TEMA: Apli Aplica caci ción ón de Vecto ectore res s y Valor alores es Prop Propio ios s en Onda Ondas s
Estacionarias.
Objetivo General: •
Identifcar los Vectores y Valores Propios en las Ondas Estacionarias.
Objetivos Específcos:
Aplicar Vectores y Valores Propios en la Ingeniería Electrónica. Conocer la importancia de Valores y Vectores Propios en Ondas Estacionarias.
Contenido científco Vector propio y valor propio En álgebra lineal, los vectores propios, atovectores o eigenvectores de n operador lineal son los vectores no nlos !e, cando son trans"ormados trans"ormados por el operador, dan lgar a n m#ltiplo escalar de sí mismos, con lo !e no cambian s direcci dirección. ón. Este Este escalar escalar recibe recibe el nombr nombre e valor valor propio, propio, atova atovalor, lor, valor valor cara ca ract cter erís ísttico ico o eig eigenva nvalor lor. A mend endo o, na tra trans" ns"orma ormacción ión !eda eda completamente determinada por ss vectores propios y valores propios. $n espacio propio, atoespacio o eigenespacio es el con%nto de vectores propios con n valor propio com#n. &a palabra alemana eigen, !e se tradce en espa'ol como propio, se só por primera ve( en este conte)to por *avid +ilbert en -/ 0an!e+elm1olt( la só previamente con n signifcado parecido2. Eigen se 1a tradcido tambi3n como in1erente, característico característico o el pref%o ato4, donde se aprecia el 3n"asis en la importancia de los valores propios para defnir la natrale(a #nica de na dete determ rmin inad ada a tran trans" s"or orma maci ción ón line lineal al.. &a &ass deno denomi mina naci cion ones es vect vector or y valo valorr característicos característicos tambi3n se tili(an 1abitalmente. 1abitalmente.
Clc!lo de valores propios y vectores propios de "atrices 5i se !iere calclar los valores propios de na matri( dada y 3sta es pe!e'a, se pede calclar simbólicamente sando el polinomio característico. 5in embargo, a mendo reslta imposible para matrices e)tensas, caso en el !e se debe sar n m3todo nm3rico.
Onda estacionaria
Onda estacionaria en na cerda. &os pntos ro%os representan los nodos de la onda. &as ondas estacionarias son a!ellas ondas en las cales, ciertos pntos de la onda llamados nodos, permanecen inmóviles. $na onda estacionaria se "orma por la inter"erencia de dos ondas de la misma natrale(a con igal amplitd, longitd de onda 0o "recencia2 !e avan(an en sentido opesto a trav3s de n medio. 5e prodcen cando interferen dos movimientos ondlatorios con la misma "recencia, amplitd pero con di"erente sentido, a lo largo de na linea con na di"erencia de "ase de media longitd de onda. &as ondas estacionarias permanecen confnadas en n espacio 0cerda, tbo con aire, membrana, etc.2. &a amplitd de la oscilación para cada pnto depende de s posición, la "recencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas !e interferen. 6iene pntos !e no vibran 0nodos2, !e permanecen inmóviles, estacionarios, mientras !e otros 0vientres o antinodos2
lo 1acen con na amplitd de vibración má)ima, igal al doble de la de las ondas !e interferen, y con na energía má)ima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. &a distancia !e separa dos nodos o dos antinodos consectivos es media longitd de onda. 5e pede considerar !e las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de la cerda, el tbo con aire, la membrana, etc. Para na cerda, tbo, membrana, ... determinados, sólo 1ay ciertas "recencias a las !e se prodcen ondas estacionarias !e se llaman "recencias de resonancia. &a más ba%a se denomina "recencia "ndamental, y las demás son m#ltiplos enteros de ella 0doble, triple, ...2. $na onda estacionaria se pede "ormar por la sma de na onda y s onda re7e%ada sobre n mismo e%e.0) o y2
Cando llega a na cresta consectiva, 1abiendo recorrido n valle.
Viceversa.
5e peden obtener por la sma de dos ondas atendiendo a la "ormla8
•
5iendo para )9 y t9 entonces y9, para otro caso se tiene !e a'adir s correspondiente ánglo de des"ase.
Estas "ormla nos da como resltado8
5iendo
y
•
Vientres y nodos 5e prodce n vientre cando
siendo
,
para
, entonces
para
5e prodce n nodo cando
, siendo
, entonces 5iendo
para
para
la longitd de la onda.
Ondas estacionarias en !na c!erda
:odos normales de vibración en na cerda.
&a "ormación de ondas estacionarias en na cerda se debe a la sma 0combinación lineal2 de infnitos modos de vibración, llamados modos
normales, los cales tienen na "recencia de vibración dada por la sigiente e)presión 0para n modo n28
*onde es la velocidad de propagación, normalmente dada por para na cerda de densidad y tensión . &a "recencia más ba%a para la !e se observan ondas estacionarias en na cerda de longitd & es la !e corresponde a n 9 en la ecación de los nodos 0vista anteriormente2, !e representa la distancia má)ima posible entre dos nodos de na longitd dada. ;sta se denomina "recencia "ndamental, y cando la cerda vibra de este modo no se presentan nodos intermedios entre ss dos e)tremos. &a sigiente posibilidad en la ecación, el caso n 9 <, se llama segndo armónico, y presenta n nodo intermedio.
despe%amos
8
Ondas sonoras estacionarias Es n "enómeno relacionado con la re7e)ión del sonido. *ependiendo de cómo coincidan las "ases de la onda incidente y de la re7e%ada, se prodcirán modifcaciones del sonido 0amenta la amplitd o disminye2, por lo !e el sonido resltante pede resltar desagradable.
Cando la longitd de la onda estacionaria es igal a na de las dimensiones de na sala 0largo, alto o anc1o2, se dice !e la sala está en resonancia. El e"ecto es a#n más desagradable si cabe. +ay pntos donde no llega ning#n sonido 0inter"erencia destrctiva2 y otros donde la amplitd se dobla 0inter"erencia constrctiva2. =ráfcamente, si se viese la onda se vería !e lasinsoide 1a desaparecido y la onda 1a ad!irido "orma de dientes de sierra. &a ondas estacionarias tambi3n se llaman eigentonos o modos de la sala.
Vector propio y valor propio
En esta trans"ormación de la :ona &isa, la imagen se 1a de"ormado de tal "orma !e s e%e vertical no 1a cambiado. 0nota8 se 1an recortado las es!inas en la imagen de la derec1a2. El vector a(l, representado por la 7ec1a a(l !e va desde el pec1o 1asta el 1ombro, 1a cambiado de dirección, mientras !e el ro%o, representado por la 7ec1a ro%a, no 1a cambiado. El vector ro%o es entonces n vector propio de la trans"ormación, mientras !e el a(l no lo es. *ado !e el vector ro%o no 1a cambiado de longitd, s valor propio es . 6odos los vectores de esta misma dirección son vectores propios, con el mismo valor propio. >orman el espacio propio de este valor propio. En álgebra lineal, los vectores propios, atovectores o eigenvectores de n operador lineal son los vectores no nlos !e, cando son trans"ormados por el operador, dan lgar a n m#ltiplo escalar de sí mismos, con lo !e no cambian s dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, atovalor, valor característico o eigenvalor. A mendo, na trans"ormación !eda completamente determinada por ss vectores propios y
valores propios. $n espacio propio, atoespacio o eigenespacio es el con%nto de vectores propios con n valor propio com#n. &a palabra alemana eigen, !e se tradce en espa'ol como propio, se só por primera ve( en este conte)to por *avid +ilbert en -/ 0an!e+elm1olt( la só previamente con n signifcado parecido2. Eigen se 1a tradcido tambi3n como inherente, característico o el pref%o auto-, donde se aprecia el 3n"asis en la importancia de los valores propios para defnir la natrale(a #nica de na determinada trans"ormación lineal. &as denominaciones vector y valor característicos tambi3n se tili(an 1abitalmente.
#efnición &as trans"ormaciones lineales del espacio ?como la rotación, la re7e)ión, el ensanc1amiento, o cal!ier combinación de las anteriores@ en esta lista podrían inclirse otras trans"ormaciones? peden interpretarse mediante el e"ecto !e prodcen en los vectores. &os vectores peden visali(arse como 7ec1as de na cierta longitd apntando en na dirección y sentido determinados.
&os vectores propios de las trans"ormaciones lineales son vectores !e, o no se ven a"ectados por la trans"ormación o se ven mltiplicados por n escalar, y por tanto no varían s dirección. El valor propio de n vector propio es el "actor de escala por el !e 1a sido mltiplicado. $n espacio propio es n espacio "ormado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nlo, !e no es n vector propio. &a mltiplicidad geom3trica de n valor propio es la dimensión del espacio propio asociado. El espectro de na trans"ormación en espacios vectoriales fnitos es el con%nto de todos ss valores propios.
Por e%emplo, n vector propio de na rotación en tres dimensiones es n vector sitado en el e%e de rotación sobre el cal se reali(a la rotación. El valor propio correspondiente es y el espacio propio contiene a todos los vectores paralelos al e%e. Como es n espacio de na dimensión, s multiplicidad geométrica es no. Es el #nico valor propio del espectro 0de esta rotación2 !e es nn#mero real.
$%&C'O&AM'E&TO El lm pede "ncionar con "entes de alimentación !e van de los B a B V. 5e pede considerar !e el tempori(ador lm es n blo!e "ncional "ormado por < comparadores, dos transistores, tres resistencias igales, n mltivibrador biestable 07ip 4 7op2 y na etapa de salida.
El tempori(ador lm por si solo prodce n rango má)imo de apro)imadamente de mintos. E)isten dos modos de confgración del lm el modo monoestable y el estable. En la fg. < a, 5e pede ver el "ncionamiento del en modo estable. En este el volta%e de salida pasa de n estado alto a no ba%o y repite el ciclo. El tiempo drante el cal la salida es alta, o ba%a, se determina por medio del circito de
resistencia y el capacitor !e se conectan e)ternamente al tempori(ador lm. Cando el tempori(ador "nciona como modo monoestable, >ig. < b, el volta%e de salida es ba%o, 1asta !e el plso de disparo negativo se aplica al tempori(ador@ en este momento el volta%e de salida pasa a n nivel alto. El tiempo de drante el !e la salida permanece en este nivel alto está determinado por na resistencia y n capacitor conectados al tempori(ador. Al termino del intervalo de tempori(ación, el nivel de volta%e se salida velve a n nivel ba%o.
El centa con n encapslado *IP con pines como se mestra en la >ig. D, cyo "ncionamiento es el sigiente8 Pin (: terminal de tierra Pin ): #isparo, es en esta patilla, donde se establece el inicio del tiempo de
retardo, si el es confgrado como monostable. Este proceso de disparo ocrre cando este pin va por deba%o del nivel de D del volta%e de alimentación 0Vcc2. Este plso debe ser de corta dración, pes si se mantiene ba%o por mc1o tiempo la salida se !edará en alto 1asta !e la entrada de disparo pase alto otra ve(.
Pin *: 5alida, a!í veremos el resltado de la operación del tempori(ador, ya sea !e est3 conectado como monoestable o estable.
Pin +: Feset, si se pone a n nivel por deba%o de .G Voltios, pone la patilla de salida a nivel ba%o. 5i por alg#n motivo esta patilla no se tili(a 1ay !e conectarla a Vcc para evitar !e el lm se reinicie.
Pin Control de voltaje En este pin se conecta n capacitor de "iltro de .H> a tierra, por medio de este capacitor se desvían los volta%es de ri(o y de oscilación !e prodce la "ente de alimentación, a fn de redcir al mínimo el e"ecto de 3stos en el volta%e de mbral. Esta terminal tambi3n es tili(ada para modifcar los niveles del volta%e de mbral y disparo. Con n volta%e e)terno aplicado a la terminal se modifca tanto el volta%e de mbral como el disparo y esto tambi3n pede servir para modlar la "orma de la onda de salida.
Pin ,: $mbral, es na entrada a n comparador interno !e tiene el y se tili(a para poner la salida a nivel ba%o.
Pin -: *escarga, tili(ado para descargar con e"ectividad el capacitor e)terno tili(ado por el tempori(ador para s "ncionamiento.
Pin : VB, tambi3n llamado Vcc, alimentación, es el pin donde se conecta el volta%e de alimentación !e va de /. voltios 1asta voltios 0má)imo2. estro circito se encentra en na confgración estable, la cal se mestra en la >ig./, cyo "ncionamiento es el sigiente8 En el instante en !e el capacitor esta descargado 0estado A en la >ig. / b22, las terminales < y J disminyen de nivel %sto por deba%o de volta%e de mbral in"erior 0Vt9D Vcc2 y el volta%e de la terminal D de salida va a s nivel alto. &a terminal G se comporta como n circito abierto y el capacitor C se carga a trav3s de Fa 0 en netro circito F2 y Fb 0en nestro circito FD2. *rante el tiempo de carga de nestro capacitor 0A4K2 en el !e la salida está en n nivel alto. Cando el volta%e del capacitor 0Vc2 amenta y rebasa %stamente el valor volta%e de mbral in"erior 0Vt 9 <D Vcc2 en el instante en !e el capacitor llega a s má)ima carga 0K2, el envía la se'al de salida al nivel ba%o. &a se'al en la terminal G tambi3n está en nivel ba%o y el capacitor se descarga a trav3s de la resistencia Fb 0FD2. *rante el tiempo de descarga 0K4 C2 en el !e la se'al de salida está en nivel ba%o. Cando volta%e del capacitor desciende %sto por deba%o de volta%e de mbral in"erior, la secencia se repite.
Materiales • • • • • • •
protoboard condensador electrolítico de micro"aradios Circito integrado lm < resistencia << o1mios potenciómetro cable de timbre batería de - voltios
Concl!siones *esp3s de 1aber estdiado el álgebra lineal en na parte@ e)isten aplicaciones de dic1a materia ! abarcan mc1os campos entre los cales la ingeniería electrónica no es la e)cepción. Pdimos llegar a la conclsión de !e las ondas generadas por las ondas generadas por n circito peden ser calcladas mediante ato valores y ato vectores propios.
El tren de ondas presenta características sinsoidales an a grandes distancias, variando gradalmente s periodo.
/eco"endaciones El ensamblado del circito tiene !e estar bn conectado para poder obtener de "orma precisa las ondas. &os valores obtenidos de LlandaM tienen ! estar correctos para poder obtener el resltado correcto de los vientres y nodos generados por el circito generador de plsos. Podemos conectar el circito cerrado no solo a na batería de -v como lo 1icimos esta ves si no !e lo podemos conectar a na "ente de poder, para !e de este modo el circito traba%e mas tiempo, tenga corriente contina.
Onda estacionaria
Onda estacionaria en na cerda. &os pntos ro%os representan los nodos de la onda.
&as ondas estacionarias son a!ellas ondas en las cales, ciertos pntos de la onda llamados nodos, permanecen inmóviles. $na onda estacionaria se "orma por la inter"erencia de dos ondas de la misma natrale(a con igal amplitd, longitd de onda 0o "recencia2 !e avan(an en sentido opesto a trav3s de n medio. 5e prodcen cando interferen dos movimientos ondlatorios con la misma "recencia, amplitd pero con di"erente sentido, a lo largo de na linea con na di"erencia de "ase de media longitd de onda.
&as ondas estacionarias per"anecen confnadas en !n espacio 0cerda, tbo con aire, membrana, etc.2. &a amplitd de la oscilación para cada pnto depende de s posición, la "recencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas !e interferen. 6iene pntos !e no vibran 0nodos2, !e permanecen inmóviles, estacionarios, mientras !e otros 0vientres o antinodos2 lo 1acen con na amplitd de vibración má)ima, igal al doble de la de las ondas !e interferen, y con na energía má)ima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. &a distancia !e separa dos nodos o dos antinodos consectivos es media longitd de onda. 5e pede considerar !e las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de la cerda, el tbo con aire, la membrana, etc. Para na cerda, tbo, membrana, ... determinados, sólo 1ay ciertas "recencias a las !e se prodcen ondas estacionarias !e se llaman "recencias de resonancia. &a más ba%a se denomina "recencia "ndamental, y las demás son m#ltiplos enteros de ella 0doble, triple, ...2. $na onda estacionaria se pede "ormar por la sma de na onda y s onda re7e%ada sobre n mismo e%e.0) o y2
Cando llega a na cresta consectiva, 1abiendo recorrido n valle.
Viceversa.
5e peden obtener por la sma de dos ondas atendiendo a la "ormla8
5iendo para )9 y t9 entonces y9, para otro caso se tiene !e a'adir s correspondiente ánglo de des"ase. Estas "ormla nos da como resltado8
5iendo
y
Vientres y nodos
5e prodce n vientre cando
,
siendo
, entonces
para
para
5e prodce n nodo cando
, siendo
para
, entonces
para 5iendo
la longitd de la onda.
