APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN PROBLEMAS DE DEFLEXION EN VIGAS Jeiner De leon1; Ricardo Maldonado2; Eimy Barrios3; Ivan zambrano4; Héctor Pertuz5; José Chamorrro6 ; Víctor Castro7 Universidad de la Costa (Cuc)
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RESUMEN: En este proyecto se describe el uso de las ecuaciones diferenciales en soluciones de deflexión de vigas a partir de la conceptualización y aplicación de formulas para determinar la deflexión y la curva elástica que también se denomina curva de deflexión. Para ello se establece un problema el cual está basado en la construcción de un estadio de futbol, que tiene una estructura formada principalmente por una viga en voladizo con una carga distribuida a lo largo de su longitud. Para el desarrollo de este proyecto se utiliza una ecuación diferencial lineal de cuarto orden que satisface dicha deflexión y permite calcular mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales de orden superior la curvatura de la viga, para la solución de la ecuación diferencial lineal de cuarto orden mencionada anteriormente, se emplea el método del anulador para ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes o coeficientes indeterminados, que se basa en hallar la solución general de la ecuación lineal y aplicando las correspondientes condiciones de frontera que se presentan en la viga, para hallar cada uno de los coeficientes y finalmente determinar la deflexión de la viga y graficar la curva elástica, y así establecer las conclusiones finales del problema.
1.
El presente proyecto de aplicación se refiere al tema de deflexión de una viga, como es sabido las vigas hoy en día constituyen uno de los elementos estructurales mas importantes en ingeniería, ya que es utilizado en una amplia variedad de aplicaciones, dentro de las que destacamos, que son las encargadas de soportar las cargas de las cubiertas (techos) de las viviendas, edificios, etc. estas son aplicadas además a las estructuras de puentes entre otras. Las vigas al soportar cargas de otras estructuras, hasta de su propio peso, ocasionan que esta se flexione, los métodos para calcular la deflexión de vigas son variados, sin embargo en el presente trabajo aplicaremos las ecuaciones diferenciales, específicamente las ecuaciones diferenciales de orden superior, donde se comprenderá como se utiliza la ecuación diferencial lineal de cuarto orden para determinar la flexión de una viga. El objetivo principal de este proyecto es encontrar la deflexión de un viga en voladizo, con una carga distribuida a lo largo de su longitud, que esta empotrada en su extremo izquierdo y apoyada simplemente en su extremo derecho, la cual hace parte del diseño de la construcción de un nuevo estadio de futbol de la ciudad de Barranquilla, esto con el fin de encontrar la deflexión
PALABRAS CLAVE: Deflexión, vigas, ecuación diferencial, curvatura, método del anulador, coeficientes. ABSTRACT: This project was described using differential equations beam deflection solutions from the conceptualization and implementation of formulas to determine the deflection and the elastic curve also called deflection curve . This will set a basic problem based on the construction of a soccer stadium , which has a structure mainly composed of a cantilever beam with a load distributed along its length. For the development of this project, we used a linear differential equation of the fourth order that satisfies this deflection and computes by applying higher order differential equations of the curvature of the beam, for the solution of linear differential equation of fourth order mentioned above, employ the annihilator method for nonhomogeneous equations with constant coefficients or undetermined coefficients , which was based on finding the general solution of the linear equation and applying the appropriate boundary conditions that occurred in the beam , to find each of the coefficients and finally determine the deflection of the beam and plot the elastic curve to establish the final conclusions of the problem. KEYWORDS: Deflection, beams, differential curvature, annihilator method, coefficients.
INTRODUCCIÓN
x=
cuando
L , para que se pueda reforzar 2
adecuadamente la estructura. La fuente principal del desarrollo de este proyecto es el interés de conocer cómo se puede hallar la solución a un problema de deflexión de viga empezando desde la perspectiva de las condiciones de frontera que presenta la viga. 2.
OBJETIVOS
2.1 GENERAL
equation,
1
Desarrollar un problema en que se aplica las condiciones de frontera para encontrar la deflexión de una viga que se encuentra en voladizo.
El principal problema para los constructores e ingenieros es optimizar las cargas permisibles para que la estructura no colapse o sufra la menor deformación posible, por tanto necesitan reforzar adecuadamente la estructura y para ello necesitan saber la deflexión de la viga cuando
2.2 ESPECIFICO Investigar archivos y contextos bibliográficos acerca del tema
x=
Hacer un cálculo y análisis de los resultados Interpretar mediante cálculos realizados. 3.
graficas
se encuentra empotrada en su
extremo izquierdo y apoyada simplemente en su extremo derecho, cuya longitud es L, y esta compuesta por una carga uniformemente distribuida ( w 0 ¿ a lo largo de su longitud. En virtud de lo antes señalado se formula el siguiente interrogante:
los
JUSTIFICACION
¿Cuál es la deflexión que presenta la viga cuando
L ? Cuando se establece que la viga tiene una 2 longitud de L=20 m , una carga distribuida de Tonelada w 0=2 , y que el material de la viga es el m
El proyecto trata del aprendizaje matemático en la rama de las ecuaciones diferenciales, y se hace para aprender a utilizar y a aplicar las ecuaciones diferenciales en deflexiones en viga utilizando las condiciones de frontera. Tomando como base un problema planteado y unas incógnitas a resolver, desarrollando un marco teórico y aplicándolo en los cálculos y análisis de los resultados. 4.
L , la viga 2
x=
acero con un modulo de elasticidad
2.4 ×10
6
T , m2
y cuyo
de E=
momento de inercia
respecto a la geometría del material corresponde a I =21.3 ×10−3 m4 .
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El análisis de las de deformaciones en viga nos permite limitar los descensos de las mismas, entregando secciones adecuadas para obtener un excelente desempeño. Para la construcción de un nuevo estadio de futbol en la ciudad de Barranquilla a cargo de una empresa privada de construcción los dueños piden a una línea de ingenieros civiles presentar un diseño estructural novedoso pero que a la vez sea funcional. Luego de varios debates el diseño escogido consta de una serie de estructuras en voladizos (Ver figura N° 1), que a su vez servirá de luz y brindara sombra a gran parte de las graderías como también adopta un diseño moderno e innovador.
5.
REFERENTES TEORICOS
Muchas estructuras se constituyen usando trabes o vigas y estas vigas se flexionan o deforman bajo su propio peso o por la influencia de alguna esfuerza externa 1. Las vigas son miembros estructurales sometidos a cargas laterales; es decir a fuerzas o momentos que tienen sus vectores perpendiculares al eje de la barra. Las vigas son las encargadas de recibir las cargas de las losas o los elementos planos que se encuentren sobre ella y al mismo tiempo transmitir éstas cargas a las columnas de la estructura. Las cargas que actúan sobre una viga ocasionan que este se flexione, con lo que su eje se deforma en una curva, dicha flexion o deflexion es una respuesta estructural a una deformación que se da en las vigas 2. La deflexión de una viga esta gobernada por una ecuación diferencial de cuarto orden. En la figura N° 2, se aprecia una viga homogénea de longitud L, y tiene una sección transversal uniforme a lo largo de su longitud. En ausencia de carga en la viga, una curva que une los centroides de todas sus secciones transversales es una recta conocida como eje de simetría. Si se le aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de simetría, la viga experimenta una distorsión (Ver fig. N° 3) y la curva que conecta los
Figura N° 1: Diagrama de la estructura (Fuente: Los Autores)
2
centroides de todas sus secciones trasversales se llama curva de deflexión o curva elástica1.
flexión; es decir entre mayor es la rigidez por flexión, menor es la curvatura para un momento dado. El
calculo
de
la
curvatura
esta
dada
por
3 2 2
k = y ´ ´ / [ 1+( y ´ ) ] . Cuando la deflexión y ( x) es pequeña la pendiente y ´ ≈ 0 , y por tanto
3 2 2
[ 1+( y ´ ) ]
≈1 .
Si
se
permite
que
k ≈ y ´ ´ , la ecuación N° 2 se convierte en M =EI y ´ ´ . La segunda derivada de esta última
Figura N° 2: Viga (Fuente: Zill Dennis (2009). Tomado del texto, Ecuaciones Diferenciales: con problemas con valores en la frontera)
expresión es: 2
2
4
d M d d y =EI 2 y ´ ´ =EI 4 (3) 2 dx dx dx Si se utiliza en la ecuación N° 1, para reemplazar d 2 M /dx 2 , en la ecuación N° 3, se ve que la deflexión y (x) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden:
EI
Figura N° 3: Deflexión de una viga (Fuente: Zill Dennis (2009). Tomado del texto, Ecuaciones Diferenciales: con problemas con valores en la frontera)
d4 y =w ( x ) (4) dx 4
Condiciones de frontera: Si el eje x coincide con el eje de simetría y que la deflexión y (x) , medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. El momento de flexión M (x) es un punto x a lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad de longitud w (x) mediante la ecuación:
Las condiciones de fronteras asociadas en la ecuación N° 4, dependen de cómo estén apoyados los extremos de la viga. Una viga en voladizo esta empotrada o fija en un extremo libre en el otro. Para una viga en voladizo la deflexión y (x) debe satisfacer las siguientes dos condiciones en el extremo fijo x=0 :
d2 M =w ( x ) (1) d x2
y ( 0 )=0 porque no hay flexión y y ´ ( 0 )=0 porque la curva de deflexión es tangente al eje x.
Además el momento de flexión es M (x) proporcional a la curvatura k de la curva elástica.
En
M ( x )=EIk (2)
x=L las condiciones de extremo libre son: y ´ ´ ( L ) =0
porque el momento de flexión es
cero y
Donde E y I son constantes:
y ´ ´ ´ ( L )=0 porque la fuerza de corte es cero. dM =EI d 3 y /dx3 dx
E=¿ Modulo de elasticidad del material
La función
I =¿
fuerza de corte. Si un extremo de la viga esta apoyado simplemente o abisagrado, entonces de debe tener y=0 y y ´ ´ =0 en ese extremo, en la tabla N° 1, se establecen cada una de las condiciones de frontera1:
Momento de inercia de la sección transversal
de la viga El producto EI, se conoce como rigidez flexional de la viga, que es una medida de la resistencia de la viga a la
3
F ( x )=
se llama
longitudinal de una viga recta, la cual se debe a la aplicación de cargas transversales en el plano xy sobre la viga. La curvatura es una medida de cuan aguadamente esta doblada una viga. La convención de signos para momentos flexionantes con la de la curvatura se establece que un momento flexionante positivo produce curvatura positiva y un momento flexionante negativo produce curvatura negativa2.
Tabla N° 1: Condiciones de frontera (Fuente: Zill Dennis (2009). Tomado del texto, Ecuaciones Diferenciales: con problemas con valores en la frontera)
Extremos de la viga Empotrados Libres Apoyados simplemente
Condiciones de frontera
y=0 ; y ´ =0 y ´ ´ =0 ; y ´ ´ ´=0 y=0 ; y ´ ´=0
Figura N° 5: Relaciones entre los signos de los momentos flexionantes y los signos de las curvaturas (Fuente: http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/teoria %20deflexion/deflexiones.htm)
Clasificación de las vigas de acuerdo a los soportes: La clasificación más común de las vigas se basa en las condiciones de soporte como se muestra también en la figura N° 3:
Figura N° 4: Vigas con varias condiciones de extremo (Fuente: Zill Dennis (2009). Tomado del texto, Ecuaciones Diferenciales: con problemas con valores en la frontera)
En voladizo: Un extremo de la viga es fijo y el otro está libre. simplemente apoyadas: ambos extremos del resto del haz están sobre soportes. sobresaliendo: Uno o ambos extremos de la viga se extienden sobre los soportes En voladizo apoyado: uno de los extremos es fijo y el otro extremo soportado Fijo o empotramiento: ambos extremos de la viga están fijados rígidamente de modo que no hay movimiento. Continuo: los dos extremos están soportados y hay soportes intermedios a lo largo de su longitud 3. Fuerzas reactivas o reacciones en las estructuras
Son las que se originan en determinados puntos del sistema debido a las ligaduras o coacciones y que surgen cuando actúan fuerzas activas. Las ligaduras coacciones son dispositivos materiales que impiden total o parcialmente el libre movimiento de la sección de un sólido. Al considerar la pieza genérica de una estructura, está estará sometida a una o varias ligaduras que unen al resto de la misma o al suelo. En cada ligadura existe una reacción que, en general, estará formada por una fuerza y por un momento. Es condición necesaria para que la
Deflexión: La deflexión de una viga en cualquier punto a lo largo de su eje es el desplazamiento de ese punto desde su posición original, medido en la dirección de las coordenadas en y 2. Curva de deflexión o curva elástica: Se denomina por curva elástica, la curva que representa la deformada del elemento en su línea centroidal o eje
4
pieza esté en equilibrio que el sistema de fuerzas constituido por las fuerzas directamente aplicadas y las reacciones verifiquen las condiciones generales 3. Es evidente que la reacción dependerá de la solicitación exterior y del tipo de vínculo. Una sección no sometida a ligadura alguna tiene, según sabemos, seis grados de libertad: tres posibles desplazamientos en las direcciones de los ejes coordenados x, y, z y los posibles giros alrededor de los mismos ejes. A cada grado de libertad impedido por la ligadura corresponde una componente de la reacción; si está impedido el movimiento de la sección en la dirección de uno de los ejes, la reacción de la ligadura comprende una fuerza que tiene una componente en la dirección de ese eje. Si además está impedido el giro de la sección alrededor de alguno de los ejes coordenados mediante un empotramiento, por ejemplo, la reacción comprende un momento que tiene una componente en la dirección de ese eje, es decir, si está impedido el giro en alguno de los planos coordenados, forma parte de la reacción de la ligadura un momento en dirección perpendicular a ese plano 3.
intensidad que cambia con la distancia a lo largo del eje4. Tabla N° 2: Tipos de cargas en vigas (Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Pendientes_y_deformacion es_en_vigas)
Módulo de elasticidad (E): Es una constate elástica que caracteriza a los materiales y depende de la constitución de este. Estudiado por Thomas Young en 1807, es definido como el esfuerzo necesario para producir una deformación unitaria, la cual es una medida de la rigidez de los materiales 3.
Operador anulador: El operador anulador es un operador diferencial lineal. El operador anulador de una suma de funciones, es la composición de los operadores anuladores.la composición de operadores diferenciales opera como si estuvieran multiplicando polinomio en D. La forma que debe tener esta es 5:
Momento de inercia (I): El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos 3. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento4.
n
an D y+ an−1 D Si
n−1
+ …+ a1 Dy+a0 y=g ( x ) (5 )
y=g( x ) una función que tiene n derivada y L( y ) es un operador diferencial lineal con
coeficientes constantes, tal que:
L [ y ] ( x ) =g ( x )=0 (6 ) Entonces se dice que el operador anulador de y=g ( x ) .
L ( y ) , es el
Donde:
Tipos de cargas en vigas:
L [ y ] =an y n+ an−1 y n −1 +…+ a0 y ( 7 )
En la Tabla N° 2, se presentan varios tipos de cargas que actúan sobre vigas. Cuando la carga se aplica sobre una carga muy pequeña, puede idealizarse como una carga concentrada que es una fuerza única. Cuando una carga se reparte sobre el eje de una viga, se representa como una carga distribuida, es decir que tiene una
Si A es el anulador de g, digamos, entonces al aplicar � a ambos lados de la ecuación N° 7, tenemos:
A [ L [ y ] ] ( x )= A [ g ] ( x ) =0(8)
5
Por tanto la ecuación N° 7 será:
7. De esta solución general se descarta la parte correspondiente a la homogénea asociada a la ED original ( y h ¿ . 8. De la parte restante corresponde a la solución
AL [ y ] ( x )=0( 9)
particular ( y p ) , que se busca. 9. Se reemplaza la solución particular en la ecuación no homogénea y por igualación de coeficientes se hallan los coeficientes de
Tabla N° 3: Operadores anuladores (Fuente: http://www.slideshare.net/Pablillo03/ecuaciones-diferencialespor-operador-anulador)
( y p)
1 Método de coeficientes indeterminados:
F( x )=¿
exponencial
de
la
EI
d4 y =w0 4 dx
Teniendo en cuenta que la viga esta empotrada en su extremo izquierdo (x=0) y que se encuentra simplemente apoyada en su extremo derecho (L=0) ; aplicamos las condiciones de frontera establecidas en la tabla N° 1 (Ver Marco teórico):
forma
∝x
CALCULOS Y ANALISIS DE RESULTADOS
La realización de los cálculos se basa primeramente en establecer las condiciones del problema, de las que tenemos que la viga es de longitud L , que se encuentra empotrada en su extremo izquierdo y apoyado simplemente en su extremo derecho, donde w ( x )=w0 , cuando 0< x < L , por tanto el problema satisface la Ec. N° 4 (Ver marco teórico).
Es un método para hallar una solución particular de la ecuación lineal completa, que consiste fundamentalmente en intuir la forma de una solución particular. Este método se utiliza a ecuaciones diferenciales lineales, con coeficientes constantes no homogéneos. Sea L(D) y=F ( x ) una ecuación diferencial lineal, no homogénea, de coeficientes constantes y de orden n . Si f(x) tiene una de las siguientes formas 5: F( x )=k ; k constante F( x )=¿ polinomio en x
5
e F( x )=cos βx , F( x )=sin βx F( x )=¿ a sumas finitas de productos finitos de las expresiones anteriores
Es posible encontrar un operador a
L1 ( D )
que anule
F ( x ) y si esto sucede, entonces aplicamos L1 ( D ) a la ecuación diferencial original, es decir: Figura N° 6: Condiciones de frontera de la viga (Fuente: Los Autores)
¿ L1 ( D ) L ( D ) y=L1 ( D ) F ( x )=0 ¿ 10)
Resolvemos la ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes, por el método del anulador.
Por lo tanto la expresión anterior es una ecuación diferencial lineal, homogénea de coeficientes constantes:
Despejamos de la Ec. N° 4
6. Se le aplica a esta ecuación el método de las homogéneas y se halla la solución general ( y= y h + y p ).
d4 y : dx 4
d 4 y w0 = (11) dx 4 EI Solucionamos la ecuación homogénea asociada:
6
4
y =0 4 m =0
C5 =
Nos
quedaría
por
m=0 ; m=0; m=0 ; m=0
tanto:
Reemplazando el valor de
La solución de la ecuación homogénea asociada es: 2
C5 en la Ec. N° 13:
y=C 1+ C2 x+C 3 x 2 +C 4 x3 +
3
y h=C 1+ C2 x+C 3 x +C 4 x (12)
w0 EI
y ´ =C 2+ 2C 3 x +3 C 4 x 2 +
Seguidamente multiplicamos la ecuación anterior por el operador que anule la ecuación de entrada;
y ´ ´ =2 C3 +6 C 4 x+
D ( D4 y )=0 m ( m4 )=0 m=0 ; m=0; m=0 ; m=0 ; m=0
Primera condición: N° 14:
w0 3 x (15) 6 EI
w0 2 x (16) 2 EI
y ( 0 )=0 y ´ ( 0 )=0
0=C1 +C 2( 0)+C 3 (0)2 +C 4 (0)3 +
Por tanto la solución general es:
Aplicamos
C5
de
24 C 5=
Resolviendo nos queda que: Para
C1 y Aplicamos y p en la Ec. N° 11:
Aplicamos
Igualando los coeficientes de la ecuación anterior tenemos que:
C2 =0 segunda condición , tenemos en cuenta que
w0 4 L 24 EI
y ´ ´ ( L ) =0 en la Ec. N° (16):
0=2C 3+ 6 C 4 L+
w 24 C 5= 0 EI
w0 (0)3 6 EI
C2 son igual a cero. y ( L ) =0 en la Ec. N° (14):
0=C3 L2+C 4 L3 +
C5
la
[ y ( L ) =0 ; y ´ ´ ( L )=0 ]
w0 EI
Despejando a
aplicar
w0 (0)4 24 EI
en la Ec. N° 15:
0=C2 +2 C3 (0)+3 C 4 (0)2 +
y p , derivándolo
y p=C 5 x 4 3 y ´ p=4 C5 x y ´ ´ p=12 C5 x 2 y ´ ´ ´ p=24 C 5 x y ´ ´ ´ ´ p=24 C 5 Reemplazamos a
y ´ ( 0 )=0
en la Ec.
C1 =0
Resolviendo nos quedaría que:
Hallamos el coeficiente cuatro veces:
w0 4 x (14) 24 EI
Teniendo resuelta la solución general de una ecuación homogénea aplicamos las condiciones de frontera. De la Ec. N° 3, derivamos dos veces para aplicar las condiciones:
Posteriormente escribimos la ecuación no homogénea utilizando operadores diferenciales:
D4 y=
w0 24 EI
w0 2 L 2 EI
Tenemos por tanto un sistema de ecuaciones lineales, y aplicamos el método de sustitución:
nos quedaría que:
7
w 0 L2 2 C3 = x 16 EI
−w0 4 L (17) 24 EI −w0 2 2C 3 +6 C 4 L= L (18) 2 EI C 3 L2 + C 4 L3 =
Despejamos
C1, C2, C 4 en la Ec. N° 14: w 0 L2 2 5 w 0 L 3 w 0 4 y= x− x + x 16 EI 48 EI 24 EI
Reemplazamos los valores
C3 de la Ec. N° 18:
−w0 2 EI 6 C3 = − C4 L 2 2 C3 =
Por tanto la deflexión de la viga es:
y ( x )=
−w 0 L2 −3 C 4 L ( 19 ) 4 EI
w 0 L2 2 5 w 0 L 3 w 0 4 w0 ( 3 L2 x 2 x− x + x ó y ( x )= 16 EI 48 EI 24 EI 48 EI
Tomando a w 0=48 EI y a L=1 , obtenemos la curva de deflexión, que reemplazando en la ecuación anterior nos queda que:
Reemplazamos la Ec. N° 19, en la Ec. N° 17:
(
C3 y
y ( x )=3 x 2−5 x 3 +2 x 4
−w0 L2 −w0 4 −3 C 4 L L2+ C4 L3= L 4 EI 24 EI
)
−w 0 L 4 −w 0 4 3 3 −3 C4 L +C 4 L = L 4 EI 24 EI −3 C 4 L3+C4 L3=
−w0 4 w 0 L4 L+ 24 EI 4 EI
5 w 0 L4 −2 C 4 L = 24 EI 3
5 w0 L 4 4 24 EI −5 w0 L C 4= = −2 L3 48 EI L3 C 4=
Grafica N° 1: Curva de deflexión en 2D (Fuente: Los Autores)
−5 w0 L (10) 48 EI
Reemplazamos la Ec. N° 10 en la Ec. N° 19:
−w 0 L2 −5 w0 L C3 = −3 L 4 EI 48 EI
(
C3 =
)
−w 0 L2 5 w 0 L2 + 4 EI 16 EI
8
Grafica N° 2: Curva de deflexión en 3D (Fuente: Los Autores)
Figura N° 7: Diagrama de las estructura con valores específicos (Fuente: Los Autores)
Reemplazando en la ecuación de deflexión obtenida en la ecuación N° 20, los siguientes valores de la viga:
L=20 m Tonelada w 0=2 m 6 T E= 2.4 ×10 m2 I =21.3 ×10−3 m4
Grafica N° 3: Curva de deflexión en 3D (Fuente: Los Autores)
10.
Para hallar la deflexión de la viga cuando
x=
L : 2
( L2 ); 20 y ( )= y (10) 2 y
Sin embargo L= 20, por tanto:
20 ¿ ¿ 0 1¿ ¿ 10 ¿ ¿ 10 ¿ ¿ 3¿
Grafica N° 4: Curva de deflexión en 3D (Fuente: Los Autores)
Podemos observar en las graficas que la curva de deflexión obtenida, es una curva positiva porque es cóncava hacia arriba o también convexa hacia abajo, y cuyo momento flexionante es positivo. Ahora se requiere hallar el interrogante del problema cuanto vale la deflexión cuando x=L/2 y para ello planteamos nuevamente el diagrama pero con los valores específicos para las dimensiones de la viga y las constantes correspondientes.
y (10 )=
2 6
( 48 ) ( 2.4 ×10 ) (21.3 ×10−3 )
¿
y (10 )=0.032 m Finalmente se obtiene la deflexión de la viga cuando x=L/2 , que corresponde a un valor de 0.032m, a través de todos estos procedimientos en los que se
9
aplicaron las ecuaciones diferenciales se puede obtener la deflexión requerida, la cual se obtuvo mediante una formula obtenida a través del método de anulador para coeficientes constantes, y a través de esa formula en la y ( x) , hace referencia a la deflexión de la viga, se reemplazaron los datos que proporcionaba el problema. Haciendo referencia al valor de la deflexión, la cual es muy pequeña, y por tanto la viga esta en la capacidad de soportar la carga a la que esta sometida, y los ingenieros pueden perfectamente hacer una buena optimización de las cargas y establecer una menor cantidad de refuerzos (varillas) porque la viga no presenta mucha deflexión, además mediante el resultado obtenido de la deflexión se comprueba que la viga si resiste a las cargas a las que esta sometida, y por tanto garantiza una buena estabilidad y seguridad a la estructura del estadio.
distancia de deflexión de la viga, ya que este ahorraría el procedimiento de los diagramas de cortante y momento flexioanantes, además como futuros ingenieros civiles es muy importante conocer la aplicación de las matemáticas en problemas relacionados con deflexión de vigas, y que no solamente estos problemas son resueltos por formulas, procedimiento métodos correspondientes de resistencia de materiales de la ingeniería civil, ahora sabemos que también las matemáticas de alguna u otra forma a través de sus métodos también contribuye a dar solución a muchos problemas de nuestra vida cotidiana y profesional, porque se pudo comprobar la ecuación obtenida en los cálculos y asignándole valores, esto hizo más real el desarrollo del proyecto. También la aplicación de programas computarizados como Matlab pudimos realizar la curva de deflexión, en la cual se visualiza el comportamiento de la viga que se flexiona por efectos de la carga distribuida que soporta a lo largo de su longitud, las graficas fueron hechas en 2D y 3D para mayor visualización de dicho comportamiento.
11. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Figura N° 8: Deflexión de la viga cuando (Fuente: Los Autores)
x=L/2
[1]. ZILL Dennis CULLEN Michael. Ecuaciones diferenciales: con problemas con valores en la frontera. Séptima edición. Editorial Cengage Learning. México. 2009. Pág. 199-200, 150156.
1 CONCLUSIONES La ecuación diferencial de cuarto orden que satisface la deflexión de una viga, y la aplicación del método del anulador de ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes para la solución de dicha ecuación diferencial constituyo para el desarrollo de este trabajo un método práctico que permitió obtener la deflexión de una viga que estaba empotrada en su extremo izquierdo, apoyada simplemente en su extremo derecho, con una carga distribuida a lo largo de su longitud, a través de la deflexión obtenida se pudo conocer el valor de la deflexión cuando x=L/2 a través de valores conocidos de los datos, y así ayudar a los ingenieros a resolver su interrogante con respecto a la construcción del estadio de futbol. Encontrar la deflexión de una viga en cualquier distancia especifica de la longitud de la viga a través de las ecuaciones diferenciales es un método muy viable a la hora de conocer cualquier
[2]. BEER, Ferdinand. JHONSTON, Russell. Mecánica Vectorial para ingenieros Estática. Ed. Mc Graw Hill. México. 1990. Pág. 271. [3]. Courbón, j .Resistencia de Materiales. Editorial Aguilar S.A Madrid, España. 1968. [4]. BEER Ferdinand. Mecánica de materiales. Editorial Mc. Graw Hill. Pag. 237. [5]. C. Henry Edwardo, David E. Penney. Ecuaciones diferenciales. Editorial Pearson Educación, 2001. Pág. 238.
10
