Apostila de Matemática Comercial e Financeira II (1).pdf

APOSTILA II 9. Juros simples 9.1. Juro 9.2. Regimes de Capitalização 9.3. Cálculo do juro simples 9.3.1. Taas proporcio!ais 9.3.1.1. Cálculo de taa proporcio!al 9.3.2. Taas e"ui#ale!tes 9.3.3. Juro comercial e juro eato 9.3.3.1. %etermi!ação do !&mero eato de dias e!tre duas datas 9.3.4. 'o!ta!te de juros simples 1). Juros compostos 1).1. Cálculo do mo!ta!te 1).2. Cálculo dos juros 1).3. Cálculo do *ator de capitalização 1).4. Cálculo do capital 1).$. Cálculo da taa de juros ,i-  /RR 1).+. Cálculo do !&mero de per0odos ,!1).7. Taas proporcio!ais 1).(. Taas e"ui#ale!tes 1).9. Cálculo de taas e"ui#ale!tes 1).1). 'o!ta!te para per0odos !ãoi!teiros 1).1).1. Co!#e!ção i!ear 1).1).2. Co!#e!ção po!e!cial 1).11. Taa !omi!al 1).12. Taa e*eti#a 1).13. Taa apare!te taa real e taa de i!*lação 11. %esco!to simples 11.1. T0tulos de crditos 11.2. %ados das operaç5es de desco!tos 11.3. %esco!to comercial 6a!cário ou por *ora8 11.3.1. :rmula do desco!to comercial 11.3.2. :rmula do #alor atual comercial 11.3.3. Taa e*eti#a do desco!to comercial 11.4. %esco!to racio!al ou por de!tro8 11.4.1. ;alor do desco!to racio!al 11.4.2. ;alor do desco!to racio!al em *u!ção de #alor !omi!al 11.$. "ui#al
47 47 47 47 49 49 $1 $2 $3 $( $9 $9 $9 $9 +) +1 +1 +2 +3 +4 +$ +$ +$ ++ +7 +( 72 72 72 73 73 73 7$ 7+ 7+ 7+ 77 () () () (3 (3 (3 ($ ($ (7 9) 9) 91 92

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9. JURO SIMPLES 9.1. Juro É a remuneração atribuída ao capital, aplicado a uma taxa percentual, durante um intervalo de tempo. Este intervalo de tempo pode ser chamado de período financeiro ou período de capitalização.

9.2. Regimes de Capitalizaço É o processo de formação dos juros, que podem ser formados a partir de um dos dois regimes: capitalização simples e capitalização composta .

Regime de !apitalizaço simples" apenas o capital inicial rende juros. Os juros formados no final de cada período não são incorporados ao capital inicial. esse caso, os juros não são capitalizados. •

Regime de d e !apitalizaç !apital izaço o !omposta !ompost a! os juros formados no final de cada período são incorporados ao capital anterior, formando um montante, que passa a render juros no período seguinte. este caso, os juros são capitalizados. •

9.#. C$l!ulo do Juro Simples É aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.

%&rmula! " # $⋅i⋅n

C ⇒ Capital J ⇒ Juros  'ari$(eis"  ⇒ Número de períodos n  i ⇒ Taxa (Unitária )

%ara que esta f&rmula seja aplicada corretamente, devemos utili'ar! ()* n+mero de períodos )* e a taxa i* na mesma u)idade)* / taxa i* na forma u)it$ria ou de!imal-

*+re *+ re(i (iat atura urass d e ,a-as ,a -as! a.a. a.m. a.d.

ao ao ano → ao ao m0s ao dia → ao →

a.s. a.t. a.q.

ao ao semestre → ao trimestre → ao quadrimestre →

Apostila de Matemática Comercial & Financeira 2ª Unidade

a.b.

ao bimestre

→

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4(

E-emplos! (* 1omou 1omou2se 2se emprest emprestada ada a import3n import3ncia cia de 45 (.66,66, (.66,66, pelo pra'o pra'o de  anos, anos, 7 taxa de 869 ao ano. :ual ser; s er; o valor do juro a ser pago <

* /plicou2se /plicou2se a import3 import3ncia ncia de 45 8.666,66, 8.666,66, pelo pelo pra'o de de 8 meses, 7 taxa taxa de (,9 ao m0s. :ual o valor do juro a receber <

8* $alcu $alcule le o juro a ser pago por por um empr=st empr=stimo imo de 45 >.66, >.66,66, 66, 7 taxa de ?9 ao trimestre, durante 8 trimestres.

@* Am capital capital de 45 ?B.C66,6 ?B.C66,666 foi empregad empregado, o, 7 taxa de 6,D?9 ao m0s, durant durante e ,? meses. $alcule o juro produ'ido.


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9.#.1. ,a-as Propor!io)ais uas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, redu'idos 7 mesma unidade. adas duas taxas i e i percentuais ou unit;rias*, relativo, respectivamente, a ) e ) tempos* referidos 7 mesma unidade, temos! i i

,

#

n n

,

E-emplo! 1-

/s taxas (C9 a.a. e (,?9 a.m. são proporcionais<

9.#.1.1. C$l!ulo de ,a-a Propor!io)al %ara calcular uma taxa proporcional a outra dada, basta multiplicar ou dividir pelo n+mero de períodos que a unidade maior possui possui em relação 7 unidade menor . i ⇒ taxa dada  Fari;veis ip ⇒ taxa proporcion al procurada k ⇒ número de períodos entre as unidades 

Gp #

i

da maior para a menor* → Ordem decrescente

k

/ssim

Ip / i

0

da menor para a maior* → Ordem crescente

a pr;tica, para transformar uma taxa de um Hperodo maiorI para um Hperodo me)orI, efetua2se uma divisão! e uma taxa! → /nual H paraI uma mensal! Jensal H paraI uma di;ria! → → /nual H paraI uma di;ria! /nual H paraI uma semestral! → /nual H paraI uma quadrimestral! → /nual H paraI uma trimestral! →

dividir por ( dividir por 86 para taxa comercial* dividir por 8B6 para taxa comercial* dividir por  dividir por 8 dividir por @


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$)

E, para transformar uma taxa de um H perodo me)orI para um Hperodo maiorI, efetua2se uma multiplicação! e uma taxa! → Jensal H paraI uma anual! → i;ria H paraI uma mensal! i;ria H paraI uma anual! → Kemestral H paraI uma anual! → :uadrimestral H paraI uma anual! → 1rimestral H paraI uma anual! → Etc.

multiplica2se por ( multiplica2se por 86 taxa comercial* multiplica2se por 8B6 taxa comercial* multiplica2se por  multiplica2se por 8 multiplica2se por @

E-emplos" (* $alcule a taxa mensal proporcional a 869 ao ano.

* $alcule a taxa mensal proporcional a 6.6C9 ao dia.

8* $alcule a taxa anual proporcional a C9 ao trimestre.

E-er!!ios (* $alcule a taxa mensal proporcional a! a* >9 a.t. b* @9 a.s.

c* 6,6@9 a.d.

* $alcule a taxa anual proporcional a! a* (,?9 a.m. b* C9 a.t. c* (9 a.s.

d* 6,6?9 a.d.


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9.#.2. ,a-as Eui(ale)tes uas taxas referidas a períodos diferentes são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período, produ'em o mesmo juro.

E-emplos! Famos calcular o juro produ'ido pelo capital de 45 .666,66! ()* 7 taxa de @9 ao m0s, durante B meses)* 7 taxa de (9 ao trimestre, durante  trimestres.

Primeiro" $ # .666,66 t # B meses i( # @9 a.m. # 6,6@ a.m.

Segu)do" $ # .666,66 t #  trimestres i # (9 a.t. # 6,( a.t.

Co)!luso! i1 e i2 são proporcionais e equivalentes. %ortanto, “no regime de juros simples duas ta!as proporcionais são e"ui#alentesI.

E-emplos" (. Am capital de 45 .@66,66 = aplicado durante (6 meses, 7 taxa de ?9 ao ano. etermine o juro obtido.

. $alcule o juro correspondente a um capital de 45 (C.?66,66, aplicado durante  anos, @ meses e (6 dias, 7 taxa de 8B9 ao ano.


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E-er!!ios (* $alcule o juro resultante de uma aplicação de 45 8.?66,66, 7 taxa de (C9 ao ano durante 8 meses.

2- $alcule o juro de um capital de 45 ?.666,66, em regime de juros simples,

durante  anos e @ meses, 7 taxa de @9 ao ano.

9.#.#. Juro Comer!ial e Juro E-ato •

Juro Simples Comer!ial ou Ordi)$rio 1 $onvenção! 1 

•

= 3) dias a!o = 3+) dias m
Tempo apro!imado

Juro Simples E-ato / contagem do tempo = feita entre duas datas( ano # 8B? dias ou 8BB dias para o ano bissexto.

E-emplos" (* :ual o juro  e-ato e !omer!ial* produ'ido por um capital de 45 ?.666,66 pelo período de (6 dias, 7 taxa de (C9 ao ano.

* :ual o juro e-ato e !omer!ial* produ'ido por um capital de 45 (.666,66 pelo período de >? dias, 7 taxa de 9 ao m0s.


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9.#.#.1. 3etermi)aço do 45mero E-ato de 3ias e)tre 3uas 3atas a contagem do tempo entre duas datas, consideramos apenas uma das datas extremas.

/l=m da contagem direta dos dias em um calend;rio, podemos usar uma tabela para a contagem de dias, que cont=m o n+mero de dias do ano, numerados de ( a 8B?, tendo na (L coluna, o maior n+mero de dias de um m0s e na (L linha, os meses do ano. %ela tabela abaixo, o tempo = contado em n+mero de dias e, portanto, a taxa anual. Kemestral, quadrimestral, trimestral, bimestral ou mensal* deve ser transformada para uma taxa proporcional ao dia. %or exemplo, uma taxa anual para ser proporcional ao dia, deve ser dividida por 8B6 n+mero de dias do ano comercial*, uma taxa mensal para ser proporcional ao dia, deve ser dividida por 86 n+mero de dias do m0s comercial*, etc. $aso queiramos usar o juro exato, devemos dividir a taxa anual por 8B? dias ou 8BB dias em caso de ano bissexto* e, neste caso, encontraremos uma taxa proporcional menor que a anterior e, conseqMentemente, encontraremos tamb=m um juro menor. a pr;tica, Ha técnica mais usada é a do cálculo do Juro Simples Comercial para número exato de diasI.

esta maneira, acha-se a taxa proporcional ao dia dividindo a taxa anual por 8B6 e a mensal por 86*, aplicando-a no número exato de dias. Este c;lculo = o que proporciona o juro m;ximo em qualquer transação. %or=m, quando o problema afirma que o juro = exato, as taxas mensal, bimestral, trimestral, quadrimestral e semestral*, devem ser elevadas ao ano para poder ser dividida por 8B? ou 8BB caso o ano seja bissexto*.


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1abela para contagem de dias entre duas datas! Meses 3ias 61 62 6# 67 68 6 6: 6; 69 16 11 12 1# 17 18 1 1: 1; 19 26 21 22 2# 27 28 2 2: 2; 29 #6 #1

Ja).

%e(.

Mar

*+r.

Mai.

Ju).

Jul.

*go.

Set.

Out.

4o(. 3ez.

6( 6 68 6@ 6? 6B 6D 6C 6> (6 (( ( (8 (@ (? (B (D (C (> 6 (  8 @ ? B D C > 86 8(

8 88 8@ 8? 8B 8D 8C 8> @6 @( @ @8 @@ @? @B @D @C @> ?6 ?( ? ?8 ?@ ?? ?B ?D ?C ?>

B6 B( B B8 B@ B? BB BD BC B> D6 D( D D8 D@ D? DB DD DC D> C6 C( C C8 C@ C? CB CD CC C> >6

>( > >8 >@ >? >B >D >C >> (66 (6( (6 (68 (6@ (6? (6B (6D (6C (6> ((6 ((( (( ((8 ((@ ((? ((B ((D ((C ((> (6

(( ( (8 (@ (? (B (D (C (> (86 (8( (8 (88 (8@ (8? (8B (8D (8C (8> (@6 (@( (@ (@8 (@@ (@? (@B (@D (@C (@> (?6 (?(

(? (?8 (?@ (?? (?B (?D (?C (?> (B6 (B( (B (B8 (B@ (B? (BB (BD (BC (B> (D6 (D( (D (D8 (D@ (D? (DB (DD (DC (D> (C6 (C(

(C (C8 (C@ (C? (CB (CD (CC (C> (>6 (>( (> (>8 (>@ (>? (>B (>D (>C (>> 66 6( 6 68 6@ 6? 6B 6D 6C 6> (6 (( (

(8 (@ (? (B (D (C (> 6 (  8 @ ? B D C > 86 8( 8 88 8@ 8? 8B 8D 8C 8> @6 @( @ @8

@@ @? @B @D @C @> ?6 ?( ? ?8 ?@ ?? ?B ?D ?C ?> B6 B( B B8 B@ B? BB BD BC B> D6 D( D D8

D@ D? DB DD DC D> C6 C( C C8 C@ C? CB CD CC C> >6 >( > >8 >@ >? >B >D >C >> 866 86( 86 868 86@

86? 86B 86D 86C 86> 8(6 8(( 8( 8(8 8(@ 8(? 8(B 8(D 8(C 8(> 86 8( 8 88 8@ 8? 8B 8D 8C 8> 886 88( 88 888 88@

88? 88B 88D 88C 88> 8@6 8@( 8@ 8@8 8@@ 8@? 8@B 8@D 8@C 8@> 8?6 8?( 8? 8?8 8?@ 8?? 8?B 8?D 8?C 8?> 8B6 8B( 8B 8B8 8B@ 8B?

Para o ano bissexto, acrescentamos um dia ao número de dias encontrado, se o período de tempo contier o !inal do m"s de !eereiro#

E-emplos" 1- Am empr=stimo de 45 C.?66,66 foi reali'ado em 6N6D e pago em ?N(( do

mesmo ano. Kabendo que a taxa foi de @?9 ao ano, qual o juro total a ser pago < Co)sulte a ta+ela.


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$$

2- Am capital de 45 >.C@6,66 foi aplicado 7 taxa de 89 ao m0s, no período

compreendido entre (?N6@ e 8N6D do mesmo ano. :ual o juro recebido< Co)sulte a ta+ela.

8* :ual o juro e-ato e !omer!ial* produ'ido por um capital de 45 (6.666,66 pelo período de (? dias, 7 taxa de (C9 ao semestre.

E-er!!ios (* :ue quantia deve ser aplicada durante 8 meses, 7 taxa de (,?9 ao m0s, para obtermos 45 @@(,66 de juro <

* :ual o valor do principal que, aplicado durante ( ano e B meses, 7 taxa de (,9 ao m0s, rendeu 45 (>.66C,66 <


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$+

8* / que taxa foi empregado o capital de 45 (.666,66, que, no pra'o de  anos, rendeu 45 C.@66,66 de juro<

4- Ama aplicação de 45 C.666,66, pelo pra'o de B meses, obteve um rendimento

de 45 (.BC6,66. :ual a taxa anual correspondente<

?* / que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de 45 BB.666,66 para que, em 8 meses e (6 dias, renda um juro de 45 ((.666,66 <

B* etermine o período financeiro relativo 7 aplicação do capital de 45 (.C66,66 que, 7 taxa de (9 ao m0s, rendeu 45 C>B,66 <

D* urante quanto tempo devemos aplicar 45 @.C66,66, 7 taxa de 8B9 ao ano, para obtermos 45 .8DB,66 de juro<


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$7

C* Am capital de 45 (6.?66,66 rendeu 45 (.?,66 de juro. Kabendo que a taxa de juro contratada foi de @9 ao ano e que a aplicação foi feita no dia 6N6(NCC, qual a data do vencimento<

>* Am investidor aplica N8 do seu capital a ?9 ao m0s e o restante a ?@9 ao ano. ecorridos 8 anos e @ meses, recebe um total de 45 ?.666,66 de juro. $alcule o seu capital inicial.

(6* Ama pessoa aplica 45 @.C66,66 a @9 ao ano. /p&s algum tempo, a taxa = aumentada para 89 ao m0s. etermine o pra'o em que vigorou a taxa de 89 ao m0s, sabendo que em C meses os juros totali'aram 45 >(,66.


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$(

9.#.7. Mo)ta)te de Juros Simples O montante = igual 7 soma do capital inicial com o juro relativo ao período de aplicação, isto =! Jontante # capital inicial P juro /ssim,

J # $ P ",

como " # $QiQn, então

E-er!!ios (* :ue montante receber; um aplicador que tenha investido 45 C.666,66 durante (? meses, 7 taxa de 89 ao m0s<

2- :ual o capital inicial necess;rio para se ter um montante de 45 (@.C66,66 daqui

a (C meses, a uma taxa de @C9 ao ano, no regime de juro simples<

8* Ama pessoa consegue um empr=stimo de 45 CB.@66,66 e promete pagar ao credor, ap&s (6 meses, a quantia de 45 ((B.B@6,66. eterminar a taxa de juro simples anual cobrada.

@* %or quanto tempo deve ser aplicado o capital de 45 C.666,66, 7 taxa de juro de (B9 ao ano, para obtermos um montante de 45 C.86,66.


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$9

16. JURO COMPOS,O É aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, = calculado sobre o montante relativo ao período anterior.

16.1. C$l!ulo do Mo)ta)te O mo)ta)te = o capital inicial acrescido dos juros. /ssim, o capital corrigido durante n períodos, compRe o montante. o regime de capitali'ação composta, essa correção = feita da seguinte maneira! $om ,a-as 'ari$(eis" $om ,a-a
J # $⋅( P i(*⋅( P i*⋅( P i8*⋅ ... ⋅( P in*.

para i( # i # i8 # ... # in # i

M / C =1 > i?)

onde =1 > i?) = %ator de Capitalizaço

E-emplos" (* $alcule o montante produ'ido por .666,66 aplicados em regime de juro composto 7 taxa de ?9 ao m0s, durante  meses.

16.2. C$l!ulo dos Juros J / M @ C. $omo J # $⋅( P i*n , temos!

16.#. C$l!ulo do %ator de Capitalizaço O c;lculo de ( P i*n pode ser reali'ado de duas maneiras distintas! pela $alculadora $ientífica, usando a tecla -A ou pela 1;bua Sinanceira.

E-emplos! Asando a calculadora científica* ()* taxa de 69 a.a. num período de ? anos. )* 1axa de 89 ao m0s num período de ( ano e @ meses. 8)* 1axa de >9 ao trimestre e um período (? meses.


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+)

E-er!!ios (* Ama pessoa toma 45 8.666,66 emprestados, a juro de 89 ao m0s pelo pra'o de (6 meses. $om capitali'ação composta. :ual o montante a ser devolvido<

* $alcule o montante de 45 6.666 a juro composto de 8,?9 ao m0s, durante 8? meses.

3- $alcule o montante de 45 ?.666,66 a juros compostos e ,?9 a. m., no fim de @

meses.

16.7. C$l!ulo do Capital J # $ ( P i*n

⇒

$ ( P i*n # J

⇒

C#

M

(1 + i) n

, onde o denominador =

chamado %ator de 3es!apitalizaço.

E-emplos" (* $alcule o capital inicial que, no período de ? meses, a 89 ao m0s, produ'iu o montante de 45 @.6?C,66.

* Kabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, 7 taxa de ,?9 ao m0s, durante @ meses, rendeu um montante de 45 D>.@D?,66, calcule esse capital.


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+1

16.8. C$l!ulo da ,a-a de Buros =i? @ 1axa Gnterna de 4etorno T G44 $om a calculadora científica, devemos recorrer a rai' n2=sima, ou seja,  > , !  , etc dependendo da simbologia de cada calculadora*. %ara acessar esta função, devemos teclar H2)d
E-emplos! 1- Ama loja financia um bem de consumo dur;vel, no valor de 45 8.66,66, sem

entrada, para pagamento em uma +nica prestação de 45 @.6@>,66 no final de B meses. :ual a taxa mensal cobrada pela loja<

2- Ama pessoa recebe uma proposta de investir, hoje, uma quantia de 45 (.666,66 para receber 45 (B.(D,66 daqui a (6 meses. :ual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto<

16.. C$l!ulo do )5mero de perodos =)? $om a calculadora científica, devemos recorrer 7 função Uogarítmica T HLOI. O acesso ao HLOI = direto.

E-emplos! (* etermine em que prazo um empr=stimo de 45 ((.666,66 pode ser quitado em um +nico pagamento de 45 .(?,66, sabendo que a taxa contratada = de (?9 ao semestre em regime de juro composto.


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+2

* O capital de 45 C.D66,66, colocado a juros compostos 7 taxa de 8,?9 ao m0s, elevou2se no fim de certo tempo a 45 ((.@?B,66. $alcule esse tempo.

16.:. ,a-as Propor!io)ais uas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, redu'idos 7 mesma unidade, ou seja, como definimos em juros simples. / partir de uma taxa anual, ia, podemos calcular as taxas! is, iq, it, ib, im e id semestral, quadrimestral, trimestral, bimestral, mensal e di;ria, respectivamente*! is #

ia

2

,

iq #

ia

3

,

it #

ia

4

,

ib #

ia

+

,

im #

ia

12

e id #

ia 3+)

O inverso, basta multiplicar os extremos, isto =! is #

ia

2

⇒

ia #  x is , etc.


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+3

16.;. ,a-as Eui(ale)tes Kão aquelas que, referindo2se a períodos de tempo diferentes, fa'em com que um capital produ'a o mesmo montante num mesmo tempo.

E-emplos" (* $alcule o montante, em regime de juro composto, relativo a um capital de 45 (.666,66 empregado! a-

urante ( ano, 7 taxa de @9 ao ano.

6-

urante ( meses, 7 taxa de 9 ao m0s.

4esolução! a* 1emos!

$ # (.666,66 n # ( ano i # @9 a.a. # 6,@ a.a.

M1 # $( P i*n #

b* 1emos!

$ # (.666,66 n # ( meses i # 9 a.m. # 6,6 a.m.

M12 # $( P i*n #

/s taxas empregadas 9 a.m. e @9 a.a.* são proporcionais, mas como M1 ≠ M 12D as mesmas )o so eui(ale)tes. $onclusão! •

H$m %uro composto, taxas proporcionais não são e&uialentesI.

H$m %uro composto, trabalhamos com taxas e&uialentes e não proporcionais I, a menos que a taxa referida seja nominal. •


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+4

16.9. C$l!ulo de ,a-as Eui(ale)tes %or definição de taxas equivalentes, podemos afirmar que o montante produ'ido pelo Hcapital $ , ' taxa anual ia , durante % anoI, tem ue ser igual ao montante produ'ido pelo mesmo Hcapital $ , ' taxa mensal im , durante %& meses I, equivalente 7 taxa anual ia. /ssim!

M1 # $( P i*n # $( P i a*( M12 # $( P i*n # $( P i m*(

$omo 1emos!

M1 # M12

$( P ia*( # $( P im*( cancelando $*

( P im*( # ( P ia

/nalogamente, podemos construir outras f&rmulas!

E-emplos" (* :ual = a taxa trimestral equivalente a 869 ao ano, no regime de juros compostos <

* :ual = a taxa anual equivalente a 9 ao m0s, no regime de juros compostos <


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+$

E-er!!ios (* etermine a taxa mensal equivalente a 6,9 ao dia, no regime de juros compostos.

* $alcule a taxa semestral equivalente a @?9 ao ano, no regime de juros compostos.

16.16. Mo)ta)te para Perodos 4oI)teiros %ode ocorrer que o n+mero de períodos financeiros não seja um n+mero inteiro. essa maneira, a obtenção do montante para períodos não2inteiros pode ser feita mediante duas convençRes! a con#enção linear , que calcula os juros do período não2inteiro atrav=s da interpolação linear e a con#enção e!ponencialD que calcula os juros do período não2inteiro atrav=s da taxa e&uialente.

16.16.1. Co)(e)ço Li)ear Asa o juro composto para o período inteiro e o juro simples para a parte não2 inteira. S&rmula!

M = C(1 + i)n

 p  ⋅ 1 + i ⋅  q   

16.16.2. Co)(e)ço E-po)e)!ial Asa o juro composto para o período inteiro e o não2inteiro. S&rmula!

n+

M = C(1 + i)

p q


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++

E-emplos" (* :ual ser; o montante de 45 8.666,66, a juros compostos de @D9 ao ano, em @ anos e 8 meses< a* %ela convenção linear! b* %ela convenção exponencial!

* Empreguei um capital de 45 ?.666,66, em regime de juro composto, 7 taxa de 8?9 ao ano, durante  anos e B meses. :uanto recebi < a* %ela convenção linear! b* %ela convenção exponencial!

16.11. ,a-a 4omi)al É a taxa cujo período de capitali'ação não coincide com aquele a que ela se refere. %or exemplo, são freqMentes, na pr;tica, enunciados do tipo! 

"uro de @C9 ao ano, Hcapitali'ados semestralmente(-



"uro de 8B9 ao ano,Hcapitali'ados mensalmente( .

/ taxa nominal =, geralmente, uma ta-a a)ual. %ara resolvermos problemas que tra'em em seu enunciado uma taxa nominal, adotamos, por convenção, que a taxa por período de capitali'ação seja proporcional ' ta!a nominal.

E-emplo" Apostila de Matemática Comercial & Financeira 2ª Unidade

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+7

1- :ual o montante de um capital de 45 ?.666,66, no fim de  anos, com juros de @9 ao ano capitalizados trimestralmente<

%ela convenção adotada, temos! $ # ?.666,66 n #a#x@t#Ct i # @ 9 a.a. # 6,@ a.a. # 6,@ ÷ @ # 6,6B a.t.

16.12. ,a-a E
/ssim, sendo!

i ⇒ a taxa nominal if ⇒ a taxa efetiva V ⇒ o n+mero de períodos de capitali'ação para uma taxa nominal G%

a taxa por período de capitali'ação i% #

⇒

i k

*

$omo i< = equivalente a i0 , temos! ( P if # ( P i%*V , onde i% # Uogo!

i k

i< # ( P i p*V T (

E-emplos" (* Ama taxa nominal de (C9 ao ano = capitali'ada semestralmente. $alcule a taxa efetiva.


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+(

* Am banco emprestou a import3ncia de 45 8?.666,66 por  anos. Kabendo que o banco cobra a taxa de 8B9 ao ano, com capitali'ação trimestral, qual a taxa efetiva anual e qual o montante a ser devolvido ao final dos  anos <.

16.1#. ,a-a 4omi)alD ,a-a Real e ,a-a de I)
$ T o capital inicial ir T a taxa real Gn T a taxa nominal iin T a taxa de inflação

podemos prev0 os seguintes situaçRes! %ara uma taxa de inflação igual a zero e uma taxa de juro real irD o capital inicial se transformar;, ao final de um período, em! C =1 > ir? 

%ara uma taxa de inflação igual a ii) e uma taxa de juro real igual a zero o capital inicial se transformar;, ao final de um período, em! C =1 > ii)? 

%ara uma taxa de juro real igual a ir e uma taxa de inflação igual a ii), simultaneamente, o capital inicial equivaler;! C =1 > ir? =1 > ii)? 

%ara uma taxa nominal igual a i)D o capital inicial se transformar;, ao final de um período, em! C =1 > i)? 

$omo as duas +ltimas expressRes são equivalentes, temos! $ ( P i)* # $ ( P ir* ( P ii)*

⇒

( P i)* # ( P ir* ( P ii)*

Co)!luso! / ta!a de juro real = livre dos efeitos inflacion;rios, enquanto que a ta!a de juro nominal leva em consideração os efeitos inflacion;rios do período. %ara /ssaf eto 668, p. (8(*! H... o termo real para as operaçRes de matem;tica financeira denota um resultado apurado livre dos efeitos inflacion;rios. Ou seja, quanto se ganhou ou perdeu* verdadeiramente, sem a interfer0ncia das variaçRes verificadas nos preços.I Apostila de Matemática Comercial & Financeira 2ª Unidade

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+9

E-emplos" (* :ual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 6,C9 a.m. e a uma inflação de 69 no período<

* Ama pessoa adquire uma letra de c3mbio em uma =poca / e a resgata na =poca W. O juro aparente recebido foi de ?9. $alcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, nesse período, foi de (?9.

8* Am empr=stimo foi feito a uma taxa de 89 ao ano. Kabendo que a inflação nesse ano foi de (9, calcule a taxa real anual.

@* Ama financeira cobra uma taxa aparente de 9 ao ano, com a intenção de ter um retorno real correspondente a uma taxa de >9 ao ano. :ual = a taxa de inflação<


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7)

Lista de E-er!!ios *axa $&uialente+ *axa ominal+ *axa $!etia e *axa parente de Juros Compostos#

(* :ual = a taxa mensal equivalente a @9 ao ano, no regime de juros compostos<

* :ual = a taxa anual equivalente a (9 ao m0s, no regime de juros compostos <

8* :ual = a taxa anual equivalente a 6,69 ao dia, no regime de juros compostos<

@* :ual = a taxa mensal equivalente a 6,69 ao dia, no regime de juros compostos <

?* / caderneta de poupança paga juro de B9 ao ano capitali'ados trimestralmente. :ual a taxa efetiva de juro<


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71

+- Ama financeira paga juros de (9 ao ano capitali'ado mensalmente. :ual a

sua taxa efetiva<

D* O capital de 45 (C.666,66 foi colocado por  anos a 69 ao ano, capitali'ados trimestralmente. :ual o montante<

C* $alcule o montante de uma aplicação de 45 (.666,66, 7 taxa de juro de 9 ao ano, capitali'ado semestralmente, durante (C meses<

>* urante quanto tempo 45 ?.666,66 produ'em 45 (@.C@B,66 de juro, a @9 ao ano, capitali'ado trimestralmente<

(6*Am investidor aplica 45 ?.666,66, em uma =poca /, para receber, em uma =poca W, a import3ncia de 45 [email protected],66. $alcule! a* / taxa aparente dessa aplicaçãob* / taxa de inflação no período da aplicação, sabendo que a taxa real de juro dessa aplicação, nesse período, foi de 69.


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72

11. 3ESCO4,O SIMPLES 3es!o)to = a quantia a ser abatida do valor nominal de um título de cr=dito, resgatado ou negociado, antes da data de vencimento.

11.1. ,tulos de CrFditos 1- (ota Promiss)ria ! $omprovante de aplicação de um capital com vencimento

predeterminado. Asado entre pessoas físicas e, entre pessoas físicas e GnstituiçRes Sinanceiras. 2- *uplicata! 1ítulo emitido por pessoa jurídica contra seu cliente pessoa física ou

jurídica* para o qual ele vendeu mercadoria ou prestou serviços, a serem pagos no futuro, segundo um contrato. 3- Letra de $+m,io! = um comprovante de uma aplicação de capital com

vencimento predeterminado- por=m, = um título ao portador, emitido exclusivamente por uma Gnstituição Sinanceira. -. $/e"ues Pr01*atados 2. 3aturas de $artão de $r0dito

Etc.

11.2. 3ados das OperaçGes de 3es!o)to 1- *ata de #encimento ! dia de pagamento ou recebimento do título2- 4alor nominal! valor indicado no título3- 4alor atual! valor nominal menos desconto4- Tempo ou prazo! = o n+mero de dias compreendido entre o dia do resgate ou

venda antecipada e o dia do vencimento. /penas um dos dois extremos entra na contagem, ou seja, a data inicial ou a data final.

Uma operaço de des!o)to pode ser realizada so+re" 1- O 4alor (ominal! chamado Hdesconto comercial I, H,anc5rioI ou H por foraH 2- O 4alor Atual ou Lí"uido! chamado Hdesconto racional I ou  por dentroH.


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73

11.#. 3es!o)to Comer!ial =a)!$rio? ou Por %oraH É equivalente ao juro simples, tendo como capital o valor nominal, num período de tempo correspondente 7 uma taxa fixada.

'ari$(eis

d N  A n  i

→ → → → →

desconto valor Nominal valor Atual tempo taxa de descont

11.#.1 %&rmula do 3es!o)to Comer!ial d/4i)

11.#.2. %&rmula do 'alor *tual Comer!ial * / 4 @ d, ou, substituindo d em *, temos!

E-emplos" (* Am título de 45 B.666,66 vai ser descontado 7 taxa de ,(9 ao m0s. Saltando @? dias para o vencimento do título, determine! a* o valor do desconto comercialb*

o valor do atual comercial.

* Ama duplicata de 45 B.>66,66 foi resgatada antes de seu vencimento por 45 B.6D,66. $alcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de @9 ao m0s.


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74

E-er!!ios (* Ama duplicata, cujo valor nominal = de 45 .666,66 foi resgatada  anos antes do vencimento, 7 taxa de 869 ao ano. :ual o desconto comercial<

* Am título, no valor nominal de 45 C.@66,66, com vencimento em (CN(6, = resgatado em 6N6D. Ke a taxa de juro contratada foi de ?@9 ao ano, qual = o valor comercial descontado<

8* Am título de 45 @.C66,66 foi resgatado antes de seu vencimento por 45 @.@DB,66. sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 8,@9 ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate.


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7$

11.#.#. ,a-a de Juro E
→

para $ # / e J # , temos!

E-emplos" (* Am título de 45 B.666,66 foi descontado 7 taxa de ,(9 ao m0s, faltando @? dias para o seu vencimento. Kabendo que o valor do desconto comercial foi de 45 (C>,66, calcule a taxa de juro efetiva.

* Ama duplicata de 45 8.666,66 foi resgatada (( dias antes de seu vencimento por 45 (.6BC,66. eterminar a taxa de desconto e a taxa efetiva.


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7+

11.7. 3es!o)to Ra!io)al ou Por 3e)troH $hamamos des!o)to ra!io)al ou por de)tro o equivalente ao juro produ'ido pelo alor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.

11.7.1. 'alor do 3es!o)to Ra!io)al dr / *r i )

11.7.2. 'alor do 3es!o)to Ra!io)al em %u)ço do 'alor 4omi)al /r #  2 dr Kubstituindo *r em dr, temos! dr # /r ⋅ i ⋅ n

dr #

⇒

Kubstituindo dr em *r, temos!

E-emplos" (* Am título de 45 B.666,66 vai ser descontado 7 taxa de ,(9 ao m0s. Saltando @? dias para o vencimento, determine! a* o valor do desconto racional. b* o valor atual racional.

* etermine o valor do desconto e o valor atual racionais de um título de 45 ?6.666,66, disponível dentro de @6 dias, 7 taxa de 89 ao m0s.!

Obs! O Hvalor do desconto racionalI F me)or do ue o Hvalor do desconto comercialI. Apostila de Matemática Comercial & Financeira 2ª Unidade

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77

11.8. Eui(alK)!ia de Capitais )o 3es!o)to Comer!ial Ys ve'es temos necessidade de substituir um título ou mais* por outro ou outros* com vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pagamentos são equivalentes. Estes problemas estão ligados, de modo geral, 7 eui(alK)!ia de !apitais di
/ solução deste tipo de problema consiste em estabelecer uma data e comparar os valores atuais dos títulos em questão, nessa data. Ke foram iguais, podemos concluir que esses capitais diferidos são equivalentes. o regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a data zero, isto =, a data em que a dívida foi contraída.

E-emplos! (* :uero substituir um título de 45 ?.666,66, vencível em 8 meses, por outro com vencimento em ? meses. Kabendo que esses títulos podem ser descontados 7 taxa de 8,?9 ao m0s, qual o valor nominal comercial do novo título< .esolução/

# ?.666,66 i # iZ # 8,?9 a.m. # 6,68? a.m. n # 8 meses nZ # ? meses


O princípio da equivalência é: A = A’

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7(

* Ama pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de 45 8.666,66 e o outro de 45 8.B66,66, vencíveis, respectivamente, dentro de  e B meses, por um +nico título vencível em @ meses. Kendo a taxa de juro igual a 89 ao m0s, qual ser; o valor do novo título< .esolução/

( # 8.666,66- n( #  meses  # 8.B66,66- n # B meses i # i( # i # 89 a.m. # 6,68 a.m. n # @ meses

O princípio da equivalência é: A = A1 + A2

8* :ueremos substituir dois títulos, um de 45 ?.666,66 para >6 dias e outro de 45 (.666,66, para B6 dias, por tr0s outros, com o mesmo valor nominal, vencíveis, respectivamente, em 86, B6 e >6 dias. $alcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação = de 89 ao m0s.


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79

E-er!!ios (* Am título de valor nominal igual a 45 B.866,66 para >6 dias dever; ser substituído por outro para (?6 dias. $alcule o valor nominal do novo título, 7 taxa de ,?9 ao m0s.

* Am industrial deve pagar dois títulos! um de 45 (@.@66,66 para  meses e outro de 45 (>.66,66 para 8 meses. Entretanto, não podendo resgat;2los no vencimento, propRe ao credor substituí2los por um novo título para @ meses. :ual o valor nominal do novo título, sendo a taxa igual a 8,C9 ao m0s<

8* Kubstitua tr0s títulos, um de 45 @.666,66 para 86 dias, outro de 45 (6.666,66 para B6 dias e outro de 45 (B.666,66 para >6 dias, por dois outros títulos de iguais valores nominais, vencíveis em >6 e (6 dias, respectivamente. :ual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação = de 8,?9 ao m0s<


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()

12. 3ESCO4,O COMPOS,O É o desconto no regime de capitali'ação composta e tem o mesmo sentido do desconto simples! = o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu vencimento.

O des!o)to !omposto = empregado nas operaçRes em lo)go prazoH, j; que o desconto simples comercial, nesses casos, pode levar2nos a resultados sem nexo. /nalogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto composto! o ra!io)al =ou realD ou por de)tro? e o !omer!ial =ou +a)!$rioD ou por
12.1. 3es!o)to Composto Comer!ial ou por
12.2. 3es!o)to Composto Ra!io)al ou de)troH C$l!ulo do 'alor *tual 'alor atual, em regime de juro composto, de um capital 4 disponível no fim de ) períodos, 7 taxa i relativa a esse período, = o capital * que, colocado a juros compostos 7 taxa i, produ' no fim dos ) períodos o montante 4. /ssim, como J # $⋅( P i*n, substituindo J por  e $ por /r , temos!  # /r ⋅( P i*n

*r #

N

(1 + i)

n

ou

*r #  ⋅ ((+i )−n

E-emplos" 1- etermine o valor atual comercial e racional* composto de um título de 45

C66,66, resgatado @ meses antes de seu vencimento, 7 taxa de 9 ao m0s.


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(1

2- $alcule o valor atual por fora e por dentro* composto, de um título de valor

nominal de 45 (.(6,66, com vencimento para  anos e B meses, 7 taxa de 8B9 ao ano, capitali'ado semestralmente.

3- Am título de valor nominal de 45 (.?66,66 vai ser resgatado 8 meses antes de

seu vencimento, atrav=s de uma taxa de 869 ao ano, capitali'ado mensalmente. :ual seria o melhor desconto comercial ou racional* composto concedido, do ponto de vista do portador do título<

4- Em uma operação de desconto composto racional, o portador do título

recebeu 45 8B.>?@,66 como valor de resgate. Kabendo que a antecipação foi de @ meses e o desconto de 45 8.6@B,66, qual foi a taxa de juro mensal<


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(2

Lista de E-er!!ios *escontos

(* etermine o desconto de uma promiss&ria de 45 8.666,66, 7 taxa de @69 ao ano., resgatada D? dias antes do vencimento.

* Ama duplicata foi descontada pelo valor de 45 [email protected]?,66 cinqMenta dias antes de seu vencimento, 7 taxa de @?9 ao ano. :ual o seu valor nominal< / # [email protected]?,66 d # in como d #  2 / n # ?6 dias  T / # in i # @?9 a.a.  # /N( T in*

8* /o pagar um título de 45 8.B66,66 com antecipação de >6 dias, recebo um desconto de 45 @CB,66. :ual = a taxa de desconto<

@* valor atual de um título de 45 @.C66,66 = 45 @.8C6,66. Kabendo que a taxa banc;ria de desconto = de 8,?9 ao m0s, calcule o tempo de antecipação e a taxa efetiva<

?* Ama duplicata de B>.666,66 foi resgatada antes do seu vencimento por 45 ?C.>6>,66. Kabendo que a taxa de desconto foi de (8N@9 ao m0s, calcule o tempo de antecipação e a taxa efetiva<

B* Am título de 45 D.666,66 foi descontado faltando B6 dias para o seu vencimento. Kabendo que o desconto foi de 45 (.C66,66, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetiva.

D* Ama empresa possui um título cujo valor nominal = de 45 D.666,66, com vencimento daqui a (?6 dias. :uantos dias antes do vencimento deve descont;2 lo, 7 taxa comercial de 8B9 ao ano, para que possa adquirir mercadorias no valor de 45 B.D>6,66<


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(3

1#. C*PI,*LI*NO E *MOR,I*NO COMPOS,* 1#.1. I4,RO3UNO 2 ,emos uma Capitalizaço

1.

$onstruir um capital

2.

4esgatar uma dívida 2 ,emos uma *mortizaço

1#.2. RE43*S / sucessão de dep&sitos ou prestaçRes, em =pocas distintas, destinadas a formar um capital ou pagar uma dívida = denominada re)da. Os termos da sucessão de dep&sitos ou de prestaçRes são chamados Htermos da re)daI e o intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos consecutivos = chamado Hperodo da re)daI. /s rendas podem ser de dois tipos! $ertas e /leat&rias! 1-

Re)das Certas ou *)uidades! ocorrem quando o n+mero de termos, seus vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados. E-emplo! $ompra de bens a pra'o.

2-

Re)das *leat&rias" ocorrem quando pelo menos um dos tr0s elementos não pode ser previamente determinado. E-emplo! %agamento de seguro de vida o n+mero de termos = indeterminado*

:uando o período da renda = sempre o mesmo, di'2se que ela = peri&di!a, caso contr;rio, = )operi&di!a. Ke os termos da renda são iguais, ela = denominada !o)sta)te, caso contr;rio, =

(ari$(el. :uanto ao #encimento do primeiro termo , uma renda certa pode ser!

imediata, a)te!ipada ou di
6

1(

1

18

(



8

1n28

1n2

nT8

nT

1n2( nT(

1n n

termos períodos

E-emplo! Apostila de Matemática Comercial & Financeira 2ª Unidade

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(4

$ompra de um bem a pra'o, em prestaçRes mensais, pagando a primeira prestação um m0s ap&s a assinatura do contrato. ♦

Re)da *)te!ipada! ocorre quando o vencimento do primeiro termo se d; na da data 'ero. /ssim, o vencimento do +ltimo termo ocorre no início do período n. 1(

1

18

(



6

1@

1n2

8

nT8

1n2(

1n

nT

nT(

termos n

períodos

E-emplo! ep&sito mensal de uma mesma quantia em caderneta de poupança, durante um pra'o determinado.

Re)da 3i )* períodos. ♦

1( 6

(



m

1

mP( mP

1n2

1n2(

1n

termos

m P n 2  m P n 2 ( m P n períodos

E-emplo! $ompra de um bem a pra'o, em prestaçRes mensais, pagando a primeira prestação no fim de um determinado n+mero de meses.

O+ser(açGes! Kempre que o tipo de renda não for especificado, deve2se considerar como re)da imediata, por ser o tipo mais comum.

Resumo!

•Rendas

 Número de termos   Certas ou anuidades ( de!e ter ) "ata de !encimento  Valor do termo .       Número de termos  ou   Aleatórias ( quando #alta ) "ata de !encimento  ou  Valor do termo .     

• Período

da renda

• Termos

da renda

• Vencimento

Periódica → Não periódica.  Constante  Variável.

do ! termo

%eríodos i$uais

→ Termos i$uais

Imediata ou postecipad a →  Antecipada → Com entrada Diferida → Com car&ncia . 


No #inal do 1' período

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($

1#.#. C*PI,*LI*NO COMPOS,* Famos estudar neste item, a determinação do montante constituído por dep&sitos peri&dicos de quantias constantes sobre as quais incide a mesma taxa.

1#.#.1. Re)da Imediata ?ituação pro6lema@ ♦

Ama pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada m0s, durante ? meses, a quantia de 45 (66,66. $alcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 9 ao m0s, capitali'ados mensalmente. 1emos!

$ # (66,66 i # 9 a.m. # 6,6 a.m. n#?m

%&rmula do mo)ta)te! 6

(



8

@

?

(66

(66

(66

(66

(66

Jn # $( P i*n J? # (66 J@ # (66( P 6,6* # (66 x (,6 J8 # (66( P 6,6* # (66 x (,6 J # (66( P 6,6*8 # (66 x (,68 J( # (66( P 6,6*@ # (66 x (,6@

O montante de uma renda = dado pela soma dos valores dos montantes de seus termos, denotada por  S /ssim,

S5

0 , 02

n

¬ i 2 l02se! Kn, cantoneira i ou, simplesmente K, n, i*.

# J( P J P J8 P J@ P J?

S5

0, 0 2

# (66 P (66 x (,6 P (66 x (,6 P (66 x (,68 P (66 x (,6@ #

S5

0, 0 2

# (66 ( P (,6 P (,6 P (,68 P (,6@* #

S5

0, 0 2

# (66 ( P (,6 P (,6@6@ P (,6B( P (,6C@* #

S5

0, 0 2

# (66 x ?,6@ # 826D76

[enericamente, temos!

? ! ¬ i # 1 × ( P ( P i* P ( P i* P ( P i*8 P ( P i*@ * Apostila de Matemática Comercial & Financeira 2ª Unidade

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(+

/plicando a soma dos termos de uma %[ no par0ntese, temos! Kn #

an ⋅ q − a1 q −1

a( # ( an # ( P i*@

 / =1 > i? $omo sn #

an × q − a1 q −1

(1 + i) 4 × (1 + i) −1 (1 + i)$ −1 (1 + i)$ −1 # # # (1 + i) −1 1 + i −1 i

Uogo, # 1 × S ¬ $ i

(1 + i)$ −1 i

para

,1 +i-$ s$¬ i # i

1

−


!apitalizaço*

sn S) onde , s)

i

i

,1 +i-n # i i

1

−


Koma dos montantes 1ermos da renda %restaçRes* Sator de $apitali'ação.

/ssim,

S8

6D62

# (66 × s?¬6,6 # (66×?,6@6@ # 826D76

E-er!!ios (* eposito em uma instituição financeira, no fim de cada m0s, a import3ncia de 45 C66,66 a 6,?9 ao m0s. :uanto terei no fim de ( ano <

* Ama pessoa deposita 45 BC6,66 no final de cada m0s. Kabendo que seu ganho = de (,?9 ao m0s, quanto possuir; em  anos e meio<

8* :ual a import3ncia constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, 7 taxa de B9 ao ano, capitali'ados anualmente, de tal modo que, ao fa'er o d=cimo dep&sito, forme o capital de 45 @66.666,66 <


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(7

@* $alcule o dep&sito anual capa' de, em B anos, dar um montante de 45 66.666,66, 7 taxa de ?9 ao ano.

?* / que taxa uma pessoa, reali'ando dep&sitos mensais imediatos no valor de 45 C.6>8,66, forma um capital de 45 (8?.666,66 ao fa'er o d=cimo quinto dep&sito < Ase a 1;bua Sinanceira*.

+-

:uantas prestaçRes mensais imediatas de 45 ?66,66 devem ser calculadas, 7 taxa de 9 ao m0s, a fim de se constituir o montante de 45 B.D6B,66< Ase a 1;bua Sinanceira*.

1#.#.2. Re)da *)te!ipada Fimos que na renda antecipada, depositamos no início do período, n parcelas iguais a T a uma ta!a unit5ria i, referida 7 mesma unidade do período constante. este caso, a +ltima prestação ser; depositada no tempo ) @ 1, e no tempo n, ter; a correção do +ltimo período. /ssim, o fator de capitalização ser; calculado sobre n P ( períodos.

Situaçopro+lema! ♦

Ama pessoa deposita numa poupança, no início de cada m0s, durante ? meses, a quantia de 45 (66,66. $alcule o montante da renda, sabendo que a instituição paga juros compostos de 9 ao m0s, capitali'ados mensalmente. 1emos!

$ # (66,66 i # 9 a.m. # 6,6 a.m.


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((

n#?m

6

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? (66( P 6,6*( # (66 x (,6 (66( P 6,6* # (66 x (,6 (66( P 6,6*8 # (66 x (,68 (66( P 6,6*@ # (66 x (,6@ (66( P 6,6*? # (66 x (,6?

%&rmula eral! S $ ¬i

# 1 ×

(1 + i) + −1 i

2 1 para s + ¬ i #

,1 +i- +

1

−

i

fator de capitali'ação*

Então,

S ¬ n

i

# 1 ×  s

¬ 2 (* ! +1 i

para

s ! + 1¬ i #

n +1

,1 +i-

i

−1

Sator de

capitali'ação*

S n ¬ i # 1 × 

,1 +i-

n +1

−1

i

Sn¬ i onde

2 (*

Koma dos montantes

→

1

s ! + 1¬ i

1ermos da renda %restaçRes*

→

Sator de $apitali'ação.

→

/ssim, o exemplo acima = igual a!

S $ ¬i # (66 × B,86C( T (* # (66 × ?,86C( # 8#6D;1.

E-er!!ios (* :ual o montante de uma renda antecipada de (6 termos mensais de 45 ?66,66, 7 taxa de (,?9 ao m0s <


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(9

* $alcule o montante de uma renda trimestral antecipada de C termos iguais a 45 D.666,66, sendo de ,?9 ao trimestre a taxa de juro composto.

8* :uanto se deve depositar no início de cada semestre, numa instituição financeira que paga (C9 ao ano, para constituir o montante de 45 ?6.666,66 no fim de 8 anos, sendo os juros capitali'ados semestralmente<

@* Ama pessoa reali'ou (6 dep&sitos bimestrais antecipados de 45 (6.666,66 e obteve o montante de 45 (C.@(,66. :ual foi a taxa de juro <

?* :uantos dep&sitos mensais antecipados de 45 (?.B(@,66 serão necess;rios para constituir o montante de 45 66.666,66, 7 taxa de (9 ao ano, capitali'ados mensalmente <


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9)

1#.7. *MOR,I*NO COMPOS,* 1#.7.1. Re)da Imediata ou poste!ipadaH

= ! ¬ i # 1 × a ! ¬ i = ! ¬ i # 1 ×

onde

para

(1 + i)n −1 a ! ¬ i # i(1 +i)n Sator de /morti'ação?

,1 +i-n −1 i,1 +i- n

/n¬i 1 an¬i

'alor *tual de uma renda imediata de n termos → ,ermos da renda %restaçRes* → %ator de /morti'ação.

→

E-er!!ios (* :ual o valor atual de uma renda imediata de ( termos iguais a 45 (?.666,66 cada um, 7 taxa de B9 ao ano <

* :ue dívida pode ser amorti'ada por (? prestaçRes de 45 C.666,66 cada uma, sendo de 9 ao m0s a taxa de juro <

8* etermine o valor da prestação mensal para amorti'ar, com (6 prestaçRes, um empr=stimo de 45 (?.666,66 a juros de ,?9 ao m0s.

@* O valor atual de uma renda anual e imediata de termo de 45 >.666,66, 7 taxa de B9 ao ano, = de 45 BB.@(,66. $alcule seu n+mero de termos.


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?* Ama motocicleta custa, 7 vista, 45 8.@,66. $ompro2a a pra'o dando 69 de entrada e pagando o restante em ( prestaçRes mensais de 45 D?,66. $alcule a taxa efetiva do financiamento.

1#.7.2. Re)da *)te!ipada (1 +i)n 1 −1 = n¬, i # 1 × an P (, i P (*, onde an P (, i # , Sator de /morti'ação*. n 1 i(1 +i) −

−

 (1 + i) n −1 −1  + 1 = n¬, i # 1 ×  n −1 1 + i ( i )  

= n¬, i

Onde

1 an 2 (, i

'alor *tual de uma renda antecipada de n termos → ,ermos da renda → %ator de /morti'ação. →

E-er!!ios (* $alcule o valor atual de uma anuidade antecipada de ( termos mensais de 45 ?6,66, 7 taxa de 89 ao m0s.

* :ual o valor de uma prestação mensal antecipada para amorti'ar, com B pagamentos, uma compra de 45 B.?66,66, com juro de ,?9 ao m0s <

8* :uantas prestaçRes bimestrais antecipadas de 8.666,66 são necess;rias para pagar uma dívida de 45 66.6C6,66, 7 taxa de 89 ao bimestre <

4 "os= contraiu uma dívida de 45 >?.BB6,66, que dever; ser paga em (6

prestaçRes mensais antecipadas de 45 (6.666,66. :ual a taxa de juro < Apostila de Matemática Comercial & Financeira 2ª Unidade

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1#.7.#. Re)da 3i
m +n

−

ai

m

* onde

ai

#

m +n

(1 + i) m + n − 1 m+ n i(1 + i)

e

ai

m

#

(1 + i)m − 1 m i(1 + i) m = o período de car0ncian = o n+mero de prestaçRes1 = o valor da prestação/n = o valor do financiamento ou atual ai

m +n

−

ai

m

* = o fator de amorti'ação.

E-er!!ios (* :ual o valor atual de uma renda de (? termos mensais de 45 D66,66, com 8 meses de car0ncia, a taxa de (,?9 ao m0s<

* $alcule o valor atual de uma dívida que pode ser amorti'ada com (6 prestaçRes mensais de 45 ?66,66, sendo de 9 a taxa de juro e devendo a primeira prestação ser paga 8 meses depois de reali'ado o empr=stimo< 8m 9  1% 9 & meses.


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8* Ama dívida de 45 6.666,66 deve ser amorti'ada com @ pagamentos bimestrais consecutivos, sendo de @9 ao bimestre a taxa de juro. $alcule essa prestação, sabendo que o pagamento da primeira delas deve ser efetuado 8 bimestres ap&s a reali'ação do empr=stimo. m 9  ; % 9 & ,imestres*.

@* eterminar o coeficiente de financiamento e o valor das prestaçRes de uma operação de financiamento de 45 ?.666,66 a ser liquidado em (C prestaçRes mensais e iguais com car0ncia de um trimestre. /dmita uma taxa de juros de ,D89 ao m0s.

?* O preço a vista de uma 1F = de 45 .666,66. O vendedor est; oferecendo as seguintes condiçRes para venda a pra'o! a* Entrado de 69b* Kaldo em @ prestaçRes mensais, iguais e sucessivos, vencendo a primeira de hoje a B6 dias. eterminar o valor de cada prestação admitindo uma taxa de juros de 8,(9 ao m0s.


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Apostila de Matemática Comercial e Financeira II (1).pdf

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