APLICACIÓN DE LAS LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN PROBLEMAS DE DEFLEXION EN VIGAS Ana Marquez1; Ana Yance 2; De la Hoz Thalia 3; Stephanie Salcedo 4; Cindy Roldan; !arol Scalda"erro #; $%ctor &rito ' (ni)er*idad de la Co*ta +Cuc, A-arquez1./cuc0edu0co 1; Ayance4/cuc0edu0co 2; Tdelahoz1/cuc0edu0co Tdelahoz1/cuc0edu0co3; S*alcedo#/cuc0edu0co 4; Croldan1/cuc0edu0co ; *calda"1/cuc0edu0co *calda"1/cuc0edu0co#; $rito1/cuc0edu0co $rito1/cuc0edu0co '
1. INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN
RESUMEN: En este proyecto se describe el uso de las ecuaciones diferenciales diferenciales en soluciones de deflexión de vigas a partir de la conceptualización y aplicación de formulas para determinar la deflexión y la curva elástica que también se denomi den omina na cur curva va de def deflex lexión ión.. Par Para a ell ello o se est establ ablece ece un problema el cual está basado en la construcción de un estadio de futbol, que tiene una estructura formada principalmente por una viga en voladizo con una carga distribuida a lo largo de su longitud. Para el desarrollo de este proyecto se utiliza una ecuación diferencial lineal de cuarto orden que satisface dicha deflexión y permite calcular mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales de orden superior la curvatura de la viga, para la solución de la ecuación diferenc diferencial ial lineal de cuarto orden mencionada anteriormente, se emplea el método del anulador para ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes const antes o coef coeficie icientes ntes indeterminado indeterminados, s, que se basa en hallar la solución general general de la ecuación lineal y aplicando las correspondientes condiciones de frontera que se presentan en la vi viga ga,, pa para ra ha hall llar ar ca cada da un uno o de lo loss co coef efic icie ient ntes es y finalmente determinar la deflexión de la viga y graficar la curva elástica, y as establecer las conclusiones finales del problema.
l pre*ente proyecto de aplicacin *e re"iere al te-a de de"le5in de una )i6a7 co-o e* *aido la* )i6a* hoy en d%a con*tituyen uno de lo* ele-ento* e*tructurale* -a* i-portante* en in6enier%a7 ya que e* utilizado en una a-plia a-p lia )ar )aried iedad ad de apl aplica icacio cione* ne*77 den dentro tro de la* que de*tac de* taca-o a-o*7 *7 que *on la* enc encar6 ar6ada ada** de *op *oport ortar ar la* car6 ca r6a* a* de la la** cu cuie iert rta* a* +t +tec echo ho*, *, de la la** )i )i)i )ien enda da*7 *7 edi" ed i"ic icio io*7 *7 et etc0 c0 e* e*ta ta** *o *on n ap apli lica cada da** ad adee-8* 8* a la la** e*tructura* de puente* entre otra*0 9a* )i6a* al *oportar car6a* car6 a* de otra otra** e*tr e*tructur uctura*7 a*7 ha*ta de *u propio pe*o7 oca*ionan que e*ta *e "le5ione7 lo* -:todo* para calcular la de"le5in de )i6a* *on )ariado*7 *in e-ar6o en el pre*ente traao aplicare-o* la* ecuacione* di"e di "ere renc ncia iale le*7 *7 e*pe e* pec% c%"i "ica ca-e -ent ntee la** la ecua ec uaci cion one* e* di"erenciale* de orden *uperior7 donde *e co-prender8 co-o *e utiliza la ecuacin di"erencial lineal de cuarto orden ord en par paraa deterdeter-ina inarr la "le5 "le5in in de de una )i6 )i6a0 a0 l oeti o eti)o )o pri princi ncipal pal de e*t e*tee proy proyect ecto o e* enc encont ontrar rar la de"l de "le5 e5i in n de un )i6 )i6aa en )o )ola ladi dizo zo77 co con n un unaa ca car6 r6aa di*triuida a lo lar6o de *u lon6itud7 que e*ta e-potrada en *u e5tre-o izquierdo y apoyada *i-ple-ente en *u e5tre-o derecho7 la cual hace parte del di*e
diferencial, PALABRAS PALABRAS CLAVE CLAVE ! "eflexión, vigas, ecuación diferencial, curvatura, método del anulador, coeficientes. coeficientes.
ABSTRACT: ABSTRACT: #his pro$ect pro$ect %as described described using differe differential ntial equati ations beam deflection solutions from the conc concep eptu tual aliz izat atio ion n and and impl implem emen enta tati tion on of form formul ulas as to determine determine the deflectio deflection n and the elastic curve also called called deflection curve . #his %ill set a basic problem based on the constr construct uction ion of a soccer soccer stadium stadium , %hich %hich has a struct structure ure mainly composed of a cantilever beam %ith a load distributed along its length. &or the development of this pro$ect, %e used a linear differential equation of the fourth order that satisfies this this deflec deflectio tion n and comput computes es by applyin applying g higher higher order order differential equations of the curvature of the beam, for the solution of linear differential differential equation of fourth order mentioned mentioned above, employ the annihilator annihilator method method for non' homo homoge gene neou ouss equa equati tion onss %ith %ith cons consta tant nt coef coeffi fici cien ents ts or undetermined coefficients , %hich %as based on finding the general solution of the linear equation and applying the appropriate boundary conditions that occurred in the beam , to find find each each of the coeff coeffici icient entss and finall finallyy determ determine ine the deflection of the beam and plot the elastic curve to establish the final conclusions of the problem.
"eflectio tion, n, beams, beams, differ differen entia tiall KEYWORDS: "eflec curvature, annihilator method, coefficients. coefficients.
cuan cu ando do
L x = 7 pa parra qu quee *e pue ueda da re"o "orrza zar r 2
adecuada-ente adecuada-e nte la e*tr e*tructur uctura0 a0 9a "uen "uente te princ principal ipal del de*arrollo de e*te proyecto e* el inter:* de conocer c-o *e puede hall hallar ar la *oluc *olucin in a un prole-a de de"l de"le5in e5in de )i )i6a 6a ee-pe peza zand ndo o de de*d *dee la pe per* r*pe pect cti) i)aa de la la** condicione* de "rontera que pre*enta la )i6a0
2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA l an8li*i* de la* de de"or-acione* en )i6a no* per-ite li-i li-ita tarr lo* lo* de*c de*cen en*o *o** de la* la* -i*-i*-a* a*77 entr entre6 e6an ando do *ecc *eccio ione ne** adec adecua uada da** para para ote otene nerr un e5ce e5cele lent ntee de*e-pe
equati equation, on,
1
)ario* deate* el di*e
la* encar6ada* de reciir la* car6a* de la* lo*a* o lo* ele-en ele-ento* to* plano* plano* que *e encuen encuentre tren n *ore *ore ella ella y al -i*-o tie-po tran*-itir :*ta* car6a* a la* colu-na* de la e*truc e*tructur tura0 a0 9a* 9a* car6a* car6a* que actBan actBan *ore *ore una )i6a oca*ionan oca*ionan que e*te e*te *e "le5ione7 "le5ione7 con lo que que *u ee *e de"or-a en una cur)a7 dicha "le5ion o de"le5ion e* una re*pue*ta e*tructural a una de"or-acin que *e da en la* )i6a* 20 9a de"le5i de"le5in n de una )i6a )i6a e*ta e*ta 6oern 6oernada ada por una ecuacin di"erencial de cuarto orden0 n la "i6ura 27 *e aprecia una )i6a ho-o6:nea de lon6itud 97 y tiene una *eccin tran*)er*al uni"or-e a lo lar6o de *u lon6itud0 n au*encia de car6a en la )i6a7 una cur)a que une lo* centroide* de toda* *u* *eccione* tran*)er*ale* e* una recta conocida co-o ee de *i-etr%a0 Si *e le aplica una car6a a la )i6a en un plano )ertical que contiene al ee de *i-etr%a7 la )i6a e5peri-enta una di*tor*in +er +er fig. () /, / , y la cur)a que conecta lo* centroide* de toda* *u* *eccione* tra*)er*ale* *e lla-a curva d d!"#$%& o curva "'()$ca 1.
&uente! os &uente! os Figura N° 1: Diagrama de a e!"ru#"ura $ -utores+
l prin princi cipa pall pro prole le-a -a para para lo* lo* con* con*tr truc ucto tore re** e in6eniero* e* opti-izar la* la* car6a* per-i*ile* per-i*ile* para que la e*tructura no colap*e o *u"ra la -enor de"or-acin po*ile7 por tanto nece*itan re"orzar adecuada-ente la e*tructura y para ello nece*itan *aer la de"le5in de la )i6a cuando
L x = 7 la )i6a *e encuentra e-potrada 2
en *u e5tre-o izquierdo y apoyada *i-ple-ente en *u e5tre-o derecho7 cuya lon6itud e* 97 y e*ta co-pue*ta por una car6a uni"or-e-ente di*triuida + w 0 ¿ a lo lar6o de *u lon6itud0 lon6itud0 n )irtud de lo ante* *e
&uente! 0ill "ennis 12334+. #omado #omado del Figura N° %: Viga $ texto, Ecuaciones "iferenciales! "iferenciales! con problemas con valores en la frontera+
?Cu8l ?Cu8l e* la de"le de"le5i 5in n que pre*en pre*enta ta la )i6a )i6a cuando cuando
L x = @ Cuando *e e*talece que la )i6a tiene una 2
car6a di*tr di*triu iuida ida de L=20 m 7 una car6a Tonelada w 0=2 7 y que el -aterial de la )i6a e* el m
lon6itud de
acer acero o
con un
2.4 × 10
6
T m
2
-od -odulo ulo 7
de ela ela*tic *ticid idaad
y cuy cuyo
de Figura N° &: De'e(i)* de u*a +iga $ &uente! 0ill "ennis 12334+. #omado del texto, Ecuaciones "iferenciales! "iferenciales! con problemas con valores valores en la frontera+
-o-e -o-ent nto o de iner inerci ciaa
re*pec re*pecto to a la 6eo-et 6eo-etr%a r%a del -ateri -aterial al corre* corre*pon ponde de a −3 4 I =21.3 × 10 m 0
x coincide con el ee de *i-etr%a y que la de"le5in y ( x ) 7 -edida de*de e*te ee7 e* po*iti)a *i e* hacia aao0 l -o-ento de "le5in M ( x ) e* un punto x a lo lar6o de la )i6a *e relaciona con la car6a car6a por unidad unidad de lon6itu lon6itud d w ( x ) -ediante la Si el ee
3. REFERENTES TEORICOS Mucha* e*tructura* *e con*tituyen u*ando trae* o )i6a* y e*ta* )i6a* *e "le5ionan o de"or-an ao *u propio pe*o o por la in"luencia de al6una e*"uerza e5terna 10 9a* )i6a* )i6a* *on -ie-ro* -ie-ro* e*tructur e*tructurale* ale* *o-etido* *o-etido* a car6a* car6a* laterale*; e* decir a "uerza* o -o-ento* que tienen *u* )ectore* perpendiculare* perpendiculare* al ee de la arra0 9a* )i6a* *on
ecuacin>
2
2
d M =w ( x ) ( 1 ) 2 dx
y ´ ( 0 )=0 porque la cur)a de de"le5in e*
•
tan6ente al ee 50 n
Ade-8* el -o-ento de "le5i 5in e* M ( x ) proporcional a la cur)atura k de la cur)a el8*tica0
•
M ( x )= EIk ( 2)
x = L la* condicione* de e5tre-o lire *on> y ´ ´ ( L ) =0
porque el -o-ento de "le5in e*
cero y •
cero0 y ´ ´ ´ ( L )= 0 porque la "uerza de corte e* cero0
Donde y E *on con*tante*> 9a "unc "unci in n
E= ¿ Modulo de ela*ticidad del -aterial I =¿
l producto E7 E7 *e conoce co-o ri6idez ri6idez "le5ional de la )i6a7 que e* una -edida de la re*i*tencia de la )i6a a la "le5in; e* decir entre -ayor e* la ri6idez por "le5in7 -enor e* la cur)atura para un -o-ento dado0 calculo
de
la
[
cur)atura
]
e*ta
dada
&uente! 0ill "ennis Ta,a Ta,a N° 1: C-*di#i-*e! de 'r-*"era $ 12334+. #omado del texto, Ecuaciones "iferenciales! "iferenciales! con problemas con valores valores en la frontera+
por
3
2 2 0 Cuando la de"le5in k = y ´ ´ / 1+( y ´ ) pendiente y ´ ≈ 0 7 y por y ( x ) e* peque
[ 1 +( y ´ ) ]
tanto
≈1 0
Si
*e
per-ite
que
ecuaci cin n 2 *e con)i on)ier ertte en k ≈ y ´ ´ 7 la ecua M = EI y ´ ´ 0 9a *e6unda deri)ada de e*ta Blti-a e5pre*in e*> 2
2
4
d M d d y = EI y ´ ´ = EI ( 3 ) 2 2 4 dx dx dx Si *e utiliz utilizaa en la ecuaci ecuacin n 17 para para ree-pl ree-plaza azar r 2 2 d M / dx 7 en la ecuacin 37 *e )e que la
de"le5in y ( x ) *ati*"ace la ecuacin di"erencial de cuarto orden> 4
d y EI 4 = w ( x ) ( 4 ) dx C*&d$c$*&( d !r*&)ra+ 9a* condicione* de "rontera* a*ociada* en la ecuacin 47 dependen de c-o c-o e*t:n apoyado* lo* lo* e5tre-o* de la )i6a0 (na )i6a en )oladizo e*ta e-potrada o "ia en un e5tre-o lire en el otro0 =ara una )i6a en )oladizo la de"le5in de"le5in y ( x ) dee *ati*"acer la* *i6uiente* do* condicione* en el e5tre-o "io x =0 > •
y ( 0 )= 0
dM = EI d 3 y / dx3 *e lla-a lla-a dx
"uerza de corte0 Si un e5tre-o de la )i6a e*ta apoyado *i-ple *i-ple-en -ente te o ai*a6 ai*a6rad rado7 o7 entonc entonce* e* de dee dee tener tener y =0 y y ´ ´ =0 en e*e e5tre-o7 en la tala 17 *e e*talecen cada una de la* condicione* de "rontera1>
Mo-ento de inercia de la *eccin tran*)er*al tran*)er*al
de la )i6a
l
F ( x )=
porque no hay "le5in "le5in y
3
5tre-o* de la )i )i6a
Condicione* de "r "rontera
E,-*)rad*( L$r( A-*/ad*( ($,-",&)
y =0 ; y ´ =0 y ´ ´ =0 ; y ´ ´ ´ = 0 y =0 ; y ´ ´ = 0
Figura N° /: Rea#i-*e! e*"re -! !ig*-! de -! m-me*"-! &uente! 'e(i-*a*"e! 0 -! !ig*-! de a! #ur+a"ura! $ http!55estructuras.eia.edu.co5estruct http!55estructuras.eia.edu.co5estructuras65deflexiones5 uras65deflexiones5teoria teoria 723deflexion5deflexiones.htm+
C"a($!$cac$%& C"a($!$cac$%& d "a( v$0a( d acurd* a "*( (*-*r)(+ 9a cla*i"icacin -8* co-Bn de la* )i6a* *e a*a en la* condicione* de *oporte co-o *e -ue*tra ta-i:n en la "i6ura 3> •
•
•
•
•
Figura N° .: Viga! #-* +aria! #-*di#i-*e! de e("rem &uente! 0ill "ennis 12334+. #omado #omado del texto, texto, Ecuaciones $ "iferenciales! "iferenciales! con problemas problemas con valores valores en la frontera+ frontera+
•
D!"#$%&+ 9a de"le5in de una )i6a en cualquier punto
n )oladizo> (n e5tre-o de la )i6a e* "io y el otro e*t8 lire0 *i-ple-ente apoyada*> a-o* e5tre-o* del re*to del haz e*t8n *ore *oporte*0 *ore*aliendo> (no o a-o* e5tre-o* de la )i6a *e e5tienden *ore lo* *oporte* n )oladizo apoyado> uno de lo* e5tre-o* e* "io y el otro e5tre-o *oportado Fio o e-potra-iento> a-o* e5tre-o* de la )i6a e*t8n "iado* r%6ida-ente de -odo que no hay -o)i-iento0 Continuo> lo* do* e5tre-o* e*t8n *oportado* y hay *oporte* inter-edio* a lo lar6o de *u lon6itud 30
Fura( rac)$va( * racc$*&( & "a( ()ruc)ura(
a lo lar6o de *u ee e* el de*plaza-iento de e*e punto de*de *u po*icin ori6inal7 -edido en la direccin de la* coordenada* en y 20
Son la* que *e ori6i ori6inan nan en deterdeter-ina inado* do* punto* punto* del *i*te-a deido a la* li6adura* o coaccione* y que *ur6en cuando actBan "uerza* "uerza* acti)a*0 9a* 9a* li6adura* coaccione* *on *on di*p di*po* o*it iti) i)o* o* -ate -ateri rial ale* e* que que i-pi i-pide den n tota totall o parcial-ente el lire -o)i-iento de la *eccin de un *lido0 Al con*iderar la pieza 6en:rica de una e*tructura7 e*t8 e*tar8 *o-etida a una o )aria* li6adura* que unen al re*to de la -i*-a o al *uelo0 n cada li6adura e5i*te una reaccin que7 en 6eneral7 e*tar8 "or-ada por una "uerza y por un -o-ento0 * condicin nece*aria para que la pieza e*t: en equilirio que el *i*te-a de "uerza* con*tituido por la* "uerza* directa-ente aplicada* y la* reaccione* )eri"iquen la* condicione* 6enerale* 30 * e)idente que la reaccin depender8 de la *olicitacin e5terior y del tipo de )%nculo0 (na *eccin no *o-etida a li6adura al6una tiene7 *e6Bn *ae-o*7 *ei* 6rado* de liertad> tre* po*ile* de*plaza-iento* en la* direccione* de lo* ee* coordenado* 57 y7 z y lo* po*ile* 6iro* alrededor de lo* -i*-o* ee*0
Curva d d!"#$%& * curva "'()$ca+ Se deno-ina por cur)a el8*tica7 la cur)a que repre*enta la de"or-ada del ele-ento en *u l%nea centroidal o ee lon6i lon6itud tudina inall de una )i6a recta7 la cual cual *e dee a la aplicacin de car6a* tran*)er*ale* en el plano 5y *ore la )i6a0 9a cur)atura e* una -edida de cuan a6uada-ente e*ta dolada una )i6a0 9a con)encin de *i6no* para -o-e -o-ent nto* o* "le5 "le5io iona nant nte* e* con con la de la cur) cur)at atur uraa *e e*talece que un -o-ento "le5ionante po*iti)o produce cur)atura po*iti)a y un -o-ento "le5ionante ne6ati)o produce cur)atura ne6ati)a20
4
A cada cada 6rado 6rado de liert liertad ad i-pedi i-pedido do por la li6adu li6adura ra corre* corre*pon ponde de una co-pon co-ponent entee de la reacci reaccin; n; *i e*t8 e*t8 i-pedido el -o)i-iento de la *eccin en la direccin de uno de lo* ee*7 la reaccin de la li6adura co-prende una "uerza que tiene una co-ponente en la direccin de e*e ee0 Si ade-8* e*t8 i-pedido el 6iro de la *eccin alrededor de al6uno de lo* ee* coordenado* -ediante un e-potra-iento7 por ee-plo7 la reaccin co-prende un -o-ento que tiene una co-ponente en la direccin de e*e ee7 e* decir7 *i e*t8 i-pedido el 6iro en al6uno de lo* plano* coordenado*7 "or-a parte de la reaccin de la li6adura un -o-ento en direccin perpendicular a e*e plano 30
M%du"* d "a()$c$dad E+ * una con*tate el8*tica que caracteriza a lo* -ateriale* y depende de la con*titucin de e*te0 e*te0 *tud *tudiad iado o por Tho-a Tho-a** Youn6 en 1G.'7 1G.'7 e* de"inido de"inido co-o el e*"uerzo e*"uerzo nece*ario nece*ario para producir una de"or-acin unitaria7 la cual e* una -edida de la ri6idez de lo* -ateriale* 30 operad ador or anul anulad ador or e* un O-rad*r O-rad*r a&u"ad*r+ a&u"ad*r+ l oper
-o-ento de inercia inercia e* una M*,&)* d $&rc$a I+ l -o-ento
operador di"erencial lineal0 l operador anulador de una *u-a de "uncione*7 e* la co-po*icin de lo* operadore* anuladore*0la co-po*icin de operadore* di"erenciale* opera co-o *i e*tu)ieran -ultiplicando polino-io en D0 9a "or-a que dee tener e*ta e* >
-edida de la inercia rotacional de un cuerpo0 Cuando un cuerpo 6ira en torno a uno de lo* ee* principale* de inercia7 inercia7 la inercia inercia rotacional rotacional puede *er repre*ent repre*entada ada co-o co-o una una -a6n -a6nit itud ud e*ca e*cala larr llalla-ad adaa -o-e -o-ent nto o de inercia0 Sin e-ar6o7 en el ca*o -8* 6eneral po*ile la inercia rotacional dee repre*entar*e por -edio de un conunto de -o-ento* de inercia y co-ponente* que "or-an "or-an el lla-ado lla-ado ten*or de inercia0 inercia0 9a de*cripci de*cripcin n ten*or ten*orial ial e* nece*a nece*aria ria para para el an8li* an8li*i* i* de *i*te*i*te-a* a* co-p co-ple leo o*7 *7 co-o co-o por por eeee-pl plo o en -o)i -o)i-i -ien ento to** 6iro*cpico* 30 l -o-ento de inercia re"lea la di*triucin de -a*a de un cuerpo o de un *i*te-a de part%cula* en rotacin7 re*pecto a un ee de 6iro0 l -o-ento de inercia *lo depende de la 6eo-etr%a del cuerpo y de la po*icin del ee ee de 6iro 6iro;; pero pero no depe depend ndee de la* la* "uer "uerza za** que que inter)ienen en el -o)i-iento 40
n
an D y + an−1 D
n−1
+ …+ a1 Dy +a0 y = g ( x ) (5 )
y = g ( x ) una "uncin que tiene n deri)ada y e* un oper operad ador or di"e di"ere renc ncia iall line lineal al con con L ( y )
Si
coe"iciente* con*tante*7 tal que>
L [ y ] ( x x ) =g ( x )= 0 (6 ) nto ntonc nce* e* *e dice dice que que el oper operad ador or anulador de
T$-*( d car0a( & v$0a(+
L ( y ) 7 e * e l
y = g ( x ) .
Donde>
n la Tala Tala 27 *e pre*entan pre*entan )ario* )ario* tipo* de car6a* car6a* que actBan *ore )i6a*0 Cuando la car6a *e aplica *ore una car6a -uy peque
L [ y ] = an y + an−1 y n
n −1
+… + a0 y ( 7 )
Si A e* el anulador de 67 di6a-o*7 entonce* al aplicar a a-o* lado* de la ecuacin '7 tene-o*>
A [ L [ y ] ] ( x )= A [ g ] ( x x ) =0 ( 8 ) =or tanto la ecuacin ' *er8>
Ta,a N° %: Ti-! de #arga! e* +iga! $ &uente! http!55es.%i8ipedia.org5%i http!55es.%i8ipedia.org5%i8i5-nexo!Pendient 8i5-nexo!Pendientes9y9deformacion es9y9deformacion es9en9vigas+
AL [ y ] ( x )=0 ( 9 )
Ta,a Ta,a N° &: Oerad-re! a*uad-re! $ &uente! http!55%%%.slideshare.net5Pablillo3/5ecuaciones'diferenciales' por'operador'anulador+
ree-pl plaz azaa la *olu *oluci cin n part partic icula ularr en la 40 Se reeecuacin no ho-o6:nea y por i6ualacin de coe" coe"ic icie ient nte* e* *e hall hallan an lo* lo* coe" coe"ic icie ient nte* e* de
( y p )
0
5. CALCULOS 6 ANALISIS DE RESULTADOS RESULTADOS 9a realizacin de lo* c8lculo* *e a*a pri-era-ente en e*tal e*talece ecerr la* condic condicion ione* e* del prole prole-a -a77 de la* que tene tene-o -o** que que la )i6a e* de lon6 lon6it itud ud L 7 que *e encuentra e-potrada en *u e5tre-o izquierdo y apoyado *i-ple-en -ente en *u e5tr 5tre-o derecho7 donde w ( x )= w0 , cuan cuando do por tant tanto o el 0 < x < L 7 por prole-a *ati*"ace *ati*"ace la c0 4 +er +er marco teórico,0 teórico,0
M4)*d* d c*!$c$&)( $&d)r,$&ad*(+ * un -:todo para hallar una *olucin particular de la ecuacin lineal co-pleta7 que con*i*te "unda-ental-ente en intuir la "or-a de una *olucin particular0 particular0 *te -:todo *e utiliza a ecuacione* di"erencia di"erenciale* le* lineale*7 lineale*7 con coe"icien coe"iciente* te* con*tante con*tante** no ho-o6:neo*0 Sea ecuacin in di"er di"erenc encial ial L ( D ) y = F ( x ) una ecuac lineal7 no ho-o6:nea7 de coe"iciente* con*tante* y de orden n 0 Si "+5, tiene una de la* *i6uiente* "or-a* > • •
•
4
EI
d y dx
4
= w0
Teniendo en cuenta que la )i6a e*ta e-potrada en *u e5tr e5tree-o o izqu izquie ierd rdo o que *e encuen encuentr traa ( x =0 ) y que *i-p i-ple-e le-ent ntee apoy poyada en *u e5tre 5tre-o -o der derecho echo aplica-o* -o* la* condic condicion ione* e* de "ronte "rontera ra ( L=0 ) ; aplica e*talecida* en la tala 1 +er +er :arco teórico,> teórico,>
F ( x )=k ; con*tante )=¿ polino-io en 5 F ( x )=¿ e5pon 5poneencia nciall de la "or"or-aa )=¿ F ( x )=¿ x
∝
• •
e F ( x )=cos βx , F ( x )=sin βx *u-a* "init "inita* a* de produc producto* to* F ( x )=¿ )=¿ a *u-a* "inito* de la* e5pre*ione* anteriore*
* po*ile encontrar un operador a
L1 ( D )
que anule
e*to *uce *ucede de77 ento entonc nce* e* apli aplica ca-o -o** F ( x ) y *i e*to L1 ( D ) a la ecuacin di"erencial ori6inal7 e* decir>
¿ L1 ( D ) L ( D ) y = L1 ( D ) F ( x )= 0 ¿
Figura N° 2: C-*di#i-*e! de 'r-*"era de a +iga 1&uente! os -utores+
Re*ol)e-o* la ecuacin di"erencial no ho-o6:nea de coe"icie coe"iciente* nte* con*tante con*tante*7 *7 por el -:todo -:todo del anulador anulador00
1.,
4
=or lo tanto tanto la e5pre* e5pre*in in anteri anterior or e* una ecuaci ecuacin n di"erencial lineal7 ho-o6:nea de coe"iciente* con*tante*>
De*pea-o* de la c0 4
4 d y w 0 = ( 11) 4 EI dx
10 Se le aplica a e*ta ecuacin el -:todo de la* ho-o6: ho-o6:nea nea** y *e halla halla la *oluci *olucin n 6enera 6enerall +
y = y h + y p ,0
Soluciona-o* la ecuacin ho-o6:nea a*ociada>
20 De e*ta *olucin 6eneral *e de*carta la parte corre*pondiente a la ho-o6:nea a*ociada a la D ori6inal +
4
y =0 4 m =0
yh ¿ 0
30 De la parte re*tante corre*ponde a la *olucin particular
( y p )
d y > 4 dx
7 que *e u*ca0
o*
quedar%a
m = 0 ; m = 0 ; m = 0 ; m =0
por
tanto>
9a *olucin de la ecuacin ho-o6:nea a*ociada e*>
#
2
2
y h=C 1+ C 2 x + C 3 x + C 4 x ( 12 ) =o*terio =o*terior-en r-ente te e*crii-o e*crii-o** la ecuacin ecuacin no ho-o6:nea ho-o6:nea utilizando operadore* di"erenciale*> 4
D y =
EI y ´ =C 2+ 2 C 3 x + 3 C 4 x +
Se6uida-ente -ultiplica-o* la ecuacin anterior por el operador que anule la ecuacin de entrada;
y ´ ´ =2 C 3 + 6 C 4 x +
D ( D y )=0 4 m ( m )= 0 m = 0 ; m = 0 ; m = 0 ; m =0 ; m = 0 4
0
6 EI
w0
2
x ( 16 ) 2 EI
2
1
2
3
4
y ´ ( 0 )=0
Aplica-o*
y p=C 5 x
0
3
Ree-plaza-o* a
24 C 5=
3
4
aplicar
la
C 1 y C 2 *on i6ual a cero0 Aplica-o* y ( L L ) =0 en la c0 +14,>
y p en la c0 11>
0 =C 3 L
2
Aplica-o*
E6uala E6ualando ndo lo* coe"ic coe"icien iente* te* de la ecuaci ecuacin n anter anterior ior tene-o* que>
w0
+C 4 L3 +
EI
C 5 =
L 24 EI
4
w0 2 EI
L
2
Tene-o* por tanto un *i*te-a de ecuacione* lineale*7 y aplica-o* el -:todo de *u*titucin>
no* quedar%a quedar%a que> que>
2
3
C 3 L + C 4 L =
w0 24 EI
Ree-plazando el )alor de
w0
y ´ ´ ( L ) =0 en la c0 +1#,>
0 =2 C 3+ 6 C 4 L +
C 5
6 EI
*e6unda condicin 7 tene tene-o -o** en cuen cuenta ta que que
[ y ( L ) =0 ; y´ ´ ( L )= 0 ]
w0
De*peando a
3
( 0 )
C 2 =0
Re*ol)iendo no* queda que>
EI
24 C 5=
w0
2
=ara
24 EI
en la c0 1>
4
y ´ p p= 4 C 5 x 2 y ´ ´ p=12 C 5 x y ´ ´ ´ p=24 C 5 x y ´ ´ ´ ´ p=24 C 5
4
( 0 )
C 1 =0
=C + 2 C (0 )+ 3 C (0 ) + 2
w0
3
=C + C ( 0)+ C (0 ) + C (0 ) +
Re*ol)iendo no* quedar%a que>
y p 7 deri)8ndolo
3
x ( 15 )
y ( 0 )= 0 y ´ ( 0 )= 0 en la c0
=ri-era =ri-era condicin> condicin> 14>
=or tanto la *olucin 6eneral e*>
de
24 EI
w0
2
C 5
4
x ( 14 )
Teniendo re*uelta la *olucin 6eneral de una ecuacin ho-o6:nea aplica-o* la* condicione* de "rontera0 De la c0 c0 37 deri deri)a )a-o -o** do* do* )ece )ece** para para apli aplica carr la* la* condicione*>
w0
Halla-o* el coe"iciente cuatro )ece*>
w0
3
y =C 1+ C 2 x + C 3 x + C 4 x +
3
2 C 3 + 6 C 4 L =
C 5 en la c0 13>
De*pea-o*
'
− w0
24 EI
−w 0
2 EI
4
L ( 17 ) 2
L ( 18 )
C 3 de la c0 1G>
P*r )a&)* "a d!"#$%& d "a v$0a (+
−w 0 C 3 =
C 3 =
2 EI 2
6
y ( x x )=
− C 4 L 2
−w 0 L2 4 EI
(
4 EI
−w 0 L 4 4 EI
−3 C 4 L ( 19 )
)
−3 C 4 L L2+ C 4 L3=
−3 C 4 L3 + C 4 L3 = − w
2
16 EI
2
x
−
5 w 0 L 48 EI
x
3
+
w0 24 EI
− w0 24 EI
− w 0 24 EI
L
y ( x x )= 3 x −5 x + 2 x 2
3
4
4
4
L
4
w 0 L −3 C 4 L + C 4 L = L + 24 EI 4 EI 3
3
3
−2 C 4 L =
5 w0 L
C 4=
4
4
24 EI 3ra'i#a N° 1: Cur+a de de'e(i)* e* %D 1&uente! os -utores+
4
5 w0 L
C 4=
0
24 EI
−2 L3
=
−5 w L 0
48 EI
−5 w0 L4 3
48 EI L
(10 )
Ree-plaza-o* la c0 1. en la c0 1>
C 3 =
−w 0 L2 4 EI
−3
2
C 3 =
−w L 0
4 EI
(
−5 w0 L 48 EI
)
L
2
+
5 w 0 L
16 EI
3ra'i#a N° %: Cur+a de de'e(i)* e* &D 1&uente! os -utores+
2
w0 L 2 C 3 = x 16 EI Ree-plaza Ree-plaza-o* -o* lo* )alore* )alore*
w0
4
x y ( x x )=
48 EI
To-ando a w 0=48 EI y a L=1 7 otene-o* la cur)a de de"le5in7 que ree-plazando en la ecuacin anterior no* queda que>
Ree-plaza-o* la c0 17 en la c0 1'>
−w0 L2
w 0 L
C 1,
C 2,
C 3 y
C 4 en la c0 14> 2
w 0 L 2 5 w 0 L 3 w 0 4 y = x− x + x 16 EI 48 EI 24 EI
G
( 3 L x 2
2
Figura N° 4: Diagrama de a! e!"ru#"ura #-* +a-re! e!e#5'i#-! 1&uente! os -utores+
Ree-plazando en la ecuacin de de"le5in otenida en la ecuacin 2.7 lo* *i6uiente* *i6uiente* )alore* de la )i6a>
3ra'i#a N° &: Cur+a de de'e(i)* e* e* &D 1&uente! os -utores+
L=20 m Tonelada w 0=2 m 6 T 2.4 × 10 2 m −3 4 I =21.3 × 10 m
L x = >
=ara hallar la de"le5in de la )i6a cuando
y y
3ra'i#a N° .: Cur+a de de'e(i)* e* &D 1&uente! os -utores+
() ( )= L 2
;
20 2
2
Sin e-ar6o 9 2.7 por tanto>
y (10) 20
¿ ¿ 0
=ode =ode-o -o** o*e o*er) r)ar ar en la* la* 6ra" 6ra"ic ica* a* que que la cur) cur)aa de de"le de"le5i 5in n oteni otenida7 da7 e* una cur)a cur)a po*iti po*iti)a )a porque porque e* cnca)a hacia arria arria o ta-i:n ta-i:n con)e5a hacia aao7 y cuyo -o-ento "le5ionante e* po*iti)o0
¿ ¿
1
10
¿ ¿
Ahora *e requiere hallar el interro6ante del prole-a cuanto )ale la de"le5in cuando x = L / 2 y para ello plantea-o* nue)a-ente el dia6ra-a pero con lo* )alore* e*pec%"ico* para la* di-en*ione* de la )i6a y la* con*tante* corre*pondiente*0
10
¿ ¿ 3¿ y (10 )=
2
( 48 ) ( 2.4 × 10 ) (21.3 × 10− ) 6
3
¿
y (10 )=0.032 m Final-ente *e otiene la de"le5in de la )i6a cuando .0.32-7 a x = L / 2 7 que corre*ponde a un )alor de .0.32-7 tra):* tra):* de todo* todo* e*to* e*to* proced procedi-i i-ient ento* o* en lo* que *e
aplicaron la* ecuacione* di"erenciale* *e puede otener la de"le5in requerida7 la cual *e otu)o -ediante una "or-ula "or-ula otenida a tra):* tra):* del -:todo -:todo de anulador anulador para coe"iciente* con*tante*7 y a tra):* de e*a "or-ula en la y ( x ) 7 hace re"erencia a la de"le5in de la )i6a7 *e ree-plazaron lo* dato* dato* que proporcionaa el prole-a0 prole-a0 Haciendo re"erencia al )alor de la de"le5in7 la cual e* -uy peque
di*tancia de de"le5in de la )i6a7 ya que e*te ahorrar%a el procedi-iento de lo* dia6ra-a* de cortante y -o-ento "le5ioanante*7 ade-8* co-o "uturo* in6eniero* ci)ile* e* -uy i-po i-porrtant tantee conoc onoceer la apli plicaci acin n de la* -ate-8tica* en prole-a* relacionado* con de"le5in de )i6a*7 )i6a*7 y que no *ola-e *ola-ente nte e*to* proleprole-a* a* *on re*u re*uel elto to** por por "or"or-ul ula* a*77 proc proced edii-ie ient nto o -:to -:todo do** corre* corre*pon pondie diente nte** de re*i* re*i*ten tencia cia de -ateri -ateriale ale** de la in6e in6eni nier er%a %a ci)i ci)il7 l7 ahor ahoraa *ae *ae-o -o** que que ta- ta-i: i:n n la* la* -ate-8tica* de al6una u otra "or-a a tra):* de *u* -:todo* ta-i:n contriuye a dar *olucin a -ucho* prole-a* de nue*tra )ida cotidiana y pro"e*ional7 porque *e pudo co-proar la ecuacin otenida en lo* c8lculo* y a*i6n8ndole )alore*7 e*to hizo -8* real el de*arrollo del proyecto0 Ta-i: Ta-i:n n la aplicaci aplicacin n de pro6ra-a* pro6ra-a* co-putari co-putarizado* zado* co-o Matla pudi-o* realizar la cur)a de de"le5in7 en la cual *e )i*ualiza el co-porta-iento de la )i6a que *e "le5iona por e"ecto* e"ecto* de la car6a di*triuida di*triuida que *oporta *oporta a lo lar6o de *u lon6itud7 la* 6ra"ica* "ueron hecha* en 2D y 3D para -ayo ayor )i*ualizacin de dicho co-porta-iento0
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Figura N° 6: De'e(i)* de a +iga #ua*d1&uente! os -utores+
x = L / 2 I1J0 KE99 Denni* Denni* C(99 C(99 Michael0 Michael0 cuacione cuacione** di"erenciale*> con prole-a* con )alore* en la "rontera0 "rontera0 S:pti-a S:pti-a edicin0 edicin0 ditoria ditoriall Cen6a6e Cen6a6e 9earnin60 9earnin60 M:5ico0 2..0 =860 1L2..7 1.L 1#0
7. CONCLUSIONES CONCLUSIONES 9a ecuacin di"erencial de cuarto orden que *ati*"ace la de"le5in de una )i6a7 y la aplicacin del -:todo del anulador de ecuacione* no ho-o6:nea* con coe"iciente* con*tante* para la *olucin de dicha ecuacin di"erencial con*tituyo para el de*arrollo de e*te traao un -:todo pr8ctico que per-iti otener la de"le5in de una )i6a que e*taa e-potrada en *u e5tre-o izquierdo7 apoyada *i-ple *i-ple-en -ente te en *u e5tre e5tre-o -o derech derecho7 o7 con una car6a car6a di*tri di*triui uida da a lo lar6o lar6o de *u lon6it lon6itud7 ud7 a tra):* tra):* de la de"l de"le5 e5i in n ote oteni nida da *e pudo pudo cono conoce cerr el )alo )alorr de la de"l de"le5 e5i in n cuan cuando do x = L / 2 a tra) tra):* :* de )alo )alore re** conocido* de lo* dato*7 y a*% ayudar a lo* in6eniero* a re*ol)er *u interro6ante con re*pecto a la con*truccin del e*tadio de "utol0 ncontrar la de"le5in de una )i6a en cualquier di*tancia e*peci"ica de la lon6itud de la )i6a )i6a a tra):* tra):* de la* ecuacio ecuacione* ne* di"ere di"erenci nciale ale** e* un -:todo -:todo -uy )iale )iale a la hora hora de conoce conocerr cualqu cualquier ier
I2J0 I2J0 &R &R77 Ferd Ferdin inan and0 d0 HN HNST STN N77 Ru** Ru**el ell0 l0 Mec8nica Mec8nica $ectorial ctorial para in6eniero in6eniero** *t8tica *t8tica00 d0 Mc OraP Hill0 M:5ico0 1.0 =860 2'10 I3J0 Courn7 0Re*i*tencia de Materiale*0 ditorial A6uilar S0A Madrid7 *pa
1.
