ANALIZA STRUCTURAL ÎN DOMENIUL NELINIAR Partea I-a Ciclul II ± Master
Specializarea: Proiectarea construciilor civile i industriale în zone seismice Sem 2 anul universitar 2009-2010 Titular curs: prof. dr. ing. Dan CREU
1
CUPRINS 1
Generalitati«««««««««««««««««««««««««.««««.1
2
Rolul plasticitatii in ingineria structurala««««««« structurala««««««««««««««« «««««««««««.3 «««.3 2.1.
Introducere««««««««««««««««««««.««««.3
2.2
Modele de comportare pentru materiale in functie de legea tensiune-deformatie. Curbe reale si curbe simplificate««««..««.«4
3
Criterii
de
curgere
si
de
cedare«««««««««««««««««««««.«9 3.1
Spatiul tensiunilor haigh-westergaard«««««««« haigh-westergaard««««««««««««««.9 ««««««.9
3.2
Criterii de curgere independente de presiunea hidrostatica«««««..12 hidrostatica«««««..12 3.2.1 Generalitati«««««««««««««««««««««.12 3.2.2 Criteriul de curgere Tresca«««««««««« Tresca«««««««««««««««.12 «««««.12 3.2.3 Criteriul de curgere curgere von von Mises««««...«««««««««1 Mises««««...«««««««««144
3.3
Criterii
de
cedare
dependente
de
presiune..................................................15 3.3.1 Caracteristicile suprafetei de cedare pentru un material izotrop«15 3.3.2 Criteriul Mohr - Coulomb (1900)««««««««««« (1900)««««««««««««..18 «..18 3.3.3 Criteriul de cedare Drucker - Prager Prager (1952)««««««« (1952)««««««««..22 «..22 4
Relatiile tensiuni-deformatii pentru materiale perfect plastice««««««««.«.27 plastice««««««««.«.27 4.1
Introducere««««««««««««««««««««««««27 4.1.1 Limita elastica si functia de de curgere««««««««« curgere«««««««««««..27 ««..27 4.1.2. Criterii de incarcare si descarcare««««««««««««..28 descarcare««««««««««««..28
4.2
Potentialul plastic si regula de curgere««««««««««««« curgere«««««««««««««..28 ..28
4.3
Regula
de
curgere
asociata
cu
functia
de
curgere
von von
Mises««...««.30 4.4
Regula de curgere asociata criteriului de curgere Tresca««««..««33
4.5
Regula de curgere asociata cu criteriul de curgere Mohr ± Coulomb««««...................................................... Coulomb««««...................................................... ..............................
36 4.6
Proprietatea de convexitate, normalitate si unicitate pentru materialul ideal elasto-plastic«......................«« elasto-plastic«......................««««««««.....«3 ««««««.....«399 4.6.1 Proprietatea de convexitate a suprafetei de curgere curgere si de
1
2
normalitate
a
regulii
de
curgere«..........««.««««.«««..39 4.6.2 Unicitatea solutiei solutiei si conditia de normalitate normalitate «««««««....41 «««««««....41 4.7
Relatii
incrementale
tensiuni
-
deformatii
specifice«...««.««««..42 4.7.1 Relatii constitutive constitutive in termeni termeni de constante elastice E si Q sau
G
si
K«««««...........«««««««««« K«««««...........«««««««««««««...«««4 «««...«««444
1
4.8
Modelul Prandtl - Reuss (Teoria J2)««««««««««««««46
4.9
Modelul Drucker ± Prager««««««««««««««««««.47 Prager««« «««««««««««««««.47
GENERALITATI Proiectarea rationala, din punct de vedere economic, a structurilor in general alcatuite
din metal sau beton armat, presupune acceptarea, in cazul actiunilor seismice majore, a incursiunilor in domeniul post-elastic de comportare a materialelor. 2
3
Metodele actuale de proiectare accepta determinarea eforturilor printr-un calcul static elastic liniar in care fortele seismice se introduc conventional ca forte orizontale statice. Acestea sunt determinate in ipoteza disiparii energiei induse de seism prin incursiuni in domeniul plastic ale grinzilor in zonele de imbinare cu elementele verticale ± stalpii ± precum si la baza stalpilor. Deplasarile in cazul comportarii post-elastice se obtin prin multiplicare multiplicare cu inversul coeficientului de disipare ]. Controlul formarii mecanismelor de cedare se realizeaza prin exprimarea echilibrului global intre fortele statice seismice conventionale majorate proportional si momentele capabile ultime din sectiunile in care se formeaza articulatiile plastice. In prezent sunt disponibile programe de calcul care evalueaza comportarea neliniara a structurilor plane din bare la actiunea seismica variabila in timp descrisa printr-o accelerograma. Atingerea capacitatii plastice se considera prin formarea unor articulatii plastice controlate prin curbe de interactiune moment - forta axiala. Acest mod de abordare este evident simplist, potrivit unei activitati curente de proiectare, dar limitat la structuri cu forma regulata in plan si pe verticala. In cazul unei structuri cu o forma neregulata impusa de considerente arhitectonice si functionale nu sunt disponibile in prezent programe de aclcul care sa permita analiza spatiala cu considerarea comportarii neliniare la actiuni variabile in timp. Avand in vedere aceste considerente, efortul de cerectare atat pe plan national cat si international este concentrat in elaborarea unor programe de calcul care sa permita validarea calculului simplificat prin analiza comportarii spatiale a structurilor. Din acest punct de vedere, lucrarea isi propune in aceasta faza cunoasterea bazelor teoretice necesare atingerii obiectivului propus. Se prezinta in lucrare: - criterii de curgere si de cedare; - bazele teoretice ale teoriei plasticitatii in cazul materialelor cu comportare ideal elasto-plastica; - expresiile matricii caracteristicilor fizice elasto-plastice de legatura intre tensiuni si deformatii specifice pe baza criteriilor de curgere Tresca si von Mises; - procedeele de rezolvare numerica a sistemelor de ecuatii neliniare (metoda NewtonRaphson, metoda Newton-Raphson modificata, metoda quasi Newton); Recentele cutremure din SUA ± Northridge Northridge (1994) si Japonia ± Kobe (1995) au repus in actualitate necesitatea continuarii investigatiilor numerice si experimentale in cazul cobstructiilor metalice in general. Structurile metalice considerate in general sigure, avand invedere capacitatea mare de rezistenta si de ductilitate a materialului au prezentat o serie de 3
4
avarii care, chiar daca nu au condus la colaps, au necesitat interventii dificile si costisitoare din punct de vedere tehnic. Principalele probleme au fost in zonele nodurilor stalpi-fundatie si grinzi-stalpi. Aparitia Aparitia si propagarea propagarea fisurilor in sudurile de imbinare imbinare continuate continuate in stalpi precum si voalarea talpilor si inimilor sunt de neacceptat, dar au fost frecvent observate la constructiile metalice din zonele afectate de seism. Ca urmare a analizelor numerice in care articulatiile plastice se considera concentrate in sectiuni prestabilite prin atingerea starii de curgere controlata cu ajutorul curbelor de interactiune M-N constituie procedee prea simpliste . Evident ca o analiza numerica, in care atat fortele cat si domeniul de comportare comportare se modifica modifica in timpul timpul actiunilor actiunilor variabile variabile in timp, caracteristice actiunilor seismice, este mare consumatoare de timp, dar si susceptibila la erori numerice. Cu toate acestea, investigarea comportarii nodurilor in care de regula se realizeaza cele mai mari eforturi necesita modelarea acestora cu elemente finite plane si/sau tridimensionale, in timp ce pentru restul elementelor care nu executa incursiuni semnificative in domeniul post-elastic se pot folosi elemente de tip bara. De fapt ideea de baza este de a crea o biblioteca de macroelemente care sa permita modelarea nodurilor grida-stalpi-contravantuiri. Pentru aceasta, cunoasterea posibilitatilor oferite de tehnicile actuale a ctuale incrementale de de rezolvare numerica, precum si modelarea realista a comportarii materialelor la actiuni seismice sunt esentiale si constituie suportul de baza al lucrarii elaborate.
2
ROLUL PLASTICITATII IN INGINERIA STRUCTURALA
2.1
INTRODUCERE 4
5
Proiectantii de structuri urmaresc de regula doua etape: I) Definirea campului de forte interne (calculul eforturilor) II) Stabilirea raspunsului materialului la aceste forte. Primul pas implica o analiza a campurilor de tensiuni. tensiuni. Al doilea doilea necesita cunostinte cunostinte privind proprietatile materialelor. Teoria Elasticitatii considera o relatie liniara intre tensiuni si deformatii specifice . Pentru ca teoria sa fie valabila trebuie ca W W p !
Wc . k c
Structurile sunt corpuri complexe cu o stare de tensiuni spatiala. Exista si tensiuni secundare ce apar in timpul procesului de fabricatie si montaj. Combinarea tensiunilor initiale, secundare si concentrarile de tensiuni pot conduce la depasirea limitei de elasticitate ceea ce face necesara nece sara studierea comportarii comportarii dincolo de limita elastica. Teoria plasticitatii plasticitatii reprezinta o extindere a teoriei elasticitatii. Aceasta Aceasta furnizeaza furnizeaza informatii mai realiste privind raspunsul elementelor de constructii. Intelegerea rolului caracteristicilor relevante ale materialelor care definesc raspunsul acestora la fortele aplicate este esentiala pentru un inginer. Atat teoria elasticitatii cat si teoria plasticitatii sunt valabile si se regasesc regasesc in natura. In cazul teoriei plasticitatii plasticitatii trebuie urmarite urmarite doua aspecte: - stabilirea relatiilor intre tensiuni si deformatii specifice pentru un material elasto plastic cu consolidare sau cu degradare de rigiditate. - cunoasterea unor procedee numerice de rezolvare a ecuatiilor. Teoriei plasticitatii se bazeaza pe un set de relatii intre tensiuni si deformatii specifice pentru o stare complexa de tensiuni care pot descrie comportarea post-elastica. Regulile de deformatie observate pentru metale au fost confirmate de experimente.Recent, metodele TP au fost extinse si la studiul comportarii materialelor geologice cum sunt rocile, pamantul si betonul. 2.2
MODELE DE COMPORTARE PENTRU MATERIALE IN FUNCTIE DE
LEGEA
TENSIUNE-DEFORMATIE.
CURBE
REALE
SI
CURBE
SIMPLIFICATE.
Legatura dintre vectorul tensiunilor W si vectorul deformatiilor specifice I reprezinta legea constitutiva a materialului. 5
6
Pentru usurinta reprezentarii grafice a relatiei W - I se considera pentru inceput cazul comportarii monoaxiale. Pentru intindere W1 > 0 si W2 = W3 = 0 si pentru compresiune W3 < 0 si W2 = W1 = 0. Cele mai mai cunoscute cunoscute curbe caracteristice W1 - I1 sau W3 - I3 vor fi reprezentate prin modele tipice de comportare. Acestea se pot asocia diferitelor materiale. a) Modelul liniar elastic W
W
I, E W
I
W= E I
I
a)
b)
c) modelul Hooke Figura 2.1
Modelul de comportare comportare liniar-elastic se caracterizeaza printr-o printr-o relatie liniara biunivoca biunivoca intre tensiuni si deformatii, independent de timp. starea de tensiune si de deformatii este reversibila. Incarcarea si descarcarea se produc dupa aceeasi dreapta. b) Modelul elastic neliniar Acesta se caracterizeaza printr-o relatie neliniara de forma W = E(W)I. Incarcarea si descarcarea se produc dupa acelasi drum. Un Un caz particular il reprezinta modelul modelul biliniar. W
W
W
E2
E2
1
1
E1
I
1
a)
E(W), I
I
b)
E1 1
c)
W=E( W)I I
d)
Figura 2.2 Modelul (c) corespunde comportarii pamanturilor si umpluturilor. Modelul (c) caracterizeaza comportarea rocilor cu fisurare orientata. Inainte de inchiderea fisurilor comportarea este descrisa de constanta E1 si dupa inchiderea fisurilor de constanta E2. c) Modelul elasto-plastic Relatia W - I nu mai este liniara in acest caz si descarcarea nu mai are loc dupa aceeasi curba cu incarcarea. Se accepta o lege de comportare liniara la descarcare. Modelul pune in evidenta doua zone distincte de comportare. 6
7
- o zona de comportare elastic liniara (A- B)
W < W p , comportare elastica I = Ie W = EI - o zona de comportare plastica B-C
W u W p , comportare plastica I = Ie + I p C
W W p
C
W W p
B
B
E A
W
1 Et
B E
E
1
I
1
I p
Ie
I p
I
a)
C
1
Ie
b) B
c)
C E, Ie
W p , I p
E
W
1
I
d)
e) Figura 2.3
Conform figurii 2.3 a si b dupa depasirea limitei de proportionalitate W p apare fenomenul de ecruisare. Aceasta indica o dependenta a tensiunilor din stadiul post-elastic de deformatia plastica produsa. In figura 2.3 c) este prezentat modelul elastic perfect plastic Pentru W u W p deformatiile specifice sunt nedefinite. In cazul rocilor, modelul elastic perfect plastic introduce o reducere a rezistentei in zona plastica aceasta fiind o consecinta a pierderii coeziunii. Pentru modelul descris in figura 2.3. b): I!
W p E
1 E t
W W pentru W u W p
(2.1)
p
d) Modelul rigid -plastic Se caracterizeaza prin deformatii specifice plastice mult mai mari decat cele elasticeI p >> Ie. In consecinta deformatiile elastice pot fi neglijate. C
W 7
B
W C
8
W p
B
W p
I Rigid plastic cu ecruisare liniara
Rigid perfect plastic
Figura 2.4 Pentru materialele perfect plastice limita de elasticitate se considera o marime constanta egala la intindere si la compresiune W pi ! W pc .Pentru materiale ecruisabile limita de plasticitate depinde de istoria incarcarii. e) Modelul vasco-elastic (Voight-Kelvin+resort elastic Hooke) In cazul acestui model se ia in considerare comportarea elastica a materialului la care se adauga si cresterea deformatiei in timp la efort constant. I
WL = P I
W0 /E W1
W0 = E 0I0
W0 /E 1
I0 = W0 /E 0
W1 = E I
t
Figura 2.5 E t ¸ W 0 W 0 ¨© ©1 e P ¹¹ I! E0 E ª º
(2.2)
Cresterea deformatiilor in timp la tensiune constanta se numeste fluaj in cazul metalului si curgere lenta in cazul betonului. Viteza de deformatie depinde atat de marime lui W cat si de istoria incarcarilor la care a fost supus materialul. La descarcare deformatiile elastice se anuleaza iar cele vascoase se recupereaza in timp. f) Material elasto-exponential cu consolidare
8
9 W
W = k In
W p
Legea de comportare este:
EI daca W e W p ® ± W!¯ n ± °kI daca W " W p
I
(2.3)
Figura 2.6 g) Material cu lege de comportare de tip Ramberg - Osgood W
Expresia legii este:
I!
W ¨ W¸ a© ¹ E ª b º
b
n
1
(2.4) I I
a, b si n fiind constante de material
a
Figura 2.7 h) Modulul tangent E t t si modulul plastic E p Aceste module sunt utilizate pentru proceduri incrementale
dI ! dI e dI p Legatura intre tensiuni incrementale si deformatii specifice incrementale:
dW !
t dI
dW !
p
dI p
dI t
W
A
B
W
dW
1
B
W p
A
p
1
dW
dI
11
I
I I p
Ie
Figura 2.8
1 t
!
1
1
(2.5)
p
Se considera un parametru de consolidare G care va caracteriza diferitele stadii de consolidare. Prin ipoteza modulul modulul plastic p
9
=
p
(G)
p
este o functie de acest parametru.
10
Lucrul mecanic plastic: W p ! ´ WdI p - deformatia plastica acumulata:
I p ! ´ ( dI p dI p )1 / 2
- incrementul deformatiei plastice efective:
dI p ! dI p dI p )
Reguli de consolidare la incarcare - descarcare W
W A
B
I
O
B
A
C¶
O
C
I
A¶
B¶ A¶
B¶
a)
Consolidare izotropa
b)
Consolidare Consolidare cinematica
Figura 2.9 Pentru consolidarea izotropa (figura 2.9 a):
'C ! C
W ! W( x ) Pentru consolidarea cinematica (figura 2.9 b):
' ! A' A
W c( x ) ! W p Pentru consolidarea independenta: C > OA
' C ! A' O
W ! W t (G t )
pentru W > 0
W ! Wc (G c )
pentru W < 0
3
3.1
CRITERII DE CURGERE SI DE CEDARE SPATIUL TENSIUNILOR HAIGH-WESTERGAARD
10
11
Aceasta reprezentare este deosebit de utila in studiul teoriei plasticitatii si criteriilor de rupere. Tensorul starii de tensiune Wij are sase componente distincte si independente. Deci am putea utiliza aceste componente drept coordonate intr-un spatiu cu sase dimensiuni. Totusi aceasta este dificil de reprezentat. Cea mai simpla alternativa este de a lua cele trei tensiuni principale W1, W2, W3 drept coordonate. Acest spatiu se numeste spatiul tensiunilor Haigh Wastergaard. axa hidrostatica ( W1 = W2 = W3) (stare de tensiune sferica) s1 = 2W1 - W2 - W3 = 0
W1
V
(p, p, p) planul deviator e1
W1 + W2 + W3) =
U
3\
n
W3 W2
Figura 3.1 Fie o stare de tensiune exprimata prin W1, W2, W3 reprezentata prin punctul P (W1,
W2, W3). Vectorul de tensiune
P poate fi descompus desc ompus in doua componente P !
1 1 1 P n ! W1, W 2 , W 3 ¨© , , ¸¹ ª 3 3 3 º
!
dar
!
I 1 I W1 W 2 W 3 ! 1 ! 3 p unde p ! 1 3 3 3
P ! P
si conform relatiilor de mai sus:
! P n ! p, p, p
P ! P
P ! s12 s 22 s32 ! 2J 2
Dar V !
11
?
A
! W1, W 2 , W 3 ( p, p, p ) ! W1 p, W 2 p, W 3 p ! s1 , s2 , s3
Se obtine: V!
P.
P ! X oct 3
12
In reprezentarea vectoriala de mai sus, ON reprezinta deci componenta hidrostatica si vectorul NP reprezinta componenta deviatorica sij a starii de tensiune exprimate in tensiuni principale Sa consideram proiectiile vectorului NP pe axele de coordonate Wi¶ pe un plan deviatoric. W1 ¶ V
¶
U e1
W2¶
VcosU
N 2T/3 2T/3 2T/3
W3 ¶
FIGURA 3.2 Conform figurii 3.2:
e1 !
1 2,1,1 6
NQ ' ! V cos U ! NP e 1 ' ! s1 , s 2 , s 3 V cos U !
1 2s1 s 2 s 3 6
Considerand pentru V cos U !
1 2,1,1= 1 s1 , s2 , s3 6 6
s2 + s3 = -s1
3 s 21
Inlocuindu-l pe V se obtine: cos U !
3 s1 2 J 2
Folosind identitatea:
cos 3U ! 4 cos 3 U 3 cos U si inlocuind pe cos U din relatia de mai sus rezulta:
cos 3U !
3 3 3 s s1J 2 3/ 2 1 2J 2
(3.1)
12
13
Dar J2 = - (s1s2 + s2s3 + s1s3)
cos 3U !
3 3 3 2 s s1 s2 s12s3 s1 s2 s3 3/ 2 1 2J 2
Dar s1 = - (s2 + s3) si J3 = s1 s2 s3 si inlocuind in relatia de mai sus se obtine:
cos 3U !
3 3 J3 2J 32/ 2
(3.2)
Aceasta relatie arata ca valoarea lui cos 3U este un invariant in raport cu J2 si J 3. Se va putea arata ca o stare de tensiune (W1, W2, W3) se poate exprima prin (\, V, U). Acesti parametrii se vor calcula in conditiile date de functiile de cedare, curgere sau rupere in spatiu.
s1 !
2 J 2 cos U 3
(3.3)
Intr-o maniera similara se pot obtine ceilalti ce ilalti temeni ai tensorului deviatoric:
s2 !
2 2T J 2 cos¨© U¸¹ ª 3 º 3
(3.4)
s3 !
2 2T J 2 cos¨© U¸¹ ª 3 º 3
(3.5)
Relatiile sunt valabile daca W1 u W2 u W3 si 0 e U e
T . 3
Deci tensiunile principale sunt:
® ¾ ® ¾ ±cosU ± ±cos U ± ± ± ± ± p ¾ ®W 1 ¾ ® ®\ ¾ ± ± ± ± 2 J 2 ± ¨ 2T ¸ ± 1 ± ± 2 ± ¨ 2T ¸ ± (3.6) ¯W 2 ¿ ! ¯ p ¿ ¯cos© U ¹¿ ! ¯\ ¿ V ¯cos© U ¹ ¿ 3 ±W ± ± ± ± ª 3 º ± 3 ±\ ± 3 ± ª 3 º ± p °À °3À °À ± ¨ 2T ¸± ± ¨ 2T ¸± U ±cos© ¹± ±cos© U ¹± ºÀ ºÀ ° ª 3 ° ª 3
3.2
CRITERII DE CURGERE INDEPENDENTE DE PRESIUNEA HIDROSTATICA
3.2.1
Generalitati
13
14
Criterii de curgere independente de presiunea hidrostatica sunt criteriul de curgere Tresca (1869) si criteriul de curgere von Mises (1913) si sunt utilizate foarte mult in cazul metalelor. Criteriile de curgere definesc limita de comportare elastic liniara a unui material sub o stare compusa de tensiuni si se pot exprima cu relatii de forma: f (Wij, k 1, k 2 ..............) = 0
(3.7)
in care k i sunt constante de material ( de exemplu W0 sau X0 care reprezinta limitele de curgere pentru solicitarile de intindere simpla si de forfecare pura). Pentru materiale izotrope relatia (3.7) se poate scrie: f (W1, W2, W3, k 1, k 2 ..............) = 0 sau
f (I1, J2, J3, k 1, k 2 ..............) = 0
sau
f (\, V, U, k 1, k 2 ..............) = 0
(3.8)
Bridgman a efectuat in 1950 experimente pe metale si a demonstrat ca presiunea hidrostatica nu influenteaza apreciabil curgerea. In consecinta relatia se poate scrie: f (J2, J3, k 1, k 2 ..............) = 0 3.2.2
Criteriul de curgere curgere Tresca
Acest criteriu, stabilit in 1964 este aplicat la metale. Conditia pentru determinarea limitei de curgere se exprima sub forma: X max e k . Fie W0 limita de curgere determinata experimental pentru solicitarea axiala simpla. In acest caz se obtine X max !
W0 2
Pentru o stare de tensiuni exprimata in functie de tensiunile principale se obtin urmatoarele relatii explicite: In spatiu
W0 W2 W3 W 0 e e 2 2 2 W1 W 3 W 0
W0 e e 2 2 2 W W W W 0e 1 2e 0 2 2 2
(3.9)
In plan 14
15
W2
2
W e 0;
2
W1
2
e
W0
2
;
W1 W 2
2
W e 0
(3.10)
2
W2 W0
- W0
W0
W1
-W0
Figura 3.3 Considerand W1 u W 2 u W3 criteriul de curgere se exprima:
1 1 1 max¨© W1 W 2 , W1 W 3 , W 3 W 2 ,¸¹ e k ª2 º 2 2
(3.11)
1 1 2T « » J 2 ¬cos U cos¨© U¸¹ ¼ ! k W1 W 3 ! ª 3 º ½ 2 3 -
0 e U e 60
(3.12)
sau
T f J 2 , U ! 2 J 2 sin ¨© U¸¹ W 0 ! 0 ª 3 º
(3.12¶)
T f V, U ! 2V sin ¨© U¸¹ W 0 ! 0 ª 3 º
(3.12¶¶)
sau
Presiunea hidrostatica nu influenteaza suprafata de curgere. Criteriul este independent de I1 sau de \.
X xy W1 ¶
A(U=0, V ! 2 / 3W 0 )
15 =0
W0
2
2
¨ X xy ¸ ¨ Wx ¸ ¹ !1 © ¹ © ª W 0 º ª W 0 / 3 º
16
B(U = 60)
Wx W0 2
2
¨ W x ¸ ¨ X xy ¸ ¹ !1 © ¹ © ª W 0 º ª W 0 / 2 º
Figura 3.4
f J 2 , J 3 ! 4J 32 27J 32 36k 2 J 22 96k 4 J 2 64k 6 ! 0 3.2.3
(3.13)
Criteriul de curgere von Mises
Acest criteriu, stabilit in 1913 este aplicat la metale. Conditia pentru determinarea limitei de curgere se exprima in functie de tensiunile octaedrice. X oct !
2 2 J 2 ! k . 3 3
Criteriul se exprima cu relatia: f(J2) = J2 - k 2 = 0
(3.14)
Fie W0 limita de curgere determinata experimental pentru solicitarea axiala simpla. In acest caz se obtine k !
W0 3
Pentru o stare de tensiuni exprimata in functie de tensiunile principale se obtine urmatoarea relatie:
W1 W 2 2 W 3 W 2 2 W1 W 3 2 ! 6k 2
(3.15)
Ecuatia obtinuta este ecuatia unui cilindru a carui intersectie cu planul deviator este un cerc de raza V ! 2k . Atat la criteriul Tresca cat si la criteriul von Mises k este limita de curgere la forfecare pura W2 = - W1. Valorile acestui parametru sunt insa diferite conform celor doua criterii. Raportul intre ele este:
16
17
W0
k v 2 ! 3! ! 1.25 W0 k T 3 2 In cazul criteriului von
ises, in planul Wx Xxy reprezentarea grafica este elipsa de
ecuatie 2
2
¨ X xy ¸ ¨ Wx ¸ ¹ !1 © ¹ © ª W 0 º ª W 0 / 3 º
3.3
3.3.1
CRITERII DE CEDARE DEPENDENTE DE PRESIUNE.
Caracteristicile suprafetei de cedare pentru un material izotrop
Cedarea pentru un material este definita uzual prin termeni dependenti de capacitatea de incarcare. Totusi, pentru modelul perfect plastic curgerea implica o cedare deci limita de curgere este deseori o limita de rezistenta. Ca si in cazul criteriilor de curgere, o forma generala a criteriilor de cedare poate fi data printr-o ecuatie avand pentru materialele materialele anizotrope forma : f(Wij, k 1, k 2 ,............ ) = 0
(3.16)
si pentru materiale izotrope: f(W1, W2, W3, k 1, k 2 ,.........) = 0
(3.17)
f(I1, J2, J3, k 1, k 2 ,...........) = 0
(3.17¶)
f(\, V, U, k 1, k 2 ,..............) = 0
(3.17¶¶)
Pentru materiale ductile, cum este metalul, curgerea este independenta de presiunea hidrostatica. Comportarea multor materiale nemetalice cum sunt terenul, rocile si betonul, depinde de nivelul presiunii hidrostatice. Din acest motiv I1 si \ trebuie sa fie prezenti in criteriile de cedare. Forma generala a suprafetei de cedare f (I1, J2, J3) = 0 sau f(\, V , U) = 0 in spatiul tridimensional poate fi descrisa printr-o sectiune cu planul deviatoric si meridianele sale din planele meridiane. Sectiunea transversala a suprafetei de cedare este curba de intersectie a acestei suprafete cu planul deviatoric care este perpendiculara pe axa hidrostatica cu \=ct. Meridianele suprafetei de cedare sunt curbele de intersectie intre aceasta suprafata si un plan meridian ce contine axa hidrostatica U = ct. Pentru un material izotrop, forma suprafetei 17
18
de cedare trebuie sa fie simetrica. De aceea aceea este necesar ca in experiment experiment sa se urmareasca urmareasca sectorul 0O - 60O celelalte stabilindu-se prin simetrie.
intindere
V
W1 ¶ V V c
U=0 Vc U = 60
W2 ¶
W3 ¶
compresiune
Figura 3.5 Considerand W1 u W2 u W3 exista doua situatii extreme: 1) W1 = W2 > W3 U1 = 60O 2) W1 > W2 = W3 U2 = 0O Valorile se obtin inlocuind in:
cos U !
3 s1 2 J2
si tinand seama de :
s1 ! W1
W1 W 2 W 3 2W1 W 2 W 3 ! 3 3 J 2 ! s1s 2 s 2 s3 s3s1
Rezulta astfel: 1) cos U1 !
2) cos U 2 !
3 W1 W 3 3 ! 2 3 J2 2 3 W1 W 3 3 ! 2 3 J2 2
W1 W 3 1 ! 2 2 2 3 W1 W 3 6
2W1 W 3 !1 1 3 W1 W 2 2 3
(3.18)
(3.19)
Meridianul asociat lui U = 60 se numeste meridianul de compresiune deoarece situatia corespunde unei stari de tensiune cu compresiune intr-o singura directie. p !
W1 2W 3 3
W1 = W2 > W3
18
19
2W1 W 3 W W 3 ! 1 3 3 3 W W 2W W W2 1 3 ! 1 3 3 3 2W1 W 3 2W W W3 1 3 ! 3 3
W1
(3.20)
Meridianul asociat lui U = 0 se numeste meridianul de intindere deoarece situatia corespunde unei stari de tensiune cu intindere intr-o singura directie.
p !
W1 2W 2 3
W1 > W2 = W3
W 3 2W 2 2W1 W 2 ! 3 3 W 2W 2 W 2 W1 W2 1 ! 3 3 W 2W 2 W 2 W1 W2 1 ! 3 3 W1
(3.21)
U = 30 este meridian de forfecare si caracterizeaza o situatie de forfecare pura
1 W W 3,0, W 3 W1 2 1
p !
W1 W 2 2 ! W1 W 2 3 3
W1 W 2
Cele trei situatii sunt descrise de:
W3
W1=W2
W3=W2
W1
Figura 3.6 3.3.2
Criteriul Mohr - Coulomb (1900)
Acest criteriu poate fi considerat o generalizare a criteriului Tresca. Ambele considera valoare tensiunii tangentiale maxime Xmax ca masura a cedarii unui material. Totusi exista o 19
20
diferenta. Criteriul Tresca considera Xk o valoare constanta in timp ce criteriul Mohr Coulomb il considera ca o valoare dependenta dependenta de W. X ! f (W )
(3.22)
Functia f(W) se determina experimental. Intr-o reprezentare grafica cu cercul lui Mohr, daca cercul de raza maxima
W1 W 3 2
este tangent la curba intrinseca f(W) inseamna ca s-a atins starea limita.
Figura 3.7 Cu alte cuvinte criteriul lui Mohr depinde de tensiunea medie. Cea mai simpla forma pentru curba intrinseca este o dreapta. Ecuatia acestei drepte este cunoscuta ca ecuatia lui Coulomb (1773) X ! c W tgN
(3.23)
unde c este factorul de coeziune iar N este unghiul intern de frecare. Acesti doi parametrii se determina experimental. Daca N = 0 criteriul se reduce la criteriu Tresca cu X = c si coeziunea devine egala cu Xk de la forfecarea pura.
X = c- Wtg N
N
W1 W 3 2
X
W3
W tg N W1
X
W
c
W 20
21
W1 W 3 2
Figura 3.8 Fie W1 u W2 u W3. Criteriul Mohr Coulomb Coulomb poate fi scris: W1 W 3 2
1 1 cos N ! c «¬ W1 W 3 W1 W 3 sin N»¼ tg 2 -2 ½
(3.24)
sau rearanjand relatia:
W1
1 sin N 1 sin N !1 W3 2c cos N 2c cos N
(3.25)
Cu urmatoarele notatii:
f c/ !
2c cos N 2c cos N si f t/ ! 1 sin N 1 sin N
relatia (3.19) se scrie:
W1 W 3 / !1 / ft f c
(3.26)
Daca W1 { 0 si W 3 = 0 atunci este vorba de o solicitare uniaxiala si se poate pune in evidenta semnificatia numitorilor: f c/ reprezinta rezistenta la compresiune si f t/ rezistenta la intindere. De multe ori este convenabil sa se introduca un parametru ³m´
f c/ 1 sin N m! / ! f t 1 sin N Cu aceasta noua notatie ecuatia poate fi scrisa:
mW1 W 3 ! f c/ pentru W1 u W2 u W3. Considerand W1 - W3 = W0 curbele de cedare in planul W1 - W2 pot fi trasate pentru diferite valori ale lui m. De exemplu:
W2/ f c/ 1
N=0 -1 21
m=1
m = 1.7 m = 5.83
1
W1/ f c/
0.17
22
0.588
-1
Figura 3.9 Forma in spatiu a suprafetei suprafetei de cedare necesita folosirea relatiilor:
® ¾ ® ¾ ±cos U ± ±cos U ± ± ± ± ± p ¾ ®W1 ¾ ® ®\¾ ± ± ± ± 2 J 2 ± ¨ 2T ¸ ± 1 ±± 2 ± ¨ 2T ¸ ± ¯W 2 ¿ ! ¯ p ¿ ¯cos© U ¹ ¿ ! ¯\¿ V¯cos© U ¹¿ ±W ± ± ± 3 ± ª 3 º ± 3 ±\± 3 ± ª 3 º ± p °À ° 3 À °À ± ¨ 2T ¸ ± ± ¨ 2T ¸ ± U cos ¹± ± © ±cos© U ¹ ± 3 º À ° ª ° ª 3 º À W1
1 sin N 1 sin N W3 !1 2c cos N 2c cos N
se obtine:
J T T 1 f ( I1 , J 2 , U) ! I1 sin N J 2 sin¨© U ¸¹ 2 cos¨© U ¸¹ sin N c cos N ! 0 (3.27) 3 3 ª 3 º ª 3 º sau:
T T f (\, V, U) ! 2\ sin N 3 V sin¨© U ¸¹ V cos¨© U ¸¹ sin N c 6 cos N ! 0 (3.21¶) ª 3 º ª 3 º cu 0 e U e 60. Suprafata limita corespunde unei piramide hexagonale neregulate. Meridianele sunt linii drepte si sectiunile printr-un plan T sunt hexagoane neregulate. Sunt necesare numai doua caracteristici pentru a trasa acest hexagon Vt0 si Vc0.
V W1¶
Vc0 60
Vt0
Vt0
Nt Nc
22
23
Vc0
3 c ctgN
Figura 3.10 Inlocuind in relatia (3.21¶) \ = 0 si U = 0 se obtin Vt0 si Vc0. Se procedeaza analog si pentru \ = 0 si U = 60.
T V 3 V sin sin N 6 c cos N ! 0 3 2 6 c/ 1 sin N 2 6 c cos N V t 0 ! ! 3 sin N 3 sin N
(3.28)
6 c/ 1 sin N 2 6 c cos N Vc 0 ! ! 3 sin N 3 sin N
(3.29)
respectiv
V t 0 3 sin N ! Vc0 3 sin N O amile de curbe Mohr - Coulomb Coulomb obtinute cu sectiuni transversale transversale in planul T, pentru di erite erite valor valorii ale lui N sunt date in igura 3.11 3.11 normalizate normalizate in raport cu
/ c.
Hexagonul din
planul W1 - W2 este intersectia piramidei cu planul de coordonate W3 = 0. Daca / c
!
/ t
N ! 0 m ! 1 , hxagonul va deveni hexagon regulat si este identic cu ceea ce se
obtine utilizand modelul Tresca. Pentru a obtine o mai buna aproximatie cand apar tensiuni de intindere, de cele mai multe ori se combina criteriul Mohr Mohr - Coulomb Coulomb cu rezistenta maxima la intindere. Ast el se obtine obtine un criteriu cu trei parametrii. Sunt Sunt necesare necesare doua stari de tensiune pentru a determina c si N (doua solicitari) si numai una pentru a determina rezistenta maxima de intindere.
W1¶/ c¶ N = 0o
Vc0 23
Vt0
N = 60 o N = 30 o
24
Figura 3.11 Curba de cedare in planul deviator 3.3.3
Criteriul de cedare Drucker Druck er - Prager (1952)
Acest criteriu este o modificare a criteriului von Mises. Influenta presiunii hidrostatice privind cedarea este introdusa prin intermediul unui termen suplimentar in expresia lui von Mises. (3.30) f ( I1 , J 2 ) ! EI1 J 2 k ! 0 sau
(\, V) ! 6E\ V 2k ! 0
(3.30¶)
unde E si k sunt constante constante de material. Cand E = 0 ecuatia se reduce la criteriul von Mises. Ecuatia in spatiul tensiunilor principale este un con circular drept. Meridianul si sectiunea cu planul deviator sunt sunt prezentate in igura 3.12. 3.12. V V
W1¶
0 ! 2 k
k 3E
V0
V0 V0 V
W2¶
W3¶
a) sectiunea din planul deviator
0 ! 2 k
b) planul meridian U = 0o Figura 3.12
Supra ata de cedare hexagonala asociata curbelor Mohr - Coulomb Coulomb este convenabila din punct de vedere vedere matematic numai numai in problema problema in care este evidenta evidenta supra ata olosita din din cele sase. Daca aceasta ace asta in ormatie nu este cunoscuta in avans, colturile hexagonului hexagonului pot crea di icultati matematice deosebite in obtinerea obtinerea solutiei. Criteriul Drucker - Prager este o aproximatie a criteriului Mohr - Coulomb Coulomb si poate i acuta prin potrivirea laturilor pe pe con.
24
25
De exemplu, daca cercul Drucker - Prager este circumscris hexagonului Mohr Coulomb sau daca suprafetele coincid in lungul meridianelor de compresiune Vc unde U = 60, constantele E si k se obtin functie de constantele c si N.
k !
6 c cos N 3 sin N 3
E!
2 sin N 3 sin N 3
(3.31)
Conul corespunzator constantelor de mai sus este circumscris piramidei hexagonale si reprezinta o limita exterioara a suprafetei de cedare Mohr - Coulomb. Coulomb. Pe de alta parte conul interior care trece prin meridianul de intindere Vt unde U = 0 va avea constantele:
k !
6 c cos N 3 sin N 3
E!
2 sin N 3 sin N 3
(3.32)
Totusi aproximatia data prin conul interior sau exterior suprafetei de cedare Mohr Coulomb poate fi nepotrivita pentru cateva stari de tensiune. O alta aproximatie poate fi facuta prin meridianul de forfecare si poate fi mai potrivita. Criteriul Drucker - Prager pentru o stare de tensiune biaxiala este reprezentat prin intersectia conului circular cu planul de coordonate
W3 = 0. Curba de cedare se determina inlocuind in suprafata de cedare W 3 = 0.
E( W1 W 2 )
1 2 W1 W 1W 2 W 22 ! k 3
sau:
(1 3E 2 )( W12 W 22 ) (1 6E 2 )W1 W 2 6k ( W1 W 2 ) 3k 2 ! 0 ceea ce reprezinta ecuatia unei elipse.
W1 ¶
-W1
Drucker Drucker -Prager
60o Vt
-W3
Vc W2¶ -W 2 25
W3 ¶ Mohr - Coulomb
26
Figura 3.13
3.3.4
Criteriul tensiunii maxime de intindere (Rankine)
Acest criteriu a fost prezentat in 1876 si este aplicabil in cazul materialelor fragile.
Wmax e W0
(3.33)
Ecuatia: W1 = Wo W2 = Wo W3 = Wo este ecuatia suprafetei de cedare, care este formata din trei plane perpendiculare pe axele W1 , W2 si W3. W1 W0
W3 W0
W0 W2
Figura 3.14
Cand se folosesc variabilele V , \ si U sau I1, J2 si U suprafata de cedare poate fi descrisa complet prin prin ecuatii in interiorul interiorul 0 e U e 60
f ( I1 , J 2 , U) ! 2 3J 2 cos U I1 3W 0 ! 0
(3.34)
f ( \, V, U ) ! 2V cos U \ 3W 0 ! 0
(3.34¶) V
W1¶
1
V
2 Vc0
t0
!
U=0
Vt0
3
W 2 0
\ ! 3W 0
U = 60 W2¶
W3¶
26
27 1
2
V
c0
! 6W
0
Figura 3.15 Betonul, rocile, terenul au o buna comportare la compresiune. Sub incarcari de compresiune are loc o confinarea, si ca urmare, acest tip de material material poate avea o comportare comportare ductila si cedare prin forfecare. Sub incarcari de intindere se observa o cedare fragila si o foarte joasa rezistenta. Deseori criteriul Rankine se combina cu criteriul Tresca sau von Mises pentru a aproxima comportarea comportarea la rupere a unor unor astfel de materiale Reprezentarea grafica corespunde la doua suprafete asociate la o cedare prin forfecare la compresiune si prin intindere la intindere.
V U=0
W1¶
=0
3 W 2 t
\ e 3W t
\ ! 3W t
W3¶
W2¶ U = 60
6W t
Tresca
Figura 3.16
3.4
MATERIALE ANIZOTROPE.
von Mises
CRITERII DE CURGERE
Majoritatea materialelor sunt anizotrope. Criteriul general f (Wij, k 1, k 2 ..............)=0 depinde de prea multi parametrii ce definesc materialul. 3.4.1
27
Criterii de curgere pentru pentru materiale ortotrope.
28
In fiecare punct exista trei plane de simetrie elastica. Intersectiile acestor plane sunt axele de anizotropie. Criteriul de curgere propus de Hill (1950) in raport cu aceste axe:
f ( W i ) ! a 1 W y W z 2 a 2 W z W x 2 a 3 W x W y 2 a 4 X 2yz a 5 X 2xz a 6 X yx2 1 ! 0 (3.35)
unde a1..a6 reprezinta parametrii ce definesc materialul. Ecuatia este o expresie quadratica in tensiuni reprezentand partea din energie care guverneaza atingerea curgerii la materiale ortotrope. Din acest motiv criteriul Hill este considerat o extindere a criteriului von Mises. Lipsa termenilor liniari implica ipoteza ca materialul lucreaza identic la intindere si la compresiune si ca presiunea hidrostatica nu influenteaza curgerea. Parametrii materialului pot fi determinati din trei experimente de intindere simpla in directia axelor principale de anizotropie si trei teste de forfecare in planele de simetrie. Notand cu X, Y, Z rezistentele la intindere si S21, S13 si S23 rezistentele la forfecare se obtine:
2a1 !
1 1 1 Y2 Z2 X2
a4 !
1 2 S23
2a 2 !
1 1 1 X2 Z2 Y2
a5 !
1 2 S13
2a 3 !
1 1 1 Y2 X2 Z2
a6 !
1 2 S21
Daca materialul este transversal izotrop (simetrie rotationala fata de axe z), criteriul definit de aceasta ecuatie trebuie sa ramana invariant pentru axele x si y arbitrare. Rezulta : a1 = a2 ; a4 = a5 ; a6 = 2 ( a1 + 2a3) Pentru material material izotrop, particularizand particularizand in continuare continuare rezulta 6a1 = 6a2 = 6a3 = a4 = a5 = a6 si se obtine criteriul von Mises. Observatie: La materiale anizotrope schimbarea axelor implica schimbarea formei suprafetei de cedare.
4
4.1
RELATIILE RELATII LE TENSIUNI-DEFORMATII PENTRU MATERIALE PERFECT PLASTICE. INTRODUCERE
28
29
Situatia in care deformatiile plastice se dezvolta sub camp constant de tensiuni caracterizeaza comportarea perfect sau ideal plastica. In cazul solicitarii monoaxiale diagrama W-I este prezentata in figura 4.1:
W
F(Wij)= k suprafata de curgere
incarcare
dWij incarcare
Wij
dWij descarcare
Elastic F(Wij)< k
descarcare
Wij
I
a)
b) Figura 4.1
Ipoteza comportarii perfect plastice a materialului simplifica substantial analiza problemelor structurale si permite elaborarea unor modele simple si directe necesare stabilirii capacitatii portante a structurilor. Comportarea unui material sub o stare complexa de tensiuni care implica sase componente de tensiune si sase componente de deformatii specifice nu poate fi reprezentata printr-o relatie liniara. 4.1.1 Limita elastica si functia de curgere
Limita domeniului elastic de comportare al unui material sub toate combinatiile de tensiuni a fost definita ca o functie de curgere de forma f(Wij , k) = F ( W ij) - k
(4.1)
Pentru un material ideal plastic functia de curgere se considera invarianta si deci parametrul k ramane constant. In consecinta suprafata de curgere este fixa in spatiu (figura 1.b). 4.1.2. Criterii de incarcare si descarcare
In situatia unei deformatii plastice continue, starea de tensiuni trebuie sa ramana pe suprafata de curgere. Aceasta situatie se numeste ³incarcare´. In situatia unei stari de tensiune a carei reprezentare este in interiorul suprafetei de curgere, nu se dezvolta deformatii plastice si toate deformatiile incrementale vor fi elastice. Aceasta situatie se numeste ³descarcare´. 29
30
Se considera atingerea limitei plastice sub o stare de tensiuni Wij caracterizata printr-un vector (figura 1.b). Daca la aceasta stare de tensiune se adauga o crestere incrementala a starii de tensiune dWij, pentru un material ideal plastic la care dezvoltarea de deformatii plastice are loc fara cresteri de tensiune, implica necesitatea ca incarcarea aditionala dWij sa fie in planul tangent. Conditia se scrie sub forma.
f ( W ij , k ) ! 0
xf df ! d W ij ! 0 xW ij
(4.2)
acesta fiind criteriul de incarcare. Criteriul asociat unei descarcari (asociat unor deformatii elastice) este:
f ( W ij , k ) ! 0
xf df ! d W ij 0 xW ij
(4.3)
Tensorul deformatiilor specifice totale incrementale se considera ca fiind o suma de tensori ai deformatiilor specifice incrementale elastice si plastice.
dI ij ! dI eij dI pij 4.2
(4.4)
POTENTIALUL PLASTIC SI REGULA DE CURGERE
Regula de curgere curgere este o apreciere cinematica necesara pentru deformatii deformatii plastice. Componentele Componentele tensorului deformatiilor plastice incrementale dI pi pot fi reprezentate geometric printr-un vector cu noua componente in spatiul deformatiilor (figura 2). Regula de curgere va decide directiile vectorului deformatiilor plastice incrementaledI pi . In cazul comportarii elastice, deformatiile elastice se pot obtine ca derivata energiei complementare de deformatie, in raport cu tensorul Wi .
x; W i Ii ! xW i
In 1928 von Mises a propus un concept similar de functie de potential plastic, care este o functie scalara cu variabile tensoriale g(Wi ). Ecuatia curgerii plastice se poate scrie sub forma:
dI pi ! d
xg xW i
(4.5)
in care d - factor scalar pozitiv de proportionalitate care este nenul numai cand apar deformatii plastice. 30
31
Ecuatia g(Wij) este o hipersuprafata de potential plastic in spatiul cu noua dimensiuni al tensiunilor. Cosinusii directori ai normalei normalei la aceasta hipersuprafata in punctul punc tul Wij vor fi proportionali cu componentele c omponentele
xg . xW ij
Vectorul curgerii plastice dI pij este un vector liber in spatiul tensiunilor cu directia normala la hipersuprafata potentialului plastic.
dIij p plan tangent
a plat
dIij p dIij p b c
Wija
Wij b Wijc
Wijd
Potential plastic g(Wij) = f(Wij)=ct
d
dIij p
colt
Figura 4.2 Daca functia de curgere si functia potentialului plastic coincid f = g. Atunci
dI pij ! d
xf xW ij
(4.6)
si curgerea plastica se dezvolta in directia normalei la suprafata de curgere. Ecuatia (4.6) se numeste regula de curgere asociata deoarece curgerea plastica este asociata cu criteriul de cedare. Daca f { g regula de curgere este neasociata. Von Mises foloseste regula de curgere asociata pentru a obtine relatii intre tensiuni si deformatii deformatii plastice pentru metale. Regula de curgere asociata este valabila pentru materiale plastice ireversibile la care lucrul mecanic produs de deformatia plastica nu poate fi recuperat. Legea tensiuni- deformatii specifice a materialelor la care se aplica regula de curgere asociata va rezulta ca o solutie unica. unica. Aceasta regula face posibila posibila formularea ecuatiilor teoriei plasticitatii si prin considerarea unor suprafete de curgere cu forme complexe. 4.3 31
REGULA DE CURGERE ASOCIATA CU FUNCTIA DE CURGERE VON MISES.
32
Functia de curgere conform criteriului von von Mises este: f(Wij) = J2 - k 2 = 0
(4.7)
si se va considera si functie de potential. Regula curgerii plastice este:
dI pij ! d
xf ! d s ij xW ij
(4.8)
in care sij este tensorul deviator deviator al tensiunilor tensiunilor si d este un factor de proportionalitate. 2 2 ® ±0 daca J 2 k sau J 2 ! k dar dJ 2 0 d !¯ 2 ± °" 0 daca J 2 ! k si dJ 2 ! 0
Ecuatia (4.8) poate fi exprimata in termeni de componente ale deformatiilor specifice incrementale si ale tensiunilor. p p p dI px dI y dI pz dK xy dK pxz dK zy ! ! ! ! ! ! dP sx sy sz 2X xy 2X xz 2 X zy
(4.9)
Relatia (4.9) este cunoscuta ca ecuatia Prandtl ± Reuss si a fost propusa in 1924 de Prandtl. Acesta extinsese ecuatiile Levy - von Mises si a scris prima data relatiile tensiunideformatii specifice in cazul starii plane de deformatie pentru un material elastic - perfect plastic. Reuss, in 1930, a extins ecuatiile lui Prandtl la cazul tridimensional dand forma generala a ecuatiilor (4.9). Relatia intre deformatia plastic incrementala dI pij si functia de curgere von Mises f = J2 sau regula de curgere asociata criteriului de curgere von Mises poate fi reprezentata grafic in spatiul cu trei dimensiuni al tensiunilor normale principale. Este comod ca aceasta reprezentare sa fie facuta in planul tensiunilor hidrostatice sau in planul deviator (figura 4.3) W1 , dI1 p Xoct dKoct p
dIij p
Wij
sij
Woct dIoct p
F ( Wij) = k
W2 , dI2 p
W3 , dI3 p 32
33
Planul hidrostatic
Planul deviator Figura 4.3
Normala la suprafata de curgere este paralela cu planul T (\ = 0) si este in directie radiala. Aceasta directie este paralela cu directia proiectiei vectorului de tensiune corespunzator Wij pe planul deviator, care este evident vectorul componentelor tensorului deviator al tensiunilor sij. Ecuatiile (4.8) si (4.9) arata ca incrementul deformatiei plastice dI pij depinde numai de starea curenta a tensiunilor deviatorice sij nu si de incrementul tensiunilor dWij care este implicat numai pentru pentru a mentine mentine curgerea curgerea plastica. Deformatia volumica volumica in stadiul plastic este nula :
dI pii ! dPsii ! 0
(4.10)
dI poct ! 0
respectiv
In consecinta pentru incrementul deformatiei deformatiei elastice se va aplica legea lui Hooke, Hooke, iar pentru incrementul deformatiei plastice se va aplica regula de curgere:
d I ij !
ds Q 1 Q dW dW ij dW kk H ij dPsij ! kk ij dPsij E E 9K 2G
(4.11)
Ecuatia (4.11) poate fi separata in doua expresii, una pentru incrementul deformatiei de volum si una pentru incrementul deformatiei de forfecare (deviator).
dI ii !
dW kk 3K
dI ij !
ds ij dPsij pentru i { j 2G
(4.12)
Sau in termeni expliciti:
1 2 ? dW x QdW y dW z A dP?W x QW y W z A E 3 1 dK yz ! dX yz 2PX yz G W E , p ! kk ! W oct ! KI kk ! KI V K ! 3 3(1 2Q )
dI x !
(4.13)
(4.14)
cu K = modulul volumic In cazul deformatiilor plastice mari, deformatiile elastice pot fi neglijate si materialul se poate idealiza ca un material perfect rigid plastic. In aceasta situatie 33
34
dI i ! dI pi . Pentru un astfel de material relatia tensiuni-deformatii specifice se scrie sub forma:
dI i ! dPs i sau explicit:
dI x dI y dI z dK xy dK xz dK zy ! ! ! ! ! ! dP sx sy s z 2X xy 2X xz 2X zy
(4.15)
Aceasta ecuatie este cunoscuta ca ecuatia Levy - von Mises. In 1870 1870 St Venant a propus prima data ca axele principale ale deformatiei specifice sa concida cu axele principale de tensiune. Relatia generala (4.15) a fost obtinuta in 1871 de Levy si independent de von Mises in 1913. 1913. Relatia se poate scrie explicit explicit obtinand obtinand trei termeni termeni pentru deformatiile specifice plastice liniare si trei pentru cele unghiulare sau de forfecare.
2 1 dI x ! dP «¬W x W y W z »¼ si similar celelalte doua 3 2 ½
(4.16)
dK yz ! 2dPX yz si similar celelalte doua
(4.17)
4.4
REGULA DE CURGERE ASOCIATA CRITERIULUI DE CURGERE TRESCA
Functia de curgere se poate scrie in ipoteza W1 > W2 > W3: f(Wij, k) = F(Wij) - 2k = W1 - W3 - 2k = 0
(4.18)
Conform teoriei curgerii plastice adoptate se poate scrie (dI1 p, dI2 p, dI3 p ) = dP(1, 0, -1)
dP u 0
(4.19)
sau:
dI p1 ! dP
xf ! dP dW1
dI p2 ! dP
xf !0 dW 2
dI p3 ! dP
xf ! dP dW 3
(4.20)
Expresii similare pot fi obtinute pentru cinci combinatii posibile privind valorile algebrice ale tensiunilor principale. Deformatiile specifice incrementale pot fi reprezentate geometric in planul deviator asociat conditiei W1 > W2 > W3. 34
35
dIij p
W1 , dI1 p A
W1 - W3 = 2 k B
W1 - W2 = 2 k
W1 - W2 = 2 k
Wij W3 - W2 = 2 k W1 - W3 = 2 k
W3 - W2 = -2 k
W2 , dI2 p
A
W3 , dI3 p
W3 - W1 = -2 k
W2 - W1 = -2 k
a)
b) Figura 4.4
In cazul special in care W1 > W2 = W3 situatia se simplifica deoarece tensiunile tangentiale maxime sunt egale cu limita de curgere k nu numai in planul la 45O paralel cu axa x2 dar si in planul paralel cu axa x3. In aceasta situatie este posibil sa se considere ca limita de forfecare se poate obtine in lungul a doua plane cu Xmax.
Wmax = W 1 ; Wmin = W3 ; (dI1 p, dI2 p, dI3 p ) = dP (1, 0, -1)
dP u 0
Wmax = W1 ; Wmin = W2 ; (dI1 p, dI2 p, dI3 p ) = dQ(1, -1, 0)
dQ u 0
sau: Se poate considera in acest fel ca vectorul incremnentului deformatiilor plastice este o combinatie liniara a celor doi vectori de mai sus. (dI1 p, dI2 p, dI3 p ) = dQ(1, -1, 0) + d P(1, 0, -1) pentru dQ u 0 si dP u 0 Acest caz apare in situatia in care starea curenta de tensiune Wij corespunde punctelor asociate muchiilor prismei hexagonale (punctul A), vectorul se va aseza pe directia normala la planele adiacente. Acest punct angular al unei suprafete potentiale poate fi considerat ca un caz limita al unei suprafete netede care contine acest punct. (figura 4.4b) In general, intr-un punct angular in care se intersecteaza mai multe suprafete netede, deformatiile specifice se pot exprima ca o combinbatie liniara a acelor vresteri incrementale date prin normalele la suprafetele care se intersecteaza: n
dI ! § dP k p ij
k !1
xf k dW ij
(4.21)
Desigur, daca suprafata de curgere curgere constituie o suprafata plana, acolo nu se poate scrie o relatie unica intre tensiuni si deformatiile specifice incrementale. In general corespondenta 35
36
intre vectorii deformatiilor specifice plastice incrementale dI pi si vectorul starii de tensiune W i nu este posibila intotdeauna. Se poate arata ca energia plastica incrementala dW p este intotdeauna unic determinata prin magnitudinea deformatiei plastice
dW p ! W1dI1p W 2 dI p2 W 3dI 3p ! 2 k max dI pi
(4.22)
i
c omponente te a vectorului deformatiilor deformatiilor specifice incrementale. incre mentale. dI p corespunde celei mai mari componen
dI p =
max dI pi . i
Exemplu Fie un punct pe latura AB de ecuatie W1 - W3 = 2k Componentele Componentele vectorului deformatiilor plastice incrementale incrementale sunt:
dI p2 ! 0 dI p1 ! dI 3p
dW p ! W1dI1p W 2dI 2p W 3dI 3p ! (W 1 W 3 )dI 1p ! 2 k max dI pi ! 2 k dI 1p i
Daca punctul asociat starii de tensiune coincide cu A, W2 = W3 si W1 = W3 + 2k
dW p ! W 3 2k dI1p W 2 dI 2p W 3dI 3p dar in starea plastica IV = 0 (conditia de incompresibilitate)
dI1p dI 2p dI 3p ! 0 Se obtine in acest caz:
dW p ! 2 k dI p1 Deci ecuatia (4.22) este valabila pentru orice punct pe hexagon. Consideram W0 limita de curgere pentru o solicitare monoaxiala si cazul starii plane de tensiune
W1 ! X max !
W0 W , W 2 ! 0 si dI p1 ! c 3 3
W max W min 1 ¨ W 0 W 0 ¸ ! © ¹ ! k 2 2ª 3 3 º 36
37
W0 ! k 3
(forfecare pura)
Deformatiile specifice plastice incrementale in directiile W1 si W 2 sunt: (dI1 p, dI2 p) = dP(1, -1) = (c, -c)
dW p ! 2 k max dI pi ! 2 k c ! i
4.5
2W 0 c 3
REGULA DE CURGERE ASOCIATA CU CRITERIUL DE CURGERE MOHR - COULOMB
Unele materiale fragile cum ar fi betonul sau terenul se idealizeaza uneori in analizele numerice ca materiale ideal elasto-plastice si in acest caz criteriul Mohr - Coulomb poate fi acceptat ca un criteriu de curgere. Suprafata de curgere Mohr - Coulomb este o piramida hexagonala neregulata. Functia de curgere se scrie sub forma:
W1
1 sin N 1 sin N !1 W3 2c cos N 2c cos N
sau in forma compacta:
m W1 - W3 = f c¶ W1>W2>W3
dP1 (m, 0, -1)
(4.26) (4.27)
W1 ¶ dP2 (m, -1,0) A
B dP1 (0, m, -1)
W2 , dI2 p
dP3 (0, -1, m)
W3 ¶ W2¶ dP5 (-1, m,0)
dP4 (-1, 0,m)
Figura 4.5 37
38
In cazul utilizarii acestui criteriu de plasticitate pentru a obtine expresiile pentru deformatia specifica plastica incrementala dI1p , dI 2p si dI3p trebuie considerate trei cazuri privind pozitia punctului asociat curgerii: cazul 1 - pe una din din fetele laterale ale suprafetei piramidale cazul 2 - pe o muchie muchie a piramidei piramidei cazul 3 - la apex (in varful piramidei) piramidei) Cazul 1:
Se considera ca punctul asociat starii de tensiune ce produce atingerea starii limita de curgere se afla pe suprafata plana AB unde W1>W2>W3. Conform regulii de curgere vom avea urmatoarele valori ale cresterii incrementale a deformatiilor specifice plastice: dI1 p = dPm ; dI2 p = 0 ; d I1 p = -dP
dP u 0
(dI1 p, dI2 p, dI3 p ) = dP(m, 0, -1) In figura 4.5 sunt prezentate seturile de valori ce se obtin pentru alte 5 combinatii algebrice posibile ale tensiunilor principale. In toate cazurile avem: a vem:
dI1p d I2p d I 3p ! dI pv ! dP ( m 1) f c/ cu m ! / u 1 f t Pentru m u 1 regula de curgere indica indica o crestere de volum cu exceptia situatiei m = 1 cand se ajunge la modelul Tresca de material. Se poate pune in evidenta partea asociata compresiunii volumului:
§ dI pc
! dP respectiv intinderii:
§ dI pt ! m dP .
Astfel de separari se pot face si pe celelalte cinci fete ale piramidei:
§ dI pt § dI pc
!m
astfel incat:
dI P ! § dI pt § dI pc Incrementul energiei plastice:
dW p ! W1dI1p W 2 dI 2p W 3dI 3p ! ( W1 m W 3 )dP 38
39
sau dW p ! p
sau dW !
/ c / c
§ dI
p c
§ dI m
p t
Cazul 2:
Punctul care descrie starea de tensiune se afla pe o muchie a piramidei hexagonale care contine punctul A. W1 > W2 = W3 si cele doua plane (care se intersecteaza) au ecuatiile: mW 1 - W3 = f C¶ mW 1 - W2 = f C¶ Se poate aplica descompunerea liniara asociata punctelor singulare: (dI1 p, dI2 p, dI3 p ) = dP1(m, 0, -1) + d P2(m, -1, 0) = [ (d P1+ dP2)m, - dP2, - dP1] In acest mod vectorul deformatiilor specifice incrementale plastice se afla intre normalele la cele doua suprafete adiacente. Pentru celelalte cinci muchii se obtin relatii similare. Modificarea volumului volumului in stadiul plastic este e ste
dI P ! [ (dP1+ dP2)m - (dP1+ dP2) in care se evidentiaza cele doua parti:
dI Pc ! (dP1+ dP2) dI tP ! (dP1+ dP2)m astfel incat:
dI P ! § dI pt § dI pc Se poate observa ca pentru m > 1 se obtine dI P
0
Incrementul energiei plastice
dW p ! W1dI1p W 2dI 2p W 3 dI 3p ! (W1 m W 3 )dP1 ( W1 m W 2 )dP 2 ! fC/ (dP1 dP 2 ) Cazul 3:
Punctul asociat atingerii curgerii se afla in varful piramidei. Toate marimile se calculeaza intr-o maniera similara. 4.6 39
PROPRIETATEA DE CONVEXITATE, NORMALITATE SI UNICITATE
40
PENTRU MATERIALUL IDEAL ELASTO-PLASTIC
Conditia de ireversabilitate a deformatiei plastice implica disiparea de energie pozitiva intr-un ciclu. Ca o consecinta, suprafata de curgere trebuie sa fie convexa iar deformatiile specifice plastice sunt normale la suprafata. Conditia de normalitate garanteaza unicitatea solutiei. Aceste proprietati generale se vor putea extinde si in cazul materialelor cu consolidare. 4.6.1 Proprietatea de convexitate convexitate a suprafetei de curgere curgere si de normalitate a regulii de curgere.
Deoarece deformatiile plastice sunt ireversibile lucrul mecanic asociat acestora nu poate fi recuperat la descarcare. Aceasta inseamna ca lucrul mecanic efectuat pentru o modificare a deformatiei plastice este intotdeauna pozitiv. Conditia de ireversibilitate va impune restrictii relatiilor intre tensiuni si deformatii. Wij
dIij p C B
f (W ij ) = 0 D A
Wij*
W ij , dIij p
a)
dIij p
dIij p dIij p
dIij p
Wij - Wij*
W ij - Wij*
b) Figura 4.6
Fie o stare de tensiune Wij* in interiorul suprafetei de curgere. La o crestere a incarcarilor exterioare starea de tensiune va urma drumul ABC (figura 4.6) pana la atingerea starii de curgere. Pana in acest moment lucrul mecanic produs corespunde unor deformatii 40
41
elastice. Sa presupunem ca incarcarile exterioare mentin pentru un timp scurt starea de tensiune Wij pe suprafata de curgere si se dezvolta deformatii plastice astfel incat lucrul mecanic ce se produce este asociat numai acestora. Daca incarcarile exterioare suplimentare dispar, starea de tensiune revine din situatia Wij la situatia Wij*. Drumul Drumul de descarcare CDE CDE este elastic. Pentru orice modificare a starii de tensiune in domeniul elastic, comportarea este elastica si complet reversibila, indiferent de drumul parcurs de la Wij* la Wij si invers, iar energia consumata este recuperata. Lucrul mecanic plastic produs de incarcarile exterioare pe ciclul incarcare - descarcare este un scalar si corespunde produsului dintre Wij - W i* j si incrementul vectorului deformatiilor deformatiilor specifice plastice dI pij . Cerinta ca acesta sa fie pozitiv implica: (Wij - Wij* ) dI pij u 0 Conditia exprimata prin produsul scalar de mai sus conduce la necesiatea ca unghiul intre cei doi vectori sa fie e 90O. - Suprafata de curgere sa fie convexa. Daca nu este indeplinita aceasta conditie este contrazisa restrictia de mai sus, unghiurile rezultand u 90O (figura 4.6 b). - Vectorul deformatiilor specifice incrementale, dI pij trebuie sa fie normal la suprafata de curgere intr-un punct curent sau intre normalele la suprafetele adiacente daca punctul este pe muchie (figura 4.6 c). Caracterul ireversibil al deformatiei plastice impune ca incrementul lucrului mecanic plastic sa fie pozitiv.
dWP ! W ijdI iPj ! dP W ij
xf u0 dW ij
Produsul scalar intre Wij si vectorul normal la hipersuprafata de curgere este pozitiv. Multiplicatorul dP trebuie sa fie pozitiv pentru ca dW sa fie pozitiv, astfel incat conditia de ireversibilitate a deformatiei plastice sa fie satisfacuta. Suprafata de curgere are expresia: f = F - k = 0 deci
xf xF ! xW ij xW ij
ceea ce permite scrierea:
dWP ! dP W ij
41
xF ! dPnF dW ij
42
F este o functie omogena de gradul n in tensiuni la majoritatea teoriilor de curgere aplicate pentru metale. 4.6.2 Unicitatea solutiei si conditia conditia de normalitate normalitate
Se considera ca problema care se analizeaza admite doua solutii, ambele corespunzand unei stari de incarcare data dTi pe AT. Se considera o variatie de deplasare dui pe Au si o modificare a fortelor masice dFi pe V (figura 4.7). Lucrul mecanic virtual considerand campul de deplasari ui si integrand pe V: *
´ dT d u dA ´ dT d u dA ´ dF d u dV ! ´ d *
i
i
i
i
i
V
u
T
*
*
i
ij
d I ij d V V
V
AT
dTi
Fi
V
AU
Wi , Ii , ui
Figura 4.7 Considerand apoi o alta stare astfel incat dTi(c) = dTi(b)
pe AT , si conditii de
continuitate exprimate in deplasari pe Au satisfacute: dui(c) = dui(b) si dFi
( c )
= dFi(b) prin
scaderea ecuatiilor de echilibru corespunzand celor doua situatii se poate scrie:
´ ( dW (i b) dW (i b) )( dI (i b) dI (i c) )d
! 0 ceea ce impune ca integrantul sa fie nul.
dI = (dWi (dIi = (dWi ((dIi e +(dIi p) Integrantul poate fi scris ca o forma patratica in tensiuni sau deformatii specifice si este o forma patratica pozitiv definita. Pentru ca relatia sa fie adevarata trebuie ca (dWi = 0 sau
(dIi = 0 ceea ce arata unicitatea solutiei. Pentru deformatiile specifice elastice, conform legii lui Hooke generalizate, (dWi (dIi e este pozitiv definit. Pentru produsul scalar (dWi (dIi p sunt posibile trei situatii: Cazul 1:
Ambele solutii sunt valabile in domeniul plastic. Cum ipoteza de baza a considerat
materialul ideal elasto-plastic, dW i( a ) , dW i( b ) si respectiv ( dWi trebuie sa fie in planul tangent la suprafata de curgere. Cum ( dI iP este normal la suprafata de curgere inseamna ca produsul scalar (dWi (dIi nu este negativ si este nul. 42
43
Cazul 2:
Solutiile corespund unei unei descarcari si (dI ijP =0 Rezulta ca dI este es te pozitiv definit (dI =
(dW ij( dIij ) Cazul 3:
O solutie este asociata incarcarii dW ij( a )si dI ijP ( a ) si alta corespunde unei descarcari
dW (ij b )si dI ijP( b ) . Atunci:
(dWij dI ijP ! dWij b dWija dIijP( b) ! dWij( b) dI ijP ( b ) dW ija dIijP ( b) Cum vectorul dW (ij b ) asociat unei descarcari va fi in interiorul suprafetei de curgere, acesta va face un unghi obtuz cu dI ijP( b ) normal la suprafata de curgere f, produsul scalar va fi deci:
dW (ij b ) dI ijP( b ) 0 de unde rezulta: (dWij dI ijP ( b ) ! dW ija dI ijP ( b )
0 ceea ce conduce la
egalitatea celor doua solutii deoarece ordinea in care se impun cele doua solutii nu trebuie sa afecteze semnul produselor (dW ij (dI ijP . In caz contrar daca valorile celor doua solutii s-ar inversa ar aparea o schimbare de semn ceea ce nu corespunde situatiei in care ambele solutii conduc la atingerea domeniului plastic de comportare.
4.7
RELATII INCREMENTALE TENSIUNI - DEFORMATII SPECIFICE
In analizele numerice ingineresti cea mai uzuala este metoda incrementala folosind rigiditatea tangenta. Relatiile constitutive obtinute nu pot fi aplicate direct. Incrementul deformatiei specifice totale se poate considera sub forma:
dI ij ! dI ije dI pij in care:
dI ije !
ijkl dW kl
dar Wkl = p Hij + sij = I1/3 + sij iar sij = 2Geij
1 1 I1H ij s 9K 2G ij dsij dI1 e In final rezulta: dI ij ! H 9K ij 2G
I ij !
43
44
dI pi ! dP
iar
x xW i
Prin adunarea celor doua componente se obtine:
dI i ! dI ie dI pi !
i kl dW kl + dP
ds i x x dI + dP ! 1 Hi 2G xW i 9K xW i
In aceasta relatie dP este un actor nedeterminat nedeterminat cu valoarea: valoarea: dP = 0 daca daca ( < 0) sau daca daca ( = 0 si d < 0) dP > 0 daca daca = 0 si d = 0 Conditia ca starea de tensiuni Wi asociata atingerii curgerii, modi icata cu incrementul dWi , sa se a le pe sup supra ra ata de de curge curgere re se scrie scrie:: (Wi + dWi ) = (Wi ) + d = (Wi ) Aceasta relatie implica: d =0
x dW ! 0 xW i i
ar
dW i ! C i kl (dI kl dI pkl ) ! C i kl dI kl dPC i kl
x xW kl
(4.30)
Rezulta :
x C dI xW i i kl kl dP ! x x C rstu xW rs xI tu
(4.31)
respectiv:
x x « » C C i mn pqkl ¬ ¼ xW mn xW pq ¼ dI kl dW i ! ¬C i kl x x ¬ ¼ C rstu ¬ ¼ xW rs xI tu ½ Termenul din paranteza reprezinta tensorul elasto - plastic sau modulul tangent pentru un material ideal elasto - plastic.
44
45
xf xf C xW mn xW pq pqkl xf xf C rstu xW rs xI tu
C ijmn ep ! Cijkl C ijkl
(4.32)
Relatiile obtinute constituie cea mai generala formulare a ecuatiei constitutive pentru un material ideal elasto - plastic. Se Se poate vedea ca incrementul tensiunilor tensiunilor poate fi determinat determinat unic prin functia de curgere f (Wij ) si prin incrementul deformatiei dIij. Se poate observa de asemenea ca, daca starea de tensiune este cunoscuta si incrementul deformatiei specifice este prescris, incrementul tensiunilor poate fi determinat. Daca insa se cunoaste starea de tensiune si se prescrie incrementul tensiunilor atunci incrementul deformatiei specifice asociat nu este unic determinat deoarece dP depinde de dIij si deci este nedeterminat. 4.7.1 Relatii constitutive in termeni de constante constante elastice E si Q sau G si K
Componentele tensorului constantelor elastice Cijkl, tensor care face legatura intre tensorul tensiunilor Wij si tensorul deformatiilor Iij (Wij = Cijkl Iij ) , pentru un material elastic liniar si izotrop, se pot scrie sub forma:
C ijkl !
« 2Q » H H H H H H 21 Q ¬-1 2 ij kl ik jl il jk ¼½
(4.33)
iar modulul volumic: p = Woct = K Ikk
K!
31 2Q
G!
21 Q
Prin substitutie in relatia (4.31) a relatiei (4.33) se obtine:
dP !
Dar Q !
45
xf xf Q dI ij dI kk H ij xW ij 1 2Q xW ij ¸ Q ¨ xf xf xf H rs ¹ © xW rs xW rs 1 2Q ª xW rs º
1 3K 2G expresia (4.34) devine: 2 3K G
2
(4.34)
46
dP !
xf 3K 2 G xf dI ij dI kk H ij xW ij 6G xW ij xf x f 3K 2G ¨ xf ¸ H rs ¹ © xW rs xW rsrs 6G ª xW rs º
2
(4.35)
Daca se substituie ecuatia (4.33) in relatia (4.30) se obtine:
« E xf » xf E EQ EQ H mn H ij ¼ dW ij ! dI dI H dP ¬ Q xW Q Q xW 1 Q ij 1 Q 1 2Q kk ij 1 1 1 2 ij nm ½ (4.36) sau in termeni de G si K :
« xf ¨ » xf 2 H mn H ij ¼ dW ij ! 2Gde ij KdI kk H ij dP ¬2G © K G ¸¹ 3 º xW nm - xW ij ª ½
(4.37)
in care deij = dIij - dIkk Hij incrementul tensorului deviator al deformatiilor specifice. Pentru o serie de materiale functia de curgere este exprimata ca functie de invaraintii I1 si J2 avand forma generala: f(Wij) = F( I1 , J 2 ) - k = 0 Se poate scrie:
xf xf xI1 xf x J 2 ! xW ij xI1 xW ij x J 2 xW ij
sau:
xf xf xf 1 ! H ij s ij xW ij xI1 2 J2 x J2
1 2
in care J 2 ! sijs ji iar W ij ! sij
(4.38)
W kk 3
Expresia (4.37) devine:
« xf G xf » dW ij ! 2Gde ij KdI kk H ij dP ¬3K H ij s ij ¼ x I x J J ¼½ 1 2 2 -¬ In care dP are forma:
dP !
4.8
¨ xf ¸ G xf 3KdI kk © ¹ s mn de mn ª xI1 º J2 x J2 2
¨ xf ¸ ¨ xf ¸ 9K © ¹ G© ¹ ª xI1 º ª x J 2 º
2
(4.39)
MODELUL PRANDTL - REUSS (TEORIA J 2 ) 46
47
Aceasta teorie deriva din criteriul crite riul de curgere von Mises: f = J2 - k = 0
(4.40)
si este cel mai simplu model pentru materialul ideal elasto-plastic. Substituind Substituind functia de curgere f in relatia (4.39) se obtine dP:
dP !
dW ij ! 2 de ij KdI kk H ij dP
dI ij !
J2
s mn de mn
s de ! mn mn J2
s ij ! 2 de ij KdI kk H ij
J2
de mn s mn s ij J2
ds ds s de xf dI1 dI1 1 ! H ij ij dP H ij ij mn mn sij ! xW ij 9 K 9K 2 2 J2 2 J2 !
ds s de dI1 H ij ij mn 2mn sij 9K 2 2k
dW ij ! 2 de ij KdI kk H ij
s mn de mn sij 2 k 2
(4.41) (4.42)
Satisfacerea regulii de curgere presupune: J2 = k 2 si df !
xf dW ! s ds ! 0 xW ij ij ij ij
Termenul smn demn reprezinta cresterea de energie
e p s mn de mn ! smn de m n de mn
si
de emn !
ds mn 2
(4.43)
dJ2 = smn dsmn = 0
Ecuatia (4.93) se reduce la
s mn de mn ! smn de pmn indicand ca in domeniul elastic cresterea lucrului mecanic se datoreaza numai deformatiei plastice.
dI pkk ! dI kk dI ekk ! 0 ceea ce c e implica o modificare de volum nula nula in domeniul plastic
dI kk ! dI ekk ! 47
dI1 3K
48
Cresterea deformatiei specifice plastice are numai componente date de deviatorul deformatiilor specifice:
dI pi ! dP
xJ xf ! dP 2 ! dPs i xW i xW i
iar cresterea de energie acumulata prin deformatii plastice este:
dW p ! W i dI pi ! dPW i si ! 2dPJ 2 ! 2dP k 2 dW p smn de pmn smn demn Rezulta: dP ! ! ! 2k 2 2k 2 2k 2 Pentru dP = 0 ecuatia constitutiva se reduce la legea lui Hooke in forma diferentiala. In concluzie, materialul Prandtl - Reuss se caracterizeaza prin: - deformatiile plastice incrementale depind de valorile efective ale tensorului deviator al tensiunilor si de valorile incrementale dWi care au condus la aceasta stare; - directiile principale ale tensorului deformatiilor specifice incrementale si ale tensorului tensiunilor coincid; - deformatiile specifice de volum in domeniul domeniul plastic sunt nule; - magnitudinea deformatiilor specifice plastice incrementale este determinata de scalarul dP care este raportat la incrementul energiei plastice acumulate dW p. 4.9
MODELUL DRUCKER - PRAGER
Suprafata de curgere conform criteriului Drucker - Prager este: f = J 2 + E I1 - k unde E si k sunt constante pozitive ce depind de material. Relatia intre tensiuni si deformatii corespunzand acestei functii de curgere este
dI i !
ds xf dI1 H i i dP xW i 9 2
s xf xf xf 1 ! Hi si ! EH i i xW i xI1 2 J2 x J2 2 J2 In aceste conditii rezulta:
dI i !
ds ¨ s ¸ dI1 H i i dP© i EH i ¹ 9 2 ª 2 J2 º
48
49
G s mn de mn J2 9KE 2 G
3KEdI kk iar : dP !
Deformatia plastica de volum este: dI pkk ! 3EdP Aceasta arata ca deformatia plastica trebuie sa fie insotita de cresteri de volum dacaE { 0, aceasta fiind o proprietate de dilatare si in acelasi timp o consecinta a dependentei functiei de curgere de presiunea hidrostatica prin intermediul lui I1. Rezulta ca orice suprafata de curgere deschisa la un capat indica o crestere de volum in cazul deformarii plastice. Geometric, aceasta se poate descrie:
dI pb ij dI pa ij P
V
dI pij
Figura 4.8 Unde: dI pb ij reprezinta cresterea de volum, \ !
1 V ! 2J 2 I1 iar V 3
Daca suprafata de curgere este deschisa in zona tensiunilor negative, componenta orizontala dI pb ij este intotdeauna pozitiva indicand o crestere de volum. Incrementul Incrementul deformatiei specifice totale a volumului volumului : e dI kk ! dI kk dI pkk
rezulta:
¨ G ¸ « © ¹¬W mn dI mn I 1 ¨© dI kk ¸¹ 3K EdI kk »¼ © J ¹ª 3 º ½ dI 1 3E ª 2 º dI kk ! 9 K G 9 K E 2 S-a tinut seama ca smn = Wmn - Wkk demn = dImn - dIkk ; Wkk = I1/3 si WmndIkk = Wkk dImn { 0 pentru m = n
= 0 pentru m { n 49
50
Se poate obtine prin grupare de tensori si k = J 2 + E I1 conform regulii de curgere
dI kk !
2dI 1 3E 9 E 2 W dI 3 k k mn mn
respectiv:
¨ ¸ dW i ! 2 de i dI kk H i dP ©© s i 3 EH i ¹¹ ª J2 º sau dW i ! Ciepmn dI mn in care:
C iepmn
4.10
s i 3 EH i J 2 ¨ ¸H H 2 ! 2 H in © ¹ 9 E2 3 º i mn ª
¨ ¸ © ¹ EH s 3 mn ¹ © J mn ª 2 º
CAZUL GENERAL AL MATERIALULUI IZOTROP
Pentru un material izotrop general, suprafata de curgere poate fi scrisa sub forma: f ( I1, J2, J3) = 0
xf xf xI1 xf xJ 2 xf xJ 3 ! xW ij xI1 xW ij xJ 2 xW ij xJ 3 xW ij sau:
xf ! B0H ij B1s ij B2 t ij xW ij in care B0, B1 si B2 sunt:
B0 !
xf ; xI1
B1 !
xf ; xJ 2
B2 !
xf xJ 3
sij sunt componentele tensorului deviator al tensiunilor: sij !
xJ 2 xW ij
tij sunt patratele componentelor tensorului deviator al tensiunilor
t ij !
xJ 3 2 ! s ik s kj J 2 H ij xW ij 3
Pentru cele trei criterii enuntate anterior se pot obtine coeficientii B: - criteriul von von Mises: Mises: f = J2 - k 2 50
51
B0 = 0, B 1 = 1, B 2 = 0 - criteriul Drucker Drucker - Prager : f = J 2 + E I1 - k B0 = E, B1 = 1/(2 J 2 ) , B2 = 0 - criteriul Mohr - Coulomb :
J T T 1 f (W ij ) ! I1 sin N J 2 sin ¨© U ¸¹ 2 cos¨© U ¸¹ sin N c cos N ª 3 º ª 3 º 3 3 Avand in vedere ca:
cos U !
3 s1 3 3 rezulta: cos3U ! 2 J2 2
J3
J2
3
De asemenea:
xU 3 3 J3 ctg3U ! ! xJ 2 4 sin 3U J 5 2 2J 2 2
xU 3 1 ctg3U ! ! xJ 3 2 sin 3U J 3 2 3J 3 2 Expresiile coeficientilor B se pot calcula din functia f si se obtine:
B0 !
xf sin N ; ! xI 1 3
T sin¨© U ¸¹ xf 3 º ®« ¨ U T ¸ctg 3U» sin N «ctg¨ U T ¸ ctg3U» ¾ ; ! ª B1 ! 1 ctg © ¹ ¹ ¯ ¼ ¬ ©ª ¼¿ xJ 2 3 º 3 2 J 2 °¬3 ª º ½ ½À
T T sin¨© U ¸¹ sin N 3 cos¨© U ¸¹ xf ª 3 º ! ª 3 º B2 ! xJ 3 2J 2 sin 3U
T - Criteriul Tresca: f ( J 2 , U) ! 2 J 2 sin¨© U ¸¹ W 0 ! 0 ª
B0 !
3 º
xf ! 0; xI1
T sin¨© U ¸¹ ª 3 º « xf ¨ U T ¸ ctg3U» ; ! B1 ! 1 c t g ©ª ¹ ¬¼½ xJ 2 3 º J2 51
52
2
T 3 cos¨© U ¸¹ ª 3 º x ! ! xJ 3 2J 2 sin 3 U
Pentru alte criterii de curgere se vor obtine in mod relatii similare. In aplicatiile aplicatiile de element init relatiile constitutive constitutive ale materialelor sunt re lectate prin matricea de rigiditate a materialelor elasto - plastice:
ep i mn
ep i kl dI kl
dW i ! ep i kl
! i kl pi kl
i kl
reprezinta tensorul constantelor elastice pentru domeniul elastic de comportare.
i kl
iar
!
« 2Q » H H H H H H 21 Q ¬-1 2Q i kl ik l il k ¼½
p i kl
este tensorul constantelor asociat de ormatiilor plastice plastice considerand modulul modulul tangent tangent
de elasticitate.
x
x xW mn xW pq pqkl x x rstu xW rs xW tu
i mn p i kl
Notand cu Hi !
i mn
x xW mn
si h !
!
x xW rs
x rstu xW tu
Se obtine: p i kl
Hi H kl ! h
Dar
x ! xW i
0H i
1s i
2ti
2 3
2 3
Avand in vedere ca: t i ! s ik sk J 2H i ; t ii ! s ik ski J 2 ;
1 J 2 ! si s i 2
2 t i si ! ¨© s ik s k J 2H i ¸¹ si ! si s k ski ! 3J 3 ª º 3 2 2 2 t i t i ! ¨© sik s k J 2H i ¸¹ ¨© sik sk J 2H i ¸¹ ! J 22 ª º ª º 3 3 3 52
53
H ij ! C ijmn
» E « 2Q xf H H H H H H B H B s B 2 t mn xW mn 21 Q ¬-1 2Q ij mn im jn in jm ¼½ 0 mn 1 mn
« Q » !2 ¬ H ij H mn H im H jn H in H mj ¼ B0H mn B1s mn B2 t mn ! -1 2Q ½ ¨ 3Q ¸ ¨ 1 Q ¸ B0H ij B0H ij B1sij B2 t ij¹ ! 2 © B0 H ij B1sij B2 t ij¹ !2 © ª 1 2Q º ª 1 2Q º h!
¸ xf xf xf ¨ 1 Q !2 C ijmn B0 H ij B1sij B2 t ij¹ ! © º xW ij xW mn xW ij ª 1 2Q
¨ 1 Q ¸ B0H ij B1sij B2 t ij¹ B0H ij B1s ij B2 t ij! !2 © ª 1 2Q º ¨ ¸ 1 Q 2 2 B12 J 2 B22 J 22 6 B1B2 J 3 ¹ ! 2 © 3B30 ª 1 2Q 3 º Relatiile s-au obtinul tinandu-se seama de proprietatile simbolului lui Kronecker Hij si de proprietatile inmultirii tensorilor. Vectorii tensiunilor si deformatiilor specifice incrementale sunt: {dW} = { d Wx, dWy, dWz, dXyz, dXxz, dXxy } {dW} = { d Ix, dIy, dIz, dKyz, dKxz, dKxy } in care dKyz = 2 dIyz respectiv vectorul vectorul asociat tensorului tensorului H este Hij = { Hx, Hy, Hz, Hyz, Hxz, Hxy } in care:
¨ 1 Q ¸ « 1 Q 2 » H x ! 2 © B0 B1sx B2 t x ¹ ! 2 ¬ B0 B1sx B2 ¨© s2x s2xy sx2z J 2 ¸¹ ¼ ª ª 1 2Q º 3 º ½ - 1 2Q H yz ! 2 B1s xz B2 t yz ! 2 B1s xz B2 s xzs xy s yzs y s yzs z
?
A
ep Tensorul Cijkl in forma matriceala devine:
?C A! ?CA ?C A ep
p
in care conform legii lui Hooke pentru materiale elastice liniare si izotrope:
53
54
?
?
« 4 ¬ 3 ¬ 2 ¬ 3 ¬ A! ¬ 2 ¬ 3 ¬ 0 ¬ 0 ¬ ¬- 0
2 3 4 3 2 3 0 0 0
2 3 2 3 4 3 0 0 0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0 »¼ ¼ 0¼ ¼ 0¼ ¼ 0¼ ¼ 0¼ ¼½
« H 2x H x H y H x H z H x H yz H x H xz H x H xy » ¬ ¼ 2 H H H H H H H H H y z y yz y xz y xy y ¬ ¼ 2 Hz H z H yz H z H zx H z H xy ¼ p A! 1h ¬¬ ¼ 2 H H H H H yz yz zx yz xy ¼ ¬ 2 ¬ sim H zx H zx H xy ¼ ¬ ¼ 2 H xy -¬ ½¼ Tinand cont de expresiile
!
E
31 2Q
!
E 21 Q
se obtine:
4 3
5.
!
1 Q E si 1 2Q 1 Q
2 3
!
Q E 1 2Q 1 Q
APLICAREA METODEI ELEMENTULUI FINIT LA OBINEREA RSPUNSULUI STRUCTURILOR SUPUSE LA ACIUNI STATICE I DINAMICE 5.1 INTRODUCERE
Stadiul de comportare al unei structuri depinde atât de valoarea încrcrilor exterioare, cât i de caracteristicile fizico-mecanice ale materialelor care intr în alctuirea elementelor de rezisten. Pentru a controla stadiile parcurse de structur se poate folosi metoda elementului finit cu formulare în deplasri (MEF). Punctul de plecare al metodei îl constituie un câmp de deplasri aproximative care, în general, nu satisfac condiiile de continuitate pe frontierele 54
55
elementelor finite. Identificarea stadiului de comportare se poate face la nivel de "punct material" (controlând nivelul tensiunilor) sau la nivel "global" (controlând eforturile secionale). Primul mod de abordare este general i utilizeaz procedeele Teoriei Plasticitii. Momentul atingerii limitei de curgere se stabilete pe baza unui criteriu de plasticitate asociat modului de comportare a materialului. Deoarece aceast procedur necesit un timp considerabil de calcul i de prelucrare a rezultatelor, în analizele inginereti este folosit numai la studiul comportrii unor zone de interes deosebit sau atunci când nu poate fi aplicat teoria barelor. Al doilea mod de abordare este destinat structurilor din bare sau alctuite din elemente care pot fi reduse la axa lor. În acest caz, stadiul de comportare este furnizat de relaia dintre eforturile secionale i curba limit de interaciune stabilit pentru materiale cu comportare ideal elasto-plastic, specifice structurilor din oel. Acest mod de analiz este mult mai simplu i mai apropiat de calculul ingineresc al construciilor metalice. Spre deosebire de prima manier de abordare, prin aceast procedur nu poate fi evideniat zona pe care se extind incursiunile în domeniul elasto-plastic, acestea reducându-se la nivelul unei seciuni. Astfel, zona de articulaie plastic se reduce la o seciune care, în teoria barelor, devine o articulaie punctual. În ambele moduri de abordare, rspunsul în domeniul domeniul elasto-plastic se obine prin calcul incremental "pas-cu-pas", stadiul de comportare fiind controlat la finalul fiecrui pas. În funcie de stadiul atins, se menine constant sau se corecteaz matricea de rigiditate. De asemenea, se verific realizarea echilibrului i, dac este necesar, se efectueaz corecii specifice procedului numeric de rezovare. 5.2 UTILIZAREA TEORIEI PLASTICITII ÎN MEF, ÎN CAZUL MEDIILOR CONTINUE DEFORMABILE Condiia de echilibru poate fi exprimat la orice moment de solicitare corespunztoare încrcrii sau descrcrii folosind principiul lucrului mecanic virtual [C1]: (5.1) ´ W ijH I I ij dV ! ´ T iH ui dA ´ qiH ui dV V
A
V
în care H ui sunt deplasrile virtuale incrementale, H I I ij sunt deformaiile specifice virtuale incrmentale, T i sunt fore distribuite pe suprafaa corpului, iar qi sunt forele masice. În form matriceal, ecuaia lucrului mecanic virtual se scrie:
´ dV ! ´ u T dA ´ u q dV T
T
V
în care
A
A
?
A
T ! u1 u 2 u3 , u ! H u1 H u 2 H u3
T
I x H I I y H I I z HK yz HK zx HK xy ! I x I y I z K yz K zx K xy , T ! H I
T
? ! ?W
x
W y W z X yz X zx
A X A
(5.2)
V
T
u
?
T
?
A
xy
În cazul analizei geometrice liniare sau în analize bazate pe ipoteza micilor deformaii, ! BU i ! B U (5.3)
55
56
în care U este vectorul deplasrilor nodale. Acesta se poate exprima ca o funcie de câmpul de deplasri acceptat u , cu relaia u! U (5.4) în care
este matricea funciei de interpolare a deplasrilor, denumit i funcie de form. Matricea B de legtur între deformaiile specifice i deplasrile nodale U are expresia: B ! LN N
în care L este matricea operatorului diferenial,
«x 0 0» ¬ x x ¼ ¬ ¼ x ¬0 0¼ y x ¬ ¼ x¼ ¬ ¬ 0 0 x z ¼ L!¬ ¼ x x ¬0 ¼ x x z y ¬ ¼ ¬x x¼ ¬ x z 0 x x ¼ ¬x x ¼ ¬ 0¼ ¬- x y x x ¼½ astfel încât
! Lu
Înlocuind relaiile (5.3) i (5.4) în relaia (5.2) se obine ecuaia de echilibru care guverneaz mecanica mediilor deformabile în ipoteza micilor deformaii:
´ BT dV ! ´ NT T dA ´ NT q dV V
A
(5.5)
V
sau
´B
T
dV ! R
V
în care R ! ´ N T TdA ´ N T q dV A
V
este vectorul forelor nodale echivalente. ec hivalente. Dac se consider c relaia între tensiuni i deformaii specifice este liniar, ! C , C fiind matricea constantelor elastice, se obine ecuaia de echilibru pentru analize liniare, în care
KU ! R
´
T
K ! B C B dV V
este matricea de rigiditate a structurii. 56
57
Într-o analiz elasto-plastic, relaiile dintre tensiunile i deformaiile specifice sunt neliniare i relaia (5.5) este o ecuaie neliniar în funcie de deformaiile specifice, respectiv de deplasrile nodale U. Pentru rezolvarea ecuaiei (5.5) se aplic metode iterative. Întrucât relaiile constitutive elasto-plastice depind de istoria deformaiilor, este necesar o analiz incremental care, pentru o variaie a încrcrii exterioare s conduc la variaiile corespunztoare ale deplasrilor, deformaiilor specifice i tensiunilor. Într-o astfel de analiz, încrcarea total R este aplicat incremental, pas cu pas [C1]. La un pas de încrcare ³m+1´, încrcarea se exprim prin:
m 1R ! m R m 1R Se presupun cunoscute soluiile m U , m , m la un pas anterior, iar la pasul ³m+1´ asociat creterii încrcrii R se poate scrie
m 1U ! m U U m 1 ! m Ecuaia (5.5) devine
m 1F !m 1R
în care
m 1F !
´B
T
(5.6)
m 1 dV
V
reprezint forele interne la pasul ³m+1´. Rezult ´ BT dV !m 1 R ´ BT m dV V
V
Pentru rezolvarea ecuaiei de echilibru (5.6) dintre forele exterioare m 1R i forele interne m 1F sunt necesare dou tipuri de algoritme pentru determinarea incrementului deplasrilor (U i a tensiunilor incrementale . Primul algoritm va rezolva ecuaiile de echilibru neliniar . Se pot folosi metode din familia Newton, cum ar fi metoda NewtonRaphson i metoda Newton-Raphson modificat prezentate în capitolul 3. Al doilea algoritm este necesar pentru determinarea tensiunilor incrementale corespunztoare deformaiilor specifice incrementale , pentru o stare de tensiuni i o istorie a deformaiilor date [C1]. 5.3
ALGORITMI PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR NELINIARE
Considerand ca starea de tensiuni {W} este o functie de deplasarile {U} ecuatia (5.3) se poate scrie: =( (m+1){U}) = (m+1){F((m+1){U})} -
(m+1)
{R}.
Metodele iterative de tip Newton care se vor prezenta, constituie in formularea in deplasari metode de iterare a echilibrului. 5.3.1 Metoda Newton ± Raphson
Sa consideram ca la iteratia (i-1) s-a obtinut aproximatia deplasarilor reale (m+1) {U}i-1. 57
(m+1)
{U},
58
Se dezvolta in serie Taylor functia reziduala =( (m+1){U}) = 0 si neglijand termenii de ordin superior:
=
( m 1)
{U}( i 1)
x= xU
( m 1 )
{U}( i1 )
( m 1)
{U} ( m 1) {U}( i 1) ! 0
sau:
x xU
( m 1 )
( m 1) { }( i 1) ( m 1) { } ! 0
(i) {U}( i 1 ) {(U}
in care s-au facut notatiile:
{(U}( i ) ! ( m 1){U} ( m 1) {U}( i 1) si { }( i 1) !( m 1)
_
( m 1)
{U}( i 1)
a
Se poate observa ca: m 1
? A
i 1
!
x xU
( m 1 )
{U}( i 1 )
! ´ [ ]T [
ep
]
( m 1 )
{U } ( i 1 ) [
]d
in care:
[
ep
]
( m 1)
( m 1 )
{U } ( i 1 )
= matricea elasto - plastica asociata deplasarilor ( m 1) {U}( i 1)
? A( i 1) = matricea de rigiditate tangenta a structurii.
Algoritmul Algoritmul de integrare Newton- aphson este:
? A( i 1) _(Ua( i ) ! ( m 1) _ a( m 1) _ a( i 1) ( m 1) _Ua( i ) !( m 1) _Ua( i 1) {(U}( i ) ( m 1)
( m 1)
_Ua( 0 ) ! ( m ) _Ua
( m 1)
[ ]( 0 ) ! ( m ) [ ]
( m 1)
_ a( 0) ! ( m ) _ a Metoda Newton Newton -
i = 1, 2, ... n, ... pana la atingerea convergentei
aphson are o rata mare de convergenta si este quadratic
convergenta. Totusi trebuie sa retinem ca matricea de rigiditate tangenta
( m 1)
[ ]( i 1) este
factorizata si evaluata la fiecare pas al iteratiei, ceea ce poate fi prohibit. Pe de alta parte pentru un material perfect plastic sau cu degradare, matricea de rigiditate tangenta poate deveni singulara sau neconditionata.
2
(U)
58
59 2 (2) 2 0
2 (1)
=1
Figura 5.1 Metoda Newton - Raphson
5.3.2 Metoda Newton - Raphson modificata modificat a
Aceasta metoda consista in folosirea unei rigiditati tangente constante pentru toate iteratiile dintr-un pas de incarcare. Cu alte cuvinte, matricea de rigiditate tangenta ( m 1)
[K ]( i 1) din pasul de incarcare (m+1) in iteratia (i - 1) din interiorul acestui pas coincide (n)
cu matricea de rigiditate tangenta
[K ] evaluata in pasul de incarcare anterior, n < m+1 si
care se pastreaza aceeasi pentru toate iteratiile din pasul respectiv. Daca ( n ) [K] ! ( 0) [K ] in care
(0)
[ K ] este matrice de rigiditate initiala elastica corespunzatoare primului pas de
incarcare si se pastreaza aceeasi pentru toti pasii se obtine metoda tensiunilor initiale. In metoda Newton - Raphson modificata matricea de rigiditate este deci evaluata la inceputul fiecarui pas de incarcare si in timpul iteratiilor se pastreaza constanta. De exemplu pentru pasul (m+1) se obtine: ( m 1 )
[ K ](0 ) ! ( n ) [K ]( 0 ) ! ( m ) [ K ](0 )
Schema de iteratie a metodei Newton Newton - Raphson modificata se exprima e xprima astfel: (m)
si:
( m 1)
_ a( 0) ! ( m ) _ a; 2
59
? A_( a( i ) ! ( m 1) _R a( m 1) _ a( i 1) ( m 1) _ a( i ) !( m 1) _ a( i 1) _( a( i )
R
( m 1)
_ a( 0 ) ! ( m ) _ a ( i = 1,2,......) ( )
apoi:
60
(U(1)
...............
Figura 5.2 5.2 Metoda Newton - Raphson modificata modificata Iteratiile ³i´ au loc pana cand criteriul de convergenta impus este satisfacut. Pentru un sistem neliniar cu un grad de de libertate, se reprezinta grafic in figura de sus principiul acestei metode. Metoda de integrare Newton - Raphson modificata implica putini pasi pentru evaluarea si factorizarea matricii de rigiditate si prin urmare efortul de calcul este mult redus. Fata de metoda Newton - Raphson metoda Newton - Raphson modificata converge insa mai incet, fiind necesare mai multe iteratii. In situatia unui material cu deformatii degradabile metoda este foarte inceata. Rata de convergenta nu depinde de numarul de pasi la care se actualizeaza matricea de rigiditate. Daca se produce o modificare a incarcarilor exterioare cum ar fi descarcarea, metoda nu conduce la convergenta iteratiilor, cu exceptia cazului in care se actualizeaza matricea pentru aceasta situatie. 5.3.3
Metoda quasi Newman (QN)
Aceasta este un compromis intre metoda Newton - Raphson si metoda Newton Raphson modificata. Metoda Newton - Raphson implica evaluarea si factorizarea matricii de rigiditate a structurii la fiecare iteratie, si ca urmare un timp de calcul mai lung. Metoda Newton - Raphson modificata pastreaza aceeasi matrice de rigiditate pentru toate iteratiile dintr-un pas de incarcare si rata de convergenta este slaba. Spre deosebire de aceste doua metode, metoda quasi -Newton angajeaza o matrice de ordin inferior la actualizarea ulterioara a matricii de rigiditate, ( m 1) [ K 1 ]( i 1) ceea ce reprezinta o aproximare secanta a matricii ( m 1) [K 1 ]( i ) . Metoda apartine clasei de metode cunoscuta sub numele de metode cu actualizarea matricilor.
60
61
In cele ce urmeaza se prezinta o metoda de ordin 2, Broyden - Fletcher - Goldfarb Shanno (BFGS) (BFGS) folosita uzual uzu al cu algoritmul quasi - Newton (Bathe 1982). Se definesc: incrementul deplasarii {H} ca:
_Hai !( m 1) {
}( i ) ( m 1) { }( i 1)
vectorul fortelor neechilibrate {R}si incrementul sau {K}:
_Rai !( m 1) {R} ( m 1) {F}(i ) _K ai ! {R}( i 1) {R }( i ) astfel incat matricea actualizata ( m 1) [ ]( i ) satisface ecuatia quasi - Newton: ( m 1)
(i)
(i )
[ ]( i ) _Ha ! _K a
Pentru o matrice de rigiditate simetrica si pozitiv definita formula de recurenta a inversei matricii este: ( m 1)
[
1 ( i )
] ! [A ]( i 1) T ( m 1) [ ]( i 1) [A ]( i 1)
in care [A] este matricea de modificare cu expresia: [A](i-1) = [I] + {V}(i-1){W}(i-1)T unde [I] este este matricea matricea unitate unitate de de aceeasi dimensi dimensiune une cu [ ] , {V} {V} (i-1) si {W}(i-1) sunt vectori exprimati in termeni de {H}, {R} si { K}. Procedura de iteratie pentru un pas de iteratie i (i = 1,2,«.) este compusa din doi pasi: Pasul 1: Se evalueaza incrementul deplasarii:
_( a! ( m 1) ? A( i 1) _R a(i 1) = [ A]( i 1) T .............. [A]1T [ si _Ha(i ) ! _( a ( m) { }( i ) ! ( m 1) { }( i 1) _( a
1
][A]1 ........ [A]( i1) {R }( i1)
se obtine:
Calculul in acest pas implica produse vectoriale interne, produse scalare de vectori si rezolvarea unui set de ecuatii liniare cu o matrice a coeficientilor ( m ) ? Afactorizata anterior. Pasul 2: Calculul vectorilor de corectie {V}(i) si {W}(i) care se vor utiliza in pasul urmator de iterare.
_Va(i ) ! c (i ) ( m 1) ? A( i 1) _Ha(i ) _Ka(i ) ! _R a( i ) 1 c ( i) _R a(i 1) _ _ Ha( i ) Ha( i ) ( i) _Wa ! ( i) T ( i) ! _Ha _Ka G(0) G(1)
in care c(i) este un factor pentru modificare matricii [A]: 61
62 ( i )T (i ) ¨ ¸ _ a _ a H K c ! ©© ( i ) T ( m 1) ( i 1) ( i ) ¹¹ ? A _Ka º ª _Ha (i)
1/ 2
!
(0) (1) ( 0)
Pentru a se evita actualizari numerice nepotrivite, actualizarea va fi facuta numai daca c(i) este mai mic decat o toleranta prestabilita (de exemplu 105). (x) este un produs de vectori: ( x ) ! ( ( m1) {U}( i1) x_(Ua) ! _(UaT
?
( m 1)
_R a _F( m 1) {U}( i 1) x_(UaaA
In pasul al doilea este necesar calculul fortelor echivalente pentru starea de tensiune ce corespunde deplasarilor ( m 1) {U}( i ) . Aceasta iterare continua pana cand se ajunge la o convergenta ceruta. Pentru cazul unui sistem neliniar cu un grad de libertate procedura este prezentata in figura 5.3
2
R
R
F (U)
K
(i)
K(n)
2 (2) 1
R
K(1) H(i) H(n)
(2)
(U(2)
F(1)
1
U
F(2)
(U(i)( U(n)
2 (1) 2 (i-1) 2 (i) 2
U
U
U
U
Figura 5.3 Efortul de calcul in procedura quasi-Newton pentru un pas de iterare este mult mai mare decat in metoda Newton-Raphson modificata dar mai mic decat in metoda Newton Raphson. Aceasta metoda are o convergenta mai buna decat ce a metodei Newton-Raphson modificata, rata de convergenta situandu-se intre o rata de convergenta liniara si una quadratica. Matricea de rigiditate in aceasta metoda este mai putin importanta importanta decat in celelalte doua metode in care se folosesc matrici de rigiditate actualizate. De fapt matricea de rigiditate elastica initiala a structurii poate chiar sa fie folosita pentru toti pasii incrementali fara a pierde din eficienta. Ca o consecinta, aceasta metoda este potrivita pentru analiza solidelor elasto plastice care prezinta consolidare si degradarea deformatiilor sau pentru analiza solidelor perfect plastice. Nu apar dificultati in caz de descarcare si este poate cel mai bun algoritm disponibil. 62
63
5.4 DETERMINAREA RSPUNSULUI STRUCTURILOR ALCTUITE DIN BARE, SOLICITATE ÎN DOMEN DOMENIUL IUL ELASTO-PLASTIC Prin scderea ecuaiilor de echilibru dinamic scrise la momentele de timp t i t dt se obine u CT du M d
K T du ! dP
(5.21)
în care dP este incrementul încrcrii aplicate la nodurile structurii, M este matricea maselor, iar CT i K T sunt matricele tangente de amortizare, respectiv de rigiditate. Vectorii valorilor incrementale ale acceleraiei, vitezei i deplasrii respectiv du, du i du depind de timp, dar i de stadiul de comportare. Pentru un pas de timp finit (t , ecuaia (5.21) se scrie Mu Ct u K t u ! (P (5.22) în acest caz echilibrul fiind satisfcut aproximativ [P5]. u, u, u i P sunt vectorii valorilor incrementale finite ale acceleraiei, vitezei, deplasrii i, respectiv, încrcrii, iar Ct i K t sunt matricele tangente de amortizare, respectiv de rigiditate, corespunztoare strii structurii la începutul pasului de timp. Dac în interiorul pasului de timp se produce o modificare în starea structurii, este posibil ca echilibrul s nu fie satisfcut exact la sfâritul pasului de timp, în noua stare ce se obine prin rezolvarea ecuaiei (5.22). În cazul aciunii seismice, deplasarea tuturor reazemelor se consider sincron cu cea a terenului [P5]. Ecuaia (5.22) se scrie în acest caz a M u
Ct ur K t u r ! 0
(5.23)
ua
reprezint vectorul valorilor incrementale finite ale acceleraiei absolute, iar ur i u r sunt vectorii valorilor incrementale finite ale vitezei, respectiv deplasrii relative. În modelul Housner, deplasarea absolut se compune din deplasarea de corp rigid u g impus structurii de micarea terenului i deplasarea relativ ur asociat structurii deformate în prezena forelor de inerie care se dezvolt la nivelul maselor nodale, u a ! u g u r . Astfel, ecuaia incremental de echilibru e chilibru (5.23) devine r M u
Ct ur K t u r ! M 1 (u g
(5.24)
în care ur este vectorul valorilor incrementale finite ale acceleraiei relative, iar (u g este valoarea incremental finit a acceleraiei terenului. Relaia (5.24) este similar relaiei (5.22), în care vectorul valorilor incrementale finite ale forelor perturbatoare se înlocuiete cu vectorul forelor de inerie M 1 (u g asociate creterii acceleraiei terenului. În capitolul 3 s-au prezentat câteva metode numerice de rezolvare a ecuaiei (5.22), bazate pe considerarea unei legi de variaie a acceleraiei în pasul de timp, pentru care s-au artat condiiile în care acestea sunt stabile. De exemplu, metoda diferenelor finite centrale este stabil pentru perioade ale modurilor de vibraie mai mari decât T (t , iar metoda acceleraiei liniare în pasul de timp este stabil pentru perioade cel puin egale cu 1,8(t . Metoda acceleraiei medii constante este necondiionat stabil, dar are dezavantajul c nu introduce amortizare numeric. Acest dezavantaj este eliminat în metoda Wilson - , pentru 63
64
modurile de vibraie la care perioadele sunt mai mici decât pasul de timp considerat. În [W2] se arat c metoda HHT E produce disipare numeric de energie în modurile superioare de vibraie. Performanele acestei metode sunt similare cu utilizarea amortizrii proporionale cu rigiditatea, motiv pentru care este inclus în multe programe programe de calcul. c alcul. În cazul sistemelor cu mai multe GLD, cu rspuns neliniar, se pot produce evenimente plastice la momente de timp foarte apropiate. La fiecare moment de timp la care se produce un eveniment ar trebui aplicat o procedur de oprire a calculului i de reluare a sa cu o nou ecuaie de echilibru, cu alt vector de stare i alt pas de timp, în prezena altor condiii iniiale. În aceast situaie, apare mai rezonabil sacrificarea acurateii calculului, prin determinarea rspunsului dinamic la pai de timp constani. Se recomand folosirea metodei acceleraiei constante în pasul de timp, timp, care este stabil indiferent de mrimea pasului pasului de timp timp [R2]. Aceast metod este adoptat în [P5], unde se arat c în cazul structurilor cu comportare liniar elastic, pentru modurile modurile de vibraie cu T n (t se pierde din acuratee, dar amplitudinile rspunsului sunt corecte ca ordin de mrime. Pentru modurile de vibraie cu T n " (t acurateea rspunsului este suficient din punct de vedere practic, dar mai mic prin comparaie cu metoda acceleraiei liniare. Dac se produc incursiuni în domeniul postelastic, pasul de timp trebuie ales suficient de mic. Se poate controla eroarea rspunsului comparând rezultatele a dou analize cu pai de timp diferii. Totui, convergena ctre soluia exact este o problem ce trebuie urmrit în orice tip de analiz numeric. 5.4.1 Matricea
de rigiditate tangent
Structurile pot fi modelate cu elemente de tip bar, cu elemente finite de suprafa i/sau cu elemente finite tridimensionale. Dac structurile prezint regularitate în plan i pe vertical, cu cel puin un plan de simetrie, se pot realiza modele plane ale acestora. În cazul modelelor plane cu elemente finite de tip bar, solicitrile la care pot fi supuse barele pot fi de întindere sau compresiune i de încovoiere cu sau fr for axial i for tietoare. Pentru valori mari ale forelor de compresiune exist posibilitatea pierderii de stabilitate prin flambaj. Dac flambajul se produce în domeniul elastic, nu mai exist posibilitatea formrii de articulaii plastice. De aceea, elementele structurale trebuie astfel alctuite încât s fie evitate pierderea de stabilitate în domeniul elastic i voalarea tlpilor sau a poriunii din inim comprimate (seciuni de clasa 1). În momentul în care elementele finite de tip bar cu rigiditate axial i/sau la încovoiere se plastific la capete, matricea de rigiditate se modific. Corecia matricei de rigiditate structural se face numai la sfâritul pasului de timp în care unul sau mai multe elemente îi modific stadiul de comportare, prin introducerea schimbrilor de rigiditate asociate elementelor finite respective în matricea de rigiditate structural curent. În acest mod se evit reasamblarea matricei de rigiditate structurale. structurale. 5.4.1.1 Elementul finit de bar dublu articulat
Elementul finit de bar dublu articulat poate fi orientat arbitrar în planul structurii i transmite numai for axial.
64
65
a b Fig. 5.1 Modele de comportare a elementului de bar dublu articulat: a ± plastificare la întindere i compresiune; b ± plastificare la întindere i flambaj la compresiune
Fig. 5.2 Descompunerea relaiei biliniare N ( în l dou componente
(u 4
(H j ( j
E
(H i ( N i a
( P 4 (u2 ( P 2
(u3
( P 3
(u1 ( 2 b
Fig. 5.3 Deformaiile, deplasrile nodale i forele nodale pentru elementul de bar dublu articulat
Se pot considera dou moduri de comportare inelastic, i anume plastificare atât la întindere cât i la compresiune (fig. 5.1, a) i plastificare la întindere dar flambaj elastic la compresiune (fig. 5.1, b). Dup depirea limitei de curgere se poate ine seama de efectul de consolidare, considerând dou componente de comportare în paralel, una una elastic i una inelastic (fig. 5.2) [P5]. Elementul de bar dublu articulat va avea numai deformaii axiale, corespunztoare modificrii de lungime lungime (5.25) (l ! (H j (H i în care H i i H j sunt deplasrile capetelor barei în lungul axei sale (fig. 5.3, a). Între creterile finite ale deplasrilor nodale din sistemul local i cele corespunztoare din sistemul global de axe (fig. 5.3, b) se poate scrie relaia de transformare 65
66
(H i ! (u1 cos E (u2 sin E (H j ! (u3 cos E (u 4 sin E unde cos E !
x l
i sin E !
y l
(5.26)
. În Înlocui cuind rel relaaiile (5 (5.26) în în (5 (5.25) se se ob obine
(u1 ¾ (u (l ! _ cos E sin E cos E sin E a¯ 2 ¿ (u 3 (u 4 À sau (l ! R (u . Din stadiul elastic de comportare se cunoate relaia (l ! rezult ( N !
E t A l
(l sau ( ! k t (l , în care
k t
(5.27)
l E t A
( N , de unde
este rigiditatea axial a barei i
t
este
modul de elasticitate tangent în starea curent (în cazul materialelor ideal elasto-plastice, pentru pl e e pl i E t ! 0 pentru ! s pl ). Raportând rigiditatea tangent t ! la deplasrile nodale i inând seama de relaia (N ! R (P (fig. 5.3, b), se poate scrie T (5.28) K t ! R k t R Se pot considera fore f ore axiale iniiale în lungul elementului sau efectul variaiei uniforme de temperatur, prin fore de încastrare perfect a cror valoare trebuie s fie mai mic decât capacitatea limit asociat plastificrii elementului. 5.4.1.2 Elementul finit de bar cu rigiditate axial i la încovoiere
Elementele de acest tip pot fi orientate arbitrar în planul în care se descrie structura. Rigiditatea la încovoiere se specific prin coeficienii matricei de rigiditate în sistemul local de axe. Se pot descrie condiii de margine diferite la capete (încastrare sau articulaie) i se poate considera cazul în care seciunea transversal este variabil în lungul elementului, specificând coeficienii potrivii de rigiditate la încovoiere. Deasemenea, se poate considera efectul forei tietoare asupra deformaiilor din încovoiere i se poate ine seama de prezena unor legturi excentrice la capete datorate prinderilor, prin intermediul zonelor rigide. Plastificarea se poate produce doar în articulaiile plastice punctuale de la capetele elementului (fig. 5.4). Consolidarea materialului este aproximat prin dou componente în paralel, una elastic i una elasto-plastic (fig. 5.5). Componenta ideal elasto-plastic corespunde articulaiilor plastice de la capetele elementului în care momentul încovoietor este constant, iar componenta elastic corespunde zonei de consolidare a materialului, în care se permite momentului încovoietor s creasc. Datorit acestui model, dac momentul momentul încovoietor i seciunea elementului sunt constante, atunci curbura i rotirea sunt direct proporionale, iar relaiile moment-rotire M U i moment-curbur M G ( G ! 1 V ) au aceeai form (fig. 5.6, a). Dac momentul încovoietor sau seciunea variaz în lungul elementului, atunci curbura i rotirea nu mai sunt proporionale, iar relaiile moment-rotire i moment-curbur pot s difere (fig. 5.6, b) [P5]. Un element finit cu rigiditate axial i la încovoiere poate avea deformaie axial i deformaii din încovoiere creia îi corespund rotirile de la capetele i i j din figura 5.7.
66
67
element cu comportare elastic
Fig. 5.4 Element finit de bar cu rigiditate axial i la încovoiere
G Fig. 5.5 Descompunerea relaiei biliniare
M G
în dou componente
G
G G
a
G b
Fig. 5.6 Relaiile moment-rotire i moment-curbur moment-curbur (l (u 5 (u2 ( N ( F 5 67
(u 6 ( F 6
68
( F 2
(
E
(U j
M j
( M i
( F 3
(u 3
( F 1
(u 4 (U i
( F 4
(u1
a
b
Fig. 5.7 Deformaii, deplasri nodale i fore nodale ± creteri incrementale
U j
Ui
u j
v j
Ui ui
U j
v j
vi ] ij
vi
a
b
Fig. 5.8 Deplasri nodale în sistemul local de axe (a) i deformaiile produse de acestea (b) 5 RELAIA DE TRANSFORMARE DINTRE CRETERILE INCREMENTALE ALE DEFORMAIILOR I DEPLASRILOR ESTE
®(u1 ¾ « cos E sin E 0 cos E sin E 0» ± ± ¼ ±(u2 ± ®(l ¾ ¬¬ ±(H ±! ¬ sin E cos E 1 sin E cos E 0¼¼ ±(u3 ± ¯ i¿ ¯ ¿ l l l ¼ ±(u4 ± ±(H j ± ¬ l ° À ¬ sin E cos E 0 sin E cos E 1¼ ±(u ± ¬- l ¼½ ± 5 ± l l l ± °(u6 À±
(5.29a)
( ! R (u
(5.29b)
sau x
y
l
l
În relaia (5.29a), cos E ! , sin E !
, (l ! u j ui i
(H i ! (U i (] ij ; (H j ! (U j (] ij ; ] ij !
v j
vi l
(5.30)
Ui , U j , vi i v j sunt deplasrile la capetele elementului, în sistemul local de axe, iar ] ij reprezint rotirea axei barei datorat deplasrilor vi i v j ale capetelor (fig. 5.8). Relaiile (5.29) se pot demonstra pe baza corespondenei dintre deplasrile nodale din sistemul local de axe i cele din sistemul general de axe. De exemplu, pentru nodul i se poate scrie U i ! u3 i vi ! u2 cos E u1 sin E Înlocuind în relaiile (5.30) rezult ui , u j ,
(H i ! (u3
(u2 cos E (u1 sin E (u5 cos E (u4 sin E , etc. l
(5.31) 68
69
Atunci când se atinge valoarea momentului plastic în componenta elasto-plastic de comportare, se formeaz o articulaie plastic. În componenta elastic, momentul încovoietor continu s creasc. Rotirea articulaiei plastice constituie o msur a deformaiei plastice din încovoiere. Creterile rotirilor din încovoiere (H i i (H j produc creteri ale rotirilor articulaiilor plastice (H i , pl i (H j , pl , care se datoreaz numai momentului încovoietor. Se poate scrie urmtoarea relaie matriceal: ®(H i, pl ¾ « A B » ®(H i ¾ (5.32) ¯(H ¿ ! ¬ ¼ ¯(H ¿ C D j pl j , ½ ° À ° À în care coeficienii A, B, C i D depind de poziia nodului de capt la care se formeaz articulaia plastic i au valori nule dac elementul lucreaz în domeniul elastic sau dac eforturile în seciunea asociat nodului corespund stadiului elastic de comportare: Stadii de comportare ale seciunilor de capt
Stadiu elastic la ambele capete
A 0
B 0 k ij
Articulaie plastic numai la captul i
1
Articulaie plastic numai la captul j
0
0
Articulaii plastice la ambele capete
1
0
k ii
C
D
0
0
0
0
k ij k jj
0
1 1
Prin aceast formulare nu se ine seama de interaciunea dintre deformaiile axiale inelastice i deformaiile din încovoiere dup formarea articulaiei plastice. Ca urmare, curgerea plastic are loc doar pe direcia momentului încovoietor, nu i pe direcia normal la suprafaa de curgere specific regulilor de curgere asociate materialelor cu comportare elasto plastic. Aceasta constituie o alt aproximaie a modelului de bar considerat. Efectul forei axiale asupra capacitii plastice la încovoiere este luat în considerare prin curba de interaciune M ± N N [P5]. În figura 5.9 sunt figurate eforturile secionale în nodurile elementului, în sistemele de axe local i general.
a
b
Fig. 5.9 Eforturile secionale la noduri în sistemul local de axe (a) i în sistemul de axe general (b) În stadiul elastic, se pot scrie urmtoarele relaii între variaiile eforturilor secionale i creterile deformaiilor axiale i de încovoiere:
( N ! respectiv 69
EA l
(l
(5.33)
70
(M i ¾ ¯(M ¿ ! j À
I « k ii ¬ l -k ji
(U i ¾ ¯ ¿ ¼ k jj ½ (U j À k ij »
(5.34)
în care A este aria, iar I I este momentul de inerie al seciunii transversale. Pentru EI ! ct , I « 4 2 » matricea de rigiditate va fi e ! ¬ ¼ în cazul barei dublu încastrate (fig. 5.10), l - 2 4 ½ EI «3 0» respectiv K e ! ¬ ¼ în cazul barei articulate în captul din dreapta (fig. 5.11). l -0 0½
Fig. 5.10 Momente de încastrare perfect ca efect al rotirii capetelor, la bara dublu încastrat ( EI ! ct )
Fig. 5.11 Momente de încastrare perfect la bara încastrat la un capt i articulat la cellalt ( EI ! ct )
Dup formarea articulaiei plastice la cel puin unul din capetele barei, termenii matricei de rigiditate asociate comportrii c omportrii ideal elasto-plastice devin
1 A k ij k ij* ! k ij 1 k ii B * ! k jj 1 k ij B k jj k ii* ! k ii
(5.35)
Relaiile (5.35) indic transformarea în domeniul inelastic a elementului finit de bar dublu încastrat într-un element finit cu una sau dou articulaii la capete. În sistemul local de axe, condiia de echilibru pentru un increment de deformaie (H se exprim cu relaia K ep ( ! (F (5.36a) în care F T ! N i T i M i N j T j M j (5.36b)
?
A
i K ep este matricea de rigiditate obinut prin sumarea contribuiilor celor dou componente, elastic i inelastic. inînd seama de relaia (5.29b), relaia (5.36a) se mai poate scrie 70
71
K ep R (u ! (F
(5.37)
În sistemul general de axe, forele nodale alctuiesc vectorul PT ! ? P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 A. Între vectorii forelor nodale din cele dou sisteme de axe, local i general, exist relaia de transformare P ! R T F , ca urmare este valabil relaia
(P ! R T (F
(5.38)
Dac se premultiplic relaia (5.37) cu R T i se ine seama de relaia (5.38), rezult K t (u !
(P
(5.39)
în care K t ! R T K ep R
(5.40)
reprezint matricea de rigiditate tangent raportat la deplasrile nodale exprimate în sistemul general de axe. În cazul structurilor în cadre, articulaiile plastice se formeaz, în grinzi, la faa stâlpilor, iar în stâlpi la faa grinzilor, deoarece zona de prindere grind-stâlp se consider indeformabil. Aceast comportare se modeleaz prin legturile rigide dintre nodurile definite de interseciile axelor elementelor i capetele elementului flexibil (fig. 5.4 i 5.5). Între deplasrile nodului teoretic i ce formeaz vectorul
?
A
(uT n,i ! (u1n,i (u 2n, i (u3n, i i deplasrile captului i al elementului deformabil care alctuiesc vectorul
?
(uT i ! (u1,i (u 2,i (u3, i
A
(5.41)
(5.42)
se pot scrie relaiile (fig. 5.4):
(u1,i ! (u1n,i yi (u3n,i ; (u 2,i ! (u 2n,i xi (u3n,i ; (u3,i ! (u3n,i
(5.43)
Cu relaii similare pentru nodul j se obine relaia matriceal dintre deplasri,
« ¬ ¬ (u i ¾ ¬ ¯ (u ¿ ! ¬ j À ¬ ¬ ¬ ¬-
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
yi xi
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0
» ¼ ¼ ¼ (u n , i ¾ ¼¯ ¿ y j ¼ (u n, j À x j ¼ ¼ 1 ¼½
(5.44)
sau
(u ! T (u n
(5.45)
Relaia de reducere a forelor de încastrare perfect de la capetele elementelor în nodurile teroretice se scriu într-o manier similar. De exemplu, pentru nodul i, 71
72
( (
( 1,i (5.46) 2 n , i ! ( 2, i ( P 3n, i ! ( P 3, i yi ( P 1,i xi ( P 2,i Relaia matriceal se va scrie sub forma 0 0 0 0 0 » « 1 ¬ 0 ¼ 1 0 0 0 0 ¬ ¼ ¬ 1 0 0 0 ¼ ®(Pi ¾ ®(Pn,i ¾ yi xi (5.47) ¼¯ ¯ (P ¿ ! ¬ 0 ¿ ( P 0 0 1 0 0 n j j , ¼° À ° À ¬ ¬ 0 0 0 0 1 0 ¼ ¬ ¼ 0 0 y j x j 1 ¼½ ¬- 0 sau (Pn ! TT (P (5.48) Prin reducerea forelor nodale în nodurile teoretice, relaia de echilibru (5.39) devine 1n , i !
TT K t T (u n ! (Pn
a
(5.49)
b
Fig. 5.12 Curbe de interaciune Elementul finit de bar solicitat la încovoiere i for axial admite pentru fiecare capt dou tipuri de curbe de interaciune. Acestea definesc starea limit de eforturi în momentul formrii articulaiei plastice: plastificare prin încovoiere specific grinzilor încovoiate fr for axial sau cu for axial neglijabil (fig. 5.12, a); plastificare prin încovoiere cu for , N , M i M axial (fig. 5.12, b). Punctele de balans a, b, c, d i eforturile limit N pl pl pl pl se stabilesc în funcie de forma seciunii i de tensiunile asociate limitelor de curgere la întindere i la compresiune [P5]. 5.3.2
Determinarea stadiului de lucru
Rspunsurile static sau dinamic în cazul existenei incursiunilor în domeniul postelastic se stabilesc printr-un calcul incremental. Într-un pas finit de timp (t , pentru un spor de încrcare (P , se calculeaz incremenii deplasrilor nodale (u n i ai deformaiilor elementului, ( . Pe baza valorilor acestora din urm se calculeaz apoi valorile incrementale ale eforturilor în elemente, (Fi , respectiv eforturile de la sfâritul pasului de timp, Fi 1 ! Fi (Fi . Acestea se stabilesc pe baza proprietilor de la începutul pasului de timp i a creterilor obinute în pasul de timp. În procesul de rezolvare pas cu pas a ecuaiilor de 72
73
echilibru pot avea loc incursiuni în domeniul postelastic prin încrcare sau descrcare, precum i reveniri în domeniul elastic, de exemplu prin descrcare dup o incursiune în domeniul inelastic. De aceea, relaia for-deplasare va fi neliniar, ca în figura 5.13.
Fig. 5.13 Exemplu de comportare neliniar
Fig. 5.14 Rspuns liniar i neliniar în pasul de timp Momentul formrii unei articulaii plastice sau al descrcrii dup o incursiune în domeniul plastic constituie un eveniment i este marcat în relaia P u printr-o schimbare de pant. Între dou evenimente, relaia P u se consider liniar. Într-un pas de timp finit (t , pot aprea unul sau mai multe evenimente. Apariia unui eveniment în rspunsul structural se apreciaz pe baza strii de comportare a elementelor finite ce alctuiesc structura. Liniarizarea rspunsului în cadrul pasului de timp are la baz starea elementelor de la începutul pasului. Aceast procedur este corect numai dac nu apar evenimente în pasul de timp, rspunsul liniar fiind reprezentat de linia întrerupt din figura 5.14. Incrementul liniar al efortului se noteaz (F L . Linia continu din figura 5.14 marcheaz rspunsul neliniar, datorat producerii evenimentelor din pasul de timp. Se observ c acceptarea unei comportri liniare conduce la valori incorecte ale incremenilor deformaiilor. Se poate accepta totui c se obin aceleai deformaii dac se consider sau nu neliniaritatea în pasul de timp, întrucât pasul de timp este scurt, iar rspunsul structurii este afectat substanial de efectele de inerie i de amortizare. Ca urmare, incrementul neliniar al efortului în element, (F NL , se poate calcula prin urmtorul procedeu: (1) se noteaz cu (t incrementul deformaiei unui element în pasul de timp i cu (F incrementul efortului neliniar care trebuie calculat. Acesta se obine prin sumarea de subincremeni Qi (Fi , aa cum se arat în figura 5.15. 5.15. Se iniializeaz la zero un factor de scar § Q i se seteaz un contor i al ciclului, la valoarea 1.
73
74
Fig. 5.15 Calculul incrementului efortului în element (2) se seteaz
( i ! 1 § ( t
(5.50)
Pentru starea curent a elementului, calculat la momentul de timp t , se determin incrementul efortului în element, (Fi , corespunztor incrementului deformaiilor ( i . (3) se determin coeficientul Qi corespunztor creterii incrementale a eforturilor în element care va produce un nou eveniment, cum ar fi formarea unei articulaii plastice sau descarcrea. Dac are loc descrcare, valoarea lui Q va fi zero. Dac nu se produce descrcare, valoarea lui Q care produce o articulaie plastic la unul unul din capetele elementului se calculeaz cu relaii de tipul F F i (5.51) Qi ! c ( F i în care F c este efortul în element asociat atingerii strii limit de plastificare conform curbei de interaciune considerate, F i este efortul în element la începutul începutul ciclului i, iar ( F i este incrementul efortului calculat pentru acest ciclu. Trebuie gsit cea mai mic valoare a lui Q i , considerând toate componentele eforturilor în element. Dac Qi 1 , atunci s-a produs un eveniment în acest ciclu. Dac Qi " 1, nu s-au produs evenimente în acest pas de timp i se folosete valoarea Q i ! 1 . (4) Se adun Q i (Fi la (F i se fac modificrile de rigoare a datelor referitoare la starea elementului. (5) Dac Q i 1 , ( se reduce la 1 Q i ( i contorul ciclului se incrementeaz cu 1. Se repet etapele de calcul începând cu pasul 2, pentru a controla dac s-au produs evenimente în alte elemente finite. Dac Q i ! 1, calculul incrementului forelor care produc neliniaritate este complet. În calculul structurilor cu incursiuni în domeniul postelastic, este deosebit de important calculul corect al deformaiilor elementelor, deoarece acestea determin mrimea eforturilor i, totodat, indic cerina de ductilitate a structurii. Procedeul de calcul al eforturilor incrementale descris mai sus stabilete i valorile incrementale acumulate ale deformaiilor inelastice asociate, în fiecare ciclu de iteraie în cadrul pasului de timp (t . Valorile deformaiilor de la sfâritul fiecrui pas de timp servesc la calculul eforturilor corespunztoare tipului de element finit utilizat [P5].
74
75
5.3.3
Compensarea echilibrului
Dac nu apar evenimente în pasul de timp, rspunsul este liniar i la sfâritul pasului de timp vor fi satisfcute ecuaiile de echilibru. În caz contrar, echilibrul va fi satisfcut pentru incremenii liniari (F L ai eforturilor din elemente, dar nu i pentru incremenii incremenii neliniari neliniari (F NL . La nivel de element finit, echilibrul necompensat corespunde eforturilor neechilibrate din figura 5.14, (5.52) (FU ! (F L (F NL Dup transformarea eforturilor neechilibrate în fore nodale i sumarea acestora pentru toate elementele, se obine vectorul forelor nodale neechilibrate (PU . Pentru a evita erorile ce pot aprea din acumularea eforturilor neechilibrate în mai muli pai de timp, se aplic o încrcare de corecie: valorile incrementale ale forelor nodale neechilibrate (PU se introduc cu semn schimbat, ca fore nodale, la începutul pasului de timp timp urmtor. La La sfâritul pasului de timp, echilibrul este satisfcut dac se verific relaia (5.53) PM P A PKL ! P în care PM , P A i P reprezint vectorii forelor nodale provenite din forele de inerie, forele de amortizare i, respectiv, încrcrile exterioare variabile în timp. P KL este vectorul forelor la noduri provenite din eforturile în elemente de la sfâritul pasului de timp, (5.54) P KL ! P (P L presupunând o comportare liniar în pasul de timp. Atingerea unui stadiu limit în cadrul pasului de timp va produce o actualizare a forelor neliniare de forma
P KL (PU
(5.55)
Ca urmare, ecuaia de echilibru va fi PM
P A P KL (PU ! P (PU
(5.56)
în care (PU este încrcarea exterioar fictiv care trebuie aplicat în urmtorul pas de timp. Necesitatea coreciilor pentru asigurarea echilibrului ar putea fi evitat prin subdivizarea pailor de timp oricând apare un eveniment i iterarea echilibrului pân ce acesta este atins în cadrul pasului de timp curent. Un astfel de procedeu este metoda Newton Raphson, care este destul de complicat, mrete timpul de calcul i nu asigur o acuratee mai bun decât procedeele bazate pe pai de timp constani i corecii ale echilibrului. Dac starea de eforturi într-o seciune de capt a unui element finit este în interiorul curbei limit considerate, seciunea respectiv se afl în domeniul elastic. În figura 5.16, a se arat situaia în care, la sfâritul pasului de timp, starea de eforturi în cazul unui element cu rigiditate axial i la încovoiere se gsete în afara curbei de interaciune. În acest caz se vor aplica fore de corecie în pasul de timp urmtor celui în care s-a produs evenimentul. Acest procedeu nu este strict corect întrucât presupune c, dup atingerea limitei de curgere, rigiditatea axial rmâne neschimbat i se modific doar rigiditatea la încovoiere. În realitate, datorit interaciunii dintre deformaiile din for axial i moment incovoietor, ambele matrici de rigiditate ar trebui modificate. Totui, procedeul este acceptabil pentru analizele practice. Deoarece rigiditatea axial rmâne constant într-o articulaie plastic, în paii urmtori starea de eforturi va fi în afara curbei de interaciune, aa cum se arat în figura 5.16, b. 75
76
a
b
Fig. 5.16 Corecia echilibrului în cazul depirii curbei de interaciune De aceea, chiar dac atin a tingerea gerea strii limit se produce la sfâritul pasului de timp (starea de eforturi definit de combinaia M - N se afl pe curba de interaciune), este necesar corecia echilibrului în pasul de timp succesiv. Datorit acestui procedeu de calcul, pot rezulta fore axiale mai mari decât N pl efortul axial limit corespunztor momentului încovoietor nul. Dac se ajunge la astfel de situaii, momentele încovoietoare se consider nule, iar rezultatele obinute trebuie examinate cu atenie, pentru a evita posibilitatea degradrii elementelor. Un eveniment de tip descrcare dup o incursiune în domeniul plastic se identific prin semnele diferite ale incremenilor deformaiilor i eforturilor în articulaia plastic. 5.3.4 Matricea de
amortizare amortizare tangent
Considerarea amortizrii într-o analiz dinamic complic rezolvarea ecuaiilor de micare, datorit termenului reprezentat de forele de amortizare. Pentru a fi posibil decuplarea ecuaiilor de micare într-un calcul elastic liniar, sunt necesare anumite restricii asupra expresiilor coeficienilor de amortizare. Matricea de amortizare se poate alege de forma
C ! M § a j M 1K j unde g j g
(5.57)
j
Coeficienii
a j
sunt nedeterminai. Pentru j ! 0 i j ! 1 se regsete modelul Rayleigh, Rayleigh, C ! a0M a1K
(5.58)
Acest mod de exprimare a matricei de amortizare permite decuplarea rspunsurilor modale i reducerea rspunsului unui sistem cu n GLD cu comportare elastic liniar la rspunsul a n sisteme cu 1 GLD decuplate. În modul de vibraie i, amortizarea modal are forma C i
! *T i C* i ! 2\ i[ i M i
(5.59)
în care \ i este fraciunea din amortizarea critic în modul i, iar * i este vectorul propriu al modului i în vibraie liber neamortizat cu pulsaia [ i . Dac matricea de amortizare este de forma (5.57), rezult 76
77 C i
! * T i M
§ a j M 1K j * i
(5.60)
j
inând seama de relaia K * i ! [i2M* i , se obine coeficientul amortizrii pentru modul de vibraie i [C5], 2 j (5.61) C i ! § a j [ i M i j
Din relaiile (5.59) i (5.61) rezult fraciunea din amortizarea critic a modului i, \ i
!
1 j a j[ i2 § 2[i j
(5.62)
Dac se cunosc fraciunile din amortizarea critic \ i , coeficienii ai se obin cu relaia
«[ 1 [ 13 ±\ ± ¬ ± 2 ±! 1 ¬[ 2 [ 23 ¯ ¿ ±/ ± 2 ¬¬ - ± °\ n À± ¬-[ n [ n3 \ 1 ¾
n [ 12 1 »
¾ ¼ ± ± n a2 ± [ 22 1 ¼ ± ¼¯ / ¿ ± ± 2 n 1 ¼ ± [ n ¼½ °a n À±
-
a1
(5.63)
Relaia (5.63) se poate scrie simbolic 1 ! Qa 2
(5.64)
de unde rezult vectorul coeficienilor ai , a!2
1
(5.65)
Prin introducerea vectorului a în relaia (5.57) se obine matricea de amortizare C. Relaia (5.62) arat urmtoarele aspecte: dac matricea de amortizare este proporional cu masa (C ! a0M , j ! 0 ), rezult \ i ! a0 2[i , adic fraciunea din amortizarea critic este invers proporional cu frecvena. Ca urmare, modurile superioare de vibraie vor avea amortizri mici (fig. 5.17); dac matricea de amortizare este proporional cu matricea de rigiditate (C ! a1K , j ! 1 ), atunci \ i ! a1[i 2 , deci fraciunea din amortizarea critic este direct proporional cu frecvena. În acest caz, modurile inferioare de vibraie au amortizri mici.
77
78
Fig. 5.17 Efectul masei i rigiditii asupra amortizrii Modelul Rayleigh permite scrierea urmtoarei relaii de proporionalitate între amortizarea, masa i rigiditatea modal care definesc rspunsul decuplat al modului i de vibraie: (5.66) C i ! a0 M i a1 K i Dar, aa cum s-a artat în capitolul 3, 2 (5.67) C i ! 2\ i[ i M i i K i ! [ i M i Înlocuind relaiile (5.67) în (5.66) se obine fraciunea fra ciunea din amortizarea critic a modului i, \ i
!
a0
2[i
a1[i
2
sau \ i !
a0T i
4T
a1T
(5.68)
T i
în funcie de pulsaia modal, respectiv de perioada de vibraie. Dac se cunosc coeficienii a0 i a1 pentru dou moduri de vibraie de perioade T k i T l , fraciunile din amortizarea critic aferente celor ce lor dou moduri sunt: a T aT \ k ! 0 k 1
4T
T k
i \ l !
a0T l
4T
a1T
(5.68a)
T l
Considerând c relaiile (5.68a) formeaz un sistem de ecuaii în necunoscutele a0 i a1 , prin rezolvarea acestuia rezult cei doi coeficieni: a0
!
4T T l \ l T k \ k T k T l T l \ k T k \ l , ! a 1 2 2 T T l 2 T k 2 T l T k
(5.69)
Acest procedeu de determinare a coeficienilor a0 i a1 necesit cunoaterea perioadelor proprii de vibraie i a fraciunilor din amortizarea critic modal. Acestea din urm se pot obine experimental. Pentru structurile de cldiri, în general \ 0, 2, iar valorile cele mai întâlnite sunt în domeniul 2 10% . În mod simplificat, se pot considera fraciunile din amortizarea critic ca fiind egale pentru toate modurile de vibraie. Se poate dezvolta i o alt metod de evaluare a matricei de amortizare C pentru un set de fraciuni din amortizarea critic specificate. Se face notaia
«2\ 1[ 1M 1 ¬ 2\ 2[ 2 M 2 ¬ T A ! C ! ¬ ¬ 0 ¬ ¬în care masele modale Rezult
M i
» ¼ 0 ¼ ¼ ¼ 1 ¼ 2\ n[ n M n ¼½
( i ! 1, n ) sunt egale cu 1 dac matricea modal C ! T A 1
(5.70)
este normalizat. (5.71) 78
79
De regul, inversarea matricei modale necesit un efort mare de calcul. În baza proprietilor de ortogonalitate a formelor proprii de vibraie se poate scrie
¨ n 2\ i[i ¸ ¹ * i * T C ! M ©© § i ¹M ª i !1 M i º
(5.72)
Având în vedere c ortogonalitatea formelor proprii este valabil i în raport cu matricea de amortizare, ecuaiile difereniale de micare se decupleaz în n ecuaii liniare independente. Pentru evaluarea energiei disipate prin amortizare, se consider c forele de amortizare se opun micrii i sunt proporionale cu viteza de deformare relativ (amortizare vâscoas). Datorit schimbrilor de stare prin plastificarea elementelor structurale, matricea de rigiditate tangent se poate schimba de la un pas de timp la altul. Ca urmare, dac se consider amortizarea dependent de rigiditate, matricea de amortizare se va schimba, contribuind la nerealizarea echilibrului la începutul unui nou pas de timp, dup apariia unui eveniment. Echilibrul la sfâritul unui pas de timp este dat de relaia PM
P A PK ! P
(5.73)
în care PM , P A i P K reprezint vectorii forelor nodale provenite din forele de inerie, forele de amortizare i din eforturile în elemente, iar P reprezint încrcrile exterioare variabile în timp. Fora de amorizare este dat de relaia
P A ! ?a0M a1K t Au
(5.74)
La începutul pasului de timp urmtor, forele de amortizare vor fi de forma
P A (P A ! ?a0 M a1K t a1(K Au (5.75) în care (K reprezint modificarea matricei de rigiditate tangente, iar (P A este modificarea corespunztoare a forelor de amortizare. Pentru a restabili echilibrul este necesar aplicarea unei fore exterioare de corecie,
(P A ! a1 (K u
(5.76)
Rezult PM
P A (P A P K ! P (P A
(5.77)
5.4 METODA BIOGRAFIC (PUSHOVER) Determinarea rspunsului în timp al unei structuri supuse la aciunea seismic implic, pe de o parte, utilizarea unui aparat de calcul mai pretenios i, pe de alt parte, analiza dinamic a structurii pentru un set reprezentativ de accelerograme. Atunci când lipsesc înregistrri ale micrii seismice în amplasamentul considerat, se pot folosi accelerograme artificiale sau se pot înlocui analizele dinamice cu un calcul static al structurii bazat pe creterea monoton pân la colaps a forelor statice convenionale de cod. În acest mod se urmresc locaiile în care se produc articulaiile plastice, în vederea validrii conformrii structurii, a sporului de rezisten i a ductilitii structurale efective. Calculul biografic poate fi considerat ca un caz particular al aciunii dinamice. Din punct de vedere formal, ecuaiile difereniale de micare 79
80
M u Ct u K t u ! P se pot reduce la ecuaiile de echilibru static
K t u ! P
(5.78) (5.79)
prin anularea forelor de inerie i de amortizare i prin reconsiderarea semnificaiei vectorului forelor de excitaie într-un vector de fore ce se aplic static monoton cresctor, de forma P ! L Pc (5.80) în care Pc sunt forele de cod, iar L este un factor de proporionalitate cu valori de la 0 la o valoare final asociat formrii mecanismului de cedare. Forele de inerie P I ! Mu i forele de amortizare P A ! Ct u devin nule în cazul aplicrii unor aciuni statice, pentru care acceleraiile u i vitezele u de deformare sunt nule, la orice nivel al forelor exterioare. Se poate deci pstra, i în cazul aciunilor statice monoton cresctoare, algoritmul de rezolvare prin MEF a structurilor din bare supuse la aciuni seismice definite prin deplasarea aleatoare în timp a bazei de rezemare. Pentru un sistem cu n GLD, ecuaia incremental de micare este M
(ui C(ui K t (u i ! (Pi
în care (Pi ! M1(u g în cazul aciunii seismice. Pentru fiecare pas de timp (t , anularea forelor de inere i de amortizare presupune M ( ui ! 0 i C(ui ! 0 Aceste condiii pot fi îndeplinite formal considerând matricea de amortizare nul (C ! 0 ) i ui ! 0 . Rezult ui 1 ! ui ( ui ! 0 cu ui ! 0 la t ! 0 . Se obine astfel ecuaia (ui ! ui 1 incremental de echilibru static
(u i ! (Pi ! (Li Pc
K u
(5.81)
în care Pc ! M1 reprezint acum vectorul forelor aplicate static ale cror valori se modific incremental cu factorul (Li ! (ui, g . Astfel, într-un calcul biografic, acceleraia terenului se va interpreta ca un factor de amplificare a crui valoare crete liniar de la 0 pentru t ! 0 la Lmax pentru t ! 1, în care Lmax este valoarea factorului de proporionalitate asociat formrii mecanismului mecanismului de cedare sau unei deplasri maxime impuse. impuse. La rezolvarea sistemului de ecuaii (5.81) se ine seama de modificarea matricei de rigiditate în momentul momentul apariiei unor articulaii plastice. Incremenii deplasrilor vor fi
(u i ! K 1 u (Pi Vectorul deplasrilor la timpul t i 1 ! t i (t va fi u i 1 ! ui (ui . 5.5 EXEMPLU DE CALCUL
80
81
Pentru validarea i exemplificarea utilizrii celor dou moduri de abordare bazate pe MEF, respectiv aplicarea Teoriei Plasticitii la mediile continue deformabile i utilizarea elementelor finite de bar, se determin fora limit i deplasarea ultim pentru o grind grind simplu rezemat din OL37 [T1], având urmtoarele caracteristici carac teristici geometrice i de material (fig. 5.18): deschiderea grinzii este de 6 m; seciunea grinzii este dreptunghiular, cu dimensiunile 10 x 60 cm; constantele de material sunt E ! 2,1 106 daN/cm2 i Q ! 0,3 ; pentru zona de consolidare se adopt E t ! E 10 4 ; limita de curgere a oelului este W c ! 2400 daN/cm2.
Fig. 5.18 În prima abordare, grinda se discretizeaz cu elemente finite patrulatere de stare plan de tensiune, cu dimensiunile laturilor 10 x 10 cm i grosimea grosimea de 10 cm. Reeaua astfel as tfel obinut are 6 x 60 elemente finite (fig. 5.19, a). Valoarea limit a forei P se determin în baza ipotezelor Rezistenei Materialelor, cu W pl W c M pl 10 60 2 !4 ! 9000 cm3. Rezult M pl ! 2160 kNm relaia P pl ! 4 , unde W pl ! l l 4 i pl ! 1440 kN. În figura 5.19, b se prezint nivelul tensiunilor W x pentru ! pl . Pentru aceeai valoare a forei sunt prezentate diagramele W x în seciunea de la mijlocul grinzii (fig. 5.19, c), respectiv în seciunile situate la o distan egal cu o treime din deschidere fa de reazemele grinzii (fig. 5.19, d ). ). Aceast ultim diagram confirm faptul c zona elasto-plastic a grinzii se dezvolt în treimea sa de mijloc. P
a
81
82
b
c
d
Fig. 5.19 a ± reeaua de elemente finite; b ± tensiunile W x ; c ± diagrama W x în seciunea de la mijlocul grinzii; d - diagrama W x în seciunile de capt ale ale zonei elasto-plastice
a
b
c
Fig. 5.20 a ± zona de articulie plastic; b ± diagrama de moment în stadiul limit; c ± deformata în stadiul limit
În figura 5.20, a se arat zona elasto-plastic, delimitat de dou curbe parabolice de 6 x l ecuaie c ! h , cu x ¨© 0, ¸¹ [M3]. l ª 6 º 82
83
În Rezistena Materialelor, deplasarea maxim a grinzii sub aciunea forei
pl
3
,
2
5 pl l pl l respectiv rotirea la capete se determin cu relaiile vmax, pl ! ; N max, pl ! . 162 E I 12 E I Rezult vmax, pl ! 2,5397 cm i N max, pl ! 0,01143 rad. În modelul cu elemente de stare plan de tensiune, pentru ! pl se obine vmax ! 2,23 cm. În a doua abordare, grinda se discretizeaz în 6 elemente finite de bar (fig. 5.21).
a
b
Fig. 5.21 Modelarea cu elemente finite de bar Pentru acest model s-a efectuat calculul biografic bazat pe algoritmul prezentat la punctul 5.4. S-au obinut urmtoarele valori ale deplasrii la mijlocul grinzii: M el , lim
pentru P ! P el , lim ! 4
l
! 960
kN,
în
care M el , lim ! W W c !
bh
6
2
W c ,
! 1,18 cm; pentru ! pl ! 1440 kN, vmax, pl ! 1,7143 cm. Se pot face urmtoarele observaii privind rezultatele obinute prin cele dou metode de abordare i cele cunoscute de la Rezistena Materialelor: pentru determinarea strii de tensiune în elementele finite de stare plan de tensiune se folosesc relaiile Teoriei Plasticitii. Atingerea strii limit este controlat printr-un criteriu de plasticitate care ine seama de toate componentele tensorului de tensiune. În acest model, pe lâng tensiunile normale W x i tangeniale X xy acceptate în Rezistena Materialelor, în noduri se dezvolt i tensiuni normale pe axa barei, W y . Aceasta explic nesimetria în raport cu axa barei a domeniului elasto-plastic (fig. 5.19, b i c). Pe de alt parte, în general în Rezistena Materialelor nu se ia în consideraie efectul forei tietoare la formarea articulaiei plastice; elementele finite de bar sunt construite în ipoteza comportrii elastice pân în momentul formrii articulaiei plastice. Din acest motiv, acest model nu pune în eviden comportarea neliniar din punct de vedere al relaiei for ± deplasare pân în momentul formrii articulaiei plastice. În figura 5.22 se prezint relaia P ± v pentru cele dou moduri de abordare. vmax
83
84
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0. 005
0. 01
0. 015
0. 02
0. 025
0. 03
F . 5.22 Diagrama for ± deplasare Raportul dintre deplasarea maxim plastic obinut cu modelul bazat pe Teoria SP Plasticitii, cu elemente finite în stare plan de tensiune ( MEF MEF SP ) i aceeai deplasare calculat cu mijloacele Rezistenei Materialelor RM (RM ) este M E F S vmax M
v R max
!
2,23 ! 0,878 , cu I ! 12,2 2,54
iar raportul dintre deplasarea maxim plastic obinut pe modelul cu elemente finite de bar B ) i deplasarea calculat cu mijloacele Rezistenei Materialelor este ( MEF MEF MEF B vmax
1,71 ! 0,675 , cu I ! 32,5 RM 2 , 54 vmax Se observ c ambele modele conduc la rezultate diferite de cele furnizate de Rezistena Materialelor. Diferenele fa de soluia exact provin din alegerea câmpului de deplasri i a criteriului de plasticitate, precum i din modul de considerare a formrii articulaiei plastice (într-o zon de comportare elasto-plastic sau punctual). Modelarea cu elemente finite de bar, prin care articulaia plastic este punctual, deci care nu ine seama de existena unei zone plastice, este mai potrivit pentru grinzi la care factorul de form al seciunii transversale este apropiat de valoarea 1 i pl $ el , lim . Seciunile I, de exemplu, au factorul de form mai mic decât cel al seciunilor dreptunghiulare ( k p 1 fa de k ! 1,5 ). Lungimea zonei de articulaie plastic este i ea mai mic în acest caz. Ca urmare, se poate considera c pentru bare cu seciuni I, efectul zonei plastificate este redus i modelul simplificat de bar cu articulaie plastic punctual este satisfctor. Astfel, informaia privind deformaiile în momentul formrii unei articulaii plastice, necesar i aprecierii cerinei de ductilitate, este în general satisfctoare pentru construciile metalice. Aceast informaie poate fi alterat în cazul c azul seciunilor pline.
!
84
