Funciones como pequeños modelos matemáticos
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Análisis Análi sis del Punto de Equi Equilibr librio io
ANÁLISIS MATEMÁTICO I Aplicación de las Funciones a las Ciencias Empresariales Carlos Felipe Piedra Cáceda. Licenciado en Matemática. Con estudios de Maestría en Ingeniería Matemática.
16 de enero de 2014
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Análisis del Punto de Equilibrio
Modelo de Costo Lineal Función Lineal de Costo Total En la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de costos; que se conocen como costos fijos y costos variables. A los costos fijos hay que enfrentarse sin importar la cantidad producida del artículo; es decir, no dependen del nivel de producción. Ejemplos de costos fijos son las rentas, intereses sobre préstamos y salarios de administración. Los costos variables dependen del nivel de producción; es decir, de la cantidad de artículos producidos. Los costos de los materiales y de la mano de obra son ejemplos de costos variables. El costo total está dado por: Costo Total = Costos Variables + Costos Fijos
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Análisis del Punto de Equilibrio
Consideremos el caso en que el costo variable por unidad del artículo es constante. En este caso, los costos variables totales son proporcionales a la cantidad de artículos producidos. Si m denota
el costo variable por unidad, entonces los costos variables totales al producir x unidades de artículos son de mx dólares. Si los costos fijos son de b dólares, se desprende que el costo total y (en dólares) de producir x unidades está dado por: c
C (x ) = y = mx + b c
(1)
La ecuación (1) es un modelo de costo lineal . La gráfica es una
línea recta cuya pendiente representa el costo variable por unidad y cuya ordenada al origen da los costos fijos.
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Análisis del Punto de Equilibrio
En la función lineal de costo C (x ) = mx + b , el costo fijo (el costo que ocurre aún si ningún artículo es producido) se encuentra haciendo x = 0, entonces C (0) = b . Así, el costo fijo es la intersección de la función costo con el eje y . En Economía, el costo marginal es la razón de cambio del costo. El costo marginal es importante en la administración al tomar decisiones en áreas como control de costos, fijación de precios y planeación de la producción. Si la función costo es C (x ) = mx + b , entonces su gráfica es una recta con pendiente m. Como la pendiente representa la razón
de cambio promedio, el costo marginal es el número m(Costo de producir un artículo más). Si C (x ) es costo total de fabricar x artículos, entonces el costo promedio por artículo está dado por: C (x ) ¯ C (x ) = x
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Ejemplo 1 El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50 centavos de dólar y los costos fijos por día son de 300 dólares. a) Encuentre la función de costo lineal y dibuje su gráfica. b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café en un día.
Ejemplo 2 El costo marginal de producir un cierto modelo de celular es de 10 dólares por unidad, mientras que el costo de producir 100 unidades es de 1500 dólares. a) Encuentre la función de costo C (x ), suponiendo que es lineal. b) Determine el costo promedio C (x ) por celular.
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Modelo de Ingreso Lineal
Función Lineal de Ingreso Total Es el dinero que un fabricante recibe por la venta de su producción. Ingreso Total = (Precio por unidad)(N de unidades vendidas) ◦
I (x ) =
αx
donde: ”α” es el precio de venta por unidad. ”x ” es el número de unidades de un producto fabricados o vendidos.
(2)
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Modelo de Ganancia Lineal Función Lineal de Ganancia Total o Utilidad En una situación de fabricación y ventas, la relación básica es: Ganancia = Ingreso total - Costo total G (x ) = (α − m)x − b
(3)
donde: ”α” es el precio de venta por unidad. ”m” es el costo variable por unidad. ”b ” es el costo fijo por unidad. ”x ” representa la cantidad de unidades del artículo producidos y vendidos.
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Ejemplo 3 El costo C (en dólares) de fabricar x fuelles de hojas está dado por la función: C (x ) = 45x + 6000. Cada fuelle puede venderse en 60 dólares.
a) Encuentre una función que exprese el ingreso R(x) por vender x fuelles. b) ¿Cuál es el ingreso por vender 500 fuelles? c) Encuentre una función que exprese la ganancia P(x) por vender x fuelles. d) ¿Cuál es la ganancia por vender 500 fuelles?
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A continuación un ejemplo, donde se expresa la utilidad o ganancia como un modelo no lineal , es decir como una función cuadrática.
Ejemplo 4 Laura López atiende y es dueña de la pastelería Tía Ema. Contrató un consultor para analizar las operaciones del negocio. El consultor dice que sus ganancias P (x ) de la venta de x unidades de pasteles, están dadas por: P (x ) = 120 x − x 2 . a) ¿Cuántos pasteles debe vender para maximizar las ganancias? b) ¿Cuál es la máxima ganancia?
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Ejemplo 5 La ganancia trimestral de Cannon (en miles de dólares) está dada por: G (x ) = − 13 x 2 + 7x + 30 , 0 ≤ x ≤ 50 donde: x (en miles de dólares) es la cantidad de dinero que Cannon gasta en publicidad cada trimestre. a) Determine la cantidad que Cannon debería invertir en publicidad para obtener una ganancia trimestral máxima. b) ¿Cuál es la máxima ganancia trimestral que puede lograr Cannon? Más adelante, en el ejemplo 9, también se presentarán modelos no lineales.
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Oferta y Demanda
La oferta y demanda para un artículo están usualmente relacionados con su precio. Los productores ofrecerán grandes cantidades del artículo a un alto precio, pero la demanda de los consumidores será baja. Cuando el precio del artículo disminuye, la demanda de los consumidores aumenta, pero los productores están menos dispuestos a suministrar grandes cantidades del artículo. Las curvas que muestran la cantidad que se dará a un precio dado y la cantidad que se demandará a un precio dado se llaman curvas de la oferta y demanda. Las curvas de la oferta y demanda son a menudo líneas rectas.
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Ejemplo 6 Katherine, economista, ha estudiado la oferta y la demanda para chapas de aluminio y ha determinado que el precio por unidad p , y la cantidad de demanda q , se relacionan por la ecuación lineal: p = 60 − 43 q . a) Encuentre la demanda a un precio de 40 dólares por unidad. b) Encuentre el precio si la demanda es de 32 unidades. c) Grafique p = 60 − 43 q . d) A un precio de 30 dólares ¿Qué cantidad se demanda? e) ¿A qué precio se demandarán 60 unidades? f) ¿Qué cantidad se demanda a un precio de 60 dólares por unidad?
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Ejemplo 7 Suponga que la economista del ejemplo 6, concluye que la oferta q de chapas se relaciona con su precio p por la función: p = 0 ,85q . a) Encuentre la oferta si el precio de 51 dólares por unidad. b) Encuentre el precio por unidad si la oferta es de 20 unidades. c) Trace la gráfica de la oferta p = 0 ,85q . d) Encuentre el precio, si se ofrecerán 35 unidades.
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Análisis del Punto de Equilibrio La oferta y la demanda son iguales en el punto en que la curva de la oferta intercepta la curva de la demanda. Éste es el punto de equilibrio. Su segunda coordenada es el precio de equilibrio, es decir, el precio en el que la misma cantidad que se demanda se ofrecerá. Su primera coordenada es la cantidad que se demandará y se ofrecerá en el precio de equilibrio; este número se llama la demanda de equilibrio o la oferta de equilibrio. Si el costo total de producción excede al de los ingresos obtenidos por las ventas, entonces el negocio sufre una pérdida. Por otra parte, si los ingresos sobrepasan los costos, existe una utilidad. Si el costo de producción es igual a los ingresos obtenidos por las ventas, no hay utilidad ni pérdida, de modo que el negocio está en el punto de equilibrio.
El número de unidades producidas y vendidas en este caso se denomina punto de equilibrio .
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Análisis del Punto de Equilibrio
Ejemplo 8 Grafique las funciones de oferta: p = 0,85q y demanda: p = 60 − 43 q , en un sólo plano cartesiano. a) Determine gráficamente si se tiene un exceso o una escasez de oferta a un precio de 40 dólares por unidad. b) ¿Cuál es la demanda y el precio de equilibrio?
Ejemplo 9 Suponga que el precio y la demanda para un artículo están relacionados por: p = 150 − 6q 2 (Función de demanda) donde: p es el precio(en dólares) y q es el número de artículos demandados(en cientos). El precio y la oferta están relacionados por: p = 10q 2 + 2q (Función de oferta) donde: q es el número de artículos ofrecidos(en cientos). Encuentre la demanda(y oferta) de equilibrio y el precio de
