Aplicaciones de La Derivada a Las Ciencias Empresariales

Pequeños modelos matemáticos

Consumo Consu mo Nacio Nacional, nal, Ingre Ingreso so Nacio Nacional nal y Aho Ahorro rro

Elasticida Elast icidad d de la Deman Demanda da

ANÁLISIS MATEMÁTICO I Aplicación de las Derivadas a las Ciencias Empresariales Carlos Felipe Piedra Cáceda. Licenciado en Matemática. Con estudios de Maestría en Ingeniería Matemática.

17 de enero de 2014


Consumo Nacional, Ingreso Nacional y Ahorro

Elasticidad de la Demanda

Modelo de Costo Marginal Función de Costo Marginal Si C (x ) es la función de costo, entonces el costo marginal(razón de cambio del costo) está dado por: C (x ). 

dC Costo Marginal = dx C (x ) 

≈ costo de hacer un artículo más después de que x artículos se

hicieron.

Función de Costo Promedio Marginal ¯ (x ) = C (x ) . Si el costo promedio está dado por: C x Entonces el costo promedio marginal es la derivada del costo promedio: d ¯ C (x ) Costo Promedio Marginal = dx




Función de Ingreso Marginal Si I (x ) es la función de ingreso, entonces el ingreso marginal(razón de cambio del ingreso) está dado por: I (x ). 

Ingreso Marginal = I  (x )

dI dx

≈ ingreso de vender un artículo más después de que x

artículos se vendieron.

Función de Ganancia Marginal Si G (x ) es la función de ganancia, entonces la ganancia marginal(razón de cambio de la ganancia) está dado por: G (x ). 

dG Ganancia Marginal = dx G  (x )

≈ ganancia o pérdida de vender un artículo más después de




Ejemplo 1 Suponga que el costo total en cientos de dólares de producir x miles de barriles de una bebida está dado por: C (x ) = 4 x 2 + 100x + 500

,0

≤ x ≤ 50

Encuentre el costo marginal para los siguientes valores de x . a) x = 5. b) x = 30.

Ejemplo 2 El costo total en miles de dólares de fabricar x generadores eléctricos está dado por: C (x ) = x 3 + 15x 2 + 1000

−

a) Encuentre el costo promedio por generador.




Ejemplo 3 Suponga que el costo en dólares de fabricar x cientos de artículos está dado por: C (x ) = 3 x 2 + 7x + 12 a) Encuentre el costo promedio. b) Encuentre el costo promedio marginal. c) Encuentre el costo marginal. d) Encuentre el nivel de producción para el cual el costo promedio marginal es cero.




Ejemplo 4 La función de demanda para un cierto producto está dada por: p =

50,000 x 25,000

−

Encuentre el ingreso marginal cuando x = 10 ,000 unidades y p está dado en dólares.

Ejemplo 5 Suponga que la función de costo para el producto en el ejemplo 4 está dada por: ,0 C (x ) = 2100 + 0,25x x 30,000

≤ ≤

Encuentre la ganancia marginal de la producción del siguiente número de unidades: a) x = 15 ,000. b) x = 21 ,875.




Función de Consumo Función de Consumo La función de consumo C = f (I ) expresa una relación entre el ingreso nacional total I y el consumo nacional total C . La función de consumo se caracteriza porque a medida que aumenta(o disminuye) el ingreso, el consumo aumenta(o disminuye) lo cual se da en menor intensidad y es llamada Propensión Marginal al Consumo que signiﬁca que es mayor que cero y menor que uno, donde la Propensión Marginal es la tasa de cambio del consumo con respecto al cambio en el ingreso disponible. Luego como la diferencia entre el ingreso I y el consumo C es el ahorro S , entonces: S = I C . Ahora al derivar a ambos lados con respecto a I se obtiene la Propensión Marginal al Ahorro .

−




Propensión Marginal al Consumo La propensión marginal al consumo es la razón de cambio del consumo con respecto al ingreso. dC Propensión Marginal al Consumo = dI

donde: ”C ” es el consumo nacional total. ”I ” es el ingreso nacional total.

Propensión Marginal al Ahorro La propensión marginal al ahorro indica que tan rápido cambia el ahorro con respecto al ingreso. Propensión Marginal al Ahorro = 1 donde: ”C ” es el consumo nacional total. ”I ” es el ingreso nacional total.

−

dC dI




Ejemplo 6 Si la función de consumo está dada por:

√

5(2 I 3 + 3) C = I + 10 a) Determine la propensión marginal al consumo cuando I = 100. b) Encuentre la propensión marginal al ahorro cuando I = 100.




Ejemplo 7 Suponga que la función de consumo de un país está dada por:

√ √ 10 I + 0,7 I − 0,2I √ I C = 3

donde: C e I están en miles de millones de dólares. a) Encuentre la propensión marginal al ahorro cuando el ingreso es de 25000 millones de dólares. b) Determine la razón de cambio relativa de C con respecto a I , cuando el ingreso es de 25000 millones de dólares.




Elasticidad de la Demanda La elasticidad de la demanda permite medir cómo un cambio en el precio de un producto afecta la cantidad demandada; es decir, la respuesta del consumidor frente al cambio del precio. En términos informales, la elasticidad de la demanda es la razón del cambio porcentual en la cantidad demandada que resulta en un cambio porcentual dado en el precio: cambio porcentual en la cantidad cambio porcentual en el precio La elasticidad es realmente una aproximación de la razón: cambio relativo en la cantidad cambio relativo en el precio




Deﬁnición: Si: p=f(q) es una función de demanda diferenciable, la elasticidad puntual de la demanda, es: p dq η = . q dp

Hay tres categorías de elasticidad: a) Cuando

| η |> 1, la demanda es elástica. b) Cuando | η |= 1, la demanda tiene elasticidad unitaria. c) Cuando | η |< 1, la demanda es inelástica.




Ejemplo 8 Determine la elasticidad puntual de la ecuación de demanda: q = p 2

− 40p + 400

, q >

cuando p = 15. ¿Qué clase de elasticidad es?

Ejemplo 9 Si la demanda es:

q

+

p

= 1

1000 8 Calcule la elasticidad de la demanda cuando: a) p = 2. b) p = 4. c) p = 6.

0

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