VALORES Y VECTORES PROPIOS
Consideremos un espacio vectorial (V, k,+,*) y un endomorfismo f: , un muchas aplicaciones es útil encontrar un vector v tal que f(v) y v sean paralelos , es decir: se busca un vector v y un escalar tal que f(v) v y ésta relación es la que estudiaremos.
DEFINICION.
Sea v un espacio vectorial sobre k y f propio” de f, si existe un vector v
un endorfismo un número , tal que:
es un “valor
…..….(1) Todo vector v que satisface (1) se llama vector vector propio de f correspondiente correspondiente al auto valor .
NOTA. 1. Las expresiones expresiones “valor propio”, “valor característico” y “autovalor “autovalor ” son 2.
sinónimos. Las expresiones “vector propio”, “vector característico” y “autovector” son sinónimos.
√ √ √ √ √ √ (√ )(√ )(√ ) √ Ejemplo.- Consideremos el espacio vectorial
definida por puesto que el vector no nulo (2,1) es tal que:
, el escalar
y la transformación lineal es un valor propio de f,
Es un valor propio asociado al valor propio 2.
Ejemplo Encuentre los autovalores y autovectores correspondientes a las siguientes transformaciones lineales
tal que
Solución:
De donde.
Los autovalores de f son: Para
Luego los auto vectores son (
, se tiene
VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ.
Sea A una matriz de orden nxn con componentes reales. El número llama autovalor de A si existe un vector y diferente de cero tal que:
El vector
(real o complejo) se
se llama autovector de A correspondiente al autovalor .
DEFINICIÓN: Si A es una matriz cuadrada, entonces un escalar es un valor propio de A si satisface la ecuación.
A la ecuación (
……………….(
se le denomina la ecuación característica de A.
| | | | Ejemplo: Encuentre el valor de la matriz.
Solución:
Son valores propios de la matriz.
Ejemplo: Obtener los valores y vectores propios, si existen, de la matriz
Cuando los auto valores
De donde
Para
de la matriz A.
son los valores propios de A
calculamos los valores propios.
Donde,
Para
, calculamos los valores propios de A Remplazando se tiene:
Efectuando operaciones.
Por lo tanto los vectores de los vectores de la matriz A son (1,0) y (1,1).
OBSERVACION: Si A es una matriz de orden m×n, entonces las siguientes afirmaciones son las siguientes. 1. 2. 3.
Si (
es un valor propio de la matriz A. El sistema de ecuación ( tiene soluciones no triviales. Existe un vector X en diferente de cero, tal que AX=
es un valor propio de A, entonces el espacio solución del sistema de ecuaciones se denomina el espacio propio de A correspondiente a
diferentes de cero en el espacio propio de A. correspondiente a .
, y los vectores
Ejemplo: Hallar los valores y vectores propios de la matriz.
Solución.
Calculando los valores propios de A.
,
Sea
un vector propio de A.
X es un vector propio de A correspondiente a sí y sólo si x es una solución no trivial de ( es decir, solución no trivial de:
…………………..………………( )
Si
, la ecuación ( ) se transforma en:
Son los vectores propios de A correspondientes a
Si
, la ecuación ( ) se transforma en: ,
X=
+
Por lo tanto los vectores propios de A correspondientes a de cero de la forma.
=5son los vectores diferentes
X=
OBSERVACION: Todo endomorfismo en V, donde V es un espacio vectorial de dimensión finita y mayor o igual a 1 sobre el cuerpo de los complejos admite vectores propios. Pero si el cuerpo no es C, entonces pueden no existir vectores propios.
√ Ejemplo: Sea
el espacio vectorial sobre R y
Si existe
tal que para algún
, tal que:
entonces:
El sistema admite solución no trivial sí.
Si
Solo existe vectores propios si
.
Consideremos ( existen valores y vectores propios .El endomorfismo f representa una rotación del plano de ángulo alrededor del origen.
} TEOREMA.- Si
es una transformación lineal, y además existe una base formado por los vectores propios de f correspondientes a los valores , entonces la matriz de f respecto de esta base es la matriz diagonal.
propios
[ ] { [ ] Demostración.
La matriz de f respecto de la base se obtiene determinando las imágenes de los vectores de dicha base, y teniendo en cuenta la definición de vector p ropio:
En consecuencia.
-
1. Del teorema demostrado, diremos que la transformación lineal f es diagonalizable. 2. Si dim es un endomorfismo que admite n valores propios distintos, entonces f es diagonalizable. 3. En términos de matrices diremos que si A admite n valores propios distintos, entonces existe P no singular, tal que AP es diagonal.
Ejemplo:
Determinar
los
valores
y
los
vectores
propios
de
Solución:
Calcular los valores propios de A.
| | () De donde
entonces.
Son los valores propios
Para cada valor de
resolvemos el sistema.
Si
Luego
es un vector propio asociado a
Si
Luego
Los vectores
son los linealmente independientes y forma una base
A es diagonizable, y su forma diagonal es:
P es la matriz cuyas columnas son os vectores propios es decir:
la
matriz
*
+
POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ.-
| | DEFINICIÓN: el polinomio característico de una matriz la matriz
es el determinante de
es decir:
Desarrollando el determinante se tienes:
EJEMPLO: determinar el polinomio característico de la matriz A siendo
Solución:
Las raíces de
De donde:
PROPIEDADES.-
El escalar es un valor propio de la matriz polinomio característico de A.
si y solo si
1. Si
es un valor propio de A entonces también lo es
es la raíz del
es singular, y por consiguiente
.
En consecuencia,
es una raíz del polinomio característico.
2. Supongamos que
sea una raíz del polinomio característico de A. entonces ósea que son singulares, esto significa que es un valor propio de A.
Ejemplo: encuentra los valores característicos de la matriz.
Solución.
Sea
De donde los valores propios de A son:
MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACIÓN.-
MATRICES SEMEJANTES.-
Sean las matrices A y B de orden n*n se dice que la matriz A es semejante a la matriz B si existe una matriz P invertible de orden n*n tal que
Observación.- la definición dada también se puede expresar así: Las matrices A y B de orden n*n son semejantes si y solo si existe una matriz invertible P tal que PB=AP
Ejemplo.- de dos matrices semejantes.
Ejemplo. De una matriz semejante una matriz diagonal.
Donde P es invertible porque
TEOREMA: Si A y B son matrices semejantes de orden n*n, entonces A y B tiene el mismo polinomio característico y por lo tanto, tiene los mismos valores propios.
Demostración
Como A y B son semejantes Det
invertible tal que
y
Esto significa que A y B tienen la misma ecuación característica y como los valores propios son raíces características, tiene los mismos valores propios.
MATRIZ DIAGONIZABLE.-
Se dice que una matriz cuadrada Aes diagonizable, si existe una matriz inversible P tal que sea diagonal; se dice que la matriz P diagonaliza a la matriz A.
Si existe una matriz ortogonal P tal que es diagonal, entonces A es diagonizable ortogonalmente, y se dice que P diagonaliza ortogonalmente a A.
Ejemplo. Encuentre una matriz P que diagonalice ortogonalmente a A donde Solución. Calculando los valores propios de A.
* + Calculando los vectores propios de A Para esto cada valor de
Luego
Luego
Luego
resolvemos el sistema.
TEOREMA.-
Una matriz A de orden n*n es diagonizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independiente. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dado por:
Donde
[ ]
son los valores propios de A.
Si P es una matriz cuyas columnas son vectores propios linealmente independientes de A, entonces
Demostración.
[] [] [] [ ] [ ] [ ] []
Primero se supone que A tiene n vectores propios linealmente independiente que corresponde a los valores propios (no necesariamente deferentes)
Entonces P es inversible ya que sus columnas son linealmente independientes. Ahora bien.
Y se ve que la columna i de
[ ] [ ] [ ] [ ]
Matriz cuya columna i es
Pero
Entonces izquierda por
y como P es inversible, se puede multiplicar ambos lados por la para obtener:
OBSERVACIÓN: Si A es una matriz de orden n*n, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. A es diagonizable. 2. A tiene n vectores propios linealmente independiente.
OBSERVACIÓN.- si una matriz A de orden n*n tiene n valores propios diferentes entonces A es diagonizable.
| | Ejemplo. Determina si
Solución.
Calculando los valores propios de la matriz A.
, desarrollando el determinante.
Ahora calculando los vectores propios de A para esto, cada valor de sistema:
resolvemos el
{ [ ] Luego
Si,
Luego
Si
es un vector propio asociado a
Luego
Sea
Como
TEOREMA DE CAYLEY – HAMILTON.
TEOREMA 1.-
y de matrices cuadradas y si
cuyos coeficientes
entonces
Demostración.
Si
está dada por la ecuación
Sustituyendo A en lugar de
se obtiene:
TEOREMA 2.- Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica, es decir, si
es la ecuación característica de A, entonces
Demostración.
[ ] [ ] | | Es claro que cualquier factor de es un polinomio de , así, la adjunta de una matriz de orden nxn en la que cada componente es un polinomio en es decir
Esto significa que se puede pensar en cuyos coeficientes son matrices de orden nxn. Luego
COMO UN POLINOMIO,
es
en
………… (
Pero
si
Entonces se define: Por tanto, de (
se tiene
Luego por el teorema (1) se tiene
Ejemplo. Calcular la matriz inversa aplicando el teorema CAYLEY- HAMILTON.
Sea
Multiplicando por
a la ecuación.
FORMAS BILINEALES
DEFINICION: Sean (V,+,K,.) un espacio vectorial y f una función de V 2en K, entonces la función es una forma bilineal sobre V si y solo si es lineal respecto a los dos argumentos es decir es forma bilineal sobre V si satisface: Linealidad respecto al primer cuadrante.
Linealidad respecto al segundo argumento.
OBSERVACION:
Si f es una forma bilineal sobre V, entonces se verifica que:
Ejemplo: Sea
una forma bilineal; demuestre que
definida por
es una forma lineal.
Solución:
MATRIZ DE UNA FORMA BILINEAL
}
Sea V un espacio de dimensiones una base de V, y la forma bilineal , entonces f está caracterizada por los valores que son los elementos de la matriz
, llamada matriz de f respecto de la base
∑ ∑ ∑∑ ∑∑
.
En efecto, si x e y son dos valores cualesquiera de V, que expresado en términos de la base es:
Donde x e y son las matrices columnas cuyos elementos son las coordenadas de x e y respecto a la base
FORMA BILINEAL SIMETRICA
√ * √ + √ *√ + √ √ √ √ DEFINICION: La forma bilineal .
es simétrica si y solo si
PROPIEDADES La matriz
representan una forma bilineal si y solo si A es simétrica.
1) Sea f la forma bilineal simétrica asociada a A, f es simétrica si y solo si
2) Sea A simétrica, entonces: Luego f es simétrica.
Ejemplo: Determinar la forma escalar de las formas cuadráticas asociadas a las formas
bilineales
en los siguientes casos:
Solución:
=
=
FORMAS CUADRATICAS
DEFINICION: Sean (V,+,K,.) un espacio vectorial de dimensiones finitas y
una forma bilineal simetrica sobre V entonces una forma cuadrática asociada a la forma bilineal simétrica g es la función definida por donde:
∑
Si es la matriz simétrica de la forma bilineal g, entonces la forma cuadrática asociada está definida por:
}
∑∑
Observamos que el desarrollo de la forma cuadrática en términos de las variables , corresponde a un polinomio homogéneo de grado 2 donde los coeficientes de los términos cuadráticos son los elementos de la diagonal de la matriz simétrica correspondiente, y cada coeficiente de un término rectangular es el duplo del elemento
de la ecuación.
DEFINICION: La forma cuadrática
no es degenerada si y solo si A es no singular.
La matriz correspondiente a la forma cuadrática
definida por:
Es
Ejemplo: Determinar la matriz de la forma cuadrática sobre
definida por
Solución: A=
A=
DEFINICION:
Sea V=
y sea A una matriz de nxn entonces una forma cuadrática en
Es un exponente de la forma:
Ejemplo: Encuentre una matriz simétrica A, tal que la forma cuadrática se puede escribir en la forma AX.X
1)
Solución:
2
1
2
7/2
1
1
3
-1
2
3
3
0
7/2 -1
0
1
