UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍ A MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Valores propios y vectores propios Definición Sea A una matriz de n x n. Se dice que un escalar un vector X , distinto de cero, tal que
λ
es un valor propio de A si existe en R n
AX = λ X
El vector X es el vector propio correspondiente a
λ .
Valores propios = eigenvalores = autovalores = valores característicos característicos = raíces latentes Vectores propios = eigenvectores = autovectores = vectores característicos
Calculo de los valores propios y de los vectores propios
Sea A una matriz de n x n con el valor propio λ y su correspondiente vector propio X . Por lo tanto, AX = λ X , esta ecuación se reescribe como AX − λ X = 0
lo que nos da
( A − λ I n ) X = 0 Esta ecuación matricial representa un sistema de ecuaciones lineales, Una solución es X=0. Este sistema tiene soluciones distintas de cero sólo si la matriz de coeficientes ( A − λ I n ) es singular, es decir A − λ I n = 0 , al resolver esta ecuación para λ , se encuentran los valores propios de A. Polinomio característico de A se obtiene al resolver el determinante A − λ I n
, en
λ
.
Ecuación característica de A es la ecuación A − λ I n = 0 . Matriz característica de A es la matriz A − λ I n Los vectores propios ( A − λ I n ) X = 0 .
se encuentran al sustituir los valores propios en la ecuación
Ejemplo
Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz ⎡ − 4 − 6⎤ 5 ⎥⎦ ⎣3
A = ⎢
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Solución
Polinomio característico de A − 4 − λ − 6 ⎡− 4 − 6⎤ ⎡1 0 ⎤ − = λ 5 ⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦ 3 5 − λ ⎣3
A − λ I I 2 = ⎢
= (− 4 − λ )(5 − λ ) + 18 = λ 2 − λ − 2 = (λ − 2 )(λ + 1)
El polinomio característico es λ 2 − λ − 2 Los valores propios de A son 2 y –1. Al usar estos valores de λ en la ecuación ( A − λ I n ) X = 0 se encuentran los vectores propios correspondientes. Para cada valor propio hay muchos vectores propios correspondientes. Usando
λ =
2 ⎛ ⎡− 4 − 6⎤ ⎡1 0⎤ ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡− 6 − 6⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎟ −2 = =0 5 ⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎠⎟ ⎢⎣ x2 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 3 ⎥⎦ ⎢⎣ x2 ⎥⎦ − 6 x1 − 6 x 2 = 0 3 x1 + 3 x 2 = 0
( A − λ I n ) X = ⎜⎜ ⎢ ⎝ ⎣ 3
de donde se obtiene x1 = − x2 . Las soluciones de este sistema de ecuaciones son x1 = −r y x 2 = r , donde r es un escalar. Los vectores propios de A que corresponden a λ = 2 son los vectores distintos de cero de la forma ⎡ x1 ⎤ ⎡− 1⎤ = r ⎢ x ⎥ ⎢1⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
Usando
λ =
−1
⎛ ⎡− 4 − 6⎤ ⎡1 0⎤ ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡− 3 − 6⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎟ +1 = =0 5 ⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎠⎟ ⎢⎣ x 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 6 ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 ⎥⎦ − 3 x1 − 6 x2 = 0 3 x1 + 6 x2 = 0
( A − λ I n ) X = ⎜⎜ ⎢ ⎝ ⎣ 3
de donde se obtiene x1 = −2 x2 . Las soluciones de este sistema de ecuaciones son x1 = −2s y x2 = s , donde s es un escalar. Los vectores propios de A que corresponden a λ = −1 son los vectores distintos de cero de la forma ⎡ x1 ⎤ ⎡ − 2⎤ = s ⎢ x ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎦ ALGEBRA LINEAL
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El conjunto de vectores propios para λ = 2 , junto con el vector cero, es un subespacio ⎧⎡− 1⎤ ⎫ unidimensional de R 2 con base ⎨⎢ ⎥ ⎬ . ⎩⎣ 1 ⎦ ⎭ El conjunto de vectores propios para λ = −1 , junto con el vector cero, es un subespacio ⎧ ⎡− 2⎤ ⎫ unidimensional de R 2 con base ⎨⎢ ⎥ ⎬ . ⎩⎣ 1 ⎦ ⎭ Teorema
Sea una matriz de n x n y λ un valor propio de A. El conjunto de vectores propios correspondientes para λ , junto con el vector cero, es un subespacio de R n . A este subespacio se le conoce como espacio propio de λ . Ejemplo
Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz ⎡ 5 4 2⎤ ⎢ ⎥ A = 4 5 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣2 2 2⎥⎦ Solución
El polinomio característico de A
5 − λ 4 2 ⎡5 4 2 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A − λ I I 3 = 4 5 2 − λ 0 1 0 = 4 5 − λ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣2 2 2⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ 2 2 2 − λ = 10 − 21λ + 12λ 2 − λ 3 = −(λ − 10)(λ − 1)
Los valores propios de A son 10 y 1 El valor propio λ = 10 tiene multiplicidad 1, mientras (multiplicidad algebraica). Vectores propios para
2
λ = 1
tiene multiplicidad 2.
λ = 10
⎛ ⎡5 4 2⎤ 2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡− 5 4 ⎜⎢ ⎟ ( A − 10 I 3 ) X = ⎜ ⎢4 5 2⎥⎥ − 10⎢⎢0 1 0⎥⎥ ⎟ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = ⎢⎢ 4 − 5 2 ⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = 0 ⎜ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎠⎟ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 2 − 8⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎝ ⎢⎣2 2 2⎥⎦
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⎡1 0 − 2⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢0 1 − 2⎥ ⎢ x ⎥ = 0 ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦
x1 − 2 x3 = 0
x1 = 2 x3
x 2 − 2 x3 = 0
x 2 = 2 x3
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son x1 = 2r , x 2 = 2r , x3 = r , donde r es un escalar. Los vectores propios de A que corresponden a λ = 10 son los vectores distintos de cero de la forma. ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2⎤ ⎢ x ⎥ = r ⎢2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ El espacio propio de
λ = 10
Vectores propios para
es un subespacio unidimensional de vectores de R 3 con base ⎧ ⎡ 2⎤ ⎫ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎨ ⎢ 2⎥ ⎬ ⎪ ⎢1 ⎥ ⎪ ⎩⎣ ⎦ ⎭
λ = 1
⎛ ⎡5 4 2⎤ ⎡1 0 ⎜ ( A − 1 I 3 ) X = ⎜ ⎢⎢4 5 2⎥⎥ − ⎢⎢0 1 ⎜ ⎝ ⎢⎣2 2 2⎥⎦ ⎢⎣0 0 ⎡ 2 2 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢0 0 0⎥ ⎢ x ⎥ = 0 2 x + 2 x 1 2 ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦
0⎤ ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡4 4 2⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎟ 0⎥⎥ ⎟ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = ⎢⎢4 4 2⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = 0 1⎥⎦ ⎠⎟ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣2 2 1⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ + x3 = 0
1 2
x1 = − x 2 − x3
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son x1 = − s − t , x 2 = s, x3 = 2t , donde s y t es un escalar. Los vectores propios de A que corresponden a λ = 1 son los vectores distintos de cero de la forma. ⎡− s − t ⎤ ⎡− 1⎤ ⎡− 1⎤ ⎢ s ⎥ = s ⎢ 1 ⎥ + t ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2t ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ El espacio propio de
λ = 1
es un subespacio bidimensional de R 3 con base ⎧⎡− 1⎤ ⎡− 1⎤ ⎫ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎨⎢ 1 ⎥ , ⎢ 0 ⎥ ⎬ ⎪⎢ 0 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎪ ⎩⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭
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Diagonalización de matrices
Definición Sea A y B matrices
cuadradas del mismo tamaño. Se dice que B es similar o semejante a A, si existe una matriz invertible C tal que B = C −1 AC . A esta transformación de la matriz A en la matriz B se le llama transformación semejante.
Ejemplo
Considere las siguientes matrices A y C . C es invertible. Use la transformación semejante −1 C AC para transformar la matriz A en una matriz B. ⎡7 − 10⎤ ⎥ ⎣3 − 4 ⎦
A = ⎢
⎡2 5⎤ ⎥ ⎣1 3⎦
C = ⎢
Solución −1
⎡2 5⎤ ⎡7 − 10⎤ ⎡2 5⎤ ⎡ 3 − 5⎤ ⎡7 − 10⎤ ⎡2 5⎤ B = C AC = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣1 3⎦ ⎣3 − 4 ⎦ ⎣1 3⎦ ⎣− 1 2 ⎦ ⎣3 − 4 ⎦ ⎣1 3⎦ ⎡ 6 − 10⎤ ⎡2 5⎤ ⎡2 0⎤ =⎢ ⎥ ⎢1 3⎥ = ⎢0 1⎥ 1 2 − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −1
La matriz A se transformó en una matriz diagonal B. Las matrices semejantes tienen los mismos valores propios. Definición
Una matriz cuadrada A se dice que es 1 D = C − AC sea una matriz diagonal.
diagonalizable
si existe una matriz
C ,
tal que
Teorema Sea A una matriz de n x n. (a) Si A tiene n vectores propios linealmente independientes, A es diagonalizable. La matriz C , cuyas columnas consisten de los n vectores propios linealmente independientes, se puede usar en la transformación semejante C −1 AC para dar una matriz diagonal D. Los elementos diagonales de D son los valores propios de A. (b) Si A es diagonalizable, entonces tiene n vectores propios linealmente
independientes. C = [ x1 L x n ]
Matriz que tiene como columnas a los independientes. ⎡λ 1 ⎢ D = M ⎢ ⎢⎣ 0
L O L
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n
vectores propios linealmente
0⎤
⎥ Los elementos diagonales de D son los valores propios de A. ⎥ λ n ⎥ ⎦ M
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Ejemplo
Encuentre la matriz diagonal D que es semejante a la matriz A. ⎡1 − 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ A = 0 − 4 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 − 2⎥⎦ Solución
El polinomio característico de A −1 0 ⎡1 − 1 0 ⎤ ⎡1 0 0⎤ 1 − λ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 = 8 − 2λ − 5λ 2 − λ 3 A − λ I I 3 = 0 − 4 2 − λ 0 1 0 = 0 − 4 − λ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 − 2⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ 0 0 − 2 − λ = −(λ − 1)(λ + 2 )(λ + 4 )
Los valores propios de A son 1, -2 y -4 Vectores propios para λ = 1 ⎛ ⎡1 − 1 0 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 − 1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎜ ⎟ ( A − I 3 ) X = ⎜ ⎢⎢0 − 4 2 ⎥⎥ − ⎢⎢0 1 0⎥⎥ ⎟⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = ⎢⎢0 − 5 2 ⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = ⎢⎢0 0 1⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = 0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎢⎣0 0 − 2⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎠ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 − 3⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son x1 = r , x 2 = 0, x3 = 0 , donde r es un escalar. Los vectores propios de A que corresponden a λ = 1 son los vectores distintos de cero de la forma. ⎡ x1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎢ x ⎥ = r ⎢0⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
El espacio propio de
λ = 1
es un subespacio unidimensional de vectores de R 3 con base ⎧ ⎡1 ⎤ ⎫ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎨ ⎢0 ⎥ ⎬ ⎪ ⎢0 ⎥ ⎪ ⎩⎣ ⎦ ⎭
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Vectores propios para
λ =
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−2
⎛ ⎡1 − 1 0 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 − 1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎜⎢ ⎟ ⎥ ( A + 2 I 3 ) X = ⎜ ⎢0 − 4 2 ⎥ + 2⎢⎢0 1 0⎥⎥ ⎟⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = ⎢⎢0 − 2 2⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = 0 ⎜ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎠⎟ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎝ ⎢⎣0 0 − 2⎥⎦
soluciones de este sistema de ecuaciones son x1 = x2 3 , x 2 = x3 , x1 = r 3 , x 2 = r , x3 = r donde r es un escalar. Los vectores propios de A que corresponden a λ = −2 son los vectores distintos de cero de la forma. ⎡ x1 ⎤ ⎡1 3⎤ ⎢ x ⎥ = r ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ Las
El espacio propio de
λ =
−2 es un subespacio unidimensional de vectores de R 3 con base
⎧⎡1 3⎤ ⎫ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎨⎢ 1 ⎥ ⎬ ⎪⎢ 1 ⎥ ⎪ ⎩⎣ ⎦ ⎭
Vectores propios para
λ =
−4
⎛ ⎡1 − 1 ⎜⎢ ( A + 4 I 3 ) X = ⎜ ⎢0 − 4 ⎜ ⎝ ⎢⎣0 0 ⎡1 − 1 5 = ⎢⎢0 0 ⎢⎣0 0
0 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡5 − 1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎥ + 4⎢0 1 0⎥ ⎟ ⎢ x2 ⎥ = ⎢0 0 2⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ − 2⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎠⎟ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 2⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ 0⎤ ⎡ x1 ⎤ 1⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ = 0 0⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦
soluciones de este sistema de ecuaciones son x1 = x2 5 , x3 = 0 , x1 = r 5 , x 2 = r , x3 = 0 donde r es un escalar. Los vectores propios de A que corresponden a λ = −4 son los vectores distintos de cero de la forma. Las
⎡ x1 ⎤ ⎡1 5⎤ ⎢ x ⎥ = r ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
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El espacio propio de
λ =
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−4 es un subespacio unidimensional de vectores de R 3 con base
⎧⎡1 5⎤ ⎫ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎨⎢ 1 ⎥ ⎬ ⎪⎢ 0 ⎥ ⎪ ⎩⎣ ⎦ ⎭
Matriz diagonal
La matriz que tiene como columnas a los ⎡1 1 3 1 5⎤ ⎢ ⎥ 1 C = 0 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 1 0 ⎥⎦
C = −1
n vectores
propios
Por lo que los vectores son linealmente independientes
La matriz diagonal sería −1
⎡1 1 3 1 5⎤ ⎡1 − 1 0 ⎤ ⎢ −1 1 ⎥⎥ ⎢⎢0 − 4 2 ⎥⎥ D = C AC = 0 1 ⎢ ⎢⎣0 1 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 − 2⎥⎦
0⎤ ⎡1 1 3 1 5 ⎤ ⎡1 0 ⎢0 1 1 ⎥⎥ = ⎢⎢0 − 2 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣0 1 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 − 4⎥⎦
Ejemplo
Encuentre la matriz diagonal D que es semejante a la matriz A. ⎡ 5 4 2⎤ ⎢ ⎥ A = 4 5 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣2 2 2⎥⎦
Del ejemplo anterior, los valores propios de A son 1, 1 y 10 Los vectores propios de A que corresponden a λ = 10 son los vectores distintos de cero de la forma. ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2⎤ ⎢ x ⎥ = r ⎢2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ Los vectores propios de A que corresponden a forma.
λ = 1
son los vectores distintos de cero de la
⎡− s − t ⎤ ⎡− 1⎤ ⎡− 1⎤ ⎢ s ⎥ = s ⎢ 1 ⎥ + t ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2t ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ALGEBRA LINEAL
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La matriz que tiene como columnas a los ⎡2 − 1 − 1⎤ ⎢ 0 ⎥⎥ C = 2 1 ⎢ ⎢⎣1 0 2 ⎥⎦
C = 9
n vectores
propios
Por lo que los vectores son linealmente independientes
La matriz diagonal sería −1
⎡2 − 1 − 1⎤ ⎡5 4 2⎤ ⎡2 − 1 − 1⎤ ⎡10 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢4 5 2 ⎥ ⎢2 1 ⎥ = ⎢ 0 1 0⎥ −1 0 0 D = C AC = 2 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎦ ⎣2 2 2⎦ ⎣1 0 2 ⎦ ⎣ 0 0 1⎥⎦
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