Apostila de Matemática Comercial

2011

Matemática Comercial

PORCENTAGEM *Objetivos  

Compreender o Conceito de porcentagem. Calcular porcentagens.

Certo jornal publicou a seguinte manchete: Consumo de gasolina caiu quatorze por cento neste semestre! Freqüentemente, ouvem frases como estas:  

A redução dos preços naquela loja chegou a quinze por cento! Cinqüenta por cento dos funcionários de uma empresa ganham menos de três salários mínimos.

Para maior clareza e simplicidade nos cálculos, usa-se determinar:      

As comissões; Os lucros; Os abatimentos; As perdas; Os jurus as misturas; As corretagens, etc.

Em porção a 100 unidades. Em todas elas, o conseqüente é representado por 100. Por isso , são chamados de razões centesimais. Logo: Razão centesimal é aquela na qual o conseqüente é 100. 9 , por exemplo, significa que dividimos o inteiro em 100 partes iguais e tomamos tomamos 9 destas partes. 100 10 , indica-nos que, de 100 partes, foram tomadas 10. 100 Existe, contudo, uma forma abreviada de representar as razões centesimais. Veja: 9 = 9% 100 10 = 10% 100 80 = 80% 100

Lê-se nove por cento. Lê-se dez por cento. Lê-se oitenta por cento.

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Taxas Percentuais Ou, ainda, simplesmente i. 

Na minha escola, em cada 100 alunos, foram aprovados 73. Vamos indicar a razão centesimal:

73 100

Conseqüente

A taxa percentual ou i é 73%, logo , em cada grupo de 100, 73 alunos passaram de ano. Então: 73 = 73% 100 Conseqüente 

Em cada R$1.000,00 de vendas efetivas, as Lojas Halley pagam R$80,00 de comissão a seus Vendedores.

Observe: Razão Centesimal

Taxa Percentual ou i

800 8% 1000  Em cada 100 gramas de determinada geléia, há 15 gramas de açúcar. A razão centesimal e a taxa percentual são respectivamente 15 e 15% 100 Veja, agora, a ilustração: A fração a fração representada aqui é 3 . 4 Vamos mostrar-lhe como uma fração pode ser expressa em razão centesimal e, posteriormente, transformaremos esta razão em taxa porcentual. 

Divide-se o número 100 pelo denominador da fração dada.

100 : 4 = 25 

Multiplica-se o resultado obtido pelos termos da fração.

3 . 25 = 75 4 . 25 100

Razão centesimal

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Então: 3 = 75 = 75% 4 100

Taxa percentual

Logo: 3 = 75% 4 Se você quiser Transformar, diretamente, uma fração qualquer em taxa percentual, pode-se usar uma regra de três simples e direta. Observe a proporção: 3= X 4 100 4 . x = 3 . 100 4x = 300 X = 300 4 X = 75 X= 75 Lembrete Aplicando-se um processo prático, basta dividir o numerador 3 pelo denominador 4, obtendo-se 0,75. Em seguida, multiplica-se o número decimal encontrado, no caso, 0,75 por 100. Vejamos: 30 4 -28 0,75 20 -20 00

0,75 x 100 = 75%

Outros Exemplos: Transformar 1 em: 5 Razão centesimal e, depois, em taxa percentual. Vamos, em primeiro lugar achar a razão centesimal, usando o processo já explicado: 

Divide-se 100 pelo denominador da fração dada; 100 : 5 = 20



Multiplica-se o resultado obtido pelos termos da fração:

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1 . 20 = 20 5 . 20 Se

Razão centesimal

100

1 = 20

1 = 20%

5 100

5

20% correspondem à taxa percentual. Verifique a proporção: 1 = x 5 100 5 . x = 1.100 5x = 100 X = 100 5 X = 20% 

Expressar 2 em taxa percentual . 4

Sabemos que, antes de acharmos a taxa percentual, devemos transformar 2 em razão centesimal. 4 Assim: 100 : 4 = 25 2 . 25 = 50 4 . 25 100 Logo: 2 = 50 = 50% 4 100

Razão centesimal

Taxa percentual

Se for pedida, apenas, a taxa porcentual de 2 , pode-se usar a regra de três, conforme já foi visto. 4 Observe: 2 = x 4

100

4 . x = 2. 100 4x = 200


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Matemática Comercial X = 200 4

X = 50 X = 50%

Observação Importante

Cabe um esclarecimento a respeito do significado da expressão % . Quando Ouvimos ou lemos “Grande loja está liquidando seus produtos, com desconto de 30%” ,

significa

que, sobre cada R$100,00 do preço de uma mercadoria, há um desconto de R$30,00. Se, por outro lado, lemos “Das pessoas entrevistadas, 50% votariam no candidato x para prefeito”, significa

que, entre cada 100 pessoas entrevistadas, 50 votariam no candidato x para prefeito. Exercícios 01- Transforme as Razões centesimais em taxas percentuais: A) 12 = D) 31 = 100 100 B) 30 = 100

E) 20 = 100

C) 27 = 100

F) 75 = 100 Problemas de Porcentagem

Os problemas sobre porcentagem poderão ser resolvidos por uma fórmula que apresentaremos abaixo: P=c.i

C = 40

100

i = 20% P =?

P = 40 . 20 100 P = 800 100

P=8 P = 8 Meninas Outros Exemplos: 

Calcule 30% de R$3.700,00.


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Fórmula: P= c.i 100

c= R$ 3.700,00 i=30% p=?

Atenção

Quando o problema envolver dinheiro, não colocaremos na fórmula os zeros referentes aos centavos, a fim de facilitar os cálculos e evitar erros na simplificação. p = 3.700,00 . 30 100 p = 111.000 100 p = 1.110 p = R$ 1.110,00 

Numa cidade, a população adulta é de 18300 pessoas, 42% das quais são analfabetos, Quantos são os adultos alfabetizados desta cidade?

Fórmula: p=c.i 100

c = 18 300 i = 42% de pessoas analfabetas p=?

p = 18 300 . 42 100 p = 768 600 100 p = 7.686 Esses 7686 são analfabetos e o problema pede os alfabetizados. Logo, devemos subtrair estes analfabetos da população adulta dada no problema, ou seja, de 18 300. p = 18 300 – 7686 p = 10 614 p = 10 614 pessoas 

Calcule 60% de R$ 1.500,00.


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Fórmula: p= c.i 100 p = 1.500 . 60 100 p = 90.000 100 p = 900

c = R$ 1.500,00 i = 60% p=?

p = R$ 900,00 Exercícios

1- Calcule 5% de RS 12.000,00. 2- Numa pesquisa sobre leitura de jornais, foram entrevistadas 450 pessoas. Verificou-se que 32% estas pessoas tinham preferência pelo jornal X. Quantas pessoas, entre as entrevistadas, preferem o jornal X? 3- O preço de um aparelho é de R$ 150,00. Durante uma liquidação, anuncia-se o mesmo aparelho com desconto de 12%. Qual é o preço deste aparelho nesta liquidação? Cálculo do Capital

Existem problemas em que a porcentagem é dada com a taxa e pede-se o capital. Outras vezes, dá-se a porcentagem e o capital e pede-se calcular a taxa. Vamos aprender como se calcula o capital. Usaremos sempre nestes casos a seguinte fórmula: c = p . 100 i Onde: c = capital p = porcentagem i = taxa Veja os seguintes exemplos: 

20% de certa quantia correspondem a RS 2.500,00. Qual é essa quantia?

Fórmula: c = p . 100 i

p = R$ 2.500,00 i = 20% c=?

c = 2.500 . 100 100 c = 250.000 20 c = 12.500 c = R$ 12.500,00


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Matemática Comercial 

Comprei um eletrodoméstico com desconto de R$ 25,00, que foi correspondente à taxa de 5%. Qual era o preço deste eletrodoméstico?

c = p . 100 i c = 25 . 100 5 c = 2500 5 c = 500 c = R$ 500,00

p = R$ 25,00 i = 5% c=?

Exercícios

4- As 20 roseiras que se encontram num jardim correspondem a 8% do total das plantas lá existentes. Qual é o número de plantas existentes neste jardim? 5- Um dos funcionários de uma firma ganha 6% sobre as vendas que ele efetua. No fim do mês, recebe R$ 60,00 de comissão. Calcule o valor total das vendas que este funcionário efetuou neste mês. Cálculo da Taxa

Como já falamos anteriormente, há também os casos em que são dados o capital e a porcentagem e pede-se a taxa. Para o cálculo da taxa, usaremos a seguinte fórmula: i = p . 100 c

p = porcentagem c = capital i = taxa

Exemplos: 

R$ 640,00 representam quantos por cento de R$ 32.000,00?

Fórmula: i = p . 100 c

p = R$ 640,00 c = R$ 32.000,00 i=?

i = 640 . 100 32.000 i = 64.000 32.000 i = 64 32 i=2 i = 2% C-TECH – Escola de Informática e Cursos Profissionalizantes

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Matemática Comercial 

150 alunos representam quantos por cento de 2000 alunos?

Fórmula: i = p . 100 c

p = 150 c = 2000 i=?

i = 150 . 100 2000 i = 15 2 i = 7,5 i = 7,5% Exercícios

6- Uma prova de matemática tem 50 questões. Um aluno acertou 40 destas questões. Qual foi a sua taxa de acerto? 7- A 6ª série C teve, durante todo o ano, 50 aulas de Educação Física. Um aluno faltou a 8 aulas. Qual foi a taxa de faltas deste aluno?

JUROS SIMPLES Objetivos  

Compreender o conceito de juros simples. Calcular juros simples sobre determinado capital.

Se uma pessoa que comprar um imóvel e não dispõe do dinheiro suficiente, ela pode arranjar a quantia que falta, tomando-a emprestada a um banco. Ao devolver essa quantia ao banco, ele terá que paga uma certa importância a mais, correspondente ao “Aluguel” do dinheiro.

Essa compensação em dinheiro é chamada de juro. Se, por exemplo, você deseja um carro e não dispõe de dinheiro, poderá Obter um financiamento, isto é poderá arranja, numa financeira, a quantia de que necessita. Em certa data, o dinheiro acrescido de uma parcela chamada de juro Assim: Toda vez que se empresta, oficialmente, uma quantia por um Determinado tempo, recebe-se uma compensação em dinheiro. Essa compensação recebe o nome de juro Observação: Podemos entender juro como uma porcentagem , porem acrescida ou influenciada pelo fato tempo (meses,ano,dias)  

Á quantia emprestada ou empregada, chamamos capital. O capital será sempre representado pelo letra C. O tempo corresponde ao período de deposito ou de empréstimo. A


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 

Unidade de tempo empregada é, em geral, o ano comercial (360 dias) No entanto, os juros, também, podem se considerado ao mês e ao dia. O tempo será sempre representado pelo letra T. A taxa refere-se ao percentual (%) que representa o juro recebido ou pago a cada R$100,00, em um determinado tempo. Ela é sempre representada pelo letra I O juro correspondem à compensação em dinheiro devido ao empréstimo do capital, durante um período determinado. Serão sempre representada pela letra J Para maiores esclarecimentos, vejamos o seguinte exemplo:



Se eu te empresto a quantia de R$100,00, a 10% ao ano, durante 1 ano, teremos:  O capital( C ) correspondem à R$ 100,00.  A taxa ( I ) corresponde a 10% ao ano.  O tempo ( T ) corresponde a 1 ano  Ao final de 1 ano, você me pagara o valor referente ao capital de R$100,00, acréscimo de

uma compensação em dinheiro correspondente ao juros.

Essa compensação corresponde a R$10,00(pois, como você já aprendeu anteriormente, 10% de R$100,00 corresponde a R$10,00). Isto significa que, ao final de 1 ano, você pagara um total de R$110,00,isto é, o valor do capital acrescido dos juros. O juro é uma grandeza variável, diretamente proporcional:  Ao capital;  À taxa.  Ao tempo. Isso significa que:   

Quanto maior for a quantia emprestada, maiores serão os juros produzidos. Quanto maior for a taxa, mais juros serão recebidos. Quanto mais tempo durar o empréstimo, maiores serão os juros obtidos.

No cálculo de juros, a taxa e o tempo deverão ser expressos numa mesma unidade de tempo, sempre que possível. Se a taxa for ao ano,é conveniente que o tempo também seja considerado em ano.Caso a taxa seja ao mês,o tempo devera ser expresso em meses,enquanto que,se a taxa for ao dia,o tempo deverá ser calculado em dias. Antes de resolver qualquer problema de juros,procure analisá-lo. Observe se a Taxa e o tempo estão expressos na mesma unidade de tempo. Assim: Taxa ao ano Taxa ao mês Taxa ao dia

Tempo em anos. Tempo em meses. Tempo em dias.

Na resolução de problemas de juros,podemos verificar que o processo a ser utilizado é bastante parecido com aquele aplicado na resolução de problemas de porcentagem,vistos na unidade interior. Conforme foi feito em porcentagem,vamos,primeiramente,resolver os exercícios de juros, por uma regra de três. Como iremos trabalhar com mais de duas grandezas, utilizaremos uma regra de três composta.Deduzida a formula de juros, a partir dela podemos encontrar as formulas para o calculo do capital,do tempo e da taxa.


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Calculo de juros

Sendo juro uma grandeza diretamente proporcional ao capital,ao tempo e a taxa,indicaremos as setas no mesmo sentido. Isso quer dizer que todas as grandezas são diretas. Exemplos:  Quais são os juros produzidos por R$500,00 durante 3 anos,á taxa de 10% ao ano? Inicialmente, devemos organizar os dados: c=R$500,00 t=3anos i=10% ao ano j=? Observe que o tempo e a taxa estão expressos na mesma unidade de tempo: ano. Analisemos agora o problema: sendo a taxa equivalente a 10% ao ano, teremos o capital de R$100,00, em 1 ano,produzindo R$10,00 de juros. O capital de R$500,00, em 3 anos, produzirá x juros.

Desse modo, nossa regra de três composta será armada da seguinte forma: Capital ( R$ )

Tempo (Anos)

Juros ( R$ )

100,00

1

10,00

500,00

3

j

As setas, no mesmo sentido, indicam que as grandezas são diretamente proporcionais. Atenção!

Lembre-se de que, quando o problema envolve dinheiro, não colocaremos na fórmulas os zeros referentes aos zeros referentes aos centavos, a fim de facilitar os cálculos e evitar erros na simplificação. As razões ficarão assim determinadas: 100

1

10

500

3

j

Armando a proporção, teremos: 10

100 . 1 j

500

3

Não se esqueça de que juro é uma grandeza diretamente proporcional ao capital e ao tempo. C-TECH – Escola de Informática e Cursos Profissionalizantes

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Logo, os juros serão, também, proporcionais ao produto destas desta duas grandezas: Capital e Tempo. Então, para calcularmos o valor de j, é só observarmos o sentido o sentido das setas e efetuarmos os cálculos. j.100.1=10.500.3 ou ainda: j= 10.500.3 100.1 J=R$150,00 De um modo geral, podemos representar o capital, a taxa,o tempo e os juros numa regra de três composta e direta.Por meio dela,podemos relacionar estas grandezas numa formula,que muitas vezes,facilita a resolução dos problemas. Representamos, numa regra de três composta, as grandezas capital,taxa,tempo e juros: Capital(R$)

Tempo(anos)

Juros

100,00

1

i

c

t

j

Observe as razões: 100

1

i

c

t

j

Logo,a proporção será: i

= 100 . 1 j

c

t

Observando a direção e o sentido das setas,podemos deduzir a fórmula de juros: j.100.1= i. c . t j = c . i . t 100. 1 Conhecida a fórmula j = c . i . t , podemos substituir nela os 100 valores dados no problema anterior. Recordaremos estes dados: c = R$ 500,00 c =3 anos i=10% ao ano j= ? Logo: C-TECH – Escola de Informática e Cursos Profissionalizantes

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j= c . i . t 100 j= 500 . 10 . 3 100 j= R$150,00 Bom, você poderá usar o processo que achar mais fácil, OK? Exemplo: 

Calcular os juros produzidos por R$160,00, ao fim de 5 anos, á taxa de 60% ao ano.

Vamos dispor os dados da seguinte maneira: C = R$160,00 T = 5 anos I = 60% ao ano J=? Observe que o tempo e a taxa estão expressos na mesma unidade de tempo: ano. Desse modo, podemos usar a fórmula: j= c . i . t 100 Temos então: j= 160 . 60 . 5 100 j= R$ 480,00 Mas, atenção!! Só use a fórmula j= c.i.t se a taxa e o tempo estiverem na mesma unidade de tempo. 100 Não. Vamos estudar cada caso isoladamente.De início, estamos preocupados apenas com aqueles casos nos quais a taxa e o tempo são expressos na mesma unidade de tempo. Outros exemplos: 

Emprestei R$ 400,00, durante 3 meses, à taxa de 12,5% ao mês.Quanto receberei de juros? Organizaremos os dados: C= R$ 400,00


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I = 12,5% ao mês T= 3 meses A taxa e o tempo são expressos em meses, portanto,estão na mesma unidade de tempo e podemos utilizar a fórmula: J= c . i . t 100 Substituindo os valores, temos: j= 400 . 12,5 . 3 100 j= R$ 150,00 Para cada dia de atraso no pagamento de uma prestação de R$ 800,00 foi cobrada uma taxa de 0,5% ao dia.Quanto pagou de juros um cliente que atrasou 15 dias?



c= R$ 800,00 i= 0,5 ao dia t= 15 dias j= ? Observe: taxa e tempo estão na mesma unidade de tempo: dias portanto, utilizar a fórmula: j= c . i . t 100 Substituindo os dados na fórmula, temos: j = 800 . 0,5 . 15 100 j = R$ 60,00 Observe que, até agora, nós só empregamos a fórmula j = c . i . t para o cálculo de juros, 100 quando a taxa e o tempo se encontram numa mesma unidade de tempo, ou seja: Taxa ao ano Taxa ao mês Taxa ao dia

Tempo em anos Tempo em meses Tempo em dias

Sim. Podemos citar diversos casos em que a taxa se encontra numa unidade de tempo e o tempo está expresso em outra unidade. Por exemplo: Taxa ao ano Tempo em dias Taxa ao mês Tempo em anos Taxa ao dia Tempo em meses, etc


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Nesses casos, aplicamos outras fórmulas: j = c . i . t  cálculo de juros com taxa ao ano e o tempo em meses 1200 j = c . i . t  cálculo de juros com taxa ao ano e o tempo em dias Observe que, para aplicarmos as fórmulas acima, a taxa deve estar sempre expressa em anos. Alguns exemplos:  Quais ou juros produzidos pelo capital de R$ 6.400,00, em 3 meses, à taxa de 40% ao ano? Veja: Taxa ao ano e tempo em meses. c = R$ 6.400,00 i = 40% ao ano t = 3 meses j = ? Aplicamos a fórmula j = c . i . t, pois a taxa é anual e o tempo está expresso em meses. 1200 Teremos então: j = c . i . t 1200 Substituindo os dados: j = 6.400 . 40 . 30 1200 j = R$ 640,00 Quanto rende de juros um capital de R$ 28.000,00 á taxa de 50% ao ano, durante 18 dias? Organizemos os dados: c = RS 28.000,00 i = 50% ao ano t = 18 dias j = ? 

Observe: Taxa ao ano e tempo em dias. Portanto, usamos a fórmula: j = c . i . t 36000 Substituindo os dados: j = 28000 . 50 . 18 36000 j = R$ 700,00 Façamos uma revisão: A fórmula j = c . i . t deverá ser paliçada quando a taxa e o tempo estiverem na mesma unidade 100 de tempo, ou seja: Taxa ao ano Taxa ao mês

Tempo em anos Tempo em meses


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Taxa ao dia

Tempo em dias

A fórmula j = c . i . t será utilizada quando a taxa estiver ao ano e o tempo for expresso em 1200 meses. A fórmula j = c . i . t só poderá ser usada quando a taxa estiver ao ano e o tempo estiver em 36000 dias.

Vamos encontrar problemas para os quais não temos fórmulas que os resolvam diretamente. Devemos, em muitos casos, raciocinar sobre o problema, analisando-o bem e, com a prática, encontraremos um modo de resolvê-lo. Não se assuste com as fórmulas. Elas são quase iguais. A diferença está apenas no uso das constantes, 100: 1200 e 36000. O restante da fórmula é sempre o mesmo para cada caso. Vamos citar alguns exemplos que, aparentemente, fogem à regra geral. A quantia de R$ 600,00 foi aplicada à taxa de 4% ao mês, durante 90 dias. Quanto rendeu de juros? Organizemos os dados: c = R$ 600,00 i = 5% ao mês t = 90 diasn j = ? Não temos uma fórmula específica para esse caso No entanto, podemos manipular os dados de modo a enquadrar o problema em um molde já conhecido. No entanto, observe que o tempo de 90 dias pode ser convertido em meses, não é mesmo? Sabemos que 90 dias correspondem a 3 meses. Deste modo, o tempo, agora, poderá ser considerado em meses e os dados restantes permanecerão inalterados. Vejamos: c = R% 600,00 i = 5% ao mês t = 90 dias = 3 meses j = ? Agora, com a taxa e o tempo expresso numa mesma unidade de tempo, podemos aplicar a fórmula: j = c . i . t 100 Substituindo os valores: j = 600 . 5 . 13 100 j = R$ 90,00  A quantia de R$ 70,00 foi aplicada à taxa de 6% ao mês, durante 100 dias. Quanto rendeu de juros? Anotemos os dados:


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c = R$ 70,00 i = 6% ao mês t = 100 dias j = ? Utilizaremos o mesmo raciocínio do exemplo anterior. Vamos transformar o tempo dado em dias para tempo em meses. No entanto, nos deparamos com uma dificuldade: 100 dias não correspondem a um numero exato de meses. Como sair desta situação? Lembre-se de que um mês corresponde a 30 dias (mês comercial). Devemos dividir 100 dias por 30 dias para acharmos o tempo em meses. Como o resultado não é exato, podemos apenas indicar este valor, usando a fração 100. 30 Assim temos: 100 dias = 100 meses 30 Voltemos, então, aos dados: c = R$ 700,00 i = 6% ao mês t = 100 dias = 100 meses 30 Estando a taxa e o tempo na mesma unidade, aplicaremos a fórmula: j = c . i . t 100 Logo, 70 . 6 . 100 30 100 Como os valores 70 e 6 são inteiros, podem ser colocados na fórmula, como fração, respectivamente, como 70 e 6. 1 1 Daí: 70 . 6 . 100 j = 1 1 30 100 Lembre-se: na multiplicação de frações, multiplicam-se os numeradores entre si, assim como os denominadores. Desse modo, podemos escrever: 70 . 6 . 100 j = 1 1 30 100 Efetuando os cálculos: 42000 j= 30 100 j = R$ 14,00


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Um capital de RS 300,00 foi emprestado durante 2 anos, á taxa de 3% ao mês. Quanto rendeu de juros? Vejamos os dados: 

c = R$ 300,00 i = 3% ao mês t = 2 anos j = ? Esse caso é bem simples: ao tornarmos o tempo em anos, podemos convertê-lo em meses, pois 1 ano corresponde a 12 meses. Assim, 2 anos corresponderão a 24 meses. Daí: c = R$ 300,00 i = 3% ao mês t = 2 anos = 24 meses j = ? Estando o tempo e a taxa expressos em meses, podemos aplicar a fórmula: j = c . i . t 100 Assim sendo: j = 300 . 3 . 24 100 j = R$ 216,00 

Um capital de R$ 1.000,00 foi emprestado à taxa de 5% ao mês, durante 3 anos e 2 meses. Quanto rendeu de juros?

Anotemos os dados: c = R$ 1.000,00 i = 5% ao mês t = 3 anos e 2 meses j = ? A nossa primeira providência será colocar o tempo na mesma unidade de tempo da taxa: t = 3 anos e 2 meses. Como 1 ano corresponde a 12 meses, 3 anos corresponderão a 36 meses. Somando-se 2 meses aos 36 meses, temos: t = 3 anos e 2 meses = 38 meses

Agora que o tempo e a taxa estão na mesma unidade de tempo, aplicamos a fórmula: j = c . i . t 100 Substituindo os valores: j = 1000 . 5 . 38 100 j = R$ 1.900,00 Durante 1 ano, o capital de R$ 500,00 foi emprestado á taxa de 0,2% ao dia. Quanto rendeu de juros? c = R$ 500,00 i = 0,2% ao dia 


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t = 1 ano j = ? Como 1 ano corresponde a 360 dias (ano comercial), basta transformarmos o tempo em anos para dias, isto é: t = 1 ano = 360 dias Agora, aplicamos a fórmula: j = c . i . t 100 j = 500 . 0,2 . 360 100 j = R$ 360,00 

Quanto rendeu de juros o capital de R$ 200,00, em prestado durante 5 meses, á taxa de 0,8% ao dia?

Anotemos os dados: c =R$ 200,00 i = 0,8% ao dia t = 5 meses j = ? A taxa e o tempo estão expressos em unidade diferentes. Entretanto, sabemos que 1 mês corresponde a 30 dias, logo, 5 meses corresponderão a 150 dias. Deste modo, o tempo passará a ser expresso da seguinte maneira: t = 5 meses = 150 dias Podemos então, aplicar a fórmula j= c . i . t, pois o tempo e a taxa estão expressos na mesma 100 unidade de tempo. Tempo: j = c . i . t 100 j = 200 . 0,8 . 150 100 j = R$ 240,00 Exercícios

8 – Quanto se pagará de juros por uma capital de R$ 160,00 a 80% ao ano, em 3 anos? 9 – Emprestei a quantia de R$ 400,00 pelo prazo de 3 meses, a 6% ao mês. Quanto receberei de juros? Cálculo do Capital

Vimos como os juros, sendo fornecidos o capital, o tempo e a taxa. A partir da regra de três composta e direta, deduzimos a fórmula: j = c . i . t 100 C-TECH – Escola de Informática e Cursos Profissionalizantes

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A partir daí, podemos deduzir a fórmula para o cálculo do capital, sendo fornecidos os juros, a taxa e o tempo. j = c . i . t 100 Inicialmente, transportamos o denominador 100 para o primeiro tempo da fórmula. Temos: 100 . j = c . i . t Ou seja: c . i . t = 100 . j Assim, c = 100 . j i.t Lembre-se de que essa fórmula só poderá ser usada, quando a taxa e o tempo es tiverem numa unidade de tempo. Usamos: c = 1200 . j  quando a taxa for expressa em anos e o tempo em meses; i.t c = 36000 . j  quando a taxa for expressa em anos e o tempo em dias; i.t  Qual capital que, à taxa de 80% ao ano, rende R$ 240,00 de juros, em 5 anos? Vamos, primeiramente, organizar os dados do problema: j = R$ 240,00 i = 80% ao ano t = 5 anos c=? Observamos que o tempo e a taxa estão na mesma unidade de tempo: ano. Podemos, portanto, usar a fórmula: c = 100 . j i.t Substituindo os valores: c = 100 . 240 80 . 5 c =R$ 60,00 

Temos:

Determine o capital que à taxa de 25% ao mês, rendeu R$ 260,00 em 5 meses.

j = R$ 260,00 i = 25% ao mês t = 5 meses C-TECH – Escola de Informática e Cursos Profissionalizantes

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c=? Verificamos que a taxa e o tempo são expressos numa mesma unidade de tempo: meses. Vamos utilizar a mesma fórmula: c = 100 . j i.t c = 100 . 260 25 . 5 c = R$ 208,00 Qual o capital que rendeu R$ 75,00 de juros, à taxa de 0,25% ao dia, em 10 dias? Anotemos os dados: 

j = R$ 75,00 i = 0,25% ao dia t = 10 dias c=? Novamente, a taxa e o tempo são expressos na mesma unidade de tempo: dias. c = 100 . j i.t Temos: c = 100 . 75 0,25 . 10 c = R$ 3.00,00 Vamos recapitular as fórmulas usadas para o cálculo do capital, nos casos em que o tempo e a taxa estiverem em unidades de tempo diferentes? As fórmulas a serem aplicadas são as seguintes: c = 1200 . j i.t



taxa ao ano e tempo em meses.

c = 3600 . j taxa ao ano e tempo em dias. i.t Os casos que não se enquadrarem em moldes anteriores deverão ser analisados convenientemente, como fizemos no cálculo de juros, lembra-se? 

Qual o capital que, empregado à taxa de 96% ao ano, rendeu R$ 35,00 de juros em 7 meses?

Dados: j = R$ 35,00 i = 96% ao ano t = 7 meses c=? C-TECH – Escola de Informática e Cursos Profissionalizantes

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Como a taxa está expressa em anos e o tempo em meses, usamos a fórmula: c = 100 . j i .t Substituindo os valores: c = 1200 . 35 96 . 7 c = R$ 84,00 Cálculo da Taxa

Conforme foi feito para o cálculo do capital, podemos, a partir de j = c . i . t, deduzir a fórmula a ser utilizada no cálculo da taxa. 100 Vejamos: j = c . i . t 100 Temos: 100 . j = c . i . t Ou seja: c . i . t = 100 . j Desse modo, i = 100 . j  fórmula válida para taxa e tempo expressos na mesma unidade de tempo c.t A que taxa anual devemos empregar o capital de R$ 900,00, para que ela possa render R$ 108,00 de juros, em 4 anos? Anotemos os dados: c = R$ 900,00 j = R$ 108,00 t = 4 anos i = ? (anual) 

Veja que o tempo é expresso em anos e a taxa solicitada é anual. Podemos, então, aplicar a fórmula: i = 100 . j c.t Substituindo os valores: i = 100 . 108 900 . 4 i = 3% ao ano 

A que taxa mensal foi aplicado um capital de R$ 100,00 durante 6 meses, para render R$ 12,00?


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Vejamos: c = R$ 100,00 j = R$ 12,00 t = 6 meses i = ? (mensal) Como o tempo está indicado em meses, a taxa solicitada é mensal, podemos aplicar a fórmula: i = 100 . j c.t Temos, pois: i = 100 . 12 100 . 6 i = 2% ao mês 

Qual a taxa diária que faz um capital de R$ 2.400,00 render R$ 108,00 de juros em 18 dias?

Dados: c = R$ 2.400,00 j = R$ 108,00 t = 18 dias i = ? (ao dia) Verifique que a taxa solicitada é diária. O tempo, também, é expresso em dias. Vamos, portanto, utilizar a fórmula: i = 100 . j c.t i = 100 . 108 2400 . 18 i = 0,25% ao dia Inicialmente, substituiremos a constante 100, na fórmula i = 100 . j pelas constantes 1200 e 3600, nos seguintes casos: c.t i = 1200 . j  quando a taxa for ao ano e o tempo for expresso em meses c.t i = 3600 . j quando a taxa for ao ano e o tempo for expresso em dias c.t 

A quantia de R$ 600,00 foi emprestada durante 4 meses, rendendo R$ 192,00 de juros. Qual foi a taxa anual aplicada?

Vejamos c = R$ 600,00 j = R$ 192,00 t = 4 meses i = ? (ao ano) Observe que o tempo está expresso em meses e a taxa pedida é anual. Deste modo, aplicamos a fórmula:


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i = 1200 . j c.t Temos: i = 1200 . 192 600 . 4 i = 96% ao dia 

R$ 560,00 foram empregados durante 200 dias, produzindo R$ 336,00 de juros. Determine a taxa anual aplicada.

Anotemos os dados: c = R$ 560,00 j = R$ 336,00 t = 200 dias i = ? (ao ano) Pelo fato de o tempo estar expresso em dias e a taxa pedida ser anual, aplicaremos a fórmula: i = 36000 . j c.t Substituindo os valores: i = 3600 . 336 560 . 200 i = 108% ao ano Podemos ter alguns casos que não se enquadram no que foi visto anteriormente, tais como: Taxa ao mês  Tempo em anos Taxa ao mês  Tempo em dias Taxa ao mês  Tempo em anos Taxa ao dia  Tempo em meses, etc. Devemos, sempre que possível, mudar a unidade do tempo para a unidade da taxa. E não se esqueça: o importante é usarmos o bom senso, adequado os dados do problema a um molde já conhecido. Vamos aos exemplos? Calcular qual dói a taxa mensal que, aplicada a um capital de R$ 600,00, durante 2 anos, produziu R$ 288,00 de juros. Organizemos os dados: 

c = R$ 600,00 j = R$ 288,00 t = 2 anos i = ? (ao mês)


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O tempo, dado em anos, pode ser transformado em meses, que é a unidade de tempo da taxa. Como 1 ano equivale a 12 meses, 2 anos corresponderão a 24 meses, Assim: t = 2 anos = 24 meses

Depois dessa transformação, podemos aplicar a fórmula: i = 100 . j c.t Substituindo os dados: i = 100 . 288 600 .24 i = 2% ao mês 

Um capital de R$ 15,00 foi emprestado durante 90 dias, produzindo R$ 9,00 de juros. Qual a taxa mensal estipulada neste empréstimo?

Anotemos os dados: c = R$ 15,00 j = R$ 9,00 t = 90 dias i = ? (ao mês) A taxa pedida é mensal. E possível transformarmos o tempo em dias para meses? Como o mês comercial equivale a 30 dias, 90 dias corresponderão a 3 meses. Logo, t = 90 dias = 3 meses

Feito esse raciocínio, podemos aplicar a fórmula: i = 100 . j c.t Vamos substituir os dados? I = 100 . 9 15 . 3 i = 20% ao mês 

Calcular a taxa diária de aplicação de um capital de R$ 120,00 que, aplicado em 1 ano, garante um juro de R$ 345,60.

Organizemos os dados: c = R$ 120,00 j = R$ 345,00 t = 1 ano i = ? (ao dia) C-TECH – Escola de Informática e Cursos Profissionalizantes

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Podemos, facilmente, colocar o tempo e a taxa na mesma unidade de tempo. O ano comercial corresponde a 360 dias, não é? Assim sendo, t = 1 ano = 360 dias

Podemos, agora, aplicar a fórmula: i = 100 . j c.t Substituindo os valores: i = 100 . 345,60 120 . 360 i = 0,8% ao dia 

Qual é a taxa diária que faz um capital de R$ 250,00 render R$ 60,00 em 2 meses?

Temos: c = R$ 250,00 j = R$ 60,00 t = 2 meses i = ? (ao dia)

Observamos as unidades do tempo e da taxa. Podemos, então, converte meses em dias? Sim, pois sabemos que 2 meses equivalem a 60 dias. Desse modo, t = 2 meses = 60 dias

Desse modo apliquemos a fórmula: i = 100 . j c.t Ou seja: i= 100 . 60 250 . 90 I = 0,4% ao dia Cálculo do Tempo

Novamente, devemos partir da fórmula j= c . i . t para encontrarmos a que é especifica para o 100 cálculo do tempo. J= c . i . t C-TECH – Escola de Informática e Cursos Profissionalizantes

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100 100 . j = c . i . t Logo, c . i . t = 100. J t= 100 . j c.i É bom não esquecer que essa fórmula é valida somente quando a taxa e o tempo estiverem na m esma unidade de tempo, ou seja: Taxa ao ano  Tempo em anos Taxa ao mês  Tempo em meses Taxa ao dia  Tempo em dias  Durante quanto tempo esteve empregado o capital de R$ 250,00, sabendo-se que rendeu R$ 30,00 de juros, à taxa de 60% ao ano? Organize os dados: C= R$ 250,00 J = R$ 30,00 T= 60% ao ano I=?

Atenção!

Como a unidade de tempo não foi explicitada e sabendo-se que a taxa aplicada é anual, devemos calcular o tempo na mesma unidade de tempo da taxa, ou seja, em anos. T= 100 . j C.i T= 100 . 30 250 . 60 T= 0,2 anos  Um banco concede empréstimos a 4% ao mês. Durante quanto tempo esteve empregado um capital de R$ 300,00 para render R$ 36,00 de juros? C=R$ 300,00 J= R$ 30,00 I= 4% ao mês T= ? Como a taxa está expressa ao mês, vamos calcular o tempo em meses. A fórmula T= 100 . j C.i Substituindo os valores: T= 100 . 36 C-TECH – Escola de Informática e Cursos Profissionalizantes

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300 . 4 T= 3 anos  Durante quantos dias foi aplicada a quantia de R$ 600,00, a 0,2 ao dia,se juros produzidos foram de R$ 54,00? Dados: C= R$ 600,00 J= R$ 54,00 I= 0,2% ao dia T= ? (dias) T= 100 . j C.i Temos,então: t = 100 . 54 600 . 0,2 t= 45 dias O que faremos quando o tempo e a taxa não estiverem na mesma uni dade de tempo? Na fórmula j= c . i . t a constante 100 poderá ser substituída pelas constantes 1200 ou 100 36000, em determinada situações. No cálculo do tempo, essas constantes, também, deverão ser usadas nos seguintes casos: t = 1200 . j taxa expressa em anos e tempo em meses. c.i t = 36000 . j  taxa expressa em anos e tempo em dias. c. i 

Um capital de R$ 400,00 foi aplicado á taxa de 84% ao ano, rendendo R$ 84,00 de juros. Durante quantos meses esteve aplicado?

Organizemos os dados: c = R$ 400,00 j = R$ 84,00 i = 84% ao ano t = ? (meses) Como a taxa está expressa em anos e o tempo foi pedido em meses, aplicados a fórmula: t = 1200 . j c.i t = 1200 . 84 400 . 84 t = 3 meses 

Um capital de R$ 240,00 aplicado a uma taxa anual de 70% fornece juros de R$ 70,00. Calcular o tempo em dias.

Dados: c = R$ 240,00


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j = R$ 70,00 i = 70% ao ano t = ? (dias) Para o cálculo do tempo, estando a taxa ao ano e o tempo em dias, aplicamos a fórmula: t = 36000 . j c. i Temos: t = 36000 . 70 240 . 70 t = 150 dias

DESCONTOS SIMPLES A expressão máxima do progresso comercial é o crédito, garantido por instrumentos jurídicos denominados títulos de crédito. Entre eles destacamos a duplicata, a nota promissória, a letra de câmbio, o conhecimento de depósito e o cheque, todos os reconhecimentos e definidos pelo Direito Comercial Brasileiro. Em geral, os negociantes, buscando vantagens ou na impossibilidade de efetuarem à vista o pagamento da compra de mercadorias , assumem o compromisso de fazê-lo em épocas determinadas. Suponhamos que o possuidor de um título, com o vencimento para daqui a 30 dias, necessite do dinheiro imediatamente. Que faz ele? Procura uma Agência Bancária que lhe adianta a importância do título, deduzido de uma certa quantia, que é o desconto. Então: Desconto é o abatimento que se faz em uma dívida, quando ela é paga antes do vencimento. Devemos considerar como: Valor Nominal – o valor indicado no título, a importância que deverá ser paga no dia do vencimento. Valor Atual – líquido recebido pelo possuidor do título, antes do vencimento. Exemplo: Se devêssemos R$ 500,00 para pagar daqui a 60 dias e pegássemos antes, teríamos uma redução da nossa dívida. Em vez de RS 500,00 pagaríamos, por exemplo, R$ 450,00. O desconto seria de R$ 50,00. Na operação acima, temos dois valores: R$ 500,00 (valor nominal) e R$ 450,00 (valor atual). Podemos deduzir então que desconto (D) é a diferença entre o valor nominal (v) e o valor atual (A) D = V – A O desconto consiste, então, no abatimento que deve sofrer um instrumento de crédito cobrado antes de seu vencimento. Para se calcular o valor de desconto de um título de crédito, utiliza-se a mesma fórmula de juros: D=V.i.t 100 C-TECH – Escola de Informática e Cursos Profissionalizantes

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Apostila de Matemática Comercial

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