UNIVERSIDAD NACIONAL SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA M ATEMÁTICAS S
INVESTIGACIÓN FORMATIVA: APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES AL SOSTENIMIENTO EN MINERIA (DEFLEXION DE VIGAS)
CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES ELABORADO POR:
DOCENTE:
Begazo Montes Lucero Margareth Díaz Quispe Miriam Lucila Pacco Condori Berly Jesús Pacheco Huanqui Cristyan Alexander Palomino Palomino Richard
MSc. Bidder Sabino Calapuja Sambrano AREQUIPA-PERU SEMESTRE 2018-A
ÍNDICE 1. RESUMEN………………………………………………………………….. 01 2. INTRODUCCIÓN…………………………………………………………... 01 3. OBJETIVOS………………………………………………………………... 03 3.1. Objetivo General……………………………………………………… 03 3.2. Objetivos Específicos……………………………………………...... 03 Capítulo I 4. VIGAS………………………………………………………………………. 04 5. DEFLEXION DE VIGAS………………………………………………….. 04 5.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA……………………………… 06 5.1.1. 5.1.2. Función escalón unitario……………………........…….. 07 5.1.3. Transformada de Laplace……………………….………. 08 5.1.4. Transformada de una derivada…………….…………... 08 5.1.5. Resolución del problema………………….…………….. 08 Capítulo II 6. METODOLOGÍA………………………………………………………….. 14 7. RESULTADOS…………………………………………………………… 14 8. CONCLUSIONES………………………………… ..........……………… 15 9. RECOMENDACIONES………………………………………………….. 15 10. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS……………….......……………… 15
1. RESUMEN. El presente trabajo hablará sobre las deflexiones de las vigas usadas en la minería subterránea usando la transformada de Laplace, aplicaremos en situaciones cotidianas en la minería subterránea, usándola para la construcción de galerías, ya que esto es primordial en la minería subterránea. Esta ecuación nos permitirá saber el desplazamiento con respeto al tiempo causado por el peso del material estéril, entonces hablamos de una deflexión de viga. Tenemos como objetivo aprender a utilizar la trasformada de Laplace como una herramienta que posibilite la solución de problemas de deflexión vigas en minería subterránea. Este trabajo es de suma importancia, pues gracias a esto se tendrá una idea general sobre qué tipos de materiales de deben emplear al elaboran una viga, y esta será utilizada en una galería. Además de garantizar la seguridad de las personas que laboran en la mina, debemos tener en cuenta que su elaboración sea fiable y asequible. De la ecuación obtenida, se podrá resolver cualquier problema de para hallar el grado de deflexión, donde se debe tener como dato anticipadamente la longitud de la viga, el punto de la viga en el cual deseamos saber el grado de deflexión, el módulo de Young de elasticidad del material, el momento de inercia y la carga por unidad de longitud. Usando estos resultados se podrá controlar el proceso de una m ina, y asegurar su eficiencia para prevenir accidentes o eventos no deseado; ya que sabremos que material emplear para su realización. Los conocimientos previos que se deben tomar en cuenta para realizar este cálculo son básicamente la ecuación diferencial ordinaria de Laplace. El sostenimiento en minería subterránea es muy importante, ya que por la naturaleza del trabajo toda labor que se hace en el interior de la mina se realiza en espacios vacíos, inestabilidades, producto de la rotura de la roca o mineral extraído; para lograr que se mantenga nuevamente estable la zona y en condiciones de trabajo, la zona debe de redistribuir sus fuerzas, para ello es necesario apoyar inmediatamente con el refuerzo o el sostenimiento adecuado.
2. INTRODUCCIÓN Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en minería m ás importante es la deflexión de vigas mediante la transformada de Laplace; ya que La explotación en minas de minerales ha sido asistida desde sus principios por el soporte de las vigas generalmente ajustadas con gruesas cuerdas a los tirantes de los techos en los socavones de los túneles. Esto en minería subterránea.
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La transformada de Laplace es un operador lineal sumamente útil a la hora de resolver de manera más eficaz las ecuaciones diferenciales de orden superior las cuales tienen una gran aplicación en diversas ramas de las matemáticas y de la física. En esta ocasión abordaremos una de sus aplicaciones en ingeniería de minas, la cual se centra en las vigas. Estas últimas son un elemento fundamental en la construcción, no solo soportan presión y peso, sino también flexión y tensión, además han ayudado a construir muchas estructuras incluso en el mundo antiguo. El problema que resolveremos se trata sobre la deflexión de una viga con valores en la frontera, por lo tanto para iniciar necesitamos saber más sobre estos elementos estructurales lineales o unidimensionales de la construcción. Después nos adentraremos en el modelo matemático del fenómeno que analizaremos (deflexión de una viga), veremos los métodos con los cuales vamos a solventar el problema que se nos plantea. Por último nos centraremos en la resolución del problema en particular, realizando los cálculos necesarios y explicándolos de manera detallada, una vez hecho esto mostraremos la gráfica que se genera con el ejercicio caso particular que se nos ha planteado, para así pasar a la conclusión del problema.
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3. OBJETIVOS. 3.1.
Aprender a utilizar la trasformada de Laplace como una herramienta que posibilite la solución de problemas de deflexión vigas específicamente en el campo de la minería.
3.2.
Objetivo General.
Objetivos Específicos.
Aprender a modelar la transformada de Laplace Efectuar el análisis haciendo uso de la transformada de Laplace. Aprender los conceptos fundamentales de la transformada de Laplace y su aplicación en el análisis del proceso de deflexión de vigas. Identificar las situaciones físicas en las que intervienen la transformada de Laplace. Capacitar al estudiante para resolver problemas de aplicaciones de vigas específicamente con la transformada de Laplace.
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Capítulo I 4. VIGAS. La viga es una estructura horizontal que puede sostener carga entre 2 apoyos sin crear empuje lateral en estos. El uso más importante de estas, es quizás el que se aplica a la estructura de puentes, pero también se aplica en la minería. Son un elemento estructural, forman parte del sostenimiento de masas de tierra dentro de una galería subterránea minera, rigiéndose por los principios de la resistencia de materiales y de la ingeniería. Por lo anterior dicho se sabe que las vigas estas sometidas a una tensión por lo tanto con los distintos materiales se comportara de una forma diferente por ejemplo el acero hace a las vigas más rígidas, las de aluminio son más flexibles y las de madera tienen mayor elasticidad, no obstante cualquier viga se romperá cuando se aplica una cantidad de presión excesiva. El uso de vigas está sumamente extendido por lo cual se utilizan en la construcción desde rascacielos hasta el sostenimiento de los niveles subterráneos de una mina , también en el sostenimiento con madera que tiene por objeto mantener abiertas las labores mineras durante la explotación , compensando el equilibrio inestable de las masas de roca que soporta.
5. DEFLEXION DE VIGAS. Se entiende por deflexión a la deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas, tornándose en una curvatura o desviación de un curso o línea horizontal. Para prevenir daños como la deflexión de las vigas es necesario identificar adecuadamente cada uno de los factores que pueden llegar a tener un gran impacto en una edificación en el futuro, lo que ocasionaría un colapso de la edificación. La deflexión, matemáticamente es una función ecuación diferencial lineal de cuarto orden.
que está gobernada por una
Considérese una viga de longitud de un material homogéneo y que también es uniforme en su sección transversal tal como se muestra en la figura a. El eje de simetría se indica por la línea punteada. Si se aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de simetría, la viga experimenta una distorsión y la curva que conecta los centroides de las secciones transversales se llama curva de deflexión o curva elástica, esto se muestra en la figura b.
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La curvatura de deflexión se aproxima a la forma de una viga. El eje x coincide con el eje de simetría de la viga y que la deflexión , medida desde este eje es positiva si es hacia abajo.
En la teoría de elasticidad se muestra que el momento de flexión en un punto x lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad de longitud mediante la ecuación:
= =
Además, el momento de flexión es proporcional a la curvatura de de la curva elástica, esta curvatura es provocada por grandes masas de roca las cuales ejercen presión y fuerza sobre las vigas.
Donde E e I son constantes; E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga. El producto se llama rigidez flexional de la viga.
= ′ /1 ′ ′ /1 ′ ≈ ′ = = = ′ = =
La curvatura está dada por
. Cuando la deflexión y(x) es
pequeña, la pendiente se acerca a cero, y por tanto se acerca a uno. Si se permite que , la ecuación se convierte en . La segunda derivada de esta última expresión es:
′
Por lo tanto la deflexión y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto or den.
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Las condiciones de frontera (contorno o región donde está definida la ecuación diferencial) asociadas con esta última ecuación depende de los apoyos extremos de la viga.
Empotrada en ambos extremos
Las condiciones en la frontera en
= 0 = = 0, ′ = 0 y
son
Libres
0, ′ ′ = 0
Las condiciones en la frontera del lado en voladizo son
= 0 = ′ = y
son
Apoyados
Las condiciones en la frontera en
5.1.
= 0 = = 0, ′ = 0 y
son
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
El problema que se nos plantea en el proyecto es el siguiente: Una viga esta empotrada en su extremo izquierdo y simplemente apoyado en el derecho. En el campo de la minería mayormente se ponen las vigas apoyadas a puntales firmes, o también empotrado en el macizo rocoso por un lado y por el otro apoyado sobre un puntal. 6
En este ejemplo tomaremos el caso en el cual se tiene una galería subterranea la cual debe tener un mecanismo de sostenimiento a través de vigas, por un extremo empotrado en la rocas y por el otro apoyado sobre un pilar. Ahora encontraremos la deflexión cuando la carga está dada por:
, 0 < < = 0, 2 < <2 = 48
= 1
Graficar la solución cuando y la viga mide un metro de largo. Considere que la viga es de acero y el momento de inercia es de Existen varias maneras de resolver este tipo de situaciones, nosotros los resolveremos por el método de la transformada de Laplace y una f unción llamada función escalón unitario o función de Heaviside, la cual se explicara mejor.
5.1.1. Función escalón unitario En ingeniería es común encontr ar funciones que están ya sea “activadas” o “desactivadas”. Es conveniente entonces definir una función especial la cual se llama función escalón unitario o función de Heaviside en honor al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función matemática que tiene como característica, el tener un valor de 0 para todos los números negativos (desactivado) y de 1 para todos los positivos (activado), esta función se aplica en la fuerza externa que actúa en un sistema mecánico, o un voltaje aplicado a un circuito, en nuestro caso será un sistema mecánico (sostenimiento en minería subterránea utilizando vigas).
= 1,0, 0 ≤ <≥ ≥ 0 =
La función escalón unitario
se define como.
Para nuestro problema solo tomaremos el eje t positivo tal como muestra la figura. Cuando una función definida para se multiplica por , la función escalon unitario “desactiva” una parte de la grafica de esa función.
La función escalón unitario también se puede usar para escribir funciones definidas por tramos en forma compacta, tenemos 2 tipos distintos los cuales son:
= {ℎ,, 0 ≤ ≥ < } = ℎ
Estas se puede escribir como:
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Y análogamente tenemos.
0 , 0 ≤ < = 0,, ≤≥ < =
5.1.2. Transformada de Laplace. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales aplicadas en el campo de la ingeniería de minas, en este caso los coeficientes de nuestra ecuación a obtener son constantes. Cuando se resuelven estas ecuaciones usando la técnica de la transformada, se cambia de una ecuación diferencial a una ecuación algebraica.
≥0 +∞ ℒ = ∫ −
Sea una función definida para define como
, la transformada de Laplace de
se
5.1.3. Transformada de una derivada.
ℒ = − 0 − ′0 − ′ 0 ⋯ −0
Si necesitamos encontrar la transformada de Laplace de una derivada de orden de una funcion se aplica lo siguiente.
5.1.4. Resolución del problema
La función es a tramos por lo tanto convertimos
, 0 < < = 0, < <
a su forma compacta a partir de la función escalón, por lo cual para dejar un cero en la primera parte tal como en la función de Heaviside, de la función a tramos 8
extraemos y realizamos la operación necesaria para hacer que la segunda parte de la función siga siendo cero.
0, 0 < < = , 2 < <2 2 = 0 = 0 = 0, ′0 = 0, ′ = 0 ′ ′ = 0 ′ ′ = 1 2 ′ ′ = ℒ{1 2} ℒ 0 ′0 ′ 0 ′ ′0 [ℒ1 ℒ{( 2)}] ℒ1 = 1 − ℒ{ ( 2)} = 1, = 2 ∴ ( ) (1) − 1 0 ′0 ′ 0 ′ ′0 =
La segunda parte de la función a tramos es la que se multiplica por la función de escalón unitario dando como resultado lo siguiente.
Ya que nuestra viga esta empotrada en un macizo rocoso en un punto y apoyado simplemente en un pilar en un punto tenemos las siguientes condiciones:
Igualamos w(x) a la ecuación diferencial de cuarto orden que satisface la deflexión de una viga dentro de una galería subterranea.
Aplicamos la transformada de una derivada a la ecuación anterior.
Aplicando linealidad en la segunda parte de la ecuación.
Resolviendo.
Con el segundo teorema de traslación.
La expresión total seria.
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0 ′0 − 1 ′ 0 ′ ′ = ′ = 1 ′ ′ = 2 − 1 1 2 = − 1 2 = 1 − = 1 2 1 − 1 = 1 2 − 1 2 1 = − ℒ− = ℒ− 1 2 1 ℒ− = ℒ−1{ 1} = 2, 2! = 2 ∴ 12 ℒ−2{ 1} = 3, 3! = 6 ∴ 26 ℒ− { 1} = 4, 4! = 24 ∴ 241 − ℒ {( ) ( 1)} = 4, 4! = 24, = 2 ∴ 241 ( 2)
Dadas nuestras condiciones en la frontera ecuación se simplifica a lo siguiente.
y
serán cero por lo tanto la
De aquí hacemos y y despejamos , a continuación se muestran el resultado de las operaciones antes mencionadas.
Aplicamos la transformada inversa para encontrar
Aplicando linealidad.
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.
La expresión general es.
= 21 62 [24 1 241 2′ 2] = 0 = 0 = 21 62 [24 1 241 2 2] = 0 > = 21 62 [24 1 241 2] = 0 = 21 62 [24 1 3841 ] = 0 5 = 0 = 21 62 128 2 1 1 ′ = 1 2 6 6 ( 2) 1 1 ′ = 1 2 2 2 ( 2) 1 1 ′ = 1 2 2 2 ( 2) = 0 ′ = 1 2 [12 18 ] = 0 ′ = 1 2 38 = 0 12 62 128 5 = 0 3 1 2 8 = 0
Tomamos nuestras segundas condiciones y por lo tanto igualamos a cero nuestra expresión general y sustituimos nuestras variables por la longitud . Aplicamos la primera condición.
Ya que
no “desactiva” la función por lo cual no se multiplica por la función
escalón unitario, entonces:
Aplicamos la segunda condición por lo tanto sacamos la segunda derivada.
Entonces tenemos nuestro sistema de ecuaciones para averiguar el valor de las constantes.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, despejamos “C1” en la segunda ecuación. 11
3 1 = 2 8 Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación.
3 2 2 8 62 128 5 = 0 22 316 62 128 5 = 0 22 316 26 128 5 = 0 22 62 = 316 128 5 3 5 2 2 6 = 16 128 2 3 = 16 3 1285 2 3 = 128 19 128 1 9 2 = 3 2 = 128 57 5 7 3 1 = 128 8
Dejamos los términos con “C2” de un lado y del otro, los términos independientes.
Sacamos “C2” y “
” como factor común.
Ahora despejamos “C2”.
Realizamos la división y obtenemos el valor de “C2”.
Lo sustituimos en la segunda ecuación.
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Resolvemos.
5 7 3 1 = (128) 8 1 = 128 57 38 1 = 1289
Vemos que C1 y C2 quedan en función de la longitud L de la viga utilizada en el sostenimiento, del modulo de Young del material empleado, el momento de inercia, y de la carga por unidad de longitud ejercido por el macizo rocoso.
Sustituimos los valores de C1 y C2 en la expresión general.
9 5 7 = 1282 1286 [24 1 241 2 2] 9 9 [24 1 241 2 2] = 256 1256 9 1 9 = 256 256 24 ( 2) ( 2)
Simplificando
Factorizando
Finalmente obtenemos la ecuación la cual nos ayudará a elegir el tipo de material el cual debemos emplear para el sostenimiento en una galería subterránea minera debido a que con cada material empleado variará el grado de deflexión de la viga.
= 48, = 1
A continuación se observa la representación gráfica de la deflexión de la viga, con el caso particular de con la viga de acero y un metro de largo.
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Capítulo II 6. METODOLOGÍA Mediante ecuaciones diferenciales aprendidas en clase fabricaremos una modelación matemática con la transformada de Laplace. Esto constituye una herramienta valiosa para analizar la influencia de determinados parámetros en la deflexión de vigas con vistas a lograr una dirección eficaz del proceso. Este estudio se va a orientar a la modelación matemática de la deflexión de vigas mediante el análisis de la transformada de Laplace. Este modelo nos permitirá calcular apropiadamente los parámetros de la deflexión y monitorear la influencia de estos en la contención de la mina como indicador de marcha del proceso.
7. RESULTADOS La ecuación que obtuvimos al final:
9 1 9 = 256 256 24 ( 2) ( 2)
Da solución a cualquier tipo de problema con relación al tema de deflexión de vigas que tenga como particularidad que la viga este empotrado por un lado y apoyado por el otro lado siendo x un punto cual quiera de la viga y y(x) es la función que nos indica la deflexión de la viga. Para hallar el grado de deflexión en cualquier punto x de la viga simplemente tendríamos que reemplazar los datos según el material utilizado, es decir sólo reemplazaríamos los siguientes datos:
L: longitud de la viga x: punto de la viga en el cual deseamos saber el grado de deflexión E: módulo de Young de elasticidad del material I: momento de inercia w0: carga por unidad de longitud
Este cálculo es de gran utilidad ya que gracias a esto podemos saber qué tipo de material utilizar en la elaboración de las vigas, para que así su compra y elaboración sea factible, segura y económica. En la minería lo que se busca es aprovechar al máximo los materiales utilizados pero siempre y cuando no representen un peligro o inseguridad en las labores mineras. 14
8. CONCLUSIONES En este informe se aplica el método de la transformada de laplace en áreas que en un principio no es fácil notar su aplicación, como lo es la deformación de vigas. De esta manera nos podemos dar una idea del poder que tienen estas transformaciones, ya que nos simplifica mucho al momento de calcula r los movimientos inmediatamente después de aplicar cargas en diferentes posiciones, como en este ejemplo a una viga, en la cual podemos calcular sus desplazamientos respecto del tiempo, lo que nos da una idea de la deformación que posee la misma a consecuencia de la carga aplicada. Y, mediante la introducción de funciones impulsivas, podemos modelar este instante, en el que se aplica la carga de una manera más simple, sin considerar situaciones anteriores.
9. RECOMENDACIONES Al momento de reemplazar los datos; ya sean de I (momento de inercia), E (módulo de Young) u otros datos tomar en cuenta las unidades en las que se encuentran debido a que si cometemos un error variará en su totalidad la respuesta final.
10. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bibliografía: Dennis G. Zill y Michael R. Cullen. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. 7th ed.; 2009. F.P. Beer & F- Russell. . Mecánica de materiales. 2nd ed.; 1982
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