OPOSICIONES I.N.E.
BLOQUE ESTADÍSTICA TEÓRICA BÁSICA: TEMA 5
TEM TEMA 5: DIST DISTRI RIB BUCIÓN CIÓN UNIF UNIFOR ORM ME. DIST DISTRI RIBU BUCI CIÓ ÓN EXPONENCIAL. DISTRIBUCIÓN DE PARETO. PROPIEDADES. INTRODUCCIÓN: Uno de los obje!"os del C#l$%lo de P&ob'b!l!d'des es dee&(!n'& d!s&!b%$!ones )%e *%ed'n se&"!& de (odelos ' los d!s!nos +en,(enos 'le'o&!os- )%e se *%eden *&esen'&. C%'ndo 'so$!'(os %n (odelo ' %n +en,(eno 'le'o&!o- *&!(e&o le 's!n'(os %n' d!s&!b%$!,n / l%eo b%s$'(os los "'lo&es del *'&#(e&o.
DISTRIBUCIÓN UNIFORME: Co&&es*onde ' %n' "'&!'ble 'le'o&!' 'bsol%'(ene $on!n%' 0, $on!n%'1 )%e &es%l' de ele!& %n n2(e&o 'l '3'& den&o del !ne&"'lo 0'-b1 $on b 4 '- $on +%n$!,n de dens!d'd de *&ob'b!l!d'd $ons'ne. S!&"e *'&' (odel!3'& el $o(*o&'(!eno de los +en,(enos $%/os s%$esos son e)%!*&ob'bles. Un'' "'&! Un "'&!'b 'ble le 'le' 'le'o o&!' &!' se d!s&! d!s&!b%/ b%/ee se2n se2n l' d!s&!b d!s&!b%$! %$!,n ,n %n!+o& %n!+o&(e (e 0, &e$'n%l'& *o& l' +o&(' de l' +%n$!,n de dens!d'd1 en el !ne&"'lo ' - b $on b ' - / se deno' *o& U'- b 0d' !%'l 'b!e&o o $e&&'do *o& se& $on!n%'1 s! s% +%n$!,n de dens!d'd es:
En e+e$o es +%n$!,n de dens!d'd:
+ 6 5 *%es b ' b 7 + 6 d6 d6 ' b '
7
Función de disti!ución: Po& de+!n!$!,n: 86 P 6
6
86
6
5
6
+ 6 d6 . Se2n los l9(!es s! 6 '
7
6'
+ 061 d6 b ' d6 b ' '
'
b
b
'
+ 6 d6
de !ne&'$!,n ene(os:
7
b ' d6 7
s! ' 6 b
s! 6 b
'
7
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En e+e$o es +%n$!,n de d!s&!b%$!,n:
8 8' 5 - 8 8 b 7
8 6
7 b '
+ 6
Po& l' &e*&esen'$!,n se obse&"' )%e es (on,on' no de$&e$!ene / $on!n%'. 8061
7
P"#ied$des:
L' *&ob'b!l!d'd de )%e %n' obse&"'$!,n $'!' en %n !ne&"'lo I $onen!do en ' - b s,lo de*ende de l' lon!%d del !ne&"'lo 0no de s% *os!$!,n1. Es de$!&- es !%'l '
7 b '
(%l!*l!$'do *o& l' lon!%d del !ne&"'lo.
Obs: De es' *&o*!ed'd se ded%$e el no(b&e de l' d!s&!b%$!,n *%es l' ('s' de *&ob'b!l!d'd se en$%en&' &e*'&!d' de ('ne&' %n!+o&(e ' lo l'&o del !ne&"'lo ' - b .
Med!':
' b :
0*%no (ed!o del !ne&"'lo1 :
;'&!'n3': ; b ' 7:
8%n$!,n $'&'$e&9s!$':
e !b
e !' *'&' 5 . S! 5 7 ! b '
En l's d!s&!b%$!ones %n!+o&(es l' *&ob'b!l!d'd es# &e*'&!d' *o& !%'l en odo el !ne&"'lo- enon$es '(b!
C$s"s #$ticu%$es: 7. ' = - b = 7. Enon$es: U05-71 $on +.d. +061 =7 / 5 6 7 7 7 e !7 e ! 5 e !7 7 E> ?= ;> ?= : 7: ! 7 5 ! . @'- b = '. Enon$es: U0' - ' 1 $on +.d. +061 = E> ?=
;> ?= '
:
e !'
7 :'
/ ' 6 '
e !' :!'
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T$ns&"'$ción inte($% " uni&"'e: L' d!s&!b%$!,n %n!+o&(e *&esen' %n' *&o*!ed'd !(*o&'ne $ono$!d' $o(o &'ns+o&('$!,n !ne&'l , %n!+o&(e 0&'ns+o&('d' !ne&'l de *&ob'b!l!d'd1. Se' %n' "'&!'ble 'le'o&!' $on!n%' 0, 'bsol%'(ene $on!n%'1 $on +%n$!,n de d!s&!b%$!,n 86 0 $%'l)%!e&'1. Se' l' "'&!'ble 'le'o&!' oben!d' *o& l' &'ns+o&('$!,n 8 0es' 8 es del (!s(o !*o )%e l' 8 de l' +%n$!,n de d!s&!b%$!,n de 1- enon$es U5-7 . De(: 8%n$!,n de d!s&!b%$!,n de : / P / P8 / P 8 7 /
8%n$!,n de dens!d'd de :
8 8 7 / /
/ B / 7
Es's +%n$!ones $o&&es*onden ' l' d!s&!b%$!,n U5-7 - /' )%e $'(*o de "'&!'$!,n de es 5-7 deb!do ' )%e 6 $on lo )%e 8 5- 8 7 Obs: L' !(*o&'n$!' *&#$!$' de es' &'ns+o&('$!,n &'d!$' en l' *os!b!l!d'd de obene& 'l '3'& "'lo&es de $%'l)%!e& d!s&!b%$!,n ' *'&!& de U 5-7 s!e(*&e )%e se' *os!ble $'l$%l'& s% +%n$!,n !n"e&s'. Es de$!&- ene&'& "'lo&es 'le'o&!os de $%'l)%!e& d!s&!b%$!,n ' *'&!& de U 5-7 s!e(*&e )%e se *%ed' $'l$%l'& s% +%n$!,n !n"e&s'.
Te"e'$: S! U5-7 / es "'&!'ble 'le'o&!' $on!n%' $on +%n$!,n de d!s&!b%$!,n B / 7 !ene l' (!s(' d!s&!b%$!,n )%e - es de$!&- s% +%n$!,n de d!s&!b%$!,n es . 7 De(: P 3 P 3
B.$&e$!eneB 7.$&e$!ene
P 3
U5-7
3
s! 5 3 7
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL : T'(b!
De&inición. L' !ne&'l e%le&!'n' de es*e$!e se de+!ne *o&: 6
e 6 *7d6 $on * 5- 6 5 P'&' * 7 7 e 6 d6 7 5 * e 6 6 *7d6 6 6 *7 e 6 * 76 * : d6 5 e % 6 5 5 *
5
* 7
d"e 6 d6
5 * 7 * 7 &e*!!endo el *&o$eso ene(os: * * 7
FUNCIÓN BETA B#* )
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Un' "'&!'ble de+!n!d' en el !ne&"'lo 5-7 s!%e %n' d!s&!b%$!,n *- ) 5 * s! s% +%n$!,n de dens!d'd es: 7
+ 6
) 7
B *- )
6 *7 7 6
$on 5 6
B *- ) *
7
7 *7 * ) ) 7 donde: B *- ) 5 6 7 6 d6 * ) Tene(os )%e: & # 7 7 7 7 7 : B! - 6 7 6 : d6 " : : 5 # 7 % ! " : 7 # 7 # ! ! 7 7 7 # B! - " : " : : # ! " : : 7 " : $
, $* #
FUNCIÓN +AMMA
Un' "'&!'ble 'le'o&!' se d!$e )%e s!%e %n' d!s&!b%$!,n '((' ' ' - * de *'&#(e&os '- * 5 - s! s% +%n$!,n de dens!d'd es: ' * '6 *7 & e 6 s! 6 5 + 6 * % 5 $ s! 6 5 ;e'(os )%e es +%n$!,n de dens!d'd: + 6 5
+ 6 d6
' *
5
*
e '6 6 * 7d6
/ / *7 d/ e '6 / * 5 ' *7 ' d/ d6 ' *
7
/ *7 e / d/
* 5
* 7 *
'
P"#ied$des:
F
* F ' F * F
De(:
F *7 '6 ' * / * F 7 / d/ '6 / 6 6 e d6 e d/ * 5 ' * F 7 ' * 5 d6 ' *
'
Med!': De(:
7
* F 7 / / e d/
' F * 5
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* 7 * * * ' * ' * '
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De(: :
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* : * 7 * * * 7 * : ' : * ': ' *
* 7 * * : * : : ; E E : :
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7 - - n son "'&!'bles 'le'o&!'s n # n !nde*end!enes- $on F ' '- * F F '!! '- * F . F 7 " F 7 De(: n n # ! * F * ) # ! F 7 F * !7 n !nd. 7 n TI.Un!$. !7 ' 7 F 7 " ' "
P&o*!ed'd 'd!!"' , &e*&od%$!"': S!
)
⋯
)
A#%ic$ción: Es%d!o de l' d%&'$!,n 0!e(*o de "!d'1 de ele(enos +9s!$os. C$s"s #$ticu%$es:
# 7 n '! - + :n , + : $on n &'dos de l!be&'d : : " : : S! ' n-- * n ( H ' n-- n es l' d!s&!b%$!,n de E&l'n- %s'd' en Teo&9' de Col's / des$&!be l' d!s&!b%$!,n de l' d%&'$!,n del !e(*o &'ns$%&&!do 's' )%e '*'&e$en n s%$esos $'d' %no s!%!endo %n' d!s&!b%$!,n /. - . # S! * '! '- es l' d!s&!b%$!,n de M'6Jell 0*&!n$!*'l '*l!$'$!,n en l' : " : +9s!$'1. S! ' .- * 7 '.-7 es l' d!s&!b%$!,n e6*onen$!'l.
S! '
7
- *
n
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL .- : Un' "'&!'ble 'le'o&!' !ene d!s&!b%$!,n e6*onen$!'l de *'&#(e&o . 5 0. - s! s% +%n$!,n de dens!d'd es : .e .6 s! 6 5& + 6 % 5 s! 6 5 $ En e+e$o es +%n$!,n de dens!d'd: + 6 5
5
OPOSICIONES I.N.E.
BLOQUE ESTADÍSTICA TEÓRICA BÁSICA: TEMA 5
+ 6 d6 5
.e .6 d6
e .6
7
5
L' +%n$!,n de d!s&!b%$!,n es: 6 .e . d e . 6 7 e .6 5 86 5 5 s! 6 5 P"#ied$des:
L' 0. es %n' $'so *'&!$%l'& de l' ' '- * s!n (#s )%e o('& od's l's *&o*!ed'des "!s's se &'sl'd'n ')%9. *
Med!':
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'
.- * 7 . L%eo
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7
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! 8%n$!,n $'&'$e&9s!$': # !7 " '
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7
! # !7 " . # . 8%n$!,n ene&'&!3 de (o(enos: ! " .
1 : 5 :.. 5
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17 5 . 7. : 5
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7
K
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7
s!endo . . : .
s!endo :. . A
; 1 :
17:
7
. .: Re*&od%$$!,n: No &e*&od%$!"' en 0. - '%n)%e s9 en l' '(('. 6 / ! 6 P / 8'l' de (e(o&!': P# " Re$9*&o$'(ene- $%'l)%!e& ".'. $on!n%' )%e o(e "'lo&es *os!!"os / )%e "e&!+!)%e l' +'l' de (e(o&!' es %n' ".'. e6*onen$!'l ne'!"'.
De(: P 6 /- 6 P 6 / 7 P 6 / 6 " P 6 P 6 7 P 6 7 7 e . 6 / e . 6 / .6 e ./ 7 7 e ./ P / . 6 7 7 e e
P# !
6/
S! el n2(e&o de "e$es )%e o$%&&e %n s%$eso en %n dee&(!n'do !ne&"'lo de !e(*o s!%e %n' d!s&!b%$!,n de Po!sson- el !e(*o de es*e&' en&e o$%&&en$!'s de s%$esos es %n' "'&!'ble e6*onen$!'l. L' d!s&!b%$!,n e,(e&!$' es l' 2n!$'- en&e l's d!s$&e's- )%e $%(*le l' +'l' de (e(o&!' / l' e6*onen$!'l es l' 2n!$' en&e l's $on!n%'s.
Re%$ción ente (e"'/tic$ 0 e1#"nenci$%:
OPOSICIONES I.N.E.
BLOQUE ESTADÍSTICA TEÓRICA BÁSICA: TEMA 5
L' d!s&!b%$!,n 0. se 's!(!l' en $!e&'s $ond!$!ones ' l' d!s&!b%$!,n de l' "'&!'ble 'le'o&!' !e(*o &'ns$%&&!do 's' l' *&esen$!' de %n '$one$!(!eno. Pode(os $ons!de&'& l' d!s&!b%$!,n e6*onen$!'l $o(o el e)%!"'lene $on!n%o de l' eo(<&!$'. L' des"!'$!,n 9*!$' es en ene&'l ('/o& en 0. 0!den!+!$'(os . en el $'so $on!n%o $on * en el d!s$&eo1 / l' d!+e&en$!' d!s(!n%/e $on *. A(b's d!s&!b%$!ones d!s(!n%/en (%/ len'(ene s! * es (%/ *e)%eo.
A#%ic$ci"nes: Es# 'so$!'d' ' +en,(enos de es*e&'. Se 'j%s' ' los (!s(os e6*e&!(enos )%e l' d!s&!b%$!,n eo(<&!$' 0d!s$&e'1 *e&o $%'ndo el !e(*o se (!de de +o&(' $on!n%'.
Disti!uci"nes e%$ci"n$d$s c"n .- :
D!s&!b%$!,n de R'/le!: S! '$e(os %n $'(b!o de "'&!'ble :. $on 0. - l' +%n$!,n de d!s&!b%$!,n / de dens!d'd de es: # / : # / : 8! / P / P :. / P! ! ! : . " " :. :
:
/ / : . / # / / .e : . / e : / / + ! . !" :. .
D!s&!b%$!,n de e!b%ll: 7
S! '$e(os el $'(b!o de "'&!'ble & $on 0. l' +%n$!,n de d!s&!b%$!,n / de dens!d'd de es: # 7 ! / P / P! & / P / & 8/ & ! " & & / / &/ & 7 + / & &/ & 7.e ./ .&/ & 7 e ./ Se '*l!$' 'l es%d!o de l' +!'b!l!d'd de los $o(*onenes de s!se('s.
D!s&!b%$!,n de L'*l'$e: S! 7 - : 0. !nde*end!enes 7 : . s!%e %n' d!s&!b%$!,n de L'*l'$e. L' +%n$!,n de dens!d'd es: + 6
6 7 e . :
6
K ; :.: S!&"e *'&' des$&!b!& e&&o&es de (ed!d'.
DISTRIBUCIÓN DE PARETO :
OPOSICIONES I.N.E.
BLOQUE ESTADÍSTICA TEÓRICA BÁSICA: TEMA 5
Es %n (odelo de *&ob'b!l!d'd )%e &'' de e6*l!$'& l's d!s&!b%$!ones de +&e$%en$!'s de l' &en' *e&son'l )%e se obse&"'n en l' &e'l!d'd 0des'&&oll'd's *o& P'&eo ' +!n'les del S.I1. D!$' d!s&!b%$!,n e6*&es' l' *&ob'b!l!d'd de )%e %n' *e&son' *ose' &en's s%*e&!o&es ' x. T'(b!
6
C'l$%le(os el "'lo& de l' $ons'ne A / el $'(*o de "'&!'$!,n de l' "'&!'ble . Des!n'&e(os *o& 6 5 %n "'lo& !n+e&!o& ' l's &en's )%e +!%&'n en l' *obl'$!,nenon$es: P 6 5 7 A6 5 1 7 A 61 5
De&inición: Un' "'&!'ble 'le'o&!' s!%e %n' d!s&!b%$!,n de P'&eo de *'&#(e&o 1 5 s! s% +%n$!,n de dens!d'd es:
f x
16 1 5 + 6 1 7 56 s!
1
& s! 6 6 5 % $on xi 5 6 65 $
x
5
x
Función de disti!ución:
F x
# 6 1 5 s! 86 7 ! 6 " 5 s! 6 6 5
7
& 6 65 % $
x
L' +%n$!,n de dens!d'd es# b!en de+!n!d': + 6 5
16 15
2 6 17 d6
16 15 6 1 7d6
6
5
6 16 15
1 5
3 6 15 5 6 51 7 1 43 6 5
P"#ied$des:
Med!': De(:
16 5 s! 1 7 1 7 6 + 6 d6
17 5 1 6 15 6 1 3 d6 1 6 1 6 6 1 d6 16 5 6 6 5 5 7 5 1 7 1 7 1 3 6
1 65 1 6 15 7 1 6 15 7 1 7
;'&!'n3':
;
4 65
$on 1 7 - no e6!se s!
1 7
16 5: s! 1 : - no e6!se s! 1 : 1 7: 1 :
OPOSICIONES I.N.E.
De(:
6 1 7 5 3 86 : 53 6 6 : d6 16 15 6 1 7d6 1 6 1 5 7 1 6 7 4 1 7 34 5 5 6 65 6 :1 1 6 : 1 61 5 5 5 s! 1 : 1: : 1
1 6 15
;
BLOQUE ESTADÍSTICA TEÓRICA BÁSICA: TEMA 5
:
:
Med!'n': P Me
7 :
1 6 5: :
1 7 1 : 1
s! 1 : - no e6!se s! 1 :
7 # ! 6 5 7 : " Me
61 5 Me 1
7
7
Me 6 5 : 1 :
Inte#et$ción de% #$2'et": Des!n'(os *o& M l' &en' (ed!' de los &en!s's- enon$es
16 5 M / 1 7
M
des*ej'ndo 1 - ene(os: 1 M 6 . De ')%9 se ded%$e: 5
S! l' &en' (ed!' $o!n$!d!ese $on l' (9n!('- 1 &en' e)%!d!s&!b%9d'. El "'lo& (9n!(o es 1 7 - / $o&&es*onde $%'ndo l' (ed!' es !n+!n!o. Se ded%$e )%e en ene&'l 1 7 L' d!s&!b%$!,n de l' &en' es (#s j%s' $%'no 1 (#s se 'leje de 7
P$et" 0 E1#"nenci$%: # S! P'&eo6 5 - 1 enon$es ln!! E6*1 . " 6 5 De(:
Se'n B / l' +%n$!,n de dens!d'd de $on / 5 /' )%e 'l se& 6 5 enon$es # ln 7 5 ln!! 6 " 5 1 # # # # x / / 5 / P / P! ln!! ! " 6 5 / P!!" 6 5 e P 6 5 e 7 !! x e y " " 5 7 e 1/ s! / 5 7 e 1/ s! / 5& / % E1 5 s! / 5 $ No': Es' d!s&!b%$!,n ' e6*l!$'do !nd!s!n'(ene l' d!s&!b%$!,n de l's &en's b'jo $%'l)%!e& !*o de s!%'$!,n so$!'l o *ol9!$' d%&'ne (%$os 'os. A%n)%e es d!s$%!d' 'l lob'l!3'$!,n s% %so se ' e6end!do ' o&os +en,(enos $o(o el '('o de l' *obl'$!,n de $!%d'des , l's +l%$%'$!ones de los *&e$!os de los so$Fs.
