Deflexión de Vigas [Referencia: “Mecánica de Materiales”. F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek. 2009. Ed. McGraw Hill]
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Deflexión de Vigas Deformación de una Viga Bajo Carga Transversal Ecuación de la Curva Elástica: Método de doble integración. Determinación Directa de la Curva Elástica a Partir de la Di... Vigas Estáticamente Indeterminadas Problema Modelo 9.1 Problemas Modelo 9.3 Método de Superposición Problema Modelo 9.7 Aplicación de las Superposición a Vigas Estáticamente …
Problema Modelo 9.8 Método de Area de Momento Aplicación a Vigas en Voladizo y Vigas con Cargas ... Diagramas de Momento Flector por Partes Problema Modelo 9.11 Aplicación de los Teoremas de Momento de Área a Vigas con Cargas Asim... Deflexión Máxima Uso de los Teoremas de Momento de Área con Vigas Estáticamente Indet...
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Deformación de una Viga Bajo Carga Transversal • La relación relación entre el momento momento flector flector y la curvatura para flexión pura sigue siendo válido para cargas transversales generales.
• Viga en voladizo voladizo sometida sometida a una una carga carga concentrada en el extremo libre,
• La curvatur curvaturaa varía varía linealm linealmente ente con con x • En el el extrem extremoo libre libre de A, • En el apoy apoyoo B, [Beer, et al., 2009]
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Deformación de una Viga Bajo Carga Transversal • • • •
Viga de de un tramo tramo en vola voladiz dizoo Reac Reacci cion ones es en A y C Diagrama Diagrama de momen momento to flector flector La curvatura curvatura es cero cero en los puntos puntos donde donde el el momento flector es cero, i.e., en cada extremo y en E .
• La viga es cóncava cóncava hacia hacia arriba arriba donde donde el momento flector es positivo y cóncava hacia abajo donde es negativo. • La maxima maxima curvatu curvatura ra ocurre ocurre donde la la magnitud del momento es un máximo •
Para determinar la máxima deflexión y pendiente se requiere una ecuación de la forma forma de la viga o curva elástica. 4
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Ecuación de la Curva Elástica: Método de doble integración • Del cálculo cálculo elemental elemental,, simplific simplificado ado para para los parámetros de la viga,
• Sustituyend Sustituyendoo e integrand integrandoo se obtienen obtienen las funciones de giro y deflexión o flecha.
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Ecuación de la Curva Elástica • Las constant constantes es se determ determinaro inaronn a partir partir de las condiciones de frontera
• Tres Tres casos casos para vigas estátic estáticamen amente te determinadas – Viga simplemente simplemente soportada – Viga de un tramo en voladizo – Viga en voladizo • Cargas Cargas más complicad complicadas as requieren requieren integral integrales es múltiples y la aplicación de exigencias para la continuidad del desplazamiento y pendiente 6
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Determinación Directa de la Curva Elástica a Partir de la Distribución de Carga • Para una una viga sometida sometida a una carga carga distr distribuida ibuida
• La ecuación ecuación para para el desplazam desplazamiento iento de de la viga se vuelve
• Integrando Integrando cuatro cuatro veces veces produce produce
• Las constantes constantes se determina determinann a partir partir de las condiciones de frontera.
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Vigas Estáticamente Indeterminadas • Considere Considere la viga viga empotrad empotradaa en A y con apoyo sobre rodillos en B. • Del diagram diagramaa de cuerpo cuerpo libre, libre, note note que hay cuatro componentes desconocidas de las reacciones. • Condiciones Condiciones para el el equilibrio equilibrio estático estático dan dan La viga es estáticamente indeterminada • También ambién tiene la la ecuación ecuación de la deflexión deflexión de la viga,
el cual introduce dos incógnitas pero proporciona tres ecuaciones adicionales de las condiciones de frontera:
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Problema Modelo 9.1
SOLUCIÓN:
Para la porción AB de la viga parcialmente en voladizo, (a) obtenga la ecuación de la curva elástica, (b) determine la deflexión máxima, (c) calcule ymáx.
• Desarrolla Desarrollarr una una expresi expresión ón para para M(x) y obtener la ecuación ecuación diferencial para la curva elástica. • Integrar Integrar la ecuació ecuaciónn diferenci diferencial al dos veces y aplicar las condiciones de frontera para obtener la curva elástica. • Localizar Localizar el punto punto de pendient pendientee cero o punto de máxima deflexión. • Determina Determinarr la máxima máxima deflexi deflexión ón correspondiente.
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Problema Modelo 9.1 SOLUCIÓN: • Desarr Desarroll ollar ar una expr expresi esión ón para para M(x) y obtener la ecuación diferencial para la curva elástica - Reac Reacci cion ones es::
- A partir partir del del diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre libre para para la sección AD,
- La ecuación ecuación diferencia diferenciall para para la curva curva elástica,
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Problema Modelo 9.1 • Integrar Integrar la ecuación ecuación difer diferencia enciall dos veces veces y aplicar las condiciones de frontera para obtener la curva elástica.
Sustituyendo,
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Problema Modelo 9.1 • Localizar Localizar el punto punto de pendien pendiente te cero o punto de máxima deflexión.
• Determina Determinarr la máxima máxima deflexi deflexión ón correspondiente.
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Problema Modelo 9.3 SOLUCIÓN:
Para la viga uniforme, determine la reac reacci ción ón en A, obte obteng ngaa la ecua cuació ción de la curva urva elás lástica tica,, y hall hallee la pen pendie diente nte en A. (Nótese que la viga es estáti estáticam cament entee indete indeterm rmina inada da de prime primer r grado)
• Desarrollar Desarrollar la ecuación ecuación difere diferencial ncial para la curva elástica elástica (será funcionalmente dependiente de la reacción en A). • Integrar Integrar dos dos veces veces y aplicar aplicar las condiciones de frontera para resolver la reacción en A y obtener la curva elástica. • Evalua Evaluarr la pend pendien iente te en en A.
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Problema Modelo 9.3 • Considere Considere el momen momento to actuando actuando en la sección sección D,
• La ecuación ecuación difere diferencial ncial para la la curva elástica,
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Problema Modelo 9.3 • Integr Integrar ar dos veces veces
• Aplicar Aplicar las condiciones condiciones de fronter frontera: a:
• Resolv Resolver er para para la reacc reacción ión en A
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Problema Modelo 9.3 • Sust Sustit ituy uyen endo do C1, C2, y R A en la ecuación la curva elástica,
• Derivando Derivando una una vez para encontrar encontrar la pendiente,
en x = 0,
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Método de Superposición
Principio de Superposición: • Las deform deformacione acioness de vigas vigas sometid sometidas as a combinaciones de cargas pueden ser obtenidas como la combinación lineal de las deformaciones de las cargas individuales
• El procedim procedimiento iento se facilita facilita por tablas de soluciones para tipos comunes de cargas y apoyos.
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Problema Modelo 9.7 Para la viga y carga mostradas, determine la pendiente y la deflexión del punto B.
SOLUCIÓN: Superponer las deformaciones debidas a la Carga I y Carga II como se muestra.
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Problema Modelo 9.7 Carga I
Car Carga II
En la porción CB, el momento flector es cero y la curva elástica es una línea recta.
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Problema Modelo 9.7
Combinando las dos soluciones,
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Aplicación de las Superposición a Vigas Estáticamente Indeterminadas
• El método método de de la superpos superposición ición puede ser aplicado para determinar las reacciones en los apoyos de una viga estáticamente indeterminada. • Designar Designar una una de las las reaccione reaccioness como como redundante y eliminar o modificar el apoyo.
• Determina Determinarr la deforma deformación ción de de la viga sin el apoyo redundante. • Tratar Tratar a la la reacción reacción redúndate redúndate como una carga desconocida que, junto con las otras cargas, deberá producir deformaciones compatibles con los apoyos originales.
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Problema Modelo 9.8 Para la viga uniforme y la carga mostrada, determine las reacciones en los apoyos y la pendiente en el extremo extremo A.
SOLUCIÓN: • Liberar Liberar el apoyo “redundant “redundante” e” en B, y encontrar encontrar la deformaci deformación. ón. • Aplica Aplicarr la reacci reacción ón en en B como una carga desconocida para forzar el desplazamiento en B a cero.
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Problema Modelo 9.8 • Carga Carga Distri Distribui buida: da:
• Carga Carga de de Reacci Reacción ón Redundante: Redundante:
• Para compatibi compatibilizar lizar cono cono los apoyos apoyos originale originales, s, y B = 0
• De la está estáti tica ca,, 23
Problema Modelo 9.8
Pendiente en el extremo A,
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Método de Area de Momento • Las propied propiedades ades geométric geométricas as de la curva curva elástica pueden ser usadas para determinar la deflexión y la pendiente. • Considerar Considerar una viga viga sometida sometida a una una carga carga arbitraria,
• Primer teorema del momento de superficie: area debajo del diagram (M/EI) entre C y D. 25
Método de Area de Momento (Cont.) • Las tangente tangentess a la curva elástica elástica en en P y P’ interceptan un segmento de longitud dt sobre la vertical a través de C .
= desviación tangencial de C con respec respecto to a D
• Segundo teorema del momento de área: La desviación tangencial de C con respecto a D es igual al primer momento del área bajo el diagrama ( M M / EI EI ) entre C y D con respecto a un eje vertical que pasa por C .
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Aplicación a Vigas en Voladizo y Vigas con Cargas Simétrica
• Viga en voladizo voladizo – seleccione seleccione la tangente tangente en A como referencia.
• Viga simplem simplemente ente apoyada apoyada con con una carga carga simétrica - seleccione la tangente en C como referencia.
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Diagramas de Momento Flector por Partes • La determina determinación ción del del cambio cambio de pendiente pendiente y la desviación tangencial se simplifica si el efecto de cada carga se evalúa por separado. (M/EI ) separado para • Constr Construya uya un un diagra diagrama ma M/EI cada carga.
- El cambi cambioo de pendie pendiente nte,, D/C , se obtiene sumando las áreas bajo los diagramas. - La desviación desviación tangencial, tangencial, t D/C se obtiene sumando los primeros momentos de las áreas con respecto a un eje vertical que pasa por D. • El digrama digrama de momen momento to flector flector es construi construido do a partir de cargas individuales se dice que es dibujado por partes. 28
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Problema Modelo 9.11 SOLUCIÓN: • Determine las reacciones en los apoyos. • Construir los diagramas de corte, moment ntoo flec flecto torr y ( M/EI ). M/EI ). Para la viga prismática mostrada, mome dete determ rmin inee la pend pendie ient ntee y la defl deflex exió iónn en E . • Tomando la tangente en C como refe refere renc ncia ia,, eval evalua uarr la pend pendie ient ntee y la desvia desviació ciónn tangen tangencia ciall en E .
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Problema Modelo 9.11 SOLUCIÓN: • Determine Determine las las reaccion reacciones es en los los apoyos. apoyos.
• Construir los diagramas de corte, M/EI ). mome moment ntoo flec flecto torr y ( M/EI ).
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Problema Modelo 9.11 • Pend Pendie ient ntee en E :
• Defl Deflex exió iónn en E :
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Aplicación de los Teoremas de Momento de Área a Vigas con Cargas Asimétricas • Definir la tangente de referencia en el apoyo A. A determ Evaluar determina inando ndo la desvia desviació ciónn tangen tangencia ciall en con resp respec ecto to de A. B con
• La pendiente en otros puntos se encuentra con resp respec ecto to a la tang tangen ente te de refe refere renc ncia ia..
• La deflexión en D se encuentra de la desviación tangencial tangencial en D.
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Deflexión Máxima • La máxima deflexión ocurren en el punto K donde donde la tang tangen ente te es hori horizo zont ntal al..
• El punt puntoo K puede puede determinarse con la medición bajo el diagrama ( M/EI M/EI ) de un área igual a - A . • Obtener ymax calculando el primer mome moment ntoo del del área área entr entree A y K respe respecto cto al eje eje vert vertic ical al que que pasa pasa por por A.
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Uso de los Teoremas de Momento de Área con Vigas Estáticamente Indeterminadas • Las reacciones en los apoyos de vigas estáticamente indeterminadas se encuentran designando como redundante a una de las reacciones nes y tratándola ola como una carga desconocida que satisface una condición requer requerida ida de compat compatibi ibilid lidad ad de despla desplazam zamien iento. to. • El diagrama ( M/EI M/EI ) es dibujado por partes. Las desv desvia iaci cion ones es tang tangen enci cial ales es resu result ltan ante tess se supe superp rpon onen en y relaci relaciona onann con la con condic dición ión requer requerida ida de compat compatibi ibilid lidad. ad. • Con las reacciones reacciones determ determinada inadas, s, es posible obtener obtener la pendiente y deflexión por medio del método de momento de área.
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[Referencia: “Mecánica de Materiales”. F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek. 2009. Ed. McGraw Hill]
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