "1" (dividir (2a) por "-8"). Xl + 2X2 = 40
(la)
{ Ox¡ + X2 = 15 (2b)
4) Transforma<;aodo coeficiente de x2 em (la) para "O" (multiplicar (2b) por "-2" e adicionar a (la». XI +2X2
= 40
Ox( - 2X2
= -30
XI +OX2
= 10
(lb)
5) Solu<;ao: XI +OX2
= 10
XI = 10 , X2= 1S
{ Ox¡ +X2 = 15
Representando os passos anteriores com a nota<;aomatricial de Gauss-Jordan: 4 8 [6 4
1 O O 1]
1) Divida linha 1por 4 1 2 [6 4
114 O O
1]
2) Multiplique linha 1 por -6 e some a linha 2 1
2
114
O
[ O -8
-3/2
1]
18
3) Divida linha 2 por -8 1 2
1/4
O
[O 1
3/16
-1/8 ]
4) Multiplique linha 2 por -2 e some a linha 1
p
O
lO
1
-1/8
3/16
1/4
-1/8 ]
Percebe-se que o lado esquerdo da matriz particionada anterior, que pode ser chamado de matriz A, foi "transformado" em urna matriz identidade. Para tal, os valores originais de "A" foram multiplicados por aquilo que foi registrado no lado direito da matriz particionada. Portanto, para que pudesse ter resultado na matriz identidade, o lado direito da matriz particionada nada mais é do que a inversa de A (representada por A-1),urna vez que
Assim, de urna maneira geral; AX=B Multiplicando ambos os lados por kl,
x = A-1B No caso específico, XI
[ X2 ]
-
-1/8
[ 3/16
1/4
160
-1/8 ]
[ 120]
= [:~]
2.4 MÉTODO SIMPLEX Até entao, os métodos apresentados sao extremamente eficientes para a resolw;:aode sistemas de equa<;:oeslineares. Entretanto, como já pode ser observado, normalmente as restrÍ<;:é5es a um problema sao representadas por inequa<;:oes.Ainda, há a questao da fun<;:ao objetivo: como ela deve ser tratada, para que se chegue a solu<;:aoótima do problema? Para responder a esse questionamento, o algoritmo Simplex, e posteriormente os algoritmos de
{¡
/ 19 /
pontos interiores, foram desenvolvidos, tendo como base as premissas de Gauss-Jordan. Antes de se tratar dos algoritmos propriamente ditos, será discutida a resoluyao gráfica que está por trás do Método Simplex, assim como a utilizayao de software especializado para progmma~ao linear. 2.4.1 Interpreta~ao Gráfica o método Simplex pode ser inicialmente visualizado se analisado graficameme. Tome-:seo seguinte exemplo, extraído de RODRIGUEZ (1989): U[;iI7apropriedade
apresenta
dois talhoes jlorestais
aptos para corte: talhilo 1 C0111
40 ho l:!84 m3/ha de madeira disponíveis; e talhilo 2 com 18 ha e uma prodzu;ilo de 112 m3/hu. () Cl/sropor ha para a administrar;ilo da venda de madeira é de S 300, e a dispol1ihilidadede capital é de S 15.000. Ambos os talhoes permitem o desenvolvimento de atil'idudcs rccreacionistas. Anualmente, o talhilo J é capaz de sustentar 480 visitantes por heclare e o talhilo 2 apresenta capacidade para 1.920 visitantes por hectare. A propriedade del'e ser capaz de receber no mínimo J0,000 visitantes/ano, Naturalmente, cada i,ectarL cortúdo ficú inutilizac:o para atividJdes de ¡'ecl'eac;ilG.O problenw é determinar (juantos hectares explorar em cada talhilo de forma a maximizar o volume de madeira cortada". o problema pode ser resolvido da seguinte forma: Objcrivo: maximizar o corte de madeira Alternativas: explorayao dos talh6es 1 e 2 Restri¡;6es: - áreas finitas dos talh6es - caixa disponível - recrea~ao - positividade das alternativas.
Chamando as alternativas de xI e x2, onde: xl = número de hectares a serem explorados no talhao 1 x2 = número de hectares a serem explorados no talhao 2, a se~uime -:struturapoderá ser concebida:
)
I I ~
I ~ ~ I I ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ t . . . . ~ ~
-
, ~
20
Max Z = 84 xl + 112 x2 (méLximizayao do volume de madeira a ser cortada) sujeito a Xl $ 40 (área do talhao 1) x2 $ 18 (área do talhao 2) 300 xl + 300 x2 $ 15.000 (capital) 480 (40 - xl) + 1920 (18 - X2) ~ 10000 (recreayao) xl ' x2 ~ O (positividade)
Para visualizar o problema de forma gráfica, devem ser plotadas, inicialmente, as restriyoes do problema, conforme representado na Figura 2. Xl 100 90 80 íJ 60 50 40 30 20 10 O O
T alhao 2
Talhao 1
10
20
30
40
50
.Xl 60
Figura 2 - Representayao da regiao viável do problema.
A regiao delimitada pelas restriyoes é chamada de regiao viável, sendo que a soluyao do problema deverá estar sobre um dos vértices desta regiao. Note-se que tal regiao deverá sempre atender as características de convexidade, ou seja, qualquer segmento ligando dois pontos da regiao viável deverá necessariamente também pertencer a aquele polígono. A primeira soluyao a ser testada está normalmente associada a origem. o valor obtido para a funyao objetivo deyerá ser entao comparado com o valor a ser,obtido com o vértice adjacente. Enquanto houyer um vértice adjacente "melhor", continua-se a pes~~1isa, até chegar-se a soluyao ótima. Entretanto, qual é o papel, de fato, da funyao objetivo, que até entao nem foi plotada, em um problema de otimizayao? Rescrevendo-a:
21
x , ! -
.
Z
112
84
84
x 2
Percebe-se enH'ioque se trata de um feixe de retas paralelas, com coeficiente angular igual él (-112/84). Cada integrante desta família de retas poderá ser obtido a partir da
atribui~ilode valoresa Z, 0Ja Figura 3, apresentada a seguir, percebe-se que quanto mais a fun<;aoobjetiyo caminhar para a direta, maiar o valor de Z. Portanto, este deverá ser o direcionamento da maximiza~ao: a funyao objetivo deverá se deslocar, dentro da regiao viável, o máximo possível para a direita, o que no caso resultará no vértice xI = 36,28e x2 = 13,72,com Z = 4584.16. Xl 100
75
50.1.1-
~ '-o
36,28 t.:..-
~
-,
.
,
25 Z=1680
- -"~-------------Z=3360 . . . . , , Z=4584,16
o. O
--.
20
30
40
50
X2
60
Figura 3 - Caminhamento gráfico para a soluyao ótima do problema.
Esse vértice, agora solu<;aodo problema, é na verdade a intersec<;aodas retas representmivas das restriyoes de recreacao e caixa disponível. Isso significa que tais restri~c3esestaDsendo esgotadas, ou que estaDsendo efetivameme atuantes. ~<
a verdade, substituíndo-se o valor da solu<;ao naquelas restri<;oes, os limites
super:01"eSserao alcanyados. Já nas restri<;oesde área, os limites superiores corresponderttes naose:'JO atingidos, significando que tais restri<;oesestaDcom folga.
I , , , ,
22
Surge entao a conceituac;aode prec;o-sombra.Se, ao invés de 40 ha, houvesse 41 ha disponíveis para o talhao 1, em nada seria alterada a soluc;aoótima do problema, urna vez que já havia urna folga com o limite de área original.
r
Já para o caso do caixa disponível, se o mesmo fosse alterado de $ 15001, urna nova
I ."'{>1
soluc;aoótima seria obtida, urna vez que aquela restric;aonao tinha folga, era atuante.
I.
Assim, prec;o-sombra representa a alterac;aono valor da func;aoobjetivo a partir do \ acréscimo de urna unidade no limite (ou "RHS" = "right-hand side") da restric;ao em
questao. Nota-se, portanto, que prec;o-sombraé normalmentediferente de zero para as
I
restric;oesatuantes. Naturalmente, se forem acrescidas mais de urna unidade ao RHS da restric;aoatuante, a alterac;aototal no valor da func;aoobjetivo deverá ser diretamente proporcional ao valor do prec;o-sombra.Entretanto, essa relac;aodiretamente proporcional só será válida para um determinado intervalo de variac;aodos valores do RHS, dentro do qual também a base (vide definic;ao na Sec;ao 2.4.3) continuará sendo composta pelas mesmas variáveis (nao obrigatoriamente com os mesmos valores). Fora desse intervalo, a restric;aoem questao nao necessariamente continua a ser atuante. Outra observa<;aose faz necessária quanto a análise de sensibilidade dos coeficientes da func;aoob~etivo. Até que valores d~ p:oduC;&opor talhao poderao seI observados púra que a soluc;aoótima permanec;aa mesma? Como a relac;ao entre as produ~~UalhQ~ é~ada pel~ coeficiente angular da func;aoobjetivo, os coeficient~s angulares das outras retasplotadas (no caso, referentes as restric;oesdo problema) deverao ser comparados. Percebe-se.que a fu~j~tivo tem um coeficiente angular intermediário entre os valores do~ coeficientes das restric;oesde caixa e
'--
~
recreac;ao,que sao justamente as restric;oesatuantes. Assim, enquanto o "'-./coeficiente angular da func;aoobjetivo estiver contido no intervalo delimitado pelos coeficientes angulares das restric;oesatuantes no problema (vide Figura 4), --~ soluc;aodeverá permanecer a mesma.
~
.
~ . . . . .
. . ,
, t
/
p-
23
Xl lOa
75
.. 50
~-
°c::~
25
'O
~~
---
. O
la
20
30
Capital
--'-
~
40
--~-50
...,X2 60
Figura 4 - Restriyoes atuantes do problema Tem-se assim que: C2 1~-~4 cI
será o intervalo dentro do qual a soluyao ótima nao será alterada (c¡ = coeficiente da variável xi na funyiioobjetivo), ou seja, a base será composta por aquelas mesmas variáveis observadas na soluyao ótima original, e com aqueles mesmos valores. Naturalmente, o valor da funyao objetivo variará caso a caso. 2.4.2 Utiliza
5 Vej:l maiores detalhes em HILLlER & LlEBERMAN (1988).
t ~ ~ ~ ~
24
pela software-house americana EASTERN SOFTWARE PRODUCTS, 1993), útil inclusive
. ~ . .
para aplicac;5esespecíficas em agropecuária.
~
também dados digitados em formatos compatíveis com planilhas eletrónicas.
. .
Considerando urn exemplo citado em HADLEY (1982), urna firma possui 3 tipos de máquinas, A, B e C, que podem produzir 4 produtos, 1, 2, 3 e 4. Cada urn dos produtos tem
~
que passar por alguma opera<;:aoem cada urn dos 3 tipos de máquinas (máquina de tomear,
~
perfurar e laminar). A tabela a seguir mostra os tempos necessários de cada máquina para
~
fazer a operac;ao em cada produto, os lucros resultantes, bem como a disponibilidade
.
.
O módulo LP, basicamente originado do sofware LP88 (também desenvolvido pela Eastern), resolve problemas de prograinac;ao linear através do método Simplex revisado. Possui um editor de dados próprio, semelhante a urna planilha de cálculo, aceitando
semanal de tempo para cada máquina.
. . . . .
Tipo de máquina
~
A
.
B C
~ .
Produtos
Tempo total utilizado por semana
Unid. de Lucro
1
2
3
--4
1,5 1
1
1
2.000
5
2,4 1
8.000
1,5
3
3,5
3,5 1
5,24
7,30
8,54
4,18
5.000
.
. . . ~
Suponha que Xj seja o número de unidades do produto j produzidas por semana. Devem entao ser calculados os valores de XI,X2,X3e X4que maximizem o lucro. Desde que
~
o tempo disponível pela máquina é limitado, nao se pode aumentar arbitrariamente a saída
.
de cadaum dos produtos.A produC;ao precisa ser distribuídaentre os produtos 1,2, 3,4 de
~ ~
modo que os lucros sejam maximizados sem exceder o número máximo de horas de máquinas disponíveis em cada um dos grupos de máquinas.
~
. . ~ . . ~ ~ ~ ~
t
Para as máquinas do tipo A: ) 1,5x¡ + X2+2,4x3 + X4 ~ 2.000 horas
25
Para as outras máquinas: XI + 5X2 + X3+ 3,5x4 ~ 8.000
.
1,5x¡ + 3X2+ 3,5x3 + X4 ~ 5.000 Também nao é permitida a produ<;:ao de quantidades negativas. Assim, restri<;:oes adicionais sao necessárias:
XI ~ O, X2 ~ O, X3 ~ O, X4 ~ O
o lucro semanal será: Z = 5,24x¡ + 7,3x2 + 8,54x3 + 4,18x4
e cleveráser o máximo. Para act~sar o móuulo LIJ do soft.ware ORS {S, a pardr do Jiretório úndc o mdIT10St encontra, basta digitar: ORSYS Aparecerá na tela: "ORSYS
-
Version XXX",
com o
cursor devendo estar
posicionado na palavra BEGIN e a op<;:aoLP (por "default") ter sido selecionada. Mova o cursar urna linha abaixo e digite DISPLAY sobre a palavra PRINTER (caso se esteja trabalhando em rede local, e dependendo da configura<;:aoda mesma, digite "R:" sobre "P:" da linha "Overflow Storage ..."). Volte enÜ,[oao BEGIN e tecle ENTER, para que se possa adentrar ao JfASTER MENU. Tecle Fl (SETUP), e F2 (NEW PROBLE¡\;f),para que as seguintes perguntas sejam feitas. com rela<;:aoao nome a ser dado ao problema, tipo de otimiza<;:ao,número de restri<;:oese número de variáveis: "Name ofnew problem?" [nome para o problema]: maquina "Objective (Max ou Min)" [tipo de fun<;:aoobjetivo]: AfAX "Number of constraints?" [número de restri<;:oes]:3 "Number of nonslack variables?" [número de variáveis]: 4
\
26
Tecle agora F3 (DISPLAY), e aparecerá urna matriz vazia, que deverá ser completada conforme ilustrado a seguir. Note que as restri<;oes de positividade nao precisam ser digitadas, urna vez que o software as assume automaticamente.
.
.
HADLEY BASIS: NONE NONZEROS: 22
X.1 LOWER UPPER RETURN Y.1 Y.2 Y.3
5.2400 1.5000 1.0000 1.5000
OBJECTIVE: MAX CONSTRAINTS: 3 INTEGERS: o
X.2
7.3000 1.0000 5.0000 3.0000
X.3
8.5400 2.4000 1.0000 3.5000
DATE 10-08-96 VARIABLES: 4 NONLINEAR: o
X.4
TIME 09:02:00 SLACKS: 3 DENSITY: 52.381
RHS
4.1800 1.0000 3.5000 1.0000
<= <= <=
.0000000 2000.000 8000.000 5000.000
LO\ER UPPER RETURN Y.1 Y.2 Y.3
Para facilidade de identifica<;aodas variáveis e restri<;oesdo problemas, estas podem ser renomeadas, bastando digitar sobre as nomenclaturas-padrao adotadas pelo software (X.j para as vari{lveise Y.i para as restri<;oes)os novos rMulos. Por exempl<-.,caso se opte pela renomea<;aodas restri<;oes,a seguinte tela poderia ser observada:
HADLEY BASIS: NONE NaNZEROS: 22
X.l LOWER UPPER Lucro Maq.A Maq.B Maq.C
5.2400 1.5000 1.0000 1.5000
OBJECTIVE: MAX CONSTRAINTS: 3 o INTEGERS:
X.2
7.3000 1.0000 5.0000 3.0000
X.3
8.5400 2.4000 1.0000 3.5000
DATE 10-08-96 VARIABLES: 4 NONLINEAR: o
X.4
TIME 09:03:47 SLACKS: 3 DENSITY: 52.381
RHS
4.1800 1.0000 3.5000 1.0000
<= <= <=
.0000000 2000.000 8000.000 5000.000
LOIER UPPER Lucro Maq.A Maq.B Maq.C
Para gravar o problema, em formato de leitura específico para o ORSYS, tecle ESe e F4 (SA VE PROBLEAf), para que seja perguntado a name do problema a ser gravado: '~
"Name for stored problem?" drive
nome
27
Assim sendo, no caso de ter que se recuperar tal arquivo em futuras situayoes, basta se utilizar da opyao OLD PROBLEM(F6), do menu SETUP. Para resolver o poblema, tecle ESC e F2 (SOLVE) Aparecerá na tela: "(nome do arquivo) STARTING SIMPLEX..." com o cursor sobre a palavra "EXECUTE'. Tecle "ENTER" e, após algumas iterayoes, a soluyao aparecerá na tela. Para urna melhor visualizayao da resposta obtida, podem ser utilizados os relatórios de análise de sensibilidade gerados pelo ORSYS, que podem ser acionados através da tecla F8 (OUTPUT MENU). Por exemplo, escolhendo a opyao Fl, tem-se a seguinte tela, associada ao relatório PRIMAL:
HADLEY
VARIABLE X.1 X.2 X.3 X.4 S.l S.2 S.3
SOLUTION IS MAXIMUM PRIMAL PROBLEM SOLUTION STATUS BASIS BASIS NONBASIS BASIS NONBASIS NONBASIS NONBASIS
VALUE 294.11765 1500.0000 .00000000 58.823529 .00000000 .00000000 .00000000
Lucro
LOWER .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000
UPPER NONE NONE NONE NONE NONE NONE NONE
12737.05882
Lucro 5.24000 7.30000 8.54000 4.18000 .000000 .000000 .000000
DATE TIME VALUE 5.24000 7.30000 9.75465 4.18000 1.95353 .242353 1.37824
10-08-96 09:04:22 NET .000000 .000000 -1.21465 .000000 -1.95353 -.242353 -1.37823
Tem-se assim que a soluyao ótima diz respeito a produyao semanal de 294,11765 unidades do produto 1 (Xl), 1.500 unidades do produto 2 (X2) e 58,823529 unidades do produto 4 (X4), o que resulta num Lucro de $ 12.737,05882. Perceba-se que o produto 3 (X.3) nao foi incluído no processo de produc;ao,e que a eventual produ<;:aode 1 unidade daquele produto resultaria num decréscimo de $ 1,21465 no Lucro da firma. Tal produto só passaria a ser considerado na soluyao ótima do problema se o valor de seu lucro unitário fosse no mínimo $ 9,75465. Pela tecla F2, o seguinte relatório DUAL pode ser gerado:
\
28
HADLEY
SOLUTION IS MAXIMUM DUAL PROBLEM SOLUTION
CONSTRAINT Maq.A Maq.B Maq.C
STATUS BINDING BINDING BINDING
DUAL VALUE 1.9535294 .24235294 1.3782353
Lucro
12737.05882
RHS VALUE 2000.0000 8000.0000 5000.0000
DATE TIME
USAGE 2000.0000 8000.0000 5000.0000
10-08-96 09:04:26 SLACK .00000000 .00000000 .00000000
Percebe-se que as tres restriyoes foram atuantes ("binding") no problema, o que pode ser verificado pelo fato de observarem folgas ("slack") nulas, assim como valores de preyOsombra nao-nulos. Por exemplo, substituindo-se a soluyao ótima obtida na restriyao associada a máquina B, observa-se que as 2.000 horas disponíveis sao efetivamente utilizadas, sendo que na eventualidade de se obter urna hora adicional, o valor da funyao objetivo (que no caso representa o Lucro) é aumentado em $ 0,24235294 , ou seja, para cada alterac;aounitária no valor do RHS da restric;aoem questao, o valor da funyao objetivo é alterado no valor previsto para o preyo-sombra (DUAL VALUE). É de se esperar, portanto, que a variayao no RHS de urna restriyao atuante seja diretamente proporcional ao valor do preyo-sombra. No caso da restriyao correspondente a máquina C, por exemplo, para urna variayao de 2 unidades em seu RHS estaria associada urna variac;ao de "2 vezes" o valor do preyo-sombra. Entretanto, essa relayao diretamente proporcional entre variac;aono RHS e variayao no valor da funyao objetivo deverá respeitar alguns limites, urna vez que extrapolando-se determinado intervalo de variayao, tal restriyao poderá nao ser mais atuante. Tais limites podem ser verificados pela tecla F4, que gera o relatório de análise de sensibilidade referente ao intervalo de variayao dos RHS (RHS RANGE), apresentado a seguir: HADLEY
SOLUTION IS MAXIMUM RIGHT-HAND-SIDE RANGES
CONSTRAINT Maq.A Maq.B Maq.C
STATUS BINDING BINDING BINDING
DUAL VALUE 1.9535294 .24235294 1.3782353
Lucro
12737.05882
RHS VALUE 2000.0000 8000.0000 5000.0000
DATE TIME
MINIMUM 1888.8889 7833.3333 3333.3333
10-08-96 09:04:33 MAXI!1UM 5000.0000 9250.0000 5076.9231
Portanto, para o caso da restriyao associada a máquina C, enquanto o seu RHS variar dentro do intervalo compreendido entre 3.333,3333 e 5.076,9231, a variayao correspondente no valor da funyao objetivo continuará a ser diretamente proporcional ao valor do prec;o-sombra.Vale ainda lembrar que dentro desse intervalo de variac;aodo RHS, naturalmente outras soluc;oes ótimas deverao ser obtidas, mas associadas a um mesmo conjunto de variáveis básicas (no caso, X.1, X.2 e X.4). Note-se também que os intervalos
\
29
de variayao de RHS e valores de preyo-sombra para cada urna das restriy6es sao válidos somente para cada urna das restriy6es, individualmente. Assim sendo, se forem alterados os valores dos RHS de duas restriy6es, ao mesmo tempo, nada poderá se inferir a partir daquelas informay6es apresentadas no relatório de análise de sensibilidade. Finalmente, teclando-se F3, o seguinte relatório de análise de sensibilidade, associado ao intervalo de variayao dos coeficientes da funyao objetivo (COST RANGE), pode ser obtido: HADLEY
SOLUTION IS MAXIMUM OBJECTIVE ROW RANGES
VARIABLE X.1 X.2 X.3 X.4
STATUS BASIS BASIS NONBASIS BASIS
VALUE 294.11765 1500.0000 .00000000 58.823529
Lucro
12737.05882
Lucro /UNIT 5.2400000 7.3000000 8.5400000 4.1800000
DATE TIME
MINIMUM 4.6123708 5.0915508 NONE 3.4933333
10-08-96 09:04:30 MAXIMUM 6.2700000 11.207059 9.7546471 5.3335754
Tais informay6es sao interessantes pelo fato de poderem adiantar algo a respeito do nível de incerteza incorporado nos valores dos coeficientes da funyao objetivo. Por exemplo, enquanto o 'lalor d;:>lucro unitário do produto "1" ~stiver dentro do intervab compreendido entre 4,6123708 e 6,2700000, a soluyao ótima (em termos de níveis de produyao de cada um dos produtos) continuará sendo a mesma. Portanto, caso a firma necessite de um maior nível de seguranya quanto a produyao inicialmente obtida em funyao de eventuais oscilay6es de mercado, esse relatório informa as faixas individuais de variayao dos valores dos coeficientes da funyao objetivo (no caso, os próprios lucros unitários), de tal forma que seja mantido o padrao de produyao 294,11765 unidades do produto 1, 1.500 unidades do produto 2, nenhuma unidade do produto 3 e 58,823529 unidades do produto 4. Note, entretanto, que ao se variar o valor de um determinado coeficiente da funyao objetivo dentro do intervalo proposto, os níveis de produyao serao mantidos mas, naturalmente, o valor da funyao objetivo, associado ao Lucro, será alterado. Tanto a matriz correspondente ao problema, quanto os relatórios de análise de sensibilidade, podem ser também gravados em formato texto. Para tal, basta definir na primeira tela do ORSYS, na linha "Destinationfor Tabies (CON/PRN/File)", o nome do arquivo que deverá conter tais informa<;6es.A partir dessa informayao, tudo aquilo que originalmente estaria direcionado para a tela (DISPLAY), passa a ser incorporado em um único arquivo, que pode ser editado (e eventualmente impresso) através de um processador de texto qualquer. Para um alinhamento adequado das informay6es contidas nesse arquivo,
30
é interessante que através do processador de texto utilizado seja formatado o conteúdo de todo o arquivo com a fonte Courier New, tamanho 9. Finalmente, para terminar a utiliza<;aodo software, tecle Ese duas vezes, quando aparecerá a seguinte pergunta, que deverá ser respondida adequadamente: "Do you want to end session (YIN)?" Naturalmente, o ORSYS é apenas um exemplo de software para Programa<;aoLinear. Há urna série de alternativas e op<;oesno mercado de software, que passam inclusive por macros incorporadas em planilhas eletrónicas. Para referencia, a revista OR/MS Today, periódico bastante conceituado na área de Pesquisa Operacional, publica periodicamente urna pesquisa exaustiva sobre o desempenho e características operacionais de software de programa<;aolinear disponíveis no mercado. É apresentado a seguir um resumo, organizado por SHARDA (1995), com as principais características de software para programa<;aolinear disponível no mercado.
31
Software:
C-WHIZ
AXA
FortLP
CPLEX
KetrÍxtMarÍágement~ - ,:'CPLExOptimization lne. NumericaJAIgorithmsGroup .~~. 75!iJelfeml[)¡M¡H\\y,#OOI .930 TahoeBIvd.#802-279.,,14000pus PI.,Suite200;i~;~ ,rlington,YA 22202.t,t1!'lncfme ViUage, NV89451 :k DownersGrove,lL ," !,:,J~fi "
rSA,;~:11tL:?~'~:r~;~if~?-fi~~~i;~~r!it~t~(:~~1' :25 Telephone: Fax:
703-412-3201
702-831-7744
708-971-2337
818.441-1567
703.412-3217
702-831-7755
708-971.2706
E.mail:
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IBMASI400;DECVMS;;f;
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Slze 01problem solvable by Ihis syslem: Smallesl version: # 01 rows: # 01 columns: # 01 non-zeros: Hardware required: Largest # # #
. '"
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o,Unlx
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818-441-1565
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Yes 'No No Yes AlItypes No
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32.000 32.000 unlimited computerwithFORTRAN compIler
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Harllware reqlllred:
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CAMPS
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GAMS,AMPLand MPL
GAMS,MPL.DATAFORM. OML
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No Yes unlimited
No Yes unlimrted
Yes Yes infinity
Yes Yes nolimrt
DEVEXpncing.LU decomposition, duaJsimplex. branch&boundculs
branch&bound:branch& cut:bivalent: bina¡y;semicontinuous: genera!integer. speciaJorderedseis (type1 andtype2)
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branch&bound
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Fast.
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algonthms
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Deveq¡ed
programming algonlhms. available in ¡nteractive & library formats.
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Parallel LPs in
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lo hardle Iarge
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led1niques. Can
be used as integrated q¡timizer
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32
Fon MP
HSIlP
NAGlBrunel University Wilkinson House.JordanHiH Oxford.UK
Haverty
UNDO
LAMPS Systems
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UNOO Systems Inc.,:~
312,871.2524 312.871.1m
312.871.2524 312.87,.,
compiete bne 01 software tar
canolete
buikJing ano soIving linear & noniinear oC!il'T1lzanon modeJs
IU1l1near optIIT1ZatX:nmooeJs
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USA
LOCO
AdvancedMathematieal Software ...: " ~ 110GardinerHouse. . 3-9 BroomhiD Rd. tondon.SW18.UK .- .c.. ,
P.O. Box 1110 Denviile, NJ 07834
UNGO
Q1865.511245 Q1865.310139
201.627.1424 201.625.2296
+44181-870.8882 +44181.870.1791
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OMNI LP ~,'aaeling System
MAGIC/LAMPS + mamx generanan and repomng system
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5,000
512KBDGS
386wlth8 MB
1 million 50 mlilian 400 mlilion 2GB
8.000 16.000
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'c 336/486 $475.$875 S1250.S3.7:0 S287-S760 can
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100 200 unlimned 386PCor Mae
100 200 unlimited 386PCorMae
unlimlted unlimned unlimiled
unlimrted unlimned unlimned vaneswnnproblemsize&. hamware0Iath,1\
unlimited unllmned unlimned Vlnr.sW¡thoroblemslze& t aro\\'1replaHo",
unlimrted unlimned unlimned
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Newsubroutines haveoeen added10thesucroutlne librarydeslgned10lae1iitate Ihe soectfieatlon and solulion01eonvex cpnmlzation orcblems.
33
Software:
LPIMIPSolverDLLs
LSSOL
MINOS
MILPLPOplimizer
Frontline Systemslnc.~\~i~.oStanford Business Software ;'1~mPtíte;'tAutoInation P.O.Box4288.X":¿;"i"SJ:;:";¡~2680l3ayshorep~~;'I.;i~ -. . o
InclineVillageNV 894S1r'c;.;,;Suile 306
'!lit"
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'f~fg~~~1~~~~}A:~.i;;.¡.1 Telephone: Fax:
702-831-0300 702-831-0314
E'mail:
saies@fr°n1sys.com
415-962-8719 415-962-1869
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,." '0"
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SA-MINOS (sensitivity analysis);IP-MINOS
unlimited 800 unlimiled IBMPCwith8 MBRAM
dependent on RAM dependent on RAM dependent on RAM
100 200 8.000 256KBDOSmemory
dependenl onRAM dependent onRAM dependent onRAM
unlimited unlimited unlimiled IBMPCwithenoughRAM lor problem
dependenlon RAM dependent on RAM dependent on RAM FORTRAN 77compller;al least1 MBRAM
dependenlonRAM dependenton RAM dependenlon RAM
dependent onRAM dependenlonRAM dependent onRAM FORTRAN 77compiler;al leas'1 MBRAM
Yes No Yes
Yes No No
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GAMS.AMPL
~rlclng'Ilormatlor:;i'di.::'->;';i. ~'Smallest versfon-";<.;"<'~ ~.Largest verslon ~:~;';,1e:::f' r' .;."'''e''''''';'~ ~~Educatlonalprlce,s:,:::,';;,;::;:1~i{~';'
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~~~C;;d~¡~¡;'~~;t:rf~~ '~;~u!.~~~.~eu;<
IntegerProgramming Binaryonly General¡nleger Range01number01¡nlegervariables: Descriptlon01algorithmsimplemenledin software(opllonal):
No Yes all branch& bound,many stralegieslor choosing branchvariableand direction
Yes, Yes simplexmethoddoesnot takeintoaccountsparsity; numerically stable algorilhms
simplexmethod;takes advantage 01sparsity; numerically stable algorithms
~~1i{~~I:j';'~~;;~;~~;~'~~k~:!:.~-,~~~;;~;~~~~;!~%it: Commenls/NewFealures:
CallableIromVisualBasle. AccessBasic.C/CH. etc. SupportsWindows multitaskingandvirtual memory.Nowlor Windows NTandWindows95.
Softwaredevelopedby SystemsOptimization Lab. Slanlord.Inputlormats describedin manual.
Compactdesignonot memoryhungry;best startingprocedure. sophisticated PhaseI algorithm.variety01pricing techniques. advancedantidegeneracy strategy;solves largeLPproblemsroutmely,
Softwaredevelopedby SystemsOptimization Lab. Stanlord;sensitivity analysisis anoptlonaladdon.
34
MINOS(115) 5.0
MPL Modeling System
MathPro
OUNILP
OMP
613-788.5733
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.
703-360-7600 703-360-7654
'~~¡5~~lt~-!¿~~.'~:~~jf;'~',~
.,[ct,Uriíí
[email protected]: '::¡.i8~í~ík@;it-;;:gi;¡~' "~~}i~ Supportsmultiplesolvers: CPLEX,OSL.XA,Frontlíne, Lindo,FortMPandothers
dependenton RAM dependent on RAM dependent on RAM
300 300 n/a 386. 486 or Pentium
1.000 2.000 20,000 386 PC with 640K RAM and coprocessor
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20 50 300 386 with 4MB
3.000 15.000 unlímrted PC, 512K. 386+
dependen! on RAM dependent on RAM dependent on RAM
16M 16M 16M
uniimited unlimited unlimrted 486 or Pentium PC
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Ves
Ves No Ves
Ves Ves Ves
Ves No Ves
No Ves Ves
MPL Modeling Syslem is a modeling language.
MathProincludesitsown modelinglanguage
Ves Ves unlimited
Ves Ves upto 32,000 .
supports all algorilhms available in the solver used.
supportssimplexprimaland dual;branch&boundwith user-definable strategies; S051 & 50S2
Memory 50000, Nonzero/ 1Mb
lit' 'i'~~ ,;::... Ves No No
Ves
OMPmodelgenerator
Ves Ves unlimited
Ves Ves 10-300,000
Ves Ves 3.000 revisedsimplex:branch& bound;transportation; leasibledirections
.~~.~.,o:i~:~.~~~\.s;~*;~~;n;J~~~:;fl~~~' A modifiedversion01 MINaS5.4whichanalyzes inleasibleLPs:nowlinds minimumcardinalilyliS set covers.Algorithmsuser selectable.
Anadvancedmodeling languagethatallowsusers to set upmanyLPmodels. Integratedmodeldevelopmentenvironment features pull-downmenus.pop-up windows,a bullt-inmOdel editor.outputviewbrowser andon-linenelpsystem.
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35
Software:
OSL
PC-PROG
PremiumSolverlor Excel
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914-433-8732
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914-433-8363
702-831-0314
ROlXPRESSDev.Sys.
423-522-2211 423-522.7907
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SIze01problemsolvableby thls system: Smallestversjon: # 01rows: # 01columns: # 01non-zeros: Hardwarerequired: Largestversion: # 01rows: # 01columns: # 01non-zeros: Hardwarerequired:
IntegerProgramming Blnaryonly Generallnteger Range01number01Integervariables: Descriptlon01algorithmsimplementedIn software(optional):
Comments/New Features:
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dependent on RAM dependentonRAM dependent on RAM PCsto mainframes
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dependent on RAM dependent on RAM dependent on RAM PCsto mainlrames
500 500 2,500 IBMcompatible
unlimited unlimited unlimited IBMPCwithenoughRAM forproblem
unlimited unlimited unlimited Umitedonlyby memory
Yes Yes Yes
Yes Yes Yes
No Yes No
Yes Yes Yes
AIMMS.AMPL,GAMS, LINDO,UNGO,MathPro, MIMI,MPSX,OMNI,etc.
LP&MIPpn:.pieIaJy rraEfrr,¡;
Yes Yes limitedby memory
Yes Yes none
No Yes all
No Yes unlimited
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+441604858993 +441604858147
...!7'¡'¡;Y:))G{';!~~h~~~~~~i~:~1tr[~~~~~~~~.'" ::@~~~~~4'~~~;~?STARSfortruckrouting andscheduling
",'4''",':o~.dí.tik:~{:i."
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2,000 5,000 20,000 386+PCwith2 MB
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Ves Ves Ves
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~~~~i;.;;,i~
37
2.4.3 Formulac;ao matemática
Tome-se o seguinte exemplo, baseado em formulac;aoproposta por LEE, MOORE & TAYLOR (1985): "Para uma determinada área, utilizada para o plantio de soja e algodi'io,calcula-se que há 800 homens-horas disponíveis durante o período de semeadura; e que si'io necessários 20 homens-horas por hectare de soja e 40 homens-horas por hectare de algodi'io. Oferece-se ainda uma linha máxima de crédito de $ 6000, dividida da seguinte forma: $ 300 por hectare de soja e $ 100 por hectare de algodi'io. Como organizar esta área de plantio se é sabido que as margens de lucro esperadas si'io $ 100 por hectare de soja e $ 80 por hectare de algodi'io?" Para determinar as áreas de soja e algodao a serem plantadas, as seguintes variáveis podem ser definidas: Xl = n° de hectares
de soja a serem plantados;
x2 = n° de hectares de algodao a serem plantados.
A representac;aomatemática do modelo pode ser dada por: Max Z = 100x¡ + 80x2 sujeito a
Z ,,7"
2x¡ + 4X2 :s;80 3x¡ + x2:S;60
~9
~ 1
..J Lv~<-" " '';
'? ¡,,()
6,
XI ' x2 ~ O
Acrescentando as chamadas variáveis de folga para transformar as inequac;5es em equac;5es: Z -
100x¡ - 80X2 = O (O) 2x¡ + 4X2 + SI = 80 (1)
3x¡ +X2 +S2
= 60 (2)
Portanto, para (1), se s¡ vale zero, o resultado a ser esperado para a expressao "2x¡ +4x2" deve totalizar "80". Caso SI seja maior que zero, a expressao "2xl +4x2" deve valer menos que "80", o que efetivamente caracteriza a "folga" na restric;ao.
~
~y " ~
Assim sendo, o sistema representado agora pelas equar;oes (O), (1) e (2) pode ser resolvido, a partir de urna soluyao inicial, normalmente localizada na origem. A soluyao inicial estar localizada na origem implica que XIe x2 valem zero, e consequentemente, SI e S2valem respectivamente "80" e "60". As variáveis sI e s2 , que assurnem assim valores nao-nulos, sao chamadas variáveis básicas, ou seja, fazem parte da chamada "base" do modelo de programayao linear, que deve conter urn número de variáveis que seja igual ao número de restriyoes do problema. Para identificar as variáveis que compoem a base, deve-se observar quais delas respeitam a característica da matriz identidade, nas equayoes representativas das restriyoes do problema. No caso, tais equayoes poderiam ser reescritas como sendo: 2x¡ + 4X2 + ls1 + OS2 = 80 (1)
3x] + lx2 + Os]+ Is2 = 60 (2) Confirma-se entao que a primeira soluyao viável pode ser representada pela base (s1> s2)' Normalmente, as variáveis restantes, nao pertencentes a base, sao chamadas de variáveis nao-básicas, e assumem valores nulos. Assim sendo, urna vez que a funyao objetivo pode ser reescrita como: Z -
100x] - 80X2 + OSI+ OS2 = O
(O)
e que as variáveis (x¡, x2) estao associados os valores (O, O), e as variáveis (s¡, s2) estao associados os valores (80, 60), isso faz com que o valor ótimo (no caso, máximo) de Z seja igual a zero. Para melhorar a qualidade da soluyao, mecanismos de "troca", ou de "pivoteamento" entre as variáveis devem ser efetuados, através dos seguintes passos: 1) Escolha a variável com maior contribuiyao a Z ~ xl selecionada para entrar na base. 2) Resolva para xl em ambas as restriyoes, com as outras variáveis iguais a zero variável que deixa a base.
~
39
2x¡ +4(0)+0=80
(1)
3x\+1(0)+0=60
(2)
X¡ = 40 ~
de (1)
x¡ = 20~
de (2)
3)
Qual
restriyao se tornará
-+ menor
primeiro?
valor para xl: restriyao (2)
s2 é a variável
4) Para
limitante
que
deixa
reestabelecer
a base.
a matriz
.
identidade,
com
a variável
xl
incluí da, o coeficiente
para xl deverá ser zero na equayao (O)e restriyao (1), e 1 na equayao (2). Partindo-se assim da equayao (2), a mesma deve ser dividida por 3, resultando em:
X¡ + 1/3 x2 + 1/3 S2 = 20
(2a)
Multiplicando (2a) por 2, e subtraindo de (1): =
2x¡ + 4X2 + SI -2x ¡ -2/3 X2
-2/3
10/3 x2 +s¡
S2
-2/3
80
s 2 = -40
=
(1) ( 2a ) x 2
40 (1a)
Multiplicando (2a) por 100 e somando a (O): Z -100x¡ - 80X2 = O (O) 100x¡ + 100x2 + 100s2
33.
Z - 140x2 + 100s2
3
3
= 2000
= 2000
(2a) x 100
(Oa)
Assim sendo, tem-se as seguintes novas equa<;oes,que confirmam as características da matriz identidade com relayao a nova base (sI, Xl):
40
140x2 100s2 -+-=2000 3 3 10x 2s Ox + --1. + s - 2 ¡ 3 ¡ 3 Z-
Ix
Ix +
Is 2 + Os + J
3
¡
¡
3
(O)
= 40 = 20
(1)
Base: s¡,x¡
(2)
Os passos anteriores sao entao novamente repetidos, urna vez que ainda há contribuiy5es positivas na funyao objetivo. Assim, a partir da 2a. iterayao, obtém-se: Z + 14s¡+ 24s2 = 2560 X2
(O)
+ 3/10s¡ -1/ 5s2= 1.2 (1)
Base: x2 ' x¡
x¡ -1/1 Os¡+ 2/ 5s2 = 16 (2) Generalizando o método Simplex, um sistema de equay5es lineares pode ser representado no seguinte tableau6:
Base
c¡ cb
b.* 1
/
cl
c2
c3
C4
Xl
x2
sI
s2
all
a12
a13
a14
ail
ai2
ai3
ai4
Z¡
ci
- zi
i = linha j = coluna onde:
Cj= coeficientes da funyao objetivo; cb = coeficientes das variáveis básicas; 6Adotada a nomenclatura e padroes apresentados por LEE; MOORE & TAYLOR (1985).
41
aij
= coeficientes técnicos das restriyoes;
Base = conjunto das variáveis representativas da soluyao corrente; b¡* = RHS ("right-hand-side", ou termo da direita), inicialmente, tornando-se eventualmente o valor da soluyao do problema; Zj = decréscimo no valor da funyao objetivo, associado com a produyao de urna unidade da variável básica j;
-
Cj Zj
= acréscimo unitário a funyao objetivo se a variável nao-básica "j" entrar na
soluyao.
Exemplo: Max Z
=
100x¡ + 80X2 + Os¡ + OS2
sujeito a 2x¡ +4X2 +s¡ 3x, +X2 +S2
= 80 = 60
x¡ ,X2,s¡ ,S2 ¿ O
Tableau inicial: Ci
Base
b.* 1
100
80
O
O
Xl
sI 1
s2 O
O
sI
80
2
x2 4
O
s2
60
3
1
O
1
Zj
O
O
O
O
O
Cj - Zj
-
100
80
O
O
cb
42
Passos a serem observados:
a) solw;:aoinicial: origem, representada pela base (s¡, s2) b) caminhar para urna melhor soluyao até que nao haja mais valores positivos para Cj - Zj
- cálculo
de Zj: ¿aij
x éb
j
Ex: Zj da coluna bj*
o x 80= O Ox 60 = O L:=0 Zj da coluna xl:
'
Ox2=0 Ox3=0 L:=0
Assim, tem-se que:
~ Variável de Entrada = variável nao-básica com malOr Cj - Zj , que no caso corresponde a variável xl' Acoluna referente a variável xl é dado o nome de coluna pivó. c) definiyao da variável de saída, ou seja, da variável básica que se toma limitante pnmelro. ~ Teste: estabelecer o valor zero para as outras variáveis, e identificar a equayao na qual a variável xl assume o menor valor.
2x¡ + 4(0) + 1(0) = 80 80 2x¡ = 80 ~ Xl = - = 40 2
3Xl + 1(0) + 1(0) = 60 3x¡ = 60 60 Xl = - = 20 3
43
Portanto, é na segunda linha que a variável xl assume o menor valor. A essa segunda linha, a qual está associada a variável s2, é dada a denominayao de linha pivó.
A célula
correspondente a interseCyaOda linha pivó com a coluna pivó é dado o nome de elemento pivó, que no caso diz respeito ao elemento "3". Assim, generalizando, para se obter o elemento pivó, deve-se dividir cada bi* pelo valor correspondente
da coluna pivó e escolher o menor valor nao-negativo,
ou seja,
calcular o menor valor de (:; (coluna pivó) ).
d) operayoes a serem realizadas nas linhas do tableau, para garantir a característica da matriz identidade para a nova base:
- na linha pivó:
novo valor = antigo valor
demento ¡:,ivó
- nas outras linhas: novo valor =
novo valor '\
= (antigo '\ - (coeficiente correspondente
kvalor ~ k
na colunapivó
No caso: *
b¡ = 80- 2x20 = 40 x ¡ = 2 - 2xl = O X2= 4 - 2x(1I3) = 10/ 3 s¡ = 1- 2xO= 1 S2= 0- 2x(1I3) = -2/3
x
da linha pivó~
44
e) cálculo dos novos Zj Z . = Ox40 + 100x20 = 2000 b¡ z¡ = OxO+ 100xl = 100 z2 = Ox(10/3) + 100x(1I 3) = 33 113 Z3 = Oxl + 1OOxO= O Z4 = Ox(-2/3)
+ 100x(1I 3) = 33 113
f) cálculo dos novos Cj - Zj c¡
-
z¡
= 100 -100 = O
c2 -Z2 =80-33
1/3=462/3
c3 - Z3 = O- O= O
c4 - Z4= 0-33
113 = -33 113
g) no novo tableau correspondente: c¡
Base
b.* 1
100
80
O
O
x2 10/3
sI 1
s2 -2/3
O
sI
40
Xl O
100
xl
20
1
'1/3
'0
1/3
Zi
(2000 "-
100
33 1/3
O
33 1/3
O
46 2/3
O
-33 1/3
cb
ci - Z¡
podem ser observadas as características da matriz identidade para nova base (s¡, xl), a qual corresponde um valor de "2.000" unidades para a funyao objetivo. Após a 23 iterayao, chega-se ao seguinte tableau:
c¡
Base
b.* 1
cb
80 100
100
80
O
O
Xl
x2
sI
s2
1
3110
-1/5
O
-1/10
2/5
x2 xl
12 16
O 1
zi
2560
100
80
14
24
-
O
O
-14
-24
C¡- Z¡
45
Percebe-se que nao há mais valores positivos de Cj - Zj, o que, para um problema de
maximizac;ao, significa que nao há mais possibilidades de se aumentar o valor da func;ao objetivo. Portanto, chegou-se a soluc;i1oótima, representada pela base (x2, xl), que assume os valores (12,16), resultando no valor de 2.560 unidades para a func;aoobjetivo. Pode-se, assim, a partir dos passos seguidos para este exemplo, ser definido um roteiro para a aplicac;aodo método Simplex para um problema típico de maximizac;ao.Para a resoluc;ao de outros problemas de otimizac;aoatravés do método Simplex, os seguintes ajustes devem ser realizados: /
Ajuste na func;aoobjetivo
Restric;ao tipo Ajuste na restric;ao Adicionar urna variável de folga (si) =
Adicionar urna variável artificial (AD Subtrair uma variável de excesso (si) e adicionar urna variável artificial (AD
Problema de Maximizac;ao Adicionar urna variável de folga (si) com coeficiente O Subtrair variável artificial (AD com coeficiente M Adicionar variável de excesso (si) com coeficiente Oe subtrair variável artificial (Ai) com coeficiente M
Problema de Minimizac;ao Adicionar uma variável de folga (sD com coeficiente O Adicionar variável artificial (AD com coeficiente M Adicionar variável de excesso (sD com coeficiente Oe adicionar variável artificial (AD com coeficiente M
Note-se que para problemas de otimizac;aoque envolvam restric;oestipo ~ , a simples transformac;aoda inequac;aoem equac;ao,através agora da subtrac;aoda chamada variável de excesso, nao é suficiente para caracterizar a origem como base inicial do problema (os coeficientes unitários de Si sao negativos!). Nesse sentido, vale-se do artificio da incorporac;ao de variável artificial, cOm coeficiente unitário, a restric;ao pertinente. Com isso, para o caso de um problema que envolva duas restric;oestipo ~ , a base inicial será composta pelas variáveis (A 1,A2)' que respeitarao a característica da matriz identidade. Por outro lado, nao será desejável que tais variáveis permanec;amna base. Para evitar tal situac;ao, sao atribuídos coeficientes tipo M a essas variáveis na fun<;aoobjetivo em questao, onde M representa um valor muito alto. Assim sendo, para o caso de problemas que envolvam a minimiza<;aode urna determinada func;aoobjetivo, o coeficiente de Ai na
46
fun<;aoobjetivo deverá ser +M, caracterizando a variável básica que se comporta mais contrariamente ao sentido de otimiza<;ao do problema, devendo assim ser a primeira a deixar a base. Raciocínio análogo pode ser feito para problemas que envolvam a maximiza<;aode urna fun<;aoobjetivo, sendo nesse caso, -M o coeficiente da variável A¡ . Para problemas que envolvam restri<;oestipo igualdade, a utiliza<;aode variáveis artificiais Ai , com os devidos coeficientes M na fun<;aoobjetivo, também se aplica.
2.5 MÉTODOS DE PONTO S INTERIORES7
Diferentemente do Método Simplex, o caminhamento para a solu<;aodos métodos de pontos interiores nao é feito ao longo dos vértices da regiao viável e sim através do interior da regiao viável. Tome-se o seguinte exemplo de estrutura de problema linear8: min cTx
(1)
sujeito a Ax ~ b
e
x¿O
(2)
onde x E Rn, b E Rm.
A intersec<;aodas m restri<;oestipo inequa<;oesdefine a regiao viável, podendo assim ser representada por um poliedro em um espa<;on dimensional. Quando esse poliedro está sujeito a limites, a regiao viável é chamada de politopo em um espa<;on dimensional. Como já foi visto, o algoritmo Simplex caminha de um vértice do politopo para outro, com o intuito de melhorar o valor da fun<;aoobjetivo. Esse movimento de vértice para vértice é obtido através de um mecanismo de pivoteamento, que opera no politopo original e seus vértices. Em contraste, para facilitar a movimenta<;ao através do interior, urna estratégia distinta é adotada. Tal estratégia pode ser implementada através de urna seqüencia de transforma<;oessimples, aplicadas ao espa<;ono qual o politopo original é definido. Mais 7 Baseado em ARBEL (1993). 8 Recomenda-se que algum texto básico de Vetores e Álgebra Matricial seja consultado, para que se obtenha um bom entendimento desta Se~ao (por exemplo, CHIANG, 1982).
47
especificamente, Opolitopo original é transformado, a cada itera«ao, em outro politopo, no qual a itera«ao corrente é aplicada para depois ser retransformada em seu formato original ao final da itera«ao. Considerando um problema de Programa«ao Linear em sua forma padrao: min cTx
(3)
sujeito a Ax=b ondex
e x~O
(4)
E Rn, b E Rm eAéurnamatrizmxndepostom,m
Note-se que o exemplo apresentado em (1) e (2) pode ser facilmente transformado na forma padrao apresentada em (3) e (4) pela adi«ao de variáveis de folgas nao-negativas. Assim sendo, dada urna solu«ao inicial, viável e interior (Le., que satisfaz a restri«ao de igualdade, Ax = b, E"cujos componentes sao estritamente positivos, x > O),pesquisa-se urna maneira'para se continuar em urna dire«ao descendente, para o próximo ponto. Esca tarefa, apesar de simples em sua especifica«ao, é muito menos óbvia em sua implementa«ao. Especificamente, as seguintes perguntas deverao ser respondidas: 1) Como come«ar? Como encontrar urna solu«ao inicial, viável e interior a regiao viável? 2) Como continuar? Dada urna solu«ao inicial, como gerar a solu«ao seguinte garantindo que, ao mesmo tempo, a viabilidade seja mantida e o valor da fun«ao objetivo reduzido? 3) Quando parar? Assumindo que seja possível encontrar respostas para as primeiras duas quest6es, por quanto tempo o passo 2 deverá ser repetido? Quantas novas solu«oes deverao ser geradas? Como identificar a existencia ou ausencia de urna solu«ao ótima? Esses tres aspectos, também válidos para o desenvolvimento do Simplex, sao também cruciais para urna implementa«ao bem sucedida de qualquer algoritmo de pontos interiores. Pelo Simplex, inicia-se em um vértice e continua-se de um vértice para outro até que o vértice ótimo seja alcan«ado. Supondo-se que se deseja caminhar através da regiao viável e nao em tomo de sua envoltória, como isso poderia ser feito?
48
No caso de um problema de maximizafiio, a partir de urna soluyao inicial que seja viável, em um enfoque simples, poderia se seguir a direyao do vetor gradiente tanto quanto fosse necessário para se obter o maior aumento possível no valor da funyao objetivo. Ignorando o aspecto da manutenyao da viabilidade através dessa movimentayao, toma-se imediatamente aparente que a soluyao inicial adotada afeta o progresso que pode ser obtido em cada passo. Se se inicia nas imediayoes de uma das faces do politopo, pequeno progresso pode ser esperado. Por outro lado, se se inicia próximo do centro, progresso considerável pode ser esperado, conforme ilustrado na Figura 5.
(
Figura 5
soluc;;ao
ótima
- Alternativas de caminhamento em direyao a soluyao ótima.
o polígono mostrado na Figura 5 representa o politopo de um problema de programayao linear ilustrativo. Qualquer ponto interno ao polígono satisfaz as restriyoes do problema e oferece urna soluyao viável. Portanto, as fronteiras da regiao mostrada na Figura 8 restringem todo progresso em direyao a uma soluyao que seja interior a elas. Essas fronteiras sao também chamadas de "muralhas" da regiao viável, e nao devem ser cruzadas. Assim sendo, tem-se o ponto A, deslocado do centro e próximo da fronteira, e o ponto B centrado e igualmente distante de todas as "muralhas" da regiao viável. Para esses dois pontos iniciais, tendo em vista a sua localizayao relativa ao ponto ótimo, progresso considerável é feito se a busca é iniciada a partir do ponto B, enquanto a busca a partir do ponto A se encerraria rapidamente na muralha da regiao viável. Tome-se um problema de programayao linear na seguinte forma:
49
min cTx
(5)
sujeito a x~O
(6)
onde x E Rn. Assumindo que qualquer vetor n-dimensional, estritamente positivo, seja urna solwrao inicial viável, deve-se identificar urn vetor de dire<;:aodas itera<;:oesque movimente a solu<;:aoinicial num sentido decrescente, em termos de valor da fun<;:aoobjetivo. Urna maneira para tal seria inscrever urn círculo em x ~ O,centrado na solu<;:aoinicial, e com um raio suficientemente grande para nao violar as restric;:oesde nao-negatividade. Com este círculo, a soluc;:aoinicial está localizada em seu centro, a regiao viável passa a ser considerada como arredondada, e se toma possível realizar progressos consideráveis na direc;:aode outra soluc;:aoviável, com um menor valor para a func;:aoobjetivo. O próximo passo será o de definir o vetor de direc;:aodas iterac;:oes,que será assurnindo, inicialmente, como sendo o gradiente da func;:aoobjetivo. Como o gradiente é igual ao vetor .Q,o caminhamemo na óirec;:aoda soluc;:aoótima deve ser feito no sentido oposto a c (ou seja, -c), chegando-se a urna soluc;:aocom valor de cTx igual a urna constante, tangente ao círculo inscrito no primeiro quadrante, e
particularmenterepresentadapelopontoB, conformeapresentadona Figura 6. e
gradiente
fun~ao
objetivo
Figura 6 - Círculo inscrito e vetor de direc;:aode iterac;:oesno espac;:osoluc;:aooriginal.
50
Note-se que devido ao arredondamento da regiao viável, assim como pelo fato de se iniciar pelo centro, chegou-se ao ponto B, o qual é ainda um ponto distante da origem (que, no caso, é a soluyao ótima do problema). De qualquer maneira, ao examinar-se o ponto em questao, observa-se que grande progresso foi feito ao longo do eixo vertical, e pouco progresso ao longo do eixo horizontal. Maior progresso poderia ter sido obtido, entretanto, se a soluyao inicial estivesse a igual distancia de ambos os eixos. 1sto poderia ser facilmente obtido pelo escalonamento (mudanya de escala) do sistema de coordenadas da Figura 9, de tal maneira que o centro do círculo fosse movimentado até ficar tangente a ambas "muralhas" (no caso, os eixos do sistema cartesiano) da regiao viável. Nesse novo espayO, movimentar-se novamente na direyao assumida anteriormente nao será mais válido, em funyao do escalonamento adotado. Para efetuar os devidos ajustes para se obter a direyao adequada para esse novo espayO,o componente horizontal (apenas, urna vez que somente o eixo horizontal foi escalonado) do vetor de direyao de iterayoes também deverá ser escalonado. No exemplo em questao, como a escala horizontal foi transformada pur um fatcr igual. a 2 para se obter a transbyao desejada, o mesmo fator deverá ser aplicado ao componente horizontal do vetor de direyao, o que implica a situayao representada na Figura 7.
Figura 7 - Círculo inscrito e vetor de direyao de iterayoes no espayOsoluyao escalonado. Note-se ainda que esse escalonamento nao se aplica somente ao vetor da funyao objetivo, mas assim também as restriyoes do problema, o que resulta em um problema de programayao linear escalonado.
~
51
Portanto, há a necessidade de se reescalonar a soluyao, de tal forma a se respeitar o espayO soluyao original. Essa operayao de reescalonamento é chamada de transformayao afinada, o que requer a utilizac;ao dos chamados algoritmos de escala afinada (ou afimescala). No caso em questao, o círculo no espayO escalonado é "transformado" em urna elipse, dentro do espac;osoluc;aooriginal, conforme mostrado na Figura 8. Em espayOSque envolvam um maior número de dimensoes, esse processo de reescalonamento "transforma" a esfera nurn elipsóide.
e
"-
~
Figura 8 - Elipsóide inscrito no espayOsoluyao original. Assim sendo, com a soluc;aoinicial fixada em A, a melhor iterayao que se obtém é a movimentayao até B (sem escalonamento) ou até C (com escalonamento, e maior reduyao no valor da funyao objetivo). O ponto D mostra a próxima iterayao, a partir do elipsóide inscrito no sistema cartesiano e centrado em C. Portanto, fica clara a importancia de dois componentes principais de urn algoritmo de pontos interiores: centralizac;ao e direyao descendente. A centralizayao proporciona o potencial para se atingir urna boa reduyao em custo através de urn único passo, enquanto urna boa direyao descendente permite a verificayao desse potencial. Os algoritmos de escala afinada consistem assim na sequencia de passos onde a soluyao inicial é primeiramente centrada através de urna operayao de escalonamento, para depois se seguir pela melhor direyao descendente naquele espayO escalonado. Com a obtenyao dessa melhor soluyao, urna operayao de reescalonamento transforma esse ponto "de volta" ao espayOoriginal.
52
Na prática, entretanto, o reescalonamento é previsto nos passos do algoritmo de tal maneira a sempre se trabalhar no espa<;ooriginal. 2.5.1 Representa<;aomatemática Assumindo que um ponto inicial, interior e viável, esteja disponível, e seJa representado por Xo(onde Xo> O),isso implica que: Ax o =b
(7)
A seguir, o vetor da dire<;aodas itera<;oes, dx, que orienta o caminhamento das itera<;oesem tomo de um novo ponto denominado xnovo'que também respeite a viabilidade do problema, deve ser obtido. Assim, tem-se que: Xnovo= Xo + dx
(8)
Corno se trata de urna solu<;aoviável, tern-se ainda que: A xnovo =
A(xo + dx) = Axo + Adx = b
(9)
Corno Axo = b, entao Adx = O
(10)
Alérn disso, para garantir o sentido decrescente, c Txnovo -< CTXo
(11)
A partir de (8): T T < T T < C Xnovo- C ( Xo + dx ) - c Xo ::::::> c d x - O
(12)
Assirn, foram obtidos dois requisitos para o vetor de dire<;aode itera<;oes dx. O prirneiro diz respeito ao fato de tal vetor pertencer ao espa<;onulo da matriz A; e o segundo preve que o produto desse vetor com vetor objetivo ~ seja nao-positivo.
53
Para considerar o sentido do vetar gradiente, de tal forma a preservar a validade das expressoes (10) e (12), o primeiro requisito pode ser representado por: N (A) = {x: Ax = O, X ERn}
(13)
ou seja, o vetor de direyao pertenee ao espayo nulo da matriz A de dimensao m x n. Um operador de projeyao para este espayOé dado pela matriz f de dimensao n x n, tal que: (14)
P=ln -AT(A.ATr1A
É ehamado "de projeyao" urna vez que ao operar sobre qualquer vetor n-dimensional, faz eom que tal vetor passe a estar contido no espayOnulo da matriz A. Isto é, se y = Pz, entao é faeilmente verificável que Ay = Opara qualquer vetor z e, portanto, y pertenee ao espa<;onulo de A. Esta matriz de projeyao, além de satisfazer AP = O, é também simétrica (P = pT) e idempotente (P = PL). Usando assim a matriz de projeyao para projetar -e, tem-se que (15)
dx = P(-e) Das propriedades de simetria e idempoteneia: eTdx =
- eTPe = - cTp2e
= -(Pe)T(Pe) = -llpcl12~O
(16)
ou seja, garante o sentido decrescente do vetor. Assim, dada urna soluyao viável inicial, e interior, projeta-se o gradiente da funyao objetivo no espayo nulo de A e itera-se no sentido contrário desse gradiente, garantindo-se assim a viabilidade da soluyao e o decréseimo no valor da funyao objetivo (vide Figura 9).
54
original
y
gradiente
x
projetado
Figura 9 - Projec;aodo gradiente da func;aoobjetivo.
Considerável progresso foi entao obtido com o desenvolvimento de alguns elementos de um algoritmo de pontos interiores. Esses elementos estavam relacionados com os requisitos necessários para um vetor de dire¡;ao dé iterac;6es,de tal maneira que o devido caminhamento fosse atendido. Para repetir tal iterac;ao, o elemento associado ao escalonamento tem que ser tratado, nao só sob um enfoque gráfico, mas também em func;ao de suas implicac;5esmatemáticas. Dado assim um vetor inicial, x = [xl, x2, ... , Xn]T,seus componentes sao escalonados de tal maneira que se chegue a um vetor x¡, cujos componentes estao a igual distancia de todas as "muralhas" do politopo. Assumindo esse vetor escalonado X¡, com distancias unitárias das bordas, tem-se a seguinte relac;ao: 11 11 XI
= 1 1
D=
IXI O O O O 10 X2 O O O O O X3 O 01 O
O
(17)
O O xn
USP/ESALQ Departamento ~~ ~conomia e SOCIOIOg!«:I 1~ural BIBLtOTECA
55
onde a diagonal da matriz escalonada D é composta pelos elementos do vetor x original, isto é, D = diag (x). Tem-se assim que: x = Dx I
ou seja,
xI = D-Ix
(18)
Além do mais, urna vez que o vetor soluyao x é sempre interior ao politopo, os elementos da diagonal da matriz D sao estritamente positivos e, portanto, D é passível de inversao (matriz nao-singular). Escalonando o problema original: min cTx
(19)
sujeito a Ax=b
e x ¿ O
(20)
tem-se: (21)
mirl cT 1 xI
sujeito a Alx¡ = b
e x ¿ O
(22)
onde: Xl eRn, b eRm, Al =AD
e cl = DC
(23)
Portanto, dado o vetor soluyao inicial x, o vetor xl para o problema escalonado faz comque tal ponto esteja localizado a urna distancia unitária de todas as bordas do politopo escalonado.
56
2.6 CASOS ESPECIAl S AIguns problemas de programac;ao linear demandam um tratamento bastante particularizado, em func;ao das excec;5es que os caracterizam. AIguns desses casos sao comentados a seguir. 2.6.1 Variáveis sem restric;aode positividade Tome-se o seguinte exemplo: Max
Z = 18x¡ +9X2
sujeito a 3x¡ +6X2 ~ 18 2x¡ +2X2 s 16 lx¡ + lx2 ~ O x¡ ~O X2
- irrestrita
Se fosse imposto que a variável x2 também tivesse que observar valores positivos ou nulo (que é o padrao assumido pelo Simplex, e incorporado na maioria dos software), a soluc;ao ótima obtida diria respeito a um valor de 144 para Z, de 8 unidades para xl e O unidade para x2' Entretanto, para o problema em questao, pode ser considerada a opc;aode valores negativos para a variável x2' Para avaliar tal possibilidade, sugere-se que na estrutura original do problema a variável x2 seja substituída por x3
sao variáveis auxiliares), o que implicaria na seguinte nova estrutura:
- x4
(onde x3 e x4 que
57
Max
Z = 18x¡ + 9x3 - 9X4
sujeito a 3x¡ +6x3 -6X4 ¿ 18 2x¡ +2x3 -2X4:::; 16 1x¡ + 1x3-lx4 ¿ O x¡,x3,X4 ¿ O
o problema pode entao ser resolvido normalmente, recalculando-se ao final o valor de x2 . No caso, a verdadeira soluyao ótima está envolvendo valores negativos de x2 (o que poderia nao ter acontecido), para um valor de Z igual a 162, xl = 10, x3 = O,x4 = 2 (e por decorrencia, x2 = -2t o mesmo tipo de raciucínio pOQes~r aplicado a restriyoes com Rl-:ISnegativo. Pur exemplo, se houver um limite inferior negativo definido para urna variável, tal como: X2¿ -20
A substituiyao devida seria feita assim através de x2 = x3 - 20 , com x3 ¿ O. 2.6.2 Problema impossível. Pode ser detectado quando, após a checagem do Cj - Zj da soluyao ótima, observar-se
a presenya de variáveis artificiais na base. Em termos gráficos, a regiao viável nao pode ser definida ou, espayOcartesiano delimitado nao é convexo (vide Figura 10).
O leitor atento poderá notar que o exemplo comentado diz respeito a solu<;aodo exercício 8, apresentado a página 11.
9
58
Figura 10 - Representac;aográfica de problema de otimizac;aosem soluc;ao.
2.6.3 Problema l1unbounded"(soluc;aono infinito). É detectado quando a linha pivó nao pode ser selecionada (valores n~gativos para a relac;ao b¡*), ou quando os valores a¡j da coluna pivó sao negativos ou nulos. Para um problema de maximizac;ao, por exemplo, a regiao viável é urna poligonal aberta (vide Figura 11).
Xl
X2 Figura 11 - Representac;ao gráfica de soluc;ao no infinito (l1unbounded solution")
--59
2.6.4 Soluyoes múltiplas. Sao detectadas quando, após encontrada a soluyao ótima, observar(em)-se valor(es) nulo(s) de custo de oportunidade para alguma variável nao-básica. Pode ocorrer em situayoes em que o coeficiente angular da funyao objetivo é igual ao coeficiente angular de urna das restriyoes atuantes (vide Figura 12). Xl
~ Xl
Figura 12 - Representayao gráfica de problema com múltiplas soluyoes ótimas.
2.7 O PROBLEMA DE PLANEJAMENTO AGRÍCOLA Urna das aplicayoes mais clássicas de programayao linear diz respeito ao planejamento agrícola, ou mais genericamente, planejamento agroindustriallO.Basicamente, o tomador de decisao tem a sua disposiyao urna determinada. área, urna certa disponibilidade de mao-de-obra e capital, além de observar urna série de características tecnológicas e de capacidade organizacional. O seu objetivo principal diz respeito a
10 Urna referencia básica para o tema, que contérn urna série de aplica~6es para casos brasileiros, é CONTINI etal. (1984).
60
maximizayao de lucro, a partir das opy5es de negócios (culturas agrícolas, plantéis de animais, papéis de investimento, etc.) disponíveis. Alguns exemplos de exercícios sao apresentados a seguir, com o intuito de reforyar a capacidade de modelagem do aluno, e propiciar a oportunidade de utilizayao de software de programayao linear. Formule os modelos pertinentes, e resolva-os pelo ORSYS. Para fins ilustrativos, selecione pelo menos um deles e resolva-o pelo Método Simplex, na mao! 1) O Govemo Federal colocou 20 ha de terra desmatadas a disposiyao de produtores locais. Estimula-se que tal área seja utilizada para o plantio de soja e algodao. Calcula-se que há 1200 homens-horas disponíveis durante o período de semeadura; e que sao necessários 20 homens-horas por hectare de soja e 120 homens-horas por hectare de algodao. Oferece-se ainda urna linha máxima de crédito de $ 6000, dividida da seguinte forma: $ 600 por hectare de soja e $ 200 por hectare de algodao. Como organizar esta área de plantio se é sabido que as margens de lucro esperadas sao $ 50 por hectare de soja e $ 25 por hectare de algodao? (2) Um produtor comprou urna propriedade com 500 ha de pasto. Ele tem um capital de $ 10.40G para gasear na compra de gado ovino ou bovino. Os pre<;osde mercado, os lucros anuais estimados por animal e o número de hectares requeridos por animal sao dados na tabela apresentada a seguir. Determine a melhor combinayao de investimentos a ser perseguida (adaptado de DAELLENBACH, GEORGE & MCNICKLE, 1983). Espécie de ovino
Preyo de mercado
Hectares por animal
Lucro anual
Cameiro Merino Gado Hereford
$ 7,00
1,0
$ 12,00
$ 100,00
3,0
$ 40,00
Cameiro Romey
$ 10,00
0,5
$ 7,00
estimado
3) Urna família de fazendeiros possui 40 hectares de terra e tem US$ 30.000,00 em fundos disponíveis para investimento. Seus membros podem produzir um total de 3.500 homens-horas de trabalho durante os meses de invemo (meados de setembro a meados de maio) e 4.000 homens-horas durante o vemo. Se nao forem necessários todos esses homens/hora, os membros mais jovens da familia irao trabalhar numa fazenda vizinha, onde receberao US$ 4,00/hora durante os meses de invemo e US$ 4,50/hora durante o verao. A receita da fazenda pode ser obtida de tres plantay5es e dois tipos de criayao: vacas leiteiras e galinhas poedeiras. Para as planta«Üesnao sao necessários quaisquer níveis de
61
investimento. Entretanto, para cada vaca será necessário um investimento de US$ 900,00, e para cada galinha serao necessários US$ 7,00. Para cada vaca será necessário 0,6 hectare de terra, 100 homens-horas de trabalho durante os meses de inverno e 50 homens-horas durante o verao. Cada vaca produzirá urna receita líquida anual de US$ 800,00 para a família. Os dados correspondentes por ga1inha sao: nenhum hectare, 0,6 homem-hora durante o inverno, 0,3 homem-hora durante o verao e urna receita líquida anual de US$ 5,00. O galinheiro pode acomodar um máximo de 3.000 galinhas e o tamanho da fazenda limita o rebanho a urn máximo de 32 vacas. Os homens-horas e receita estimados por hectare plantado em cada urna das tres plantayoes sao: Milho
Aveia
Homens-horas no inverno
Soja 50
87,5
25
Homens-horas no verao
125
100
Receita líquida anual (US$)
937,5
187,5 1375
Cultura/Valores
625
A famílil deseja determinar quantos hectares deveriam ser plantadClspara cada urna das plantayoes e quantas vacas e galinhas deveriam ser mantidas para maximizar sua receita líquida (HILLIER & LIEBERMAN, 1988).
2.8 DUALIDADE Refere-se ao fato de todo problema de programayao linear poder ser expresso em duas formas, a princípio distintas. A primeira, ou a original, é chamada de PRIMAL, enquanto a segunda é chamada de DUAL. As propriedades do PRIMAL estao intimamente ligadas as do DUAL, sendo o valor ótimo da funyao objetivo o mesmo para as duas formas. Entre as vantagens do DUAL, destaca-se a possibilidade de fornecer informayoes económicas sobre a utilizayao de recursos, como por exemplo, auxiliar na tomada de decisao para a aquisiyao de recursos adicionais. Além disso, pode ser de mais fácil resoluyao que o PRIMAL, caso o número de iterayoes do Simplex seja menor.
62
Exemplo: - maximizac;aode lucro de urna empresa EXIGENCIAS PROD. 1
PROD. 2
DISPONIBILIDADE
TRABALHO (h/unid.)
1
2
10 h
MATÉRIA PRIMA (kg/unid.)
6
6
ESPA<;O FÍSICO (m2/unid.)
8
4
36 kg 40m2
LUCRO ($/unid.)
4
5
RECURSOS
Max Z = 4x¡ +5X2 sujeito a X¡ + 2X2 :s;10 (trabalho) 6x¡ + 6X2 :s;36 (matéria prima)
8x ¡ + 4 X2 :s; 40 (espac;ofisico) XI' X2 ~ O
Resolvendo pelo Simplex, a seguinte soluc;aoótima pode ser obtida: cJ
Base
b.* 1
cb
4
5
O
O
O
Xl
X2
s2 -1/6
s3 O
5
x2
4
O
1
sI 1
4
xl
2
1
O
-1
1/3
O
O
s3
8
O
O
4
-2
1
Z¡
28
4
5
1
1/2
O
O
O
-1
-1/2
O
c¡ - z¡
Soluc;ao ótima: xl = 2, x2 = 4, s3 = 8
63
Relembrando, os valores Cj - Zj indicam a variac;ao no lucro caso a variável correspondente entre na base. Por exemplo, se urna unidade de s2 entrasse na base, o lucro decresceria em $0,50. De outra maneira, se s2 = 1, tem-se urna folga de 1 kg de matéria prima, isto é, ocorre urna reduc;aode urna unidade no uso de matéria prima. O caminho inverso implicaria dizer que em se tendo urna unidade extra de matéria prima, o lucro aumentaria em $0,50. Este é o conceito de valor marginal ou pre<;osombra, isto é, o máximo valor que seria pago para se maximizar o lucro, respeitando-se as restric;oesiniciais. Observando-se o lucro máximo de $28, nao há indicac;ao,a princípio, da contribuic;ao
de cada recursoaquelevalor.Estevalorpode ser dadopelovalorde Cj- Zjcorrespondentea variável de folga. Ou ainda, pode-se dizer que o valor de cada recurso pode ser dado pela variável de folga correspondente a cada recurso. Assim sendo, tem-se que o prec;o-sombrade trabalho vale $1, da matéria prima vale $0,50 e do espac;o físico vale O. Em termos econ6micos, após a obtenc;ao do valor dos recursos, o retorno esperado vale zero. Ou ainda, o valor total dos recursos nao pode ser maior que $28, ou seja, o valor total dos recursos é sempre exatamente igual ao lucro máximo. Assim sendo, para trabalho e matéria prima: - substitui-se xl = 2 e x2 = 4 nas restric;oesde trabalho e matéria prima e multiplica-se os totais pelos respectivos prec;os-sombra:
XI + 2x2
x $1 = 2 + 8 = 10 ->
6x] + 6x2
= 12 + 24 = 36
$10
x $0,50 > $18
E o valor do espac;ofísico? Substituindo na restric;ao: 8x¡ + 4x2 = 16+ 16= 32 ~ S3= 8
$28
64
Se há urna folga de 8m2, para se aumentar o espayOfísico em 1m2 o preyo é zero, já que está sobrando espayo. Com isso, pode-se também introduzir o conceito de restriyoes atuantes (BINDING) ou nao-atuantes (NON-BINDING); ou ainda, sem folga ou com folga. Observa-se entao que urna restriyao atuante tem preyo-sombra positivo, enquanto urna restriyao nao-atuante tem preyo-sombra igual a zero. Já que os recursos tém urn valor, e que o total desse valor deve ser igual ao valor ótimo da funyao objetivo, pode-se chegar a urna forma DUAL em que os recursos sejam as variáveis do problema, implicando urn mesmo valor ótimo de funyao objetivo. Portanto, a forma DUAL do problema anterior pode ser dada por: Min Z = lOy¡ +36Y2 +40Y3 sujeito a Y¡ -¡-6Y2 +8Y3 ~4
(PRODUTO 1)
2y¡ +6Y2 +4Y3 ~5
(PRODUTO 2)
YPY2'Y3 ~ O onde:
= valor marginal de urna hora de trabalho; Y2= valor marginal de 1 kg de matéria prima; Yl
Y3= valor marginal de 1 m2 de espayOfísico. Soluyao ótima: Yl = 1 , Y2= 1/2 e Y3= O Comparando a estrutura do DUAL com a do PRIMAL, podem ser observadas as seguintes relayoes:
65
PRlMAL
DUAL
Max Zp = 4x¡ + 5X2
MinZd
sujeito a
sujeito a
Ix¡ +2x2 ~ lO
= 10y¡ +36Y2 +40Y3
y ¡ + 6y 2 + 8y 3 :2:4
6x¡ +6x2 ~ 36
2y¡ +6Y2 +4Y3:2:5
8x¡ +4X2 ~40
Y¡ 'Y2 'Y3 :2:O
x¡ ,x2 :2:O
Basicamente, tem-se que: a) A um problema de maximizayao expresso em sua forma primal corresponde urna estrutura dual representada por um problema de minimizayao, e vice-versa. b) As colunas das restriyoes do primal correspondem as linhas das restriyoes do dua!, e Vlce-versa. c) Aos coeficientes da funyao objetivo do primal estao associados os RHS do dual, e
vlce-versa. d) A urna restriyao tipo ~ do primal corresponde urna restriyao do tipo:2: no dual, e vlce-versa. As restriyoes do DUAL podem ser interpretadas como sendo a contribuiyao de cada recurso ao lucro. Por exemplo, o uso de recursos devem resultar no mínimo em $4,00 de lucro para cada unidade do produto l. Como 1 kg de matéria prima vale $0,50, os 6 kg necessários para produzir urna unidade do produto 1 contribuem em $3,00 para o lucro mínimo de $4,00. Com relayao élfunyao objetivo do DUAL, ela representa o produto obtido a partir do total de recursos e seus respectivos valores. Cabe, finalmente, apresentar o TEOREMA DA FOLGA COMPLEMENTAR, que afirma que para urna restriyao totalmente esgotada (atuante) no primal corresponde urna variável DUAL nao-nula. E vice-versa.
66
De urna maneira geral:
PRIMAL
DUAL
n
Max Zp
= j=1 I Cj
m Xj
Min
Zct
= i=1 I b¡
Restri<;ao i
Variável y¡
Variável Xi
Restri<;ao j
Restri<;ao tipo ::s; Restri<;ao i tipo = Xi
irrestrita
y¡
Restri<;ao tipo y¡
irrestrita
Restri<;ao j tipo
=
2.9 O PROBLEMA D2 FORMU¡'A<;ÁO DE R,\<;ÁO DE CUSTO MÍNIMO
Urna aplica<;aobem sucedida de programa<;aolinear diz respeito él formula<;aode dietas, e em particular, formula<;aode ra<;oesde custo mínimo. Em termos gerais, se deseja obter a ra<;aode mínimo custo (ou mínimo pre<;o),a partir da disponibilidade de urna série de alimentos, mas respeitando-se as exigencias nutricionais pertinentes él idade e tipo de animal. Urna série de recomenda<;oese exemplos sobre esse tipo de problema podem ser encontrados na literatura, sendo o exemplo a ser apresentado a seguir extraído de PERES & MARQUES (1988). Para a formula<;aode ra<;aopara suínos, sao apresentados os seguintes dados:
67
Item
Máximo
Mínimo Requerido
Permitido Proteína (%)
15,50
16,00
Energia (kcal/kg) P (%) Ca/P
3.260,00
3.360,00 0,52
Farelo de trigo (%) Farinha de carne (%)
0,00 0,00
15,00 3,00
Farinha de sangue (%)
0,00 0,69
2,00 sem limite
0,50
0,50
Mistura A (%)
0,10
0,10
Mistura B (%)
0,10
0,10
0,50 1,30
Lisina (%) Sal (%)
Alimento Milho Farinha de soja Farinha de trigo Farinha de carne Farinha de sangue Fosfato bicálcico
Cálcio Sal Misturamineral Mist.Vitamínica
Variável Proteína corresp. Milho Fsoja Ftrigo Fcarne Fsan Fosbica
Calca Sal MistA MistB
1,40
Cálcio
Fósforo
Lisina
(%) 0,02
(%)
8,51
Energia (kcal/kg) 3.493
0,27
(%) 0,23
45,60
3.378
0,36
0,55
2,87
4,20
15,30 45,20 80,90
2.103 2.133
0,12
0,57
2,00
11,60
2.809
0,20
0,88 5,40 0,15
2,28 6,57
7,50 9,00
22,61
17,03
37,00
-
-
-
-
-
-
-
-
(%)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Preyo ($/kg) 1,80
14,50 0,80 3,00 28,00
145,00
Admitindo que urn produtor deseja formular urna rayaOde custo mínimo para suínos em crescimento (30 a 60 kg), deve-se determinar a melhor composiyao para 1 kg de rayao. Assim, minimizando o custo total de 1 kg da mistura, a partir das informayoes fomecidas: Min C = 1,80 Milho + 4,20 Fsoja + 2,00 Ftrigo + 7,50 Fcarne + 9,00 Fsan + 14,50 Fosbica + 0,80 Calca + 3,00 Sal + 28,00 MistA + 145,00 MistB
\ 68
sujeito as seguintes exigencias nutricionais, que devem contabilizar as contribuic;5es devidas de cada alimento: Proteína: 15,50 ~ 8,51 Milho + 45,60 Fsoja + 15,30 Ftrigo + 45,20 Fcarne + 80,90 Fsan ~ 16,00 Energial1: 3.260 ~ Fsan ~ 3.360
3.493 Milho + 3.378 Fsoja + 2.103 Ftrigo + 2.133 Fcarne + 2.809
Cálcio: 0,02 Milho + 0,36 Fsoja + 0,12 Ftrigo + 11,60 Fcarne + 0,20 Fsan + 22,61 Fosbica + 37,00 Calca = Ca Fósforol2: 0,27 Milho + 0,55 Fsoja + 0,88 Ftrigo + 5,40 Fcarne + 0,15 Fsan + 17,03 Fosbica = P e 0,0050 ~ P ~ 0,0052 Lisina: 0,23 Milho + 2,87 Fsoja + 0,57 Ftrigo + 2,28 Fcarne + 6,57 Fsan ~ 0,69 Máximo de farinha de trigo: Ftrigo ~ 0,15 Máximo de farinha de carne: Fcarne ~ 0,03 Máximo de farinha de sangue: Fsan ~ 0,02 full : Sal = 0,005 Mistura A: MistA = 0,001 Mistura B: MistB = 0,001 ~:
Ca - 1,30 P ~ O Ca - 1,40 P ~ O
11 Note que as restri<;oes de Proteína e de Energia podern ser desdobradas, naturalmente, ern pares de restri~oes, urna vez que envolvern limites mínimo e máximo para cada urna dessas exigencias nutricionais. 12Nas restri~oes de QíkiQ e Fósforo, os coeficientes das variáveis Ca e P sao unitários.
69
Peso total: 1 Milho + 1 Fsoja + 1 Ftrigo + 1 Fcarne + 1 Fsan + 1 Fosbica + 1 Calca + 1 Sal + 1 MistA + 1 MistB = 1 Resolvendo o problema, obtem-se os seguintes valores ótimos: Milho = 0,717 kg Fsoja = 0,149 kg Ftrigo = 0,094 kg Fcarne = 0,026 kg Calca = 0,007 kg Sal = 0,005 kg MistA = 0,001 kg MistB = 0,001 kg P = 0,500 kg Ca = 0,650 kg Os problemas apresentados a seguir, que envolvem forrnulayoes de rayoes, deverao ser estruturados como modelos de programayao linear e rcsolvidos pelo ORSYS. 1) Para fornecer 1 kg de rayao balanceada a frangos de corte é necessário que a mesma contenha, no mínimo, 17,16% de proteína e 3.000 quilocalorias de energia metabolizável aparente. Admite-se que estejam disponíveis para a formulayao da rayao apenas milho, ao preyOde $ 1,80 por kg, e farelo de soja, ao preyO de $ 4,20 por kg. O milho contém 8,51% de proteína e 3.146 quilocalorias de energia por kg. O farelo de soja, por sua vez, contém 45,6% de proteína e 2.283 quilocalorias de energia por kg. Pede-se determinar as quantidades de milho e farelo de soja que devem ser misturadas para que o alimento final satisfaya as necessidades alimentares das aves e, ao mesmo tempo, tenha o menor custo possível (PERES & MARQUES, 1988). 2) Um fazendeiro está criando frangos e deseja obter urna rayao de alto conteúdo proteico, mas de custo mínimo. Os requerimentos mínimos exigidos na composiyao da rayao: 90 gramas do nutriente A, 48 g do nutriente B, 20 g do nutriente C e 1,5 g de vitamina X, por quilograma de rayao. Ele pode obter esta fórmula através do uso de dois ingredientes: ingrediente 1, que contém 100 g de A, 80 g de B, 40 g de CelO g de X (o custo deste ingrediente é estimado em 60 centavos por quilograma); ingrediente 2, que
70
contém 200 g de A, 150 g de B, 20 g de C e nada de X (custa 40 centavos por qui10grama). Determinar a formula<;aomais adequada para 1 kg de ra<;ao. 3) Um fazendeiro está criando porcos para vender e deseja determinar as quantidades dos tipos de alimentos disponíveis que devem ser dadas a cada porco para atingir certos requerimentos nutricionais, a um custo mínimo. O nÚmero de unidades de cada tipo de ingrediente nutriciona1 básico contido em um quilo de cada tipo de alimento é dado na tabe1a que se segue, juntamente com os requerimentos nutricionais diários e custo dos alimentos: Ingrediente Nutricional
Milho
Tan<;agem
Alfafa
Carbohidratos (g/kg)
90
20
40
Proteínas (g/kg) Vitaminas (g/kg)
30 10
80 20
60 60
Custo ($/kg)
21
18
15
--
Requerimento mínimo diário (g) 200 180 150
Determinar a a1imenta<;aoideal a ser recomendada aos porcos (HILLIER & LIEBERMAN, 1988). 4) Urna determinada fábrica de ra<;aoprecisa produzir 10.000 t de urna mistura especial a partir dos ingredientes A, B e C, os quais podem ser obtidos no mercado pelos seguintes custos unitários ($/t): 8.000, 10.000 e 11.000. Sabe-se ainda que a mistura nao deve ter mais que 3.000 t de A e nao menos que 1.500 t de Be 2.000 t de C. a) Formule o problema de tal forma que o custo total da mistura seJa o menor possível. b) Esquematize a tabe1acorrespondente a primeira itera<;aodo Simplex. c) Formule a estrutura dual do problema. d) Verifique se a solu<;ao"3.000 t de A, 5.000 t de B e 2.000 t de C" faz sentido, assim como identifique as restri<;5esatuantes do problema. e) Caso se considere a formula<;aoda mistura apenas a partir da utilizayao dos ingredientes B e C, calcule o valor do pre<;o-sombraassociado a restri<;aode peso da ra<;ao.
71
2.10 MODELOS DE TRANSPORTE Urna aplica<;ao interessante de programa<;ao linear diz respeito a estrutura<;aode problemas de transporte envolvendo, por exemplo, o roteamento de veículos. O raciocínio a ser apresentado a seguir, válido para este tipo de problema, é igualmente adequado para problemas que envolvam balan<;oentre oferta e demanda. Exemplo: A partir dos dados apresentados na tabela a seguir (os números em negrito representam os custos unitários de transporte), determinar o plano para destina<;aode remessas de ervilhas enlatadas de 3 fábricas a 3 depósitos, de tal forma que o custo total de transporte seja minimizado. DEPÓSITO Fábrica 1
2 3
Capacidade
1
2 8
I
I
L
150
120
12
80
10 I
80
60
280
I
I
9 I
70
Produ<;ao 6
5
o3
I
3
Estruturando o problema de forma diagramática:
72
FÁBRlCA Produ~5es
DEPÓSITO Capacidades
X11
Dl=150
Fl=120
D2=70
F2=€O
D3~O
F3=€O TOT AL=280
Formuland.)
~Oblema
está ba1anCe~
TOTAL=280
O problema por programac;ao linear, define-se como Jbjetivo a ser
alcanc;ado a minimizac;ao do custo total de transporte, ou seja,
Min Z=8xlI
+5x12 +6x13 +15x21 +10x22 +12x23 +3X31 +9X32 +10x33
sujeito a Xli + x12 + X13= 120 X21 + X22 + X23
= 80
X31+ X32
= 80
+ X33
XII
+ X21 + X31
x12
+ X21 + X32
x13
+ X23
Xij
;:::
O
restric;6esde produc;ao }
=ISO = 70 restric;6esde capacidade
+ X33 = 60
} }restric;6esde nao - negatividade
De maneira genérica,
73
m
n
MinI I i=!
Cij Xij
j=l
sujeito a m
n
~x.. L
IJ
=s. 1
j~l
e
~X.. =d. L IJ J i=l
e
Xij ~
O
onde: cij = custo de
distribuiyao entre i e j;
xij = total a ser distribuídode i atéj;
s¡ = total produzido; dj = total a ser armazenado. Note-se que o número de variáveis básicas definidas deverá ser igual a m+n-l, e nao m+n, como seria de se esperar. Em vista disso, a omissao de urna das restriyoes nao implicará em alterayav da resposta, urna vez que se part~ do pressuposco do balariceamento do problema. Como se trata de um problema típico de programayao linear, ele pode ser resolvido pelo Simplex. Entretanto, em alguns casos, o tempo de processamento pode ser excessivo. AIguns exemplos de algoritmos para a obtenyao da soluyao inicial (nao necessariamente a ótima) para alimentar o Simplex sao apresentados a seguir.
2.10.1 Regra do Canto Noroeste a) Comece pelo canto superior esquerdo do "tableau" e aloque o máximo possível para x ¡¡, com o cuidado de nao violar as restriyoes de produyao e capacidade. b) "Elimine" a linha ou coluna já completamente atendida e caminhe para célula adjacente da linha ou coluna "nao-eliminada" (se tanto a linha quanto a coluna forem atendidas ao mesmo tempo, caminhe diagonalmente para a célula mais próxima).
74
1 120 30
1 2 3
2
3
50 20 70
150
120 80 80
60 60
Assim, a partir dessa soluyao, pode-se chegar ao seguinte custo total de distribuiyao:
= 8 x 120 + 15 x 30 + 10 x 50 + 9 x 20 + 10 x 60 = 2.690
2.10.2 Método do Mínimo Custo a) Escolha a célula com o mínimo custo unitário e aloque a mesma o máximo possível de unidades. b) "Elimine" a linha ou coluna já completamente atendida e caminhe para o "próximo" mínimo custo. c) Termine quando todas as linhas e colunas forem atendidas.
1 1
2 8
3
I
10
I
80
10
80
10
70 3
12
50
15 I
120
I
70 2
6
5 I
I
-1
3
9 I
I
80 150
70
60
o custo total de distribuiyao obtido para essa soluyao pode ser dado por: = 5 x 70 + 6 x 50 + 15 x 70 + 12 x 10 + 3 x 80 = 2.060 que é inferior (e portanto, "melhor") que a soluyao obtida pela Regra do Canto Noroeste.
75
2.10.3 Método de Aproximayao de Vogel Normalmente produz melhores soluyoes, e frequentemente, a soluyao ótima. Sao previstos os seguintes passos: a) Calcule os valores das penalidades de cada urna das linhas e colunas, subtraíndo o menor valor Cijdo segundo menor valor de Cijnaquela linha ou coluna (penalidade "infrayao" por nao escolher a célula de custo mínimo).
=
b) Escolha a linha ou coluna com maior valor de penalidade (se houver empate, escolha arbitrariamente) e aloque o máximo possível de unidades a célula de menor Cij daquela linha ou coluna (assim as maiores penalidades sao evitadas). c) "Elimine" a linha ou coluna já completamente atendida e retorne ao passo "a", recalculando os valores das penalidades. d) Termine quando "sobrar" apenas urna linha ou coluna, balanceando-a.
1
2
Penalidade
3
por linha 1
70
1t
6'
120
6-5 = 1 / 1
I
12
80
12-10 = 2 / 2
I
10
80
9-3 =6
5
I
I
I
50 2
15I
".\.
3
L
70
í
_.3 k
10
80 150
70 i
60
Penalidade
8-3 = 5
9-5 = 4
por coluna
7
5
10-6 = 4 6
Checagem do novo "tableau":
76
a) Ok.
b) Máximo valor de penalidade = 6; linha 3 aloca o máximo para o menor custo da linha 3; célula X3¡com 80 unidades. c) A linha 3 é eliminada. al) Recalcule penalidades das colunas (as das linhas continuam as mesmas). b¡) 7 é o máximo, aloque 70 a Xli' c¡) A coluna 1 é eliminada. a2)Recalcular as penalidades das linhas (as quais, por coincidencia, sao as mesmas). b2) 6 é o máximo, aloque 50 a X13' C2)A linha 1 é eliminada. d) Aloque 70 a X22e lOa X23'
o custo total de distribuiyao correspondente é: = 8 x 70 + 6 x 50 + 10 x 70 + 12 x 10 + 3 x 80 = 1.920 que é "melhor" que as soluyoes obtidos pelos métodos anteriores.
2.10.4 Método "Stepping-stone" Sempre chega a soluyao ótima. Parte de urna soluyao inicial e pesquisa se alguma melhor soluyao pode ser obtida. Partindo-se, por exemplo, da soluyao obtida pelo "canto
noroeste".
77
1
120
2
8
I
T
-
15
5 I
I
I
9 I
6
120
12
80
I
lO
80
60
20 150
I
-
3 I
-
-
lO
50
30 3
3
2
1
70
60
Cada célula vazia (no caso, 9-(m + n - 1) células)representaurna variávelnao-básica
que poderia entrar na base (para entrar, a contribuiyao específica da variável nao-básica deve implicar a reduyao do custo total). Calculando essas contribuiyoes para a célula X12:
1) Aloque 1 unidade a X12. Assim, nao é mais 70 e sim 71 o total de unidades na coluna.2. 2) Para nao violar a restriyao da coluna 2, urna unidade deverá ser subtraída ou de X22 (50) ou de X32(20). Subtraia 1 de X22,que passa a ter 49 unidades, e a coluna 2 com urn total de 70, novamente. 3) Agora a linha 2 totaliza 79 e nao mais 80, o que pode ser corrigido coro a adiyao de urna unidade a X21(30 => 31). 4) A coluna 1 fica entao com uro total de 151, o que pode ser corrigido com a subtrayao de urna unidade de Xli' 5) A linha 1 é automaticamente corrigida em funyao do passo anterior. Em outras palavras, deve-se determinar para cada variável nao-básica urn "caminho fechado" ("closed-Ioop") para que se obtenha a eventual contribuiyao específica a funyao objetivo. Para se determinar o caminho:
78
a) Adote um sentido (ou horário ou anti-horário). b) Há somente um caminho fechado para cada célula vazia. c) Os extremos do caminho (a menos da variável nao-básica) devem ser células ocupadas. d) Células ocupadas podem ser "puladas", assim como um caminho pode apresentar "cruzamentos" . e) Exatamente urna adiyao e urna subtrayao devem aparecer em cada linha e coluna do caminho trayado. Assim, para a variável x12: xl'!
~
+1
X22 ~
-1
X21 ~
+1
Xli ~
X12
-1
Atribuindo os valores de custo pertinentes: C12*
= C12 - C22 + C21 - Cll =5-10+15-8=2
Realizando os cálculos devidos para todas as células vazias: Variável
Caminho fechado
Contribuiyao
+2
X12
X12
X22
X21
Xli
X12
X13
X13
X33
X32
X22
X21
X23
X23
X33
X32
X22
X23
+1
X31
X31
X21
X22
X32
X31
-11
Xli
X13
+2
Assim, a variável que entra será aquela que contribui com a menor reduyao no valor da funyao objetivo, que no caso diz respeito a variável X31' o valor a ser alocado a esta
79
célula deverá ser o máximo, de tal forma que nenhuma célula do caminho fechado fique com valores negativos. Já para a variável que sai, esta deverá ser aquela, com sinal negativo no caminho fechado, com aloca9ao inicial de menor valor absoluto. No caso, para o caminho referente a X31:
X31 ~
Sinal no caminho fechado
+
Aloca9ao inicial
o
X21 ~
X22 ~
X32
+
30
50
20
Portanto, X32deverá ser a variável que sai. 1sto posta, deverá se realocar o valor da variável que sai pelo "caminho fechado" da variável que entra: X31 = X21
O+ 20 = 20 = 30 -20 = 10
X22
= 50 + 20 = 70
X32
= 20 - 20 = O
o novo "tableau" resultante é apresentado a seguir: 1 1
120
2
10
3
20 150
2
3 120
70
80 60
70
80
60
Para verificar a possibilidade de-existencia de melhores solu90es, calcule novamente, a partir dos novos caminhos fechados, os valores das contribui90es das variáveis naobásicas. Se todas essas contribui90es forem positivas, a solu9ao ótima foi encontrada.
80
2.10.5 "Problemas" do Problema de Transporte a) nao-balanceamento entre oferta e demanda Caso isto ocorra, criar urna origem ou destino fictício para que o balanceamento possa ocorrer. Para o exemplo inicial, se a produyao total for maior que a capacidade total, criar um depósito fictício com capacidade = produyao total - capacidade total, com custos de distribuiyao nulos. Se a produyao total for menor que a capacidade total, criar uma fábrica fictícia. Outra maneira de se resolver o problema seria tratar as restriyoes pertinentes nao mais como equayoes e sim como inequayoes. b) degenerayao Ocorre quando há menos que m+n-l variáveis básicas no "tableau". Para se contornar tal problema, atribua o valor zero as células nao preenchidas e as considere como variáveis básicas (o número de células com valor zero deve ser igual a diferenya entre m+n-1 e o número de células originalmente ocupadas). c) soluyoes múltiplas Ocorrem quando, detectada a soluyao ótima, um dos valores das contribuiyoes for zero. O caminho fechado para a variável xij correspondente indicará a forma de obtenyao da soluyao alternativa. 2.10.6 Exercícios 1) Deseja-se transportar arroz de tres armazéns (1, 2 e 3) a tres centros consumidores distintos (A, B e C). Cada armazém apresentou os seguintes níveis de estoque de arroz num determinado mes: Armazém 1
Arroz disponível (kg) 200
2 3
150 300
81
Cada centro consumidor estará apto a receber as seguintes quantidades de arroz naquele mes: Centro Consumidor 1
Demanda (kg) 100
2
300
3
250
Os custos de transporte envolvidos sao os seguintes: De/Para
A
B
C
1
$ 10
$5
$ 12
2
$4 $ 15
$9
$ 15
$8
$6
3
Qual será a quantidade de arroz a ser transportada entre cada arrnazém e cada centro consuITjdor, de tal forma que as demandas de cada centro sejam supridas e que ()custo total de transporte seja mínimo? 2) Suponha que a Inglaterra, Franc;ae Espanha produzam todo o trigo, cevada e aveia do mundo. A demanda mundial de trigo requer que 50 mi1h6esde hectares de terra sejam dedicados a produc;ao de trigo. Similarrnente, 24 milh6es de hectares de terra sao requeridos para cevada e 30 milh6es de hectares de terra para aveia. As quantidades totais de terra disponível para estes propósitos na Inglaterra, Franc;ae Espanha sao 28 milh6es de hectares, 44 milh6es de hectares e 32 milh6es de hectares, respectivamente. O número de horas de trabalho necessários na Inglaterra, Franc;ae Espanha para produzir um hectare de trigo sao 45 horas, 32 h 30 min e 40 horas, respectivamente. O número de horas de trabalho necessárias na Inglaterra, Franc;ae Espanha para produzir um hectare de aveia sao 30 horas, 25 horas e 40 horas, respectivamente. O número de horas de trabalho necessárias na Inglaterra, Franc;ae Espanha para produzir um hectare de cevada sao 37 h 30 min, 30 horas e 30 horas, respectivamente. O custo de mao-de-obra por hora para a produc;ao de trigo é US$ 3,00, US$ 2,40 e US$ 3,30 na Inglaterra, Franc;ae Espanha, respectivamente. O custo de mao-de-obra por hora para produzir cevada é de US$ 2,70, US$ 3,00 e US$ 2,80 na Inglaterra, Franc;a e Espanha, respectivamente. O custo de mao-de-obra por hora para produzir aveia é de US$ 2,30, US$ 2,50 e US$ 2,10 na Inglaterra, Franc;a e Espanha,
82
respectivamente. Solucione o problema alocando as áreas necessárias em cada país de modo a atender a demanda por cada alimento a nível mundial, e minimizando o custo total de mao-de-obra (HILLIER & LIEBERMAN, 1988). 3) Um certo aviao tem tres compartimentos para transportar carga: frente, centro e traseiro. Estes compartimentos tem limites de capacidade tanto em peso quanto em volume, conforme resumido abaixo: Compartimento
Capacidade em
Frente
peso (t) 12
Capacidade em volume (m3) 189
Centro
18
243
Traseiro
10
135
Além disso, o peso da carga nos respectivos compartimentos tem que observar a mesma proporyao das capacidades de peso ,los compartimentos, para manter o equílibrio do aviao. As quatro cargas seguintes aguardam remessa nos próximos voos, a medida que haja espayOdisponível: Carga 1
Peso (t) 20
2
16
3
25 13
4
Volume (m3/t) 1'3,5 18,9
Lucro (US$/t) 220 280
16,2
250
10,8
200
Pode ser aceita qualquer proporyao destas cargas. O objetivo é determinar quanto (se algo) de cada carga deve ser aceito e como distribui-las pelos compartimentos a fim de maximizar o lucro total do voo (HILLIER & LIEBERMAN, 1988). 4) Urna empresa madeireira tem tres fontes de madeira e cinco mercado~~~ir. A disponibilidade anual de madeira nas fontes 1, 2 e 3 é de 20, 40 e 30 mil metros cúbicos, respectivamente. A quantidade que pode ser vendida anualmente nos mercados 1,2,3,4 5 é de 14, 24, 18, 20 e 16 mil metros cúbicos, respectivamente.
e
83
Até o presente, a empresa vem remetendo a madeira por trem. Entretanto, como os custos dessas remessas tem aumentado, a empresa está investigando a alternativa do uso de barca<;asem hidrovias tluviais para fazer parte das remessas. Esta alternativa implica que a empresa fa<;a investimentos em algumas barca<;as. Descontando estes custos de investimentos, os custos de remessa em dólares por metro cúbico por trem e por navio seriam os seguintes para cada rota: Fonte/
Custo unitário por trem 2 3 4
Mercado
1
1
30,5
2
34,5
36 39
3
29,5
33
'. 1\-11"< .
.
1'\
22,5 30 31,5 li
5
27,5
33
24;5 30,5 V
28 23,5 fr
Custo unitário por barca<;a 1 2 3 4 5 15,5 18
19
12
O
17,5'
7P
21,5
12
16,5
16
15,5 13
/.\
O'
14 18
I LI
Z'-\
r'{
/ffl
I
O investimento de capital, em dólares, em barca<;as, requerido por metro cúbico a ser
transportado anualmente por hidrovia para cada rota, é apresentado a seguir. Fonte/ Mercado
1
1
137,5
2
146,5 O
3
lnvestimento em bar::a<;as 2 3 4
5
151,5 159
119
O
142,5
135
141,5
137,5
125 134
132,5 120
Considerando-se a vida útil esperada das barca<;ase a amortiza<;aodo capital, o custo anual uniforme destes investimentos é equivalente a um décimo da quantidade dada na tabela. A empresa só tem condi<;oes de levantar US$ 6.250.000,00 .." para investir em barca<;as.O objetivo é determinar o plano geral de remessas que }Illinimizeo custo anual uniforme equivalente total atendendo, ao mesmo tempo, a limita<;ao de capacidade de investimento e a demanda dos mercados (HILLIER & LIEBERMAN, 1988). 5) Urna indústria de madeira serrada se utiliza de tres fábricas e quatro armazéns. Os custos de transporte de cada fábrica para cada armazém sao apresentados a seguir~\
~
o 1)
84
Fábrica!Armazém
1
2
3
4
A B
X X+Y
M+N
L
M+L
y
2xK
M
C
K
Z+L
Z
N
onde XYZKLMN = número de 7 algarismos, identificador do aluno em sua Escola. Ainda, as fábricas A, B e C tem disponíveis XYZ, XML e KNX toneladas de fertilizantes, assim como cada armazém, de 1 a 4, tem capacidade de ZXY, LZN, MXK e YXX toneladas, respectivamente. a) Determine alguma soluyao para o problema (nao necessariamente a ótima). b) A partir da resposta obtida em a), elabore e interprete os relatórios pertinentes a análise de sensibilidade do problema ("a la ORSYS"), assurnindo valores fictícios de preyOsombra, etc., quando isso se fizer necessário. 6) Um determinado produtor deseja saber qual seria a melhor alocayao de suas terras, de tal forma que seu lucro seja máximo. Sabe-se que suas terras estao divididas em tres lotes, sendo 500, 800 e 700 hectares as suas respectivas áreas. Sabe-se também que as possíveis culturas a serem implantadas seriam tomate, feijao e arroz, que oferecem lucros unitários ($/ha) de 600, 450 e 300; e que as terras nao comportam mais que 900 ha de tomate, 700 ha de feijao e 1000 ha de arroz. Deve também ser considerado que quaisquer das tres culturas podem ser implantadas em quaisquer lotes; que pelo menos 60% de cada lote seja utilizado; e que as proporyoes plantadas de urna mesma cultura em cada urn dos lotes sejam as mesmas. Contratado urn profissional de Pesquisa Operacional, este fomeceu urna soluyao ótima para o problema que previu a seguinte distribuiyao de áreas para as culturas: -tomate: 225 ha no lote 1; 360 ha no lote 2; 315 ha no lote 3. - feijao: 175 ha no lote 1; 280 ha no lote 2; 245 ha no lote 3. - arroz: 100 ha no lote 1; 160 ha no lote 2; 140 ha no lote 3.
!
\
Pede-se: a) Verificar a viabilidade dessa soluyao em modelo de programayao linear que voce formularia para resolver o problema, identificando as eventuais restriyoes limitantes (ou
85
atuantes ou "binding") e exemplifique, a partir de urna dessas restri<;oes,o conceito de pre<;o-sombra. b) Sempre poderá ser questionado o grau de incerteza incorporado as estimativas de lucros unitários por tipo de cultura. Indique a metodologia que deveria ser adotada para se obter o valor da margem de erro incorporada a essas estimativas, de tal forma que a solu<;ao ótima inicial nao seja comprometida (adaptado de HILLIER & LIEBERMAN, 1988). 2.11 PROGRAMA<;ÁO INTEIRA Programa<;aointeira pura, ou simplesmente programa<;aointeira, é urna varia<;aoda programa<;ao linear, que também é adequada para solu<;aode problemas que envolvam programa<;ao mista (estrutura linear com características inteiras e nao-inteiras), e particularmente para problemas que envolvam escolhas que possam ser representadas por variáveis binárias tipo zero-urn. De uma maneira geral, o problema passível de solu<;aopor programa<;aointeira deve apresentar as seguintes características: a) fun<;aoobjetivo linear; b) restri<;oeslineares; c) variáveis positivas; d) algumas (ou todas) variáveis inteiras. Se nao houvesse um algoritmo específico para a resolu<;ao de problemas que demandem a utiliza<;ao de programa<;ao inteira, poderia ser tentada como alternativa o arredondamento (para cima ou para baixo?) da solu<;aoobtida por programa<;aolinear. Os riscos envolvidos diriam respeito a possibilidade da solu<;ao arredondada, mesmo que viável, nao corresponder a solu<;ao ótima; ou ainda ao fato de se violar as restri<;oes originalmente impostas ao problema. Também seria viável urna pesquisa gráfica sobre os candidatos a soluyao inteira, particularmente para problemas que envolvessem duas ou até tres varíáveis, para a obten<;aoda solu<;aoótima do problema. 2.11.1 Método "Branch-and-Bound"
( \
O método "Branch-and-Bound" (Algoritmo de Bifurca<;ao e Limite) é o malS disseminado para problemas de programa<;ao inteira, com os seguintes passos a serem observados:
86
1) Resolva o problema como se fosse um problema trivial de programa9ao linear, com as variáveis relaxadas. Examine a solu9ao relaxada ótima obtida e verifique se as variáveis que deveriam ser inteiras observam efetivamente valores inteiros. Em caso positivo, o problema (por coincidencia) está resolvido. Se nao, siga para o próximo passo. 2) Se a solu9ao obtida contém urna variável nao-inteira, por exemplo, Xj*,entao i¡ < xj* < i2 , onde i¡ e b sao inteiros consecutivose nao negativos.Dois novos modelosde programa9ao inteira sao entao criados, acrescentando ao problema de programa9ao inteira original ou a restri9ao Xj~ i¡ ou XjZ i2. 3) Se algurna das primeiras aproxima90es continuar a apresentar solu90es naointeiras, o problema de programa9ao inteira originado por esta primeira aproxima9ao tomase candidato a urna bifurca9ao adicional. 4) Se o problema for de maximiza9ao, a bifurca9ao continua até ser obtida urna primeira aproxima9ao inteira (que é urna solu9ao, nao necessariamente ótima, do problema original). O valor da fun9ao objetivo correspondente a esta primeira aproxima9ao inteira toma-se urn limite inferior para o problema. Todos os modelos cujas primeiras aproxima90es, inteiras ou nao, conduzam a valores da fun9ao objetivo menores que o limit~ inferior, devem ser descartados. 5) Se o problema for de minimiza9ao, o procedimento permanece o mesmo, exceto que os limites a serem utilizados deverao ser "superiores" e nao mais inferiores. Assim, o valor da fun9ao objetivo a partir da primeira solu9ao inteira toma-se o limite superior do problema, sendo que deverao ser eliminados aqueles modelos com valores da fun9ao objetivo maiores que o limite superior corrente. Vm exemplo de resolu9ao para urn problema de maximiza9ao é apresentado a seguir.
(\
87
Xl=8 X2= 2 2=34
SOLU9AOINTEIRA
Xl = 6 SOLU9AO INTEIRA ~= ~~
Xl=8 X2= 2,25 2 = 35,25
0
.
Xl =6,5 X2=3 2 =34,5
6
COM 2 INFERIOR
Xl =4,25 X2=4 2 = 33,5
SOLU9AO IMPOSSÍVEL
2.11.2 Restriyoes tipo "ou/ou"
Exemplo: Um produtor considera dois mercados alternativos para alocar a sua produyao de milho, trigo e de sorgo: rayao para aves ou rayao para bovino de corte. Como os processos de produyao diferem entre si, as restriyoes pertinentes sao distintas. A saber: 2x¡ + 4X2+ X3S 30 (rayao para aves) 10x¡ + 8X2 s 180 (rayao para bovinos)
onde:
= kg de milho X2 = kg de trigo x¡
X3 = kg
de sorgo
Artifício: Utilizar variável inteira tipo zero-um nos RHS das restriyoes, ou 'eja, ~ 2x¡ + 4X2+ X3S 30 + y M 10x¡ + 8X2s 180 + (1 - y) M
88
onde:
y = variável inteira tipo zero-urn M = um valor positivo arbitrário, excessivamente alto. Assim,
- se y = O,a restriyao correspondente a "rayao para aves" se toma atuante, enquanto a restriyao para "rayao bovina" se toma redundante. - se y = 1, a situayao anterior se inverte. 2.11.3 Restriyoes tipo "pelo menos K de R restriyoes devem ser válidas" Ex: x¡ + x2 + x3 :::;10 4x¡ +x2 -x3:::; 12
x¡ + x2 + x3 :::;10 + Y¡M
Artifício:
4X¡+X2-X3:::;
12+Y2M
X2 + 2 x3 :::;8
x2 + 2X3 :::; 8 + y3 M
3x¡ - x2 + x3 :::;9
3x¡ -X2 +x3 :::;9+Y4 M
Por exemplo, se as restriyoes sao mutuamente exclusivas (somente urna das quatro é válida), Y¡+Y2+Y3+Y4=3; ou, se pelo menos tres das restriyoes devem atuar: Y¡+Y2+Y3+Y4=1
Quanto a análise de sensibilidade, lembre-se que em programayao linear, a adiyao de 1 unidade ao RHS de urna restriyao que tem folga nao afetará a soluyao ótima. Já em programayao inteira, urna restriyao pode ter folga devido unicamente a condi9ao inteira das variáveis. Em programayao linear, qualquer alterayao na soluyao a partir da mudan9a no RHS observa um comportamento contínuo; já em programayao nao há até que urna nova soluyao inteira se tome viável. Assim, a altera :'ao "observa urnmudan9a comportamento ) Bao discreto, nao contínuo.
F
89
2.11.4 Aplicayoes
a) Alocayao ótima de horários em urna escola13 Entende-se que urna determinada escola tem como objetivo oferecer o maior número possível de aulas, conforme representado por (1): n m
o p
Max ¿¿¿¿Xijkl
(1)
j;! j;\ k;lI;\
onde: Xijkl
= variável representativa da ocorrencia ou nao da disciplina i, na sala j, no
horário k, no dia 1; n = número de disciplinas; m = número de salas; o = número de horários; p = número de dias de aula por semana.
Devem ser consideradas, entretanto, as seguintes restriyoes: a) urna determinada disciplina poderá ou nao ser oferecida em um determinado horário de um determinado dia, em funyao da disponibilidade do professor (2); X;jkl ::; Aijkl
(2)
onde: Aijkl
= parametro tipo 0-1, indicativo da disponibilidade para o oferecimento de urna
determinada disciplina em um determinado horário da semana;
b) em urna determinada sala de aula, em um determinado horário de um determinado dia, poderá ocorrer no máximo urna disciplina (3); n
I
Xjkl
::;1,O
j;!
13Baseado em CAIXETA FILHO & OLIVElRA (1994).
(3)
90
c) urna determinada disciplina poderá em um determinado horário de um determinado dia ser oferecida a um máximo de urna sala, ou seja, salas nao podem ser agrupadas para aulas simultáneas de urna mesma disciplina (4); m
(4)
:¿XjkJ S; 1,0 j=1
d) urna determinada disciplina poderá ser oferecida até urna determinada frequencia máxima semanal para urna determinada sala (5); o
p
(5)
:¿ :¿ Xjkl S;TOTii k=1 1=1
onde: TOTij = total de aulas da disciplina i na salaj; e) devido élforma definida para a variável Xijk¡' para casos em que um detelminado professor possa dar aulas para mais de urna disciplina, tais horários nao deverao ser coincidentes (6). a
m
b
m
:¿ :¿Xjkl+:¿ :¿XjklS;1,0, i=a
j=l
i=b
(6)
para 1 S;a,b S;n
j=1
Exemplo numérico: tome-se a situac;ao em que a "escolal' possa ser simplificada através da representac;ao que envolva: 2 salas de aula; 2 disciplinas (com 2 aulas por semana, por sala); 2 dias letivos por semana; 2 horários por dia letivo. Assim, de urna forma tabular, o seguinte quadro de horários teria que ser preenchido: SALA
1
OlA 1
OlA 2
SALA 2
HORÁRlO 1
HORÁRIO 1
HORÁRlO 2
HORÁRIO
OlA l
OlA 2
91
Portanto, a variável Xijkl' representativa da ocorrencia ou nao da disciplina i, na sala j, no horário k, no dia 1, pode ser definida. Assume-se, assim, que a escola tenha como objetivo oferecer o maior número possível de aulas, ou seja: n !TI o p
Max
LL IIX¡kl j;1 j;1 k;ll;1
onde, no caso específico, n = m = o = p = 2. Assim sendo, há 16 combina<;oespossíveis para a variável binária Xijkl>que poderá assumir os valores zero ou um. As restri<;oesdo problema podem ser representadas da seguinte forma: a) todos os horários sao possíveis, ou seja, Xijkl :::;1. Na verdade, tal premissa exerce mais o papel de um limite superior, urna vez que para situa<;oesnao definidas, Xijkl = O. Portanto, para este exemplo: XlIII :::;1,0 X1112:::;1,0 XII21 :::;1, O XII22 :::;1, O X 121I :::;1,0 XI212 :::;1, O X1221 :::;1, O X1222 :::;1, O
X2II1:::;1,0 X2II2
:::; 1, O
X2121 :::; 1, O X2122 :::; 1, O
X22II:::;l,O X22I2 :::;1, O X2221 :::;1, O X2222 :::; 1, O
(
92
b) em urna sala, num determinado dia, num certo horário, no máximo urna aula; ou ainda, urna sala nao pode ter duas aulas ao mesmo tempo. De urna maneira genérica: 2
Ii=lXijkl::;1,O Representando as restriyoes para o exemplo: Xllll + X2111 ::; 1, O Xli 12+ X2112 ::; 1, O X1l21 + X2121::; 1, O X1l22 + X2122 ::; 1, O X12l1 + X2211::; 1, O X12l2 + X2212 ::; 1, O X1221+ X2221 ::; 1, O X1222 + X2222 ::; 1, O
c) urna determinada disciplina, em um determinado horário de um determinado dia, só poderá ser oferecida a urn máximo de urna sala; ou ainda, salas nao poderao ser "juntadas" para urna determinada disciplina, ou urna disciplina (e naturalmente, o seu professor) nao pode ocorrer em mais que urna sala ao mesmo tempo. De urna maneira genérica: 2
I
j=l
Xijkl::;1,O
Para o exemplo:
93
XliiI
+ Xl2lJ
:::;1,0
Xli 12+ X1212 :::;1,0 Xl121 + X122J:::; 1,0 XI122 + XI222 :::;1,0 X211I + X221I:::; 1,0 X2112 + X2212:::;1,0 X2121 + X222I:::; 1,0 X2122 + X2222:::; 1,0
d) o número máximo de aulas por disciplina e por sala, durante a semana, deve ser respeitado. No caso, de urna maneira genérica, 2
2
IIXijkl:::; k=ll=1
2,0
Representando as restriyoes para o exemp10: - par:=¡a disciplina
1, na sala 1: XlIII + Xll12 + )(1121+ j:1J:i2:::;2, O
- para a disciplina
1, na sala 2: Xl2l1 + Xl2l2 + X1221+ X1222:::;2, O
- para a disciplina
2, na sala 1: X2111+ X2112+ X2121+ X2122:::;2, O
- para
2, na sala 2: X2211+ X2212+ X2221+ X2222:::;2, O
a disciplina
Assim sendo, o problema pode ser resolvido por algum software de programayao linear inteira, tal como o ORSYS, que dispoe da opyao MILP ("Mixed Integer Linear Programming"). Note que sob tal opyao pode ser estruturado um problema de programayao mista, ou seja, envolvendo algumas variáveis inteiras e outras nao necessariamente inteiras. Pelo ORSYS, essa diferenciayao de status das variáveis é feita pelos rótulos (nomes) dados as variáveis. Assim sendo, quando na opyao MILP, as variáveis inteiras tem que ser renomeadas, na própria estrutura da matriz gerada, com os rótulos 1.1, 1.2, etc., substituindo os defaults X.1, X.2, etc., estabelecidos pelo software. A resposta obtida é representada a seguir: SALA
1
DIAl
DIA 2
-SALA 2
DIAl
DIA 2
HORÁRIO 1
DISC. 1
DlSC. 1
HORÁRIO 1
DlSC. 2
DISC. 2
HORÁRIO 2
DlSC. 2
DISC. 2
HORÁRIO 2
DISC. 1
DlSC. 1
94
Naturalmente, tal resposta poderia ser facilmente obtida de maneira intuitiva, uma vez que se trata de problema bastante simplificado. Entretanto, as situayoes práticas que envolvem a elaborayao de horários (por exemplo, distribuiyao de turnos de trabalho para mao-de-obra; alocayao de máquinas agrícolas a diferentes frentes de trabalho, etc.) dao conta de número bastante elevado tanto de variáveis quanto de restriyoes, o que implica o chamado fenómeno da "explosao combinatória". Portanto, tais problemas envolvem matrizes de grande dimensao, que normalmente tem características bastante específicas em termos de sua densidade, ou seja, da dispersao de seus elementos nao-nulos. Exemplo dessa dispersao para o problema resolvido é apresentado a seguir.
Ul11
"112
"111
"112
%1211
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
um 1.0000
U221
Um.,111
1.0000
LOOOO
LOOOO
1.0000
U112
.,111
m12
"'"
um
1.0000
1.0000
LOOOO
1.0000
LOOOO
U221 LOOOO
1.0000
LOOOO
1.0000 1.0000
LOOOO 1. 0000
LOOOO 1.0000
LOOOO l.
0000
1.0000 1.0000
1.0000 LOOOO
LOOOO
1.0000
l.OOOO 1.0000
1.0000 1.0000
1.0000 LOOOO
1.0000 1.
0000 0000
1.0000 1.0000
LOOOO
'0000
1.0000 LOOOO
1.0000
l.OOOO
1.0000 1.0000
1.0000
1.0000
LOOOO 1.0000
1.0000
,.
LOOOOOO 1. 000000
1.0000
1.0000
LOOOOOO
,.
LOOOOOO
1.000000
,. ,. ,. ,. ,.,.
,.
1.0000 LOOOO
LOOOO
,. ,.
LOOOO 1
1.0000
nm
LOOOO
LOOOOOO 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 LOOOOOO 1.000000 1. 000000 1.000000
,.
1.000000
2.000000
,.
l.OOOOOO 2.000000
l.OOOOO'
1 000000
Próximo ao fim da década de 80, soluyoes para o aumento de memória em microcomputadores parecem contomar o problema da dificuldade de processamento decorrente da explosao combinatória em plataformas de pequeno porte. Além disso, linguagens de modelagem comeyam a ser desenvolvidas com o intuito de propiciar códigos que fossem comuns a utilizayao de ferramentas distintas de programayao linear (inteira ou nao), programayao nao-linear, etc., e incorporando eficientes geradores de matrizes. Na pesquisa realizada por SHARDA (1995), cujas tabelas se encontram reproduzidas da página 31 a página 36 deste material, sao também apresentadas as possibilidades existentes nesse sentido. Em vista disso, para fins comparativos, um problema mais amplo de alocayao de horários é codificado sob uma dessas linguagens. A linguagem selecionada foi a GAMS
-
General AIgebraic Modeling System
-
(BROOKE et al., 1992). Trata-se de uma tecnologia de modelagem que teve seu desenvolvimento iniciado no fim da década de 80, através de equipe de economistas do Banco Mundial, com o objetivo de pO
E~...
linguagem extremamente próxima a 11guagem matemática, além de ser flexível a at amatemática estruturayaodisponíveis de modelos de incorporayao de algoritmos para progr ayao no através mercado.
95
Portanto, nao se trata de um esforyo para o desenvolvimento de algoritmos malS convergentes, mas sim para incorporá-los a um pacote que se preze pela facilidade de manipulayao tanto para programadores especializados quanto para o usuário final. Entre outras vantagens, possibilita a formulayao do modelo na mesma forma em que a representayao matemática foi concebida; a utilizayao de somatórias propicia a gerayao automática de matrizes; as variáveis exógenas podem ser alimentadas ao problema sem terem que observar um padrao rígido de formato, variando desde o padrao ASCII (American National Standard Codefor lnformation lnterchange) e passando, por exemplo, pelo formato das mais diversas planilhas eletronicas existentes no mercado. Assim sendo, tome-se a seguinte situayao: a "escola" em questao já nao é mais tao simplificada, urna vez que envolve 7 salas de aula, 10 disciplinas (6 para alunos de graduayao, com 3 aulas por semana, por sala; e 4 para alunos de pós-graduayao, com 5 aulas por semana, por sala), 5 dias letivos por semana e 8 horários por dia letivo. Portanto, sao possíveis para tal situayao 2800 combinayoes para a variável binária Xijkl>o que certamente já ilustra o problema da explosao combinatória, e nao toma muito fácil a tarefa da elaborayao "manual" da matriz pertinente. A estruturayao de tal problema, se~uindo as mesmas premissas assumidas para o problema simplificado, através da GAMS, pode ser visualizada pelo conteúdo do seguinte arquivo de entrada: SETS I J K
disciplinas / D1 * DIO / salas / Sl * 57 / horarios / H1 * H8 /
L
dias / SEG, TER, QUA, QUI, SEX / i
VARIABLES X(I,J,K,L) ocorrencia ou nao da da disciplina i na sala j no horario k no dia 1 CT carga horaria
total
i
BINARY VARIABLE X(I,J,K,L) X.UP(I,J,K,L)
= 1.0
i
i
EQUATIONS CARGA TOTAL RESTJKL (J,K, L) RESTIKL (I,K,L) RESTIJGRAD (I,J) RESTIJPGRA (I,J) "
CARGATOTAL ..
CT
=E=
SUM
C
((I, J, K, L),
RESTJKL(J,K,L)
.. SUM
. (I, X(I,J,K,
RESTIKL(I,K,L)
.. 5UM
(J, X(I,J,K,L))
x X (~' J, K, L))
) =D= 1.0 i =L= 1.0
i
i
96
RESTIJGRAD(I,J)$(ORD(I) LE 6)
..
SUM ((K,L), X(I,J,K,L)) =L= 3.0;
RESTIJPGRA(I,J)$(ORD(I)GE 7)
..
SUM ((K,L),X(I,J,K,L))=L= 5.0;
OPTION
ITERLIM
OPTION
RESLIM
MODEL
HORAGAMS
= 1000000;
=
1000000;
/ALL/
;
SOLVE HORAGAMS USING MIP MAXIMIZING CT ; DISPLAY X.L, CT.L ;
Os principais aspectos da sintaxe da linguagem
GAMS podem
ser obtidos através de
seu manual (BROOKE et al., 1992), ou ainda através de publica~ao de autoria de JEFFERSON & BOISVERT (1989), da Comell University. Em termos gerais, um arquivo de entrada, tipo texto, que obrigatoriamente tenha a extensao ".GMS", deve ser montado pelo usuário. Admitindo-se um ambiente computacional tipo DOS em PCs, para se processar tal arquivo deve ser digitado após o "prompt" o comando "gams nome do arquivo
- sem a extensao
'.GMSj".
Tendo sido iniciado o processamento, e sem a observa~ao de erros (o que nao é muito comum, principalmente para usuários principiantes - uma simples falta de " ; " pode gerar urna m~nsager.l informaLdo a presen~a de número hastante elev.Ido de erros), pOlie ser consultado o arquivo gerado pela GAMS com os resultados do problema. Tal arquivo tem a mesma denomina~ao do arquivo de entrada, só que com a extensao ".LST". Tanto o arquivo de entrada como o de saida podem ser editados a partir de qualquer processador de textos. Pode-se perceber do exemplo de arquivo de entrada apresentado que a nota~ao matemática que envolvia somatórias é basicamente reproduzida no arquivo de entrada da
GAMS (as equa~5es CARGATOTAL RESTIJGRAD (I,J) e RESTIJPGRA (I,J)
RESTJKL(J,K,L)
,
),
sendo
,
RESTIKL(I,K,L),
as originais ¿ substituidas por SUMs.
Tal procedimento implica a gera~ao automática da matriz pertinente, em um tempo muito menor e com certamente menos (se alguns!) erros que a alimenta~ao de dados tradicional. b) Programa~ao de collheita de laranja14 As aplica~5es de programa~ao linear a colheita, documentadas nos últimos cinco anos sobre casos brasileiros, que mais se aproximam a programa~ao de colheita de laranja, sao aquelas que dizem respeito ao gerenciame~o de lavouras de cana-de-a~úcar (GUALDA e TONDO, 1991; BARATA, 1992) ou de ~as 14Baseado em CAIXETA FILHO e GUALDA (1993).
de Euca/yptus (TAUBE-NETO, 1989).
97
Coincidentemente, tratam-se de segmentos agroindustriais que vem observando contínuo avan90 em termos de gera9ao de divisas, tal como a laranja. Podem ser verificadas urna série de similaridades entre tais aplica90es, assim como entre as mesmas e urna eventual aplica9ao para programa9ao de colheita de laranja. Tanto Eucalyptus, quanto cana-de-a9úcar, quanto laranja, tem o seu ponto de colheita associado a um determinado estágio de crescimento e/ou matura9ao. No caso de florestas, os rendimentos florestais a serem alimentados a estrutura de modelagem pertinente será fun9ao das curvas de crescimento representativas, tendo em vista a minimiza9ao dos custos envolvidos. No caso da cana-de-a9úcar, BARATA (1992) se apóia na maximiza9ao da margem total de contribui9ao ao lucro, tendo em vista a produtividade em toneladas de cana por hectare plantado; já GUALDA e TONDO (1991) maximizam a produ9ao de cana levando em considera9ao o teor de sacarose, estimado por curvas de matura9ao. Com rela9ao a laranja, a situa9ao vigente, e ainda nao documentada na literatura, é a de maximiza9ao de produ9ao de caixas de laranja, sem a princípio qualquer tratamento a questao da qualidade, a qual poderia ser modelada através da incorpora9ao das características de Brix e de Ratio. Em termos dr, diferen9as entre os produtos, além das evidentes, note-se que o ponto de colheita para a laranja nao estará somente relacionado a critérios de qualidade, mas assim também a quantidade de frutos disponíveis na árvore. Nao necessariamente será uma boa política atrasar-se a colheita de um determinado pomar, tendo-se em vista um ganho em termos de sólidos solúveis, se a queda de frutos a ser observada já inviabilizar aquele eventual beneficio. Além disso, as restri90es económicas, operacionais, químicas, biológicas e logísticas sao totalmente distintas para a laranja, urna vez que se trata de uma cultura muito mais vulnerável e sensível a intempéries, exigindo urna série de cuidados adicionais ao nível de tratos culturais e gerenciamento administrativo, se comparado com a cana-de-a9úcar e com Eucalyptus. Ao nível de estrutura matemática dos modelos citados, entretanto, alguns comentários merecem destaque. Primeiro, é a questao da defini9ao da variável endógena de decisao, normalmente associada a área a ser colhida. Como as propriedades vem sendo gerenciadas a partir da ad09ao de algum tipo de zoneamento das áreas agrícolas (talhoes, ou lotes, ou qualquer outra terminologia análoga), o valor da solu9ao para tal variável de decisao deverá levar em considera9ao a colheita ou nao daquela unidade dentro de um determinado período de tempo ou, de urna forma genérica, tal variável de decisao deverá assumir características binárias, tipo 0-1. Tal unidade d~ manej~ terá que efetivamente ser colhida, nao fazendo sentido a op9ao de colheita de un~e alguma de suas fra90es. Na pior das hipóteses, poderia se vislumbrar a colheita de fra90es da unidade, ao longo do ano, mas caracterizando
98
a explora9ao da área total, o que a princípio nao parece ser urna prática viável em termos logísticos (deslocamento constante de mao-de-obra e equipamentos, por exemplo), e por consequencia, nao recomendável economicamente. Assim sendo, tornar-se-ia interessante a utilizac;:aode programac;:aointeira para a estrutura de modelagem a ser proposta, o que nao foi realizado, e evitado, devido a limitac;:oesem termos de desempenho computacional, nas aplicac;:oescomentadas para Eucalyptus e cana-de-ac;:úcar.Ainda, as unidades classificadas dentro de urn determinado padrao de zoneamento também levam em considera9ao aspectos de homogeneidade da cultura, como por exemplo, a predominancia de urna determinada variedade. Com isso, a programac;:aode colheita poderá eventualmente oferecer nao somente o cronograma de colheita por propriedade, mas também por variedade. Outro aspecto é a questao de utilizac;:aode plataformas computacionais. As aplicac;:oes citadas se concentraram basicamente na utilizac;:aode computadores de grande porte, talvez pela sua disponibilidade na época de implementac;:aodos respectivos modelos, e pelo fato daquelas máquinas serem mais eficientes no que se dissesse respeito ao tempo de processamento a ser dispendido. Hoje, com certeza, essa já nao é necessariamente urna premissa verdadeira: os custos de processamento em máquinas de grande porte sao altíssmos, o que já afasta o usuário nao tao qualificado; além do mais, a- indústria da informática já oferece nao somente alternativas mais viáveis em termos de equipamentos, mas também ao nível de software com características de eficiencia e convergencia em processamento de problemas estruturados para programac;:aolinear, inteira ou nao, assim como com características de flexibilidade a adaptac;:aopara computadores de portes e fabricantes distintos. Assim sendo, opta-se pela utiliza9ao de programac;:aolinear para a estruturac;:aode modelo para colheita de laranja, tendo-se em vista as aplicac;:oesjá realizadas com sucesso em culturas análogas, mas com algurnas preocupac;:oesbásicas. Entre elas: implementar tal estrutura em máquinas de menor porte e, por conseguinte, de menor custo e de maior acesso pela comunidade em geral envolvida; racionalizar o tempo de processamento para modelos de grande dimensao através de análise de pacotes computacionais que incorporem algoritmos convergentes e que interajam com interfaces de características amigáveis para entrada de dados e saídas de relatórios. Nesse sentido, é proposta a formulac;:aomatemática necessária para a representac;:aodo problema em questao, passível de resoluc;:aopor algoritmos de programa9ao linear, e flexível de tal forma que se possa resolver o problema por programac;:aolinear contínua ou talhao totalmente em urn úniCO mes ou inteira, ou seja, podendo-se optar por C0 her
7
colhe-Io por partes, se isto for operacional e ec
omicamente viável.
U SPI t SA L Q Uepartament.o .. conomia l ~OCIOlúgl. ~ural BIBLIOTECA .
.
99
o modelo proposto
Até meados da década de 80, as alternativas disponíveis para resolver problemas de grande dimensao por programac;ao linear diziam respeito a pacotes instalados em computadores de médio a grande porte, que observavam custos de processamento excessivamente elevados, o que em muitos casos nao estimulava a utilizac;ao de tais ferramentas. Com a compacta<;ao dos processadores de computadores, aSSlm como com a diminuic;ao dos custos operacionais envolvidos, alternativas de pacotes de programac;ao linear comec;ama se tomar disponíveis para microcomputadores. Entretanto, a questao da explosao combinatória ainda era um impedimento para a populariza<;aona utilizac;ao de pacotes de programac;ao linear inteira, que em grande parte dos casos eram ferramentas distintas das de programac;aolinear. Próximo ao fim da década de 80, soluc;5es para o aumento de memória em microcomputadores parecem contornar a questao da explosao combinatória, assim como linguagens de modelagem come<;ama ser desenvolvidas com o intuito de propiciar códigos que fossem comuns a utilizac;aode ferramentas distintas de programa<;aolinear (inteira ou nao), programac;aonao-linear, etc. Em vista disso, foi selecionada urna dessas linguagens, no caso a GAMS (BROOKE et al., 1992), e sobre ela codificada a estrutura do modelo. Entretanto, a satisfa<;aodo modelador por urna linguagem inteligente nao necessariamente é corroborada pelo usuário final do modelo. Interfaces amigáveis para entrada e saída de informa<;5essao normalmente imperativas para que a possibilidade de exito na utiliza<;aode urna ferramenta seja bastante razoável. Em vista disso, interfaces poderao ser desenvolvidas para traduzir para a linguagem GAMS os dados necessários para a estrutura<;aodo modelo, a partir do próprio usuário final, assim como interpretar os resultados obtidos pela linguagem GAMS através de urn formato mais adequado a esse mesmo usuário final. Portanto, além de possibilitar urn aumento na eficiencia da comunicac;aoentre o usuário da ferramenta e o modelo em si, deverao também ser oferecidas ao usuário condic;5es de se alterar a estrutura do modelo sem necessariamente diligenciar sobre aspectos intrínsecos a esta ou aquela teoria. Assim sendo, o modelo a ser proposto segue a estrutura básica de modelos de otimizac;ao, a partir da maximizac;ao de urna determinada fun<;aoobjetivo, sujeita a urna série de restric;5es. A func;aoobjetivo será definida como sen40 a rnargerntotal de contribui~ao ao lucro (M) a ser recebida pela indústria, ou sej~
100
M = RSS - CTOTTR
- CTOTCOLH
(1)
onde RSS = receita a ser auferida pela comercializaryaodo suco, em funryaodo total de
sólidossolúveis,em US$, sendoque: RSS = PSS * ¿
¿
.
PRO.. 1J 15 * ISS..1J * T.1J
¡ j
(2)
onde PSS = preryodo kg de sólido solúvel, em US$; PROij = valor da funryaode produryaodo talhao i, no mes j, em cx; ISSij = teor de sólidos solúveis, medido a partir da curva de maturaryao,no talhao i no mes j, em kg/cx; T¡j = variávelrepresentativada proporryaodo talhaoi a ser colhidano mesj.
CTOTTR = custo total de transporte, em US$, sendo que: CTOTTR = CUT * ¿ DIST1 * L: PRO..1J * T.lJ
(3)
onde CUT = valor da funryaocusto de transporte, em US$/cx/km; DIST¡ = distancia do talhao i a indústria, em km. CTOTCOLH = custo total de colheita, em US$, sendo que:
CTOTCOLH= ¿ ¿
CUC..1J * PRO..IJ * T.IJ
(4)
¡ j
onde CUCij = valor da funryaocusto de colheita, do talhao i, no mes j, em US$/cx. As alternativas para a otimizaryaoda funryaoobjetivo, ou seja, as variáveis endógenas propriamente ditas, dirao respeito as combinaryoes\possíveis de programaryaode colheita em
15 O valor de PROij já assume as eventuais diferenc;aS devidas elqueda de frutos.
101
época de safra. Por exemplo, se a variável T¡j valer 1,0, o talhao i deverá ser colhido totalmente no mes j; caso Tijvalha 0,0, o talhao i nao deverá ser colhido no mes j. Quanto as restriyoes, elas podem ser divididas em tres grandes grupos, ou seja: a) Capacidade de processamento da indústria, representada da seguinte forma: PROCMESj :S CAPj sendo que:
(5)
PROCMESj = processamento a ser efetuado pela indústria num determinado mes j, em ex, onde PROCMES.J =" L.. PRO..IJ * T.1J
(6)
i
CAPj = capacidade de processamento da indústria, num determinado mes j, em cx; b) Intervalo de variayao para 1)Ratio, representado da seguinte forma:
RATIOMINij :S RATIOij :S RATIOMAXij sendo que:
(7)
RATIO..1J = ( R.IJ * T.1J)
(8)
RATIOMIN..1J = (RMIN..1J * T.IJ )
(9)
RATIOMAX.IJ = (RMAX.IJ * T.1J )
(lO)
onde:
Rij
= valor da funyao Ratio, no talhao i, no mes j;
RMINij = Ratio mínimo a ser fixado pela indústria, para o processamento de determinado tipo de suco, a partir da produyao do talhao i no mes j; RMAXij = Ratio máximo a ser fixado pela indústria, para o processamento de determinado tipo de suco, a partir da produyao dp talhao i no mes j. c) Cronograma de colheita por talhao, representada da seguinte forma:
102
(11)
CRONOTAL¡ :S 1,0 sendo que
CRONOTAL¡ = cronograma de colheita para o talhao i, em termos de proporc;aototal do ta1haoi colhida durante a safra, onde
(12)
CRONOTAL.1 = 1: T.1J
Vm talhao poderá ser colhido entao mais que urna vez durante a safra, sem superar, entretanto, o nível de produc;aoesperado para aquele talhao. Portanto, a seguinte estrutura básica de programac;aode colheita deverá ser modelada: Maximizar M
(13)
sujeito a PROCMESj :S CAPj
(14)
RATIOMINij :S RATIOij :S RATIOMAXij CRONOTAL¡ :S 1,0
(15) (16)
Em func;ao do cronograma ótimo a ser obtido a partir da estrutura de modelagem proposta, algumas informac;6esgerenciais podem ser obtidas, através de equac;6esauxiliares que poderao ser incorporadas ao modelo. Assim sendo, as informac;6essobre receita, custos e quantidades de caixas ou sólidos solúveis, podem ser agrupadas da maneira mais conveniente aos tomadores de decisao. Por exemplo, por talhao, mes a mes, de acordo com a variedade da laranja, e assim por diante.
2.11.5 Exercícios 1) Urna companhia agrícola está considerando seis possíveis oportunidades para
investimento. A tabela a segllir apresenta :i:7,oes
necessárias para cada projeto.
103
Despesa inicial ($
Pessoal
Capital de
Lucro anual
Valor
necessário
estimado
presente
1
000) 700
(unid.) 6
giro médio anual ($ 000) 200
($ 000) 160
($ 000) 300
2
1080
16
240
3 4
120
36
440 60
300
2 4
300 20 70
66
160
5
680
10
6
420
6
150 90
140 80
380 200
Exig.
Máximo de 2000
Máximo de
Mínimo de
Mínimo de
Máximo
24
200
200
possível
Projeto
Além disso, sabe-se de antemao que os projetos 3 e 4 sao mutuamente exclusivos e que o projeto 1 só pode ser realizado em conjunyao com o projeto 6. Identifique os projetos que devem ser selecionados pela companhia agrícola (adaptado de LEE, MOORE & TAYLOR, 1985). 2) No início do 20. semestre, o diretor do Centro de Computayao de urna certa Universidade se deparou com o problema de alocar diferentes cargas horárias de trabalho aos operadores de sistemas daquela instituiyao. Como todos os operadores sao estudantes regularmente matriculados, a maior preocupayao do diretor era tentar garantir que o tempo de trabalho dos operadores nao fosse de tal magnitude que chegasse a interferir em seus estudos. Há 6 operadores (quatro homens e duas mulheres). Eles tem diferentes remunerayoes por hora devido aos diferentes níveis de experiencia com computadores e habilidades de programayao. A tabela que se segue mostra suas remunerayoes por hora, juntamente com o número máximo de horas que cada um pode trabalhar por dia.
-~
104
Disponibilidade Máxima (h) Seg 6
Ter
Qui 6
Sex
O
Qua 6
H.B.
US$ 4,30/h US$ 4,1O/h
O
6
O
O
4
8
4
4
6 O
S.C.
US$ 4,00/h
5
5
5
5
O
K.S.
US$ 5,00/h
3
3
US$ 5,50/h
O
O 2
8
N.K.
O O
Operador K.C.
Remunerarrao
D.H.
US$ 4,20/h
O
O
6
Com o orrramento apertado que a Universidade alocou ao Centro de Computarrao, o diretor tem que também tratar o assunto em termos de minimizarrao de custos. Sua decisao foi de que os operadores com mais altas remunerarroespor hora deveriam trabalhar a menor quantidade possível de horas, sem entretanto prejudicar o funcionamento do Centro. Este nível foi estabelecido arbitrariamente em 8 horas por semana para os operadores e 7 horas por semana para as operadoras (K.S., N.K.). O Centro de Computarraodeve funcionar normalmente desde as 9 da manha até as 11 da noite, de segunda a sexta-feira, com apenas um operador em trabalho durante estas horas. Aos sábados e domingos, a rede de computadores é operada por outra equipe. Determine o número de horas que deve ser alocado a cada operador, em cada dia da semana (HILLIER & LIEBERMAN, 1988). 3) Interessado na otimizarrao de sua programarrao de colheita, um determinado produtor de cana-de-arrúcarorganiza sua programarraode colheita levando em considerarrao o teor de sacarose das variedades de cana plantadas. Basicamente, vem se orientando de acordo com a seguinte estrutura de modelagem: Maximizar R sujeito a CRONOTAL¡ = 1,0 Sabe-se que:
105
a) em termos da func¡:aoobjetivo:
R = receita a ser auferida pela comercializac¡:aodo ac¡:úcar,em func¡:aodo teor de sacarose, em US$, sendo que: R = PS x
LL i
PRO.. x TS.. x C..
j
IJ
lJ
1J
onde
PS = prec¡:odo kg de sacarose, estimado em US$ 4.30; PROij TSij em kg/t; Cij
= produc;aodo talhao i, no mes j, em toneladas de cana;
= teor de sacarose, medido a partir da curva de maturac;ao,no talhao i, no mes j,
= variável tipo 0-1, representando a possibilidade do talhao i ser colhido no mes j.
b) em termos das restric¡:5es: CRONOTAL¡ = 1,0 sendo que: CRONOTAL¡ = cronograma de colheita para o talhao i, em termos da alocac¡:aodo melhor mes, durante a safra, para a sua colheita, onde CRONOTAL. = l
L j
C. 1J
Os dados que vem sendo utilizados dizem respeito a valores observados na última safra. Assim sendo, a Tabela 1 fomece as informac¡:5es,ao nível de talhao, em termos de produc;ao de cana a ser esperada, por talhao, em func¡:aodo mes de colheita. Na Tabela 2, sao mostradas as faixas observadas em cada mes, por talhao, em termos de Teor de Sacarose.
j)
106
TABELA 1 - PRODU<;ÁO DE CANA (t), POR TALHÁO Talhao/Mes
Set
Out
Nov
Dez
1 2
2050 2150 2300 2500 3800 4000 4200 4300
3
1300 1500 1600 1700
TABELA 2 - TEOR DE SACAROSE (kg/t), POR TALHÁO Talhao/Mes
Set
Out
Nov
Dez
1
80
81
82
83
2
64
72
65
60
3
78
79
76
75
O principal resultado a ser obtido a partir do modelo é o cronograma propriamente dito da colheita, a ser representado por todos os Cij= 1 , ou seja, em quais meses G) quais talhoes (i) devem ser colhidos. Pede-se: a) montar as equa<;oese inequa<;oespertinentes ao modelo, em fun<;aodos dados fomecidos; b) "imaginar" e justificar urna possível resposta
- cronograma de
colheita
- para o
problema. 2.12 MODELOS DE DECISÁ016 Vm problema de decisao existe somente quando sentimos que as possíveis consequencias daquela decisao sao importantes e mesmo aSSl estamos incertos quanto a melhor atitude a ser tomada. Quando estamos incertos quant as consequencias de urna decisao, estamos enfrentando urna escolha que envolve'
. Assim sendo, tal terminologia
16 Baseado em ANDERSON, DILLON & HARDAKER (1988); BEKAMAN & COSTA NETO (1980); HOFFMAN (1980).
107
- modelos de decisiio - teoricamente incorpora todos os exemplos de modelos e aplicayoes apresentados até entao.
Tome-se a seguinte situayao para um produtor de milho:
A¡;oes:
al
= vender daqui a 1 mes
a2= estocar e vender daqui a 6 meses Cenários:
CA = condiyoes de mercado "A" CB = condiyoes de mercado "B"
Consequencias (em termos de retorno esperado):
Ayao/Cenário
Condiyoes de Mercado "A" (PA= 0,3)
Condiyoes de Mercado "B" (PB= 0,7)
Vender daqui a llTes (al)
$ 1.500
$ 5.000
Estocar e vender daqui a 6 meses (a2)
$ 4.000
$ 1.000
Qual a decisao a ser tomada?
. definiyao de critério (por exemplo, optar pela ayao que propicie o MAIOR valor esperado)
.
aplicayao do critério
Assim sendo, calculando os valores esperados pertinentes: E(al) = $ 1.500 x 0,3 + $ 5.000 x 0,7 = $ 3.950 E(a2) = $ 4.000 x 0,3 + $ 1.000 x 0,7 = $ 1.900
.
:7
Portanto, a decisao deverá dizer respeito á ado~ao da a:~'VENDER MES".
DAQUI A J
É importante destacar que se trata de um critério para auxiliar a tomada de decisao. Naturalmente, nao significa que se al for escolhida, $ 3.950 serao retornados. Por exemplo,
108
se as condiyoes de mercado observadas forem efetivamente as dos tipo "A", $ 1500 serao retornados caso se opte por "VENDER DAQUI A 1 MES". Asim sendo, se o tomador de decisao soubesse, com antecedencia, quais condiyoes de mercado efetivamente prevaleceriam, nao necessariamente a mesma ayao seria tomada. Por exemplo, caso a condiyao de mercado "A" ocorresse com certeza, a decisao a ser tomada diria respeito a "ESTaCAR E VENDER DAQUI A 6 MESES", com urn retorno de $ 4.000. Por outro lado, se a informayao sobre a condiyao de mercado "B" pudesse ser antecipada ao tomador de decisao, naturalmente ele optaria pela ayao "VENDER DAQUI A 1 MES", com um retorno de $ 5.000. Urna vez que a condiyao de mercado "A" ocorre em 30% das oportunidades, e "B" em 70% das situayoes levantadas, o valor esperado sob condiyoes de certeza poderia ser calculado como: E(certeza) = $ 4.000 x 0,3 + $ 5.000 x 0,7 = $ 4.700 Comparando o retorno a ser obtido caso esteja disponível a chamada "perfeita informayao" (no caso, $ 4700) com aquele calculado para urna situayao de incerteza ($ 3.950), pode ser obtido o valor da "perfeita informa9ao", ou seja, $ 7:;0 seria a máxima quantia que o tomador de decisao deveria pagar por esta perfeita informayao, via por exemplo, serviyos de consultoria específica, pesquisa de mercado, etc. Entretanto, vale ressaltar que este exemplo de critério de decisao é aplicável para situayoes que se enquadrem dentro de urna concepyao estática, tal como um período de tempo em particular. Se, por outro lado, o problema requer urna série de decisoes relacionadas, a utilizayao de árvores de decisao será urna técnica mais recomendável para o auxílio a tomada de decisao. 2.12.1 Árvores de decisao Trata-se de técnica de Pesquisa Operacional que auxilia a análise de decisao através da identificayao do melhor caminho ou estratégia a serem seguidos. A partir dos possíveis caminhos abertos ao tomador de decisao, essas árvores podem ser construídas, assurnindose que os eventos ocorrerao como resultado da interayao entre as~colhas realizadas pelo tomador de decisao e fenómenos probabilísticosl7.
17Veja aplica¡;:aoem PERES (1990).
)
109
Os passos para a constru9ao da árvore envolvem:
1) identifica9ao dos caminhos (cronologia dos eventos possíveis); 2) determina9ao das eventuais probabilidades associadas aos eventos; 3) associa9ao de retornos aos eventos (por exemplo, atribuir valores monetários para cada urna das alternativas); 4) resolu9ao do modelo, a partir da avalia9ao dos valores
esperados em cada nó.
EXEMPLO: escolha de emprego por engenheiro agrónomo recém-formado.
900 cl sócio
TRAB.A
/
1500
0,6 sI sócio
O
0,4 aceita
900 TRABALHO -
UNESP
I TRAB. B
0,8 náo ace.ta
500
I
500
O
0,2
400 Zoot.
aceita I
ESAL
/
0,6
náo aceita
600 O
0,4 aceita
560 P.G.
I
ESALQ
I
Ó
0,7
400
náo aceita 0,3
O
aceita ESALQ
560 Econ.
-
'/
0,8
700
náo aceita
I
0,2
I
O
aceita UNICAJ
0,5
800
náo aceita 0,5
O
110
Nesse exemplo, tem-se para um engenheiro agrónomo recém-formado tres grandes classes de alternativas profissionais disponíveis: montar o seu próprio negócio ("TRAB. A"); ser empregado de alguma empresa do setor agroindustrial ("TRAB. B"); fazer urna pós-graduayao ("P.G."). Para essas alternativas, está associada um momento de decisao para o engenheiro agrónomo, que no caso da árvore é representado por nós de decisao (codificados por quadrados). Por outro lado, para a opyao "TRAB. A", podem estar associados eventos de natureza mais probabilística, que digam respeito a chance de se encontrar um sócio para o negócio. A esses eventos estao associados os chamados nós de chance (codificados por circunjeréncias), referenciados pelas devidas probabilidades de ocorrencia. Ainda no mesmo exemplo, há a representayao de nós de decisao correspondendo aos campos de pós-graduayao de interesse do engenheiro agrónomo (no caso, Zootecnia e Economia). Da mesma forma, para cada escola a qual o engenheiro
agrónomopleiteasseurna vaga no curso de pós-graduayao,podem ser identificadosnós de chance relacionados as possibilidades de aceitayao ou nao naquele curso. Assim sendo, a cronologia de eventos possíveis é basicamente representada pela árvore de decisao em si, composta por urna série de nós de decisao e de chance, interligados pelos chamados ramos A seguir, devem ser alfibuídos os valores de probabilidade a e;ada um dos evemos decorrentes dos nós de chance, e definidos os valores de retorno esperados para cada urna das alternativas, que estao representados nos chamados nós terminais (correspondentes as extremidades finais da árvore). Estruturada a árvore, os cálculos pertinentes podem ser efetuados, ponderando os valores de retorno esperados pelas respectivas probabilidades (no caso dos nós de chance), e selecionando os maiores valores de retorno (no caso de nós de decisao). Assim sendo, a melhor opyao para o caso desse engenheiro agrónomo diz respeito a "TRAB. A", ou seja, montar o seu próprio negócio, ao que está associado um retorno esperado de "900" unidades. Entretanto, alguns comentários podem ser feitos quanto a definiyao dos valores dos retornos e das probabilidades a serem utilizados na árvore de decisao. a) Retornos
.
\
~
o valor esperado, medido em termos monetários, nao necessariamente reflete a melhor medida em termos de retorno para o tomador de decisao;
111
.
por exemplo, haverá diferentes graus de satisfayao caso o engenheiro agrónomo venha a trabalhar em A ou em B. Esse grau de satisfayao pode ser mensurado pelas funyoes de utilidade pertinentes;
.
os valores de utilidade pode ser obtidos através das curvas de indiferen~a, que representem urna série de combinayoes de preferencia do consumidor.
y
\~ ~\
l
~20
..
~10 !
x b) Probabilidades
.
podem ser estimadas objetivamente (frequencias relativas, baseadas na repetiyao
de eventos,observayoesrealizadas,etc.)ou subjetivamente(quandoa decisaoa ser tomadaenvolveurnasituayaonova, semum quadroreferencialformado);
. .
na maior parte dos casos agropecuários, susceptíveis a análise de decisao, utiliza-se a probabilidade subjetiva; métodos para a sua estimativa: "loteria referencial" e o Teorema de Bayes.
Um exemplo de aplica,iio da "lotena referencia!" é dado a segllii.~'\ Imagine que voce disponha de $100 e pretenda apostar em algum Jtipo de loteria. Existem duas opyoes de loteria na sua cidade, sendo que para ambas, em caso de acerto do
112
apostador, paga-se em premio o dobro da quantia apostada. A primeira loteria diz respeito ao acerto da previsao meteorológica para o próximo fim-de-semana, basicamente, se chove ou nao chove. Pelas suas probabilidades subjetivas, voce estima que há 60% de chances em chover no próximo fim-de-semana. A segunda loteria é relacionada ao acerto da cor de urna bola a ser sorteada de urna caixa que contém 6 bolas vermelhas e 4 bolas brancas. Em qual das loterias voce apostaria os $1007
. .
se voce é indiferente a ambas, é sinal de que sua probabilidade subjetiva está bem estimada caso contrário, a probabilidade subjetiva deve ser "calculada" novamente
2.12.2 Teorema de Bayes Tem sua origem a partir de trabalho de autoria do Reverendo Thomas Bayes (nascido em 1702, na Inglaterra), intitulado ''An essay towards solving a prrJblem in the doctrine of chances", em The Philosophicat Transactions, 53, 1763 (!), p. 370-418, e reproduzido em Biometrika, 45, 1958, p. 293-315. Suas principais premissas sao apresentadas a seguir.
.
Sejam: Al, A2, ... , An eventos mutuamente exclusivos e exaustivos; e B urn evento qualquer do espac;oamostral
Simbolicamente,
A1
A4
A3
s
AN
B sendo a área correspondente a cada evento proporcional a sua probabilidade.
113
Note que: n
B = UAJ¡B
(1)
i=l
Como as interseccroes A¡n B sao mutuamente exclusivas, n
P(B) = ¿ P(A¡n B)
(2)
i=l
Aplicando o teorema do produto, n
P(B) = ¿ P(A¡)P(BIA¡)
(3)
i=l
expressao também conhecida como "Lei da Probabilidade Total".
As probabilidades P(Al),...,P(An)
constituem urna distribuicrao de probabilidades
sob um determinado estado de informacrao.Assim sendo, se soubermos que o evento B ocorreu, as probabilidades
P(A1IB),...,P(AnIB)
constituirao urna distribuicrao
correspondente a outro estado de informa<;ao (distribuicrao de probabilidades A¡, condicionada a ocorrencia do evento B).
Assim sendo, tal expressao [P(AkIB)] pode ser obtida pela regra da probabilidade condicionada,
P(AkIB)= P(AknB) P(B)
(4)
ou, aplicando o teorema do produto em seu denominador,
P(AkIB)= nP(AknB)
(5)
~P(A¡nB) ou ainda, aplicando probabilidade condicionada em seu numerador, P(AkIB) = nP(Ak)P(BIAk) ~P(A¡)P(BIA¡)
o que resulta na expressao conhecida como Teorema de Bayes.
(6)
114
Portanto, dado um experimento em dois estágios e conhecidas as probabilidades "a priori"
- P(A¡) - e as probabilidades condicionadas - P(BIA¡) - o teorema de Bayes permite
calcular as probabilidades "a posteriori"
- P(A¡ IB) .
Note que P(A¡) é representativa de certo estado inicial de informavao, que se modifica tao logo chegue ao nosso conhecimento a ocorrencia do evento B. Essa informavao alterará nosso conhecimento a respeito das probabilidades de ocorrencia dos eventos Ak , o que resulta nos valores P(AkIB), calculados pelo Teorema de Bayes. A mais importante característica do teorema de Bayes é a provisao de um mecanismo lógico para o processamento consistente de algum tipo de informavao adicional. Muitas pesquisas conduzidas por psicólogos mostram que a intuivao humana é ineficiente nesse tipo de processamento. Ao agir com intuivao, a maior parte das pessoas exibe um certo conservadorismo, nao extraindo das evidencias existentes a totalidade da quantidade de informavao disponível. Através da utilizavao do Teorema de Bayes, o valor da "perfeita informavao" pode ser avaliado. Tomando-se algum experimento que venha a colaborar para tal, consideram-se os respectivos custos envolvidos, com um novo valor de utilidade podendo ser calculado. Se tal valor for superior ao da utilidade da avao que foi selecionada originalMente, o experimento deve ser conduzldo. Tome-se assim o seguinte exemplo, extraído de BEKAMAN & COSTA NETO (1980): Um agricultor acerta 80% dos dias em que chove e 90% dos dias em que nao chove. Chove em 10% dos dias. Tendo ele previsto chuva em um dado dia, qual a probabilidade de chover? Sejam os eventos:
C = chove C = nao chove "C" = agricultorfaz previsaode chuva "C" = agricultor faz previsao de nao chover /
Assim, P("C"IC) = 0,80 --+ P(" C" IC) = 0,20
P("C"IC) = 0,90 --+P("C"IC) = 0,10
~\
)
115
P(C) = 0,10 -+ P(C) = 0,90
P(q"C") =?
Pelo Teorema de Bayes: P(q"C") = P(Cn"C") P("C")
Calculando P("C") pela "Leí da Probabilidade Total": P("C") = P(C n "C") + P(C n "C") = = P(C). P("C"¡C) + P(C). P("C"IC) = = 0,10 x 0,80 + 0,90 x 0,10 = 0,08 + 0,09 = 0,17
Como P(C n "C") = 0,08 ,
P(q"C")
= 187== 0,47
Assim, embora o agricultor pare<;:aser um meteorologista bastante confiável, a probabilidade de urna previsao de chuva estar correta é inferior a 50%, urna vez que no cálculo dessa probabilidade exerce influencia a pequena frequencia relacionada aos dias de chuva. Outra maneira de se calcular a probabilidade requerida seria através de árvores de probabilidade. Com lógica bastante similar a dos nós de chance de urna árvore d€~decisao trivial, as árvores de probabilidade podem ser apresentadas através de d~s vari~<;:5es: árvore da natureza e árvore do interessado.
116
A árvore da natureza apresenta a cronologia real dos acontecimentos: primeiro, a natureza "decide" se chove ou nao chove; depois, em fun9aOdos indícios, o agricultor faz as suas previs5es.
1°,081 '"
0,80
-
O ,
~,,~,
o~ C§) 1°,091
@
Em alguns casos, a probabilidade pela qual se tem interesse pode ser obtida diretamente da árvore da natureza. Caso isso nao seja possível
- como é o caso de nosso
problema - toma-se interessantea elabora9aOda árvoredo interessado.
( \\ \
117
y
O
o
~
0.08
~0'09
"C" C/'
0,02
~
0,81
if
Note. se que as probabilidades dos pontos terminals da ffirvore do interessado e da árvore da natureza devem ser as mesmas. Assim, para obter as probabilidades faltantes,
basta realizaro produto ao longo de cada percurso da árvore para reproduzir a probabilidade correspondente ao ponto terminal.
Portanto, 8 P(q"C") = U 9 P(C I"C") =
U
2 P(q"C") = 83
P(CI"C") = ~ 83
2.12.3 Exercícios I
I
1) Um agricultor, com base em observayoes superficiais, acredita que a pr~t?abilidade de haver água (existencia de pOyOartesiano) em sua nova propriedade seja de 20%. Assim sendo, podem ser definidos os seguintes eventos: el (existencia de água) e e2 (nao existencia de água).
118
Para urn melhor detalhamento das probabilidades associadas a esses eventos, o agricultor contrata a realizac;ao de testes geológicos, que podem gerar tres tipos de resultados, mutuamente exclusivos entre si: f¡ , f2 e f3. Tais resultados estao relacionados a existencia ou nao de água, de acordo com as seguintes probabilidades:
Ie¡ ) = 0,10
P(f¡ I e2 ) = 0,60
P(f2 I e¡ ) = 0,40
P(f2 I e2 ) = 0,30
P(f3 I e¡ ) = 0,50
P(f3Ie2)=0,10
P(f¡
Admitindo que o teste tenha resultado em f3 , determine a probabilidade de que haja água, ou seja, o valor associado a P(e¡ If3) [adaptadode HOFFMAN,1980]. 2) Urna fábrica de rac;aotem tres unidades: unidade A, que produz 20% do total da produc;ao; unidade B, que produz 50% do total; unidade C, os 30% restantes. Em cada unidade há urna diferente percentagem de rejeitos: 2% em A, 1% em B e 3% em C. Dado que urna unidade de produto selecionado de urn determinado dia de produc;ao seja rejeito, qual a probabilidade de que ele tenha vindo de B? 3) Para analisar a viabilidade da realizac;ao de urna Feira Agropecuária em urn determinado período do ano, os organizadores adquirem as informac;5espertinentes de urn Servic;o de Meteorologia. Assim sendo, em func;aodas previs5es já realizadas por aquele Servic;o,para aquela regiao e período, disp5e-se das seguintes estatísticas: Previsao efetuada Chuva Nublado Sol
Condic;5esmetereológicas efetivamente observadas Chuva Nublado Sol 0,7 0,2 0,1
0,2 0,6
0,1
0,2
0,7
0,2
Asim, por exemplo, a probabilidade de ter sido feita previsao de chuva, e ter efetivamente chovido, é de 70%. Foram também obtidas os valores das probabilidades associadas a dis\ribuic;ao a priori das condic;5esmetereológicas para a regiao. A saber: probabilidade de chuh= 10%, probabilidade de tempo nublado = 30% e probabilidade de tempo ensolarado = 60%. Construa as árvores de decisao pertinentes ao problema (adaptado de HILLIER & LIEBERMAN, 1988).
119
3. ESTRUTURA<;AO DE MODELOS NAO-LINEARES Embora a abstra9ao relativa a lineariza9ao possa ser urna vantagem interessante quando da formula9ao de modelos matemáticos (tendo em vista a versatilidade de I
.
algoritmos tais como o Simplex, assim como a larga escala de software disponível para Programa9ao Linear), nao há como nao considerar a característica de nao-linearidade de urna série de sistemas agroindustriais. Por exemplo, nao necessariamente urna fun9ao custo unitário de transporte é constante e linear, podendo assumir o comportamento de urna fun9ao tipo hipérbole equilátera, implicando que para maiores distancias está associado urn menor custo unitário de transporte (vide Figura 1). US$/tIkm 0,080 0,070 0,060 0,050
'" '" '" ¿, o '"
- Comportamento do frete unitário praticado para o milho, em fun~ao
da distancia percorrida. Fonte: SIFRECA - Sistema de Informa90es de Fretes para Cargas Agrícolas (1997).
Figura 1
Além disso, diferentemente da Programa9ao Linear, nao existe urn algoritmo "universal" para Programa9ao Nao-Linear, urna vez que os graus e compl9'idades de naolinearidade podem ser bastante diversificados. Por exemplo, pode ser irentificada a naolinearidade restrita a fun9ao objetivo, e que pode variar para cada urna das variáveis; pode ser exclusiva a urna ou mais restri90es; ou ainda envolver tanto restri90es quanto a fun9ao objetivo.
120
Portanto, para cada combinayao específica de classes de nao-linearidade podem ser recomendados algoritmos específicos, que por sinal continuam a ebulir pela literatura especializada. Ressalte-se também que, diferentemente de programayao linear, para programayao nao-linear ainda nao há garantia da obtenyao do chamado ótimo global, mas somente de pontos de ótimo local. Inclusive, em vista dessa limitayao, a otimizayao global vem justificando um grande número de trabalhos de pesquisa. Em vista do exposto, tome-se o seguinte exemplo. Dada a funyao de utilidade: (1)
u = X1X 2 + 2x I sujeita a restriyao oryamentária: 4x¡ + 2X2
(2)
= 60
calcular o nível de utilidade máximo. Note-se, inicialmente, que a nao-linearidade do problema está restrita a funyao objetivo, tendo em vista o produto cruzado entre as duas variáveis de decisao do problema. Reescrevendo a funyao objetivo e a restriyao oryamentária, tem-se: (3)
u = XI (X2 + 2) sujeito a: x2
(4)
= 30 - 2x¡
Substituindo a restriyao na funyao objetivo:
u = x¡ (30
-
2x¡) + 2x¡
( \
(5)
121
u = 30x¡ - 2xi + 2x¡ = 32x¡ - 2xi
(6)
Calculando as condi<;oesde 1a. e 2a. ordem de otimiza<;aoclássica:
au & 1 = - 4x¡ + 32 = O a2u = - 4
< O
(7)
(8)
&2 1
Portanto, se houver um ponto de ótimo, este deverá ser um ponto de máximo (derivada segunda negativa). Assim sendo, como: -4x¡ + 32 = O ~
x¡ = 8
(9)
Substituindo na restri<;ao: ~
X2
=
14
(lO)
o que resulta num valor máximo de 128 para a fun<;aoUti1idade. Observe-se que para esse problema, há ainda a pecu1iaridade da restri<;aoser do tipo "igua1dade", e envolvendo apenas duas variáveis, o que facilita a utiliza<;aodo artificio de substitui<;aoda restri<;aona própria fun<;aoobjetivo. Para casos que envo1vamrestri<;oesdo tipo "igualdade", mas com mais restri<;oes,o método do multiplicador de Lagrange é recomendado.
122
3.1 MÉTODO DO MULTIPLICADOR DE LAGRANGEl8 Dada urna func;aogenérica Z: (11)
Z = f(x, y) sujeito a:
(12)
g(X,y) = c
O chamado Lagrangeano correspondente (L) pode ser construído como sendo: (13)
L = f(x, y) + A [c - g(x, y)] onde A é o chamado multiplicador de Lagrange.
Os valores estacionários para a func;aoL podem ser obtidos a partir da aplicac;aodas condic;óesda otimizac;aoc1ássica,ou seja: L l.
L
(
x(
Lr .
= aL
(14)
= aL = Ix - Agx = O ax
(15)
a A) = e - g(x, y) = O
)
aL
= (= - ) = f ay y
=
- Ag
O
(16)
y
Perceba-se que com a aplicac;aodas condic;oesde 1a. ordem da otimizac;aoc1ássica ao Lagrangeano, a expressao (14), referente a A, passa a representar a restri(ao original (12), enquanto (15) e (16) sao as expressoes pertinentes as variáveis Xl e x2' tal ~mo numa situac;3.oirrestrita. Assim sendo, o sistema de equac;oessimulHineas(14), (15) e (16) nada Matemático franco-italiano, Joseph Louis Lagrange nasceu em 25/01/1736 em Turim e faleceu em 10/04/1813 em Paris.
18
123
mais é que urna representayao alternativa ao problema fonnulado em (11) e (12), só que mais facilmente solucionável. Portanto, para o exemplo representado pelas equayoes (1) e (2): L
= X¡X2
+ 2x¡ +
"A
(17)
(60 - 4x¡ - 2X2)
as equayoes (14), (15) e (16) podem ser resolvidas simultaneamente, de tal fonna que:
a L = 60 - 4x¡ - 2x 2 = o
(18)
a"A
aL
a x¡ = X2 -aL --Xl aX2
+ 2 - 4"A =
- 2"A=
o~
o~ "A
"A
= -x¡
2
=
X2
+ 2
(19)
(20)
Das equayoes (19) e (20), obtém-se:
x2 = 2x¡ - 2
(21)
Substituindo (21) em (18): 60 - 4x¡ - 2(2x¡ - 2) X¡
=
=
O
(22) (23)
8
Substituindo (23) em (21): X2
=
2(8)
X2
=
14
-
2
Substituindo (25) em (19):
(24) (25)
124
X2
"-
+ 2 - 4"-
= O
(26)
=4
(27)
Substituindo (23), (25) e (27) em (17): L = 128
(28)
o que confirma o resultado obtido anteriormente. Ressalte-se que se trata de um procedimento, diferentemente do anterior, em que várias restric;oestipo "equac;ao"podem ser consideradas. Entretanto, nao se trata do método mais adequado para o tratamento de problemas nao-lineares que envolvam restric;oestipo "inequac;oes". 3.2 MÉTODO GRÁFICO Para estruturas nao-lineares de modelagem que incorporem restric;oes tipo inequac;oes, e que envolvam apenas duas variáveis, o método de resoluc;ao gráfica passa a ser um instrumental interessante. Tome-se os exemplos apresentados por CHIANG (1982, p. 612-3).
Min e = (x¡ - 4Y + (x2 - 4Y sujeito a: 2x¡ + 3x2 ;::: 6 3x¡ + 2x2 :s; 12 x¡ , x2 ;::: O
( Note-se, a partir da Figura 2, que ilustra a func;ao objetivo (nao-l~ear) e as restric;oes(lineares) do problema, que a soluc;aoótima, representada pelo ponto P (2; 3), nao
125
é um vértice da regiao viável, diferentemente do que se observa na resolu<;aode problemas de programa<;aolinear.
x2 I
6
/
/
~'
Y '
5
, I
,/'~,-I
'
'
- -f - - ',,'
4
e
"
,
,\
\,
"
\
3
\
'
\
\
i. ! -,-- / ~ - / '-------I
'
"
i
.
,1 -'
2
~
I
"
o
'
\ - -',- _._~4,4)\
\
=
/
/
/
"
e
= 5
I
. x 5 Ponto
6
1
ótimo
Figura 2 - Resolu<;aográfica de problema com fun<;aoobjetivo nao-linear.
Em outro exemplo, também envolvendo apenas duas variáveis, mas com a naolinearidade específica a urna das restri<;oes,é apresentado a seguir. Max 7t
=
2x¡ + x2
sujeito a: -x¡
+ 4x¡ - X2 :::;;O
2x¡ + 3x2 :::;;12 x¡ , x2 2:: O
126
Pode ser observado, a partir da Figura 3, que a regiao viável nao é urn polígono convexo, tal como se espera em urn problema de programa9ao linear. Os vértices dessa regiao viável podem ser classificados como pontos de ótimo local, sendo o ponto de máximo global representado pelo ponto P (6; O).
,
%2
\ \ \
4
/-X\2
+ 4x\ -X2
=o
3
2
1
o
P 1
;¿
3
4
5
6
'=\
Figura 3 - Resolu9ao gráfica de problema com restri9ao nao-linear. Embora extremamente didático, e interessante para a solu9ao de modelos naolineares que envolvam inequa90es, o método gráfico apresenta as limita90es naturais associadas a impossibilidade de solu9ao de problemas com maior número de variáveis. 3.3 EXTENSAO DO MÉTODO DE LAGRANGE Para situa90es que digam respeito a estruturas nao-lineares, envolvendo inequa90es e urn número maior que duas variáveis, TAHA (1992, p. 737-8) propoe urna extensao ao Método de Lagrange. Através desse algorítmo, sao testadas combina90es de candidatas a solu90es - através de relaxamento de inequa90es - o que pode eventualmente facilitar a identifica9ao de urna solu9ao ótima ao problema. Tomando-se como exemplo a seguinte formula9ao genérica: Max
Z = f(x)
127
sujeito a: gi(X) ~ O ,
i = 1,2,
,m
A extensao do método de Lagrange parte do pressuposto de que a soluyao do problema ou é a mesma que a de um problema análogo, mas sem restriyoes, ou é um ponto de fronteira obtido a partir do esgotamento da combinayao de urna ou mais restriyoes. Podem ser observados, entao, os seguintes passos: Passo 1: Resolva o problema nao condicionado Max Z = f(x) Se a soluyao obtida satisfaz as restriyoes do problema original, aquelas restriyoes podem ser consideradas redundantes. Portanto, chegou-se a soluyao do problema. Caso contrário, faya K = 1 e va para o passo L. Passo 2: Transforme K restriyoes em equayoes e otimize f(x) sujeito a K restriyoes "tipo equayoes" pelo método de Langrange. Se a soluyao obtida atende as outras restriyoes, obteve-se um ótimo local. Caso contrário, repita o passo para outras K restriyoes. Se todas as combinayoes de K restriyoes nao oferecem soluyao satisfatória, vá para o passo 3. Passo 3: Se K = m, pare, porque nao foi encontrada urna soluyao viável para o problema. Caso contrário, faya K = K + 1 e volte para o passo 2.
l
128
3.4 CONDIc;OES DE KARUSH-KUHN-TUCKERI9 Como já discutido no início deste capítulo, nao se tem a disposiyao, ainda, algoritmo s eficientes que garantam a obtenyao de eventuias pontos de ótimo global para modelos nao-lineares. Além disso, nao há técnicas que possam ser consideradas como suficientemente genéricas para a identificayao de pontos de ótimo local. Em vista disso, sao apresentadas a seguir as chamadas condiy5es de Karush-KuhnTucker, as quais possibilitam somente um teste de otimalidade; nao se tratando assim de um mecanismo para a obtenyao da SOLUc;ÁO ÓTIMA. Tome-se como exemplo um problema extremamente simples, tal como apresentado a segUir. Max 7t= f(XI) sujeito a XI ~ O
As tres possibilidades de soluyao para tal problema estao ilustradas na Figura 4. 7T
= f(xl)
7T=Hxl)
Tf=f(Xl)
- --
n
--------.
A
B
Xl
o
Xl
o
(a)
(b)
Xl
o (e)
Figura 4 - Possíveis soluy5espara um problema de maximizayao de funyao objetivo naolinear, sujeita a restriyao de nao-negatividade. Tais condi<;oes também sao conhecidas na literatura como "Condi<;oes de Kuhn-Tucker". A História Matemática documenta que o trabalho original de Kuhn e Tucker (Kuhn, H. W.; Tucker, A. W., "Nonlinear Programming", Proceedings ofthe Second Berkeley Symposium on Mathematical St.atisticsand Probability, University ofCalifomia Press, Berkeley, 1951) foi publicado em data posterior a tese(de Mestrado de William Karush (Karush, W., "Minima of Functions of Several Variables with Inequalities as Side Conditions", Master's tb.esis, University of Chicago, 1939), da qual Kuhn e Tucker tiveram conh~cimento somente anos mais tardd. Assim, por justi<;a academica, o nome de Karush foi incluido nas agora conhecidas como "Condi<;oekde KarusÍf-Kuhn-Tucker". 19
129
Note que, para o diagrama (a), ao ponto A corresponde urna soluc;:aodita interna, com urn valor de x¡ > Oe f'(x¡) = O;para o diagrama (b), urna soluc;:aode fronteira, com x¡
= O e f'(x¡) = O para o ponto B; e para o diagrama (c), soluc;:5esde fronteira sao representadas pelos pontos e e D (x¡ = O), mas com f'( Xl) < O. Assim sendo, de urna maneira genérica, sao observadas as seguintes relac;:5espara essas tres possibilidades de soluc;:ao: f'(XI)
~ O
XI ¿ O XI f'(XI)
=
O
Assim sendo, a partir desse tipo de observac;:ao,percebeu-se que podem ser definidas algumas condic;:5esque devem ser satisfeitas por um ponto de ótimo local em um problema de otimizac;:aocondicionada, de características nao-lineares, e envolvendo restric;:5estipo in~quac;:5es.
Tome-se o caso de um func;:aode duas variáveis, sujeita a urna restric;:aode desigualdade. Um ponto (x;, x;)
é urn ponto de máximo local de f( XI' X2)' sujeita a
g( XI' X2) ~ r somente se existir urn A nao-negativo tal que A e (x;, x;)
satisfac;:am
as seguintes condic;:5esde Karush-Kuhn-Tucker: af(xp
X2) +A ag(xl' X2) =-=0aL a XI a Xl a Xl
a f( XI' xJ a x2
aL +A a g(XI' X2) =-=0 a X2 a X2
A(r - g(xp X2)) = O
Essaslcondic;:5estambém sao válidas para o caso de urn ponto \ de mínimo local de f(xl' X2)' s~tay
g(xl' X2) ¿ r .
130
Exercício resolvido no. 1: Max f(x,y) = 12xy - 3y2
- x2
sujeita a x+y:S;
16
Soluyao:
L = f(x, y) + 1-..(16 - x - y) aL = 12y - 2x - 1-..= o
ax
aL = 12x - 6y - 1-..= o ay 1-..(16- x - y) = o
1a POSSIBILIDADE: 12y - 2x = O 12x - 6y = O}
1-..= O
x = 6y X = 0,5Y]
2aPOSSIBILIDADE:
~
X
=Y =
O ~ feO, O) = O
(16-x-y)=0 J, x = 16 - Y
Substituindo:
\~-)
! (
131
12y - 2(16 - y) + A
=
O
12(16 - y) - 6Y + A = O}
12y
~
-
32 + 2y
=
192 -12y -6y
32y = 224 Y= 7 x = 9 A = 66 f(9,7) = 528
Portanto, dado que se trata de urn problema de maximiza9ao, a melhor solu9ao corresponde a f(9,7), que tem um valor para a fun9ao objetivo ("528") observado para f(O,O).
A interpreta9ao da condi9ao A(r - g(x¡, xJ)
superior ao
= O pode ser facilitada se for
recordado o chamado TEOREMADA FOLGA COMPLEMENTAR,válic'o tanto para programa9ao linear quanto para programa9ao nao-linear. No caso de programa9ao linear, para urna variável básica de valor positivo no primal, haverá urn valor dual correspondente igual a zero; e para urna variável nao-básica no primal (:., = O), o valor dual
(c j - Zj)
correspondente deverá ser básico e posititvo, e que corresponderá ao valor do respectivo pre90-sombra.
VoItando ao nosso caso de programa9ao nao-linear:
aL
aA = r -
g(XI'X2)
Se
O ~
aL>
aA
r > g(x¡, X2)' ou seja, a restri9ao apresenta folga e, portanto,
A = O; por
outro
(:~
~g~p x,))
~
O
4
lado,
se
A >
O, o
recurso
é
plenamente
utilizado
132
Observayao: supondo que a restriyao de desigualdade seja válida como urna restriyao de igualdade e que um ponto de máximo (ou mínimo) possa ser obtido através do método de Lagrange, tem-se que: a) se 'A> O , este ponto de máximo (ou mínimo) também é o de máximo (ou mínimo) sujeito a restriyao de desigualdade. b) se 'A:::;O , o ponto de máximo (ou mínimo) determinado independentemente da restriyao, satisfaz a restriyao e, portanto, também é ponto de máximo (ou mínimo) condicionado. Exercício resolvido no. 2: Max Z = 8x~ + 2x; sujeito a ')
xi + x~ :::;
9
Aplicando as condi<;5esde Karush-Kuhn-Tucker:
L -- 8X21 + 2X22 + A(9 - X21 - X22 )
a L = 16x I - 2AXl = O (1) a Xl
aL = 4x2 - 2Ax2 = O (II) a x2 'A(9 - x~ - x;) = O
(III)
X
1a POSSIBILIDAD : 'A=
--7
tA_:J
- O 1--7 feO,O)= O
{ X2 = O
( \
133
2a POSSIBILIDADE:
9 - X~ - xi =
de (I): XI(16
-
2A)
=
O
de (II): X2(4
- 2A)
=
O
XI *" O
Se
o
~
~
A=8
e A=2
~
de (111):9 - xi = O ~
(inconsistencia!)
{ X2 *" O
Se
{
Se
XI
=
O
X2
*"
O
XI *" O
=
X2
de (11): A = 2
~
{ X2 = O
:t 3
f(0,3) = feO,-3) = 18
}
de (III): 9 - xi = O ~ XI = :t 3} f(3,0) = f(-3,0) = 72
Portamo, entre os cinco candidatos a ponto de máxImo [feO,O),feO,3), feO,-3), f(3, O)e f(-3, O)],o melhor valor a ser observado é de 72, correspondente a f(3, O)e a f(-3, O). As condiyoes de Karush-Kuhn-Tucker urna funyao de
n variáveis
f(xl'
~ r¡ . Por exemplo, um ponto f( XI' X2'
... , xJ
podem também ser normalmente aplicadas a
... , xJ
X2'
sujeita as restriyoes
gi(Xp
X2' ... , Xli)
X* (XI *, X2*, ... , xn *) é um ponto de máximo local de
sujeita as restriyoes gi (Xl' x2' ... , xJ
A¡ nao negativos, tal que A¡ (XI*, X2*, ... ,
Xn
~ r¡ somente se existirem
*) satisfayamas seguintescondiyoesde
Karush- Kuhn- Tucker.
aL = O a XI/. A; (r; -g;(x,(,),x,))
~
o
Note que essas mesmas condiyoes também sao válidas para problemas de minimizayao com restriyoes tipo;:::
. Também da mesma forma que para o caso de 2
variáveis, pode-se supor que as restriyoes de desigualdade sejam válidas c6mo ", restriyoes de
134
igualdade, obtendo-se Oponto de máximo (ou de mínimo), através do método de Lagrange. Assim, a) se A> O, este ponto de máximo (ou de mínimo) também é o de máximo (ou de mínimo) sujeito élrestriyao de desigualdade; b) se A:::;O,o ponto de máximo (ou de mínimo) determinado independentemente da restriyao satisfaz élrestriyao é também o ponto de máximo (ou de mínimo) condicionado. 3.5 APLICA<;ÁO a) Escoamento de safra de trigo na Austrália20 o trigo na Austrália é urn produto homogeneo, plantado em regioes geográficas distintas e alocado a diversas regioes de demanda, classificadas de acordo com o uso final requerido para aquele grao. Basicamente, a diferenya entre os preyOSde oferta e demanda é devida aos custos de transporte e armazenagem. Para cada regiao, funyoes que relacionam produyao local, demanda final e preyos podem ser derivadas. Dadas estas funyoes e os respectivos custos do sistema de distribuiyav envolvido, é possível determinar o~,preyOSd,~ equilíbrio em todos os segmentos de mercado assim como a quantidade de trigo demandada e ofertada em cada regiao. Podem também ser obtidos o volume e a direyao das quantidades de trigo transportada entre cada par de regioes que maximizem o lucro de cada fonte de produyao, permitindo assim a distribuiyao de trigo a urn custo mínimo. Como nao havia problemas para a obtenyao de dados (na época, referentes élsafra 1985-86), a decisao a ser tomada envolveu a escolha do tipo de modelo a ser utilizado. As opyoes consideradas foram o modelo de transporte e o modelo de equilíbrio espacial. O modelo de equilíbrio espacial foi escolhido e apresentou as seguintes vantagens: (a) é urna generalizayao do modelo de transporte, no sentido de que os resultados obtidos com um modelo de transporte podem também ser reproduzidos pelo modelo de equilíbrio espacial; (b) possibilita a inclusao das elasticidades-preyo de oferta e demanda já estimadas para a indústria de trigo austra iana, o que facilitaria urna avaliayao dos efeitos das mudanyas no nível e o causados pela implementayao de políticas agrícolas que viessem afetar o setor;
20Baseado em CAIXETA FILHO e MACAULAy (1989),
135
(c) pode ser estendido para permitir a inclusao de funyoes de custo de distribuiyao baseadas em funyoes de oferta nao perfeitamente elásticas; (d) sua estrutura poderia ser modificada para que imperfeiyoes, tais como monopólio espacial ou mercados oligopolísticos, pudessem ser incluídas. Entretanto, a opyao por um modelo de equilíbrio espacial nao se esgota em si própria. Há dois extremos que delimitam sua teoria: a versao monopolística e a versao competitiva do modelo. Em termos da indústria de trigo australiana, ela parece nao preencher todos os requisitos em nenhum desses extremos. Pode-se considerar, primeiramente, que os custos médios assim como os preyOS obtidos no mercado, representam pontos reais das funyoes de oferta e demanda num ambiente competitivo; mas, ao mesmo tempo, todas as operayoes de comercializayao sao coordenadas pelo Australian Wheat Board
(AWB)
-
Associayao
Nacional
com características
monopolísticas
-
trabalhando com urna indústria de distribuiyao também centralizadora (a nível estadual). Portanto, urna combinayao entre graus de monopólio e competiyao entre vários setores envolvidos na indústria do trigo estaria permitindo a transmissao de preyos de mercado aos produtores, aqueles que fomecem serviyos ao produtor, e ainda aos próprios consumidores. Esta é uma hipótese dificil de ser provada. No entanto, optou-se pelo teste dos modelos puramente competitivo e puramente monopolista, separadamentt:. Aquele que melhor reproduzisse os resultados obtidos para a safra em estudo (1985-86) seria selecionado para a realizayao de experimentos. Após a realizayao de testes de verificayao e validayao (vide CAlXETA FILHO, 1989), constatou-se que a versao competitiva do modelo de equilíbrio espacial era a mais adequada para representar os dados de produyao e consumo da safra 1985-86.
Estrutura do modelo utilizado A estrutura básica do modo de distribuiyao da indústria de trigo australiana pode ser
representada pela FIguro)
(\
\
136
Armazéns
Estoque Final
Figura 5 - Estrutura do sistema de distribuiyao de trigo na Austrália.
o cinturao de trigo australiano foi dividido em 19 regioes de oferta (cada urna delas pode ser comparada a um grande armazém fictício). Os destinos da safra foram divididos de acordo com o seu uso final: 5 pontos para consumo humano, 5 pontos para rayao animal, 5 pontos para estoque regulador e 19 pontos para exportayao. Os custos de distribuiyao entre cada par origem-destinoforam obtidosdas companhiastransportadorase de armazenagem
pertinentes, as quais também auxiliaram na estimativa dos custos de rotas até entao nao exploradas comercialmente. Portanto, a principal tarefa a ser cumprida pelo Australian Wheat Board (AWB) era o de alocar o trigo ,.ecebido dos produtores, de acordo com os usos finais requeridos e sujeitos as taxas impostas pelas companhias de transporte e armazenagem. Se o A WB vem desempenhando essa funyao de maneira ótima, o lucro total envolvido nas atividades de distribuiyao deveria estar sendo maximizado. Em vista disso, os cenários A, B, C e D foram formulados e devidamente simulados. Cenário A: representativo da situayao atual. Movimentos interestaduais nao foram permitidos. Cenário B: retirada da discriminayao de preyos nas regioes de fronteira estadual. Movimentos interestaduais sao permitidos. Cenário C: retirada da discriminayao de preyos nas regioes de fronteira estadual e alterayoes nas quantidades ofertrdas do trigo. As elasticidades-preyo utilizadas no cenário B foram parametrizadas e os (movime1}tos interestaduais obtidos para cada soluyao comparados. Cenário D: retirada da discriminayao de preyOSnas regioes de fronteira estadual e incorporayao de um sistema de preyos desagregados para os serviyos de distribuiyao. Foram
desenvolvidasfunyoesquadráticasde customédiopara cada pontode ofertado modelo. Todos os cenários seguiram a estrutura matemática básica proposta por TAKAy AMA e JUDGE (1971) e posteriormente aperfeiyoada por H~SHIMOTO (1985) e MACAULA y et al. (1988). Os resultados para cada cenário fora~. obtidos com o uso do
137
programa MINOS (MURTAGH e SAUNDERS 1987), desenvolvido para resolu9ao de problemas nao lineares, processado em microcomputador. Func;aoobjetivo a ser maximizada n
m
n
m
L= ¿P.Y - ¿P.X. - ¿ ¿T..X.. j=\
J
J
i=l
1
1
j=\
i=\
lJ
(1)
lJ
onde: L = lucro total; Pj = pre90 de demanda do trigo; Pi = pre90 de oferta do trigo; Yj = quantidade de trigo demandada; Xi = quantidade de trigo ofertada; Tij = custo de distribui9ao entre as regioes i e j; Xij = quantidadetransportadada regiaoi para a regiaoj.
Restric;oesde demanda A fun9ao de demanda para cada uma das n regioes de consumo pode ser representada como: y J =a. J -b.P., J J
paraj = 1, ... , n
(2)
onde: aj ~ coeficiente line} da fun,'o de demanda; bj
= coeficiente ang~9aO
de demanda.
Para garantir que a quantidade de trigo demandada seja obtida: Y> J - a.J - b.P. J J ,
paraj = 1, ... , n
(3)
Se o trigo transportado das regioes de oferta, mais o trigo em estoque, sao considerados para suprir a demanda de urna regiao, entao:
138
ni
YJ = L.. "'X..
1J
i=l
paraj
= 1, ,., , n
(4)
paraj
= 1, ... , n
(5)
paraj
= 1, .., , n
(6)
Substituindo (4) em (3), ni
"'X.. >a. J - bP. L.. 1JJJ i=l
Rearranjando, ni
- b JJ.P - '" X.. < -a. J L.. 1Ji=l
Para a formulayao das funyoes de demanda para cada urna das n regioes, o seguinte artifício é sugerido: a) considere a forma genérica da equayao de demanda: Y=a-bP
(7)
b) tomando o valor de elasticidade-preyo de demanda igual a Ed' a seguinte relayao poderá ser utilizada: b=8Y =E 8P
d
Y P
()
)
(8)
onde Y é a relayao entre o volume demandado e o preyOobtido em determinado ano. p
c) conhecido o coeficiente angular b, o coeficiente linear a poderá ser obtido da seguinte forma: a=bP+Y
(9)
139
Note que o raciocínio acima é valido para a versao competitiva do modelo de equilíbrio espacial. HASHIMOTO (1985) demonstra que, para o caso de um mercado monoplista, as equac;oesde demanda devem ter os respectivos coeficientes linear e angular multiplicados por 0,5.
Restric;oesde oferta A func;aode oferta para cada urna das m regioes pode ser representada como: X.I =c. 1 +d.P. 1
para i
1
(10)
= 1, ... , m
onde: ci = coeficiente linear da func;aode oferta; di
= coeficiente angular da func;aode oferta.
Para garantir que a oferta disponível nao seja excedida, X.1-
(11)
para i = 1, ... , m
Como a oferta total disponível numa regiao erá igual élquantidade comercializada com outras regioes mais a quantidade"a n X¡=LXij
j=1
ao estoque final, entao para i = 1, ... , m
(12)
para i = 1, ... , m
(13)
para i = 1, ... , m
(14)
Substituindo (12) em (11), n
"X.. < c. + d.P. L... 1)-1 II
j=1
Rearranjando, n
-d.P. 11
+"
L... j=1
X..1)-1<
C.
(\
140
Observe que o mesmo artificio desenvolvido para a obten<;aodas equa<;oes(8) e (9) pode ser aplicado para as equa<;oesde oferta.
Restri<;oes de pre<;o
As restri<;oesde pre<;o sao as mais importantes para a defini<;aoda estrutura de mercado a ser investigada. Num modelo de equilíbrio espacial competitivo, para garantir que os pre<;os entre duas regioes nao difiram por mais que seus respectivos custos de distribui<;ao,a seguinte restri<;aodeve ser considerada: p.J - p.1 -< T.IJ
paraj = 1, ... ,n
e
i= 1, ... ,m
(15)
A rela<;aoexpressa em (15) deve ser válida para qualquer possível combina<;aoentre urna das n regioes de demanda e urna das m regioes de oferta.
Resultados e Implica<;oes Após a realiza<;aodos experimentos para a inv tiga<;aodo potencial de movirnentos interestaduais de trigo, os pre<;oscorrespondentes a cada cenário alternativo puderam ser obtidos. Os resultados mostrararn que haY a urn rnovirnento substancial de trigo através de algurnas fronteiras estaduais. De urna rnaneira mais específica, 2,1 rnilhoes de toneladas de trigo produzidas em New South Wales (aproximadamente 12% da safra 1985-86) seriam transportadas para os Estados de Queensland e Victoria, sendo 1 milhao de toneladas exportadas através do porto de Brisbane el, 1 milhoes através do porto de Geelong. Note que as economias nos custos de transporte e armazenagern, variando entre US$ 1,43 e US$ 2,81 por tonelada de trigo (entre US$ 3 milhoes e US$ 6 rnilhoes, ern valores globais), forarn as causadoras do redirecionamento do fluxo de trigo obtido nos cenários alternativos. Para a implementa<;aode urna política de distribui<;aoque fizesse uso dos beneficios de urna "desfronteiriza<;ao"da indústria de trigo australiana, duas op<;oesbásicas foram sugeridas: (a) Op<;ao1: manutem;i1odo monopólio do sistema de distribuÜ;i1oa nível estadual, mas deixando a possibilidade de entrega interestadual disponível ao produtor.
141
Considere, por exemplo, urn produtor localizado em urn Estado X, que tenha feito a opyao de entrega de seu trigo para urn Estado Y. O trigo estaria sob jurisdiyao das companhias de transporte e armazenagem do Estado X enquanto em território X, e sob a responsabilidade do Estado Y enquanto em território Y. Entretanto, o preyO pago pelo produtor seria calculado de acordo com a legislayao prevista por Y (o Estado de destino), sendo que neste preyOestariam incluídos os serviyos arcados por X. (b) Opyao II: competir;iio livre entre companhias públicas e privadas para a explorar;iio dos servir;os de transporte e armazenagem de trigo, com a possibilidade de entrega interestadual disponível ao produtor. A principal característica desta opyao é a presenya de livre concorrencia para a operayao do sistema de distribuiyao de trigo na Austrália. A adoyao da Opr;iio// seria mais vantajosa qua a /, urna vez que se evitaria o manuseio de urn mesmo grao por duas autoridades distintas. O produtor escolheria a firma de seu agrado, com a possibilidade de entrega interestadual, e que lhe oferecesse o menor custo de distribuiyao. Para a implementayao de quaisquer dessas opyoes, alguns problemas comuns podem ser vislumbrados. O primeiro deles é o de orde
instituicional. O transporte de trigo através
das fronteiras estaduais exigirá urna s~rie de me idas, a nível de descentralizayao de poder, por parte do govemo federal australiano. sto acarretaria a reestruturayao funcional do Australian Wheat Board, que teria que funcionar mais como licenciador ecoordenador das empresas de prestayao de serviyos, e como urn provedor de informes sobre previsao de safras, particularmente no tocante a volumes a serem movimentados entre Estados. Finalmente, deve ser mencionada a famosa resistencia a inovayoes que é peculiar a produtores de quaisquer partes do mundo. O produtor de trigo atribui urna imensa dose de credibilidade ao Australian Wheat Board. O risco envolvido na possibilidade de ganhos maiores lhe seria sempre questionável, urna vez que a rotina de distribuiyao que lhe tem servido por mais de 20 anos também tem-se mostrado operacionalmente confiável.
142
3.6 EXERCÍCIOS 1) Resolver o problema seguinte através da utiliza<;aodas condi<;oesde KarushKuhn-Tucker:
Max f(x, y, z) = -x
2
-
2Y 2 -
Z2
+ xy + z
sujeito a x + y + z ::; 35 2) Supondo-se urna situa<;ao em que urna determinada firma objetivasse a maximiza<;aode sua receita total, mas observ~
um lucro mínimo, a seguinte estrutura
nao-linear poderia ser proposta:/// MaxR=R(Q) sujeito a R(Q)
- C(Q)
:2: 7t
o
ou C(Q)
- R(Q)
(7to >0) ::; -7t o
e Q:2:0
Supondo que: R(Q) = 32Q - Q2 C(Q)
=
Q2 +8Q+4
e 7to =18
resolva o problema através das condi<;oesde Karush-Kuhn-Tucker. 3) Tendo em vista o referencial teórico apresentado para a resolu<;aode modelos de equilíbrio espacial apresentado entre as páginas 136 e 139, tome a situa<;aoem que há possibilidades de movimenta<;aode graos a partir de 3 regioes de oferta e 3 regioes de
\
143
demanda,
que apresentam
as
seguintes características para as
suas equal(oes
comportamentais de natureza linear (assuma que "quantidade" seja dada em "t" e "prel(o" em "$"): a) coeficiente linear das equal(oesde demanda REGL~O 1: 200 REGL~O 2: 100 REGIAO 3: 160 b) coeficiente angular das equal(oesde demanda REGIAO 1: 10 REGIAO 2: 5 REGIAO 3: 8 c) coeficiente linear das equal(oesde ofert; REGIAO 1: -50 REGIAO 2: -50 REGIAO 3: -51) d) coeficiente angular das equal(oesde oferta REGIAO 1: 10 REGIAO 2: 20 REGIAO 3: 10 e) custo unitário de transporte ($/t) entre as regioes
REGIAO 1 REGIAO 2 REGIAO 3
REGIAO 1 O 2 2
REGIAO 2 2 O 1
REGIAO 3 2 1 O
Estruture e resolva o modelo através da linguagem de otimizal(ao GAMS.
1\
144
4. BIBLIOGRAFIA É apresentada a seguir urna série de referencias sobre Pesquisa Operacional, com enfase em Programayao Linear, além de urn conju
e aplicay5es desenvolvidas mais
especificamente para contextos agroindustriais. Tallista, e austiva mas que certamente nao está completa, incorpora também as referencias apresent as ao longo deste texto, e deve servir como material de apoio para o aluno, principalmente para proporcionar "inspiray5es" para a realizayao de trabalhos aplicados. Livros-textos e Manuais: ACKOFF, RL.; SASIENI, M. W. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1971. AGRAWAL, R. C.; HEADY, E. O. Operations Research Methods for Agricultural Decision. AMES, lowa. 1972, 303p. ANDERSON, 1. R; DILLON, J. L.; HARDAKER, B. Agricultural Decision Analysis. Armidale, UNE, 1988. ARBEL, A., Exploring Interior-Point Linear Programming algorithms and software, Car,lbridge, MIT Press, 1993. BEKMAN, O. R. & COSTA NETO, P. L. O. Análise Estatística da Decisao. Edgard Blücher, Sao Paulo, 1980. BENEKE, R. R.; WINTERBOER, R Linear Programming Applications to Agriculture. Ames, lowa State University Press, 1973. 244p. BREGALDA, P. F.; OLIVElRA, A. A. F.; BORNSTEIN, C. T. Introdu~ao a Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro, Campus, 1988. BRONSON, R. Pesquisa Operacional, Sao Paulo, McGraw-Hill, 1985 (trad.). BROOKE, A.; KENDRICK, D.; MEERAUS, A. GAMS: A User's Guide, Release 2.25. 1992, The Scientific Press. 289p.
-
.
l:
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\
145
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151
5. SOLU<;OES COMENTADAS DOS EXERCÍCIOS [Ex.l
]Pág.7
I
Objetivo: Maximizar o lucro Alternativas:
- quantidade a ser produzida do produto 1 (x¡) - quantidade a ser produzida do produto 2 ( X2) - quantidade a ser produzida do produto 3 (X3)
Restri~oes:
- tempo disponível de cada máquina (A,
Bee )
A estrutura matemática correspondente pode ser expressa como: MaxZ=
30x¡ + 12x2+ 15x3
sujeito a 9x¡ +
3x2 + 5X3~ 500
5x¡ +
4X2
3x¡ + A solw;:ao ótima é(x¡= 0,;\:
~i~)
!Pág.8
-
2x3 ~ 1~0 "'
E:
~ 350
.
~=
"\
817.52 ,5,) .
i
~.
~3 = 47,5)/e Z = 1762,~ "-
I
Objetivo: Maximizar o lucro Alternativas:
- produyao
na fábrica 1 dos tres tamanhos: grande (1), médio (2) e
pequeno (3), ou seja, XII' X2¡, X3¡
- produyao
na fábrica 2 dos tres tamanhos: grande (1), médio (2) e
pequeno (3), ou seja, X¡b X22, x32
- produyao
na fábrica 3 dos tres tamanhos: grande (1), médio (2) e
pequeno (3), ou seja, XI3, X23, X33 Restri¡;oes:- capacidade (mao-de-obra e equipamentos)
- estoque - vendas - carga de trabalho uniforme entre as fábricas
152
Estrutura matemática:
Max Z = 140 Xli + 140 x12 + 140 x13 + 120 X2l + 120 x22 + 120 X23 +100 x3l + 100 X32+ 100x33
sujeito a
.
\Élll X::"
.~X!L
\~+
~
§V +'l)31=:;;750
X12 + X13
X22 +
+
X23
+
X32=:;;900 x33
=:;;
450
1,8xlI +
1,35x21 + 1,08x3l =:;;1170
1,8x12 +
1,35x22 + 1,08x32 =:;;1080
1,8x13 +
1,35x23 + 1,08x33 =:;; 450
Xli +
X12 +
x13 =:;;900
X21 +
X22 +
X23 =:;;1200
X3l +
X32 +
x33 =:;;750
900(xlI +
X21 +
<150(x12+
X22
+
- 750 (X12 + X32) - 900(X13 + X31)
A soluyao ótima é Xli = 516,67,
x22
+
x23 +
X32)
=O
X33)
=O
x12= O, x13= O, X2l= 177,78,
X23= O, X3l= O, x32 = 166,67, X33= 416,67 e Z = 232.000,00
I
Ex. 3 Ipág.8
I
Objetivo: Maximizar o lucro Alternativas: - madeira beneficiada (Xl)
- madeira Restri-roes:
compensada (X2)
- disponibilidade de pinho - disponibi1idadede canela - vendas mínimas de madeira beneficiada - vendas mínimas de madeira compensada
~~
x22= 666,67,
153
Estrutura matemática: Max Z = 45 x ¡ + 60 X2 sujeito a 2X2 ~ 32
x¡ +
4x¡ +
4X2 ~ 72 x¡ ~ 5 X2 ~ 12
A solu«ao ótima é X¡= 5, X2= 13 e Z = 1.005,00
I
Ex.4
I
pág.9
I
Objetivo: Maximizar o lucro Alternativas:
- produ«ao
do modelo A (x¡)
- produ«ao
do modelo B (X2)
- produ«aJ
do modelo e (X3)
Restri.;oes: - exigenciasmínimasde produ«aode A, B e e
- tempos para
fabricar, montar e testar os modelos A, B e e
Estrutura matemática: Max Z = 16 X¡ + 30 X2+ 50X3 suj eito a x¡ ~20 X2 ~ 120 X3~ 60
'\
3x¡ +
3,5x, + 5X3,; 144°
4x¡ +
5x2 + 8X3~ 1920
1x¡ +
1,5x2 + 3x3 ~ 576
A solu«ao ótima é x¡ = 20,
X2
\,
'\
)
= 250,67,x3 = 60 e Z = 10.840,00.
154
fEX3l pág.9
I
Objetivo: Maximizar o lucro
- número - número
Alternativas:
Restri~oes:
de realizac;oes do processo 1 (x¡) de realizac;oes do processo 2 (X2)
- disponibilidade de óleo cm A e B
- compromissos de vendas de gasolina do tipo X e Y
Entrada
Saída
A
B
X
Y
Processo 1
1
3
50
20
Processo 2
4
2
30
80
Estrutura mater.lática: Max Z = p¡x¡ + P2X2 sujeito a XI +4X2~ 120 3x¡ + 2X2~ 180 50x¡ + 30X2~ 2800 20x ¡ + 80X2 ~ 2200 A soluc;ao ótima, supondo p¡ = 2 e P2 = 3, é XI = 48, X2= 18 e Z = 150,00
I
Ex.6
I
pág. 10
I
Objetivo: Minimizac;aodo custo Alternativas:
Restri~oes:
- utilizac;ao dos 3 tipos
de avioes nas duas propriedades
- quantidade de cada tipo de aviao
-necessidades de pulverizac;aoem cada propriedade
155
Definindo, X¡ = nQde avi5es do tipo 1 utilizados na propriedade A X2 = nQde
avi5es do tipo 2 utilizados na propriedade A
x3= nQde avi5es do tipo 3 utilizados na propriedade A y ¡ = nQde avi5es do tipo 1 utilizados na propriedade B Y2= nQde avi5es do tipo 2 utilizados na propriedade B Y3= nQde avi5es do tipo 3 utilizados na propriedade B
Estrutura matemática: Min C = 23 X¡ + 15x2 + 1,4x3 + 58 Y¡ + 20Y2+ 3,8Y3 Sujeito a X¡ + Y¡ ~ 8 x2+Y2~15 X3 + Y3 ~ 11
45x¡ + 7X2+ 5X3¿ 20 45y¡ + 7Y2+ 5Y3¿ 28 A solu9ao ótima é X3 = 4, Y3= 5,6 e Z = 26,88. Como se tratam de grandezas
individuais, pode ser tentada a solu9ao por programa9ao inteira, que resulta em: x3 = 4, Y3= 6 e Z = 28,4.
I
EX.7 pág.10 Objetivo: Maximiza9ao do lucro I
I
Alternativas:
-produ9ao de álcool anidro (x¡) - produ9ao
de álcool hidratado (X2)
Restri¡;oes: - horas de opera9ao
setor I álcool anidro
0,5h1t
álcool hidratado total
setor II
8h
setor III (l/3h)/t
1hit
(2/3h)/t
8h
8h
156
Assim sendo, para o setor 1, por exemplo, em 0,5h de opera<;aoé produzido 1t de álcool anidro. Se x¡ é dado em toneladas, tem-se: 0,5 (hit) x¡( t) =::; 8 (h) Estrutura matemática, Max Z = 40 x¡ + 30 X2 sujeito a =::;8
0,5 X¡ X2 1/3x¡
=::;8
+ 2/3 X2 =::;8
A solu<;ao ótima é X¡ = 16, X2 = 4,12 e Z = 763,63
~
Ipág. 11
I
Objetivo: Maximizar a receita AlteJ'nativ~ls: - área a sei plantada cnm seringueira ( xl)
- área a ser plantada com
macadamia ( X2)
Restri~oes: - númerode contratosa seremfechados
- área da propriedade - número de talh6es a serem incorporados Estrutura matemática: MaxZ=
18x¡+9x2
(O)
sujeito a 3x¡ + 6X2 ;:::18
(1)
2x¡ + 2x2 =::;16
(2)
x¡ + X2 ;:::0
(3)
A solu<;aoótima pode ser obtida graficamente, como pode ser observado logo a seguir, e diz respeito ao plantio de 10 talh6es de seringueira (x¡ = 10) e élerradica<;aode 2 talh6es de macad
157
SOLUCAO ÓTIMA
20 18 16 14 12 .....
><
10 8 6 4 2
-
O
-4
-2
O ---
2
4
Ipág.60
I
Objetivo: Maximizar o lucro
Alternativas: - produyao de soja (xl)
- produyao
de algodao (X2)
Restric;oes: - área
- disponibilidade de mao-de-obra
- crédito
8
10
restric;;ao1 -ti- restric;;ao2 -H- restric;;ao3
(vide comentários adicionais as páginas 56-67)
~
6 X2
12
14
158
Estrutura matemática:
Max Z = 50 x¡ + 25 X2 sujeito a x¡ +
X2 :s; 20
20x¡ + 120x2 :s; 1200 600x¡ + 200X2 :s; 6000 A soluc;ao ótima é X¡ = 7,06, X2= 8,82 e Z = 573,53
I
EX.2
I
pág.60
I
Objetivo: Maximizac;aodo lucro Alternativas: - ovino Merino (x¡)
- fado
Here10rd (x~)
- ovino Romey (x3) Restri~oes:
-capital - área
Estrutura matemática:
Max Z = 12 x¡ + 40 X2+ 7x3
sujeito a 7x¡ + x¡ +
100x2 +10x3:S;10400 3X2 + 0,5X3 :s;500
Soluc;ao ótima X¡ = O,x2 = O e X3= 1.000 e Z = 7.000,00
159
~
Ipág.60
I
Objetivo: Maximizar o lucro Alternativas:
- planta9ao
de soja (x¡)
- planta9ao de milho (X2) - planta9ao de aveia (X3} - cria9ao de vacas (X4)- cria9ao de galinhas (X5) - meses de invemo a serem trabalhados na fazenda vizinha (X6) - meses de verao a serem trabalhados na fazenda vizinha (x7) Restri~oes: - mao-de-obra no invemo - mao-de-obra no verao
- área total de terra
/
- investimelltos inicia:s para a c'iá9ao de vacaS'e galinha~ Estrutura matemática:
Max Z = 937,5x¡ + 1375 X2+ 625x,3+ 800 X4+ 5x5 + 4X6+ 4,5x7 (
1
,
sujeito a ~
x¡+
X2+
X3 +
~
0,6X4
30000
900X4 + 7X5 50x¡ + 87,5x2 +
25x3 + 100x4 + 0,6X5 + X6
125x¡ + 187,5x2 + 100X3+ 50X4+ 0,3X5
40)
+X7
=
3500
=
4000 32
X4
X5
~
3000
A solu9ao ótima é X¡.= 22,5, X2= O, X3= O, X4= 5,75, X5= 3.000, X6= O, X7= Oe Z = 40.693,75
160
[Ex.l
I pág.69
I
Objetivo: minimizac;:ao do custo de rac;:ao Alternativas:
- milho
(x¡)
- farelo de soja (X2) - quantidade mínima requerida de proteínas - quantidade mínima requerida de energia - peso total
Restri~oes:
Estrutura matemática: Min Z = 1,8x¡ + 4,2 x2 sujeito a 3146x¡ + 2283 X2 ~ 3000 8,51x¡
+
45,6x2 ~ 17,16
x¡ +
X2 = 1
o proble.na nao t~m soluc;:ao!
I
EX.2
I
pág.69
Objetivo:
I
Minimizac;:ao do custo da rac;:ao
Alternativas:
- ingrediente l(x¡)
- ingrediente
2 (X2)
Restri~oes:- quantidade mínima exigida para o nutriente A
- quantidade mínima exigida para o nutriente B - quantidade mínima exigida para o nutriente e
- quantidade mínima exigida para a vitamina X
161
Estrutura matemática: Min Z = 0,6 X¡ + 0,4 X2 sujeito a 1OOx¡ +
200X2
80x¡ +
150x2 48
40x¡ +
20X2 20 1,5
lOx¡ X¡ + A soluyao ótima é x¡
~
Ipág.70
90
X2=1
= 0,15, X2 = 0,85 e Z = 0,43
I
Objetivo: Minimizayao do custo de rayao
Alternativas: - milho (x¡) - tanyagem (X2) - alfafa (X3)
Restri~oes:
- quantidades requeridas dos ingredientes nutricionais (carbohidratos, proteínas e vitaminas)
A estrutura matemática: Min e = 21x¡ + 18x2+ 15x3 sujeito a 90x¡ + 20x2 + 40x3 ~ 200 30x¡ + 80X2+ 60xj ~ 180 10x¡ + 20X2+ 60X3~ 150
A soluyao ótima é X¡= 1,14, X2= O, X3= 2,43 e Z = 60,43
162
I
Ex.4
I
pág.70
I
Objetivo: Minimizar o custo da ra((ao Alternativas: - ingrediente A (Xl)
- ingrediente
B (X2)
- ingrediente
e (X3)
Restrh;oes: - quantidade total da ra((aorequerida
- quantidade máxima de A - quantidade mínima de B e e a) Estrutura matemática:
Min Z = 8000Xl + 10.000 X2 + 11.COOx3
(1)
sujeito a
3.000
Xl
1.500
(3)
2.000
(4)
xl + X2+ X3= 10.000
(5)
X2 X3
A solu((ao é Xl
(2)
= 3000, X2 = 5000, X3 = 2000 e Z = 74.400.000,00
163
b) c'J
Base
b.I
8000
10000
11000
O
O
O
MI
M2
M3
XI
X2
X3
SI
S2
S3
Al
A2
A3
Cb
O
SI
3000
1
O
O
1
O
O
O
O
O
MI
Al
1500
O
1
O
O
-1
O
1
O
O
M2
A2
2000
O
O
1
O
O
-1
O
1
O
M3
A3
10000
O
O
O
O
O
O
O
O
1
z.J
-
O
O
O
O
-MI
-M2
MI
M2
M3
-
8000
O
MI
M2
O
O
O
Cj- Zj
10000- 11000 -
- M3 MI-M3
M2 -M3
C) Reescrevendo, a restriyao (5), como: XI + X2 + x3 :s;;10.000 XI
+
X2
+ X3 ~ 10.000
A estrutura matemática padrao pode ser dada por, Min Z = 8000xI + 10.000 x2 + 11.000x3 sujeito a ~-3.000
-XI X2
~ 1.500 X3~ 2.000
-XI - X2 - X3 ~ -10.000 XI + X2+ x3 ~ 10.000
Assim, estrutura dual é expressa por: Max Z = -3000YI + 1500Y2+ 2000Y3
- 10000Y4 +
10000ys
sujeito a
YI
-Y4 + Ys :s;; 8.000 Y2
-Y4 + Ys :s;;10.000 Y3 -Y4 + Ys :s;;11.000
d) Faz sentido, senda atuantes as restriyoes (2), (3) e (5).
164
e) Estrutura matemática: Min Z = 10.000 X2 + 11.000x3 sujeito a ~ 1.500
X2
X3 ~ 2.000 X2 +
A soluyao
X3
= 10.000
ótima é X2 = 2000,
X3
= 8000 e Z = 108.000.000,00, sendo o preyo-
sombra associado élrestriyao de peso igual a 11.000.
E
Ipág.80
I
Objetivo: Minimizar o custo total de transporte
Alternativas:
-transportar arroz do armazém 1 ao centro consumidor 1 (XII) - transportar arroz do armazém 1 ao centro consumidor 2 (X12)
-transportar arroz do armazém 1 ao centro consumidor 3 ( X\3) - transportar arroz do armazém 2 ao centro consumidor 1 (X21)
-transportar arroz do armazém 2 ao centro consumidor 2 ( X22) -transportar arroz do armazém 2 ao centro consumidor 3 (X23)
-transportar arroz do armazém 3 ao centro consumidor 1 (X31) -transportar arroz do armazém 3 ao centro consumidor 2 ( X32)
-transportar arroz do armazém 3 ao centro consumidor 3 ( X33) Restri-roes: - estoques disponíveis nos armazéns 1,2 e 3
-quantidades demandadas nos centros consumidores 1, 2 e 3 o modelo matemático pode ser descrito como segue:
165
Min Z = 10xII + 5 X12+ 12x13+ 4X21+9X22+ 15x23+ 15x31+ 8X32+ 6X33
sujeito a
XII + Xl2 + X13::;200 X21+ X22+ X23::; 150 X31+ X32+ X33::; 300 XII + X21+ X312::100 XI2 + X22+ X322::300 X13+ X23+ X332::250
A solw;:ao ótima é Xli = O, XI2 = 200, X13 = O,X21 = 100,X22 = 50, X23 = O,X31 = O, x32
I
= 50, X33 = 250 e Z = 3750,00
EX.2
I
pág.81
I
INGLATERRA Cultura
FRAN<;A
ESPANHA
Custo da
Demanda
mao-de-obra ($)
(milhOes ha)
Trigo
3,0 X45
2,4 X32,5
3,3 X40
50
Cevada
2,7 X37,5
3,0 X30
2,8 X30
24
Aveia
2,3 x 30
2,5 x 25
2,1 x 40
30
28
44
32
Area disponível (milh6es ha)
166
Objetivo: Minimizayao do custo total da mao-de-obra
Alternativas: - produyao de trigo na Inglaterra (Xll)
- produyao
de trigo na Franya (XI2)
- produyao de trigo na Espanha(x13)
- produyao de cevada na Inglaterra (X21)
-produyao
de cevada na Franya (X22)
- produyao
de cevada na Espanha(x23)
- produyao de aveia na Inglaterra (X31) - produyao de aveia na Franya (X32) - produyao de aveia na Espanha(x33) Restri~oes:
-demanda mundial de trigo, cevada e aveia (em milh6es de ha) -dispon~bilidade tutal de terra p"ra os tre~' produto~;na lLglatena, Franya e Espanha
o modelo matemático é dado por,
Min Z = 135xll + 78xI2 + 132x13+ 101,25x21 + 90X22+ 84x23 + 69x31 + 62,5x32 + 84x33 sujeito a Xll +X12 + X13~ 50 x21 +x22 + X23~ 24 X31+x32 + X33~ 30 Xli +x21 + X31:::;28 XI2 +X22 + X32 :::;44 X13 +X22 + X33 :::;32
A soluyao ótima é Xll = O,XI2= 44, X13= 6, X21= O, X22= O,X23= 24, X31= 28, x32 = 24, X33= 2 e Z = 8340,00
167
~
jpág.82
I
Objetivo: Maximizar o lucro total do voo
Alternativas: - transportar a carga 1 no compartimento da frente (XII)
-transportar a carga 1 no compartimento do centro (XI2) - transportar a carga 1 no compartimento do traseiro (XI3) - transportar a carga 2 no compartimento da frente (X21) - transportar a carga 2 no compartimento do centro (X22) - transportar a carga 2 no compartimento do traseiro (X23) - transportar a carga 3 no compartimento da frente (x31)
-transportar a carga 3 no compartimento do centro (X32) - transportar a carga 3 no
compartimento do traseiro (X33)
-transportar
a carga 4 no compartimento da frente (X41)
- transpor~ar - transportar
a carga 4 no cOl.t1partirnento do centro (X42) a carga 4 no compartimento do traseiro (X43)
Restric;oes:- capacidade em peso de cada compartimento
- capacidade em volume de cada compartimento - peso da carga - volume da carga
- proporcionalidade entre os compartimentos o modelo matemático está descrito a seguir:
Max Z = 220xII + 220XI2 + 220x13 + 280X21+ 280X22+ 280X23+ 250X31-+-250X32+ 250X33 + 200 X41+ 200X42+ 200X43
sujeito a
168
Xli +X12 + X\3 :::; 20 x21 +X22 + X23 :::; 16
X31 +X32 + x33:::;
25
X41 +x42 + X43:::;
13
13,5xlI + 18,9x21 + 16,2x31 + 10,8x41 :::;189 13,5xI2 + 18,9x22 + 16,2x32 + 1O,8x42:::;243 13 ,5x \3 + 18,9x22 + 16,2x33 + 10,8X43:::;13 5 Xli + X21+ x31 + X41:::;12 x12 + x22 + X32+ X42:::;18 X\3+X23+X33
+x43:::;10
-
18 (XlI + X21+ X31+ X41) 12 (X12 + x22 + x32 + X42) = O
10
(X12
+ X22 + X32 + X42)
- 18 (X\3
+ X22 + X33 + X43 ) = O
Urna das soluc;6es ótimas é XlI = 5,5, X12 = O, x\3 = 10,
X21
= 5,5,
x22
= 6,
X23
)<,.31= O, X32 = O, X33 = O, X41 =: 1, X4¿ = 12, X43 = G (.:Z = 9230.
I
ExA
I
pág.82
I
Objetivo: Minimizar o custo anual de remessas Alternativas: - transportar da fonte 1 para o mercado 1 utilizando o trem (XIIT)
- transportar da fonte 1 para o mercado 2 utilizando o trem (XI2T)
-transportar da fonte
1 para o mercado 3 utilizando o trem (XI3T)
- transportar da fonte
1 para o mercado 4 utilizando o trem (XI4T)
-transportar da fonte -transportar da fonte - transportar da fonte
1 para o mercado 5 utilizando o trem (XI5T) 1 para o mercado 1 utilizando a barcac;a(XI6S)
- transportar da fonte
1 para o mercado 3 utilizando a barcac;a (XI8S)
-transportar da fonte
1 para o mercado 4 utilizando a barcac;a (XI9S)
1 para o mercado 2 utilizando a barcac;a(X17s)
= O,
169
- transportar da [onte - transportar da [onte - transportar da [onte - transportar da [onte
1para o mercado 5 utilizando a barca(fa (XlIOB) 2 para o mercado 1utilizando o trem (X2IT) 2 para o mercado 2 utilizando o trem (X22T) 2 para o mercado 3 utilizando o trem (X23T)
-transportar da [onte 2 para o mercado 4 utilizando o trem -transportar da [onte 2 para o mercado 5 utilizando o trem - transportar da [onte - transportar da [onte
(X24T) (X25T)
2 para o mercado 1 utilizando a barcac;a (X26B) 2 para o mercado 2 utilizando a barca(fa (X27B)
- transportar da [onte 2 para o mercado 3 utilizando a barcac;a (X28B)
- transportar da [onte
2 para o mercado 4 utilizando a barcac;a (X29B)
- transportar da [onte 2 para o mercado 5 utilizando a barcac;a(X210B)
- transportar da [onte
3 para o mercado 1 utilizando o trem (X3IT)
-transportar da [onte 3 para o mercado 2 utilizando o trem -transportar da [onte 3 para o mercado 3 utilizando o trem - transportar
( X32T) (X33T)
da [onte 2 pa.~ao m;,:rcado 4 utili¿undo o tren" (X34J)
- transportar da [onte 3 para o mercado 5 utilizando o trem
(X35T)
- transportar da [onte 3 para o mercado 1 utilizando a barca(fa (X36B) - transportar da [onte 3 para o mercado 2 utilizando a barcac;a (X37B) - transportar da [onte 3 para o mercado 3 utilizando a barcac;a (X38B) - transportar da [onte 3 para o mercado 4 utilizando a bacac;a (X39B) - transportar Restri~oes:
da [onte 3 para o mercado 5 utilizando a barcac;a ( X310B)
- disponibilidade anual de madeira nas [ontes 1,2 e 3 - quantidade que pode ser vendida anualmente em cada mercado - investimento máximo em barcac;as
A estrutura matemática pode ser descrita, como segue:
Min Z = 30,5xIIT + 36xI2T+22,5x13T+ 27,5x14T+ 33xI5T + 29,25xl6B + 44,4X17B+ 23,9x18B + OXI9B+ 32xIIOB+ 34,5x21T+ 39x22T + 30X23T+ 24,5x24T+ 28x25T + 32,65x26B +
170
37,4x27B + 27,5x28B + 24,5x29B + 28,75 X210B+ 29,5x31T + 33x32T +
31,5x33T +
30,5x34T+ 23,5x35T+ OX36B+ 30,75x37B+ 31,75x38B + 29,4x39B+ 25 X310B1
sujeito a XllT + XI2T+ X13T+ Xl4T+ Xl5T+ Xl6B+ X17B+ XI8B+ XI9B + X1l0B= 20
+
X21T
+
X22T
X23T
+
X24T
+
X25T
+
X26B
+
X27B
+
X28B
+
X29B
+
X210B
= 40
X31T + X32T + X33T + X34T+X35T+ X36B+ X37B+ X38B+ x39B+ X310B =
+
XllT
X21T
+
X31T
+
XI6B
+
X26B
+ x3~B~ 14
24
XI2T + X22T+ x32T+ xI7B + x27B+ x37B ~ XI3T XI4T
30
+ X22T + X33T + XI8B + X28B+ X38B~ 18 +
X24T
+
X34T
+
XI9B
+
X29B
+ x39B~ 20
XI5T + X25T+ X35T + X1l0B + X210B+ X310B~
16
137,5xl6B+ 151,5x17B+ 119x18B+ O XI9B+ 142,5 X1l0B + 146,5x26B+ 159x27B+ 135x28B+ 125 X29B+ 132,5 X210B+O X36B+ 141,5x37B+ 137,5x38B+ 134x39B+ 120X310B~ 6250 A soh'9ao ótlma é dada por XI.,)B=: 20, :'26B = 6,
X28B,= 18, X210B= 4,5LJ., X25T=
11,46, X36B= 14, X37B = 16, e Z = 1.036,21
~
]pág.83
I
NUSP do aluno = XYZKLMN = 3616078
Fábrica!Armazém
1
1
2
3
4
TOTAL
A
3
15
O
7
18
B
9
6
12
7
21
e
6
1
1
8
228
TOTAL
18
8
126
54
No cálculo dos coeficientes das variáveis relacionados as barca9as, foram acrescentados 10% dos
investimentos nas mesmas.
171
Objetivo: Minimizar o custo de transporte Alternativas: Restrif;oes:
- transportar da fábrica i (A, B e C) para o armazémj
( 1,2,3 e 4) (= xij)
-disponibilidade de madeira nas fábricas - capacidade de cada armazém
O modelo matemático pode ser representada por: Min Z = 3xIl + 15 X12+ OX13+ 7XI4 + 9X21 + 6X22 + 12x23 + 7X24+ 6X31 + x32 + X33
+ 8X34
sujeito a XII + X12+ XI3 X21
+ XI4 ~ 8
+ X22 + X23 + X24~ 21
X31 + X32 + X33 + X34 ~ 228
XII +x21 +x31
~ 18
X12+ X22+ X32 ~ 8 X13+ X23+ X33 ~ 126 XI4 f-X24+ x34 ~ 54
a) Pela regra do canto noroeste, por exemplo: 1 A
2
3
4
18
B
18 8
C 18
8
13
21
113
54
126
54
228
b) A soluyao do problema acima nao existe, devido ao fato que as restriy6es de oferta e demanda nao estao balanceadas. Contudo, alterando o RHS da terceira restriyao, de 228 para 128 , obtemos a soluyao ótima e podemos prosseguir com a análise. Por exemplo,
no caso da 1i! restriyao,oprer;o-sombra(que é definidoapenaspara as restriy6esatuantes)é igual a 3, ou seja, se o RHS da restriyao em questao aumentar em 1 unidade, de 18 para 19, o valor da funyao objetivo será acrescido em 3 unidades. No entanto, a análise de sensibilidade para os valores dos RHS fomece o intervalo no qual alteray6es no valor do
172
RHS da restric;ao deverá ocasionar urna alterac;ao diretamente proporcional no valor da func;ao objetivo. Neste exemplo, o RHS da 1!!restric;ao poderá ser alterado dentro do intervalo de 6 a 24 unidades. A análise de sensibilidade para os coeficientes da func;iio objetivo, que poderia dizer respeito ao intervalo entre 1 e 5 para a variável XII>informa sobre as condic;5es em que a soluc;ao ótima permanece a mesma (nao sao alterados os valores dos xij,apenas do Z).
I
EX.6
I
pág.84
\
Objetivo: Maximizac;aodo lucro Alternativas:
Restri~oes:
- plantar
no lote i ( 1,2,e 3) a culturaj (tomate, feijao e arroz)
-área máxima dos lotes - capacidade máxima da terra para cada cultura
- árer'.mínima utilizada de cada lote - proporc;aoplantada de urna mesma cultura em cada urn dos lotes o modelo matemático pode ser descrito como segue: Max Z = 600xll + 450X12+ 300x13+ 600X21+ 450 X22+ 300X23+ 600X31+ 450X32+ (O)
300X33 sujeito a Xli
+ X21 + X31 ~ 900
X21 + X22 + X32 ~
700
(1) (2)
+ x32 + x33 ~ 1000
(3)
Xli + X12 + X13 ~ 0,6 X 500
(4)
X21+ X22+ X23~ 0,6 X 800
(5)
X31+ X32+ X33~ 0,6 X 700
(6)
XII + XI2 + XI3 ~ 500
(7)
X21+ X22+ X23~ 800
(8)
+ X32 + X33 ~ 700
(9)
X33
X31
xI¡!500
-
x21/800
=O
(10)
173
- X31/700= O
(11)
X12
/500 - X22/800= O
(12)
X12
/500 - x32/700= O
(13)
- x23/800 = O
(14)
/500 - x33/700= O
(15)
xII/500
X13/500 Xl3
a)
NUda RESTRIc;AO
LHS
RHS
Sk(folga)
ATUAc;Ao
1
900
900
O
ATUANTE
2
700
700
O
ATUANTE
3
400
1000
600
NAo ATUANTE
4
500
300
200
NAo ATUANTE
5
800
480
-320
NAo ATUANTE
6
700
420
-280
NAo ATUANTE
7
O
O
O
ATUANTE
8
O
O
O
ATUANTE
9
O
O
O
ATUANTE
10
O
O
O
ATUANTE
11
O
O
O
ATUANTE
12
O
O
O
ATUANTE
13
O
O
O
ATUANTE
14
O
O
O
ATUANTE
Supondo um custo de oportunidade para a restri<;:ao1, por exemplo, de 50. Se acaso fosse for<;:adaa entrada na base de Urna unidade da variável de folga correspondente a restri<;:ao 1 (SI)' o valor da fun<;:aoobjetivo seria reduzido no valor do custo de oportumidade, ou seja, em 50 unidades. b) A metodologia indicada seria a análise de sensibilidade dos coeficientes da fun<;:ao objetivo (que correspondem aos lucros unitários por tipo de cultura) ou a ado<;:aode um
174
modelo de decisao que inclua riscos relacionados aos valores dos coeficientes da funyao objetivo.
¡EX.1
I
pág.102
I
Objetivo: Maximizayao do valor presente
Alternativas:
- seleyao dos projetos
1, 2, 3, 4, 5 e 6 (x¡, . . . , X6),representadas por
variáveis binárias tipo O - 1.
Restri~ijes:- despesa inicial máxima
- disponibi1idademáxima de pessoal
- lucro anual mínimo - necessidade de capital de giro médio anual mínimo - os prujetos
:::e 4 sac mutuameLte excJusivos
- o projeto 1 só pode ser realizado em conjunto com o projeto 6 o modelo matemático pode ser descrito como segue
Max Z = 300 X¡ + 440X2 + 60X3+ 160x4 + 380xs +200X6 sujeito a 700x¡ + 1080x2 + 120x3 + 300X4 + 680xs + 420X6:S;2000 6x¡ + 16x2 + 2X3+ 4X4+ 10xs + 6X6:S;24 200x¡ + 300X2 + 20X3+ 70X4+ 150xs + 90X6~ 200 160x¡ + 240X2 + 36x3 +66x4 + 140xs + 80X6~ 200 -Xl + x6 ~ O X3+ X4 :s;1
A soluyao ótima é dada por X¡ = 1, X2 = O,
X3
= 1,
X4
= O,Xs = 1,
X6
= 1 e Z = 940,00.
175
IEX.2
]
pág. 103
I
Objetivo: Minimiza<;aode custos
Alternativas:- númerode horasalocadapara cada operador(K.C., D.H.,H.B., S.C.,K.S., N. K.), em cada dia da semana (seg., ter., qua., qui. e sex.). Restri'toes: - número máximo de horas diárias de trabalho de cada operador
- número de horas de funcionamento do centro de computa<;ao,em cada dia - disponibilidade máxima de cada operador em cada dia da semana A estrutura matemática, considerando i = 1, ... , 6 como referente aos operadores e j = 1, ..., 5 correspondente aos dias da semana, pode ser dada por: 6
Min Z =
5
'""' '""' c-x-.
L
L
lJ IJ
ande Cij= remunera<;ao i-ésimo operador
i=1 j~l
sujeito a, 5
'""'x. L,IJ- < 8
(i=1,2,3e4)
j=l 5 '""' x..
lJ -< 7
L
(i
= 5e6)
j=l
6 ¿X..
i=1 IJ
= 14
G = 1, ..., 5)
Xij~ disp. máx., conforme informado na tabela (exemplo XII ~ 6)
Nao há solu<;aopara o problema acima, a medida que as duas primeiras restri<;oes de oferta nao estao balanceadas com a terceira restri<;aode demanda. lnvertendo os sinais destas restri<;oescom o intuito de flexibilizar a demanda, ou seja, trocar os sinais nas primeiras restri<;oes,de menor igual para igual, e vice-versa na terceira, obtemos, Xli = 6, Xl4 = 2, X22= 6, X23= 1, X24= 1, X31= 4, X33= 4, X42= 5, x43 = 3, XSI= 3, XS3= 3, XS4= 1, X61= 1, X62= 3, X63= 3 e Z = 206,30. Por outro lado, mantendo os sinais das restri<;oes
como no modelo original e alterando apenas o RHS da terceira restri<;ao,de 14 para 9,
176
encontramos
= 2,
I
EX.3
x64
I
Xli
= 6,
X15 = 2, X22 =
6, X25 = 2,
x33
= 4, x34 = 4, X43 = 5, X45 = 3, X54 = 5, X55
= 3, X65=3 e Z = 200,80.
pág.104
I
a) Max R = 4,3 (2050x80xCll + 2150x81xC12+ 2300x82xC13+ 2500x83xC14 +
3800x64xC21 +
4000x72xC22 +
4200x65xC23 +
4300x60xC24+ 1300x78xC31+ 1500x79xC32+ 1600x76xC33+ 1700x75xC34)
sujeito a 4
"C.. L...
1J
= 1
(onde i = 1, 2 e 3)
j=1
("'l.. >0 ~1J-
b) TABELA 1. Total de sacarose (kg) por talhao i, no mes j. TALHAo/ MES
Set
Out
Nov
Dez
1
164.000
174.150
188.000
207.500
2
243.200
288.000
273.000
258.000
3
101.400
118.500
121.600
127.500
111°p'fao - mes de maior produ'fao de sacarose em cada talhao
C22 = C14
Set
Out
--------
talhao2
Nov
--------
Dez talhao 1 e talhao 3
= C34 = 1 ; Produ'fao de sacarose = 623.000 kg e Receita = $ 2.678.900,00
177
2<1op<;ao
c2¡
- talhao com maior produ<;aode sacarose em Set, Out e Nov
Set
Out
Nov
Dez
talhao 2
talhao 1
talhao 3
--------
= C22 = C23 = 1 ; Produ<;ao de sacarose = 538.950 kg e Receita = $ 2.317.485,00
3<1op<;ao - talhao com maior produ<;ao em Out, Nov e Dez
C22
IÜ:.l
Set
Out
Nov
Dez
--------
talhao 2
talhao 1
talhao 3
= C23 = C24 = 1 ; Produ<;ao de sacarose = 434.300 kg e Receita = $ 1.867.490,00
]Pág.1l7
I
P(e¡ f3 ) = [P(e¡) x p(f31 el)] / [P(e¡) x P (f3 Iel) + P(e¡) x P (f3 Iel)] I
= [ 0,2 x 0,5] / [0,2 x 0,5 + 0,8 x 0,1] = 0,1/ (0,1 + 0,08) = 0,1/ 0,18 = 0,555
I
Ex.2
I
pág. 118
I
P(BjR) = P(BnR)/ [P(AnR) + P(BnR) + P(BnR)] = 0,005/ [0,004 + 0,005 + 0,009] = 0,2777
178
~
I
pág.118
I
Co = chuva; Cp = previsao de chuva No = nublado; Np = previsao de nublado So = sol; Sp= previsao de sol
ÁRVORE DA NATUREZA
P(Cp n Co ) = 0,07 ICO
J
)
0,7 P(Np n Co ) = 0,02
Np ICo = 0,2
P(Sp n
CoO'1
Co) = 0,01
Co = 0,1
pINo=0,2 No = 0,3
Q
N,INo
0,6
'INO0'2
prcp n No ) = 0,06
P(Npn No) = 0,18 P(Sp n No ) = 0,06
P(Cpn So) = 0,06 /:CpISo=O,l
O
P(Npn So) = 0,12
Npl So = 0,2
SpISo=0,7
P(Sp n So ) = 0,42
179
ÁRYORE DO INTERESSADO
P(Cp n Co ) = 0,07
;/ J
)
Nol Cp
P(Cp n No ) = 0,06
C,
P(Cpn So) = 0,06 P(Npn Co) = 0,02
Np= 0,32
.
NolNp
P(Npn No) = 0,18 P(Npn So) = 0,12
7 NalSf
P(Sp n Co) = 0,01
P(Sp n No ) = 0,06
P(Sp n So ) = 0,42
180
I
Ex.1
I
pág.142
I
Construindo o Lagrangeano:
L = -x
2
- 2Y 2 -
Z2
+ xy + z + A(35 - x - y - z)
Aplicando as condi90es de Karush-Kuhn-Tucker:
aL = -2x + y - A = o ax
aL = -4y+xay
A= o
aL = -2z + 1 - A = o az A (35 - x - y - 2) = o
1a POSSIBILIDADE: A= O (das duas primeiras equa90es)
t 1 x = Y = O. z = , 2
~
1 O 1/2) = " 4
[¡(O
~ (da 33equa9ao)
23 POSSIBILIDADE:
35 - x - y - z = O -2x + y - A = O x - 4y - A = O 2z + A = 1
4 equa90es, 4 incógnitas
181
Resolvendo,
x = 15 y= 9 z= 11 A= -21
I
Ex.2
I
pág.142
~ f(1, 9, 11) = -362 < feO,O, 1/2) = 1/4 11
PONTO DE MÁXIMO
I
a) construindo o Lagrangeano (L): L = R(Q) + A [-11:o - C(Q) + R(Q)]
=32Q-Q2 +A [-18-2Q2
+24Q-4]
=32Q-Q2 +A [-2Q2 +24Q-22] b) aplicando as condic;6esde Karush-Kuhn-Tucker:
-
aL = 32 - 2Q - A(4Q -24) = O aQ
(1)
A(-2Q2 + 24Q - 22) = O
(2)
1a POSSIBILIDADE:
Q=O
a) se A = O
Substituindo em (1): 32 = O,o que é urna afirmac;aoFALSA. b) se A> O Substituindo em (2):
182
-22
:2:
O , o que é urna afinnac;aoFALSA.
2aPOSSIBILIDADE: Q > O a) se A= O De (1): Q = 16 mas
R(Q) - C(Q)=32Q-Q2 - Q2 -8Q-4=-2Q2
+24Q-4=
-132,
o que viola a restric;aodo problema, urna vez que R(Q) - C(Q) deveria ser superior a "18", b) se A> O De (2):
Q¡
= 11 ~
3~.
- 22 -- A (44 - 24) = 10 -:',OA = O A = 0,5> O (OK)
Q 2 = 1~
32
- 2 - A (4 - 24) = 30 + 20A = O A=-1,5>0
:. Q = 11 , A = 0,5 e R(Q) = 231
(FALSO)
183
I
EX.3
I
pág.142
I
Arquivo de entrada codificado para o GAMS: SETS I regioes J regioes
de oferta /REGl*REG3/ de demanda/REGl*REG3/¡
PARAMETERS A(J)
coeficiente
/REGl REG2 REG3
linear
da equacao
de demanda
j
200 100 160 /
B(J) coeficiente angular da equacao de demanda j /REGl REG2 REG3 C(I)
10 5 8 /
coeficiente
/REGl REG2 REG3
linear
da equacao
de oferta
i
-50 -50 -50 /
D(I) coeficiente angular da equacao de oferta i /REGl REG2 REG3
10 20 10 /
¡
TABLE T(I,J) custo unitario de transporte
REGl REG2 REG3
REGl O 2 2
REG2 2 O 1
REG3 2 1 O ¡
VARIABLES X(I,J) quantidade de graos transportada PC(I) preco de oferta da graos PV(J) preco de demanda da graos L lucro ¡
de i a j
184
POSITIVE
VARIABLES
X, PC, PV i
EQUATIONS LUCRO OFERTA(I) DEMANDA(J) PRECO(I,J)
i
LUCRO.. L =E= SUM(J, PV(J)*(A(J)-B(J)*PV(J))) - SUM(I, PC(I)*(C(I)+D(I)*PC(I))) - SUM((I,J), T(I,J)*X(I,J») i OFERTA(I)
..
SUM(J, X(I,J»
=L= C(I) + D(I)*PC(I) i
SUM(I, X(I,J»
DEMANDA(J)
PRECO(I,J)
..
PV(J)
MODEL
NLINEAR/ALLli
SOLVE
NLINEAR
=G= A(J)
USING NLP MAXIMIZING
a serem
X.L
i
i
quantidade
de graos
REG2
REG3
57.619 34.762
56.190
34.286 47.619
10.762,
PV.L
REG2
VARIABLE
REG1
L
REG1
VARIABLE REG1
10.762,
i
obtidos:
VARIABLE
REG1 REG2 REG3
B(J)*PV(J)
PC(I) =L= T(I,J) i
-
DISPLAY X.L, PV.L, PC.L, L.L
Resultados
-
REG2
VARIABLE
8.762,
PC.L
8.762,
L.L
preco
REG3
de demanda
transportada
de graos
9.762
preco de oferta de graos
REG3
9.762
0.000 lucro
de i a j
