Introducción: Conceptos de valores propios y vectores propios. Esto stos con concept cepto os son imp import ortante antes s en toda todas s las las área áreas s de las las matemáticas ya que se aplican a la física, estadística y en especial a la ingeniería. Los conceptos de valores propios y vectores propios se emplea en la construcción de soluciones para las ecuaciones en diferencias como en un sistema dinámico dinámico lineal discreto discreto de la forma forma x k −1 = AX k ' para resolver sistemas diferenciales lineales y tami!n prolemas por ecuaciones en derivadas parciales Conceptos de eigenvectores y eigenvalores. Esto Estos s conc concep epto tos s se apli aplica can n en la est estadís adísti tica ca mas mas que que en otr otros campos. Los Los proc proces esos os de diag diagon onal ali" i"ac acio ion n y diag diagon onal ali" i"ac acio ion n orto ortogo gona nall de matrices.
#$etivos: %Conceptos de valores propios y vectores propios &eigenvectores y eigenvalores' de matrices reales y comple$as. % conocer los eigenvectores de una matri" y sus eigenespacios. %Conocer los procesos de diagonali"acion de matrices, y en ella una diagonali"acion ortogonal de matrices %(atrices sim!tricas y diagonali"acion ortogonal. % )otenciación de matrices mediante procesos mas e*caces como la diagonali"acion ortogonal %+plicaciones: %En la potencia de matrices y ecuaciones en diferencias. (atrices unitarias, matrices normales y matrices ermitianas. %Crecimiento de una polación %-ormas cuadráticas
alores propios y vectores vectores propios
Autores: Goltfried Wilhelm Von Von Lwibniz (1646-1716) (1646-1716)
/ació en Leip"ig y estudió leyes, teología, *losofía y matemáticas proalemente sea me$or conocido por desarrollar, con /e0ton, de manera independiente, las principales ideas del cálculo diferencial e inte integr gral al,, sin sin em emarg argo sus cont contrriuc iucio ione nes s a otr otras ramas amas las las mate matemá máti tica cas s son son tam tami! i!n n impr impres esio iona nant ntes es.. Creó Creó la noci noción ón de determinante, versiones conocidas de la regla de Cramer y teorema de e1pansión de Laplace, antes que se atriuyera el cr!dito a otros, sentó las ases de la teoría de las matrices con su traa$o sore las formas cuadráticas. Leini" tami!n fue el primero en desarrollar el sistem sistema a inari inario o de la aritm aritm!ti !tica, ca, creyó creyó en la import importanc ancia ia de una uena notación con suíndices para los coe*cientes de un sistema lineal que, en esencia, es la que se usa 2oy en día. +unqu unque e la mayo ayor parte arte de su aten atenci ció ón la dedic edicó ó Carr arroll a la geom eometrí etría, a, escr escri iió ió tam tami! i!n n sor sore e nume numerrosos sos otros tros tem temas matemáticos: de la cuadratura del círculo, del cifrado de mensa$es &llega &llegando ndo a invent inventar ar alguno algunos s m!todo m!todos', s', de álger álgera, a, de aritm! aritm!tic tica a electoral y votaciones, así como sore lógica. En los los 3lt 3ltimo imos a4o a4os de su vida vida no sólo ólo pres prestó tó atenc tenció ión n a las las matemáticas recreativas &con $uegos de cálculo como los die" nudos de su liro 5n cuento enmara4ado' o al estudio de las parado$as &anali"ó la parado$a de +quiles y la tortuga, y elaoró una propia, la de la arería', sino que tami!n se dedicó a la 3squeda de formas de e1posición sistemática de, por e$emplo, la teoría del silogismo. )or lo demás, elaoró cuadros, *c2as y diagramas del tipo de los de enn e introdu$o ároles lógicos.6 En cuanto a la geometría, pulicó numerosos apuntes a modo de aclaraciones sore la ora de referencia de su !poca, los Elementos
de Euclides, y un liro en el que confrontaa a este con otros autores contemporáneos, Euclid and 2is (odern 7ivals &89;'. Joseh Louis L!"r!n"e (17#6-1$1# (17#6-1$1#))
(ate (atemá máti tico co y físi físico co fran franc! c!s. s. En un lir liro o de 8; 8; !l enfa enfati ti"ó "ó la importancia de la serie de
%istori!: )uede parecer muy e1tra4o, pero los valores propios de las matrices aparecieron pulicados antes que las matrices. Esto se dee al 2ec2o insóli insólito to de que, que, parafr parafrase aseand ando o a Cailey Cailey,, la teoría teoría de las matric matrices es estaa ien desarrollada &a trav!s de la teoría de los determinantes' antes de que siquiera se de*nieran las matrices. eg3n (orris >line, los valores propios se originaron en el conte1to de formas cuadráticas y en la mecánica celeste &el movimiento de los los planetas', conoci conoci!nd !ndos ose e como como raices raices caract caracterí erísti sticas cas de la ecuaci ecuación ón escala escalarr. ?esde apro1imadamente 86@, Euler usaa de manera implícita los valo valorres pro propios pios para ara desc descrriir iir geo geom!tr m!tric icam amen entte las las for formas cuadráticas en tres variales. + *nal *nales es del del sigl siglo o AIA, AIA, la teor teoría ía de los los dete deterrmina minant ntes es se 2aí 2aía a desarrollado a tal grado que liros enteros se dedicaan a ella, entre ellos ellos la ora ora de ?ogso ?ogson, n, +n Elemen Elementar tary y <2eory <2eory of ?eter ?etermin minant ants, s, pulicada en 89B, y el monumental traa$o de cinco vol3menes de <2omas (ir, que apareció a principios del siglo AA. (ientras que su 2istoria es fascinante, en la actualidad de los determinantes son de inter!s teórico mas que practico. La regla de Cramer es un m!todo totalmente ine*ciente para resolver sistemas de ecuaciones lineales, mientras que los m!todos num!ricos 2an reempla"ado cualquier uso de los determinantes para calcular los eigenvalores. /o ostante, los deter determin minate ates s son emplea empleados dos para para dar a los estudi estudiant antes es una idea idea inicial de los polinomios característicos.
&on'eto: los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un m3ltiplo escalar de sí mismos, con lo que no camian camian su dirección dirección.. Este escalar escalar recie recie el nomre nomre valor propio, propio, auto autova valo lor, r, valo valorr car caracte acterríst ístico ico o eige eigenv nval alor or.. + menud enudo, o, una una transformación queda completamente determinada por sus vectores pro propio pios y valo valorres prop propio ios s. 5n espa espaci cio o propio opio,, auto autoes esp pacio acio,, eigenespacio o suespacio fundamental asociado al valor propio λ es el con$unto de vectores propios con un valor propio com3n.
Bibliografía: +lgera Lineal: 5na introducción moderna de ?avid )oole iografías: Diipedia, ane1o de liro de ?avid )oole
En el caso de calcular, los valores escalares λ ' y los vectores que ¿ no sean igual a cero tenemos, en matrices cuadradas se cumple que la matri" cuadrada +: +1 = F1 ?onde: 1: vector característico &Eigenvector' de + F: valor característico &eigenvalor' de + + partir de esa ecuación se puede reescriir de la siguiente manera: &+ % FG'1 = @ +sí la ecua ecuaci ció ón se tran trans sfor forma en el cono conoci cid do siste istem ma lin lineal eal 2omog!neo 1=@, del cual saemos que tiene solución 3nica 1=@ cuando det&'H@. Esta ecuación es la importante para deducir lo siguiente: El valor de F es un valor valor propio de la matri" + si y solo si: si: ?et&+ % FG' = @ esta ecuación, es la ecuación característica de la matri" +, tami!n se puede deducir que el determinante de la ecuación anterior resulta ser un polinomio de potencias potencias de F . )or eso la ecuación: a&F'=det&+ a&F'=det&+ % FG', se llama el polinomio p olinomio característico de la matri" +. ay ay que que tene tenerr en cuen cuenta ta que que el poli polino nomi mio o cara caract cter erís ísti tico co de una una matri" de dimensiones nJn es de grado n, por lo tanto tendrá n posiles valores propios que satisfagan a la ecuación: ?et&+ % FG' = @. )ara ver si es un vector propio se plantea que: i F es un valor propio de + y si 1 es el vector no nulo tal que +1 = F1 entonces entonces 1 se dice que es vector vector propio propio de +, y que corre correspond sponde e al valor propio F Espacio característico de F: 5na matri" +&n1n' con un eigenvalor F, el con$unto de eigenvectores de F $unto con 0´ , es un sue suesp spac acio io de Rn , llamad llamado o espaci espacio o característico de F o eigenespacio de F.
)ara determinar los valores y vectores característicos de una matri" +, &n1n', sea I una matri" identidad &n1n'. La ecuación seria: +1 = F1 en la forma +1 = FI1 y se otiene: &FI%+'1 = @ )ara este sistema 2omog!neo de ecuaciones tiene soluciones diferentes de cero si y solo si la matri" de coeficientes &FI%+' no es invertile, es decir, si y solo si el ?E<&FI%+'=@ E$emplo: ?eterminar los eigenvalores y eigenvectores de + +=
[
−12 −5
2 1
]
?e la ecuación característica de +, K FI%+ K = @
|
|
−2 −12 = &F%'& FMN'%&%8' @= λ −1 λ + 5 @= λ2 MOFM F8= %8 F= % Estos son eigenvalores de + )ara determinar los eigenvectores: &FI P +'1 = @, F8= %8 %8&I' P+ =
[
−1− 2 12 −1 −1 + 5
]
=
[
−3 −1
12 4
]
→
[
]
→ 18%61 =
[ ]
→ 18%O1 =
1 0
−4 0
@ 1=
[ ] x 1 x 2
=
[ ] 4 t
t
[] 4 1
=t
, t ≠ @
por lo tanto el Eigenvector de F8 = %8 es
[] 4 1
&FI P +'1 = @, F= % %&I' P+ =
[
]
−3 −2 12 = − 1 −2 + 5
[
−4 −1
]
12 3
→
@ 1=
[ ] x 1 x 2
=
[ ] 3 t
t
=t
[] 3 1
, t ≠ @
por lo tanto el Eigenvector de F= % es
[] 3 1
1 0
−3 0
ot!: En 896, el matemático noruego /iels enri +el&89@%89;' demostró que una ecuación polinomica general de quinto grado o quíntica no tiene solución mediante radicales, es decir, no e1iste una formula para sus raices en t!rminos de sus coe*cientes que usen solo las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y e1tracción de raices. En un articulo escrito en 89O@ y pulicado de manera póstuma en 896B, el matemático franc!s Evariste Qalois &8988%89O' ofreció una teoría mas completa que estalecía las condiciones con las cuales una ecuación polinomial aritraria puede ser resuelta con radicales. El traa$o de Qalois fue decisivo en el estalecimiento de la rama del algera denominada teoría de gruposR su propuesta de la ecuaciones polinomiales a2ora se conoce como teoría de Qalois. Sacado del libro de Algebra Lineal: Una introducción moderna de David Poole
(!todo de potencias El m!todo de potencias se aplica a una matri" de n1n que tiene in eigenvalor dominante λ1 , es decir, un eigenvalor que es mas grande en valor asoluto que todos los otros eigenvalores. )or e$emplo, si una matri" tiene los eigenvalores %6, %O, 8 O, entonces %6 será el eigenvalor dominante, puesto que 6= K%6K S K%OK ≥ KOK ≥ K8K. )or otra parte, una matri" con eigenvalores %6, %O, O, y 6 no tiene eigenvalor dominante. El m!todo de potencias procede de manera interativa para producir una sucesión de escalares que converge 2acia λ1 y una sucesión de vectores que converge 2acia el Eigenvector correspondiente 8, el Eigenvector dominante. )or ra"ones practicas, supondremos que la matri" + es diagonali"ale. El teorema siguiente es la ase del m!todo de potencias.
E$emplo: ea + una matri" diagonali"ale de n1n con eigenvalor dominante F8. Entonces, e1iste un vector distinto de cero 1@ tal que la secuencia de vectores 1 de*nida por: X 1 = + X 0 , X 2 = + X 1 , X 3 = + X 2 , . . . , A = + X k −1 , . . . se apro1ima a un eigenvector dominante de +.
?emostracion:
)odemos presumir que los eingevalores de + se 2an etiqetado de forma que: K λ1 K S K λ2 K ≥ K λ3 K ≥ . . . ≥ λn sean V 1 , V 2 , . . . V n los eigenvectores correspondientes. ?eido V 1 , V 2 , . . . V n a que son linealmente independientes, n constituyen una ase de R . En consecuencia, podemos escriir X 0 como una cominación lineal de estos eigenvectoresR digamos: X 0 =C 1 V 1 M C 2 V 2 M . . . M C n V n A X +2ora X 1 = + X 0 , X 2 = + X 1 = + (¿¿ 0 ) = A 2 X 0 , X 3 = + A X 2 = + (¿ ¿ 2 X 0 ) =
¿
3 A X 0 , y, de forma general,
¿
X k = A k X 0 para toda ≥ 8
como el e$emplo
Invertiilidad de una matri": +&n1n' es invertile si λ =0 no es un eigenvalor de +. alores propios de matrices triangulares: ea + una matri" triangular cualquiera: a11
a12
. . . an a22 @ . . . a2 n ... ... ... ... @ @ . . . ann su ecuación característica: ?et& λI − A ¿ = @
= & λ −a 11 ' & λ −a 22 ' & … '& λ −ann ' &on'lusin: i la matri" + es triangular entonces sus eigenvectores son los elementos de la diagonal principal.
E$ercicios: *+er'i'io1
?etermine la eigenvectores.
ecuación
característica,
[ ] [ ] [ ] | 2
0
1
0 0
3 0
4 2
¿
la ecuación característica ?et&FI%+'=@
λ
0
0
0 0
λ
0
0
λ
%
2
0
1
0 0
3 0
4 2
K =
λ −2
0
0 0
λ −3 0
Eigenvectores: &FI%+'1 = @ Correspondiente a F=
[ ] [ ] [ ] [] 2
0
0
0 0
2 0
0 2
0
0
0 0
−1
−1 −4
0
1
%
2
0
1
0 0
3 0
4 2
K 1=@
1 =@
1
1=
0 0
, Eigenvector correspondiente a F=
con respecto a F=O
[ ] [ ] [] 2
0
1
0 0
3 0
4 2
=
1
0
1
0 0
0 0
1 0
0
1=
1 0
|
−1 −4 λ −1
=& F%'& F%O'& F%8' los eigenvalores son: F= , F=O, F=8
¿
los
, Eigenvector correspondiente a F=O
eigenvalores
y
con respecto a F=8
[
0 0 0
] [ ] [] [] −1
−1 −4
0
0
0
=
−1
1=
2 1
1
0
1
0 0
1 0
2 0
1
=
−2 , Eigenvector correspondiente a F=8 −1
*+er'i'io ,
?eterminar si 1 es un Eigenvector de +. +=
[ ] 7 2
2 4
+1 = λ 1
A= &8,'
[ ] [] 7 2
2 4
1 2
=
[ ] 11 10
por lo tanto no es Eigenvector de +
1= &,8'
[ ] [] 7 2
2 4
2 1
[ ] 16 8
=
por lo tanto si es Eigenvector de +
correspondiente al valor de λ =2
+=
[
−1 −1 1 −2 0 −2 −3 1 3
]
A= &,%6,B'
[
−1 −1 1 −2 0 −2 3 −3 1
] [] [ ] [] 2
8
−4 = 6
2
−16 = 6 −4 24
6
por lo tanto: 1 si es Eigenvector de + correspondiente al valor de λ =4 1= &, @, B'
[
−1 −1 1 −2 0 −2 3 −3 1
] [] [ ] 2
8
=
0 6
−16
1 no es Eigenvector de +
∴
12
*+er'i'io #
determine la ecuación característica, los eigenvalor y eigenvectores.
[
+=
K
1
2
−2 5 −6 −6
−2 −2 −3
[ ] [ λ
0
0
0 0
λ
0
0
λ
%
]
la ecuación característica ?et&FI%+'=@
1
] |
−2 −2 K = −3
2
−2 5 −6 −6
λ −1 2 6
|
2 −2 2 λ −5 −6 λ + 3
=& F%8'& F%N'& FMO' %6 %6%8& F%N' %8& F%8' M 6& FMO' = λ3 %O λ2 %; F M =& F%O' & F%O' & FMO' eigenvalores: F = O , F = %O Eigenvectores: &FI%+'1 = @ Con respecto a F = O
[
2 2 6
] [ ] [ ] []
−2 −2 −6
2
=
2 6
−1
1=
0 1
1
−1
1
0 0
0 0
0 0
1
, 1=
1 0
con respecto a F = %O
[
] [ [ ] []
−4 −2 −8 2 −6 6
2 2 0
1 /3
1=
1 /3 1
=
1
, =
1 3
2
1
−1
1 1
−4 −1
1 0
] [ =¿
1 1 2
−1 −4 1
0
] [
1 −1
=
1 0 0
−1 −3 0
0 1 0
]
*+er'i'io 4:
encontrar ases para los eigenespacios de +
[
+=
0
0
−2
1 1
2 0
1 3
]
u ecuación característica es: 3 2 λ %N λ M89F %6 = @ & F%8' & F%8' = @
sus eigenvalores son: F = 8, y F = , por lo tanto e1isten dos eigenespacios.
[] [
λ−1
x 1 x 2 x 3
A=
,
−2 2 λ− 5 2 −6 λ + 3
2 6
] [ ] [] x 1 x 2 x 3
0
=
0 0
)ara F =
[
][ ] [ ]
x 1 −1 2 −1 x 2 −1 0 −1 x 3 2
0
2
=
0 0
[ ] [ ] [] −s
0
,
1=
t s
−1
= s
0
M t
0 1
1 0
por lo tanto &%8,@,8' y &@,8,@' son Linealmente Independiente y forman la ase para el eigenespacio correspondiente a F = con respecto a F = 8
[
][ ] [ ]
x 1 −1 −1 −1 x 2 −1 0 −2 x 3 1
0
2
=
0 0
[ ] [ ] −2 s
0
,
1=
s s
−2
= s
1 1
por lo tanto &%,8,8' es una ase para el eigenespacio correspondiente aF=8 *+er'i'io
Calcular los eigenvalores de la matri" A 15 +=
[
1
−2
8
0 0
2 0
10 13
de A n
]
se sae si F es eigenvalor de +, λn sera eigenvalor
)or lo tanto tenemos que los eigenvalores de + por simple inspección son: F = 8, F = , F = 8O
por lo tanto los eigenvalores de A 15 seran: 15
= 8
15
= OB9
F=
1
F=
2
F=
13
15
= N.889N9;O A
16
10
?iagonali"acion de matrices m!tri'es seme+!ntes: dos matrices cuadradas + y del mismo orden se dice que son seme$antes cuando de puede encontrar una matri" ), no singular, que permite escriir: += P−1 ) )re multiplicado en amos lados de la igualdad, por la matri" ) y saiendo que ) P−1 = I, se otendrá: )+=) P−1 )
?e donde , las matrices seme$antes tami!n cumplirán que: )+ = ) )or otra parte, tami!n se puede despe$ar la matri" pos multiplicando la anterior e1presión por P−1 , de esta forma quedará: )+ P−1 = ) P−1 ?e donde: = )+ P−1 así se otiene una matri" seme$ante.
.i!"on!liz!'ion de m!tri'es or seme+!nz! de m!tri'es 'u!dr!d!s:
5na matris + es daginali"ale por seme$an"a, si se puede encontrar una matri" ), llamada (atri" de )aso, formado por los autovectores. Esto permite escriir: ? = P−1 +) ?onde ?, es la matri" diagonal formada por los auto valores. Las matrices ? y + son seme$antes, luego se le puede aplicar todo lo dic2o en el párrafo anterior.
)re multiplicando por la matri" ), otenemos: )? = ) P−1 +) ?e donde: )? = +) )osmultiplicando por la matri" P−1 , quedará: )? P−1 = +) P−1 )or tanto, diagonali"ar por seme$an"a la matri" + es tami!n encontrar una matri" ) y una matri" diagonal ? que permitan escriir: += )? P−1 para 2allar las matrices ? y ), será preciso 2allar con antelación los auto valores y los autovectores. Condiciones su*cientes para la diagonali"acion de matrices: i una matri" + &n1n' tiene n eigenvectores distintos, entonces + es diagonali"ale. V 1 , V 2 , . . . , V k U es un con$unto linealmente i T independiente. )ara matrices con potencias en!simas. ( P−1 AP )2 = P−1 +) P−1 +) = P−1 +I+) = P−1 A2 ) k k − 1 generali"ando: A = P D P
E$ercicios: *+emlo 1
2allar una matri" ) que diagonalice a la matri" + +=
[ ] 1 6
0 −1
|
Ecuación característica: KFI%+K =
|
λ −1
0
6
λ+ 1
)olinomio característico: = & F%8' & FM8' Eigenvalores: F = 8 F = %8 Eigenvectores para &FI%+'1 = @ )ara F = 8
[ ] 0 6
[
0 −1
1 ∧¿/ 3 0
]
=
[] 1 3
)ara F = %8
[
−2
0 −1
6
] [ ] =
1 0
[] 0 1
0 0
la matri" ) es consecuente:
[ ] 1 3
0 1
*+emlo ,
determine si la matri" es diagonali"ale.
+=
[ ] 3
0
0
0 0
2 1
0 2
Ecuación característica: KFI%+K
[
λ−3
0
0
0 0
λ −2
0
1
λ −2
]
= &F%O'& F%'& F%'
?onde los eigenvalores F = O, F = Eigenvectores: &FI%+'1 = @ )ara F = O
[ ] [
0
0
0
0 0
1 1
0 1
[] 0
Eigenvector
0 1
−1
0
0
0 0
1 −1
0 0
] [] 0 0 1
Eigenvector
como solo 2ay dos eigenvectores, se concluye que la matri" + no es diagonali"ale, por no 2aer su*cientes vectores para formar )
*+emlo # calcule A 10 por medio de lo Eigenvalores y Eigenvectores
+=
[ ] 1 −1
0 2
e sae que A k = P D k P−1 )rimero encontrar ): Eigenvalores: F = , F = 8 Eigenvectores: &FI%+'1 =
[
λ−1
0
1
λ− 2
)ara F = 8
[ ] 0 1
0 −1
[] 1 1
,1=
para F =
[ ] 1 1
)=
[ ] 1 1
0 1
0 0
,
,1=
[] 0 1
−1
P
=
[ ] 1 −1
0 1
,
]
[ ] [ ] [ ] 1 −1
?= A
A
0 1
1 −1
0 2
1 1
0 1
=
[ ] [ ] 1 −2
0 2
1 1
0 1
=
[ ] 1 0
0 2
= P D k P−1
k
=
[
[ ] [ ] [ ] ] 1 1
=
10
1 −1023
0 1
1 0
0
2
10
1 −1
0 1
=
[
1 1
0 1024
] [ ] 1 −1
0 1
0 1024
*+emlo 4
?etermine si + es diagonali"ale, encuentre una matri" ) que diagonalice a +
[
−1 += −3 −3
4
−2
4 1
0 3
]
Ecuación característica:
|
λ −1
−3 −3
|
−4 λ−4
0
1
λ −3
2
eigenvalores :
=
& FM8'& F%6'& F%O' %B %B& F%6' %8& F%O'
& λ2 %6F%6'& F%O' = &F%O'& F%'& F%8' &F%O'& F%'& F%8' = @ F= O, F = , F = 8 multiplicidad = 8
por lo tanto multiplicidad = O = numero vectores columna, por lo tanto + si es diagonali"ale.
Eigenvectores: )ara F=O
[
−1 − 4 3 −1 3 −1
2 0 0
] [ =
1
−1
0 0
2 0
]
[ ] []
]
[ ]
1/ 2
1/ 4
−3 / 2 , 1= 0
3 /4 1
1
=
3 4
para F =
[
] [
−4 2 −2 0 = −1 −1
3 3 3
− 1 −1 1 −1 ,
3 0 0
0
0
2 /3
1=
1 1
[] 2
=
3 3
para F = 8
[
2 3 3
] [
−4 2 −3 0 = −1 −2
1
−1
0 0
1 0
por lo tanto la matri" )=
0
]
−1 , 0
[] 1
1=
1 1
[ ] 1
2
2
3 4
3 3
3 3
*+emlo
allar una matri" ) que diagonalice a la matri" +
+=
[
2
0
−2
0 0
3 0
0 3
]
+l ser + una matri" triangular, se pueden e1traer directamente sus eigenvectores que son: F = O, F =
+demás, &FI%+'1 =
Los eigenvectoresR )ara F =
[
λ−2
0
2
0 0
λ −3
0
0
λ −3
]
[
0
0
2
0 0
−1
0 −1
0
]
[]
]
[ ] [ ]
1 0 0
para F = O
[
0
0
2
0 0
−1
0 −1
0
por lo tanto )=
−2 t s t
0
−2
1
1 0
0 1
0 0
[ ] [] −2
=t
0 1
0
M s
1 0
(atrices sim!tricas y diagonali"acion ortogonal reve istoria: En una clase que impartió en la universidad de Qottingen en 8;@N, el matemático alemán ?avid ilert &89B%8;6O' considero operadores lineales que actuaan core ciertos espacios vectoriales de dimensión in*nita, de esta clase surgió la noción de una forma cuadrática en una in*nidad de variales, y fue en este conte1to que ilert utili"o por primera ve" el termino VespectroV para referirse a un con$unto complemento de eigenvalores. Los espacios en cuestión se conocen en la actualidad como espacios de ilert. ilert 2i"o importantes contriuciones a muc2as áreas de las matemáticas, entre ellas, las ecuaciones integrales, la teoría de
n3meros, la geometría y fundamentos de matemáticas. En 8;@@, en el segundo congreso Internacional de las (atemáticas, en ella, desafío a los matemáticos a resolver O prolemas de importancia fundamental durante el siglo que se avecinaa, muc2os de los prolemas 2an sido resueltos y se 2a proado que algunos eran verdaderos y otros falsosR otros mas nunca pudieron resolverse. /o ostante, el discurso de ilert galvani"o a la comunidad matemática y con frecuencia se considera como el de mas inWuencia que $amás de 2aya pronunciado acerca de las matemáticas. Cita del libro algebra lineal una introducción moderna- de David Poole
5na matri" cuadrada + es ortogonalmente diagonali"ale si e1iste una matri" ortogonal X y una matri" diagonal ? tal que: Q T +X = ?
T
= A A +demás una matri" es ortogonal si y solo si sus vectores columna forman un con$unto orto normal. i + matri" sim!trica &n1n' si y solo si sus vectores columna forman un con$unto orto normal. i + matri" sim!trica &n1n' . λ1 , λ2 son eigenvalores distintos de +, entonces su eigenvectores correspondientes x 1 , x 2 son ortogonales. i + es una matri" de &n1n', las siguientes proposiciones son equivalentes: % + es diagonali"ale ortogonalmente % + tiene un con$unto ortonormal de n eigenvectores % + es sim!trica i + es una matri" sim!trica: % todos los eigenvectores de + son reales % los eigenvectores de eigenespacios diferentes son ortogonales. Curiosidad:
(esectro! es una alabra latina "ue signi#ca $imagen$% Cuando los &tomos vibran' emiten lu' cuando esta asa a trav)s de un risma' se disersa en un $esectro$: una banda iridiscente ("ue muestra los colores del arco iris!% Las frecuencias de la vibración corresonden a los eigenvalores de un cierto oerador * son visibles como líneas brillantes en el esectro de lu "ue es emitido desde un risma% De este modo' odemos ver literalmente los eigenvalores del &tomo en
su esectro' * or esta raón' es aroiado "ue la alabra $esectro$ +a*a venido a alicarse al con,unto de todos los eigenvalores de una matri u oerador%
(atri" ortogonal: 5na matri" ) es ortogonal si y solo so sus vectores columna forman un con$unto ortonormal.
)rocedimiento para diagonali"ar ortogonalmente una matri" +&n1n' sim!trica 8.% determinar todos los eigenvalores de + y la multiplicidad de cada uno. .% para cada eigenvalor de multiplicidad 8 elegir un Eigenvector y normali"arlos para otener una ase ortonormal. O.% para cada eigenvalor de multiplicidad Y encontrar un con$unto de vectores Linealmente independientes, que sean ortonormales, aplicando el m!todo de ortonormali"acion de Qram%c2imt2, encontrando así ases ortonormales para cada eigenespacio. 6.% las ases ortonormales otenidas constituyen los vectores columna de la matri" ) por que dee satisfacer: P−1 +) = PT +) = ? &diagonal'
E$ercicios: *+emlo 1
uponiendo que H@, encuentre una matri" que diagonalice ortogonalmente a + +=
[ ] a b b a
Eigenvalores:
[
λ− a −b −b λ −a
]
=
2
λ
P aF M& a2− b2 '
F = aM , F = a% Eigenvectores: Con F = aM
[
b −b −b b
]
[ ] −1
1 0
=
[] 1 1
=t
0
= u8
con F = a%
[
b −b −b b
]
=
[ ] 1 0
1 0
[] 1 1
= t
= u
ortonormali"acion de u8, u: otención
[ ] i
j
1
1
otención 8, 8 =
= i%$ = &8,%8' = &%8,8' = u1 ‖u 1‖
=
(−1,1) √ 2
la matri" ortogonal que diagonali"a a + es:
)=
[ ] −1
1
√ 2
√ 2
1
1
√ 2
√ 2
(−1,1) √ 2
*+emlo ,
Encuentre una matri" que diagonalice ortogonalmente a +.
[
+=
−2
6 −2
3
]
Eigenvalores:
[
λ−6
2
2
λ −3
]
= &F%B'& F%O' %6, F = , F =
Eigenvectores: Con F =
[ ] 1 2
2 4
[ ] 1 0
=
2 0
1, = t
[ ] −2
Z[ u8
1
con F =
[
−4 2
2 −1
]
=
[ ] 2 0
−1 1, = t 0
[] 1 2
Z[ u
#rto normali"amos u8, u
#tención
#tención 8 =
[ ] i
j
2
−1
u1 ‖u 1‖
= i M$ = &8,' =
=
(−2,1) √ 5
La matri" ortogonal de diagonali"ada a + es:
[ ] −1 −2
)=
√ 5
−1 √ 5
√ 5 1
√ 5
(−1,−2 ) √ 5
*+emlo #
?etermine si la matri" dada es ortogonal.
+=
[ ] √ 2
−√ 6
√ 3
2
6
3
0
√ 6
√ 3
3
3
√ 2
√ 6
−√ 3
2
6
3
sus vectores columna deen formal un
con$unto ortonormal. 2 )8= & √ , @,
√ 2
2
−√ 3 3
2
−√ 6 √ 6 √ 6 , ,
' , ) = &
6
3
6
'
3 )O = & √ , 3
√ 3 , 3
, '
\p8,pS = %
√ 12 12
\p8,pOS = %
√ 6
\p,pOS = %
√ 18
6
18
M % M
√ 12 12
= @
√ 6
=@
6
√ 18 9
%
√ 18 18
=@
KKp8KK = ¿ p 1, p 1>¿ = ] M]6 = 8 =8 √ ¿ KKpKK = ¿ p 2, p 2 >¿ = B]OB M B];MB]OB = 8= 8 √ ¿ KKpOKK = ¿ p 3, p 3 >¿ = O];MO];MO]; = 8 = 8 √ ¿ por lo tanto sus vectores si forman un con$unto ortonormal y consecuentemente la matri" si es ortogonal. *+emlo 4
Encuentre una matri" ortogonal ), tal que ortogonalmente a +.
P
T
+) diagonalice
[
+=
0
10
10
10 10
5 0
0 −5
]
Eigenvalores:
[
λ
−10 −10
−10 −10 λ− 5 0 0 λ+ 5
]
F& λ2 %N' %8@@&F%N' P 8@@&F%N'
?onde:
F = @, F = 8N, F%8N
Eigenvectores: Con F = @
[
0
−10 −10
] [
−10 −10 = 0 −5 0
5
]
1
0
−1 / 2
0 0
1 0
1 0
1
0
0 0
1 0
1
0
1
0 0
1 0
−1
[] [] 1 /2
=t
1
=
−1
−2
1
2
Con F = 8N
[
15
−10 −10
−10 −10 10 0
0 20
] [ =
]
[]
]
[]
1
2
−2 = t 0
Z[ u
2 1
Con F = %8N
[
] [
−15 −10 −10 = −10 −20 0 −10 0 −10
0
−1
= t
Z[ uO
1 1
#rtonormali"acion u8, u
#tención O
O=
|
|
i
j
k
1 2
−2
2 1
2
(−6,3,6 ) 9
= %Bi M O$ M B
= &
2 3
,
−1 3
,
2 3
'
Z[ u8
|
#tención:
|
i
j
k
1 −6
−2
2 6
3
= %89i %89$ %;
(−18,−18,−9 )
=
27
#tención 8, 8 =
u1 ‖u 1‖
= &
=
−2 3
,
−2 3
,
−1 3
'
( 1,−2,2 ) 3
La matri" ortogonal que diagonali"a a + es
)=
[
1/ 3
−2 / 3 2 /3
−2 /3 2 / 3 −2 /3 −1 / 3 −1 /3 −2 / 3
]
*+emlo
?iagonalice ortogonalmente a +.
+=
[
−2
0
−36
0 −36
−3
0 −23
0
]
Eigenvalores:
[
λ + 2
0
36
0 36
λ +3
0 λ + 23
0
]
&FM'& FMO' &FMO' % 8;B&FMO' F = %O, F = %N@, F =N
Eigenvectores: Con F = %O
[
−1
0
36
0 36
0 0
0 −20
] [ =
1
0
−36
0 0
0 0
1 0
] [] 0
= t
1 0
Z[ u8
Con F = %N@
[
−48
0
36
0 36
−47
0 −27
0
] [ =
1
0
−3 / 4
0 0
1 0
0 0
]
[ ] 3/4
= t
Z[ u
0 1
Con F =N
[
27
0
36
0 36
28 0
0 48
] [ =
1
0
−4 / 3
0 0
1 0
0 0
]
= t
]
=i
[ ] −4 / 3 0 1
Z[ uO
ortonormali"acion u8, u, uO.
[
#tención de O:
#tención de :
[
i
j
k
0 −3 / 4
1 0
0 0
i
j
k
0 −4 / 5
1 0
0 −3 / 5
#tención de 8, 8=
]
−3 4 k
= %
3 5i
=&
%
4 5
4 5 k
, 0,−
3 5
= &%
'
3 5
,@, %
4 5
'
u1 = &@,8,@' ‖u 1‖
La matri" ortogonal que diagonali"a a + es:
)=
[
4/5
0
−3 / 5
0 −3 /5
1 0
0 −4 / 5
]
)otencias de matrices: Ecuaciones en ?iferencias En este tema se puede utili"ar los auto valores y autovectores para reali"ar dic2a operación de forma mas cómoda. se parte de la e1presión: P−1 +)= ? elevando al cuadrado amas partes de la e1presión, quedara: [ P−1 AP ]2 = D2
y saiendo que P−1 ) = I, quedara: ^ P−1 +)_^ P−1 +)_ = P−1 +) P−1 +) = P−1 2 D
A
2
) =
luego, si se quiere elevar a una potencia determinada una matri" +, en virtud del ra"onamiento anterior, se podrá escriir: −1 n n P A ) = D )remultipicando amos miemros de posmultiplicando por P−1 , se tendrá: ) P−1 A n ) P−1 = ) Dn P−1
la
igualdad
por
),
y
5n sistema en diferencias lineal con coe*cientes constantes de m ecuaciones y m variales, es una e1presión que podemos escriir matricial% mente de la siguiente manera:
?e entre este tipo de sistemas, el caso mas elemental &aunque para casos mas generales, el procedimiento a seguir es similar' consiste en dos ecuaciones y dos variales
La clave para resolver este tipo de sistemas, es intentar e1presarlo como una ecuación en diferencias lineal de segundo orden con coe*cientes constantes. En efecto, de la primera de las ecuaciones
sustituimos el valor de la segunda de las ecuaciones del sistema en:
en la que solo aparece un termino
en el que no intervenga la
función ?espe$ando de la primera ecuaciones del sistema, sustituyendo y 2aciendo factor com3n se otiene *nalmente:
que es una ecuación en diferencias lineal de segundo orden. ea + una matri" cuadrada de orden p, y u@ ` R p . Entonces la solución del sistema de ecuaciones en diferencias un = +nn%8 con un vector inicial u@ es: 5n = ) J n P−1 u@ n=8,, iendo b = P−1 +) la forma canónica de bordán de +.
/orm! e0li'it! de l! solu'in de un! e'u!'in en diferen'i!s line!l homo"2ne! Como aplicación directa del tema anterior, acaamos de ver que cuando + es diagonali"ale, la solución general del sistema viene dad por 5n = ) Dn P−1 u@ , siendo ) la matri" de paso formada por los autovectores dispuestos por columnas, y Dn la matri" diagonal con las potencias en!simas de los autovalores. #s!rvese que para dar la e1presión e1plicita tenemos ),? y & Dn ', u@, y lo 3nico que queda por otener es P−1 . +2ora ien, requerimos −1 P u@ , de modo que uni!ndolo todo resulta: 5n = c 1 λ n1 x 1 + c 2 λ n2 x 2 + . .. + c p λ pn x p n = 8,, . . . x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x p iendo λ1 , λ2 , λ 3 , . . . , λ p los autovalores de +, y autovectores linealmente independientes asociados a λ1 , λ2 , λ 3 , . . . , λ p c respectivamente y c= [¿ ¿ 1 , c 2 ,c 3 , . . . , c p ]t la solucion del sistema )c =
u@
¿
?e*nición: Llamamos ecuaciones en diferencias lineales 2omog!neas de orden p a partir de una e1presión del tipo: z n+ a1 z n−1 +a2 z n−2+ .. . + a p z n− p Tsiendo a p H@U donde a1 ,….,a p son conocidos, y cada termino z n para nY pM8 se otiene a partie de los p t!rminos anteriores &los p valores iniciales z 1 , z 2 , ... , z p R generalmente son datos'. #tra manera de de*nir la sucesión es transformando de esta ecuación en un sistema de ecuaciones en diferencias de la siguiente manera:
sea entonces se tiene:
y , en general
esta relación es valida para n=pM8 , pM, . . . volvemos por tanto al estudio de los autovalores y autovectores para aplicar los resultados previos. La forma del polinomio característico de un sistema de ecuaciones en diferencias que provenga de una ecuación en diferencias de orden superior tiene una e1presión *$a que conviene conocer para a2orrarnos traa$o. )roposición: los autovalores de una matri"
on las raices del polinomio: Este polinomio recie el nomre de polinomio característico de la ecuación en diferencias. egundo teorema:
E$ercicios: *+emlo 1
erie de -ionacci: x n+ x n−1 + x n−2 Z[ forma recursiva
[ ] [ [] [ ][ ] [ [] [
x n−1 x n−2
1 1
1 0
+sí:
1 1
1 1 0 1
1 1
1 2 0 1
1 1
=
1 3 0 1
1 1
[
[]
=
2 1
=
1 1
=
]
=
][ ] ][ ]
1 0 1 0
2
3
1 1
1 1
x n−1 + x n−2 x n−1
=
=
[] [] []
]
[ ] xn x n−1
=
x 3 x 2
3 2
=
5 2
=
[] [] x 4 x3
x5 x 4
y en general se puede escriir: A
n− 2
?onde + =
[] [ ] [ ] 1 1
xn x n−1
=
1 1
1 0
Esto se simpli*ca al 2allar ) tal que ?= P−1 AP sea diagonal como +=)? P−1 se concluye que A k = PD k P−1 lo que signi*ca que la formula matricial para determinar el en!simo termino es: A
n−2
[] 1 1
n −1 − 1 = PD P
[] 1 1
=
[ ] xn x n−1
*+emlo ,
7esuelva la ecuación en diferencia: an =2 an−1+ 3 an− 2 , para n= O, 6, N, con las condiciones iniciales a1 = @,
a2 = 8 determinar
an =2 an−1+ 3 an− 2 bn =2 b n−1
, n = O, 6, N, . . .
en forma matricial tenemos:
[] an bn
=
[ ][ ] 2 1
3 0
an−1 b n−1
, n = O,6,N, . . .
a15
los valores propios y los vectores propios corresponden de la matri"
[ ] 2 1
3 0
son:
λ1 = %8,
[− ] [− ] [− ] 1 1
! 1 =
C=
−1
C
λ2 = O.
R
1 1
! 2 =
[] 3 1
3 1
1
=
4
1 1
3 1
entonces:
[] an bn
=C
−1 ¿ ¿ ¿ n −2 ¿
=
1 1
0
¿ ¿
1
[ ]
1 4 −1
3 1
¿
−1 ¿ ¿
−1 ¿ ¿
3
3
¿ ¿ ¿ n− 2 ¿ −1 ¿ ¿ 3
¿ ¿ ¿ 1 ¿ 4
=
[
λ1
¿ ¿ ¿ n− 1 ¿ −1 ¿ ¿ 3
¿ ¿ ¿ 1 ¿ 4
n− 2
0
−3 1
0
λ2
[] 1 0
n− 2
]
[]
−1 C a 2 b2
, ya que b1 = a1 = @
−1 ¿ ¿ 3
¿ ¿ ¿ 1 ¿
an =
, n = O,6, N,
4
a1 = ,
a 4 = ,
a5 = @
para n= 8N
−1 ¿ ¿ a15 =
3
¿ ¿ ¿ 1 ¿
1
= a15 =
4
[−1 + 4782969 ] = 88;N6
4
*+emlo #
ean 1&t' e y&t' el numero de individuos de dos polaciones de animales en el mes, t, que conviven en un ecosistema en el que reali"amos un control cada mes. upongamos que inicialmente x 0 = 8N8 O " 0 = ON, y que el desarrollo de la tenemos convivencia esta goernado por el sistema de ecuaciones en diferencias: x t + 1 = O x t % " t M 8 " t +1 = % x t M " t M O
encontrar el valor de x t x t +2 = x t +2 " t %
=
3 xt +1
% &% x t
3 xt +1− " t +1
M " t
M 8
M O' M8 =
3 xt +1
x t +2 = 3 xt +1 M x t % " t %& − x t + 1 MO x t M 8' % −5 x t P6 se puede escriir tami!n: x t +2 P
5 xt + 1
+5 xt = P6
M x t =
%
5 xt +1
F=
(
)
5 # √ 5 2
( )+ ( t
5 + √ 5
x t = $ 1
$ 2
2
5 −√ 5 2
)
t
x t = a
a%Na MNa = %6 a = %6 la solución a la ecuación es: x t = $ 1
( )+ ( t
5 + √ 5
$ 2
2
5 −√ 5 2
)− t
4
*+emlo 4
#tener A 86 +=
[ ] −7 −9
6 8
?etKFI%+K =
[
λ + 7 9
−6 λ− 8
]
= λ
2
λ
2
%9F MF %NB MN6 = λ2 P F %
P F % = @
&F%'& FM8'= @ λ1= 2 λ2=−1
con λ1= 2
[ ][ ] 9 9
6 −6
λ1 λ 2
; λ1=−6 λ 2 9
λ1= t λ2= λ1 6
t=
[] 1 1
=
[] 0 0
[
)=
?=
[ ] −1 0
[
3 −1
1 1
−2 1
⋮10
2 3
⋮11
]
[
=
1 0
⋮1 0
2 1
⋮− 1 1
? = P−1 +)
] [ ] [ ] −7 −9
6 8
1 1
2 3
]
[
=
1 0
⋮3
0 1
−2
⋮− 1 1
]
[ ] [ ] 3 −1
=
2 1
1 1
2 3
=
0 2
Entonces: A
= ) D P
86
A
86
86
=
86
A =¿
[ [
−1
=
87
1
2
86
3∗2
3
3−2
[ ][ ][ ] 1 1
3 −1
87 86
3 −3∗2
2 3
(−1 )86 0
0 86
2
][
3 −1
−2 1
]
−2 1
−2 + 287 −2 + 3∗2 86
]
*+emlo
En una polación de 8@@@ individuos se oserva que de modo apro1imado el 9@ de los que eran donantes de sangre un a4o siguiente siendo al siguiente y que el @ de los que no eran donantes de sangre permaneces de nuevo sin donar, al otro a4o, suponiendo que inicialmente 2ay @@@ donantes 2allar cuantos 2ará despu!s de 8@ a4os. ?enominamos % n y & n al numero de donantes y no donantes que 2ay despu!s de n a4os. Entonces se veri*can las siguientes ecuaciones en diferencias. % n+1 = @.9 % n M @.O & n & n+1 = @. % n M @. & n
+=
[
0.8 0.2
0.3 0.7
]
un =
y
() %n &n
de modo matricial equivalente
a un+ 1 = + un ?onde: u0 =
() %0 &0
=
( ) 2000 8000
deemos 2allar A n
)ara ello calculamos la diagonali"acion de la matri" +
[
+=
+=
[
0.8 0.2
0.3 0.7
]
?et&+ % FG' = @
]
λ− 0.8
−0.3 = λ −0.7
−0.2
2
λ 2
λ
P@. F %@.9 F M @.NB P @.@B = %8.N F [email protected] = @
λ1=1 λ 2=
1 2
si λ1=1
[
][ ]
−0.3 λ1
0.2 −0.2
0.3
[] 0 0
=
λ2
o. λ1 = @.O λ2 t= si
λ2=
[] 3 2
1 2
[
][ ]
[]
−0.3 λ1 −0.2 λ2 =
0.3 −0.2
0 0
o.O λ1 = %@.O λ2 λ1 = t
t=
?=
[ ] 0.5 0
A
n
0 1
λ2 = %t
[− ] 1 1
y) =
= ) D
[ ] [ ] [ ] [ ] [( ) ] [ ] ( ) [ ][ ] 1 −1
−1
n
P
A
n
=
1 1
=
1 0.5 2 0
( 0.5 )n
0
0
1
1 −1
n
1 1 2 1
1 1
0 1 1 1
0.5 0
−1 1
n
−1 1
0
1
1 1 2 1
−1 1
[
( 0.5 )n+ 1 −( 0.5 )n+ 1 A = −( 0.5 )n+ 1 ( 0.5 )n + 1 n
]
(atrices 5nitaria, /ormales y ermitianas &on'eto3 !triz unit!ri!:
5na matri" unitaria es una matri" comple$a, 5 de n por n elementos, que satisface la condición: T 5 = 5 T = I n donde I n es la matri" identidad y T es el traspuesto con$ugado de 5. Esta condición implica que una matri" 5 es unitaria si tiene inversa igual a su transpuesta con$ugada T una matri" unitario en la que todas las entradas son reales es una matri" ortogonal y por lo tanto preserva el producto escalara de dos vectores reales. \ ( x ,( " S = \1,yS +sí que una matri" unitaria 5 satisface: \ x , " S = \1,yS para todos los vectores comple$os 1 e y, donde \. , .S representa al producto escalar en C n i + es una matri" n1n entonces las siguientes condiciones son equivalentes: 8. + es unitaria. . A n es unitaria.
O. Las columnas de + forman una ase ortonormal de C n con respecto al producto escalar usual. 6. Las *las de + forman una ase ortonormal de C n con respecto al producto escalar usual. N. + es una isometría con respecto a la norma de su propio escalar. e desprende de la propiedad de isomería que todos los autovalores de una matri" unitaria son n3meros comple$os de valor asoluto 8, esto tami!n se cumple para su determinante.
T
A A = A A T donde A es la matri" transpuesta con$ugada de + &tami!n llamado ermitianas'
5roied!d:
La 3nica para este tipo de matrices es que no son diagonali"ale. .emostr!'in:
ea + una matri" comple$a cuadrada normal. Entonces puede e1presarse, utili"ando la descomposición de c2ur, de esta manera: + = X5 QT ?emostremos que la matri" u es diagonal, por a2ora saemos que es triangular superior. -ormalmente, de*nimos estas condiciones con n3meros, ya que serán usadas en la demostración. ak 1= 0 ∀ = , . . . , n &8' ak 2 = @ ∀ = O, , n &'
. akn −1 = @ con = n &n%8' usando el 2ec2o que + es normal: T
A A T T 5 Q
=
( Q QT )T ( Q QT )
= X T & QT X'&a'
5 QT
= X
id!nticamente:
( Q QT )( Q Q T )T = X5 T QT posmultiplicando por X y luego )remultipicando por QT otenemos T T 5 = 5 lo cual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:
T 5 =
5 T =
)ara nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.
+2ora utili"amos un procedimiento inductivo para proar que esta matri" producto es diagonal &sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal'. Caso i = 8:
e separa el elemento diagonal de las sumatorias:
5sando &8':
)or lo tanto :
!tri'es %ermiti!n!s:
5na matri" ermitiana o ermitica es una matri" cuadrada de elementos comple$os que tiene la característica de ser igual a su propia transpuesta con$ugada. Es decir, el elemento en la i%!sima *la y $%!sima columna es igual al con$ugado del elemento de la $%en!sima *la e i%!sima columna, para todos los índices i y $: aij = a´ij
o escrita con la transpuesta con$ugada A
T
A
T
=+
por e$emplo: +=
[
3 5 −i
5 +i −3
]
Es una matri" ermitiana. )ropiedades:
:
8. ea + = M iC, donde es ermitiana y y C reales, entonces es sim!trica & = * T ' y C anti sim!trica &C = % C T ' .% La inversa de una matri" ermitiana es tami!n ermitiana. O.% En relación con la propiedad O, los autovalores de estas matrices son reales. 6.% En una matri" ermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales. N.% La determinante de una matri" 2ermitiana es un n3mero real. ?iagonali"acion de matrices ermitianas: ea ermitica, es decir + = A + . Entonces + es diagonali"ale unitariamente. # sea, se la puede descomponer de la siguiente manera:
En donde: 8.% ) es una matri" unitaria y el con$unto Col&)' es ortonormal y está formado por autovectores de + asociados a sus respectivos autovalores. Estos vectores deen ir en orden, respecto de sus autovalores. .% una matri" diagonal formada con autovalores de &todos reales' )ropiedades de las matrices ermitianas: es unitaria si y sólo si ). P + = P + . ) = n lo que 13implica que son ortogonales, es decir, para todo i distinto de $, y si i es igual a $ entonces. ?onde n es el producto interno canónico en $ . Entonces el con$unto Col&)' es una ase ortonormal de $ n . #servar que la implicación de que el producto interno de 8 si coinciden los suíndices, implica que *l&)' es un con$unto ortonormal. Caso particular: cuando la matri" unitaria cumple además PT = ) &oservar que se trata sólo del caso real', entonces ocurre que P . PT = ).) = P2 = I n . En este caso la matri" ) se dice involutiva y está asociada a una reWe1ión respecto de un plano. ,3- +nalicemos el siguiente caso suponiendo +.v = λ . ! n sea autovalor de + asociado al autovector v ∈ $
∈
n
$
?e donde autovectores de la matri" ermítica + #3- ean ! 1 , ! 2 , ! 3 , . . . , ! n nxn asociados a los autovalores λ1 , λ2 , λ 3 , . . . , λ n respectivamente. ∈ $ upongamos que al menos, e1iste un par de estos 3ltimos distintos, λi ≠ λ j es decir, para alg3n par . Entonces, Es decir, autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales
?e donde:
E$ercicios: *+emlo 1
?ada la matri" + =
[
2 +3 i 1+ 2 i
1 +2 i 2 +3 i
]
calcular:
8. calcular sus autovalores a partir de sus componentes ermitianas . comproar que es normal sin calcular la matri" conmutatri". 8.% primero deemos calcular los autovalores y autovectores de sus componentes ermitica + 1 Componentes + 1 :
y
+ 2
[
]
λ−2
)& λ '= λ −3 '
−1 = λ −2
−1
λ
2
P6F MO = @
λ11 = 8
= & λ −1 '&
λ12 = O
para λ11 = 8 &I% + 1 '1 = @
[
][ ] [ ]
−1 −1 x 1 = −1 −1 x 2
0 0
[− ]
u11= 1
x 1 + x 2=0
1
para λ12 = O &OI% + 1 '1 = @
[
][ ] [ ]
−1 −1 x 1 = −1 −1 x 2
0 0
[]
u11= 1
x 1− x2 =0
1
Componentes + 2 Los autovalores son los mismos que los de vienen dados por: t
λ21
t
u 11 + 2 u11 =1 t u11 u11
=
+ 1 , sus autovalores
λ22
=
u 12 + 2 u12 =5 t u12 u 12
t t por lo tanto los autovalores y ! 1=( 1,−1 ) ! 2=( 1,1 ) asociados, respectivamente, a los autovalores λ1 = 8Mi y λ2 = OMNi
*+emlo ,
?ada la matri" + = ! 1=¿
[− ] i
1
[
1+ i 2 −i
2− i 1− i
]
comproar que es normal y que
es un auto vector de su primera componente ermitica
+ 1 asociado al autovalor λ1 = @
++ =
++ =
[ [
1 −i −2 −i 1+ i 2 −i
] [ ] [
2 +i 1−i
−2+ i 1 +i
1+ i 2 −i
−2+ i 1 +i
1 −i −2 −i
2 +i 1−i
] ]
=
=
[ [
7 −6 i
6i 7
7 −6 i
6i 7
] ]
++ = ++ , por lo tanto la matri" es normal.
+ 1
[ ] [ ] [ ] []
A + A '
+ 1 =
=
2
[ ] −i
=
1
1
i
−i
1
+ 1 =
y
1
i
−1
−i
1
1
0 0
A − A ' 2
= @
=
[
1 −2 i
2i 1
]
[ ] −i 1
por lo tanto λ1 = @ es un autovalor de + 1 asociado al auto vector −i ! =¿
[ ]
1
1
*+emlo #
[
Comproar que la matri" 5 =
0.6 −0.8
0.8 0.6
]
es unitaria, ortogonal, y
otener asándose en ella, una matri" normal + que tenga por autovalores y Oi. Calcular la conmutatri" de + y comproar que sus componentes ermitica conmutan. 55 = T
=
[
0.6 0.8
−0.8 0.6
] [
0.6 −0.8
0.8 0.6
]
=
[ ] 1 0
0 1
=I
)or lo tanto la matri" en unitaria )ara otener una matri" normal + que tenga autovalores y Oi, tiene que ser diagonali"ale unitariamente. 5+5 = ? =
[
+=
=
[
0.6 0.8
−0.8 0.6
[ ] ][ ][ 2 0
2 0
0 3i
Z[ + = 5?5
0 0.6 3 i 0.8
−0.8 0.6
−0.96 + 1.44 i 0.72 + 1.92 i −0.96 + 1.44 i 1.28 + 1.08 i
]
]
para la conmutatri" de la matri" +. + 1 = &+M+' =
[
0.72 −0.96
[
+ 2 = 8]i &+M+' =
+ 1
+ 2 =
+ 2 =
[ ] 0 0
0 0
1.92 1.44
−0.96 1.28 1.44 1.08
]
] + 2 + 1
= @
=
[ ] 0 0
0 0
Z[ + 1
= @
+ 2 + 1
por lo tanto C&+'= @ *+emlo 4
[ ] 1 2
ea + una matri" 1 =
2 1
y sim!trica como el caso particular
λ1 = O es un de matrices ermitianas, entonces, se ve que T autovalor de + asociado al auto vector ! 1=[ 11 ] , es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es - λ = gen T [−1 1 ]T U, el otro autovalor es λ1 = %8 asociado a autovector ! 2=[−1 1 ]T , es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es - λ = gen T [−1 1 ]T U, como se puede ver, ( ! 1 , ! 2 ) = @R es decir, son ortogonales. 1
2
La descomposición de la matri" es:
[
+=
+=
[
1/ 2 1/ 2
−1 / 2 1/ 2
−1 / 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
][ ][ 3 0
0 −1
][ ][ −1 0
0 3
1/ 2 −1 / 2
−1 / 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
1 / 2 1 / 2
]
]
*+emlo
1 27
[
−24 −32 i −21 + 4 i 37 −24 + 32 i −8 + 24 i 1 −21−4 i −8−24 i 43
1
?et&FG %+ ' =
27
[
]
λ −43
24 + 32 i
21 − 4 i
24 −32 i 21 + 4 i
λ −37 8 + 24 i
8 −24 i λ− 1
]
3 2 λ % 3 λ MO= @ por lo tanto, los valores propios son 8, %8, y O
con F = 8 1 27
[
−42 24 + 32 i 21 + 4 i
][ ] [ ]
24 + 32 i −36 8 + 24 i
21−4 i x 1 −8−24 i x 2 0 x
24 + 32 i −38 8 + 24 i
21 −4 i 8 −24 i −2
24 + 32 i −34 8 + 24 i
21 −4 i x 1 8 −24 i x 2 2 x
0
=
0 0
3
con F =% 8 1 27
[
−44 24 −32 i 21 + 4 i
][ ] [ ] x 1 x 2 x 3
0
=
0 0
con F =O 1 27
[
− 41 24 −32 i 21 + 4 i
[ ]
]
u1=¿
−
16
25 25 −6 2 5
i
− i 5
=
0 0
3
1
12
[] 0
[ ] 1
3
,
u2=¿
−i
4 3 1 2
− i 2
[ ] 1
,
u3=¿
−3 5 3
20
4
− i
−
5 1
20
i
como la matri" + es ermitiana los vectores propios correspondientes a valores propios deferentes deen ser ortogonales. Entonces tenemos:
[ ] [ ] 4
! 1=¿
−
16
15 45 −2 2 3
[ ] 4/9
5 /9
1
i
u2=¿
,
− i 9
3 2 3
4
− i
u3=¿
,
9 2
− i 9
9 √ 3 / 2
−2 √ 10 15
4
( 1− i ) 5
√ 10 ( 1 + 1 ) 30
3
a2ora formamos la matri" de transformación usando en cada columna cada uno de los vectores propios normali"ados entonces nos queda:
[
5 /9 4 15
−
−2 3
16 45
9 √ 3 / 2
4/ 9
i
1 3
2
2
9
3
− i
+plicaciones: polación:
4
−2 √ 10
9
15
2
√ 10
9
30
− i − i
4
]
( 1− i ) 5
1
(1 + ) 3
Crecimiento
de
una
Com3nmente se utili"an matrices para elaorar modelos de crecimiento de una polación en un tiempo determinado, estas matrices permiten el agrupamiento por edades de sus elementos, lo que implica diferentes tasas de fertilidad y mortalidad. )rimero se dee agrupar la polación en clases de edad de la misma duración. #teniendo así n elementos de esta manera:
A=
[] x 1 x 2 ⋮
x 1 = numero en la clase de la i%esima edad
x n
i L es tiempo que vive un miemro del 1 clase edad R se estalece: ^@, L]n _ = clase primera edad
^L]n , L]n_ = clase segunda edad ^&n%8'L]n , L_ = clase n%esima edad En el L]n a4os, la proailidad de que un elemento soreviva y pase a la siguiente clase esta dada por pi , donde @ / pi / 8, i= 8,, . . . , n%8 el numero de descendencia de un miemro es: @ / bi , i= 8,, , n lo que en forma matricial puede representarse:
[
b 1 b2
⋯
b n−1 bn
p1
0
⋯
0
0
0
p 2
⋯
0
0
´ 0
´ 0
⋯
P ´n−1 0´
?onde + = matri" de transición de edades i multiplicamos la matri" de transición de edades por el vector distriución de edades &1' en un periodo especi*co, otenemos el vector distriución de edades para el siguiente periodo, en forma simólica esto es: + x i= x i+ 1
E$ercicios: *+emlo 1
Encuentre una distriución de edades estalece para la transición de edades del e$ercicio anterior. olución: a que dee ser estale el crecimiento estalecemos que: ?eterminamos un eigenvalor de +
[
λ
−3
−4
−1
λ
0
0
−1 / 2
λ
]
= λ3 %
M
2
3 λ
en donde uno de su eigenvalores es λ = , traa$ando con este valor el Eigenvector correspondiente a λ =2, será:
[
2
−3
−4
−1
2 −1 / 2
0 2
0
[]
] [
−3 − 4
2 1 0
1 1
0 −4
]
=
[
1 1 0
−2 0 −3 / 2 −2 −4 1
][
1
−2
0
0 0
1 0
−4 0
]
8
t
4 1
= vector de distriución de edades que ocasiona estailidad.
Comproación :
[
+ x 1 =
0
3
4
1 0
0 1/ 2
0 0
] [] [ ] 8
16
=
4 1
8 2
Z[ incremento
estale *+emlo ,
?etermine la polación de insectos para el cuarto mes del e$ercicio anterior El tercer mes estará determinado por x 3= A x 2 El cuarto mes por lo tanto:
[
x 3 =
x 4 =
7espuesta:
[
x 4= A x 3
][ ] [ ] ][ ] [ ]
10
5
1
248
1 /3 0
0 1/ 2
0 0
6 6
10
5
1
1 /3 0
0 1/ 2
0 0
2516
=
2516 83 3
83 3
25578
=
839 42
la polación dentro de cuatro mese será de NN9 insectos de edad menor a un mes, 9O; insectos comprendidos entre uno y dos meses, y 6 insectos mayores a dos meses y menores a tres meses. *+emlo #
?ada la matri" + de transición de edades, y el vector 1, vector de distriución de edades encuentra la distriución de edades para el tercer a4o.
+=
[
0
3
4
1 0
0 1/2
0 0
]
[] 12
x 1 =
12 12
x 2= A∗ x1
x 2 =
[
][ ] [ ]
0
3
4 12
1 0
0 1/ 2
0 12 0 12
0
3
4 84
1 0
0 1/ 2
0 12 0 6
84
=
12 6
x 3= A∗ x2
x 3 =
[
][ ] [ ] 60
=
84 6
7espuesta: La distriución de edades para el tercer a4o será de B@ 2aitantes en la clase de primera edad, 96 en la clase de segunda edad y B en la clase de tercera edad. *+emlo 4
?etermine la polación de insectos en un mes si 5n tercio sorevive el primer mes, de estos un medio sorevive el segundo y la duración de vida de los insectos es tres meses El primer mes su desendencia media es 8, el segundo N, el tercero 8 +ctualmente 2ay 89 insectos de edad un mes, 8 de meses y 9 de O meses.
olución:
¿ 18 12 8
ector distriución edades: A=
−¿ ¿ (atri" trascendencia edades + =
[
10
5
1
1 /3 0
0 1/ 2
0 0
]
x 2= Ax 1
?entro de un mes:
[
x 2 =
10
5
1
1 /3 0
0 1/ 2
0 0
] [] [ ] 18
12 8
248
=
6 6
7espuesta: La polación dentro de un mes será: 69 de edad menor a un mes, B entre uno y dos meses y B mayores a dos meses pero menores a tres
*+emlo
una polación presenta las siguientes características: N sorevive el primer a4o, de estos el N el segundo a4o sorevive, la polación vive un má1imo de tres a4os cada miemro tiene descendencia media: el primer a4o, 6 el segundo y el tercero . actualmente son 8@ individuos en cada etapa de vida. Cuantos 2aitantes 2ará en el lapso de un a4o La matri" de transición de edades esta dada por:
+=
[
2
4
2
0.75 0
0 0.25
0 0
]
El vector de distriución de edades es:
[ ] 120
x 1 =
120 120
2aitantes en un a4o
=
[
x 2 = +1
][ ] [ ]
2
4
2 120
0.75 0
0 0.25
0 120 0 120
960
=
90 30
respuesta: 2arán ;B@ 2aitantes menores a un a4o, ;@ entre uno y dos a4os y treinta mayores a dos a4os, pero menores a tras a4os
+plicaciones: formas Cuadráticas 5na adecuación cuadrática es de la forma: 2 2 ax + bx" + c " + %x + &" + 0 =0
en donde si H@, podemos reempla"ar la ecuación por una mas sencilla sin termino 1y: 2 2 a ' x + c ' " + % ' x + & ' " + 0 ' =0
los coe*cientes ah , ch son los valores característico de la matri": +=
[
]
a b/2 b/2 c
, la matri" + se llama matri" de la forma cuadrática
2 2 + la e1presión ax + bx" + c " se le llama forma cuadrática asociada con la ecuación cuadrática: ax 2+ bx" + c "2 + %x + &" + 0 =0
La matri" + es sim!trica siempre, por de*nición y + será diagonal solo si no contiene el termino 1y, por lo que no seria necesaria la rotación de e$es. e puede por lo tanto usar + para efectuar una rotación de e$es. ea A=
[] x "
, entonces
ax
2
+ bx" + c "2 + %x + &" + 0 =0 , puede escriirse:
X AX + [ % & ] X + 0 =[ x " ] T
[ ] a
b
2
b
c
2
[ ] [ ][ ]
x + % & x + 0 " "
dado que + es sim!trica e1iste una matri" ortogonal tal que PT AP = D
[] x "
se estalece que PT A = Ah =
, por lo que A = )Ah
T
X AX =( PX 1 ) A ( PX ' )
=& =&
E$ercicios:
X T
¿¿
X
¿ ¿T
P
T
+)Ah
?Ah
*+emlo 1
#tenga la matri" + de la forma cuadrática asociada con la ecuación dada a.%
.%
10 x" −10 "
12 x
2
2
+ 4 x − 48= 0 +=
[
0 5
+=
[
12 −5 / 2
5 −10
]
−5 x" − x + 2 " −20 =0 −5 /2 0
]
*+emlo ,
Efect3e rotación de e$es para simpli*ca la ecuación, identi*que el ángulo de rotación e identi*que el tipo de cónica. 2 x
2
+ 4 x" + 2 " 2 + 6 2 x + 2 2 " + 4 =0
[ ] 2 2
La matri" cuadrada + =
2 2
,
Ecuación característica:
[
λ−2
−2
−2 λ −2
]
)olinomio característico =6
λ
2
%6 λ , eigenvalores: λ = @, λ
Eigenvectores: Con λ = @
[
][ ]
−2 −2 = 1 −2 −2 0
[ ] 1 −1
=
= u1
λ = 6
Con
[
1 0
2 −2
][ ]
[]
−2 = 1 −1 = 2
0
1 1
0
= u2
#rtonormali"acion: #tención
! 2 =
! 1 =
La matri" )=
[ ]
= i P $ =
u1 ‖u 1‖
=
i
j
1
1
[ ] 1
1
√ 2
√ 2
−1 √ 2
1
( 1. −1 ) √ 2
( 1,1) 2
, K)K = 8
√ 2
Ecuación rotada:
[ ] 1
2 "
2'
1
[]
2 2 + [ 6 √ 22 √ 2 ] √ √ x + 4 = 0 −1 1 "
√ 2
2'
√ 2
" +4 x + 8 " + 4 =0 la ecuación es paraólica x 2 = &% la matri" + tiene los vectores característicos x 1 =&8,8' 8,8' al normali"ar los vectores para formar las columnas de ), se otiene: 4
[ ]
)=
1
−1
√ 2
√ 2
1
1
√ 2
√ 2
*+emlo #
use el sistema de los e$es principales para efectuar una rotación de e$es eliminando el termino 1y, identi*que la cónica rotada y su nueva ecuación. 2
13 x
− 8 x" + 7 " 2 −45 =0
se dee transformar a λ1 x2' + λ2 " 2' + [ % & ] P X ' + 0 =0 la matri" )
[
13 −4
]
−4 = 7
[
λ−13
4
4
λ −7
]
=
&F%8O'& F%' %8B
F = 8N, F = N eigenvectores: con F = N
[
−8 4
4 −2
]
=
[ ]
−1 =
2 0
0
[] 2 1
= u1
con F = 8N
[ ] 2 4
4 8
=
[ ] 1 0
4 0
=
[ ]
−4 = u 1 1
#rtonormali"acion:
#tención
!2
#tención ! 1 =
[ ]
¿ i
2
j
1
= i %$ =
u1 = ‖u 1‖
( 2,1 ) 5
( 1,−2 ) 5
[ ]
)=
2
−1
5
5
1
2
5
5
*+emlo 4
#tenga la matri" + de la forma cuadrática asociada en la ecuación dada. Encuentre lo eigenvalores de + y una matri" ortogonal tal que T P +) sea diagonal. 16 x
2
[
+=
+ 24 x" + 9 " 2−60 x −80 " + 100=0
]
−12 , ecuación característica:
16 −12
9
[
λ−16 12
12 λ −9
]
)olinomio característico: & λ −16 '& λ %;' %866 = @ Eigenvalores: λ = @, λ = N Con λ = @
[
−16 12
12 −9
]
[
=
−3 / 4 −3 / 4
1 1
]
=
[
1 0
−3 / 4 0
]
=
[ ] 3/4 1
= u1
Con λ = N
[
9 12
12 16
]
=
[
4/3 4/3
1 1
]
[ ]
=
[ ]
= i %
3 / 4 j
=&
1 0
=
4/ 3 0
−4 / 3 = u 2 1
#rtonormali"acion: #tención ! 2 =
[
#tención ! 1 =
u1 ‖u 1‖
La matri" ) =
*+emlo
i
j
3/4
1
[ ] 4
3
5 −3
5 4
5
5
]
=
4 5
,−
3 5
'
3 4
,
5 5
= matri" ortogonal, pues K)K =8
Efect3e una rotación de e$es para eliminar el termino 1y en la ecuación cuadrática: 2
13 x
− 10 x" + 13 " 2−72 =0
La matri" de la forma cuadrática asociada con esta ecuación es: +=
[
13 −5
−5 13
]
Como el polinomio característico de + es:
[
λ−13 5
5 λ −13
]
&F%9'& F%89'
se concluye que los valores característicos de + son F= 9 y F = 89 por lo tanto, la ecuación rotada es: 8 ( x ) ' −10 x" + 18 ( " ) ' −72 2
2
=@
la cual cuando se escrie en la forma estándar: x
2 2
3
"
2
+ 2 =1 2
esta ecuación se conoce como la ecuación de una elipse
iliografías: /si'!s:
+lgera Lineal tanley I. Qrossman se1ta edición. +lgera lineal ernard >olman% ?avid 7. ill octava edición. +lgera Lineal % ?avid )oole P segunda edición. Ecuaciones ?iferenciales (urray 7 piegel tercera edición. Virtu!les:
2ttp:]]es.scrid.com]doc]B9N@NO]Ecuaciones%?iferenciales% (urray%7%piegel 2ttp:]]es.scrid.com]doc]@B66B]EIQE/EC<#7E%% EIQE/+L#7E 2ttp:]]aprendeenlinea.udea.edu.co]lms]moodle] 2ttp:]]matema.u$aen.es]$navas]0ejmodelos]pdfjmm@9j@;]sistemas @dinamicos.pdf 2ttp:]]es.0iipedia.org]0ii](atri"jnormal 2ttp:]]topicos.usac2.cl]uploads]-ile](+<7ICEE7(I% Lf@gEv6C+?+kved=@CC6XB+E0++v=onepagekqkf=false 2ttp:]]oos.google.com.ec]oos id=f+)ctEifC(Ckpg=)+O@9klpg=)+O@9kdq=EigenvaloresMdeMlasM potenciasMdeMunaMmatri":ksource=lkots=@"2m;roksig=g% Cn9$b2i)+o#$uA7Ae?o<0k2l=es%68;ksa=Akei=0)5QoNa% 6+)Q6+C+kved=@CCgXB+E0++v=onepagekq=Eigenvalores @de@las@potencias@de@una@matri"O+kf=false 2ttp:]]es.0iipedia.org]0ii](atri"j2ermitiana
