Complexos e Geometria II IME/ITA 3/29/2011 http://dadosdedeus.blogspot.com Marcos Valle (IME)
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Dados de Deus – Complexos e Geometria
Nessa apostila continuaremos abordando a aplicação dos números complexos na resolução de problemas de geometria. Ao contrário da parte I, I, em que foi feita uma abordagem introdutória e foram apresentados exercícios de nível básico, agora iremos propor questões que podem se tornar mais complexas (trocadilhos a parte, rs). A maioria dos problemas foi retirada de provas do IME, da IMO ou outras olimpíadas, além de grandes livros (vide bibliografia). Recomendamos ainda que os exercícios da parte I sejam totalmente assimilados já que frequentemente serão citados seus resultados.
Exercício 1: Seja S o circuncentro e H o ortocentro do
. Seja Q o ponto
, respectivamente, os baricentros
tal que S bissecta HQ e denote por de . Prove que
Solução:
Fig. 01 Seja S o centro do círculo unitário de centro na origem dos eixos (S=0) e . Como as alturas al turas são perpendiculares aos lados, os vértices do temos que (Fig. 01):
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De fato, ortocentr o é satisfaz às 3 condiçoes acima e, como o ortocentro único, essa e a unica possibilidade.
possui mesmo módulo e direção que h, mas sentido contrário. Logo: Se t1, t2 e t3 são baricentros, então:
Assim:
Exercício 2: (BMO 1984) Seja ABCD um quadrilátero inscritível e
HA, HB , HC
e HD L os ortocentros dos triângulo BCD , CDA, DAB , e ABC respectivamente. Prove que os quadriláteros ABCD e HAHBHCHD são congruentes.
Solução: Da mesma forma que o exercício 1, vamos colocar a origem dos eixos no centro do círculo circunscrito. Assim, podemos afirmar que , , , .
Dois polígonos são congruentes se, e somente se seus lados são congruentes. De fato:
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Exercício 3: Os triângulos equiláteros
1, CDC 1, 1, e DAD 1 são construídos BCB 1,
externamente ao triângulo ABC. Se P e Q são respectivamente os pontos médios de B 1C 1 e C 1D 1 e se R é o ponto médio de AB, prove que PQR é isósceles.
Solução:
Fig. 02
Devemos provar que |q - r| = |p - r|.
Mas
Por fim, mostramos que
Exercício 4: O quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo de diâmetro AC . As retas AB e CD Intersectam-se em M e as tangents ao círculo em B e D intersectam-se em N . Prove que MN AD .
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Solução:
é um diâmetro, . Dos exercícios 5.3 e 5.5 , temos que: 1
Como
Logo:
e
Do exercício 3 temos uma condição de colineriade
De fato:
Assim,
.
Exercício 5: (Reta de Simson) Se A, B , C são pontos em um círculo, então os pés das perpendiculars traçadas de um ponto arbitrário D do círculo aos lados do ∆ ABC são colineares.
Solução:
Fig. 03
1
A partir de agora, todas as referências a exercícios tratam-se da apostila anterior.
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Tome o circuncentro do ∆ ABC como origem. Sejam e os pés das perpendiculares de D aos lados do triângulo. Do exercício exercí cio 5.4, temos:
Da condição de colinearidade (vide excercício 3):
Logo, os três pontos estão alinhados, na chamada reta de Simson.
Exercício 6 : (Teorema de Pascal) Se o hexágono
ABCDEF é inscriível em um círculo, prove que os pontos M= AB ∩DE , N=BC ∩EF e P=CD ∩FA são
colineares.
Solução:
Fig. 04 Tome o centro do círculo como origem. Do exercício 5.5, temos que (já conjugando):
Assim:
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Logo
Mas quando um complexo é igual a seu conjugado:
Logo, os pontos M , N e P são colineares.
Exercício 7: O círculo com centro em O está inscrito em um tri ângulo ∆ ABC e toca os lados AB , BC , CA em M , K , E respectivamente. Seja P a intersecção entre MK e AC . Prove que OP BE .
Solução: Tome o circuncentro do triângulo abc como origem. Do exercício 5.3, temos que:
Como os pontos m, k e p são colineares e mk é corda do círculo cír culo unitário, podemos aplicar o resultado do exercício 5.2:
Note agora que
, de modo que pelo exercício 3, temos:
Igualando (I) e (II), obtemos:
Para finalizar, basta provarmos que
. Mas:
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E
Exercício 8: O círculo com centro em O está inscrito em um quadrilátero ABCD e toca os lados AB, BC, CD e DA respectivamente respectivamente em e m K, L, M e N. As retas KL e MN intersectam-se em S. Prove que .
Solução: Assuma Assuma que o círculo inscrito em abcd é unitário. unit ário. Do exercício 5.3, temos que:
, , , Do exercício 5:
(2) Do exercício 1 é suficiente mostrar que:
De (1):
E
(4)
De (2):
Comparando (3), (4) e (5) finalizamos a prova.
(5)
(3)
(1)
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Exercício 9: (Olimpíada Chinesa - 98) Seja
D um ponto no interior de um
triângulo acutângulo ABC , com DA DB AB + DB DC BC + DC DA CA = AB BC CA. Determine quais são as possíveis posições que D pode ocupar.
Solução: Sejam
a, b, c, e 0 as coordenadas complexas de A, B, C e D , respectivamente. Temos, então que DA DB AB + DB DC BC + DC DA CA = AB BC CA a b (b a) b c (c b) c a (a c) (b a)(c b)(a c) (*)
Como ab(b a) bc(c b) ca(a c) (b a)(c b)(a c) ,
sendo
w1 ab(b a),
w2 bc(c b), w3 ca(a c), (*) w1 w2 w3 w1 w2 w3
e portanto, w 1, w 2, w 3
estão alinhados. Assim, existem reais positivos e tais que w1 w2
ab(b a) bc(c b)
w1 w3
ab(b a) ca(a c)
isto
é,
a(b a) c(c b)
b(b a) c(a c)
A C B 180 A DB
a b
bc ac
,
e,
analogamente,
A B C 180 A DC
e
O único ponto D no interior de um triângulo acutângulo que satisfaz essas condições é o ortocentro.
B A C 180 B DC .
Exercício 10: (Teorema de Bottema) Dado ∆ ABC qualquer, constroem-se os quadrados ABDE e BCFG externamente sobre os lados AB e BC do triângulo. Prove que o ponto médio M de EF é independente de B e ∆ AMC é isósceles e reto.
Solução:
Fig. 05 Tome A como origem. Como AE é perpendicular a BA e CF é perpendicular a BC , temos que:
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Com isso determinamos o ponto M :
E
Logo, m é independente i ndependente de B , e .
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Questões extras 1-) No plano do triângulo A1A2A3 o ponto P 0 é dado. Seja As = As −3, para todo número natural s > 3. A sequência de pontos P 0, 0, P 1, 1, P 2, 2, . . . é construída de modo que o ponto Pk +1 +1 é obtido pela rotação do ponto Pk de um ângulo de 120º no sentido horário em torno do ponto Ak +1. +1. Prove que se P 1986 1986 = P 0, 0, então o triângulo A1A2A3 é isósceles. 2-) (IMO Shortlist 1992) Seja ABCD um quadrilátero convexo para o qual AC = BD. Triângulos equiláteros são construídos sobre os lados do quadrilátero. Sejam O 1, 1, O 2, 2, O 3, 3, e O 4 os centros dos triângulos construídos sobre AB , BC , CD , e DA, respectivamente. Prove que as linhas O 1O 3 e O 2O 4 são perpendiculares. 3-) Dado um quadrilátero inscritível ABCD , denote por P e Q os pontos simétricos a C em relação a AB e AD, respectivamente. Prove que a reta PQ passa pelo ortocentro do ∆ABD. 4-) (IMO Shortlist 1998) Seja ABC um triângulo, H seu ortocentro, O seu incentro e R o raio da circunferência circunscrita. Seja D o ponto simétrico a A em relação a BC , E o ponto simétrico a B em relação a CA e F o ponto simétrico a C em relação a AB . Prove que os pontos D, E e F são colineares se, e somente se, OH = 2R . 5-) Dado um triângulo ABC , a tangente em A ao círculo circunscrito intersecta a base média paralela a BC no ponto A1. Analogamente, definimos os pontos B1 e C1. Prove que os pontos A1,B1,C1 estão sobre uma reta paralela à reta de Euler do ∆ABC . 6-) (IMO Shortlist 1996) Seja ABC um triângulo acutângulo tal que BC > CA. Seja O o círculo circunscrito, H o ortocentro e F o pé da perpendicular CH . Se a perpendicular de F até OF intersecta CA em P , prove que
7-) (IME - 1987) Sejam A,B,C,D e E os vértices de um pentágono regular inscrito num círculo e M um ponto qualquer sobre o arco . Unindo-se M a cada um dos vértices do pentágono, mostre que os segmentos satisfazem
8-) Sejam A, B , C , D quatro pontos em um círculo. Prove que a intersecção da reta de Simson correspondente a A em relação ao triângulo BCD e a reta de Simson correspondete a B em relação ao triângulo ACD pertence à reta que passa por C e pelo ortocentro do ∆ABD . 9-) (Teorema de Brokard) Seja ABCD um quadrilátero inscritível. As retas AB e CD intersectam-se em E , as retas AD e BC intersectam-se em F e as teras AC e BD intersectam-se em G . Prove que O é o ortocentro do triângulo EFG . 10-) (Irã 2005) Seja ABC um triângulo equilátero tal que AB = AC . Seja P o ponto sobre o prolongamento do lado BC e sejam X e Y os pontos sobre AB e AC tais que
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Seja T o ponto médio do arco BC . Prove que PT . 11-) Seja ABCD um quadrilátero inscritível e sejam K , L, M e N os pontos médios de AB , BC , CA e DA, respectivamente. Prove que os ortocentros de ∆AKN , ∆BKL, ∆CLM , ∆DMN formam um paralelogramo. paralel ogramo. 12-) (Teorema de Newton) Dado um quadrilátero circunscritível ABCD , sejam M e N os pontos médios das diagonais AC e BD . Se S é o incentro, prove que M , N , e S são colineares. 13-) Seja ABCD um quadrilátero cujo círculo inscrito toca os lados AB , BC , CD e DA nos pontos M , N , P e Q . Prove que as retas AC , BD , MP e NQ são concorrentes. 14-) Assuma que o círculo de centro I toca os lados BC , CA e AB do ∆ABC nos pontos D , E , F respectivamente. Assuma que as retas AI e EF intersectam-se em K , as retas ED e KC em L e as retas DF e KB em M . Prove que LM é paralelo a BC . 15-) (25o Torneio das Cidades) Dado um triângulo ABM , denote por H seu ortocentro, I o incentro, O o circuncentro e K o ponto de tangência entre BC e o círculo inscrito. Se as retas IO e BC são paralelas, prove que AO e HK são paralelas. 16-) (IMO 2000) Sejam AH1, BH2 e CH3 as alturas do triângulo acutângulo respectivamente em em ABC . O círculo inscrito em ABC toca os lados BC , CA, AB respectivamente T1, T2 e T3 . Sejam I1, I2 , I3 as retas simpetricas a H2H3 , H3H1, H1H2 em relação a T2T3 , T3T1 e T1T2 respectivamente. Prove que as retas I1, I2 , I3 determinam um triângulo cujos vértices pertencem ao círculo inscrito i nscrito em ABC . 17-) (Teorema da Borboleta) Seja M o ponto médio de uma corda PQ de um círculo, no qual duas outras cordas AB e CD são traçadas. AD corta PQ em X e BC corta PQ em Y . Prove que M também é ponto médio de XY .
Sê escravo do saber, Sê se queres ser verdadeiramente livre. (Sêneca)
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”
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Geometry, The Mathematical Hahn, Liang-shin Complex Numbers and Geometry, Association of America, 1994 Andreescu, Titu Complex Numbers From A to
… Z,
Birkhäuser, 1956
http://www.wildstrom.com/susan/COMPLEXNUMBERSPROP.pdf http://www.ias.ac.in/resonance/January2008/p35-53.pdf http://www.imomath.com/tekstkut/cnum_mr.pdf http://www.ime.eb.br
