ÁLGEBRA LINEAL
Ricardo Miguel Guzmán Navarro
Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas
Cap´ıtulo 6 Valores y Vectores Propios En este cap´ cap´ıtulo presentaremos presentaremos los conceptos b´ asicos de valor propio, propio, vector propio, espacio propio y espectro de una matriz . Adem´ as, as, presentaremos algunos de los resultados m´ as relevantes relacionados con tales conceptos. as Debido a que en un estudio de los valores y vectores propios es imposible no hablar de n´ umeros complejos, debemos hacer algunas observaciones umeros observaciones respecto a la terminolog´ terminolog´ıa que utilizaremos en este cap´ cap´ıtulo. La palabra escalar se utilizar´ utilizar´a para referirnos referirnos a un n´ u mero que puede ser real o complejo. Un umero vector n 1 ser´a una matriz n 1 cuyas componentes pueden ser n´ umeros umeros reales o complejos.
×
6.1. 6.1.
×
Valor alores es y Vec Vecto tore ress Prop Propio ioss
Definici´ on on. Sea A Rn n . Un escalar λ es un valor propio de A si existe un vector n 1 x = 0 tal que Ax = λx. Ahora, si Ax = λx con x = 0, entonces x es un vector propio de A asociado al valor propio λ.
×
Ejemplo.
∈
×
−2 es un valor propio de la matriz A
=
2 5 3
−
0 1 2
− 72
1 2 5/4
−
,
73
6.1. VALORES Y VECTORES PROPIOS
ya que
2 0 1 1 −2 1 5 −1 2 3 = −6 = −2 3 . −3 2 −5/4 −4 −4 8 1 Adem´as, 3 es un vector propio de asociado al valor propio −2. A
♦
−4
n n R . Entonces ning´ Teorema 6.1. Sea A un vector propio de A puede estar asociado a valores propios distintos de A.
∈
×
Demostraci´ on. Si suponemos que x es un vector propio de A asociado a valores propios distintos λi , λ j de A, entonces (λi λ j ) = 0 y
−
(λi
− λ )x = λ x − λ x = Ax − Ax = 0. j
i
j
Luego (λi
−λ ) j
1
−
(λi
− λ )x = (λ − λ )
1
−
j
i
j
0 =
⇒
x = 0,
lo cual es absurdo. Por tanto, ning´ un vector propio de A puede estar asociado a valores propios distintos de A. ♦ Definici´ on. Sea A
n×n
∈ R , el espectro de A es σ(A) = {λ escalar : λ es un valor propio de A} .
El s´ımbolo R [x] denotar´ a al conjunto de los polinomios en la variable x y coeficientes en R. La evaluaci´on de un polinomio p(x) = a0 + a1 x + + at xt de R [x] en una matriz A Rn n es la matriz
∈
···
×
p(A) = a0In + a1 A +
t
·· · + a A , t
donde Ai para todo i = 2, ..., t es el producto usual de matrices de A con sigo misma i veces. Ejemplo. Sean A=
1 1
−1 2
CAP ´ ITULO 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS
74 y p(x) = 1
2
− 3x + 2x . Entonces
p(A) =
=
1 0 1 −1 1 −1 1 −1 1 −3 1 2 +2 1 2 1 2 0 1 1 0 −3 3 0 −6 −2 −3 +
0 1
−3 −6
Teorema 6.2. Sean A Rn n , p(x) de A asociado a λ. Entonces p(λ) p(A) asociado a p(λ).
∈
×
+
6
=
6
3
1
.♦
∈ R [x], λ ∈ σ(A) y x un vector propio ∈ σ( p(A)) y x es un vector propio de
Demostraci´ on. Supongamos que p(x) = a0 + a1 x +
p(A)x = a0 x + a1 Ax +
t
··· + a x , entonces t
t
· ·· + a A x, t
pero A j x = A j
1
−
Ax = A j
1
−
λx = λA j 1 x = −
para todo j = 1,...,t. Luego p(A)x = a0 x + a1 λx + = (a0
6.2.
j
·· · = λ x
t
·· · + a λ x + a λ + ··· + a λ )x = p(λ)x. ♦ 1
t
t
t
Subespacios Propios
Teorema 6.3. Sean A
n×n
∈R
y λ un valor propio de A. Entonces
EA (λ) = x vectores n
× 1 : Ax = λx} es un subespacio del espacio de los vectores n × 1 sobre los n´ umeros complejos. Demostraci´ on. Claramente A0 = λ0, por tanto 0 ∈ E (λ). Ahora, si x, y ∈ E (λ) y c escalar, entonces {
A
A
A(c x + y) = c Ax + Ay = c λx + λy = λ(c x + y),
por tanto (c x + y) EA (λ). Luego EA (λ) es un subespacio de los vectores n 1 sobre los n´ umeros complejos. ♦
×
∈
6.3. MATRICES INVERTIBLES Y VALORES PROPIOS
75
N´otese que EA(λ) es igual a 0 unido con el conjunto formado por todos los vectores propios de A asociados al valor propio λ. Adem´as, por Teorema 6.1 se tiene que si λi , λ j son valores propios distintos de A, entonces
{}
EA(λi )
∩E
A
(λ j ) = 0 .
{}
Definici´ on. El subespacio EA(λ) se denomina subespacio propio de A asociado al valor propio λ. Adem´ as, la dimensi´ on de EA (λ), dim(EA(λ)), se llama la multiplicidad geom´ etrica del valor propio λ de A.
De la definici´on de vector propio, es claro que EA(λ) tiene al menos un vector no nulo, por tanto dim(Rn ) = n
6.3.
≥
dim(EA (λ))
≥ 1.
Matrices Invertibles y Valores Propios
Teorema 6.4. Sea A Rn s´ olo si, A es no invertible.
∈
n
×
. Entonces λ = 0 es un valor propio de A si, y
Demostraci´ on. Ejercicio. ♦ Teorema 6.5. Sea A Rn valor propio de A es cero.
∈
n
×
. Entonces A es invertible si, y s´ olo si, ning´ un
Demostraci´ on. Este resultado es equivalente al Teorema 6.4. ♦ Teorema 6.6. Sea A Rn n una matriz invertible. Entonces λ es un valor propio de A si, y s´ olo si, λ 1 es un valor propio de A 1 . A´ un m´ as, x es un vector propio de A asociado a λ si, y s´ olo si, x es un vector propio de A 1 asociado a λ 1 .
∈
×
−
−
−
−
Demostraci´ on. Puesto que A es invertible, ninguno de sus valores propios es cero. Luego, un escalar λ es un valor propio de A y x es un vector propio
CAP ´ ITULO 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS
76 de A asociado a λ
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
Ax = λx A
1
Ax = A
A
1
x=λ
−
−
si, y s´olo si, λ 1 es un valor propio de A asociado a λ 1 . ♦ −
1
−
1
−
1
λx
x
y x es un vector propio de A
−
1
−
−
6.4.
Producto de matrices y Valores Propios
Teorema 6.7. Sean A, B
∈R
n×n
. Entonces
σ(AB) = σ(BA). Demostraci´ on. Ejercicio. ♦
6.5.
Localizaci´ on de Valores Propios
Existen muchos teoremas que dan informaci´ on acerca de la localizaci´on en el plano complejo de los valores propios de una matriz. El m´as famoso de ellos es el Teorema de Gershgorin, el cual constituye el centro de esta peque˜ na secci´on. Definici´ on. Sea A negativo
∈R
n×n
. El radio espectral de A es el n´ umero real no
rad(A) = m´ax λ : λ
{| | ∈ σ(A)} .
|λ| significa m´ odulo de λ si λ es complejo o valor absoluto de λ si λ es real . El radio espectral de una matriz A ∈ R es justamente el radio del disco n×n
as peque˜ no centrado en el origen del plano complejo que contiene cerrado m´ a todos los valores propios de A. Definici´ on. Sea A
n×n
∈R
. Los n discos de Gershgorin de A son:
D p = z escalar : z
{
| −a | ≤R pp
p
(A)
}
p = 1,...,n.
´ 6.6. C ALCULO DE VALORES PROPIOS
77
Donde
| | ··· + a
R p (A) = a p1 +
p( p−1)
+ a + ·· · + |a p( p+1)
pn
|.
La regi´ on del plano complejo formada por la uni´ on de esos n discos ser´ a llamada regi´ on de Gershgorin y denotada por G(A). Teorema 6.8. (De Gershgorin). Sea A tenido en G(A).
∈R
n×n
. Entonces σ(A) est´ a con-
Demostraci´ on. Ejercicio. ♦
6.6.
C´ alculo de Valores Propios
Teorema 6.9. Sea A si, det(λIn A) = 0.
−
n×n
∈R
. Entonces λ es un valor propio de A si, y s´ olo
Demostraci´ on.
λ valor propio de A
⇐⇒ ∃ x = 0 : A x = λx ⇐⇒ ∃ x = 0 : (λI − A)x = 0 ⇐⇒ (λI − A) es no invertible ⇐⇒ det(λI − A) = 0. ♦ n
n
n
Definici´ on. Sea A Rn nomio de R [x] dado por
∈
n
×
. El polinomio caracter´ıstico de A es el poli-
PA(x) = det(xIn
− A).
La expresi´ on PA (x) = 0 se llama ecuaci´ on caracter´ıstica de A. n n Seg´ un Teorema 6.9, λ es un valor propio de A R si, y s´olo si, λ es soluci´on de la ecuaci´on caracter´ıstica de A. Esto u ´ ltimo equivale a que λ es una ra´ız de PA (x).
∈
×
CAP ´ ITULO 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS
78
Ejemplo. Hallemos el polinomio caracter´ıstico y los valores propios de
A
1 = 4
2 3 5 6 7 8 9
.
En efecto, PA (x) = det(xI3 = x3
x − 1 ) = det −4
−A
−7
−2 −3 x − 5 −6 −7 x − 9
2
− 15x − 18x.
Una simple inspecci´on visual muestra que λ1 = 0 es una ra´ız de PA (x). Con esa informaci´ on es f´acil probar (con ayuda de la F´ ormula General Cuadr´ atica ) 15 3 3 15 que las otras ra´ıces de PA(x) son λ2 = 2 33 y λ3 = 2 33 + 2 . As´ı, 2 3 σ(A) = 0, 15 33, 32 33 + 15 .♦ 2 2 2
− √
√
− √
√
Por lo general, es dif´ıcil o imposible hallar las ra´ıces de PA(x). Sin embargo, si ´ PA(x) tiene coeficientes enteros, algunas veces es util ´ un resultado de Algebra elemental que dice: si p(x) es un polinomio con coeficientes enteros, entonces toda ra´ız entera de p(x) divide al t´ermino independiente de este. Ejemplo. Hallemos los valores propios de una matriz A que tiene como
polinomio caracter´ıstico a PA (x) = x3 + 2x2
− 3x − 6.
Si PA(x) tiene una ra´ız entera, esa ra´ız debe ser un divisor del t´ermino constante. Los divisores de 6 son: 1, 2, 3, 6. Si sustituimos x = 2 en PA(x) se obtiene cero. De tal hecho podemos deducir que 2 es una ra´ız de PA(x) y que x + 2 divide exactamente a PA(x). Con ayuda de la F´ormula General Cuadr´ atica encontramos que
± ± ± ±
√ √ − 3)(x + 3). √ √ Luego los valores propios de A son −2, 3 y − 3. ♦ PA(x) = (x + 2)(x
−
−
´ 6.6. C ALCULO DE VALORES PROPIOS
79
Definici´ on. Sea λ es un valor propio de A Rn n . El n´ umero de veces que se repita λ como ra´ız de PA (x) es la multiplicidad algebraica del valor propio λ de A.
∈
×
Ejemplo. La matriz
A
1 0 = 1 1
0 2 0 0 0
−
0
− −
0 0 5 3 0
0 0 6 4 0
0 0 0 0 2
cuyo polinomio caracter´ıstico es PA (x) = x5
3
− 7x
+ 2x2 + 12x
= (x + 2)2 (x
−8
2
− 1) (x − 2),
tiene como valores propios λ1 = 2 con multiplicidad algebraica 2, λ2 = 1 con multiplicidad algebraica 2 y λ3 = 2 con multiplicidad algebraica 1. ♦
−
Teorema 6.10. Sea A as, si n. Adem´
∈R
n×n
. Entonces PA(x) es un polinomio de grado
PA (x) = an xn + an 1 xn
1
+ an 2 xn
−
entonces an = 1, an
1
−
=
2
−
−
−
−tr(A) y a
0
+
·· · + a x + a , 1
0
= ( 1)n det(A).
−
Demostraci´ on. Ejercicio. ♦ Teorema 6.11. Sean A tonces det(A) = λ1
∈R · ·· λ
n×n
n
y λ1 ,...,λn los valores propios de A. Eny
tr(A) = λ1 +
·· · + λ . n
Demostraci´ on. Ejercicio. ♦ Teorema 6.12. Sea A Rn n . Entonces A y AT tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas correspondientes.
∈
×
CAP ´ ITULO 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS
80
a probar que PA (x) = PA (x). En efecto, Demostraci´ on. Bastar´ T
PA(x) = det(xIn = det(xIn
6.7.
T
− A) = det((xI − A) − A ) = P (x). ♦ n
T
)
AT
C´ alculo de Vectores Propios
n n R Teorema 6.13. Sean A y λ un valor propio de A. Entonces x es un vector propio de A asociado a λ si, y s´ olo si, x es una soluci´ on no trivial del sistema homog´ eneo de ecuaciones lineales (λIn A)y = 0.
∈
×
−
on no trivial del sistema (λIn A)y = 0, si, y Demostraci´ on. x es soluci´ s´olo si, x = 0 y (λIn A)x = 0 si, y s´olo si, x = 0 y Ax = λx. ♦
−
−
Presentamos a continuaci´ on algunos ejemplos que ilustran la forma como se pueden hallar valores propios y vectores propios. Ejemplo. Hallemos los valores propios y los espacios propios de la matriz A=
2 1
−12 . −5
on caracter´ıstica de A es Soluci´ on. La ecuaci´ det(xIn
− A) =
det
x − 2 −1
12 x+5
= x2 + 3x + 2 = (x +1)(x + 2) = 0,
de donde se obtiene que λ1 = 1 y λ2 = 2 son los valores propios de A. Para determinar los vectores propios correspondientes se resuelven los sistemas homog´eneos (λ1 I2 A)x = 0 y (λ2 I2 A)x = 0: para λ1 = 1, la matriz de coeficientes es
−
− −
−
( 1)I2
−
−A=
−1 − 2
−1 −
12 1+5
que se reduce por filas a
1 0
−4 . 0
−
−3 12 =
−1
4
,
´ 6.7. C ALCULO DE VECTORES PROPIOS
81
Por consiguiente, x1 4x2 = 0. Se concluye que todo vector propio de A asociado a λ1 = 1 es de la forma
−
−
x 4x 4 = = =x ,x = 0. x x 1 4 Luego E (λ ) = gen . Para λ = −2, la matriz de coeficientes es 1 −2 − 2 12 −4 12 1
x
2
2
A
2
2
1
2
2
( 2)I2
−
−A=
=
−1 −2 + 5
−1
3
,
que se reduce por filas a
1
−3 .
0
0
Por consiguiente, x1 3x2 = 0. Luego todo vector propio de A asociado a λ1 = 2 es de la forma
−
−
x
x 3x 3 = = =x ,x = 0. x x 1 3 1
2
2
Luego EA (λ2 ) = gen
1
2
2
2
.♦
Ejemplo. Hallemos los valores propios y los espacios propios de la matriz
A
2 = 0
1 0 2 0 0 0 2
.
on caracter´ıstica de A es Soluci´ on. La ecuaci´ det(xIn
x − 2 ) = det 0
−A
0
−1 x−2 0
0 0 x
= (x − 2) = 0. 3
−2
Por tanto, λ1 = 2 es el u ´ nico valor propio de A. Ahora, 2I3
−A
0 = 0 0
−1 0 0
0 0 0
CAP ´ ITULO 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS
82
´ımplica que en la soluci´on del sistema homog´eneo (2I3 A)x = 0 tiene que x2 = 0 y las variables x1 , x3 est´an libres. Luego todo vector propio de A asociado a λ1 = 2 es de la forma
−
x x 1 0 = x = 0 = x 0 + x 0 . x x 0 1 1 0 Luego E (λ ) = gen 0 , 0 . 0 1 1
x
1
2
1
3
A
3
3
♦
1
Ejemplo. Hallemos los valores propios y los espacios propios de la matriz
A
1 0 = 1
0 1 0 1 0
0 5 2 0
−
0 10 0 3
.
on caracter´ıstica de A es Soluci´ on. La ecuaci´
det(xIn
− A)
=
=
x − 1 0 det −1
0 x
0 5
−1 − 0 x−2
−1 0 0 (x − 1) (x − 2)(x − 3) = 0.
0 10 0 x
−3
2
As´ı los valores propios de A son λ1 = 1, λ2 = 2 y λ3 = 3. Una base para el espacio propio de λ1 = 1 se encuentra como sigue:
(1)I3
−A
0 0 = −1
0 0 0 1 0
− −
0 1 0 0
.
−
0 5 1 0
y se reduce a la matriz
1 0 0
0 0 0 0 0
2 2 0 0
−
0 10 0 2
−
83
6.8. INDEPENDENCIA LINEAL Y VECTORES PROPIOS
Lo cual implica que x1 + 2x4 = 0, x3 2x4 = 0 y x2 est´a libre. As´ı, todo vector propio de A asociado a λ1 = 1 es de la forma
−
−2x 0 −2 = x = x 1 + x 0 . 2x 0 2 x x 0 1 0 −2 1 0 Luego E (λ ) = gen , . 2 00 1 Para λ = 2 y λ = 3, se sigue el mismo patr´on para obtener 0 0 5 5 − E (λ ) = gen y que E (λ ) = gen 10 01 . x
A
1
4
2
2
3
4
4
4
2
4
1
2
3
A
6.8.
x x = x
2
A
3
♦
Independencia lineal y vectores propios
Teorema 6.14. Sean λ1 , ..., λr valores propios distintos de A Rn n . Si para cada i 1, ..., r S i es un conjunto linealmente independiente de vectores S r es todav´ıa un conjunto propios de A asociados a λi , entonces S = S 1 linealmente independiente.
∈{
∈
}
×
∪···∪
Demostraci´ on. Ejercicio. ♦ Teorema 6.15. Sea A
n×n
∈R
y λi un valor propio de A. Entonces
multiplicidad geom´ etrica de λi
≤
multiplicidad algebraica de λi .
Demostraci´ on. Ejercicio. ♦
6.9.
Valores propios de algunas matrices especiales
CAP ´ ITULO 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS
84
Teorema 6.16. Los valores propios de una matriz sim´ etrica son reales . Demostraci´ on. Ejercicio. ♦ Teorema 6.17. Sean U Entonces λ = 1.
∈R
||
n×n
ortogonal y λ es un valor propio de U.
Demostraci´ on. Sea x un vector propio de U asociado al valor propio λ,
entonces
x = Ux = λx = |λ| x 2
2
2
2
.
Luego λ = 1. ♦
||
Teorema 6.18. Sea U
n×n
∈R
ortogonal. Entonces
|det(U)| = 1. Demostraci´ on. Si λ1 , ..., λn son los valores propios de U (algunos λi pueden ser iguales), entonces por Teorema 6.11, det(U) = λ1 λn y como λi = 1
·· ·
para i = 1, ..., n, entonces
| |
|det(U)| = |λ ··· λ | = |λ | ·· · |λ | = 1 ··· 1 = 1. ♦ 1
n
1
n
Teorema 6.19. Sea A Rn n es tal que AAT = AT A, entonces para todo valor propio λ de A, se tiene que
∈
×
EA(λ) = EA (λ). T
Demostraci´ on. Ejercicio. ♦ n n R es tal que AAT = AT A y λi , λ j valores Teorema 6.20. Sean A propios distintos de A. Entonces EA(λi ) EA(λ j ).
∈
Demostraci´ on. Ejercicio. ♦
×
⊥
85
6.10. SEMEJANZA DE MATRICES
6.10.
Semejanza de Matrices
n n R . Decimos que A es semejante a B, si Definici´ on. Sean A, B n n existe P R invertible tal que
∈
∈
×
×
A=P
1
−
BP.
Demostraci´ on. Ejercicio. ♦ Teorema 6.21. (Lema de Schur). Toda matriz A una matriz triangular superior .
n×n
∈R
es semejante a
Demostraci´ on. Ejercicio. ♦ n n R . Si A y B son semejantes, entonces Teorema 6.22. Sean A, B A y B tienen el mismo polinomio caracter´ıstico, y por consiguiente los mismos valores propios con las mismas multiplicicades algebraicas respectivas, el mismo determinante y la misma traza .
∈
×
Demostraci´ on. Como A y B son semejantes, existe P tal que A = P 1 BP, luego −
PA (x) = det(xIn
1
= det(P
1
−
1
−
n
1
1
−
n
−
n
∈
n
×
B
{
(x). ♦
semejantes con A = P 1 BP. Entonces
EB(λ) = Px : x
Demostraci´ on. Ejercicio. ♦
n
n
Teorema 6.23. Sean A, B Rn para todo λ σ(A) se tiene que
∈
invertible
− A) = det(xI − P BP) xI P − P BP) = det(P (xI − B)P) ) det(xI − B) det(P) = det(xI − B) = P
= det(P
−
n×n
∈R
−
∈E
A
(λ) .
}
CAP ´ ITULO 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS
86
Teorema 6.24. Sean A, B Rn n semejantes, entonces para todo λ se tiene que dim(EA (λ)) = dim(EB(λ)).
∈
×
∈ σ(A)
Demostraci´ on. Ejercicio. ♦ Definici´ on. Una matriz A una matriz diagonal.
∈R
n×n
es diagonalizable si es semejante a
Ejemplo. La matriz A
3 = −1 0
−1 0 2 −1 −1 3
es diagonalizable, ya que la matriz P
1 = 2 1
1 0 1
−
1 1 1
−
es invertible y P
1
−
AP =
1/6 3/6 2/6
−
2/6 0/6 2/6
−
1/6 3/6 2/6
3 −1 0
−1 0 1 1 1 2 −1 2 0 −1 −1 3 1 −1 1
= diag(1, 3,4). ♦ Teorema 6.25. Sea A Rn entonces A es diagonalizable.
∈
n
×
tal que A tiene n valores propios distintos,
Demostraci´ on. Ejercicio. ♦ Teorema 6.26. Sean A Rn n y λ1 , ..., λk los valores propios distintos de A, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
∈
1. A es diagonalizable.
×
87
6.11. EJERCICIOS
2. Existe una base para los vectores n A.
× 1 formada por vectores propios de
3. para i = 1, ..., k dim(EA(λi )) es igual a la multiplicidad algebraica , mi , de λi como valor propio de A. Demostraci´ on. Ejercicio. ♦
6.11.
Ejercicios
1. Halle el espectro de una matriz diagonal de
n×n
R
.
2. Sean A,B Rn n (n 2). Demuestre que: (a) λ σ(A) y µ σ(B) no implica λ + µ σ(A + B). (b) λ σ(A) y µ σ(B) no implica λµ σ(AB).
∈
∈ ∈
3. Sean A
∈ ∈
n×n
∈R
para i = 1, ..., s
≥
×
−
∈
ys 1, ..., n un n´ umero fijo. Demuestre que si ais = 0 1, s + 1, ..., n, entonces ass es valor propio de A.
∈{
}
n×n
. Demuestre que si λ todo k entero positivo. 4. Sea A
∈R
∈
k
k
∈ σ(A), entonces λ ∈ σ(A ) para
n×n
∈ R tal que la suma de los elementos de cada fila de A es c. Pruebe que c ∈ σ(A). es idempotente si A = A. Demuestre que 6. Una matriz A ∈ R σ(A) ⊆ {0, 1} . 5. Sea A
2
n×n
7. Una matriz A
∈R
n×n
es unipotente si A2 = In . Demuestre que σ(A)
es nilpotente si Ak = 0 para alg´ un entero positivo k. Demuestre que σ(A) = 0 . 8. Una matriz A
n×n
⊆ {1, −1} .
∈R
{}
CAP ´ ITULO 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS
88
9. Halle los discos de Gershgorin para la matriz
A
−1 = 1/4
.
0 1/4 1 1/4 1 3
1
10. Demuestre, sin calcularlos, que los valores propios de la matriz
6 1 2
satisfacen la desigualdad 1
2 1 5 0 1 4
−
≤ |λ| ≤ 9.
11. Demuestre que las partes imaginarias de los valores propios de la matriz
3 1/3 2/3 1 4 0 1/2 1/2 1
−
−
est´an situadas en el intervalo [ 1 , 1].
−
12. Verifique que p(x) = x4
de la matriz
3
2
− 2x − 11x + 24 es el polinomio caracter´ıstico 1 −1 3 2 0 −1 4 0
0
1 1 1 1 3 1
2
13. Halle todos los valores propios y bases para los espacios propios de la
matriz A
−3 = 1 0
Ayuda : x =
1
1 1
T
2 1 2
−
−
2 1 3
.
es un vector propio de A.
89
6.11. EJERCICIOS
14. Halle todos los valores propios y bases para los espacios propios de la
matriz A
−1 = 4 0
Ayuda : 3 es un valor propio de A.
2 0 2
− − −
0 2 1
.
15. Demuestre que el polinomio caracter´ıstico de la matriz nula [resp. iden-
tidad] de Rn n es xn [resp. (x 1)n], y por tanto su u ´ nico valor propio es λ = 0 [resp. λ = 1] con multiplicidad algebraica n.
−
×
16. Demuestre que los valores propios de una matriz triangular son los ele-
mentos de su diagonal principal. 17. Si A
compruebe que PA (x) = x3
18 = −4
−3 −
∈
∈
{
19. Sean A
n×n
∈R
n
×
}
12 6 3
−
,
− 750 y σ(A) = {5, 10, 15}. y σ(A) = {λ , ..., λ }, entonces para todo
− 30x
n R 18.Demuestre que si A c R σ(cA) = cλ1 , ..., cλn .
2
2 9 2
+ 275x
1
n
yc
∈ R. Demuestre que E (λ) = E (cλ) ∀λ ∈ σ(A). A
cA
20. Demuestre que existen matrices no nulas en Rn
n
×
cuyo polinomio carac-
n
ter´ıstico es x . 21. Sean A Rn tal que x 2 = r.
∈
n
×
n×n
,λ
+
∈ σ(A) y r ∈ R
. Demuestre que existe x
∈E
A
(λ)
, n > 1 y PA (x) = PB(x). Demuestre que A y B no son necesariamente semejantes. 22. Si A, B
∈R
CAP ´ ITULO 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS
90 23. Sean D1 , D2
n×n
matrices diagonales. Demuestre que son semejantes si, y s´olo si, tienen los mismos polinomios caracter´ısticos.
∈R
24. Demuestre que matrices semejantes tienen igual rango.
Bibliograf´ıa ´ [1] Anton, H. (1996), Introducci´ on al Algebra Lineal , Editorial Limusa S.A. Grupo Noriega Editores, M´exico.
[2] Asmar, A. J. (1995), T´ opicos en Teor´ıa de Matrices, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın. [3] Harville, D. (1997), Matrix Algebra From a Statistician’s Perspective, Springer - verlag, New York. ´ Lineal , Prentice - Hall Hispa[4] Hoffman, K. y Kunze, R. (1983), Algebra noamericana, S.A., M´exico.
[5] Horn, R. y. J. C. (1985), Matrix Analisys, Cambridge University Press, U.S.A. [6] Kincaid, D. y Cheney, W. (1991), Numerical Analysis, Brooks Cole Publishing company. Pacific Grove, California. [7] Meyer, C. (2000), Analysis and Applied Linear Algebra , Siam, Philadelphia. ´ Lineal Aplicada , Prentice - Hall [8] Noble, B. y Daniel, J. W. (1989), Algebra Hispanoamericana, S.A., M´exico.
[9] Searle, S. (1986), Matrix Algebra Useful for Statistics, John Wiley and Sons, U.S.A.
91
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Algebr a ´
Lineal, Prentice - Hall Hispa-
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