Aplicações a série de Fourier em Engenharia L. L. Rocha, J. P. Mendes, L. A. P. D. Lacerda
- Neste presente artigo serão abordadas as aplicações da Série de Fourier em Circuitos Elétricos. A Série de Fourier deduz que qualquer função periódica, por mais complexa que seja, pode ser representada pela soma de varias funções seno e cosseno, com amplitudes, fases e períodos ajustados convenientemente. Sabendo da importância de tal Série para a Área de exatas, esse artigo vem aborda sua aplicação em Circuitos Elétricos, fazendo uma integração dos conhecimentos básicos do curso com a parte específica da engenharia, correlação importante para a fixação dos conhecimentos conhecimentos já vistos. Resumo
- In this paper we will discuss the applications of Fourier Series in Electrical Circuits. The Fourier series infers that any periodic function, in that it is more complex can be represented by the sum of several sine and cosine amplitudes, phases and periods conveniently adjusted. Knowing the importance of such Series for the exact area, this article discusses its application comes in Electrical Circuits, making integration of basic knowledge of the course to the specific part of the engineering correlation important for establishing the knowledge already seen. Abstract
I.
INTRODUÇÃO
Jean-Baptiste Joseph Fourier [Figura 1]
(Auxerre, 21 de março de 1768 — Paris, 16 de maio de 1830) foi um matemático e físico francês, celebrado por iniciar a investigação sobre a decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes chamadas séries de Fourier e a sua aplicação aos problemas da condução do calor. A transformada de Fourier foi designada em sua homenagem. Fourier também é geralmente creditado pela descoberta do efeito estufa.
Figura 1.1 - Jean-Baptiste Jean-Baptiste Joseph Fourier Fourier
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L. L. Rocha, Centro Federal de Educação Tecnológica (CEFET), Leopoldina, Minas Gerais,
[email protected] J. P. Mendes, Centro Federal de Educação Tecnológica (CEFET), Leopoldina, Minas Gerais,
[email protected] [email protected] L. P. Lacerda, Centro Federal de Educação Tecnológica (CEFET), Leopoldina, Minas Gerais,
[email protected]
Forma de onda não-senoidal não pode ser repreentada por uma função seno ou cosseno. As formar de ondas não-senoidais mais comuns são continua (a), quadrada (b), triangular (c), dente-de-serra(d) e senóide retificada (e).[Figura1.2]
pode ser observada pela forma de onda nãosenoidal e sua posição em relação ao eixo horizontal. O primeiro termo das séries seno e cosseno são chamados de componente fundamental, termo de menor freqüência para determinar uma função e com a mesma freqüência que a forma de onda original. Os termos seguintes da serie são denominados termos harmônicos, freqüência de ordem maior, ou seja um termo duas vezes maior que a componente fundamental é chamado de segundo harmônico, três vezes maior terceiro harmônico e assim sucessivamente. A. Valor médio Figura 1.1 - Algumas formas de ondas não-senoidais
O sinal de saída de muitos dispositivos elétricos e eletrônicos pode não ser senoidal, mesmo que o sinal aplicado o seja. Como por exemplo na retificação de meia onda, que o processo de transformar corrente alternada em continua . A serie de Fourier representa uma serie de termos de uma onda não-senoidal.
II.
SÉRIE DE FOURIER
O termo é o valor médio de onda para um ciclo completo. Se no eixo horizontal as áreas das ondas forem simétricas acima e abaixo do eixo, . Se a área acima do eixo horizontal for maior é positivo e se for menor é negativo. B. Funções Impares Se no valor de uma função +t for igual ao valor negativo de – t dizemos que a função é impar, ou possui simetria central. A figura 2.1 exemplifica a função impar para melhor compreensão.
A série de Fourier é uma serie de termos que pode ser representada por uma função periódica não-senoidal. Analisamos estas formas de onda, calculando cada termo da série de Fourier: equação Equação: 1
Equação 1
A série é dividida em três partes,
componente contínua, a segunda parte é o termos do seno, e a terceira parte o termo do cosseno. Para determinada forma de onda é possível que o termos em seno ou cosseno, sejam nulos. Essa característica
Figura 2.1 - Série impar
Podem ser escritas somente com o valor médio e o termo em seno da série de Fourier. Ou seja os termos em cosseno são nulos.
C. Funções Pares Quando o valor de +t é igual ao valor em – t dizemos que função é par ou possui simetria axial. Podem ser descritas completamente usando somente e os termos em e os termos em cosseno da serie de Fourier. Exeplificando temos a figura 2.2 a seguir. E os termos em seno são nulos.
E. Simetria de meio ciclo Em uma função que apresenta simetria de meio ciclo, os harmônicos impares em seno e cosseno são nulos. Matematicamente representamos:
( )
Isso significa que a função se repete a cada intervalo de tempo de T/2. Figura 2.4
Figura 2.4- Simetria de meio ciclo
Figura 2.2 - Forma de onda de uma função par
F. Abordagem matemática
Em termos matemáticos:
D. Simetria especular ou de meia onda Quando uma função apresenta simetria especular ou de meia onda, os termos constantes e os coeficientes dos harmônicos são nulos. Pode ser expressa por meio da seguinte expressão:
( )
Essa simetria pode ser observada na figura 2.3, onde um intervalo T/2 se repete no intervalo seguinte mas com o sinal trocado.
Figura 2.3 - Simetria especular
, e Podemos encontrar os coeficientes da série de Fourier através dos seguintes cálculos:
∫ ∫ ∫ III.
Resposta de um circuito a um sinal não senoidal
A representação utilizando as séries de Fourier de um sinal não senoidal pode ser utilizada em um circuito não linear usando o princípio da superposição. O princípio da superposição permite considerar separadamente os efeitos de várias fontes contínuas e senoidais. Quando se substitui o sinal não senoidal por um número de termos da série de Fourier, este sendo ideal para reduzi-lo com uma boa precisão utiliza-se o
teorema da superposição para encontrar a resposta do circuito para cada termo.
√ E
√ A potência total fornecida é a soma das potências associadas aos diferentes termos de tensão e corrente. Os valores de corrente e tensão a seguir são eficazes: Figura 3.1 - Aplicação das componentes de Fourier de um sinal não-senoidal a um circuito linear
A resposta final do sistema é a soma algébrica dos valores obtidos para cada termo. A principal diferença entre a utilização do princípio da superposição no estudo de circuitos nãosenoidais e as demais aplicações é a freqüência que é diferente para cada termo no caso do sinal não-senoidal. As reatâncias são:
E estas terão diferentes valores para cada termo da tensão ou corrente do sinal. O valor rms de qualquer forma de onda é:
∫ Ao aplicarmos esta equação à série de Fourier tem-se:
√ Logo:
√
Onde os valores de e apresentados nas equações acima. IV.
foram
SIMULAÇÃO PRÁTICA
Utilizando o programa Multisim, da empresa National Instruments, foi feito o seguinte procedimento:
Tendo uma fonte de tensão não senoidal triangular com valores positivos, a partir da série de Fourier dessa fonte de tensão, foi criado o equivalente a essa fonte não senoidal utilizando fontes senoidais e contínuas.
A fonte de tensão triangular superior, cujo gráfico da sua tensão esta representado na Figura 1, possui a série de Fourier mostrada na Equação 2.
Para:
Temos: Figura 4.1 - Gráfico da fonte não-senoidal triangular superior
V1 11.5 V
0.07 Vrms 1243 Hz
V2
XSC1
-90°
9.32 Vrms 113 Hz
Ext Trig +
V8
_
-90°
0.05 Vrms
V3
1469 Hz
B
A +
_
+
_
-90° 1.03 Vrms 339 Hz
V9
-90° 0.04 Vrms
V4
R1 1kΩ
1695 Hz 0.37 Vrms 565 Hz -90° V5
Com a série de Fourier dessa forma de onda, utilizando o Excel foi criada uma tabela, Tabela1, onde os valores Vrms e as freqüências das fontes eram calculados. Tomando como base que a tensão eficaz da onda triangular era de 23V e a sua freqüência de 113Hz.
V7
-90° V10 0.03 Vrms 1921 Hz
0.19 Vrms
-90°
791 Hz -90° V11
V6 0.11 Vrms 1017 Hz -90°
0.02 Vrms 2147 Hz -90°
Figura 4.2 - Circuito montado no multisim Tabela 1
Harmônica
Frequência
Tensão
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
0 113 339 565 791
11,5 9,321548895 1,035727655 0,372861956 0,190235692
1017 1243 1469 1695 1921 2147
0,115080851 0,077037594 0,055157094 0,041429106 0,032254494 0,025821465
Com os valores das fontes conhecidos o equivalente a onda triangular foi plotado no Multisim, Figura 4.2, lembrando que o valor de tensão da harmônica 0, cuja freqüência é 0Hz, corresponde a componente contínua da série de Fourier, que nesse caso é uma fonte de tensão contínua
Com o auxílio do osciloscópio foi possível visualizar a forma de onda da tensão resultante no resistor, Figura 4.3, que é uma forma de onda triangular de valores positivos.
Figura 4.3 - Forma de onda visualizada no osciloscópio
Sabendo que o Multisim provê de uma ferramenta de análise importante, onde o próprio programa faz a análise de Fourier da forma de onda da tensão, fornecendo o espectro de linha detalhado, Figura 4.4.
.
Figura 4.4 - Espectro de linha detalhado da forma de onda da tensão no resistor
A partir da Figura 4 conclui-se que como a primeira harmônica é diferente de zero, os semiciclos positivos não se anulam com os semiciclos negativos, isso é evidente uma vez que nossa forma de onda é uma fonte de tensão triangular de valores positivos, logo o valor da primeira harmônica é positivo (11,5V). Análise dos resultados A partir dos resultados obtidos concluí-se que a aproximação de uma fonte de tensão não senoidal a um conjunto de fontes senoidais, através da Série de Fourier, fornece resultados satisfatórios, muito aproximados do valor da fonte não senoidal, de forma que quando se aumenta a quantidade de fontes de tensão o resultado tende a ser melhor, uma vez que a série vai até o infinito. Uma das vantagens do exemplo prático feito é que ela usa uma série infinita de convergência lenta e que dá a ela a resposta forçada mas não dá a resposta livre. Outra vantagem desse exemplo é que quando se quer resolver um circuito parecido, sem o auxílio de métodos computacionais, utilizando o método da superposição o circuito é facilmente solucionado. V.
CONCLUSÃO
Com o presente artigo podemos observar como cada forma de onda não senoidal podem ser representada por cada termo da serie de Fourier. Concluí-se a grande aplicação da Série de Fourier em Circuitos Elétricos, indo muito além do exemplo prático apresentado, sendo utilizado com grande freqüência para solucionar problemas de baixo fator de potência em um sistema elétrico, mesmo quando a corrente e tensão não estão em fase. REFERÊNCIAS R.L. Boylestad , Introdução À Análise de Circuitos C. M. Close, Circuitos Lineares
Larisa
Leoldino
Rocha
graduando Engenharia de Controle e Automação pelo Centro de Educação Tecnológica (CEFET), Minas Gerais, em Leopoldina, Minas Gerais
Jéssica de Paula Mendes
graduando Engenharia de Controle e Automação pelo Centro de Educação Tecnológica (CEFET), Minas Gerais, em Leopoldina, Minas Gerais
Lara
Aparecida
Pimentel
Técnica em Eletrotécnica e graduando Engenharia de Controle e Automação pelo Centro de Educação Tecnológica (CEFET), Minas Gerais, em Leopoldina, Minas Gerais. Bolsista do Programa de Educação Tutorial - PET Delfin
Lacerda
