Parte I Apostila EET334

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA METALÚRGICA E DE MATERIAIS

EET 334

PROCESSAMENTO DE RECURSOS MINERA MINERA IS I Uma introdução aos aspectos teóricos epráticos da preparação e concentração física de matérias-primas minerais

Luís Marcelo M. Tavares, Ph.D. [email protected] Professor Associado

Preparado em 1998/2 7a revisão em 2009/1

Sumário Introdução ................................................................................................ 3 Parte I: FUNDAMENTOS FUNDAMENT OS ........................ ............................................... ................................................ ........................... 6 1. Balanço de massas e metalúrgico metalúr gico .................... ........................................... ....................... 7 2. Caracterização Caracteri zação de partículas partícul as .................... ............................................ ............................... ....... 13 3. Fluidodinâmica Fluidodi nâmica de partículas partícul as ...................... ................................................ ............................. ... 29 4. Comportamento Comportame nto mecânico de partículas .................... ................................. ............. 59 Parte II: PREPARAÇÃO DE MATÉRIAS-PRIMAS MATÉRIAS-PRIMAS MINERAIS ......... ................ ....... 71 5. Cominuição Cominuiç ão industrial industri al ....................... ............................................. ........................................ .................. 72 5.1 . Britagem ...................................................... ................................ ............................................ ...................... 73 5.2 . Moagem convencional ..................... ............................................. ................................. ......... 89 5.3 . Moagem ultrafina ultrafin a ........................ ............................................... ...................................... ............... 102

6. Separação por tamanhos ........................ ................................................ .................................. .......... 114 6.1 . Avaliação do desempenho .............................................. ..................... ............................. 114 6.2 . Peneiramento industrial ................................................. ........................ ............................. .... 117 6.3 . Classificação Classifi cação ...................... ............................................... ............................................... ...................... 124 Parte III: DESAGUAMENTO...................................................................... 131 7. Espessamento........................................................................... 132 8. Filtração Filtraçã o ..................... .............................................. ................................................. ...................................... .............. 143

Apêndice A. Amostragem de materiais particulados ...................................... 153 B. Técnicas de análise granulométrica .......................................... 156 C. Dimensionamento de moinhos pelo método de Bond ............... 163

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Sumário Introdução ................................................................................................ 3 Parte I: FUNDAMENTOS FUNDAMENT OS ........................ ............................................... ................................................ ........................... 6 1. Balanço de massas e metalúrgico metalúr gico .................... ........................................... ....................... 7 2. Caracterização Caracteri zação de partículas partícul as .................... ............................................ ............................... ....... 13 3. Fluidodinâmica Fluidodi nâmica de partículas partícul as ...................... ................................................ ............................. ... 29 4. Comportamento Comportame nto mecânico de partículas .................... ................................. ............. 59 Parte II: PREPARAÇÃO DE MATÉRIAS-PRIMAS MATÉRIAS-PRIMAS MINERAIS ......... ................ ....... 71 5. Cominuição Cominuiç ão industrial industri al ....................... ............................................. ........................................ .................. 72 5.1 . Britagem ...................................................... ................................ ............................................ ...................... 73 5.2 . Moagem convencional ..................... ............................................. ................................. ......... 89 5.3 . Moagem ultrafina ultrafin a ........................ ............................................... ...................................... ............... 102

6. Separação por tamanhos ........................ ................................................ .................................. .......... 114 6.1 . Avaliação do desempenho .............................................. ..................... ............................. 114 6.2 . Peneiramento industrial ................................................. ........................ ............................. .... 117 6.3 . Classificação Classifi cação ...................... ............................................... ............................................... ...................... 124 Parte III: DESAGUAMENTO...................................................................... 131 7. Espessamento........................................................................... 132 8. Filtração Filtraçã o ..................... .............................................. ................................................. ...................................... .............. 143

Apêndice A. Amostragem de materiais particulados ...................................... 153 B. Técnicas de análise granulométrica .......................................... 156 C. Dimensionamento de moinhos pelo método de Bond ............... 163

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Introdução O Brasil ocupa uma posição de destaque no cenário mundial da indústria mineral. Somos o maior produtor de minério de nióbio do mundo, o segundo maior produtor de minério de ferro, tântalo e caulim de alta qualidade, e o terceiro maior produtor de minério de alumínio e grafita. A produção doméstica de minérios de estanho, magnesita e manganês também figura entre as cinco maiores do mundo (DNPM, 2001). A produção mineral Brasileira no ano de 1995 atingiu o patamar de 9 bilhões de dólares, colocando colocando o Brasil Brasil em 6o lugar na classificação mundial. Além disso, no período de 1978 até 1993, o Brasil foi o país que apresentou o maior crescimento do valor de sua produção mineral dentre os 10 maiores produtores mundiais, da ordem de 500% (Quaresma, 1998). Desde então, a taxa de crescimento tem se mantido elevada: de 1995 a 2000 ela teve um crescimento médio de 8,2% ao ano, sendo o maior de qualquer outro segmento da indústria brasileira. A indústria mineral, entretanto, não é somente geradora de riquezas. Ela também é uma importante geradora de empregos, sendo responsável por 500 mil empregos diretos no Brasil (Wagner ( Wagner et al., 2002). Este crescimento da indústria mineral brasileira nas últimas décadas pode ser explicado por uma série de motivos: as mudanças na legislação brasileira em 1994, que passou a permitir controle acionário de empreendimentos mineiros por companhias estrangeiras; a diminuição da produção dos países industrializados em decorrência da exaustão de reservas minerais e restrições ambientais excessivas; e a riqueza e a variedade do subsolo brasileiro. Todos estes fatores deverão contribuir para um crescimento ainda maior da indústria mineral no Brasil nos próximos anos. Por exemplo, hoje o Brasil importa todo o cobre que produz (300 mil toneladas de concentrado por ano). Até 2009 ele passará de importador a um dos maiores exportadores, pois deverá ocupar a 6 a posição na produção mundial (Anon., 2002). O aproveitamento de matérias-primas minerais requer invariavelmente alguma forma de processamento (tratamento). A intensidade do tratamento necessário do minério depende do teor do minério na jazida, assim como da especificação desejada do produto. A fim de atingir essa especificação do produto, a qual é normalmente dada em termos de um teor mínimo de metal de interesse ou composto no produto, ou de um teor máximo de algum tipo de contaminante, torna-se necessária a concentração do minério. A metalurgia extrativa é responsável pela produção de metais a partir de minérios. As atividades que inserem nessa área são divididas em tratamento de minérios, hidrometalurgia e pirometalurgia. O tratamento de minérios (ou processamento de matérias-primas minerais) consiste das operações que visam a modificação da granulometria, da concentração relativa das espécies minerais presentes ou a forma, sem que a identidade química ou física dos minerais seja modificada. Já nas etapas subseqüentes de

hidrometalurgia e piro metalurgia, a identidade química e física é modificada através do uso de solventes e de reações químicas a altas temperaturas,

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Introdução

Prof. L. Marcelo Tavares (DMM-EP/UFRJ)

respectivamente. De um modo geral, o tratamento de minérios pode ser subdividido nas seguintes etapas, como mostra a Figura I: • preparação; • concentração; • desaguamento. A etapa de preparação diz respeito às operações de cominuição e separação por tamanhos, que visam liberar os componentes minerais. Nos casos de minérios de alto teor (cada vez mais raros) esta etapa já é responsável pela geração do produto final vendável. Esse é o caso de alguns minérios (minério de ferro de Carajás, alguns caulins), do agregado para a Figura I. Fluxograma típico de processamento construção civil (areia e brita) e de rochas calcárias. Na maior parte dos casos, é necessária a concentração do mineral minério e a remoção de contaminantes (minerais de ganga) presentes no minério. Alguns exemplos que ilustram isso são: • Minérios de cobre apresentam teor normalmente inferior a 0,5% Cu. Entretanto, a metalurgia somente é economicamente viável para materiais com teor superior a 36% Cu, de modo que torna-se necessário concentrar esses minérios antes de enviá-los aos processos subseqüentes de piro e eletrometalurgia. • Diamantes encontrados em leitos de rios (com teores da ordem de 0,03 a 0,15 ppm) exigem que se separe as gemas e os diamantes industriais dos seixos de cascalho e da areia. Nesse caso, para se obter 1 g de diamante é necessário processar 1 m3 (aproximadamente 1600 kg) de minério. Para isso, são usadas operações de concentração , as quais visam a separação seletiva de minerais e se baseiam nas diferenças de propriedades físicas e físico-químicas entre a ganga e o mineral minério. Algumas dessas propriedades são: densidade, suscetibilidade magnética, condutividade elétrica, hidrofobicidade, cor, radiatividade, luminescência, formato, etc. Na maioria das vezes, as operações de concentração são realizadas a úmido. A utilização ou o processamento subseqüente dos produtos requer a remoção ou recuperação da água contida neles. Esta operação, chamada desaguamento , além de eliminar parte da água do concentrado, também tem por objetivo reciclar parte da água contida nos rejeitos para uso na usina de beneficiamento. Além das operações acima, também existem as operações auxiliares de transporte e manuseio de sólidos . Essas são responsáveis pela homogeneização dos sólidos, a fim de minimizar as variações qualitativas na alimentação das várias operações unitárias, ou pelo transporte dos sólidos, estejam eles secos ou na forma de polpas dentro da usina de processamento. 4

Introdução


De acordo com o seu uso, minerais podem ser classificados como metálicos, não-metálicos e energéticos – como mostra a Figura II.

Metálicos

Minerais Nãometálicos

Ferrosos: Fe, Mn, Ni, Cr. Uso intenso na siderurgia. Formam ligas importantes com o ferro. Não-ferrosos: Cu, Al, Zn, Pb, Sn. Metais preciosos: Au, Ag, Pt, Os, Ir, Pd, etc. Metais raros: Nb, Sc, In, Ge, Ga, etc. Construção civil: rochas ornamentais, agregado, revestimento e matéria-prima para cimento, etc. Cerâmicos e refratários: Argila, feldspato, caulim, Industriais quartzo, magnesita, cromita, grafita, cianita, dolomita, etc. Isolantes: amianto, vermiculita, etc. Fluxantes: fluorita, calcário, criolita, etc. Abrasivos: diamante, granada, sílica, corindom, etc. Carga: talco, gesso, barita, caulim, etc. Gemas: Diamante, esmeralda, safira, turmalina, topázio, etc. Águas minerais

Energéticos Radioativos: U e Th Combustíveis fósseis: petróleo, carvão, turfa, antracito, etc.

Figura II. Aplicações dos diversos minerais

Essas notas de aula cobrem uma abordagem moderna ao estudo das operações unitárias de processamento de recursos minerais, sem deixar de lado a descrição dos principais equipamentos e processos utilizados na indústria. Ênfase é colocada no uso de técnicas quantitativas, que permitem a modelagem matemática das diversas operações unitárias utilizadas na indústria. Os aspectos práticos serão abordados no curso por meio da realização de aulas práticas no laboratório e através de exemplos práticos de minérios e usinas brasileiras. Na primeira parte dessa apostila (parte I) são introduzidos princípios de balanços de massas, aspectos fundamentais da fluidodinâmica e da fratura de partículas, assim como princípios da descrição estatística de populações a fim de permitir a descrição das operações unitárias. Em seguida as operações de preparação (parte II) e concentração física (parte III) são analisadas detalhadamente. Por fim, é ainda importante destacar que a maior parte (senão a totalidade) das técnicas de processamento mineral são utilizadas na recuperação secundária de materiais (reciclagem), assim como na descontaminação de solos. Bibliografia ANON., 2002. A Vale pretende faturar US$ 1 bilhão em cobre, Jornal do Comércio (3 de agosto), www.infomet.com.br DNPM, 2002. Anuário Mineral Brasileiro, www.dnpm.gov.br QUARESMA, L.F., 1998. A globalização na mineração. Brasil Mineral, no. 162, julho, pp. 36-38. WAGNER, A., LINS, F., SÁ, G., 2002. A eleição presidencial e a mineração. Gazeta Mercantil (20 de setembro).

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Fundamentos Parte I No processamento de recursos minerais, diversos dos equipamentos usados ainda hoje nada mais são do que pequenas modificações de aparelhos já em uso há um ou mais séculos. Exemplos são diversos tipos de britadores (Britadores de Rolos – inventado em 1806; Britador de Mandíbulas – 1858; Britador Giratório – 1876), e concentradores gravimétricos (formas primitivas de jigues e calhas já são usados – pelo menos – desde o século 16). Assim como em diversos outros ramos da engenharia, importantes desafios têm sido impostos à área de processamento mineral: por um lado uma maior demanda por matérias-primas minerais e por outro a crise energética mundial. Esses, além da gradual diminuição dos teores dos minérios ainda disponíveis, têm demandado importantes avanços tecnológicos nas últimas décadas, a fim de permitir à indústria mineral a manutenção de sua competitividade. Embora o desenvolvimento desses equipamentos não tenha sido geralmente baseado no conhecimento científico em processamento mineral, atualmente é amplamente reconhecido que desenvolvimentos realmente inovadores no processamento mineral (como o britador de rolos de alta pressão, desenvolvido na década de 1980, novos reagentes de flotação, etc) requerem um profundo conhecimento dos fundamentos dos processos envolvidos. Além disso, o desenvolvimento de modelos matemáticos, os quais têm encontrado importantes aplicações na simulação e no controle de usinas de processamento mineral, também requerem um adequado conhecimento dos fundamentos desses processos. Em usinas de processamento mineral, equipamentos são utilizados em diversos estágios em circuitos normalmente bastante complexos. Técnicas de análise de balanços de massas e metalúrgicos são descritas no Capítulo 1. Essas técnicas permitem ao engenheiro extrair informações relevantes, permitindo-lhe determinar a recuperação e a seletividade de equipamentos individuais e do circuito de processamento como um todo. Operações unitárias do processamento de recursos minerais invariavelmente lidam com sistemas particulados. A descrição de populações de partículas e de suas propriedades é de fundamental importância. Esse é o tema central do Capítulo 2. Essas mesmas operações são normalmente realizadas em meio aquoso, de modo que o comportamento de partículas em fluidos (Capítulo 3) assume uma grande importância. A cominuição de partículas, realizada em equipamentos de grande capacidade, nada mais é do que uma sucessão de microeventos de fratura. O capítulo 4 revisa alguns aspectos básicos da fratura de minerais e rochas e da relevância do seu comportamento mecânico na quebra e no consumo energético durante a cominuição.

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Balanço de massas e metalúrgico

*

capítulo 1 A fim de avaliar o desempenho da usina de beneficiamento e de controlar as operações usando os resultados obtidos, é necessário levar em consideração os produtos em termos do material e dos pesos dos componentes contidos. O balanço de massas e metalúrgico é particularmente importante para se levar em consideração as distribuições do mineral ou metal de interesse contido nos vários produtos da usina. Os atributos de uma população (ou lote), como a tonelagem horária e o teor, somente podem ser determinados a partir de amostras. A representatividade dessas amostras é de enorme relevância em estudos de balanços de massas e metalúrgicos. 1.1 Conceitos básico s

O teor de um material qualquer é simplesmente dado pela razão entre a massa (ou vazão mássica) de metal (ou composto) contido no material e a sua massa (ou vazão) total. O rendimento (também chamado recuperação mássica) é dado pela razão entre a vazão de concentrado e de alimentação, Rendimento = 100

vazão mássica do(s) produto(s) C = 100 vazão mássica da alimentaçã o A

(1.1)

A recuperação (a recuperação do metal ou espécie mineral) da usina ou de um equipamento individual pode ser calculada por Recuperação = 100

Cc metal contido no(s) produto(s) = 100 Aa metal contido na alimentação

(1.2)

Uma recuperação de 85% significa que 85% do metal (ou composto de interesse) da alimentação foi recuperado e 25% foi perdido no rejeito. A taxa de concentração (τ ) (também denominada razão de enriquecimento) pode ser calculada somente com base nos teores medidos, sendo dada por τ =

c a

(1.3)

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Esse capítulo é parcialmente baseado nas notas de aula do Prof. Rupen Adamian e no livro de B.A. Wills: Mineral Processing Technology, 6 a edição, Butterworth-Heinemann, 1997.

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Essas diferentes medidas (rendimento, recuperação e razão de enriquecimento) são freqüentemente usadas no controle de rotina da usina. Em geral, é relativamente difícil obter estimativas precisas das vazões mássicas das diversas correntes em uma usina. Uma alternativa a isso é oferecida pela fórmula de dois produtos (que implica em um processo com somente dois produtos!), a qual é derivada a seguir. Se os pesos da alimentação, concentrado e rejeito são A, C e R, respectivamente, e os seus teores a, c e r , então A = C + R (1.4) ou seja, o material que entra é igual ao material que sai (não há acúmulo); e (1.5) Aa = Cc + Rr ou seja, existe um balanço entre o metal (ou mineral). Substituindo (1.4) em (1.5), tem-se Aa = Cc + ( A − C )r (1.6) que dá c − r (1.7) a − r Pode-se agora calcular as diferentes quantidades mencionadas acima somente com base nos teores:

A / C =

C a − r Rendimento = 100 = 100 (1.8) A c − r A recuperação da usina (a recuperação do metal ou espécie mineral) é dada por

Recuperação = 100

Cc c (a − r ) c = 100 = * rendimento Aa a(c − r ) a

(1.9)

Exemplo 1: Usina de tratamento de minério de cromo O teor da alimentação de uma usina de tratamento de minério de cromo é 32% Cr 2O3 e o do concentrado é 49,3% Cr 2O3. A taxa de alimentação da usina é de 245 ton/h e de produção do concentrado é de 144 ton/h. Calcule a recuperação de cromita no concentrado, o rendimento mássico e a razão de enriquecimento. Solução: Recuperação do circuito (Eq. 1.2): ρ =

100 × 144 × 49,3 = 90,6% 245 × 32,0

144 = 58,8% 245 Razão de enriquecimento é τ = 49,3 / 32,0 = 1,5 Rendimento mássico: Rp = 100

Exemplo 2: Circuito de flotação de cobre A alimentação de uma planta de flotação tem 0,8% de cobre. O concentrado produz teores de 25% Cu, e o rejeito 0,15% Cu. Calcule a recuperação de cobre no concentrado, o rendimento mássico e a razão de enriquecimento.

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Solução:

100 × 25(0,8 − 0,15) = 81,7% 0,8(25 − 0,15) 0,8 − 0,15 = 2,61% Rendimento mássico: Rp = 100 25 − 0,15 Razão de enriquecimento: τ = 25 / 0,8 = 31,3 Recuperação do circuito (Eq. 1.9): ρ =

Existe uma relação aproximadamente inversa entre recuperação e teor do concentrado em todos processos de concentração. Se uma tentativa é feita de obter um concentrado com teor muito elevado, o teor do rejeito se elevará e a recuperação será baixa. Se o objetivo for obter uma elevada recuperação do metal de interesse, então mais ganga irá reportar ao concentrado (contaminandoo) e a razão de enriquecimento será reduzida. Os principais motivos para esse comportamento são:

• liberação incompleta do minério; • imprecisão da separação. A eficiência de uma operação de concentração mineral pode ser representada por uma expressão que reflete a que ponto que o mineral de minério é coletado em um dos produtos (concentrado), assim como a que ponto que os minerais de ganga são removidos no outro produto (rejeito), assim Eficiência = 100 ×

Cc R (100 − r ) Aa A (100 − a )

A partir das equações (1.4) e (1.5), se obtém Eficiência = 100 ×

c (a − r )(c − a ) (100 − r ) a (c − r )2 (100 − a )

1.2 Carga ci rcu lante

Em usinas de processamento mineral é comum o reciclo de produtos a fim de reprocessá-los e incorporá-los à alimentação nova no circuito. Essa é uma prática particularmente usada em circuitos de cominuição, nas quais operações de redução de tamanhos são utilizadas em circuito fechado com operações de separação granulométrica. Uma medida particularmente importante nesse contexto é a carga circulante. A A carga circulante é definida como a razão R entre a tonelagem reciclada e a alimentação nova em um circuito. Para o circuito mostrado na Figura Classificação N 1.1, tems-se que, D R CC(%) = 100 (1.10) Cominuição A Normalmente não temos as quantidades D e A, somente as análises granulométricas das Figura 1.1 Esquema de um circuito de separação de diversas correntes. Um procedimento que nos tamanhos e cominuição

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permite estimar a carga circulante é descrito a seguir. Um balanço de massas do classificador dá A + R = D + N Um balanço do material na classe de tamanhos i dá APi a + R Pi r = DPi d + N Pi n

(1.11) (1.12)

onde Pi é os dados de distribuição acumulados passantes para cada uma das correntes. Multiplicando a Eq. (1.12) por Pi r , tem-se APi r + R Pi r = DPi r + N Pi r

(1.13)

Subtraindo Eqs.(1.12) e (1.13) temos A(Pi a − Pi r ) = D(Pi d − Pi r ) + N (Pi n − Pi r )

(1.14)

Em regime estacionário podemos assumir que A = N , então A(Pi a − Pi r − Pi n + Pi r ) + D(Pi r − Pi d ) = 0 A(Pi a − Pi n ) = D(Pi d − Pi r )

ou D Pi a − Pi n = A Pi d − Pi r

Como D = R , então temos que a carga circulante é dada por R Pi a − Pi n CC(%) = 100 = 100 d A Pi − Pi r

(1.15)

A equação (1.15) é somente válida para o circuito mostrado na Figura 1.1. Para circuitos com outras configurações, pode-se similarmente derivar outras equações. Exemplo 3: Carga circulante de circuito de moagem Para o circuito de moagem, como aquele esquematicamente mostrado na Figura 1.1 e usando os dados da Tabela 1.1, calcular: (a) a carga circulante e (b) a tonelagem total diária Tabela 1.1 Dados para cálculo de carga circulante Peneira A R D N de carga circulante, a r d n supondo uma i (μm) Pi (%) Pi (%) Pi (%) Pi (%) alimentação de 800 t/dia 1 1180 96,8 100,0 100,0 100,0 de carga nova: 2 850 90,8 99,3 99,7 100,0 Solução: 3 600 79,8 96,0 95,3 100,0 Para a granulometria de 75 μm: 4 300 65,2 86,9 84,0 100,0 5 212 46,6 71,3 64,6 100,0 12,8 − 77,6 CC = 100 = 487% 6 150 29,0 47,5 35,4 93,4 12,4 − 25,7 7 106 18,4 33,3 19,7 85,8 Para a granulometria de 106 μm: 8 75 12,8 25,7 12,4 77,6

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CC = 100


18,4 − 85,8 = 495% 19,7 − 33,3

Para a granulometria de 150 μm:

CC = 100

93,4 − 29,0 = 532% 47,5 − 35,4

A carga circulante média é de 505%. A tonelagem total de carga circulante por dia é estimada em 4.040 toneladas (800 ton/dia x 5,05).

Alternativamente, também é possível o cálculo da carga circulante com base em outros atributos das correntes, como, por exemplo, a percentagem de sólidos. 1.3 Polp as minerais

A água tem um papel muito importante em operações de processamento mineral. Ela não somente é usada como um meio de transporte para sólidos ao longo do processo, como também o meio no qual a maior parte das separações minerais é realizada. Operações individuais exigem diferentes concentrações de sólidos para a sua operação ótima. Moinhos de bolas, por exemplo, raramente operam a percentagens de sólidos inferiores a 65% de sólidos em massa, e a descarga do moinho normalmente requer diluição para que a mesma seja alimentada em classificadores como hidrociclones. Por outro lado, a maior parte das operações de flotação é realizada com percentagens de sólidos entre 25 e 40% de sólidos em massa, e alguns equipamentos de concentração gravimétrica, como cones, são operados mais eficientemente a percentagem de sólidos entre 55 e 70%. Uma usina de concentração mineral é uma grande consumidora de água. Em uma usina que processa 10.000 toneladas de minério por dia (o que caracteriza uma usina de médio porte), por volta de 20 m 3/min de água são necessárias. Isso mostra a necessidade do reciclo da água nessas usinas. De fato, menos de 5% da água introduzida no processo durante a operação é nova. Algumas definições importantes seguem: Densidade de polpa = ρ pl = mpl / v pl m Vazão mássica de polpa = pl t v Vazão volumétrica de polpa = pl t ms mpl v Porcentagem de sólidos (em volume) = 100 s v pl m − ms Umidade (base seca) = 100 pl (%) ms m Concentração de sólidos = s v pl

Porcentagem de sólidos (em massa) = 100

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Tempo de residência =


volume o reator do reator vazão volumétric a

Onde: mpl = ms + ml = massa de polpa v pl = v s + v l = volume de polpa ms = massa de sólidos vs = volume de sólidos t = tempo Exemplo 4: Dimensionamento de tanque de condicionamento Uma usina de flotação trata 500 t/h de sólidos. A polpa da alimentação, que contém 40% de sólidos em massa, é condicionada por 5 minutos com reagentes antes de ser bombeada às células de flotação. Calcule o volume do tanque de condicionamento necessário. ( ρ s = 2,7 t/m3). Solução: Inicialmente, é conveniente padronizar o tempo em uma hora. Nesse caso, a massa de polpa é dada por

mpl =

100 × ms 100 × 500 = = 1250 t % de solidos 40

Considerando que

ms = 500 t , então v s =

ms ρ s

=

500 = 185,2 m3 2,7

Por diferença podemos calcular o volume de água

ms = 750 t = 750m3 Vazão volumétrica de polpa = 185,2 m 3 + 750 m3 = 935,2 m3 Assim, para um tempo nominal de residência de 5 minutos, o tanque de condicionamento deve apresentar Volume =

5 935,2 = 77,9m3 60

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Caracterização de partículas

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capítulo 2 O desempenho de equipamentos de processamento de recursos minerais depende da natureza de partículas individuais que são processadas. O número de partículas envolvidas é muito grande e seria impossível desenvolver procedimentos ou métodos para descrever detalhadamente o comportamento de cada partícula individual. Partículas diferem umas das outras em vários aspectos. As diferenças que as operações de processamento mineral exploram são propriedades físicas que influenciam o comportamento da partícula quando sujeita à concentração no equipamento. As duas principais propriedades (ou características) fundamentais são a granulometria (tamanho) e a composição mineralógica da partícula. Outras características como formato, densidade específica, área superficial, suscetibilidade magnética, hidrofobicidade – e assim por diante – são também importantes e, em muitas operações de processamento mineral são as que dominam o comportamento do material. As operações de cominuição e classificação dependem principalmente do tamanho da partícula tratada, mas também são influenciadas pela composição, densidade, fragilidade e outras propriedades que também podem influenciar o comportamento de partículas em maior ou menor magnitude. A concentração gravimétrica explora primordialmente as diferenças de densidade específica entre as partículas e, portanto diferentes espécies minerais podem ser separadas umas das outras, e assim por diante. As várias propriedades físicas não são necessariamente independentes umas das outras. Por exemplo, a densidade específica de uma partícula individual depende da sua composição mineralógica, uma vez que as densidades de diferentes minerais são distintas. Algum esquema definido de descrição das propriedades das partículas na população do material particulado, que considere a variabilidade da população de partículas, é necessário. Tal descrição somente é viável por meio do uso de funções de distribuição. 2.1

Tamanho de Partícula

2.1.1 Populações de partículas e funções de distribuição

A função de distribuição para uma propriedade em particular define quantitativamente como os valores de alguma propriedade de interesse se distribuem entre as partículas de uma população. Possivelmente, a propriedade mais amplamente utilizada em funções de distribuição é o tamanho de partícula. Nesse caso a função de distribuição é a distribuição de tamanhos de partícula Esse capítulo é parcialmente baseado nas notas de aula do curso “Mineral Processing I”, ministrado pelo Prof. R.P. King na University of Utah. **

13

P(dp) definida como a fração mássica de partículas em uma população com tamanho menor ou igual a dp. Essa função P(dp) apresenta algumas propriedades gerais importantes: a) P(0) = 0 b) P(∞) = 1 c) P(dp) aumenta monotonicamente de 0 a 1 à medida que dp aumenta de 0 a ∞. As propriedades a) e b) são óbvias porque nenhuma partícula na população pode apresentar tamanho menor ou igual a 0 e todas partículas possuem tamanho menor que infinito. A propriedade c) reflete o fato que a fração da população que possui granulometria igual ou inferior a dp1 deve conter pelo menos todas aquelas partículas com granulometria dp2 ou inferior, se dp2 <= dp1. É claro que o conceito de tamanho de partícula é ambíguo. Partículas de interesse no processamento mineral não apresentam formatos regulares facilmente identificáveis como esferas e cubos. O tamanho de uma esfera pode ser definido sem ambigüidade pelo seu diâmetro. Analogamente, o tamanho de um cubo poderia ser definido sem ambigüidade como o comprimento de uma aresta, mas outra dimensão poderia ser igualmente usada, como o comprimento da diagonal. Dessa maneira, o tamanho de uma partícula não possui um único significado, mesmo para partículas com formatos regulares. A fim de contornar esse problema, uma medida indireta de tamanho é normalmente empregada em tecnologia mineral. O tamanho de uma partícula é, normalmente, definido como a menor abertura em uma peneira de malha quadrada através da qual a partícula é capaz de atravessar . Essa definição é uma conseqüência natural

do uso do peneiramento na análise da distribuição de tamanhos de materiais particulados. De fato, essa é a técnica mais empregada para medir a distribuição de tamanhos de partículas. Entretanto, quando partículas se tornam excessivamente finas, torna-se impraticável a aplicação do peneiramento. Nesses casos, outras medidas indiretas apropriadas são usadas, como a velocidade terminal em um fluido de viscosidade e densidade conhecidas (Wills, 1997). Em aplicações práticas é muito conveniente e freqüentemente essencial fazer uso de uma repartição Tabela 2.1 Resultados típicos de análise granulométrica discreta da escala de Abertura da Ab ertura Percentagem Percentagem tamanhos (como no peneira média retida acumulada peneiramento!). Deste (mm) (mm) Passante modo, a população de +6,80 8,14 0,5 99,5 partículas é dividida em -6,80 +4,75 5,68 2,0 97,5 -4,75 +3,35 4,02 4,2 93,3 grupos, com cada um dos -3,35 +2,36 2,83 6,9 86,4 quais sendo identificado -2,36 +1,70 2,00 9,6 76,8 pelo menor e maior -1,70 +1,18 1,42 11,0 65,8 tamanho do grupo. -1,18 +0,850 1,00 10,8 55,0 O valor de P pode ser -0,850 +0,595 0,714 9,9 45,1 8,4 36,7 medido experimentalmente -0,595 +0,425 0,505 7,1 29,6 em diversos tamanhos fixos -0,425 +0,300 0,357 -0,300 +0,212 0,252 6,1 23,5 que correspondem às -0,212 +0,150 0,178 5,2 18,3 aberturas de um conjunto de -0,150 +0,106 0,126 4,4 13,9 peneiras disponíveis no -0,106 +0,075 0,089 3,9 10,0 2,9 7,1 laboratório. Esses dados -0,075 +0,053 0,063 -0,053 +0,038 0,045 2,1 5,0 são normalmente apresen0,019 5,0 tados na forma tabular, -0,038

14



mostrando a abertura da peneira em função da menor abertura da peneira, como mostra a Tabela 2.1. Representações gráficas são muito úteis. Elas permitem que comparações de distribuições de tamanhos sejam avaliadas e comparadas com maior facilidade. 12

100 90

) 10 % ( o ã ç 8 a r f a n

) % (

80 70

o d a 60 l u m 50 u c a e 40 t n a 30 s s a P 20

6

m e g a t n 4 e c r e P 2

10 0 0.01

0 0.1

1

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tamanho de pa rtícula (mm)


100

100

90

70 60 50

80

) % (

) % (

70

o d a60 l u m50 u c a 40 e t n a30 s s a P20

40 30

o 20 d a l u m 10 u c a 7 e 6 t 5 n a 4 s s 3 a P 2

10 0 0.01

1 0.1

1

Tamanho de partícula (mm)

10

0.01

0.1

1

10


Figura 2.1 Métodos de representação gráfica de dados de distribuição granulométrica (as duas abaixo são Rosin-Rammler à esquerda e Log-Normal à direita) 15



Diferentes sistemas de coordenadas têm sido empregados com o intuito de tornar o gráfico da função de distribuição o mais próximo de uma linha reta. O eixo de tamanhos de partícula (abcissa) é normalmente lançado em gráfico em escala logarítmica. A escala das ordenadas irá depender da função de distribuição a ser usada na representação dos dados: seja log-log, log-normal ou Rosin-Rammler. Papéis gráficos e programas computacionais apropriados encontram-se disponíveis para esse propósito (Figura 2.1). As aberturas em uma série padrão Tabela 2.2 Aberturas de telas de peneiras variam como uma progressão padronizadas geométrica porque a experiência tem mm Tyler ASTM ABNT (EB 22-R) mostrado que tal classificação irá resultar 101,6 4” em quantidades aproximadamente 88,9 3 ½” equivalentes de sólidos em cada uma das 76,2 3” 76 peneiras em uma análise de tamanhos. 63,5 2 ½” Dessa maneira, cada abertura de peneira é 50,8 2” 50 44,4 1 ¾” um fator constante maior que a anterior 38,1 1 ½” 38 (Tabela 2.2). Fatores de 4 2 ou 2 são 31,7 1 ¼” normalmente utilizados. As aberturas da 25,4 1” 25 malha em tal série irão ser lançadas em 19,1 ¾” 19 15,9 5/8” gráfico como pontos eqüidistantes em uma 12,7 ½” escala logarítmica (Figura 2.1). 9,52 3/8” 9,5 Embora a função acumulada de 7,93 5/16” distribuição P(dp) seja perfeitamente bem 6,35 ¼” definida e adequada à medição direta no 5,66 3,5 3 4,76 4 4 4,8 laboratório, a mesma não é diretamente útil 4,00 5 5 para a modelagem de operações de 3,36 6 6 processamento mineral. Para esse 2,83 7 7 propósito a função de densidade é 2,38 8 8 2,4 utilizada. A função densidade de 2,00 9 10 2 1,68 10 12 distribuição de tamanhos de partícula 1,41 12 14 pi(dp) é definida como: Di −1

pi (d p ) =

∫ dP (d

p

) = P (Di −1 ) − P (Di ) = ΔPi

Di

(2.1) que corresponde à fração em massa da população de partículas com granulometria entre Di-1 e Di. pi(dp) é chamada a distribuição densidade discreta. Freqüentemente o argumento dp é omitido sem risco de confusão. Δd p = Di −1 − Di é a largura da classe e não é normalmente constante, mas varia de acordo com o tamanho. A largura finita da classe de tamanhos definida por Δd p é muito importante no desenvolvimento das técnicas de modelagem. A idéia de uma classe de tamanhos em particular é central

1,19 1,00 0,850 0,710 0,590 0,500 0,425 0,350 0,297 0,250 0,212 0,177 0,149 0,125 0,125 0,088 0,074 0,063 0,053 0,044 0,037

14 16 20 24 28 32 35 42 48 60 65 80 100 125 150 170 200 250 270 325 400

16 18 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 100 120 140 170 200 230 270 325 400

1,2

0,6 0,42 0,30

0,15 0,075

16



no desenvolvimento de procedimentos de modelagem. A classe de tamanhos (ou granulométrica) representa todas as partículas da população que apresentam tamanho dentro dos limites dp e dp+Δdp. É costume designar os limites da classe por meio de subscritos, a fim de distingui-los claramente. Eles serão sempre designados pelo símbolo Di, o qual indica o limite inferior da classe de tamanhos i, ou simplesmente a abertura da peneira. Dessa maneira, a população inteira é conceitualmente classificada dentro de classes, cada qual definida pelos seus limites superior e inferior. Convenciona-se utilizar o número das classes de tamanhos maiores a menores, ou seja, Di >= Di +1 . A classe correspondente às partículas mais grosseiras (“top size”) possui apenas um limite D1 e inclui todas partículas que possuem granulometria maior que D1. O conceito de classes de partículas efetivamente torna possível formular modelos para sistemas na metalurgia extrativa por meio da descrição do comportamento de classes de partículas, ao invés do comportamento de partículas individuais. Um tamanho representativo é associado a cada classe de tamanhos e assume-se que todas partículas na classe irão se comportar em nossos sistemas de processamento como se elas tivessem o mesmo tamanho. Para que essa descrição seja o mais próximo o possível da realidade, é necessário que as classes granulométricas sejam suficientemente estreitas. Em geral, uma progressão de peneiras com razão 2 é a maior que pode ser normalmente usada com segurança. 2.1.2 Distribuições empíricas Várias funções de distribuição empíricas têm sido propostas para representar, com precisão, a distribuição de tamanhos de muitas populações de partículas. Essas são úteis em um número de situações. As mais freqüentemente utilizadas são: Distribuição de Gaudin-Schuhmann : α

⎛ d ⎞ P (d p ) = ⎜⎜ p ⎟⎟ para d p <= Do ⎝ Do ⎠

(2.2)

Distribuição de Rosin-Rammler : P (d p ) = 1 − exp − (d p / d p* )α

(2.3)

Distribuição de Gaudin-Meloy: P (d p ) = 1 − (1 − d p / Do )n

para d p <= Do

(2.4)

Distribuição de Harris : n

s ⎡ ⎤ para P ( d p ) = 1 − 1 − ( d p / Do ) ⎣⎢ ⎦⎥

d p

<= Do

(2.5)

Distribuição Log-normal:

⎛ ln(d p / d p* ) ⎞ 1 x t2 / 2 ⎜ ⎟ P (d p ) = G ⎜ (2.6) ⎟ onde G( x ) = 2π ∫ e dt σ −∞ ⎝ ⎠ A função G é chamada de função de distribuição Gaussiana ou Normal. Ela está tabulada em qualquer livro de estatística e é relativamente fácil obter valores

17



dessa função. Nessa distribuição o parâmetro d p* é o tamanho de partícula para o qual P( d p* ) = 0,5. Ele é chamado tamanho mediano. Com a exceção da distribuição de Harris, as demais distribuições acima apresentam apenas dois parâmetros, podendo ser ajustados facilmente para descrever dados de distribuição granulométrica obtidos experimentalmente no laboratório. As funções empíricas de distribuição possuem propriedades geométricas interessantes, as quais podem ser exploradas na prática. A distribuição de Gaudin-Schuhman pode ser transformada para log[P (d p )] = α log(d p ) − α log(Do )

(2.7)

a qual mostra que um gráfico de P(dp) em função de dp em coordenadas log-log irá resultar em pontos experimentais perfeitamente alinhados, caso os dados sigam a distribuição Logarítmica. A distribuição de Rosin-Rammler pode ser transformada para

⎛ 1 ⎞ ⎟ = α ln(d p ) − α ln(d p* ) ln ln⎜⎜ (2.8) ⎟ 1 ( ) − P d p ⎠ ⎝ A Equação (2.8) mostra que um gráfico do logaritmo duplo (log-log) recíproco em função do logaritmo de dp irá produzir pontos também perfeitamente alinhados, desde que os dados sigam a distribuição de Rosin-Rammler. Este sistema de coordenadas é denominado de Rosin-Rammler. A distribuição de Gaudin-Meloy pode ser transformada em log 1 − P (d p ) = n log(Do − d p ) − n log Do

(2.9)

Nesse caso, dados experimentais irão formar uma linha reta no sistema de coordenadas log-log se lançadas em gráfico como 1 − P (d p ) contra Do − d p . Para preparar tal gráfico é necessário saber o valor de Do previamente, o que representa uma desvantagem dessa distribuição. A distribuição Log-Normal pode ser transformada usando a função inversa H(G) da função G. A função inversa é definida de maneira que então x = H (g ) G( x ) = g Da Equação (2.6) tem-se H [P (d p )] =

ln(d p / d p* ) σ

(2.10)

e um gráfico de H P (d p ) em função de dp se aproximará de uma reta. 2.1.3 A função densidade de distribuição Em grande parte do trabalho de modelagem teórica é conveniente trabalhar com uma função que seja derivada da função acumulada de distribuição por diferenciação. Consideremos x com qualquer característica de interesse da partícula. Então, P(x) é a fração mássica da população de partículas que consiste de partículas que possuem um valor da característica menor ou igual a x. A função de distribuição de densidade p(x) é definida por

18



dP ( x ) (2.11) dx A função densidade discreta de distribuição definida pela Equação (2.1) é relacionada à função densidade contínua por p( x ) =

Di −1

pi (d p ) =

∫ p(d

p

)dd p

Di

(2.12)

= P (Di −1) − P (Di ) Uma relação integral importante é ∞

∫ p( x )dx = P(∞) − P(0) = 1

(2.13)

0

a qual reflete que a soma de todas as frações é igual a um.

2.1.4 Tamanhos representativos e médias da população Freqüentemente, é útil termos valores médios para qualquer característica, com a média sendo tomada sobre todos os indivíduos da população. O valor médio de qualquer propriedade característica é dado por 1 x= MT

N

∑m

(i )

xi

(2.14)

i =1

Na Equação (2.14) MT representa a massa total de material na população e m a massa de partículas no grupo i que possuem valor representativo xi. A razão m ( i ) / MT é a fração em massa de partículas no grupo i e isso é relacionado à função de distribuição (i)

m(i ) = P ( xi +1 ) − P ( xi ) = ΔPi MT

(2.15)

N

x = ∑ xi ΔPi i =1 N

(2.16)

= ∑ xi pi ( x ) i =1

No limite, à medida que as larguras dos grupos diminuem até zero, essa equação se torna 1

x = ∫ xdP ( x ) 0

∞

(2.17)

= ∫ xp( x )dx 0

De maneira análoga, a variância da distribuição pode ser obtida por ∞

2

σ

= ∫ ( x − x )2 p( x )dx

(2.18)

0

19



A fim de tornar possível a descrição do comportamento de partículas, é apresentado o conceito de tamanho representativo para cada classe. Um tamanho representativo para a classe de tamanhos i é definido por Di − 1

d pi =

∫ d p(d p

p

)dd p

Di

Di − 1

=

∫ d dP(d p

p

(2.19)

)

Di

que pondera as partículas individuais na classe pela massa. Essas duas definições de tamanho representativo exigem que a função de distribuição de tamanhos seja conhecida antes que o tamanho representativo seja estabelecido. Em muitas circunstâncias isso não é possível, uma vez que é mais conveniente ter as classes de tamanhos juntas com os seus tamanhos representativos definidos independentemente da distribuição de tamanhos. O procedimento normalmente empregado para evitar isso consiste do uso da média geométrica dos limites inferior e superior do tamanho representativo com o auxílio da equação d pi = Di Di −1

(2.20)

Na última classe de tamanhos é comum usar a média aritmética ( d pN = DN / 2 ). Uma ilustração da notação utilizada para tamanhos representativos, aberturas de peneiras e designação de classes granulométricas é dada na Figura 2.2.

Figura 2.2 Arranjo de classes de tamanhos, tamanhos representativos e aberturas de peneiras ao longo do eixo de tamanhos. 2.2 2.2 Form Form ato de partícu la

Embora, em geral, especificações com respeito ao tamanho sejam mais rigorosas do que aquelas com relação à forma, alguns formatos de partículas são importantes em diversas aplicações. Exemplos são a produção de brita e areia para uso como agregado na produção de concreto – no qual partículas isométricas são preferidas uma vez que resultam em uma maior resistência do concreto – e a produção de abrasivos – caso em que partículas altamente irregulares são ideais. O formato da partícula afeta significativamente diversas propriedades do material, como a área superficial, a densidade aparente e o comportamento da partícula em um fluido. Freqüentemente descrições qualitativas como acicular (em formato de agulha), angular (com pontas agudas), fibroso, tabular , irregular (sem qualquer simetria), granular (com (com formato irregular, mas equidimensional), esférico, etc, são 20



usadas, mas se tornam inadequadas quando uma descrição matemática é necessária. No caso de partículas irregulares, podemos definir o fator de forma pela razão entre o volume médio das partículas em uma amostra e o cubo do diâmetro da partícula v p = β d p3 =

π

3 d pe

(2.21) 6 onde dp e dpe são os tamanhos representativos das partículas medidos por peneiramento e o equivalente, respectivamente. Para partículas perfeitamente esféricas, β = 0,524 ; para partículas cúbicas, β = 0,7 ; e para partículas de formato tabular ou acicular, o fator de forma é tipicamente inferior a 0,5. Uma outra designação do formato de uma partícula muito utilizada é a esfericidade, dada por 2 Area superficial da esfera de mesmo volume π d pe ψ = = ap Area superficial da particula

(2.22)

Evidentemente = 1 para partículas esféricas, sendo da ordem de 0,8 para partículas arredondadas, e entre 0,5 e 0,7 para partículas resultantes de moagem (Kelly & Spottiswood, 1982). 2.3 Composição

2.3.1 Aspectos gerais A composição mineralógica das partículas em operações de processamento mineral normalmente varia de partícula para partícula. Isso é de importância fundamental em qualquer processo físico de separação de materiais particulados. O objetivo primordial de processos de concentração mineral é a separação de materiais com relação à sua composição mineralógica, a fim de produzir concentrados que contêm uma abundância relativa de um mineral desejado. O objetivo da cominuição é a separação física dos minerais por fragmentação. Infelizmente, com exceção de casos muito favoráveis, os minerais não se separam perfeitamente, e muitas partículas irão sempre conter uma mistura de duas ou mais espécies minerais. Algumas partículas, entretanto, compostas por somente um mineral, também poderão se encontrar presentes. Essas são chamadas perfeitamente liberadas . A quantidade do mineral que está liberado é uma função muito complexa da estrutura cristalina e da textura mineralógica do minério e da interação entre essas características e o padrão de fratura durante a cominuição. Exemplos de jazimentos onde os minerais já se encontram liberados são os depósitos aluvionares e de praias. Minerais freqüentemente encontrados nestes depósitos incluem cassiterita, ouro e platinóides, diamantes, minerais de titânio (como rutilo e ilmenita), zircão, minerais de terrras-raras, entre outros. Dentre os principais minerais de ganga encontrados nesse tipo de depósito estão o quartzo, a calcita (na forma de conchas), argilas, granadas, e vários óxidos de ferro. Em geral, os minérios consistem de rochas resistentes e competentes, nas quais os grãos minerais encontram-se firmemente aderidos uns aos outros. A 21



única maneira comercialmente empregada para a liberação destes materiais na indústria é a aplicação de grandes quantidades de energia mecânica em britadores e moinhos, resultando na produção de partículas finas, as quais apresentam maior probabilidade de se encontrarem liberadas. A facilidade (ou dificuldade) com que os minerais de interesse são liberados dos de ganga é determinada tanto pelas características morfológicas e mecânicas do material, quanto pelo modo de aplicação das cargas mecânicas e da propagação de trincas. O tamanho, a forma e os intercrescimentos dos grãos são as características morfológicas e texturais mais importantes (King, 1982). Com relação às propriedades mecânicas, se destacam: a coesão interna dos grãos, de grãos entre si (e, portanto, das interfaces) e a sua tenacidade, assim como a proporção dos minerais presentes. O mineral mais abundante normalmente se encontra mais facilmente liberado que aquele em menor proporção (Kelly e Spottiswood, 1982). 2.3.2. Modos de fratura A facilidade com que as fases são liberadas depende fundamentalmente do modo de fraturamento dominante. Três tipos principais de fraturas podem ocorrer (ver Figura 2.3): • Fratura intergranular; • Fratura preferencial ou diferencial; • Fratura aleatória (normalmente transgranular).

Fratura intergranular

Fratura aleatória

Fratura diferencial

Figura 2.3. Modos de fratura (modificada de Clark et alii, 1995).

A ocorrência de um ou outro modo de fratura depende das características do material, assim como do processo de cominuição. Evidentemente, o tipo ideal de liberação é aquele em que a rocha é fragmentada ao longo das interfaces, entre os grãos dos minerais de interesse e os de ganga ( fraturas intergranulares). Isto permite, teoricamente, que uma liberação significativa do material seja atingida, tão logo o tamanho de partícula for menor que o tamanho dos grãos minerais. Alguns materiais apresentam maior suscetibilidade ao fraturamento intergranular que outros. Este é o caso de materiais cuja coesão interna dos grãos é significativamente superior à dos grãos entre si. Exemplos são minérios que apresentam planos de estratificação, como é o caso de alguns 22



carvões e minérios de ferro. Entretanto, a fim de garantir que esta suscetibilidade natural se reverta em uma liberação maciçamente intergranular, é necessário que um processo adequado de cominuição seja empregado. Exemplos de processos de cominuição que reconhecidamente favorecem a fratura intergranular são a moagem autógena (Wills, 1988) e a moagem com prensa de rolos (Patzelt et alii, 1995). Entretanto, é improvável que estes processos sejam capazes de promover liberação intergranular em materiais cuja coesão interna dos grãos não seja significativamente superior a dos grãos entre si. Um outro modo de fratura, denominado fratura diferencial , está associado à fragmentação de materiais cujos constituintes apresentam diferenças significativas de tenacidade. Exemplos são alguns minérios de chumbo e zinco, e carvões, nos quais a fase de interesse apresenta tenacidade significativamente inferior à da ganga. Este princípio é empregado na cominuição (e beneficiamento) no Trommel de Bradford, que consiste de uma peneira circular rotativa, empregada amplamente no beneficiamento de carvão (Pryor, 1965; Wills, 1997). Em geral, o modo de fratura mais comum na liberação de minerais na indústria é a fratura tr ansgranular. O predomínio deste modo de fratura resulta na necessidade de moagem intensa, para que se atinja a liberação adequada do mineral de interesse, particularmente quando este se encontra menos abundante. 2.3.3. Textura, distribuição de tamanhos de grãos e malha de liberação A liberação do mineral de interesse e da sua ganga também está estreitamente relacionada à complexidade textural da rocha mineralizada (King, 1982). A textura diz respeito à estrutura do minério não-fragmentado e às relações espaciais entre os seus vários componentes mineralógicos (tamanho e formato de grãos, área superficial e associações minerais). Agregados de minerais intimamente intrincados e que apresentam grãos de formato alongado são normalmente de difícil liberação, enquanto materiais que apresentam uma textura mais aberta e grãos com formato mais isométrico são, comparativamente, de mais fácil liberação. A distribuição de tamanhos de grãos, assim como o modo de fratura, influencia diretamente a malha de liberação do minério. As malhas de liberação do mineral de interesse e da ganga representam os tamanhos de partícula nos quais ocorre uma liberação significativa de cada uma dessas fases. Evidentemente, minerais que ocorrem na forma de grãos mais grossos, e que se encontram mais abundantes, são liberados mais facilmente e a granulometrias mais grossas, que aqueles que apresentam grãos finos e que se encontram em menor quantidade no minério. Com a exceção de quando o fraturamento é maciçamente intergranular – situação na qual a malha de liberação da fase menos abundante coincide com o tamanho do grão – a malha de liberação é normalmente muito menor que os tamanhos de grãos (Kelly e Spottiswood, 1982). Embora apresente enorme relevância durante a liberação dos minerais, a textura não exerce qualquer influência, por si só, sobre o comportamento do material durante a separação gravimétrica propriamente dita. Isto se deve ao fato de que processos de concentração que se baseiam em características volumétricas do material (como densidade, massa, susceptibilidade magnética, etc.), somente fazem distinção de partículas com base na sua composição e não com base nas suas características superficiais, como é o caso da flotação, da separação eletrostática e da lixiviação.

23



2.3.4. Grau e espectro de liberação As informações que determinam mais diretamente as características de liberação de materiais são o espectro e o grau de liberação. Grau de liberação (Gaudin) O grau de liberação corresponde à proporção de um determinado mineral de interesse, que se apresenta na forma de partículas livres em uma amostra. Um método expedito para a estimativa do grau de liberação, proposto por Gaudin (1939), consiste da inspeção de partículas contidas em seções polidas usando um microscópio óptico de luz refletida. Atribuindo valores que variam de 0 a 10 para partículas que apresentam teores do mineral de interesse que variam de 0 a 100%, o grau de liberação do mineral de interesse pôde ser estimado por (Góes et alii, 1998): Grau de liberação =

Soma dos índices de liberação das partículas livres do mineral de interesse Soma dos índices de liberação de todas as partículas amostradas

Devido à sua relativa facilidade de utilização, este método ainda encontra aplicação em análises de rotina, especialmente em algumas usinas. Dentre as suas limitações, entretanto, estão a subjetividade e o caráter tedioso e repetitivo das medidas, além do fato de superestimar a proporção real de partículas liberadas (como qualquer medida em seções polidas). Espectro de liberação Não somente é de interesse o conhecimento da proporção de partículas livres de mineral de interesse presentes no minério, mas também da distribuição completa de composição de partículas, que inclui as partículas mistas e as de ganga liberada. A medida desta distribuição – chamada de espectro de liberação – é normalmente realizada por meio de análise de imagens de microscopia (King, 1994). Em essência, a preparação da amostra e as informações medidas (distribuições lineares e planares dos componentes) são as mesmas que aquelas usadas na análise mineralógica modal. Para o caso da medida de interceptos lineares, o espectro de liberação (aparente) representa a distribuição das razões entre os interceptos que atravessam a fase de interesse, e o comprimento do intercepto que cruza ambas as fases. Na análise modal, medidas realizadas em uma e duas dimensões são diretamente equivalentes àquelas realizadas em três dimensões. Por outro lado, na análise da composição de partículas individuais, bem como do tamanho de partículas e de grãos, as medidas realizadas usando informações obtidas em uma, duas e três dimensões não são necessariamente equivalentes entre si. Dessa forma, a interpretação espacial das informações uni e bidimensionais, extraídas de seções de amostras minerais, somente pode ser realizada de maneira rigorosa pelo uso de procedimentos estereológicos, os quais têm sido desenvolvidos nas últimas décadas (Sepulveda et alii, 1985; King, 1994). Uma comparação dos espectros de liberação aparentes e dos volumétricos após a transformação estereológica é mostrada na Figura 2.4. O grau de liberação pode ser facilmente calculado uma vez que o espectro de liberação seja conhecido.

24



Densidade relativa 2.65

3.16

1.0

3.67

4.18

4.69

5.20

0.8

a d a l u m u0.6 c a o ã ç i u0.4 b i r t s i D

0.2 Espectro de liberação linear Espectro de liberação volumétrico

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Teor linear ou v olumétrico

Figura 2.4. Comparação entre o espectro de liberação aparente (linear) e o real (volumétrico), para partículas de 0,5 x 0,425 mm de um minério binário (pirita/quartzo) (modificado de King et alii, 1993).

A dispersão dos grãos dos minerais valiosos e de ganga em materiais não completamente liberados determina a distribuição de importantes propriedades que influenciam o comportamento dos materiais nos processos de concentração. No caso do beneficiamento gravimétrico, a liberação incompleta causa o aparecimento de partículas com densidades que podem variar desde aquela do mineral constituinte mais leve até aquela do mineral mais denso no minério. Este espectro contínuo de densidades do material – também chamado de distribuição densimétrica – é de grande utilidade para determinar se a separação gravimétrica terá sucesso no beneficiamento de um material, e que tipo de processo é mais adequado na separação. A composição mineralógica de uma partícula pode ser definida sem ambigüidade como a composição fracional da partícula em termos dos componentes minerais individuais de interesse. Geralmente mais que uma espécie mineral deve ser considerada, de modo que a composição mineralógica é descrita pelo vetor g de frações minerais. Cada elemento do vetor g representa a fração mássica do correspondente mineral na partícula. O número de elementos no vetor é igual ao número de minerais, incluindo minerais de ganga. Dessa maneira, uma partícula composta por 25% de calcopirita em massa, 35% de esfalerita e 40% de ganga deve ser descrita pelo vetor de fração mineral g = (0,25; 0,35; 0,40). Essa é uma partícula não-liberada, também denominada mista. Um número de classes discretas de frações minerais pode ser definido. O intervalo de cada fração, ou seja, o intervalo de cada componente do vetor g , deve ser especificado para cada classe de partículas. A distribuição discreta de densidade pode ser definida como antes (2.1.3). Classes especiais existem relativas às frações minerais localizadas nos extremos dos limites de composição. Em operações de tratamento de minérios é r

r

r

25



comum trabalhar com populações de partículas que possuem uma parte do mineral totalmente liberado. Dessa maneira, uma certa proporção da população pode apresentar uma fração de um componente mineral (teor) exatamente igual a zero. Analogamente, uma certa proporção dessa população também pode apresentar teor igual a 100%. Essas classes especiais apresentam larguras de classe iguais a zero. Se apenas um mineral de interesse é considerado como de importância, g é escalar e a função de distribuição P(g) Figura 2.5 Funções de distribuição de teores para passa a apresentar a forma uma população contendo partículas completamente mostrada na Figura 2.5. liberadas e não-liberadas.(gv = 0,3) A seqüência mostrada na Figura 2.5 poderia representar uma crescente redução do tamanho de partícula em um minério (de cima para baixo). A concentração de partículas nas duas classes extremas que representam, respectivamente, a ganga totalmente liberada e o mineral de valor é representada por degraus de descontinuidade nas funções de distribuição. Note que (analogamente à Eq. 2.17), o teor do mineral no minério pode ser calculado por 1 gv = ∫0gv p(gv )dgv (2.23) Modelo de liberação de Wiegel Em geral, os processos geológicos responsáveis pela formação da maior parte das rochas produzem agregados minerais com forte ligação intergranular. O fraturamento da rocha não mais é preferencial, como na liberação por descolamento, mas essencialmente aleatório. O resultado é a presença maciça de fraturas através dos grãos minerais, chamadas transgranulares . Uma característica desse tipo de liberação é que uma quantidade substancial de partículas liberadas do mineral presente em menor concentração (fase dispersa) somente é obtida quando as partículas são fragmentadas a granulometrias substancialmente abaixo do tamanho médio de grão. A fim de estudar melhor esse fenômeno, e desenvolver a liberação resultante da fratura transgranular, Wiegel (1975) desenvolveu um modelo teórico simples que considera a partícula como um agregado tridimensional de grãos cúbicos de mesmo tamanho dg distribuídos aleatoriamente na partícula. As equações são dadas abaixo:

26



(K − 1)3 (1 − gv ) + 3(K − 1)2 (1 − gv )2 + 3(K − 1)(1 − gv )4 + (1 − gv )8 p(0) = K3 3 p(0) = 10(1 / K +1) log(1− g v ) paraK < 1,0 (K − 1)3 gv + 3(K − 1)2 gv2 + 3(K − 1)gv4 + gv8 p(1) = K3 3 p(1) =10(1 / K +1) log g v paraK < 1,0

paraK ≥ 1,0 (2.24)

paraK ≥ 1,0

sendo que K=dg/dp e gv e dg são a fração volumétrica e o tamanho médio de grão da fase dispersa na alimentação, respectivamente. A fração volumétrica de partículas que permanecem mistas (não liberadas, contendo partes do mineral e da ganga) pode ser simplesmente calculada por diferença p(0 < g < 1) = 1 − p(0) − p(1) (2.25) A fração de um componente mineral que se encontra liberada pode ser calculada dividindo 1.0 p(0) ou p(1) pelos seus 0.9 respectivos teores Fase contínua 0.8 volumétricos no p(0)/(1-g v ) minério. Fase dispersa 0.7 a p(1)/g v A partir das Eqs. d a r 0.6 e (2.24) pode-se estimar b i l as curvas de liberação ã o 0.5 ç da Figura 2.6. A a r 0.4 F análise dessa figura 0.3 indica que: 0.2 • O mineral mais abundante (fase 0.1 contínua) 0.0 encontra-se 0.01 0.1 1 10 sempre mais Tamanho do partícula/tamanho de grão - d p /dg - 1/K liberado que o Figura 2.6 Fração liberada de ganga ( p(0)) e de mineral mineral menos minério (p(1)) em uma mistura binária contendo 5% de abundante (fase mineral minério. dispersa). • Nada do mineral menos abundante encontra-se liberado até que o tamanho de partícula seja menor que o tamanho do grão. • Para o mineral menos abundante seja liberado substancialmente o tamanho de partícula deve ser significativamente menor que o tamanho do grão. • Se existe uma proporção muito pequena de mineral de valor (o que é freqüente para diversos minérios), o outro mineral (ganga) encontra-se substancialmente liberado quando o tamanho de partícula é maior que o tamanho do grão.

27



Além disso, com base nas Equações (2.24) pode–se também concluir que o grau de liberação do mineral menos abundante é essencialmente independente do teor do minério. 2.4 Propri edades derivadas

As coordenadas internas de uma partícula devem ser suficientes para descrever todas características significativas da partícula. Em muitas situações é necessário obter algumas quantidades derivadas. Alguns exemplos são: o teor de metal a partir da composição mineralógica, a suscetibilidade magnética da partícula a partir da suscetibilidade dos minerais individuais, e o poder calorífico, matéria volátil e teor de cinzas de uma partícula de carvão a partir do teor de matéria mineral e composição macerálica. A densidade de uma partícula é uma propriedade derivada muito importante e notamos que ela é relacionada à composição por 1 ρ

=

g ρ m

+

1− g ρ g

(2.26)

onde ρ m é a densidade da fase mineral, ρ g é a densidade da fase ganga, ρ é a densidade da partícula e g é a fração mássica da fase mineral na partícula (teor) ou ρ =

gv ρ m + (1 − gv ) ρ g

(2.27)

onde gv é a fração volumétrica da fase mineral na partícula. Cabe ressaltar que as Equações (2.26) e (2.27) também são úteis na determinação da fração mássica (ou volumétrica) de cada espécie mineral em um minério binário quando a densidade é conhecida (pode ser facilmente medida por picnometria ou pesagem hidrostática). Bibliografia CLARK, K.N., FIRTH, B.A., LOCKHART, N.C., WAUGH, A.B., 1995. Integrated R&D on liberation, classification, beneficiation, dewatering and agglomeration. In: High Efficiency Coal Preparation (S.K. Kawatra, ed.), SME, pp. 23-44. KELLY, E.G., SPOTTISWOOD, D.J., 1982. Introduction to Mineral Processing. John Wiley & Sons. KING, R.P., 1992. Mineral Processing I: Class Notes, Department of Metallurgical Engineering, University of Utah. KING, R.P., 1994. Quantitative characterization of mineralogical texture by image analysis. In: Process Mineralogy XII – Applications to environment, precious metals, mineral beneficiation, pyrometallurgy, coal and refractories (W. Petruk e A.R. Rule, eds.), TMS. KING, R.P., SCHNEIDER, C.L., 1993. An effective SEM-based image analysis system for quantitative mineralogy, KONA Powder and Particle, vol. 11, pp. 165-177. PATZELT, N., KNECHT, H., BAUM, W., 1995. Case made for high-pressure roll-grinding in gold plants, Mining Engineering, june, pp. 524-529. SEPULVEDA, J.E., MILLER, J.D., LIN, C.L., 1985. XV International Mineral Processing Congress, Cannes, vol. 1, pp. 120-128. WIEGEL, R.L., 1975. Liberation in Magnetite iron formations, Trans. AIME/SME, Vol. 258, pp. 247256. WILLS, B.A., 1997. Mineral Processing Technology, 6 a edição, Butterworth-Heinneman.

28

Fluidodinâmica de partículas capítulo 3 Neste capítulo é inicialmente estudada a reologia de fluidos. Em seguida, é analisado o comportamento da partícula isolada durante a sedimentação em um fluido. Esta condição representa aquela em que a polpa (partículas mais fluido) é diluída e é denominação sedimentação livre. No final do capítulo também são estudados os casos em que interações entre partículas se tornam relevantes. Isto caracteriza o sistema denso e é denominado sedimentação retardada . 3.1. Princípi os de reolo gia

Fluidos são substâncias que sofrem deformações contínuas à medida que são sujeitas a esforços de cisalhamento. Reologia é a ciência dedicada ao estudo da deformação e escoamento de materiais deformáveis. Ela permite classificar fluidos de acordo com o seu comportamento, quando sujeitos a esforços de cisalhamento, em newtonianos e não-newtonianos. 3.1.1. Fluidos Newtonianos Isaac Newton foi o responsável por um dos primeiros estudos sobre o escoamento de fluidos. Ele considerou um modelo constituído por duas lâminas paralelas de mesma área A, separadas uma da outra por uma distância z, entre as quais encontra-se um fluido (Figura 3.1). Ao se aplicar uma força tangencial F sobre a lâmina superior, mantendo fixa a inferior, cada elemento do fluido percorre uma trajetória paralela às lâminas com velocidade constante. A velocidade dos diversos elementos do fluido varia de u , junto à lâmina superior, a zero, junto à lâmina estacionária inferior. Isaac Newton mostrou que a força F necessária para manter o movimento de cada camada paralela do fluido é dada por

Força

Área

F

A

Velocidade u

z

Figura 3.1. Definição de viscosidade

29

Fluidodinâmica de partículas

F


u

= μ , A z

(3.1)

que mostra que a força por unidade de área é proporcional à redução de velocidade na distância z. A constante de proporcionalidade μ é denominada coeficiente de viscosidade do fluido, ou simplesmente viscosidade. Expressando-se a equação 3.1 em uma forma diferencial e reconhecendo que = dF / dA S = du / dz , tem-se que = S, (3.2) sendo a tensão cisalhante e S a taxa de cisalhamento, também chamada de taxa de distensão, uma vez que representa o gradiente de velocidades normal ao esforço cisalhante aplicado. As unidades de e S são, respectivamente, o Pascal (Pa) e s-1 no Sistema Internacional (SI). Esta equação é a lei da viscosidade de Newton (Bird et alii, 1960), caracterizada pela proporcionalidade constante entre tensões e taxas de cisalhamento, como mostra a Figura 3.2.

o a m s t i c n g h i á l B p e o e u d ic o d t s s P P l á e t n a h l a s i c o ã s n e T

a o

a

o i a n n o w t e N t e n a t l a i D

a

Taxa de cis alhamento - S

Figura 3.2. Comportamentos reológicos de fluidos.

Fluidos Newtonianos são caracterizados por um valor constante da viscosidade, independente da variação da taxa de cisalhamento. Estes são os casos dos gases e de diversos líquidos, inclusive a água. Assim, a viscosidade é somente influenciada pela temperatura (Tabela 3.1) e pela pressão. No caso de gases (como o ar), a viscosidade aumenta com a temperatura, enquanto que em líquidos ela normalmente diminui com o aumento da temperatura. As unidades da viscosidade são o Pa.s (SI) e o Poise (P, g/cm.s) (CGS). Uma outra definição também usada na literatura é a da viscosidade cinemática, dada pela razão entre o coeficiente de viscosidade e a densidade do fluido.

30



Tabela 3.1. Influência da temperatura na densidade e viscosidade da água e ar a 1 atm de pressão (Bird et alii, 1960; Perry e Green, 1984). Temperatura Água Ar o ( C) Densidade Viscosidade Densidade Viscosidade 3 -3 (kg/m ) (x10 kg/ms)* (kg/m3) (x10-3 kg/ms) 0 1000 1,79 1,29 0,0172 20 998 1,00 1,20 0,0181 40 992 0,653 1,12 0,0191 60 983 0,467 1,06 0,0200 80 972 0,355 0,99 0,0209 -3 * 10 kg/ms = 1 cP (Centipoise) = 1 mPa.s Se, além da temperatura e pressão, a viscosidade também for influenciada pela taxa de cisalhamento ou pela duração dos esforços cisalhantes, então o fluido é classificado como não-Newtoniano. 3.1.2. Fluidos não-Newtonianos O principal grupo de fluidos não-Newtonianos é formado por aqueles cujas propriedades são independentes do tempo e da duração do cisalhamento, mas dependentes da taxa de cisalhamento 1. A principal propriedade que caracteriza o comportamento reológico destes fluidos – a viscosidade – depende da taxa de cisalhamento. A rigor, a denominação “viscosidade” não é adequada para fluidos não-Newtonianos, uma vez que ela está intimamente associada ao comportamento reológico de fluidos newtonianos (Equação 3.1). Definições alternativas, portanto, devem ser usadas para expressar a resistência ao escoamento de fluidos não-Newtonianos. A viscosidade plástica (também chamada de viscosidade diferencial) é dada pela declividade da curva reológica do fluido (Figura 3.2), sendo expressa por p

=

dτ . dS i

(3.3)

Alternativamente, a viscosidade aparente (ou efetiva) é dada pela razão entre as tensões e taxas de cisalhamento a

=

i

Si

,

(3.4)

sendo i e Si os valores das tensões e taxas de cisalhamento, respectivamente, correspondentes a um ponto do gráfico (ver Figura 3.2). Considerando a influência da taxa de cisalhamento tanto na viscosidade plástica quanto na aparente, qualquer referência a estes valores requer a identificação da taxa de cisalhamento à qual eles se referem. Dentre os principais tipos de fluidos que apresentam caráter nãonewtoniano e dependente da taxa de cisalhamento, estão incluídos os fluidos plásticos de Bingham, os pseudoplásticos e os dilatantes. Os fluidos plásticos de Bingham são provavelmente os fluidos que apresentam o caráter não-newtoniano mais simples. Eles diferem dos newtonianos apenas pelo fato de que a sua relação linear entre tensão de 1

Um outro grupo é formado pelos fluidos cujas propriedades são variáveis com o tempo. Esses são os casos dos fluidos tixotrópicos e reopéticos (Darley e Gray, 1988). 31



cisalhamento e taxa de cisalhamento não atravessa a origem (Figura 3.2). Estes fluidos se comportam como sólidos até que a tensão de cisalhamento exceda um certo valor crítico, acima do qual eles iniciam o seu escoamento. Um comportamento análogo ao de um fluido de Bingham é observado quando se aplica pressão a um tubo de pasta dentifrícia, que requer que uma pressão mínima seja exercida para que o movimento de saída do tubo inicie. Os fluidos pseudoplásticos representam o principal tipo de fluido nãonewtoniano encontrado em polpas. Ele resulta do fato de partículas sólidas entrarem em contato umas com as outras e formarem estruturas, quando em repouso ou sob a ação de baixas tensões cisalhantes. Com o aumento da taxa de cisalhamento, a estrutura formada gradualmente é destruída, causando uma redução da resistência ao escoamento. A curva reológica do fluido cruza a origem e curva-se convexamente em relação ao eixo de tensão de cisalhamento, aproximando-se a uma reta a altos valores desta (Figura 4.2). Normalmente, eles não apresentam uma tensão de escoamento como os fluidos plásticos de Bingham. Assim, se leituras de tensões tomadas a altas taxas de cisalhamento são extrapoladas até o eixo das ordenadas, pode aparentar que o fluido apresente um limite de escoamento similar ao fluido de Bingham. Em decorrência disto, estes fluidos são chamados de pseudoplásticos (Darley e Gray, 1988). Alguns fluidos pseudoplásticos, contudo, podem apresentar tensões cisalhantes críticas. Fluidos dilatantes apresentam comportamento reológico oposto ao dos pseudoplásticos (ver Figura 3.2), exibindo um aumento da viscosidade aparente com o aumento da taxa de cisalhamento. Este comportamento se deve ao efeito da dilatação da polpa, com o fluido sendo suficiente apenas para preencher os vazios resultantes da dilatação (Shaw, 1992). Com o aumento da taxa de cisalhamento é gerada uma instabilidade, que faz com que as partículas se movam umas em relação às outras, resultando na expansão da polpa. Uma vez que o fluido se torna insuficiente para preencher os novos vazios gerados, ocorre o aparecimento de forças de tensão superficial (Shaw, 1992). Fluidos dilatáveis, os quais não são tão comuns quanto os pseudoplásticos, são muito indesejáveis em equipamentos de processamento, uma vez que as viscosidades aparente e plástica do fluido aumentam significativamente com pequenas elevações da taxa de cisalhamento. Um modelo empírico que descreve uma variedade de comportamentos reológicos encontrados na prática é dado por (Darley e Gray, 1988) τ = τ o + κ S n , (3.5) na qual: • τ o é a tensão cisalhante crítica, que corresponde à tensão de cisalhamento mínima necessária para colocar o fluido em movimento. Ela é igual a zero para fluidos newtonianos, pseudoplásticos e dilatantes; • κ é o índice de consistência do fluido, sendo κ = μ a S 1−n para fluidos nãonewtonianos, e κ = μ para fluidos newtonianos; • n é o índice que depende do comportamento do fluido, sendo que n = 1 para fluidos newtonianos e plásticos e Bingham, n < 1 para fluidos pseudoplásticos e n > 1 para fluidos dilatantes. 3.1.3. Influência da presença de partículas na reologia de fluidos A reologia de uma suspensão é significativamente influenciada pela

32



presença de partículas sólidas. Via de regra, elas tendem a aumentar a viscosidade da suspensão e modificar o seu comportamento reológico, uma vez que não participam em quaisquer deformações do fluido (Heiskanen, 1993). O aumento da viscosidade do fluido na presença de sólidos se deve ao aumento das interações das partículas com o fluido e delas entre si. Isto ocorre devido ao choque destas partículas e da presença de forças atrativas que promovem a formação de agregados e flocos. Existe, em geral, uma relação direta entre a viscosidade e a concentração volumétrica de sólidos contidos em uma polpa. Albert Einstein provou que ela pode ser dada por μ a = μ (1 + 2,5φ ) . (3.6) Esta expressão é somente aplicável a polpas muito diluídas e que contêm partículas esféricas muito finas (regime de Stokes), nas quais as interações entre as partículas encontram-se ausentes. Diversas modificações empíricas têm sido propostas a esta equação para o caso de polpas mais concentradas, como por exemplo (Heiskanen e Laapas, 1979) μ a

= μ 1 + 2,5φ + 14,1φ 2 + 0,00273 exp(16,6φ ) .

(3.7)

A concentração de sólidos não é o único fator que influencia a viscosidade aparente de suspensões não-newtonianas. O tamanho e a forma das partículas, a sua distribuição (polidispersividade) e o potencial superficial também influenciam significativamente a viscosidade aparente da polpa. É conhecido, por exemplo, que suspensões polidispersas apresentam viscosidade aparente inferior àquelas de polpas monodispersas (Chong et alii, 1971). A presença de sólidos não influencia somente a viscosidade aparente do fluido, mas todo o seu comportamento reológico. Suspensões que contêm baixas concentrações de sólidos ou partículas esféricas maiores que 50 μm tendem a apresentar comportamento newtoniano (Kelly e Spottiswood, 1982). À medida que a concentração volumétrica de partículas aumenta, o fluido passa a apresentar comportamento não-newtoniano. O comportamento dilatável é normalmente associado a suspensões contendo altas concentrações de sólidos. Ele é decorrente do aumento de volume, que resulta da aplicação de esforços de cisalhamento à polpa contendo partículas de formato irregular. A tensão cisalhante crítica (fluidos de Bingham ou pseudoplásticos que apresentam tensão crítica) é também influenciada pela concentração de sólidos, além do tamanho, forma, área específica e densidade das partículas (Dabak e Yucel, 1987). Por fim, um modelo semi-empírico da reologia de polpas, que leva em consideração a concentração de sólidos, a distribuição de tamanhos e a temperatura, foi recentemente desenvolvido por Shi e Napier-Munn (1996). 3.2. Movimento d e partícul as em fl uido s

3.2.1. A equação do movimento A separação de partículas em equipamentos de concentração gravimétrica pode ser entendida como o resultado da transferência de quantidade de movimento do meio fluido para as partículas sólidas. Na prática, os processos de separação gravimétrica são baseados fundamentalmente nas diferenças de velocidades relativas das partículas no fluido que as transporta. A análise das 33



velocidades relativas entre a partícula e o fluido torna possível tratar, de maneira unificada, processos nos quais o fluido se encontra em repouso ou em movimento, como é o caso da sedimentação e da fluidização, respectivamente. Algumas definições importantes de velocidades podem ser introduzidas pela análise de uma partícula suspensa em um fluido em movimento, conforme mostra a Figura 3.3. u é a velocidade que o fluido apresentaria exatamente no centro de massa da partícula, caso ela não se encontrasse presente. Se w é a velocidade de translação da partícula, então a velocidade relativa partícula-fluido v é dada por v

= u −w

(3.8) u

v w

u

w

Figura 3.3. Ilustração das definições de velocidades utilizadas.

A Figura 3.3 ilustra graficamente a distinção que deve ser feita entre as velocidades da partícula e do fluido. Esta distinção deve ser realizada não somente em relação às velocidades, como também aos regimes de escoamento. Se, por exemplo, o fluido se encontra em escoamento laminar, as partículas não necessariamente também sedimentarão em regime laminar. Uma análise detalhada do regime de escoamento das partículas é realizada na seção 3.2.2. O movimento de uma partícula em um fluido incompressível é descrito pela equação de Navier-Stokes da mecânica de fluidos (Bird et alii, 1960), juntamente com as equações de conservação de massa do sistema, as quais devem ser resolvidas numérica- ou analiticamente. Para o caso em que o tamanho da partícula é pequeno, se comparado com as variações espaciais da velocidade do fluido2, é possível analisar o movimento desta partícula simplesmente a partir da segunda lei de Newton. A equação do movimento de uma partícula que se movimenta, a uma velocidade constante v , em regime laminar (Figura 3.3), em um fluido incompressível e newtoniano é dada por mp

∂v = F ∂t ∑

(3.9)

na qual mp é a massa da partícula, ∑ F é a resultante das forças que agem sobre o seu centro de massa e ∂v / ∂t é a aceleração do centro de massa da partícula. Algumas das forças que podem agir sobre a partícula são: • As forças de campo, que podem ser a gravitacional, a eletrostática ou a magnética; 2

Neste caso, a velocidade relativa da partícula-fluido v é também chamada de velocidade de aproximação, ou seja, a velocidade com a qual o fluido se aproxima da partícula. 34



• As forças inercial, centrífuga e de Coriolis (estas últimas em sistemas rotacionais); • A força de pressão, ou empuxo; • As forças difusivas; • As forças de contato: forças de interação e colisão de partículas entre si e de partículas com superfícies rígidas; • A força de resistência fluidodinâmica. Estas forças podem ser classificadas entre aquelas que são capazes de imprimir um movimento à partícula e as que se opõem a este movimento. As forças de campo e as inerciais – ambas chamadas de forças externas – encontram-se entre as principais forças capazes de imprimir aceleração à partícula. Dentre as várias forças que se opõem ao movimento da partícula, a principal é a força de arraste. As várias outras poderão tanto se opor quanto favorecer o movimento da partícula, dependendo do sistema em questão. Dentre as principais forças externas Fe que agem sobre o volume da partícula, citam-se: a gravitacional, a magnética e a inercial (no caso da força centrífuga), as quais podem ser representadas por sinteticamente Fe

= ρ sV p b ,

(3.10)

sendo b a intensidade do campo aplicado (Massarani, 1997), que corresponde a • g no caso da ação da gravidade (sedimentação gravitacional); • ω2r para o movimento em um campo centrífugo, onde é a velocidade angular do fluido e r é o raio de órbita da partícula; • (ω Ω) 2 r para o movimento de Coriolis, onde e são as velocidades angulares do fluido e r é o eixo instantâneo de órbita da partícula. A força de pressão que o fluido exerce depende do gradiente de pressões ao redor da partícula, o qual pode ser calculado usando a equação de NavierStokes da fluidodinâmica (Bird et alii, 1960). Ela é composta por uma componente dinâmica (Figura 3.4), a qual depende da velocidade do fluido u e da sua interação com o formato da partícula; e uma componente estática, chamada empuxo. O empuxo é expresso por Fb

= ρ f Vp b .

(3.11) Partícula em mo vimento

Partícula em repouso

o x u p m E

o x u p m E

u

Arras te de forma

Figura 3.4. Componentes da força de pressão agindo sobre uma partícula em repouso e em movimento.

35



A força de empuxo Fb , associada ao Princípio de Arquimedes, apresenta sentido oposto à força de campo e módulo igual ao peso de fluido deslocado pelo corpo. Esta força, assim como as forças de campo, atua sobre a partícula mesmo quando não existe qualquer movimento relativo entre ela e o fluido. A componente da força de pressão, associada ao movimento relativo da partícula-fluido (componente dinâmica), é de difícil descrição quantitativa. Devido à sua íntima relação com o formato da partícula, ela é mais adequadamente considerada como parte da força de arraste (especificamente ela corresponde ao arraste de forma), conforme é analisado detalhadamente em 3.2.2. As forças difusivas são normalmente de menor importância, exceto no caso de partículas coloidais, para as quais as contribuições aleatórias das colisões entre as moléculas do fluido (movimento Browniano) podem ser significativas. A transferência de quantidade de movimento de fluidos em escoamento turbulento pode, também, causar o aparecimento de forças difusivas (Schubert e Neese, 1973). As forças de interação entre as partículas e de partículas com superfícies rígidas (as quais incluem as forças de impacto, atrito e adesão) são, em geral, de difícil quantificação. A sua influência, portanto, no movimento de partículas em fluidos normalmente é determinada de uma forma empírica e indireta, seja pelo efeito da fração de sólidos na viscosidade aparente da polpa (seção 3.1), ou pelo seu efeito na velocidade de sedimentação de partículas (seção 3.2.5). A força de resistência fluidodinâmica, que é de grande relevância no movimento de partículas em fluidos, é analisada em maior detalhe a seguir. 3.2.2. Força de resistência fluidodinâmica A força de resistência fluidodinâmica pode ser decomposta em duas partes: a primeira, chamada de força de arraste, é aplicada na direção do movimento da partícula, e apresenta sentido oposto a este; a outra componente, denominada força de sustentação, apresenta direção perpendicular à velocidade relativa v (ver Figura 3.5). Esta componente, responsável pelo movimento oscilatório de partículas não-esféricas durante a sedimentação, é nula no caso de partículas esféricas em um fluido em repouso. A força de resistência fluidodinâmica tem sua origem em dois fenômenos básicos: o arraste superficial e o arraste de forma. Partícula Escoamento do fluido

Arr ast e superficial

d e o a ã r ç s s F o r e p

F o r s u ç a d p e e a r f i c t r i t i a o l

Arr aste d e forma Força de arraste resultante

Figura 3.5. Componentes da força de resistência fluididinâmica e de sustentação sobre uma partícula.

36



O arraste superficial , também chamado de resistência viscosa, representa o atrito resultante do escoamento do fluido sobre a superfície da partícula (Figura 3.5). Considerando-se que, dependendo do regime de escoamento, a partícula encontra-se envolta por uma camada do fluido, a qual se encontra estagnada mesmo enquanto a partícula se move (chamada de camada limite 3), o atrito então se deve ao cisalhamento de camadas de fluido umas contra as outras. A magnitude da resistência viscosa aumenta com a viscosidade do fluido e com a velocidade relativa entre a partícula e o fluido. Isto ocorre até a velocidade em que o fluido passa suavemente em torno da partícula. O segundo fenômeno responsável pela força de arraste é o gradiente de pressão, que se forma em torno da partícula em decorrência de seu movimento. Este efeito é responsável pelo arraste de forma, cuja denominação está relacionada à influência da geometria da partícula nesse gradiente. O arraste de forma se deve ao aumento de pressão, gerado na parte frontal da partícula à medida que ela se move através do fluido, e está intimamente relacionado com o escoamento em torno da partícula. Por outro lado, uma região com pressão relativamente baixa é formada imediatamente atrás da partícula. Essa perda de carga resulta na componente correspondente ao arraste de forma na força de arraste que o fluido exerce sobre a partícula. Tanto o arraste superficial quanto o arraste de forma variam com a velocidade relativa entre a partícula e o fluido e com a densidade do fluido. A força de arraste, que o fluido exerce sobre a partícula e que corresponde à soma das forças de arraste superficial e de forma (Figura 3.5), também é influenciada por uma série de fatores, incluindo (Massarini, 1997): • tamanho, forma e rugosidade da partícula; • gradiente de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula; • proximidade de superfícies rígidas e de outras partículas; • aceleração da partícula (no caso do movimento não-uniforme). Expressões analíticas, para o cálculo da força resistiva, somente encontram-se disponíveis para alguns tipos de movimento relativo entre a partícula e o fluido, e no caso da partícula apresentar geometria regular. Para o caso do movimento relativo uniforme entre partícula e fluido, sabese que, a força de arraste que o fluido exerce sobre uma superfície sólida, pode ser expressa pelo produto de um fator adimensional, da energia cinética por unidade de volume do fluido e de uma área característica,

⎛ 1 ⎞ FD = CD ⎜ ρ f v ∞2 ⎟ Ac , ⎝ 2 ⎠

(3.12)

sendo Ac a seção transversal da partícula na direção do movimento relativo; v ∞ a velocidade de aproximação da partícula isolada (em movimento uniforme em um fluido infinito); e CD um fator adimensional, denominado coeficiente de arraste. 3

A camada limite é definida como sendo a região na qual a velocidade relativa sólido-fluido varia de zero, na superfície do sólido, até 99% do seu valor máximo. Os efeitos viscosos estão presentes na camada limite (Bird et alii, 1960). 37



O grande volume de resultados experimentais de sedimentação e fluidização de partículas encontrado na literatura indica que o coeficiente de arraste depende, essencialmente, do regime de escoamento, da forma da partícula e da concentração de sólidos na polpa. Um número adimensional que efetivamente pode ser usado na caracterização do regime de escoamento é o número de Reynolds (Re), o qual representa a razão entre as forças inerciais e difusivas agindo no interior do fluido (seção 3.3). Embora ele tenha sido definido, originalmente, para a caracterização do escoamento de fluidos em tubos fechados, o número de Reynolds pode ser caracterizado para qualquer sistema de escoamento, pelo do emprego de uma característica apropriada como tamanho, velocidade, densidade ou viscosidade. Para uma partícula em movimento em um fluido, o número de Reynolds é dado por Re p =

d pv ∞ ρ f μ

.

(3.13)

A relação entre estes números adimensionais para partículas esféricas é mostrada na Figura 3.6. Os valores de CD e Rep, mostrados na figura, foram calculados a partir de medições de velocidades terminais de sedimentação de partículas esféricas de tamanhos conhecidos usando as Equações 3.13 e 3.24. Na Figura 3.6 é possível identificar pelo menos quatro regiões na relação entre o número de Reynolds e o coeficiente de arraste, que caracterizam diferentes regimes de escoamento:

104 )

D

C ( 103 e t s a 2 r r 10 a e d 101 e t n e i c 100 i f e o C -1 10

Regime de Stokes

10-2 10-2

10-1

Regime de Newton

10 0

101

102

103

104

105

106

Número de Reynolds da partícula (Rep) Figura 3.6. Relação entre o coeficiente de arraste e o número de Reynolds de partículas esféricas individuais. Os pontos experimentais foram obtidos de Lapple e Shepherd (1941).

38



Regime d e Stokes (Rep < 0,5)

Em baixas velocidades o movimento da partícula é suave, uma vez que a camada de fluido, diretamente em contato com a partícula (camada limite), se move juntamente a ela à medida que a partícula sedimenta, enquanto que o fluido a uma pequena distância encontra-se imóvel. Entre estas duas posições encontra-se, em torno da partícula em movimento, uma zona de intenso cisalhamento no fluido. As linhas de fluxo contornam totalmente a partícula à medida que passam por ela, caracterizando o regime laminar. Neste regime, existe uma simetria dos campos de velocidade e pressão em torno da partícula (ver Figura 3.6), de modo que a contribuição do arraste de forma é relativamente limitada (representa 1/3 da força de arraste – Bird et alii, 1960). A maior parte da resistência ao movimento se deve às forças de cisalhamento ou viscosidade do fluido (arraste superficial). Este regime é o único para o qual é possível determinar analiticamente uma expressão para a força de arraste a qual uma partícula é submetida no interior de um fluido. Considerando que a força de arraste, que age sobre a partícula esférica em movimento no fluido sob condições de baixo número de Reynolds ocorre devido às forças viscosas, resolveu-se analiticamente as equações de movimento e continuidade (equação de Navier-Stokes). Desconsiderando as forças inerciais tem-se (Bird et alii, 1960) FD = 3 π d p μ v ∞ .

(3.14)

Esta equação é conhecida como a lei de Stokes. Alternativamente, a mesma expressão também pode ser obtida a partir da observação de resultados experimentais. Conforme mostra a Figura 3.6 que estabelece a relação entre o número de Reynolds e o coeficiente de arraste, os pontos experimentais se aproximam de uma linha reta, com inclinação de 45 o em coordenadas logarítmicas para baixos números de Reynolds, representada por CD =

24 . Re p

(3.15)

Considerando que a área superficial de uma esfera projetada na direção perpendicular à velocidade é dada por Ac =

π d p2

(3.16) 4 que substituindo na Equação 3.12, juntamente a 3.15, obtém-se novamente a equação 3.14. Regime intermediário: 0,5
Para valores de Rep superiores a 0,5 ocorre um rápido aumento da influência das forças inerciais. A partir de um certo ponto, o fluido passa a não ser mais capaz de contornar suavemente a partícula durante o seu escoamento, como no escoamento no regime de Stokes. A partir de Re p em torno de 24, partes do fluido começam a se descolar das linhas de corrente (Clift et alii, 1978), formando vórtices, conforme é ilustrado na Figura 3.6. À medida que o número de Reynolds se aproxima do limite superior do intervalo (Re p = 103), esta região de

39



separação atinge a sua amplitude máxima. Para este regime, uma solução analítica da equação de Navier-Stokes não se encontra disponível, sendo necessário o uso de métodos numéricos ou aproximações empíricas. Diversas expressões têm sido propostas na literatura para este intervalo de números de Reynolds (Heiskanen, 1993). Regime d e Newto n: 103
A altas velocidades relativas, a principal resistência oferecida ao movimento da partícula se deve ao deslocamento do fluido pelo corpo da partícula (arraste de forma), uma vez que a resistência viscosa (arraste superficial) é relativamente pequena. Esta resistência é chamada de resistência turbulenta e caracteriza o regime potencial. As linhas de fluxo não são mais suaves e os vórtices deixados pelo fluxo turbulento formam uma esteira na parte posterior da partícula, como ilustra a Figura 3.6. O coeficiente de arraste de partículas esféricas varia de 0,4 a 0,5 no intervalo de números de Reynolds de 10 3 e 2x105 (ver Figura 3.6). Este intervalo é conhecido como o regime de Newton. Considerando-se que CD é aproximadamente constante (com erro inferior a 25% no intervalo) e independente do número de Reynolds, tem-se que a força de arraste pode ser estimada substituindo CD ≅ 0,44 na equação 3.13, sendo dada por FD = 0,055 π d p2 ρ f v ∞2 ,

(3.17)

a qual é válida apenas para partículas esféricas. Regime crítico e supercrítico: Re p ≥ 2 × 10 5

No número de Reynolds crítico ( 2 × 10 5 ) ocorre uma mudança abrupta na natureza do fluxo na camada limite, passando de laminar a turbulento. A turbulência na camada limite resulta, essencialmente, em uma maior troca de quantidade de movimento entre a partícula e o fluido ao redor, de modo que ele é suprido por energia cinética dessa corrente. Este intervalo, entretanto, é raramente de interesse em processos de classificação. Há mais de um século, pesquisadores têm procurado uma equação simples que descreva os dados mostrados na Figura 3.6, para um amplo intervalo de números de Reynolds. Diversas expressões que relacionam o coeficiente de arraste e o número de Reynolds têm sido propostas, porém a sua simplicidade e a qualidade do ajuste que conferem aos resultados experimentais varia significativamente (Almendra, 1979; Heiskanen, 1993; Massarani, 1997). Uma excelente correlação, que cobre os regimes de Stokes, intermediário e turbulento, foi originalmente proposta por Abraham (1970). Almendra (1979), mais tarde, demonstrou que esta equação pode ser obtida a partir da análise do escoamento em torno de uma esfera isolada, usando elementos da teoria da camada limite, assim como dados experimentais sobre a distribuição de pressões na superfície da esfera. Esta equação é dada por 2

⎛ 9,06 ⎞ C D = 0,28⎜1 + 1/ 2 ⎟ . ⎜ Re p ⎟ ⎝ ⎠

(3.18)

40



A equação descreve muito precisamente a relação entre números de Reynolds e coeficientes de arraste até Re p de 104, podendo ser usada para Rep de até 2 x 10 4, desde que erros de até 25% nas estimativas do coeficiente de arraste possam ser tolerados (Figura 3.7). 104

)

103

D

C

( e 102 t s a r r a 1 e 10 d e t n 0 e 10 i c i f e o -1 C10

10-2 10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

106

Número de Reynolds da partíc ula (Rep)

Figura 3.7. Relação entre o coeficiente de arraste e o número de Reynolds de partículas esféricas individuais. Pontos experimentais foram obtidos de Lapple e Shepherd (1941) e a curva representa a equação de Abraham (1970), modificada por Almendra (1979).

No caso do movimento acelerado de uma partícula, a força de arraste torna-se uma função complexa, sendo influenciada por diversos fatores. O único caso para o qual existe uma solução teórica corresponde ao movimento relativo de uma partícula esférica, que parte do repouso em um fluido inicialmente estagnado a baixos números de Reynolds (regime de Stokes). A força de arraste é dada por (Clift et alii, 1978) FD =

π d p3 ρ f

12

t

dv 3 dv dτ + 3π d p μ v (t ) + d p2 (πμρ f )1/ 2 dτ . dt 2 − τ t 0

∫

(3.19)

O primeiro termo à direita da igualdade fornece o valor da força resistiva que o fluido ideal em escoamento potencial exerce sobre a partícula; o segundo termo representa o resultado clássico de Stokes para o movimento retilíneo e uniforme de uma esfera em um fluido viscoso; e o terceiro termo evidencia a ação hereditária do fluido sobre a partícula, pois explicita o fato de que a força resistiva depende da história de aceleração da partícula. Para o caso de maior valores do número de Reynolds, que é de maior interesse no beneficiamento gravimétrico, existem somente extensões empíricas, conforme é apresentado na equação (Clift et alii, 1978)

41


FD = Δ A

π d p3 ρ f

12


2

t

π d p ρ f 2 dv 3 dv dτ v + Δ H d p2 πμρ f dτ , + CD dt 8 2 − τ t 0

∫

(3.20)

sendo Δ A e Δ H fatores empíricos de correção que levam em consideração as diferenças em relação ao regime de Stokes (sendo iguais a 1 nesse caso). 3.2.3. Movimento uniforme da partícula isolada Veloc idade terminal da partícula esférica isol ada

No caso mais elementar de uma partícula que se movimenta em queda livre no vácuo, na qual a única força de campo agindo sobre ela é a gravitacional, tem-se que a Equação 3.9 se torna simplesmente dv / dt = g , onde g é a aceleração da gravidade. Neste caso, a velocidade da partícula aumenta indefinidamente ( v = g t ), não dependendo de seu tamanho, forma e densidade. Se, ao invés do vácuo, a partícula se movimenta em um fluido viscoso como o ar ou a água, uma resistência a este movimento aparece, conforme é ilustrado na Figura 3.8. Linhas de fluxo

FD Fb Fe

Figura 3.8. Balanço das forças que agem sobre uma partícula.

Considere-se o caso de uma partícula isolada em movimento uniforme em uma dimensão no interior de um fluido infinito, que se encontra em repouso ou se desloca com velocidade uniforme. Este regime de sedimentação da partícula é conhecido como sedimentação livre. No caso em que somente uma força externa (de campo ou inercial) encontra-se presente, a Equação 3.9 se torna ρ sV p

∂v = ( ρ s − ρ f )V p b − FD , ∂t

(3.21)

sendo Vp o volume da partícula, ρ s a densidade, b a intensidade do campo 42



externo e FD a força de resistência hidrodinâmica. Uma partícula rígida, que sedimenta em um fluido viscoso, newtoniano e incompressível, com velocidade constante e uniforme u , acelera por um curto intervalo de tempo. À medida que esta partícula se move mais rapidamente, a força de arraste que o fluido exerce aumenta até entrar em equilíbrio com a força externa menos a força do empuxo resultante da imersão da partícula no fluido. Quando esta condição é atingida, a aceleração da partícula se torna nula ( ∂ v / ∂ t = 0) e a Equação 3.21 pode ser re-escrita como FD

= ( ρ s − ρ f )Vp b .

(3.22)

A velocidade relativa entre a partícula e o fluido que corresponde à condição de aceleração nula é denominada velocidade terminal . A solução da Equação 3.22 permite o cálculo da velocidade terminal relativa v ∞ da partícula, cuja magnitude é igual à velocidade terminal da partícula w ∞ em um fluido em repouso. A partir deste ponto, considera-se que o movimento da partícula seja em somente uma direção, o que permite que a representação vetorial seja suprimida. O volume de uma partícula esférica é dado por Vp =

π d p3

6

.

(3.23)

Substituindo-se as Equações 3.23, 3.16 e 3.22 em 3.12, tem-se

CD =

4( 3

s

− f ) b dp . 2 v f ∞

(3.24)

Esta equação somente apresenta solução explícita para os regimes de Stokes e Newton, conforme é mostrado a seguir. Velocidade terminal no regime de Stokes Substituindo-se a Equação 3.14 em 3.22, e considerando-se a partícula de formato esférico, a velocidade terminal de sedimentação no regime de Stokes é dada por ( ρ s − ρ f ) b d p2 v∞ = . 18 μ

(3.25)

O tamanho máximo de uma partícula esférica se movendo no regime de Stokes pode ser determinado, permitindo que a equação do número de Reynolds tenha o valor de 0,5 que resulta em ⎡ 9 2 d p,cr = ⎢ ⎣ b ( s − f )

⎤ ⎥ f ⎦

1/ 3

.

(3.26)

O limite inferior de aplicabilidade da lei de Stokes é imposto pelas forças difusivas relativas ao movimento Browniano. Estas forças se tornam importantes na análise do comportamento de partículas muito finas, como colóides, sendo de relevância muito limitada no beneficiamento gravimétrico. Velocidade terminal no regime de Newton Substituindo-se a Equação 3.17 em 3.22, a velocidade terminal de 43



sedimentação de partículas esféricas no regime de Newton é dada por ⎡ 3gd p ( ρ s − ρ f ) ⎤ v∞ = ⎢ ⎥ ρ f ⎣ ⎦

1/ 2

.

(3.27)

Esta equação mostra que a velocidade de sedimentação no regime de Newton independe da viscosidade do fluido. A Equação 3.27 é também conhecida como a lei de Rittinger da sedimentação, proposta empiricamente por Rittinger (1870) para a descrição da sedimentação de partículas minerais em água. Tamanhos críticos de partículas, relativos aos intervalos de aplicabilidade das leis de Stokes e Newton para materiais selecionados, são mostrados na Tabela 3.2. Estes resultados mostram que existe um intervalo intermediário de tamanhos de partículas – de fundamental importância para o beneficiamento gravimétrico – para o qual nenhuma das leis é capaz de estabelecer a relação entre tamanho de partícula e velocidade de sedimentação. Neste intervalo, equivalente a números de Reynolds entre 0,5 e 10 3, tanto a lei de Stokes quanto a de Newton produzem resultados imprecisos, superestimando o valor da velocidade de sedimentação da partícula. Tabela 3.2. Limites de aplicabilidade das leis de Stokes (Re p < 0,5) e de Newton (Rep > 103) e da equação de Abraham para materiais selecionados sob campo gravitacional. Carvão Quartzo Wolframita Meio Equação 3 3 1300 kg/m 2650 kg/m 7500 kg/m3 Ar Stokes <62 μm <48 μm <34 μm Newton >1,7 mm >1,3 mm >0,9 mm Abraham <8,1 mm <6,5 mm <4,6 mm Água

Stokes Newton Abraham

<150 μm >4,9 mm <20,4 mm

<88 μm >2,8 mm <11,6 mm

<53 μm >1,8 mm <7,3 mm

Infelizmente não é possível resolver diretamente as Equações 3.13 e 3.24 que definem CD e Rep, uma vez que ambas dependem tanto de v ∞ quanto do tamanho de partícula. Combinando-se, entretanto, estes dois números, em dois novos grupos adimensionais CD Re 2p e Re p / CD , que podem ser obtidos a partir das Equações 3.13 e 3.24, tem-se ⎡ 4( ρ s − ρ f ) ρ f b ⎤ 3 2 CD Re p = ⎢ ⎥d p 2 μ 3 ⎣ ⎦

(3.28)

e Re p ⎡ ⎤ 3 3 ρ f 2 =⎢ ⎥v . CD ⎣ 4( ρ s − ρ f )μ b ⎦ ∞

(3.29)

44



CD Re 2p é independente de v ∞ enquanto Re p / CD é independente de dp. Os

números adimensionais resultantes são chamados de diâmetro ( d p* ) e velocidade terminal adimensional ( v t* ) da partícula esférica, respectivamente, os quais são dados por d p*3 = CD Re 2p

(3.30)

e v ∞*3 =

Re p . CD

(3.31)

A fim de permitir o cálculo da velocidade terminal de sedimentação ou do tamanho de partícula, uma relação entre v ∞* e d p* precisa ser estabelecida. Almendra (1979) propôs um método baseado na equação de Abraham. Substituindo-se a expressão da equação de Abraham (Equação 3.18) na Equação 3.31 e reconhecendo-se que o número de Reynolds é dado por Rep = dp*v ∞* ,

(3.32)

que tem-se v ∞*3

=

d p* v ∞*

⎛ 9,06 ⎞ 0,28⎜1 + * * 1/ 2 ⎟ ⎜ (d p v ∞ ) ⎟ ⎝ ⎠

2

.

(3.33)

A multiplicação de ambos lados por v ∞* resulta em d p* ⎞⎟ 9,06 * 1/ 2 ⎛ * ⎜ v ∞ + *1/ 2 (v ∞ ) = ⎜ 0,28 ⎟ dp ⎝ ⎠

1/ 2

.

(3.34)

Esta é uma equação quadrática em v ∞*1/ 2 cuja solução é v ∞* =

2 20,52 *3 / 2 1/ 2 [ ] + − ( 1 0 , 0921 d ) 1 . p d p*

(3.35)

A Equação 3.35 pode ser usada no cálculo de v ∞* , desde que d p* seja conhecido. Analogamente, substituindo-se as Equações 3.18 e 3.32 em 3.30, tem-se 2

⎡⎛ 68,49 ⎞1/ 2 ⎤ d p* = 0,07 ⎢⎜⎜1 + *3 / 2 ⎟⎟ + 1⎥ v ∞*2 . ⎢⎝ v ∞ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

(3.36)

Um resumo das equações úteis para os cálculos de tamanhos de partículas e densidades é dado na Tabela 3.3.

45



Tabela 3.3. Equações para o cálculo da velocidade terminal de sedimentação da partícula esférica isolada. Velocidade terminal da Tamanho de partícula, dp partícula, v ∞ 1/ 2 Regime de Stokes ( ρ s − ρ f )bd p2 ⎡ 18 μ v ∞ ⎤ v∞ = dp = ⎢ Rep < 0,1 18 μ b ( ρ − ρ ) ⎥ ⎣

Regime de Newton Rep > 103 Método de Concha-Almendra (1979) Rep < 104

1/ 2

⎡ 3gd p ( ρ s − ρ f ) ⎤ v∞ = ⎢ ⎥ ρ f ⎣ ⎦ 1/ 3 ⎡ 4( ρ s − ρ f ) ρ f b ⎤ * dp = ⎢ ⎥ dp 3μ 2 ⎣ ⎦ v ∞* =

2 20,52 *3 / 2 1/ 2 [ ] ( 1 0 , 0921 ) 1 + − d p d p*

⎡ 4( ρ − ρ )μ b ⎤ 1 / 3 * v ∞ = ⎢ s 2 f ⎥ v∞ ρ 3 f ⎣ ⎦

s

f

⎦

v ∞2 ρ f dp = 3g ( ρ s − ρ f ) 1/ 3

v ∞*

⎡ ⎤ 3 ρ f 2 =⎢ ⎥ v∞ 4 ( ) b − ρ ρ μ f ⎣ s ⎦ 2

⎡⎛ 68,49 ⎞1 / 2 ⎤ * d p = 0,07 ⎢⎜⎜1 + *3 / 2 ⎟⎟ + 1⎥ v ∞* 2 ⎢⎝ v ∞ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

⎡ dp = ⎢ ⎣ 4(

3 s −

1/ 3

⎤ * ⎥ dp f ) f b ⎦

2

Exemplo 4: Calcule a velocidade terminal de sedimentação de uma partícula esférica de quartzo ( ρ s = 2650 kg/m 3) de 100 μm em água a 20 o C. Solução: Inicialmente calcula-se o tamanho de partícula adimensional. Usando os dados de viscosidade e densidade da Tabela 3.1, e substituindo em 3.28, tem-se: 1/ 3

4(2650 998) 998 9,81 0,1 10 3 2,78 2 3 0,001 Substituindo, então, d p* na expressão da velocidade adimensional (equação 3.35), d p*

tem-se: v*

2 20,52 (1 0,0921(2,78 )3 / 2 )1/ 2 1 2,78

0,280

Utilizando-se a equação 3.29 e substituindo o valor de v ∞* , tem-se ⎡ 4 (2650 − 998) × 0,001× 9,81⎤ v∞ = ⎢ ⎥ 2 3 998 × ⎣ ⎦

1/ 3

0,280 = 0,0078 m/s = 0,78 cm/s .

Quase a totalidade dos estudos que tratam do movimento de partículas em fluidos considera somente o comportamento newtoniano do fluido. No caso de fluidos não-newtonianos, tem-se reconhecido que a relação entre o coeficiente de arraste e o número de Reynolds não é a mesma que aquela observada para fluidos newtonianos (He et alii, 2001). Portanto, recentemente alguns autores propuseram modificações empíricas do coeficiente de arraste e do número de Reynolds, a fim de descrever o movimento de partículas em fluidos nãonewtonianos (Ceylan et alii, 1999; He et alii, 2001). Na prática, é reconhecido que a tensão crítica τ o é muito importante na separação de partículas, uma vez que ela pode restringir o movimento das partículas mais finas. As partículas mais finas

46



não conseguem produzir uma tensão suficientemente elevada para penetrar numa polpa não-newtoniana, se a concentração se situa abaixo da crítica (Kirchberg et alii, 1975). Veloc idade terminal d a partícula não-esféric a isolada

O comportamento de partículas não-esféricas em fluidos é tão complexo que apenas uma quantidade limitada de informações pode ser encontrada na literatura. Mesmo que qualitativas, na sua maior parte, estas informações são muito úteis no projeto e na operação de equipamentos de beneficiamento gravimétrico, uma vez que auxiliam na interpretação de diversos fenômenos observados na prática. Partículas não-esféricas diferem das esféricas principalmente em dois aspectos: • A área superficial por unidade de volume é maior (resultando em uma maior resistência superficial); • A irregularidade do seu formato pode ocasionar o aparecimento de movimentos vibratórios e oscilatórios periódicos durante a sua sedimentação no fluido. O efeito do aumento da área superficial na força resistiva é significativo para qualquer número de Reynolds, porém o aparecimento de movimentos vibratórios e oscilatórios depende significativamente do regime de escoamento da partícula (Becker, 1959): • No regime de Stokes, uma partícula é estável em qualquer orientação e o efeito da forma somente se deve ao aumento da resistência superficial; • No regime intermediário, as partículas inicialmente tendem a se orientar segundo a direção da maior força de arraste, com a sua maior seção transversal perpendicular à direção do movimento relativo ao fluido. A partir de aproximadamente Rep = 200 elas começam a oscilar enquanto se movem no fluido; e • No regime de Newton, as partículas tendem a girar em torno de seu eixo de menor inércia e a vibrar, movimentando-se em espiral à medida que sedimentam. Oscilações e giros, que fazem com que a partícula percorra uma trajetória em espiral durante a sedimentação no regime de Newton, estão relacionados com a força de resistência fluidodinâmica perpendicular à direção do movimento, chamada de força de sustentação. A força de sustentação está associada ao fato que assimetrias na forma da partícula resultam no aparecimento de um campo de pressões também assimétrico (Figura 3.4). Uma vez que a resultante não é necessariamente aplicada no centro de massa da partícula, esta tende a produzir rotações enquanto sedimenta (Almendra, 1979). Os desvios observados no movimento retilíneo durante a sedimentação não dependem somente do formato da partícula. Alguns autores têm observado que, para um dado formato de partícula, os desvios diminuem com o aumento da densidade da partícula. Portanto, é comum incluir a razão das densidades à esfericidade na descrição da sedimentação de partículas não-esféricas a altos números de Reynolds. É possível que este efeito da densidade esteja relacionado ao movimento de aceleração da partícula, onde uma massa induzida inercial é acrescida à massa sólida (3.2.4), de maneira que quanto maior for a densidade do sólido menor será a contribuição da massa acrescida (Concha e Barrientos, 47



1986). Qualquer um dos mecanismos descritos acima resulta em uma perda da quantidade de movimento da partícula à medida que a partícula sedimenta no fluido. Esses também resultam em uma redução da velocidade de sedimentação em relação a uma partícula esférica com mesmo tamanho. Devido à complexidade destes mecanismos envolvidos na sedimentação de partículas irregulares, ainda não existe uma descrição detalhada que seja válida para qualquer formato de partícula. Entretanto, quando as partículas não apresentam formato esférico, mas são isométricas (dimensões aproximadamente iguais nas três direções ortogonais), correlações úteis têm sido propostas. Concha e Barrientos (1986) definem modificações ao coeficiente de arraste e ao número de Reynolds das partículas como CDM =

CD f A f C

(3.37)

Re p . (f B f D ) 2

(3.38)

e Re M =

As funções f A, f B, f C e f D, definidas por Concha e Barrientos (1986), a partir de funções previamente propostas na literatura (como aquelas propostas por Pettyjohn e Christiansen, 1948), levam em consideração o efeito da esfericidade (capítulo 2) e da razão entre as densidades da partícula e do fluido no coeficiente de arraste e no número de Reynolds da partícula (Tabela 3.4). As constantes destas funções foram ajustadas a partir de dados experimentais disponíveis na literatura para partículas com valores de esfericidade ( ψ ) de 0,67 a 1,0. Tabela 3.4. Funções de correção para a influência da forma da partícula na velocidade de sedimentação Funções de correção envolvendo a Funções de correção envolvendo a forma da partícula razão das densidades f A =

5,42 − 4,75ψ 0,67

ψ ⎞ ⎛ f B = ⎜ 0,843f A log ⎟ 0,065 ⎠ ⎝ 2 α = f B λ =

[f A1/ 2 f B2 ]−1

f C = ( ρ s / ρ f ) −0,0145 −1/ 2

f D = ( ρ s / ρ f )0,00725

= f D2 η = f C f D γ

A Equação de Abraham (Equação 3.18) pode, então, ser re-escrita levando em consideração o formato da partícula, ou seja, 2

C DM

⎛ 9,06 ⎞ = 0,28⎜⎜1 + 1/ 2 ⎟⎟ . ⎝ Re M ⎠

(3.39)

A função permite as definições modificadas de tamanho e de velocidade terminal adimensional de sedimentação, como 48


* = d v* (λ η )2 / 3 d vM


(3.40)

e v M*

=

v ∞* α γ

,

(3.41)

onde as funções α , λ , γ e η são apresentadas na Tabela 3.4. Com estas definições, a velocidade de sedimentação terminal adimensional modificada é relacionada ao tamanho de partícula adimensional modificado, pela expressão v M* =

20,52 [(1 + 0,0921d eM*3 / 2 )1/ 2 − 1]2 . * d vM

(3.42)

Utilizando-se o procedimento acima, é possível avaliar o efeito da forma da partícula na velocidade terminal de sedimentação. A Tabela 3.5 demonstra que quanto maior for o tamanho da partícula e a sua densidade, maior será a redução da velocidade de sedimentação em relação à da partícula esférica. Segundo a Tabela 3.5, uma partícula de wolframita de 1 mm que apresente esfericidade (ψ ) igual a 0,7 pode apresentar aproximadamente a mesma velocidade terminal (em água) que uma partícula de quartzo de mesma granulometria e formato esférico. Tabela 3.5. Velocidades terminais de sedimentação (em cm/s) de materiais selecionados com diferentes fatores de forma (sedimentação em água a 20 o C). dv = 1 mm dv = 0,1 mm Material 0,9 0,8 0,7 1,0 0,9 0,8 0,7 ψ =1,0 Carvão 5,28 3,77 3,04 2,61 0,157 0,129 0,100 0,0983 3 ρ s=1.300 kg/m Quartzo 11,4 9,06 7,71 0,784 0,622 0,532 0,472 16,4 3 ρ s=2.650 kg/m Wolframita 38,4 26,3 20,7 17,5 2,69 2,09 1,76 1,55 3 ρ s=7.500 kg/m Exemplo 5: Calcule a velocidade terminal de sedimentação em água a 20 o C de uma partícula de quartzo ( ρ s = 2650 kg/m 3) com tamanho equivalente de 100 μm, e que apresenta esfericidade (ψ ) igual a 0,8. Solução: Inicialmente calcula-se as várias constantes (ver tabela 3.4), f A = 2,42; f B = 0,670; f C = 0,986; f D = 1,01 e α = 0,450; λ = 1,43; γ = 1,01; η = 0,993 Considerando que os dados acima são essencialmente os mesmos que aqueles do exemplo 1, tem-se que d p* = 2,78; que substituindo na equação 4.41, tem-se * d vM = 2,78[1,43 × 0,993]2 / 3 = 3,52 . Calculando a velocidade terminal adimensional modificada (equação 3.41), tem-se

49


v M* =


2 20,52 [ (1 + 0,0921(3,52) 3 / 2 )1/ 2 − 1] = 0,418 . 3,52

A velocidade terminal adimensional da partícula é dada por (equação 3.41): v ∞* = 0,418 × 0,450 × 1,01 = 0,191 A partir da qual a velocidade de sedimentação da partícula é dada por (equação 3.29): 1/ 3 ⎡ 4 (2650 − 998) × 0,001× 9,81⎤ v∞ = ⎢ ⎥ 0,191 = 0,0053 m/s = 0,53 cm/s 2 × 3 998 ⎣ ⎦ Exemplo 6: Separação de wolframita e quartzo por elutriação Determine o rendimento e o teor do produto pesado resultante da elutriação, em corrente ascendente de água, com velocidade de 3 cm/s, de um préconcentrado de um minério aluvionar contendo quartzo e wolframita. O minério é composto somente por partículas perfeitamente liberadas e contém 10% de wolframita. A distribuição granulométrica de ambos minerais é dada tal que a proporção passante é = (d p / 0,5) 0,85 , onde dp é dado em mm. A wolframita apresenta esfericidade de 0,8 e densidade de 7,5 g/cm 3; o quartzo apresenta esfericidade de 0,65 e densidade de 2,65 g/cm 3. A temperatura da água é 20 o C (exemplo modificado de Massarani, 1997). Solução: Mineral

% da alimentação Wolframita 0,680 1,468 8,01 6,37 0,145 75,4 7,54 Quartzo 1,076 3,115 14,80 10,99 0,395 32,9 26,9 O concentrado de fundo do elutriador apresenta teor de 20,3% de wolframita e rendimento de 37,1%. v ∞*

v M*

* d eM

d p*

dp (mm) % retida

3.2.4. Movimento acelerado da partícula esférica isolada Normalmente as partículas atingem velocidade terminal de sedimentação muito rapidamente. Entretanto, existem alguns processos gravimétricos, como a jigagem, em que o movimento acelerado das partículas é de grande relevância na separação. O movimento de uma partícula se torna transitório se esta partícula e/ou o fluido são acelerados. Neste caso a do movimento da partícula deve ser resolvida diretamente. É comum, especialmente na literatura de tecnologia mineral, utilizar uma descrição simplificada do movimento transitório da partícula. Substituindo a expressão da força de arraste do movimento uniforme (Equação 3.12) na equação do movimento da partícula (Equação 3.21), simplesmente considerando que a força de arraste para o movimento transitório se mantém a mesma que para o movimento uniforme, tem-se 2

C π d ρ dv ρ s V p = ( ρ s − ρ f )V p g − D p f v 2 , dt 8

(3.43)

que pode ser resolvida analiticamente (Kelly e Spottiswood, 1982). Rigorosamente a Equação 3.43 somente é aplicável quando a densidade das partículas é muito superior à do fluido, como é o caso na queda livre de partículas no ar. A utilização desta equação para casos em que a razão entre as 50



densidades do sólido e do fluido é baixa resulta em superestimações significativas da aceleração (Heiskanen, 1993). Quando o fluido é a água, por outro lado, o tempo necessário para que a partícula acelere até 99% da sua velocidade terminal pode ser 500 vezes maior que aquele estimado a partir da equação 3.44. Portanto, a equação geral do movimento da partícula é obtida substituindo a equação geral da força de resistência fluidodinâmica (Equação 3.20) na Equação 3.21, que resulta em 2

π d ρ Δ ρ ⎞ dv 3 ⎛ = ( ρ s − ρ f )Vp g − CD p f v 2 − ΔH d p2 ⎜⎜ ρ s + A f ⎟⎟Vp 2 ⎠ dt 8 2 ⎝

t

πμρ f

dv dτ dτ τ t − 0

∫

(3.44)

Diferentes técnicas numéricas têm sido utilizadas na resolução desta equação, sendo que soluções são apresentadas graficamente na Figura 3.9. O tempo relativo às diferentes proporções da velocidade terminal de sedimentação mostrados na Figura 4.9 é calculado a partir do adimensional t*, dado por t=

ρ f d p2 t *

4 μ

.

(3.45)

Soluções da Equação 3.44, apresentadas na Figura 3.10 para quartzo e ilmenita, mostram que as partículas atingem suas velocidades terminais de sedimentação muito rapidamente, precisando de menos de um décimo de segundo para partículas menores que 1 mm. Observa-se também que, embora partículas de ilmenita de 1 mm e de quartzo de 2 mm apresentem velocidades terminais de sedimentação muito próximas, elas possuem histórias de aceleração muito distintas em decorrência das suas diferentes densidades.

Figura 3.9. Valores de tempo adimensional para uma partícula atingir 50% e 90% da sua velocidade terminal, a partir do número de Reynolds na velocidade terminal (Equação 3.16) (modificado de Clift et alii, 1978).

51



0.5

Quartzo Ilmenita

2 mm

0.4

) s / m (

e0.3 d a d i c o l 0.2 e V

1 mm 2 mm

0,5 mm

0.1

0,2 mm 0.0 0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

Tempo (s)

Figura 3.10. Movimento acelerado de partículas esféricas de quartzo (2,65 g/cm 3) e ilmenita (densidade de 4,7 g/cm 3) em água. Os pontos representam as velocidades correspondentes a 50 e 90% da velocidade terminal.

Para o início do movimento da partícula, a sua velocidade ainda é pequena, de modo que a Equação 3.44 pode ser simplificada para dv (0) 2( ρ s − ρ f ) = g. dt 2 ρ s + ρ f

(3.46)

A Equação 3.46 mostra que no início do movimento da partícula a sedimentação é dominada pela densidade, com a granulometria somente passando a exercer alguma influência após alguns milésimos de segundo. Isto oferece um mecanismo viável para a separação por densidades, com um mínimo da influência da granulometria. A Figura 3.10 também mostra que partículas finas atingem mais rapidamente as suas velocidades terminais que partículas mais grossas. Adicionalmente, a Equação 3.46 mostra também que, quando a densidade do sólido é muito superior à densidade do fluido, a aceleração de uma partícula tende a se aproximar a da gravidade. Infelizmente, toda a análise apresentada acima somente é aplicável a partículas esféricas isoladas sedimentando em fluidos newtonianos. Apenas um volume muito limitado de resultados experimentais permite analisar o efeito da forma da partícula e da reologia do fluido no comportamento da partícula durante o movimento acelerado. Renganathan et alii (1989) observaram que partículas não-esféricas atingem a sua velocidade terminal de sedimentação após uma distância mais curta que partículas esféricas. Os resultados mostram que especialmente a altos números de Reynolds, o efeito do formato na aceleração é significativo. No caso de fluidos não-newtonianos, Bagchi e Chhabra (1991) mostraram que a distância necessária, para que uma partícula atinja 99% de sua velocidade terminal, aumenta com a redução do índice n da lei de potência do comportamento reológico de fluidos (Equação 3.5). Por exemplo, foi observado 52



que em um fluido pseudoplástico caracterizado por n=0,3, a distância necessária para a partícula atingir a velocidade terminal era superior ao dobro daquela necessária em um fluido newtoniano. 3.2.5. Influênci a da conc entração de sólido s no mo vim ento de partículas

Na prática, as condições que predominam nos equipamentos de processamento gravimétrico diferem muito daquelas relativas à sedimentação livre, analisadas em 3.2.3. Normalmente, isto se deve à necessidade do processamento de grandes quantidades de material por unidade de volume do equipamento. Isso também se deve à necessidade de se efetuar uma separação mais nítida com relação à densidade e uma minimização da influência do tamanho de partícula na separação. As interações das partículas entre si e delas com o fluido impõem uma maior resistência à sedimentação, que aquela encontrada na sedimentação livre. Esta condição é chamada de sedimentação impedida ou retardada. Zimmels (1990) lista alguns dos impedimentos que aparecem à medida que aumenta a fração de sólidos na polpa: • redução da seção transversal disponível para escoamento do fluido, o qual resulta em um aumento da velocidade de aproximação do fluido; • aumento da viscosidade aparente da polpa (Equações 3.6 e 3.7); • redução da força gravitacional devido a um aumento da densidade aparente da polpa; • aumento da resistência devido ao efeito de parede; e • aumento da difusão fluidodinâmica. Devido à complexidade das interações entre as partículas e à difícil quantificação do seu efeito sobre as várias forças envolvidas no movimento de partículas em fluidos, é comum a descrição empírica do seu efeito na velocidade de sedimentação da partícula. Considerando o efeito da fração volumétrica de sólidos na polpa, tanto na densidade quanto na viscosidade, alguns autores simplesmente propuseram a introdução de modificações às equações de cálculo das velocidades de sedimentação livre. Isto implica em considerar que o comportamento de uma partícula no interior da polpa seria semelhante àquele de uma partícula isolada dentro de um fluido caracterizado pela densidade e viscosidade da polpa (Govier e Aziz, 1972). Para o regime de Stokes isso seria equivalente a ( ρ s − ρ a )g d p2 vt = . 18μ a

ρ a

A densidade da polpa ρ a é dada por = φ ρ s + (1 − φ )ρ f ,

(3.47)

(3.48)

sendo φ a fração volumétrica de sólidos na polpa (razão entre o volume de sólidos e o volume total de polpa e equivalentes a φ = 1 − ε ). A dificuldade na aplicação das Equações 3.47 e 3.48 está relacionada à viscosidade da polpa, a qual não é conhecida a priori e depende não somente da fração de sólidos, mas também da distribuição de tamanhos de partículas da polpa (seção 3.1). De uma maneira análoga, pode-se também modificar a equação de Newton, resultando em

53


⎡ 3gd p ( ρ s − ρ a ) ⎤ vt = ⎢ ⎥ ρ a ⎣ ⎦


1/ 2

.

(3.49)

As Equações 3.47 e 3.49 são muito utilizadas, especialmente na literatura de tecnologia mineral. Implicitamente, entretanto, as equações consideram que a redução da velocidade de sedimentação de partículas contidas em polpas, em relação à sedimentação de partículas livres, se deve à fração de sólidos na polpa e à razão entre a densidade do sólido e do fluido. Alternativamente, aplicando a equação de Einstein (Equação 3.6) à equação de Stokes (Equação 3.26), tem-se vt =

v∞ . 1 + 2,5 φ

(3.50)

Um outro modelo empírico freqüentemente citado na literatura de tecnologia mineral é aquele proposto por Richardson e Zaki (1954). Neste modelo, a razão entre as velocidades terminais de partículas em uma polpa e a velocidade terminal de partículas individuais depende somente do número de Reynolds e da fração de sólidos na polpa. A velocidade de sedimentação retardada é dada por v t = v ∞ (1 − φ ) nRZ ,

na qual:

(3.51)

n RZ = 3,65 ,

para Rep < 0,2

n RZ = 4,35 Re −p0,03 − 1 ,

para 0,2 < Rep < 1 para 1 < Rep < 500 para Rep > 500

n RZ = 4,45 Re −p0,1 − 1 , n RZ = 1,39 ,

Comparações entre resultados experimentais da literatura e previsões usando as equações mostram que o modelo de Richardson e Zaki (1954) tende a superestimar a velocidade de sedimentação, particularmente a baixas concentrações de sólidos e na região intermediária de números de Reynolds. Em um outro estudo, Concha e Almendra (1979) analisaram os dados experimentais disponíveis na literatura e propuseram expressões modificadas para a velocidade de sedimentação, sob condições de alta percentagem de sólidos. Eles postularam, inicialmente, que a relação entre as velocidades e os tamanhos adimensionais (Tabela 3.3) se mantém válida para uma suspensão de partículas esféricas v H* =

2 20,52 *3 / 2 1/ 2 [ ] + − ( 1 0 , 0921 d ) 1 . H d H*

(3.52)

O efeito da fração de sólidos na polpa aparece pelo intermédio de funções de correção aos números adimensionais, sendo expressos por v H*

v t* = f q

(3.53)

e

54


d H*


d p* = . f p

(3.54)

sendo φ a fração volumétrica de sólidos na polpa (razão entre o volume de sólidos e o volume total de polpa e equivalentes a φ = 1 − ε ), e f p e f q são funções empíricas da fração de sólidos, dadas por ⎡ ⎤ (1 − φ ) 4 (1 + 0,75φ 1/ 3 ) f q = ⎢ 2/3 3 1,83 ⎥ ⎣ (1 − φ + 1,2φ ) (1 − 1,45φ ) ⎦

1/ 3

(3.55)

e ⎡ ⎤ (1 − φ )(1 + 0,75φ 1/ 3 ) f p = ⎢ 2/3 3/4 1,83 ⎥ ⎣ (1 − φ + 1,2φ ) (1 − 1,45φ ) ⎦

2/3

.

(3.56)

Substituindo-se as Equações 3.53 e 3.54 na Equação 3.52, tem-se v t* =

2 20,52 −3 / 2 * 3 / 2 1 / 2 [ ] + − f f ( 1 0 , 0921 f d ) 1 . p q p p d p*

(3.57)

As constantes das funções acima foram determinadas usando dados da literatura relativos a sistemas monodispersos (polpas cujas partículas apresentam o mesmo tamanho), com frações de sólidos φ no intervalo de 0 até 0,585 (58,5%) (Concha e Almendra, 1979). A relação entre a velocidade adimensional de sedimentação retardada v t* e d H* é ilustrada na Figura 3.11, com a curva relativa a φ = 0,585 correspondendo a de um leito totalmente empacotado de partículas esféricas. 2

) 10 * t v ( l a 1 n 10 o i s n e 0 m 10 i d a l a -1 n 10 i m r e t -2 e 10 d a d i c -3 o 10 l e V

10-4 10-2

= 0,585

= 0,2

= 0,4 = 0,0

10-1

100

101

102

103

Tamanho de partícul a adimensional ( dp*)

Figura 3.11. Relação entre velocidade terminal adimensional e tamanho de partícula adimensional em função da fração de sólidos na polpa ( φ ).

Exemplo 7: Calcule a velocidade terminal de sedimentação em água a 20 o C de partículas esféricas de quartzo ( ρ s = 2650 kg/m3), com tamanho de 100 μm, e contidas 55



em uma polpa com fração de sólidos de 0,3. Solução: Considerando que esses são os mesmos dados do exemplo 3, então d p* = 2,78. As funções de correção são dadas pelas Equações 3.55 e 3.56: f p = 1,865 , f q = 0,815 Substituindo na equação 3.62, tem-se que 2 20,52 × 1,865 × 0,815[(1 + 0,0921× 1,865 −3 / 2 × 2,78 3 / 2 )1/ 2 − 1] = 0,0733 2,78 Reordenando os termos da Equação 3.29 e substituindo v ∞* , tem-se a

v t* =

velocidade terminal de sedimentação da polpa de partículas: 1/ 3 ⎡ 4 (2650 − 998) × 0,001× 9,81⎤ v∞ = ⎢ ⎥ 0,0733 = 0,00200 m/s = 0,20 cm/s . 2 × 3 998 ⎣ ⎦ 3.2.6. Razões de sedimentação Partículas de materiais de diferentes densidades poderão se movimentar com a mesma velocidade no fluido, desde que sejam escolhidas com tamanhos apropriados. A relação entre estes tamanhos de partículas pode ser determinada simplesmente igualando as expressões para a velocidade terminal de sedimentação. Para o regime de Stokes (Equação 3.25) este quociente, chamado de razão de sedimentação, é dado por d l ⎛ ρ d − ρ f ⎞ ⎟ =⎜ d d ⎜⎝ ρ l − ρ f ⎠⎟

1/ 2

,

(3.58)

sendo ρ l e ρ d as densidades do componente leve e do denso, respectivamente, e ρ f é a densidade do fluido. Analogamente, no regime de Newton (Equação 3.27) ela é dada por d l ρ d − ρ f = . d d ρ l − ρ f

(3.59)

As Equações 3.58 e 3.59 são denominados razões de sedimentação livre, uma vez que consideram o comportamento de partículas individuais. A sedimentação retardada faz com que partículas de diferentes densidades sedimentem a razões que diferem da sedimentação livre. Esta razão modificada é denominada razão d e sedimentação r etardada, sendo expressa por q

d l ⎛ ρ d − ρ a ⎞ ⎟ , =⎜ d d ⎜⎝ ρ l − ρ a ⎠⎟

(3.60)

sendo ρ a a densidade da polpa e q = 1 para o regime de Newton e q = 0,5 para o regime de Stokes. Quanto maior a razão de sedimentação, mais fácil é a separação das partículas por densidade. Esta razão foi proposta originalmente por Rittinger (1870). A razão de sedimentação retardada é sempre maior que a de sedimentação livre e, quanto maior a densidade da polpa, maior será a razão dos tamanhos de partículas com mesma velocidade terminal.

56



Exemplo 8: Determine a razão de sedimentação livre para quartzo ( ρ s = 2,65 g/cm3) e barita ( ρ s = 4,5 g/cm 3), e a razão de sedimentação retardada para uma mistura composta em proporções iguais em volume dos minerais a concentrações mássicas de 30% e 50% nos regimes de Stokes e Newton em água. Resposta: Regime Razão de sedimentação Razão de sedimentação retardada livre 30% m/m 50% m/m Newton 2,12 2,35 2,70 Stokes 1,46 1,53 1,64 Comparando com as razões de sedimentação livre, as razões de sedimentação retardada a 50% m/m são 27% maiores no regime de Newton e 12% maiores no regime de Stokes. Bibliografia ABRAHAM, F.F., 1970. Function dependence of drag coefficient of a sphere on Reynolds number, The Physics of Fluids, vol. 13, pp. 2194-2195. ALMENDRA, E.R., 1979. Velocidade de sedimentação de sistemas particulados. Dissertação de Mestrado, Programa de Engenharia Metalúrgica, COPPE/UFRJ. BAGCHI, A., CHHABRA, R.P., 1991. Acceleration motion of spherical-particles in power law type non-newtonian liquids, Powder Technology, vol. 68, pp. 85-90. BECKER, H.A., 1959. The effect of shape and Reynolds number on drag in the motion of a freely oriented body in an infinite fluid, Canadian Journal of Chemical Engineering, vol. 37, pp. 85-91. BIRD, R.B., STEWART, W.E., LIGHTFOOT, E.N., 1960. Transport Phenomena, John Wiley & Sons. CEYLAN, K., HERDEM, T., ABBASOV, T., 1999. A theoretical model of drag force in the flow of non-newtonian fluids around spherical solid particles, Powder Technology, vol. 103, pp. 286191. CHONG, J.S., CHRISTIANSEN, E.B., BAER, A.D., 1971. Rheology of concentrated suspensions, Journal of Applied Polymer Science, vol. 15, pp. 207-2021. CHOW, V.T., 1981. Open channel hydraulics, McGraw-Hill, Tokyo. CLIFT, R., GRACE, J.R., WEBER, M.E., 1978. Bubbles, Drops and Particles, Academic Press. CONCHA, F., ALMENDRA, E.R., 1979. Settling velocities of particulate systems, 1. Settling velocities of individual spherical particles, International Journal of Mineral Processing, vol. 5, pp. 349-367. CONCHA, F., BARRIENTOS, 1986. Settling velocities of particulate systems. 4. Settling of nonspherical isometric particles, International Journal of Mineral Processing, vol. 18, pp. 297308. DARLEY, H.C.H., GRAY, G.R., 1988. Composition and Properties of Drilling and Completion Fluids, 5a edição, Gulf Publishing. DABAK, T., YUCEL, O., 1987. Modeling of the concentration and particle size distribution effects on the rheology of highly concentrated suspensions, Powder Technology, vol. 52, pp. 193-206. FOFANA, M., KLIMA, M.S., 1997. Magnetic-fluid separations of coal using a modified Frantz electromagnet, Coal Preparation, vol. 18, pp. 91-114. GOVIER, G.W., AZIZ, K. 1972. The flow of complex mixtures in pipes, Van Nostrand, New York. HE, Y.B., LASKOWSKI, J.S., KLEIN, B., 2001. Particle movement in non-Newtonian slurries: the effect of yield stress on dense medium separation, Chemical Engineering Science, vol. 56, pp. 2991-2998. HEISKANEN, K., 1993. Particle Classification, Chapman & Hall, New York. HEISKANEN, K., LAAPAS, H., 1979. On the effects of fluid rheological and flow properties in the wet gravitational classification, Anais, 13 th International Mineral Processing Congress, Warsaw, vol. 1, pp. 183-204, Polish Scientific Pub.

57



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58

Comportamento mecânico de partículas capítulo 4 A redução de tamanhos de partículas é de vital importância no processamento mineral, na fabricação de cimento, assim como no processamento cerâmico. Ela é responsável pela liberação dos grãos minerais para posterior concentração e pela produção de pós para a produção de cerâmicos e cimento, além da moagem do produto final. Em equipamentos industriais de cominuição, muitas partículas são cominuídas simultaneamente. Os produtos da quebra de uma partícula são misturados àqueles de outras, de modo que não é possível distingui-los na massa fragmentada. A fim de obtermos informações relevantes a respeito do comportamento de materiais, devemos analisar separadamente como materiais e partículas individuais são fraturados e fragmentados. 4.1 Deformação e fratu ra de materiais

Durante o processo de cominuição, a coesão interna de sólidos deve ser destruída sujeitando-os a esforços externos. A produção de partículas por cominuição envolve a propagação de trincas quando partículas são submetidas a esforços mecânicos superiores à sua resistência à ruptura. A fim de elucidar os mecanismos fundamentais de fratura de partículas minerais, uma análise de princípios básicos de mecânica da fratura faz-se necessário. Partículas minerais são fraturadas como resultado da ação de esforços. Os esforços podem ser genericamente classificados como normais ou tangenciais. Esforços normais podem ser de compressão ou de tração, enquanto os tangenciais correspondem aos de cisalhamento. Ao serem submetidos à ação de qualquer tipo de esforço, sólidos respondem sob a forma de deformações. Deformações elásticas são aquelas em que a resposta do material aos esforços é somente influenciada pelo esforço presente. Não existem efeitos de memória que possam comprometer a resposta posterior do material. Além disso, a energia acumulada durante o carregamento é totalmente recuperada no instante em que as cargas são removidas. Um caso particular do comportamento elástico é o elástico-linear , caracterizado pela proporcionalidade entre as tensões e deformações. No caso das deformações em uma dimensão, resultantes de esforços normais para um material elásticolinear, temos a equação σ = Yε (4.1) Esta é a lei de Hooke, na qual ε é a deformação específica e σ é a tensão. A deformação específica é dada por ε = Δ / d , onde Δ é a magnitude da 59

Comportamento mecânico de partículas


deformação, d é o tamanho inicial da amostra, e σ = F/ A, onde F é a carga axial e A é a seção transversal da amostra. Y é o módulo de elasticidade longitudinal do material. O módulo de elasticidade de rochas varia de valores inferiores a 10 GPa (algumas rochas sedimentares e mármore) a superiores a 80 GPa (algumas rochas ígneas e quartzitos, p. ex.). Aço e materiais cerâmicos possuem módulo de elasticidade tipicamente superior a 200 GPa. Existem materiais nos quais a resposta a esforços não é elástica. Este comportamento, denominado inelástico, pode ser decorrente de deformação permanente ou do efeito do tempo na deformação do material, entre outros. Diferentes de deformações elásticas, estas deformações consomem energia e esta energia não é totalmente recuperável. Tradicionalmente se distingue entre o comportamento plástico e o viscoso. Estes tipos de inelasticidade se sobrepõem ao comportamento elástico e constituem o que se denomina o comportamento elasto-plástico e o comportamento visco-elástico, respectivamente. O comportamento elasto-plástico resulta em uma deformação permanente do material – como aquelas que causam o escoamento de metais – e que não desaparece com o tempo, pois este não depende do mesmo. O comportamento visco-elástico se caracteriza pela forte dependência da temperatura e da velocidade (ou taxa) de carregamento. Para esses materiais, quanto mais lento o carregamento, mais inelasticamente se comporta o material: um material pode se comportar elasticamente no carregamento rápido, e inelasticamente em carregamento mais lento. Assim, quando se deseja promover a fratura em um material visco-elástico, deve-se utilizar temperaturas mais baixas e taxas de carregamento mais altas, a fim de garantir que o mesmo se deforme elasticamente até o instante de ruptura. Em geral, materiais rochosos se deformam predominantemente de forma elástica até muito próximo do instante da ruptura (Figura 4.1 – esquerda). Em alguns casos, entretanto, rochas podem apresentar comportamento inelástico (Figura 4.1 – direita), caracterizando-os como elasto-plásticos. Deve-se estabelecer, entretanto, uma distinção entre o comportamento elasto-plástico de metais e aquele que se observa normalmente em rochas. Enquanto nos primeiros seja reconhecido que o mesmo seja decorrente do acúmulo de discordâncias na microestrutura do material, no caso de rochas as deformações inelásticas estão normalmente associadas à evolução do fraturamento do material que ocorre antes da ruptura do sólido. Ainda assim observam-se deformações plásticas em partículas muito finas, por razões mencionadas adiante. Algumas rochas, como o carvão, podem apresentar comportamento visco-elástico. Esse tipo de rocha deve mais adequadamente ser fragmentado através do impacto. Deformações elásticas e inelásticas são o meio que o sólido (e a sua estrutura interna) dispõe de armazenar ou dissipar, respectivamente, a energia mecânica aplicada sob a forma de esforços. Quando os esforços aumentam além de um certo ponto, o sólido não é mais capaz de resistir os esforços e a ruptura ocorre. Os esforços Figura 4.1 Curvas esforço-deformação para responsáveis pela ruptura do material compressão uniaxial de quartzito (esquerda) e podem ser determinados em ensaios arenito (direita) (Jaeger & Cook, 1979). 60



de laboratório em corpos de prova padronizados (a resistência é simplesmente a razão entre a força responsável pela fratura e a área da seção transversal da amostra). Um outro parâmetro importante que caracteriza a tenacidade da rocha é a densidade de energia acumulada no material no instante da ruptura. Esta medida, denominada energia específica de fratura, pode ser calculada por ε c

Ev = ∫0 σ dε

(4.2)

onde Ev é a energia de deformação por unidade de volume para uma deformação unidimensional e εc é a deformação específica no instante da ruptura. Rochas são normalmente caracterizadas pela sua elevada dureza (que pode ser definida como a resistência à endentação ou deformação plástica), mas normalmente não são muito tenazes ou resistentes. Valores típicos da resistência à compressão uniaxial variam de menos de 50 MPa para alguns calcários para acima de 450 MPa para algumas rochas ígneas. A resistência à tração destas rochas equivale a aproximadamente 10 % da resistência à compressão uniaxial. Estes são relativamente baixos se comparados à resistência de aços, que é tipicamente superior a 700 MPa. O motivo desta tenacidade relativamente baixa de rochas é a presença de micro e macro defeitos (trincas) na sua estrutura, que funcionam como concentradores de tensões e que precipitam a ruptura do sólido. Materiais que apresentam este comportamento de ruptura são denominados frágeis. Assim, a fratura frágil se caracteriza por deformações essencialmente elásticas antes da ruptura e por elevadas velocidades de propagação da fratura através do sólido. Esta se contrapõe à fratura dúctil (metais) a qual é acompanhada por grandes deformações plásticas antes da propagação da fratura. Uma teoria da fratura de materiais frágeis foi desenvolvida por Griffith (1920) na década de 20, e que mais tarde culminou na teoria moderna da mecânica de fratura. Em essência, Griffith foi capaz de explicar por que a resistência real de materiais frágeis como vidro era significativamente menor que a resistência ideal4. Griffith mostrou que quando um material que contém trincas é tensionado, estas trincas agem como amplificadores de esforços de modo que as tensões na extremidade da trinca são significativamente maiores que as tensões médias ao longo da seção do material. Griffith considerou que uma trinca irá propagar se a perda de energia elástica de deformação é maior que o aumento de energia Figura 4.2 Diagrama esquemático de uma superficial que acompanha a formação amostra com uma trinca e sob a ação de esforços de tração 4 A resistência representa a tensão necessária para romper ligações atômicas entre pares de átomos. Ela é data aproximadamente por Y/10.

61



de novas superfícies. Para uma trinca de comprimento l (Figura 4.2) em um sólido frágil ideal sujeito a esforços de tração, a tensão de ruptura é dada por 1/ 2

⎛ 4Yγ s ⎞ ⎟⎟ σ f = ⎜⎜ π l ⎝ ⎠

(4.3)

onde γ s é a energia livre superficial por unidade de área da trinca, a qual é definida como a energia necessária para criar uma unidade de área de um sólido deformado. O resultado principal da teoria de Griffith é que quanto maior o tamanho do defeito (trinca), menor a tensão necessária para a fratura. A teoria de Griffith mostra que um esforço de compressão puro não é, em princípio, capaz de produzir a propagação de uma fratura, sendo necessária a presença de esforços de tração para que ocorra a ruptura frágil. Poder-se-ia pensar que não existiriam esforços de tração sob condições de compressão uniaxial simples. Entretanto, uma análise mais detalhada, que considere todas as possíveis orientações de defeitos, mostra que esforços de tração são gerados na extremidade de uma trinca de orientação adequada, mesmo quando o sólido como um todo se encontra sob compressão. Como resultado, a resistência à compressão de materiais frágeis é quase uma ordem de magnitude maior que a resistência à tração. A resistência de materiais frágeis é menor que a ideal porque o esforço global não precisa ser suficientemente alto para romper todas as ligações de uma vez, mas sim, ele precisa ser elevado o suficiente para romper aquelas ligações que se encontram na ponta da trinca mais crítica do material. Segundo a teoria de Griffith, seria possível facilitar a fratura de materiais controlando algumas das variáveis que influenciam a resistência à ruptura. Por exemplo, é possível reduzir a energia livre superficial de um sólido controlando-se o seu ambiente. Em princípio, a presença de água e agentes tensoativos pode reduzir a energia livre superficial de partículas e facilitar a sua fragmentação. 4.2 Fratur a de partículas in divi duais

F

Quando lidamos com materiais particulados, a abordagem tradicional usada na resistência dos materiais e na mecânica de fratura, que se baseia na análise dos esforços e deformações específicas, não é normalmente possível nem conveniente. Partículas normalmente não apresentam formatos regulares, de modo que a distribuição interna dos esforços resultante da aplicação de uma carga externa não é normalmente conhecida. Além disso, em processos de cominuição, freqüentemente somente tem-se F informação da quantidade de energia introduzida Figura 4.3 Representação (como a energia elétrica em um equipamento de da fragmentação de uma cominuição) e não dos esforços sob os quais a partícula partícula encontra-se submetida. Materiais particulados são fraturados primariamente pela imposição de tensões compressivas, sejam aplicadas de forma lenta ou rápida através do impacto (Figura 4.3). Nos pólos de contato, esforços de compressão e cisalhamento de alta intensidade são gerados internamente na partícula,

62



causando intensa fragmentação e até deformações inelásticas, mesmo em materiais frágeis. Este efeito aumenta, de modo que abaixo de um certo limite de tamanho, a partícula se deforma quase que inteiramente de maneira inelástica. Imediatamente abaixo da região de alta densidade de energia de deformação na partícula, existe uma porção da partícula na qual ocorre o aparecimento de esforços de tração. Estes se estendem até o pólo oposto de aplicação de carga. É nessa região (e em alguma trinca em particular localizada ao longo dela) que ocorre a iniciação e a propagação de uma ou mais fraturas, que culminam na desintegração da partícula e na formação dos fragmentos. Conforme foi previamente discutido, a abordagem energética é a mais conveniente na análise de processos de cominuição. Com respeito à quebra de uma partícula, a medida mais importante é a energia de deformação armazenada na partícula no instante da ruptura, chamada energia específica de fratura . Ela pode ser determinada experimentalmente carregando-se individualmente uma partícula de formato irregular, como aquela mostrada na Figura 4.3, e pode ser calculada integrando-se as forças e deformações medidas Ev =

1 Vp

∫

Δc

0

FdΔ

(4.4)

Ela representa a área abaixo do gráfico das deformações e cargas, e é a energia mínima que deve ser aplicada à partícula para que ocorra a sua ruptura catastrófica. Segundo a teoria de Griffith, à medida que diminui o tamanho da partícula, deve ocorrer um aumento da resistência da partícula, em decorrência da diminuição da probabilidade que ela contenha uma trinca de grande comprimento e do próprio desaparecimento dos defeitos maiores, que já teriam se tornado superfícies de fratura. Isto pode ser observado na Figura 4.4. Observa-se, entretanto, que quando o tamanho de partícula é reduzido abaixo de um certo limite, a probabilidade de um defeito crítico existir torna tão pequena que as tensões dentro da partícula se aproximam do limite de plasticidade do material, resultando em intensa deformação plástica. Esse limite é da ordem de alguns micrômetros para diversos minerais e rochas. Sob essas condições torna-se difícil 3 ) 1 m 10 fraturar partículas usando- / c se esforços de J ( 4 3 compressão e representa E 2 uma situação a r u t 0 extremamente a r 10 f desfavorável na d e 4 a cominuição. Uma i 3 d é 2 alternativa nesses casos é m a a aplicação de esforços de i -1 Quartzo c f 10 í Apatita cisalhamento. c e v

4.3 Fragmentação de partículas individuais

4.3.1 Aspectos gerais

O processo de fragmentação pode ser

p 4 s e 3 a i 2 g r e -2 n E 10 2

Gilsonita Taconito Miné rio de cobre Mármore

3

4

2 3 4 5 6 7 101 100 Tamanho de partícula - d p (mm)

5 6 7

2

Figura 4.4 Variação da energia específica de fratura com o tamanho de partícula para vários materiais. 63



entendido como o resultado da propagação, bifurcação e interação de fraturas em sólidos formando fragmentos. Diferentes fenômenos de fragmentação e diferentes distribuições de tamanhos serão gerados como resultado da aplicação de esforços de diferentes magnitudes e tipos. Um método freqüentemente utilizado para estudar a fragmentação de materiais são ensaios de queda de peso ( drop weight tests), como mostra a Figura 4.5. Um peso, normalmente esférico, é solto de uma altura conhecida sobre uma partícula que se localiza no topo de uma superfície rígida. A energia cinética da esfera no instante do impacto é dada por mbgh, onde mb é a massa da esfera. Essa energia cinética é transferida à partícula, a qual sofre, ou não ruptura. Esse ensaio é repetido para diversas partículas, todas com o mesmo tamanho. Os fragmentos são, então, Figura 4.5 Ensaio de queda de peso para determinação da função de coletados para a determinação da distribuição uebra de artículas individuais de tamanhos. Embora seja usada uma partícula em cada teste, cada impacto consiste de uma seqüência de eventos individuais de fratura. Normalmente a energia cinética da esfera é suficiente para causar fratura primária e a energia residual é absorvida pelas partículas filhas (fragmentos) até que toda a energia cinética da esfera seja dissipada. O número de eventos seqüenciais de quebra que ocorre durante o impacto de uma partícula é determinado primariamente pela energia cinética do peso no instante do impacto. Quanto maior essa energia, maior o número de eventos seqüenciais, e vice versa. Conseqüentemente a 100 distribuição final de tamanhos dos fragmentos ) 3 Energias de será determinada pela impacto % ( 2 (J/kg) e energia aplicada, além do t n a 10 19880 tipo de material (Figura s s 5810 4.6). Essa figura também a p o mostra que aumentos d 3 a l 1770 indefinidos da energia u 2 m aplicada não serão u c A 1 acompanhados por 620 aumentos da 380 fragmentação das 3 partículas: acima de um 2 0.01 0.1 1 10 certo limite (tipicamente quando a energia aplicada Tamanho de partícula (mm) é 100 vezes maior que a Figura 4.6 Distribuições de tamanhos resultantes da quebra de partículas de minério de cobre (4,00-4,75 mm) obtidas em energia de fratura da ensaios de queda de peso. partícula) a energia

64



aplicada não mais é consumida na fragmentação, mas é dissipada de outras formas, como na aglomeração dos fragmentos e na geração de calor. Esse limite indica que a cominuição é mais eficiente quando realizada em diversos estágios. Na prática, é usual designar a fragmentação de diferentes maneiras em função do nível de energia aplicada. Quando a partícula é sujeita a esforços normais insuficientes para causar a sua ruptura ou quando os esforços incidentes são essencialmente de cisalhamento na superfície da partícula, pode ocorrer fragmentação superficial da partícula pelo mecanismo da abrasão ou lascamento. Através desse mecanismo, a partícula inicial sofre uma redução de tamanho quase imperceptível, enquanto que um grande número Figura 4.7 Abrasão e lascamento produzindo de partículas finas é gerado fragmentos com distribuição de tamanhos muito (Figura 4.7). estreitas Quando a intensidade de aplicação da energia é baixa, a fragmentação ocorre pelo mecanismo da clivagem. Por esse mecanismo, diversos fragmentos relativamente grossos são gerados, ao mesmo tempo que partículas muito mais finas, as quais se originam nos pontos de aplicação dos esforços. A distribuição de tamanhos das partículas é relativamente estreita Figura 4.8 Fratura por clivagem quando a taxa de e freqüentemente bimodal, como carregamento é baixa mostra a Figura 4.8. A elevadas taxas de aplicação de energia, sob condições de esforços de compressão, ocorre intensa fragmentação da partícula. Esse mecanismo, denominado estilhaçamento (“shatter”), resulta em um amplo espectro de fragmentos (Figura 4.9). Na prática o estilhaçamento consiste de uma série de passos nos quais a partícula mãe é fraturada e as partículas filhas são Figura 4.9 O processo de estilhaçamento sucessivamente fraturadas produzindo uma ampla gama de fragmentos também. Essa sucessão de eventos ocorre tão rapidamente

65



(na ordem de alguns milésimos de segundo), que, para o observador, parecem ocorrer simultaneamente.

4.3.2 A função quebra

Quando uma distribuição de fragmentos corresponde àquela resultante da quebra de um grande número de partículas de tamanho uniforme em apenas um ciclo de carregamento (como foi mostrado em 4.3.1), então ela é denominada função de quebra . A função de quebra B(x; y) pode ser definida como a proporção de partículas menores que o tamanho x resultantes da fratura de partículas de tamanho representativo y. A função de quebra tem um papel de grande importância na descrição quantitativa de processos de cominuição. Ela não corresponde à distribuição granulométrica final de um produto de um equipamento de cominuição, pois as partículas geradas sofrem estágios sucessivos de fragmentação. Várias tentativas têm sido feitas para determinar a forma da função B(x; y) para cada tipo de mecanismo com base em princípios básicos, mas nenhum modelo teórico foi obtido para reproduzir a distribuição granulométrica produzida em testes de quebra de partículas individuais. Entretanto, alguns modelos empíricos têm tido grande sucesso em descrever resultados experimentais. O mais popular destes modelos é baseado na idéia que a população de fragmentos é composta por uma mistura de duas populações distintas (uma formada pelos esforços de compressão, a outra pelos de tração), como mostram as Figuras 4.7 e 4.8. Cada uma tem uma distribuição acumulada que pode ser adequadamente modelada pela distribuição de Gaudin-Schuhman (Eq. 2.2): n

⎛ x ⎞ B( x; y ) é proporcional a ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y ⎠

(4.5)

Diferentes valores de n descrevem os fragmentos mais grosseiros produzidos principalmente pelos esforços de tração e os mais finos produzidos pelos intensos esforços de compressão próximo aos pontos de aplicação. As duas distribuições podem ser somadas usando uma função de ponderação apropriada n

n

⎛ x ⎞ 1 ⎛ x ⎞ 2 B( x; y ) = K ⎜⎜ ⎟⎟ + (1 − K )⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠

(4.6)

O primeiro termo da Equação (4.6) descreve a distribuição de tamanhos da fração na população produzida pelos esforços de compressão ( K). De modo geral, considera-se que os dados de distribuição granulométrica são normalizáveis, ou seja, somente dependem da razão x/y. Caso os dados experimentais não sejam normalizáveis, as constantes K, n1 e n2 devem ser determinadas como função do tamanho y. A expressão acima para a função de quebra pode ser lançada em gráfico usando coordenadas logarítmicas, e isso oferece um método muito conveniente para a estimação dos parâmetros K, n1 e n2, como mostra a Figura 4.10. Se n2 é maior que n1, então n

n

x ⎛ x ⎞ 1 ⎛ x ⎞ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ > ⎜⎜ ⎟⎟ à medida que → 0 y ⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠

(4.7)

66

Comportamento mecânico de partículas 1

Então a baixos valores de x/y

6 5 4

) y ; x 3 ( B 2 a r b e u 0.1 q e d 6 5 o ã 4 ç n 3 u F

n1

⎛ x ⎞ B( x; y ) = K ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y ⎠


(4.8)

Intercepto =1-K Decli vidade = n 1

(a)

Intercepto =K

(b)

que é lançado em gráfico como uma linha reta com Declividade n1 declividade em = n2 coordenadas logarítmicas, como (a) - (b) mostra a Figura 4.10. A 2 linha reta irá interceptar a ordenada x / y + 1no 0.01 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 0.01 0.1 1 ponto B( x; y ) = K . Assim x/y os parâmetros n1 e K Figura 4.10 Uma função de quebra típica, mostrando o podem ser estabelecidos procedimento gráfico para avaliação dos parâmetros K, n1 e n2. facilmente traçando a tangente à parte inferior esquerda da curva e ler o intercepto a x / y = 1 . Uma vez que essa linha tenha sido estabelecida, da diferença tem-se n

n

⎛ x ⎞ 1 ⎛ x ⎞ 2 B( x; y ) − K ⎜⎜ ⎟⎟ = (1 − K )⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠

(4.9)

que pode ser lançada em gráfico, como mostra a figura. Isso irá produzir outra linha reta com declividade n2 e intercepto (1- K) a x / y = 1 . O valor de n2 pode ser determinado pela declividade dessa linha. 4.4 Relação entr e energia e com inu ição

A fratura de partículas individuais mostra que quanto mais energia é absorvida pela partícula, mais fina se torna a distribuição de tamanhos do produto. Isto resulta no conceito da absorção contínua de energia por uma população de partículas à medida que a distribuição de tamanhos se move para granulometrias mais finas. Uma expressão empírica muito aproximada para a absorção de energia durante a fragmentação pode ser obtida seguindo a variação de um tamanho representativo da população à medida que o mesmo diminui gradualmente com o aumento da energia que é introduzida no material. Consideremos dr como um tamanho representativo do material. Este pode ser o tamanho médio, mas normalmente prefere-se utilizar o tamanho relativo à fração passante em 80 %. A relação entre a energia cominutiva absorvida por unidade de massa do material e o tamanho representativo é definida pela equação diferencial, dE = f (dr ) dd r

(4.7)

f (dr ) é uma função decrescente de dr , refletindo o fato de que mais energia por unidade de massa é requerida para diminuir o tamanho de partículas, e E é a energia específica (energia por unidade de massa de sólidos). Várias formas

67



funcionais para f (dr ) foram propostas na literatura, e as três mais importantes são as de Kick, Rittinger e Bond. Eles sugeriram funções do tipo f (dr ) = −Kdr − n , com n sendo igual a 1 para Kick, 1,5 para Bond e 2 para Rittinger. Um valor de n maior que 1 reflete um aumento da energia por unidade de massa à medida que o tamanho de partícula diminui. A equação diferencial pode ser integrada usando a condição inicial E = 0 para dr = drI para as partículas da alimentação dE = −Kd r − n ddr K (1− n ) E=− d r + C para n ≠ 1 1− n K (1−n ) 0=− d +C 1 − n r I K ⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜ E= − 1 − n ⎜⎝ d r ( n −1) d r (In −1) ⎠⎟

(4.8) (4.9) (4.10) (4.11)

Em particular, quando n = 1 (Kick), a Equação (4.11) se torna ⎛ d ⎞ E = K ln⎜⎜ r I ⎟⎟ ⎝ dr ⎠

(4.12)

Para n = 1,5 (Bond), a Equação (4.11) é igual a ⎛ 1 1 ⎞ E = 2K ⎜ 1 / 2 − 1 / 2 ⎟ ⎜ d r d r I ⎠⎟ ⎝

(4.13)

De forma análoga, para n = 2 (Rittinger) tem-se ⎛ 1 1 ⎞ = E K⎜ − ⎟ ⎜ dr d r ⎟ I ⎠ ⎝

(4.14)

No caso da lei de Kick , a energia consumida é proporcional à razão de redução, ou seja, a mesma quantidade de energia é requerida para reduzir uma população de partículas de um tamanho representativo de 100 centímetros a um tamanho representativo de um centímetro quanto é necessário para reduzir de um mm a 10 micrometros. No caso da lei de Rittinger , o recíproco do tamanho representativo pode ser considerado como sendo proporcional à área superficial média por unidade de volume na população de partículas. Desta forma, o consumo de energia é proporcional à área superficial das partículas geradas. A lei de Bond , também conhecida por “terceira lei da cominuição”, foi proposta com base na hipótese de que a energia introduzida é proporcional ao novo comprimento da trinca de Griffith (Figura 4.2) que resulta na fratura do material, e é igual ao trabalho representado pelos produtos menos aquele representado pela alimentação. O comprimento da greta por unidade de volume é considerado proporcional a um lado daquela área e, portanto é inversamente proporcional à raiz quadrada do seu diâmetro. Embora Bond tenha provado teoricamente, é atualmente de consenso o reconhecimento de que Equação (4.13) é, na realidade, uma relação empírica que se ajusta muito bem a resultados experimentais de moagem. 68



Nas décadas de 40 a 60 muito foi discutido sobre a validade (ou não) destas várias “leis da cominuição”. Atualmente acredita-se que nenhuma destas leis pode ser usada indiscriminadamente e nem é de aplicação geral. A experiência tem mostrado que cada uma delas parece se adequar a um intervalo de tamanhos, como sugere a Figura 4.11. Aparentemente, a lei de Kick se aplica melhor à cominuição grosseira (>10 mm), e portanto à britagem; a lei de Bond a partículas de tamanho intermediário, e portanto à moagem grosseira Figura 4.11 Relação entre energia de cominuição e (barras e bolas); e a lei de granulometria do produto Rittinger a partículas finas, e assim à moagem fina (10 a 1000 μm). É importante também salientar a correlação que existe entre a aplicabilidade das diferentes “leis de cominuição” e o efeito da escala na resistência mecânica de partículas. Na prática se observa que a resistência de partículas grosseiras torna-se independente do tamanho, como indiretamente é subentendido na “lei de Kick” (Figura 4.3). À medida que o tamanho de partícula diminui, aumenta significativamente a sua resistência mecânica, e também o consumo de energia na cominuição, como consideram as leis de Bond e Rittinger. A maior limitação destas várias teorias está relacionada ao fato de que, na prática, a maior parte da energia usada em uma operação de fragmentação é, na verdade, dissipada sob a forma de calor, de deformação plástica, etc, e não realiza qualquer trabalho útil. Sabe-se, por exemplo, que a energia consumida em operações de cominuição é várias vezes maior que aquela requerida para aumentar da área superficial, como é postulada na lei de Rittinger. Assim, embora seja esperado que uma relação entre a energia requerida para quebrar partículas e a fragmentação resultante exista, essa relação fundamental somente irá se manifestar se for possível medir precisamente a energia e a fragmentação resultante em um ciclo de aplicação de energia. 4.5 A r elevância da du reza

Dureza pode ser definida como a resistência de um material à deformação plástica. Em geral, minerais que formam ligações covalentes fortes – como o diamante e o quartzo – possuem elevada dureza, enquanto minerais cuja integridade é mantida por ligações mais fracas (do tipo Van der Waals) – como o talco e o grafite – têm dureza mais baixa. A importância da dureza no processamento mineral se deve ao fato de que ela está intimamente relacionada à abrasividade do minério.

Tabela 4.1 Escala de dureza de Mohs Mineral

Dureza

Talco Gipsita Calcita Fluorita Apatita Feldspato Quartzo Topázio Safira Diamante

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

69

Parte I Apostila EET334

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