Tecnológico Nacional de México Instituto Tecnológico de Ensenada
Ingeniería Electromecánica
Ecuaciones Diferenciales Dr. Murrieta Rico Fabián Natanael Unidad 5: Introducción a las Series de Fourier
208 “4cA”
Mayo 22 del 2017
Ensenada, Baja California
Lista de los integrantes del grupo: 1. Aquino Miguel Natanael (El Tocayo) 2. Arellano Espinoza Juan Manuel (Sr. Elegido) 3. Castro Saldívar Gerardo Antonio (El Copión) 4. Gaspar Gaspar Carlos Alberto (Sr. Rif) 5. Lozano Alaníz Esteban (Sr. Villavicencio Potter) 6. Magallanes Appignanesi Julio Cesar (Magachanes) 7. Meza Valdez Jorge Illmar (Magallanes Jr.) 8. Molina Carrillo José Hernán (Sr. Alterado) 9. Pérez Bustamante José Roberto (Sr. Tortillería Anita) 10.Robledo Celis Eduardo (Sr. Nórdiko) 11.Rodríguez Esqueda Héctor Daniel (Sr. Esqueda) 12.Sánchez Romero Elías Miguel (Sr. Del Pelo) 13.Villavicencio Espinoza Arturo Antonio (Pokearturo)
5 Introducción a las series de Fourier Las series de Fourier son series de términos coseno y seno y surgen en la tarea práctica de representar funciones periódicas generales. Como aplicación constituyen una herramienta muy importante en la solución de problemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. La teoría de las series de Fourier es bastante complicada, pero la aplicación de estas series es simple. Las series de Fourier son, en cierto sentido, más universales que las series de Taylor, ya que muchas funciones periódicas discontinuas pueden desarrollarse en serie de Fourier, pero, desde luego, no tienen representaciones en serie de Taylor. La introducción de las series de Fourier (y de las integrales de Fourier) fue uno de los mayores avances jamás realizados en la física matemática y en sus aplicaciones en la ingeniería, ya que las series de Fourier (y las integrales de Fourier) son probablemente la herramienta más importante en la solución de problemas con valores en la frontera. Esto se explicará en el capítulo siguiente. La transformada de Laplace es con mucho la transformada integral más importante en ingeniería. Desde el punto de vista de las aplicaciones, las siguientes en importancia serían quizás la transformada de Fourier, aun cuando su manejo resulta un tanto más difícil que la transformada de Laplace.
5.1 Teoría preliminar Una sinusoide es una señal de la forma
(2 )
(Ec. 01)
El número A > 0 es la amplitud, v > 0 es la frecuencia medida en ciclos por segundo o Hercios (Hz), -π < φ 6 π (fase inicial), ω = 2πv es la frecuencia en , (que se llama a veces frecuencia angular). El periodo es el tiempo que necesita la sinusoide para completar un ciclo completo, es decir, el periodo es T = segundos.
⁄
1⁄ (2( 1⁄) ) (2 2 ) (2 ) ( ) () ∈ ( ) () ∈ , ∈ ( ) () ∈ () (2 ) ()
En general, una función f: R C se dice que es periódica con periodo T si para todo . En tal caso cualquier múltiplo entero de T es también un periodo f , esto es, (Ec. 02)
Para todo . Por convenio, una función constante se considera periódica con cualquier periodo. Salvo este caso, cuando se dice que una función es periódica de periodo T, se sobreentiende que T es el numero positivo, más pequeño que verifica la igualdad para todo .
En la representación gráfica de la señal se interpreta como la amplitud de señal en el instante t. La amplitud A representa la máxima altura que alcanza dicha gráfica, esto es, el máximo absoluto de la función f (el mínimo absoluto es – A). La frecuencia es el número de veces (ciclos) que se repite la gráfica en un segundo. El periodo es el tiempo necesario para que la gráfica complete un solo ciclo.
5.2 Series de Fourier La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo T . Algunas funciones periódicas de f (t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada “Serie trigonométrica de Fourier”
Donde
1 () 2 ∑[ cos()()] = , / 2 ∫ () y
= 2π/T y
(Ec. 03)
son los coeficientes de Fourier que toman los valores:
/
−/
2 ∫ () () 1,2,3,… −/ /
2 ∫ () () 1,2,3,… −/ (), ()
(Ec. 04)
(Ec. 05)
(Ec. 06)
Se dice que las funciones del conjunto { (t)} son ortogonales en el intervalo a
≠ ∫() () {0 }
(Ec. 07)
Forma compleja de serie de Fourier
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:
Sustituyendo
() 12 ( −) () 21 ( −)
1 1 () 2 ∑[ 2 ( −) 21 ( − )] =
(Ec. 08)
(Ec. 09)
(Ec. 10)
Y usando el hecho de que 1/i = -i:
(Ec. 11)
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Extensión periódica
Las funciones de conjunto básico tiene un periodo común de 2p, por eso se dice que el lado derecho de la ecuación se le denomina periodo. Y con esto podemos decir que una serie de Fourier no solo representa a la función en el intervalo (-p, p), sino que también de la extensión periódica de f fuera en el intervalo. Aplicando el teorema a la extensión periódica f, o desde el principio suponer, que la función dada es periódica con un periodo de 2p. Y cuando f es continúa por tramos y converge hacia el primero
[f (p−)+f (p+)] en esos extremos y hasta el
valor extendido periódicamente a 3p, 5p, 7p, etc.
5.3 Series de Fourier en cosenos, senos y medio intervalo Series de Fourier en cosenos
Una serie de Fourier en cosenos no es más que extraer una función definida en intervalos con una función par. La función lo es, si . Ahora que es una función par en y se extienda a todo el intervalo , originando que de periodo 2π de tal manera que la serie de Fourier de la función sea: (Ec. 17)
[,]
() () () [∞,∞] () () () 1 ∫−() 0 1 ∫−[ () cos] 0
(Ec. 18)
La serie de Fourier, solo tiene términos en senos, es decir, será de la forma
() 2 3 ⋯
Gráfica 1. Reflexión par de
()
(Ec. 19)
Series de Fourier en senos
Esto es extender el comportamiento de una función definida en medio de intervalos como una función impar. Esta lo es si
() () 1 ∫−[ () ] 0
(Ec. 20)
La serie de Fourier correspondiente solo tiene el términos independiente y términos en coseno, es decir, será de la forma
() cos cos2 ⋯
Gráfica 2. Reflexión impar de
(Ec. 21)
()
() ( )
Gráfica 3. Reflexión de medio periodo
Series de Fourier en medio intervalo
Definiendo la función f en –π < x < 0 como 3.
() ( )
como se muestra en la gráfica
En la definición de serie de Fourier, de funciones pares o impares, solo se utiliza la mitad del intervalo, es decir de 0 < x < π, por lo tanto en la práctica no hay necesidad de reflejar la función haciéndola par o impar, se define la función en la mitad del intervalo a partir del origen. Esto se conoce como desarrollo en mitad del intervalo.
()
( ) ()
La función es alternada: es decir , las cuales son un caso corriente en electrotecnia. En este caso la serie de Fourier correspondiente solo tiene términos de senos y cosenos impares, ya que los pares se anulan, en efecto
1 1 ∫−[ () cos2] ∫−[ () cos2 ] ∫ [ () cos2]
(Ec. 22)
