Eksplorasi Aljabar
oleh : Ghelvinny (90115007)
Abstrak
Tujuan dari paper ini untuk menunjukkan aplikasi aljabar linear di bidang teknik sipil dengan penekanan pada persamaan linear berdasarkan sifat kebebasan atau ketergantungannya.
1. Apa itu Aljabar Linear? 2. Statika (termasuk Gaya)
Daftar Isi
3. Torsi atau Torque 4. Analisa Struktur dengan Matriks (REF & RREF) 5. Keseimbangan dan Stabilitas (Equilibrium and Stability)
6. Penghitungan
1. Apa itu Aljabar Linear?
Aljabar Linear bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.
Teknik Sipil salah satu cabang ilmu teknik yang mempelajari tentang bagaimana merancang, membangun, merenovasi tidak hanya gedung dan infrastruktur, tetapi juga mencakup lingkungan untuk kemaslahatan hidup manusia.
Teknik sipil dikembangkan sejalan dengan tingkat kebutuhan manusia dan pergerakannya, hingga bisa dikatakan ilmu ini bisa mengubah sebuah hutan menjadi kota besar.
Cabang-cabang Ilmu Teknik Sipil Struktural : mempelajari masalah struktural dari materi yang digunakan untuk pembangunan. Sebuah bentuk bangunan mungkin dibuat dari beberapa pilihan jenis material seperti baja, beton, kayu, kaca atau bahan lainnya. Setiap bahan tersebut mempunyai karakteristik masing-masing. Ilmu bidang struktural mempelajari sifat-sifat material itu sehingga pada akhirnya dapat dipilih material mana yang cocok untuk jenis bangunan tersebut. Dalam bidang ini dipelajari lebih mendalam hal yang berkaitan dengan perencanaan struktur bangunan, jalan, jembatan, terowongan dari pembangunan pondasi hingga bangunan siap digunakan.
Cakupan Aljabar Linear Di Bidang Teknik Sipil
Rangka Batang (Trusses), Beams (Balok Baja), Mechanical Stresses
Fluid Dynamics
Supports
2. STATIKA (1/2): Apa itu Statika? Statika atau Mekanika Teknik atau Mekanika Rekayasa merupakan bidang ilmu utama (dasar keahlian) yang dipelajari di ilmu teknik sipil. Pokok utama yang dipelajari tentang perilaku struktur terhadap beban yang bekerja padanya. Perilaku struktur tersebut umumnya mencakup keseimbangangaya, uraian gaya, gaya reaksi dan gaya internal yang ada pada struktur. •
•
Contoh Kegagalan Konstruksi Bangunan
STATIKA (2/2): Dalam mempelajari perilaku struktur pada Mekanika, maka hal-hal penting yang selalu diperhatikan adalah: 1. Stabilitas struktur (tidak bergerak atau Statis, tidak berpindah tempat dan tidak berubah bentuk). 2. Keseimbangan Gaya atau Equilibrium Forces (gaya luar atau beban yang bekerja pada struktur harus diimbangi oleh reaksi struktur terhadap beban tersebut)
2.1 GAYA (Forces): Dari ketiga kejadian tadi dapat disimpulkan “ Gaya adalah sesuatu yang
dapat menimbulkan perubahan tempat, gerak, atau bentuk suatu benda.”
Komponen Gaya Gaya dapat diuraikan menjadi komponen vertikal dan horizontal atau mengikuti sumbu x dan y. Fx adalah gaya horizontal, sejajar sumbu x Fy adalah gaya vertikal, sejajar sumbu y
3. Momen
Suatu balok yang terletak diatas 2 tumpuan dengan beban seperti pada gambar, ada beban terbagi rata q (kg/m’) dan beban terpusat P (kg). Balok tersebut akan menerima beban lentur sehingga balok akan melendut, yang berarti balok tersebut menerima beban lentur atau momen. (atau menerima gaya dalam momen).
MOMEN adalah GAYA (F) x JARAK (S).
4. Analisa Struktur dengan Metode Matriks
Metode Matriks adalah suatu pemikiran baru pada analisa struktur, yang berkembang bersamaan dengan makin populernya penggunaan komputer otomatis untuk operasi-operasi perhitungan aritmatika. Di dalam ilmu Mekanika Teknik, konstruksi yang paling sederhana adalah konstruksi statis tertentu Statis : mempelajari benda dalam keadaan diam
Analisa Struktur dengan Metode Matriks •
•
•
Aljabar matriks sangat berguna pada Analisa struktur karena memungkinkan membuat perumusan pemecahannya sebagai satu seri operasi matriks yang cocok untuk komputer digital. Tetapi hal yang lebih penting lagi ialah dengan memakai cara matriks, segala macam struktur dapat dianalisa dengan suatu pendekatan umum dan karena sifat-sifat organisasi suatu matriks, pemakaian matriks juga menguntungkan untuk perhitungan·perhitungan dengan tangan. Cara matriks juga memungkinkan penyajian persamaanpersamaan dalam bentuk yang kompak, yang tentu saja sangat membantu untuk dapat melihat operasi secara keseluruhan dan tidak terbenam dalam detail-detail aritmatika.
4. Stabilitas Plane Truss (stabilitas rangka bidang)
Cek Kestabilan
Contoh : Apakah Rangka ini Stabil & Seimbang?
5. Konsep Keseimbangan (Equilibrium) •
•
•
Sebuah Struktur statis tertentu adalah struktur yang reaksi dan gaya-gaya didalamnya dapat dicari dengan persamaan keseimbangan (Equilibrium Equations) Suatu partikel dalam keadaan keseimbangan jika resultan semua gaya yang bekerja pada partikel tersebut nol. Jika pada suatu partikel diberi 2 gaya yang sama besar, mempunyai garis gaya yang sama dan arah berlawanan, maka resultan gaya tersebut adalah NOL. Hal tersebut menunjukkan partikel dalam keseimbangan.
Syarat perlu dan cukup untuk keseimbangan suatu benda tegar secara analitis adalah dan
Kestabilan Konstruksi (Statics Stability) Kestabilan konstruksi statis tertentu diperoleh jika : a) Semua gejala gerakan (gaya) mengakibatkan perlawanan (reaksi) terhadap gerakan tersebut b) Suatu konstruksi statis tertentu akan stabil jika reaksi-reaksinya dapat dihitung dengan persamaan statis tertentu Dalam menganalisis suatu persoalan mekanika teknik, biasanya digunakan beberapa diagram yang dapat mendukung kemudahan analisis tersebut. Diagram Ruang
Diagram Benda Bebas Poligon Gaya
6. Penghitungan dengan diagram benda bebas
•
Persamaan pada tabel disamping, dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
Untuk menghitung segala jenis konfigurasi dari gaya terluarnya jika dan hanya jika kita dapat membalikkan matriksnya (invers matriks A, di sisi kiri). Perhatikan bahwa matriks ini hanya bergantung pada rangka geometri dan bukan pada beban. Mencari invers matriks menggunakan Mathematica, Maple, Excel atau bahkan tangan memegang kalkulator seperti Casio fx series. Berikut adalah inversnya:
•
Fakta bahwa matriks ini ada dan meyakinkan kita bahwa rangka stabil.
KESIMPULAN Aljabar Linear adalah alat yang sangat berguna di bidang teknik (Engineering), terutama dalam penghitungan yang melibatkan variabel yang besar.
•
•
Banyak dari teorema-teorema kalkulus yang digunakan di ruang kelas jurusan teknik dapat dibuktikan secara cepat dan mudah menggunakan aljabar linear.
