Introducción a Las Series de Fourier

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA. FACULTAD DE INGENIERÍA. ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA GEOLÓGICA.

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS.

ASIGNATURA ASIGNATURA

: ANÁLISIS ANÁLISIS MATEMÁTICO III.

DOCENTE

: M. Sc. ING. JUAN JULCA NOVOA.

TEMA DE INVESTIGACIÓN INVESTIG ACIÓN

:

ALUMNO

: FREDY OMAR CIEZA CHÁVEZ.

FECHA DE PRESENTACIÓN

: CAJAMARCA, 11 DE DICIEMBRE DE 2014.

INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE FOURIER.

Agradezco a mi madre por darme los pasos fundamentales fundamentales para seguir una vida honrada; así mismo al Ingeniero Juan Julca Novoa por darnos las herramientas para llevarla a cabo.

2

Universidad Nacional de Cajamarca

Análisis Matemático III


PRESENTACIÓN. En el estudio de funciones sabemos que se plantea con bastante asiduidad la aproximación de éstas mediante otras funciones más fáciles de manejar que las primeras. Por ejemplo, sabemos que el Teorema de Taylor nos permite aproximar funciones mediante polinomios que son, evidentemente, el tipo de funciones más sencilla de manipular; sin embargo, las funciones que pueden ser aproximadas por polinomios tienen que verificar, como ya conocemos, hipótesis muy restrictivas (concretamente derivabilidad de orden "n"). Además, la aproximación que se obtiene es local; es decir, aplicable solamente en un entorno del punto donde la función verifica las hipótesis exigidas. El método por excelencia para aproximar funciones en campos más amplios es la utilización de series de funciones en las que cada término es una función seno o coseno; a estas series se las denominan Series de Fourier. Joseph Fourier (1768-1834) fué un matemático francés que ejerció como profesor de la disciplina de Matemáticas, entre otras, en la École Polytechnique. Publicó en 1822 su obra más conocida; la Théorie analytique de la chaleur. Su contribución más importante a la Matemática es la de que toda función, y=f(x), se puede representar mediante una serie de la forma:

En realidad, no todas las funciones se pueden aproximar mediante estas series aunque, en su época, las funciones con las que se trabajaba eran aquéllas que no presentaban ningún tipo de anomalía; es decir, eran funciones continuas y derivables. Después, como veremos, se demuestra que el campo donde estos desarrollos son válidos son aún más amplios, aunque sigue no siendo cierto que toda función se pueda expresar mediante su desarrollo en Series de Fourier. Para tratar el problema de escribir una función mediante su serie de Fourier dos son las cuestiones que se nos plantean:

3




1º ¿Qué tipo de funciones se puede representar mediante su serie de senos y cosenos? Es decir, el problema de existencia de desarrollo en Series de Fourier de una función, f(x), dada. 2º ¿Cómo se obtiene la serie de Fourier correspondiente a cada función? Estos dos problemas son, en resumen, los que nos proponemos estudiar en este Tema.

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RESUMEN. En este capítulo se revisan algunos conceptos del análisis de Fourier. Después de una breve reseña histórica, se recuerdan algunas nociones elementales de la serie de Fourier, que permite representar una señal periódica como una suma inﬁnita de componentes sinusoidales. Se estudia luego la transformada de Fourier, que juega un papel similar en el análisis de las señales no periódicas, y es de aplicación más general que la serie. La motivación principal de la aplicación de la serie o la transformada es obtener el espectro de una señal dada, que revela el contenido frecuencial de la misma. La descripción de la señal en el dominio frecuencial (o transformado) frecuentemente es más revelador que la representación original en función del tiempo.

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INDICE.

PRESENTACIÓN. ...................................................................................................................... 3 RESUMEN. .................................................................................................................................. 5 CAPÍTULO I: OBJETIVOS ....................................................................................................... 7 1.

OBJETIVO GENERAL: ......................................................................................................... 7

2.

OBJETIVO ESPECÍFICO: ...................................................................................................... 7

CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO. ......................................................................................... 8 2.1.

Un ejemplo de Desarrollo de Fourier. ................................................................. 9

2.2.

Notación Compleja: ................................................................................................. 9

2.3.

Series de Fourier para las Funciones Pares e impares. .............................. 10

2.3.1.

Serie de Fourier de Cosenos " f(x) Función Par " ................................. 10

2.3.2. Serie de Fourier de Senos "f(x) Función Impar" La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos .............................. 11

CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA. .......................................................................................... 24 1.

Primer Paso: ................................................................................................................ 24

2.

Segundo Paso: ............................................................................................................ 24

3.

Tercer paso: ................................................................................................................. 24

4.

Cuarto Paso. ................................................................................................................ 24

CAPITULO V: RECOMENDACIONES. ................................................................................ 25 CAPÍTULO VII: LISTA DE REFERENCIAS. ....................................................................... 26

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CAPÍTULO I: OBJETIVOS 1.

OBJETIVO GENERAL:



2.

Determinar una introducción a las series de Fourier.

OBJETIVO ESPECÍFICO:



Explicar los diferentes ítems que explican las series de Fourier.



Determinar la Función de período 21.



Determinación de la función no periódica en la serie de Fourier.



Explicar la Integral de Dirichlet.



Estudiar el Análisis Armónico Práctico.



Determinar la convergencia de una serie de Fourier.

7




CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO.

8




2.1.

Un ejemplo de Desarrollo de Fourier.

2.2.

Notación Compleja:

9




2.3.

Series de Fourier para las Funciones Pares e impares. 2.3.1. Serie de Fourier de Cosenos " f(x) Función Par " Suponga que se tiene una función f(x) definida en el intervalo [0,L]. Primero se mostrará cómo construir la serie de cosenos. Como se tiene interés en los valores de la serie sólo en el intervalo [0, L], se puede definir f(x) de cualquier manera fuera de este intervalo. Con el fin de obtener una serie solo con términos de cosenos, se definirá una extensión periódica par de f(x). 10




La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos

Una función se puede decir que es par, sí cuando tomamos un período de la función, y lo giramos sobre el eje Y, este coincide exactamente con otro período de la función

2.3.2. Serie de Fourier de Senos "f(x) Función Impar" La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos

Una función se puede decir que es impar, sí cuando tomamos un período de la función, lo giramos en el eje Y y luego en el eje X, este coincide exactamente con otro período de la función

A. Caso 1 de Función par e Impar función par

función impar

11




Por lo tanto h(x) es una función impar

B. Caso 2 de Función Par y Par función par

función par

Por lo tanto h(x) es una función par Propiedades Funciones Pares e Impares 1) 2) 3) 4) 5)

El producto de dos funciones pares es par. El producto de dos funciones impares es par. El producto de una función impar y una función par es impar La suma o diferencia de dos funciones pares es par. La suma o diferencia de dos funciones impares es impar.

6) Si f es par,

12




7) Si f es impar,

2.4.

Series de Fourier para la Función de Periodo 21.

13




14




15




2.4.

Desarrollo de una función no periódica en la serie de Fourier.

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2.5.

Aproximación en promedio de una función dada, con ayuda de un polinomio trigonométrico. Supongamos que en cierto segmento   está dada una función monótona por trozos  (ilustración 2). Mostremos que podemos representar esta función  en los puntos de su continuidad por una suma de la serie de Fourier.

Ilustración 1.-Funcion monótona en trozos en el segmento [a,b] (PISKUNOV, 1977)

Para eso examinemos una función arbitraria periódica monótona por trozos   de periodo   |  |, que coincide con la función  en el segmento  . (Hemos completado la definición de la

función  ) Desarrollemos la función   en la serie de Fourier. La suma de esta serie en todos los puntos del segmento   (excepto los de la discontinuidad) coincide con la función , lo que significa que hemos desarrollado  en la serie de Fourier en el segmento  . Examinemos ahora el siguiente caso importante. Sea  una función dada en el segmento   . Completando la definición de esta función de modo arbitrario en el segmento  (conservando la monotonía por trozos), podemos desarrollar esta función en la serie de 17




Fourier. En particular, si completamos la definición de la función dada de modo tal que para      sea   , obtenemos en definitiva una función par (ilustración 3). (En este caso se dice que la función  “es prolongada de manera par”). Esta función se desarrolla en la serie de Fourier que contiene solamente cosenos. De este modo la función , dada en el segmento   , la hemos desarrollado en serie de cosenos.

Ilustración 2.-Función Par en serie de Cosenos- (PISKUNOV,

1977)

Si continuamos la definición de la función  para      de modo tal que   , obtenemos una función impar que se desarrolla en serie de senos (ilustración 4). (La función 

“es

prolongada de manera impar”).

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Ilustración 3.-Función Impar en serie de Senos- (PISKUNOV,

1977)

De este modo, si en el segmento    está dada cierta función monótona por trozos  , podemos desarrollarla tanto en la serie de Fourier de cosenos, como en la serie de Fourier de senos.

2.6.

Integral de Dirich let.

Sea f(x) una función continua a trozos en el intervalo [0, 2B] periódica y de periodo 2B y que, además, en cada punto existen las derivadas por la derecha y por la izquierda de f(x) entonces existe la serie de Fourier asociada a f(x) verificando que dicha serie converge, en cada punto x, hacia

Nótese que la convergencia de la serie es hacia f(x) en los puntos donde esta función es continua pues, en tal caso,

2.7.

Converg encia de la serie de Fourier en un p unto dado. 19




El siguiente teorema da condiciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier a f(x).

TEOREMA Sean f y f  continuas a trozos en –p < x < p, esto es, sean f y f  continuas excepto en un número finito de puntos en el intervalo en los cuales ellas tienen solamente discontinuidades finitas. Entonces, en un punto de continuidad, la serie de Fourier de f en el intervalo converge a f(x). En un punto de discontinuidad, la serie de Fourier convergerá al promedio:

f  x    f  x  2

,

Donde f  x  y f x  denotan el límite de f en x, por la derecha y por la izquierda, respectivamente. i f (0)  f (0)

2

2.8.





0

2





2

.

A nális is arm ónic o p ráct ic o.

Las ondas armónicas continuas que hemos estudiado no existen realmente, ya que todos los movimientos ondulatorios están limitados tanto espacial como temporalmente. Utilizando el análisis de Fourier y la transformada de Fourier se pueden describir formas de ondas más complejas como las que producen los instrumentos musicales. El análisis de Fourier surgió a partir del intento de éste matemático francés por hallar la solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc. 20




Descripción A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es periódica, se puede representar con una precisión arbitraria, mediante la superposición de un número suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie armónica. Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir,

Donde

el

periodo P=2p/w,

y a0 a1 ...ai ... y b1 b2 ....

bi .... son

los

denominados coeficientes de Fourier. Conocida la función periódica f(t), calculamos los coeficientes a i y bi del siguiente modo

Las integrales tienen como límite inferior -P/2 y como límite superior P/2. En el programa interactivo, transformamos la función periódica de periodo P, en otra función periódica de periodo 2p, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendox=w t, tendremos el 21




periodo P de t convertido en el periodo 2p de x, y la función f(t) convertida en

Definida en el intervalo que va de -p a +p. La serie se expresa en la forma más simple

donde

Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.



Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos



Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos

Por ejemplo, para el pulso rectangular simétrico de anchura 1, y periodo 2 se obtienen los siguientes coeficientes.

22




orden

a

b

0

1

1

0.6366

0

2

0

0

3

-0.2122

0

4

0

0

5

0.1273

0

6

0

0

7

-0.09097

0

8

0

0

9

0.07078

0

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CAPÍTULO III: METODOLOGÍA. 1. Primer Paso: Recopilación de información, libros y papers, que ayudaron al mejor resultado de este trabajo.

2. Segundo Paso: Escoger la mejor información para el tema desarrollado.

3. Tercer paso: Desarrollar la información citando.

4. Cuarto Paso. Resumir la información.

Es decir la metodología de investigación es descriptivo: “ El objeto de la

investigación descriptiva consiste en evaluar ciertas características de una situación particular en uno o más puntos del tiempo. En esta investigación se analizan los datos reunidos para descubrir así, cuales variables están relacionadas entre si”.3

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CAPITULO IV: RECOMENDACIONES. 1. Sorprendente, ¿no? Podemos aproximar una línea recta con funciones seno y coseno. 2. ¿Para qué sirven? Pues muy simple. Una onda es de la forma Acos(wt) (o también Asen(wt)) donde w es la frecuencia de la onda, A su amplitud y f su fase. 3. Si te fijas la serie de Fourier descopone una función como suma de ondas. Lo cual implica que cualquier función la podemos descomponer en ondas simples. 4. En telecomunicaciones es fundamental. Podemos recrear cualquier señal por medio de ondas simples, es decir, dada una señal (por muy compleja que sea) la podemos descomponer en ondas simples. 5. Ahora bien, es muy difícil encontrar un ejemplo de serie de Fourier. Porque realmente no se usan de forma directa, sino que se abstrae este concepto por otro llamado "transformada de Fourier".

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CAPÍTULO V: LISTA DE REFERENCIAS. 1. https://books.google.com.pe/books?id=uxauLevnXxUC&pg=PA383&lpg=PA383&dq=Fu nci%C3%B3n+de+Periodo+21+serie+de+fourier&source=bl&ots=1rIIDHU8xo&sig=I8w6 1TNsa8aoa6LtzjzvlePhjss&hl=es-419&sa=X&ei=jDCJVI2eLciogwTYIGYDw&ved=0CCYQ6AEwAg#v=onepage&q&f=false 2. Tema 11. Series de Fourier, pág. 15, 1. 3. 230586333-Analisis-III.docx 4. ananana/tema_4_series_de_fourier-4725.pdfananana/02-Cap02.pdf 5. http://es.slideshare.net/docdigitus/analisis-de-fourier-para-seales 6. https://www.uclm.es/profesorado/raulmmartin/AmpliacionMatematicas/SeriesFourie r.pdf

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Introducción a Las Series de Fourier

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