Aplikasi Matematika Dalam Dunia Teknik Sipil Oleh : 1.Adieq Irma.T () 2.Agnestya.L () 3.Irfan Hermawan () 4.M.Mughny Halim (3111120010) 1 sipil 1 sore
Program studi Teknik Konstruksi Sipil Politeknik Negeri Jakarta 2012
Sekilas integral
Volume Volume Benda Benda Putar Putar
Pendahuluan
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabung y
y
y
4 3 0
x
2
x
1 x 2 Home
1
0
1 Back
2 Next
Metode Cakram
Volume Benda Putar
Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
Home
Back
Next
Volume Benda Putar
Metode Cakram y
Bentuk cakram di samping dapat
x
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga
f (x)
volumenya dapat diaproksimasi sebagai V r2h atau V f(x)2x. Dengan cara jumlahkan, ambil
a
x
x
y
limitnya, dan nyatakan dalam integral
h=x
diperoleh: V f(x)2 x V = lim f(x)2 x
r f(x)
x
0
a
v [ f (x)]2dx 0
Home
x Back
Next
7.2.2 Metoda Cincin
Jika D diputar terhadap sumbu x, maka ( perhatikan gambar berikut )
D ( x, y) | a x b , g ( x) y h( x) v h 2 ( x)x g 2 ( x)x
b
Sehingga V h( x) g ( x) dx 2
a 6
2
Contoh : D daerah yang dibatasi oleh y x 2
dany 2 8 x
Hitung volume benda putar, jika D diputar mengelilingi sumbu x.
Jawab : Daerah D digambarkan sebagai berikut : 7
Partisi D yang tegak lurus sumbu x akan berbentuk cincin, dan volumenya,
V (( 8 x ) 2 ( x 2 ) 2 )x 2 x 5 2 48 Sehingga , V (8 x x )dx 4 x . 5 0 5 0 2
4
8
• 7.2.3 Metoda Kulit Tabung
D ( x, y) | a x b , 0 y f ( x) Jika D diputar terhadap sumbu y, maka
V x22 x12 f ( x) 2 x f ( x) x Sehingga,
b
V 2 x f ( x ) dx a
D ( x, y) | a x b , g ( x) y h( x) Jika D diputar terhadap sumbu y, maka b
V 2 xh( x) g ( x)dx a
9
D ( x, y ) | 0 x 2 , x 2 y 4
• Contoh : Diketahui
Jika D diputar mengelilingi garis x = 4, hitung volume benda putar yang terjadi. Jawab :
x=4
Buat partisi sejajar sumbu putar ( garis x = 4 ), partisi tersebut jika diputar terhadap garis x = 4 akan berbentuk kulit tabung dengan jarak partisi ke sumbu putar (jari-jari) r= (4-x), maka v 2 (4 x)( 4 x 2 )x sehingga volume benda putar yang terjadi 2
V 2 (16 4 x 2 4 x x 3 )dx 0 2
2 (16 x
4 3 1 4 104 2 x 2 x x ) . 10 3 4 3 0
APLIKASI INTEGRAL • 1. LUAS DAERAH BIDANG RATA • 2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG: lempengan, cakram dan cincin. • 3. VOLUME BENDA PUTAR • 4. PANJANG KURVA PADA BIDANG (kurva rata). • 5. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR. • 6. KERJA • 7. GAYA CAIRAN (fluida) • 8. MOMEN, PUSAT MASSA
Aplikasi Integral • Menghitung momen inersia bahan Momen inersia (Satuan SI : kg m2) adalah ukuran kelembaman suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya. - Ada beberapa rumus yang digunakan untuk menghitung momen inersia suatu bahan diantaranya adalah :
Rumus momen inersia Momen inersia persegi
segi tiga
• Untuk aplikasi integral dalam penghitungan momen inersia bahan digunakan untuk menghitung momen inersia sebuah bagun datar terhadap sumbu netralnya, rumusnya adalah :
Contoh bahan yang dihitung momen inersianya
Balok girder
Balok kantilever
Balok kantilever yang dihitung momen inersianya
• Selain itu integral dapat juga digunakan untuk menghitung volume, luas, titik berat yang semuanya digunakan sebagai alat bantu dalam merancang kekuatan/ketahanan suatu bangunan.
Aplikasi lain dari integral
Dome (kubah) Aplikasi volume benda putar Gb. 4
Pembuatan jembatan kabel y x2 9
Menghitung volume tangki ready mix
Menghitung volume pengecoran
Merancang bangunan dengan bentuk yang tidak simetris
Aplikasi diferensial • Definisi : • Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan.
Aplikasi diferensial dalam teknik sipil • 1. menghitung nilai maksimum dan minimum contoh soal : • Seorang petani mempunyai 80 meter kawat berduri untuk membuat tiga kandang persegi dan di satu sisi terdapat tembok sepanjang 100 meter. Maksimumkan kawat berduri tersebut sehingga luas maksimum.
penyelesaian • • • • • • • • • • •
Jawab: Sketsakan gambar tesebut, hingga didapat: 4x+y = 80 y = 80 - 4x luas total A = x.y maka, A = 80x – 4x² 0<> Maka yang dimaksimumkan adalah x [0,20]. dA/dx = 80 – 8x x = 80/8 = 10 meter dan y = 80 – 4(10) = 40 meter
