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MARCOS ARENALES
VINÍCIUS
REINALDO
ARMENTANO
MORABITO
HORACIO Y ANASSE
Pesquisa Operacional
COLEÇÃO
CAMPUS
-
ABEPRO
Engenharia de Produção
© 2007, Elsevier Editora Ltda. Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/1998. Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito da editora, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros. Copidesque: Cláudia Mello Belhassof Editoração Eletrônica: Rosane Guedes Revisão Gráfica: Marília Pinto de Oliveira e Marco Antonio Correa Projeto Gráfico Elsevier Editora Ltda. A Qualidade da Informação. Rua Sete de Setembro, 111 – 16º andar 20050-006 Rio de Janeiro RJ Brasil Telefone: (21) 3970-9300 FAX: (21) 2507-1991 E-mail:
[email protected] Escritório São Paulo: Rua Quintana, 753/8º andar 04569-011 Brooklin São Paulo SP Tel.: (11) 5105-8555 ISBN 13: 978-85-352- Nota: Muito
zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação, impressão ou dúvida conceitual. Em qualquer das hipóteses, solicitamos a comunicação à nossa Central de Atendimento, para que possamos esclarecer ou encaminhar a questão. Nem a editora nem o autor assumem qualquer responsabilidade por eventuais danos ou perdas a pessoas ou bens, srcinados do uso desta publicação.
Central de atendimento Tel.: 0800-265340 Rua Sete de Setembro, 111, 16º andar – Centro – Rio de Janeiro e-mail:
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CIP-Brasil. Catalogação-na-fonte. Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ P564 Pesquisa operacional [recurso eletrônico] / Marcos Arenales... [et al.]. - Rio de Janeiro : Elsevier : ABEPRO, 2011. recurso digital (ABEPRO-Campus) Formato: FLASH Requisitos do sistema: Adobe Flash Player Modo de acesso: World Wide Web Inclui índice Anexos ISBN 978-85-352-5193-7 (recurso eletrônico) 1. Pesquisa operacional. 2. Pesquisa operacional Modelos matemáticos. 3. Livros eletrônicos. I. Arenales, Marcos II. Associação Brasileira de Engenharia da Produção. III. Série 11-5920.
CDD: 658.4034 CDU: 005.31
IV
Os Autores
V
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Dedicatórias
VII
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Prefácio IX
Prefácio
X
Apresentação
XI
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Apresentando a Coleção ABEPRO de Engenharia de Produção XIII
Apresentando a Coleção ABEPRO de Engenharia de Produção
XI XIVV
Sumário Prefácio IX Capítulo 1. Introdução à pesquisa operacional 1
Capítulo 2 – Otimização linear 15
Capítulo 3. Otimização discreta 163 XV
Sumário
Capítulo 4. Otimização em redes 289
Capítulo 5. Programação dinâmica determinística 375
XVI
Sumário
Capítulo 6. Programação dinâmica estocástica 407
Capítulo 7. Sistemas de filas e otimização 433 ∞∞ ∞ ∞ ∞∞ ∞∞∞ ∞ ≤ ∞ ≤ ∞∞ ∞∞ ∞ ∞∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞
XVII
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Introdução à pesquisa operacional
1.1 ORIGENS E DEFINIÇÃO DE PESQUISA OPERACIONAL
1
2
Pesquisa Operacional
Capítulo 1: Introdução à pesquisa operacional
3
1.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM MODELOS MATEMÁTICOS
4
Pesquisa Operacional
Figura 1.1 Processo de modelagem.
Capítulo 1: Introdução à pesquisa operacional
5
1.3 EXEMPLO ILUSTRATIVO DE MODELAGEM MATEMÁTICA
6
Pesquisa Operacional
Figura 1.2 Estrutura de itens finais e componentes.
Capítulo 1: Introdução à pesquisa operacional
7
d1t hi Si ai
Tabela 1.1 Dados do exemplo.
d1t
hi
t =1
t=2
i =1
i=2
t=3
Si
ai
t=4
ci
8
Pesquisa Operacional
xit I it K it ( xit ) =
Si +cxi it
x se it
>0
se xit 0. =
0
2
4
K x( ∑∑ = = it
it
)+ hIi it
i 1 t 1
≥ ≥ ≤
x1t x2t
Capítulo 1: Introdução à pesquisa operacional
9
4
∑K
(x1t ) + h1I1t
1t
t =1
≥ ≥
x* , I * , t = 1, 2, 3, 4 t 1t 1 4
∑K
2t
(x2t ) + h2 I 2t
t =1
≥ ≥
x2*t , I 2*t , t = 1, 2, 3, 4 x1*t , t = 1, 2,3, 4 a1 x1*t
+ a2 x2*t ≤ 80
**, I , x* , I * , t 1, 2,3, 4 x1122 = t t tt
10
Pesquisa Operacional
Tabela 1.2 Plano de produção do item 1 obtido no passo 1.
Tabela 1.3 Plano de produção do item 2 obtido no passo 2.
Capítulo 1: Introdução à pesquisa operacional
Tabela 1.4 Plano de produção do item 1 – factível.
Tabela 1.5 Plano de produção do item 2 – revisado.
Tabela 1.6 Plano de produção do item 2 – factível.
Tabela 1.7 Plano de produção do item 2 – ótimo.
11
12
Pesquisa Operacional
1.4 ORGANIZAÇÃO DO LIVRO
Capítulo 1: Introdução à pesquisa operacional
13
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Otimização linear
2.1 INTRODUÇÃO
2.2 ALGUMAS APLICAÇÕES E MODELAGENS MATEMÁTICAS
2.2.1 Problemas de mistura
Rações
15
16
Pesquisa Operacional
Ligas metálicas
Composição de areias para filtro
Formulação matemática do problema da mistura
Capítulo 2: Otimização linear
17
≥ ≥ ≥ ≥ Exemplo 2.1
18
Pesquisa Operacional
Tabela 2.1 Dados para o problema da ração.
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
Capítulo 2: Otimização linear
19
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Exemplo 2.2
Figura 2.1 Agregados graúdos.
Figura 2.2 Composições granulométricas dos agregados graúdos.
20
Pesquisa Operacional
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
≥ ≥ ≥ ≥
Figura 2.3 Faixas granulométricas ideais.
Capítulo 2: Otimização linear
21
2.2.2 Problemas de transporte, transbordo e designação
Formulação matemática do problema de transporte
≥ m
n
∑∑ cij xij i =1 j =1 n
∑x
ij
j =1
≤ ai
m
∑x
ij
= bj
.
i =1
Figura 2.4 Rede de transporte.
22
Pesquisa Operacional
m
n
∑∑ c x
ij ij
i =1 j =1
n
∑x
ij
≤ ai
= bj
j =1
m
∑x
ij
i =1
≥
Exemplo 2.3
≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
Tabela 2.2 Dados para o problema de transporte da companhia distribuidora de bebidas.
Capítulo 2: Otimização linear
23
Exemplo 2.4
≤ ≤
≤≤ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
xij = xjk k i
∑ ∑
24
Pesquisa Operacional
Figura 2.5 Pedreiras fornecedoras de pedra britada: P1, P2, P3, P4; pontos convenientes para depósito de material: D1, D2, D3; trajeto da rodovia: R.
Tabela 2.3 Dados do problema de transporte de agregados.
Exemplo 2.5
Capítulo 2: Otimização linear
25
Figura 2.6 Centro de distribuição j: x1j + x2j = xj3 + xj4 + xj5.
Tabela 2.4 Custos unitários de transporte de centros de suprimento aos depósitos.
Tabela 2.5 Custos unitários dos depósitos aos mercados consumidores.
≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≥
26
Pesquisa Operacional
n
n
∑∑ p x ij
ij
i =1 j =1
n
∑x
ij
j =1 n
∑x
ij
i =1
≥ 2.2.3 Problemas de planejamento da produção
Mix de produção (planejamento estático)
Formulação matemática do problema de mix de produção
Capítulo 2: Otimização linear
27
n
∑ l j x j j =1
n
∑ aij x j ≤ j =1
≤ ≤
Exemplo 2.6
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Restrições de chance
28
Pesquisa Operacional
≤ α α P( Dluxo ≤ xluxo ) ≤ α luxo α P( Dluxo ≤ xluxo ) σ ( Dluxo ) = V ( Dluxo ) P ( Dluxo
≤ xluxo ) = P Dluxo − E ( Dluxo ) ≤ σ ( Dluxo )
− E ( Dluxo ) ≤ α luxo σ ( Dluxo )
xluxo
− P Dluxo E ( Dluxo ) ≤ zα = α luxo σ ( D ) luxo zα α α zα α x − E ( Dluxo ) ≤ zα luxo
zα
luxo
luxo
luxo
luxo
σ ( Dluxo )
xluxo
luxo
≤ E ( Dluxo ) + zα σ ( Dluxo ) luxo
≤ σ ( Dluxo ) α z0,10 = −1,282 ≤ E ( Dluxo ) ≤ 1372 Seleção de processos (planejamento estático)
Capítulo 2: Otimização linear
29
n
Minimizar f ( x11 , x12 ,..)
= ∑ ∑ cij xij i =1 j∈ J i
∑
j∈J i
xij = d i
n
∑∑
i =1 j∈ J i
aijk xij
≥
≤ bk ∈
Dimensionamento de lotes (planejamento dinâmico)
Formulação matemática de um problema de dimensionamento de lotes –monoestágio
30
Pesquisa Operacional
− −∆ ∆ ∆ ≤ − − ≥ − − ≥ ≥ ≥ n T
n T
i =1t =1
=1 =1
∑ ∑ cit xit i∑ t∑ hit I it n T
n T
i =1t =1
i =1 t =1
∑ ∑ cit xit ∑ ∑ hit I it − ≤ ≥
Capítulo 2: Otimização linear
31
I it = I it+ − Iit− I it+ ≥ 0 I it− ≥ 0 Exemplo 2.7
Tabela 2.6 Demanda de vigas.
Tabela 2.7 Custos de produção.
32
Pesquisa Operacional
Tabela 2.8 Custos de estocagem.
− − − − − − ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≥ n T
n T −1
∑ ∑ cit xit ∑ ∑ hit I it i =1 t =1 i =1 t =1 −
− − −
Capítulo 2: Otimização linear
33
≤ ≤ ≤
≥
Formulação matemática de um problemade dimensionamento de lotes –multiestágios
n T
n T
i =1t =1
i =1 t =1
∑ ∑ cit xit ∑ ∑ hit I it n
− ∑ b ji xit
≤ ≥
i =1
34
Pesquisa Operacional
2.2.4 Problemas de programação de projetos
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
Capítulo 2: Otimização linear
35
Tabela 2.9 Dados das atividades do projeto.
2.2.5 Problemas de gestão financeira (fluxo de caixa)9
α β β > α n 1 , 2 , ,
36
Pesquisa Operacional
Figura 2.7 Rede de fluxos entre as opções 1 e 2 nos períodos 1, 2, ..., n.
n α i i α 1 2 f 1 ,2 (1 + ) f 1 ,2 (1 + ) f 1 ,2 (1 − c1,2 ) f 2 ,2 f 2,2 f 2 ,2 (1 + ) f 1 ,2 (1 − c1,2 ) f 2 ,2 f 2 ,2 f 2 ,3 f 2 ,3 2 α (1 + β )f n , Z
Capítulo 2: Otimização linear
37
α (1 + β )f n , Z (1 − c2 ,1 ) f 1 ,1 f1,1 (1 − c1,2 ) f1,1 f 1 ,2 f 1 ,1 1 α (1 − c 2 ,1 ) f 2 ,2 f 2 ,2 (1 + ) f 1 ,2 (1 − c1,2 ) f 2 ,2 f 2 ,3 f 2 ,2 2 … α (1 − c 2 ,1 ) f n ,n f n ,n (1 + ) f n −1,n (1 − c1,2 ) f n ,n f n ,Z f n ,n n ≥ Exemplo 2.9
$1 β y0 = = 0,05 = 0,08 α
2.2.6 Problemas de meio ambiente
38
Pesquisa Operacional
Figura 2.8 Solução ótima do exemplo 2.8.
≥ Tabela 2.10 Eficiência e custo dos tratamentos de água.
Capítulo 2: Otimização linear
39
≤ ≤ ≤ ≥ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ 2.2.7 Problemas de corte e empacotamento
Corte de bobinas de papel
Corte de barras metálicas
40
Pesquisa Operacional
Formulação matemática de um problema de corte
1 , 2 , ..., m i
Figura 2.9 Alguns padrões de corte unidimensionais.
Capítulo 2: Otimização linear
41
α α α α α α α ≤ α ≥ α ≥ α ≥ a11 a 21 a m1
b1 a1n a12 b a a 22 2 n 2 b a a m mn m2
≥ = TL ρ ρ ρ 1a12 b1 1a1n a a 2 22 2 2 n b2 m am 2 m amn bm ≥ = TL 1a11 a 2 21 m am1
42
Pesquisa Operacional
L1 a11 2 L a21 m L am1
L1 a1n L1 a12 b1 2 2 L a22 L a2 n b2 m m b L am 2 L amn m
≥ L1 a11 2 L a21 m L am1
b1 L1 a1n L1 a12 b 2 2 L a22 L a2n 2 b m m m L am 2 L amn ≥
Exemplo 2.9
1 2 L L L3 L4
Capítulo 2: Otimização linear
43
Tabela 2.11 Dados para um problema de corte.
Figura 2.10 Possíveis padrões de corte para uma bobina-jumbo.
1× 0 ,1 10 × 0 ,1 0 1 × 0 ,1 0 0 5 0 8 × 0 ,1125 0 0 4 × 0 ,1125 0 3,5 0 7 × 0 ,1375 0 4 × 0 ,1375 4 × 0 ,1375 4 0 0 0 6 × 0 ,15 0 3 × 0,15 5 0
≥
44
Pesquisa Operacional
2.2.8 Ajuste de curvas
ε, ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
ε
ε ε ε ε ε ε ε ε ε | i | =
i − i
se i se i
≥0 ≤0
ε ε i
− = i+ − i
i+
≥ 0, i− ≥ 0
| i | = i + i i+ > 0 i− > 0 i+ i− i = i+ − i− +
−
Capítulo 2: Otimização linear +
45
−
ε i + i i+ = 0 i− = 0 i+ = i + i− = θ i+ − i− = i θ θ θ i+ + i− ε θ ε θ θ i+ = i− = i + θ θ
1+ , 1− 2+ , 2− +
+ ≥0, − ≥ 0 i
i
i
m+ , m−
1+ + 1− 2+ + 2− m+ + m−
−
− i
1i ε ε ε ε ε ε Exemplo 2.10 ε
− × ε × ε × ε × ε 1+ , 1− 2+ , 2− 3+ , 3− 4+ , 4− 1+ + 1− 2+ + 2− 3+ + 3− 4+ + 4− 1+ − 1− − 2+ − 2− 3+ − 3− 4+ − 4− + − + − + − + 1 ≥ 0 , 1 ≥ 0 2 ≥ 0 , 2 ≥ 0 3 ≥ 0 , 3 ≥ 0 4 ≥ 0 , 4− ≥ 0
Tabela 2.12 Dados experimentais.
−
46
Pesquisa Operacional
Figura 2.11 Representação gráfica para o ajuste de uma reta.
2.2.9 Controle ótimo de sistemas lineares
− − ≤ ≤ xt ≤ ≤ ut x*T − − − ≤ ≤ x t ≤ ≤ ut − − − − ≤ ≤ −
Capítulo 2: Otimização linear
47
− − − ≤ ≤ − − ≤ ≤ − − − ≤ ≤ x t − ≤ ≤ ut − Exemplo 2.11 v
∂x v ∂ tt ∂ vt a ∂ t v v ∂∂xt = x + ∆∆t− x ∂∂vtt = vt +∆∆t t− vt ∆ ∆ v v∆ ∆ ∆ ∆ ∆ v v v ∆ t
t
t
t
v − v v ∑Tt =−01 | at | −
2.2.10 Problemas lineares por partes
48
Pesquisa Operacional
≥ ≥
hit+ I it − hit I it
f it ( I it ) =
se I it se I it
≥0 ≤0
I it = I it+ − I it− I it+ ≥ 0, I it− ≥ 0 I11+ , I11− , I12+ , I12− ,... h11+ I11+ + h11− I11− + h12+ I12+ + h12− I12− + ...
Figura 2.12 Função penalidade para o estoque não-nulo.
Capítulo 2: Otimização linear
49
Figura 2.13 Função penalidade para o estoque fora dos limites desejados.
2.3 HIPÓTESES DE LINEARIDADE
50
Pesquisa Operacional
2.4 CONCEITOS BÁSICOS
2.4.1 Um problema de otimização linear
Definição 2.1
…… … …
… ≥ ≥ … ≥ − ≥ a111 a 2 a a 212 2 a a m1 m 2
a1n
a2 n
mn
a
×
Capítulo 2: Otimização linear
51
(c1 c2 cn ) ( x1 x2 xn ) (b1 b2 bm ) × Definição 2.2 …
Exemplo 2.12
− ≥ ≥ ≥
− −
1 2 1 − 0 1 2
× A =
Definição 2.3
( x1* , x2* , , xn* ) ( x1* , x2* , , xn* ) ≤ … …
52
Pesquisa Operacional
Exemplo 2.13
23 53 23 53 2.4.2 Transformação de problemas na forma padrão
Problemas de maximização
( x1* , x2* , , xn* ) ≥ − − ≤ − − − Exemplo 2.14
− ≥ ≥ ≥ − − − ≥ ≥ ≥
Capítulo 2: Otimização linear
53
Restrições de desigualdade
… ≤ ≤ − … ≥ … − ≥ ≥ … ≥ − ≥ ≥ ≥ … − ≥ ≥ Exemplo 2.15
≥ ≤ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
Variáveis livres
xi+ xi− xi+ ≥ xi− ≥
54
Pesquisa Operacional
Exemplo 2.16
≥ ≥ ≥ ≥ x1 = x1+ − x1− , x1+ ≥ 0, x1− ≥ 0. + − + x1 x1 x1 x1− x1+ x1− x1+ x1− x1+ ≥ x1− ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
Expressões alternativas na formapadrão
… n
n
∑
∑
j =1
j =1
≥
a1 j a 2 j amj Exemplo 2.17
x1 + 2 x2 + x3 = 3 x2 + 2 x3 = 4
⇔
1 2 1 x1 + x2 + x3 0 1 2
3 = 4
2.5 RESOLUÇÃO GRÁFICA
≤
Capítulo 2: Otimização linear
55
Exemplo 2.18
≤
≤≤ ≥ ≥
≤ ≤ ≤ ≥ ≥ Desenhando a região factível (S )
≥ ≥ ≤
Figura 2.14 Região definida por x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0.
56
Pesquisa Operacional
≤ ≤
Determinando a solução ótima x( *)
x′ = ( x1′ x′2 ) f ′ = f (x′)
Figura 2.15 Região definida por x1+ x2 ≤ 4, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 .
Figura 2.16 Região definida por x1 ≤ 2.
Capítulo 2: Otimização linear
57
Figura 2.17 Região definida por x2 ≤ 3.
Figura 2.18 Região factível S .
f ′ f ′ ∇ x′ x′′ x1′ x′2 f ′ = f (x′ ) = 2 f ′ f ′ x′′ x1* x*2
58
Pesquisa Operacional
Figura 2.19 Determinando a solução ótima x* (problema de maximização).
∈ ≤ x1 1 x 3 2 x′ = ( x1′ , x′2 ) x′ = ( x1′ , x′2 ) a1 x1′ + a2 x′2 = b a1 x1′ + a2 x′2′ = b x′′ − x′
Figura 2.20 O vetor a perpendicular à direção da reta y.
Capítulo 2: Otimização linear
59
y1 = a1 ( x1′ − x1′) + a2 ( x′2′ − x1′ ) = (a1x1′′ + a2 x′2′ ) − (a1x1′ + a2 x1′ ) = b − b = 0. y2
(a1 a2 )
′ ′ ′ x x x x′′ x′ − x′ x′ − x′ x′ − x′ − x′ x′ ′δ δ ′δ ′ δ
δ a12 + a22 + + an2 ≠ ≠ ≤ ≥
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ f (x) = f ′
≤ ≤
≤
≤ ≥ ≥
60
Pesquisa Operacional
≤ ≥
∈
∈ ≤ ≥ ≤ ≤ ∈ ∈ ∈ ≤
Figura 2.21 As três regiões do plano: a) a ix = bi
b) a ix < bi
c) aix > bi .
Figura 2.22 Região factível de restrições do tipo aix ≤ bi , i = 1, 2, ...m.
Capítulo 2: Otimização linear
61
∈ ≥ Exemplo 2.19
≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥
Figura 2.23 Curvas de nível da função objetivo, f ’ > f ” > f * (problema de minimização).
62
Pesquisa Operacional
x1
5,4
x 1,8 2
Figura 2.24 Gráfico do problema de otimização linear do Exemplo 2.19.
Figura 2.25 Determinando a solução ótima (problema de maximização).
Capítulo 2: Otimização linear
63
Exemplo 2.20
≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥
Figura 2.26 Região de factibilidade ilimitada e solução ótima única (minimização).
Figura 2.27 Região factível limitada e infinitas soluções ótimas, conjunto limitado de soluções ótimas (minimização).
64
Pesquisa Operacional
Figura 2.28 Múltiplas soluções ótimas (maximização).
Figura 2.29 Região factível ilimitada e infinitas soluções ótimas, conjunto ilimitado de soluções ótimas (minimização).
Capítulo 2: Otimização linear
65
∅
Figura 2.30 Regão factível ilimitada e não existe solução ótima (solução ótima ilimitada), c Tx → −∞ (minimização).
Figura 2.31 Não existe solução ótima: S = ∅.
Figura 2.32 Solução ótima degenerada (minimização).
66
Pesquisa Operacional
Exemplo 2.21
≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≤ 2 x x 4 1
2
3 x x 3 1 2
→ 2.6 TEORIA BÁSICA E O MÉTODO SIMPLEX ≥
Capítulo 2: Otimização linear
67
Figura 2.33 Problema com solução degenerada e ótimo não degenerado.
Figura 2.34 Trajetórias até a solução ótima (minimização).
2.6.1 Soluções básicas
⊆ ≤ − ≤ ≥ ≥ ≥
68
Pesquisa Operacional
− ≥ − − ≥ − ≥ ≥ − −
≥ ≥ ≥ ≥ ≥
−
− −
−
−
−
−
− −
− −
− −
−
−
−
Figura 2.35 Região factível e fronteira caracterizada por xj = 0, j = 1,...,5.
Capítulo 2: Otimização linear
69
− − − − − − − − − − =6 x1 + x2 x1 = 5 x =0 3 x1 − x2 = 4 x2 = 1 x4 = 0 3 x + x − x = 3 x = 13 1 2 5 5
70
Pesquisa Operacional
=6 x1 x1 = 6 x = 0 2 x1 + x4 = 4 x4 = −2 x3 = 0 3 x x = 15 x − = 3 5 1 5 −
x1 + x2 + x3 x − x + x = 4 ⇔ 1 2 3x1 +x 2 x− 5 Ax
6 x1 + x2 + 4 x1 − x2 ⇔ 3x1 +x 2 −x 5 3
variáveis restantes
b
x3 6 x = 4 4 0 3
variáveis a serem fixadas
1 1 0 1 −1 0 3 1 −1 B
x1 1 0 x + 0 1 x3 = 2 0 0 x4 x5 x
N
N
xB
6 4
3
b
1 1 0 − 1 0 3 1 − 1
B= 1
1 0
0
0
N= 0 1
x1 xB = x2 e x N
x5
= xx3 4
Capítulo 2: Otimização linear
71
[a B1 a B2 a B3 ] [a N1 a N2 ] x B x1 xN x x B = xB = x2 xN = = 3 x x x N x4 B 5 ⇔ 1
1
2
2
3
x 0 3 = x 4 0 −
≤ − −
Definição 2.4 × [a B a B a B ] × − [a N a N a Nn − m ] 1
2
m
1
xB xN
=
2
72
Pesquisa Operacional
xB x xB = B xB xN x N = xN − 1
2
m
1
n m
xB ] b = xN
⇔N[ Ax =b B Bx B
+ Nx N = b
xB
= B −1b − B −1Nx N
−
Definição 2.5
−
xˆ B = B −1b ˆ x N = 0. xˆ ˆx B = B −1b ≥ xˆ ˆx B = B −1b 1 1 0 1 −1 0 3 1 −1
B
x1 x + 2 x5
xB
1 0 0 1
x3 x = 4
0 0 xN
N
6 4 3
b
ˆx3 = xˆ 4 = 0
xˆ N
= 0
Capítulo 2: Otimização linear
73
1 1 0 x1 6 1 − 1 0 x = 4 ⇔ Bxˆ = b B 2 3 1 − 1 x5 3
xˆ B
x1 5 = x2 = 1 x5 13
x1 5 x 1 xˆ B 2 xˆ = = x5 = 13 xˆ N x 0 3 x4 0
1 0 0 x1 1 1 1 1 0 x + −1 0 x2 = 4 x 3 0 −1 x5 1 0 x 3
N
xB
B
N
6 4 3
b
xˆ 2 = xˆ 3 = 0 ˆx N = 0
1 1 3
0 1 0
x1 6 x = 4 4 − 1 x5 3 0 0
x1 6 = x4 = − 2 x5 15 − − ˆx B
Propriedade 2.1 ∈ ≥ ∈
74
Pesquisa Operacional
Cmn = m!( nn−! m )! Propriedade 2.2
K ≤ Cmn − 2.6.2* O método simplex
ˆx B ˆx N
ˆx =
xˆ B = B −1b ≥ 0 ˆ x N = 0,
x B x N
x=
xB
= B −1b − B −1Nx N
T f ( x) = c x T T xB T T [c B c N ] x = c B x B + c N x N N
Capítulo 2: Otimização linear
75
c B T c N T
f ( x) = c TB (B −1b − B −1 Nx N ) + c TN x N xB
−1
−1
c B B b − c B B Nx N T
T
+ c TN x N
x ˆ T f ( xˆ ) = c B xˆ B + c TN xˆ N = c TB (B −1b ) + c TN (0) c TB B −1b
Definição 2.6 λ ×
T
= cBTB −1
λ T = cTB B −1 T
= cTB B −1 ⇔ λ − ⇔
λ
− c TB B −1 Nx N + c TN x N ˆx − λ c TN ˆx c NT λ c TN
− T N = (cN , cN , , cN − ) − T (a N , a N , , a N − ) = (c N − T a N , c N − T a N , , c N − − T a N − 1
2
1
2
x N = (x ,,x N1
f ( x) = f (ˆx) + (c N1
− T a N
1
)xN
1
1
n m
1
2
N2
, x
+ (c N − T a N 2
2
n m
n m
N n−m
) x N2
2
n m
)
)
+ + (c N − − T a N − n m
n m
) x Nn−m
T Definição 2.7 cˆN j = (cN j − a N j )
xˆ ) cˆN+ x N +cˆ+N x N cˆN − x N − f ( x ) = f (+ 1
1
2
2
m n
m n
76
Pesquisa Operacional
Exemplo 2.22
− − ≤ ≤ ≤ 72 ≥ ≥ − − 72 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ x1* x2* − × 7 2 x1* = 3, x2* 1,= x5* = 52 x*3 = x*4 = 0 1 1 0 1 0 =a[ 1 2 5 ] = 1 0 0 N =aa N Na a= [ 3 4 ] = 0 1 B =a aBa aB a B 0 1 1 0 0 T T =Bc) c (c1 −−=2 5 ) ( 2 1 0) c N = (cN c N )c=c( 3 4 ) = (0 0) cB = (cBc c B 1
2
3
1
2
3
1
2
1
2
cˆN j = (cN j − a N j ) − T
Figura 2.36 Solução gráfica do Exemplo 2.22.
Capítulo 2: Otimização linear
77
T = cTBB −1 0 1 0 − 1 − 1 0 − 1 1 1 0 T
1
0
= cTBB −1 − − 1 − 1 0 − −
− 1 1 1 λ λ λ − λ λ − λ λ λ λ λ − − λ λ λ λ
λ ⇒ λ − λ − −λ λ ⇒ λ − − λ − λ λ − − 1 1 0
1 0 0 1 0 1
− 2 − 1 → 0
1 1 0 − 1 0 0
0 1 1
− 2 1 0
78
Pesquisa Operacional
1
=cˆ3−
c3= −− T a−3
0
( =1
1 0) 0
1
= = cˆ−4
c4= −− T−a 4
0
( =1
1
1
j = 1: cˆ = N1
j = 2 : cˆ
N2
0 0 0 ) 1 0
− ≥ − ≥ ≥
x N j ≥ 0 (cN j − Ta N j ) ≥ 0 − f (x) ≥ f (ˆx) ≥
Propriedade 2.3
ˆx B − ≥ T = cTBB −1 (cN − T N ) ≥ 0 − xˆ B = B −1b (cN − T N ) ≥ 0 − T cˆN = cN − xN k j
j
j
j
k
k
Nk
Exemplo 2.23
[
B = a B1
a B2
[
N = a N1
(
T cB = cBc1 c
(
B2
cN = cN1 c T
a B3
]= [a
a N2
)
3
]= [a
1
c = c ( c3
B3
1 0
1 0
4
5
0 1
1
0
a2 ] = 1
= c) c( 1 −= −2 ) (
N2
0 0
1 0
a5 ]= 0
a4
1
) = (0 2
0 0) 1)
Capítulo 2: Otimização linear
cˆN
j
79
= (cN − T N ) j
j
T
= TB −1 = (0
0 0 )
cˆN = c=ˆ1 − c1= −T −1 1
2
(0
T
cˆN2
= cˆ=2 −c2= − − 2
10
(
1 0= −0) 1 0 1 0= −0 ) 0 1
2
1
cˆ1 cˆ 2
Definição 2.8
xN = ε ≥ 0, (variável com custo relativo negativo) x = 0, = j 1, 2,...., − ≠n m, i k . N k
j
xN k ε f (x) = f (xˆ+) cˆN+1 +0 + +cˆNk ε cˆ Nn−m 0
xN1
xNk
xN n−m
f (ˆx) + cˆN k f (ˆx) ε cˆ N k cˆN k
Figura 2.37 Variação da função objetivo com a estratégia simplex.
80
Pesquisa Operacional
ε ε Tamanho do passoε
xN
xN1
= xN xN −
k
n m
0 = ε ← k 0
-1 -1 x B =B b−B Nx = x−N BˆaB =
− -1x
y
Nk
ˆB
y
y = B -1a N k ε a N ... a N ... a N − ε a N ε 1
k
n m
k
Definição 2.9 y = B a N k -1
By = a N k x Bi = ˆx Bi − yi ≥ 0 , i = 1, ..., m yi ≤ 0, então xB ≥ 0, para todo ε ≥0 xˆ yi > 0, comoB Bx=i − ≥xˆ y ε 0 ε ≤ B yi ε i
i
i
i
εˆ =
xˆ B y
xˆ = mínimo B yi
i
tal que yi
> 0
≤ ε ε ≥ ε → − ∞ ε → ∞
Exemplo 2.24
Capítulo 2: Otimização linear
81
ˆx B − 4 xˆ B = 3 7 2 ˆx cB1 ˆxB1 + cB2 ˆxB2 + cB3 xˆ B3 = 0 × 4 + 0 × 3 + 0 × 72 (cB , cB , cB ) 1
2
3
0
λ T = c TB B −1 = 0 0 1 cˆ1 = c−1 T=−−1 20 ( 0=− 0 ) 1 2 ← 0 cˆ2
= c−2
T= −−2
1
1 (0 0= − 0) 0 1
1
By = a N1
y
1 = 1 0
xB = xˆB − yi ε −ε −ε 72 ε xˆ B xˆ B xˆ B 4 3 εˆ = mínimo , = mínimo 1 , 1 = 3 = y y y 2 2 1 ˆ = 3 xB2 − i
i
1
2
2
ˆ = 3 ˆxB ˆ = xB y x N k x ˆ xˆB = y ( y ) 0 xB = xˆB− =y ε− B
xN k
= εˆ
82
Pesquisa Operacional
(xB1 x B
)xN k |x0B m
=0
= εˆ
− x N , , x B , , x N − B ↔ xN k xB
1
n m
[a , ,
[a B1 , , a B , , a Bm ]
→ →
[a N1 , , a N , , a N − ] k
n m
, , a]
a
N B B − ésimacoluna aB ,, a N − ] N ′ [a N ,,
B′
k
1
m
1
n m
k − ésimacoluna
xN k x B
Propriedade 2.4 B ′ B ′
N′ xN = εˆ xB = xˆ B − yi εˆ ≠ k
i
i
f ( x)(= f xˆ ) + cˆN k εˆ < f ( xˆ )
Exemplo 2.25
1 1 0 1 B = [a B a B a B ] = [a1 a 2 a 4 ] = 1 0 1 N = [a N a N ] = [a 3 a 5 ] = 0 0 1 0 0 1
T
cB
= (cB c 1
c
B2
2
3
= ) c c(c1 −=−2 4 ) (
B3
1
2
1 0)
T
cN
2
= ( c Nc 1
1 0 − 1 B −1 = 0 0 1 − 1 1 1 −
N2
) =cc(
3
5
0
0
1
) = (0
0)
Capítulo 2: Otimização linear
83
12 1 1 0 4 1 0 1 3 xˆ = 7 B 2 5 0 1 0 72 2 1 −1 4 2 10 7 ˆx B = B −1b 0013 2 −1 1 1 72 52 1
7
5
9
ˆx cB1 xˆ B1 + cB2 xˆ B2 + cB3 ˆxB3 = − 2 × 2 + (−1) × 2 + 0 × 2 = − 2 (cB , cB , cB ) − − λ 1 0 − 1 T = cTBB −1 [− 2 − 1 0] 0 0 1 − − 1 1 1 1
2
3
1
cˆN1
= cˆ=3 − c3 =−−T 3
0
( 2=
0 1) 0
2
0
0
2 =0− 1) 0
1 ← xN 1 f ( x ) = f ( ˆx ) + cˆN k ˆ − 92 − ε cˆN2
= cˆ5= −c5
=−−5− T
0
(
1 − 0 − 1 xˆ B y 2
εˆ = mínimo
2
,
xˆ B3 y3
2
0 0 1
− 1 0 −1 1 0 1 1 1 1
7 5 5 = mínimo 12 , 12 = 2 =
xˆ B3 y3
xB 3
ε 52 1 1 0 1 0 B = [a B a B a B ] = [a 1 a 2 a 5 ] = 1 0 0 N = [a N a N ] = [a 3 a 4 ] = 0 1 0 1 1 0 0 1
2
3
1
2
84
Pesquisa Operacional
2.6.3* O algoritmo simplex
T T x B = ( xB xB x B ) x N = ( x N x N x N − ) 1
2
1
m
2
n m
bxˆBB = −1 ˆ xN = 0
(equivalentemente, resolva Bxbo sistema
B
=
)
T = BT −1 λ cˆ N = c N − T a N − cˆ N = mínimo{cˆ N , j = 1,..., n m} − xN cˆ N ≥ 0 y = B −1a N a N k ≤ → − ∞ j
k
j
j
j
k
k
k
εˆ =
xˆ B y
xˆ = mínimo B yi
i
tal que y i
i = > 0, 1, ..., m
x B
[a B a aB −a N a B + B ] [a N a aN a− B a N + N − ] 1
1
1
k
k 1
1
m
k
1m n
Capítulo 2: Otimização linear
85
2.6.4* Exemplos numéricos e interpretações geométricas
Exemplo 2.26
− − ≤ − ≤ − ≤ ≥ ≥ Tabela 2.13 Dados do problema.
−
−
−
−
Tabela 2.14 Dados conforme partição na iteração 1.
−
−
−
−
86
Pesquisa Operacional
6 ˆx B 4 4 ×+× cBx B c+ xB Bc+x B =B × +060404 (c B , c B , c B ) λ λ 1
1
1
cˆ1
= c−1
= −−1
cˆ2
= c−2
=−2−
T
(0
1
T
2
2
2
2
3
3
3
1 0= − 0) 1 −1
1 (0 −0 = 0−) ←1 1
1
2
xN = x2 2
0 cˆ2 = cˆN 2 = mínimo{cˆN j , j = 1, 2} = − 2 < − − 1 By = a 2 y = −1 1 x B = ˆx B − y ε xˆ B y1
εˆ = mínimo
1
,
xˆ B3 y3
xˆ B 6 4 = mínimo 1 , 1 = 4 = xB y3 3
3
εˆ xB3 f (x) = f (ˆx) + cˆ N k ˆ = 0 − 2 × 4 = − 8
Capítulo 2: Otimização linear
87
Tabela 2.15 Dados conforme partição na iteração 2.
−
−
−
−
−
2 xˆ B = 8 4
(cB , cB , cB ) = − λ λ − 1 cˆ = c− T=−− 1 −0 0 =−2← 1 3 1 1 1 ( ) −1 0 cˆ5 = c−5 =T−5 00−( 0= 2 ) 0 2 1 1
2
3
− − cˆ1 =c=ˆN mínimo c={ ˆN
j
1
1
88
Pesquisa Operacional
ε, ˆxB3 − y3 ε f ( x) = f (xˆ )+ cˆN =εˆ − − 8× =3 − 1 11 k
Tabela 2.16 Dados conforme partição na iteração 3.
−
−
−
−
−
1
xˆ B = 8
5 (cB1 ,cB2 , cB3 ) = − − λ λ − 32 − 12
1
cˆ3
cˆ5 1
= c−3
= c−5
=−3− 0 T
T=−5− 0
(− (−
3 2
3 2
0=
0=
1 2
) 0
0 0 1 2) 0 1
3 2
1 2
min {cˆN j , j = 1, 2} = 2 > 0 x1 1 x3 0 xˆ B = x4 = 8 xˆ N = = x5 0 x2 5
Capítulo 2: Otimização linear
89
x1 1 x2 5 ˆx = x3 = 0 x 8 4 x5 0
ˆx cˆN1 xN1 cˆN 2 xN 2 − 32 12 ≥ − ≥ ≥ −
Exemplo 2.27
− − ≤ − ≤ − ≤ ≥ ≥
Figura 2.38 Trajetória do método simplex para Exemplo 2.26.
90
Pesquisa Operacional
1 1 − 1 1 1 − 1
0
6
0
4
1
4
1 xˆB = 5 8 ˆx −
(cB1 , cB2 , cB3 ) = − − 1 − 1 1 − 1 λ 1 1 − 1 − 1 0 0 1 0 λ −
cˆ4
cˆ3
= c4 − T a 4 = 0
= c3 − Ta3 = 1
cˆ j ≥
x2 1 xˆ B = x1 = 5 x5 8
x1 5 x2 1 xˆ = x3 = 0 x4 0 x5 8
xˆ N
x 0 = 4 = x3 0
f ( x ) = − 6 + 0 x4 + x3 ≥ − ≥ ≥ − 6 xˆ B xBi = ˆxBi − yi − ε ε xB i
i
Capítulo 2: Otimização linear
91
Exemplo 2.28
− − − ≤ − ≤ ≥ ≥
1 0 4 4 xˆ B = 1 1 4 − 8 ˆx cB1 ˆxB1 + cB2 xˆ B2 = − 1 × 4 + 0 × 8 = −4 (cB1 ,cB2 )T − 1 0 −1 −1 λ λ 0 − 1 1 0 cˆ3 = c3 − T a 3 = 1 cˆ2 = c2 − T a 2 = − 1 ← − 1 0 − 1 −1 − 1 1 1 0 Tabela 2.17 Dados do problema do Exemplo 2.28.
−
− −
−
92
Pesquisa Operacional
Figura 2.39 Solução gráfica do Exemplo 2.28.
2.6.5* Considerações sobre implementações do método simplex
− − − −
Capítulo 2: Otimização linear
93
≤ ≥ ∈ ∈ ε cˆk −ε cˆk ε ≥ ε ∈ cˆ j ≥ cˆ j ≤ 2.7 MÉTODO SIMPLEX EM TABELAS*21
≥
Tabela 2.18 Coeficientes de um problema de otimização linear.
94
Pesquisa Operacional
− − ≤ − ≤ − ≤ ≥ ≥ − − − − − − − − − − ≥ ≥ − − − − Tabela 2.19 Tabela simplex inicial – Dados do problema.
−
−
−
−
Capítulo 2: Otimização linear
95
− − ≥ − ≥ − − ≥ − ≥ x2 ≤
b1 a12
≤
b3 a32
− ≥ x2 ≤ ≤ ≤
→ − ∞ ab121 , ab323 ab323 − − − − bi aik b b = mínimo{ abiki tal que aik > 0, i = 1 , ,m} ak a k ≤ → − ∞
96
Pesquisa Operacional
− − − − − − ≥ ≥ ≥ Tabela 2.20 Tabela simplex inicial – VB:x3, x4, x5.
−
− ↓
←
−
−
Tabela 2.21 Tabela simplex iteração 1– VB: x3, x4, x2.
− ↓
←
−
−
Capítulo 2: Otimização linear
97
ab111 = 22 − 32 32 − 1 12 2 − 12 1 2 ≥ O algoritmo simplex (em tabelas)
× ≥
Tabela 2.22 Tabela simplex iteração 2 – VB:x1, x4, x2.
3 2
3 2
1 2
1 2
1 2
1 2
98
Pesquisa Operacional
≥ ≤ b = mínimo { ab tal que aik > 0, i = 1, , m} a , k
i
k
ik
Exemplo 2.29
− − − ≤ − ≤ ≥ ≥ → − ∞
Tabela 2.23 Tabela simplex inicial – VB:x3, x4.
−↓
−
←
−
−
Tabela 2.24 Tabela simplex iteração 1 – VB:x1, x4.
−↓
−
Capítulo 2: Otimização linear
99
2.8 DETERMINAÇÃO DE UMA SOLUÇÃO BÁSICA FACTÍVEL INICIAL
≤ ≥ ≥ ≥ ≥
x B = x f = b ≥ 0 x N = x = 0 ≥ ≥ − − ≥ × ≥ 20!
C1020 = × 10!(20 − 10)!
10 0
Pesquisa Operacional
Método das duas fases
Ax ≤ b x≥0
Ax + x f
x ≥ 0, x f
=b ≥ 0
Ax + y
=b ≥ 0
x ≥ 0, y
Minimizar f a (x, y ) =
m
∑y
i
i =1
Ax +y =b x ≥0 y , 0≥ .
Exemplo 2.30 Minimizar f (x) = x1 − x2 + 2 x3 x1 + x2 +
x3
2x1 − x2 + 3 x3 xi
=3 ≤4
≥ 0, i = 1, 2,3
+x2 Minimizar f (x) = x− 1 x1 + x2 +
0 x4
=3
x3
2x1 − x+ 3+x3 2 xi
+2 x3 =x4
4
≥ 0, i = 1,..., 4
Minimizar f a (x1 ,..., x6 ) = x5 + x6 x1 + +x23
x+
2x1 − x+23 + 3x xi
= x5 +x4x4=
≥ 0, i = 1,..., 6
3 6
Capítulo 2: Otimização linear
10 1
Minimizar f a (x1 ,..., x5 ) = x5 x1 + x+23
x
+= x=4
2x1 − x+2 +3x3 xi
x5
3 4
≥ 0, i = 1,...,5
• • ˆx Axˆ = b
xˆ ≥ 0 ˆx ˆy = 0 Axˆ + yˆ
=b
xˆ ≥ 0, yˆ ≥ 0
f a (ˆx, ˆy ) = ≠ Exemplo 2.31
10 2
Pesquisa Operacional
= x5 x1 + x+23 x+ = 2x1 − x+2 +3 x3 x=4 xi ≥ 0, i = 1,...,5
Minimizar f a( x1,..., x5)
x5
3 4
B1 = 4 B2 = 5 N1 = 1 N 2 = 2 N 3 = 3 B = 0
1
1 0
N = 1
1 2 − 1
1 3
4 0 1 3 Bˆx B = b ˆx B = 3 1 0 4 0 1 0 B T = B 1 0 1 1 = 0 N1 = 1 cˆ1 = c1 − T a1 = −1 ← xN1 N 2 = 2 cˆ2 = c2 − T a 2 = −1 cˆ3 = c3 − T a3 = −1 0 1 1 By = a1 1 0 2 2 1 x Bi yi = min
B1 = 1
1 2
B=
B2 1 0
yi
x > 0 = min 4 , 3 = 2 = B1 xB1 2 1 y1
=5
N1 = 4 N 2 N
0 1 = 1 − 1
B1 = 1 B2
= 5
=2
1 3
N3
= 3
N1 = 4 N 2
=2
N3
= 3
1 1 3 2 Bxˆ B = b xˆ B = 2 0 4 1 1 2 0 B T = B 1 0 1 λ
1 − 1 2
Capítulo 2: Otimização linear
10 3
N1 = 4 cˆ4 = c4 − T a 4 = 12 N 2 = 2 cˆ2 = c2 − T a 2 = − 32 N 3 = 3 cˆ3 = c3 − T a 3 = 13
←
x N 2
− 12 1 1 1 By = a 2 y = 3 2 0 1 − 2 xB xB 1 xB2 y i > 0 = min 3 ; = 23 = ε = min y2 yi 2 B1 = 1 B2 = 2 N1 = 4 N 2 = 5 N 3 = 3 i
2
1 1 2 − 1 B=
Método do M−grande
− Exemplo 2.32 −
= x−1 +x22 + x31000 + = x5 3 2x1 − x+2 +3 x3 x=4 4 xi ≥ 0, i = 1, ..., 5 .
Minimizar f a( x,1..., )x5 x1 + x+23
x5
x
2.9 PROGRAMAÇÃO DE METAS
10 4
Pesquisa Operacional
Σ Σ Exemplo 2.33
201 201 ≥
Capítulo 2: Otimização linear
10 5
Tabela 2.25 Opções de investimento.
≥ ≥ ≥ ≥ 201 201 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
10 6
Pesquisa Operacional
≥ ≥ σ ≤ σ σ σ ≥ σ ≤ σ σ ≥
≥ ≥ σ − ≤ σ y3+ − y3− σ ≥ ≥ y3+ ≥ y3− ≥ σ σ −
Capítulo 2: Otimização linear +
10 7
−
ϕ y3 y3 ≥ σ − ≤ σ y3+ − y3− σ ≥ ≥ ≥ y3+ ≥ y3− ≥ w i = 1 Exemplo 2.34 ≥ ≤ ≤ ϕ ≥ 1 − ≤ 20 1 − ≤ 20 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
10 8
Pesquisa Operacional
Exemplo 2.35
ϕ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
ϕ ≥ 1 − ≤ 20 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ϕ ≥ 1 − ≤ 20 1 − ≤ 20 ≥
Capítulo 2: Otimização linear
10 9
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ϕ y3− − ε ε ε 2.10 DUALIDADE
11 0
Pesquisa Operacional
2.10.1 Relaxação lagrangiana e o problema dual ≥ ×
Exemplo 2.36
2
1
0
0 2 3
54 25 0 0 35 109 ≥ ≥ ≥
( ) 108 120
= 108 45 x1 + 52 x2 3 9 x + x = 120 5 2 10 3 ≥ ≥ ≥
Capítulo 2: Otimização linear
11 1
≥ × × ×
− − − − − λ λ λ λ λ λ λ λ λ ≥ − Definição 2.10
λ λ λ λ −
λ
λ λ − −λλ λ −λλ −λλ −λλ −λλ λ − λ − λ − λ λ ≥ λ λ ≥ − λ − λ − λ λ ≥ − λ ≥ − λ ≥ − λ λ Exemplo 2.37
λ
λ λ λ ≥ ≥ ≥ − 45 − 52 − 35 − 109
11 2
Pesquisa Operacional
λ λ − 54 λ − 52 λ − 35 λ − 109 λ λ λ ≥ ≥ ≥ ≥ − 45 λ ≥ − 25 λ − 53 λ ≥ − 109 λ λλ ≥ ≥ ≥ λ λ −∞ λ λ − 45 λ − ∞ λ −∞ λ 54 λ 56 − 54 λ − 52 λ − 53 λ λ − 109 λ 14 λ λ − ∞ λ 54 λ 56 λ λ λ λ ∈ ∈ ∈ ⊇ ∈ ≤ ∈ ⊇
∈ ≥ ⊇ ∈ ≥ λ ≥ λ − ≤ ≥ λ − − ≥ ≤ ≥
Figura 2.40 Soluções ótimas em S e R.
Capítulo 2: Otimização linear
11 3
Propriedade 2.5 λλ∈ ≥ λ ≤
λ λ Definição 2.11
λ λλ∈ λ λ λ
λ ≤
λ − − λ ≥ − λ − ∞ − λ λ − ∞ − ∞ λ − λ ≥ ≥ − λ − λ − λ − λ − λ ≥ − λ ≥ − λ ≥
λ − λ ≥ λ λ λ ≤ λ ≤ λ ≤ ⇔ λ λ λ ≤ ⇔ λ ≤ λ ≤ Exemplo 2.38 λ
λ
λ ≤
45 λ1 + 0λ 2 ≤ 1 2 3 ⇔ 5 λ1 + 5 λ 2 ≤ 1 9 0λ1 + 10 λ 2 ≤ 1.
11 4
Pesquisa Operacional
λ ≤ λ λ λ λ λ λ λ Propriedade 2.6
≥
λλ≤λ
Definição 2.12 λ ≤
λ Exemplo 2.39
= 108 λ1 +120 λ 2 45 λ1 + 0λ 2 ≤ 1 2 3 05 λλ1 ++ 59 λλ2 ≤≤11 1 10 2
Maximizar g( )
µ = 108 λ1 +120 λ 2 45 λ1 + 0λ 2 + µ1 = 1 2 λ + 3 λ + µ =1 5 1 5 2 2 0λ + 9 λ + µ = 1 1 2 3 10 µ1 ≥ 0, µ 2 ≥ 0, µ3 ≥ 0
Maximizar g( )
λ λ µ µ µ λ µ µ λ λ µ *1 = 54 *2 = 56 λ × 5 × 56 4 λ
Capítulo 2: Otimização linear
11 5
Figura 2.41 Resolução gráfica do problema dual.
≥ ≥ ≥
Propriedade 2.7
λ λ − λ− λ ≥ λ− ≥ − λ − λ λ− λ − λ− µ λ ≥ λ− ≥ µ ≥ µ − − − ≤ −
≤ − − ≤ ≤
11 6
Pesquisa Operacional
− ≤ −
≥
≤ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ λ λ λ λ λ λ λ λ ⇔ λ λ ≤ λ λ ≤ λ λ ≤ λ λ ≤ λ λ ≤ λ ≤ ≤ λ ≤ ≥ ⇔ ≥ − ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
Capítulo 2: Otimização linear
11 7
λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ≤ ⇔ λ λ ≤ λ λ ≤ λ λ ≤ λ − λ ≤ λ ≥ ≥ λ ≥ ≤ λ ≤ ≥ λ ≥ λ ≤ ⇔ − − − − ≤ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ λ λ λ λ λ λ ≤ − λ λ ≤ − λ ≤ − ≤ ≥ λ ← − λ ← − − λ λ −λ −λ ⇔ λ λ λ λ −λ −λ ≥ λ λ ≥ −λ −λ ≥ λ λ ≥ −λ ≥ λ ≥ ≤ λ ≥ λ Resumo da seção
11 8
Pesquisa Operacional
λ λ λ ≤ ≥ λ ≤ λ ≤ λ ≤ ≥ λ ≥ ≥ ≤
Tabela 2.26 Regras para construção do problema dual.
≤ ≥
≥ ≤
≤ ≥
≤ ≥
Capítulo 2: Otimização linear
11 9
Exemplo 2.40
− ≤ ≤ − ≤ ≥ ≥ λ λ λ λ −λ λ λ ≤ ≥ λ λ − λ ≤ λ ≤ λ ≤ λ ≤ ≤
− ≤ ≤ − ≤ ≥ ≥ λ λ λ λ −λ λ λ ≥ ≥ λ λ −λ ≥ λ ≥ λ ≥ λ ≥ ≤
− ≥ ≤ ≥ ≤ λ λ λ −λ λ ≥ ≥ λ λ λ ≤ λ ≤ λ ≥
≤ ≥ ≤
12 0
Pesquisa Operacional
2.10.2 Relações primais-duais
∈ ≥ λ λ∈ λ ≤ λ ≤ ∀ λλ∈ ∀ ∈ ≠ ∅ ∅ ∅ ≠ ∅ Propriedade 2.8 ≠ ∅
∅ → −∞ Exemplo 2.41
λ λ λ − ≤ −λ λ ≥ − ≤ λ −λ ≥ λ ≥ λ ≥ ≥ ≥ ≠ ∅ → ∞ ∅
→ −∞ ∅ λλ∈ λ
Figura 2.42 (a) Primal sem solução ótima, (b) Dual infactível.
Capítulo 2: Otimização linear
12 1
→ −∞ → −∞ ∅ Propriedade 2.9 ≠ ∅
∅ λ → ∞ ≠ ∅ ≠ ∅ ∅ ∅ Exemplo 2.42
− ∅ ≥ λ λ λ ≤ − ∅
Propriedade 2.10
≠ ∅ − ∞ ≠ ∅ ∅ → − ∞ − ∞ ≠ ∅ ≠ ∅ λ ∞ ≠ ∅ λ → ∞, ∅ Propriedade 2.11 ∈ λ∈ λ
λ λ λ ≤ λλ∈ ∈ ∈ λ
12 2
Pesquisa Operacional
∈ λλ∈ λ λ λ − λ − λ a1T ≤ c1 a1T + µ1 = c1 T a ≤ c2 ⇔ aT2 + µ2 = c2 λ ≤ ⇔ 2 aTn ≤ cn aTn + µn = cn µ1 ≥ 0, µ2 ≥ 0, , µn ≥ 0. T
T
a j = j −λλ −λ λ −λλ −λλ −λλ ⇔ − λ − λ − λ ⇔ µ µ µ µ − T j ≥ ≥ µ µ µ Propriedade 2.12 ∈ λλ∈
≥ λ µ µ ≥
λ
µ ≥ µ ≥
Exemplo 2.43 Minimizar f ( x) = x1 + x2 + x3
4 5
x1 + x2
= 108
2 5
3 5
x2 + 109 x3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3
= 120
≥ 0,
= 108 λ1 +120 λ 2 45 λ1 + 0λ 2 + µ1 = 1
Maximizar g( )
25 λ1 + 35 λ 2 + µ 2 = 1 0 λ + 9 λ + µ = 1 3 1 10 2 µ1 ≥ 0, µ 2 ≥ 0, µ3 ≥ 0.
Capítulo 2: Otimização linear
12 3
µ µ µ µ µ 4 λ µ 5 2 λ 53 λ µ 5 λ 54 λ 56 109 λ ≤ µ 14 λ 54 λ 56 λ λ × 54 × 56 µ − λ µ − λ λ λ λ Propriedade 2.13 ∈ λ∈
λ Propriedade 2.14
Exemplo 2.44 Minimizar f ( x) = x1 + x2 + x3
= 108 54 x1 + 52 x2 3 9 x + x 5 2 10 3 = 120 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 xB
= x1 = 108 , x 2 200
xN
= (x3) (= )0
12 4
Pesquisa Operacional
5 − 56 (54 56 ) 5 0 3 λ cTB B −1 λ λ cTB B −1 cTB xB + cTN x N
λ cBB −1 4
λ cTBB −1 T B = c TB ⇔ λ λ λ ≥ λ ≤ λ cBB −1 Resumo da seção
λ λ → −∞ λ → ∞ λ − 2.10.3 Análise de sensibilidade (pós-otimização)
Perturbação no vetor de recursos
≥
Capítulo 2: Otimização linear
12 5
λΤ c TB B −1 cTB c TB B −1 λ λ λ λ λ ∂F (b) λ ∂bi λ λ λ λ δ δ λ δ λ λ δ λ δ λ Exemplo 2.45 Minimizar f ( x) = x + x + x 1 2 3
4 5
x1 + x2 2 5
3 5
x2 + 109 x3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3
= 108 = 120
≥0
Maximizar g( )
= 108 λ1 +120 λ 2 λ1 + 0λ 2 + µ1 = 1 2 λ + 3 λ + µ =1 5 1 5 2 2 0λ + 9 λ + µ = 1 3 1 10 2 µ1 ≥ 0, µ2 ≥ 0, µ3 ≥ 0 4 5
λ (5 5 ) 6 4 δ 54 δ δ 56 δ 3 54 2
12 6
Pesquisa Operacional
δ δ 5 − 5 B −1 4 5 6 0 3 35 54 − 56 0 35 − 56 2 −1 −1 B x B′ = B (+ b ) 200 + 0 53 2 200 + 53 2 = + x1′ = 35 − 56 δ 2 ≥ x ′2 = 200 + 53 δ 2 ≥ − ≤ δ ≤ δ δ x1′ x′2 x3′ ′ δ x1′ δ − δ ∆ ∆ δ x′ 1 δ = ( 54 56 )T 25 0 B = [a 2 a 3 ] = 3 9 5 10
Figura 2.43 Representação da variação do vetor de recursos no espaço dual.
Capítulo 2: Otimização linear
12 7
λ′ ( 56 ) δ 109 109 ∆ δ − δ − ∆ λ → ∞ δ δ 10 T 9
[bi + i bi + i ] i e i δ δ 2 = − 120 , 2 = 42 λ 56 Perturbação nos custos
ck′ δ T = c TB B −1 cˆk cˆk′ = c′k − Ta k δ − λ cˆk δ
Figura 2.44 Mudança na função objetivo com a alteração de b2.
12 8
Pesquisa Operacional
δ cˆ′k cˆk δ ≥ cˆk′ cˆk δ cˆk ≥ δ δ − cˆk Exemplo 2.46
≥ ≥ ≥ 25 λ1 4 xluxo 1500 10 8 0 0 1 1 1 0 λ 0 xbasico 1250 = λ 2 = 75 1 0 0 0 λ3 2 x2 1750 0 1 0 1 λ 0 x 4750 4 4 ≥ ≥ ≥
Capítulo 2: Otimização linear
12 9
16 1 25 75 − λ − ( 4 0 2 0) 0 − ≥ 0 ≥ ≥
xBr c′Br = cBr + ′T = c′BT B −1 c TB B −1 + δe Tr B −1 λ δ e Tr B −1 , × cˆ ′j = c j − ′ T a j c j − ( T + δTr –1 ) j (c j − T a j ) − δe Tr B −1a j cˆ j − δe Tr y j yj
e Tr y j cˆ′j cˆ j − yrj
2.10.4* O método dual simplex
13 0
Pesquisa Operacional
λ λ λ − λ λ ≤ λ λ ≤ λ − λ ≤ − λ ≤ aTj ≤ c j + − − − ≥ ≥ ≥ ≥
T λ λ a 2 = c2 λ − λ aT3 = c3 * * 5 4 λ1 = 3 , λ 2 = 3 g ( * ) = b T * = 2λ1* + λ*2 = 2 × 53 + 43 = 143
1 2 x2 2 1 −1 x = 1 3 *
*
x2 = 34 x3 = 13 x1* = x*4 = 0, 2 x1* + 3 x2* + 2 x3* + x4* 2 × 0+ ×3 +43 ×2+ 13× =1 0 143 λ
Figura 2.45 Solução gráfica do problema dual.
Capítulo 2: Otimização linear
13 1
λ λ aT2 = c2 λ − λ aT3 = c3 λ − 1 T ˆ = (B ) c B ˆ aTi ˆ = ci −λ λ a1T = c1 λ λ aT2 = c2 ˆ1 = 43 , ˆ 2 = 53 g ( ˆ ) = b T ˆ = 2λˆ1 + λˆ3 = 2 × 43 + 53 = 133
−1 1 x1 2 2 1 x = 1 2
xˆ1 = − 13 , xˆ 2 = 53 ˆx B = B −1b ≥/
Figura 2.46 O vetor b como combinação positiva dos gradientes das restrições ativas.
13 2
Pesquisa Operacional
ˆ λ ˆ η η η ˆ ˆ η λ ˆ δη η δ ≥ η η ˆ
Figura 2.47 O vetor b não é combinação positiva dos gradientes das restrições ativas.
Figura 2.48 Direção dual simplex e solução perturbada.
Capítulo 2: Otimização linear
13 3
a1T = c1 − δ , δ ≥ 0, T a 2 = c2 . a1T c1 T = − a 2 c2 0 λ − δ
λ − − δ − ˆ δη
η − η −− − − η −− η −
− 13 − 1 1 − 2 2 1 3 − × − B = [a1
a2 ]=
1 3 1 3
1 − 2 η 31 η 13 − 3 − 3 Propriedade 2.15
η −− η − xˆ Bi
ˆx B − η
η −− −− − ˆx TB
− xˆ B i
13 1 == − xˆ B − 13 3 λ ˆ δη δ ≥ ˆ λ δη ˆ δη ˆ δ η ˆ − δ xˆ B b
T
1
=(2
1)
1
1
ˆ 13 ˆx1 = − 1 3 3 λ ˆ − δ xB1 133 + 13 δ ˆ η η − xB1
13 4
Pesquisa Operacional
ˆ xˆ B − ˆ xˆ B ˆxB ˆ − − − ˆxB ˆ λ ˆ δ δ
B T ≤ B ← restrições básicas ⇔ N T ≤ ← restrições não-básicas N ˆ λ ≤
T Definição 2.13 B = c B
ˆ = (B −1 ) T c B ˆ T = c TB B −1 N T ˆ ≤ c N ˆ [a N a N a N ] (cB cB cB )T (cN cN cN )T 1
2
n-m
1
2
1
m
2
n-m
ˆ T = c TB B −1 cˆN = cN − ˆ T N T ˆ Tˆ a ≤ c − N ≤ cN Nj Nj T Nj Nj N j cˆ = c − ˆ a ≥ 0 − j
j
j
cˆN j = cN j − ˆ Ta N j < 0 ˆx B − ≥ T a N ≤ cN j
j
13 5
Capítulo 2: Otimização linear
ˆx B − ˆxB ˆ
Propriedade 2.16
ˆ = (B −1 ) T c B ˆx B − ≥ ˆ ˆx B ˆ = (B −1 ) T c B a TB ˆ = cB , i = 1,...,m a TN ˆ ≤ cN ,j = 1,..., n m − ˆx B − ≥/ xB ˆx B ≥ ˆ i
j
i
j
Estratégia dual simplex (considere xˆB < 0):
aTB = cB − δ , δ ≥ T a B = cB i = 1,, m, i ≠
i
i
δ a TB = cB −
cB δ ≥ λ − δ e e λ − − δ − e −− e λ ˆ δ − e
ˆ
ˆ
ˆ
λ ˆ δ δ δ − δ xˆ B − xB δ δ
13 6
Pesquisa Operacional
Figura 2.49 Variação da função objetivo dual com a estratégia dual simplex.
Tamanho do passo
λ ≤ λ − δ ≤ δ ≥ δ λ ≤
T
≤ cN −
aN j
j
≤ c N ⇔ (ˆ + δ ) T a N ≤ c N ⇔ ˆ T a N + δ T a N ≤ c N ˆ ˆ T a N ≤ c N T a N ≤ − δ ≥ Ta N j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
T N δ c N − ˆ T a N cˆ N δ≤ = T T j
j
j
j
a N j
a N j
cˆN xN δ cˆ N cˆ N δˆ = = mínimo tal que T a N > 0 j n m T 1 ,..., T = − a N a N ˆ ′ = ˆ + ˆ a TB ′ = c B − δˆ j
j
j
k
j
k
j
aTN ′ = cN T mi a B ′ = cB i, = 1, ..., k
i
k
i
,
≠
Capítulo 2: Otimização linear
13 7
′ = ˆ + δˆ a TB cB a T ′ = c ← N N T a B cB 1
k
m
1
k
m
(B ′ )T
cB′
a B a N cB c N
k
k
cB c B′ = cN c B
← -ésimo componente B ] B ′a= [ B a aN ↑ − ésimacoluna ′ λ′ ′ ′ ′ ′ a N 1
1
k
m
k
m
k
a B ′ = ˆ + δˆ ˆ λ′ ˆ − δˆxˆ B ≥ ˆ ˆ ′ ′ ′ ≥/
2.10.5* O algoritmo dual simplex
13 8
Pesquisa Operacional
ˆ =
−1
T B
(oue quivalentemente, resolva o sistema: T ˆ cˆ N j = c N j − a N j j = 1, ..., n − m
T
=
B
)
ˆx B = B −1b xˆ ˆ B = mínimo{x B , i = 1, ..., m} xˆ B ≥ 1 = −(B − ) T e B T = − e T a N ≤ − cˆ N cˆ N = mínimo tal que T a N > 0 δˆ = T T j =1,..., n − m a N a N xN
i
j
j
k
j
k
j
k
[a B ,a ,Ba− a, N Ba+ ,] B [a N a, N,a− a , B Na+ , ] 1
1
1
k
k 1
1
m
k
1m n
N −
Exemplo 2.47
x1 + x2
+ x2 − x3 =4 +3 x2 − x4 = 3 x1234 ≥ 0, ≥ ≥x ≥ 0, x 0, x 0
2 x1
2 x1
x1
x1
+ x2 ≥ 4 + 3 x2 ≥ 3 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
λ
4 1 + 3 2
+ λ2 ≤ 1 + 3λ 2 ≤ 1 λ1 ≥ 0, λ 2 ≥ 0
2λ1
λ1
x1 + x2
Capítulo 2: Otimização linear
13 9
λ −λ ≤ −λ ≤
− 1
0
0 − 1
2
1
1 3
λ ˆ cˆ1 = − c1 = ˆ−T 1 1
2 (0= 0) 1
1
cˆ2 = c−2 = ˆ−T 2 1
1 (0= 0) 3
1
xˆ B = x3 −4 x4 −3
xB1 = 1 B T 1 = − e 1
1 0
1 =
T a N − j
1T
a 1 = (1
T
cˆ δˆ = T1 1 a1
2 0) = 2 1 1
1 0
1
) 3 = = mínimo { 12 , 11 } =
1
1
=(
1 2
xN1
14 0
Pesquisa Operacional
2
0
− 1
1 − 1
1
0
3
2
1
1
λ 0 − 1 0 ˆ 12
=ˆ−T 3
cˆ3 = −c3
0
cˆ2 = c−2 = ˆ−T 2 1
−1 ( 12 = 0) 0 1 1 ( 2= 0) 3
1 2
1 2
2 0 4 x 2 1 − 1 3 xˆ B = 1 x4 −1
xB 2 = 2 B T 2
2
1
0
− = − e 2 0 − 1 − 1 2 = 12 1
T a N − j
T2 a 3 = ( − 12 T2 a 2 = ( − 12 cˆ δˆ = T 2
2 a2
= mínimo
1 2 1 2
,
1 2 5 2
1 =5
−1 1 = 0 2
1)
1 5 = 3 2
1)
x N 2
2
1
1 3
− 1 0 − 1
0
2
1 1
λ 1 3 1 ˆ 25
1 5
Capítulo 2: Otimização linear
cˆ3 = − c3
=ˆ−T3
0
cˆ4 = − c4
=ˆ−T 4
0
−1 0 ( 52 = 15 ) −1
( 52 = 15 ) 0
14 1
2 5
1 5
2
1 4
xˆ =
x1
95
B 1 3 3 x2 52
x1* 95 x* 2 2* = 5 x3 0 x* 0 4
x1*
+
x*2
λ1* 25 λ * = 1 5 2
95 + 52 = 115
λ
4 *1
+ 3 *2 4 × 52 + 3 × 15 = 115
Figura 2.50 A trajetória do método dual simplex.
14 2
Pesquisa Operacional
λ λ 12 λ 25 15
2.10.6* Reotimização após a inclusão de novas restrições
λ λ λ ≤ ≥ ˆxB − ˆx N ˆ − ˆx B ≥ T T cˆ N = c N − N ˆ ≥ N ˆ ≤ N ˆ f (ˆx) = g ( ) ≤ ν λ λ λ νλ λ λ ≤ ν λ λ ≤ ≥ ≥ λ × ˆ λ ˆ ˆ ≤ λ ˆ ˆ λ ˆ ˆ
BT 0
uB
1
c B λ = 0 m +1
Capítulo 2: Otimização linear
14 3
Figura 2.51 Inclusão de restrição adicional.
u TB uTN u TB λ
B u B
0 x B
1 x n +1
b = v
ˆx B = B −1b ˆxn +1 = v − u TB ˆx B
ˆx B ≥ xˆ n +1 = v − u TBˆxB ≥ ˆx N ˆxB ˆx N u TB ˆxB + u TN ˆx N ≤ v f (xˆ , xm+1 ) = g (ˆ , λˆ m +1 ) xˆ n +1 u TB ˆx B + u TN ˆx N > v Exemplo 2.48
− − − ≤ − ≤ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
14 4
Pesquisa Operacional
7 − 5 1 0 0 1 2 7 − 5 13 111 29 3 2 17 xˆ B 80 29 3
λ
7 −5
3 2
−5 ˆ − 1329 − 18 1 29
1 T cˆ3 = c3 − ˆ a3 = 0 − (− 1329 − 1829 ) 0 = 1329 0 T cˆ4 = c4 − ˆ a 4 = 0 − (− 1329 − 1829 ) 1 = 1829 x1 ≤ 3 ≤ u TB uTN − − ← ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
Figura 2.52 Inclusão de restrição adicional x1 ≤ 3.
Capítulo 2: Otimização linear
14 5
B u B
7 − 5 = 3 2 1 1 0 0
0
1 0
x 111 xˆ B 1 8029 = x2 29 ˆx B xn+1 24 − 29 x5 − (ˆ T 0) = (− 1329 − 1829 0) ˆ λ 7 − 5 0 1 0 B= 3 2 0 N= 0 1 1 0 1 0 0 ( ˆ T 0) = ( − 13 − 1829 0) 29 cˆ3 = c−3
ˆ=T −−3 − 0
(
13 29
=1829
cˆ4 = c−4
ˆ=T −−4 − 0
(
13 29
=1829
1 0 ) 0
0 0 0 ) 1 0
13 29
18 29
x1 111 29 8029 xˆ B = x2 24 x5 − 29 xB3 = 3
7 3 1 0 292 B = − e [B − e ]= − 5 2 0 0 = 295 0 0 1 − 1 −1 T a N − T
T
j
14 6
Pesquisa Operacional
cˆ δˆ = T 4
3 a 4
T3 a 3 = ( 292
5 29
1 −1) 0 = 292 0
3T a 4 = ( 292
5 29
0 −1) 1 = 295 0
1329 1829 18 = mínimo =5 2 , 5 j =1,..., n − m 29 29
x N 2
7 − 5 2 1 0
0
1 0
0
B= 3
0
1
N= 0 0
1
7
3 1 − 5
λ − 5 2 0 1 ˆ T 0
1 0 0
= ( − 15
0
− 185 )
1
cˆ3 = c−3
ˆ=T−−3
0
(
1 5
=0
18 5
) 0
1 5
0 0
cˆ5 = c−5
ˆ=T −−5 0
(−
1 5
0=
18 5
) 0
18 5
1
7 − 5 0 13 x1 3 3 2 1 17 xˆ B = x2 85 24 1 0 0 3 x4 5
2.11 OTIMIZAÇÃO LINEAR EM TEORIA DE JOGOS
Capítulo 2: Otimização linear
14 7
− Exemplo 2.49
− − − − − − − −
14 8
Pesquisa Operacional
Tabela 2.27 Fatia de mercado que as empresasA e B esperam ganhar ou perder.
−
−
−
−
−
−
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − max ( x , x , x ) − − − − − − − − 1
2
3
− − − − − − min ( y , y , y ) − − − − − − 1
2
3
Capítulo 2: Otimização linear
14 9
− − −
* x1* x2* xm
∑
{
Max ( x1 , x2 ,...,xm ) M in{
axi 1 i ,
∑ax
m
i =1
≥
z = min {∑ i =1 aii1 x , m
m i =1
∑
z≤
m
i ii=1
∑
a 2 x, ..., m i =1
ai1xi
ini
∑
m i =1
z≤
a x
∑
m i =1
,..., ax
i2 i
∑
m i =1
}in
i
}
}
ai 2 xi
z ≤
∑
m
i =1
ain xi
∑ ∑
m
≥z a x ≥z i =1 i 2 i i =1 m
ai1 xi
m
∑
i =1
ain xi
z
≥ ≥ y1* y2* yn*
{ {∑
Min ( y1 , y2 ,...,yn ) Max
n j =1
ay1j
j
∑
n
, ayj =1
2j
,..., j ay
∑
n j =1
mj
≥ w
∑ ∑
∑
n
a yj
≤w
a2 j y j
≤w
amj y j
≤w
j =1 1 j n j =1
n j =1
≥ w
j
}}
15 0
Pesquisa Operacional
w Exemplo 2.49(continuação)
z ≥ z ≥ z ≥ z ≥
w
≤ w ≤ w ≤ w ≥ w − x1* x2* x3* y1* y2* y3* z * − m n z * = i =1 j =1 aij xi* y*j xi* y *j
∑ ∑
2.12 EXERCÍCIOS31 Exercício 2.1
bimin bimax Exercício 2.2
Capítulo 2: Otimização linear
15 1
b × min i
Exercício 2.3
Exercício 2.4
bikmin bikmax Exercício 2.5
Exercício 2.6
∪ ∪ Tabela 2.28 Composição dos ingredientes.
15 2
Pesquisa Operacional
Tabela 2.29 Composição da liga 2.
j1
∑ x j j =1 Exercício 2.7
−− −− −− −− ≤ Exercício 2.8
Capítulo 2: Otimização linear
15 3
Exercício 2.9
Tabela 2.30 Composição de um filtro.
−
−
−
−
−
−
15 4
Pesquisa Operacional
Tabela 2.31 Composição das areias disponíveis
Exercício 2.10
Exercício 2.11*
Capítulo 2: Otimização linear
15 5
Figura 2.53 Lançamento de esgoto em um rio.
Exercício 2.12
Exercício 2.13
Exercício 2.14
τ − τ τ τ ±
Exercício 2.15
15 6
Pesquisa Operacional m
∑ pi ai1 x1 i =1 m m L − ∑ i a i1 s L − ∑ i ai1 x1 i =1 i =1 Exercício 2.16
− −
− − − − − − ≥ Exercício 2.17
Exercício 2.18
≤ ≤ ≥ ≥
Capítulo 2: Otimização linear
15 7
x ′ x1′ x′2 x ′′ x1′′ x′2
− − δ − δ −
δ δ
Exercício 2.19
≥ ≤ ≥ ≥
≤
δ δ ≥ δ
δ δ
Exercício 2.20
Exercício 2.21
Exercício 2.22
15 8
Pesquisa Operacional
Exercício 2.23
Exercício 2.24
− − ≤ − ≤ ≤ ≥ ≥ λ − cˆ3 =1 cˆ5 = 0 cˆ3 cˆ5 ε ≥ x B = ˆx B − y − ε − ε − ε ε xˆ 4 −
Exercício 2.25 × a B a B − a B a B + a B 1
1
1
m
1
1
′ a B a B − a N a B + a B B ′− B ′− − − B ′ − B ′ − − a Bi 1 y1 0 −1
B B′
= B −1a B
1
k
1
m
= 0 y 0 y m 1 0
B −1a N k B −1a Bm =y
E
y y y = − η T a N k
Capítulo 2: Otimização linear
15 9
1 − 0 −1 1 E = 0 y 0 0 − y 1 y − y1 y
m
1 −1 − ⇔ E− B B ′ − −− (B ′ ) − − − 1
− v 1 − yy v 1 −− y v y v m − y v B ′− i ≠ − − yy − − − 1
m
i
Exercício 2.26 B ′ a B
a N B′− −− −− − B ′ xˆ B′ B ′− ( ′ )T = BT ′ ( ′) −1 B ′− −− − ˆx B − xˆ B − y xˆ B′ 1 − yy 0 xˆ B xˆ B − y xˆ B xˆ B′ xˆ B y1 xˆ B 1 0 y 0 ˆ 0 − y 1 xˆ ˆ y x ˆ x − x y B B y B B′ ˆx B ˆx B k
1
1
1
1
1
m
m
m
m
m
16 0
Pesquisa Operacional
( ′) T = c TB′ (B ′) −1 B ′ − T c ′ = (c B c N c B ) v 1 − yy v y c B ( v i − y v ) y1 c N v ± c B v ( ′) T = c TB′ (B ′) −1 (c B c N c B ) y1 v i ≠ v m − yy v m 1
B
k
m
1
1
k
m
∑
i
i
k
m
m
v
i∑=1 cBi v i (− i =1 c B y i + c N ) y m
T
∑
i
= c TB B −1 = ∑ c B v i i =1
i
k
m
cˆ N k
B −1 a N = c N − ∑ c B y = c N − cTB i k
k
k
i
i =1
cˆ N k
v ( ′) T λ y v = − v1
xˆB1
y1
v1′
v
xˆB
y
v ′
0 xˆ B ' 1
vTm
xˆBm fˆ
→
ym
− cˆN
k
xˆ B '1
v ′mT xˆ B 'm 0 ′ f′ 0
f ( x′)
f′
=
f ( xˆ )
fˆ
+ cN εˆ
k xˆB y
f ′ = fˆ +
cˆ N k y
xˆ B
− − → ← − − 0 1 0 − 1 2 − 0 1 1 xˆ B = 8 = 0 f (xˆ ) = − 8 0 0 1 4 −2
Capítulo 2: Otimização linear
16 1
xˆ B λ Exercício 2.27 ≥ λ
−λλ ≥ λ λ ≥≤
−λλλ ≥≤ −λ −λλ
≥ −λλ ≤ ≤ −λλ ≥ −λλ
Exercício 2.28
− − − ≥ − ≥ ≥ ≥ Exercício 2.29
− ≥ − ≥ ≥ ≥ Exercício 2.30
λ 54 λ 56 Exercício 2.31
16 2
Pesquisa Operacional
Exercício 2.32
Exercício 2.33 ≥
≥ ≥ λ
Otimização discreta
3.1 INTRODUÇÃO
z = max cx + dy Ax +Dy ≤b x ∈ R+n , y ∈ Z +p A (m × n) D (m × p) c (1× n) d (1× p) b ( m ×1) (n × 1) ( p ×1) R+n n Z +p p
( PIM )
z = max cx
( PI )
Ax ≤ b x ∈ Z +n
16 3
16 4
Pesquisa Operacional
z = max cx Ax ≤ b
( PB)
x ∈ Bn
B n N = {1, ..., n} j ∈ N
min
j ∈S ∑
cj : S
∈ F
Exemplo 3.1 ( PI )
z = max 10 x1 + 6 x2 9 x1 + 5 x2 45 ≤ -4x1 + 5 x2 ≤ 5 x ∈ Z +2
Figura 3.1 Conjunto de soluções factíveis do Exemplo 3.1.
Capítulo 3: Otimização discreta
16 5
x = (5,0 ) z = 50 Exemplo 3.2 z = max 2 x1 + 3 x2 6 x1 + 8 x2 10 ≤
( PB)
x ∈ B2
x= (0,1), z = 3
Exemplo 3.3 z = max 10 x1 + 6 x2 9 x1 + 5 x2 45 ≤ -4x1 + 5 x2 ≤ 5
( PIM )
x1 ∈ R+1 , x2 ∈ Z +1
4 9
1 4
8 9
X1 = {( x1 , 0), 0 ≤ x1 ≤ 5} X 2 = {( x1,1), 0 ≤ x1 ≤ 4 } X 3 = {( x1 , 2), 1 ≤ x1 ≤ 3} X4
1 1 = {( x1,3), 2 ≤ x1 ≤ 3} x = (3 2
3
1
,3),
3
z = 51
1
3
3.2 RELAXAÇÃO LINEAR
x ∈ R+2
Figura 3.2 Conjunto de soluções factíveis do Exemplo 3.3.
16 6
Pesquisa Operacional
Exemplo 3.4 z
( PL)
= max 10 x1 + 6 x2 9 x1 + 5 x2 45 ≤ –4x1 + 5 x2 ≤ 5 x ∈ R+2
R+2 PI x = 3 1 ,3 6 13 13 z = 51 7 x x = (5,0) 13 X PI , XPIM , XPL Z +n ⊂ R+n X PI ⊂ XPL X PIM ⊂ XPL z z PI 7 PIM z = 51 PI PIM 1
13
51 3 z
( PLB )
= max 2 x1 + 3 x2 6 x1 + 8 x2 10 ≤ 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2
Figura 3.3 Conjunto de soluções factíveis do Exemplo 3.4.
Capítulo 3: Otimização discreta
PLB 2 z = 3 3
1 x = ( , 1) 3
16 7
3.3 MODELAGEM COM VARIÁVEIS BINÁRIAS
1 se o evento ocorre x= 0 se o evento não ocorre 3.3.1 Implicações “se – então”
s cx K ( x) = + 0
x >0 se se x = 0
y = 0 x = 0 x > 0 y = 1 K
= sy +cx x ≤ My
Figura 3.4 Função com custo fixo.
16 8
Pesquisa Operacional
1 se x1 >0 y= 0 caso contrário
x1 ≤ My
x2
≥ my
m f ( x1 , x2 ,..., x)n 0 > n 1 2 gx( x , ,..., x ) 0 x1 , x2 , ..., xn f ≤ M ≥ −g ≤ M
− g x( x1 , 2 , ..., x )nMy≤ f ( x1 , x2 ,..., ) xn ≤ (1 M
−) y
f > 0 y = 0 g ≥ 0 Exemplo 3.5
1 se o item i é processado na máquina k = 0 caso contrário x1k = 1 x2 k = x3k = x4 k = 0 x1k > 0 x2 k + x3k + x4 k ≤ 0 − x2−k − x3k ≥x4 k 0 xik
x2 k
+ x3k + x4 k ≤ 3 y x1k ≤ 3(1 − y )
x 2 k + x3 k + x4 k
Capítulo 3: Otimização discreta
16 9
3.3.2 Restrição ativada ou desativada
f ( x1 , x2 ,..., x)n ≤0
f ( x1 , x2 ,..., x)n
≤ M(1 − )y
f ( x1 , x2 ,..., xn) 3.3.3 Restrições disjuntivas
f ( x1 , x2 ,..., x)n ≤0
g x( x1 , 2 ,..., x )n ≤0 f ( x1 , x2 ,..., x)n
≤ M(1 − )y
g x( x1 ,
x 2 ,...,
≤
n)My
Exemplo 3.6 4 x1 + 2 x2 ≤ 80 2 x1 + 5 x2 ≤ 100 x1 , x2 ≥ 0 4 x1 + 2 x2 = 80 4 x1 + 2 x2 = 200
Figura 3.5 Exemplo de restrições disjuntivas.
17 0
Pesquisa Operacional
2 x1 + 5 x2 = 100 2 x1 + 5 x2 = 200 max{120,100} = 120 4 x1 + 2≤x2 +80 −120(1 y ) 2 x1 + 5 x2 ≤ 100 + 120 y
3.3.4 Representação de função linear por partes
f ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) + f3 ( x) f1 ()x , f 2 ()x , f 3 ()x (2,10),(6,14) e (10,22) 0 ≤ x ≤ 10, x = λ0+ 1 +λ 26+2 λ
+++ = λ λ 2
≥
3 λ 10λ 41,λ
3λ λ λ4 λ
1,
1, 2 , 3 , 4
0
f ( x ) = λ0+ 1 λ +10 +2λ 14 λ3 λ+ 22 + +λ=41, λ λ
2
λλ3≥λ λ 4
1,
1, 2 , 3 , 4
0
λi e λi +1, i =1, 2, 3 yi yi = 1 ai ≤ x ≤ ai +1 yi = 0 a1234 = a0, = = =a a2, 6, 10 λi y≤ λ 1 , y≤y2+ λ
y≤y + y≤ 2 , λ 32 y1 + y2 + y3 = 1
1
3,
43
3.3.5 Relações lógicas
Figura 3.6 Função linear por partes.
Capítulo 3: Otimização discreta
17 1
xj
1 = 0
se o investimento j é selecionado caso contrário
x12345 + x+ + +x ≤ x
x
3
x
1
x12345x
x
x
+= +++ x1 + x2
≥1
x2
≤ x1
x2 + x3 + x4
≤ 3x1
x2 ≤ x1 x3 ≤ x1 x4 ≤ x1
X B X1 = {+x2 +x3≤ x4 3≤x1≤ ,0 = xi 1, i 1,2,3,4} 3, 4} = {x≤2 x13,≤ x ≤x1 , x≤4 ≤ x=1 , 0 xi 1, i 1,2, X B ⊂ X 2 ⊂ X1 x2 = 1/ 2, =x3= x4 =1/ 4, x1 X2
1/ 3 X 2 X1
3.3.6 Representação de valores discretos yi , i = 1, ..., 6 {4, 6, 8, 12 , 20, 24} x = 4 y+1 + 6 y2+ 8 y+3 12+y4 y123456 + +y + +y + =y y
20 y5 24 y6 y 1
17 2
Pesquisa Operacional
3.4 FORMULAÇÕES DE PROBLEMAS CLÁSSICOS
3.4.1 Problemas da mochila
Mochila 0-1
xj
1 = 0
se o projeto j é selecionado caso contrário
n
max
∑= p x j
j
j 1 n
∑= a x j
j
≤b
j 1
x∈B
n
Capítulo 3: Otimização discreta
17 3
Exemplo 3.7 b = 100 n = 8 p = [ p j ] a = [ a j ]
Mochila inteira
x j ≥ 0, j = 1, ..., n x ∈ B n x ∈ Z +n Múltiplas mochilas
xij
= 0
1 se o item j é colocado na mochila i caso contrário
m
max
n
p x ∑∑ = =
j ij
i 1 j 1 n
∑= wx
j ijb
≤i i ,
=m1, ...,
j = 1, ..., n
j 1 m
∑= x
ij
≤ 1,
i 1
x ∈ B mn
17 4
Pesquisa Operacional
w jk , k = 1,..., K, bik , k = 1, ..., K, n
∑= wx
ij b ij
≤i ik
,
m = 1,k ..., , K
=1, ...,
j 1
Empacotamento em mochilas
yi xij
1 = 0
1 = 0
se a mochila i é usada caso contrário
se o item j é colocado na mochila i caso contrário
n
min
∑= y ∑= x
i
i 1 n
= 1,
ij
i 1 n
∑= wx
≤
j ijby
j = 1, ..., n ii ,
= 1,n...,
j 1
nn
x ∈B , y ∈B
n
3.4.2 Problemas de corte
Capítulo 3: Otimização discreta
17 5
Corte unidimensional
yi xij
1 = 0
se a barra i é usada caso contrário
n
min
∑= y
i
i 1
n
∑= x
ij
≥ bj ,
j = 1,..., m
i 1 m
∑= lx L ≤y j ij
ii ,
= 1,n ...,
j 1
y ∈ B n , x ∈ Z +mn
m
min l j j =1 a j = ( a1 j , ..., amj )
17 6
Pesquisa Operacional
Figura 3.7 Exemplos de padrões de corte.
501002 a123456 = =013010 a=a=a== 000312 020010
a a
n
min
∑= x ∑= a x
j
j 1 n
j
j
=b
j 1
x ∈ Z +n
Corte bidimensional
Capítulo 3: Otimização discreta
17 7
0 ≤ Pi ≤ Qi i , = 1,m ..., li ≠ wi ailwrs
1 = 0
se a peça do tipo i, quando cortada com vértice inferior à esquerda com w l ( , s) exclui r coordenadas o ponto ( , ) (veja Figura 3.8)
caso contrário
− i 10 se ≤ l≤r ≤l l+ −10≤Li −e 1 ≤w s≤w≤w+ 1 −W≤ 1; = 0 caso contrário. X = {0, 1, 2, ..., L −1} Y = {0, 1, 2 , . .., W −1} ailwrs
1 xilw = 0
se a peça do tipo i é cortada com seu vértice inferior à esquerda no ponto ( l, w), tal que 0
≤≤ − l 0ei L≤ ≤ l −
; iw
W
w
caso contrário.
m
max
∑∑∑ v x
i ilw
i =1 l X ∈ w Y∈
m
∑= ∑∈ ∑∈ a
x ilw ilwrs
≤ 1,r X ∈ sY
,
∈
i 1l X w Y
Pi ≤
∑∑x Q i ≤ ipq
i
,m
= 1, ...,
l ∈X w ∈ Y
x ∈ B m| X ||Y |
17 8
Pesquisa Operacional
Figura 3.8 Localização de um corte de peça.
3.4.3 Problemas de designação
Designação
xij
1 = 0
se a tarefa j é designada ao agente i caso contrário
n
min
n
c x ∑∑ = =
ij ij
i 1 j 1 n
x
= 1,
j = 1, ..., n
i 1 ij
∑=
Capítulo 3: Otimização discreta n
∑= x
ij
= 1,
i = 1, ..., n
17 9
j 1
x ∈ B nn
x ∈ R+nn Designação generalizada
m < n m
min
n
c x ∑∑ = =
ij ij
i 1 j 1 m
∑= x
ij
= 1,
j = 1, ..., n
=m1, ...,
i 1 n
∑= ax
ij ijb
≤ii
,
j 1
x ∈ B mn
Exemplo 3.8 m = 3 n = 8
15 21 21
94 86 68 69
51
28 76
48 54 85 39 72
21 46
43 21
44
61
3
3
84
31 69 14 87 51 65 35 54 23 20 71 86 91 57 30 74
20
55 39 60 83 67 35 32
b = [bi ]
18 0
Pesquisa Operacional
Designação generalizada com múltiplos recursos
n
∑= ax
ijk ijb
≤ iik
, m=k1,..., r,
= 1,...,
j 1
Designação generalizada com múltiplos níveis
aijk ' < aijk '' cijk ' > cijk '' xijk
= 1 0
se a tarefa j é designada ao agente i no nível k caso contrário
m
min
n
l
c ∑∑∑ = = =
ijk xijk
i 1 j 1k 1 m
l
x ∑∑ = =
ijk
= 1,
j = 1, ..., n
m = 1, ...,
i 1k 1 n
l
ax ∑∑ = =
b ijk ijk
≤i i
,
j 1k 1
x∈ B
mnl
c ijk
Capítulo 3: Otimização discreta
18 1
Designação quadrática
xik
1 = 0
se a facilidade i é designada ao local k caso contrário.
nnnn
min
∑∑∑∑ = == = i 1j k11l j ≠i
fij ckl ixk xjl
1 l≠k
3.4.4 Problemas de cobertura, partição e empacotamento de conjuntos
S j , j = 1, ..., n S = {1,2,3,4,5} S12= {1, = S2},
S{1,3,5}, = S 3 = S{2,=4,S5},=
4
{3},
5
{1},
6
{4,5}
S1S∪S S3 ∪ 4 = . S4 ∪ S5 ∪ S6 S 4 ∩ S5 ∩ S6 = ∅ S1 , S4 , S6 S1S∪S S4 ∪ 6 = S1 ∩ S4∩ S=6 ∅
18 2
Pesquisa Operacional
Figura 3.9 Ilustração dos problemas de empacotamento, cobertura e partição.
xj
1 = 0
se a facilidade j é selecionada caso contrário.
6
min
∑= c x j
j
j 1
x1 + x2
+ x51 + x3
x1
+ x4
x2 x3 x2 + x3
1
(bairro ≥ 1)
≥ 1 (bairro 2) ≥ 1 (bairro 3) + x6 ≥ 1 (bairro 4) +(bairro x6 ≥ 5)
6
x∈ B
min c Tx Ax ≥ 1 n x∈B
1 (m × 1) aij
1 = 0
se i ∈ S j caso contrário
Capítulo 3: Otimização discreta
18 3
1 1 A = 0 0 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 1 1
18] Exemplo 3.9 c = [20 76 16 23 23
x1 = x3 = x4 = 1
Exemplo 3.10
xj
1 = 0
se a rota j é selecionada caso contrário
c j j = 1, ..., 24 min 20 x1 + 16 x+2 17 + x3+ +18 x4 11
+20 x5+ 13+x+6
x1343+ + +x14+54+ + +x15+ 45+ + + x1634
x1723
14 x7+ 15+x8 x1834
x1912
20 + x9 x2034
21x10 x2111
31x11 15 x12 x2243
x2312
x24
Figura 3.10 Vôos entre cidades.
18 4
Pesquisa Operacional
Tabela 3.1 Rotas com três vôos.
x1 + x+ +x3 + x+4 +x+9 + x11 2
x13+ + x15 + x17 = x18 + x+8 x+10 + x12 + x+14 x+16 +x19 = x20 x1 + x+ +x5 + x+6 +x+9 x10 + +x11 +x12+ x17 = x19 2 x3 + x+ +x7 + +x8 x+13 + x14 + +x15 x+16 +x18 = x20 4
x5 + x+ +x7 6
x21 x23 x21 x22
x22 x24 x23 x24
3 x1 + x+ +x5 + x7+ +x9 +x10+ x13+ + x14 + x17 = x18 x19 x20 x2 + x+ +x6 + +x8 + x11 +x12+ x15+ x+16 +x21 = x22 x23 x24 4
1
(vôo1)
1
(vôo2 )
1
(vôo 3)
1
(vôo 4)
1 (vôo 5) 1 (vôo6 )
x6 = x13 = 1 x ∈ B 24
min c Tx Ax = 1 x∈B
n
1
Capítulo 3: Otimização discreta
18 5
j = 1, ...., J k = 1, ..., K. aijk
1 = 0
se a transportadora k quer o subconjunto S j que contém o trecho i caso contrário
x jk
1 = 0
se o subconjunto S j é designado à tranportadora k caso contrário
J
max
K
( R ∑∑ = =
j
− b)jk
x jk
j 1k 1 J
K
x a ∑∑ = =
ijk
jk
≤ 1, ∀ trecho Si ∈
j 1k 1
x ∈ B JK
max c Tx Ax ≤ 1 x ∈ Bn
18 6
Pesquisa Operacional
3.4.5 Problemas de caixeiro-viajante
Caixeiro-viajante – distância
i ,j ∈ N i , j≠ (i, j ) xij
1 = 0
se o caixeiro vai diretamente da cidade i à cidade ij j ,
≠
caso contrário
n
min
= > c x ∑∑ ∑x +∑x ij ij
i 1 j i
ij = 2,
ji
j< i
i = 1, ..., n
j >i
n ( n −1) / 2
x∈B S = {1, 2, 3, 4 }
∑∑ x +∑∑ ≥x ij
i∈ S j∉S j>i
ij
∉i S∈j S
⊂2,
S
≤N ≤,
3
S
j>i
n 2
n 2 S = {1,2,3,4 } x15 + x+16
+x17+ +x+25+ +x26 ++
x27
x35
x36+ x37 ≥
x45
x46
x47
2
Capítulo 3: Otimização discreta
18 7
∑∈ ∑∈ x
ij
≤ S−
1,⊂ S
≤N, ≤ 3
S
iSjS j >i
n 2
S = {1,2,3,4} x12 + x+23+ ≤x34
3
x14
k ≥6 k ≤ 5 ≠ n
min
n
c x ∑∑ = =
ij ij
i 1 j 1 j ≠i n
∑= x
ij
= 1,
j = 1, ..., ,n
j≠i
= 1,
i = 1, ..., ,n
i≠ j
i 1 n
∑= x
ij
j 1
x ∈ B n( n −1)
∑
xij
≥ 1, ⊂S
N≤, ≤2
n 2
S
N
i∈S j, S ∉
∑∈ ∑∈ x
ij
≤ S−
1,⊂ S
≤N ,≤
2
S
iSjS
n 2
Figura 3.11 Ilustração de sub-rotas.
18 8
Pesquisa Operacional
Exemplo 3.11
( xi −j x )2i + (j y − y )2 ( xi , yi ) ( x1 , y1 ) = (43, 23) x y
= x1,9 = x4,9 = 1 = x 2 , 6 = x3 , 6 = 1 x5,11 = x5 ,12 = x11,12 = 1 x7,8 = x7,10 = x8,10 = 1
x1, 4
x2 , 3
x1, 4 + x4 , 9 + x1, 9 ≤ 2 x 2 , 6 + x 2 , 3 + x 3, 6 ≤ 2 x5,11 + x11,12 + x5,12 ≤ 2 x7 ,10 + x7 ,8 + x8,10 ≤ 2
x1,8
= x1,9= =x2,3 = x2,11 = =x3,6=
x4,6 =
=x4,9 =
x5,10 =
x=5,12
x7,8
x7,10
x11,12
1
m-caixeiros-viajantes – distância
N = {0,1,..., n} n
min
n
∑∑c x
ij ij
∑x
=m
∑x
=m
i = 0 jj = ≠ i0 n
0j
j =1 n
i0
i =1
Capítulo 3: Otimização discreta
∑∈ ∑∈ x
ij
≤ −S
1,
iSjS
S ⊂\ {0}
≤N ≤,
2
S
n 2
18 9
x ∈ B n ( n−1)+ 2n
Caixeiro-viajante – aquisição
M = {1, ..., n} K = {1, ..., m } G = ( N , E ) N = {0} ∪ M E = {(i ,)j : i, j ∈ N } M k
Figura 3.12 Exemplo de problema de caixeiro-viajante.
19 0
Pesquisa Operacional
0 < qki
≤ dk
∑
qkj
≥ d k k ∈ K i ∈ M k
j∈M k \{i}
e = (i, j ) ce S ⊂ M δ ( S=) {(i ∈j, )E∈i S∈: j N ,S \ } bki
*
M
=∪ ∈{0}
i ∈M : existe
k
Ktal < que
kj j ∈M k \{i} q
∑
dk
∑ ∈
K * =kK ∈ q: d
=
ki
k
i Mk
1 = 0 1 yi = 0
ze
xki
se a aresta e pertence à solução caso contrário se o nó i pertence à solução
caso contrário
pk i
min
∑ cz
+∑
ee
e∈ E
k Ki ∈ M
∑
ze
∑
bx kiki ∈
= 2 yi ,
k
i ∈N
e∈δ ({i })
∑
ze
e∈δ ( S )
∑x
ki
≥ 2 yi ,
= dk ,
S
⊂ M,
i∈S
k ∈K
y , k ∈ K , ki ∈ M
i ∈M k
xki
≤kiiq
z e ∈ B| E| ,
yi
y ∈ B|M \ M
= 1 se i ∈ M * ,
*
|
x ∈ R+mn
i i i i ∈ S ∈ N \ S i
Capítulo 3: Otimização discreta
19 1
∈K * xki = qki Caixeiro-viajante – lucro
G ( N , E) ..., n} 0 M E= {1, N = {0} ∪ M = {(i,)j : i, j ∈ N }= pi i ∈ M e = (i, j ) ce ze yi
min
∑ cz − ∑∈py ee
eE ∈
ii
iN
∑⊂ z
e
≤ −S
1,
S⊂ \ {0}
≤ ≤N ,
e S
z e ∈ B| E | ,
3
S
n 2
y ∈ Bn
cmax max
∑py
i i
i∈N
∑c z
e e
e∈E
≤ cmax
pmin min
∑c z
e e
e∈E
∑py ≥p i i
i∈N
min
19 2
Pesquisa Operacional
t − 1 3.4.6 Problemas de carteiro chinês
G = ( N , E )
Figura 3.13 Pontes de Königsberg e grafo associado.
Capítulo 3: Otimização discreta
19 3
G = ( N , E) ∈ G = ( N , E) E E ∈ e ∈ E e ∈ E δ v+ δ v− xe xe
= 0 1 = 0 1
e e
Figura 3.14 Exemplo de ciclo euleriano.
Figura 3.15 Soluções para um exemplo do carteiro chinês.
19 4
Pesquisa Operacional
min
∑ cx + ∑cx
ee
eE∈
xe ≥+∀xe
+ ∑ x∑
eS ∈ v +)(
e ∈eS+ v)(
∈
par ( e, e) ∈ associado a e
1,
ee
eE
e
−x∑ e ∑ +e − ˆeS v ∈ )(
= ∀ ∈ x
x
∈ − eS )v(
xe , xe ∈ {0,1}, ∀∈e
∀E∈,
E
0,
v
e
N
E
xij (i, j ) min
∑
cij xij
∑
xij
( i , j ) ∈E
{ j :(i , j ) E }
−
∑
jix { j :( j ,i ) E }
∈
xij
= 0,
i ∈N
∈
≥ 1, ∀ (i,)j ∈ E | E|
x ∈ Z+
Figura 3.16 Grafo sem solução para o problema do carteiro chinês.
Capítulo 3: Otimização discreta
19 5
3.5 PROBLEMAS DE LOGÍSTICA
3.5.1 Roteamento de veículos N = C ∪ {0, n + 1} C = {1, ..., n} 0, n + 1 ∈ ≠ ≠ ≠ n + 1 n + 1 ∈ k ∈ K
xijk
1 = 0
seoveículo kpercorreoarco (, ij), k K ∀ ij ∈E, ∀(, ) ∈ caso contrário
min
∑∑
cij xijk
k∈ K i( j , E )∈
∑∑x
ijk
= 1, ∀i ∈ C
Q≤ k, K∀
k∈K j N∈
∑ d ∑x i∈ C
i j N∈
ijk
∈
19 6
Pesquisa Operacional
∑∑ tx D≤ , k ∀K ∈ ∑ x = 1, ∀k ∈ K ∑ x − ∑ x = ∀0,∈ h ∀C∈, ∑ x = 1, ∀k ∈ K
ij ijk
i∈N j N∈
0 jk
j∈N
ihk
iN ∈
i∈N
hjk
jN
k
K
∈
i , n +1, k
xijk
≤ S−
1, ⊂ S
≤C≤, 2
n,
S ∀∈
∑∑ x∈ B
k
K
2
i∈ SjS∈
K | E|
Roteamento de veículos com janelas de tempo
∈ ∀ ∈ ∀ ∈ xijk (isk
+ijt− jks≤ )0∀ , ( ∈ , i) j∀ ∈, E
k
K
, ∈ − k∀ {0}, ai ≤ s ik b≤ii ∀ N K∈ M ij = max{ib +ik s ij + t , 0} ∈ sik + ti j≤s + , k∀ (K ,∈ ) , jk − x(1M ijk ∀ ij)ij E
Capítulo 3: Otimização discreta
19 7
i = n + 1 S = {1, 2, 3 , 4 } s1k + t12 ≤ s2k s2k + t23 ≤ s3k s3k + t34 ≤ s4k s4k + t41 ≤ s1k Exemplo 3.12
cij ( xi , yi ), i = 1, ..., 9 x = [50 16 23 40 9 97 78 20 71 64 50] y = [50 32 1 65 77 71 24 26 98 55 50] d = []di = [11 35 2 9 3 18 8 10 11] a = [ai ] = [0 45 11 25 20 15 50 10 40 10 0] b = [bi ] = [0 70 145 40 100 80 190 110 190 45 400] Q = 60 s11 = 45,00
s71 = 52,21
s92
= 14,87
s52
= 51,54
s21 = 77,39
s82
= 89,02
s62
s43
= 58,24
s10,3
s10,1 = 200,95
= 163,35
s10,2
= 228,21
s33
= 25,00
= 149,09
Roteamento periódico de veículos
19 8
Pesquisa Operacional
Figura 3.17 Representação gráfica da solução para o PRVJT.
Figura 3.18 Representação gráfica da solução para o PRV.
N = C ∪ {0} k ,l E = {(i, j ) : i, j ∈ N , i ≠ j} k l (i, j )k ,l k ∈ K i d i f i i i l D
Capítulo 3: Otimização discreta
19 9
arl
1 = 0
se o dia l pertence à combinação de dias de visita r caso contrário
1 = 0 1 yir = 0
xijkl
seoveículo kpercorreoarco (, ij) nodia l, k K ij∀, E∈ l T(, ∀ )
∈, ∈
caso contrário se a combinação de dias de visita r é designada ao cliente rR iiC ,
∈
i,
∈
caso contrário
min
∑ ∑ ∑c x y = 1, ∀i ∈ C ∑ ∈ a y= ∑∈ ∑∈ x − ∑ ∈
ijkl ijkl
k∈ K i j( , )E∈l T ∈
ir
r Ci
ijkl
rl ir
j Nk K
∑ d ∑x i∈ C
0, ∀∈
i∀∈C ,
l
T
r Ci
i j N∈
ijkl
Q≤ k, ∀ K∈ l T∀, ∈
∑∑ t x D≤ ,k ∀K∈ l ∀T,∈ ∑ x ≤ 1, ∀ ∈k K∀, ∈ l T ∑ x − ∑ x = 0,∀∈ h ∀, C∈ ∑∑ x ≤ S− 1, ⊂S ≤C,≤2
ijkl ijkl
i∈N j N∈
0 jkl
j C
∈
ihkl
iN ∈
hkjl
jN
∀k∈ , K
l
T
∈
ijkl
i∈ SjS∈
S
n ∀∈ ,∀∈ 2
k
K,
l
T
x ∈ BTK |E|
Roteamento de veículos com múltiplos depósitos
Ri = {{1}, ..., { L} }, i ∈ C c0ikl ci 0 kl
20 0
Pesquisa Operacional
3.5.2 Localização de facilidades
yi
1, se a facilidade é aberta no local i = 0, caso contrário.
P-medianas
I ⊂ J . yi
1, = 0,
se a facilidade é aberta no local i caso contrário
min
∑∈ ∑∈ c x ∑∈ x = 1,
ij ij
iIjJ
ij
∀j ∈ J
i I
xij
≤ yi , ∀∈i I∀, ∈
∑∈ y = p i I
i
x∈B
|I || J |
j
J
| I|
, y∈B
Capítulo 3: Otimização discreta
20 1
P-centros
min r r ≥ dx ij ij j, J ∀ ∈
∑∈ i I
P-medianas e p-centros com capacidade limitada
∑∈ qx
j ij
Q ≤y
i i ,i
I∀
∈
j J
O = {i I∈ y : i = 1} Localização de facilidades com capacidade ilimitada
xij
= fração da demanda q j atendida pela facilidade ∈ ∀localizada ∈ ∀ em
,i
i
,I
j
J
20 2
Pesquisa Operacional
min
∑∈ f y + ∑∈ ∑∈ c x ii
iI
ij ij
iIj J
∑∈ x
ij
= 1, ∀j ∈ J
i I
xij
≤ yi , ∀ ∈i ∀I ∈ , j
y ∈ B|I | , 0≤ x≤ij
J
∀1,∈ ∀ i ∈I ,
j
J
O = {i I∈ y : i = 1} wi i = arg wi xi* j i* min cij xij = 0, caso contrário i∈O Localização de instalações com capacidade limitada
O = {i I∈ y : i = 1}
∑
∑
q j ≤ Qi j∈J i∈O Localização de facilidades com capacidade limitada e fonte única
xij
1 = 0
se o cliente j é designado à facilidade localizada em i caso contrário
min
∑∈ f y + ∑∈ ∑∈ c x ii
iI
ij ij
iIj J
xij
∑ ∑∈ qx
= 1, ∀j ∈ J
i∈I
j ij
Q ≤y
i i ,i
I∀
∈
j J
x ∈ B |I || J | , y ∈ B| I|
Capítulo 3: Otimização discreta
20 3
Qi O = {i I∈ y : i = 1} Exemplo 3.13
= x2,8 == x2,13 = 0,39 x2,2
x2,11 = = x2,13
= x3,3= = x3,7 = x3,12 = 0,95 x3,2
x4,4
x3,9=
=x11,6 x3,15
= x4,10 = x4,18 = 1
x4,12 = 0,05 x4,13 = 0,61 x4,14 = 0,63 x5,1 = x5,5 =
=x5,6 = x5,17
x5,14 = 0,37 y2
= y3 = y 4 = y 5 = 1
1
x11,9 1
1
20 4
Pesquisa Operacional
x2,2 = x2,3 = = x2,4 = x2,9= x3,5 = x3,7 = =x3,8 = x3,16=
x2,11 1 x3,18 1
x4,1 = = x4,12 = = x4,15 x4,19 1 x5,6 = = x5,10 = = =x5,13 = x5,14 x5,17 x5,5 = x5,6 = x=5,17 = x5,20 1 y2
x5,20
1
= y3 = y 4 = y5 = 1
Custo fixo em fluxos em redes
uij cij ∈ ij (i, j ) f
yij
1 = 0
se o arco ( i, j) é aberto caso contrário
xij
(i, j ) min
f y
ij ij
c x ij ij
+ ∑ ∑∈ x − ∑∈ x=
( i , j )∈E
ji
j N
ij
q∀ , i∈
i
N
j N
Capítulo 3: Otimização discreta
xij
≤ uij yij
, | |
∀(i, j ) ∈ E
20 5
| |
x ∈ R+E , y ∈ B E
(i, j ) 3.6 PROBLEMAS DE PRODUÇÃO
20 6
Pesquisa Operacional
3.6.1 Planejamento da produção
yit
1 = 0
se o item i é produzido no período t caso contrário
Um item sem restrição de capacidade
T
min
∑(= sy +hI) t
t
t 1
It
= I+−−1
t
x
=d ,
≤ ∑ dτ yt , τ =t x ∈ R+T , I ∈ R+T , T
xt
t
T1,
=...,= T,
I0
I
0
t = 1, ..., T y ∈ BT
Capítulo 3: Otimização discreta
20 7
ct T
∑= c x
min (
+tsy t +hI)
tt
t 1
ct xt ct = ct , = 1,T..., . It
t
t
τ =1
τ =1
= ∑ xτ − ∑ dτ ,
t = 1, ..., T
IT = 0 t = T T
T
∑= x = ∑= d t
t 1
t
t 1
T
∑= cx tt
T
∑=
c= t x c t =d
t 1
t 1
T
∑= t 1
δ I t+ I t−
= estoque no fim do períodot = falta (demanda não atendida) no período t
T
min (
∑= sy +hI + +Iδ) t
t
−
t
t 1
I t+−+−t−tI=
−It −+1 −t It −1 =x
T ≤ ∑ dτ yt , t =1,..., τ =t + TT x ∈ RI+T , ∈ ∈ I R+ y, ∈ T R+ , xt
d , +− t = 1,..., = T,
I0
I0
0
T
B
20 8
Pesquisa Operacional
Múltiplos itens e restrição de capacidade
n
min
T
( sy ∑∑ = =
i it
+hiI it)
i 1t 1
I it
= Iit , −1 +it x it− d
i = 1,..., n,
,
t
= 1,...,
t
= 1,..., T
i = 1,..., n,
t
= 1,...,
T
i = 1,..., n,
t
= 1,...,
T
T
n
∑= (sp y
i it
i 1
xit
≤ Mit
M it
ity
+bixit
)Ct≤
,
− spi
T
,
= min{
Ct
bi
,
∑= d
iτ },
τ t
nT nT nT x ∈ R+ , I ∈ R+ , y ∈ B
M it Múltiplos níveis
Figura 3.19 Estruturas de produto.
Capítulo 3: Otimização discreta
20 9
n
min
T
( sy ∑∑ = =
i it
+hiI it)
i 1t 1
I it
− rx ∑ ∈
= iIt , +−1−it x
∑ (spy
i it
ij jt j Si
+b kix it
d ,
it
)C≤kt
,
i = 1,..., n,
t
= 1,...,
T
= 1,...,
t
= 1,...,
T
i = 1,..., n,
t
= 1,...,
T
i = 1,..., n,
t
= 1,...,
T
k
K,
i ∈Rk
xit
≤ Mit ity
M it
,
= min{( min
k :i∈Rk
nT
nT
Ckt
− spi
bki
),
T
∑ d},
it
τ= j
nT
x ∈ R+ , I ∈ R+ , y ∈ B
M it Múltiplos itens, restrição de capacidade e preservação de preparação
t −1
21 0
Pesquisa Operacional
t − 1 t
= 1 0 1 qt k = 0 wit
se o estado de preparação para o produto i continua do período t –1 ao período t caso contrário se não existe preparação de itens em t , que utilizam o recurso k , dado que a preparação de um item específico ocorreu em t − 1 e é mantida até t + 1 caso contrário n
min
T
( sy ∑∑ = =
i it
+hiI it)
i 1t 1
I it
= Iit , −1 +it x it− d
∑ (spy
i it
+b kix it
i = 1,..., n, t
,
)C≤kt
,
= 1,..., T
k
= 1,...,
K,
t
= 1,...,
T
k
= 1,...,
K,
t
= 2,...,
T
k k
= 1,..., = 1,...,
i = 1,..., n, t K , i ∈ Rk , t K , i ∈ Rk , t
i ∈Rk
∑w
it
≤ 1,
i ∈Rk
wit
≤ yit , −1 +it w , −1 ,
wti , +1 +itw ≤ 1tk+ q , yit + qtk ≤ 1,
Figura 3.20 Produção com e sem preservação de preparação.
= 2,..., T = 1,..., T −1 = 1,..., T
Capítulo 3: Otimização discreta
≤ Mit +(ity it=w ), i =1,..., ,n t 1,..., ≥ 0,k= 1,..., K t =, −T 1,..., q q= =1 (Tk k 1 wit ∈{0,1}, n1,..., =i =t ,T w =1,..., ( i1 nT nT x ∈ R+nT , I ∈ R + , y∈B xit
qtk
21 1
T
0) 0)
Exemplo 3.14
I i 0 = 0 i = 1, 2, 3 R1 = {1, 2, 3} sp = [ spi ] = [40 40 40] h = [hi ] = [150 100 70] s = [ si ] = [350 100 90] C = [Ct ] = [280 320 280 400] b = []bi = [20 10 20] 1 10 3 10 D = [ dit ] = 2 4 0 5 2405 y11 = y12 = 1 y 21 = y 24 = 1 y31 = y 34 = 1 x11 = 1,00 x21 = 2,00 x31 = 6,00
x12 = 10,00 x22 = 4,00
x13
= 4,50
x14 = 8,50 x24 = 5,00 x34 = 5,00
21 2
Pesquisa Operacional
w13 w22
= w14 = 1 =1
q3 = 1 I11 = 1,50 I 31 = 4,00
y11
= y12 = y13 = y14 = 1 = y24 = 1 = y34 = 1
y 21 = y22 y31 = y33
x11 = 1,00 x21 = 2,00 x31 = 6,00
x12 = 10,00 x22 = 4,00
x13
= 3,00
x33
= 3,50
x14 = 10,00 x24 = 5,00 x34 = 1,5
I 31 = 4,00 I 33 = 3,50
Figura 3.21 Representação da solução ótima do modelo com preservação da preparação.
Capítulo 3: Otimização discreta
21 3
3.6.2 Dimensionamento e programação de lotes
Problema discreto de dimensionamento e programação de lotes
zit
1 = 0
se a máquina está preparada para o item i no microperíodo t caso contrário
zi 0
1 = 0
se a máquina está preparada para o item i no início do microperíodo 1 caso contrário
min
n
T
sy ∑∑ = =
i it
+hiI it
i 1 t 1
I it
= Iit , −1 +it x it− d
=Ctzit
bixit n
∑= z
it
,
,
≤ 1,
i = 1,..., n, t
= 1,...,
T
i = 1,..., n, t
= 1,...,
T
t
= 1,..., T
i 1
yit
≥ zit − itz , −1 , nT
nT
z∈ I xBy ∈, ∈ R+ ,
i = 1,..., n, t nT
∈
R+ ,
nT
= 1,...,
T
R+
Figura 3.22 Representação da solução ótima do modelo sem preservação da preparação.
21 4
Pesquisa Operacional
Problema geral de dimensionamento e programação delotes
t = 1,..., T,
h = 1, ..., H. H t xih yih
1 = 0
caso contrário
zih
= 1 0
se a máquina está preparada para o item i no microperíodo h caso contrário
se o item i é produzido no microperíodo h
nH
min
nT
sy +∑∑hI ∑∑ == == i ih 1 it
i h1
1
i it 1
Ht
I it
= tiI , −1 + ∑ ih x it − d
, i = 1,..., n, t
= 1,...,
T
i = 1,..., n, t
= 1,...,
T, h = 1,..., H t
h =1
bixih ≤Ctzih , n
Ht
bx ∑∑ = =
i ih
≤C t ,
t
= 1,..., T
i 1h 1 n
∑= z
ih
≤ 1, yih ≥ zih − ihz , i 1
nH
z∈ I xB∈y ,
i = 1,..., n,
−1 , nT
R ∈+ ,
nH
∈
R+ ,
nH
R+
h = 1,..., H
h = 1,..., H
Capítulo 3: Otimização discreta
21 5
3.6.3 Programação da produção
Uma máquina
21 6
Pesquisa Operacional
Ci
1 se a tarefa i precede imediatamente a tarefa j = 0 caso contrário Ti = max{ Ci − d,i0} Ei = max{ di − C,i0} Li = Ci − di xij
n
∑ = ≠
xij
= 1,
∑
xij
= 1,
j = 0, 1,..., n
i 0,i j n
i = 0, 1,..., n
j = 0, j ≠ i
−i C j ≥C M
+ p +( Mj x ≥ 0,i =n1,..., C , ( n +1)(n +1) x∈ B
, i = 0,..., n,
j = 1,..., n
)
ij
0 =0
Ci
Cj
≥ Ci + p j
C j − Ci ≥ −M Minimização do tempo de fluxo total
n
∑
Ci i =1 n min
∑= C
i
i 1
p[1] ≤ p[ 2] ≤ ... ≤ p[ n ] Minimização do atraso máximo
n Tmax = max Ti Ti = max{ Ci − d,i0} i =1 Ti ≥ Ci − di Ti ≥ 0
Capítulo 3: Otimização discreta
21 7
min Tmax TmaxT≥i i , n = 1, ..., Ti C ≥ di −i i , n= 1, ..., T ∈ R+n
d[1] ≤ d[ 2 ] ≤ ... ≤ d[ n ] Minimização da soma dos atrasos
n
min
∑= T
i
i 1
Ti C ≥ di −i i , T ∈ R+n
n= 1, ...,
Minimização da soma dos atrasos e avanços
n
min
+E)
(T i
i
∑T C≥ d −i i =1
n= 1, ..., i i, ≥ di − Ci , i = 1, ..., T ∈ R+n , E ∈ R+n i
Ei
Minimização do número de tarefasatrasadas
yi
1 = 0
se a tarefa i está atrasada caso contrário
n
min
y i
∑= ≥ d −i T C
i
Ti ≤My
i
i 1 i
i
i,
n
T ∈ R+ , y ∈ B
Ti > 0 yi = 1
1,=n ..., =n1,..., n
n
21 8
Pesquisa Operacional
Minimização do lateness máximo n
Lmax = max Li Li = L+i − L−i i =1 min Lmax
≥ L+i − L−i − Li i − L= d= i −C i n + − L ∈ R+ , L ∈ R+n Lmax +
i = 1,..., n
1,..., n
i
Exemplo 3.15
p = [ pi ] = [64 d = [ di ] = [100
53 70
63 150
99
189
44
601
118
590
50 107
22] 180 ]
Capítulo 3: Otimização discreta
21 9
f (t )
si si + pi
Figura 3.23 Medida de soma de avanços e atrasos para uma tarefa.
22 0
Pesquisa Operacional
Cj ≥ C −M s +p ( Mj x ij= ) nij j,= 0,..., n 1,..., i+ + Cj ≥ C −M s +p ( M =ji ) nij j,= 0,..., n 1,..., i+ + ij x n Cmax = max Ci i =1
min Cmax CmaxC≥ i i ,
n= 1, ...,
s[ k ],[k +1]
n
Cmax =s
∑=
n
[sk −k1],[]n
+p
[] ,[0] i
k 1
+∑ i =1
Máquinas paralelas
xij
1 = 0
se a tarefa i é processada na máquina j caso contrário
Capítulo 3: Otimização discreta
22 1
min Cmax m
∑= x
ij
= 1,
j 1
Cmax
i = 1,..., n
= 1,...,
n
≥∑ xp
ij ,
ji
m
i =1
Cmax
≥ 0, x ∈ B mn
Cik
xijk
1 =
se a tarefa i precede imediatamente a tarefa j na máquina k
0 caso contrário Ti = max{ Ci − d,i0} Ei = max{ di − C,i0} n
min
∑=( T + E) i i 1 m n
i
x ∑∑ = =
ijk
= 1,
j = 1,..., n
k 1i 0
n
∑= x
0 jk
≤ 1,
k
= 1,..., m
j 1 n
∑x
ihk
i =0 ih≠
n
− ∑ xhjk jh
= 0,
h = 1,..., nk ,
m= 1,...,
n0,...., ,
1,...,
j=0
≠
C jkC ≥ −ik M + s+ +p( ijkMx
=jki
)n jijk=,
22 2
Pesquisa Operacional
Ti ≥ C di −i
n= 1,...,
Ei ≥ di − Ci i = 1,..., n n n m n n ( 1)( 1) T ∈ R+ , E ∈ R+ , x ∈ B + +
i
C jkC ≥
C jk
s ik
+ pijk +
jk
− Cik ≥ −M
Job shop
Figura 3.24 Matrizes de operações e tempos de processamento em job shop.
Capítulo 3: Otimização discreta
22 3
Cik xijk
1 = 0
se a tarefa i precede a tarefa j na máquina k caso contrário
n
min
∑= C
i(m)
i 1
≥ i p , (1) , i = 1,..., n Ci k, ( +1) ≥ikC ( )i k+ p , ( + 1) , i = 1,..., nk , +x− jk − (1 ijk ), i = 1,..., C jkC ≥p Mik n j, Cik ≥C jk p+ ik Mx− ijk , i = 1,..., n j, C ∈ R+mn , x ∈ Bmnn
m= 1,..., − 1 =1,..., n=k1,..., m , n=k1,..., m, = 1,..., Ci , (1)
≥ Cik + p jk Cik C − jk p≥ ikM − C jk
C jkC −p Mik Cik
≥
jk
−
≥ Cjk + ikp
Exemplo 3.16
x131 = x151 = x211 = x231 = x 241 = x 251 = x411 = x431 = x 451 = x531 = 1 x122 = x132 = x152 = x 232 = x 252 = x352 = x 412 = x422 = x432 = x 452 = 1 x213 = x313 = x323 = x343 = x413 = x423 = x513 = x523 = x533 = x543 = 1 C12 = 14 C21 = 9 C33 = 11
C11 = 19 C22 = 19 C32 = 27
C42 = 7 C53 = 8
C 41 = 11 C51 = 27
C13 = 32 C 23 = 22 C31 = 32 C43 = 15 C52 = 35
22 4
Pesquisa Operacional
Flow shop
zij
1 = 0
se a tarefa i é designada à posição j caso contrário
min Cmax s=
n
= 1,
i = 1,..., n
= 1,
j = 1,..., n
n
∑z
ij
j =1 n
∑= z
ij
+pz∑
im in
mn
i =1
i 1
Figura 3.25 Diagrama de Gantt para exemplo de job shop .
Capítulo 3: Otimização discreta n
s1 j
+∑ pz s i1 ij j= i =1
= 1, ...,
, 1, j +1n
–1
s11 = 0
n
∑=
sk1 + =pz iksi
22 5
k1
k
=+1,1 ,m−
1, ...,
1
i 1 n
skj
+∑ pz sik≤ij
kj
i =1
=j +1,
,nk
=
2, m..., − ,
1, ...,
1
n
skj
pz sik ≤ij j k j
+∑ i =1
=+n1 , −k =1, ...,m
,
1,
2, ...,
s ∈ R+nm , z ∈ Bnn
k + 1 k + 1 j + 1
n
∑=
Cl s= lm +pz im l il
,n
= 1, ...,
i 1
Tl
= max{ Cd l −l
l , 0},n
= 1, ...,
n
n
∑= C ∑= T l
l
l 1
l 1
22 6
Pesquisa Operacional
Capítulo 3: Otimização discreta
22 7
3.6.4 Outros problemas de programação
Balanceamento de linha de montagem
k , k = 1,..., m d j . j , j = 1, ..., n d ( Sk ) = j S ∈ k d ( Sk ) < c c − d ( S K ) n E = d total / m c d total = j =1 d j c = 11 m = 5 S1 = {1,3} S2 = {2,4} S3 = {5, 6} S4 = {7,8} S5 = {9,10}
∑
∑
Figura 3.26 Grafo de precedência em linha de montagem.
22 8
Pesquisa Operacional
m = 6 S1 = {3, 4} S2 = {1, 5} S3 = {2, 7} S4 = {6, 8} S5 = {9} S6 = {10} c = 11 E = 48 /11× 5 = 0,87 Programação de projetos
d = [ di ]0= [ r = [rik ] =
4
10
51
011011010110
012111302110 R = [ Rk ]2= [ 3]
5
7
4
3
2
2
0]
Capítulo 3: Otimização discreta
Figura 3.27 Grafo de precedência em projeto.
Figura 3.28 Diagrama de Gantt para projeto com recursos ilimitados.
Figura 3.29 Diagrama de Gantt para projeto com recursos limitados.
22 9
23 0
Pesquisa Operacional
Programação de serviços
Sistemas de reserva
Programação de horários em instituições de ensino
Capítulo 3:
Otimização discreta
23 1
Programação e Grade de Horários em Torneios de Esporte
n / 2 n(n − 1) / 2 1, 2, ..., n −1 (4 × 3) / 2 = 6 2( n − 1) k +n (− k 1), = n 1,−..., 1 Programação em transporte
23 2
Pesquisa Operacional
Programação de força de trabalho
3.7* COMPLEXIDADE COMPUTACIONAL
max {2 x1 + 4 x+23 3:x +3 x1+ 2≤x2 ∈ 4 x3
n n
∑ cxj j =1
max
j
∑
: ax j =1
j
bj x≤ B ,
∈
5, x
n
B3}
Capítulo 3:
Otimização discreta
23 3
L = L( I ) L( I ) =
n
n
∑ log c + ∑ log 2
j
j =1
aj
2
j =1
f A ( I ) f A* ()k = max I { f A ( I ) : L( I ) = k } *
p
f A (k) ≤ c k c1 , c2 > 0 d1 , d 2 > 1 k ' k inteiro ≥ ' . ( ) ≤ 2 2k parak todo 2k x = 1 − x X = {x1 ,..., xn } x1 , ..., xn xi xi i = 1,..., n C =x x1 ∨ x4 ∨ 7 ∨ x = 0, x = 1, x = 0. 1 4 7 C1 , C2 , ..., Cm C1 ∧ C2 ∧ ∧ Cm ∧ C1123 x= x∨ x ∨ C2 = x2 ∨ x3 C3 = x1 ∨ x3 C1 ∧ C2 ∧ C3 x1 = 1, x2 = 1, x3 = 0 x1 + (1− x+2 )≥ x3 1 x2 + x3 ≥ 1 x1 + (1 − x)3 ≥ 1 Ci =C(Ci+ i, i− ), =m1,..., ≥ (1 x=j ) 1 para i 1,..., ? m x ∈ B n : ∑+x j − ∑ dc1 1fkk≤dc
* A
j ∈Ci+
j ∈Ci−
x ∈ Bn :
n
∑a x j
j =1
j
≤b
n
e
∑c x j
j =1
j
≥k?
23 4
Pesquisa Operacional
3.8* FORMULAÇÕES ALTERNATIVAS : x b≤ Definição 3.1 P = {x ∈ R n A
}
Definição 3.2 P ⊂ R n + p X ⊂ Z n × R p
X = P ∩ ( Z n × R p )
Exemplo 3.17 X
= {(1, 3),
(2,1), (2,2), (2,3) , (2,4), (3,1), (3, 2), (3, 3), (4,2)}
Tabela 3.2 Tempo computacional para funções polinomiais e exponenciais.
×
×
× × × ×
Capítulo 3:
Otimização discreta
23 5
Figura 3.30 Duas formulações distintas para um problema de programação inteira.
Definição 3.3 X ⊂ R n x1 , x 2 ∈ X
α , 0 < α < 1 α x1 + (1)− α x2 ∈ X . Definição 3.4 X ⊂ R n
x 3 =x(2, 4), 4 = (3, 1), 5 = (4, 2) x1 = (1,x 3), 2x= (2, 1),
5 ∑ α jx j , j =1
conv(X )=
5
∑α j =1
j
= 1, α ≥ 0, ∀j
Figura 3.31 Envoltória convexa do conjunto X.
23 6
Pesquisa Operacional
z = max cTx +d yT x + Dy ≤ b A n
p
x ∈ R+ , y ∈ R+ x ∈ R+ , y ∈ R+p Ax+D y ≤ b
+D y ≤ b Ax x ∈ R+n , y ∈ Z +p X ⊂ R n X ⊆ conv( X ) ⊆ P P1 ⊂ P2 n
Figura 3.32 Envoltória convexa do Exemplo 3.1 de PI.
Figura 3.33 Envoltória convexa do Exemplo 3.3 de PIM.
Capítulo 3:
Otimização discreta
23 7
Formulações equivalentes para o problema damochila 0-1
x ∈ R 4 : ≤0 ≤x j = 1, j 1,2,3,4 x1 + 9 x+2 29 + x3 ≤ 4 x4 30 x ∈ R 4 : ≤0 ≤x j = 1, j 1,2,3,4 P3
=∈{xR x+
4
≤
: x1
0, 3x1 + 2 x+2 6+x3 ≤ x4 6
1
3
x2 + x3
≤1 x3 + x4 ≤ 1
0
≤ x j 1,≤
j 1,=2,3,4}
x ∈ P3 2 x1323341234 + 22222 +x+ + +x= + +x + ≤ x
x
2x
262 x
x
x
6
0,3 x1 + 2 x+2 6+x3 ≤ x4 6 x ∈ P2 ∈ P2 x 1,5 x1 + 10 x+2
30 + x3≤ 5 x4
30
x1 + 9 x+2 29 + x3 ≤ 4 x4 30 x 2 = (1;1; 0, 45;1)∈ P2 ∉ P3 x1 = (0;0;1;0,25) ∈ P1
x ∈ P1 ∉ P2 P3 ⊂ P2 ⊂ P1
Formulações para localização de facilidades com capacidade ilimitada
min
∑∈ f y + ∑∈ ∑∈ c x ∑∈ x = 1, ∀j ∈ J ii
iI
ij ij
iIj J
ij
i I
∑∈ x
ij
≤ nyi , ∀i ∈ I
j J
0 ≤ xij≤ 1,
∀∈ ,i∀∈I
∈ j,
I
j ∈ J xij ≤ yi , ∀ ∈i ∀I ,∈ j J J
y
B
23 8
Pesquisa Operacional
P1 ⊂ P2 j ∈ J , P1 ⊆ P2 P1 ⊂ P2 n = k m k ≥ 2 xij = 1, = j −k (+i 1) 1,..., − + (k=i1) ,k i 1,..., m xij = 0 yi = k / n P2 \ P1 i = 1, ..., m x1 j x1 j x2 j x2 j x3 j x3 j y1 = y2 = y3 = 1/ 3
12
∑= x
ij
1 3
= 4 = 12 ×
j 1
Formulações para dimensionamento de lotes de um item
P1 T
∑(= sy +h I)
min
t
t t
t 1
=t I −1t +t x − d , T xt ≤ ∑ dτ yt , τ =t xt , I t ≥ 0, 0 ≤ yt 1, ≤
It
t
T = 1,...,
t
= 1,..., T
I, I
0
=
T
=0
t = 1,..., T P2 hτ ,t −1 = hτ + ... + ht −1
uτ t τ T
t
T
T
h ∑∑ = =
min
τ ,t u −1 τ t
τ 1t τ
∑= u
τt
= dt
+ sy ∑
t
t =1
t
= 1,..., T
τ 1
≤ dt yt uτ t ≥ 0, 0 ≤ yt ≤ 1,
uτ t
τ , t = 1,..., T ; τ
≤t
τ , t = 1,..., T , τ ≤ t T
xτ
= ∑ uτ t τ = 1,...,T t =τ
t
∑= d y = 1 > d / ∑ d . =
xt = tdt , yt = d /
τ
τ 1
t
utt = dt t t τ τ 1 P2 ⊂ P1
Capítulo 3:
Otimização discreta
23 9
3.9 MÉTODOS DE ENUMERAÇÃO IMPLÍCITA E DE PLANOS DE CORTE
z = max cTx +d yT Ax +Dy ≤b x ∈ R+n , y ∈ Z +p A (m × n) D (m × p ) cT (1× n) dT (1× p) b (m ×1) (n × 1) ( p ×1) R+n n Z +p p
( PIM )
PIM y ∈ Z +p y ∈ R+p
{
z = max cTx :A x ≤b,x
( P)
∈ Z +n }
z
( PL)
= max {cTx :A x ≤b,x ∈ R+n }
PL P z ≥ z
3.9.1 Método
branch-and-bound
P PL P = {Ax ≤ b ,x ∈ R+n } P PL P & Exemplo 3.18 ( P)
z = max 5 x1 − x2 7 x1 − 5 x 2 ≤ 13 3x1 + 2 x 2 ≤ 17 x ∈ Z +2
24 0
Pesquisa Operacional
P 24 22 ) PL x = (,x1 x2 ) = (3 , 2 29
11 z = 16 z. 29
29
x = max { y ∈ Z : y ≤ x } x = min { y ∈ Z : y ≥ x} x P P1 P 2 x1 ≤ x1 = 3 P1 , 2 x1 ≥ x1 = 4 P & P, P1 P 2 P1 P 2 PL2 P 2 P 2 P 2 PL1 3 2 x1 = (3,1 ), z 1 = 13 5 5 P. P1 P3 P 4 3 3 x2 ≤ 1 = 1 P3 , x2 ≥ 1 = 2
5
5
P 4 . & P 4 4
3 PL x4 = (3,2) P z 4 = 13.
PL3
x3
= (2
4 ,1), 7
z3
6 7
= 11
Figura 3.34 Representação gráfica das soluções de
P e PL.
z3
< z 4
Capítulo 3:
Figura 3.35 Partição do problema
P.
Figura 3.36 Representação gráfica das soluções de
z
= 16
11 29
x1 ≤ 3
x1 ≥ 4
2 z1 = 13 29 x2 z3
= 11
6 7
≤1
x2
≥2 z4
= 13
Figura 3.37 Partição do problema
P1.
P1.
Otimização discreta
24 1
24 2
Pesquisa Operacional
x4 = (3,2) P3 P 4 x4 . Resolução analítica do exemplo
& z
= max {cTx A : x =b x, ∈ R+n }
w = min
T
{
T
T
b:
}
A ≥ cT
(1× m)
xB xN
A = [B N ] x =
B (m × n) xB
cT
xN
= cBT c NT
B x +Nx =b B
z
=
cT Bx B
N
+
c NxTN
Figura 3.38 Representação gráfica das soluções de
P3 e P 4 .
Capítulo 3:
24 3
Otimização discreta
x B =B −b1 B− N−x1
N
= cTBB −b1 −cB(BTN −cN1N −x
z
T
)
T
= z,
= [ xB ..., , xB] NB N, aˆ j , j ∈ NB, x B0
aˆ 0
T cB B −1b
= −1 B b
xB
1
m
N.
aˆ0 j cTB B −1a j − c j aˆ1 j = aˆ j = B −1a j aˆmj
aˆ00 aˆ10 = aˆm0
xB0 xBi
= aˆ00 −
= aˆi 0 −
∑ aˆ
j∈NB
∑ aˆ x ij
j
0 jxj
i = 1,...m
j ∈NB
xBi = yi 0 , i = 1, ..., m aˆi 0 ≥ 0, i = 1, ..., m j NB 0, ∀ aˆ0Bj ≥ ∈ −1 cT − TN ≥ 0 aˆ0 j ≥ 0 ∀j ∈ NB BB N c −1 xB = B b = cBTB −1. T
T
A=
T −1 T T −1 T T =B[ N T ]c B[ B N c ≥ Bc]BB N [ B c=B B
cN Bc
−1
B
]
] [
w = b =c b−1 = z. j NB ∈ xBr = aˆr 0 < 0 aˆ0 j ≥ 0, ∀ xBr aˆ00 = cBTB −1b aˆrj > 0 T
T
aˆ00 − aˆ0 j
aˆrj < 0. aˆ0k aˆkr
aˆr 0 aˆrj
≥ aˆ00
= max j∈NB aaˆˆ0 j , aˆrj < 0 rj
aˆ0 k aˆrk
≥
aˆ0 j aˆrj
T B B
, ∀j : aˆrj
<0
24 4
Pesquisa Operacional
aˆ0 j
−
aˆ0 j
−
aˆ0 k aˆ rj aˆrk
≥ ∀ 0,
0
aˆ0 j ≥ 0 aˆrk < 0 aˆ0 k aˆ rj aˆrk
≥ ∀ 0, ≥j : aˆrj
0
j NB ∈ aˆrj ≥ 0, ∀ xBr
= aˆr−0
∑ aˆ< x∀ ≥ 0,∈ x rj
j
0, j
j
NB
j∈NB
n
∑= a
pj x j
≤ bp
j 1
n
∑= a x s + b = s pj
j
p
p,
p
≥0
j 1
s p n
∑=
sp = a ˆ p 0 −ax ˆ pj
j
j 1
p0 s p = aˆ p 0 a p 0 < 0 0 s p aˆ0 j ≥0, ∀ jˆ NB = yaˆp 0 ≥ ∈
& P s1 s2 PL PL
z = max5 x1 − x2 75x1 − x2 + s1 = 13 32x1 + x2 + s2 = 17 x1212 , x ,s ,s ≥ 0
P1 x1 ≤ 3 x1 + s3 = 3 s3 ≥ 0 P PL1 s3 s1 s2
Capítulo 3:
= −3
s3
24 3+ 29
2 s1 29
+
5 s2 29
Otimização discreta
24 5
s3
13 18 18 max 29 , 29 = − 29 2 5 5 − − 29 29 29 s2 PL1 P 2 x1 ≥ 4 x1 − s4 = 4 s4 ≥ 0 P s4 PL2 s1 s2 s4
24 29
=− −4 3−
2 s1 29
−
5 s2 29
s1 s2 PL2 P 2 Quadro 3.1
x1
x2
s1
s2
z
13 29
18 29
x1
2 29
5 29
24 29
x2
3 29
7 29
22 29
−
11
29
Quadro 3.2
z1 x1
x1
x2
s1
s2
s3
1 5
3
3 5
13
1 5
1
2 5
1
2 5
−5
4 5
4
x2
s2
2 5
3 5 4 5
24 6
Pesquisa Operacional
P 3
x2 ≤ 1 x2 + s5 = 1 s5 ≥ 0 P1 s5 PL3 s1 s3 3 5
s5 =x1−
=2 − 1 −s1 s +
1 5
7 5
=−s −s 3 +
1
3 5
1 5
1
7 5
3
s5 s3 PL3 P 4 x2 ≥ 2 x2 − s6 = 2 s6 ≥ 0 P1 PL4 s6 s1 s3 sx6 =
8 5
− =2 − +s 2s −
2
1 5
7 5
=−s +s 3 −
1
2 5
1 5
1
7 8
3
s6 s1 x = (3,2) PL4 P. Testes para eliminação de nós na árvore branch-and-bound
Pi & PLi F Pi ( Pi ) i i F ( PL ) PL i i z ) P z
Quadro 3.3
x1
x2
s1
s2
s3
z3
5 7
x1
1 7
x2
s5
2
4 7
11
6 7
5 7
2
4 7
7
2 7
s2
−
3 7
−4
1 7
s3
1 7
5 7
3 7
Capítulo 3:
z
i
Otimização discreta
24 7
i
PL z )
x* z * x*
Pi F ( PLi ) = ∅ Pi () i F (P i ) ⊆F PL i * i z ≤ z P z i ≤ z i ≤ z* PLi Pi PLi z i ≤ z i z i ≤ z i , zi
= z i.
Algoritmo branch-and-bound
& P. & z = ∞ z* = −∞ x* = ∅ L = {P} i, P i PLi i z PLi z i ≤ z * xi PLi z i z i > z * x* z* i z i ≤ z * xi PLi Pi * z* = −∞ x & ε , ε = 0,1 z Quadro 3.4
x1
x2
s1
z4
x1
x2
s2
s1
s3
s2
s6
24 8
Pesquisa Operacional
z* ( z − z* ) / z ≤ ε x* ε x* × ε Seleção de nós na árvorebranch-and-bound
& z* z** z** > z* ( z* , z** ] & n
z = max j =1 p j x j
∑ ∑= a x n
j
j 1
x ∈ Bn
p j , a j > 0, ∀j.
j
≤b
Capítulo 3:
p1
Proposição 3.1
pn
≥≥...
a1
an
r −1
∑= a
,≤
j
Otimização discreta
24 9
r
∑=
>b
, a bj
j 1
j 1
0 ≤ x j ≤ 1, ∀j x j = 1, j = 1, ...,
r −1, xr
r −1
= (b − ∑ a j ) / ar ,
xj
= 0, j = r + 1, ..., n
j =1
Demonstração. n
∑= a x j
j
+y b =
≥0
y,
j 1
0 ≤ x j ≤ 1, ∀j n xr xr
b
= −
arar
a1
− x1−
ar
...− ar
an
xn
1
y
z
pr a1 + +.) x1 ..−( ar
= max(−p1
p1 a1
≥ ... ≥
pn an
pa 1 pr r ++1 + )− r +... ( x−+n1 + rr n ) p ar ar a ra
r
pr an
x
p
y
pb
> 0 x1 , ...,
xr −1
xr +1 , ..., xn, y x1 , ..., xr −1 (b −a
r −1
∑= a ) / j
xpara r
r xr +1 , ..., xn, y
j 1
Exemplo 3.19 z = max 31+x1 126 + x+2 131 + x34+ 37+x
13 x1 + 111+x2+ 101x+ 34 27+x
180 + x5+ 170+ x6 182 x7 123 x8 160 x9
174 + x5+ 136 + x6 +146 ≤ x78 99 x
145 x91 76 x 0
80 x10 606
p1 a1 p9 a0
= 2,384 > = 1,1034 >
p4 a4
= 1,370 >
p10 a10
p3 a3
= 1,052 =
= 1,297 >
p5 a5
p6 a6
= 1,280 >
p7 a7
= 1,246 >
p8 a8
= 1,242 >
p2 a2
= 1,135 >
= 1,034
x12= 1; x= 0, 76; = x3= 1;=x4 =1; x=5 0; = x6= 1; =x7 1; x89 1; x 0; x10 0 z = 769,35
& &
25 0
Pesquisa Operacional
x1 = 1, = x23 1,= x= 1, x=4 0, x5 0, x6 = 1, x7 = 1, x8 = 1, x9 = 0, x10 = 0 &
Figura 3.39 Árvores para duas estratégias de busca.
Capítulo 3:
Otimização discreta
25 1
Figura 3.40 Evolução da busca pelo maior limitante superior para o problema da mochila.
Figura 3.41 Evolução da busca em profundidade para o problema da mochila.
3.9.2 Algoritmo de planos de corte de Gomory
Definição 3.5 x ≤ φ0 X ⊆ R n x ≤ φ0
∈
25 2
Pesquisa Operacional
X x = φ0 Proposição 3.2 x ≤ b X = {x ∈ Z 1 : x ≤ b}
= {x: Ax ≤ b, x ∈ Z +n } A m × n {a1 , ..., a n} u ∈ R+m X
n T
X u ≥ 0
n
∑= a x j
∑= u a
jxj
u ≤b
T
j 1
j
≤ b.
j 1
n
∑= ua
T
j 1
j
x ju≤b
T
X x ≥ 0 n
∑= ua T
j 1
j
xj u ≤b
T
n
∑=
X , u Ta x j j 1
X
Exemplo 3.20 (0,0,0,35/6) X
Z +4 :+5 x1234 + 7+x ≤4 x 6 x 35} u = 1/ 6
= {∈x
5 /6 x1 + 7/ 6 +x2 4+/≤6 x3 x2 + x4 ≤ 5
x4
35 / 6
+ ≤ x1 ∈2 x2 17, x Z +2 } Exemplo 3.21 X = {7−x1 ≤5 x2 13,3
u 21 3 x1 − x2 20 4
≤ 39
20
21 x + − 3 x ≤ 20 1 4 2
39 20
x2 − x1 ≤ 1
Capítulo 3:
Otimização discreta
25 3
Corte de Gomory
{
z = max cTx : Ax = b,x
( P)
∈ Z +n }
z
( PL)
= max {cTx : Ax = b,x ∈ R+n }
xBi , i = 1, ..., m NB
∑ aˆ
z = max aˆ00 + xBi
+
∑ aˆ x ij
j∈NB j
j∈NB
0 jxj
= aˆi 0 ,
i = 1, ..., m
x ∈ R+n
aˆ0 j ≤ 0 j ∈ NB aˆi 0 ≥ 0, i = 1, ..., m. i yi 0 i xBi
+
∑ aˆ x ij
j∈NB
j
≤ aˆi 0
xBi
∑ (aˆ
j∈NB
ij
−aijˆxj i)a ≥aˆ 0i − ˆ 0
∑
fij xj
≥i f 0
j∈NB
fij =ijaˆ− ij aˆ ≤ ,
f
=i 1,e−i
f i0
< aˆ<0 i ,aˆ00
f10
Figura 3.42 Ilustração de desigualdade válida.
25 4
Pesquisa Operacional
x j = 0 j ∈ NB si ≥ 0 si
=
∑
fxij j j∈NB
f
i
−
0
xBi
∑ +f x−
= −fi 0
ij
j
j ∈NB
aˆi0
∑ aˆ x ij
j
j∈NB
xBi
=− +si aˆ−i 0
∑ aˆ x
j∈NB
ij
j
si Algoritmo de Gomory
k = 0 PL0 = PL PL P. zk
= max{cT x : x ∈ PLk }
P. fi 0 > 0 PLk k = k + 1 i 1 n ≥ ... ≥ z n z X z = z 0≥ ≥z PL i, = 0,1,..., = X 0⊇X⊇1 ⊇ ... X n i i i X z PL .
f i 0 , f i 0 > 0 ( P ) f r 0 = max i Exemplo 3.22
( P)
z = max 5 x1 − x2 75x1 − x2 + s1 = 13 3 x1 + 2 x2 + s2 = 17 x, s ∈ Z +2 PL x, s ∈ R+2
P, PL 11 z = 16 z. 29
x = (3
24 29
,2
22
),
29
Capítulo 3:
Otimização discreta
25 5
f10 = 24 > f 20 = 22 x1 29 29 2 29
s1 +
5 29
s2
≥
24 29
P, x1 ≤ 3 s3 −s 2s−1 = 5− 2 s 24, ≥ 3 0 s 3 = −24 s1 s2 s 2 , 2 s1 + s3
≥4
3x1 − 2 x2 ≤ 5 s4 − 2 s1− s=3− 4 x = (3,2) Quadro 3.5
x1
x2
z
x1
x2
s1
−
s2
13
18
11
29 2 29
29 5 29
29
3 29
7 29
24 29
22 29
Quadro 3.6
s3
x1
x2
s1
s2
z
1 5
0
3
x1
0
0
x2
1 5
0
1
2 5
3 5
s2
2 5
−5
4 5
4 5
−
3 5
13
2 5
3
25 6
Pesquisa Operacional
Quadro 3.7
x1
x2
s1
s2
s3
z
0
3
x1
0
0
1
x2
0
s4
1 2
1
−
1 2
13
3
1
2
2
s2
−6
s1
1 2
−2
1 2
Figura 3.43 Cortes de Gomory.
3.9.3 Método
branch-and-cut
& &
Capítulo 3:
Otimização discreta
25 7
Exemplo 3.23 z = max 25+x1 + 2+x2
31x3
14 x1 + 25 x+2 14 + x3≤ 6 x4 19 x1234 + 30 + +x ≤ 24 x
30 x4 146
29 x
239
x ∈ Z+
4
& Quadro 3.8
x1
x3
x2
z
37
x1
x3
x4
13 14
4 7 11 − 14 2
s1
s2
5
26 35
11 70
1
1 5
309
26 35
−3
26 35
12 35
−
1 5
2
9 35
4
6 35
1 5
8
6 35
−
19 70
Figura 3.44 Árvore B&B com busca pelo nó de maior limitante superior.
25 8
Pesquisa Operacional
x1 , 4 9 x2 + x+4 7 35
12 + −s1 35
4 5
= s2
9 35
s3
20 x1234 + 32 + +x ≤ 24 x
25 x
241
Quadro 3.9
x1
x3
x5
z
37
x1
2
x3
s1
x4
x2
2 3
−
1 3
1
2 3
5
5 6
11 24
3 8 3 4
x3 ,
2 3 5 x2 + x+4 + s2 3 8 62
s3
5 8
−4 4
s2
2
5 4
− = s3
−
19 24
1 3
−2
11 12
3 8
5 8
8
3 8
5 6
s4
309
3 4
20 x1234 + 31x+ + 25 x
≤ 29 x
249
x7 113 x2 + x+4 14 7
1 − x=5 s5 14
3 7
x1 + x2 + x3
≤ 10
26 309 35
4
308 5 &
Capítulo 3:
Otimização discreta
25 9
Quadro 3.10
x1
x3
z
x1
x6
x7
x4
x2
s1
36
69 70
5
2
51 70
−3
33 x3 s2 s3
s4
4
− 35
8 35
1 14
1
1 5
309
10 35
23 35
5 14
−
1 5
2
12 35
3
2
1
8
3
2 35
35 3 35
−7 2 −
5 4 − 5
35 3 35
11 14
3 7
1 14
3 7
7
Quadro 3.11
x1
x3
s3
s2
s1
x4
x2
1 5
4 5
s5
36
1
4
1
x1
−1 5
−5 5
−5
x3
2
1 5
5
4 5
1 5
s3
3
1 5
1
4 5
4 5
s1
1
1 5
z
s2
4
s4
−
308
4 5 1 5
9
4 5 9 5
Algoritmo branch-and-cut
& z = ∞ z* = −∞ x* = ∅ L = {P} i P i
26 0
Pesquisa Operacional
Figura 3.45 Árvore B&B com cortes no nó 0 e busca pelo nó de maior limitante superior.
PLi PLi k = 0 k PLi PLi k z i k PLi k z i k ≤ z* x i k PLi k z i k z i k > z* x* z* i z i ≤ z* x i k PLi k ik
P * * x z = −∞ 3.10* PRÉ-PROCESSAMENTO
Exemplo 3.24 max 8
4 x1 + 3 x2 − 2 x3 x15 − x210+
x320 ≤
1 0 x1 +4 x2 −2 x3 ≥ 10 x1 + x2 + x3 ≤ 5
0
≤ x≤1 3; ≤0 ≤
x2≤1; 1
x3
Capítulo 3:
Otimização discreta
26 1
x1 x2 ≤ 1
− x3 ≤ −1
8 x1 ≤ 20+ 5 x−2 10≤x3 + × 20− × 51=
101
15
15 x1 ≤ 8 x3 10 x3 5
≤ 20+
5 x−2 8≤x1
+ 20 × − ×5 =15
0
25
x3 ≤
2 x2 5 x2
≥ 8 x1+
10 x−3
≥20× +801 × − 0=− 12
0
10
x2 ≥ 0 x1 10 x1 ≥ 102 + x−3 4 x1 ≥ 5
4≥x2
+ 102 × − × =14
18
x2 x3 x3 10 x3 ≤ 205 + x−2 8≤x1
x3 ≤
+ 205 × − × =1
8
4 5
93 5
93 50
15 93 +1+ < 5 8 50
max 8
4 x1 + 3 x2 − 2 x3 x15− x210+
x320 ≤
1 0 x1 +4 x2 −2 x3 ≥ 10 4 0 ≤ x≤1 5
15 ;1; ≤1 8
≤
x2≤
≤
x3
93 50
x2 x2 u1 u2 u3 x2 ≤ 1
−5−u1
4+u2 ≥ u3
3
26 2
Pesquisa Operacional
u3 > 0 x2 = 1 x3 x3 u4 x3 ≥ 1 u4 = 0 x3 93
[1, ] x3 > 1 x3 50 x3 u4 < 0 x3 = 1 max {4:x1 4 5
} ≤ x1 ≤ 15 8
Proposição 3.3 S x= {ax :
+
∑= n
0 0
ax b≤ l j x≤j≤ u= , j j 1
x0
≤ (b −
x0
≥ (b −
∑
a jl j
−
∑
a jl j
−
j:a j >0
jn
j
a0 > 0
1j , ..., },
∑
a j u j ) / a0
∑
a j u j ) / a0
j:a j <0
a0 < 0 ax0 0 +
j:a j >0
∑ax= b ∑> au n
j 1
j
j:a j <0
≤
j
j
j
+
∑al b
j:a j <0
j:a j 0
j j
≤
j
>
S = ∅
∑
j:a j >0
al j
j
+
∑au b
j:a j <0
j
max { :cx Ax ≤ , b l x≤ u} ≤ aij > 0, i = 1,. .., m c j < 0 x j = l j aij ≤ 0, i = 1,. .., m c j > 0 x j = u j Exemplo 3.25 2 x1 + x3 + x4 ≥ 2 x1 − 2 x2 + 5 x3 + 2 x4 ≤ 4 − 2 x1 + 6 x2 + x3 − x4 ≤ 3 5 x2 − 3 x4 ≥ 0
x3 = 0 x1 = 1 x1 + x3 ≥ 1 x1 + x4 ≥ 1
Capítulo 3:
Otimização discreta
26 3
x3 = 1 x2 = 1 x3 ≤ x2 x3 = x4 = 1 x3 + x4 ≤ 1 x2 = 1 x1 = 1 x4 = 1 x2 ≤ x1 x2 ≤ x4 x2 = x3 = 1 x2 + x3 ≤ 1 x4 = 1 x2 = 1 x2 ≥ x4 x2 ≤ x4 x4 ≥ x2 x2 = x4 x3 ≤ x2 x2 + x3 ≤1 x3 = 0 x1 + x3 ≥ 1 x3 = 0 x1 = 1 x1 = 1 x2 = x4 x3 = 0 x2 ∈ {0,1} (1,1,0,1) (1,0,0,0) Proposição 3.4 n
X
= {x ∈ B n : ∑ a j x j ≤ b} j =1
∑
X = ∅ b < 0
j:a j <0
n
∑= a x j
j
aj
>b
≤ b
∑
j:a j >0
j 1
aj
≤b
xi + x j ≤ 1 ai + a j > b ak > 0
∑
j:a j <0
aj
+ ak > b
xk
=0
3.11* OUTROS MÉTODOS EM OTIMIZAÇÃO DISCRETA
Definição 3.6 P = {x :A x =b x, ∈ R+n }
m n ×
26 4
Pesquisa Operacional
Exemplo 3.26 x1 − x2 ≥ −2 x1 + x2 ≥ 1 x1 , x2 ≥ 0,
Teorema 3.1 P = {x :A x =b x, ∈ R+n }
w j, j
xi , i = 1, ..., p = 1..., q x ∈ X p
x=
q
∑= +α x β∑= α≥w ,≥β ii
jj
i 1
i j 1
j
p
=0,iα
0,
∑=
1
i 1
1
1
3
x 2 + w1 + w 2 x 2 + x3 + w1 2 2 2 x ∈ X p
x=
∑= α x , ii i
p
α
≥ 0,i
i 1
∑= α
=1
i 1
n T
min
( sy ∑∑ = =
i it
+hiI it)
i 1 t 1
I it
= Iit +, −−1
it
x
=it
d ,
i =1, ..., ,n
t 1, ...,
Figura 3.46 Pontos extremos e raios extremos de um poliedro.
T
Capítulo 3:
Otimização discreta
n
∑= (spy b x+ i it
C )t≤ t
i it
1, =T...,
,
26 5
i 1
xit
≤ Mit ity
M it
i = 1, ..., n,
,
= min{
Ct
− spi bi
t =1, ..., T
T
,
∑= d
i =1, ..., , n
iτ },
t1,=...,
T
τ t
nT nT x ∈ R+nT , I ∈ R + , y∈B
z = max c Tx +d yT Ax +Dy ≤b
x ∈ R+n , y ∈ Z +p Método de Benders
z = maxn [d +Ty
maxn c{−x≤TAx: b Dy
y∈Z +
}]
x∈R+
h( y ) = maxn {c xTA:x b ≤Dy− x∈R+
}
ν ( y ) = minm {(u T b −Dy )u: AT c ≥ u∈R+
T
}
{u1 ,..., u p } {w1 ,..., w q } (w k )T b ( − Dy ) ≥ 0, k = 1,..., q h(y ) min {(u j )(T b − Dy )}
1≤ j ≤ p
z = max [dyT y ∈Z p +
+ 1min ≤ j ≤ pu{(
Ty bj )(D
−
)}]
max σ
σ , y∈Z+p
− ≥ = ) σ , j 1,..., p (w k ) b ( − Dy ) ≥ 0, k = 1,..., q
d Ty
+u(
T j )b ( Dy
T
26 6
Pesquisa Operacional
Pˆ ⊂ {1, ..., p} Qˆ ⊂ {1, ..., q} max σ
σ , y∈Z +p
d Ty
+u(
− ≥ ∈ ) σ, j −Dy ) ≥ 0, k ∈Qˆ
T j )b ( Dy T
(w k ) b (
Pˆ
zit = bi itx rit = bi itI I10 = I 20 = 0 α β [α , β ] r11 h1 / b1 Cˆ1 , Cˆ 2 Cˆ3 yit Cˆt =t C− tsp−y1 t1 sp−yt 2 2sp y 1 3 +2 − bˆ3d +11 d( + 1d− 12 b d +13d)+ d2 ( 21 Cˆ1 +C ˆC 22 23 ) Método de Dantzig-Wolfe
z = max cTx +d yT A1x +D y1 ≤ b A 2x +D y2 b ≤ n
1 2 p
x ∈ R+ , y ∈ Z +
(m1 × n) (m2 × n)
Capítulo 3:
Otimização discreta
26 7
Figura 3.47 Rede de dimensionamento de lotes.
A 2x +D y2 b≤ 2 A1x +D y1 b≤ 1 A1x +D y1 ≤b 1 A 2x +D y2 b ≤ 2 A1x +D y1 ≤b 1 A 2x +D y2 b≤ 2 x ∈ R+nT , y ∈ BnT {xk , y k }kK=1 X2
= {(x,y A) : x+2D ≤y b∈ 2 x ∈ 2,
y R+n ,
Z +p }
26 8
Pesquisa Operacional
K
X2
= {(xy, x=) :
K
x=yα ∑ =
K
∑=
,y α = kk α
kk
k 1
∑=
∈ k
, α=k
k 1
1,
{0,1}, k
1, ..., } K
k 1
K
K
= max ∑ (ckTxk
z PM
)α
k =1
K
T +kk∑ (d y
)α
k =1
K
∑ (Ax
+∑ (Dyk k 1
1 k )kα
k =1
≤
)b α
1
k =1 K
∑= α
=1
k
k 1
αk
∈{0,1},
k
= 1, ...,
K
K
K
k =1
k =1
= max ∑ (cxTk k )α + d∑ y kk(
z PML
K
K
∑= (Ax
T
)α
+Dy∑ k( k 1b )α ≤
1 k )kα
1
k =1
k 1
K
∑= α
k
=1
k
= 1, ...,
k 1
αk
≥ 0,
K
zPL z PL ≥ zPML m {π i }i =11 µ
z PMLR
Λ
Λ
k =1
k =1
= max ∑ (cxTk k )α + d∑ yk (k
Λ
)α
Λ
∑= (Ax
+Dy∑ k( k 1b )α ≤
1 k )kα
1
k =1
k 1
Λ
∑= α
k
k 1
αk
T
≥ 0,
k
=1 = 1, ...,
A
* Λ ⊂ K ( , µ ) * z PMLR ≤ zPML * (x, y ) ∈ X 2 (cTx d+ yT− πATx(+ −D 1 y ≤ 1 ) µ ) 0 η = max{( −πcT
+T
µ−(A)πx 1 d T T
D∈)y
1
xy : ( , )
X 2}
Capítulo 3:
Otimização discreta
26 9
*
η ≤ 0 (x , y ) (cTx +dyT A, x1 D + y 1 ,1) T z PML ≥ z Relaxação lagrangiana
z = max cTx +d yT A1x +D y1 ≤ b 1 A 2x +D y2 b ≤ 2
x ∈ R+n , y ∈ Z +p
u ∈ R+ A 2x +D y2 b≤ m2
T T g (u) = maxc Tx d+ y+ u b (- A2 x - D 2 y) A1x +D y1 b ≤ 1
2
2
x ∈ R+n , y ∈ Z +p
g (u) ≥ z (x* , y* ) (x* , y* ) A 2x * +D y 2 *b≤ 2 u ∈ R+m2 cTx * +d yT * ≤ T * T * T * * ( A2 x – D c x +d y + u b – 2 y 2 u) ≤ g ( ) m2
w = min{(g u) : u ∈ R+ }
zPL w ≤ z PL w = z PML Heurísticas
–
27 0
Pesquisa Operacional
Capítulo 3:
Otimização discreta
27 1
x = [26 34 95 70 99 40 39 53 39 3 71 45] y = [38 31 54 88 89 63 85 81 96 95 65 17 ]
27 2
Pesquisa Operacional
Figura 3.48 Exemplo de busca local para o problema do caixeiro-viajante.
Capítulo 3:
Otimização discreta
27 3
3.12 NOTAS
27 4
Pesquisa Operacional
k + 1
Capítulo 3:
Otimização discreta
27 5
3.13* EXERCÍCIOS77 {1, 2,3, 4,5, 6}
Tabela 3.3
Tabela 3.4
27 6
Pesquisa Operacional
Tabela 3.5
Tabela 3.6
Capítulo 3:
Otimização discreta
27 7
Tabela 3.7
Tabela 3.8
27 8
Pesquisa Operacional
cij
Tabela 3.9
Capítulo 3:
Otimização discreta
27 9
aij
1 = 0
se a máquina i pode processar a tarefa j caso contrário
Tabela 3.10
Tabela 3.11
28 0
Pesquisa Operacional
pi vi ti P ,V , T j j j k j cij
rt
st t2 t2 > t1 t1 ≤ t ≤ t2
Tabela 3.12
Tabela 3.13
Capítulo 3:
Otimização discreta
28 1
Tabela 3.14
Tabela 3.15
28 2
Pesquisa Operacional
Tabela 3.16
Tabela 3.17
Capítulo 3:
Tabela 3.18
Tabela 3.19
Tabela 3.20
Otimização discreta
28 3
28 4
Pesquisa Operacional
Tabela 3.21
Tabela 3.22
Tabela 3.23
Capítulo 3:
Otimização discreta
28 5
Tabela 3.24
Tabela 3.25
Tabela 3.26
28 6
Pesquisa Operacional
Tabela 3.27
Tabela 3.28
Capítulo 3:
Otimização discreta
28 7
z = max x1 + x2
− 2 x1 + 2 x2 ≤ 3 7 x1 + 3 x2 ≤ 22 x ∈ Z +2
z = max10+x1 +15 x23 + 36+ x + 20+x45 15 x 18 x6 20 x7 10 x1 + 17 x2 + 49 x3 + 30 x4 + 11x5 + 21x6 + 31x7 ≤ 100 x ∈ B7
≤ z = max 5−x1 −7 x2+ 10 − x3 3x4 5 x5 x1 + 3 x−2 5+x3+ x4≤ 4 x5 0 −2−x123456+x −3x − 2 x≤− 2 x 4 2 x2 − 2 x3− x+4 ≤x−5 2 5
x ∈ B
X = {∈x B 2 :−5 x1≤ 7 x2 2} X = {( x, y ),∈x ∈R+1 , ≤y ≤ B1 : x 15 y, x 8} X = {( x, y ),∈x ∈R1+ , y≤ Z≤1+ : x 5 y, x 12} X = {∈x Z +2 :+2 x1≤ 7 x2− ≤18, x+2 x≥1 5, 2 x1 9 x2 20} X
Z +4 :+2 x1+ +6 x2 15 ≥ x3 10 x4 4 x = (0,0, ,0 ) 3
= {∈x
20}
x2 + x3 + 2 x4 ≤ 6 X = {∈x Z +4 :+6 x1+ +7 x2 10 ≤ x3 14 x5 40}
∑∈ Q y ≥ ∑∈ q i i
iI
jJ
j
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Otimização em redes
4.1 NOÇÕES BÁSICAS DE REDES E GRAFOS
Definição 4.1 28 9
29 0
Pesquisa Operacional
Exemplo 4.1
Definição 4.2
× ∈ ∈
Figura 4.1 Exemplo de representação de um grafo.
Capítulo 4: Otimização em redes
29 1
Exemplo 4.2
Definição 4.3
Definição 4.4
Definição 4.5
Figura 4.2 Exemplo da representação gráfica de uma rede orientada.
29 2
Pesquisa Operacional
Definição 4.6
Definição 4.7
⊆ ⊆ ∈
Propriedade 4.1 Exemplo 4.3
Figura 4.3 Exemplos de árvores geradoras do grafo da Figura 4.2.
Capítulo 4: Otimização em redes
29 3
Representação matricial de grafos
4.8 Definição × ∈
Exemplo 4.4
1
0 1 0 1
2
3 4
1
1 0 1 1
0 1 1 2 1 0 1 1
1 0
3 4
0 0 0 0
2
3 4
1 0 1 1
0 1 1 2 0 0 0 3
0 1 0 4
≠ ∈ Definição 4.9
× ∈ ∈
Figura 4.4 Exemplos de subgrafos com três arcos que não são árvores geradoras do grafo da Figura 4.2.
29 4
Pesquisa Operacional
Definição 4.10
× −
Exemplo 4.5
(1,2) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)
1 1 0 0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1 2 3 4
(1,2)
1 -1 0 0
(1,4)
(2,3) (2,4)
1
0
0
0
1
1
0
-1
0
-1
0
-1
(4,3)
1 2 -1 3 1 4 0 0
Outras representações de redes*
∈ ∈ ∈
Figura 4.5 Lista encadeada simples de um nó i.
Capítulo 4: Otimização em redes
29 5
Exemplo 4.6
×
Exemplo 4.7
← ← ← ← ←
1 1 2 2 4
2 2 4 5 4 1
3 1 3 3
Figura 4.6 Lista de adjacência da rede do Exemplo 4.2.
29 6
Pesquisa Operacional
Exemplo 4.8
← ← ← ← ←
1 2 4 1 2
2 2 3 1
5 1
3 3 4 4
Capítulo 4: Otimização em redes
29 7
Exemplo 4.9
4.2 ALGUMAS APLICAÇÕES E MÉTODOS DERESOLUÇÃO
4.2.1 O problema de caminho mínimo
Exemplo 4.10
Exemplo 4.11
Exemplo 4.12
29 8
Pesquisa Operacional
Figura 4.7 Problema de planejamento da produção em lote como um problema de caminho mínimo.
Capítulo 4: Otimização em redes
29 9
Tabela 4.1 Demanda em cada período (em toneladas).
Exemplo 4.13
30 0
Pesquisa Operacional
Figura 4.8 Problema de produção em estágios transformado em um problema de fluxo.
Tabela 4.2 e custos unitários de produção. Probabilidade de defeito em cada período
Capítulo 4: Otimização em redes
30 1
Tabela 4.3 Custos de inspeção conforme períodos.
Tabela 4.4 Custos fixos de inspeção conforme períodos.
30 2
Pesquisa Operacional
Exemplo 4.14
≤ −
Capítulo 4: Otimização em redes
30 3
≤ −
Tabela 4.5correspondentes. Pesos dos itens e utilidades
30 4
Pesquisa Operacional
Formulação matemática do problema de caminho mais curto entre dois nós
Capítulo 4: Otimização em redes
30 5
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.9 (a) Grafo inicial; (b) Arcos devido à inserção do item 1; (c) Arcos devido à inserção do item 2; (d) Arcos devido à inserção do item 3; (e) Arcos devido à inserção do item 4; (f) Introdução de arcos artificiais para simplificação do problema.
30 6
Pesquisa Operacional
(e)
(f)
Figura 4.9 cont. (a) Grafo inicial; (b) Arcos devido à inserção do item 1; (c) Arcos devido à inserção do item 2; (d) Arcos devido à inserção do item 3; (e) Arcos devido à inserção do item 4; (f) Introdução de arcos artificiais para simplificação do problema.
n
∑ ∑c x ij
ij
i =1 j∈S ( i )
∑ x =1 ∑ x =1 ∑x =∑x 1j
j∈S (1)
in
i ∈P( n )
ij
i∈ P j )(
≥
jk
k S j)(
−
∈
Capítulo 4: Otimização em redes
30 7
Figura 4.10 Grafo resultante para o problema da mochila.
O algoritmo de Dijkstra para determinação do caminho mínimo entre dois nós no grafo
−
30 8
Pesquisa Operacional
∈ ≥ ∈ ∞ ∞ ∈ ∞ ∈ ∈ ∈ ← ←
Figura 4.11 O nó p está necessariamente mais próximo de 1 do que o nó k.
Capítulo 4: Otimização em redes
30 9
≠ Exemplo 4.15
∞ ∞ ∞ ∞
Figura 4.12 Encontrar o caminho mínimo do nó 5 ao nó 2.
Figura 4.13 Nó rotulado: 5.
31 0
Pesquisa Operacional
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
Figura 4.14 Nós rotulados: 5 e 6; caminho mínimo do nó 5 ao nó 6.
Capítulo 4: Otimização em redes
∞ ∅
Figura 4.15 Nós rotulados: 5, 6 e 4; caminho mínimo do nó 5 ao nó 4.
Figura 4.16 Nós rotulados: 5, 6, 4 e 3; caminho mínimo do nó 5 ao nó 3.
31 1
31 2
Pesquisa Operacional
Figura 4.17 Nós rotulados: 5, 6, 4, 3 e 1; caminho mínimo do nó 5 ao nó 1.
Figura 4.18 Nós rotulados: 5, 6, 4, 3, 1 e 2; caminho mínimo do nó 5 ao nó 2.
Capítulo 4: Otimização em redes
31 3
O algoritmo de Ford para determinação do caminho mais curto entre dois nós no grafo
∈
Figura 4.19 Árvores que contêm todos os caminhos mínimos a partir do nó 5.
Figura 4.20 Grafo com arcos com comprimentos negativos.
31 4
Pesquisa Operacional
∞ ∈ ∈ ∈ ∞ ∈ ∈ ← ← ∪ ≠ ∅ ∈ ← ← ∪ ← ∅ ∈ − Exemplo 4.16
∞
Capítulo 4: Otimização em redes
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
31 5
31 6
Pesquisa Operacional
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∅ ∞ ∞ ∞
Capítulo 4: Otimização em redes
31 7
∞ ∞ ∞ ∅ ∞ ∞ ∞ ∞ ∅ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
Exemplo 4.17
31 8
Pesquisa Operacional
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
Figura 4.21 Grafo com circuito negativo.
Capítulo 4: Otimização em redes
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
31 9
32 0
Pesquisa Operacional
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
Capítulo 4: Otimização em redes
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
32 1
32 2
Pesquisa Operacional
∞ ∞ ∞
O algoritmo de Floyd para determinação do caminho mais curto entre todos os pares de nós no grafo*
∞ ∞
32 3
Capítulo 4: Otimização em redes
∉ ∈ ∞
∈ ∈ ∞ ∉ ≠ ← Exemplo 4.18
×
0 2 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ − 4 3 0 − 7 ∞ ∞ 2 ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 10 5 0 4 5 ∞ ∞ 1 ∞ 0
32 4
Pesquisa Operacional
1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞
∞∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
Capítulo 4: Otimização em redes
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 2 ∞ 0 − 4 − 2 2 4 ∞ ∞ 5 7 1 2 3 4 5 6
∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 − 7 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ 10 5 0 4 ∞ 1 ∞ 0
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 1
3 3 3 3
1
4 4 4 4
5 5 5 5 5 1
6 6 6 6
0 ∞
2 0
4 2 − −
2 6 5
1 2 3 4 3 6
4
8 7
∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 − 7 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ 10 3 0 4 ∞ 1 ∞ 0
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 1
3 3 3 3
1
4 4 4 4
1
5 3 5 5
1
6 6 6 6
0
2
∞
∞ ∞ ∞
∞ 0 ∞ ∞ − 5 − 3 0 − 7 2 4 ∞ 0 5 7 10 3 3 5 ∞ 1
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 4 ∞ 0
32 5
32 6
Pesquisa Operacional
1 2 4 4 4 4
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 1
3 3 3 3
1
4 4 4 4
1
5 3 5 5
1
6 6 6 6
0
2
∞ 0 − 5 − 3
2
5 3
1 2 4 4 4 4
4 7 5
∞
∞ ∞ ∞
∞
∞ ∞ ∞ − 7 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ 10 3 0 4 ∞ 1 ∞ 0 0
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 1
3 3 3 3
1
4 4 4 4
1
5 3 5 5
1
6 6 6 6
0
2
∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ − 5 −3 0 − 7 2 4 ∞ 0 5 7 10 3 3 5 ∞ 1 1 2 4 4 4 4
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 4 ∞ 0
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 1
3 3 3 3
1
4 4 4 4
1
5 3 5 5
1
6 6 6 6
Capítulo 4: Otimização em redes
32 7
4.2.2 O problema de caminho máximo
32 8
Pesquisa Operacional
∈ ⊆ ∅ ∉ max i∈P ( k )
Exemplo 4.19
⊄
Figura 4.22 Encontrar caminho mais longo (caminho crítico) entre os nós 0 e F.
Capítulo 4: Otimização em redes
32 9
∅
Figura 4.23 Caminho mais longo (caminho crítico) do nó 0 ao nó F.
33 0
Pesquisa Operacional
δ δ ≤ δ ≤ δ δ ≤ δ ≤
Capítulo 4: Otimização em redes
33 1
4.2.3 O problema da árvore geradora mínima
Exemplo 4.20
Formulação matemática do problema da árvore geradora mínima
33 2
Pesquisa Operacional
≥ ∈
∑
cij yij
∑
x1 j
∑
xij
( i , j )∈E
= n −1
{:j (1, j )∈E }
{i:(i j , E)∈ }
−
∑
x
jk k jk{ E:( , )∈ }
= 1,
j = 2,..., n
≥
∈
≥
∈
≤
∈
∈
∈
≥
Capítulo 4: Otimização em redes
33 3
≤ ≤ ≤
Algoritmo de Kruskal para geração de árvore mínima
∅
Figura 4.24 Grafo ilustrativo para determinação da árvore geradora mínima.
33 4
Pesquisa Operacional
Figura 4.25 Nó inicial da árvore geradora mínima.
≠ ∅ ∈ ∈ ∈ ∈ ← ∪ ← ← ← ∪
∅
Figura 4.26 Nó 2 é o mais próximo dos nós em C.
Capítulo 4: Otimização em redes
33 5
∅ 4.2.4 Problemas de fluxo
Figura 4.27 Nó 4 é o mais próximo dos nós emC.
33 6
Pesquisa Operacional
Figura 4.28 Nó 3 é o mais próximo dos nós em C e árvore geradora mínima do grafo da Figura 4.24.
− ij xki
∑
k∈P ( i )
∑ x ij
j∈S ( i )
ki ij k∈P ( i )x j∈S ( i )x ∈ ∈ ∈ ∈
∑
∑
Capítulo 4: Otimização em redes
33 7
Figura 4.29 Conservação do fluxo no nó i.
∑c x ij
ij
( i , j )∈E
∑x − ∑x ij
j∈S ( i )
k∈P ( i )
ki
ij ≤
≤ ∈ ij ij ≤ ≤ − ij ij
Figura 4.30 Grafo exemplo de problema de fluxo.
33 8
Pesquisa Operacional
x
1 1 0 0 0 x1214 7 − 1 0 1 1 0 −4 0 0 − 1 0 − 1 x23 −5 x24 0 − 1 0 − 1 1 x 2 43
1 1 0 0 0 − 1 0 1 1 0 0 0 − 1 0 − 1 0 − 1 0 − 1 1
O problema de caminho mínimo
−
Capítulo 4: Otimização em redes
33 9
∑c x
ij
ij
( i , j )∈E
∑ x − ∑ x − ∑ x − ∑ x − 1j
j ∈S (1)
k1
k ∈P (1)
js
s∈S ( j )
≥
kj
k∈P ( j )
∈
O problema de fluxo máximo
Figura 4.31 Construção de grafo equivalente com limitações de fluxo apenas nos arcos.
34 0
Pesquisa Operacional
∑x − ∑x 1j
j∈S (1)
k1
k∈P (1)
∑x − ∑x ∑ x − ∑ x − ij
−
ki
j∈S ( i )
k∈P ( i )
nj
j∈S ( n )
kn
k∈P ( n )
≤ ≤ ∈
∑x − ∑x 1j
j∈S (1)
∑x − ∑x ∑x − ∑x ij
k1
−
ki
j∈S ( i )
−
k∈P (1)
k∈P ( i )
nj
j∈S ( n )
kn
k∈P ( n )
∑x − ∑x ij
j∈S ( i )
k∈P ( i )
≤ ≤
ki
∈
O algoritmo de Ford e Fulkerson para resolução do problema de fluxo máximo
*
xij < *uij 0 < xij − xij* − xij*
Capítulo 4: Otimização em redes
34 1
xij* xij* xij*
Figura 4.32 Um caminho do nó 1 ao nó n.
34 2
Pesquisa Operacional
Figura 4.33 Subgrafo srcinal.
Algoritmo de Ford e Fulkerson
∈ ∈ ∈ ← ∅ ∈
Capítulo 4: Otimização em redes
34 3
≠ ∅ ∉ ∈ ← ∉ ← ∪ ← ∪ ∉ − ← ∪ ← ∪ ∈ − ∈ ∅ δ +∞ ≠
34 4
Pesquisa Operacional
← ∪ δ δ ← ∪ δ δ − ← ← δ ∈ ← δ − ← δ − ← δ ← δ Exemplo 4.21
− − − − − − − − − − ←∅
Figura 4.34 Grafo ilustrativo para aplicação do algoritmo de Ford e Fulkerson.
Capítulo 4: Otimização em redes
∅
Figura 4.35 Grafo da Figura 4.34 com os limites iniciais de v–(i, j) e v+(i, j).
34 5
34 6
Pesquisa Operacional
δ − − ←∅ ∅
Capítulo 4: Otimização em redes
34 7
δ − − − ←∅ ∅ ∅
34 8
Pesquisa Operacional
Definição 4.11
− − − − Exemplo 4.22
− Definição 4.12 − − − ∈ ∈ −
− − − − ∈ ∈ ∉ − − ( i , j )∈(∑R ,N − R ) uij − − − − Propriedade 4.2 ⊆ ∈ ∉
Propriedade 4.3
−
Capítulo 4: Otimização em redes
34 9
− − O problema de transporte
m
n
∑∑ c x
ij ij
i =1 j =1
n
∑x
ij
≤ ai
= bj
j =1
m
∑x
ij
i =1
≥ m
∑
n
∑
ai = b j i =1 j =1
Figura 4.36 Grafo do problema de transporte.
35 0
Pesquisa Operacional
m
(
n
∑ a − ∑ b ) i
i =1
j
j =1
∑ i xij = ∑ k x jk 8 4.3* O MÉTODO SIMPLEX PARA REDES
− − −
1 1 0 0 0 − 1 0 1 1 0 0 0 − 1 0 − 1 0 − 1 0 − 1 1
1 1 0 0 0 − 0 0 0 0 − 1 0 1
−
Capítulo 4: Otimização em redes
35 1
− − −
− × −
± 1 : 0 : 0
..
0
..
..
:
..
..
±1
..
..
:
..
.. 1 ..
± 1
← ≠ : 1 :
0
± 1 − 1 ± 1 0 .. .. 0
: : 0 ±1 : : 1 0
.. .. .. .. .. ..
:
:
± 1
.. .. 1
± 1 s
0 B
1*
−
35 2
Pesquisa Operacional
± 1 0 s1 ± 1 s 2 p
0 2* B 0
± 1 1
±1 s1 .. s n −2 sn−1
0
..
±1
..
..
..
p n−3
..
p n− 2
..
0 ± 1 1 0 0
− −
1 1 0 0 0 − 1 0 1 1 0 0 0 − 1 0 − 1 0 − 1 0 − 1 1
1 0 0 0 1 0 0 − 1 − 1 − 1 0 1
Capítulo 4: Otimização em redes
35 3
− 1 1
1 0 0 0 1 0 0 − 1 − 1 * * * − −
Figura 4.37 Uma árvore geradora do grafo da Figura 4.2.
Figura 4.38 Eliminação do nó 1 da árvore geradora da Figura 4.37.
35 4
Pesquisa Operacional
− − × − −
Figura 4.39 Eliminação do nó 2 da árvore geradora da Figura 4.38.
Capítulo 4: Otimização em redes
35 5
Figura 4.40 Um ciclo.
ˆx B ˆx N ˆxB ≥ − k ≤ xk ≤ uk xˆk = k ou uk ˆxB − ˆx N i ≤ ˆxi ≤ ui ≥ λ − λ λ λ θ ˆxk ± ˆxk + ˆx B −θ ˆxk − ˆx B θ θ λ λ λ λ cˆij λ cˆij − λ λ −
35 6
Pesquisa Operacional
λ − λ cˆij − λ λ cˆa − λ λ λ λ λ ≠ λ λ λ λ ˆxij + θ θ ≥ cˆij ˆxij ij ˆx θ cˆij cˆij ˆxij ˆxij − θ θ ≥ ˆx − θ cˆij ij cˆij ≥ xˆ ij ˆxij cˆij ≤ Troca de base no método simplex em redes
θ
Capítulo 4: Otimização em redes
35 7
θ − θ θ θ θ θ θ Base inicial
Figura 4.41 Arco (2,4) entrando na base.
35 8
Pesquisa Operacional
xija − ← − xija ← + xija
− − ij
− x16a − − x15a −
Figura 4.42 Exemplo de um problema de fluxo.
Capítulo 4: Otimização em redes
35 9
− xˆ 16a xˆ 15a xˆ 12 xˆ 23 xˆ 34 cija cˆij − λ λ λ λ λ λ λ λ λ cˆ15 λ λ λ λ cˆ12 λ λ λ λ cˆ23 cˆ34
λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ
Figura 4.43 Árvore geradora inicial.
36 0
Pesquisa Operacional
λ λ λ λ λ λ λ cˆij λ λ ˆx13 = 13 cˆ13 λ λ cˆ35 λ λ xˆ 35 = 35 ← ˆx24 = 24 cˆ24 λ λ cˆ54 λ λ xˆ 54 = 54 cˆ56 λ λ xˆ 56 = 56 cˆ46 λ λ ˆx46 = 46 cˆ15 λ λ ˆx15 = 15 θ θ θ θ θ θ
Figura 4.44 Arco (3,5) é introduzido.
Capítulo 4: Otimização em redes
36 1
Figura 4.45 Nova árvore geradora resultante.
x15a x16a
ˆx16a ˆx15a xˆ 12
ˆx35 ˆx34 ˆx23
λ cˆ16 λ λ λ λ λ λ cˆ15 λ λ λ λ cˆ12 λ λ λ λ cˆ35 λ λ λ λ cˆ34 λ λ λ λ λ − − − − − cˆij λ λ cˆ13 λ λ ˆx13 = 13 cˆ23 λ λ xˆ23 = u23 ˆx24 = 24 cˆ24 λ λ cˆ54 cˆ56 cˆ46 cˆ15
xˆˆx54 == 54 λλ λλ 56 56 λ λ ˆx46 = 46 λ λ ˆx15 = 15 ←
36 2
Pesquisa Operacional
θ θ θ θ
xˆ 15a
Figura 4.46 Ciclo formado com a introdução do arco (1, 5).
Figura 4.47 Nova árvore geradora após eliminação do arco (1,5) a.
Capítulo 4: Otimização em redes
36 3
xˆ 16a xˆ 15 ˆx12 ˆx35 ˆx34 xˆ 23 λ cˆ16 λ λ λ λ λ λ cˆ15 λ λ λ λ cˆ12 λ λ λ λ cˆ35 λ λ λ λ cˆ34 λ λ λ λ λ − − − − − ˆx13 = 13 cˆ13 λ λ cˆ23 λ λ xˆ23 = u23 ˆx24 = 24 cˆ24 λ λ cˆ54 λ λ xˆ 54 = 54 cˆ56 λ λ xˆ 56 = 56 cˆ46 λ λ xˆ 46 = 46 ←
Figura 4.48 Nova árvore geradora após eliminação do arco (1, 5).
36 4
Pesquisa Operacional
xˆ 16a ˆx46 ˆx12 xˆ 35 xˆ 34 xˆ 23 ˆx15 λ cˆ16 λ λ λ λ λ λ cˆ46 λ λ λ λ cˆ12 λ λ λ λ cˆ34 λ λ λ λ cˆ35 λ λ λ λ λ − − − − − cˆ13 λ λ ˆx13 = 13 ← cˆ23 λ λ xˆ 23 = u23 xˆ 24 = 24 cˆ24 λ λ cˆ54 λ λ xˆ 54 = 54 cˆ56 λ λ xˆ 56 = 56 cˆ15 λ λ ˆx15 = u15 x16a
Figura 4.49 Nova árvore geradora após eliminação do arco (3, 4).
Capítulo 4: Otimização em redes
36 5
xˆ 16a xˆ 46 ˆx12 ˆx35 ˆx13 xˆ 23 xˆ 15 ˆx34 λ cˆ16 λ λ λ λ λ λ cˆ46 λ λ λ λ cˆ12 λ λ λ λ cˆ13 λ λ λ λ cˆ35 λ λ λ λ λ − − − − − cˆ34 λ λ xˆ34 = u34 cˆ23 λ λ xˆ23 = u23 xˆ24 = 24 ← cˆ24 λ λ cˆ54 λ λ xˆ54 = 54 cˆ56 λ λ xˆ56 = 56 cˆ15 λ λ xˆ15 = u15
Figura 4.50 Nova árvore geradora após eliminação do arco (4, 6).
36 6
Pesquisa Operacional
ˆx16a xˆ 24 xˆ 12 xˆ 35 xˆ 23 ˆx15 ˆx34 xˆ 46 λ cˆ16 λ λ λ λ λ λ cˆ12 λ λ λ λ cˆ24 λ λ λ λ cˆ13 λ λ λ λ cˆ35 λ λ λ λ λ − − − − − cˆ34 λ λ xˆ34 = u34 cˆ23 λ λ xˆ23 = u23 cˆ46 λ λ xˆ46 = u46 cˆ54 λ λ xˆ54 = 54 cˆ56 λ λ xˆ56 = 56 ← cˆ15 λ λ xˆ15 = u15 x16a
Figura 4.51 Nova árvore geradora após eliminação do arco (1, 6) ª.
Capítulo 4: Otimização em redes
36 7
xˆ 56 xˆ 24 ˆx12 ˆx35 ˆx13 ˆx23 ˆx15 xˆ 34 ˆx46 λ cˆ12 λ λ λ λ cˆ24 λ λ λ λ cˆ13 λ λ λ λ cˆ35 λ λ λ λ cˆ56 λ λ λ λ λ − − − − − x16a cˆ34 λ λ xˆ34 = u34 cˆ23 λ λ xˆ23 = u23 cˆ46 λ λ xˆ46 = u46 cˆ54 λ λ xˆ54 = 54 cˆ15 λ λ xˆ15 = u15 cˆij ≤ cˆij ≥
× × × × × × × ×
Figura 4.52 Fluxo de custo mínimo.
36 8
Pesquisa Operacional
Exemplo 4.23
cij xij
∑
i , j ,i ≠ j
∑x ∑x
ij
kj
j , j ≠i
k ,k ≠ j
− − ≥ 4.4 EXERCÍCIOS11
Capítulo 4: Otimização em redes
36 9
37 0
Pesquisa Operacional
Capítulo 4: Otimização em redes
37 1
37 2
Pesquisa Operacional
∞
∞
∞
∞
Capítulo 4: Otimização em redes
37 3
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Programação dinâmica determinística
5.1 UM EXEMPLO SIMPLES
Exemplo 5.1
37 5
37 6
Pesquisa Operacional
Figura 5.1 Meses envolvidos no planejamento da produção.
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
37 7
5.1.1 Cálculos do exemplo Cálculos para o mês 4
Figura 5.2 Possíveis níveis de estoque no início do mês 4 (Exemplo 5.1).
37 8
Pesquisa Operacional
d 4* d 4* ≥ Cálculos do mês 3
Figura 5.3 Decisão ótima para o mês 4 com nível de estoque inicial e3 = 0 (Exemplo 5.1). ≥
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
37 9
Tabela 5.1 Planos ótimos para o mês 4 (Exemplo 5.1).
d 4*
≥
≥
d 3* d 3*
d* 3 d 3* d 3* d 3* d 3* d 3* ≥ d 3* ≥
38 0
Pesquisa Operacional
Tabela 5.2 Planos ótimos para o mês 3 (Exemplo 5.1).
d 3*
≥
≥
5.1.2 Determinação do plano ótimo
d 2* d 3*
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
38 1
Figura 5.4 Possíveis níveis de estoque iniciais nos meses 3, 4 e 5 (nós) e transições factíveis (arcos) entre meses consecutivos.
5.2 INDUÇÃO PROGRESSIVA
38 2
Pesquisa Operacional
Tabela 5.3 Planos ótimos para os quatro meses (Exemplo 5.1).
d1*
d 2*
d 3*
≥
d 4*
≥
≥
≥
≥
≥
5.2.1 Cálculos da indução progressiva
Cálculos para o mês 1
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
38 3
Figura 5.5 Caminho ótimo dos estoques iniciais, correspondente ao plano ótimo determinado (Exemplo 5.1).
Figura 5.6 Meses envolvidos no planejamento da produção.
d1*
38 4
Pesquisa Operacional
d1* d1* d1* d1* d1* d1* d1* d * 1 d1* * ≥ d1 ≥ Cálculos para o mês 2
d2* d 2* d 2* d 2* d 2* d 2* d 2* d 2* ≥ d 2* ≥
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
38 5
Figura 5.7 Possíveis níveis de estoque iniciais nos meses 1, 2 e 3 (nós) e transições factíveis (arcos) entre meses consecutivos.
5.2.2 Determinação do plano ótimo com a indução progressiva
d 3* d 2* d1*
38 6
Pesquisa Operacional
Tabela 5.4 Planos ótimos dos quatro meses com indução progressiva (Exemplo 5.1).
d
* 1
d
≥
* 2
≥
d
* 3
≥
d 4*
≥
≥ ≥
≥
≥
5.3 FORMALIZAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO DINÂMICA 5.3.1 Conceitos básicos
Estágios
Estados
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
38 7
Decisões
5.3.2 Princípio da otimalidade
38 8
Pesquisa Operacional
5.3.3 Otimização recursiva
min d ( j )∈D ( j ) min d ( e − )∈D ( e − ) e2′ e2′ min d j ∈D j i
i
i 1
i
i 1
i(
i
)
i(
)
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
38 9
min d ( e )∈D ( e ) i
i
i
i
eT′ −1 eT′ −1
5.3.4 Exemplo de aplicação de programação dinâmica com custos não-lineares
39 0
Pesquisa Operacional
Exemplo 5.2
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
39 1
5.4 INDUÇÃO DA DECOMPOSIÇÃO NA PROGRAMAÇÃO DINÂMICA
Exemplo 5.3
39 2
Pesquisa Operacional
max d ( j )∈D ( j ) i
i
max max d ( j )∈D ( j ) d ( j )∈D ( j ) 1
1
1
1
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
39 3
Tabela 5.5 Soluções ótimas dos problemas no estágio 1 (Exemplo 5.3) – inclusão do produto A.
d1*
max d ( j )∈D ( j ) d 2* 2
2
39 4
Pesquisa Operacional
d 2*
Tabela 5.6 Soluções ótimas dos problemas no estágio 2 (Exemplo 5.3) – inclusão do produto B.
d 2*
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
39 5
max d ( j )∈D ( j ) max max i
i
d 4 ( j )∈D4 ( j )
Tabela 5.7 Soluções ótimas dos problemas no estágio 3 (Exemplo 5.3) – inclusão do produto C.
d3*
39 6
Pesquisa Operacional
max d ( j )∈D ( j ) 3
3
Tabela 5.8 Soluções ótimas dos problemas no estágio 4 (Exemplo 5.3) – inclusão do produto D.
d4*
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
39 7
Tabela 5.9 Soluções ótimas dos problemas no estágio 4 da recursão regressiva (Exemplo 5.3) – inclusão do produto D.
d 4*
39 8
Pesquisa Operacional
Tabela 5.10 Soluções ótimas dos problemas no estágio 3 da recursão regressiva (Exemplo 5.3) – inclusão do produto C. *
d3
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
39 9
min 0≤ i ≤ j −1
Tabela 5.11 Soluções ótimas dos problemas no estágio 2 da recursão regressiva (Exemplo 5.3) – inclusão do produto B.
d 2*
40 0
Pesquisa Operacional
Figura 5.8 Grafo orientado acíclico em que os arcos indicam os períodos cobertos com as produções de interesse em cada período.
Figura 5.9 Caminho de custo mínimo.
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
40 1
max ∈ ∩ ≤
i∈{ A, B ,C , D}∩{ai ≤ j }
∈ ∈ i∈{,,A BCmax ∈ ∩ ≤ D ,}{ a∩ ≤ 1} max i∈{,,,}{ A BC D a ∩ ≤ 2} max i∈{,,,AB C D }{a∩ ≤3} max i∈{,,,}{ A B C D a∩ ≤ 4} i∈{,,,A BCmax D }{ a ∩ ≤ 5} i
i
i
i
i
40 2
Pesquisa Operacional
5.5 O PROBLEMA DA DIMENSIONALIDADE EM PROGRAMAÇÃO DINÂMICA
≥
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
40 3
5.6 EXERCÍCIOS13 Exercício 5.1
Exercício 5.2
Exercício 5.3
Exercício 5.4
Exercício 5.5
x13 x 23 x33 ≤ ≥ ≥ ≥ Exercício 5.6
x13 x 23 x33 ≤ ≥ ≥ ≥ Exercício 5.7
Exercício 5.8
40 4
Pesquisa Operacional
Tabela 5.12 Dados do Exercício 5.7
Exercício 5.9
Exercício 5.10
≥
Capítulo 5: Programação dinâmica determinística
40 5
Tabela 5.13 Dados do Exercício 5.8
Exercício 5.11
− − ≤ 9 2 ≤ 72 ≤ 5 2 ≥ ≥
40 6
Pesquisa Operacional
Exercício 5.12
Exercício 5.13
Tabela 5.14 Dados do Exercício 5.13
Programação dinâmica estocástica
6.1 A EQUAÇÃO RECURSIVA REGRESSIVA
40 7
40 8
Pesquisa Operacional
min d ( j )∈D ( j ) i
i
6.2 EXEMPLOS NUMÉRICOS 6.2.1 Controle de estoque
Exemplo 6.1
PO - PROVA 5
Capítulo 6: Programação dinâmica estocástica
40 9
Tabela 6.1 Demanda do produto durante cada semana.
max d ( j )∈D ( j ) 2
2
PO - PROVA 5
41 0
Pesquisa Operacional
Figura 6.1 Ilustração das possibilidades existentes para o cálculo de r2(j) em (6.2).
PO - PROVA 5
Capítulo 6: Programação dinâmica estocástica
41 1
max d 2 ( 0 )∈D2 ( 0 )
d 2* Tabela 6.2 Estágio 2, estado j = 0.
PO - PROVA 5
41 2
Pesquisa Operacional
d 2* d 2* d 2* d 2* d1* max d1 ( 0 )∈D1 ( 0 )
d1* Tabela 6.3 Estágio 2, estado j = 1.
PO - PROVA 5
Capítulo 6: Programação dinâmica estocástica
Tabela 6.4 Estágio 2, estado j = 2.
Tabela 6.5 Estágio 2, estado j = 3.
Tabela 6.6 Estágio 2, estado j = 4.
PO - PROVA 5
41 3
41 4
Pesquisa Operacional
Tabela 6.7 Estágio 1, estado j = 0.
6.2.2 Jogo de soma zero
Exemplo 6.2
PO - PROVA 5
Capítulo 6: Programação dinâmica estocástica
41 5
Figura 6.2 Exemplos de estados possíveis para um jogador A que inicia o jogo-da-velha.
PO - PROVA 5
41 6
Pesquisa Operacional
max
max d ( j )∈D ( j ) d i ( j )∈Di ( j )
i
i
max d j D j 3(
)∈
3(
)
Figura 6.3 Possíveis configurações das peças do jogador A após 2 jogadas.
PO - PROVA 5
Capítulo 6: Programação dinâmica estocástica
41 7
Figura 6.4 Possíveis estados do sistema após duas jogadas e configuração 1 das peças de A.
Figura 6.5 Possíveis estados do sistema após duas jogadas e configuração 2 das peças de A.
Figura 6.6 Possíveis estados do sistema após duas jogadas e configuração 3 das peças de A.
PO - PROVA 5
41 8
Pesquisa Operacional
Figura 6.7 Possíveis estados do sistema após duas jogadas e configuração 4 das peças de A.
max d 3* d 3* d ( j )∈D ( j ) ∈ ∈ ∈ 3
3
PO - PROVA 5
Capítulo 6: Programação dinâmica estocástica
41 9
Figura 6.8 Possíveis estados do sistema após duas jogadas e configuração 5 das peças de A.
Figura 6.9 Possíveis estados do sistema após duas jogadas e configuração 6 das peças de A.
Figura 6.10 Possíveis estados do sistema após duas jogadas e configuração 7 das peças de A.
max d ( j )∈D ( j ) 2
2
Cálculos para a decisão 1
PO - PROVA 5
42 0
Pesquisa Operacional
Figura 6.12 Decisões possíveis de serem tomadas pelo jogador A no estágio 3, observado o estado 3.1.1.
PO - PROVA 5
Capítulo 6: Programação dinâmica estocástica
42 1
Figura 6.13 Possíveis disposições da peça do jogador A após uma jogada.
Figura 6.14 Possíveis estados distintos do sistema após uma jogada e configuração uma da peça de A.
Figura 6.15 Possíveis estados do sistema após uma jogada e configuração 2 da peça de A.
Cálculos para a decisão 2
Cálculos para a decisão 3
PO - PROVA 5
42 2
Pesquisa Operacional
Figura 6.16 Possíveis estados do sistema após uma jogada e configuração 3 da peça de A.
Figura 6.17 Possíveis configurações do sistema após a decisão do jogador A no estágio 2.
Cálculos para a decisão 4
Cálculos para a decisão 5
Cálculos para a decisão 6
PO - PROVA 5
Capítulo 6: Programação dinâmica estocástica
42 3
Cálculos para a decisão 7
6.3* PROCESSOS MARKOVIANOS DE DECISÃO
β β ≤ max β d i ( j )∈Di ( j )
β ≥ β β ≤ max β d ( j )∈D ( j ) max ≤ max β β d ( j ) D ( e ( d ( j ),S ) ) i
d i ( j )∈Di ( j )
β
max
d i ( j )∈Di ( j )
i +1
∈
i
i +1
max
i
d i +1 ( j )∈Di +1 ( e ( d i ( j ), Si ) )
i
≤ β β β β β max max d + ( j )∈D + ( e ( d ( j ), S ) ) d ( j )∈D ( j ) i
i
i 1
i 1
i
i
β β β
PO - PROVA 5
42 4
Pesquisa Operacional
Tabela 6.8 Políticas ótimas.
PO - PROVA 5
Capítulo 6: Programação dinâmica estocástica
42 5
≥
6.3.1 Probabilidade de transição
N
max
d i ( j )∈Di ( j )
β
∑ k =1
PO - PROVA 5
42 6
Pesquisa Operacional
N
β
∑ k =1
N
β
∑ k =1
≥
N
∑ j =1
N
≥ β
∑ k =1
∈ N
∑
β k =1 ∈ ≥
6.3.2 Exemplo de manutenção de equipamentos
Exemplo 6.3
PO - PROVA 5
Capítulo 6: Programação dinâmica estocástica
42 7
β β β β β
PO - PROVA 5
42 8
Pesquisa Operacional
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 6.4 EXERCÍCIOS6 Exercício 6.1
Exercício 6.2
Exercício 6.3 Exercício 6.4
Exercício 6.5
PO - PROVA 5
Capítulo 6: Programação dinâmica estocástica
42 9
Exercício 6.6
λki e − λ λ π i
Exercício 6.7
Exercício 6.8
PO - PROVA 5
43 0
Pesquisa Operacional
Exercício 6.9
Exercício 6.10
PO - PROVA 5
Capítulo 6: Programação dinâmica estocástica
43 1
PO - PROVA 5
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Sistemas de filas e otimização
43 3
43 4
Pesquisa Operacional
Figura 7.1 Curva de trade-off entre capacidade do sistema e tempo de espera dos usuários.
Figura 7.2 Curva de custo total em função do nível de serviço.
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
43 5
7.1 DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA DE FILAS
Figura 7.3 Diferentes tipos de sistemas de filas.
43 6
Pesquisa Operacional
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
43 7
Figura 7.4 Processo de chegada, disciplina da fila e processo de serviço.
Processo de chegada
Processo de serviço
43 8
Pesquisa Operacional
Disciplina da fila
Notação de Kendall-Lee
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
43 9
K = 10 K = ∞ N= N = 100 ∞ K = ∞ N = ∞ 7.2 MEDIDAS DE DESEMPENHO DE UM SISTEMA DE FILAS
t = 0 t a (i ) tb (i ) tc (i )
ta (i − 1) tb (i − 1) tc (i − 1)
44 0
Pesquisa Operacional
Figura 7.5 Chegadas, inícios e términos de serviço dos usuários.
ta (i) < tc (i − 1) X (i ) = ta (i ) − ta (i − 1) S (i ) = tc (i ) − tb (i ) Wq (i ) = tb (i ) − t a (i ) W (i ) = Wq (i ) + S (i ) = (tb (i ) − t a (i )) + (tc (i ) − tb (i )) = tc (i ) − t a (i )
f X (1) ( x ) = f X ( 2) ( x ) = ... = f X (i ) ( x ) = ... = f X ( x) f S (1) ( s ) = f S ( 2) ( s ) = ... = f S ( i ) ( s ) = ... = f S ( s) λ
=
1 E( X )
µ=
1
E(S )
E( X ) = 0,5 λ = 2 E ( S ) = 0,1 µ = 10 λ µ
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
44 1
µ µ µ ρ ρ=
λ mµ
=
λ E (S ) m
ρ λ = 20 µ = 10 E ( S ) = 0,1 ρ = 2 λE ( S ) λE ( S ) = 2 ρ = 1 7.2.1 Análise em equilíbrio
Ls (t ) Lq (t ) L (t ) = Ls (t ) + Lq (t ) E ( L) = limt →∞ E ( L(t )) E ( Ls ) = lim t →∞ E ( Ls (t )) E ( Lq ) = limt →∞ E ( Lq (t ))
44 2
Pesquisa Operacional
Figura 7.6 Variação do número de usuários L(t) em torno do valor esperado E(L).
E (W ) = lim i→∞ E (W (i )) E (W ) lim E (W (i ))
q q = i→∞ ρ < 1 ρ = 1
7.2.2 Fórmula de Little
t = 0 N (t ) = a(t ) − c(t ) τ t = 0 τ τ τ l (τ ) = ∫0((at c) t −dt( )) τ
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
44 3
Figura 7.7 Entradas e partidas acumuladas em um sistema de filas.
E ( L(τ )) =
l (τ )
τ
⇒ l (τ ) = E ( L(τ ))τ
τ l (τ ) a (τ )
E (W (τ )) =
⇒ l (τ ) = E (W (τ ))a(τ )
τ E ( L(τ )) =
a (τ )
τ
E (W (τ )) = λ (τ ) E (W (τ ))
λ (τ ) τ τ → ∞ E ( L) = λ E (W ) λ λ λ =
1
λ E( X )
44 4
Pesquisa Operacional
Figura 7.8 Taxa de chegada e taxa de entrada de usuários em um sistema de filas.
E ( Lq ) = λ E (Wq ) E ( Ls ) = λ E ( S ) =
λ µ
λ = λ λE ( S ) = ρm E ( Ls ) m
=
λ E (S ) m
ρ λ = λ τ τ → ∞ λτ τ − τP0 E(S ) τ − τP0 λτ = λE ( S ) = 1 − P0 E(S )
λ λ λ µ
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
E ( Lq ) = λ E (Wq )
44 5
E ( L) = E ( Ls ) + E ( Lq ) =
λ µ
+ E ( Lq )
E (W ) = E ( S ) + E (Wq ) =
1 µ
+ E (Wq )
Exemplo 7.1
λ µ E ( Ls ) m
=
λ mµ
=
50 60
≈ 0,83
λ = λ
λ
ρ = mµ E ( L) = λ E (W ) =
1 120 = 2 60
7.3 MODELO DE FILAS FUNDAMENTAL
7.3.1 A relação das distribuições exponencial e Poisson
f X ( x ) = λe − 1 λ
λx
1 λ2
E ( X ) = V ( X ) = FX x( P) =x ≤x( =
∫
x
)f xdx=( X)
= e dx−
∫
x
λe −1λ x
−λ x
0
0
44 6
Pesquisa Operacional
τ τ P( X
> τ 0 + τ | X > τ 0 ) = P( X > 15 | X > 5) = P( X > 10)
P( X > x) = 1 − P( X ≤ x) = 1 − F ( x) = e − λx ( ) P ( X > τ 0 + τ , X > τ 0 ) P ( X > τ 0 + τ ) e − λ τ +τ P( X > τ 0 + τ | X > τ 0 ) = = = −λτ = e −λτ = P( X > τ ) P( X > τ ) P( X > τ ) e 0 0 τ τ 0
0
Figura 7.9 Função densidade de probabilidade fX(x) e distribuição acumulada FX(x) da exponencial.
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
44 7
E ( X ) = 1 / λ t E ( N (t )) = λ τ P( N (t + τ ) = n | N (t ) = n) = P( X
> τ ) = e − λτ
τ τ ∆ P( N (t + ∆t ) = n | N (t ) = n) = e −λ∆t
= 1 − λ ∆t +
(−λ∆t ) 2 2!
+
(−λ∆t )3 ... = 1 − λ∆t + o(∆t ) 3!
∆ lim ∆t →0 o(∆t ) / ∆t = 0 ∆ ∆ ∆t → 0 ∆ 1 − λ∆t ∆ λ ∆ 1 − λ∆t = 1 − 4(0,01) = 0 ,96 e − λ∆t = e −4 ( 0, 01) ≈ 0,96079 ∆t → 0 P ( N (t + ∆t ) = n | N (t ) = n) ≈ 1 − λ∆t P ( N (t + ∆t ) = n + 1 | N (t ) = n) ≈ λ∆t k > n +1 0 P ( N (t + ∆t ) = k | N (t ) = n) ≈ ∆ ∆ 1 − λ∆t ∆ ∆ λ∆t ∆ λ ∆ ∆ ∆ Pn (t + ∆t ) = Pn (t )(1 − λ∆t ) + Pn −1 (t )(λ∆t ) P0 (t + ∆t ) = P0 (t )(1 − λ∆t )
∆ ∆ ∆ ∆
44 8
Pesquisa Operacional
∆ ∆ Pn (t + ∆t ) − Pn (t ) ∆t P0 (t + ∆t ) − P0 (t )
∆t
= −λPn (t ) + λPn−1 (t )
= −λP0 (t )
∆t → 0 P (t + ∆t ) − Pn (t ) dPn (t ) lim ∆t →0 n = = −λPn (t ) + λPn−1 (t ) lim ∆t →0
∆t P0 (t + ∆t ) − P0 (t ) ∆t
=
dt dP0 (t ) dt
= −λP0 (t )
P0 (t ) = e − λt dP1 (t ) / dt = −λP1 (t ) + λe−λt P1 (t ) = (λt )e −λt Pn (t ) = P ( N (t ) = n) =
(λ t ) n e − λt n!
E ( N (t )) = λt V ( N (t )) = λt λ E ( N (t )) = λt P0 (t ) = e − λt P ( X > t )
Figura 7.10 Possíveis transições de estado a partir do estado n.
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
44 9
Exemplo 7.2
λ P50 (2) = P ( N =(2)= 50)
(40) 50 e−40 50!
≈
0, 018
λ 80 ≈ 8,94 λ λ 1
−1 x
1
−1 x
f X ( x) = λe −λx = e 3 3 P (1 ≤ X ≤ = 3)
3
∫e dx3=e − e≈ 3
1
−1
3
−1
0, 349
7.3.2 Modelo de nascimento e morte
λ
45 0
Pesquisa Operacional
λ µ λ λ µ µ λ µ ∆ ∆t → 0 ∆ λn ∆t ∆ µ n ∆t ∆ ∆ λn ∆t λn ∆t + o(∆t ) ∆ ∆t → 0 ∆ µ n ∆t ∆ 1 − λn∆ −t ∆ µ n t. P ( N (t + ∆t ) = n + 1 | N (t ) = n) ≈ λn ∆t P ( N (t + ∆t ) = n − 1 | N (t ) = n) ≈ µ n ∆t P ( N (t + ∆t ) = n | N (t ) = n) ≈ 1 − λn ∆t − µ n ∆t ≈0 | k − n |> 1 P ( N (t + ∆t ) = k | N (t ) = n)
∆ ∆ λn∆ t. ∆ ∆ µ n∆ t. ∆ ∆
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
45 1
Figura 7.11 Possíveis transições de estado a partir do estado n.
1 − λn∆ −t ∆ µ n t. ∆ Pn (t ) = P( N (t ) = n) ∆ ∆ Pn (t + ∆t ) = Pn +1 (t ) µ n +1∆t + Pn (t )[1 − (λn + µ n )∆t ] + Pn −1 (t )λn −1∆t
P0 (t + ∆t ) = P1 (t ) µ1∆t + P0 (t )(1 − λ0 ∆t )
∆ ∆ ∆ ∆ Pn (t + ∆t ) − Pn (t )
= −(λn + µ n ) Pn (t ) + µ n+1Pn+1 (t ) + λn−1Pn−1 (t ) ∆t P0 (t + ∆t ) − P0 (t ) = −λ0 P0 (t ) + µ1P1 (t ) ∆t ∆t → 0 lim ∆t →0 lim ∆t →0
Pn (t + ∆t ) − Pn (t )
∆t P0 (t + ∆t ) − P0 (t ) ∆t
= dPn =
(t )
dt dP0 (t ) dt
= −(λn + µ n ) Pn (t ) + µ n+1Pn+1 (t ) + λn−1Pn−1 (t ) = −λ0 P0 (t ) + µ1P1 (t )
45 2
Pesquisa Operacional
lim t →∞ Pn (t ) = Pn
⇒
dPn (t ) dt
=0
λ0 P0 = µ1P1 (λn + µ n ) Pn
= λn−1Pn−1 + µn+1Pn+1
λ λ0 P0 ∆t → 0 µ µ1P1 ∆t → 0
λ0 P0
= µ1P1 ⇒ P1 =
(λ1 + µ1 )(
(λ1 + µ1 ) P1 = λ0 P0 + µ 2 P2
⇒ P2 =
Pn
K n =
λ0 P0 µ1
=
λ0 λ1...λn −2 λn −1 P0 µ1µ 2 ...µ n −1µ n
= K n P0
λ0 P ) − λ0 P0 µ1 0 µ2
=
λ0λ1 P0 µ1µ 2
λ0 λ1...λn − 2λn −1 µ1µ 2 ...µ n −1µ n
Figura 7.12 Diagrama de transição de estados do modelo de nascimento e morte.
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
45 3
∞
∞
∑ P = P + ∑ K P =1⇒ P = 1+ 1 K ∑ ∑ K ∑ n
n 0
0
n =0
∞ n =1
0
n =1
∞ n =1
n
∞ Kn n =1
<∞ λ
n
E ( L) =
∞
∑ nP
n
n =0
λ λ ∞
λ
= ∑ λn Pn
n =0
E (W ) =
E ( L)
λ
Exemplo 7.3
λn = λ = 10 µn
5 clientes por hora, se n = 1,2 = 10 clientes por hora, se n = 3,4 15 clientes por hora, se n = 5,6,...
P1
=
λ0 P0 µ1
=
10 P0 5
= 2 P0
∞ nPn n=0
∑
45 4
Pesquisa Operacional 2
10 = P0 = 4 P0 5 2 λ λλ 10 10 P = 4 P P3 = 0 1 2 P0 = 0 0 µ1µ 2 µ3 5 10 P2
P4
=
λ0λ1 P0 µ1µ 2
λ0λ1λ2λ3 P0 µ1µ 2 µ3 µ 4
=
2
=
2
10 10 10 n 0 = µ1µ2 µ3µ 4 µ5 = 5 10 15
P
λ0λ1λ2λ3λ4
P
2
2
10 10 P0 5 10
= 4 P0
n−4
n−4
10 0 = 15
P
P
4
∑ P0
= =
1 1+
∑
∞ Kn n =1
=
0
∞ zn n =0
=
1 1− z
z < 1
1 1 + (2 + 4 + 4 + 4 + 4( 2 / 3) + 4( 2 / 3) 2 + 4( 2 / 3) 3 + ...) 1
2 2 2 2 3 11 + 41 + + + + ... 3 3 3
=
1
1 11 + 4 1 − (2 / 3)
=
1 23
∑n=1 K n ∞
P0 + P1 + P2
= (1 + 2 + 4)
1 ≈ 0,30 23
2( P0 + P1 + P2 ) + 1( P3 + P4 ) + 0( P5 + P6 + ...) = 2
1+ 2 + 4 4+4 +1 23 23
=
22 23
≈1
7.4 MODELOS DE FILAS COM UM SERVIDOR E DISTRIBUIÇÕES EXPONENCIAIS
7.4.1 Modelo de fila
M/M/1/GD/∞/∞
– um servidor
∞∞ λ µ
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
45 5
λ λ = ρ= mµ µ λn = λ µn = µ λ µ ∞∞ λ = λ ρ
P0
Pn
=
1 1+
∑
∞ Kn n =1
= K n P0 = ρ
n
1
= 1+
∑
∞ n =1
λ µ
n
=
1
∞ ρn n =0
=
1
1 ∑ 1 − ρ Pn = ρ n P0 = ρ n (1 − ρ ) ∞ ρn n =0
1
∑
P0
ρ < 1 P0
=
∑
∞ zn n=0
=
1 , 1− z
z < 1
= 1− ρ
∞ λ n =1 K n ρ = < 1 µ ∞∞ λ > µ 1 −ρ ρ n (1 − ρ ) P( L ≥ n) = ρn
∑
Figura 7.13 Diagrama de transição de estados do sistema M/M/1/GD/∞/∞. ρ
45 6
Pesquisa Operacional
E ( L) =
∞
∞
∞
∑ nP =∑ nρ (1 − ρ ) =(1 − ρ ) ρ ∑ nρ n
n −1
n
n =0
n =0
=(1 − ρ ) ρ
n =1
= (1 − ρ ) ρ
d
1
d ∞ n ρ dρ n = 0
∑
(1 − ρ ) ρ ρ = = (1 − ρ ) 2 1 − ρ
dρ 1 − ρ
ρ
V ( L) = (1 − ρ ) 2 λ = λ E ( Ls ) = λE ( S ) = ρ E ( Lq ) = E ( L ) − E ( Ls ) =
2 −ρ = ρ 1− ρ 1− ρ
ρ = λ λ (1 − ρ ) E (Wq ) = E (W ) − E ( S ) =
E (W ) =
ρ
E ( L)
ρ 1 − λ (1 − ρ ) µ
=
ρ µ (1 − ρ )
ρ →1 ρ ρ Exemplo 7.4
λ 1 60 1 60 =6 E ( X ) = = µ = = = 15 λ 10 E ( S ) 4 λ 10 ρ = = ≈ 0,67
µ
15
Figura 7.14 Variação de E(L) em função de ρ em um sistema M/M/1.
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
45 7
P0 = 1 − ρ ≈ 0,33 E ( L) =
ρ 1− ρ
=
0,67 1 − 0,67
= 2 ρ2
0,67 2
= 1,33 E ( Ls ) = ρ ≈ 0,67 E ( Lq ) = ≈ 1 − ρ 1 − 0,67 E ( L) = E ( Ls ) + E ( Lq ) E(W ) =
ρ λ (1 − ρ )
E (Wq ) =
0,67 ,2 = 0 10(1 − 0,67) ρ 0,67 = µ (1 ρ ) 15(1 0,67)
=
≈ 0,13
E (W ) = E ( S ) + E (Wq )
− − P( L ≥ 2) = ρ 2 ≈ 0,44
Exemplo 7.5
µ µ = ρ =
λ µ
=
10 30
1 E(S )
=
60 2
= 30
≈ 0,33
λ ρ ≈ 0,33 Tabela 7.1 Resultados obtidos para o sistema do drive-in.
λ
µ
ρ
≥
45 8
Pesquisa Operacional
∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ρ λ (1 − ρ )
E (WFCFS ) = E (WSIRO ) = E (WLCFS ) =
V (WFCFS ) < V (WSIRO ) < V (WLCFS )
∞∞ ρ = 1 E (W ) = 1 E (W )
λ (1 − ρ )
= µ − λ
µ −λ
fW ( w) = ( µ − λ )e − ( µ −λ ) w
P(W
∞
> w) = ∫w
fW ( w) dw = e −( µ −λ ) w
w≥0
Exemplo 7.6
E (W ) =
1
=
1
,2 = 0
15 − 10 − λ µ P (W
> 0,25) = e −( µ −λ )0, 25 = e −1, 25 ≈
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
7.4.2 Modelo de fila
M/M/1/GD/K/∞
45 9
– um servidor e capacidade limitada
∞ ∞∞ K − 1 λn
λ = 0
n =0, 1, 2, ...,
K1 −
µn
= 0µ
n =1, 2, 3, ..., K n = K +1, K +2,...
n = K, K +1,...
∞
∑
N
zn n =0
=
1 − z N +1 1− z
z ≠ 1
1 1 1 = n= ≠n K 1 + ∞ K = ∑ n =1 n 1 + ∑ K λ ∑ n=0 ρ n =1 P0 = µ 1 1 1 = K n= ∞ K +1 1 + ∑ n =1 K n ∑ n =0 ρ
ρ n (1 − ρ ) n K n P0 = ρ P0 = 1 − ρ K +1 Pn = K P = ρ nP = 1 0 n 0 K +1
ρ
1− ρ 1 − ρ K +1
ρ
1
ρ =1
≠1
ρ =1
ρ < 1 ρ E ( L) =
∑ nP =∑ n ρ1 −(1ρ− ρ ) = 1 1−−ρρ ∑ nρ K
K
n
n =0
=
n =0
n
K
K +1
K +1
n
=
n =0
d K n 1− ρ ρ ρ 1 − ρ K +1 dρ n=0
(1 − ρ ) ρ d 1 − ρ K +1 ρ [1 − ( K + 1) ρ K + Kρ K +1 ] = 1 − ρ K +1 dρ 1 − ρ (1 − ρ )(1 − ρ K +1 )
E ( L) =
K
K
∑= nP =∑ n K=1+ 1 n
n=0
n=0
1
K
∑=n K +1 n =1
1
∑
ρ ≠ 1
(1 + K ) K 2
K +1
K
2
ρ = 1
46 0
Pesquisa Operacional
K → ∞ ρ < 1 P0 = 1 − ρ ρ Pn = ρ n (1 − ρ ) E ( L) = 1− ρ ∞∞ λ λ
=
∞
λn Pn n =0
λK = 0
∑
K n =0
=λ
K −1
Pn
+ 0 PK = λ (1 − PK )
n =0
∑= 1 ∑
Pn
E (W ) =
E ( L)
λ
=
E ( L) λ (1 − PK )
(1 − PK ) λ = λ (1 − PK ) λPK λ λ < λ ρ E ( Ls ) = λ E ( S ) ∞ ∞∞ Exemplo 7.7
∞ ρ ≠ ρ 5 (1 − ρ ) 0,67 5 (1 − 0,67) = ≈ 0,05 1 − ρ 5+1 1 − 0,67 6 λP5 = 10(0,05) = λ (1 − P5 ) 10(1 − 0,05) E ( Ls ) = λ E ( S ) = = ≈ 0,63 µ 15 P5
=
Figura 7.15 Diagrama de transição de estados do sistema M/M/1/GD/K/∞.
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
46 1
≈ ≈ ρ[1 − (5 + 1) ρ 5 + 5 ρ 5+1 ] − E ( Ls ) ≈ 0,79 (1 − ρ )(1 − ρ 5+1 ) E ( Lq ) E (Wq ) = ≈ 4,97 λ
E ( Lq ) = E ( L) − E ( Ls ) =
7.4.3 Modelo de fila
M/M/1/GD/∞/N
– um servidor e população finita
∞ ∞∞
( N − n ) λ = 0 µ µn = 0
n = 0, 1, ..., N
λn
n=N
+ 1, N + 2, ...
n = 0, 1, ..., N n=N
+ 1, N + 2, ...
λ λ λ0 = Nλ n λ N! ( Nλ )(( N − 1)λ )(( N − 2)λ )...(( N − n + 1)λ ) Pn = K n P0 = P0 = P0 n µ
P0 =
1 1+
∑
∞ Kn n =1
=
µ
( N − n)!
1
∑n=0 λµ
n
N
(N
N! − n)!
∞ ρ < 1 ∞ E ( L) =
N
∑ nP
n
n =0
Tabela 7.2 limitação de capacidade. Resultados para sistemas sem e com
λ
µ
∞∞
∞
ρ
E ( Ls ) / m
46 2
Pesquisa Operacional
λ
∞
N
N
N
n =0
n=0
n=0
n =0
= ∑ λn Pn = ∑ ( N − n)λPn = Nλ ∑ Pn − λ ∑ nPn = Nλ − λE ( L) = λ ( N − E ( L))
7.4.4 Modelos de decisão de filas – um servidor
µ µ µ µ Exemplo 7.8
cµ = 2µ µ µ cµ λ = λ (1 − PK ) λ (1 − PK )d − cµ PK =
ρ K (1 − ρ ) 1 − ρ K +1
λ 1 −
=(
λ / µ ) K (1 − λ / µ ) 1 − (λ / µ ) K +1
(λ / µ ) K (1 − λ / µ ) d − cµ 1 − (λ / µ ) K +1
=
λd (1 − (λ / µ ) K ) − cµ 1 − (λ / µ ) K +1
λ
10(5)(1 − (10 / µ )5 ) − 2µ 1 − (10 / µ )5+1
− µ 5 = 50(1 (10 / 6) ) − 2µ 1 − (10 / µ )
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
46 3
µ
d 50(1 − (10 / µ ) 5 ) − 2µ = 0 dµ 1 − (10 / µ ) 6 µ 7.5 MODELOS DE FILAS COM MÚLTIPLOS SERVIDORES E DISTRIBUIÇÕES EXPONENCIAIS
7.5.1 Modelo de fila
M/M/m/GD/∞/∞
– múltiplos servidores
∞∞ ∞∞ λn = λ µn
n = 1, 2,..., m − 1
nµ , = mµ ,
n = m, m + 1,...
µ ∞∞ λ = λ ρ = λ mµ λn P Kn 0 = P =P P = (1µ )(2 µ µ )...( n µ ) Pn = n λ PK = P = n 0 (1µ )(2 µ µ )...(µm m)( nm µ) −
λn 0
n n
n 0
m m
=P
nm
n!
n0
( ρm) n m− n!
=
m
λn P m n +=m !m −
0
1, 2, ...,
0
ρ m !
0
Figura 7.16 Diagrama de transição de estados do sistema M/M/m/GD/∞/∞.
,
1 1, ...
46 4
Pesquisa Operacional
P0
=
1 1+
∑
1
=
∞ Kn n =1
=
∑ ∑
λn + n =0 µ n n! m −1
∑
∞ n =m
1 λn λm + m n n =0 µ n! µ m! m −1
λn n µ m!m n− m
∑
∞ ρ n− m n =m
=
=
1 λn λm + n=0 µ n n! µ m m!
∑
∞ n= m
1 λn λm + m n n=0 µ n! µ m!
∑
∞
∑
m −1
∑
m −1
n '= 0
λn −m µ
n− m
mn−m
ρ n'
ρ < 1 P0
=
∑
∑
1 λn λm 1 + n n =0 µ n! µ m m! 1 − ρ m −1
=
1
∑
( ρm) n n =0 n! m −1
+(
ρm) m 1 m! 1 − ρ
λ
∞
n=1 K n ρ = < 1 mµ ∞ ∞ ∞∞ E ( Lq ) =
∞
∞
∑ ( n − m) P = ∑ n' P
n=m m +1
n'+ m
n
n '= 0
n ' −1
∞
m +1
∞
= ∑ n' n '= 0
µ
n'+ m
λn '+ m P0 m!m ( n ' + m ) − m m +1
∞
∞
= µ mλ+1m!m P0 ∑ n' µ nλ'−1m n '−1 = µ mλ+1m!m P0 ∑ n' ρ n '−1 = µ mλ+1m!m P0 ddρ ∑ ρ n ' n '= 0 n '= 0 n '= 0
=
λm+1 λm+1 d 1 1 P0 = m+1 P0 µ m!m dρ 1 − ρ µ m!m (1 − ρ ) 2 m +1
=
( ρm) m ρ P0 m!(1 − ρ ) 2
E ( L) = E ( Ls ) + E ( Lq ) = ρm +
( ρm ) m ρ P0 m!(1 − ρ ) 2
Exemplo 7.9
λ µ
=
1 E (S )
=
ρ = λ = 10 ≈ 0,33 mµ
2(15)
60 4
= 15
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
P0 =
∑
( ρm) n n =0 n! m −1
46 5
1 m + ( ρm) 1 m! 1 − ρ
( ρm) m ρ P0 = 0,75 m!(1 − ρ ) 2 0,08 E ( Ls ) = ρm ≈ 0,67 E ( Lq ) = E ( L) − E ( Ls ) ≈
E ( L) = ρm +
E (W ) =
E ( L)
= 0,075
λ E ( Lq )
E (Wq ) = λ E (W ) = E ( S ) + E (Wq ) P( L ≥ 2) = 1 − P0 − P1 = 1 − P0 −
ρ nmm P0 m!
≈ 0,008
≈ 0,39
µ µ ' = mµ µ ' = 2 µ ∞∞
Tabela 7.3 Resultados adicionais obtidos para o sistema do drive-in.
λ
µ
ρ
≥
46 6
Pesquisa Operacional
∞∞ P(W
( ρm) m (1 − e − µw( m−1− ρm ) ) > w) = e − µw 1 + P0 m!(1 − ρ )(m − 1 − ρm)
w≥0
Exemplo 7.10
P(W
7.5.2 Modelo de fila
( ρm) m (1 − e −0, 25µ ( m −1− ρm ) ) > 0,25) = e −0, 25µ 1 + P0 ≈ 0,0319 m!(1 − ρ )( m − 1 − ρm)
M/M/∞/GD/∞/∞ – infinitos servidores (auto-serviço)
∞∞∞ ∞ ∞∞ m → ∞ λn = λ µ n = nµ µ Pn
= K n P0 =
λn P0 (1µ )(2 µ )(3µ )...( nµ )
=
λn P0 µ n n!
n
∑n=0 x = e x ∞
P0
1
= 1+
∑
∞ Kn n =1
λ µ
∑
∞ Kn n =1
1
=
∑
∞ n =0
= λn µ n n!
1
=e
−
λ µ
n!
λ
eµ
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
n
Pn
=
λ P0 µ n n!
λ µ =
n
−λ
e
µ
n!
E ( L) = E ( L)
46 7
1
λ µ
= E (W ) = λ µ
λ 1 E ( S ) = E (W ) = µ µ ∞∞∞ E ( Ls ) = E ( L) =
λ λE ( S ) = µ ∞∞∞ ∞∞∞ ∞∞ λn
=
λ n +1
µn = µ ∞∞∞ ∞∞
7.5.3 Modelo de fila
M/M/m/GD/K/∞
(com
m
≤ K) – múltiplos servidores com capacidade limitada
∞ ∞ ∞ K − m K ≥ m ∞ λn
λ = 0
µn
= nµ mµ
n =0, 1, 2, ...,
K1 −
n = K, K +1,... n =1, 2, 3, ..., m1− n m= m , +K1, ...,
∞
46 8
Pesquisa Operacional
Figura 7.17 Diagrama de transição de estados do sistema M/M/m/GD/K/∞.
λn λn ( ρ m) n = n0 P Kn 0 = P =P P m− 0 0 = n µ µ )...(n µ (1µ )(2 ) n! n! Pn = n m n λn λ ρ PK = P = = P +m =Pnm K n 0 nm − n 0 nm µ µ )...(µm m)( µ) m m m (1µ )(2 ! −
1, 2, ..., m
!
0
,
1
1, ...,
∞∞ 1 1 1 ρ ≠1 = m n m mK 1 + ∞ K = m−1 λ n K λ − ρ − +1 m − 1 ρ m ρ m ()()1 ∑ n=1 n ∑ n =0 n + m ∑ n =m ρ n− m ∑ n=0 + µ n! µ m! n! m! 1 − ρ P0 = 1 1 ρ =1 = ∞ m −1 ()() ρm n ρm m 1 + ∑ n =1 K n + ( K − m + 1) ∑ n=0 n! m! ρ < 1
E ( Lq ) =
m
K
∑ (n − m) P = m(!ρ(1m−) ρρ) [1 − ρ n
E ( Lq ) =
K − m +1
2
n=m
K
∑ ( n − m ) P = ( ρ m)
m
(K
n
− ( K − m + 1) ρ K −m (1 − ρ )]P0
− m)( K − m + 1) 2m!
n=m
ρ ≠ 1 ρ = 1
P0
K → ∞ ρ < 1 ∞∞ ∞ ∞ λ
∞
K −1
n =0
n =0
= ∑ λn Pn = λ ∑ Pn + 0 PK = λ (1 − PK )
E ( L) = E ( Ls ) + E ( Lq ) =
λ µ
+ E ( Lq )
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
46 9
λ < λ ρ E ( Ls ) = λ mµ
m
Exemplo 7.11
∞ ρ ≠
=
P0
∑
( ρm ) n n =0 n! m −1
1 ( ρm) m 1 − ρ 5−m +1 + m! 1 − ρ
≈ 0,51
ρ 5mm P0 ≈ 0,004 m! λP5 = 10(0,004) = 0,04 P5
=
E ( Ls ) m
=
λ
=
mµ
λ (1 − P5 ) mµ
≈ 0,33
≈ ≈ E ( Lq ) =
5
∑−(n
n=m
( ρm ) m ρ − −−[1+ ρ5− m−+1 (5 = m 1)ρ5− m (1) ρ ]P0 m !(1 − ρ ) 2 E ( Lq ) E (Wq ) = = 0,008 λ
=m) Pn
0, 07
Tabela 7.4 Resultados para sistemas com um e dois servidores, sem e com limitação de capacidade.
λ
µ
∞∞
∞
∞∞
∞
ρ
E ( Ls ) / m
47 0
Pesquisa Operacional
7.5.4 Modelo de fila
M/M/m/GD/m/∞
– múltiplos servidores sem fila de espera
∞ 1 1 ∞ 1 P0
=
1+
∑
∞ Kn n =1
=
∑
n
Pn
= K n P0 =
λ P0 µ n n!
=
λn n=0 µ n n! m
=
∑
λn µ n n! = m λi i =0 µ ii!
∑
m n =0
( ρm) n n!
( ρm ) n n! i m ( ρ m) i =0 i!
∑
K = m ∞ E ( Lq ) = 0
E ( L) = E ( Ls ) =
λ µ
=
λ (1 − Pm ) µ
∞∞∞ ∞ m → ∞ m → ∞ ∞∞∞ λ λ E ( L) = E ( Ls ) = µ µ ∞ 7.5.5 Modelo de fila M/M/m/GD/K/K (com m ≤ K) – múltiplos servidores com capacidade limitada e população finita (manutenção de máquinas)
∞ K − m K ≥ m λ µ
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
( K − n ) λ = 0 nµ µn = mµ
λn
47 1
n = 0, 1, 2, ..., K −1 n = K , K + 1, ... n = 1, 2, 3, ..., m −1 n =mm ,
+ 1,K...,
λ µ λ λ0 = K λ . − λ 1) K − λ)(( −K+2)n λ)...(( ( K λK )(( 1) ) P Kn 0 = PP = n m= −0 (1µµµ)(2 )...()n µ Pn = ( K λK )(( λ− 1) K λ)((− K2) n λ)...(( −+ 1) ) P K n 0 = P= +m m=n0PK n (1µµ)(2µµ)...( mm m)( ) − µ n mmnm CnK =
λn
λn
K! − n)! n n!
(K
K! ( K − n)! ! −
1, 2 , ...,
0
,
0
1
1, ...,
K! n!( K − n)!
λnK ! λn P Kn 0 = n P=C =P0C mPnK n 0 n =nK (ρ −)nm0 µ n !( K − n)! µ Pn = n n λ K! λ mm!n n Kn K ρ n 0 n mn n mn n 0 − PK = µ mK!(nm − )!P=C m =PµC ! m − P+=nm0 nK
1,2, ...,
1
! !
0
,
1, ...,
∞ P0
=
1 1+
∑
∞ Kn n =1
=
1
∑
m −1 n =0
K n
C ( ρm)
n
+ ∑n =m CnK K
ρ n n!m m m!
∞ ρ < 1 E ( L) =
K
∑ nP
n
n =0
Figura 7.18 Diagrama de transição de estados do sistema M/M/m/GD/K/K.
47 2
Pesquisa Operacional
λ
∞
K
K
K
n =0
n =0
n =0
n =0
= ∑ λn Pn = ∑ ( K − n)λPn = Kλ ∑ Pn − λ ∑ nPn = Kλ − λE ( L) = λ ( K − E ( L))
K − E ( L) K − E ( L) K
Exemplo 7.12
1
1
= µ = 5 2 ρ = λ λ
mµ
P0
=
Cn3 m ( ρP ) nn 0 = m1,2,..., 1 − Pn = ρ n n ! m m 3 Cn m! P n0 mm = , + 1, ..., 3
1
∑
m −1 n =0
Cn3 ( ρm) n +
∑
3 n=m
Cn3
ρ n n!m m m!
E ( L) 3 E ( L) = ∑ n =0 nPn λ = λ (3 − E ( L)) E (W ) =
λ
3 − E ( L)
3 Modelos de fila M/M/∞/GD/∞/N, M/M/m/GD/m/N e M/M/m/GD/K/N
∞∞ m ≤ K m ≤ K ≤ N
Tabela 7.5 Resultados obtidos para sistemas com um e dois mecânicos.
λ
µ
ρ
λ
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
47 3
7.5.6 Modelos de decisão de filas – múltiplos servidores
µ µ µ µ
Exemplo 7.13
λ µ cm + dE ( Lq ) = 12m + 50 E ( Lq ) λ
17,5
ρ= = ρ < 1 mµ 10m
47 4
Pesquisa Operacional
Tabela 7.6 Valores de E (Lq ) e do custo total por semana.
µ 7.6 OUTROS MODELOS DE FILAS COM DISTRIBUIÇÕES EXPONENCIAIS
λn = cn λ µn = dn µ 1 λ0 = λ c0 =1 d1 = µ 1 = µ
7.6.1 Modelo com desistência na chegada
∞∞∞ ∞∞ 1 cn = n +1
cn
= 1 n +1
a
a =0 cn = 1 − f n 7.6.2 Modelo com abandono na espera ou com aceleração do servidor
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
47 5
g µ n = d n µ = µ + g n d n = 1 + n µ d n = nb b =0 µ dn
n, = n b m m,
b = 0 Exemplo 7.14
λ µ ρ > 1 n
f n = 3 cn = 1 − f n λ λ λ λ λ P1
P3
=
λ0 P0 µ1
λ0λ1 P0 µ1µ 2
P2
=
=
λ0λ1λ2 P0 µ1µ 2 µ3
=
=
3 P0 2
32 P0 22
=
3 P0 2
= 3 2 1 P0 = 3 P0 222
4
P0
=
1 1+
∑
∞ Kn n =1
=
1 3 3 3 1+ ( + + ) 2 2 4
=
4 19
47 6
Pesquisa Operacional
6
6
3
P1 = P2 = P3 = 19 19 19
∑
∞ (λ n =0
− λn ) Pn = (3 − 3) P0 + (3 − 2) P1 + (3 − 1) P2 + (3 − 0) P3 + ∑∞n=4 (3 − n) Pn = 0 +1
6 6 3 + 2 + 3 + 0 ≈ 1 ,42 19 19 19
Modelos com chegadas e serviços em lote
7.7 MODELOS DE FILAS COM DISTRIBUIÇÕES GENÉRICAS
7.7.1 Modelo de fila
M/G/1/GD/∞ /∞
– um servidor
∞∞ ∆ µn ∆t λ 1 µ= E(S )
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
λ
47 7
λ
ρ = = < 1 mµ µ E ( L) = ρ +
ρ 2 + λ2V ( S ) 2(1 − ρ )
V ( S ) = 12 E ( L) = ρ µ 1− ρ λE ( S ) = 1 − P0 λ = λ P0
= 1− ρ
E ( L) E (W ) = λ Exemplo 7.15
λ µ=
1 E (S )
=
60 4
= 15 ρ = λ = 10 ≈ 0,67 µ
E ( L) = ρ +
ρ 2 + λV ( S ) 2(1 − ρ )
= 0,67 +
0,67 2 2(1 − 0,67)
15
≈ 1,33
E( Ls ) = ρ ≈ 0,67 E ( Lq ) = E ( L) − ρ ≈ 0,67 E ( L)
≈ 0,133 E (W ) = λ E ( W ) = E ( W ) − E ( S ) ≈ 0 , 067 q
47 8
Pesquisa Operacional
Tabela 7.7 Resultados para os sistemasM/M/1 e M/D/1.
λ
µ
∞∞
∞∞
ρ
MG
GD
7.7.2 Modelo de fila / /1/ /∞ /∞ – um servidor e chegadas em lote ∞∞ 1 µ λE ( N )
λ E(S ) =
λE ( N ) ρ < 1 ρ= µ
λE ( S )(V ( N ) + E ( N ) 2 − E ( N )) + ρ 2 + λ2 E ( N ) 2V ( S ) 2(1 − ρ ) E ( L) = ρ +
E (W ) = E ( L) λE ( N )
7.7.3 Modelo de fila
M/G/m/GD/m/∞
– múltiplos servidores sem fila de espera
∞ n
Pn
= K n P0 =
λ P0 µ n n!
=
λn µ n n! = m λi i i =0 µ i!
∑
( ρm ) n n! i m ( ρm ) i =0 i!
∑
Exemplo 7.16
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
47 9
λ = 1 / 15 µ = 1 / 30 Pm
=
λm µ m m! = m λi i i =0 µ i!
∑
(1 / 15) m (1 / 30) m m! ≤ 0,10 m (1 / 15) i i i =0 (1 / 30) i!
∑
P4 ≈ 0,095 7.7.4 Modelo de fila
M/G/∞ /GD/∞ /∞
– infinitos servidores (auto-serviço)
∞∞∞ ∞ ∞ m → ∞ n
Pn
=
λ
λ −µ λn λn e n n µ n! µ n! µ = = i λ ∞ λ µ i e n! i =0 µ i!
∑
λ 1 = E ( Ls ) E (W ) = µ µ
E ( L) =
= E ( S )
∞ ∞ ∞ Exemplo 7.17
λ µ = 1 10 ∞ λ 3 E ( L) = = = 30 µ
1 / 10
48 0
Pesquisa Operacional
P25
7.7.5 Modelos de fila
G/G/1/GD/∞ /∞
λ µ =
25
e
−
λ µ
=
25!
30 25 e −30 25!
≈ 0,05
e G/G/m/GD/∞ /∞
∞ ρ <1 ρ → 1
lim ρ →1 E (Wq ) =
V (S ) m 2(1 − ρ )
λ V ( X ) +
ρ < 1 Modelo G/G/1
C X2
=
C S2
=
V (X ) E ( X )2 V (S ) E(S )2
ρ 2 (C X2 + CS2 ) ρ+ se C X2 ≥ 1 2(1 − ρ ) E ( L) ≈ 2(1− ρ )(1− C ) ρ + ρ 2 (C X2 + CS2 ) e − 3ρ (C +C ) 2 se C X < 1 2(1 ρ ) − C X2 = 1 2 X
2 2 X 2 S
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
E( X ) =
48 1
1 1 V ( X ) = 2 λ λ
E ( L) = ρ +
ρ 2 (1 + CS2 ) 2(1 − ρ )
=ρ+
ρ 2 (1 + µ 2V ( S )) 2(1 − ρ )
=ρ+
ρ 2 + λ2V ( S ) 2(1 − ρ )
ρ → 1 2 2 2 2 2 E ( L) ≈ ρ + ρ (1 + CS ) (C X + ρ2 C2 S ) 2(1 − ρ ) (1 + ρ CS )
E ( L) ≈ ρ +
ρ 2 (1 + CS2 ) (2 − ρ )C X2 + ρ 2CS2 2(1 − ρ ) ( 2 − ρ + ρCS2 )
C X2 = 1 C X2 ≤ 2 Tabela 7.8 Resultados obtidos para E ( L ) com as três aproximações.
C 2 S
2 X
C
48 2
Pesquisa Operacional
ρ E ( L)
E (W ) = λ Modelo G/G/m
µ µ ' = mµ E ( L) ≈ ρm +
(C X2
+ CS2 ) 2
E ( Lq ) M / M / m
E ( Lq ) M / M / m C X2 = 1 CS2 = 1 ρ → 1 E ( L ) ≈ ρm +
E ( Lq ) M / M / m E ( Lq ) M / M / 1
E ( Lq )G / G / 1
E ( Lq ) M / M / 1 E ( Lq ) M / M / m E ( Lq )G / G / 1
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
48 3
Exemplo 7.18
V (S )
= 0,25 CS2 = E(S )2 C X2
=
V(X ) E( X )2
= 0,5
λ ρ = ≈ 0,67 µ C X2 < 1 2 (1− ρ )(1− C X2 ) 2
ρ 2 (C X2 + C S2 ) − 3 ρ ( C 2 +C 2 ) E ( L) ≈ ρ + e ≈ 1,11 2(1 − ρ ) X
S
λ ρ = ≈ 0,33 mµ E ( L) ≈ ρm +
(C X2
+ CS2 ) 2
E ( Lq ) M / M / m
≈ 0,70
E Lq M / M / m 0,08 ( ) ≈ E ( L ) ≈ ρm +
E ( Lq ) M / M / m E ( Lq ) M / M /1
E ( Lq ) M / M /1 ≈ 1,33
E ( Lq ) G / G /1
E ( Lq ) G / G /1
≈ 0,71
= E ( L)G / G /1 − ρ = 1,11 − 0,33 ≈ 0,78
7.8* MODELOS DE FILAS COM MÚLTIPLAS CLASSES DE USUÁRIOS E PRIORIDADE
7.8.1 Modelo de fila
Mi /Gi /1/NPRP/∞ /∞
– um servidor e prioridade sem interrupção
1
λ µ i = E ( Si )
48 4
Pesquisa Operacional
λ
ρi = i µi r ∑i =1 ρi < 1 E (Wqk ) =
∑
∑
r
i =1
2(1 −
λi (V ( Si ) + E ( Si ) 2 )
∑
k −1
i =1
ρi )(1 −
∑
k i =1
ρi )
i =−1 ρi = 0 p ∑i =1 ρ i ≥ 1 p ≤ r E ( Lqk ) = λk E (Wqk ) k 1
Exemplo 7.19
Figura 7.19 Sistema de filas com múltiplas classes de usuários com prioridade e um servidor.
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
48 5
λ λ µ µ ρ ρ ≈ ρ1 + ρ2 < 1
1 + 1 + 5 1 + 1 2 2 = 1800 20 1800 15 ≈ 0,06 E (Wq1 ) = 1−1 1 2(1 − 0)(1 − 0,5) 2(1 − i =1 ρ i )(1 − i =1 ρ i )
∑
2
λ (V ( Si ) + E ( Si ) 2 ) i =1 i
∑
∑
10
1 + 1 + 5 1 + 1 1800 20 2 1800 152 ≈ 0,33 E (Wq 2 ) = = 2 −1 2 2(1 − 0,5)(1 − 0,88) 2(1 − ∑i =1 ρ i )(1 − ∑i =1 ρ i )
∑
2
i =1
λi (V ( Si ) + E ( S i ) 2 )
10
E (W1 ) = E ( S1 ) + E (Wq1 ) =
1 + 0,06 ≈ 0,11 20
1 + 0,33 = 0,4 15 τ E (W2 ) = E ( S 2 ) + E (Wq 2 ) =
τ E ( S1 ) ≤ E ( S 2 ) ≤ ... ≤ E ( S r )
7.8.2 Modelo de fila
Mi /M/1/PRP/∞ /∞
– um servidor e prioridade com interrupção
λ µ ρi =
λi ρ µ
= ∑i=1 i = ∑i =1 ρi r
λ
r
µ
ρ < 1 E (Wk ) =
1/ µ (1 −
∑
k −1 i =1
ρi )(1 −
∑
k i =1
ρi )
48 6
Pesquisa Operacional
∑
1
k −1
i =1 ρi = 0 µ (1 − ρ ) E ( Lk ) = λk E (Wk ) Exemplo 7.20 ∞∞
µ λ λ ∞∞ λ = λ1 + λ2 µ λ = λ1 + λ2 < µ E (W1 ) =
E (W2 ) =
1/ µ (1 −
∑
1−1 i =1
ρ i )(1 −
1/ µ (1 −
∑
2 −1
i =1
ρi )(1 −
∑
2 i =1
ρi )
=
∑
1 i =1
ρi )
=
1/ µ 1 − ρ1
=
1 µ − λ1
µ 1/ µ = (1 − ρ1 )[1 − ( ρ1 + ρ 2 )] ( µ − λ1 )[ µ − (λ1 + λ2 )]
E (W ) =
=
λ1 λ2 λ1 1 E (W1 ) + E (W2 ) = λ1 + λ2 λ1 + λ2 λ1 + λ2 µ − λ1
λ1 λ2 µ + λ ( µ − λ1 ) λ ( µ − λ1 )( µ − λ )
=
+
λ1 ( µ − λ ) + λ2 µ λ ( µ − λ1 )( µ − λ )
λ2 µ λ1 + λ2 ( µ − λ1 )[ µ − (λ1 + λ2 )]
=
λ1 ( µ − λ ) + λ2 µ λ ( µ − λ1 ) (µ − λ )
=
1 µ −λ
λ ) < ∞∞ E (W1 ) < E (W E (W2 ) E (W ) > E (W1 ) E (W ) < E (W2 )
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
7.8.3 Modelo de fila
Mi /M/m/NPRP/∞ /∞
48 7
– múltiplos servidores e prioridade sem interrupção
ρi =
∑
r
λ i =1 i
∑
λi mµ
r
= i=1 ρi ρ = mµ µ ρ < 1 (ρm )m 0 mµ (1 − ρ )m! P E (Wqk ) = k −1 k (1 −
∑
∑
i =1
ρ i )(1 −
∑
i =1
ρi )
k −1
i =1 ρi = 0 ρ p ∑i =1 ρi ≥ 1 p ≤ r E ( Lqk ) = λk E (Wqk ) Exemplo 7.21
λ λ µ ρ1 = ρ2
λ1 mµ
= ρ
λ2 mµ
=
10 5(7,5)
≈ 0,27
=
20 5(7,5)
≈ 0,53
= ρ1 + ρ 2 = 0,8
ρ P0
=
1
∑
( ρm ) n n =0 n!
m −1
ρ m + ( m) 1 m! 1 − ρ
=
∑
1 4 n 45 1 + n =0 n! 5! 1 − 0,8 4
≈
48 8
Pesquisa Operacional
E (Wq1 ) =
E (Wq 2 ) =
(ρm )m P0 mµ (1 − ρ )m! (1 −
∑
1−1 i =1
ρ i )(1 −
∑
1 i =1
ρi )
(ρm )m P0 mµ (1 − ρ )m! (1 −
∑
2 −1 i =1
ρ i )(1 −
∑
2 i =1
ρi )
=
=
45 P0 5(7,5)(1 − 0,8)5! 1 − 0,27
≈
45 P0 5(7,5)(1 − 0,8)5! ≈ (1 − 0,27)(1 − 0,27 − 0,53)
7.9* MODELOS DE REDES DE FILAS
Figura 7.20 Rede de filas aberta.
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
48 9
7.9.1 Modelos de redes de filas com distribuições exponenciais
∞∞ λ µ λ
ρ = mµ λ ∞ λ m j ≥ 1 µ ∞∞ λ µ ∞∞ λ ρj = <1 m jµ j
Exemplo 7.22
49 0
Pesquisa Operacional
(E( X ) =
λ µ1 =
1 E ( S1 )
= 60 = 20 3
1 λ
=
60 10
= 6
1 = 60 = 30 E (S 2 ) 2 λ 10 λ 10 = = 0,5 ρ 2 = = ≈ 0,33 µ 2 30 µ1 20
µ2
=
ρ1 = 2
E ( Lq1 ) =
ρ1 1 − ρ1
=
2
E ( Lq 2 ) =
ρ2 1 − ρ2
=
0,52 1 − 0,5
= 0,5
0,332 ≈ 0,17 1 − 0,33
E ( Lq1 )
E ( Lq 2 )
0,5
0,17
E (W ) = E (W ) + E (W ) = λ + λ 0,067 = 10 + 10 ≈ q
q1
q2
Figura 7.21 Drive-in de um restaurante fast-food como uma rede de filas em série.
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
49 1
J i =1 pij λi λ
∑
λj
= rj + ∑i =1 pij λi J
µ λj
ρ j =
< 1
mjµ j
∞∞ λ µ E ( L) =
∑
J j =1
E(Lj )
E ( L) E (W ) = λ J λ = j =1 rj
∑
Exemplo 7.23
µ µ
∑ p λ = 4 + p λ + p λ = 4 + 0,25λ = r + ∑ = p λ = 5 + p λ + p λ = 5 + 0,5λ
λ1 = r1 +
λ2
2
i =1
i1 i
11 1
21 2
2
2
2
i 1
i2 i
12 1
22
2
1
λ λ E ( L) = E ( L1 ) + E ( L2 ) =
λ1 µ1 − λ1
+
λ2 µ 2 − λ2
=
6 8 + 8 − 6 10 − 8
= 3 + 4 = 7
λ = r1 + r2 = 4 + 5 = 9 E (W ) =
E ( L)
λ
=
7 9
49 2
Pesquisa Operacional
Exemplo 7.24
λ µ Pn n µP01 = λP00 1 2
µP10 + µPb1 = (λ + µ ) P01 λP00 + µP11 = µP10 λP01 = 2 µP11 µP11 = µPb1
Figura 7.22 Diagrama de transição entre estados da rede.
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
49 3
Pn n 1 2
P00 + P01 + P10 + P11 + Pb1 = 1
λ
ρ = µ P00
=
2 3ρ 2 + 4 ρ + 2
P01
=
2ρ 3ρ 2 + 4 ρ + 2
ρ 2 + 2ρ 3ρ 2 + 4 ρ + 2 ρ2 P11 = 2 3ρ + 4 ρ + 2 ρ2 Pb1 = 2 3ρ + 4 ρ + 2 P10
=
E ( L) = 0 P00 + 1( P01 + P10 ) + 2( Pb1 + P11 ) =
0 P00 + 1( P01 + P10 + Pb1 ) + 2 P11 =
5ρ 2 + 4 ρ 3ρ 2 + 4 ρ + 2
4ρ 2 + 4ρ 3ρ 2 + 4 ρ + 2
Modelos de redes de filas com distribuições genéricas
7.9.2 Modelos de decisão em rede de filas
µ
49 4
Pesquisa Operacional
µ
Exemplo 7.25 J i =1 pij λi λ
∑
λj
= rj + ∑i =1 pij λi J
c j µ j
∑
J j =1
cjµ j
≤C
µ
∑
E ( L ) = µ J
∑ ∑ µj
≥ 0 j = 1,
cµ j =1 j j
j =1
E ( L j )
λj
J
E(L j ) =
j =1 J
J
≤ C∑
j =1
µ
j
− λj
2, ..., J
µ µj
= λj +
c jλ j
∑
J i =1
ci λi
C−
∑
n
c λi
i =1 i
cj
7.10 EXERCÍCIOS50 Exercício 7.1
PO - PROVA 6
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
49 5
Exercício 7.2
Exercício 7.3
Exercício 7.4 ∞∞
( mρ ) m 1 m! 1 − ρ
∞
= ∑ Pn =
PS
n=m
∑
( mρ ) n n =0 n! m −1
m + (mρ ) 1 m! 1 − ρ
∞∞ Exercício 7.5
n
Pn
=
CnN (λ / µ ) (1 + λ / µ ) N
E ( L) =
Nλ / µ 1+ λ / µ
∞∞∞ Exercício 7.6 m ≤ N
n
Pn
=
CnN (λ / µ )
∑
m k =0
C
N k
(λ / µ )k
∞ Exercício 7.7 m ≤ K ≤ N n
Pn C=
N n
λ n! P µ m m !
m− n
0
49 6
Pesquisa Operacional
Exercício 7.8
Exercício 7.9
Exercício 7.10
15 − 0,25 x 0 ≤ x ≤ 60 Exercício 7.11
C X2 = 0,5 CS2 = 0,5 Exercício 7.12
C X2 = 0,5 CS2 = 0,5
Exercício 7.13
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
49 7
Exercício 7.14
7.11 RESUMO DOS RESULTADOS DO CAPÍTULO
∞∞ Pn
= ρ n (1 − ρ )
E ( L) =
ρ 1− ρ
∞
ρ n (1 − ρ ) 1 − ρ K +1 ρ ≠ 1 Pn = 1 K + 1 ρ = 1
ρ[1 − ( K + 1) ρ K + K ρ K +1 ] ρ ≠1 (1 − ρ )(1 − ρ K +1 ) E ( L) = K ρ =1 2 ∞ n
λ N! µ ( N − n)! Pn = i N λ ∑i=0 µ ( NN−!i)!
N
E ( L) =
nPn n =0
∞∞
∑ P0
=
∑
( ρm ) n n =0 n! m −1
1 m + ( ρm) 1 m! 1 − ρ
49 8
Pesquisa Operacional
( ρ m) n n ! P0 Pn = n m ρ m P m! 0 E ( L ) = ρm +
n 1, = 2, .., n m= m,
m1−
+ 1, ...
( ρm) m ρ P0 m!(1 − ρ ) 2
∞∞∞
Pn
λ n e − λµ µ =
n!
E ( L) =
λ µ
∞ 1 ρ ≠1 n m mK − +1 m−1 ()()1 ∑ n=0 ρ m + ρ m − ρ n! m! 1 − ρ P0 = 1 ρ =1 m−1 ()() ρm n ρm m + − + ( K m 1) ∑ n=0 n! m! ( ρm ) n n ! P0 , n =1, 2, ..., m −1 Pn = n m ρ m P , n mm= , K+1 , ..., m ! 0
λ (1 − PK ) ( ρ m)m ρ mK − +1 (−K µ + m!(1 − ρ )−2 [1 −ρ−+ E ( L) = λ (1 − PK ) ( ρm K) m−( m K −+ m)( + µ 2m !
mmρK ≠1)ρ ρ− (1
1)
P0
∞ ( ρ m) n Pn
=
∑
E ( L) =
n! ( ρm) i i =0 i! m
λ (1 − Pm ) µ
)]P0
1
ρ =1
Capítulo 7: Sistemas de filas e otimização
P0
Pn
=
1
∑
m −1 n =0
K n
C ( ρm )
n
+ ∑n =m CnK K
ρ n n!m m m!
CnK m(ρP ) n n0 =m1,2,..., 1 − = K ρ n n !m m Cn m ! P 0n mm =, K 1, +..., K
E ( L) =
∑ nP
n
n =0
∞∞ E ( L) = ρ +
ρ 2 + λ2V ( S ) 2(1 − ρ )
∞∞ E ( L) = ρ +
λE ( S )(V ( N ) + E ( N ) 2 − E ( N )) + ρ 2 + λ2 E ( N ) 2V ( S ) 2(1 − ρ )
ρ
∞
Pn
=
( ρm ) n n! i m ( ρ m) i =0 i!
∑
E ( L) =
λ (1 − Pm ) µ
∞∞∞
Pn
λ µ =
E ( L) =
n
e
n!
−λ
µ
λ µ
∞∞
ρ 2 (C X2 + CS2 ) ρ+ 2(1 − ρ ) E ( L) ≈ 2(1− ρ )(1− C ) 2 2 ρ + ρ (C X + CS2 ) e− 3 ρ (C +C ) 2(1 − ρ ) 2 X
2 2 X 2 S
se C X2
≥1
se C X2
<1
=
λE ( N ) µ
49 9
50 0
Pesquisa Operacional
E ( L) ≈ ρ +
ρ 2 (1 + CS2 ) (C X2 + ρ 2CS2 ) 2(1 − ρ ) (1 + ρ 2CS2 )
E ( L) ≈ ρ +
ρ 2 (1 + CS2 ) ( 2 − ρ )C X2 + ρ 2CS2 2(1 − ρ ) ( 2 − ρ + ρCS2 )
∞∞ E ( L ) ≈ ρm + E ( L) ≈ ρm +
+ CS2 )
λ (C X2
2 E ( Lq ) M / M / m E ( Lq ) M / M / 1
E ( Lq ) M / M / m E ( Lq )G / G / 1
∞∞ E (Wqk ) =
∑
r i =1
2(1 −
λi (V ( Si ) + E ( Si ) 2 )
∑
k −1 i =1
ρi )(1 −
∑
k i =1
ρi )
∞∞ E (Wk ) =
1/ µ (1 −
∑
k −1 i =1
ρ i )(1 −
∑
k i =1
ρi )
∞∞ E (Wqk ) =
(ρm )m P0 mµ (1 − ρ )m! (1 −
∑
k −1 i =1
ρ i )(1 −
∑
k
i =1
ρi )
Apêndice Elementos de sistemas de equações lineares
× a11 a 21 am1
b1
a12
a1n
a22
a 2 n b2
am 2
a mn bm
Definição A.1
Exemplo A.1
x1 + x2 = 7 −5 x + 3x = 15 2 1 50 1
50 2
Pesquisa Operacional
Figura A.1 Representação gráfica do sistema linear com duas variáveis.
1 1 7 − 5 3 15 1 0
7
x1 + x2 = 7 8 x2 = 50 1
8 50
= 3 4 = 0, 75 x2 = 25 4 = 6, 25
x1
Exemplo A.2
x1 + x2 + x3 = 6 3 x + 6 x + x = 2 1 2 3 x1 + 4 x2 + 3x3 = 10
Apêndice: Elementos de sistemas de equações lineares
1 3 1
1 1
6 ← L1
6 1
2 ← L2
50 3
4 3 10 ← L3
← ← (1)
1 03 0
1
1 −2
3
2
6 ← L1 −16 ← L2(1) 4
(1) ← L3
←
1 03 00
1
← L1(2 ) −16 ← L2(2 ) 20 ← L3(2 )
1
6
−2 4
× − − − × × − ⇒ − − ⇒ −
Exemplo A.3
x1 + x2 = 1 3x + 3x = 6 1
2
×
1 3
1 1 3 6
1 1 1 → 0 0 3
50 4
Pesquisa Operacional
Figura A.2 Representação gráfica do sistema de equações lineares sem solução.
x1 + x2 = 1 0 = 3,
Exemplo A.4
x1 + x 2 + x3 = 6 3x1 +6 x 2 + x3 = 2 2 x1 + 2 x 2 + 2 x3 = 7 1 3 2
1 1 6
1 1 1 6 −2 −16 → 03 2 2 7 0 0 0 −5 6 1 2
Definição A.2 ×
× ≤
Apêndice: Elementos de sistemas de equações lineares
50 5
Exemplo A.5
x1 + x2 = 2 2 x + 2 x = 4 1 2
1 2
2
1
1 → 0
2 4
1 2
0 0
x1 + x2 = 2 0=0
Exemplo A.6
x1 + x2 + x3 = 6 3x + 6 x + x = 2 1 2 3 2 x + 2 x + 2 x = 12 2 3 1 1 3 2
1 1 6 1
2 2
6
12 2
1
1
0
0
→ 03
1 6 −2 −16 0 0
Figura A.3 Representação gráfica do sistema linear com infinitas soluções.
50 6
Pesquisa Operacional
− 16 3 16 3 34 3 Exemplo A.7
− − − 1 0 − 3 − 45 1 1 2 − 1 0 3 1 2 − 1 0 3 5 −2 1 1 21 − → 0 5 − 1 2 5 → 2 0 1 −1 1 5 5 − − − 1 2 − 2 1 − × δ 53 δ 15 δ − − ×
Apêndice: Elementos de sistemas de equações lineares
50 7
− − β ≠
A | b). * denota um pivô não-nulo e x um elemento qualquer. Figura A.4 Forma escalonada da matriz aumentada (A
A) < posto (A A | b). Figura A.5 Forma escalonada da matriz aumentada em que posto (A
50 8
Pesquisa Operacional
≤ ≤ −
Referências Bibliográficas
50 9
51 0
Pesquisa Operacional
Referências Bibliográficas
51 1
51 2
Pesquisa Operacional
Referências Bibliográficas
51 3
51 4
Pesquisa Operacional
λ
Referências Bibliográficas
51 5
51 6
Pesquisa Operacional
Referências Bibliográficas
51 7
51 8
Pesquisa Operacional
Índice Remissivo
Ajuste de curvas, 44, 47, 48, 156 Algoritmo, 84, 85, 97, 137, 247, 251, 254, 259, 307, 313, 322, 333, 340-344 Algoritmo aproximado, 164, 178 Algoritmo eficiente, 233 Não eficiente, 233 Algoritmos de planos de corte, 251, 274 Algoritmo de Dijkstra, 304, 307-309, 312-314, 322 Algoritmo de Floyd, 322, 323, 369 Algoritmo de Ford, 313, 314, 317, 340, 342, 344 Algoritmo de Ford e Fulkerson, 342, 344, 347, 348 Algoritmo genético, 271-273 Algoritmo de Kruskal, 333 Análise, 124, 441 em equilíbrio, 441 transiente, 451 Árvore, 240, 246, 248, 250, 257, 260, 292, 331 Definição, 292 geradora, 292, 293 Árvore branch-and-bound, 246, 248, 274 Árvore geradora mínima, 331-336 formulação matemática, 16, 21, 26, 29, 33, 40, 304, 331 algoritmo de Kruskal, 333 Atraso de tarefa, 228 Atraso máximo, 216, 217, 219 Avanço de tarefa, 217, 219 Balanceamento de linha de montagem, 227 Base, 356, 357 Branch-and-bound, 239, 246,274, 248, 257, 260
limitantede superior , 251, 257, variáveis ramificação, 244,260 260 nó filho, 248, 250 nó ativo, 259 Branch-and-cut, 256, 259, Branch-and-price, 516
Busca tabu, 272 Cadeia, 291
Caixeiro viajante, 186, 188, 189, 191 grafo não-orientado-simétrico, 186 grafo orientado, 400 m-caixeiro-viajante, 188 aquisição,189 lucro,191 Caminho, 291, 298, 299, 302, 303, 307, 309-314, 322, 328, 329, 341 Definição, 291 mínimo, 297, 298, 338 máximo, 327 mais longo, 328, 329 Cardinalidade, 186, 187, 289 Carteiro chinês, 192-194 grafo não-orientado, 186, 189, 191-193, 290 grafo orientado, 187, 188, 194, 195, 204, 208, 228, 290, 294, 399, 400 Ciclo, 186, 193, 291, 355, 362 Definição, 291 Circuito, 291, 304, 314, 317, 318, 322 Definição, 291 Cláusula, 233 Cobertura, 181, 182 Coeficiente quadrático de variação, 496 Colônia de formigas, 272 Complexidade computacional, 232 Condição de otimalidade, 79, 82, 83, 97, 121, 122, 134, 356, 357, 361, 364-366 Condição de otimalidade dual, 135 Conjunto convexo, 235 Conservação de estoque, 30, 32 Controle ótimo, 239 46 Corte, 174-178, Unidimensional, 175 Bidimensional, 176 de um grafo, 348 Corte de Gomory, 251, 253, 256 CPM, 328, 329, 331 Custo fixo, 7, 10, 33, 167, 301 Custo fixo em fluxos em redes, 204 51 9
52 0
Pesquisa Operacional
Custos relativos, 79, 355, 356, 359-361, 363 Curva de trade-off, 433, 434 Decisões, 1, 3-5, 7, 26, 30, 31, 35, 50, 146, 181, 387 Decomposição de Benders, 274 Decomposição de Dantzig-Wolfe, 274 Degeneração, 65-67, 77-79, 363 Derivadas parciais, 44, 125 Designação, 21, 178, 180, 181 Generalizada, 179, 180 múltiplos recursos, 180 múltiplos níveis, quadrática, 181 180 Desigualdade válida, 253 Desvio padrão, 28, 449 Diagrama de transição, 451, 452,455, 459, 460, 463, 467, 468, 471, 492 Dimensionamento de lotes, 12, 29, 30, 33, 47, 206, 210, 213, 238, 264, 266, 267, 269, 273, 376 um item, sem restrição de capacidade, 206 múltiplos itens e restrição decapacidade, 208 múltiplos níveis, 180, 208, 209, 211 múltiplos itens e preservação de preparação, 209 Dimensionamento e programação de lotes, 29, 33 problema discreto, 213 problema geral, 214 Direção, 58, 80, 132 Simplex, 80 dual simplex, 135, 138-140, 145 Distribuição, 408, 429, 437-439, 442, 445 Acumulada, 445, 446 de Engset, 473, 495 de Erlang, 495, exponencial, 446-449, 454, 475 genérica, 439, 476, 479, 483, 496 geométrica, 446, 455 normal, 28, 331 de Poisson, 429, 447, 448-450, 453, 466, 467, 470, 473, 479 uniforme, 496 Dual, 110, 115, 118, 120, 126, 128, 130 Dualidade forte, 123 Disciplina, 437 da fila, 437, 438 de prioridade sem interrupção, 483, 487 de prioridade com interrupção, 485 EDD Eliminação de nós, 246 Empacotamento, 39, 40 174, 178, 180, 181, 182, 184, 185, 375, 402 Envoltória convexa, 235, 236, 238, 251 Equação recursiva, 388, 389, 392, 394-396, 400, 407, 408, 423, 425 Progressiva, 388, 389, 392, 394, 395 regressiva, 388, 395, 396, 407, 408
Escalonamento de matriz, 506 Estados, 386, 387 Estado de equilíbrio, 441, 452, 455 Transiente, 441, 451 Estágios, 299, 300, 301, 386-389 Estoque em processo, 215, 438, 445, 493 Estratégia simplex, 79, 80-82, 87 Estratégia dual simplex, 132, 134-137 Fator de utilização, 441, 444, 445, 460, 463, 469, 473, 477, 478, 483, 484, 487, 489, 491, 493 FCFS, 494, 495 Fluxo de caixa, Flutuação livre, 35 330 Fluxo máximo, 339, 340, 342, 347-349, 369 Fluxo máximo corte mínimo, 369 Folga, 53, 68, 69, 85, 91, 94, 98-101, 114, 116, 172 Folgas complementares, 122, 123, 161, 162 Forma padrão, 50-54, 66, 71, 76, 84, 85, 91, 93, 100, 110, 115 Fórmula de, 442 Kraemer e Lagenbach-Belz, 481, 482, 483 Little, 442-445, 453, 456, 458, 460, 462, 467, 487, 491 perda de Erlang, 470, 478, 479 Pollaczek e Khintchine, 477, 481, 484 Formulações alternativas, 234 mochila 0-1, 270, 271, 286, 302 localização de facilidades com capacidade ilimitada, 201, 237 dimensionamento de lotes de um item sem restrição de capacidade, 267, 269 Função, 111, 170-179, 180-186, 190-194, 196, 201, 207, 211, 214, 219, 222, 233, 238, 249, 262 Dual, 111-114, 135, 136 Lagrangiana, 111 linear por partes, 170 Geração de colunas, 263, 274 Gestão financeira, 35, 375 Grade de horários, 231, 232 Grafo, 192, 194, 227, 229, 289, 290, 293 Definição, 289 Orientado, 290 não-orientado, 290 fracamente conectado, 292 fortemente conectado, 292 representação matricial, 293 GRASP, 272 Heurística busca local, 271-272 construtiva, 270-271 vizinhança, 271-272 Hiperplano, 59, 252 Horizonte de planejamento, 6-8, 20, 29, 31, 33, 35-37, 152-152, 197, 205-206, 228, 232, 280, 376-381
Índice Remissivo
Índices básicos, 71, 84-85, 87-88, 134, 137, 144-145, 157 Índices não-básicos, 84-85, 87-88, 103, 134, 137, 157 Indução Progressiva, 381-386 Regressiva, 381-382, 385-387 Instância, 232-234 Instante mais cedo, 34, 329 Instante mais tarde, 329-330 Jogadores, 146-147, 407, 414-415 Jogo-da-velha, 414-415, Jogo de soma zero, 414 428 Lateness, 215-219 Lateness máximo, 218-219
LCFS, 438-439, 458, 483-485 Leadtimes de produção, 493 Lista de adjacência, 294-295 Linguagens de modelagem, 172 Localização de facilidades, ix, xi, 12, 182, 195, 200-202, 204, 237, 273, 287 p-medianas, 12, 200-201 p-centros, 201 capacidade ilimitada, 201, 237 capacidade limitada, 201-204, 287 fonte única, 202-204, 287 Logística, ix, xi, 2, 15, 184, 195 Makespan, 215, 220-221, 225, 228, 281
Manutenção de equipamentos, 13, 426 Matriz, 40, 47, 50-51, 54. 60, 70-71, 77, 80-102, 110-111, 114-115, 118, 123,129-139, 145-146, 154, 157-160, 163, 182-185, 222-223, 239, 252, 263, 293-296, 324-326, 337-338, 350-354, 369, 501-508 de adjacências, 293 básica, 71, 84-85, 92-93, 123,138-139, 145-146, 158-160 de incidência nó-arco, 294, 337-338, 350-354, 369 de incidência nó-aresta, 293 Medidas de desempenho, 13,215-218, 434-435, 439, 453-457, 460, 462, 464-465, 468, 472-473, 477-478, 482-487, 491-494 Meta-heurísticas, 270-274 Método de Benders, 265-266, 274 problema mestre, 266 subproblema, 265 Método do caminho crítico – COM, 329 Método de Dantzig-Wolfe, 266, 269, 277 problema mestre, 268-269, 274 subproblema, 266-269 Método dual simplex, 66, 110, 129, 135, 137-145, 155-156, 158, 162, 244, 254 Método das duas fases, 100-103, 155
52 1
eliminação de Gauss, 69, 77, 83, 90, 92, 96, 502-506 heurístico, 9-10, 270 hierárquico, 106-108 m-grande, 358 ótimo, 8-9, 200, 270 dos pesos, 106, 109 de pontos interiores, 15 Métodos de enumeração implícita, 239 Método simplex, 1, 12, 15, 66, 71, 74, 79, 82, 84, 86, 89-95, 99-103, 109, 124, 128-129, 134, 149, 154-156, 158-161, 269, 307, 333, 350, 354-358, 368, 371-372, 402, 428 93, 356 para variáveis canalizadas, para redes, 350, 354, 368, 371 revisado, 92, 160 para o problema de transporte, 350 Mix de produção, 26-28, 128, 154 Mochila, 12, 172-175, 179, 232-233, 237, 248, 251, 267, 269-271, 287, 302-304, 307, 327, 392, 394-395 Inteira, 173 Múltiplas, 173 Empacotamento, 174-175 Modelo markoviano, 13, 423, 425-426, 439, 450, 476, 489 Modelo M/M/1/GD/∞/∞, 454-455, 458-461, 463-464, 467, 469, 474, 478, 497 M/M/1/GD/K/∞, 459-461, 468, 497 M/M/1/GD/∞/N, 461, 497 M/M/m/GD/∞/∞, 463-468, 489, 495, 497 M/M/∞/GD/∞/∞, 466-467, 470, 474, 495, 498, M/M/m/GD/K/∞, 467-468, 470-471, 498 M/M/m/GD/m/∞, 470, 495, 498 M/M/m/GD/K/K, 470-472, 495, 499 M/M/∞/GD/∞/N, 472, 495 M/M/m/GD/m/N, 472-473, 495 M/M/m/GD/K/N, 472, 495 M/G/1/GD/∞/∞, 476, 478, 497, 499 M/G/m/GD/m/∞, 470, 478-479, 499 M/G/∞/GD/∞/∞, 467, 479, 499 G/G/1/GD/∞/∞, 480, 499 G/G/m/GD/∞/∞, 480, 500 Mi/Gi/1/NPRP/∞/∞, 483, 500 Mi/M/1/PRP/∞/∞, 485-486, 500 Mi/M/m/NPRP/∞/∞, 487, 500 Modelo com abandono na espera, 474 aceleração do servidor, 474 capacidade limitada, 459, 467, 470, chegadas em lote, 478 desistência na chegada, 474 infinitos servidores, 466, 479 múltiplas classes de usuários, 13,483-484 múltiplos servidores, 13, 463-464, 467, 470, 473, 478, 487 população finita, 461, 470, 495
52 2
Pesquisa Operacional
prioridade, 483, 485, 487 serviços em lote, 476 troca de fila, 438 Modelo de decisão de filas, 462, 473 nascimento e morte, 445, 449-452, 454-455, 459, 461, 463, 467, 470, 474, 476, 492 Modelo sem fila de espera, 470, 478 Multicritério, 109, Múltiplas soluções ótimas, 8, 64, 89-90, 126, 157-158, 161 Multiplicadores simplex, 355, 359, 361, 363-367 Multiobjetivo, ix, 13, 104-106 Nó cabeça, 290-291, 295, 302-304, 327-328, 348, 351, 354 cauda, 290-291, 295-296, 302-303, 327-328, 330, 348, 351, 354 Notação de Kendall-Lee, 438, NPRP, 439 Número de tarefas atrasadas, 215, 217-218
Ponto extremo, 61, 251, 263, 266 Pré-processamento limitação de variáveis, 260, 261, 262 redundância, 262 fixação de variáveis, 261, 262 infactibilidade, 69, 137, 247, 250, 262 Princípio da otimalidade de Bellman, 387 Probabilidade de transição, 425 Problema artificial, 100, 101, 102, 103, 359 Problema dual, 110, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 129, 130, 134, 135, 136, 141, 142, 161, 162, 261,
265, 266, 274 mínimo Problema de 269, caminho entre dois nós, 297 entre todos os pares de nós, 322, 323 algoritmo de Dijkstra, 304, 307, 308, 309, 312, 313, 314, 368, 369 algoritmo de Ford, 313, 314, 317, 340, 342, 344, 347, 348 algoritmo de Floyd, 322, 323, 369 Problema de caminho mais longo, 303, 304, 327, 328, 329, 369 Objetivos conflitantes, 104, 106, 146 COM, 228, 329, 331 Otimização combinatória, 164, 173, 181, 233, 274, PERT, 228, 331 Otimização recursiva, 388 Problema de designação, 26, 179, 187, 201, 203, 280, 368, 372 Pacotes de otimização, 172, 224 Problema da dieta ou mistura, 16, 17, 18, 20, 150, Partição 151, 152 Básica, 71-74, 76, 78, 80, 82-86, 91, 99, Problema da dimensionalidade em programação 101-102, 127, 131, 134-135,137-140, 142-146, dinâmica, 402 158, 354 Problemas de fluxo Passo, 80, 81-83, 86, 93, 102-103,134, 136-140, de custo mínimo, 9, 12, 181, 189, 191, 192, 145, 193, 195, 205, 266, 298, 331, 336, 367, 376, PERT, 228, 331 378, 388, 399, 400, 473 Pivotamento, 92, 98, 245-246 caminho mínimo, 12, 297, 298, 304, 307, 308, Planejamento estático, 26, 28 309, 310, 311, 312, 314, 317, 322, 323, 326, Planejamento estratégico, 200 327, 338, 370, 400, 403 Planejamento dinâmico, 29 caminho máximo, 12, 303, 304, 327, 328, 329, Planejamento tático 338 planejamento agregado, 30, 205 fluxo máximo, 339, 340, 342, 347, 348, 349, programa mestre de produção, 205 369 planejamento de recursos de produção, 205 Ford e Fulkerson, 2, 12, 194, 340, 342, 344, Planejamento operacional 347, 348 programação da produção, 12, 26, 153, 163, Problema de lote, 181, 394-395 180, 186, 192, 205, 215, 226, 273, 289, 407, Problema da mochila, 172, 173, 232, 233, 237, 248, 438 251, 267, 270, 271, 287, 302, 303, 304, 307, Planejamento da produção, 1, 12, 13, 15, 26, 29, 327, 392, 394, 395, 401 31, 110, 153, 206, 228, 270, 298, 375, 376, 378, Problema de planejamento da produção, 110, 270, 381, 383 298 Plano ótimo, 377, 380, 381, 382, 383, 384, 385, Problema primal, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 387, 389, 397 117, 118, 119, 120, 121, 124, 125, 126, 127, Poliedro, 234, 239, 263, 264 129, 130, 131, 134, 136, 138, 139, 142, 143, Política, 27, 105, 110, 147, 183, 282, 387, 390, 396, 144, 161, 162, 244, 266 396, 398, 425, 426, 427, 428, 429 Problema de satisfabilidade, 233 Definição, 3, 4 Problema de transporte, 21, 22, 24, 202, 331, 349, Ótima, 387, 388, 394, 397, 415, 423, 424, 425, 350 427, 428 Procedimento de Chvátal-Gomory, 252, 274
Índice Remissivo
52 3
Processo de chegada, 436, 437, 439, 444, 483, 485, 489, 496 serviço, 436, 437, 438, 439, 444, 483, 485, 487, 489, 496 Processos markovianos de decisão, 423, 425 Produção, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 37, 38, 39, 40, 42, 50, 104, 110, 126, 128, 129, 151, 153, 154, 156, 163, 167, 168, 175, 180, 186, 192, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 213, 214, 215, 216, 220, 222, 224, 226, 227, 228, 238, 270, 273, 285, 286 Programação de força de trabalho, 232
Rede de filas, 436, 437, 488, 489, 490, 491, 493, 494 Aberta, 488 Fechada, 489 Região factível, 51, 55, 56, 57, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 68, 69, 72, 73, 74, 91, 93, 94, 114, 132, 134, 154, 156,157, 162, 240, 246, 247, 251, 254, 260, 355 Ilimitada, 63, 64 Regra de Dantzig, 79, 81, 360 Relaxação, 112, 142, 266, 268, 333 Lagrangiana, 12, 110, 263, 264, 269,274
Programação 388, 408 dinâmica determinística, ix, 12, 375, conceitos básicos, 386 equação recursiva progressiva, 388, 389, 392, 394, 395 equação recursiva regressiva, 388, 395, 396, 407, 408 indução da decomposição, 391 problema da dimensionalidade, 402 Programação dinâmica estocástica, ix, 13, 407, 408, 412, 414, 425 equação recursiva regressiva, 388, 395, 396, 407, 408 Programação inteira, v, 163, 164, 166, 170, 171, 172, 235, 236, 239, 247, 249, 251, 252, 253, 273, 274, 287 mista, 165, 234, 236, 239, 256, 265, 266, 269 binária, 165, 166 Programação linear, ix, 1, 2, 4, 12, 149, 165, 166, 171, 172, 176, 179, 202, 236, 237, 239, 244, 248, 249, 253, 254, 260, 262, 265, 266, 274, 405, 426 forma padrão, 50, 51, 52, 53, 54, 66, 71, 76, 84, 85, 91, 93, 97, 100, 110, 115, 116, 117,118, 124, 128, 137, 138, 143, 151, 154, 508 Programação da produção, 12, 26, 153, 163,180, 186, 192, 205, 215, 226, 273, 289, 407, 438 uma máquina, 438 tempo de preparação, 192 máquinas paralelas, 12, 220, 221, 226, 279 job shop, 12, 180, 215, 222, 223, 224, 225, 226, 426 variantes, 225-226 flow shop, 12, 224, 225, 226 Programação de força de trabalho, 232 Programação de projetos, 12, 34, 228, 289, 327 Programação de serviços, 230 Programação em torneios de esporte, 231 Programação em transporte, 231 PRP, 439, 485, 486, 500
Linear, 165, 166, 239, 240, 244, 253, 254, 259, 268, 269, 274, 333245, 246, 249, Relações lógicas, 170 Restrição Adicional, 143, 144, 145, 231, 244, 265, 406 Ativa, 69, 126, 132, 136, 137 ativada ou desativada, 169 básica, 136 de chance, 27, 28 disjuntivas, 169, 170, 223 inativa, 132, 135, 136 não-básica, 136 Roteamento em nós, 186 Roteamento em arcos, 192, 195 Roteamento de veículos, 12, 178, 195, 197, 199, 274, 289 janelas de tempo, 196, 197, 274 periódico, 197 múltiplos depósitos, 199
Raios, 91, 263 Raio extremo, 263, 266 Rede Definição, 289, 290 Orientada, 290, 291
Scatter search, 272
Seleção de nós, 248, 249 Simplex direção, 80, 81, 82, 83, 86, 87, 91, 93, 102, 103 iteração, 84, 355 método, 1, 12, 71, 74, 79, 84, 89, 91, 92, 93, 95, 99, 101, 102, 103, 109, 124, 128, 129, 134, 149, 154, 156, 269, 307, 333, 350, 354, 355, 356, 357, 358, 368, 371, 372, 402, 428 método dual, 12, 66, 110, 129, 132, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 145, 155, 156, 158, 159, 160, 161, 162, 244, 248, 254, 255, 258 Simulação discreta, ix, 4, 13, 438, 476, 482 Simulated annealing, 272 Sistema de fila, 434, 435, 436, 438, 439, 441, 442, 443, 444, 451, 453, 454, 459, 460, 461, 463, 464, 467, 477, 484, 486, 489 Sistemas de reserva, 230 Sistemas flexíveis de manufatura, 215 SIRO, 438, 439, 458, 483, 485 Solução básica degenerada, 363 dual, 125, 134, 135, 137, 138, 139, 140, 142, 143, 145, 146, 162 factível, 72, 73, 74, 78, 79, 82, 84, 85, 94, 95,
52 4
Pesquisa Operacional
99, 137, 354, 355, 356, 359 inicial, 357 inicial para problemas de fluxo, 357, 358, 359 ótima, 90, 111, 124, 127, 244, 254, 367 Solução geral do sistema, 72 Solução gráfica, 76, 92, 130 Solução ilimitada, 91, 98 Solução ótima, 8, 9, 18, 26, 37, 38, 45, 51, 52, 54-114, 120-271, 322, 358, 367, 372, 400-406, 426 Soma dos atrasos, 217, 218, 226 Soma dos atrasos e avanços, 217, 218
serviço, 195, 198, 437, 440, 442, 466, 470, 476, 477, 478, 480, 482, 483 Teoria de filas, ix, 2, 4, 13, 433, 435, 445, 447, 470 Teste de Anderson-Darling, 448 Kolmogorov-Smirnov, 448 Lilliefors, 448 qui-quadrado, 448 Trajetória central, 66
SPT, 216, 219, 226, 438, 455, 484, 485 Tabela simplex, 94, 95, 96, 97, 98 Tamanho de lote, 181, 395 Tamanho do passo, 80, 81, 83, 87, 93, 102, 103, 136, 145 Tamanho do passo dual, 137 Taxa de chegada, 440, 441, 443, 444, 447, 449, 450, 452, 453, 455, 460, 461, 463, 471, 476, 477, 478, 486, 489, 491, 494, 496 entrada, 443, 444, 455, 460, 462, 463, 468, 472, 477 perda, 460, 469 serviço, 438, 440, 441, 450, 452, 453, 455, 457, 462, 465, 473, 476, 482, 486, 491, 494 Técnica de avaliação de programas e revisão – PERT, 228, 331 Tempo de fluxo total, 215, 216, 219, 223 Tempo de espera em fila, 13, 434, 436, 440, 456, 457, 462, 465, 466, 473, 477, 480, 481, 482, 484, 485, 487, 490, 496 permanência, 440, 442, 458, 466, 477, 482, 486
Variância, 28,480, 331, 483, 445, 484, 448, 493 449, 456, 458, 476, 477, 478, Variáveis artificiais, 100, 101, 103, 106, 129 básicas, 72, 75, 80, 81, 84, 85, 86, 87, 93, 94, 95, 96, 97, 99, 101, 123, 124, 139, 145, 160, 253, 355, 356, 359, 361, 363, 364, 365, 366, 367 de decisão, 8, 20, 26, 28, 29, 33, 36, 51, 336, 474 dependentes, 507 duais, 75, 113, 115, 116, 117, 118, 125, 129, 261, 266, 268, 269 folga, 53, 68, 85, 91, 94, 98, 99, 100, 114, 115, 122, 139, 144, 154, 162, 244 independentes, 44, 69, 70, 157, 158, 506, 507, 508 livres, 53, 54 não-básicas, 72, 75, 77, 79, 80, 81, 86, 87, 89, 90, 91, 93, 94, 95, 96, 97, 99, 101, 134, 144, 244, 245, 246, 253, 355, 356, 359, 360, 361, 363, 364, 365, 366, 367, 372 Vértice, 61, 65, 66, 67, 69, 73, 74, 80, 82, 93, 94, 130, 131, 132, 134, 137, 157, 177, 186, 193, 263, 289, 291, 355, 369
Valor esperado, 150, 408, 412, 419, 421, 422, 423, 430, 442, 495
